MKE i MKD

INTUITIVNE METODE EKSPE EKSPERI RIME MENT NTA ALNE LNE METOD METODE E

Izrada modela Ispi Ispiti tiva vanj nje e model modela a

Fotoelastičnost Ispitivanje elemenata konstrukcija Ispitivanja na djelovanje horizontalnih sila Ispitivanja na potresnim stolovima Itd.-

PRIBLIŽNE ME METODE

Za ve vertiklano op opterećenje Za horizontalno opterećenje Za analizu naprezanja Itd.-

MATEMATIČKE METODE

Elastična analiza okvira

Matrične metode Metoda sila Metoda deformacija

Dinamička analiza Elastična analiza naprezanja

MKE MKD MRE

Plastična analiza okvira

Numerička integracija Elasto-plastične metode Metode po teoriji plastičnosti

Analiza naprezanja u teoriji

plastičnosti

Histerezne metode MKE MRE

Ostale metode

Metode po teoriji plastičnosti Metoda zamjenjujuće konstrukcije Tlačno-vlačne dijagonale

Numeričk Numeričko rješavanje diferencijalni dif erencijalnih h jednadžbi Jednadžbe ravnoteže i energetske metode se uobičajeno koriste za rješavanje vedine inženjerskih problema. U nekim slučajevima zatvorena anali alitička rješenja nisu moguda i mora se pribjedi približnim numeričkim metodama. Među najčešde korištenima numeričkim metoda su metoda konačnih diferencija i metoda konačnih elemenata. Rješenje se dobivaju bez uporabe parcijalnih diferencijalnih  jenažbi što omogudava omogudava automatiz automatizaciju aciju proces procesa. a.

Virtualni pomaci i princip virtualnog rada Virtualni pomaci su beskonačni beskonačni mali pomaci točaka sistema koji su mogudi prema konfiguraciji konfiguraciji sistema. Ako se izraze kao funkcije onda su to neprekidne i diferencijabilne diferencijabilne funkcije koordinata. koordinata. Za deformabilno tijelo koje koje je u ravnoteži uslje vanjskih sila važi princip virtualnih pomaka, da je zbir radova radova svih vanjskih i unutrašnjih sila na bilo kom virtualnom pomaku jednak nuli

Za linijske nosače princip virtualnog raa se može izraziti jenažbom:

Gdje su P sile, C reakcije oslonaca, M,N,T

presječne sile štapa te njihovi ogovarajudi pomaci i eformacijske veličine.

Potencijalna energija sistema Ako je rad unutrašnjih sila konstrukcije je A(ε) i vanjskih ΣPu pri pomaku u, pod potencijalnom  potencijalnom energijom elastičnog sistema se podr podraz azumi umije jev va ra koji koji koji izvrše unutrašnje i spoljašnje sile sistema prilikom povratka iz deformiranog u nedeformirano stanje.

Za sistem koji se nalazi u ravnoteži potencijalna energija ima minimalnu i stacionarnu vrijednost, pa je i prva varijacija potencijalne energije  jednaka nuli

δΠ=0, a ruga varijacija potencijalne energije veda o nule

δ2Π=0.

Točne metoe- jaka formulacija Problemi analize naprezanja i deformacija konstrukcija su postavljeni izrazima uslova ravnoteže sila promatranog elementa beskonačno malih dimenzija. Pored toga postavljaju se uslovi kompatibilnosti deformacija i izrazi koji uspostavljaju vezu između naprezanja i deformacija materijala. Uspostavljanjem veza datih izraza i jednadžbi dobija se diferencijalna jednadžba problema. Rješenje diferencijalne jednadžbe se dobiva primjenom postupaka razrađenih u matematici. Rješenje dobiveno u zatvorenom obliku primjenom integralnog proračuna predstavlja postupak koji se naziva točna metoda, odnosno jaka formulacija.

Razvoj inženjerskih znanosti se temelji na postavljanju i rješavanju iferencijalnih jenažbi. Razlikujemo tkz. obične iferencijalne i parcijalne iferencijalne jenažbe. Primjer obične if.je. je na pr. jenažba savijanja gree d 2 y dx

2

 EI 

 M 

 

Parcijalne diferencijalne jednadžbe proizilaze iz problema koje opisujemo s više od jedne nepoznanice. Opći oblik parcijalne diferencijalne jednadžbe drugog reda je

 A( x,  y )



2

u

 x

2

  B( x,  y )



2

u

 x y

 C ( x,  y )



2

u

 y

2

  D( x,  y,

u u  x

,

 y

)0

•

Klasifikacija jenažbi se provoi prema vrijenostima parametara A, B i C. Za uvjet

•

B2 −4 AC <0 jenažba je eliptična. Za uvjet B 2 =4 AC jenažba je

parabolična, a za B2 −4 AC >0 jenažba je hiperbolična. • Parabolične i hiperbolične parcijalne iferencijalne jenažbe su mnogo teže za rješavanje jer nemaju zatvoreni rub, pa niti efinirane rubne vrijenosti, nego samo početne vrijenosti na pojeinim jelovima ruba. Mi demo se baviti samo eliptičnim jenažbama. Vrlo česti primjer eliptične parcijalne iferencijalne jenažbe rugog rea u tehničkim znanostima je Poissonova iferencijalna jenažba koja ima primjenu u mnogim granama tehnike  u  (



2

u

 x

2





2

u

 y

2

)    f  ( x, y)

•

U toj jenažbi u je funkcija vaju nepoznanica, x i y. Primjer su problemi potencijala, torzije, topline, (nevrtložno) tečenje ielanog fluia i rugi (samo se funkcija f(x,y) mijenja). Homogeni oblik te jenažbe (f(x,y)=0) je tkz. Laplaceova iferencijalna jenažba.

•

Rubni uvjeti

•

Razlikujemo dvije grupe rubnih uvjeta: Dirichletove rubne uvjete gdje su

zaane vrijenosti funkcije u na rubu omene Γ •

u  u0 na

Neumannove rubne uvjete gje su na rubu omene Γ zaane vrijenosti (usmjerene) derivacije

u n

•

  gna 

Mješoviti rubni uvjeti prestavljaju kombinaciju prva va uvjeta.

U primjerima demo razmatrati samo tkz. linearne iferencijalne  jenažbe, tj. one ko kojih je veza među nepoznanicama linearna. Također, pretpostavlja se a su početni uvjeti i rubni zaani tako a je mogude nadi jeinstveno rješenje. Rješavanje iferencijalni jenažbi de se provoiti numerički, ali gje go je poznato analitičko rješenje, savjetuje se a se ono pomno razmotri jer aje puno bolji uvi u ponašanje iferencijalne  jenažbe nego jeno numeričko rješenje problema.

Metoa konačnih razlika •

Metoa konačnih razlika pretvara rješavanja iferencijalne jenažbe u formiranje i rješavanje sistema običnih linearnih jenažbi. Pri tom postupku erivacije se samo aproksimiraju i time se uvoi greška koja irektno ovisi o broju jenažbi koje formiramo; povedavanjem broja  jenažbi ta se greška smanjuje. Za veliki broj problema postiže se ovoljno točno rješenje s malim brojem jenažbi.

•

Funkcija jedne nepoznanice

•

Aproksimaciju erivacije sprovoimo na način:

Više erivacije možemo prikazati na način

•

•

ili prikazano grafički to izglea

•

Ukoliko ∆x ovoljno smanjimo, numerička aproksimacija erivacije de biti vrlo točna (granica ispo koje ne smijemo nikako idi je točnost računala na kojem radimo).

Kaa smo shvatili princip numeričkog eriviranja, možemo napisati tkz.  jenažbe konačnih razlika za prvu, rugu i sve potrebne erivacije. Nakon toga te se jenažbe uvrste u iferencijalnu jenažbu i obivamo sistem linearnih jenažbi čija su rješenja u zaanim točkama vrijenosti funkcije koja zaovoljava zaanu iferencijalnu jenažbu. Na taj smo način if.je. rješili numerički! • Jenažbe konačnih razlika mogu biti efinirane preko slijeede (forwar ifferences), sreišnje (central ifferences) ili prethone (backwar ifferences) točke na omeni (vii sliku). Treba napomenuti a formulacija preko sreišnje točke aje najmanju grešku, te ju stoga valja najčešde •

koristiti.

•

Prva derivacija

•

1. preko slijeede točke

•

2. preko sreišnje točke

•

3. preko prethone točke

•

Za rješavanje iferencijalne jenažbe rugog rea treba nam i ruga derivacija

•

1) preko slijeede točke

•

2) preko sreišnje točke

•

3) preko prethone točke

•

Na sličan način možemo efinirati tredu erivaciju, četvrtu it., prem potrebi, ovisno kakvu iferencijalnu jenažbu rješavamo.

• Funkcija više nepoznanica •

Problemi koji sarže više o jene nepoznanice opisuju se parcijalnim iferencijalnim jenažbama o kojih demo razmotriti samo Poissonovu; ostale se parcijalne iferencijalne jenažbe metoom konačnih razlika rješavaju na sličan način.

•

Problem savijanja tanke ploče po Kirchhoffovoj teoriji je opisan biharmonijskom parc.dif.jedn.

•

Biharmonijsku parcijalnu iferencijalnu jenažbu možemo svesti na vije Poisson-ove.

•

Veza između momenata savijanja i vanjskog opteredenja:

•

čijim rješavanjem imamo nepoznato M. veza između progiba ploče w i momenata savijanja

•

gdje je

•

Za funkcije dvije varijable u=f(x,y) aproksimacije derivacija su:

•

te

•

Isto vrijedi

•

i za mješovitu erivaciju

•

Slično se efiniraju i ruge više erivacije. Time smo spremni za efiniranje  jenažbi konačnih razlika. Jenažbe demo efinirati za točku (i,j) na mreži s pojelom gustode h u smijeru x i gustode k u smijeru y.

•

Prema slici je jena o jenažbi konačnih razlika saa:

Jaka (klasična) i slaba (varijaciona) formulacija problema •

Jaka formulacija je naziv za problem opisan iferencijalnom jenažbom i porazumijeva efiniranje rubnih uvjeta a bismo mogli riješiti tu iferencijalnu jenažbu (bilo Dirichetovi, bilo Neumannovi rubni uvjeti). Sažeto, jaka formulacija rubnog problema (S) se može pisati

•

Slaba formulacija je naziv za problem čije rješenje tražimo varijacionim računom a sastoji se u oređivanju funkcija koje čine a neki funkcional

ograničen sa J poprima stacionarnu (vanjsku) vrijenost.

•

Integran F može saržavati zavisne i nezavisne kao i njihove više derivacije

Uvo u metou konačnih elemenata MKE daje približna rješenja inženjerskih i znanstvenih problema.

Jenažbe koje opisuju probleme matematičke fizike )stanje naprezanja i deformacija) su dvo- i trodimenzioninalne parcijalne diferencijalne  jenažbe. Kod MKE cijela konstrukcija se razlaže na vedi broj malih elemenata čime se nepoznati problem definira na oređenom broju diskretnih točaka na konstrukciji. Umjesto parcijalnih diferencijalnih  jenažbi preostaju linearne  jenažbe sa mogudnošdu njihova automatizirana postavljanja i rješavanja na računalu.

MKE je numerička, a ne analitička metoa.

• MKE se koristi za razmatranje i analizu širokog polja zadada: • -analizu naprezanja konstrukcijama;

i

deformacija

• -dinamiku konstrukcija i analizu vibracija; • -provođenje topline kroz materijale • -mehaniku fluida • -elektrostatiku

na

• Svako cjelovito tijelo se može izijeliti u

oređeni broj manjih površina ili zapremina koji se nazivaju konačnim elementima. Taj postupak se naziva diskretizacijom, a skup

konačnih elementa se naziva mrežom.

•

štapni elementi

•

2D paralelopipedi i trokuti

•

3D blok, klin, tetraedar

• Pomaci se utvrđuju kao prvi poatak na skupu

točaka koje zovemo čvorovima. Čvorovi se nalaze na kutovima elemenata i po potrebi na

sreini stranice ili u elementu. Čvorovi na rubu susjenih elemenata moraju biti zajenički za susjedne elemente.

• Postoji više načina za definiranje mreže konačnih elemenata. Analizom izračunavamo pomake točaka (konačan broj točaka odn. u čvorovima elemenata) za opteredenje naneseno na model konstrukcije. Pomaci drugih točaka elementa su definirani u odnosu na pomake čvorova elementa.

• Pomak čvora u 2-D ima dvije komponente (stupnja slobode): • -jednu paralelnu sa referentnom x-osi • -jednu paralelnu sa y-osi

Opteredenja • Opteredenja se mogu nanositi samo na mjestu čvorova. • Uobičajeno je a se opteredenje sa elementa

koncentrira u čvorovima prema pripaajudoj površini čvora.

• • Mreža KE mora ogovarati stanju naprezanja u

elementu i stanju opteredenja.

Proces iznalaženja rješenja primjenom MKE omogudava korisniku da odredi broj nepoznanica, koje se oređuju: -svaki čvor ima dva pripaajuda stupnja slobode u 2-D i tri za 3-D blok element. 1. Izračunavaju se čvorni pomaci i oslonačke reakcije; 2. Izračunava ju se ogovarajude deformacije; 3. Iz deformacija se izračunavaju naprezanja.

Ulazni podaci -geometrija konstrukcije, veze između elemenata -materijal, poprečni presjeci -rubni uvjeti

-formiranje matrice krutosti elemenata -prijelaz na globalni koor dinatni sustav

-formiranje matrice krutosti konstrukcije

-uvažavanje rubnih uvjeta

-rješavanje sustava jednadžbi

-Izračunavanje: 1.oslanačke reakcije 2.presječne sile

automatiz irano na kompjuter  u

O točnosti proračuna MKE MKE je točna samo za čvorne točke. Između njih aproksimacija konačnim elementima daje različitu vrijednost. Činjenica da MKE daje točnu vrijednost u čvorovima se naziva superkonvergencijom.

Povedanjem broja konačnih elemenata razlika od točne vrijednosti u predjelu između čvorova se smanjuje.

• Konstrukcije imaju beskonačan broj stupnjeva slobode. • Pojelom na konačne elemente obivamo moel

sa konačnim brojem stupnjeva sloboe. • Greška pri proračunu nastaje uslije zanemarivanja oređenog broja stupnjeva sloboe (greška moeliranja) • Greška se smanjuje progušdenjem (povedanjem broja stupnjeva sloboe) mreže. • Cilj pri proračunu je a obijemo što točniji rezultat uz minimum stupnjeva slobode.

• Tlačni rezervoar promjera D=60cm ima

ebljinu stijenki t=1.2cm i izložen je unutarnjem pritisku od 70kp/cm2.

• Teorijski proračun nam aje vrijenost naprezanja od

• 1750 kp/cm2 • Dvije aproksimacije MKE sa membranskim stanjem naprezanja

Prikaz konvergencije

Primjer proračuna MKE

• • • •

Uspjeh analize ovisi o: -modeliranju konstrukcije; -primjeni ogovarajudeg programa; -ogovarajude mehaničke i fizičke karakteristike se moraju priružiti materijalu od kojeg je sačinjena konstrukcija. • -rubni uvjeti (ograničenja pomaka oređenih čvorova) se moraju točno definirati; • -provjeri ulaznih podataka.