Unidad
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Análisis An álisis de de dualidad dualidad Objetivos
Al nalizar la unidad, el alumno: • Identicará el el tipo de problemas que se resuelven con el método dual-símplex. • Utilizará el método dual-símplex para resolv resolver er modelos modelos de PL PL en el entorno de los negocios.
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Matemáticas para negocios
Introducción
El método dual-símplex, utilizado hasta ahora para resolver modelos de programación lineal en su forma estándar, ha demostrado ser una eciente herramienta en apoyo a la toma de decisiones basadas en resultados r esultados cuantitativos. cua ntitativos. Sin embargo, los problemas o casos a resolver no siempre se presentan de tal manera que puedan expresarse en la forma estándar y resolverse por el método dual-símplex, por lo que es necesario plantear una metodología para resolver estos casos. Se tiene un método aprovechando uno de los resultados del desarrollo de la programación lineal, el concepto de dualidad plantea que, asociado a todo problema de programación lineal, existe otro problema lineal llamado dual . En este capítulo se desarrolla la teoría y aplicación del método dual-símplex en la resolución de problemas y casos prácticos.
4.1. Denición del problema El problema de programación lineal dual que se dene a partir de un problema original (primal), comparte con él los mismos coecientes tanto de la función objetivo como de las restricciones restr icciones,, pero en diferente posición como más adelante se especicará.
Por otra parte, es importante tener presente que: Si un problema tiene solución óptima y factible, el problema dual también la tiene. t iene. • Si un problema tiene solución factible pero no óptima, entonces el problema dual no tiene t iene solución factible. •
A manera de síntesis, lo que se desea recuperar del análisis de dualidad es: Cuando se tiene un modelo de programación lineal en el que el objetivo es minimizar , llamaremos a este modelo primal ¸ y obtendremos el modelo dual
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Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad dualidad
asociado que es un modelo de maximización, el cual puede resolverse con el método dualdual-símpl símplex; ex; y al obtener la solución solución del problema dual encontraremos encontraremos la del modelo primal. Existen otros aspectos importantes del análisis de dualidad que es necesario tener presentes, por ejemplo, ejemplo, para el modelo primal el objetivo es minimizar mini mizar y las restricciones son del tipo ≥ (may (mayor or o igual ig ual que), mientras que para el modelo dual el objetivo es maximizar y las restricciones son del tipo ≤ (menor o igual que). Lo anterior se ilustra en la Figura 4.1., donde se aprecian estas diferencias en las representaciones matriciales de los modelos. Primal
Z min=CX Sujeto a: AX ≥ B X ≥ 0
Dual
Z max= BY Sujeto a: AT Y ≤ C Y ≥ 0
Figura 4. 4.1 1. Problemas primal y dual asociados a un mismo problema real.
Observe que el problema primal no se encuentra en la forma estándar necesaria para aplicar el método dual-símplex, y es por esto que se genera el problema dual. Además en el problema dual se empleta AT que es la matriz transpuesta de la matriz de coeficientes del sistema de restricciones. De manera desarrollada desarr ollada los problemas se ven como: Problema Probl ema primal prima l Z min = c1 x1 + c2 x 2 + + cn xn Sujeto a: a11 x1 + a12 x 2 + + a1n x n ≥ b1 + + a2 n xn ≥ b2 a21 x1 + a22 22 x 2
am1 x1 + am 2 x2 + + amn xn ≥ bm x1 , x 2 ,, x n ≥ 0
Mientras que el problema dual se verá en la forma estándar.
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Matemáticas para negocios
Problema dual Z max = b1 y1 + b2 y2 + + bm ym Sujeto a: a11 y1 + a21 y2 + + am1 y m ≤ c 1 a12 y1 + a22 y2 + + a m 2 y m ≤ c 2 a13 y1 + a23 y2 + ... + a m 3 y m ≤ c 3
a1n y1 + a2 n y 2 + + a mn y m ≤ c n y1, y2 ,, y m ≥ 0
Cabe resaltar que si el modelo primal tiene n variables y m restr restricciones icciones,, el modelo dual tendrá m variables y n restr restricciones icciones,, como se puede observar en los problemas primal y dual desarrollados. La solución óptima de un problema corresponde a la solución del otro, como ya se ha mencionado, y de este resultado se desprende despre nde la siguiente sección. Propiedad de las soluciones básicas complementarias Cada solución básica óptima en el problema primal tiene una solución básica óptima complementaria en el problema dual, en donde los valores respectivos de las funciones objetivos son iguales, Z min = Z max , y el valor de las restricciones del problema primal serán los coecientes de las variables articiales ( y i ). Esto quiere decir que los valores de las restricciones del modelo primal son los valores que se encuentran en el renglón R 0 en las columnas de las variables artificiales de la tabla símplex del modelo dual. A continuación se presenta el algoritmo para generar el modelo dual a partir del problema primal, para lo cual utilizaremos la tabla primal-dual.
4.2. Método dual-símplex Tabla primal-dual Partiendo de un modelo con el objetivo de minimizar, se utiliza la llamada tabla primal-dual primaldual para trasladar el problema a maximización maxim ización y volver volver al uso del mismo algoritmo.
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Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad dualidad
Si tenemos el modelo primal de minimización: Problema Probl ema primal prima l Z min = c1 x1 + c2 x 2 + + cn xn Sujeto a: a11 x1 + a12 x 2 + + a1n x n ≥ b1 + + a2 n xn ≥ b2 a21 x1 + a22 22 x 2
(1)) (1
am1 x1 + am 2 x2 + + amn xn ≥ bm x1 , x 2 ,, x n ≥ 0
Para formar la tabla primal-dual se procede como sigue: El tamaño de la tabla es de m+2 reng renglones lones y n+2 columnas. columna s. (n número de variables y m número de restricciones rest ricciones del problema primal). 1. La celda celda de la esquina superior izquierda se divide en dos con una diagonal, en la parte superior escribimos la palabra primal (min) y en la parte inferior dual (max). 2. En la celda de la esquina superior derecha se escribe el el símbolo símbolo ≥ , mientras que en la primera columna en el último renglón se escribe el símbolo ≤ . 3. En la primera columna columna a parti partirr del segundo renglón se escriben los los nombres nombres ar ticiales).. de las variables del problema dual (m variables articiales) 4. En el primer renglón se escriben los nombres nombres de las variables del problema problema primal (n variables).
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5. Se escriben los coecientes de la función objetivo objetivo del modelo modelo primal en el último renglón.
6. Se escribe escri be cada uno de los coeficientes de las restricciones del problema primal en forma horizontal, ocupando los renglones de la tabla. 7. En la última columna columna se escriben las cantidades limitantes de las restricciones del modelo primal. 8. De esta tabla podemos podemos obtener obtener el modelo dual, lo único que debemos debemos hacer es leer el modelo de manera vertical y los coecientes de la función f unción objetivo se obtienen de la última columna.
Ejemplo 1
Obtener el modelo dual asociado al problema: pr oblema: Z min = 5 x1 + 8 x 2 + x3 Sujeto a: x1 + 4 x 2 + 6 x 3 ≥ 9 7 x1 + 3x 2 + 2 x 3 ≥ 7 x1 , x 2 ,, x n ≥ 0
El problema primal tiene 3 variables y 2 restricciones, por lo tanto el problema dual tendrá 2 variables y 3 restricciones. El tamaño de la tabla es de 2 + 2 = 4 renglones y 3 + 2 = 5 columnas para este caso. 1. La celda celda de la esquina superior izquierda se divide en dos con una diagonal, en la parte superior escribimos la palabra primal (min) y en la parte inferior dual (max). 2. En la celda de la esquina superior derecha se escribe el el símbolo símbolo ≥ , mientras que en la primera columna en el último renglón se escribe el símbolo ≤ . 3. En la primera columna columna a parti partirr del segundo renglón se escriben los los nombres nombres de las variables var iables del problema dual (2 variables articiales arti ciales). ).
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4. En el primer renglón se escriben los nombres nombres de las variables del problema problema primal (3) (3)..
5. Se escriben los coecientes de la función objetivo objetivo del modelo modelo primal en el último renglón.
6. Se escribe cada uno de los coeficientes de las restricciones del problema primal en forma horizontal, ocupando los renglones de la tabla.
7. En la última columna columna se escriben las cantidades limitantes de las restricciones del modelo primal.
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8. De esta tabla podemos podemos obtener obtener el modelo dual, lo único que debemos hacer es leerlo de manera vertical y los coecientes de la función f unción objetivo se obtienen de la última columna. ≥
≤
El resultado obtenido es el modelo dual con con el objetivo de maximizar y , así como las restricciones del tipo ≤ (menor igual que). Z max = 9 y1 + 7 y 2 Sujeto a: y1 + 7 y 2 ≤ 5 4 y1 + 3 y 2 ≤ 8 6 y1 + 2 y 2 ≤ 1 y1 , y2 , y 3 ≥ 0
El modelo dual obtenido consta de 2 variables y 3 restricciones, sin contar la restricción de no negatividad, como se había previsto. prev isto. Si bien se ha obtenido el modelo dual asociado a un modelo primal, esto no es suciente para resolver el problema; entonces, es necesario resolver el modelo por el método dual-símplex, y para ejemplicar esto se muestra el siguiente dual por ejemplo hasta la obtención del modelo de programación lineal l ineal apoyándonos en la propiedad de las soluciones básicas complementarias. complementarias.
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Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad dualidad
Ejemplo 2
Resolver el siguiente modelo de programación obteniendo el modelo dual y aplicando el método dual-símplex. Z min = 12 x1 + 7 x 2 Sujeto a: 4 x1 + 2 x 2 ≥ 80 3 x1 + 4 x 2 ≥ 90 x1 , x 2 ≥ 0
La tabla dual está dada por:
Entonces,, el modelo dual de maximi Entonces maximización zación es: Z max = 80 y1 + 90 y 2 Sujeto a: 4 y1 + 3 y 2 ≤ 12 2 y1 + 4 y 2 ≤ 7 y1 , y 2 ≥ 0
Ahora se utiliza el método dual-símplex para resolver el modelo dual. La tabla inicial de este modelo es:
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Matemáticas para negocios
El primer elemento pivote de la tabla inicial es:
Con operaciones entre renglones se obtiene la siguiente sig uiente tabla:
Como en el renglón asociado a la función objetivo todavía se encuentran coecientes negativos, negativos, no se ha completado el proceso, por lo que se identica un nuevo pivote en la tabla obtenida. El nuevo pivote se encuentra en:
De manera similar con el primer pivote, con operaciones básicas entre renglones se resuelve la tabla símple sí mplex: x:
En esta iteración, todos los coecientes del renglón de la función objetivo son no negativos, es decir, mayores o iguales a cero, por lo que el proceso del método dual-símplex ha concluido. concluido. Cabe recordar r ecordar que estamos resolviendo un
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problema primal se obtiene del primal-dual dual , por lo que la solución del modelo primal se valor de los coecientes asociados a las variables de holgura que den el renglón de la función f unción objetivo. objetivo. Es decir:
Por lo que al transferir la solución de la tabla símplex a las variables originales del del problema primal se se tiene:
Con la transferencia de la solución de la tabla a las variables del problema primal concluyee la aplicación del método dual-símplex primal-dual. concluy pri mal-dual.
Ejemplo 3
El desarrollo de tres estrategias de un proceso administrativo de fondos de inversión a largo plazo causa costos de 1, 3 y 2 millones de pesos por año de procesamiento, respectivamente. Cada estrategia genera 10, 20 y 40 millones en benecios por año, en el mismo orden, y se requiere un nivel mín imo de 80 0 millones en benecios para que el negocio sea conveniente conveniente a los inversionistas. Por último se sabe que la diferencia entre el triple de la duración de la estrategia con costo de 3 millones menos la duración de la estrategia de 2 millones debe ser de por lo menos 10 años. ¿Cuál es la duración óptima de cada estrategia que garantiza los benecios esperados y minimiza los costos de administración? Para resolver este problema, primero identicamos que el objetivo del planteamiento es minimizar el importe de los costos totales. • Las restricciones están relacionadas con el nivel mínimo de benecios y la duración de cada estrategia. •
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Con lo anterior podemos denir las l as variables de decisión como: x 1 = Duración en años de la estrategia I. x 2 = Duración en años de la estrategia II. x 3 = Duración en años de la estrategia III.
es: A partir de esta denición el modelo de programación lineal primal es: Z min = x1 + 3 x 2 + 2 x3 Sujeto a: 10 x1 + 20 x 2 + 40 x 3 ≥ 800 3 x 2 − x 3 ≥ 10 x1 , x 2 , x 2 ≥ 0
(1) (2)
(3)
Restricción de la utilidad míni mínima. ma. Restricción Restr icción de la duración de las estrategias II y III. Condición de no negatividad.
La tabla dual está dada por:
Entonces,, el modelo dual de maximi Entonces maximización zación es: Z max = 800 y1 + 10 y 2 Sujeto a: 10 y 1 ≤ 1 20 y1 + 3 y 2 ≤ 3 40 y1 − y 2 ≤ 2 y1 , y2 , y 3 ≥ 0
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Ahora se utiliza el método símplex para resolver el modelo dual. La tabla inicial de este modelo es:
El primer elemento pivote de la tabla inicial es:
Con operaciones entre renglones se obtiene la siguiente sig uiente tabla:
Como en el renglón asociado a la función objetivo todavía se encuentran coecientes negativos, negativos, no se ha completado el proceso, por lo que se identica un nuevo pivote en la tabla obtenida. El nuevo pivote se encuentra en:
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De manera similar con el primer pivote, con operaciones básicas entre renglones se resuelve la tabla símple sí mplex: x:
En esta iteración todos los coecientes del renglón de la función objetivo son no negativos, es decir, mayores o iguales a cero, por lo que el proceso del método símplex ha concluido. Cabe recordar que estamos resolviendo un problema dual , por lo que la solución del modelo primal se obtiene del valor de los coecientes asociados a las variable var iabless de holgura que den el renglón de la función objetivo. objetivo.
Es decir:
Por lo que al transferir la solución de la tabla símplex a las variables originales del del problema primal se se tiene:
Lo cual cua l signica que la solución del problema problema primal está está dada por: x 1 = 0 años de la estrategia I. x 2 = 8.571 años de la estrategia II. x 3 = 15.714 años de la estrategia III. Con un costo total míni mínimo mo de Z min = $57,143,000.00
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En la siguiente sección se aplica este método al entorno de los negocios y posteriormente se presenta una un a sección de ejercicios.
4.3. Aplicaciones al entorno de los negocios Cuando ya se conoce el método dual-símplex como un algoritmo útil para resolver modelos de programación lineal, los cuales de manera original tienen como objetivo minimizar, es momento de comenzar a pensar en el entorno donde es posible encontrar problemas con modelos como el descrito previamente. Uno de ellos es el entorno de los negocios, ya que de manera natural, cuando se trate de costos de producción, de ventas o de administración, precisamente nos encontramos en la necesidad de llevar a cabo todos los procesos y actividades act ividades de la empresa al menor costo posible, cumpliendo con ciertos niveles mínimos, por ejemplo,, de productividad. ejemplo La descripción anterior muestra una alta correspondencia con lo que en la sección previa denominamos denomina mos problema primal , es decir, deci r, un problema con objetivo de minimizar y restricciones del tipo ≥ (mayor igual que). A continuación se presentan un ejemplo y varios ejercicios de aplicación a los negocios. negocios.
Ejemplo 4
Para el eciente desempeño de las actividades de u na empresa comercializadora de bienes raíces, se han cuanticado cuanti cado para los departamentos los costos de ventas y administración admin istración en $10,500.00 $10,500.00 y $12,000.00 respectivamente. Mientras que para una casa los mismos costos ascienden asc ienden a $18,000.00 $18,000.00 y $1 $10,000.00, 0,000.00, respectivamente. respect ivamente. La utilidad que reporta cada departamento es de $150,000.00 y de $300,000.00 para cada casa.
La empresa desea reducir al nivel mínimo posible el importe de sus costos totales manteniendo una utilidad de al menos $18,000,000.00, así como la necesidad de que la cantidad de departamentos vendidos a lo menos sea el doble de casas vendidas. ¿Cuál es la combinación óptima de departamentos depar tamentos y casas que se deben comercializar? y, ¿cuál es el importe de los costos totales con el nivel de ventas calculado? Para resolver este problema, primero identicamos que el objetivo del planteamiento es minimizar el importe de los costos totales de la empresa. • Y que las restricciones están relacionadas con el nivel mínimo de utilidades y la cantidad de departamentos y casas vendidas. •
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Con lo anterior podemos denir las l as variables de decisión: x 1 = La cantidad de departamentos vendidos. x 2 = La cantidad de casas vendidas.
A partir de esta denición el modelo de programación lineal primal es: es: ,500 + 12 12,00 ,000 ) x1 + (18,00 ,000 + 10 10,00 ,000 ) x 2 Z min = (10,50 Sujeto a: 150, 000 x1 + 300, 000x 2 ≥ 18, 000, 000 (1 (1)) Restricción de la utilidad míni mínima. ma. (2) Restricción de la cantidad de ventas. ventas. x1 − 2 x 2 ≥ 0 x1 , x 2 ≥ 0 (3) Condición de no negatividad.
Nota que los costos totales son la suma de los costos de ventas y de administ adm inistración ración para cada inmueble, además, como se trata de minimizar costos, los datos de la utilidad se emplean como una restricción. La tabla dual está dada por:
Entonces,, el modelo dual de maximi Entonces maximización zación es: Z max = 18,000,000 y 1 Sujeto a: 150, 000 y1 + y 2 ≤ 22, 500 300, 000 y1 − 2 y 2 ≤ 28, 000 y1 , y 2 ≥ 0
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Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad dualidad
Ahora se utiliza el método símplex para resolver el modelo dual. La tabla inicial de este modelo es:
El primer elemento pivote de la tabla inicial es:
Con operaciones entre renglones se obtiene la siguiente sig uiente tabla:
Como en el renglón asociado a la función objetivo todavía se encuentran coecientes negativos, negativos, no se ha completado el proceso, por lo que se identica un nuevo pivote en la tabla obtenida. El nuevo pivote se encuentra en:
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De manera similar con el primer pivote, con operaciones básicas entre renglones, se resuelve la tabla símple sí mplex: x:
En esta iteración todos los coecientes del renglón de la función objetivo son no negativos, es decir, mayores o iguales a cero, por lo que el proceso del método símplex ha concluido. concluido. Cabe recordar que estamos resolviendo un problema dual , por lo que la solución del modelo primal se se obtiene del valor de los coecientes asociados a las variables var iables de holgura que dan el renglón de la función f unción objetivo. objetivo. Es decir:
Por lo que al transferir la solución de la tabla símplex a las variables originales del del problema primal se se tiene:
está dada por: Lo cual cua l signica que la solución del problema problema primal está departamentos tamentos vendidos. x 1 = 60 depar x 2 = 30 de casas vendidas. Con un costo total míni mínimo mo de Z min = $2,190,000.00 A continuación se presenta un conjunto de ejercicios para resolver y practicar la aplicación del método dual-símplex.
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Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad dualidad
Ejercicios 1. Z min = 6 x1 + 12 x 2 Sujeto a: 2 x1 + 3 x 2 ≥ 26 x1 + 5 x 2 ≥ 20 2. Z min = 16 x1 + 10 x 2 Sujeto a: 3 x1 + 5x 2 ≥ 7 2 x1 + 1x 2 ≥ 5 4 x1 + 2 x 2 ≥ 9 3. Z min = 6 x1 + 8 x 2 + 12 x 3 Sujeto a: 6 x1 + 4 x 2 + 3 x 3 ≥ 60 3 x1 + 2 x 2 + 6 x 3 ≥ 20 x1 , x 2 , x 3 ≥ 0 4. Z min = 7 x1 + 8 x 2 + 6 x 3 Sujeto a: 6 x1 + 4 x 2 + 3 x 3 ≥ 100 3 x1 + 2 x 2 + 9 x 3 ≥ 60 x1 , x 2 , x 3 ≥ 0 5. Z min = 12 x1 + 8 x 2 + 9 x 3 Sujeto a: 10 x1 + 8 x 2 + 9 x 3 ≥ 10 11 x1 + 2 x 2 + 2 x 3 ≥ 60 5 x1 + 10 x 2 + 3 x 3 ≥ 30 x1 , x 2 , x 3 ≥ 0 Resuelve los siguientes problemas e interpreta los resultados resu ltados indicando la decisión que se debe tomar para alcanzar el objetivo. 6. Un colegio privado en planeación planeación estima que los costos costos por gestión escolar escolar de cada alumno de nivel medio es de $7,400.00 y de $9,500.00 para uno de nivel superior. El colegio espera iniciar actividades con al menos 1,250 inscritos en total y requiere de ingresos mínimos de $26,000,000.00, los cuales obtendrá con las utilidades util idades de $26,000.00 y $32,000.00 por alumno
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Matemáticas para negocios
inscrito en el nivel medio y nivel superior, respectivamente. El propósito de resolver este escenario en la etapa de planeación es que, apoyado en los resultados cuantitativos, se determine la cantidad óptima de inscritos i nscritos en cada nivel académico y se estime esti me el monto mínimo de los costos del colegio. 7. Los costos costos por manejo de cuentas en una instit institución ución nanciera dependen del tipo de servicios serv icios que ofrece. En la siguiente tabla se presenta información de las diferentes cuentas que ofrece la institución:
Cuenta
Costo por manejo ($)
Comisión por manejo ($)
Tipo I
360
478
Tipo II
318
424
Tipo III
376
400
La instit institución ución debe manejar un míni mínimo mo de 87 cuentas del tipo I y del tipo III en cualquier combinación, y garantizar comisiones mínimas de $68,298.00. ¿Cuál es la combinación óptima del tipo de cuentas que la institución debe manejar? 8. Tres productos diferentes (A, (A, B y C) que maneja una compañía compañía tienen una demanda mínima de 1,000, 500 y 250 unidades respectivamente. Por otra parte, se conoce que los costos de producción correspondiente a cada producto es de $1 $100.00, 00.00, $125.00 $125.00 y $1 $124.00, 24.00, además que debido a regulaciones reg ulaciones externas, la producción del producto A debe ser al menos el doble de la producción conjunta de B y C. Con este escenario establece las condiciones para minimizar los costos, satisfaciendo las demandas dadas. 9. Considera que se desea realizar una inversión y que existe todo el el capital disponible para tal negocio. Sin embargo, para acceder a tres instrumentos diferentes de inversión A, B y C, la agencia solicita un monto mínimo a invertir en el instrumento A de $70,000.00, además de que exige que la inversión en el instrumento C sea al menos el doble que la cantidad total invertida en los instrumentos A y B. La inversión genera un costo admini administrativo strativo de 6%, 3% y 5% respecto a la cantidad invertida en cada instrumento y cada uno rinde 25%, 45% y 30% respecto a la cantidad invertida. Si se requiere obtener un monto por rendimientos de más de $85,000.00 y un total mínimo por costos administrativos, admini strativos, ¿cuáles ¿cuáles son las cantidades que deben invertirse en cada tipo de instrumento?
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Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad dualidad
10. 1 0. Para trasladar tres materias primas, M1 , M 2 y M3 , necesarias en un u n proceso industriall se tienen que cubrir los siguientes industria sigu ientes costos: costos: $90.00, $60.00 y $30.00 $30.00 por tonelada de materia prima respectivamente, respec tivamente, mientras que los requerimientos de materia prima son: La cantidad total de los tres tipos de materia prima sea mayor a las 55 ton. • La cantidad de M1 al menos sea dos veces la cantidad conjunta de M 2 y M3 más 10 ton. •
¿Qué combinación de materia prima minim minimiza iza los costos bajo estas condiciones?
Autoevaluación 1. Todo problema real tiene asoci asociado: ado: a) Tres modelos de programación lineal. b) Dos o más modelos de programación lineal. c) Dos modelos de programación lineal. d) Un solo modelo de programación lineal. 2. Se utiliza para obtener el modelo dual: a) Tabla inicial. b) Tabla símplex. c) Tabla pri primal mal dual. d) Tabla de valores. 3. Si el problema prima tiene 2 variables y 4 restricciones, el modelo dual tendrá: tendrá: primal l tiene a) 2 variables y 4 restricciones. b) 4 variables y 4 restricciones. c) 2 variables y 2 restricciones. d) 4 variables y 2 restricciones.
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Matemáticas para negocios
4. El método método dual-símplex dual-símplex se utili utiliza za para resolver modelos de programación lineal donde: a) El objetivo es mini minimizar mizar y las restricciones son del tipo ≥ . b) El objetivo es maximi maximizar zar y las restricciones son del tipo ≥ . c) El objetivo es mini minimizar mizar y las restricciones son del tipo ≤ . d) El objetivo es maximi maximizar zar y las restricciones son del tipo ≤ . 5. ¿Cuál es la tabla primal dual del del siguiente siguiente modelo modelo?? Z min = 7 x1 + 8 x 2 + 10 x 3 Sujeto a: x1 + x 2 + x 3 ≥ 10 5 x1 + 3x 2 + 2 x 3 ≥ 15 x1 , x 2 , x 3 ≥ 0
a)
b)
c)
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d)
6. Obtén la tabla primal dual del siguiente modelo: modelo: Z min = 100 x1 + 200 x 2 + 300x 3 Sujeto a: 5 x1 + 10 x 2 + 15 x 3 ≥ 20 x1 + x 3 ≥ 30 x1 + x 2 ≥ 50 x1 , x 2 , x 3 ≥ 0
a)
b)
c)
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Matemáticas para negocios
d)
7) Obtén la tabla primal dual del siguiente modelo modelo Z mi n
= 125 x1 + 175 x 2 + 150 x 3
Sujeto a: x 1 ≥ 1,500 x 2 ≥ 800 x 3 ≥ 500 x1 − 2 (x 2 + x 3 ) ≥ 0 x1 , x 2 , x 3 ≥ 0 a)
b)
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Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad dualidad
c)
d)
8. Resuelve el siguiente modelo modelo de programación lineal con el método dualsímplex: Z min = 12 x + 15 y Sujeto a: 5 x + 12 y ≥ 117 9 x + 6 y ≥ 60 ≥ 0 x , y ≥
a) x = 9.65 ; y = = 0.23 ; Z min = 147.58 b) x = 0.3 ; y = = 10 ; Z min = 147.58 c) x = 0.23 ; y = = 9.65 ; Z min = 147.58 d) x = 10 ; y = = 0.3 ; Z min = 147.58
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Matemáticas para negocios
9. Resuelve el modelo: Z m in
= 10 x 1 + 12 x 2 + 17 x 3
Sujeto a: x 1 ≥ 100 x 2 ≥ 50 x 3 ≥ 25 x1 , x 2 , x 3 a) x 1 b) x 1 c) x 1 d) x 1
≥
0
= 50 ; x 2 = 50 ; x 3 = 50 ; Z min = 2,025 = 100 ; x 2 = 50 ; x 3 = 50 ; Z min = 2,025 = 50 ; x 2 = 25 ; x 3 = 100 ; Z min = 2,025 = 100 ; x 2 = 50 ; x 3 = 25 ; Z min = 2,025
10. Los costos de manejo de cuentas de tres inversione i nversioness (A, B y C) son $100.00, $100.00, $120.00 $1 20.00 y $ 170.00, respectivamente. Estas inversiones se encuentran encuent ran bajo las siguientes condicion condiciones: es: El índice de rendimiento de cada c ada una es de 10, 12 y 15 puntos por unidad monetaria invertida, por lo que al determinar la cantidad a invertir se debe obtener un puntaje total de por lo menos 1,000 1,000 puntos. • El índice de eciencia comercial es de 3, 1 y 2 puntos por unidad monetaria en inversión, respectivamente, y se espera una eciencia total de por lo menos 500 puntos. • Es requisito de la agencia de inversiones que el importe de inversión en A más el doble de la inversión en C sea mínimo m ínimo de $250.00. •
Con esta información indica las cantidades a invertir en A, B y C, así como el monto total de los costos de manejo de cuentas. a) x 1 b) x 1 c) x 1 d) x 1
= 0 ; x 2 = 0 ; x 3 = 62.5 ; Z min = 23,125 = 125 ; x 2 = 0 ; x 3 = 0 ; Z min = 23,125 = 125 ; x 2 = 0 ; x 3 = 62.5 ; Z min = 23,125 = 0 ; x 2 = 125 ; x 3 = 62.5 ; Z min = 23,125
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Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad dualidad
Respuestas a los ejercicios
1. x 1 = 10 ; x 2 = 2 ; Z min = 84 2. x 1 = 2.5 ; x 2 = 0 ; Z min = 40 3. x 1 = 10 ; x 2 = 0 ; x 3
=
0 ; Z min = 60
4. x 1 = 16 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1.33 ; Z min = 120 5. x 1 = 5.4 ; x 2 = 0.3 ; x 3 = 0 ; Z min = 67.2 6. Las variables de decisión son: x 1 = Cantidad de inscritos en nivel medio. x 2 = Cantidad de inscritos en nivel superior. 400 x1 + 9, 50 500x 2 Z min = 7, 40 Sujeto a: x1 + x 2 ≥ 1,250 26,00 ,000 x1 + 32,00 ,000x 2 ≥ 26,00 ,000,00 ,000 x1, x 2 ≥ 0
x 1 = 1,250 inscritos en nivel medio y x 2 = 0 inscritos en nivel superior, con un costo mínimo de Z min = 9,250,000. Es decir, el colegio deberá iniciar operaciones sólo en el nivel medio.
7. Las variables de decisión son: x 1 = Cantidad de cuentas Tipo I a manejar. x 2 = Cantidad de cuentas Tipo II a manejar. x 3 = Cantidad de cuentas Tipo III a manejar. Z min = 360 x1 + 318x 2 + 376x 3 Sujeto a: 478 x1 + 424 x 2 + 400x 3 ≥ 68, 298 x1 + x 3 ≥ 87 x1 , x 2 , x 3 ≥ 0
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Matemáticas para negocios
x 1 = 87 cuentas Tipo I, x 2 = 63 cuentas Tipo II y x 3 = 0 cuentas Tipo III, con un importe mínimo de Z min = 51,354.00. Es decir, la instit institución ución nanciera deberá manejar sólo cuentas Tipo I y II.
8. Las variables de decisión son: x 1 = Cantidad de unidades Tipo A, a producir. un idades Tipo B, a producir. x 2 = Cantidad de unidades x 3 = Cantidad de unidades Tipo C, a producir. Z mi n
= 100 x1 + 125 x 2 + 124 x 3
Sujeto a: x 1 ≥ 1,000 x 2 ≥ 500 x 3 ≥ 250 x1 − 2 (x 2 + x 3 ) ≥ 0 x1 , x 2 , x 3 ≥ 0 x 1 = 1,500 unidades Tipo A, x 2 = 500 unidades Tipo B y x 3 Tipo C, con un importe mínimo de Z min = 243,500.00
=
250 unidades
9. Las variables de decisión son: x 1 = Cantidad a invertir en el instrumento A. x 2 = Cantidad a invertir en el instrumento B. x 3 = Cantidad a invertir en el instrumento C. Z mi n
=
0.06 x 1 + 0.03 x 2 + 0.05 x 3
Sujeto a: 0.25 x1 + 0.45x 2 + 0.30x 3 ≥ 85, 000 x 1 ≥ 70,000 −2 x1 − 2 x 2 + x 3 ≥ 0 x1 , x 2 , x 3 ≥ 0 x 1 = 70,000 a invertir en el instrumento A, x 2 = 24,285.72 a invertir en el instrumento B y x 3 = 188,571.44 a invertir en el instrumento C, con un 14,357.14 importe mínimo de costos de administración de Z min =
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Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad dualidad
10. 1 0. Las variables de decisión son: x 1 = Cantidad a transportar de M 1. x 2 = Cantidad a transportar de M 2. x 3 = Cantidad a transportar de M 3. Z min = 90 x1 + 60 x 2 + 30 x 3 Sujeto a: x1 + x 2 + x 3 ≥ 55 x1 − 2 (x 2 + x 3 ) ≥ 10 x1 , x 2 , x 3 ≥ 0
x 1 = 40 ton a transportar de M1, x 2 = 0 ton a transportar de M 2 y x 3 = 15 ton a transportar de M3, con un importe mínimo de costos de transporte de Z min = 4,050.00
Respuestas a la autoevaluación 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
c) c) d) a) b) d) a) c) d) c)
