Katedra za metalne i drvene konstrukcije
Metalne konstrukcije 1
ZADATAK: Odrediti dimenzije nosača koristeći teoriju plastičnosti, te provjeriti prostornu stabilnost elementa. Vlastitu težinu nosača zanemariti. Materijal: S235 (Fe360) Nosač je bočno pridržan u to čkama A i B. Pgr=40.0 kN
Pgr=40.0 kN
Pgr=40.0 kN
A
B
2.0 m
2.0 m
2.0 m
2.0 m
8.0 m
1. ODREĐIVANJE MEHANIZAMA
Mogući mehanizmi a) Pgr=40.0 kN
Pgr=40.0 kN
Pgr=40.0 kN
M pl
ν M pl 2.0 m
2.0 m
2.0 m
2ν 2.0 m
8.0 m
- primjena načela virtualnog rada (metoda mehanizama)
= Wu Pgr ⋅ 2 ν = M pl ⋅ (2 (2ν + ν ) M pl = 26.7 kN kNm Wv
b) Pgr=40.0 kN
Pgr=40.0 kN
Pgr=40.0 kN
M pl
ν M pl 2.0 m
2.0 m
3ν 2 2.0 m
8.0 m
1
2.0 m
Katedra za metalne i drvene konstrukcije
Metalne konstrukcije 1
- primjena načela virtualnog rada (metoda mehanizama) Wv
= Wu
Pgr ⋅ 3ν = M pl ⋅ (
3
2 M pl = 48.0 kNm
ν + ν)
c) Pgr=40.0 kN
Pgr=40.0 kN
Pgr=40.0 kN
M pl
ν 4ν 3
M pl 2.0 m
2.0 m
2.0 m
2.0 m
8.0 m
- primjena načela virtualnog rada (metoda mehanizama) Wv
= Wu
Pgr ⋅ 4ν = M pl ⋅ (
4
3 M pl = 68.6 kNm
ν + ν)
d) Pgr=40.0 kN
Pgr=40.0 kN
Pgr=40.0 kN
M pl
ν 4ν 3
M pl 2.0 m
2.0 m
2.0 m
2.0 m
8.0 m
- primjena načela virtualnog rada (metoda mehanizama) Wv
= Wu
Pgr ⋅ 4ν = M pl ⋅ (
4
3 M pl = 96.0 kNm
2
1
ν + ν) 3
Katedra za metalne i drvene konstrukcije
Metalne konstrukcije 1
e) Pgr=40.0 kN
Pgr=40.0 kN
Pgr=40.0 kN
M pl
ν M pl 2.0 m
2.0 m
2ν 2.0 m
2.0 m
8.0 m
- primjena načela virtualnog rada (metoda mehanizama)
= Wu Pgr ⋅ 8ν = M pl ⋅ (2ν + ν ) M pl = 106.7 kNm Wv
- Mjerodavan je mehanizam e) Napomena: Element se bo čno pridržava na mjestima formiranja plastičnog zgloba. Nosa č se dodatno pridržava na sredini.
2. DIJAGRAMI REZNIH SILA
Teorija plastičnosti
Pgr=40.0 kN
Pgr=40.0 kN
Teorija elastičnosti
Pgr=40.0 kN
Pgr=40.0 kN
M
106.7 kNm
149.7 kNm
40.1 kNm
Pgr=40.0 kN
M
7.7 kNm
+ 93.5 kNm
106.7 kNm
71.4 kNm
+ 85.2 kNm
T
Pgr=40.0 kN
82.6 kNm
T 46.6 kN
6.6 kN 73.4 kN
41.3 kN
1.3 kN 33.4 kN
78.7 kN
3
38.7 kN
Katedra za metalne i drvene konstrukcije
Metalne konstrukcije 1
3. ODREĐIVANJE PRELIMINARNIH DIMENZIJA POPREČNOG PRESJEKA
M pl,Rd
≥ M pl,Sd
W pl,y ⋅ f y
γ M0 pot W pl, y
≥ M pl,Sd = 106.7 kNm
≥ k⋅
M pl,Sd ⋅ γ M0 fy
= 1, 3 ⋅
106.7 ⋅100 ⋅1,1 23,5
= 648, 7 cm 3
Napomena: k – proizvoljni broj
- odabran je profil IPE 300 (W pl,y=628,4 cm3) 4. KLASIFIKACIJA POPREČNOG PRESJEKA
HRBAT d t w
=
248,6 7,1
= 35, 0 < 72 ⋅ ε = 72 ⋅1, 0
- hrbat se nalazi u klasi I POJASNICA 150,0 c t f
=
2 10,7
= 7, 0 < 10 ⋅ ε = 10 ⋅1, 0
- pojasnica se nalazi u klasi I
→ Poprečni presjek svrstan je u klasu I.
4
Katedra za metalne i drvene konstrukcije
Metalne konstrukcije 1
5. OTPORNOST POPREČNOG PRESJEKA
Otpornost popre čnog presjeka na savijanje
pl , Rd
=
W pl , y ⋅ f y γ M 0
=
628,4 ⋅ 23,5 1,1
= 134, 2 kNm ≥ M pl , Sd = 106, 7 kNm
Otpornost popre čnog presjeka na posmik
≤ 69 ⋅ ε 35, 0 ≤ 69 ⋅1, 0 d t w
- nije potrebna provjera izbo čavanja hrpta na posmik V pl , y , Rd =
Av ⋅ f y 3 ⋅ γ M 0
= 1, 03 ⋅ h ⋅ t w = 1, 03 ⋅ 30, 0 ⋅ 0, 71 = 21, 9 cm 2 21,9 ⋅ 23,5 V pl , y , Rd = = 270, 4 kN ≥ V pl , y , Sd = 73, 4 kN 3 ⋅1,1
Av
Interakcija M,V -
ako je V pl , y , Sd
M pl ,V , Rd M pl , Rd
-
M pl ,V , Rd M pl , Rd
≤ 0.5 ⋅V pl , y , Rd tada vrijedi:
= 1.0
ako je V pl , y , Sd > 0.5 ⋅V pl , y , Rd tada vrijedi:
⎛ V ⎞ = 1 − ⎜⎜ pl , y , Sd ⎟⎟ ⎝ V pl , y, Rd ⎠
2
5
Katedra za metalne i drvene konstrukcije
Metalne konstrukcije 1
6. OTPORNOST ELEMENTA NA SAVIJANJE
2 2 ⎡ ⎤ k L ⋅ ⋅ G ⋅ I t ⎛ ⎞ ( ) I k 2 w ⎢ M cr = C1 ⋅ ⋅ C2 ⋅ g + ⎜ ⎟ ⋅ + + (C2 ⋅ g ) ⎥ 2 2 ⎥ π ⋅ E ⋅ I z ( k ⋅ L ) ⎢⎣ ⎝ kw ⎠ I z ⎦
π 2 ⋅ E ⋅ I z
ψ = 0 (oblik momentnog dijagrama) L = 400 cm (razmak točaka bočnog pridržanja) G=
E 2 (1 +ν )
=
21000
Oblik momentnog dijagrama
= 8077 kN / cm2
2 (1 + 0, 3 )
= 1, 0 → C 1 = 1,879 k w = 1, 0 k
M cr = 1,879 ⋅
π 2 ⋅ 21000 ⋅ 603,8
(1⋅ 400 )
2
2 2 ⎡ ⎤ 1⋅ 400 ) ⋅ 8077 ⋅ 20,1 ( 1, 0 125900, 0 ⎛ ⎞ ⋅ ⎢0 + ⎜ ⎟ ⋅ + 2 +0⎥ 1, 0 603,8 π 21000 603,8 ⎢ ⋅ ⋅ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
M cr = 29985,1 kNcm = 299,9 kNm Relativna vitkost λ LT = β w
β w ⋅W pl , y ⋅ f y M cr
= 1, 0 − za klasu 1 i 2
λ LT =
1, 0 ⋅ 628, 4 ⋅ 23, 5 29985,1
= 0,70 > 0, 4
Za valjane profile mjerodavna je linija izvijanja a Određ ivanje faktora redukcije χ LT Za λ LT = 0, 70 ⇒ χ LT = 0,8477 M b , Rd
= χ LT ⋅
β w ⋅ Wpl , y ⋅ f y
= 0,8477 ⋅ b , Rd
γ M 1 1, 0 ⋅ 628, 4 ⋅ 23, 5 1,1
= 11380,3 kNcm = 113,8 kNm
Uvjet nosivosti
≤ M b, Rd 106, 7 kNm < 113,8 kNm
M y , Sd
6
