Teorija Plasticnosti i Viskoelasticnosti

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARTSVA I BRODOGRADNJE ZAVOD ZA TEHNIČKU MEHANIKU

Teorija plastičnosti i viskoelastičnosti Sažetak predavanja Prof. dr. sc. Dragan Pustaić Ivana Cukor, demonstrator u Zavodu za tehničku mehaniku

Zagreb, 2009.

Teorija plasti č n čnosti nosti i viskoelasti č čnosti osti

Prof. dr. sc. D. Pustai ć ć i i I. Cukor, demos

SADRŽAJ SADRŽAJ .......................... ............................... ............................... ............................... .............. II Popis slika ............................ .............................. ............................. ....................................... ..... IV Popis tablica ............................ ............................. .............................. ........................................ VII

I. TEORIJA PLASTIČNOSTI 1.

Mehani čka svojstva materijala pri jednoosnom rastezanju i sabijanju..........2 1.1 Konvencionaln Konvencionalnii dijagram dijagram rastezanja rastezanja i sabijanja sabijanja materijala ................ ....................... ............... ................ ........ 2 1.2 Utjecaj uvjeta ispitivanja na oblik dijagrama rastezanja i sabijanja materijala .......... 5 1.2.1 Utjecaj brzine deformiranja deformiranja ............... ....................... ................ ............... ............... ............... ............... ............... ............... ........... ... 5 1.2.2 Utjecaj temperature ispitivanja ispitivanja na dijagram deformiranja .............................. ... 6 1.3 Shematizirani dijagrami rastezanja i sabijanja......................... sabijanja ......................... ............................ ..... 8 1.4 Reološki Reološki modeli ............... ...................... ............... ............... ............... ............... ............... ................ ............... ............... ............... ............... ............ .... 11

2.

Aksijalno opterećenje štapova i štapnih konstrukcija...................................13 2.1 2.2

3.

Analiza štapnih konstrukcija u elasti čnom i u plastičnom stanju........... stanju................... ............... .......... ... 13 Primjer Primjer programskog zadatka zadatka – analiza analiza naprezanja u štapovima ............... ....................... ........... ... 26

Savijanje prizmatičnih štapova u plastičnom područ ju ......................... ............ .................... ....... 32 3.1 Savijanje štapa od elasti čno-idealno plastičnog materijala..... materijala............. ............... ............... ............... ......... .. 32 3.1.1 simetrije....... ............... ............... ............... ............ .... 33 Čisto savijanje štapa čiji presjek ima dvije osi simetrije 3.1.2 simetrije............. .............. ...... 37 Čisto savijanje štapa čiji poprečni presjek ima jednu os simetrije..... 3.2 Rasterećenje elasto-plasti čno deformiranog deformiranog štapa............. štapa.................... ............... ............... ............... .............. ...... 41 3.3 Savijanje silama u plasti čnom područ ju............................ ju ............................ .............................. ........ 42 3.4 Primjer programskog zadatka – savijanje grede od elasti čno-idealno plastičnog materijala ........................... ............................. .............................. ............................. ......... 47

4. Savijanje statički neodređenih kontinuiranih nosača i okvirnih nosača u plastičnom područ ju............ ju ......................... .......................... .......................... ......................... ......................... .......................... .................... ....... 53 4.1 Analiza graničnog stanja.................... ............................ ............................. ............ 53 4.2 Metoda virtualnih virtualnih radova ............... ....................... ............... ............... ............... ............... ............... ............... ................ ............... ............ ..... 55 4.3 Analiza graničnih stanja okvirnih nosa ča Mehanizmi plastičnog sloma okvirnih nosača 56

5.

Uvijanje štapova kružnog poprečnog presjeka........... presjeka...................... ...................... ...................... ............. ..60 60 5.1 5.2 5.3

Uvijanje štapa od nelinearno elastičnog materijala..... materijala............ ............... ............... ............... ................ .............. ...... 60 Uvijanje štapa od elastično-idealno plastičnog materijala materijala ............... ....................... ............... ............... ........ 64 Uvijanje štapa od elastično-linearno očvršćujućeg materija materijala la ............... ....................... ............... ......... .. 66

Z a v o d z a t e h n i č č k u m e h a n i k u F S B - a

II

Teorija plasti č nosti i viskoelasti čn osti

Prof. dr. sc. D. Pustai ć i I. Cukor, demos

II. TEORIJA VISKOELASTIČNOSTI 6.

Teorija puzanja materijala................................................................................71 6.1 Viskoelastični modeli deformabilnog tijela .............................................................. 71 6.2 Osnovni rezultati eksperimentalnog ispitivanja puzanja pri jednosonom napregnutom stanju (rastezanju)........................................................................................ 73 6.3 Krivulja relaksacije .................................................................................................. 74 6.4 Krivulja puzanja ...................................................................................................... 77 6.5 Voight-Kelvinov model ............................................................................................ 78 6.6 Maxwellov model .................................................................................................... 82 6.7 Troparametarski viskoelasti čni modeli.................................................................... 87 6.8 Model viskoelastičnog deformabilnog tijela s tri elementa...................................... 88 6.9 Višeparametarski viskoelasti čni modeli .................................................................. 93 6.10 Model standardnog deformabilnog tijela................................................................. 94 6.11 Poopćeni Voight-Kelvinov model .......................................................................... 100 6.12 Poopćeni Maxwellov model .................................................................................. 101 6.13 Boltzmanov princip superpozicije ......................................................................... 102

Z a v o d z a t e h n i č k u m e h a n i k u F S B - a

III



Popis slika Slika 1.1. Konvencionalni dijagram rastezanja............................................................................. 2 Slika 1.2. Dijagram povijesti deformiranja .................................................................................... 4 Slika 1.3. Bauschingerov efekat ................................................................................................... 5 Slika 1.4.Utjecaj brzine deformiranja............................................................................................ 6 Slika 1.5. Ovisnost vla čne čvrstoće bakra o brzini deformiranja i o temperaturi ispitivanja......... 6 Slika 1.6. Dijagram naprezanje-deformacija u ovisnosti o pove ćavanju temperature .................. 7 Slika 1.7. Ovisnost ψ , ν , E , σ D, δ o temperaturi............................................................................ 7 Slika 1.8. Dijagram naprezanje-deformacija pri sobnoj i pri sniženim temperaturama................. 8 Slika 1.9. Shematizirani dijagram rastezanja mekog čelika s izraženom plohom tečenja (AB) – linerano očvršćivanje.................................................................................................................... 8 Slika 1.10. Linearna aproksimacija krivulje o čvršćivanja.............................................................. 9 Slika 1.11. Shematizirani dijagram rastezanja mekog čelika s izraženom plohom tečenja (AB) – nelinerano očvršćivanje.............................................................................................................. 10 Slika 1.12. Shematizirani dijagram rastezanja legiranog čelika: a) elastično - linearno očvršćujući materijal – bilinearni dijagram; b) elasti čno nelinearno - očvršćujući materijal ........ 10 Slika 1.13. Shematizirani dijagrami: a) elasti čno-idealno plastičan materijal, b) kruto-idealno plastičan materijal, c) kruto-linearno o čvrščujući materijal ......................................................... 11 Slika 1.14. Osnovni reološki elementi : a) linearni viskozni prigušiva č, b) linearna opruga, c) plastični kliza č ............................................................................................................................ 11 Slika 2.1. Štapna konstrukcija – aksijalno optere ćena. Materijal štapova elasti čno-idealno plastičan ..................................................................................................................................... 13 Slika 2.2. Štap od elasti čno-idealno plastičnog materijala opterećen koncentriranom silom F .. 16 Slika 2.3. Ovisnost pomaka presjeka C o optere ćenju štapa F .................................................. 18 Slika 2.4. Rasterećenje elasto-plastično deformiranog štapa .................................................... 19 Slika 2.5. Štapna konstrukcija aksijalno optere ćena. Materijal štapova elastično-linearno očvršćujući.................................................................................................................................. 20 Slika 2.6. Grafički prikaz ovisnosti uzdužnih sila u štapovima o vanjskom optere ćenju konstrukcije ............................................................................................................................ .... 22 Slika 2.7. Programski zadatak – analiza naprezanja u štapnoj konstrukciji i izra đenoj od elastično-linearno očvršćujućeg materijala................................................................................. 26 Slika 2.8. Dijagram ovisnosti uzdužnih sila u štapovima u ovisnosti o iznosu sile F .................. 31 Slika 3.1. Savijanje ravnoga prizmati čnog štapa: a) početni oblik štapa s koordinatnim sustavom, b) deformirani oblik štapa.......................................................................................... 32 Z a v o d z a t e h n i č k u m e h a n i k u F S B - a

IV



Slika 3.2. Elastoplasti čno stanje štapa: a) elasti čna jezgra i dva plastificirana podru č ja, b) elastično stanje, c) maksimalna naprezanja u elasti čnom stanju, d) raspodjela naprezanja u elastoplastičnom stanju, e) raspodjela naprezanja u graničnom stanju ..................................... 33 Slika 3.3. Poprečni presjeci štapa: a) pravokutnik, b) krug, c) romb .......................................... 35 Slika 3.4. Postupni razvoj plastificiranih podru č ja i pomicanje neutralne osi: a) potpuno plastificiran poprečni presjek, b) naprezanja u elasti čnom stanju, c) maksimalna naprezanja u elastičnom stanju, d) i e) naprezanja u elastoplasti čnom stanju, f) raspodjela naprezanja u graničnom plastičnom stanju...................................................................................................... 37 Slika 3.5. Ovisnost momenta savijanja

M y .pl M y .T

o omjeru deformacija

ε x .max .............................. 40 ε T

Slika 3.6. Raspodjela normalnih naprezanja po poprečnom presjeku štapa od elasti čno-idealno plastičnog materijala: a) poprečni presjek štapa, b) kod optere ćenja, c) kod rasterećenja, d) zaostala naprezanja, e) kod graničnog opterećenja štapa......................................................... 41 Slika 3.7. Raspodjela normalnih naprezanja po poprečnom presjeku štapa od elastično-linearno očvršćujućeg materijala: a) poprečni presjek štapa,

b) kod opterećenja, c) kod rasterećenja,

d) zaostala naprezanja, e) kod graničnog opterećenja štapa..................................................... 41 Slika 3.8. Nastajanje plasti čnog zgloba na gredi opterećenoj koncentriranom silom................. 42 Slika 3.9. Nastajanje plasti čnog zgloba na gredi opterećenoj jednoliko raspodijeljenim kontinuiranim opterećenjem ....................................................................................................... 45 Slika 3.10. Nastajanje plasti čnog zgloba na konzoli opterećenoj koncentriranom silom na kraju ................................................................................................................................................... 46 Slika 3.11. Nastajanje plasti čnog zgloba na konzoli optere ćenoj linearno raspodijeljenim kontinuiranim opterećenjem ....................................................................................................... 46 Slika 3.12. Programski zadatak – savijanje grede od elasti čno-idealno plastičnog materijala... 47 Slika 3.13. Dijagram momenata savijanja .................................................................................. 48 Slika 3.14. Širenje plastificiranog podru č ja................................................................................. 52 Slika 4.1. Analiza grani čnog stanja kontinuirane grede.............................................................. 54 Slika 4.2. Primjer - Analiza grani čnog stanja okvirnog nosača................................................... 57 Slika 5.1. Uvijanje štapa – geometrijska analiza ........................................................................ 60 Slika 5.2. Raspodjela kutnih deformacija i tangencijalnih naprezanja po popre čnom presjeku štapa izrađenog od linearno elastičnog materijala ..................................................................... 62 Slika 5.3. Raspodjela kutnih deformacija i tangencijalnih naprezanja po popre čnom presjeku štapa izrađenog od elastično-idealno plastičnog materijala ....................................................... 62 Slika 5.4. Raspodjela kutnih deformacija i tangencijalnih naprezanja po popre čnom presjeku štapa izrađenog od nelinearno elastičnog materijala ................................................................. 63 Z a v o d z a t e h n i č k u m e h a n i k u F S B - a

V



Slika 5.5. Uvijanje štapa od elasti čno-idealno plastičnog materijala .......................................... 65 Slika 5.6. Uvijanje osovine od elasti čno-linearno očvršćujućeg materijala................................. 67 Slika 6.1. Osnovni reološki elementi: a) linearno elasti čna opruga, b) viskozni element ........... 71 Slika 6.2. Krivulje puzanja .......................................................................................................... 73 Slika 6.3. Krivulja relaksacije...................................................................................................... 74 Slika 6.4. Krivulja puzanja .......................................................................................................... 77 Slika 6.5. Voight-Kelvinov model................................................................................................ 78 Slika 6.6. Krivulja puzanja i krivulja relaksacije Voight-Kelvinova modela ................................. 81 Slika 6.7. Maxwellov model ........................................................................................................ 82 Slika 6.8. Krivulja puzanja i krivulja relaksacije Maxwellova modela.......................................... 86 Slika 6.9. a) Voight-Kelvinov model serijski spojen s linearno elasti čnom oprugom, b) krivulja puzanja....................................................................................................................................... 87 Slika 6.10. a) Voight-Kelvinov model serijski spojen s viskoznim elementom, b) krivulja puzanja ................................................................................................................................................... 87 Slika 6.11. Krivulja puzanja modela s tri elementa..................................................................... 89 Slika 6.12. Krivulja relaksacije viskoelasti čnog modela s tri elementa ....................................... 92 Slika 6.13. Viskoelasti čni model deformabilnog tijela s četiri elementa...................................... 94 Slika 6.14. Krivulja puzanja (a) i krivulja relaksacije (b) viskoelasti čnog modela deformabilnog tijela s četiri elementa................................................................................................................. 99 Slika 6.15. Poopćeni Voight-Kelvinov model............................................................................ 100 Slika 6.16. Poopćeni Maxwellov model .................................................................................... 101 Slika 6.17. a) Skokovita promjena naprezanja s vremenom, b) ovisnost deformacije o vremenu (krivulja puzanja) ...................................................................................................................... 102


VI



Popis tablica Tablica 1.1. Reološki modeli ...................................................................................................... 12 Tablica 2.1. Faktori pove ćanja nosivosti u plastičnom područ ju ................................................ 37


VII



I. TEORIJA PLASTIČNOSTI


1



1. Mehanička svojstva materijala pri jednoosnom rastezanju i sabijanju 1.1 Konvencionalni dijagram rastezanja i sabijanja materijala

Slika 1.1. Konvencionalni dijagram rastezanja

Dijagram počinje iz ishodišta pravcem koji se naziva Hookeovim pravcem i za koji vrijedi Hookeov zakon : σ = E ⋅ ε . Što je modul elastičnosti E veći, za isto istezanje ε bit će potrebno veće naprezanje σ , odnosno nagib Hookeovog pravca bit će strmiji. Svako naprezanje u područ ju u kojem vrijedi Hookeov zakon izaziva samo elastičnu deformaciju (istezanje) pa nakon rastere ćenja deformacija isčezava. Hookeov pravac je s gornje strane ograni čen granicom proporcionalnosti σ P do koje vrijedi linearni odnos naprezanja i deformacija. Ako je σ ≤ σ P , vrijedi Hookeov zakon. Malo iznad nje nalazi se granica elastičnosti σ E i predstavlja najviše naprezanje do kojeg se materijal ponaša elastično. Ako je σ ≤ σ E , nakon rasterećenja mjerni dio epruvete potpuno se vra ća u prvobitni oblik i veličinu. Z a v o d z a t e h n i č k u m e h a n i k u F S B - a

2



Granica tečenja σ T je ono naprezanje kod kojeg se epruveta po činje produljivati bez povećanja naprezanja. Granicu tečenja karakteriziraju dvije vrijednosti, gornja i donja granica tečenja, pa se često taj dio prikazuje kao ploha te čenja (B-C), rasterećenjem iz toga područ ja zaostaju u materijalu i trajne plastične deformacije ε pl. ε = εel + ε pl aditivna dekompozicija Kod materijala koji imaju kontinuirani prijelaz iz područ ja elastičnih u područ je plastičnih deformacija utvr đuje se konvencionalna granica razvla čenja. To je ono naprezanje koje će nakon rasterećenja ostaviti u materijalu određenu platičnu deformaciju. Kod konvencionalne granice razvla čenja R P 0,01 ostaje u materijalu nakon rasterećenja plastična deformacija od 0,01%, dok je kod konvencionalne granice razvlačenja R P0 ,2 plastična deformacija 0,2%. Područ je C – M je područ je očvršćenja materijala, povećanjem sile opterećenja, raste i naprezanje σ i deformacija ε . Rasterećenje iz neke točke K događa se po pravcu, jer u procesu rasterećenja vrijedi uvijek Hookeov zakon, budu ći da je veza između smanjenja naprezanja i smanjenja deformacija linearna. Deformacija ε rast pokazuje smanjenje deformacija, ali samo elastičnih σ rast = E ⋅ ε rast

Naprezanje kod maksimalne sile naziva se vla čna ili rastezna čvrstoća R m; R m nije maksimalno naprezanje već naprezanje pri maksimalnoj sili, jer ploština presjeka epruvete od trenutka postizanja maksimalne sile po činje se naglo smanjivati pa stvarno naprezanje, unatoč smanjenju sile raste. Vlačna čvrstoća je osnovno mehani čko svojstvo na temelju kojeg se materijali vrednuju prema svojoj mehaničkoj otpornosti. Naprezanje kod kojeg dolazi do loma epruvete zove se kona čno naprezanje ili lomno naprezanje (točka L). ε L - deformacija kod loma εL = εL.el + ε L.pl ε L.pl - zaostala plastična deformacija kod loma εL.pl = δ l - l δ = ε L.pl = L 0 ΔlL = lL - l 0 , l 0

ε L.pl seodredi mjerenjem duljineepruvete l L nakon loma epruvete ε L.el se povrati δ – parametar delta karakterizira plasti čnost, odnosno duktilnost (rastezljivost) materijala; što je veći, to je materijal duktilniji. δ 5 – kratka epruveta

l 0

d 0

=5

l 0

δ 10 – duga epruveta

ψ – poprečna kontrakcija, također mjera duktilnosti

ψ =

d 0

= 10

A0 - A A0

Dijagram naprezanje-deformacija kakav smo do sada razmatrali naziva se inženjerski ili konvencionalni dijagram, no to nije stvarni dijagram naprezanje – deformacija. Nije zbog toga što se iznosi naprezanja utvr đuju dijeljenjem sila s početnom ploštinom poprečnih Z a v o d z a t e h n i č k u m e h a n i k u F S B - a

3



presjeka A0, što je ispravno samo u područ ju elastičnih deformacija pri čemu se zbog promjenljivosti volumena, unatoč produljenju, epruveta ne sužuje. Stvarno naprezanje dobiva se dijeljenjem trenutne sile s trenutnom površinom. d 0 - početni promjer ispitivane epruvete d - trenutni promjer l 0 − po četnaduljinaispitivaneepruvete A0 - početnapovršinapopre čnogpresjeka A - trenutna površina poprečnog presjeka A0 =

πd 0

2

A =

4 σ - pravo naprezanje

4 σ 0 -konvencionalnonaprezanje F σ 0 = A0

σ =

ε =

A < A0

2 πd

F A

Δl l 0

Δl = l - l 0

σ > σ 0

l

> l 0

ε < ε 0

U teoriji plastičnosti ne postoji jednozna čna veza između deformacija i naprezanja, treba poznavati povijest deformiranja.

Slika 1.2. Dijagram povijesti deformiranja

Bauschingerov efekat - snižavanje granice tečenja u drugom ciklusu optere ćivanja ako se opterećenju promijeni predznak.


4



Ako se takav materijal rasteže od izvornog stanja, dijagram ima tok OAB. Nakon rasterećenja naprezanje se linearno smanjuje do to čke C. Ako se tada materijal tla či, dijagram se mijenja po liniji CDEF, pa je σ TD <σ T . Kad bi se materijal u stanju C ponovno rastezao, deformirao bi se prema dijelu dijagrama CBI. Prema tome, deformiranjem se povećava granica tečenja, ako ponovno optere ćenje ima isti predznak. Granica se tečenja, međutim, smanjuje ako se nakon deformiranja pri ponovnom opterećenju naprezanju mijenja predznak. Ako se naprezanju u to čki F promijeni predznak, deformiranje se odvija po pravcu FGH, a zatim po krivulji HABI: Kad bi se materijal u izvornom stanju opteretio tlačno, deformiranje bi se odvijalo po krivulji OEF.

Slika 1.3. Bauschingerov efekat

1.2 Utjecaj uvjeta ispitivanja na oblik dijagrama rastezanja i sabijanja materijala

- utjecaj brzine deformiranja – kojom brzinom povećavamo silu - utjecaj temperature ispitivanja 1.2.1

Utjecaj brzine deformiranja ξ=

dε & ⎡ 1 ⎤ = ε ⎢ ⎥ dt ⎣s⎦

kod statičkog pokusa


10

−5

⎡ 1⎤ −& 10−2 ⎢ ⎥ & ⎣s⎦

5



Slika 1.4.Utjecaj brzine deformiranja

Kod dinamičkog opterećivanja: • u dijagramu rastezanja nema izražene plohe tečenja, •

pri dinamičkom opterećenju viša je vlačna čvrstoća,

•

dolazi do loma pri puno manjoj ukupnoj deformaciji.

1.2.2

Utjecaj temperature ispitivanja na dijagram deformiranja

Slika 1.5. Ovisnost vlačne čvrstoće bakra o brzini deformiranja i o temperaturi ispitivanja


6



Porastom temperature ispitivanja smanjuju se : • modul elastičnosti materijala E , •

granica proporcionalnosti σ P ,

•

granica tečenja σ T ,

• granica čvrstoće σ M ,

dok Poissonov broj ν, zaostalo relativno produljenje kod loma δ i zaostalo relativno suženje površine popre čnog presjeka (poprečna kontrakcija ψ ) rastu s porastom temperature.

Slika 1.6. Dijagram naprezanje-deformacija u ovisnosti o povećavanju temperature

Slika 1.7. Ovisnost ψ , ν, E , σ D, δ o temperaturi Z a v o d z a t e h n i č k u m e h a n i k u F S B - a

7



Snižavanjem temperature rastu: E , σ T, σ M, a smanjuju se δ5, ψ

Slika 1.8. Dijagram naprezanje-deformacija pri sobnoj i pri sniženim temperaturama

1.3 Shematizirani dijagrami rastezanja i sabijanja

Slika 1.9. Shematizirani dijagram rastezanja mekog čelika s izraženom plohom tečenja (AB) – linerano očvršćivanje


8



σ = E ⋅ ε ,

0 ≤ ε ≤ ε T gornji granični slučaj → točka A → σ T = E ⋅ ε T .

0- A:

ε T = σ = σT ,

σ T E

(1)

εT ≤ ε ≤ εT ∗

(2) za materijal s izraženom plohom tečenja materijal s izraženom plohom tečenja i linearnim očvršćenjem B -C : tg β1 = ET εT ≤ ε ≤ ε1 β1 < β E T − modul očvršćenja materijala ε 1 izabiremo sami ovisno o veličini deformacije koju želimo modelirati

A - B :

λ = 1 −

E T E

ET < E ,

− parametar očvršćenja materijala E T E

< 1,

λ > 0.

σ = σ (ε ) jednadžba pravca, ne vrijedi više Hookeov zakon σ - σ T = E T ⋅ (ε - ε T ∗ ) jednadžba pravca

(3)

linearna veza σ i ε σ = σ T + E T ε - E T ε T ∗ E T εT

∗

E T εT ∗ ε T ∗ = σT ⋅ ⋅ = σT (1− λ) ⋅ E εT ε T

⎡ ε T ∗ ⎤ σ = σT ⎢1 − (1 − λ) ⋅ ⎥ + E T ε ε ⎣ T ⎦

(4)

Slika 1.10. Linearna aproksimacija krivulje očvršćivanja


9


•


materijal s nelinearnim očvršćenjem i izraženom plohom tečenja

Slika 1.11. Shematizirani dijagram rastezanja mekog čelika s izraženom plohom tečenja (AB) – nelinerano očvršćivanje

0−A: A − B: B−C:

σ = E ⋅ ε σ = σ T

⎛ ε ⎞ σ = σ T ⎜ ∗ ⎟ ⎝ ε T ⎠

m

0 < m <1

Shematizirani dijagram za materijal s neizraženom plohom te čenja – legirani čelici prikazani su na slici 1.12., bilinearni dijagram prikazan je na slici a), a nelinearno očvršćujući materijal s parametrima materijala A i m na slici b) • elastično-linearno očvršćujući materijal

Slika 1.12. Shematizirani dijagram rastezanja legiranog čelika: a) elastično - linearno očvršćujući materijal – bilinearni dijagram; b) elastično nelinearno - očvršćujući materijal Z a v o d z a t e h n i č k u m e h a n i k u F S B - a

10



Slika 1.13. Shematizirani dijagrami: a) elastično-idealno plastičan materijal, b) kruto-idealno plastičan materijal, c) kruto-linearno očvrščujući materijal

1.4 Reološki modeli

Reološki modeli su modeli kojima opisujemo idealizirane dijagrame deformiranja realnih materijala. Sastavljeni su od reoloških elemenata. Osnovni reološki elementi su: linearna opruga, plastični klizač i linearni viskozni prigušivač te su prikazani na slici 1.14.

Slika 1.14. Osnovni reološki elementi : a) linearni viskozni prigušivač, b) linearna opruga, c) plastični klizač


11



Tablica 1.1. Reološki modeli


12



2. Aksijalno opterećenje štapova i štapnih konstrukcija 2.1 Analiza štapnih konstrukcija u elasti čn om i u plasti čn om stanju

Osnove analize grani čnih stanja konstrukcije Opterećenje na konstrukciju polagano i monotono raste (stati čka, mirna opterećenja) od nule do svoje granične vrijednosti. 0 ≤ F ≤ F gr Konstrukcija prolazi kroz tri karakteristi čna stadija dok opterećenje raste: 1. Konstrukcija se nalazi u elastičnom stanju. 2. Konstrukcija se nalazi u elasto-plastičnom stanju. 3. Konstrukcija se nalazi u plasti čnom stanju, konačna točka je granično plastično stanje u kojem je optere ćenje dostiglo graničnu vrijednost i dolazi do sloma ili kolapsa konstrukcije. Kod proračuna konstrukcije u plastičnom područ ju uvijek moraju biti zadovoljene tri grupe jednadžbi: • Uvjeti ravnoteže. •

Uvjeti kompatibilnosti pomaka (uvjeti deformacije).

•

Kriteriji tečenja materijala.

Kriterij tečenja za jednoosno napregnuto stanje – do plasti čnog tečenja materijala štapa doći će onda kada naprezanje u štapu postane jednako granici tečenja materijala.

Primjer: Svi štapovi su od istog materijala ( E ) i istog poprečnog presjeka A, sila F se mijenja od 0 do granične vrijednosti,materijal je elasti č no-idealno plasti ča n.

Slika 2.1. Štapna konstrukcija – aksijalno Z a v o d z a t e h n i č k u m e h a n i k u F S B - a

13



opterećena. Materijal štapova elastično-idealno plastičan

1. ANALIZA KONSTRUKCIJE U ELASTIČNOM STANJU UVJETI RAVNOTEŽE ∑ Fx = 0

− N 1 sin α + N 3 sin α = 0

(1)

N1 = N 3

∑ Fy = 0

N 1 cos α + N2 + N 3 cos α − F = 0

(2)

2N 1 cos α + N2 = F (2a) zadatak je jedanput statički neodređen UVJETI DEFORMACIJE

Δl3 = Δ l 1

cos α =

Δl1 =

Δl 1 Δl 2

N 1

N1 ⋅ l

Δl1 = Δl 2 ⋅ cos α l

cos α

Δl 2 =

AE

=

N 2 ⋅ l

⋅ cos α l

AE cos α AE N1 = N 2 cos2 α (4)

(4) ⇒ (2a)

(3)

N 2 ⋅ l AE

⋅ AE cos α

: l

2N 2 cos3 α + N2 = F

N 2 ⋅ (2cos3 α + 1) = F N 2 =

F 2cos3 α + 1

(5)

cos2 α N3 = N1 = F 2cos3 α + 1 α = 30o

A = 2 cm2

l =

4m E = 200 GPa σ T = 250MPa N3 = N1 = 0,32625 F N2 = 0,435 F


14


σ2 =

N2

= 0,435

A σ T ⋅ A

F T A


= σ T

250 ⋅ 106 ⋅ 2 ⋅ 10−4 F T = = = 115 000 N = 115 kN 0,435 0,435 σ T = E ⋅ εT ε2 = εT =

ε T =

σ T E σ T

Δl2 = ε 2 ⋅ l =

E

σ T E ε 2 =

Δl 2 l

⋅ l = 5 mm

Malo produljenje pri ulazu u plasti č no područ je

2. ANALIZA KONSTRUKCIJE U ELASTO-PLASTIČNOM STANJU F > F T

Naprezanje u 2. štapu je σ T = konst, raste u 1. i 3. do σ T N 2 = σ A = konst T U sluč aju da su naprezanja u sva tri štapa jednaka granici te č enja materijala σ T ,tj. σ1 = σ T σ 2 = σ T σ 3 = σ T takvo stanje konstrukcije naziva se grani č no stanje konstrukcije Sile u sva tri štapa tada iznose N 1 = N 2 = N 3 = σ A T Sila F poprimila je grani č n u vrijednost, tj. F = F gr

3. ANALIZA KONSTRUKCIJE U GRANIČNOM PLASTIČNOM STANJU ∑ F y = 0

cos α + σ A cos α + σ A σ A = F gr (6) T T T F gr = σ A T (1 + 2c os α )

(7)

3 ) = 2,732 σ A T 2 F gr = 2,732 ⋅ 250 ⋅ 106 ⋅ 2 ⋅ 10 −4 = 136,6 kN (1 + 2 ⋅ F gr = σ A T

F T = 2,3 σ A T


15



Uz npr. Sgr = 2, faktor sigurnosti za granično stanje Fdop =

F gr Sgr

=

136,6 = 68,3 kN < F T − a to znači da se plastične deformacije neće 2 niti pojaviti u konstrukciji, a kamoli da ć e doći do loma

Produljenje štapa BD kod granične sile : Δl 2 =

Δl 1

cos α

AD, CD : Δl1 = ε1 ⋅ l 1 = ε T ⋅

l

cos α

=

σ T

⋅

l

E cos α

= 5,7735 mm

5,7735 = 6,667 mm cos30o 5 → 6,667 mm,dakle radi se o malim elasto - plastičnim deformacijama. Zato neke konstrukcijske čelike možemo shematizirati kao elastično - idealno plastični materijal. Δl 2 =

Primjer a) analiza u elasti č nom podru č ju

materijal: elastično-idealno platičan

Slika 2.2. Štap od elastično-idealno plastičnog materijala opterećen koncentriranom silom F

uvjet ravnoteže:

∑ Fx = 0

− R A - RB + F = 0 (1)

1 jednadžba – 2 nepoznanice – jedanput stati čki neodređen


16



uB = 0

uvjet deformacije :

F ⋅

2 l 5 − R B ⋅ l = 0

AE RB =

3 F 5 2 N2 = −RB = − F 5 N1 = RA =

(2)

AE

2 F 5

RA =

3 F 5

(3)

prvo će se plastificirati dio 1

3 F N 1 5 T uvjet tečenja : σ1 = = = σ T (4) A

A

5 3

F T = σ A T

(5)

b) elasto-plasti čn o stanje štapa – vrijede jednadžbe ravnoteže, dok uvjet deformacije više nije potreban, jer je zadatak postao stati č ki određ en, N 1 = σ A . T

Sila pri kojoj se plastificira dio 2 F gr = ? σ 2 = σ T =

N 2

A . F gr = 2σ A T

=

Fgr - σ A T A

(7)

(8)

c) analiza pomaka presjeka C

0 ≤ F ≤ F T 2 3 2 N1 ⋅ l F ⋅ l 5 5 5 = 6 ⋅ F l (9) uC = = linearna veza između uC i F 25 AE AE AE Veličina pomaka u slučaju kada se plastificirao prvi dio štapa: 5 F = F T = σ A 3 T 5 T ⋅ l 6 3 σ A 2 σ uC = ⋅ = ⋅ T l (10) 25 AE 5 E


17



Slika 2.3. Ovisnost pomaka presjeka C o opterećenju štapa F

FT ≤ F ≤ F gr uC = Δl 2 =

N 2 ⋅

3 l 5

AE

N 2 prema (6) uC =

(F - σ A )⋅ T

3 l 5

(11)

AE

najveći pomak točke C – za uC.gr =

(F gr − σ A )⋅ T AE

gr

i iznosi

3 3 l (2σ A ) l σ A ⋅ T T 5 = 5 = 3 ⋅ σ T l 5 E AE

(12)

d) rastereć enje štapa iz elasto-plasti č nog stanja

- rezultat mora biti zaostali pomak i zaostala naprezanja u štapu 11 (13) F = F ∗ = σ A 6 T 5 12 ∗ σ A F T = σ A < F < F = gr 3 T 6 T


18



3 11 3 (F ∗ − σ A ) l ( 1) l ⋅ − σ A ⋅ T T 1 σ ∗ 5 6 5 uC = = = ⋅ T l 2 E AE AE

(14)

Rastereć enje – zamišlja se kao da se doda sila suprotnog smjera koja raste do F * i kod rasterećenja vrijedi Hookeov zakon!

R A '+ RB '− F' = 0 (a ) u A = 0

−

F '⋅

3 l ' 5 + R A ⋅ l = 0

AE

R 'B =

(b )

AE

2 F' 5

R 'A =

3 F' 5

(c)

3 5

N '1 = −R 'A = − F ' N '2 = R 'B =

2 F ' (d) 5

Slika 2.4. Rasterećenje elasto-plastično deformiranog štapa

potpuno rasterećenje F ' = F ∗ 3 3 11 11 N '1rasterećenja = − F ∗ = − ⋅ σ A = − σ A, T 5 5 6 10 T 2 2 11 11 N '2rastere ćenja = F ∗ = ⋅ σ A = σ A. T 5 5 6 15 T Zaostale sile u štapu poslije potpunog rasterećenja štapa

11 1 σ A = − σ A, T 10 10 T 5 11 1 N2zaostalo = N2 + N '2rastere ćenja = − σ A + σ A = − σ A, T T 6 15 10 T 11 5 ) ( 1) N2 = −(F ∗ − σ A = − − σ A = − σ A. T T 6 6 T N1zaostalo = N1 + N '1rastere ćenja = σ A − T

Zaostala su trajna tlačna naprezanja i jednaka su u oba dijela štapa.


19



Pomak presjeka C pri rasterećenju određuje se iz formule (9) 6 F ∗l uC.rastere ćenja = ⋅ 25 AE 11 F = F ∗ = σ A 6 T 11 ⋅ l T 6 6 σ A 11 σ ⋅ l uC.raster. = ⋅ = ⋅ T . 25 AE 25 E

(17)

Zaostali pomak presjeka C jednak je razlici pomaka pri opterećenju i pri rasterećenju ∗

uC.zaostalo = uCF − uC.rasterećenja =

1 σT ⋅ l 11 σT ⋅ l 3 σ T ⋅ l . ⋅ − ⋅ = ⋅ 2 E 25 E 50 E

(18)

Primjer Materijal: elasti č no-linearno oč vršć uju ći

Slika 2.5. Štapna konstrukcija aksijalno opterećena. Materijal štapova elastično-linearno očvršćujući

Zadano : A, E, E T , σ T , β = λ = 1 −

E T E

σ L σ T

= 2, ET =

1 E. 2

0 ≤ F ≤ F gr


20



a) Analiza konstrukcije u elasti čn om podru č ju

∑ Fx = 0

− N 1 sin α + N 3 sin α = 0

(1)

N1 = N 3

∑ Fy = 0

N 1 cos α + N2 + N 3 cos α − F = 0

(2)

zadatak je jedanput statički neodređen Uvjet deformacije: Δl3 = Δ l 1

cos α =

Δl 1 Δl 2

Δl1 = Δl 2 ⋅ cos α

(3)

N1 ⋅ l N 2 ⋅ l 1 = ⋅ AE AE 2 2N1 = N 2 (4) N2 + 2N1 ⋅

1 =F 2

N1 + 2N1 = F

1 2 F N2 = F (6) 3 3 najveće naprezanje je u 2. štapu – prvi ulazi u plasti čno područ je

N2 + N1 = F

(5)

N1 =


21



σ 2 = σ T

2 F N 2 3 T σ2 = = = σ T A

F T =

(7)

A

3 σ A 2 T

(8) sila pri kojoj 2. štap ulazi u plastično područ je

Slika 2.6. Grafički prikaz ovisnosti uzdužnih sila u štapovima o vanjskom opterećenju konstrukcije

b)Analiza konstrukcije u elasto-plasti č nom podru č ju N1 = N 3 vrijede jednadžbe ravnoteže

cos α =

Δl1 Δl 2

Δl 1 =

Δl 2

2

vrijedi uvjet deformacije

Δl2 = Δl2 ' + Δl 2 '' (9) σ A ⋅l T

Δl2 ' =

AE

λ = 1 −

Δl 2 '' =

(N 2 − σ A ) ⋅ l T AE T

(10)

E T

E E T = (1− λ)E

Δl 2 =

σ T ⋅ A ⋅ l (N 2 − σ A T ) ⋅ l + AE A ⋅ (1− λ)E


22

Teorija Plasticnosti i Viskoelasticnosti

Recommend Documents