UNIVERZITET U TUZLI FAKULTET ELEKTROTEHNIKE
FIZIKA II -SKRIPTA-
Tuzla, april/travanj 2014.
Franjevačka 2, 75000 Tuzla, Bosna i Hercegovina Telefon: +387 35 259-600; Fax: +387 35 259617 http://untz.ba/, http://www.fe.untz.ba/
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
Sadržaj 1. Gravitacija .............................................................................................................................. 4 1.1. Gravitaciona potencijalna energija u Newtonovom zakonu gravitacije .......................... 4 1.2. Gravitacioni potencijal i napon ....................................................................................... 6 1.3. Kosmičke brzine .............................................................................................................. 8 1.4. Inercijalna i gravitaciona masa ...................................................................................... 10 2. Mehanika fluida.................................................................................................................... 11 2.1. Pritisak ........................................................................................................................... 11 2.2. Pascalov zakon .............................................................................................................. 12 2.3. Hidrostatički pritisak ..................................................................................................... 13 2.4. Hidrostatički paradoks................................................................................................... 14 2.5. Potisak ........................................................................................................................... 15 2.6. Arhimedov zakon .......................................................................................................... 16 2.7. Jednačina kontinuiteta strujanja .................................................................................... 16 2.8. Bernoullieva jednačina .................................................................................................. 18 2.9. Primjena Bernoullieve jednačine .................................................................................. 20 2.9.1. Brzina istjecanja idealnog fluida. Torricellieva teorema. ................................................... 20
2.10. Pitotova cijev (Pitoova cijev) ...................................................................................... 21 2.11. Venturieva cijev .......................................................................................................... 22 2.12. Viskoznost. Laminarno i turbulentno kretanje. Reynoldsov broj. .............................. 23 2.13. Proticanje realnog fluida kroz cijev ............................................................................ 25 2.14. Sila otpora sredine ....................................................................................................... 28 3. Toplotne pojave .................................................................................................................... 29 3.1. Unutrašnja energija ....................................................................................................... 29 3.2. Temperatura i termometri.............................................................................................. 30 3.3. Termičko širenje čvrstih tijela ....................................................................................... 31 3.3.1. Linearno termičko širenje ................................................................................................... 31 3.3.2. Površinsko termičko širenje ................................................................................................ 32 3.3.3. Zapreminsko termičko širenje ............................................................................................ 32
3.4. Termičko širenje tečnosti .............................................................................................. 33 3.5. Količina toplote. Specifični toplotni kapacitet tijela. .................................................... 34 4. Gasni zakoni ......................................................................................................................... 37 4.1. Boyle-Mariotteov (Bojl-Marijotov) zakon .................................................................... 37
2
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
4.2. Gay-Lussacov (Gej-Lisakov) zakon .............................................................................. 38 4.3. Charlesov (Šarlov) zakon .............................................................................................. 39 4.4. Opšta jednačina gasnog stanja za idealne gasove ......................................................... 40 4.5. Stepeni slobode ............................................................................................................. 43 4.6. Jednačina stanja za realne gasove ................................................................................. 44 5. Termodinamika .................................................................................................................... 45 5.1. Termodinamički procesi ................................................................................................ 45 5.2. Prvi zakon termodinamike ............................................................................................ 45 5.3. Spoljašnji rad gasa pri različitim procesima.................................................................. 46 5.4. Jednačina adijabate i rad gasa pri adijabatskim procesima ........................................... 47 5.5. Drugi zakon termodinamike .......................................................................................... 49 5.6. Toplotne mašine ............................................................................................................ 50 5.7. Carnotov kružni proces ................................................................................................. 51 5.8. Entropija ........................................................................................................................ 54 5.8.1. Entropija povratnih procesa ................................................................................................ 54 5.8.2. Entropija nepovratnih procesa ............................................................................................ 56
3
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
1. Gravitacija 1.1. Gravitaciona potencijalna energija u Newtonovom zakonu gravitacije Po definiciji potencijalna energija tijela mase m koje se nalazi na nekoj visini h iznad Zemljine površine data je relacijom:
Primjenjujući Newtonov zakon gravitacije izvest ćemo općenitiji izraz za gravitacionu potencijalnu energiju na bilo kojoj udaljenosti od središta Zemlje. Posmatrajmo tijelo mase m2 koje se nalazi u gravitacionom polju tijela mase m1 kao na ilustraciji 1.
Ilustracija 1. Gravitaciono polje Zemlje.
Izračunajmo prvo rad koji je potreban da se tijelo mase m2 prenese iz tačke A u tačku B. ∫
∫
|
∫
|
(
)
Iz prethodne relacije vidimo da rad ne zavisi od puta već samo od početnog i krajnjeg položaja tijela mase m2 čime smo ujedno i dokazali da je gravitaciona sila konzervativna. Rad se može prikazati razlikom potencijalnih energija:
4
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
Iz relacije (1) slijedi ako uporedimo:
Konstantu C možemo odrediti iz uslova da je gdje je potencijalna energija jednaka nuli, pa iz prethodnih relacija slijedi da je i konstanta C jednaka nuli. Na osnovu toga možemo pisati da je potencijalna energija tijela u gravitacionom polju:
Ako tačku B (krajnja tačka) uzmemo na površini zemlje, a tačku A proizvoljno mijenjamo ( Na osnovu ovih uslova i primjenjujući ove oznake slijedi da je gravitaciona potencijalna energija r iznad zemljine površine: (
)
Izraz (3) je takoĎer općeniti izraz za gravitacionu potencijalnu energiju gdje smo za referentnu tačku uzeli površinu zemlje. ( Ako se tijelo nalazi na malim visinama ( osnovu te aproksimacije relacija (4) poprima oblik:
) ) u tom slučaju je
i na
Prije smo imali relaciju za gravitaciono ubrzanje na površini zemlje:
Na osnovu toga relacija (5) prelazi u:
Ako uporedimo relacije (2) i (6) vidimo da se one razlikuju po predznaku zato što smo uzimali različite referentne nivoe za nulte vrijednosti potencijalne energije. U relaciji (2) uzeli smo da je potencijalna energija u beskonačnosti jednaka nuli, a u relaciji (6) uzeli smo da je potencijalna energija na površini zemlje jednaka nuli. Za obje definicije promjena potencijalne energije pri pomjeranju tijela iz jedne tačke u drugu su jednake i istog predznaka.
5
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
1.2. Gravitacioni potencijal i napon Potencijal gravitacionog polja u nekoj tački možemo definisati kao količnik potencijalne energije i mase tijela koje se nalazi u gravitacionom polju u posmatranoj tački. Ako referentni nivo uzmemo u beskonačnosti, vidjeli smo da se potencijalna energija računa po relaciji:
Označit ćemo potencijalnu energiju koje ima tijelo u tački A sa EpA, masu tijela oko kojeg nastaje gravitaciono polje sa M, a masu tijela koje se nalazi u gravitacionom polju sa m (m1=M, m2=m, r=rA).
Na osnovu definicije gravitacionog polja slijedi da je njegova vrijednost u tački A:
Iz prethodne relacije se vidi da gravitacioni potencijal ne zavisi od mase tijela koje se nalazi u gravitacionom polju. [ ]
[ ] [ ]
Izračunali smo takoĎer i rad pri pomjeranju iz tačke A u B. (
)
Uvažavajući nove oznake prethodna relacija prelazi u: (
)
Ako se tačka B nalazi u beskonačnosti onda je izvršeni rad:
Pošto je rad jednak energiji, slijedi da je gravitacioni potencijal u tački A jednak:
6
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
Na osnovu prethodne relacije slijedi da je gravitacioni potencijal u nekoj tački gravitacionog polja brojno jednak radu kojeg izvrši gravitaciona sila kada tijelo jedinične mase premjestimo iz te tačke u beskonačnost. Na osnovu relacije (1) napišimo rad na malo drugačiji način. [
(
)]
Razlika potencijala izmeĎu dvije tačke naziva se napon. ⇒ Polje i potencijal su veoma blisko vezane fizikalnim značenjem. Polje je vektorska, a potencijal skalarna veličina. Izvest ćemo vezu izmeĎu njih. U fizici je poznato da je sila jednaka negativnom gradijentu potencijalne energije. ⃗ Gdje je gradijent vektorski diferencijalni operator koji u dekartovim koordinatama ima oblik: (
⃗
⃗
⃗⃗ )
U svakoj tački polja mogu se definisati vektor jačine polja i potencijal. Na osnovu iskazanog prethodna relacija prelazi u: ⃗ ⃗ Ako primjenimo definiciju gradijenta slijedi da je: ⃗
(
⃗
⃗
⃗⃗ )
Gradijent potencijala je vektor usmjeren ka najvećem porastu potencijala i jednak je negativnoj vrijednosti vektora jačine polja ⃗.
7
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
1.3. Kosmičke brzine Da bi neko tijelo kružilo oko zemlje po kružnoj orbiti sa radijusom koji se malo razlikuje od radijusa zemlje, onda ono mora da ima potpuno odreĎenu brzinu v1 čija se veličina može odrediti iz uslova jednakosti radijalne (centrifugalne) sile i gravitacione sile. Po intenzitetu centrifugalna sila jednaka je centripetalnoj. Za tijelo mase m, koje se kreće po kružnoj orbiti oko zemlje, na maloj visini u odnosu na poluprečnik zemlje, centripetalna sila je:
Intenzitet gravitacione sile u tom slučaju je:
Iz uslova jednakosti gravitacione i centripetalne sile slijedi da je:
√ Kako je gravitaciono ubrzanje na površini zemlje:
Onda prethodni izraz za brzinu možemo napisati u obliku: √
√ √ Za Rz=6370km i g=9,81 m/s2 prva kosmička brzina bi iznosila:
Kada bi se tijelo kretalo manjom brzinom od naveden ono bi palo na Zemlju. Zato se ova brzina i naziva prvom kosmičkom brzinom, a to je ona minimalna brzina kojom se mora kretati tijelo da ne bi palo na Zemlju već da postane njen satelit i da kruži oko Zemlje.
8
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
Brzina kojom bi trebalo lansirati tijelo da bi napustilo Zemljino gravitaciono polje naziva se druga kosmička brzina. Izračunajmo prvo rad koji je potrebno utrošiti protiv Zemljine sile teže pri udaljavanju tijela mase m sa površine Zemlje u beskonačnost. ∫
∫
∫
Smatrajući da je težina jednaka sili privlačenja prema zemlji možemo onda pisati:
Ovaj rad dobije se na račun kinetičke energije tijela lansiranog brzinom v2.
√
√
Kada tijelo dobije minimalnu brzinu od 11,2 km/s prestaje biti Zemljin satelit i izlazi iz njene orbite. MeĎutim, to tijelo neće nastaviti da se kreće pravolinijski već će početi da se kreće po elipsi oko Sunca, odnosno postaće Sunčev satelit. Treća kosmička brzina je najmanja brzina kojom bi trebalo izbaciti tijelo sa Zemlje pa da ono savlada gravitaciono polje Sunca, to jeste da napusti Sunčev sistem i postane vještačko tijelo u našoj galaksiji koja se zove Mliječni put. Zbog složenosti izvoĎenja daćemo krajnju relaciju po kojoj možemo izračunati treću kosmičku brzinu.
√
(√
)
Gdje je: , – brzina Zemlje oko Sunca,
9
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
, – trenutno rastojanje tijela od Sunca. U najpovoljnijem slučaju treća kosmička brzina ima vrijednost:
Četvrta kosmička brzina je najmanja brzina kojom bi trebalo izbaciti tijelo sa Zemlje pa da napusti našu galaksiju i da se uputi ka drugim galaksijama. Njena približna vrijednost je:
Ona ima približnu vrijednost zato što još nisu precizno odreĎene mase galaksija.
1.4. Inercijalna i gravitaciona masa Masa se javlja u drugom Newtonovom zakonu i u Newtonovom zakonu gravitacije. U prvom slučaju ona karakteriše inercijalna svojstva tijela, a u drugom gravitaciona svojstva, to jeste sposobnost tijela da se meĎusobno privlače. Postavlja se pitanje, da li treba razlikovati inercijalnu masu od gravitacione mase? Tu činjenicu možemo doznati samo pomoću eksperimenata. Razmotrimo u heliocentričnom sistemu referencije slobodan pad tijela. Znamo da svako tijelo u blizini površine zemlje trpi silu teže prema zemlji koja je jednaka:
Gdje je mg gravitaciona masa. Ubrzanje se dobije tako što se sila podjeli sa inercijalnom masom.
Eksperimenti pokazuju da je ubrzanje a=g jednako za sva tijela, a to je ispunjeno u prethodnoj relaciji samo u slučaju ako je mg=mi (mi inercijalna masa). Sve činjenice dobivene pomoću eksperimenata ukazuju na to da su inercijalna (troma) i gravitaciona (teška) masa strogo proporcionalne. To znači da pri odgovarajućem izboru mjernih jedinica inercijalna i gravitaciona masa postaju identične zbog čega se u fizici jednostavno govori samo o masi. Jednakost inercijalne i gravitacione mase osnova je principa ekvivalencije Einsteinove opšte teorije relativnosti koja glasi: „Ne možemo razlikovati inercijalni sistem u gravitacionom polju a=g od neinercijalnog sistema koji se kreće ubrzanjem a=-g.“
10
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
2. Mehanika fluida Općenito pod pojmom fluida podrazumijevamo svaku materiju koja može da teče. Premda se tečnosti i gasovi dosta razlikuju u svojoj kompresibilnosti (stišljivosti), ipak postoji dosta osobina koje su zajedničke i za jedne i za druge. Zbog toga se tečnosti i gasovi nazivaju jednim imenom fluidi. Dio mehanike koji proučava fluide naziva se mehanika fluida. Ona se dijeli na hidromehaniku i aeromehaniku. Hidromehanika proučava pojave u tečnostima koje miruju ili se kreću, a aeromehanika proučava pojave u gasovima koji miruju ili se kreću. Hidrostatika je dio mehanike koja proučava pojave u tečnostima koje miruju, dok aerostatika proučava pojave u gasovima koji miruju.
2.1. Pritisak Fluidi su karakteristični po tome što se ne suprotstavljaju smicanju i zbog toga imaju sposobnost da mijenjaju svoj oblik pod djelovanjem malih sila. MeĎutim, da bi se promijenila zapremina fluida potrebna je dosta velika vanjska sila. Pri promjeni zapremine fluida u samom fluidu dolazi od nastanka elastičnih sila koje uravnotežuju djelovanje vanjskih sila. To djelovanje karakteriše veličina koja se naziva pritisak. U fluidu u stanju mirovanja sile su normalne na površinu sa kojom je fluid u kontaktu. Pritisak je odnos sile i površine na koju ta sila djeluje normalno.
[ ] [ ] Ako je sila kojom tečnost djeluje na površinu s rasporeĎena neravnomjerno onda izraz (1) predstavlja srednji pritisak. [ ]
̅ Da bi dobili pritisak u nekoj tački potrebno je površinu na koju djeluje sila smanjiti na beskonačno malu vrijednost da bi dobili tačku, pa koristimo granični proces.
Pritisak je skalarna veličina, budući da njegova veličina u datoj tački ne zavisi od orjentacije normale na površinu S. Sa druge strane površine S se može takoĎer posmatrati kao vektor koji ima smjer normale na S. Prema tome, pritisak je u suštini jednak odnosu dva kolinearna ⃗, a takva veličina je skalar. vektora ⃗
11
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
2.2. Pascalov zakon Kod idealnih fluida molekule se jedna prema drugoj slobodno kreću. Idealna tečnost je takva tečnost koja je nestišljiva i u kojoj nema unutrašnjeg trenja (viskoznosti). Kada je fluid u ravnoteži onda svaki mali element fluida miruje. Na osnovu toga slijedi da na svaku tačku fluida u ravnoteži djeluje jednaka sila. Ako ne bi djelovala jednaka sila onda bi u tačkama gdje djeluje veća sila došlo do ubrzavanja fluida prema drugim tačkama, to jeste došlo bi do kretanja, pa fluid ne bi bio u ravnoteži. Pascalov zakon je direktna posljedica ovog razmatranja i on glasi: „U svakoj tački mirnog, nestišljivog fluida pritisak je jednak.“ Možemo ga pokazati vrlo jednostavnim ogledom. Neka se u nekoj posudi sa klipovima nalazi nestišljiv fluid kao na ilustraciji 2.
Ilustracija 2. Dokaz Pascalovog zakona.
Ako djelujemo silom F na gornji klip onda su pritisci na zidove posude isti.
Pascalov zakon je osnova principa rada hidrauličnih ureĎaja (dizalica, kočnica i tako dalje).
Ilustracija 3. Primjena Pascalovog zakona.
12
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
Rad koji se izvrši nad tečnošću pri pomjeranju manjeg klipa, ako nema trenja ni sabijanja tečnosti, mora biti jednak radu koji tečnost izvrši pomjeranjem većeg klipa. Na osnovu Pascalovog zakona p1=p2 odnosno: ⇒
2.3. Hidrostatički pritisak Izračunat ćemo koliki je pritisak u fluidu na dubini h mjerenoj od površine fluida. Razmotrimo djelovanje sile na malu elementarnu zapreminu fluida osnovice S i visine dy.
Ilustracija 4. Računanje pritiska u fluidu.
Ako sa ρ označimo gustoću fluida tada je masa posmatranog elementa fluida ρSdy, a njegova težina ρgSdy. Razmotrimo prvo sile koje djeluju na taj element fluida (Na ilustraciji 4 sile su prikazane zelenim strelicama). Horizontalne sile koje djeluju na bočne strane elementa meĎusobno se poništavaju. Vertikalne sile prema dole djeluju na gornju osnovicu i prva ima vrijednost
dok vertikalna sila koja djeluje na gore na donju osnovicu ima vrijednost . Znači prema dole djeluju sile:
Gdje je F2=dG težina posmatranog elementa. Prema gore djeluje sila na donju osnovicu: . Kako se element nalazi u stanju mirovanja sile se poništavaju, odnosno: ∑
13
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
Izraz (1) predstavlja diferencijalnu jednačinu za promjenu pritiska. Integriranjem izraza (1) dobije se: ∫
∫
Ako se fluid odnosno tečnost nalazi u otvorenoj posudi onda je p2 atmosferski pritisak, a p1=p je ukupni pritisak u fluidu na visini h=y2-y1. Ako ovo uvažimo izraz (2) prelazi u:
Relacija (3) predstavlja ukupni pritisak u fluidu na dubini h mjerenoj od površine fluida. Pritisak p na dubini h ispod površine fluida veći je od atmosferskog za iznos ρgh. Član:
naziva se hidrostatički pritisak, a to je u stvari pritisak izazvan samom težinom fluida.
2.4. Hidrostatički paradoks Na osnovu relacije za ukupni pritisak fluida:
proizilazi, da pritisak u fluidu zavisi samo od njegove dubine, a ne zavisi od oblika posude u kojoj se nalazi fluid. Ta činjenica objašnjava takozvani hidrostatički paradoks, to jeste da je u posudama različitog oblika koje tečnost ispunjava do iste visine pritisak na dno posude jednak.
Ilustracija 5. Nivoi tečnosti za različite oblike posude
Količina tečnosti u svakoj posudi ne mora biti jednaka, ali je pritisak p na dno svake posude je jednak. Iz relacije (1) takoĎer proizilazi i zakon spojenih posuda, koji glasi:
14
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
„U međusobno spojenim posudama nivo tečnosti u svim posudama je isti bez obzira na oblik posude, jer je hidrostatički pritisak jednak u svim tačkama na istoj dubini.“
Ilustracija 6. Nivoi tečnosti za različite oblike spojenih posuda.
2.5. Potisak Potisak ili uzgon je direktna posljedica činjenice da hidrostatički pritisak raste sa dubinom. Ovu pojavu kvalitativno možemo objasniti ako posmatramo neko tijelo pravilnog oblika koje je uronjeno u fluid kao na slici:
Ilustracija 7. Tijelo pravilnog oblika uronjeno u fluid.
Na gornju stranicu djelovat će pritisak prema dole, a na donju stranicu djelovat će pritisak prema gore, dok će se pritisci koji djeluju na bočne strane meĎusobno poništiti. Kako se donja stranica nalazi na većoj dubini, onda je i hidrostatički pritisak koji djeluje na nju veći. Iz toga proizilazi da će na tijelo djelovati rezultantna sila prema gore (Fy) a ta sila je uzgon ili potisak. Ona nastoji da istisne tijelo iz fluida.
Gdje je V zapremina uronjenog tijela, a ρ gustoća fluida. Proizvod:
naziva se specifična težina fluida. Potisak ili uzgon je sila koja djeluje okomito prema gore i po izrazu je jednaka težini istisnutog fluida, a posljedica je različitih hidrostatičkih pritisaka na različite dijelove tijela.
15
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
Ako su gustine fluida i uronjenog tijela različite, onda rezultanta izmeĎu sila usljed hidrostatičkog pritiska i gravitacione sile neće biti jednaka nuli, to jeste ona je u tom slučaju:
Gdje je ρt gustina tijela. Ako je ρt > ρ tijelo tone. Ako je ρt < ρ tijelo će isplivati na površinu, do nivoa pri kojem se preostala sila izjednačava za ukupnu težinu tijela. Ako je ρt = ρ tijelo slobodno lebdi, kao riba na vodi ili balon u vazduhu.
2.6. Arhimedov zakon Jednačina:
može se iskazati i na sljedeći način: „Tijelo uronjeno u tečnost postaje lakše za težinu istisnute tečnosti.“ Ovu formulaciju dao je grčki matematičar i fizičar Arhimed i ona je poznata pod nazivom Arhimedov zakon. Ispravnost Arhimedovog zakona može se pokazati nizom eksperimenata.
2.7. Jednačina kontinuiteta strujanja U slučaju kretanja fluida pored pritiska, gustine i vanjskih sila pojavljuje se i brzina kretanja čestica fluida. Da bi bolje shvatili kretanje fluida, prvo ćemo definisati osnovne pojmove značajne za njegovo kretanje. Strujanje fluida može se predstaviti strujnicama. Strujnice su zamišljenje krive linije u fluidu, takve da brzina u ma kojoj tački fluida leži duž tangente na strujnici.
Ilustracija 8. Strujnice.
Gustina strujnica proporcionalna je brzini. Dio fluida ograničen strujnicama, naziva se strujna cijev.
16
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
Ilustracija 9. Strujna cijev.
Strujanje fluida može biti veoma složeno, ali u osnovi razlikujemo dva različita načina : Stacionarno (slojevito, laminarno) strujanje Stacinarno strujanje fluida je takvo strujanje kod kojeg su vektor brzine strujanja fluida, pritisak i gustina u nekoj tački fluida isti u svakom trenutku. Brzina strujanja fluida, pritisak i gustina su samo funkcije koordinata, a ne i vremena.
Nestacionarno (vrtložno, turbulentno) strujanje Nestacionarno strujanje fluida se javlja iznad odreĎene kritične brzine. Brzina strujanja fluida, pritisak i gustina su funkcije vremena i prostora.
Pod pojmom idealnog fluida podrazumijevamo takav fluid, kod koga su ispunjeni sljedeći uslovi:
Stacionarno strujanje Fluid je nestišljiv Nema unutrašnjeg (viskoznog) trenja Tijelo pri prolasku kroz fluid ne rotira
Posmatrajmo sada kretanje idealnog fluida (Ilustracija 9). Ako je površina presjeka na ulazu u zamišljenu cijev S1 onda u nju u jednici vremena uĎe masa:
Zbog činjenice da je materija neuništiva, mora ista masa fluida proći kroz bilo koji presjek cijevi za dati vremenski interval:
Usljed nestišljivosti tečnosti, mora biti:
17
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
Pa je :
Dobivena jednačina predstavlja jednačinu kontinuiteta strujanja fluida. Pogledajmo u kakvoj je vezi zapreminski protok sa jednačinom kontinuiteta. Zapreminski protok tečnosti predstavlja zapreminu tečnosti koja u jedinici vremena proĎe kroz poprečni presjek cijevi.
„Zapreminski protok tečnosti na svim presjecima jedne strujne cijevi u svakom trenutku je isti.“
2.8. Bernoullieva jednačina Fizičar Daniel Bernoulli je izveo jednačinu kretanja nestišljive idealne tečnosti 1738. godine i ona danas predstavlja osnovnu jednačinu hidrodinamike. Ona nije neko novo pravilo, nego samo na drugi način iskazan zakon održanja energije i jednačine kontinuiteta. Posmatrajmo kretanje idealnog fluida u jednoj strujnoj cijevi sa različitim poprečnim presjekom.
Ilustracija 10. Kretanje fluida kroz cijev.
Razmotrimo energetski bilans pri proticanju tečnosti kroz ovakvu cijev. Promjena kinetičke energije je:
18
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
Promjena potencijalne energije nastaje zbog visinske razlike dijelova fluida u posmatranim zapreminama V1 i V2 :
Prema relacijama 1 i 2 promjena energije uočene zapremine fluida iznosi:
Prema zakonu održanja energije promjena energije mora biti jednaka radu vanjskih sila. Vanjske sile koje djeluju na fluid jednake su sili pritiska.
Rad ovih sila jednak je:
Na osnovu jednačine kontinuiteta:
Ukupan rad je:
U idealnoj tečnosti nema trenja, zbog toga se prirast energije mora izjednačiti sa radom koji su izvršile sile pritiska nad izdvojenom zapreminom.
Ako prethodnu relaciju podijelimo sa
uzimajući u obzir da je:
19
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
I onda sve članove sa istim indeksom prebacimo na jednu stranu, dobije se:
Jednačina (12) i njoj ekvivalentna jednačina (13) predstavlja Bernoullijevu jednačinu za strujanje idealnog fluida. Bez obzira na to što smo tu jednačinu dobili za idealnu tečnost ona se može primjeniti i na realne tečnosti u kojima unutrašnje trenje nije veliko. Članovi jednačine (13) predstavljaju pritiske jedinice mase i to :
Prvi član p je statički pritisak Drugi član je takozvani visinski ili hidrostatički pritisak
Treći član
je dinamički pritisak
Na osnovu prethodnog Bernoullievu jednačinu možemo iskazati na sljedeći način: „Zbir statičkog, visinskog i dinamičkog pritiska duž jedne strujne linije, a približno duž strujne cijevi ostaje konstantan. „
2.9. Primjena Bernoullieve jednačine 2.9.1. Brzina istjecanja idealnog fluida. Torricellieva teorema. Neka se fluid nalazi u nekoj posudi sa malim otvorom na dnu, kao na slici.
Ilustracija 11. Posuda sa otvorom pri dnu.
Posmatrajmo hidrostatički i dinamički pritisak u tačkama 1 na površini fluida i 2 na malom otvoru na posudi. Neka fluid istječe brzinom . Ako je otvor mali, onda se nivo fluida polako mijenja, pa je brzina fluida u tački 1:
Na osnovu Bernoullieve jednačine možemo onda pisati da je:
20
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
Mali otvor 2 ne mora se nalaziti na dnu posude, on može biti i sa strane posude kao što je to prikazano na ilustraciji 11, pa se zbog toga mogu uvesti oznake i koje u tom slučaju predstavljaju njegove udaljenosti od dna posude. U obje posmatrane tačke 1 i 2 vanjski pritisak jednak je atmosferskom.
Pa se ti pritisci u prethodnoj jednačini mogu pokratiti. Označimo brzinu istjecanja:
Onda iz jednačine 1 slijedi da je:
√ „ Brzina istjecanja tečnosti kroz otvor jednaka je brzini kojom bi tečnost slobodno padala od nivoa do otvora.“ Ovu činjenicu prvi je otkrio Torricelli 1644. godine, pa je po njemu i dobila naziv Torricellieva teorema.
2.10. Pitotova cijev (Pitoova cijev) Služi za odreĎivanje brzine proticanja tečnosti kroz razne cijevi i kanale. Ona je u obliku jedne savijene cijevi B kao na slici.
Ilustracija 12. Pitotova cijev.
21
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
Cijev A mjeri visinu pritiska u tački 1. Promjena pritiska, okomito na ravne strujnice ista je kao u fluidu koji se nalazi u stanju mirovanja, pa će nivo fluida u cjevčici A biti u slobodnoj površini. Cjevčica B (Pitotova cijev) mjeri visinu pritiska u tački 2 u kojoj je brzina jednaka 0 (zaustavna tačka). Visine računamo od tačaka 1 i 2, odnosno one predstavljaju referentne nivoe, pa je . Ako onda uvažimo Bernoullievu jednačinu slijedi da je:
Brzina kod tačke 1 bit će brzina kod tačke 2 biti
i ona predstavlja brzinu tečnosti koja se mjeri, dok će , pa jednačina (1) prelazi u:
Sa druge strane je razlika pritisaka:
√
2.11. Venturieva cijev Pomoću ove cijevi možemo još preciznije odrediti brzinu proticanja fluida. Posmatrajmo protok fluida kroz horizontalnu cijev različitih presjeka kao na slici.
Ilustracija 13. Venturieva cijev.
Pošto je cijev horizontalna onda su visine u Bernoullievoj jednačini jednake nuli, pa je:
22
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
(
)
(
)
2014
Na osnovu jednačine kontinuiteta je:
√
(
)
√
2.12. Viskoznost. Laminarno i turbulentno kretanje. Reynoldsov broj. Fizičar Reynolds je proučavao pojavu kretanja tečnosti pri različitim brzinama. Eksperimente je izvodio na aparaturi koja je principijelno prikazana na ilustraciji 14.
Ilustracija 14. Reynoldsov eksperiment.
U eksperimentima je mijenjao brzine strujanja osnovnog fluida, a takoĎe je eksperimentisao i sa različitim prečnicima cijevi, kroz koje je strujao fluid. Izveo je veoma velik broj eksperimenata na osnovu kojih je zapazio da promjena režima strujanja zavisi od vrste fluida odnosno njegove viskoznosti, brzine strujanja i prečnika cijevi u kojima fluid struji. „UreĎeno“ strujanje nazvao je laminarno strujanje, a „haotično“ je nazvao turbulentno
23
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
strujanje. Pri laminarnom kretanju, izmeĎu čestica i slojeva fluida pojavljuje se unutrašnje trenje iili viskoznost. Viskoznost se javlja samo kad se fluid kreće.
Ilustracija 15. Kretanje tečnosti izmeĎu dvije pločice.
Posmatrajmo sada tečnost koja se nalazi izmeĎu dvije staklene pločice kao na ilustraciji 15. Ako gornju pločicu naglo povučemo, tj. djelujemo silom F, pri čemu donja pločica miruje, dobit ćemo laminarno (slojevito) kretanje tečnosti u prostoru izmeĎu staklenih pločica. Eksperimentalno je pokazano, da je sila viskoznog trenja proporcionalna dodirnoj površini S slojeva fluida i promjene brzine slojeva, a obrnuto proporcionalna razmaku d izmeĎu ploča.
Sa slike se vidi da je promjena brzine slojeva (vertikalna promjena brzine):
Slijedi da je sila otpora unutrašnjeg trenja (viskoznost):
Gdje je
intenzitet gradijenta brzine duž z ose. Koeficijent proporcionalnosti η (grčko
slovo eta), naziva se koeficijent unutrašnjeg trenja ili koeficijent viskoznosti. Njegova jednica je: [ ]
[ ][ ] [ ][ ]
Ako se brzina fluida povećava onda pri odreĎenoj vrijednosti brzine, koja se naziva kritična brzina dolazi do prelaska laminarnog u turbulentno kretanje. Na osnovu niza eksperimentalnih mjerenja fizičar Reynolds je uspio da utvrdi kriterijum pri kojem dolazi do prelaska laminarnog u turbulentno kretanje. Taj kriterijum se naziva Reynoldsov broj. On je definisan na sljedeći način:
24
Fizika II
Fakultet elektrotehnike ̅
Gdje je cijevi, a
2014
̅
̅ srednja brzina po poprečnom presjeku cijevi i pravcu strujanja fluida, d prečnik kinematička viskoznost. Reynoldsov broj je neimenovana veličina. Ako je:
2.13. Proticanje realnog fluida kroz cijev Najveći gradijent u pravcu okomito na zidove imaju cijevi sa malim promjerom (kapilare) jer slojevi uz zidove praktički miruju. Razmotrimo kako se mijenja brzina fluida u zavisnosti od rastojanja od ose cijevi:
Ilustracija 16. Cilindrična cijev kroz koju protiče realan fluid.
Pošto je cijev horizontalna onda gravitaciona sila ne utiče na kretanje fluida, pa se kretanje dešava isključivo zbog razlike pritisaka na krajevima cijevi. Predpostavimo da je , pa će se fluid kretati od većeg ka manjem pritisku. Na krajevima cijevi se odražava razlika pritisaka, a protok je stacionaran. Neka je brzina cilindričnog sloja infinitezimalne debljine na radijusu r koji razdvaja cjelokupni fluid na dva dijela. Zbog razlike u brzinama kontaktnih slojeva meĎu njima vlada sila trenja koja uravnotežava potisnu silu:
Negativan predznak u relaciji (1) dolazi usljed opadanja brzine sa porastom poluprečnika (r). Pošto je površina u cijevi :
Relacija (1) prelazi u:
25
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
∫
Primjenom rubnog uslova tj. za C:
2014
∫
, možemo odrediti vrijednost konstante
je brzina
Ako relaciju (6) uvrstimo u relaciju (5) :
Prethodna relaciju ustvari predstavlja jednačinu parabole, prema tome brzina strujanja viskozne tečnosti je parabolična funkcija rastojanja r od ose strujanja cijevi prema njenim zidovima. Iz relacije (7) se vidi da je njena maksimalna vrijednost duž strujne ose , pa je:
Jednačinu (7) preko maksimalne vrijednosti možemo napisati kao: (
(
)
)
Zbog nehomogenosti raspodjele brzine proračun protoka kroz ovakvu cijev nije trivijalan zadatak. Izračunajmo sada taj protok. Rekli smo da je zapreminski protok idealne tečnosti:
26
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
Koristeći sada relaciju za raspodjelu brzine izračunajmo zapreminski protok realne tečnosti. Površina prstenastog strujnog elementa ds je:
Elementarni protok dQ kroz poprečni presjek dS prstenastog elementa debljine dr je:
Gdje je brzina strujanja fluida data relacijom (7). Protok cijevi kroz cio poprečni presjek cijevi jednak je integralu po svim elementarnim presjecima od do . ∫
∫
(
∫(
*
)
)
+|
*
+
*
+
Relacija 14 predstavlja Hagen-Poiseuilleov (Poazije-Hagov) zakon koji glasi: „Protok realne tečnosti proporcionalan je proizvodu četvrtog stepena poluprečnika cijevi i gradijenta vanjskog pritiska, a obrnuto proporcionalan koeficijentu viskoznosti.“
27
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
2.14. Sila otpora sredine Ova sila se javlja pri kretanju tijela kroz fluid. Ona zavisi od veličine, oblika i brzine tijela koje se kreće, te od same viskoznosti i brzine strujanja fluida. Posmatrajmo kuglu koja miruje, a oko nje struji fluid malom brzinom tako da je kretanje fluida laminarno. Eksperimentalno je dokazano da pri takvom proticanju strujnice oko kugle deformišu se do udaljenosti od oko dvije trećine poluprečnika kugle.
Ilustracija 17. Strujanje fluida oko kugle
Pošto sloj na površini kugle miruje sila otpora zbog viskoznosti je:
Relacija (1) poznata je kao Stokesova sila ili Stokesov zakon.
28
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
3. Toplotne pojave 3.1. Unutrašnja energija Veoma je teško izračunati ukupnu energiju sistema sastavljenog od velikog broja čestica zato što ukupnu energiju čini i potencijalna energija svake molekule u polju sila preostalih molekula. Takva je, na primjer, energija kristalne rešetke u nekom kristalu. Ukupnoj energiji sistema doprinosi i djelovanje vanjskog polja sila kao i energija vezivanja. Ako posmatramo neki makroskopski sistem, na primjer odreĎeni kristal ili neku zapreminu odreĎene vrste gasa, i ako za takav sistem kažemo da je u stanju mirovanja, to ne znači da sastavne čestice posmatranog sistema miruju i da u sebi ne sadrže nikakvu potencijalnu i kinetičku energiju. Iz ovoga se takoĎer vidi zašto je teško izračunati unutrašnju energiju nekog sistema. Pod pojmom unutrašnje energije tijela ili nekog sistema podrazumjevamo zbir kinetičke energije haotičnog kretanja molekula, potencijalne energije njihovog meĎusobnog djelovanja i unutrašnje molekularne energije. Pri odreĎivanju unutrašnje energije tijela ne može se uzeti kinetička energija tijela kao cjeline, niti potencijalna energija tijela kao cjeline, niti potencijalna energija tijela koje ono ima u vanjskom polju sila. Na primjer, pri odreĎivanju unutrašnje energije odreĎene mase gasa ne smije se uzimati energija kretanja gasa zajedno sa posudom, niti energija koja je uslovljena položajem gasa u polju sile zemljine teže. Prema tome unutrašnja energija sistema je ukupna energija interakcija i kretanja mikročestica sistema, a koja ne potiče od djelovanja vanjske sile. Po prirodi nastanka ona može biti:
Termička (kinetička), Energija vezivanja (potencijalna), Energija kristalne rešetke (elektronska), Hemijska, Nuklearna, i tako dalje...
Unutrašnja energija sistema tijela jednaka je sumi unutrašnjih energija svakog tijela pojedinačno i energije uzajamnog djelovanja meĎu tijelima koja predstavlja energiju meĎumolekularnog uzajamnog djelovanja u tankom sloju na granici izmeĎu tijela. Veoma bitna činjenica je da je unutrašnja energija funkcija stanja. To znači da svaki put kada je sistem u datom stanju njegova unutrašnja energija dobiva vrijednost koja je svojstvena tom stanju, nezavisno od načina na koji je sistem došao u to stanje. Prema tome, promjena unutrašnje energije pri prelasku sistema iz jednog stanja u drugo uvijek će biti jednaka razlici vrijednosti unutrašnjih energija u tim stanjima, nezavisno od puta po kojem se vršilo prelaženje, to jeste nezavisno od procesa koji su doveli do prelaska sistema iz jednog u drugo stanje. Unutrašnja energija sistema mijenja se u različitim procesima.
29
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
3.2. Temperatura i termometri Do promjene unutrašnje energije može doći na dva načina: Razmjenom toplote Q i Vršenjem rada Glavni uslov da bi došlo do razmjene toplote izmeĎu dva tijela je postojanje razlike u temperaturi. Na osnovu prethodnog, temperatura se često definiše kao stepen zagrijanosti nekog tijela. Znači temperatura je mjera intenzivnosti toplotnog kretanja molekula (atoma i jona) u tijelu, to jeste, ona je mjera srednje kinetičke energije translatornog kretanja.
̅̅̅
̅̅̅ ̅̅̅
Na osnovu relacija (1) i (2) slijedi da je temperatura proporcionalna srednjoj vrijednosti kvadrata brzine molekula idealnog gasa: ̅̅̅ Na osnovu kinetičke teorije gasova može se dobiti relacija:
Gdje je k Boltzmannova konstanta. UreĎaj za mjerenje temperature je termometar. Kao osnova temperaturne razlike uzima se temperaturni razmak izmeĎu tačke mržnjenja vode (ledište) i tačke ključanja vode (vrelište). Ove tačke se često nazivaju i fundamentalne ili reperne tačke. Prva fiksna tačka (tačka ledišta) definiše se kao temperatura mješavine vode i leda pri pritisku od 101325 Pa. Druga fiksna tačka predstavlja temperaturu ključanja vode pri prethodno navedenom pritisku. Ovim fundamentalnim tačkama mogu se dodijeliti proizvoljne brojne vrijednosti i na taj način temperaturni razmak izmeĎu ove dvije tačke može se podijeliti na proizvoljne dijelove. U zavisnosti od dodjeljivanja brojnih vrijednosti postoje sljedeće temperaturne skale:
Celsiusova skala (°C) Kelvinova skala (K) Réaumurova skala (°R) Fahrenheitova skala (°F)
Celsiusova skala dodjeljuje ledištu i vrelištu temperature od 0°C i 100°C, Réaumurova skala temperature od 0°R do 80°R i Fahrenheitova skala temperature od 32°F do 212°F.
30
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
SI jedinica za temperaturu je Kelvin (K). Temperatura izražena u Kelvinima naziva se apsolutna temperatura (T). Jedan Kelvin se definiše kao 273,16. dio termodinamičke temperature trojne tačke hemijski čiste vode u prirodnoj izotropnoj mješavini. U našoj zemlji je dozvoljena i upotreba Celsiusovog stepena uz definiciju:
U zavisnosti od raznih tijela, to jeste, koja fizikalna promjena se mjeri postoji nekoliko vrsta termometara:
Gasni (plinski) termometri Termometri sa tečnošću Bimetalni termometri
3.3. Termičko širenje čvrstih tijela Eksperimentalna činjenica je da se većina tijela pri zagrijavanju širi. To se objašnjava time da zagrijavanjem tijela dolazi do bržeg kretanja molekula u tijelu što uzrokuje slabljenje veza izmeĎu molekula, a što može dovesti do širenja tijela. Izuzetak su neka amorfna tijela kod kojih pri zagrijavanju dolazi do skupljanja. U odnosu na istaknutu ili izrazitu promjenu dimenzije tijela postoje tri karakteristične vrste širenja:
Linearno, Površinsko i Zapreminsko
3.3.1. Linearno termičko širenje Kod ovakvog širenja dolazi kod tijela kod kojih je istaknuta jedna dimenzija u odnosu na druge dvije. Na primjer, kod štapova istaknuta je dimenzija dužine u odnosu na druge dvije dimenzije. Posmatrajmo širenje nekog metalnog štapa:
Ilustracija 18. Linearno širenje štapa
L0 - dužina tijela na 0°C L – izduženje tijela pri promjeni temperature Na ilustraciji 18 možemo vidjeti da je:
Gdje Lt predstavlja dužinu tijela na nekoj temperaturi t. Eksperimetalno je utvrĎeno da je izduženje tijela direktno proporcionalno proizvodu dužine tijala na 0°C i temperature tijela:
31
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
Koeficijent proporcionalnosti α predstavlja koeficijent linearnog termičkog širenja. Njegova jedinica je °C-1 ili K-1. Iz relacije (1) slijedi:
3.3.2. Površinsko termičko širenje Površinskim širenjem nazivamo širenje tijela koja imaju dvije dimenzije izrazito velike u odnosu na treću. Takvo širenje imaju razne vrste ploča i listova.
Ilustracija 19. Površinsko termičko širenje
Neka je S0 površina ploče na 0°C, a St površina ploče na temperaturi t. Površinsko termičko širenje možemo dobiti kao proizvod dva linearna širenja at i bt.
Pošto je α veoma mali broj onda je α2 još manji pa taj član u izrazu (3) možemo zanemariti. Ako uzmemo oznaku da je β=2α onda prethodni izraz prelazi u:
3.3.3. Zapreminsko termičko širenje Zapreminskim termičkim širenjem nazivamo širenje tijela koje ima sve tri dimenzije približno jednake. Ovo širenje se takoĎer može izraziti kao proizvod linearnih širenja. Uzmimo da se radi o kocki u ovom slučaju:
32
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
Ilustracija 20. Zapreminsko termičko širenje.
Slično kao kod površinskog termičkog širenja, stepene koeficijenta α možemo zanemariti, a takoĎer možemo uvesti da je: Gdje je γ termički koeficijent zapreminskog širenja i on je brojno jednak povećanju jediničnog volumena pri porastu temperature za 1°C.
3.4. Termičko širenje tečnosti Poznato je da tečnosti i gasovi nemaju stalan oblik nego samo poprimaju oblik posude u kojoj se nalaze. Iz tog razloga kod tečnosti i gasova postoji samo zapreminsko termičko širenje koje se računa po relaciji (1).
Gdje je Vt zapremina tečnosti na temperaturi t, γt termički koeficijent zapreminskog širenja tečnosti i definiše se na sličan način kao i kod čvrstih tijela. On predstavlja povećanje jedinične zapremine tečnosti pri povišenju temperature za 1°C. Na osnovu toga slijedi da će se i gustoća tečnosti mijenjati sa promjenom temperature. Zapremine tečnosti na 0°C i na nekoj temperaturi t respektivno su:
Kada govorimo o zapreminskom širenju tečnosti potrebno je napomenuti da kod vode imamo anomaliju širenja u temperaturnom intervalu od 0°C do 4°C prikazanu na ilustraciji 21.
33
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
Ilustracija 21. Anomalija vode.
Ova pojava je poznata pod nazivom anomalija širenja vode i manifestuje se u tome što se pri zagrijavanju od 0°C-4°C njena zapremina smanjuje, to jeste, gustoća se povećava, a iznad 4°C voda se daljnjim zagrijavanjem širi. Navedena pojava kod vode ima veliki značaj za cjelokupni život u rijekama, jezerima i morima. Da nema ove pojave onda bi voda prvo ledila na dubini, to jeste mržnjenje bi teklo od dna prema površini što bi potpuno onemogućilo život u vodi.
3.5. Količina toplote. Specifični toplotni kapacitet tijela. Temperature su kao što smo već rekli u direktnoj vezi sa srednjom kinetičkom energijom atoma i molekula u tijelu. Iz prethodnog slijedi da je pri ovome izvršen transfer neke vrste energije sa tijela više na tijelo niže temperature. Pri tome nije izvršen nikakav mehanički rad jer ne djeluje nikakva sila. Prenos energije je izazvan samo razlikom u temperaturi i prestaje onda kada se temperature izjednače. Na osnovu toga možemo reći: „Toplota ili količina toplote je onaj iznos unutrašnje energije koji se prenese od jednog tijela na drugo zbog njihove razlike u temperaturama.“ Razlika u temperaturama izaziva protok toplote. Ako, na primjer jedno tijelo ima temperaturu t1, da bi smo mu povisili temperaturu na t2 moramo mu dovesti odreĎenu količinu toplote. Dovedena količina toplote zavisi od mase tijela, temperaturne razlike i konstante koja se zove specifična toplota ili specifični toplotni kapacitet.
Obzirom da je toplota vrsta energije, ona se izražava u Jouleima [J]. Engleski fizičar James Prescott Joule je jedan od naučnika koji je najviše uradio na ovom polju. On je izvršio ogroman broj eksperimenata da bi pokazao da postoji mehanički ekvivalent toplote – količina izvršenog rada potrebnog da se dobije isti efekat kao kada se prenese odreĎena količina toplote. Eksperimentalna je činjenica da je za dobivanje odreĎene količine toplote potrebno izvršiti rad tako da je odnos izmeĎu izvršenog rada i nastale toplote stalan. Drugim riječima, rad se pretvara u toplotu u stalnom omjeru. Taj omjer zove se mehanički ekvivalent toplote. Mjerenjem je utvrĎeno da je za zagrijavanje jednog litra čiste vode za 1°C i to od 14,5°C do
34
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
15,5°C potrebno izvršiti rad od 4186 J. Veza izmeĎu „stare“ jedinice za toplotu, kalorije, i jedinice za energiju odnosno rad je:
Ova vrijednost može se naći u staroj literaturi pod nazivom mehanički ekvivalent toplote. Iz relacije (1) za količinu toplote slijedi da je specifični toplotni kapacitet:
Specifični toplotni kapacitet tijela brojno je jednak onoj količini toplote koju je potrebno dovesti masi od 1 kg tog tijela da joj se temperatura povisi za 1°C odnosno za 1K. Jedinica je: [ ]
[ ] [ ][ ]
Specifični toplotni kapacitet zavisi od temperature pa možemo pisati:
∫ Za cijelo, ili čitavo tijelo definiše se takozvani toplotni kapacitet i označava se sa C. Toplotni kapacitet tijela je brojno jednak količini toplote koju je potrebno dovesti čitavom tijelu da mu se temperatura povisi za 1°C odnosno za 1K, pa slijedi da je:
[ ] Često se definiše i specifični toplotni kapacitet po jednom molu, takozvani molarni toplotni kapacitet. To je količina toplote potrebna da se jednom molu nekog tijela povisi temperatura za 1°C odnosno za 1K.
Gdje je m broj molova, a M molarna masa. Jedinica je: [
]
Veza izmeĎu specifičnog toplotnog kapaciteta i toplotnog kapaciteta je:
35
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
Ako se pritisak tokom nekog procesa ne mijenja onda možemo definisati specifični toplotni kapacitet pri stalnom pritisku: (
)
U slučaju da se ne mijenja zapremina onda je riječ o specifičnom toplotnom kapacitetu pri stalnoj zapremini: (
)
36
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
4. Gasni zakoni Već smo ranije rekli da se kod gasova obično može zanemariti meĎusobna interakcija čestica koje ih čine. Interakcija čestica se odvija samo prilikom elastičnih sudara. Osim toga uglavnom je moguće zanemariti veličine atoma i molekula od kojih je on sastavljen, to jeste, možemo ih smatrati materijalnim tačkama. Gas kod koga su ispunjeni ovi uslovi naziva se idealni gas. Stanje takvog gasa odreĎeno je sa 3 parametra:
Temperaturom T, Pritiskom p i Zapreminom V
4.1. Boyle-Mariotteov (Bojl-Marijotov) zakon Prvo kvantitativno mjerenje ponašanja gasa nezavisno jedan od drugog izvršili su engleski fizičar Boyle i francuski fizičar Mariotte. Oni su došli do zaključka da se pritisak gasa mijenja obrnuto proporcionalno zapremini ako se temperatura gasa drži konstantnom. BoyleMariotteov zakon glasi: „Proizvod pritiska i zapremine gasa pri konstantnoj temperaturi je konstantna veličina.“
Ovaj zakon možemo iskazati i na drugi način. Neka si p1 i V1 pritisak i zapremina odreĎene količine gasa u stanju (1), a p2 i V2 pritisak i zapremina odreĎene količine gasa u nekom drugom stanju (2). Boyle-Mariotteov zakon onda možemo napisati:
Prethodne jednačine za Boyle-Mariotteov zakon prikazane su grafički na ilustraciji 22.
Ilustracija 22. Izoterme.
Krive linije na kojima je temperatura konstantna nazivaju se izoterme. Procesi kod kojih je jedan parametar konstantan, a druga dva se mijenjaju nazivaju se izoprocesi.
37
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
4.2. Gay-Lussacov (Gej-Lisakov) zakon Francuski fizičar Joseph Louis Gay-Lussac je eksperimentalnim putem pokazao da se zapremina gasa povećava zagrijavanjem. Za odreĎenu količinu gasa postoji linearna zavisnost od temperature pri konstantnom pritisku (izobarski proces). Zapremina gasa se mijenja po relaciji:
Gdje je V0 zapremina gasa na 0°C, a Vt zapremina gasa na temperaturi t. Veličina α je takozvani zapreminski koeficijent širenja gasa i za sve gasove ima približno istu vrijednost:
Zavisnost zapremine gasa od temperature t ili apsolutne temperature T pri konstantnom pritisku je linearna.
Ilustracija 23. Izobare.
Gay-Lussacov zakon možemo prikazati i preko apsolutne temperature T: (
)
38
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
Općenito za promjenu bilo koja dva stanja gasa vrijedi:
Gay-Lussacov zakon glasi: „Odnos zapremine i apsolutne temperature za neku količinu gasa ostaje konstantan pri konstantnom pritisku.“
4.3. Charlesov (Šarlov) zakon Francuski fizičar Jacques Charles je eksperimentalnim putem ustanovio da za odreĎenu količinu gasa postoji linearna promjena pritiska sa temperaturom t pri konstantnoj zapremini (izohorski proces), po relaciji:
Gdje su p0 i pt veličine pritiska pri temperaturama 0°C i t°C. β je koeficijent povećanja pritiska. Mjerenja su pokazala da je taj koeficijent za sve gasove približno jednak, ne zavisi od temperature i ima istu vrijednost kao zapreminski koeficijent širenja gasa α. Zavisnost pritiska gasa od temperature t ili apsolutne temperature T pri konstantnoj zapremini je linearan, pa grafički prikaz odgovara pravoj koja se naziva izohora (ilustracija 20).
Ilustracija 24. Izohore.
Nagib izohore veći je za više pritiske i odgovara proizvodu:
39
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
Na sličan način kao kod Gay Lussacovog zakona i Charlesov zakon možemo prikazati preko apsolutne temperature:
Ili uopšteno za promjenu bilo koja dva stanja pri konstantnoj zapremini vrijedi:
Charlesov zakon glasi: „Odnos pritiska gasa i apsolutne temperature za neku količinu gasa ostaje konstantan pri konstantnoj zapremini.“ Gay-Lussacov i Charlesov zakon ukazuju na postojanje najniže moguće temperature u prirodi – apsolutne nule (-273,15°C) na kojoj idealan gas ne vrši pritisak na zidove posude. Ovo je početak skale apsolutne temperature odnosno Kelvinove skale.
4.4. Opšta jednačina gasnog stanja za idealne gasove Boyle–Mariotteov, Gay Lussacov i Charlesov zakon povezuju tri osnovne veličine kod gasa, a to su pritisak, temperatura i zapremina. MeĎutim ove su veličine povezane u parovima pri čemu je treća veličina uvijek konstantna. Na osnovu izraza za ove zakone možemo naći jednačinu koja istovremeno povezuju sve tri osnovne veličine gasa. Da bi smo izveli tu jednačinu poći ćemo od već poznate relacije:
Pošto se ta promjena vršila pri konstantnom pritisku onda se početni pritisak p0 na temperaturi 0°C nije promjenio. Zadržimo sada konstantnu temperaturu t i mijenjajmo zapreminu Vt onda će se mijenjati i pritisak. Za ove promjene važi Boyle-Mariotteov zakon koji će u ovom slučaju imati oblik:
Gdje su V i p proizvoljna zapremina i pritisak koji su nastali ovim izotermnim procesom. Zapremina Vt već nam je poznata i ona je data relacijom (1). Uvrstimo njenu vrijednost u izraz (2).
40
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
Neka je sada zapremina konstantna, a vrši se zagrijavanje gasa od 0°C do temperature t. Onda će se povećati pritisak po već poznatoj relaciji:
Daljnjim zagrijavanjem pri konstantnoj temperaturi dobije se opet:
Uvrštavanjem vrijednosti za pt iz relacije (4) dobije se:
Općenito važi da je:
Jer smo do identičnog izraza došli ne samo povećavanjem pritiska uz konstantnu zapreminu nego i povećavanjem zapremine uz konstantan pritisak. Jednačina (7) često se naziva osnovnom jednačinom gasnog stanja. U praksi se prethodna relacija koristi u nešto drugačijem obliku do kojeg se dolazi uvoĎenjem apsolutne temperature. Rekli smo da zapreminski koeficijent širenja α ima približno istu vrijednost za sve gasove i iznosi:
Uvrstimo tu vrijednost u jednačinu (7). (
)
Dobivena jednačina predstavlja jedan od oblika opšte jednačine gasnog stanja za idealne gasove koja glasi: „Proizvod pritiska i zapremine podijeljen sa apsolutnom temperaturom za neku količinu idealnog gasa ostaje konstantan.“ Iz prethodne jednačine takoĎer slijedi:
Konstanta u ovoj jednačini zavisi samo od količine i vrste gasa. Očito je da će vrijednost te konstante biti proporcionalna količini gasa. Zato je potrebno uvesti jedinicu za količinu
41
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
supstance – mol, što nam onda omogućava da konstantu u jednačini (9) napišemo u univerzalnom obliku. Za sve gasove važi Avogadrov zakon koji glasi: „Jednake zapremine svih gasova na istoj temperaturi i pritisku imaju jednak broj molekula.“ Na osnovu toga količinu supstance n možemo napisati kao:
Gdje je V zapremina gasa, Vm zapremina jednog mola, m masa gasa, M masa jednog mola, N broj čestica gasa, NA broj čestica u jednom molu, takozvani Avogadrov broj koji ima vrijednost:
Pri standardnim uslovima je:
Ako uvrstimo ovu vrijednost onda se za jedan mol idealnog gasa dobije:
Gdje je R univerzalna gasna konstanta. Kada smo odredili vrijednost konstante onda jednačinu (9) za jedan mol možemo napisati kao:
Odnosno za proizvoljnu količinu gasa od n molova:
Prethodna relacija predstavlja najčešće upotrebljivan oblik opšte jednačine stanja idealnog gasa, a često se naziva i Clapeyronova(Klapejronova) jednačina. Kako je:
Onda prethodna jednačina prelazi u:
42
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
Gdje je kB Boltzmannova konstanta.
4.5. Stepeni slobode Rekli smo da je unutrašnja energija funkcija stanja i da se iskazuje temperaturom gasa. Izvedene relacije za gas zasnivaju se na načelu raspodjele energije po stepenima slobode. Stepen slobode je jedan od načina kretanja molekule, na primjer, mogućnost pomaka molekule u smijeru x ose je jedan stepen slobode. Za molekulu idealnog jednoatomskog gasa vrijedi da se ona može pomjeriti u smijeru triju koordinatnih osa, to jeste ima tri stepena slobode, pa je njena unutrašnja energija:
Gdje je i broj stepeni slobode. Kinetička energija rotacije za atom je zanemariva. Za razliku od jednoatomskog gasa molekula dvoatomskog gasa može i da rotira. Energija rotacije oko ose koja se poklapa sa pravcem koji prolazi atomima je zanemariva, pa broj stepeni slobode za rotaciju dvoatomskog gasa iznosi dva. Dvoatomska molekula može i oscilovati, ali je doprinos pri niskim temperaturama zanemariv. Na višim temperaturama doprinos srednje energije molekule zbog oscilovanja (model harmonijskog oscilatora) je: ̅ To jeste doprinosi sa dva stepena slobode. Ukupni broj stepeni slobode dvoatomske molekule je jednak zbiru broja stepeni slobode usljed translatornog, rotacionog i oscilatornog kretanja kretanja.
Odnosno ukupna unutrašnja energija dvoatomske molekule je:
43
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
4.6. Jednačina stanja za realne gasove Pri razmatranju modela idealnog gasa zanemarili smo meĎumolekularne sile i uzimali smo da se gas sastoji od materijalnih tačaka. Jednačina stanja takvog gasa je:
Ona se može primijeniti i za realne gasove samo onda kada je gustoća gasa mala tako da su molekule daleko jedna od druge, pa su onda meĎumolekularne sile zanemarive, a zapremina molekula u odnosu na zapreminu posude takoĎer zanemariva. Ako to nije ispunjeno onda dolazi do odreĎenog odstupanja. Postoji nekoliko jednačina stanja za realne gasove. Holandski fizičar Van Der Waals (Van Der Vals) dobio je Nobelovu nagradu 1910 godine za fiziku za rad na jednačini stanja za realne gasove i tečnosti. Njegova jednačina se može napisati kao: (
)
Gdje su a i b Van Ver Waalsove konstante specifične za svaki gas. Konstanta a je u vezi sa privlačnim silama izmeĎu molekula, a je zapremina u kojoj se mogu kretati molekule. Konstanta b uzima u obzir činjenicu da i molekule imaju odreĎenu zapreminu. Zapremina je zapravo zapremina posude umanjena za zapreminu koju zauzimaju molekule. Član
je dodatni pritisak koji nastaje zbog meĎumolekulrnih sila.
44
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
5. Termodinamika 5.1. Termodinamički procesi Pošto je toplota oblik energije onda treba očekivati da ona može da se iskoristi za vršenje rada ili da se transformiše u neki drugi oblik energije. U ovom poglavlju ćemo vidjeti da u prirodi postoji niz osnovnih zakona koji opisuju dobijanje rada iz toplote i nameću odreĎena ograničenja na efikasnost tog procesa. Oblast fizike koja se bavi tim pitanjima odnosno toplotom i njenim transferom sa tijela na tijelo i konverzijom u rad naziva se termodinamika. Pod pojmom termodinamičkog sistema podrazumijevamo takav sistem koji se sastoji od odreĎene količine supstance smještene unutar neke površine ili zapremine. Termodinamički proces predstavlja promjenu stanja nekog sistema pri čemu sistem prolazi kroz niz uzastopnih stanja. Veoma su važni kružni procesi u kojima se sistem vraća u početno stanje. Postoje povratni (reverzibilni) i nepovratni (ireverzibilni) termodinamički procesi. Proces je povratan ako sistem prolazi kroz niz ravnotežnih stanja. U tom slučaju proces se može odvijati i u suprotnom smijeru, vraćajući se u ista ravnotežna stanja u početno stanje. Ako to nije moguće onda je proces nepovratan. Realni ili stvarni termodinamički procesi većinom su nepovratni.
5.2. Prvi zakon termodinamike Ako sistemu ne dovodimo energiju iz vana kažemo da je sistem toplotno izolovan. Prvi zakon termodinamike upravo predstavlja zakon održanja energije primjenjen na sisteme u kojima su toplota i rad mogući načini za prenos energije u i iz sistema. Prema prvom zakonu termodinamike promjena u unutrašnjoj energiji sistema jednaka je rezultujućoj prenesenoj količini toplote u sistem ili iz sistema i ukupnog (rezultujućeg) izvršenog rada.
Pri izračunavanju rezultujućih veličina potrebno je pridržavati se odreĎenih pravila koja važe za predznake pomenutih fizičkih veličina. Toplota koja ulazi u sistem je pozitivna a ona koju odaje sistem je negativna, pa tako ukoliko je Q pozitivno to znači da je u ukupnom iznosu veća toplota koju je primio sistem. Slično ako je A pozitivno veći je rad koji je sistem izvršio od onoga koji je nad njim izvršen, a koji je negativan. Prvi zakon termodinamike možemo napisati i u diferencijalnom obliku.
Znači kada sistemu dovodimo toplotu δQ tada se jedan njen dio može utrošiti na povećanje unutrašnje energije sistema dU, a ostatak se pretvara u rad δA koji sistem daje okolini. Prvi zakon termodinamike glasi: "U izolovanom sistemu ukupna energija ostaje konstantna bez obzira na procese koji se događaju u samom sistemu." U prethodnoj relaciji samo je dU potpuni diferencijal odnosno diferencijal prave veličine stanja, dok δQ i δA nisu diferencijali veličine stanja. Oznaka δ umjesto d ukazuje na to da
45
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
veličine δQ i δA zavise od načina na koji se vrši izmjena stanja sistema. Prvi zakon termodinamike može se iskazati i na sljedeći načini: „Perpetuum mobile prve vrste nije moguć, to jeste nije moguće konstruisati mašinu koja bi radeći u ciklusima izvršila rad veći od vrijednosti energije u obliku toplote koja se dovodi sistemu.“
5.3. Spoljašnji rad gasa pri različitim procesima Izobarsku promjenu (p=const) već smo upoznali. Ako gas zagrijavamo njegovo stanje se mijenja od stanja 1 do stanja 2. Prema prvom zakonu termodinamike dovedena toplota iznosi:
rad koji vrši gas u tom slučaju je: ∫ Možemo napisati i drugu relaciju za izvršeni rad u tom slučaju. Iz jednačine stanja za idealni gas slijedi da je:
Ako to uvažimo onda rad koji izvrši gas je:
Kada su u pitanju izohorski procesi (V=const) dovedena količina toplote može se prema prvom zakonu termodinamike izraziti kao:
Gas u ovom slučaju ne može izvršiti nikakav rad jer je V=const pa je dV=0 onda je i rad A=0. Kod izotermnih procesa (t=const) unutrašnja energija se ne mijenja, a sva dovedena toplota pretvara se u rad koji možemo izračunati iz početnog i krajnjeg stanja, dakle slijedi da je:
( ) A izvršeni rad se računa po relaciji (8). Iz Boyle-Mariotteovog zakona slijedi da je:
Pa relaciju (8) za izvršeni rad pri izotermnim promjenama možemo napisati i kao:
46
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
5.4. Jednačina adijabate i rad gasa pri adijabatskim procesima Procesi pri kojima sistem ne razmjenjuje toplotu sa okolinom (q=0) nazivaju se adijabatski procesi. Takvi procesi se mogu dobiti na dva načina: 1. Dobrom izolacijom sistema i 2. Procesi su toliko brzi da sistem ne stigne da razmjeni toplotu sa okolinom. Po prvom zakonu termodinamike je:
∫
∫
Kod adijabatske promjene stanja kako iz relacije (3) rad se vrši isključivo na račun unutrašnje energije radnog tijela pa zbog toga adijabatska ekspanzija uzrokuje njegovo hlaĎenje. Da bi izračunali sniženje temperature radnog tijela potrebna nam je jednačina adijabate. Adijabata je kriva kojom prikazujemo adijabatsku promjenu. Da bi izveli jednačinu adijabate poći ćemo od prvog zakona termodinamike ali ćemo prethodno detaljnije razmotriti molarni toplotni kapacitet gasa. Molarni toplotni kapaciteti pri konstantnoj zapremini i pritisku se definišu respektivno:
Na osnovu prvog zakona termodinamike slijedi:
Odnosno na osnovu prvog zakona termodinamike slijedi da je: (
)
(
)
47
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
Time smo dobili vrijednost člana du u jednačini (5). Na sličan način kada je pritisak konstantan (p=const) dobije se:
Uvrstimo prethodne relacije u izraz za prvi zakon termodinamike i iskoristimo jednačinu stanja za idealne gasove.
(
)
Jednačina (6) naziva se Mayerova relacija za molarne toplotne kapacitete i napisana preko specifičnih toplotnih kapaciteta prelazi u:
Odnos naziva se adijabatski koeficijent. Njegova vrijednost je: =1,6666 za jednoatomne gasove. =1,40 za dvoatomne gasove i =1,33 za troatomne gasove. Kada se radi o adijabatskim procesima (Q=0) prvi zakon termodinamike ima oblik:
Iz jednačine stanja idealnog gasa slijedi da je:
(
)
48
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
Jednačina adijabate predstavljena je hiperbolom koja je nešto strmija od hiperbole koja predstavlja izotermu u Boyle-Mariotteovom zakonu:
Ilustracija 25. Odnos izoterme i adijabate
Slično, jednačinu adijabate možemo napisati i na treći način:
Jednačine (7), (8) i (9) nazivaju se Poissonove (Poasonove) jednačine za idealni gas. Rad pri adijabatskim procesima možemo izračunati po relacijama:
5.5. Drugi zakon termodinamike Analiza procesa u prirodi pokazuje da se većina od njih odvija spontano samo u jednom smjeru, to jeste da su nepovratni. Drugim riječima nepovratni procesi su oni koji zavise od putanje po kojoj se odvijaju. Činjenica da se neki procesi nikada ne dešavaju u prirodi upućuje na to da postoji neki zakon koji ih zabranjuje. Prvi zakon termodinamike ne zabranjuje procese ukoliko se u njima ne krši zakon održanja energije. Zakon koji zabranjuje ove procese je drugi zakon termodinamike i on se može iskazati na više načina. Dublja analiza meĎutim pokazuje da su svi ti načini iskazivanja meĎusobno ekvivalentni. Smijer prelaska toplote sa toplijeg tijela na hladnija je osnova verzije drugog zakona termodinamike. „Toplota uvijek prelazi sa tijela više na tijelo niže temperature, dok se suprotan smjer prelaska nikada ne odvija spontano (Rudolf Clausius).“ Drugim riječima nemoguć je proces u kome bi jedini rezultat bio prelazak toplote sa hladnijeg tijela na toplije. Druga verzija drugog zakona termodinamike je:
49
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
„Nemoguć je proces u kome bi jedini rezultat bio potpuno pretvaranje apsorbovane toplote u rad (Lord Kelvin).“ Treća verzija drugog zakona termodinamike je: „Ne može se konstruisati perpetuum mobile druge vrste tj mašina koja bi potpuno pretvarala toplotu u rad (Carnot).“
5.6. Toplotne mašine To su takve mašine koje su sposobne da jedan dio spontanog toka toplote pretvore u koristan rad. Princip njihovog rada prikazan je na ilustraciji 26.
Ilustracija 26. Toplotna mašina.
Toplota koja struji sa toplijeg tijela (toplijeg rezervoara) je Qt dok je izgubljena toplota odnosno toplota koja je prešla na hladnije tijelo (hladniji rezervoar) Qh, a dobijeni rad pri tome je koristan rad A. Temperature toplijeg i hladnijeg rezervoara su Tt i Th respektivno. Idealan slučaj bi bio kada bi dobijeni koristan rad bio jednak toploti i kada ne bi bilo toplote koja predstavlja gubitak , meĎutim, to nije moguće. Da bi otkrili razloge za ovakvu situaciju potrebno je prvo da ispitamo relacije koje postoje izmeĎu A, Qt i Qh. Kružni procesi dovode sistem u početno stanje na kraju svakog ciklusa. To znači da je unutrašnja energija sistema U ista nakon svakog ciklusa odnosno da je U=0. Prema prvom zakonu termodinamike je: . Kako je U=0 slijedi onda da je:
.
50
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
Kao što vidimo u svakom procesu postoji gubitak toplote Qh koji ponekad može da bude jako veliki. Prirodno je onda da se efikasnost toplotne mašine definiše kao odnos onoga što kao korisno dobijamo na kraju ciklusa i onoga što smo uložili na početku pa je onda koeficijent korisnog dejatva toplotne mašine:
Iz relacije (1) se vidi da je koeficijent korisnog dejstva od 1 odnosno 100% moguć jedino ako nema toplotnih gubitaka odnosno ako je Qh=0. U praksi uvijek je koeficijent korisnog dejstva toplotnih mašina manji od jedinice jer se u kružnim procesima uvijek pojavljuje toplota Qh koju treba odvesti.
5.7. Carnotov kružni proces Neposredno nakon pronalaska toplotne mašine i njene praktične mogućnosti pretvaranja toplote u mehanički rad uočeno je da se samo dio prisutne toplote pretvori u mehanički rad. Ova činjenica proizilazi iz drugog zakona termodinamike. Naime, posljedica drugog zakona termodinamike je da toplotne mašine ne mogu imati koeficijent korisnog dejstva 1 jer uvijek moraju postojati gubitci toplote Qh. Iz relacije za koeficijent korisnog dejstva:
nije u potpunosti jasno koliko veliki ti gubitci moraju da budu. Ovo pitanje na teorijskom nivou 1824-e godine riješio je francuski inžinjer Carnot proučavajući toplotne mašine koje su u to vrijeme tek konstruisane i bile su najvažnije za industrijsku revoluciju. On je osmislio najefikasniji mogući teorijski ciklus koji se danas zove Carnotov kružni proces, a mašine koje koriste ovaj ciklus nazivaju se Carnotove mašine. Ključna Carnotova ideja je da ciklus treba da se sastoji samo od povratnih procesa. Razlog tome je što su ireverzibilni procesi povezani sa dodatnim toplotnim gubitcima usljed postojanja trenja. Takvi procesi bi doveli do povećanja toplotnih gubitaka Qh, a time i smanjenja efikasnosti mašine. Drugi zakon termodinamike iskazan preko povratnih procesa može se iskazati na sljedeći način: "Carnotova mašina koja radi između dvije date temperature ima najveći mogući koeficijent korisnog dejstva. Bilo koja druga toplotna mašina koja koristi samo povratne procese i radi između tih temperatura imat će isti koeficijent korisnog dejstva kao i Carnotova. " Na sljedećoj slici prikazan je Carnotov ciklus u PV dijagramu koji se sastoji iz dva izotermna i dva adijabatska procesa.
51
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
Ilustracija 27. Carnotov ciklus.
Ako je radno tijelo gas izračunat ćemo njegov rad u pojedinim fazama: I.
Predstavlja izotermno širenje pri temperaturi Tt, gas dobije količinu toplote Qt i izvrši rad:
II.
Predstavlja adijabatsko širenje, to jeste vršenje rada na račun unutrašnje energije, gas se ohladi od temperature Tt do temperature Th. Izvršeni rad je:
III.
Predstavlja izotermno sabijanje gasa, to jeste gas se sabija radom vanjskih sila pri čemu se stvara količina toplote Qh. Proces je izoterman, toplota se odvodi pa gas ostaje na temperaturi Th. Izvršeni rad je negativan i iznosi:
IV.
Predstavlja adijabatsko sabijanje gasa, to jeste gas se opet sabija radom vanjskih sila pri čemu se njegova temperatura podiže sa Th na Tt jer se toplota ne odvodi. Rad gasa je negativan i iznosi:
Ukupan rad u sve 4 faze je:
jer se vidi da je:
52
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
Budući da rad kod adijabatskih procesa zavisi samo od razlike temperatura. Sa druge strane, prema zakonu održanja energije ukupan rad A mora biti jednak algebarskom zbiru dovedene i odvedene toplote. Izračunajmo taj rad: (8)
Prelazi iz I i IV su adijabatski pa za njih važi Poassonov zakon.
Dijeljenjem prethodnih izraza dobije se:
Uvrštavanjem ovoga u relaciju za ukupan rad (1) dobije se:
. Korisno je takoĎer odrediti koeficijent korisnog dejstva mašine koja radi po Carnotovom kružnom procesu:
Iz ovog Carnotovog rezultata slijedi da je jedina mogućnost da toplotna mašina ima efikasnost od 100% ukoliko je hladniji rezervoar toplote na temperaturi Th=0K što ni praktično ni
53
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
teorijski nije moguće postići. Obzirom na to, najefikasnija mašina je ona kod koje je odnos što je moguće manji, a to se postiže većom temperaturnom razlikom izmeĎu toplijeg i hladnijeg rezervoara
5.8. Entropija Prvi zakon termodinamike definisan je konstantnošću funkcije U u izolovanom sistemu. Treba naći i funkciju koja izražava temelj drugog zakona termodinamike, odnosno koja ukazuje na jedan smjer procesa u izolovanom sistemu. Vidljivo je da promjena te funkcije treba imati isti predznak za sve realne, to jeste nepovratne procese u izolovanim sistemima. Tako za razliku od prvog zakona, drugi zakon kada se primjeni na neciklične nepovratne procese treba biti izražen nejednakošću. U Carnotovom ciklusu u kojem imamo nepovratne procese je:
Preko ovih odnosa definiše se nova fizička veličina koja se naziva entropija. Zapravo promjena entropije S za povratni proces pri kome sistem razmjenjuje toplotu Q na temperaturi T je: ( ) Jedinica za entropiju u SI je . Ova definicija promjene entropije je strogo uzevši tačna samo za povratne procese poput onih koji se odvijaju kod Carnotove mašine. Kako meĎutim entropija kao i unutrašnja energija zavisi samo od početnog i krajnjeg stanja sistema, a ne i od načina na koji je sistem evaluirao od jednog do drugog promjena entropije može se dobro definisati i za realne procese. 5.8.1. Entropija povratnih procesa Postavlja se pitanje kolika je promjena entropije u Carnotovoj mašini i njenim toplotnim rezervoarima u jednom ciklusu? Toplijem rezervoaru se smanjuje entropija za iznos:
jer sa njega odlazi toplota. Hladnijem raste toplota za iznos:
jer on dobija toplotu. Ukupna promjena entropije je:
54
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
Kako je kod Carnotovih mašina:
onda je:
Na osnovu prethodnog se može zaključiti da je promjena entropije sistema pri bilo kom povratnom procesu jednaka nuli. Entropija dijelova sistema može da se promjeni ali je njena ukupna promjena jednaka nuli. Budući da se svaki kružni proces može predstaviti sa beskonačno velikim brojem beskonačno malih Carnotovih kružnih procesa prethodna jednačina važi za svaki povratni proces. Kod neizotermnih procesa voĎenje povratnog procesa zahtjeva beskonačno veliki broj toplotnih izvora i rashladnih rezervorara odreĎenih temperatura. Uzevši da je T=const. za svaki elementarni dio toplotne izmjene slijedi:
a za cijeli ciklus: ∮ Prema tome algebarski zbir
(redukovana toplota) za neki reverzibilni kružni proces jednak
je nuli. Uočljivo je da izraz
ima osobinu veličine stanja jer mu je integral po zatvorenoj
krivoj tog ciklusa jednak nuli. To znači da izraz
ima potpuni diferencijal iako δQ nije
potpuni diferencijal. Rudolf Klauzijus je izraz
označio sa dS pri čemu je S nazvao entropija (od grčke riječi
entrepo – pretvaranje, preobražaj). Entropija za povratne procese je tako izražena sljedećom jednačinom:
odakle slijedi da je:
55
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
a to je matematički izraz drugog zakona termodinamike. Entropija je dakle funkcija stanja sistema koja je odreĎena time što je njen diferencijal u jednom elementarnom kružnom procesu jednak odnosu izmeĎu beskonačno male količine izmjene toplote i termodinamičke temperature sistema. Za konačnu promjenu u sistemu slijedi da je: ∫
∫ Za izotermne procese jednačina (1) postaje:
a za adijabatske:
5.8.2. Entropija nepovratnih procesa Razmotrimo takav izolovani sistem kojeg čine dva tijela (tijelo 1 i tijelo 2). IzmeĎu njih, jer su izolovani od okoline, odvija se isključivo proces izmjene toplote. Prema drugom zakonu termodinamike toplota može prelaziti samo sa toplijeg na hladnije tijelo, to jeste sa tijela 1 na tijelo 2. Odmah se vidi da je ovaj proces izmjene toplote pravi nepovratni proces. Ukupna promjena entropije posmatranog izolovanog sistema jednaka je zbiru promjena entropije pojedinih tijela tog sistema.
Gdje je:
Ista količina toplote koja se odvodi (-Q) od tijela 1 dovodi se tijelu 2 (+Q) pa je:
(
)
Kako je T1>T2 slijedi da je dS>0. Na osnovu prethodnog može se zaključiti da entropija bilo kog sistema u kome se dešavaju nepovratni procesi raste. Koristeći dobivene činjenice za
56
Fizika II
Fakultet elektrotehnike
2014
promjenu entropije pri povratnim i nepovratnim procesima može se zaključiti da je ona konstantna ili raste. Ovim se dolazi do četvrte verzije drugog zakona termodinamike izraženog preko entropije: „Ukupna entropija se nikada ne smanjuje u procesima već može ili da raste ili da ostane konstantna.“ Matematički:
Gdje se jednakost odnosi za povratne, a nejednakost za nepovratne procese. Fizičar Boltzmann je utvrdio da različiti sistemi u prirodi spontano prelaze iz stanja manje u stanje veće neureĎenosti jer im se tada povećava vjerovatnost. Veza izmeĎu entropije i vjerovatnosti P da se sistem naĎe u nekom stanju po Boltzmannu je:
gdje je k Boltzmannova konstanta. Iz relacije (1) se vidi da je entropija nekog sistema proporcionalna logaritmu vjerovatnosti makroskopskog stanja sistema. Pri prelazu iz manje vjerovatnog stanja u vjerovatnije stanje entropija se povećava pa entropija pokazuje smjer odvijanja procesa. Entropija izolovanog sistema se ne može smanjivati. Ravnotežno stanje je stanje najveće neureĎenosti (najveća haotičnost) meĎu česticama posmatranog sistema.
57
