Modeli tla

MODELI TLA ILI KONSTITUTIVNE JEDNADŽBE Prof. dr. sc. Tanja Roje-Bonacci, redoviti profesor, Gra đevinsko-arhitektonski fakultet Sveučilišta u Splitu, ul. Matice hrvatske 15, 21000 Split Ana Lasi ć dipl. inž. gra đ., Conex, Mostar, BiH Zlatan Tali ć, dipl. inž. gra đ., Građevinski fakultet, Sarajevo, BiH

1

MODELI TLA I KONSTITUTIVNE JEDNADŽBE 1.1

Definicija modela

Model je pokušaj da se prirodna pojava, fizikalni proces i drugi doga đaji u prirodi,  prikažu na na čin da bi se moglo predvidjeti njihovo ponašajne. Najjednostavnije prikazivanje   je ravna crta. Kada se ona smjesti u pravokutni koordinatni sustav može ju se opisati   jednadžbom pravca. To je numerički model ravne crte ma što ona zna čila. Primjer u mehanici je linearno – elasti čno ponašanje materijala. I ravna crta i jednadžba pravca te crte u koordinatnom sustavu su MODELI. U mehanici tla se pokazuje velika potreba za izradom modela koji će opisati ponašanje tla   pri promjeni stanja naprezanja. Proračun deformacija u tlu, koje nastaju pod utjecajem vanjskog optere ćenja ili djelovanjem unutarnjih sila, zna čajan je zadatak koji treba riješiti,   jer sigurnost građevine ovisi od deformacijama koje se javljaju tijekom njene izgradnje i trajanja. Fizikalno je jasno da promjena stanja naprezanja izaziva deformaciju, ali doku čiti koliku, malo je ve ća poteško ća. Iz tog su razloga u posljednjim godinama geotehni čari veliku   pažnju posvetili izradi modela kako fizikalnih (ispitivanja u centrifugama, potresnim  platformama i sl.) tako numeričkim, koji su znatno jeftiniji. Velike mogu ćnosti prora čuna na ra čunalima dale su snažan poticaj analiti čkim metodama za rješavanje geotehni čkih zada ća i utrle put novim istraživanjima i modeliranjima. Tu se pojavljuju konstitutivne jednadžbe tj. matemati čki izrazi koji opisuju ponašanje tla pri promjenama stanjima naprezanja. Klasična mehanika tla razlikuju dva odvojena stanja ponašanja tla pod optere ćenjem:

− stanje malih deformacija, koje ne izazivaju slom tla, izu čava se pomo ću teorije elasti čnosti; − stanje velikih deformacija, koje izazivaju slom tla, pri čemu su naprezanja u tlu takva da njihovo malo pove ćanje izaziva velike deformacije pri stalnoj brzini, izu čava se metodom grani čnog stanja plasti čne ravnoteže.

1

Teorija elasti čnosti koristi se kod izu čavanja naprezanja i deformacija tla na razini radnih optere ćenja, gdje nije dosegnuta vrijednost sloma tla. Rješenja se dobivaju teorijama linearne elasti čnosti. Pri izučavanju zemljanog pritiska na potporne gra đevine, nosivost i stabilnost kosina,  proučavaju se grani čna stanja plasti čne ravnoteže tj. uvjeti sloma u tlu. Za rješenja ovih stanja dugo su se koristile grafostati čke metode, kao uostalom i u statici uop će u doba njezinog naglog procvata. Sve tada korištene grafostati čke metode temeljile su se na odabranim MODELIMA od geometrijskih do prora čunskih, samo što ih nitko nije nazivao tim imenom. Sve su te metode pokušavale opisati stanja u gra đevini pri odre đenim optere ćenjima i predvidjeti njihovo ponašanje pri promjeni optere ćenja, U mehanici tla za četnik ove metode je Coulomb, (1776.). Rankine je 1857. istraživao grani čno stanje ravnoteže beskona čnog tijela, te razvio teoriju zemljanog pritiska u mehanici tla. Kasnije su Fellenius 1926. i Terzaghi 1943. razvili metodu grani čne ravnoteže na na čin, kojim su se uspješno koristili u praksi kao inženjeri.

1.2

Počeci

Stanja progresivnog sloma čine sredinu izme đu elasti čnog ponašanja i grani čnog stanja. Teorija progresivnog sloma izu čava elasto-plasti čni prijelaz iz po četnog, linearno-elasti čnog stanja u grani čno stanje sloma s plasti čnim deformacijama. Osnova za dobivanje rješenja pri  progresivnom slomu je odnos naprezanje deformacija tj. konstitutivni izraz za tlo. σ

σ

σ

idealno elastič elasti čno ε

idealno plastič plastično

elasto-plastič elasto-plasti čno

ε

ε

Slika 1 Osnovni modeli idealnog ponašanja tla Kod prakti čne primjene, unutar veli čina optere ćenja, tlo nije linearno elasti čno ni potpuno  plasti čno. Stvarno ponašanje tla je nelinearno, vrlo složeno i promjenjivo ovisno o uvjetima kojima je izloženo, a to ima veliki utjecaj pri odabiru parametara tla za geotehni čke  prora čune (Atkinson, 2000.) Zadnjih dvadesetak godina razvija se znanstveni pristup konstitutivnom modeliranju tla. Koncept kriti čnog stanja tla nastao je na sveu čilištu u Cambridgeu pedesetih godina po idejama Roscoe i sur. (1958., 1968.). Daljnjem razvoju pridonijeli su Schofield, Wroth i Palmer (prema Chen 1975.). U razvoju ovog koncepta polazi se od stava, da u analizi   ponašanja tla za odnos naprezanje – deformacija, treba koristiti princip kakav se nekoliko 2

desetlje ća ranije po čeo primjenjivati u modeliranju elasto-plasti čnog ponašanja metala.  Naravno, postoji znatna razlika u ponašanju tla i metala. Iako je model ponašanja prvobitno razvijen za normalno konsolidirane gline i malo prekonsolidirane gline, vjeruje se da uz izvjesne prilagodbe, može poslužiti za opisivanje mehani čkog ponašanja svih vrsta tla. Idealizacija je potrebna da bi se dobili matemati čki jednostavni konstitutivni modeli za  prakti čnu primjenu. Izbacuje se čimbenik vremena da bi se mogla primijeniti teorija elasti čnosti i plasti čnosti. Zbog mnogobrojnih varijacija i kombinacija ponašanja tla i optere ćenja, ne može se u potpunosti opisati stanje tla jednim matemati čkim modelom, te se odre đeni modeli prilago đavaju tako, da se sa zadovoljavaju ćom točnoš ću primjenjuju za odre đena rješenja u mehanici tla. Pri prora čunu se koriste odre đeni programski paketi koji rade na principu metode kona čnih elemenata. Nove metode prora čuna na ra čunalima imaju mogućnost uklju čivanja realnije slike tla. Za slom se primjenjuje plasti čni model, a za stanja daleko ispod razine sloma, elasti čni model (Maksimovi ć, 2001.). Uz pomo ć najnovijih metoda prora čuna teorije mehanike kontinuuma, kao što su hiper ili hipo-elasti čna, teorija plasti čnosti, razvile su se, za primjenu u mehanici tla, kod složenog   ponašanja tla uključuju ći pojavu neelasti čnosti, interakciju voda–tlo, vremensku ovisnost, uvijete dinami čkog i cikli čkog optere ćenja, visko-elasti čna i visko-plasti čna teorija (Chen i Saleeb, 1982.). Tu može do ći do mimoilaženj izme đu teorije i prakti čne primjene teoretskih znanja, zbog složenosti teorije, čime se gubi smisao modeliranja. Kriterij vrednovanja modela treba razmatrati ravnotežu   zahtijeva s gledišta mehanike kontinuuma , teoretski,   zahtijeva stvarnog prikazivanja ponašanja tla na osnovu terenskih i laboratorijskih ispitivanja, eksperimentalno i   zahtijeva za jednostavnoš ću primjene modela , numeri čki. To su tri osnovna kriterija vrednovanja modela u mehanici tla. Konstitutivne jednadžbe su neophodne kod svih metoda mehanike tla: planiranja i vrednovanja laboratorijskih i terenskih ispitivanja, analiti čkog i numeri čkog predvi đanja ili  povratne analize naprezanja i deformacija unutar samog tla. U zadnjih 20-30 godina razvojem ure đaja za ispitivanje materijala te ra čunalnom revolucijom, pove ćanjem kapaciteta ra čunala, mogu ćnoš ću unosa ve ćeg broja podataka pri numeri čkoj analizi, omogu ćeno je brže i jednostavnije modelirati teže i zahtjevnije modele nego što su linearno elasti čni i idealno plasti čni model. Svi materijali uklju čuju ći i tlo imaju ograni čenu čvrstoću koja ograni čava podru č je mogućih stanja naprezanja. Unutar tog podru č ja, zavisnost između naprezanja i deformacija, koju treba opisati odgovaraju ćim konstitutivnim jednadžbama za element tla mnogo je složenija od konstitutivnih jednadžbi za beton ili čelik. Odnos naprezanje – deformacija za   ponašanje tla je izrazito nelinearno, neelastično, zavisi od prethodne povijesti naprezanja i 3

deformacija, ima «hereditirani» karakter, zavisi od brzine deformiranja, grani čnih uvjeta i drugih faktora (Ishihara i sur. 1975.). Zna čajni napori su napravljeni koriste ći i primjenjujući nove eksperimentalno-istraživa čke  pristupe pogotovo u troosnom ure đaju, matemati čki oblikujući različite konstitutivne izraze,  prilago đavajući ih metodi kona čnih elemenata i metodi kona čnih razlika. Predvi đanje deformacija tla izazvanih gra đevinskim zahvatima jedna je od zna čajnijih zada ća u geotehnici. Potreba za takvim predvi đanjima javlja se pri procjeni slijeganja temeljnog tla i me đusobnog utjecaja gra đevina–temelj–tlo. Postupci predvi đanja deformacija tla temelje se na mehanici kontinuuma, prakti čno to se sužava na primjenu teorije elasti čnosti koja zahtijeva poznavanje parametara stišljivost tla u okolini mjesta djelovanja optere ćenja. Parametri stišljivosti se odre đuju laboratorijskim i terenskim postupcima u okviru geotehni čkih istražnih radova (Szavits-Nossan, Kova čevi ć, 1994.). Dugo se smatralo da se krute i prekonsolidirane gline ponašaju kao linearno elasti čni materijali, odnosno da se dodatna naprezanja u takvim materijalima ponašaju po pravilima teorije elasti čnosti. Teza je bila podržavana istraživanjima ponašanja prekonsolidiranih glina u laboratorijskim ure đajima, (troosni ure đaj). Druga je teza podržavana pokazateljima da uspravna dodatna naprezanja malo malo ovise o odnosu naprezanja i deformacija (Jardine i sur., 1986.). Točnost predvi đanja slijeganja temeljnog tla ovisi o izboru rezultata dobivenih terenskim i laboratorijskim ispitivanjima i predvi đenih pretpostavki. Ovaj problem je prisutan kod   plitkih temelja, građevnih jama i savitljivih potpornih konstrukcija. Premala krutost laboratorijskih uzoraka krutih glina pripisivala se njihovoj raspucanosti, poreme ćaju pri uzimanju uzorka iz tla te ugradnji u laboratorijski ure đaj. Krajem sedamdesetih i po četkom osamdesetih godina razvija se ure đaj za mjerenje malih deformacija na površini uzorka tla, prvenstveno pri troosnim pokusima (Burland i sur., 1982., Jardin i sur., 1984. i Goto i sur., 1991.) s mogu ćnoš ću mjerenja relativnih deformacija do 0,01%. Rezultati pokusa pokazali su da teza o ponašanju krutih glina kao linearno elasti čnih materijala nije to čna.  Nameću se dva zaklju čaka. Prvo, u podru č ju malih deformacija ponašanje tla i krutih glina izrazito je nelinearno, a ne linearno kako se pretpostavljalo. Posmi čna krutost tla u podru č ju  posmičnih deformacija od 0,01% do 1% pada s porastom deformacija i preko deset puta. Drugo, posmi čna krutost tla pri malim deformacijama izrazito je ve ća od one mjerene klasi čnim laboratorijskim ure đajima. Razlog tome je zna čajna razlika u mjerenju deformacijama klasi čnim načinom preko kape i podnožja uzorka u odnosu na mjerenje deformacija izravno na površini uzorka tla. Sli čni su rezultati dobiveni i za tla ve će krutosti. 4

Razvoj tehnologije mjerenja malih i vrlo malih deformacija na površini uzoraka tla, doveo  je do novih saznanja o ponašanju tla pri smicanju. Paralelna istraživanja opaženih mjerenja deformacija tla pri raznim geotehni čkim zahvatima na terenu potvrdila su ova laboratorijska istraživanja (Burland, 1989.). Mnogi pokazatelji ukazuju na ovisnosti posmi čne krutosti o relativnoj posmi čnoj deformaciji, kao što je dobiveno opisanom tehnologijom za monotona statička opterećenja, što se podudara sa ve ć ranije poznatim ovisnostima dobivenim pri dinami čkim laboratorijskim pokusima npr. pokus rezonantnog stupca (Atkinson i Sallfors, 1991.) Ovo tako đer pokazuje da su dinami čki pokusi primjereni za analize sa stati čkim optere ćenjem. Tako se novom tehnologijom mjerenja malih deformacija u laboratoriju smanjuje razlika pri poimanju stati čke i dinami čke posmi čne krutosti tla.

2

DEFINICIJE NAPREZANJA I DEFORMACIJA I NJIHOVA VEZA 2.1

Naprezanje

Model materijala može se opisati skupinom jednadžbi koje opisuju odnose izme đu naprezanja i deformacija. Model se može izraziti tako da se infinitezimalne promjene naprezanja povezuju s infinitezimalnim promjenama deformacija.   Naprezanje se prikazuje tenzorom opisanim matricom u Cartesievom koordinatnom sustavu (Chen, Baldi, 1985.): ⎡σ xx σ xy σ xz ⎤ ⎢ ⎥ σ = ⎢σ yx σ yy σ yz ⎥ ⎢ σ zx σ zy σ zz ⎥ ⎣ ⎦

( 1)

Kako je tenzor naprezanja u standardnoj teoriji deformacije simetri čan proizlazi da je: σxy=σyx, σyz=σzy i σzx =σxz, pa izraz za naprezanje u vektorskom obliku sadrži šest komponenti i glasi: 

σ = (σ xx σ yy σ zz σ xy σ yz σ zx )T 

( 2)

ili u ravninskom stanju: σyz=σzy=0 . 

Usvoji li se Terzaghi-jev princip efektivnih naprezanja, totalna se naprezanja σ ,   prikazana u vektorskom obliku, sastoje od vektora efektivnih naprezanja σ′ i vektora pornog    pritiska u:    ( 3) σ = σ′ + u . U takvom se modelu može pokazati da su posmi čna naprezanja invarijanta, tj. ako je prema Mohr-ovom zakonu naprezanja u ravnini, posmi čno naprezanje:

τ=

σ1 − σ3 2

( 4) 5

onda je to isto naprezanje izraženo u efektvnim naprezanjima: σ′ − σ′ (σ − u ) − ( σ 3 − u ) σ1 − σ 3 τ′ = 1 3 = 1 = 2 2 2

( 5)

iz čega proizlazi da je:

τ'=τ .

( 6)

Modeli materijala za tlo i stijenu se op ćenito prikazuju kao odnos izme đu infinitezimalnih   promjena efektivnih naprezanja i infinitezimalnih promjena deformacija. U ovom odnosu infinitezimalne promjene efektivnih naprezanja su prikazane kao vrijednosti naprezanja na slici 2:

Slika 2 Uobi čajeni trodimenzionalni koordinatni sustav i konvencija za predznake za naprezanje (Timošenko, Gudier, 1962) Pri oblikovanju modela materijala, češće se koriste glavna naprezanja umjesto  pravokutnih komponenti naprezanja (Cartesieve komponente naprezanja). Glavna naprezanja su naprezanja u pravcu onog koordinatnog sustava, kod kojeg su sva posmi čna naprezanja   jednaka nuli. Glavna naprezanja su, u stvari, karakterističan broj tenzora napona. Glavna efektivna naprezanja se mogu prikazati na sljede ći na čin:

det(σ ' − σ ' I )

( 7)

gdje je  I  identitetska matrica. Ova jednadžba daje tri rješenja za σ’ , npr. glavna efektivni naprezanja ( σ’1, σ’2 , σ’3 ).

6

2.2

Deformacija

Deformacija je tenzor koji se može prikazati matricom u pravokutnim koordinatama kao (Chen, Baladi, 1985):

⎡ε  xx ⎢ ε  = ⎢ε  yx ⎢⎣ε  zx

ε  xy

ε  xz  ⎤

ε  yy

ε  yz  ⎥

⎥

( 8)

ε  zz  ⎥⎦

ε  zy

Prema teoriji malih deformacija, samo suma komplementnih pravokutnih komponenti  posmičnih deformacija εij i ε ji daje deformaciju smicanjem. Ova vrijednost je prikazana kao deformacija smicanja γ. Stoga se umjesto εxy , εyx. εyz, εzy , εzx i εxz mogu respektivno koristiti komponente deformacije smicanja γxy , γyz i γzx (Chen, Baladi, 1985). U skladu s gore danim uvjetima, deformacije se često pišu u obliku vektora koji uklju čuje šest razli čitih komponenti: ε  = (ε  xx

ε  yy

ε  zz  γ  xy

γ  yz  γ  zx ) T 

( 9)

dok je za ravninsko stanje deformacija (Chen, Baladi, 1985):

εzz = γxz = γyz = 0. ¸

( 10)

Za elastoplasti čne modele, koji se koriste u praksi, deformacije su podijeljene na elasti čne i plastične komponente (Hill, 1950):

ε = εe+ ε p

( 11)

U ovom radu, indeks e će se koristiti kao oznaka za elasti čne deformacije, a indeks  p će se koristiti za odre đivanje plastičnih deformacija.

2.3

Veza naprezanja i deformacije

Veza naprezanja i deformacije predstavlja MODEL materijala ili njegovu konstitutivnu   jednadžbu. Modeli materijala za tlo i stijenu se generalno prikazuju kao odnos između infinitezimalne promjene vrijednosti efektivnog naprezanja i infinitezimalne promjene vrijednosti deformacije. Ovaj odnos se može prikazati u obliku (Timošenko, Gudier, 1962): 



  ' = M  ⋅ ε  σ 

( 12)

gdje je M  matrica krutosti materijala. Treba uo čiti da su pri ovakvom pristupu porni pritisci eksplicitno isklju čeni iz odnosa naprezanje-deformacija (to čka iznad simbola odnosi se na infinitezimalne vrijednosti).

7

3

MODELI TLA PRI STATI ČKIM UVJETIMA ISPITIVANJA 3.1 3.1.1

Elastični, plastični i elastoplastični modeli Opć enito o moguć nosti modeliranja u stati č kim uvjetima

Elastični model predstavlja pogodan mentalni okvir za odre đivanje konstitutivnih (naprezanja-deformacija) odnosa za tlo, jer kvalitativno dobro opisuje glavne oblike   ponašanja (elastičnost – plasti čnost). Elastoplasti čni model daje stvarniju sliku o deformacijama nastalim prije kona čnog plastičnog sloma, slika 3. σ 1 2

  e    j   n   a   z   o   e   n   r    d   p   a   a   r   n

  a   o    t   s   r   v

4

3

  a   n   a    l   a          ć   u    t   o    d    i   s   z   r   v   e   r          č

         ć

         č

1 - i d e a l n o e l a s t ič n o 2 - i d e a l n o p l a s t ič n o 3 - realno tlo 4 - linija rastere ćenja

ε

ε - r e l a ti v n a d e f o r m a c i j a

Slika 3: Krivulje odnosa naprezanja i deformacija Realno tlo približno odgovara modelu idealno elasti čnih materijala, samo za ograni čeno  područ je primjene glavnih naprezanja. Za dosada razmatrane probleme, zadovoljavaju ća su rješenja dala teorija elasti čnosti i rješenja pomo ću edometarskog modela tla. Kada odnos glavnih naprezanja prekora či određeni raspon, deformacije po činju rasti znatno brže od  prirasta naprezanja i na kraju postaju vrlo velike. To je grani čno stanje plasti čne ravnoteže,  pri kojem počinje plastično tečenje sa znatnijim deformacijama. Laboratorijskim i terenskim  pokusima mogu se dobiti krivulje odnosa naprezanje –deformacija prikazane na slici 4.        )

         3

    σ    −          1

1

2

    σ        (       5  .        0

SLOM 3 5

4

1 - hidrostatski model 2 - edometarski model 3 - troosni model 4 -  probna ploča 5 -  pritisak sa slobodnim bočnim širenjem

ε

Slika 4 Krivulje naprezanje-deformacija iz laboratorijskih i terenskih ispitivanja 8

Iz slike 4 se dade zaklju čiti da ponašanje tla ovisi o odnosima naprezanja i deformacija u zadanim uvjetima. Naj češće korišteni, edometarski model, je model s o čvršćavanjem kao i troosni modeli sa bo čnim pritiskom. Pri pokusima smicanja sa velikim deformacijama  javljaju se modeli s omekšavanjem do sloma. Slično se mogu ponašati i rezultati terenskih ispitivanja probnom plo čom. Edometarski pokus je pokus u kojem se javlja troosnostanje naprezanja i jednoosno stanje deformacija, koje je jednostavno pratiti. Kako je bo čno širenje sprije čeno to porastom naprezanja dolazi do smanjenja zapremine do trenutka dok daljnja deformacije više nije moguća. Iz tog se razloga javlja o čvršćavanje. U svom izvornom radu Duncan i Chang (1970) objašnjavaju osnovnu mogu ću vezu naprezanja i deformacija za nelinearne elasti čne modele. Objašnjenje je prikazano na slici 5. (σ1−σ3)/2 2 1

(σ1−σ3)/2

3

3 2 1 tangentno

iterativno ε

ε

Slika 5 Mogu ći na čini približnog odre đivanja nelinearnih odnosa naprezanje-deformacija (Duncan i Chang 1970)  Najčešće korišteni laboratorijski pokus za dobivanje veze izme đu naprezanja i deformacije je edometarski pokus. Iz rezultata tog pokusa može se odrediti sekantni i tangentni modul za po volji odabranu razinu naprezanja, odre đenu intervalom ∆σz. Za to se odabere određeni odsječak naponsko-deformacijske krivulje kako je to prikazano na slici 6. ∆σ z

∆εz

σz

εz Mk 

σz

Slika 6 Rezultati ispitivanja stišljivosti sa sprije čenim bočnim širenjem (edometarski pokus); gore relativna deformacija, dolje modul stišljivosti u funkciji naprezanja 9

Za svaki po volji odabrani odsje čak krivulje može se odrediti takav modul prema  jednadžbi:

∆σ 'z M k  = ∆ε z

( 13)

Pri ovakvom postupku odre đivanja modula stišljivosti M k , odsje čak relativne deformacije ∆ε z određuje se za svaki porast optere ćenja ∆σ′z na na čin :

∆ε z =

∆h i − ∆h i−1 h 0 − ∆h i−1

( 14)

 pri čemu je: h0, početna visina uzorka u edometru; ∆hi, smanjenje visine pri promatranom optere ćenju; ∆hi-1 , smanjenje visine pri prethodnom stupnju optere ćenja, prikazano na slici 7. ∆σzi ∆hi−1

∆hi

 pore h0 čvrste čestice

Slika 7 Skica promjene visine uzorka u edometru pri promjeni optere ćenja na uzorku Ako se pri izu čavanju sekantnog modula bira sve manji odsje čak na deformacijskoj krivulji, tj. ako odsje čak naprezanja ∆σ′z teži nuli, dobije se tangentni modul stišljivosti u obliku: M k (tan gentno ) =

dσ′z dε z

( 15)

Veli čina prirasta deformacije, ∆ε z , uslijed prirasta naprezanja, ∆σ′z , za po četno naprezanje, p 0, je:  p 0 + ∆σ′z

∆ε z =

∫   p 0

dσ′z M k (σ′z )

( 16)

Rješenje integrala ovisi o obliku funkcionalne veze izme đu modula stišljivosti M k  i naprezanja σ′z . Jednostavno se rješenje dobije za linearnu vezu tipa:

10

Mk ( σ ′z )=M 0+k ∗ σ′z

( 17)

Kada je k=0, modul stišljivosti je konstanta pa je naprezanje i deformacija linearno ∆σ ′ zavisno, jednostavnog oblika ∆ε = z . M k  Jambu (1967) je pokazao da se u edometarskom modelu tangentni modul stišljivosti može dobro opisati empirijskim izrazom:

⎛ σ′  ⎞ M k  = m ∗ p a ⎜⎜ z ⎟⎟ ⎝  p a  ⎠

(1−a )

( 18)

gdje je: m, modulni broj  pa, referentni pritisak (100 kPa) a, eksponent naprezanja. Oblik ove jednadžbe je zanimljiv jer se pojavljuje u daljnjim analizama nelinearno elasti čnih modela. Postoji velik broj pokušaja da se koncept modela poboljša, ali sve promjene i pored djelomi čno uspješnih rezultata, nažalost, ne doprinose jednostavnosti i kvare eleganciju osnovnog modela. Teško je i nabrojati modele koji su do sada predlagani, broj parametara raste na više desetina, od kojih se neki mogu mjeriti a neki se pretpostavljaju kako bi se dobila dobra suglasnost izme đu matematički određenog modela i pokusom dobivenih   podataka. I kada model dobro imitira pokus, što predstavlja nužan uvjet za njegovu   prihvatljivost, ostaje i niz drugih testova koji trebaju pokazati da će se on zadovoljavaju će   ponašati i po proizvoljnim putanjama naprezanja koje se mogu pojaviti pri rješavanju  praktičnih zadataka. Konstitutivne jednadžbe u mehanici kontinuuma predstavljaju analiti čki izraz veze izme đu trenuta čnog stanja naprezanja u nekoj materijalnoj to čki kontiniuuma i povijest deformacijskih stanja kroz koja je bliska okolina te to čke prošla. Te jednadžbe predstavljaju vezu izme đu gradijenta polja pomaka materijalnih to čaka deformiranog tijela i pola naprezanja u tom tijelu. Preko njih ulaze mehani čka svojstva pojedinog materijala u  jednadžbe gibanja deformiranog tijela. Dosada je u literaturi predložen niz razli čitih konstitutivnih jednadžbi za tla, o čemu   postoje opširni pregledi (ISSMFE 1977, ISSMFE 1985). Za sada ne postoji ni jedna konstitutivna jednadžba koja bi opisala svu složenost mehani čkog ponašanja tla u razli čitim uvjetima u kojima se tlo može na ći.

11

3.2

Elastični modeli

U ove modele spadaju: 1) Linearno-elasti čni model; 2) Duncan-Chang model (nelinearni hiperboli čni elasti čni modeli); 3) Anizotropno elasti čni model (model ispucale stijene). 3.2.1  Linearno-elasti č ni model 

Jedan od najjednostavnijih modela tla je linearno elasti čni model u kojem su naprezanja izravno proporcionalna deformacijama, prema jednadžbi 17 za vrijednost k=0. Ovaj se model naj češće koristi u prora čunima slijeganja u mehanici tla jer odgovara pretpostavci da se tlo   pri malim deformacijama ponaša linearno elastično. Tuma čenje se može na ći u literaturi (Roje-Bonacci, 2003.), a prikazano je i na slici 8. q=0,5(σ1- σ3)

LINEARNO ELASTIČAN MODEL

ČVRSTOĆA TLA q f 

q f  2 qf  5

UZORAK TLA

PODRUČJE RADNIH  NAPREZANJA

ε

Slika 8 Objašnjenje pretpostavke o linearnom ponašanju tla Linearno elasti čni model je temeljen na Hooke-ovom zakonu. Postoje četiri parametra materijala za jedan elasti čni model: Youngov modul elasti čnosti E, Poissonov koeficijent ν, koeficijent zapreminske deformacije K i modul smicanja G, a samo dvije se traže za puni opis materijala. Konstante proporcionalnosti su Youngov modul elasti čnosti E i efektivni Poissonov koeficijent ν'. Young-ov modul (E), modul elasti č nosti 

Young-ov modul se koristi kao osnovni modul krutosti u elasti čnom modelu tla. Ima dimenzije naprezanja. Vrijednosti parametra krutosti usvojenih u prora čunu trebaju posebnu   pažnju jer se pokazalo da pretpostavka o linearnom ponašanju tla kod malih deformacija često nije ispravna. Naime, materijali pokazuju nelinearno ponašanje ve ć pri samom po četku optere ćenja. Uobi čajeno je da se po četni nagib deformacijske krivulje ozna či kao E0, a vrijednost sekantnog modula pri 50% čvrstoće je ozna čen kao E 50 (vidi sliku 9). Za materijale sa ve ćim opsegom linearne elasti čnosti realno je koristiti E 0, ali za optere ćenje tla 12

se op ćenito koristi E 50 . Razmatraju ći probleme rastere ćenja, kao što je to slu čaj kod tunela i iskopavanja, potrebno je koristiti parametar koji se može utvrditi pri povratnim deformaciojama tj rastere ćenju (vidi sliku 3, linija 4), E ur  umjesto E50 .

Slika 9 Definicija modula  E 0 i E 50 za standardni drenirani troosni pokus (Yong, Townsend, 1980) Za tla, i modul rastere ćenja Eur  i modul optere ćenja E50 imaju tendenciju da rastu s  povećanjem pritiska. Stog se u dubokmi slojevima tla može o čekivati veća krutost u odnosu na plitke slojeve. Takva krutost zavisi od traga naprezanja koji slijedi. Krutost je dosta ve ća za rastere ćenje i ponovno optere ćenje nego za primarno optere ćenje. Kada se koristi model s konstantnim modulom elasti čnosti (stišljivosti) za predstavljanje ponašanja tla mora se izabrati vrijednost koja odgovara razini naprezanja i odgovaraju ćem tragu naprezanja  Poisson-ov koeficijent (v)

Poisson-ov koeficijent je po definiciji omjer uzdužne i popre čne deformacije:

ν=

ε poprečop ε uzdužno

( 19)

U tlu ovaj omjer nije ni približno jednostavan kao kod na pr. čeli čnog štapa ili betonske kocke. Prilikom razmatranja Poisson-ovog koeficijenta u tlu, valja uvijek imati na umu da se u tlu deformiraju isklju čivo pore, dok  čvrste čestice, prema temeljnoj pretpostavci, ne mijenjaju svoj oblik za razinu radnih naprezanja. Deformacije nastaje me đusobnim klizanjem i kotrljanjem čestica na ra čun smanjenja pora. Kako je u edometarskom pokusu sprije čeno bo čno širenje to je bo čna deformacija ε b = 0   pa preostaje isključivo uspravna deformacija εz iz jednadžbe 14. Proizlazi da je za takav model Poissonov koeficijent ν=0.

13

U dreniranom troosnom pokusu mogu će je Poissonov koeficijent ν odrediti za svaku napose odabranu razinu naprezanja odnosno inkrement naprezanja ∆σz kao i sekantni i tangentni modul, prema izrazu:

ν=

∆ε z − ∆ε v 2 ∆ε z

( 20)

gdje je εz uspravna, osna deformacija a εv zapreminska deformacija. Obje ove vrijednosti mogu se u spomenutom pokusu izmjeriti. Pri ispitivanju uzoraka tla može se primijetiti da standardni drenirani troosni pokusi mogu rezultirati sa zna čajnim koeficijentom smanjenja zapremine pri samom po četku osnog optere ćenja i vezano s tim, imaju nisku po četnu vrijednost Poisson-ovog koeficijenta. Za slu čajeve rastere ćenja, može biti realno koristiti tako nisku po četna vrijednost, ali generalno kada se koristi Mohr-Coulomb-ov model tla preporu čuje se upotreba ve ćih vrijednosti. Izbor vrijednosti Poisson-ovog koeficijenta je jednostavan kada se koristi elasti čni model ili Mohr-Coulomb-ov model tla. U drugim slu čajevima to je mnogo složenije. Veza s ostalim deformacijskim karakteristikama

Odnos izme đu Young-ovog modula  E  i drugih modula krutosti kao što su moduli smicanja G, modul kompresije  K, i edometerski modul  E oed  ,   je dat u jednadžbama koje slijede (Hill, 1950): G

=

 K  =

 E 

2(1 + v)  E 

3(1 − 2v) (1 − v) E   E oed  = (1 − 2v)(1 + v)

( 21)

Pri proračunu parametara materijala za linearno elasti čni model ili Mohr-Coulomb-ov model, vrijednosti G i  E oed  su dane kao dodatni parametri, izra čunati iz jednadžbe (21).

14

Veza naprezanja i deformacije u linearno-elasti č nom modelu

 Naprezanja i deformacije povezani su slijede ćim izrazom (Timošenko, Gudier, 1962). v' ⎡1 − v' v' ⎡σ  ' xx ⎤ ⎢ v' 1 − v' v' ⎢σ  ' ⎥ ⎢  yy ⎥ ⎢ ⎢σ  ' zz  ⎥ ⎢ v' 1 − v' v'  E  = ⎢ ⎢ ⎥ 0 0 ⎢σ ' xy ⎥ (1 − 2v' )(1 + v' ) ⎢ 0 ⎢ 0 ⎢σ  ' yz  ⎥ 0 0 ⎢ ⎢ ⎥ 0 0 ⎣⎢σ  ' zx ⎦⎥ ⎣⎢ 0

0 0 0 1 2 − v' 0 0

0 0 0 0 1 2 − v' 0

0 ⎤ ⎡ε  xx ⎤ 0 ⎥⎥ ⎢⎢ε  yy ⎥⎥ 0 ⎥ ⎢ε  zz  ⎥ ⎥⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢ε  xy ⎥ 0 ⎥ ⎢ε  yz  ⎥ ⎥⎢ ⎥ 1 ' − v 2 ⎦⎥ ⎣⎢ε  zx ⎦⎥

( 22)

Može se uo čiti da je veza uspostavljena korištenjem samo dva parametra koji su  prethodno pojašnjeni U pojednostavnjenom obliku izraz (22) se može pisati kao: ⎧σ x ⎫ ν 0 ⎡1 − ν ν ⎪ ⎪ ⎢ ⎪σ y ⎪ 0 ⎢ ν 1− ν ν E ⎪ ⎪ ⎨ ⎬= ⎢ ν ν 1− ν 0 ⎪σz ⎪ (1 + ν)(1 − 2ν) ⎢ 1 − 2ν ⎪ ⎪ ⎢ 0 0 0 2 ⎣ ⎪⎩τxy ⎪⎭

⎤ ⎧⎪ε x ⎫⎪ ⎥ ⎪ε ⎪ ⎥⎪ y ⎪ ⎥⎨ ⎬ ⎥ ⎪ε z ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎦ ⎪⎩γ xy ⎪⎭

( 23)

U dvodimenzionalnoj analizi ravninskog stanja deformacija, εz jednak je nuli. Važno je uočiti da kada se ν približava vrijednosti 0.5, član (1-2ν)/2 se približava nuli, a član (1-ν) se  približava ν. Iz toga se vidi da su naprezanja i deformacije izravno povezane konstantom koja opisuje zapreminsku deformaciju. Nadalje, član E/[(1+ ν)(1-2ν] teži prema  beskona čnosti kada se (1-2 ν) približava nuli. To zna či da zapreminska deformacija teži nuli kada se Poissonov koeficijent ν približava vrijednosti 0.5. Primjenjuje se kod prora čuna deformacija u tlu. 3.2.2  Duncan–Chang model 

  Nelinearni elastični model tla predložili su Duncan i Chang 1970., analiziraju ći deformacije nasipa i brana. Parametri modela mogu se dobiti iz rezultata troosnog pokusa.  Naponsko - deformacijska krivulja je hiperbola, koja povezuje devijatorsko naprezanje ( σ1σ3) i osnu deformaciju ε prema izrazu (Konder, 1963., Konder i sur. 1963., 1965):

ε = a − bε (σ1 − σ 3 )

( 24)

Ovisno o stanju naprezanja i tragu deformacije, model sadrži tri modula tla: po četni modul Ei , tangentni modul E t i modul optere ćenje - rastere ćenje Eur .

15

Slika 10: Nelinearna ovisnost naprezanja i deformacija  Po č etni modul E i 

Kada je tlo u hidrostatskom stanju naprezanja tj. kada je σ1-σ3 =0, krivulja odnosa naprezanje – deformacija se modelira koriste ći početni, tangentni modul E i   prema Jambuovom izrazu iz jed. (18) i ovisi o naprezanju σ3 . ⎛ σ  ⎞ E i = K L p a ⎜⎜ 3 ⎟⎟ ⎝  p a  ⎠

n

( 25)

gdje je: Ei, po četni tangentni modul; K L, modulski broj optere ćenja;  pa, atmosferski pritisak (p a = 100 kPa; koristi se kao referentni parametar);

σ3, manje glavno naprezanje n, eksponent kojim se odre đuje utjecaj bo čnog pritiska na po četni modul. Pri tom su n i K brojevi (konstante) koje se dobiju iz rezultata dreniranih troosnih pokusa u laboratoriju. Kada je n=0, E i je neovisan o bo čnom naprezanju, kada je n=1 E i je izravno  proporcionalan bo čnom naprezanju. Da bi se model mogao oblikovati, tj. odrediti konstante n i K, potrebno je iz troosnih  pokusa odrediti po četni tangentni modul E i.  Na slici 11 prikazan je na čin određivanja po četnog tangentnog modula koji je potreban za odre đivanje konstanti u jednadžbi 24.

16

asimptota=(σ1−σ3)loma =       )  

 b

      )  

      3 

      3 

    σ     −

Ei =

      1

    σ        (  

1

1

1

    σ     −

a

    σ        (       /        ε 

      1

ε

 b 1 a

ε

Slika 11 Grafički prikazi rezultata laboratorijskih troosnih pokusa i konstrukcija vrijednosti  početnog modula elasti čnosti Ei (Duncan i Chang 1970.) Zatim se iz rezultata niza pokusa prikazanih krivuljama odnosa σ3 - Ei, na log –log dijagramu odre đuju konstante K i n. Na ovako nacrtanim dijagramima krivulje σ3 - Ei, mogu  biti dobro opisane pravcima.  Na slici 12 prikazani su dijagrami σ3 – E i iz kojih je mogu će odrediti konstante n i K. 1000,0

   ]   a    P    M    [

K=200; n=0,54

   i

   E    l   u    d   o   m    i 100,0   n    t   n   e   g   n   a    t    i   n    t   e   o    P

zbijeni pijesak  K=29,5; n=0,65

rahli pijesak 

         č

10,0 0,01

0,1

1

Pritisak u čeliji σ3 [MPa]

Slika 12 Po četni modul kao funkcija pritiska u ćeliji pri dreniranom troosnom pokusu pijeska (Duncan i Chang 1970.) U literaturi (Maksimovi ć, 2001.) se mogu na ći vrijednosti za koeficijente a i m za Jambuov model, koje su dane u tebeli 1.

17

Tabela 1 Vrijednosti eksponenta, a, i modulskog broja, m, za Jambu-ov izraz (jednadžba 18) za po četni tangentni modul E i Vrsta tla

stanje tla

Šljunak

eksponent «a»

modulski broj «m»

0,5

400 i više

Pijesak 

zbijen srednje zbijen rahli

0,5 0,5 0,5

400-250 250-150 150-100

Prah

čvrst

0,5 0,5 0,5

200-80 80-60 60-40

teško gnje čiv lako do teško gnje čiv Glina

  prašinasta, kruta  prašinasta čvrsta  prašinasta teško gnje čiva organske i morski mulj

Treset

0,0

60-20

0,0 0,0 0,0

20-10 10-5 20-5

0,0

5-1

Tangentni modul E t 

Tlo će slijediti putanju optere ćenja kada je izloženo posmi čnom naprezanju ve ćem od onog kojem je bilo ranije izloženo, od to čke O do to čke A sa slike 10. Na toj putanji optere ćenja, ponašanje tla se modelira tangentnim modulom E t. Tangentni modul u Duncan –  Chang modelu definiran je kao funkcija ( σ1-σ3) i bočnog naprezanja σ3 preko izraza: 2

⎡ R  ( σ − σ 3 )(1 − sin ϕ) ⎤ E t = ⎢1 − f  1 ⎥ Ei 2 c cos 2 sin ⋅ ϕ + σ ϕ 3 ⎣ ⎦

( 26)

gdje je:

ϕ - kut unutarnjeg trenja; c - kohezija; R f  - omjer asimptote hiperbole i posmi čne čvrstoće (od 0.75 do 1.0), ali se može odrediti i iz rezultata dreniranog troosnog pokusa;

σ1 - najveće glavno naprezanje; σ3 - najmanje glavno naprezanje.

18

 Modul optereć enje - rastere ć enje E ur 

Kada se tlo rastereti iz stanja najve ćih posmi čnih naprezanja, od to čke B do to čke C sa slike 10, nelinearni model tla koristi modul optere ćenje - rastere ćenje E ur . Oblik jednadžbe je sli čan kao za po četni modul E i. Modulski broj optere ćenja K L u jednadžbi 25 zamijenjen modulskim brojem optere ćenja-rastere ćenja K ur . Tako se je modul optere ćenja – rastere ćenja Eur  dobije iz izraza:

⎛ σ  ⎞ E ur  = K ur  p a ⎜⎜ 3 ⎟⎟ ⎝  p a  ⎠

n

( 27)

Za razliku od tangentnog modula, modul optere ćenja – rastere ćenja nije ovisan o stanju  posmičnih naprezanja. Ovaj se modul može izra čunati izravno iz krivulja rezultata dreniranog troosnog pokusa, na kraku rastere ćenje- ponovno optere ćenje (pravac 4 na slici 3).  Poissonov koeficijent 

Poissonov koeficijent nelinearnog elasti čnog modela tla može biti uzet kao konstanta neovisna o stanju naprezanja; iz jednadžbe (20) ili može biti izra čunat iz modula promjene zapremine, koji ovisi o bo čnom naprezanju. Modul promjene zapremine dan je izrazom: ⎛ σ  ⎞ Bm = K m p a ⎜⎜ 3 ⎟⎟ ⎝  p a  ⎠

m

( 28)

gdje je: Bm, modul promjene zapremine; K m, modulski broj; m, eksponent zapreminskog modula. Ovaj modul jednak je svojim oblikom po četnom modulu E i, odnosno Jambu-ovom izrazu (jed. 18). Svi ovi izrazi ovise o bo čnom naprezanju σ3, i sadrže u sebi normaliziraju ći  parametar ili referentno naprezanje . Veza izme đu zapreminskog modula i Poissonovog koeficijenta može se odrediti preko teorije elasti čnosti tako da je: 1 ⎛  E  ⎞ ν = ⎜⎜1 − t ⎟⎟ 2 ⎝  3B m  ⎠

( 29)

Ovakav se modul može dobiti ispitivanjem u hidrostatskom stanju naprezanja.

19

3.2.3   Anizotropno elasti  č ni model 

Elasti čna anizotropnost se odnosi na upotrebu razli čitih svojstava elasti čne krutosti u različitim smjerovima. Ovakvim modelima mogu će je opisati ponašanje ispucale stijenske mase te se stoga u literaturi (Newmark, 1977. ) ovi modeli nazivaju i modeli ispucale stijene. Anizotropni elasti čni model je model prilago đen za materijale razli čite krutosti i naprezanja u razli čitim smjerovima. To je model kod kojeg je smjer posmika odre đen kutom nagiba slojeva β (slika 12). Pri tom je otpor na smicanje na ravnini izme đu slojeva razli čit od ostalih otpora na smicanje u bilo kojem drugom smjeru. Kao posljedica toga materijali mogu reagirati razli čito kada se stave u odre đene uvjete u jednom ili drugom pravcu, što je tipi čno za anizotropiju. Model ispucale stijene je anizotropni elasti čno-idealno plasti čni model, pogodan za opis  ponašanja uslojenih i ispucalih stijenskih masa. Ovdje će biti obrađen samo onaj dio modela koji se odnosi na elasti čno ponašanje dok sam model ima i idealno-plasti čni dio. Smatra se da se neporeme ćena stijena ponaša kao popre čno anizotropni elasti čni materijal, definiran s pet parametara i pravcem čvrstoće na smicanje. Anizotropnost može biti  posljedica uslojenosti ili drugog fenomena. U glavnim pravcima pukotina, pretpostavlja se da su naprezanja na smicanje ograni čena u skladu sa Coulomb-ovim kriterijem čvrstoće na smicanje. Pri dostizanju maksimalnog naprezanja na smicanje u tom pravcu će se pojaviti  plastično klizanje. Mogu se odrediti najviše tri ravnine klizanja, pri čemu se uzima da se prva ravnina podudara s pravcem elasti čne anizotropnosti. Svaka ravnina može imati razli čite vrijednosti posmi čnog naprezanja. Vla čna naprezanja ograni čena su vla čnom čvrstoćom koja  je unaprijed određena. Primjena modela ispucale stijene je opravdana kada su prisutne familije pukotina ili skupovi usporednih pukotina. Skupovi pukotina ne smiju biti ispresjecani rasjedima, a veli čina pukotina treba biti mala u odnosu na dimenziju stijenske mase. U mnogim slu čajevima se raspolaže s dovoljno dobrim podacima o dominantnim slojevima tla. Bez sumnje se rijetko raspolaže s rezultatima i troosnih i edometarskih pokusa. Me đutim dobri podaci bar jednog od ova dva pokusa mogu biti dopunjeni podacima in situ ispitivanja i s njima korelirani. Tipi čan primjer za upotrebu ovakvog modela su glinoviti škriljci i tanko uslojeni lapori flišnih serija, koji imaju slabiji otpor na ravnini uslojenosti nego u drugim smjerovima preko ravnine. Model je u osnovi elasti čan model, s razli čitim modulom elasti čnosti u okomitom i tangencijalnom smjeru na me đuslojnoj ravnini. Model ima grani čnu čvrstoću na toj ravni koja je odre đena Mohr-Coulombovim kriterijem sloma tla (GeoSlope). 20

 Na slici 13 se vidi uslojeni tlo koje je anizotropno u lokalnim okomitim smjerovima x ' i y ', a os x ' s globalnom x osi zatvara kut β. ν G xy’; yx’

  ν

  E  y ’

  E  x ’ ;

 y ’ x  ’

  y  ’

β

Slika 13: Anizotropni elasti čni model Anizotropni elasti čni parametri u lokalnom sustavu su odre đeni sljede ćim vrijednostima: - u x' smjeru: Ex' i νx' - u y' smjeru: Ey' - veza izme đu x ' i y ' : G xy νxy Parametar  νxy je Poissonov koeficijent vodoravnih εx' i uspravnih εy' deformacija (u lokalnom koordinatnom sustavu x ' i y') uzrokovanih naprezanjem u y ' smjeru. Ovi parametri moraju zadovoljiti sljede ća ograni čenja (Pickering, 1970): Ex', E y' i G xy > 0,    1 < νx < 1,

(1     νx') > 2(Ex'/E y') νxy' Ostala svojstva ovog modela tla su sljede ća: Kriterij loma je u skladu sa Coulombomvim zakonom u tri pravca i: parametri c i, ϕi i ψi; Ograni čena vla čna čvrstoća u tri pravca i: parametri σt,i. Ponašanje elasti čnog materijala u modelu ispucale stijene je opisano pomo ću matrice krutosti elasti čnog materijala,  D*. Suprotno od Hukovog zakona,  D*–matrica, kao što je korištena u ovom modelu tla je popre čno anizotropna. Razli čite krutosti se mogu koristiti okomito na i u prethodno odre đenom  pravcu (¨Ravnina 1¨). Ovaj pravac može odgovarati  pravcu uslojenosti ili bilo kojem drugom pravcu sa zna čajno razli čitim osobinama elasti čne krutosti.

21

Ako se uzme, npr, vodoravna uslojenost, gdje je krutost u vodoravnom smjeru E 1, različita od krutosti u uspravnom smjeru E 2, tada je pravac ¨Ravnine 1¨ paralelan s x-z ravninom i  postoje sljedeći konstitutivni odnosi (Zeinkiewcz, Taylor, 1989):  xx σ 

ε  xx

=

ε  yy

=−

 E 1

ε  zz  = − γ  xy

=

γ  yz  = γ  zx

=

−

  yy v 2σ 

 xx v 2σ 

 E 2  xx v1σ 

 E 1

 E 2

  yy σ 

+ −

−

 E 2

 zz  v1σ 

 E 1

−

  yy v2σ 

 E 2

 zz  v 2σ 

 E 2

+

 zz  σ 

 E 1

 xy σ 

( 30)

G2   yz  σ 

G2

2(1 + v1 )σ  zx  E 1

Inverzna matrica krutosti anizotropnog elasti čnog materijala ( D*) -1, proizlazi iz gornjih   jednadžbi. Ovo je simetrična matrica. Regularna matrica krutosti materijala  D* se jedino može dobiti numeri čkom inverzijom. Općenito, ravnina uslojenosti ne će biti paralelna sa globalnom x-z ravninom, ali gornje  jednadžbe će, generalno, biti održve za lokalni (n,s,t) koordinatni sustav, gdje je ravnina uslojenosti paralelna sa s-t ravninom. Orijentacija ove ravnine je odre đena pomo ću kuta nagiba i pravca pružanja (vidi jed. 31). Kao posljedica matrica krutosti lokalnog materijala treba da se transformira s lokalnog na globalni koordinatni sistem. Stoga prvo razmatramo transformaciju napona i deformacija: −1

σ  nst  =  R σ  ⋅ σ  xyz 

σ  xyz  =  R σ  ⋅ σ  nst  −1

ε nst  =  R ε  ⋅ ε  xyz 

ε  xyz  =  R ε  ⋅ ε nst 

( 31)

gdje su: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢  Rσ  = ⎢ ⎢n x ⎢ s x ⎢ ⎢⎣ n x

n x2

n y2

n z 2

 s x2

 s y2

 s z 2

t  x2

t  y2

t  z 2

 s x

n y  s y

+ n y  s x t  y + s y t  x t  y + n y t  x

n z   s z  n x  s y

t  x  s y

t  y  s z  t  z 

 s x

t  x

t  y

n x

n y

2n x n y 2n y n z  2n x n z ⎤ ⎥ 2 s x s y 2 s y s z  2 s x s z  ⎥ 2t  xt  y 2t  yt  z  2t  xt  z  ⎥ ⎥ ( 32) n y  s z  + n z   s y n z   s x + n x  s z  ⎥  s y t  z  + s z  t  y  s x t  z  + s z  t  x ⎥ ⎥ n y t  z  + n z  t  y n z  t  x + n x t  z  ⎥⎦

n z  t  z 

i 22

⎡ n 2x ⎢ s2x ⎢ ⎢ t 2x R ε = ⎢ ⎢2 n x s x 2 n y ⎢ 2 sx t x 2 s y ⎢ ⎢⎣2 n x t x 2 n y

n 2y s2y t 2y sy 2 n z t y 2 sz t y 2 nz

n 2z 2n x n y 2n y n z s2z 2sx sy 2s ysz t 2z 2t x t y 2t y t z sz n x s y + n y s x n y sz + n z s y n z t z s x t y + s y t x s y t z + sz t y s x t z nx t y + ny t x ny t z + nz t y nz

⎤ 2n x n z ⎥ 2sx sz ⎥ ⎥ 2t x t z ⎥ ( 33) s x + n x sz ⎥ t z + sz t x ⎥ ⎥ t x + n x t z ⎥⎦

a nx, ny, nz, sx, sy, sz, tx, ty, i tz su komponente normaliziranih n, s i t-vektora u globalne (x,y,z)-koordinate. Za ravninsko stanje vrijedi: n z = s z = t z = 0. Dalje vrijedi da je: −1

 R ε  = Rσ  T 

−1

 Rσ  = Rε  T 

( 34)

Lokalni odnos naprezanje-deformacija u (n,s,t)-koordinatama se može transformirati u globalne odnose u (x,y,z)-koordinatama na slijede ći na čin: σ nst  = D nst ε nst ⎫ *

⎪

*

σ nst  = Rσ σ  xyz  ⎬ ⇒ Rσ σ  xyz  = D nst  Rε  ε  xyz  ε nst  = Rε  ε  xyz 

3.3

⎪ ⎭

( 35)

Plastični modeli

Koncept teorije plasti čnosti sastoji se od tri osnovne veze: uvjet popuštanja, zakon   popuštanja i očvrš ćivanja i uvjet sloma. Plasti čni konstitutivni modeli se razlikuju po   pretpostavljenoj funkciji popuštanja. Odnos naprezanja i deformacija pretpostavlja, da se materijal prije popuštanja ponaša linearno elasti čno po elasti čnim parametrima E i ν odre đenim u modelu i savršeno plasti čno nakon popuštanja. Ukupna deformacija ili odnos deformacijskih komponenti je: dε = dεe + dε p

( 36)

 pri čemu je: dε – ukupna deformacija; dεe – elastična deformacija; dε p – plasti čna deformacija. Generalno, veli čina plasti čne deformacije (u infinitezimalnom obliku) se može pisati kao (Hill, 1950): 

ε p = λ

∂g  ∂σ '

( 37) 23

gdje je: - λ plastični multiplikator; - g funkcija lokalnog plasti čnog potencijala: Za čisto elastično ponašanje λ je nula, dok je u slu čaju plastičnog ponašanja λ pozitivna (Hill, 1950):

λ = 0 za  f < 0 ili

∂ f T    ≤0   D ε  ∂σ ' e

(elasti čnost)

( 38)

λ > 0 za  f = 0 i

∂ f T     D ε  > 0 ∂σ ' e

(plasti čnost)

( 39)

gdje je  f  funkcija vezana s funkcijom plasti čnog potencijala  g. Ove jednadžbe se mogu koristiti za uspostavljanje odnosa izme đu stupnjeva efektivne deformacije za elastoplasti čnost (Smith, Griffin, 1982; Vermeer, de Borst, 1984):

⎛  α ∂g ∂f T  ⎞⎟ ⎜ σ = D e − D e   D e ε ⎜ d ∂σ' ∂σ'  ⎠⎟ ⎝ 

( 40)

∂f T ∂g d =  De  ∂σ' ∂σ'

( 41)

 

gdje je:

Ukoliko je ponašanje materijala elasti čno, kao što je definirano u jednadžbi 38, vrijednost α je jednaka nuli, dok za plasti čnost, prema definiciji jednadžbe 39, parametar  α ima odre đenu vrijednost ve ću od nule (Smith, Griffin, 1982; Vermeer, de Borst, 1984). Gornja teorija plasti čnosti je ograni čena na glatke površine iskorištenja i ne obuhva ća iskorištene površine s mnogobrojnim konturama kao što je prikazano u Mohr-Coulombovom modelu (Smith, Griffin, 1982; Vermeer, de Borst, 1984). U nastavku su opisani osnovni plasti čni modeli: 1) Mohr     Coulombov model; 2) Drucker  Pragerov model; 3) Von Misesov model; 4) Tresca model, od kojih je najjednostavniji i najve ću primjenu u geotehnici ima Mohr –Coulombov model.  Na slici 14 dani su grafi čki prikazi glavnih naprezanja u prostoru za klasi čne teorije sloma.

24

σ1 D ru ck er Prager 

σ1

Vo n M i se s

Tresca

MohrCoulomb

σ2

σ2 σ3

σ3

Slika 14 Klasi čne teorije sloma u prostoru glavnih naprezanja 3.3.1  Mohr Coulombov model 

Mohr – Coulombov slom ili kriterij čvrstoće je u širokoj primjeni u geotehnici. Veliki broj  proračuna pri projektiranju koristi ovaj kriterij sloma materijala. Teorija se zasniva na tome da je slom kontroliran najve ćim posmičnim naprezanjima, a posmi čno naprezanje ovisi o normalnom naprezanju. To se najbolje može prikazati pomo ću Mohrove kružnice za stanje naprezanja pri slomu pri najve ćem i najmanjem glavnom naprezanju. τ

(σ,τ) q=

ϕ σ

c σ3  p =

σ3

σ1

σ1 − σ3 2

σ1

σ1 + σ3 2

Slika 15 Mohr - Coulombov kriterij sloma za ravninsko stanje naprezanja Kad linija čvrstoće tangira Mohrovu kružnicu Mohr - Coulombov kriterij glasi: τ = c + σ ∗ tgϕ

( 42)

gdje je:

τ – posmi čno naprezanje; σ – normalno naprezanje; c – kohezija materijala;

ϕ – kut trenja. 25

S Mohrovog kruga se o čitaju odnosi: τ = q ∗ cos ϕ i σ = − q ∗ sin ϕp

( 43)

Uvrštenjem τ i σ iz jednadžbe 43 u Mohr – Coulombov kriterij se može napisati u obliku: q − p ∗ sin ϕ − c ∗ cos ϕ = 0 ( 44) gdje je: 1 q = ( σ1 − σ 3 ) , 2

( 45)

1  p = (σ1 + σ 3 ) . 2

( 46)

a

Mohr-Coulombov kriterij pretpostavlja da slom ovisi o vrijednosti srednjeg glavnog naprezanja. Iako slom geotehni čkih materijala uključuje mnogo manje ovisnosti od srednjeg glavnog naprezanja, Mohr-Culombov model je jednostavan i koncipiran da bude dovoljno to čan za ve ćinu primjena u praksi. Ovaj model sloma ima vrhove u devijatorskoj naponskoj ravnini kako je to prikazano naslici 16. S2 Drucker-Prager (Mises)

S1

Mohr - Coulomb

S3

Slika 16 Mohr-Coulombov model u devijatorskoj ravnini u usporedbi s Druker-Prager  modelom Konstitutivni model opisuje produžetak klasi čnog Mohr-Coulombovog kriterija sloma. To   je elastoplastičan model koji koristi funkciju popuštanja Mohr-Coulombovog oblika. Ova funkcija uklju čuje izotropnu kompresiju o čvrš ćivanja/omekšavanja. Model koristi   potencijalni tok, koji ima hiperbolični oblik u meridionalnoj ravnini i nema kutova u devijatorskom naponskom stanju. Potencijalni tok je tada u cjelini gladak i omogu ćava  jednaku definiciju pravca plasti čnog toka (ABAQUS). Mohr-Coulombov kriterij napisan u obliku najve ćeg i najmanjeg glavnog naprezanja, može biti napisan za op će naponsko stanje u obliku tri naponske invarijante. Ove invarijante su ekvivalentne naprezanju pritiska: 26

1  p = − trace(σ) 3 Von Misesovo odgovaraju će naprezanje:

ρ=

( 47)

3 (S : S) 2

( 48)

gdje je S = σ + pI – devijator naprezanja. Tre ća invarijanta devijatorskog naprezanja glasi: 9  ⎞ r = ⎛  ⎜ S ⋅ S : S⎟ ⎝ 2  ⎠

1/ 3

( 49)

Mohr-Coulombova funkciju popuštanja tada je: F = R mcρ − p ⋅ tan φ − c = 0

( 50)

gdje su: φ ( θ, f α ) – kut trenja materijala u meridijanskoj naponskoj ravnini, θ je temperatura a f α, α=1,2… prije definirane vrijednosti, c = (ε p , θ, f α ) – razvoj kohezije materijala u obliku izotropnog o čvrš ćavanja ili omekšavanja,

ε p  – plasti čna deformacija, R mc  –Mohr-Coulombovo devijatorsko naprezanje: R mc (Θ, φ) =

Θ

1 π ⎞ 1 ⎛  π ⎞ sin ⎛  ⎜ Θ + ⎟ + cos ⎜ Θ + ⎟ tan φ 3 cos φ ⎝  3 ⎠ 3 ⎝  3 ⎠

( 51)

– devijatorski polarni kut (Chen i Han, 1988) odre đen kao:

⎛ r  ⎞ cos (3Θ) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ρ ⎠

3

σ3

( 52)

σ1=σ2=σ3

σ2 σ1

Slika 17 Mohr - Coulombova ploha popuštanja Kut trenja materijala φ kontrolira oblik plohe popuštanja u devijatorskoj ravnini kao na slici 18. Vrijednost kut trenja može biti izme đu 00≤ φ≤ 900. U slu čaju da je φ =00 MohrCoulombov model se smanjuje od Treskinog modela sa heksagonalnim presjekom; u slu čaju 27

da je φ=90 0 smanjuje se do Rankinovog modela sa trokutnim devijatorskim presjekom i R mc=∞. Ovo ograni čenje nije dopušteno unutar Mohr - Coulombovog modela opisanog ovdje (Mihanovi ć i sur., 1993.). Potencijalni tok je pretpostavljen u obliku: dε p =

dε p δg ρ δσ

( 53)

1 δG ρ = σ: c δσ

( 54)

gdje je G potencijalni tok, izabran kao hiperboli čna funkcija u meridijalnoj naponskoj ravnini i glatka elipti čna funkcija u devijatorskoj ravnini. Φ=0° Rmcq

Drucker-Prager  (Mises)

Tresca (Φ=0°)

φ Mohr-Coulomb (Φ=20°)

c

Rankine (Φ=90°)

 p Φ=2π/3

Φ=4π/3

Slika 18 Mohr-Coulombov ploha popuštanja u meridijalnoj i devijatorskoj ravnini i usporedba s ostalim modelima 3.3.2  Drucker –Pragerov model (pridruženo i nepridruženo pravilo toka)

Drucker – Pragerov model zadan kao funkcija popuštanja je: f  = 3σ m sin φ + J 2 − c = 0

( 55)

gdje su: σm – glavno naprezanje J2 – druga invarijanta naprezanja c, φ – maksimalna ili vršna kohezija i kut trenja materijala σ3

σ1=σ2=σ3

σ2 σ1

Slika 19 Drucker - Pragerova ploha popuštanja 28

Ako se koristi pridruženo pravilo toka, plasti čni potencijal je jednak funkciji popuštanja. Za nepridruženi tok, plasti čni potencijal poslije popuštanja je dat kao (P.I.S.A.): g = 3I1 sin δ + J 2

( 56)

gdje je:

δ- kut dilatacije I1 – prva invarijanta naprezanja 3.3.3

Von Misesov model 

Von Misesov kriterij sloma se može izraziti kao:

f  = q − k = 0

( 57)

gdje je: f – funkcija popuštanja q – druga invarijanta naprezanja k – najve ća ili vršna jednoosna tla čna čvrstoća popuštanja materijala. Ovaj kriterij je naj češće u upotrebi u dvoparametarskim modelima. Najbolje se podudara s eksperimentalnim rezultatima. Jednostavno se zadaje kao: f (J 2 ) = 3J 2 − σ o = 0

( 58)

gdje je:

σo – ekvivalentno jednoosno naprezanje uzeto iz pokusa, J2 – druga devijatorska invarijanta naprezanja. Uvrštavaju ći komponente naprezanja u prethodni izraz dobiva se funkcija popuštanja: f (J 2 ) = σ 2x + σ 2y − σ x σ y + 3τ 2xy − σ 0 = 0 σ3

( 59)

σ1=σ2=σ3

σ2 σ1

Slika 20 Von Misesova ploha popuštanja

29

3.3.4  Tresca model (pridruženo pravilo toka)

Funkcija popuštanja u Tresca modelu je zadana kao: f  = 2q ⋅ cos θ − k = 0

( 60)

gdje su: f– funkcija popuštanja q- druga invarijanta naprezanja k– najve ća ili vršna jednoosna tla čna čvrstoća popuštanja materijala σ3

σ1=σ2=σ 3

σ2 σ1

Slika 21 Tresca ploha popuštanja

3.3.5  Plasti č no ponašanje u tri pravca

Kod anizotropnih modela osim elasti čnog podru č  ja moguće je i potrebno izu čavati  plastično ponašanje u tri pravca. Ova se tri pravca odnose na tri ravnine klizanja koje se mogu pojaviti u modelima ispucale stijene. Prva ravnina klizanja odgovara pravcu elasti čne anizotropnosti. Pored toga se mogu definirati još dva druga pravca klizanja. Me đutim, forumulacija plasti čnosti na svim ravninama je sli čna. Na svakoj ravnini su primijenjeni lokalni Coulomb-ovi uvjeti za ograni čenje naprezanja na smicanje |τ|. Pored toga, je korišten kriterij lomne čvrstoće da se ograni či vršno naprezanje na ravnini. Svaka ravnina, i, ima svoju vrijednost parametara c i, φi, ψi, i σt,i . Ovo su parametri identi čni onima za anizotropni elasti čni model tj.: Kriterij loma je u skladu sa Coulombomvim zakonom u tri pravca i: parametri c i, ϕi i ψi; Ograni čena vla čna čvrstoća u tri pravca i: parametri σt,i. U cilju provjere uvjeta plasti čnosti za ravninu sa lokalnim (n,s,t) koordinatama, neophodno je izra čunati lokalna naprezanja za Cartesian-ova naprezanja. Lokalna naprezanja uključuju tri komponente, npr. komponente normalnog naprezanja, σn i dvije nezavisne komponente naprezanja na smicanje, τs i τt.

30

σ i = T iT σ

( 61)

gdje su: σ  i

= (σ n

σ  = (σ  xx T 

T i

τ  s σ  yy

τ t  )

T 

σ  zz  σ  xy

σ  yz  σ  zx )

T 

( 62)

= transformacijska matrica (3x6) za ravninu i.

U praksi su vla čna naprezanja odre đena kao pozitivna dok je pritisak odre đen kao negativno naprezanje. Uzme li se u obzir stanje deformacije ravnine, kao što je prikazano na slici 22, vidi se da je klizna ravnina uzeta pod nagibom α1 (kut nagiba) u odnosu na x-os.

Slika 22 Situacija deformacije ravnine s jednom kliznom ravninom i vektorima n,s (uzeto iz Atkinson, Bransby, 1978) U ovom slu čaju transformacija matrice T T postaje:

⎡ s 2 c 2 0 − 2 sc 0 0⎤ ⎢ ⎥ 2 2 0 0⎥ T T  = ⎢ sc − sc 0 − s + c ⎢0 0 0 0 − c − s ⎥⎦ ⎣

( 63)

gdje su: s = sin α1 c = cos α1 U op ćem trodimenzionalnom slu čaju transformacija matrice je složenija jer uklju čuje i kut nagiba i smjer pružanja (vidi jed. 32):

31

⎡ n x2 ⎢ T  T  = ⎢n x  s x ⎢⎣ n x t  x

n y2

n z 2

2n xn y

+ n y t  x + n x

n y  s y

n z   s z  n x  s y

n y

n z 

t  y

t  z  n y

 s x

+ n y t  z  + n z 

n z   s y

t  y

n y

2n y n z 

+ n x t  x + n x

 s z  n z   s x t  y

n z 

2n z n x ⎤ ⎥  s z  ⎥ ( 64) t  z  ⎥⎦

Može se uo čiti da opća transformacijska matrica T T za prora čun lokalnih naprezanja odgovara prvom, četvrtom i šestom redu matrice R σ (vidi jed. 32).  Nakon odre đivanja komponenti lokalnog naprezanja, plasti čni uvjeti se mogu provjeriti na osnovu funkcija popuštanja. Funkcije popuštanja za ravninu i su definirane kao: f i = τ s + σ n tan ϕ i − c i (Coulomb)

( 65)

f it = σ n − σ t , i ; (σ t , i ≤ c i cot ϕ i ) (naprezanje pri slomu)

(65a)

Slika 23 prikazuje potpune kriterije popuštanja na jednoj ravnini.

Slika 23 Kriterij popuštanja za pojedinu ravninu (uzeto iz Yong, Warkentin, 1966) Lokalne plasti čne deformacije su definirane sa:

∆ε  p j = λ  j

∂ g  j ∂σ  j

( 66)

gdje je g j funkcija lokalnog plasti čnog potencijala za ravninu  j: g j = τ j + σ n tan ϕ j − c j (Coulomb)

( 67)

g jt = σ n − σ t , j (naprezanje pri slomu)

( 68)

Transformacijska matrica T  se tako đer koristi za transformiranje pove ćanja deformacije lokalne plasti čnosti ravnine  j, ∆ε  p j , u globalna pove ćanja plasti čne deformacije, ∆ε  p :

∆ε p j = T j∆ε p

( 69) 32

Uvjet konzistentnosti zahtjeva da vrijednost funkcije popuštanja pri popuštanju stijenske mase mora biti nula za sve aktivne funkcije popuštanja. Za sve ravnine zajedno, postoji najviše 6 funkcija popuštanja, tako da se mora na ći do 6 plasti čnih množilaca, tako da je većina funkcija popuštanja jednaka nuli, a da plasti čni množioci nisu negativni. np

i c

 f 

=  f  − ∑ < λ  ie c

 j c

 j =1 np

 f t i

=  f t ie − ∑ < λ  jc  j =1

∂ f cT  T  > T   DT  j ∂σ  i ∂ f t T  T  > T   DT  j ∂σ  i

∂ g c j np  j ∂ f cT  T  − < λ t  > T   DT  j ∂σ  ∑ ∂σ  i  j =1 ∂ g c j np  j ∂ f t T  T  − < λ t  > T   DT  j ∂σ  ∑ ∂σ  i  j =1

∂ g t  j ∂σ  ∂ g t  j ∂σ 

( 70)

Ovo zna či iznalaženje do 6 vrijednosti λi≥0 takvih da su svi f i ≤ 0 i λif i=0 Kada se koriste maksimalno 3 ravnine, postoji 2 6=64 mogu ćnosti popuštanja. U procesu  proračuna, sve ove mogu ćnosti se uzimaju u obzir u cilju pružanja to čnog prora čuna naprezanja.

3.4

Elasto – plastični modeli

U ovu grupu modela spadaju: 1)Idealno elasti čni – idealno plasti čni model; 2) Cam Clay i modificirani Cam Clay model; 3) Deformacijsko – omekšavaju ći model 3.4.1  Idealno elasti č ni – idealno plasti č ni model 

Karakteristi čna naponsko-deformacijska krivulja linearno elasti čnog–idealno plasti čnog modela prikazana je na slici 24. Naprezanja su izravno proporcionalna deformacijama sve dok se ne dosegne to čka popuštanja, iza to čke popuštanja naponsko deformacijska krivulja je vodoravna.  plastično

elastično   e    j   n   a   z   e   r   p   a   n

točka popuštanja E 1 deformacija

Slika 24 Elasti čni idealno plasti čni model Teorija elastoplasti čnosti, koja opisuje ponašanje sa slike 24 sastoji se od sljede ćih elemenata:

33

  Relativna deformacija

se rastavlja, kako je ve ć rečeno u poglavlju 3.3, na elasti čnu i

 plastičnu komponentu:

{ dε} = { dεe } + dε p .

( 71)

Elasti čna komponenta deformacija može uzrokovati promjene naprezanja. Elasti čna konstitivna jednadžba ima oblik:

{ dσ} = [ Ce ]{ dεe }  Funkcija popuštanja

( 72)

odre đena je oblikom: f  = f (σ x , σ y , σ z , τ xy )

( 73)

ili u matričnom obliku: df =

δf  {dσ} . δσ

( 74)

Ako je f<0, funkcija opisuje elasti čno svojstvo materijala. Kada je f=0, opisuje zakon čvrstoće ili plastičnost.  Funkcija plasti č nog potencijala

ima oblik: g = g(σ x , σ y , σ z , τ xy ) .

( 75)

Smjer inkrementa plasti čne deformacije odre đen je zakonom te čenja:

{ dε p } = λ⎧⎨ δg ⎫⎬ , ⎩ δσ ⎭

( 76)

gdje su: g – funkcija plasti čnog potencijala

λ – plasti čni skalarni faktor  dλ uvijek mora imati pozitivnu vrijednost, a dobije se iz uvjeta da je funkcija popuštanja konstantna pri slomu. U geotehnici se za zakon popuštanja naj češće koristi Mohr - Coulombov zakon čvrstoće:

σ +σ σ −σ f  = 1 3 sin ϕ − 1 3 cos ϕ + c ⋅ cos ϕ = 0 2 2

( 77)

Obi čno se za funkciju plasti čnog potencijala uzima Mohr-Coulombova funkcija   popuštanja, gdje se kut unutarnjeg trenja ϕ zamjenjuje kutom dilatacije ψ. Tangens kuta dilatacije je odnos inkrementa plasti čne zapreminske deformacije i inkrementa plasti čne  posmične deformacije (GeoSlope). 34

3.4.2

Cam Clay i modificirani Cam Clay model 

Cam Clay i modificirani Cam Clay modeli spadaju u grupu elastoplasti čnih modela s očvrš ćavanjem (Atkinson i Bransby, 1978 i Britto i Gunn, 1987.).  Na slici 25 je dano obrazloženje postupka odabira edometarskog pokusa odnosno pokusa izotropne kompresije kao onog koji može dati zadovoljavaju će podatke za modeliranje Cam Clay modela.

ν

normalna konsolidacija

očvrš ćavajuće plastično

  e    j   n   a   z   e   r   p   a   n

 prekonsolidacija

(e)

   )    ’   p    k   a   s    i    t    i   r   p    (

 pritisak   p’

linearno elasti čno

(f)

deformacija

( ν=1+e)

Slika 25 Odnos konsolidacije i naprezanja 35

Slika 25 (a) prikazuje odnos efektivnog naprezanja p' i promjene zapremine ν, pri čemu  je ν= 1+e, a ,e, je porozitet uzorka. Na slici 25 (b) prikazan je isti odnos s pritiskom   prikazanim na skali prirodnog logatirma, lnp'. Daljnje pojednostavljenje može se u činiti na način da se petlja histereze koja nastaje pri rastere ćenju i ponovnom optere ćenju zamijeni  pravcem. Napravljana aproksimacija dovoljno je to čna za potrebe daljnjih prora čuna. Ovakav   prikaz opisuje stvarno događanje u tlu pri prekonsolidaciji, rastere ćenju i ponovnom optere ćenju. Pri rastere ćenju tlo buja, a pri ponovnom optere ćenju do to čke   predkonsolidacije ponaša se gotovo kao elastična sredina (slika 25(c)). Na slici 25 (d)  prikazan je proces rastere ćenja i ponovnog optere ćenja na više razina. Može se primijetiti da su krivulje rastere ćenje-optere ćenje gotovo usporedne. Slika 25 (e) pokazuje smisao izu čavanja ovih krivulja u svrhu njihovog korištenja za dobivanje podataka za oblikovanje Cam Clay modela. Okrenu li se osi u ovom prikazu, nastaje crtež prikazan na slici 25 (f) koji dobro opisuje elastoplasti čni model s o čvrš ćavanjem. Pravac prekonsolidacije i pravac normalne konsolidacije prikazuju svojstva elasti čno - plasti čno očvrš ćavajuće krivulje odnosa naprezanje - deformacija. Pravac prekonsolidacije odgovara linearno - elasti čnom dijelu a pravac normalne konsolidacije plasti čno - očvrš ćavajućem dijelu. Funkcija popuštanja u Cam Clay modelu

Plasti čno očvrš ćivanje ozna čava mogu ćnost širenja plohe popuštanja. Opis širenja plohe   popuštanja postiže se uvođenjem promjenjive za plasti čnu deformaciju u funkciju  popuštanja. U Cam Clay modelima ova je promjenjiva zapreminska deformacija ε pv tako da sad funkcija popuštanja ima oblik: f  = f (σ x , σ y , σ z , τ xy , ε pv )

( 78)

U oba se modela pretpostavlja pridruženi zakon te čenja. U Cam Clay modelu funkcija popuštanja dana je izrazom: f  =

⎛  p ′  ⎞ q + ln⎜⎜ ⎟⎟ − 1 , M ⋅ p′ ⎝  p ′x  ⎠

( 79)

dok je u modificiranom Cam Clay modelu dana izrazom: q2 f  = + M 2 p ′ − 2M 2 p′x  p′

( 80)

gdje su:  p' – srednje efektivno naprezanje; 1  p′ = (σ′x + σ′y + σ′z ) 3

( 81) 36

q – devijator naprezanja ; q=

1 (σ x − σ y )2 + (σ y − σ z )2 + (σ z − σ x )2 + τ xy 2

[

]

( 82)

M – parametar materijala kao funkcija kuta unutarnjeg trenja ϕ ili gradijent pravca kritičnog stanja kada je ovaj prikazan u p' – q koordinatama.  p' x poprima oblik 

Γ − ν − κ ln p′ ⎞  p′x = exp⎛  ⎜ ⎟ ⎝  λ − κ  ⎠

( 83)

Parametri: -

ν, specifi čna zapremina, definirana pomo ću koeficijenta pora e, ν=1+e;

-

λ, nagib pravca koji predstavlja odnos specifi čne zapremine ν i prirodnog logaritma srednjeg efektivnog naprezanja ln p', pri izotropnoj kompresiji normalno konsolidiranog tla i

-

κ, nagib pravca koji predstavlja odnos ν i ln p' u elasti čnom podru č ju, određuju se iz rezultata laboratorijskih pokusa u edometru ili pri izotropnoj kompresiji.

Zorno su prikazani na slici 26. ν

 N

izotropna kompresija

 N0 edometar 

  p  r    a  v    a  c  

−  λ 

νκ

νκ0  p r av  a  c   -

 p’=1

κ 

 p’c

ln p’

Slika 26 Krivulje rezultata laboratorijskih pokusa izotropne kompresije i jednoosne kompresije (edometarski pokus) prikazane u dijagramu ν - specifi č na zapremina / ln p'  – pritisak  37

  N i N0 su specifi čne zapremine normalno konsolidiranog tla pri pritisku p '=1kPa, a νκ i νκ0 specifi čne zapremine prekonsolidiranih uzoraka pri p'= 1 kPa. Položaj mogu ćih κ  pravaca nije jednozna čan ve ć ovisi o naprezanju pretkonsolidacije p' c.  Na slikama 27 i 28 prikazani su Cam Clay modeli u koordinatnom sustavu p' – q.

q q= Mp’ krivulja popuštanja

 p’  p’ x= p’ c/2,7183

 p’ c

Slika 27 Cam Clay model q q= Mp’ krivulja popuštanja

 p’ x= 0,5 p’c

 p’c

 p’

Slika 28 Modificirani Cam Clay model Ako pc' ozna čava naprezanje prekonsolidacije, odnosno sjecište pravca nagiba κ i pravca nagiba λ, onda su u Cam Clay modelu veli čine p'x i p' y povezane izrazom: ln p′x = ln p′c − 1

( 84)

 p'x= 0.5p'c.

( 85)

a u modificiranom modelu je: Veli čina Γ označava specifi čnu zapreminu tla na liniji kriti čnih stanja, pri p' =1kPa, odnosno ln p'=0 (odgovara vrijednostima N na slici 26) . Linija kritičnih stanja dana je izrazom:

ν = Γ − λ ln p′

( 86)

i predstavlja stanje materijala u kojem je kut dilatacije ψ=0.

38

3.4.3  Deformacijsko – omekšavaju ć i model 

Ovaj model je elasti čno – omekšavaju ći - plastični i sastoji od tri linearna dijela. Linearni dio raste do maksimalne posmi čne čvrstoće, omekšavaju ći dio, u kojem posmi čna čvrstoća opada od maksimalne do rezidualne čvrstoće i dio u kojem se čvrstoća ne mijenja (rezidualna čvrstoća). Funkcija popuštanja za ovaj model je zadana preko posmi čnih naprezanja q i nedrenirane čvrstoće c u: f  = f (σ, ε p ) = q − 3c u

( 87)

Slom pri posmi čnoj čvrstoći c u jednak je ( σ1 - σ3)/2. Posmično naprezanje q se može izraziti preko druge invarijante naprezanja J 2, q = 3J 2 (P.I.S.A.).   a   n   a   o   u    t   c   s   r   e   v   j   n   a   a   c   n    i   a   r   m    i   s   n   e   r    d   e   n

vršna nedrenirana čvrstoća cur 

         ć

         č

E

R 

rezidualna nedrenirana čvrstoća na smicanje cur 

deformacija

Slika 29 Deformacijsko omekšavaju ći model

3.5

Komentar opisanih modela

Zbog svoje jednostavnosti i razmjerno lakog odre đivanja parametara tla, za numeri čku simulaciju interakcije konstrukcije i tla, naj češće su u upotrebi sljede ći modeli tla: 1) linearno-elastični model, 2) Duncan Chang model, 3) linearno-elasti čni-idealno-plasti čni, 4) Cam Clay i modificirani Cam Clay modeli. Svaki ovaj model ima prednosti i nedostatke, koji ih bitno ograni čavaju u upotrebljivosti za numeri čku simulaciju me đudjelovanja gra đevine i tla. Osnovni nedostatci ovih modela su: Elasti čni i linearno elasti čni – idealno plasti čni model imaju nedostatak što im je posmi čni modul nepromjenjiv od po četnog stanja do sloma tla. Duncan–Chang model je vrlo popularan, ali loše opisuje smanjenje posmi čnog modula od  po četnog stanja do sloma u ovisnosti o posmi čnoj deformaciji. Ovaj model bi se mogao   prilagoditi opaženim G/γ krivuljama, odnosno krivuljama ovisnosti sekantnog posmi čnog modula G o posmi čnoj deformaciji γ (Ishihara, 1982.), ali ostaje problem modeliranja 39

 promjene posmi čnog modula pri sukcesivnim rastere ćenjima i optere ćenjima. Ovo posljednje   je posebno važno kod međudjelovanja gra đevina - tlo za prednapregnute potporne konstrukcije, kod kojih slijed iskopa ispred konstrukcije i prednaprezanja izaziva cikluse rastere ćenja pa ponovnog optere ćenja. Cam Clay i modificirani Cam Clay modeli opisuju zapreminske promjene tijekom smicanja za normalno posmi čne krutosti u podru č ju malih deformacija.

3.6

Novija istraživanja pri statičkim uvjetima

Zadnjih desetak godina bilježi se nagli porast saznanja o krutosti tla pri smicanju. Krutost tla pri smicanju često se prikazuje kao odnos sekantnog modula smicanja G i relativne  posmične deformacije γ, (slika 30). Pri tom se sekantni modul smicanja definira kao odnos

τ G = najve ćeg posmi čnog naprezanja τ i najveće posmi čne relativne deformacije γ, . γ

Kod troosnog laboratorijskog pokusa, na primjer, najve će posmi čno naprezanje definirano σ′ − σ′  je izrazom τ = 1 3 , gdje su σ1′ i σ′3 glavna efektivna naprezanja, a najve ća je relativna 2  posmična deformacija odre đena izrazom γ = ε1 − ε 3 , gdje su ε1 i ε3 odgovaraju će glavne relativne deformacije. Na to čnost odre đivanja modula smicanja utje če preciznost mjerenja  posmičnog naprezanja i preciznost mjerenja posmi čne deformacije. Dok s preciznoš ću mjerenja posmi čnog naprezanja uglavnom nema problema, postizanje odgovaraju će   preciznosti u mjerenju malih i posebno vrlo malih deformacija, do nedavno je bilo vrlo otežano. Iz slike 30 vidljivo je da mjerenje posmi čnih deformacija u laboratorijskim ure đajima od vrlo malih do velikih još uvijek nije rutinski zadatak jer je potrebna primjena nekoliko razli čitih tehnologija, ovisno o veli čini deformacija koje se žele mjeriti. Tehnologije za mjerenje vrlo malih i malih relativnih deformacija još su u razvojnoj fazi i tek  su od nedavno komercijalno dostupne. Njihovo korištenje i interpretaciju prati još niz  problema te u praksi traže vrlo pažljiv rad. U grafičkim se prikazima ovisnost G od γ obi čno prikazuje u polulogaritamskom mjerilu iz razloga postizavanja jednolike grafi čke pogreške za relativne posmi čne deformacije od vrlo malih do velikih veli čina. Na slici 30 je prikazano što se podrazumijeva pod pojmovima vrlo malih, malih ili velikih relativnih posmi čnih deformacija (Atkinson i Sallfors, 1991).

40

G

vrlo male deformacije

male deformacije

velike deformacije

G0

 γ(%) 0,0001

0,001

0,01

0,1

1

10

 bender elementi rezonantni stupac lokalno mjerenje  posebni troosni uređaj obični troosni utređaj

Slika 30 Idealizirani prikaz ovisnosti sekantnog modula smicanja G od posmi čne deformacije γ Pod vrlo malim deformacijama podrazumijevaju se one do kojih je modul smicanja tla najve ći i približno konstantan (G=G o). Gornja granica ovog podru č  ja ponekad se naziva kritična posmi čna deformacija i kre će se, ovisno o materijalu i konsolidacijskom pritisku, od oko 10 -2% do oko 10 -3%. Male posmi čne deformacije su uvjetno nazvane one deformacije od oko 1%, što je okvirna donja granica pouzdanih mjerenja u uobi čajenim troosnim ure đajima. Velike su deformacije one ve će od malih (Atkinson io Sallfors, 1991.). Za mjerenje posmi čne krutosti tla, pri vrlo malim deformacijama, najpogodnije su geofizi čke metode. One se temelje na mjerenju brzine širenja posmi čnih valova v s, vrlo malih amplituda, koje zato u tlu izazivaju i vrlo male posmi čne deformacije. Modul smicanja G=G o ra čuna se na temelju poznate gusto će tla po izrazu G o=ρvs2. Terenske geofizi čke metode vrlo su povoljne, jer ne zahtijevaju va đenje neporeme ćenih uzoraka, a utvr đuju  prosječne brzine posmi čnih valova za ve će zapremine tla nego što je mogu će ispitivanje na ograni čenom broju uzoraka u laboratoriju. Od uobi čajenih geofizi čkih metoda pogodne su one koje omogu ćuju pouzdano mjerenje brzina posmi čnih valova. To je prvenstveno metoda cross-hole, a uz odre đene uvijete i ostale metode. U zadnje je vrijeme u razvoju postupak  spektralne analize površinskih valova (SAPV) kojom se na temelju razli čitog rasprostiranja Rayleighevih (površinskih) valova, izazvanih površinskom dinami čkom pobudom, pomo ću spektralne analize površinskih valova utvr đuje profil slojeva tla s pripadaju ćim brzinama v s. Postupak ne zahtijeva skupa bušenja a rješava neke od temeljnih problema površinske refrakcije.

41

Za podru č  je malih relativnih deformacija razvijeno je nekoliko različitih uređaja koji se montiraju na površini uzorka tla u laboratoriju, prvenstveno pri troosnom pokusu (Burland i Symes, 1982.; Goto i sur., 1991.; Atkinson i Sallfors, 1991.). Razlikuju se ure đaji za mjerenje uspravnih i za mjerenje bo čnih deformacija. Uloga ure đaja za mjerenje uspravnih deformacija je osim dobre mjerne rezolucije izbjegavanje nesavršenog dodira uzorka tla s postoljem i naglavnicom, koji ina če dovodi do bitne   pogreške u mjerenju relativnih deformacija. Usporedna mjerenja pokazuju da su ove relativne pogreške to ve će što je deformacija manja.   Na slici 31 prikazana su takva usporedna mjerenja na uzorku krute gline, ugra đenom u hidrauli čki vođeni troosni ure đaj Geotehni čkog laboratorija Gra đevinskog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu (Szavits-Nossan i Kova čevi ć, 1995.). Za mjerenje uspravnih i bo čnih deformacija na plaštu uzorka korištena su mehani čkoelektri čna mjerila tvrtke GDS iz Velike Britanije, temeljena na Hallovom efektu . 200

   )   a    P 150    k    (    G   a    k    i 100   m   s    l   u    d 50   o    M

deformacija mjerena na plaštu uzorka gline (u čeliji) deformacija mjerena između kape i postolja (izvan čelije)

0 0,001 0,01 0,1 1 10 Relativna posmična deformacija  γ (%)

Slika 31 Ovisnost sekantnog modula G od posmi čne deformacije γ Očita je razlika u modulu smicanja interpretiranom na temelju mjerenja izvan ćelije (puna linija) troosnog ure đaja (mjerenje pomaka gornje kape u odnosu na postolje uzorka pomo ću   precizne mikroure) i interpretiranom na temelju mjerenja deformacija na plaštu uzorka (crtkana linija) gline. Relativna pogreška mjerenja postaje zanemariva kod posmi čnih deformacija preko 1%. Posljednjih godina u sklopu troosnog ure đaja uvedena je tehnologija izravnog mjerenja deformacija na uzorku mjerilima LDT (Local Deformation Transducer). Važnost izravnog mjerenja deformacija na uzorku vidljiva je na slici 32 gdje su usporedno prikazani rezultati mjerenja mjerilima LDT i mikrouricom. LDS mjerila su postavljena na uzorku i izravno mjere deformacije, mikrourica neizravno mjeri deformacije uzorka preko pomaka klipa (Mateši ć i Szavits-Nossan, 2002.). 42

Slika 32 Uporedba mjerenja LDT mjerilima i mikrouricom (Mateši ć i Szavits-Nossan, 2002.)

4

ISTRAŽIVANJA U DINAMICI TLA

Dugo su vremena istraživanja ponašanja tla u dinami čkim uvjetima bila uglavnom odvojena od istraživanja ponašanja tla u stati čkim uvjetima ili uvjetima monotonog optere ćenja. Odvojenost tih dviju grupa istraživanja može se pripisati razli čitim tehnologijama pokusa i postupcima, korištenim od ove dvije grupe istraživa ča. Istraživanja  ponašanja tla pri monotonom smicanju po čela su ranije od istraživanja dinami čkog ponašanja tla i izvodila su se uglavnom u edometru i klasi čnom troosnom ure đaju u laboratoriju te  presiometru u bušotinama na terenu. S druge strane, ve ć je vrlo rano utvr đeno da su krutosti tla izmjerene pri cikli čkom smicanju, kako se javlja u uvjetima dinami čkih optere ćenja tla, mnogo ve će od onih koje su se dobivale pri monotonom optere ćenju u troosnom ure đaju ili  presiometru. Ova je spoznaja usmjerila istraživanja u dinamici tla na laboratorijska i terenska ispitivanja u kojima se krutost tla utvr đuje temeljem ponašanja tla pri cikli čkom smicanju. Tako je razvijen postupak ispitivanja tla u laboratorijskom ure đaju s rezonantnim stupcem te  postupak mjerenja brzina posmi čnih valova na terenu, kao i neke druge manje primjenjivane metode. Ova istraživanja jasno pokazuju da je krutost tla u dinami čkim uvjetima znatno ve ća od krutosti tla u stati čkim uvjetima, te da je ponašanje tla u podru č ju malih amplituda smicanja izrazito nelinearno. Ova spoznaja dugo nije imala odraza kod istraživa ča ponašanja tla pri monotonom smicanju, koji su se bavili problemima deformacija tla pri stati čkim optere ćenjima. Smatralo se uglavnom da su deformacije u tlu, koje su posljedica stati čkih optere ćenja građevinskim objektima, znatno ve će od deformacija koje su izazvane dinami čkim opterećenjem strojeva pa i umjerenim potresima, pa se nije vidjela svrha objedinjavanja ova dva vida ponašanja tla u jedinstvenu i konzistentnu sliku. To se mislilo 43

sve do prije desetak godina, kada su nove spoznaje o krutosti tla, potaknute razvojem novih tehnologija mjerenja deformacija na uzorcima tla u laboratorijskim ure đajima te u tlu na terenu više nisu mogle zanemarivati. Ispitivanja krutosti tla pri dinami čkim uvjetima provodila su se prvenstveno u pokusu rezonantnog stupca u laboratoriju i mjerenjem brzine širenja posmi čnih valova na terenu. U  pokusu rezonantnog stupca reprezentativni uzorak tla dovodi se u rezonantno osciliranje pri kojem se iz poznatih vrijednosti amplitude optere ćenja i deformacija utvr đuje posmi čni modul tla i pripadno prigušenje. Promjenom amplitude pobudnog gibanja utvr đuje se ovisnost sekantnog posmi čnog modula G i prigušenja tla o amplitudi posmi čne deformacije γ  pri čemu je: G=τ/γ.

( 88)

Brzina širenja posmi čnih valova u tlu mjeri se geofizi čkim postupcima me đu kojima su najpoznatije i najkvalitetnije "cross-hole", "down-hole" i spektralna analiza površinskih valova SASW. Iz brzine širenja valova u tlu mogu će je odrediti posmi čni modul tla pomo ću  poznatog izraza: G0 = ρ v s2

( 89)

gdje je: v s brzina posmi čnih valova, G 0 početni posmi čni modul, ρ gusto ća tla Ovaj odnos vrijedi ako je tlo izotropno, lokalno homogeno i linearno elasti čno. Uvjet linearne elasti čnosti približno je zadovoljen kod postoje ćih metoda utvr đivanja brzine  posmičnih valova na terenu, gdje su amplitude deformacija vrlo male, pa se tlo ponaša linearno elasti čno. Indeks 0 u oznaci za posmi čni modul (G0) označava da se radi o modulu   pri vrlo malim deformacijama. Zbog pada posmičnog modula s porastom posmi čne deformacije, G 0 je najve ći mogući posmični modul u tlu. Istraživanja su pokazala da posmi čni modul ovisi o nizu parametara, ali prvenstveno o srednjem efektivnom naprezanju u tlu, p', prema izrazu: ⎛  p′ ⎞ G o = G r ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝  p r  ⎠

n

( 90)

gdje je: G r  elasti čni posmi čni modul pri nekom referentnom naprezanju p r , n je parametar tla, kre će se naj češće u rasponu od 0.4 do 0.6. seizmički se ispituje prostor izme đu dvije bušotine koje su naj češće uspravne i me đusobno usporedne. Postavljene su na proizvoljnom razmaku L (ne bi trebao   biti veći od 10 m) i jednake su dubine. Postupak generiranja i prijema seizmi čkih valova obuhva ća iniciranje impulsa u predajnoj bušotini i prijem prvih nailazaka longitudinalnih i Cross-hole metodom

44

transverzalnih valova u prislušnoj bušotini. Na taj se na čin, preko brzina rasprostiranja valova kroz tlo, dobivaju podaci o elasti čnim modulima u tlu izme đu bušotina. U jednoj bušotini smješten je seizmi čki izvor, dok se u drugoj nalaze detektori nailaska seizmičkog vala (geofoni), postavljeni na relativno malom me đusobnom razmaku (što je manji razmak izme đu geofona bolja je razlu čivost). Tako se za svaku poziciju izvora, mjere vremena nailaska seizmi čkih valova do svih geofona. Vrijeme širenja seizmi čkog vala je integral funkcije sporosti duž putanje valne zrake od seizmičkog izvora do geofona. Ukoliko se s P ozna či proizvoljna putanja, koja povezuje odre đeni izvor i geofon u modelu, sporosti s, tada se može definirati funkcija τ p, koja opisuje vrijeme širenja seizmi čkog vala duž te putanje. Pretpostavi li se kontinuirana sporost, s(x),  biti će:

τ p (s) = ∫ s( x )dl p

( 91)

gdje dl p označava infinitezimalnu udaljenost duž putanje P (Ishihara, 1982.).   Down-hole ispitivanje je

seizmička metoda koja omogu ćuje izravno mjerenje intervalnih   brzina elastičnih valova u tlu duž bušotine po dubini. Metoda koristi kao izvor vala udarac čeki ćem (10 kg) po plo či uz ušće ili u neposrednoj blizini uš ća bušotine. Generiraju se uzdužni i popre čni valovi. Valovi se šire kroz podzemlje do geofona koji su smješteni u  bušotini. Geofoni su razmješteni u jednakim, optimalnim intervalima po dubini u. Slike 33 i 34 shematski prikazuju opisana geofizi čka ispitivanja u bušotimana.

Slika 33 Cross-hole metoda

Slika 34 Down-hole metoda

45

Kod dubljih bušotina koristi se obi čno up-hole metoda, kod koje se seizmi čki impulsi generiraju eksplozivom u bušotini, a nailasci se snimaju na površini uz uš će bušotine (www.igh.hr).  Navedeni terenski postupci odre đivanja elasti čnog posmi čnog modula tla su najkvalitetniji i najpouzdaniji postupci za utvr đivanje neke od naponsko-deformacijske karakteristika tla. Ovisnost posmi čnog modula G o amplitudi posmi čne deformacije γf  obi čno se prikazuje u normaliziranom obliku ovisnosti bezdimenzionalne veli čine: z = G/Go ( 92) o bezdimenzionalnoj veli čini: x = γ/γr 

( 93)

γr  = τf /Go

( 94)

gdje je γr  referentna posmi čna deformacija a τf  čvrstoća tla (Szavits-Nossan, 1996.). Analiziraju ći niz objavljenih rezultata ovisnosti normaliziranog posmi čnog modula z o normaliziranoj posmi čnoj deformaciji x, Ishihara 1982 predlaže sljede ći analitički izraz,   poznat kao prilagođeni Ramberg-Osgoodov model, kao najpovoljniji za opisivanje ove ovisnosti z=

1 1 + α(zx ) r −1

( 95)

gdje su α i r parametri tla. Ovi se parametri mogu odrediti iz sljede ćih mjernih veli čina:

γ α = f  − 1 γ r 

( 96)

πD f α + 1 2α r = πD α + 1 1 − f  2 α

( 97)

1+

gdje su: D f  – prigušenje tla pri slomu, γf  – amplituda posmi čne deformacije. Prigušenje D f  dobije se temeljem mjerene ovisnosti normaliziranog posmi čnog modula, z, o normaliziranoj posmi čnoj deformaciji, x, preko izraza:

⎡ x ⎤ ⎢ 2 ∫ z( x ) ⋅ x ⋅ dx ⎥ ⎥ 2⎢ D(f ) = ⎢ 0 − 1⎥ , z( x ) π⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ ⎦⎥

( 98)

46

ako se pretpostavi da je histereza krivulje naprezanje - deformacija odre đena Masingovim  pravilima (Ishihara, 1982.). Ishihara, 1982., daje raspone parametara za model Ramberg-Osgood za pojedine grupe tala. Parametri su prikazani u tablici 2. Tablica 2: Parametri modela Ramberg-Osgood za dinami čku krutost tla Tlo

γr  (x10-3)

γf  (x10 -2)

Df 

α

r 

glina

1,0 - 6,0

3-9

0,15 - 0,30

4 - 45

1,65 - 2,80

  pijesak šljunak

0,3 - 0,8 0,2 - 0,7

3-9 3-9

0,25 - 0,40 0,20 - 0,30

20 - 100 40 - 120

2,30 - 4,40 1,90 - 3,40

Opisane ovisnosti sekantnog posmi čnog modula o amplitudi posmi čne deformacije γf    potpuno su različite od onih koje se dobiju ranije opisanim modelima ponašanja tla pri monotonim ili stati čkim optere ćenjima. Kako spomenuta Masingova pravila opisuju histerezirani oblik naponsko    deformacijske krivulje pri cikli čkom smicanju samo za cikli čko optere ćenje s konstantnom amplitudom, za primjenu modela Ramberg - Osgood pri nepravilnim ciklusima optere ćenja potrebno je definirati i neka dodatna pravila za taj slu čaj.   Neka je pravila predložio Pyke (1970.). Njegov pokušaj ograničava se samo na   jednodimenzionalne probleme, prilično je proizvoljan i ne temelji se na eksperimentalnim istraživanjima. Vrlo zanimljivu grupu modela predložio je Iwan (1975.). Jedan od ovih modela sastavljen je od usporednog niza linearno elasti čnih idealno plasti čnih elemenata različitih elastičnih krutosti i razli čitih čvrstoća, koji svi prolaze jednake tragove posmi čnih deformacija. Povoljnim izborom broja elemenata, njihovih krutosti i čvrstoća mogu se  proizvoljno točno aproksimirati mjerene ovisnosti sekantnog posmi čnog modula o posmi čnoj deformaciji γf . Ovaj model zadovoljava Masingova pravila za cikli čka optere ćenja s konstantnom amplitudom deformacije, bez uvo đenja Masingovog pravila. Ovaj model je   primjenjiv i za nepravilne amplitude deformacija, proširujući Masingova pravila i na ovaj složeni slu čaj bez dodatnih pretpostavki. Iwanov model uspješno razradili Taylor i Larkin za numeri čku simulaciju uspravnog širenja posmi čnih valova u tlu. Ograni čenje ovog modela je njegova uporabivost samo za jednodimenzionalne probleme što onemogu ćuje primjenu za složenije slu čajeve interakcije gra đevine i tla u geotehni čkoj praksi.

5

ZAKLJUČAK 

Osnovni zahtjevi za konstitutivne izraze tla se mogu sažeti u sljede će: prikaz bi trebao biti u takvom obliku da se mogu koristiti s razumijevanjem, odre đivanje traženih konstanti materijala trebalo bi biti tehni čki i ekonomski mogu će, jednadžbe bi trebale biti analiti čki i numeri čki dobro postavljene, ispitivanja ekonomski izvediva. 47

Da bi model imao upotrebnu vrijednost treba da bude ugra đen u odgovaraju ći algoritam koji obuhva ća rješavanje klasi čnog zadatka naprezanja i deformacije kontinuuma sa  područ jem proizvoljnog oblika i za razli čite, često veoma složene grani čne uvjete. Jedno od suvremenih dostignu ća koje u zadnjih 30   tak godina zauzima zna čajno mjesto u implementaciji različitih geomehani čkih modela, je metoda kona čnih elemenata (MKE).   Nakon promocije metode na problemu ravne deformacije elastičnog tijela (Clough 1960) relativno brzo se po činje primjenjivati u geotehnici i s nelinearnim vezama naprezanja i deformacija (Clough i Woodward, 1967.) i modelom kriti čnog stanja tla (Zienkiewicz i  Naylor, 1971.). Metode grani čne ravnoteže daju zadovoljavaju će rezultate, koji su potvr đeni u praksi, ali se istim ne može odrediti stanje deformacija i pomaka što je često od presudnog inženjerskog zna čaja. Metodom kona čnih elemenata se uz korištenje ra čunala može realnije procijeniti raspodjela naprezanja, deformacija i pomaka, kao i izna ći zone lokalnog sloma tla tijekom korištenja gra đevine. U geotehnici se naj češće idealizira sredina kao homogena, izotropna i elasti čna što   ponekad ne daje dovoljno pouzdane rezultate. Upotrebom MKE moguće je na temelju geomehani čkih ispitivanja modelirati teren tako da se obuhvate sve njegove osobine i u činci kao što su: primarna naprezanja u tlu, heterogenost, anizotropija, diskontinualnost, promjene uvjeta ravnoteže nastale iskopom, u činak progresivnog sloma (Maksimovi ć, 2001.).  Numerička simulacija lokalizacije deformacija zahtijeva da karakteristi čna skala dužina   bude uključena u glavnu jednadžbu. Traži se da se fenomenu razli čitog mjerila (multi    scale efekt) posveti posebna pažnja. Tako npr. širina posmi čnih zona u tlu ima red veli čine u milimetrima, dok su od inženjerskog zna čaja i makrostrukturne pojave reda veli čine nekoliko metara. Ako se u razmatranje uzme multi   scale efekt, onda se moraju koristiti   pojednostavljeni konstitutivni izrazi. Treba uključiti gubitak hiperbolnosti dinami čke   jednadžbe. Analiza promatra i odnos orijentacije područ  ja pukotina u odnosu prema osi optere ćenja, ali ne može uklju čiti precizno položaj ili debljinu samog niza pukotina. Kod numeri čke simulacije metodom kona čnih elemenata poteško će su: širina posmi čne zone ovisi o veli čini čestica, rezultati ovise o generiranoj mreži. Glavni razlog za ove teško će prona đen   je prije 15    tak godina a naglašava činjenicu da upotrijebljene konstitutivne jednadžbe ne uzimaju u obzir parametre skale dužina u svoje izraze. Dva komplementarna postupka su razvijena za multi-scale prora čun uz pomo ć konačnih elemenata. U prvom postupku posmi čna zona sloma je usvojena kao posebna vrsta elementa

48

u mreži (Deb i dr. 1996), dok je u drugom pristupu dodana posebna jednadžba da opiše uvjete lokalnog elementa mreže u zoni posmika (Fish i Belytschko 1990, Loret 1995). LITERATURA [1] ABAQUS, Theory Manula version 6.3. [2] Atkinson, J. H. 2000.  Nonlinear soil stiffness in routine design. Geoechnique, Vol.50, str. 487-508. [3] Atkinson, H., Bransby, P.L., 1978. The Mechanics of Soils . McGraw-Hill, London. [4] Atkinson, J.H., Sallfors, G., 1991.  Experimental Determinatoin of Stress-Strain-Time Conf. Soil characteristics in Laboratory and In Situ Test . Proc. Tenth European Mechanics and Foundation Engineering, Florence, 26-30 May, Balkema, Rotterdam, vol III str. 915-956. [5] Britto, A.M., Gunn, M.J., 1987. Critical State Soil Mechanics via Finite Elements , John Wiley and Sons. [6] Burland, J.B.: Small is beatiful – the stiffnes of soil at small strains . Canadian Geotechnical Journal, (1989) 26, 499-516. [7] Burland, J.B., Symes, M.J., 1982.  A Simple Axial Displacement Gauge for Use in the Triaxial Apparatus . Geotechnique, vol 32, str.62-65. [8] Chen, W.F., 1975.  Limit analysis and soil plasticity . Elsevier, New York. [9] Chen, W.F., Saleeb, A.F., 1982. Constitutive Equations for Engineering Materials . Vol 1- Elasticity and Modeling, Wiley, New York. [10] Chen, W.F., Baldi, G.Y., 1985. S oil plasticity, Theory and Implementation . Elsevier, Amsterdam. [11] Clough, R.W., Woodward, J.R., 1967.  Analysis of embankment stress and definition . Journal of SMFE, ASCE, Vol 93, No SM4. [12] Coulomb, C.A. (1776.)  Essai sur une application des régles de maximis et minimis à quelques problèmes de statique relatifs àl'architecture , Mém. Acad. Roy. Sci., Paris vol. 7. du Recueil des ouvrages présentés par les savants étrangers. [13] Duncan, J.M., Chang, C.Y., 1970. Nonlinear analysis of stress and strain in solis. Journal of Solis Mech. And Fuond. Engineering, ASCE, vol. 96, NoSM5, str.1629-1653 [14] Fellenius, W. (1927),  Erdstatische Berichnunbgen mit Riebung und Kohäsion (Adhäsion), Wilhwlm Ernst and Sohn, K.G. Berlin, 1927. [15] GeoSlope, Manual Sigma/W define , version 5.01 [16] Goto, S., Tatsuoka, F. Shibuya, S., Kim,Y.S., Sato, T.: A simple gauge for local small strain measurement in the laboratory. Soils and Foundations, 31 (1991) (1), 169-180. [17] Hill, R., 1950. The Mathematical Theory of Plasticity , Oxford University Press, London, U.K. [18] Ishihara, K., 1982.  Evaluation of soil properties for use in eartquake resopnse analysis . In R. Dingar, G.N. Pande, J.A. Studer, Numerical Modeling in Geomechanics str. 237259. 49

[19] Ishihara, K., Tatsuoka, F., Yasuda, S., 1975. Undrained deformation and liquefaction of sand under cyclic stresses . Soil and Fondations 15(1), str. 29-44. [20] Iwan, W.D. 1975. On a class of models for the yielding behavior of continuous and  composite systems . Journal of applied mechanics, ASME 34, 612-617. [21] Jambu, N., 1963. Soil Compressigility as Determined byoedometer and Triaxial Tests . European Conference on Soil Mechanics & Foundation Engeneering, Wiesbaden, Germany, Vol. 1, str. 19-25 [22] Jardine, R.J., Potts, D.M., Fourie, A.B., Burland, J.B. 1986. Studies of the Influence of   Nonlinear Stress-Strain Characteristics in Soil Structure Interoction . Geotechnique, 36 () 377-396 [23] Jardin, R.J., Symes, M.J., Burland, J.B. 1984. The measutement of soil stiffnes in triaxial apparatus . Géotechnique, 34 (3), 323-340. Géotechnique, 12 (2), 125-144. [24] Kondner, R. L., 1963.  Hyperbolic Stress-Strain Response: Cohesive Soils . Journal of  the Soil Mechanics and Foundations Division, ASCE, Vol. 89, No. SM1, Proc. Paper  3429, str. 115-143. [25] Kondner, R. L., and Zelasko, J. S., 1963.  A Hyperbolic Stress-Strain Formulation for  Sands. Proceedings, 2nd Pan-American Conference on Soil Mechanics and Foundations Engineering, Brazil, Vol. I, str. 289-324. [26] Kondner, R. L., and Zelasko, J. S., 1963. Void Ratio Effects on the Hyperbolic Stress-Strain Response of a Sand . Laboratory Shear Testing of Soils, ASTM STP No. 361, Ottawa. [27] Kondner, R. L., and Horner, J. M., 1965. Triaxial Compression of a Cohesive Soil  with Effective Octahedral Stress Control . Canadian Geotechnical Journal, Vol. 2, No. 1, str. 40-52. [28] Maksimovi ć, M., M., 2001. Mehanike tla . Građevinski fakultet Beograd. [29] Matešić, L., Szavits-Nossan, A., 2002. Troosno smicanje od vrlo malih deformacija do  sloma. U: M. Mulabdi ć (ur.), Geotehnika kroz Eurocode 7, 3. Savjetovanje HDMTT, Hvar, 307-312 [30] Mihanovi ć, A. Marovi ć, P. Dvornik, J. 1993.  Nelinearni prora č un AB konstrukcija . DHGK, Zagreb. [31]  Newmark, N.M., 1977. Structural and Geotechnical Mechanics. Prentice-Hall, New Yersy, USA. [32] P.I.S.A.  Program for incremental stress analysis ; Elastic models, Plastic models, Critical state models. [33] Popescu, R., Prevost, J.H., 1996. Constitutive Relations for Soil Materials . Princeton,  New Yersey, EJGE [34] Pyke, R.M., 1979.  Nonlinear Soil Models for Irregular Cyclic Loadings . Journal of the Geotechnical Engineering Division, vol 105, No 6, str. 715-726 [35] Yong, R. N., Warkentin, B. P., 1966.   Introduction to Soil Behavior . The Macmillan Company, New York, USA. [36] Yoshimi, Y., Richart, Jr. F.E., Prakash, S., Barkan, D.D., Ilychev, V.A., 1977. S oil  dynamics and its application to foundation engineering,  Part 1 . In F.E., Richart, Jr. (ur.), Proc. IX Intern. Conf. Soil Mechanics and Foundation Engineering, Tokyo, vol. l2 str.605-612. 50