TEORIJA KONSTRUKCIJA 2
SADRŽAJ
1. OSNOVNI OSNOVNI POJMOVI POJMOVI /1 1.1. UVOD /1 1.2. KONCEPT MATRIČNE ANALIZE METODOM DEFORMACIJE /2 1.3. STEPENI SLOBODE /3 1.4. MATRICA FLEKSIBILNOSTI I MATRICA KRUTOSTI /4 2. MATRIČNA MATRIČNA ANALIZA ŠTAPA /11 2.1. OSNOVNE STATIČKE I KINEMATIČKE VELIČINE /11 2.2. MATRICA KRUTOSTI ŠTAPA /12 2.3. VEKTOR EKVIVALENTNOG EKVIVALENTNOG OPTEREĆENJA /12 3. DIREKTAN POSTUPAK POSTUPAK ODREĐIVANJA ODREĐIVANJA MATRICA KRUTOSTI /13 3.1. AKSIJALNO NAPREZANJE /13 3.2. SAVIJANJE U RAVNI /14 3.3. ISTOVREMENI UTICAJ AKSIJALNOG NAPREZANJA I SAVIJANJA U RAVNI /16 3.4. TORZIJA /17 4. ODREĐIVANJE MATRICE MATRICE KRUTOSTI ŠTAPOVA PREKO BAZNE MATRICE KRUTOSTI KRUTOSTI /18 4.1. OSNOVNA (BAZNA) MATRICA KRUTOSTI /18 4.2. MATRICA KRUTOSTI ŠTAPA TIPA "k" /19 4.3. MATRICA KRUTOSTI ŠTAPA TIPA "g" /21 4.4. MATRICA KRUTOSTI ŠTAPA PROMENLJIVOG POPREČNOG PRESEKA /24
1. OSNOVNI POJMOVI 1.1. UVOD Razvoj matričnih metoda počinje sredinom prošlog veka. Za razliku od ranijih, tkz. klasičnih metoda, ove metode se nazivaju moderne ili savremene metode. Pošto se u formulaciji ovih metoda primenjuje matrični aparat, ove metode se nazivaju i matrične metode. Matrični oblik osnovnih veza između geometrijskih, statičkih i deformacijskih veličina nosača veoma je pogodan za formiranje opštih algoritama za analizu i rešavanje problema pomoću elektronskih računara. Tako je razvoj matričnih metoda išao ukorak sa razvojem elektronskih računara. Prve radove posvećene matričnoj formulaciji metode sila objavio je Levy , a zatim i drugi autori kao Lang , Bisplinghof , Wehle, Lansing i drugi. Nešto kasnije, najpre Levy a onda i Schurech, objavili su radove u kojima ukazuju na prednost analize metodom deformacija u odnosu na metodu sila. Za njima slede radovi Argyrisa i njegovih saradnika, koji, izlažući opštu matričnu formulaciju metoda analize nosača na bazi osnovnih energetskih principa, predstavljaju polaznu osnovu za dalji razvoj metoda matrične analize konstrukcija. Metoda sila i metoda deformacije su dve osnovne metode analize konstrukcija i u klasičnoj i u matričnoj formulaciji. Međutim, klasična i matrična formulacija ovih metoda se razlikuju. U klasičnoj formulaciji metode sila i metode deformacije dati sistem posmatra se kao celina ( system approach). Ispituje se statička ili deformacijska neodređenost sistema i usvaja se ona metoda koja je pogodnija za analizu datog sistema. U matričnoj formulaciji metode sila i metode deformacija, osnovu čini štap kao element sistema (element approach). Sistem je sastavljen od pojedinih štapova – elemenata sistema, koji su međusobno povezani u pojedinim diskretnim tačkama – čvorovima sistema (strukture). Osnovne metode analize linijskih nosača prikazane su na sledećoj shemi.
Matrična analiza linijskih nosača može da se shvati i kao specijalan slučaj jednog opšteg metoda numeričke analize konstrukcija, poznatog kao Metod konačnih elemenata (MKE). U tom konceptu štap predstavlja jednodimenzionalni element. Međutim, po metodi deformacija u teoriji linijskih nosača dobijaju se tačna rešenja, dok se u opštem slučaju po MKE dobijaju samo približna rešenja. Ovo i sledeća poglavlja sadrže rec:estheosnovne metode deformacije i rec:esthematrične analize konstrukcija. Biće prikazani postupci za određivanje matrica krutosti direktnim postupkom i preko bazne matrice, a zatim i formiranje jednačina sistema. Biće obuhvaćena matrična analiza konstrukcija u ravni – okvirni nosači, rešetkasti nosači i kontinualni nosači. Poslednje poglavlje obuhvatiće nelinearnu analizu konstrukcija.
2
1.2. KONCEPT MATRIČNE ANALIZE METODOM DEFORMACIJE Pri analizi nosača zadržaćemo se u domenu linearne teorije prvog reda, koja u svojoj osnovi sadrži pretpostavke o geometrijskoj, statičkoj i fizičkoj linearnosti. Pretpostavka o geometrijskoj linearnosti znači da su pomeranja tako mala da se kvadrati i viši stepeni pomeranja i njihovi izvodi mogu zanemariti u odnosu na prve stepene tih veličina. Posledica ove pretpostavke je linearna veza pomeranja i deformacijskih veličina. Pretpostavka statičke linearnosti znači da se uslovi ravnoteže postavljaju na nedeformisanom elementu štapa, odnosno nedeformisanom štapu i njena posledica je linearnost uslova ravnoteže. Pretpostavka o fizičkoj linearnosti polazi od linearne veze napona i deformacija, tj. od generalisanog Hooke-ovog zakona Navedene tri pretpostavke nam omogućuju da pri tretiranju opterećenja koristimo princip superpozicije. Na slici 1.1-a prikazan je sistem sa zadatim opterećenjem. Na osnovu principa superpozicije, uticaji u datom sistemu jednaki su zbiru uticaja u sistemima sa slika 1.1- b i c .
Slika 1.1. Ilustracija principa superpozicije
Sistem na slici 1.1- b naziva se osnovni sistem i on se dobija tako da se u zadatom nosaču spreče pomeranja i obrtanja svih čvorova. Ovaj sistem je opterećen zadatim opterećenjem i silama u čvorovima, određenim kao reakcije oslonaca potpuno uklještenih štapova.. Sistem na slici 1.1-c opterećen je samo u čvorovima, i to opterećenjem koje je istog intenziteta kao opterećenje u čvorovima ekvivalentng sistema ali sa promenjenim znakom. Ovo opterećenje se naziva ekvivalentno opterećenje. Kako su obrtanja i pomeranja čvorova na sistemu 1.1- b jednaka nuli, to su obrtanja i pomeranja čvorova datog sistema jednaka obrtanjima i pomeranjima čvorova sistema na slici 1.1- c . To znači da se pomeranja i obrtanja čvorova datog nosača dobijaju, u stvari, samo usled dejstva ekvivalentnog čvornog opterećenja. Na taj način, spoljašnji uticaji duž pojedinih štapova se mogu zameniti ekvivalentnim opterećenjem na njihovim krajevima, odnosno u čvorovima nosača. U analizi elementa polazi se od osnovnih jednačina teorije štapa i uspostavlja veza između generalisanih sila i generalisanih pomeranja u čvorovima na krajevima elementa. Pored ove veze koja se uspostavlja preko matrice krutosti elementa, određuje se i vektor ekvivalentnog opterećenja elementa. Sada se iz veza sila i pomeranja za pojedine elemente i uslova kompatibilnosti čvorova, formiraju jednačine za sistem elemenata koje predstavljaju uslove ravnoteže čvorova sistema. Uslovi kompatibilnosti čvorova izjednačavaju pomeranja krajeva štapova koji su vezani u istom čvoru, dok uslovi ravnoteže uspostavljaju vezu između spoljašnjeg čvornog opterećenja, ekvivalentnog čvornog opterećenja i sila na krajevima štapova. Iz uslovnih jednačina se, uz uslove oslanjanja, određuju pomeranja i obrtanja čvorova, a onda se za svaki štap ponaosob mogu odrediti naprezanja i deformacije.
3
1.3. STEPENI SLOBODE Kao osnovne nepoznate u matričnoj formulaciji metode deformacija usvajaju se obrtanja i pomeranja čvorova. Ukupan broj međusobno nezavisnih parametara pomeranja predstavlja kinematičku ili deformacijsku neodređenost sistema. U slučaju ravnih sistema, ovaj broj u tačnoj metodi deformacije jednak je zbiru obrtanja grupa kruto vezanih štapova ( m ) i broju komponenti pomeranja sistema od k čvorova, umanjenom za broj sprečenih ili zadatih pomeranja u osloncima ( z o ), d = m + 2 k − zo
(1.1)
U približnoj metodi deformacije, u kojoj je zanemaren uticaj normalnih sila na deformacije, odnosno u kojoj se štapovi aksijalno ne deformišu, prethodni zbir se umanjuje i za broj štapova sistema ( z s ), d = m + 2 k − ( z s + z o )
(1.2)
Sistem u kome su svi parametri pomeranja jednaki nuli, odnosno sistem sa sprečenim obrtanjima i pomeranjima čvorova, nazivamo kinematički određen (osnovni ) sistem. Na sledećoj slici prikazani su primeri na kojima se ilustruje kinematička (deformacijska) neodređenost sistema, po tačnoj metodi deformacije (TMD) i približnoj metodi deformacije (PMD).
a)
TMD
PMD
b)
TMD
PMD
c)
TMD
PMD
d)
Slika 1.2. Ilustracija stepeni slobode po tačnoj (TMD) i približnoj metodi deformacija (PMD)
4
1.4. MATRICA FLEKSIBILNOSTI I MATRICA KRUTOSTI Pri određivanju odgovora konstrukcije odnos između sila i pomeranja predstavlja osnovu analize, nezavisno od metode koja se primenjuje. Ovaj odnos je određen koeficijentima fleksibilnosti i koeficijentima krutosti, koji fizički predstavljaju meru za elastičnost odnosno krutost konstrukcije.
1.4.1. Pojam matrice fleksibilnosti i matrice krutosti Na slici 1.3-a data je prosta greda opterećena koncentrisanom silom P 1 i koncentrisanim momentom P 2 . Pomeranja napadnih tačaka ovih sila δ 1 i δ 2 predstavljaju ukupno vertikalno pomeranje preseka 1 i ukupno obrtanje preseka 2 usled istovremenog dejstva obe sile. Koristeći princip superpozicije, pomeranja δ 1 i δ 2 možemo dobiti kao zbir istih pomeranja usled pojedinačnog uticaja sila P 1 i P 2 , odnosno δ 1 = f11 P1 + f12 P 2 δ 2 = f 21 P1 + f 22 P 2
(1.3)
ili, u matričnoj formi δ 1 11 f12 P 1 = P δ f f 2 21 22 2
(1.4)
Ovde su fij , i, j = 1, 2 koeficijenti fleksibilnosti, čije je geometrijsko značenje ilustrovano na slici 1.3 b. Iz jednačine (1.3) se može videti da su - f 11 i f 21 - vertikalno pomeranje tačke 1 i obrtanje u tački 2 usled dejstva sile P 1 = 1 pri čemu je P 2 = 0 ;
Slika 1.3. Geometrijsko-statičko značenje koeficijenata b) fleksibilnosti c) krutosti
- 12 i 22 - vertikalno pomeranje tačke 1 i obrtanje u tački 2 usled dejstva momenta P 2 = 1 pri čemu je P 1 = 0 . Na sličan način mogu da se prikažu veze između sila i pomeranja u obliku P1 k11 k 12 δ 1 = P2 k 21 k 22 δ 2
(1.5)
Ovde su kij , i, j = 1, 2 koeficijenti krutosti nosača, čije je fizičko značenje pokazano na slici 1.3- c : - k11 i k 21 predstavljaju silu u tački 1 i moment u tački 2 usled jediničnog pomeranja δ 1 = 1 , pri δ 2 = 0 ; - k11 i k 21 predstavljaju silu u tački 1 i moment u tački 2 usled jediničnog pomeranja δ 2 = 1 , pri δ 1 = 0 ; Veze (1.4) i (1.5), date za jednostavan primer proste grede, mogu se uopštiti za proizvoljan nosač na koji deluje proizvoljno zadati sistem sila. Tada veze između generalisanih pomeranja q i generalisanih sila R glase
5 q1 f11 M M f qi = i1 M M q f n n1
odnosno
L f1 j L f 1n R M L f ij L M L f nj L
1 M M f in R j M M f nn Rn
(1.6)
q=FR .
(1.7)
Veze između generalisanih sila i generalisanih pomeranja glase R1 k11 M M k Ri = i1 M M R k n n1
odnosno
L k1 j L k 1n q M L kij L M L knj L
1 M M k in q j M M k nn qn
(1.8)
R =Kq .
Ovde su:
(1.9)
- matrica fleksibilnosti (gipkosti) sistema (tela), K - matrica krutosti (stiffness matrix ) sistema (tela). F
Primer 1: Na slici 1.4 je prikazana konzola sa jednom silom na slobodnom kraju. Za određivanje koeficijenta fleksibilnosti 11 koji odgovara datoj sili P 1 , na mestu njenog delovanja priložimo jediničnu
silu. Sada se može sračunati pomeranje napadne tačke sile u pravcu sile f11 =
M 12
∫ EI
ds =
l 3 3EI
.
Veza pomeranja v1 i date sile P 1 data je izrazom δ 1 = f11 P 1
Iz poslednje jednačine za δ 1 = 1 dobijamo silu koja izaziva jedinično pomeranje δ 1 = f11k11 = 1 ⇒ k11 = f 11−1 =
3EI l 3
,
pa je sada veza sile P 1 i pomeranja δ 1 P1 = k 11δ 1 ,
Slika 1.4.
gde je k 11 koeficijent krutosti, odnosno sila potrebna da se kraj konzole u pravcu sile P 1 pomeri za jedan. Primer 2: Uzmimo primer iste konzole sada opterećene koncentrisanom silom P 1 i koncentrisanim
momentom P 2 na slobodnom kraju (slika 1.5-a).
Slika 1.5-a
Koeficijente fleksibilnosti ćemo sračunati primenom principa virtualnih sila.
6 - Stanje P1 = 1 ( P 2 = 0) : f11 = f 21 =
M 12
∫ EI s
ds =
M 2 M 1
∫
EI
s
l 3
,
3EI
l 2
ds =
2 EI
- Stanje P2 = 1 ( P 1 = 0) : f12 =
M 1M 2
∫
EI
s
l 2
ds =
2 EI
,
f 22 =
M 22
∫ EI s
l
ds =
EI
- Veza pomeranja δ1 i δ 2 i sila P1 i P 2 δ 1 =
11 P1
δ 2 =
+ f12 P 2
21 P1
+ f 22 P 2
,
odnosno Slika 1.5-b) Ilustracija koeficijenata fleksibilnosti
l 2l 2 3l P 1 δ 1 f11 f12 P1 = = δ f f P 2 21 22 2 6 EI 3l 6 P 2
i skraćeno
δ = F⋅P
Koeficijente krutosti ćemo sračunati korišćenjem veza između sila i deformacija na krajevima štapa (jednačine 2.9), odnosno za - stanje δ1 = 1 (δ 2 = 0) : δ 1 = δ 2 =
∫
M 11M1
ds +
EI
∫
M 11M 2 EI
∫
M 21M 1 EI
M 21M 2
∫
ds +
ds =
l3 3EI l2
ds =
EI
k11 +
l 2 2 EI l
k11 +
2 EI
EI
k21 = 1 k21 = 0
Rešenja sistema jednačina glase k11 =
12 EI l3
, k 21 = −
6 EI l 2
- stanje δ 2 = 1 (δ 1 = 0) : δ 1 = δ 2 =
∫
M 12 M 1
∫
ds +
EI M 12 M 2 EI
∫
ds +
M 22 M 1
∫
EI
ds =
M 22 M 2 EI
l3 3EI
ds =
k12 +
l2 2 EI
l 2 2 EI
k12 +
l EI
k22 = 0 k22 = 1
Rešenja sistema jednačina glase k12 = −
6 EI l 2
, k 22 =
4 EI l
- veze između sila P1 i P 2 i pomeranja δ1 i δ 2 P1 = k11δ1 + k 12δ 2 P2 = k21δ1 + k 22δ 2
,
odnosno Slika 1.5-c) Ilustracija koeficijenata krutosti
P1 k11 k 12 δ1 6 EI 2 l 2 −1 l δ 1 P = k k δ = l −1 l 2 3 δ 2 2 21 22 2
7 i skraćeno
P = K ⋅δ
Ako pomnožimo dobijene matrice fleksibilnosti i krutosti dobićemo jediničnu matricu, odnosno 2l 2 3l 6 EI 2 l 2 −1 l 1 ⋅ = 6 EI 3l 6 l −1 l 2 3 0 l
U konciznom matričnom obeležavanju
0 1
F⋅K = I ,
gde je I jednična matrica. Primer 3:
Kolone matrice fleksibilnosti se dobijaju pri stanju P1 = 1, P 2 = 0 , odnosno P1 = 0, P 2 = 1 . Kolone matrice krutosti se dobijaju pri stanju δ1 = 1, δ 2 = 0 , odnosno δ1 = 0, δ 2 = 1 . Sračunaćemo pomeranja δ 1 i δ 2 u pravcima koordinata 1 i 2 usled dejstva sila P 1 i P 2 . Dva puta statički neodređen sistem rešićemo metodom sila a zatim pomeranja metodom virtualnih sila.
∫
EI δ 11 = M 12 ds =
∫
1 3
l ,
EI δ 1, P1 = M 1M P 1ds =
∫
∫
EI δ 12 = M 1M 2 ds =
1 6
Pl 1 ,
EI δ 1, P 2 = M 1M P 2 ds = 0 ,
1 6
l ,
∫
EI δ 22 = M 22 ds =
∫
EI δ 2, P1 = M 2 M P 1ds =
∫
EI δ 2, P 2 = M 2 M P 2 ds =
1 6
1 3
2 3
l
Pl 1
P2 l
Statičke nepoznate usled dejstva sile P 1 l 2 1 X 1 1 1 ⋅ + Pl 1 =0 6 1 4 X 2 P 1 6 2
⇒
2 − 7 P 1 X 1 = X 2 P 1 − 3 P 7 1
⇒
1 7 P 2 = − 2 P 2 7
Statičke nepoznate usled dejstva sile P 2 0 l 2 1 X 1 1 ⋅ + P l =0 2 6 1 4 X 2 P 2 6 1
Dijagrami momenata usled sila P 1 i P 2
X 1 X 2 P 2
8
Dijagrami momenata savijanja na osnovnom sistemu usled dejstva odgovarajućeg generalisanog virtualnog opterećenja
Sada su pomeranja u pravcima koordinata usled istovremenog dejstva obe sile M P1M 1
δ 1 =
∫
δ 2 =
∫
EI M P1M 2 EI
ds +
M P 2 M 1
∫
ds +
EI
∫
ds =
M P 2 M 2 EI
l 14 EI
ds =
( 2 P1 − P2 )
l 14 EI
( 4 P2 − P1 )
- Određivanje koeficijenata matrice fleksibilnosti: za P1 = 1, P2 = 0 ⇒ δ1 = f11 =
l 7 EI
za P1 = 0, P2 = 1 ⇒ δ1 = f12 = − matrica fleksibilnosti
F=
, δ 2 = f 21 = − l
14 EI
l 14 EI
, δ 2 = f 22 =
2l 7 EI
2 −1 14 EI −1 4 l
- Određivanje koeficijenata matrice krutosti: 14 EI ⇒ l ( 4 P2 − P1 ) = 0 14 EI l
za δ1 = 1, δ 2 = 0
⇒
( 2 P1 − P 2 ) = 1
l
za δ1 = 0, δ 2 = 1 ⇒
matrica krutosti
( 2 P1 − P 2 ) = 0 14 EI
⇒ ( 4 P2 − P1 ) = 1 14 EI l
K =
P1 = K 11 = P2 = K 21 =
8 EI l 2 EI
P1 = K 12 = P2 = K 22 =
l
2 EI l 4 EI
l
2 EI 4
1 l 1 2
Primer 4: Za konstrukciju na sledećoj slici, sračunati
matricu fleksibilnosti i matricu krutosti. Čvor 1 se, osim obrtanja u pravcu koordinate 3, može pomerati horizontalno i vertikalno u pravcima koordinata 1 i 2. To znači da aksi jalne deformacije štapova treba uzeti u obzir. Koeficijente matrice fleksibilnosti ćemo sračunati ako u pravcu svake od koordinata sukcesivno priložimo jediničnu silu i odredimo pomeranja u pravcima svih koordinata. Koeficijente matrice krutosti ćemo odrediti ako u u pravcu svih koordinata priložimo sile, čije veličine određujemo iz uslova da je pomeranje u pravcu jedne od koordinata jednako 1, dok su ostala pomeranja jednaka nuli.
9 Za dati 2 puta statički neodređen sistem opterećen prema sledećoj slici, metodom sila dobijeni su dijagrami momenata savijanja i aksijalnih sila u presecima štapova
Ovde je:
12
= −0, 0222 P1 + 0,0431P2 + 0,3246 P 3
N12 = −0,9817 P1 + 0,7171P2 + 0,1911P 3
13
= 0,0222 P1 − 0,0431P2 + 0, 6754 P 3
N13 = 1, 2216 P1 + 0,0154 P2 + 0,0497 P 3
31
= 0,0344 P1 − 0, 0562 P2 + 0,3324 P 3
Sada se pomeranja u pravcima koordinata mogu dobiti primenom principa virtualnih sila, delovanjem odgovarajućeg generalisanog virtualnog opterećenja, na osnovnom sistemu datog nosača
δ 1 = δ 2 = δ 3 =
∫
M P M 1 EI
∫
M P M 2
∫
M P M 3
EI EI
ds +
∫
N P N 1
∫
N P N 2
∫
N P N 3
ds + ds +
ds =
EF EF EF
1 EI
ds = ds =
( 0,0785 P1 − 0,0574 P2 − 0,0153 P3 )
1
( −0,0574 P1 + 0,1642 P2 + 0, 0164 P3 )
( −0,0153 P1 + 0, 0164 P2 + 0, 4287 P3 )
EI 1 EI
Ako za jednu od sila P uzmemo da je jednaka 1 dok su ostale jednake 0, dobijamo koeficijente matrice fleksibilnosti 0,0785
P1 = 1, P2 = 0, P3 = 0
⇒
δ1 = f11 =
P1 = 0, P2 = 1, P3 = 0
⇒
δ1 = f12 = −
P1 = 0, P2 = 0, P3 = 1
⇒
δ1 = f13 = −
, δ 2 = f 21 = −
EI 0,0574 EI 0, 0153 EI
, δ 2 = f 22 = , δ 2 = f 23 =
0, 0574 EI 0,1642 EI 0,0164 EI
, δ 3 = f 31 = − , δ 3 = f 32 = , δ 3 = f 33 =
0,0153
EI 0,0164 EI 0, 4287 EI
odnosno, matricu fleksibilnosti 0,0785 1 −0,0574 F= EI −0, 0153
−0,0574
−0, 0153
0,1642
0,0164 0, 4287
0, 0164
Koeficijente matrice krutosti dobijamo kao sile koje izazivaju jedinično pomeranje u pravcu jedne od koordinata, dok su ostala dva pomeranja jednaka nuli, odnosno δ1 = 1, δ 2 = 0, δ 3 = 0 ⇒ P1 = K11 = 17,1586 EI , P2 = K 21 = 5,9555 EI , P3 = K31 = 0,384 EI δ1 = 0, δ 2 = 1, δ 3 = 0 ⇒ P1 = K12 = 5,9555 EI , P2 = K 22 = 8,1795 EI , P3 = K32 = −0,1005 EI δ1 = 0, δ 2 = 0, δ 3 = 1 ⇒ P1 = K13 = 0,384 EI , P2 = K 23 = −0,1005 EI , P3 = K33 = 2,35 EI
10 Matrica krutosti datog nosača sada je 17,1586 5,9555 0, 3840 8,1795 −0,1005 K = EI 5,9555 0,3840 −0,1005 2,3500
Množenjem dobijenih matrica dobijamo 17,1586 5, 9555 0, 3840 0, 0785 − 0, 0574 − 0, 0153 1 0 0 1 − 0, 0574 0,1642 0, 0164 ≈ 0 1 0 = I K ⋅ F = EI 5, 9555 8,1795 − 0,1005 ⋅ 0, 3840 − 0,1005 2, 3500 EI − 0, 0153 0, 0164 0, 4287 0 0 1
Dobijena matrica krutosti identična je matrici krutosti iz primera u poglavlju 5.5.5.
1.4.2. Uslovi pri kojima matrice fleksibilnosti i krutosti ne postoje U prethodnom primeru 2 pokazano je da su matrice K i F inverzne, što nije uvek moguće. Matrice fleksibilnosti i krutosti postoje u svim slučajevima kada su sile odnosno pomeranja u pravcu koordinata nezavisni. Zavisnost između ovih veličina isključuje postojanje matrica F i K . a) Uslovi pri kojima matrica fleksibilnosti F ne postoji
Posmatrajmo gredu sa šest koordinata, prikazanu na slici 1.6.
Slika 1.6
Za određivanje prvog stuba matrice fleksibilnosti, po koordinati 1 treba postaviti jediničnu silu, dok su sve ostale sile jednake nuli. Međutim ovo nije moguće, obzirom da će se, pri ovakvim uslovima, greda kretati kao kruto telo. Isto se javlja i pri proračunu ostalih stubova matrice F . Nepokretnost grede se može obezbediti uvođenjem zavisnosti između sila u obliku P1 + P 4 = 0 P2 + P 5 = 0 P5l + P3 + P6 = 0
ili P2l − P3 − P 6 = 0
što ujedno znači i nepostojanje matrice F , (na primer, za P 1 = 0 nije moguće da sve ostale sile budu jednake nuli, jer je iz prve jednačine P1 = − P 4 ). Zavisnost između sila ne sprečava postojanje matrice krutosti K . Međutim, kod ove matrice postoji linearna zavisnost između stubova i redova, što isključuje njenu inverziju. Za postojanje matrice fleksibilnosti, odnosno otklanjanje linearne zavisnosti redova i stubova matrice K , potrebno je eliminisati najmanje tri stepena slobode i štap preobraziti u stabilan nepokretan sistem. b) Uslovi pri kojima matrica krutosti K ne postoji
Posmatrajmo nosač na slici 1.7. sa riglom beskonačno krutom u aksijalnom pravcu, što znači da su pomeranja u pravcu koordinata 1 i 3 ista. Matrica krutosti ne može da se sračuna, obzirom da ne može da se zada pomeranje u1 = 1 a da su pomeranja u2 = u3 = u4 = 0 . Odavde se može zaključiti da matrica krutosti ne postoji kada su pomeranja u pravcima koordinata međusobno zavisna . Zavisnost između pomeranja ne sprečava postojanje matrice fleksibilnosti, kod koje jednakost pomeranja u1 i u3 uzrokuje identičnost prvog i trećeg reda i stuba.
Slika1.7 .
11
2. MATRIČNA ANALIZA ŠTAPA U matričnoj analizi konstrukcija štap predstavlja osnovni element. U analizi linijskih sistema primenjuje se najjednostavniji model štapa – prav prizmatičan štap sa čvorovima na njegovim krajevima. Za analizu složenijih sistema uvode se složeniji modeli štapa sa većim brojem stepeni slobode i sa unutrašnjim čvorovima. Za analizu krivih štapova često se primenjuju i krivolinijski elementi. U sledećim izlaganjima izvedene su matrice krutosti za prav prizmatični štap izložen aksijalnom naprezanju, savijanju i torziji, direktnim postupkom i preko bazne matrice krutosti.
2.1. OSNOVNE STATIČKE I KINEMATIČKE VELIČINE Na slici 1.8. prikazan je u prostoru prav prizmatičan štap ik , proizvoljnog poprečnog preseka, dužine l . Za štap je vezan lokalni pravougli koordinatni sistem, sa koordinatnim početkom u čvoru i , na levom kraju štapa, tako da se osa x poklapa sa podužnom osom štapa, a ose y i z sa pravcima glavnih osa inercije poprečnog preseka štapa. Na slici 2.1 data je i konvencija o pozitivnim znacima pomeranja, obrtanja i sila u presecima i i k .
Slika 2.1. Generalisane sile i generalisana pomeranja u čvorovima štapa
Parametri pomeranja u čvorovima i i k štapa ik , pomeranja u pravcu koordinatnih osa u , v i w , i obrtanja oko osa ϕ x , ϕ i ϕ z , jesu komponente vektora
{ = {u
}
qT i = ui vi wi ϕxi ϕ yi ϕ zi ,
(2.1)
qT = qTi qT k = {q1 q2 L qn }
(2.2)
qT k
k
}
vk wk ϕ xk ϕ yk ϕ zk ,
a parametri pomeranja štapa komponente vektora
{
}
gde je n ukupan broj stepeni slobode štapa (12 za štap u prostoru). Generalisane sile u čvorovima i i k štapa ik , sile N , T y , T z i momenti komponente vektora
{ = { N
}
R T i = N i Tyi Tzi M xi M yi M zi , R T k
k
}
x
,
y
,
z
, jesu
(2.3)
Tyk Tzk M xk M yk M zk ,
a generalisane sile štapa komponente vektora
{
}
RT = R Ti R T k = { R1 R2 L Rn }
(2.4)
12
2.2. MATRICA KRUTOSTI ŠTAPA Veza između vektora generalisanih sila
R i vektora generalisanih pomeranja q , izraz (1.9), je R = kq
oblika (2.5)
odnosno R1 k11 R2 k21 M M R = k i i1 M M Rn kn1
k12 L k1 j L k1n q 1 k22 L k2 j L k2 n q2 M
M
ki 2 L kij L M
M
kn 2 L knj L
M k jn q j M M knn qn M
(2.6)
Matrica krutosti štapa k je simetrična kvadratna matrica reda n , gde je n broj stepeni slobode štapa. Ako pretpostavimo da su sve komponente vektora q jednake nuli dok je komponenta q j = 1 , tada se iz (2.6) dobija T T (2.7) { R1 R2 L Ri L Rn } = {k1 j k2 j L kij L k nj } Odavde sledi da je koeficijent k ij matrice krutosti k jednak generalisanoj sili Ri , nastaloj usled generalisanog pomeranja q j = 1 , pri čemu su na štapu sprečeni svi ostali stepeni slobode. Proračunom reakcija u pravcu svih stepena slobode Ri , i = 1, 2,..., n dobijamo -tu kolonu matrice krutosti. Ovaj je postupak treba ponoviti za sva generalisana pomeranja q j , j = 1,2,..., n . Ovakav način određivanja koeficijenata matrice krutosti zove se direktan postupak ili direktna metoda.
2.3. VEKTOR EKVIVALENTNOG OPTEREĆENJA U poglavlju 1.2 smo videli da se uticaji duž pojedinih štapova mogu zameniti koncentrisanim opterećenjem u čvorovima, odnosno na krajevima pojedinih štapova. Takvo zamenjujuće opterećenje nazivamo ekvivalentno opterećenje. Na slici 2.2 prikazan je štap izložen uticajima podeljenog opterećenje duž ose, koncentrisanim silama, momentima i promeni temperature, kao i ekvivalentno opterećenje sa svojim pozitivnim smerovima.
Slika 2.2.
Komponente ekvivalentnog opterećenja u čvorovima i i k , kao komponente vektora
{ = − { N
}
QT i = − N i Tyi Tzi M xi M yi M zi , QT k
k
}
(2.8)
Tyk Tzk M xk M yk M zk ,
a za štap ik , vektor ekvivalentnog opterećenja glasi
{
}
QT = QTi QT k = {Q1 Q2 L Qn }
(2.9)
Ekvivalentno opterećenje štapa odgovara negativnim vrednostima reakcija oslonaca potpuno uklještenog štapa na oba kraja. Iz ovog značenja sledi i način za neposredno određivanje vektora ekvivalentnog opterećenja direktnom metodom.
13
3. DIREKTAN POSTUPAK ODREĐIVANJA MATRICA KRUTOSTI Elementi matrice krutosti mogu da se odrede na više načina: direktnim postupkom, preko bazne matrice krutosti, varijacionim postupkom, primenom principa virtuelnog pomeranja, metodom elastičnog težišta. U narednim izlaganjima biće prikazan direktan postupak izvođenja elemenata matrice krutosti, za stanje aksijalnog naprezanja, savijanje poprečnim silama i troziju, za štapove uklještane na oba kraja („k”štapovi) i štapove na jednom kraju uklještenje a na drugom zglobno oslonjene („g”-štapovi).
3.1. AKSIJALNO NAPREZANJE Na slici 3.1 prikazan je aksijalno napregnut štap, izložen uticaju podeljenog opterećenja p x duž štapa, koncentrisanoj sili P x paralelnoj osi štapa i ravnomernom zagrevanju t o .
Slika 3.1. Generalisana pomeranja i generalisane sile na krajevima aksijalno napregnutog štapa, u pravcima stepena slobode 1 i 2
Vektor generalisanih sila
R , matrica krutosti k i vektor generalisanih pomeranja q , glase
k11 R N R = 1 = i , k = R2 N k k21
k 12
q u , q = 1 = i k 22 q2 uk
(3.1)
Komponente matrice krutosti k dobićemo kao reakcije na krajevima štapa u pravcu ose , koje izazivaju jedinična pomeranja krajeva. Sila potrebna da se kraj i štapa pomeri za q1 = ui = 1 može se dobiti polazeći od izraza za promenu dužine štapa: ∆l = ui =
Sl EF
=1
⇒ S = k 11 =
Iz uslova ravnoteže u pravcu štapa
EF l
⇒ k 21 = −
EF l
Na sličan način, sila potrebna da se kraj k štapa pomeri za q2 = uk = 1 biće jednaka: k 12 = −
EF l
, i k 22 =
EF l
Sada je matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa k =
EF 1
l −1
−1
. 1
(3.2)
Komponente vektora ekvivalentnog opterećenja jednake su negativnim vrednostima reakcija štapa, kome su sprečena aksijalna pomeranja njegovih krajeva.
14 Usled uticaja opterećenja odnosno ravnomerne promene temperature vektor ekvivalentnog opterećenja izgleda ovako
N i Q1 Q = = − Q2 N k o ,t
(3.3)
o
- Za ravnomerno podeljeno opterećenje duž ose štapa: Ni = N k = − Q=
o
l
2
po l 1
(3.4)
2 1
- Za linearno promenljivo opterećenje: N i = − Q=
po l 6
, N k = − 2
po l 6
po l 1
(3.5)
6 2
- Za koncentrisanu silu paralelnu štapu u tački m : m , N k = − P m m l l P l − xm Q= m (3.6) l xm
N i = − P m 1 −
- Za ravnomernu promenu temperature t o konstantnu duž ose štapa: Ni = αt t o EF , o
N k = −α t t o EF
−1 1
(3.7)
Q = αt t EF
3.2. SAVIJANJE U RAVNI Na slici 3.2. prikazan je prav prizmatičan štap u ravni, dužine l , sa modulom elastičnosti E i momentom inercije poprečnog preseka I z = I .
Slika 3.2-) Generalisana pomeranja i generalisane sile
Slika 3.2-b) Stepeni slobode (koordinate) štapa izloženog savijanju
Za štap izložen savijanju, sa 4 stepena slobode, vektor generalisanih sila vektor generalisanih pomeranja q glase
R ,
matrica krutosti
k
i
15 R1 T i R M 2 i R = = , R T 3 k R4 M k
k11 k12 k k22 21 k = k 31 k32 k 41 k42
k14
k13
q1 vi q ϕ 2 i q = = q3 vk q4 ϕk
k 24 , k 34 k 44
k 23 k 33 k 43
(3.8)
Koeficijente matrice krutosti možemo odrediti kao reakcije obostrano uklještenog štapa usled jediničnog pomeranja i obrtanja njegovih krajeva. Iz primera 2 sa strane 6, imamo k 21 =
6 EI 2
l
k 31 = − k 31 = −
k 22 =
4 EI l
l
l 3
6 EI
6 EI 2
l
l 2
6 EI 2
l
k14 = − k 34 =
12 EI l
, k 44 =
l 2
l 2
6 EI l 2
2 EI l
, odakle je
, k23 = −k33l − k43 = −
3
6 EI
6 EI
, odakle je
, k 42 = k12l − k 22 =
, k 43 = −
k13 = − k 33 = −
, odakle je
, k41 = k11l − k21 =
3
, k 12 =
12 EI
k34 = −
l 3
12 EI
k32 = − k 12 = −
k 33 =
12 EI
, k 11 =
4 EI l
6 EI l 2
, odakle je
, k24 = −k34l − k44 =
2 EI l
Slika 3.3. Značenje elemenata matrice krutosti
Sada matrica krutosti štapa izloženog savijanju glasi 12 6l −12 6l 2 −6l 2l 2 EI 6l 4l k = 3 12 6 12 6 − − l − l l 2 −6l 4l 2 6l 2l
(3.9)
- Vektor ekvivalentnog opterećenja
Za ravan prav obostrano uklješten štap, izložen uticaju podeljenog opterećenja p( x) upravno na podužnu osu i nejednakoj promeni temperature gornje i donje strane štapa ∆t o = to − t u (slika 3.4), vektor ekvivalentnog opterećenja glasi QT = {Q1
Q2
Q3
Q4 } = − {Ti
Slika 3.4.
Mi
Tk
Mk
(3.10)
16 - Jednakopodeljeno opterećenje po celoj dužini štapa
Primenom metode sila mogu se odrediti reakcije oslonaca i uklještenja na krajevima štapa. Na taj način, rešenjem sistema uslovnih jednačina, l 3EI − l 6 EI
pol 3 24 + − p l 3 24 = 0 l 3EI X 2 o
−l 6 EI X 1
dobijamo Ti = T k = −
po l 2
,
M i = − M k = −
po l 2 12
T i Q1 1 Q 2 M i po l l 6 T Q = = − = Q T 3 k 2 1 Q4 M k −l 6 - Nejednaka promena temperature gornje donje strane štapa ∆t o = too − t uo
∫
Proračunom slobodnih članova od uticaja nejednakog zagrevanja
δ i∆t = α t M i s
δ1∆t = −δ 2 ∆t =
α t ∆t ol 2h
dobijamo reakcije M i = − M k = − EI α t
∆t o h
∆t o h
dx ,
a zatim Ti = T k = 0 .
Vektor ekvivalentnog opterećenja sada je T i Q1 0 M Q ∆t o 1 2 i T Q = = − = EI α t Q T h 3 k 0 Q4 M k −1
3.3. ISTOVREMENI UTICAJ AKSIJALNOG NAPREZANJA I
SAVIJANJA U RAVNI Na slici 3.5 prikazan je prav prizmatičan štap ik u ravni xy , proizvoljnog poprečnog preseka, dužine l , izložen uticaju opterećenja sa komponentama u pravcu podužne ose i upravno na štap, ravnomernoj i neravnomernoj promeni temperature gornje i donje strane štapa. Primenom principa superpozicije možemo kombinovati uticaje koji izazivaju aksijalnu deformaciju štapa i uticaje koji izazivaju savijanje štapa. To nam dozvoljava i da kombinujemo matrice krutosti i broj stepeni slobode štapa izloženog aksijalnom naprezanju i savijanju, izrazi (3.2) i (3.9).
Slika 3.5.
17 Matrica krutosti štapa, saglasno stepenima slobode (slika 3.5), glasi 0 0 EF l 0 12 EI l 3 6 EI l 2 0 6 EI l 2 4 EI l k = 0 0 − EF l 3 0 −12 EI l −6 EI l 2 6 EI l 2 2 EI l 0
− EF l
0
0
−12 EI l 3
0
−6 EI l 2
EF l
0
0
12 EI l 3
0
−6 EI l 2
6 EI l 2 2 EI l 0 2 −6 EI l 4 EI l 0
(3.11)
Superponiranjem vektora ekvivalentnog opterećenja dobijamo (3.12)
QT = Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 } = − { Ni Ti M i Nk Tk M k } o, t
3.4. TORZIJA Na slici 3.6 prikazan je štap izložen torziji. Parametri pomeranja su uglovi obrtanja krajeva štapa oko podužne ose ϕ xi , ϕ xk , tako da element ima dva stepena slobode (slika 3.6).
Slika 3.6
Matrica krutosti štapa je drugog reda, a njeni se članovi mogu dobiti kao momenti torzije na krajevima štapa xi i xk , usled jediničnih obrtanja krajeva štapa, slika 3.7. Veza između obrtanja štapa i momenta torzije glasi M x =
GJ l
ϕ x
gde je: G - moduo klizanja, J - torzioni moment inercije poprečnog preseka. Sada je matrica krutosti štapa
Slika 3.7 k t =
GJ 1
l −1
−1
1
(3.13)
Komponente vektora ekvivalentnog opterećenja mogu se sračunati na isti način kao i kod aksijalnog opterećenja
Slika 2.18
18
4. ODREĐIVANJE MATRICE KRUTOSTI ŠTAPOVA PREKO BAZNE MATRICE KRUTOSTI U odeljku 1.4.2-b rečeno je da kod matrice krutosti postoji linearna zavisnost između stubova i redova, što je posledica činjenice da su u vektor generalisanih pomeranja pored pomeranja usled deformacije uključena i pomeranja štapa kao krutog tela. Zbog nemogućnosti inverzije matrice krutosti iz nje se ne može dobiti matrica fleksibilnosti. Za postojanje matrice fleksibilnosti, odnosno otklanjanje linearne zavisnosti redova i stubova matrice K , potrebno je eliminisati najmanje tri stepena slobode i štap preobraziti u stabilan nepokretan sistem. U slučaju ravnog štapa, broj uslova ravnoteže je tri tako da od šest generalisanih sila postoje samo tri koje su međusobno nezavisne.
4.1. OSNOVNA (BAZNA) MATRICA KRUTOSTI Na slici 4.1 prikazan je ravan obostrano uklješten štap, sa tri statički nezavisne sile - aksijalna sila S ik i momente na krajevima ik i ki .
Slika 4.1
Ovim silama odgovaraju promena dužine štapa ∆l (slika 4.1-a),
∆lik = δ ik S ik
Slika 4.1- a)
i deformacioni uglovi na krajevima štapa τik i τ ki (slika 4.1-b).
τ ik = α ik
i
− β ik M k
τ ki = −β ki M i + α ki M k
Slika 4.1- b)
Veza između deformacijskih i statički nezavisnih veličina štapa data je u matričnom obiku 0 S ik ∆lik δ ik 0 τ ik = 0 α ik − β ik i , τ ki 0 − β ki α ki M k
odnosno u skraćenoj formi
δ = f ⋅S
(4.1) (4.2)
Ovde je matrica fleksibilnosti f regularna, pa se njenom inverzijom može dobiti veza između statički nezavisnih i deformacijskih veličina štapa S = f −1δ = k 0δ (4.3) gde je
k 0 osnovna ili bazna matrica krutosti štapa. Inverzijom matrice f dobijamo
19
f −1
odakle za
∆ 1 = k 0 = 0 δik ∆ 0
0 δ ik α ki δik β ik
1 δ ik 0 δ ik β ki = 0 aik δ ik α ik 0 bik
0
0
∆ = α ikα ki − βik2 , aik =
α ki ∆
, aki =
α ik
bki ,
(4.4)
a ki
βik
, bik = bki =
∆
β ki
=
∆
∆
,
Za štap konstantnog poprečnog preseka imamo α ik = α ki = β ik = β ki = δ ik =
l EF
M i2
∫ EI
∫
ds =
M i M k EI
M k 2
∫ EI
ds = l
ds = −
6 EI
l 3EI
,
,
.
Odavde je sada 2 ik
∆ = α ik α ki − β = aik =
α ki
= aki
α ik
l
l
l
l2
l
⋅ − ⋅ = 3 EI 3EI 6 EI 6 EI 12( EI ) 2
=
l
⋅
12( EI ) 2
=
4 EI
∆ 3 EI l2 l 2 β β 2 EI l 12( EI ) bik = bki = ik = ki = ⋅ = 2 ∆ ∆ 6 EI l l ∆
(4.5)
Bazna matrica krutosti 0 0 EF l 4 EI l 2 EI k 0 = 0 0 2 EI l 4 EI
l l
(4.6)
4.2. MATRICA KRUTOSTI ŠTAPA TIPA "k" Za određivanje matrice krutosti štapa pomoću bazne matrice potrebno je da prvo uspostavimo vezu između osnovnih deformacijskih veličina štapa δ i parametara pomeranja štapa q , kao i vezu između osnovnih statički nezavisnih veličina štapa s i generalisanih sila R . Sa slike 4.2 izvodi se veza između osnovnih deformacijskih veličina i parametara pomeranja štapa. ∆l = uk − ui τ ik = ϕi − ψik = ϕi − τ ki = ϕk − ψik = ϕk −
Slika 4.2. Ravan štap pre i posle deformacije
vk − vi l vk − vi l
(4.7)
20 Relacije (4.7) u matričnom obliku izgledaju δ = c ⋅q
(4.8)
ui v i ∆l ik −1 0 0 1 0 0 ϕi τik = 0 1 l 1 0 −1 l 0 τ 0 1 l 0 0 −1 l 1 uk ki v k ϕ k
(4.9)
odnosno
1
Iz veza N i = − S ik , N k = S ik i uslova ravnoteže štapa na slici 4.1, Ti = −Tk = ( M i + M k ) l
dobijamo veze između generalisanih sila i osnovnih statički nezavisnih veličina 0 N i −1 0 T 0 1 l 1 l i S ik M i 0 1 0 M i = 0 0 N k 1 M T k 0 −1 l −1 l k 0 1 M k 0
(4.10)
odnosno,
(4.11)
Smenom (4.8) u (4.3) a zatim u (4.11) dobijamo R = c k 0c ⋅ q R =kq
(4.12) (4.13)
k = cT k 0c
(4.14)
T
odnosno Ovde je
0 −1 0 0 1 l 1 l 1 δ ik 0 0 1 0 k = aik 0 1 0 0 0 bik 0 −1 l −1 l 0 1 0
0 −1
0
0 a ki 0
0 1
0
0
−1 l
0
1 l 0 0 −1 l 1
bki
1l
1
0
tražena matrica krutosti odnosno, 1 δik 0 0 k = −1 δik 0 0
0
c k +cki
0
−1 δik
l2 cik l
cik l
0
aik
0
0
0
1 δik
− cik +cki l2 cki l
−c k l
0
bik
0
0
− cik +cki
l 2 −cik l 0
cik +cki l 2 −cki l
cki l bik 0 −cki l a ki 0
(4.15)
Za štapove sa konstantnim poprečnim presekom matrica krutosti je data izrazom (3.11), odnosno korišćenjem izraza za aik , aki , bik i bki iz prethodnog poglavlja za dobijanje cik = aik + bik i cki = aki + bki i njihovim uvrštanjem u matricu (4.15).
21
4.3. MATRICA KRUTOSTI ŠTAPA TIPA "g" Na slici 2.10 prikazan je štap uklješten na kraju i i zglavkasto vezan na kraju g , dužine l , površine F i momenta inercije I . Štap im 5 stepeni slobode, 3 u kruto i 2 u zglavkasto vezanom čvoru.
Slika 4.3. Parametri pomeranja i stepeni slobode “g”–štapa
Polazeći od izraza (4.3) u razvijenom vidu Sik 1 δ ik 0 0 ∆l ik M i = 0 aik bki τ ik M k 0 bik aki τ ki
(4.16)
i kako je moment na zglavkasto vezanom kraju M g = 0 , zamenom indeksa k indeksom M k = M g = big τig + a gi τ gi = 0
⇒
τ gi = −
big a gi
dobijamo
τ ig ,
a potom smenom u (4.16), dobijamo S ig 1 δ ig 0 ∆l ig M = 0 d τ , ig ig i
gde je
2
(4.17)
β ig ∆ α ig α gi − β ig ∆ 1 d ig = aig − = − = = = a gi ∆ ∆ α ig ∆α ig ∆α ig α ig big2
α gi
2
(4.18)
Odavde zamenom izraza (4.5), dobijamo za štap konstantnog poprečnog preseka d ig =
i na kraju,
1
=
l 3EI
3 EI l
1 δ ig 0 EF l 0 k g 0 = = 0 dig 0 3EI
l
(4.19)
odnosno, osnovnu ili baznu matricu krutosti za štap tipa “g”. Iz izraza (4.19) se vidi da je broj statički nezavisnih veličina za štap tipa “g” redukovan sa tri na 2. Na taj način možemo redukovati izraze (4.7) ∆l = u g − ui τ ig = ϕi − ψ ig = ϕi −
v g − vi l
odnosno matricu c iz izraza (4.9) , −1 0 c g = 0 1l
Sada se iz izraza (4.14), može dobiti matrica krutosti “g” štapa
0
1
1
0
k g = cT g k g 0 c g
0
−1 l
(4.20)
22 −1 0 0 1 l 1 δ ig 0 −1 0 0 1 0 k g = 0 1 d ig 0 1 l 1 0 −1 l 0 0 1 0 −1 l
odnosno, 1 0 δ ig d ig 0 l2 d ig k g = 0 l −1 0 δ ig −d ig 0 l2
−1
0
0
δ ig
d ig
0
l d ig
l 2 −d ig
0
l
1
0
0
δ ig
− dig
d ig
0
l
−d ig
l 2
(4.21)
Za štap sa konstantnim poprečnim presekom, matrica krutosti je 0 0 EF l 0 3 EI l 3 3EI l 2 k g = 0 3 EI l 2 3EI l 0 0 − EF l 3 0 −3 EI l −3EI l 2
− EF l 0 0 EF l 0
−3 EI l 3 −3 EI l 2 0 3 3 EI l 0
(4.22)
Za štap izložen samo uticaju savijanja, matrica krutosti za stepene slobode date na slici 4.4 glasi:
Slika 4.4.
k g =
3
3l
3l
2
EI l 3
3l
−3 −3l
−3
−3l
3
(4.23)
Za štap tipa “g”, kao na sledećoj slici,
Slika 4.5. Parametri pomeranja i stepeni slobode “g”–štapa
slično izrazima (4.16) do (4.19), zamenom indeksa i indeksom , može se dobiti bazna matrica krutosti (za štapove sa promenljivim i konstantnim poprečnim presekom)
23 1 δ gk 0 EF l 0 k g 0 = = 0 d kg 0 3EI d gk =
gde je
1 α gk
=
3 EI l
l
(4.24)
.
Eiminacijom drugog reda i treće kolone u matrici c (jedn. (4.9)), iz izraza (4.14) sada se može dobiti −1 0 0 1 l 1 δig 0 −1 0 1 0 0 k g = 1 0 d kg 0 1 l 0 −1 l 1 0 0 −1 l 0 1
odnosno, za štapove sa promenljivim i konstantnim poprečnim presekom −1 1 0 0 δ δ gk gk d kg −d kg 0 0 l2 l2 −1 1 0 0 k g = δ gk δ gk − d kg d kg 0 0 2 l l2 d kg −d kg 0 0 l l
0
d kg
0 − EF l 0 0 EF l 3 3 2 l 3 EI l 0 −3 EI l 3 EI l 0 0 EF l 0 0 0 = − EF l (4.25) 0 3 3 2 −3 EI l 0 3 EI l −3 EI l −d kg 2 2 3 EI l 0 −3EI l 3 EI l 0 l d kg
Za štap izložen samo uticaju savijanja, matrica krutosti za stepene slobode date na slici 4.6 glasi:
Slika 4.6.
d kg l2 − d kg k g = 2 l d kg l
−d kg
d kg
l2 d kg
l −d kg
l2 −d kg l
l
3
−3 3l = −3 3 −3l l 3 2 3l −3l 3l EI
d kg
Na slici 4.7 prikazane su komponente vektora ekvivalentnog opterećenja
Slika 4.7.
(4.26)
24 Komponente vektora ekvivalentnog opterećenja su jednake negativnim vrednostima reakcija levo uklještenog i desno zglobno oslonjenog štapa, izloženog uticaju aksijalnog i transverzalnog opterećenja i razlike temperatura gornje ( t oo ) i donje ( t uo ) strane štapa, ∆t o = too − t uo .
Ekvivalentno opterećenje Q1 i Q4 usled aksijalnog opterećenja i ravnomerne promene temperature određujemo kao i za obostrano uklješten štap. N i N i Q1 T T Q i i 2 Q3 = − M i − M i Q N N 4 g g Q5 T g o T g t o
4.4. MATRICA KRUTOSTI ŠTAPA PROMENLJIVOG
POPREČNOG PRESEKA Matrica krutosti štapa promenljivog poprečnog preseka definisana je izrazom (4.15), za štap kruto vezan na oba kraja i izrazom (4.21) za štap na jednom kraju kruto vezan a na drugom zglavkasto. U opštem slučaju pri određivanju koeficijenata fleksibilnosti δik , α ik , α ki , β ik koristimo postupak numeričke integracije integrala oblika α ik =
M i M k
∫ EI ( x) dx = ∫ η( x)dx
Pri numeričkoj integraciji najčešće se koristimo trapeznim pravilom λ
∫ η( x)dx = 2 ( η
+ 2η2 + 2η3 + L + 2 ηn −1 + ηn ) ,
(4.27)
+ 4η2 + 2η3 + L + 2 ηn −2 + 4 ηn −1 + ηn ) ,
(4.28)
1
ili Simpsonovim pravilom λ
∫ η( x)dx = 3 ( η
1
pri čemu broj podeoka n mora biti paran Primer 1
Za štap promenljivog poprečnog preseka, kao prema donjoj slici, sa zanemarenim aksijalnim deformacijama, imamo α ik = α ki = +
M i2
∫ EI
ds =
1 2 3 9 1 + 1⋅ + + 3 2 EI 4 16
1 4 9 3 1 1 1 2 1 15 + ⋅ + + = 3 EI 16 4 4 16 3 2 EI 16 8 EI
3 1+ 2⋅ × 2 + EI 6 2 EI 4 4 1 4 3 1 3 1 1 3 9 + 2 ⋅ + + + 2 ⋅ = 6 EI 4 4 4 4 4 4 8 EI
βik = β ki =
∫
M i M k
ds =
1 2 1
Odavde je sada ∆ = α ik α ki − β ik2 =
15
⋅
15
8 EI 8 EI
−
9
⋅
9
8 EI 8 EI
=
18 8( EI ) 2
25
aik =
α ki ∆
= aki
bik = bki =
βik ∆
α ik ∆ =
=
β ki ∆
15 8 EI
=
cik = c ki = aik + bik =
⋅
9 8 EI
5 6
8( EI ) 2 18 ⋅
=
8( EI ) 2
1
6
=
18
EI +
5
EI =
2
EI
1 2
EI
4
EI
3
Bazna matrica krutosti, uzevši u obzir (4.4), po približnoj metodi deformacija sada je 5 6 1 2 k 0 = EI 1 2 5 6
dok je tražena matrica krutosti, na osnovu (4.15), 1 24 1 6 −1 24 1 6 16 56 −1 6 1 2 k = EI −1 24 −1 6 1 24 −1 6 12 −1 6 5 6 16 Primer 2
Za štap tipa “g”, promenljivog poprečnog preseka, na kome je odnos visina poprečnog preseka imamo M i2
∫ EI
α ig =
ds =
1 4 3 9 1 3 9 1 1 + ⋅ + + 3 2 EI 7 49 3 EI 49
185
α ig =
147 EI 1
d ig =
α ig
=
147 185
EI = 0,7946 EI
Promena dužine štapa I cg = I , I ic = 2 I , hic = hcg 3 2 F cg =
δ ig = 2 1 hcg
12 I 2 cg
h
,
I cg Fcg
1 I cg
∫
EI cg Fcg
=
I 2 cg
12 I h 2 ic
F cg F ic
=
hcg2
12
∫
2 hcg2 1 hcg δ ig = ⋅ 4, 0 + 1 ⋅ 3, 0 = 4 hcg + 3hic ) = ( 1 ⋅ EI 12 bhic 1,9434 EI 12 EI hic Bazna matrica krutosti, uzevši u obzir (4.17), po približnoj metodi deformacija sada je 2
bhcg
2
2 1,9434 hcg k 0 = EI 0
0,7946 0
dok je tražena matrica krutosti, na osnovu (4.21), 1,9434 hcg2 0 0 −1,9434 hcg2 0 0 0,0162 0,1135 0 −0,0162 k g = 0 0,1135 0, 7946 0 −0,1135 −1,9434 hcg2 0 0 1,9434 hcg2 0 0 −0, 0162 −0,1135 0 0, 0162
ds + N cg2 ds
26
5. MATRIČNA ANALIZA RAVNIH NOSAČA. Polazeći od izvedenih relacija između statičkih i kinematičkih veličina na krajevima “k” i “g” štapova, u ovom poglavlju se izvode analogne relacije za ravan nosač koji se sastoji od dva ili više štapova. Od matrica krutosti pojedinih štapova izvodi se matrica krutosti sistema štapova, a od vektora ekvivalentnog opterećenja štapova i opterećenja u čvorovima, formira se vektor ekvivalentog opterećenja sistema. Iz tako formiranog sistema jednačina određuju se nepoznata pomeranja i obrtanja čvorova sistema, reakcija oslonaca i uklještenja a potom iz prethodno izvedenih relacija, pomeranja i sile na krajevima pojedinih štapova.
5.1. PUNI NOSAČI 5.1.1. Matrica transformacije štapa Matrice krutosti štapa izvedene su u pravouglom tzv. lokalnom koordinatnom sistemu. Lokalni koordinatnni sistem vezan je za kraj i štapa ik , osa x poklapa se sa osom štapa a ose y i z sa glavnim centralnim osama inercije. Pojedini štapovi sa svojim lokalnim koordinatnim sistemima, deo su sistema štapova – nosača koji je vezan za jedan globalni koordinatni sistem. Zato je potrebno definisati položaj svakog štapa u globalnom koordinatnom sistemu. Pozitivan ugao između pozitivnih smerova lokalne x′ i globalne x ose se meri u pravcu suprotno obrtanju kazalji na satu.
Slika 5.1
Na slici 5.1 date su generalisane sile na krajevima štapa ik u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu. Sa slike su očigledne veze između generalisanih sila u oba koordinatna sistema N i = N i′ cos ϕ + T i′sin ϕ Ti = − N i′ sin ϕ + T i′cos ϕ M i =
M i′
N k = Tk = i
=
Ove jednačine, uz smenu sin ϕ = s, cos ϕ = c ,
možemo napisati u matričnom obliku
N k′ cos ϕ + T k ′ sin ϕ − N k′ sin ϕ + T k ′ cos ϕ M i′
27 N i c s T − s c i M i 1 N = k Tk M i
N i′ T ′ i M i′ ⋅ N ′ c s k Tk ′ −s c 1 M i′
(5.1)
odnosno, kraće R = T ⋅ R ′
(5.2)
gde je T matrica transformacije štapa. Na sličan način se generalisane sile u lokalnom koordinatnom sistemu mogu dobiti iz generalisanih sila u globalnom kordinatnom sistemu, N i′ = N i cos ϕ − T i sin ϕ Ti′ = N i sin ϕ + T i cos ϕ M i′ =
M i
N k′ =
N k cos ϕ − T k sin ϕ
Tk′ =
N k sin ϕ + T k cos ϕ
M i′ =
M i
U matričnom obliku N i′ c − s T ′ s c i M i′ 1 N ′ = k Tk′ M i′
odnosno
N i′ T ′ i M i′ ⋅ N ′ c −s k Tk ′ s c 1 M i′
R ′ = TT ⋅ R
(5.3)
(5.4)
Ovde je TT transponovana matrica transformacije T . Iz izraza (5.2) i (5.4) sledi da je TT = T −1
(5.5)
odnosno da je matrica transformacije ortogonalna. Vektor generalisanih pomeranja q i vektor ekvivalentnog opterećenja Q prevodimo iz lokalnog u globalni koordinatni sistem i obrnuto, na isti način kao i vektor generalisanih sila, odnosno q = T ⋅ q′,
Q = T ⋅ Q′
(5.6)
q′ = TT ⋅ q,
Q′ = TT ⋅ Q
(5.7)
Matrica transformacije za štap tipa “g”
Za štap koji je na kraju i uklješten a na kraju g zglobno vezan, matrica transformacije glasi
c s − s c T g = 1 c s − s c
(5.8)
28
5.1.2. Transformacija matrice krutosti Ako u vezi između generalisanih sila i generalisanih pomeranja R = k ⋅q
(5.9)
zamenom relacija (5.2) i (5.6) u (5.9), dobijamo T ⋅ R ′ = k ⋅ T ⋅ q′
odakle se, množenjem s leva sa TT , dobija TT ⋅ T ⋅ R′ = TT ⋅ k ⋅ T ⋅ q′
odnosno
R ′ = k ′ ⋅ q′
k ′ = TT ⋅ k ⋅ T gde je matrica krutosti štapa u globalnom koordinatnom sistemu.
(5.10)
5.1.3. JEDNAČINE SISTEMA Proces rešavanja problema statičke analize nosača korišćenjem matričnog postupka, odvija se u sledećim koracima: 1. Generisanje matrica krutosti elemenata i vektora ekvivalentnih sila u lokalnom koordinatnom sistemu. 2. Transformacija matrica krutosti svih elemenata u globalni koordinatni sistem (jednačina (5.10)). 3. Sastavljanje matrice krutosti sistema u globalnom koordinatnom sistemu iz matrica krutosti elemenata. 4. Formiranje vektora čvornih sila sistema u globalnom koordinatnom sistemu. 5. Rešavanje pomeranja sistema u globalnom koordinatnom sistemu. 6. Izvođenje pomeranja krajeva elemenata iz vektora globalnih pomeranja sistema i transformacija ovih pomeranja u lokalni koordinatni sistema za svaki element. 7. Određivanje sila na krajevima štapova korišćenje veze sila i pomeranja štapova.. Za svaki štap j na koji deluju spoljašnji uticaji, veza između generalisanih sila i generalisanih pomeranja na krajevima štapa može da se prikaže izrazom R′ j = k ′j ⋅ q′j − Q′j (5.11) Ovde su vektor generalisanih sila za štap j , R ′ j , matrica krutosti k ′ j , vektor generalisanih pomeranja q′ j i vektor ekvivalentnih čvornih sila za zadate uticaje na štapu Q′ j , već prethodno transformisani u globalni koordinatni sistem. Ako jednačine (5.11) napišemo za sve štapove sistema j = 1, 2,L , z s , dobijamo R′ = K ′ ⋅ q′ − Q′
(5.12)
gde crtica iznad označava da se radi o vektoru generalisanih sila R ′ , matrici krutosti K ′ , vektoru generalisanih pomeranja q′ i vektoru ekvivalentnog opterećenja Q′ sistema nepovezanih štapova. Kako su štapovi povezani u čvorovima sistema, pomeranja krajeva štapova povezanih u jednom čvoru sistema jednaka su pomeranjima tog čvora. To znači da moraju biti ispunjeni uslovi kompatibilnosti pomeranja krajeva štapova i čvorova sistema. Sledeća relacija povezuje pomeranja krajeva štapova u pravcu globalnih koordinata i pomeranja čvorova sistema q ′ = J ⋅ q′
(5.13)
Matrica J pomoću koje se definišu uslovi veze štapova u čvorovima sistema, naziva se kinematička matrica ili matrica kompatibilnosti sistema. Iz jednačine (5.13) je jasno da matrica J ima broj redova koji je jednak broju stepeni slobode štapova sistema, a broj kolona jednak broju stepeni slobode čvorova sistema. Za sistem štapova
29 J T = J1 L
J z s
L
J j
(5.14)
Pošto su i generalisana pomeranja čvorova štapova i čvorova sistema definisani u istom – globalnom koordinatnom sistemu, elementi matrice, jedinice i nule, označavaju poklapanje ili nepoklapanje koordinata krajeva štapova i koordinata sistema. Na slici 2.20 dat je primer formiranja kinematičke matrice
Slika 5.2 – koordinate sistema i koordinate štapova u globalnom koordinatnom sistemu 1
1 J= 1
2
3
4
5
6
7
1 1
1 1
1 1 1 1
8
1
→ koordinate sistema
1 2 3 4
štap 1
5 6 1 2 3
štap 2
4 5
Ako u jednačini (5.12) zamenimo relaciju (5.13), a zatim pomnožimo s leva sa J T , dobijamo J T ⋅ R′ = J T ⋅ K′ ⋅ J ⋅ q′ − JT ⋅ Q′
odnosno
R ′ = K ′ ⋅ q′ − Q ′
(5.15)
gde je: K ′ = JT ⋅ K ′ ⋅ J - matrica krutosti sistema T R ′ = J ⋅ R ′ - vektor generalisanih sila u presecima štapova oko čvorova sistema, u pravcu globalnih koordinata q′ - vektor pomeranja u pravcu koordinata sistema – vektor nepoznatih T Q′ = J ⋅ Q′
- vektor ekvivalentnog opterećenja u čvorovima sistema, definisan iz vektora ekvivalentnog opterećenja štapova u pravcu globalnih koordinata Pored uslova kompatibilnosti, u čvorovima moraju da budu zadovoljeni i uslovi ravnoteže. Pored sila R ′ , koje potiču od štapova, u čvoru deluju i spoljašnje koncentrisane sile i momenti savijanja P′ . Komponente ovog vektora su već zadate u globalnom koordinatnom sistemu, čime se izbegava transformacija. Uslovi ravnoteže u pravcima stepeni slobode svih čvorova sistema glase P′ − R ′ = 0
Ako sada u uslovima ravnoteže (5.16) zamenimo (5.15), dobijamo P′ − ( K ′ ⋅ q′ − Q′ ) = 0
odakle sledi sistem uslovnih jednačina metode deformacija
(5.16)
30
gde je:
K ′ ⋅ q′ = S ′
(5.17)
S′ = P′ + Q′
(5.18)
- vektor slobodnih članova, kao zbir vektora zadatih spoljašnjih sila u čvorovima sistema i vektora ekvivalentnog opterećenja sistema.
5.1.4. KONTURNI USLOVI Rešavanjem sistema uslovnih jednačina (5.17) nije moguće dobiti nepoznata pomeranja i obrtanja čvorova sistema q′ , pošto je matrica krutosti sistema K ′ singularna. Razlog tome je taj što su članovi vektora nepoznatih q′ - pomeranja slobodnog sistema štapova, bez vezivanja za stalne tačke u prostoru (pomeranja u pravcima koordinata 4, 5, 6, 7 i 8 na primeru sa slike 5.2). Zato je potrebno definisati konturne uslove, odnosno uslove oslanjanja sistema. Time se ukupan broj stepeni slobode sistema (nepoznatih pomeranja) smanjuje za broj sprečenih (ili zadatih) pomeranja i obrtanja oslonaca. Ako vektor sprečenih pomeranja obeležimo sa q′o a vektor nepoznatih pomeranja sa q s′ , tada se sistem jednačina (5.17) može dekomponovati na sledeći način K ss′ K ′so q′s S′s K ′ K ′ q′ = S′ oo o o os
(5.19)
odnosno razdvojiti na dva sistema jednačina ′ ⋅ q′s + K ′so ⋅ q′o = S′s K ss K ′os ⋅ q′s + K ′oo ⋅ q′o = S′o
(5.20)
Odavde se iz prve jednačine dobija vektor nepoznatih pomeranja −1 q s′ = K ′ss ( S′s − K′so ⋅ q′o )
(5.21)
a iz druge jednačine, uz vođenje računa da je S′o = R′o + Q′o
reakcije oslonaca
R′o = K ′os ⋅ q′s + K′oo ⋅ q′o − Q′o
(5.22)
U slučaju da su pomeranja u pravcima oslanjanja potpuno sprečena, odnosno kada je q′o = 0 , jednačine (5.21) i (5.22) glase −1 q s′ = K ′ss ⋅ S′s
R′o = K ′os ⋅ q′s − Q′o
(5.23)
U sučaju da su zadata pomeranja oslonaca a nosač nije opterećen, tj kada je q′o ≠ 0, Q′o = Q′s = S′s = 0
nepoznata pomeranja i reakcije oslonaca glase q s′ = −K ′ss −1 ⋅ K ′so ⋅ q′o
(
)
−1 R ′o = K ′oo − K ′os ⋅ K ′ss ⋅ K′so ⋅ q′o
(5.24)
Kada su određena pomeranja u pravcima stepeni slobode sistema, pomeranja krajeva štapa j u globalnim koordinatama određujemo iz izraza q′ j = J j ⋅ q′
(5.25)
31 i dalje u lokalnim koordinatama štapa iz izraza 2.50a q j = Tj ⋅ q′j
(5.26)
Sada možemo odrediti sile na krajevima štapa u lokalnom koordinatnom sistemu. Ako izraz (5.11) pomnožimo sa leve strane matricom transformacije T j , uz vođenje računa o (5.10), (5.5), (5.6)a, (5.6)b i (5.2), imamo T T ⋅ R ′ j = Tj ⋅ (Tj ⋅ k j ⋅ Tj ) ⋅ q ′j − Tj ⋅ Q ′j (5.27)
odnosno
R j = k j ⋅ q j − Q j
(5.28)
5.1.5. Direktno formiranje jednačina sistema – kodni brojevi Kod konstrukcija sa većim brojem elemenata, što je redovan slučaj u praksi, formiranje matrice krutosti sistema od matrica krutosti elemenata preko kinematičke matrice, dovodi to teškoća i postaje neracionalno. Red matrice J jednak je [broj koordinata elemenata × broj koordinata sistema] a red matrice K ′ jednak je ukupnom broju koordinata svih štapova u sistemu. Smeštanje ovih matrica i operacije sa njima ( J T ⋅ K ′ ⋅ J ) zahtevaju veliko angažovanje resursa računara. Način da se izbegne formiranje velikih matrica i rad sa njima, predstavlja direktno formiranje matrice krutosti sistema iz matrica krutosti elemenata u globalnim koordinatama, odnosno postupkom kodnih brojeva. Matricu krutosti štapa j sa krajevima i − k , podelimo na četiri bloka, od kojih svaki obuhvata koordinate jednog kraja štapa k ′ii , j k ′ j = ′ k ki , j
k ′ik , j
k ′kk , j
(5.29)
Ideja je da se blok matrice krutosti štapa koji se odnosi na kraj i unese u bok matrice krutosti sistema koji se odnosi na čvor sistema sa istom oznakom i . Ovaj postupak će biti pokazan na primeru nosača sa slike 2.21. Štap 1 2 3 4 Slika 5.3a – koordinate sistema
Slika 5.3b – globalne koordinate elemenata
početak čvor i 4 1 2 2
kraj čvor k 1 2 3 5
Topologija sistema
32
Slika 5.3c – Formiranje matrice krutosti sistema
Na slici 5.3c date su šeme matrica krutosti štapova 1, 2, 3 i 4, podeljenih na blokove koji odgovaraju oznakama čvorova na početku i kraju štapa, kao i kvadratna nula matrica krutosti sistema sa blokovima koji odgovaraju oznakama pojedinih čvorova sistema. Matrica krutosti sistema se dobija tako što se blokovi matrica krutosti pojedinih štapova unose u matricu krutosti sistema, na mestima koji imaju iste indekse kao i čvorovi štapova. Ako se na istoj poziciji nađu blokovi matrica dva ili više štapova, oni se sabiraju. Na primer blok K ′22 matrice krutosti sistema dobija se superpozicijom blokova k ′22,2 štapa 2, k ′22,3 štapa 3 i k ′22,4 štapa 4.
Postupak formiranja matrice krutosti sistema preko kodnih brojeva, umesto na blokove, primenjuje se na elemente matrica krutosti. Potrebno je izvršiti obeležavanje (kodiranje) svih redova i kolona matrica krutosti štapova, u skladu sa poklapanjem globalnih koordinata štapova i koordinata sistema. Za dati primer imamo 9
10
11
1
2
k′ ′ k k ′ k 1′ = k ′ k ′ k ′
11,1
′ k12,1
′ k13,1
′ k 14,1
′ k 15,1
k ′16,1 9
21,1
′ k 22,1
′ k 23,1
′ k 24,1
k ′25,1
31,1
k 32′ ,1
′ k 33,1
′ k 34,1
41,1
′ k 42,1
′ k 43,1
51,1
k 52′ ,1
61,1
′ k 62,1
4
3
1
2
3
4
5
6
11,2
k12′ ,2
′ k13,2
′ k 14,2
′ k 15,2
k ′16,2 1
k ′26,1
21,2
k 22′ ,2
′ k 23,2
′ k 24,2
k ′25,2
k ′26 ,2 2
k ′35,1
k ′36 ,1
31,2
′ k32,2
′ k 33,2
′ k 34 ,2
k ′35,2
k ′36,2 3
′ k 44,1
k ′45,1
k ′46,1
41,2
k 42′ ,2
′ k 43,2
′ k 44,2
k ′45,2
k ′46 ,2 4
′ k 53,1
′ k 54,1
k ′55,1
k ′56 ,1
51,2
′ k52,2
′ k 53,2
′ k 54 ,2
k ′55,2
k ′56,2 5
′ k 63 ,1
k 64′ ,1
′ k 65,1
′ k 66,1
61, 2
′ k 62,2
′ k 63 ,2
′ k 64,2
′ k 65,2
′ 6 k 66 ,2
k′ ′ 10 k k ′ 11 , k ′2 = 1 k ′ k ′ 2 3 k ′ 4
5
6
7
8
11,3
′ k12,3
′ k13,3
k 14′ ,3
′ 4 k 15,3
21,3
′ k 22,3
′ k 23,3
′ k 24,3
k ′25,3
31,3
k 32′ ,3
′ k 33,3
′ k 34,3
′ k 35,3
41,3
′ k 42,3
′ k 43,3
′ k 44,3
k ′45,3
k′ ′ k k ′3 = k ′ k ′ k ′
51,3
k 52′ ,3
′ k 53,3
′ k 54,3
Sada je matrica krutosti sistema
′ k 55,3
5
6
12
11,4
k12′ ,4
′ k13,4
′ k 14,4
′ k 15,4
′ 4 k 16,4
21,4
k 22′ ,4
′ k 23,4
′ k 24,4
k ′25,4
k ′26 ,4 5
31,4
′ k32,4
′ k 33,4
′ k 34 ,4
k ′35,4
k ′36,4 6
41,4
k 42′ ,4
′ k 43,4
′ k 44,4
k ′45,4
k ′46 ,4 12
51,4
′ k52,4
′ k 53,4
′ k 54 ,4
k ′55,4
k ′56,4 13
61, 4
′ k 62, 4
′ k 63 ,4
′ k 64,4
′ k 65,4
′ 14 k 66 ,4
k′ ′ k 5 k ′ 6 , k ′4 = k ′ 7 k ′ 8 k ′
13
14
33 1
k ′ + k′ k′ + k′ k′ + k′ k′ k′ K ′ = k′ k′ k′ ′ k 44,1
11,2
54,1
21,2
64,1
31,2
41,2
51,2
61,2
2
3
′ + k 45,1
′ + k 46,1
′ k12,2 ′ + k 55,1
′ k 13,2 k 56′ ,1+
′ k 22,2 ′ + k 65,1
′ k 23,2 ′ + k 66,1
k 32′ ,2
′ k 33,2
4
5
6
′ k14,2
′ k15,2
′ k 16,2
′ k 41,1 k ′42 ,1 k ′43,1
′ k 24,2
′ k 25,2
k ′26,2
′ ′ ′ k 51,1 k 52 k 53,1 ,1
′ k 34,2
′ k 35,2
k 36′ ,2
′ ′ ′ k 61,1 k 62,1 k 63,1
′ + k 33,2 k 42′ ,2
′ k 43,2
′ + k11,3 ′ k11,4 ′ + k 54,2
′ k 52,2
′ k 53,2
′ + k 21,3 ′ k 21,4 k 64′ ,2 +
k 62′ ,2
′ k 63,2
′ + k 31,3 ′ k31,4
′ + k 45,2
′ + k 13,3
′ k12,4
9
10
11
12
13
′ ′ k 14,3 k 15,3
′ ′ k 14 k ′15,4 k 16,4 ,4
′ k 24′ ,3 k 25,3
′ ′ k 24 k 25,4 k ′26,4 ,4
′ k 34,3 k ′35,3
k ′34,4 k ′35,4 k ′36 ,4
′ + k 56,2 ′ + k 23,3
′ k 22,4
′ k 23,4 ′ + k 66,2
′ + k 32 ,3
′ + k 33,3
k 32′ ,4
′ k 33,4
′ k 41,3
′ k 42 ,3
′ k 43,3
′ k 44 k ′45,3 ,3
′ k 51,3
′ k 52,3
′ k 53,3
′ ′ k54,3 k 55,3
14 ,1
′ k15,1
′ k16,1
′ ′ ′ k11,1 k 12,1 k 13,1
24,1
′ k 25,1
′ k 26,1
′ ′ k 21,1 k 16,1 k ′23,1
34,1
′ k 35,1
′ k 36,1
′ ′ ′ k 31,1 k 32 k 33,1 ,1
′ k 41,4
′ k 42,4
′ k 43,4
′ ′ k 44 k 45,4 k ′46,4 ,4
′ k51,4
k 52′ ,4
′ k 53,4
′ ′ ′ k 54,4 k 55,4 k 56 ,4
′ k61,4
′ k 62,4
′ k 63,4
′ ′ ′ k 64 k 65,4 k 66 ,4 ,4
Primer: Pokazaćemo prethodno izloženi postupak
rešavanja nosača matričnom formulacijom tačne metode deformacije. I12 = I , F12 = F F13 = 1, 26 F F I
14
′ k 13, 4
′ + k 22,3 ′ + k 65,2
8
′ + k 46,2
′ + k 12,3 ′ + k 55,2
7
= 50
- Koordinate sistema i koordinate štapova u lokalnom koordinatnom sistemu:
s = sin ϕ = 0 c = cos ϕ = 1 s = sin ϕ = 0,8 c = cos ϕ = 0, 6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
34 - Matrice transformacije 0, 6 −0, 8 T1 =
0, 8 0, 6 1 0, 6
0, 8
−0, 8
0, 6
1 , T2 = 1
1 1 1
1
- Matrice krutosti štapova u lokalnim koordinatama: l1 = 5, 0 m,
I1 = 2 I,
F l 2 I1 1 0 EI 1 0 k 1 = 3 F 2 l 1 − l1 I1 0 0 1
1
l2 = 4, 0 m,
I2 = I ,
F l 2 I 2 0 EI k 2 = 3 0 l 2 F 2 − I l2 0
F1 = 1, 26 F 0
0
F 1
−
2
l 1
I 1
0
12
6l1
0
−12
6l1
2 4l1
0
−6l1
0
0
F 1 I 1
−12 −6l1 2
6l1
2l1
2
l 1
12, 6 6 l 1 0 2 0 2l1 EI = −12, 6 0 0 0 −6 l 1 2 4l 0
0
0
12
0
−6l1
0
0
−12, 6
0
0,192
0, 480
0
−0,192
0, 480
1, 600
0
−0, 48
0
0
12, 6
0
−0,192 −0, 480
0
0,192
0, 480
0
−0, 48
0, 80
0, 480 0, 800 0 −0, 480 1, 600 0
1
F2 = F 0
0
F
−
3
3l 2
I 0
3l2
2 3l 2
0
0
0
F
−3 −3l 2
2
l 2
2
l 2
I 0
12, 5 −3 0 −3l 2 = EI 0 −12, 5 0 0 3 0
0
0
−12, 5
0, 046875
0,1875
0
0,1875
0, 75
0
0
0
12, 5
−0, 046875 −0,1875
−0, 046875 −0,1875 0 0, 046875 0
0
Transformacija matrica krutosti sa lokalnih na globalne koordinate: 0, 6 −0, 8 k 1′ = T1 ⋅ k 1 = EI
1 k ′2 = T2 ⋅ k 2 = EI 6
4, 6589 5, 9558 −0, 384 k 1′ = EI −4, 6589 −5, 9558 −0, 384
0, 8 0, 6 1 0, 6
0, 8
−0, 8 0, 6
1 1 1
7
12, 6 0 0 ⋅ −12, 6 0 1 0
12, 5 0 ⋅ 0 −12, 5 1 0 8
1
0
0
−12, 6
0
0,192
0, 480
0
−0,192
0, 480
1, 600
0
−0, 48
0
0
12, 6
0
−0,192 −0, 480
0
0,192
0, 480
0, 80
0
−0, 48
0
0
−12, 5
0, 046875
0,1875
0
0,1875
0, 75
0
−0,1875
0
0
12, 5
0
0
0, 046875
−0, 046875 −0,1875 2
3
5, 9558 −0, 384 −4, 6589 −5, 9558 −0, 384 6 8,1331
0, 288 −5, 9558
0, 2880
1, 600
−5, 9558
0, 384
4, 6589
5, 9558
−8,1331 −0, 288
5, 9558
8,1331
0, 2880
0, 800
−8,1331
0, 384 −0, 2880
0, 384 −0, 2880
0, 288 7
0, 800 8
−0, 288 1, 600 0, 384
1 2 3
0
−0, 046875
0, 480 0, 800 0 −0, 480 1, 600 0
35 1
0 k ′2 = EI 0 −12, 5 0
2
3
0
0
−12, 5
0, 046875
0,1875
0
0,1875
0, 75
0
0
0
12, 5
12, 5
4
−0, 046875 −0,1875
5
0
−0, 046875 −0,1875 0 0, 046875 0
1 2 3 4 5
Matrica krutosti sistema: 1
17,1589 5, 9558 0, 3840 −12, 5000 K ′ = EI 0 −4, 6589 −5, 9558 0, 3840
2
3
5, 9588
4
5
0, 384 −12, 5
8,1800 −0,1005
6
7
8
0 −4, 6589 −5, 9558
0, 384 1
0 −0, 0469 −5, 9558
−8,1331 −0, 288 2
0 −0,1875 −0, 3840
0, 2880
−0,1005
2, 3500
0
0
12, 5
0
0
0
−0, 0469 −0,1875
0
0, 0469
0
0
−5, 9558 −0, 3840
0
0
4, 6589
5, 9558
−8,1331
0, 2880
0
0
5, 9558
8,1331
−0, 2880
0, 8000
0
0 −0, 3840
0, 2880
3 0 4 w 0 5 −0, 384 6 0, 288 7 1, 600 8 0, 800
Vektori ekvivalentnog opterećenja štapova u lokalnim koordinatama:
12
= 10 kNm ,
31
= M 13 =
T12 = T21 = T31 = T13 =
1 l 2
1 12
N 31 = N13 =
19,2 2
8 ⋅ 4 2 = 10, 6667 kNm
( M 12 + 20 ) = 7,5 kN
25,6 2
= 9,6 kN
= 12,8 kN
N 31 9, 600 N 12 0 T 31 −12,800 T 12 −7, 5 M −10,667 Q1 = − 31 = , Q 2 = − M 12 = −10, 0 9, 600 N 13 N 21 0 − 12,800 T 13 T 7, 5 21 M 3 10,667
5.2. ORTOGONALNI NOSAČI Ortogonalni nosači, odnosno nosači kod kojih su štapovi paralelni glonalnim osama, se često javljaju kao konstrukcijski sistemi zgrada. Kod ovih nosača su uticaji aksijalnih sila na deformacije zanemarljivi. To znači da štapove smatramo izloženim samo savijanju poprečnim silama, odnosno, uticaje u nosaču računamo po približnoj metodi deformacija. Štapovi tada imaju samo po četiri stepeni slobode, što znatno pojednostavljuje proračun. Ukidanjem prvog i četvrtog stepena slobode - stepena slobode u aksijalnom pravcu, odnosno uklanjanjem prvog i četvrtog reda i prve i četvrte kolone matrice krutosti (4.15) dobijamo matricu krutosti za “k” element sa četiri stepeni slobode,
36 cik + cki cik 2 l l cik aik l k = − ( cik + cki ) bki l2 cki c − ik l l
− ( cik + cki ) l2 c − ik l
c ki
l
bik
cik + cki
−
l2 c − ki l
cki
(5.30)
l
aki
Na sličan način se iz matrice krutosti za “g” štap sa pet stepeni slobode, uklanjanjem prvog i četvrtog reda odnosno kolone, može dobiti matrica krutosti za štap sa tri stepena slobode, d ig l2 d ig k g = l −d ig 2 l
d ig
−d ig
l
l 2 −d ig
d ig
− d ig
l d ig
l
l 2
(5.31)
Za “k” štap sa konstantnim poprečnim presekom ( EI= const ), matrica krutosti glasi 12 EI 6l k = 3 l −12 6l
6l −12 6l 4l 2 −6l 2l 2 −6l 12 −6l 2l 2 −6l 4l 2
(5.32)
dok je za štap tipa “g”, 3
3l −3 k g = 3 3l 3l 2 −3l l −3 −3l 3 EI
(5.33)
Pogodnim izborom lokalnih koordinatnih sistema može se dodatno pojednostaviti proračun, time što se izbegava transformacija sa lokalnih na globalne koordinate i obratno. Lokalne koordinatne ose treba postaviti tako da se njihova orijentacija poklapa sa orijentacijom globalnih osa; kod greda x-osa treba da je orijentisana s leva udesno a kod stubova odozgo na dole (vidi sliku 5.4).
Slika 5.4 – Lokalni koordinatni sistemi ortogonalnog okvira Primer : Za zadati nosač, izložen uticaju opterećenja kao prema slici, odrediti pomeranja i obrtanja
čvorova, reakcije oslonaca i uklještenja, sile u štapovima i nacrtati dijagrame presečnih sila.
37
Lokalni koordinatni sistemi prikazani su na slici 5.4. Koordinate sistema: 1-3 nepoznata generalisana pomeranja,
4-10 poznata pomeranja oslonaca.
Lokalne koordinate štapova:
Matrice krutosti štapova:
- Štap 1, I14 = I , l14 = 0,8 l 1
2
4
6
23, 4375 9, 375l −23, 4375 9, 375 l 1 2 2 5l −9, 375l 2, 5l EI 9, 375l 2 k 1′ = 3 l −23, 4375 −9, 375l 23, 4375 −9, 375 l 4 2 2 2, 5l −9, 375l 5l 9, 375l 6 - Štap 2, I12 = 2I , l12 = 1, 2l 5
2
8
3
13,888889 8, 333333l −13, 888889 8, 333333 l 2 2 −8, 333333 l 3, 333333 l EI 8, 333333l 6, 666667 l k ′2 = 3 l −13, 888889 −8, 333333l 13, 888889 −8, 333333 l 2 2 8, 333333l 3, 333333l −8, 333333 l 6, 666667 l
5 2 8 3
38
- Štap 3, I 23 = 2I , l23 = l 8
3
10
6 6l −6 8 EI 2 −6l 3 k ′3 = 3 6l 6l l −6 −6l 6 10 - Štap 4, I 25 = I , l25 = 0,8l 1
3
7
9
23, 4375 9, 375l −23, 4375 9, 375 l 1 2 2 5l −9, 375l 2, 5l EI 9, 375l 3 k ′4 = 3 l −23, 4375 −9, 375l 23, 4375 −9, 375 l 7 2 2 9, 375 l 2, 5 l − 9, 375 l 5 l 9 Matrica krutosti sistema: 1
46, 875 9, 375l 9, 375l −23, 4375 EI 0 ′ K = 3 l 9, 375l −23, 4375 0 9, 375l 0
2
3
4
5
6
9, 375l
9, 375l
− 23, 4375
0
9, 375l
− 9, 375l
8, 333333l
2, 5l
0
8, 333333l
0
11, 666667l 3, 333333l
2
2
3, 333333l
2
17, 666667l
2
2
− 9, 375l
0
23, 4375
0
− 9, 375l
8, 333333l
8, 333333l
0
13, 888889
0
2, 5l
0
−9, 375l
0
5l
0
− 9, 375l
0
0
0
−8, 333333l
− 2, 333333l
0
− 13, 888889
0
0
2, 5l
2
0
0
0
0
−6l
0
0
0
2
7
8
9
−23, 4375
0
9, 375l
0
−8, 333333l
0
−9, 375l
−2, 333333l
2, 5l
0
0
0
0
−13, 888889
0
0
0
0
23, 4375
0
− 9, 375l
0
19, 888889
0
−9, 375l
0
5l
0
−6
0
0, 027279
l 3 −1 K ss = −0, 018798 l EI
2
10
2
2
1 0 2 − 6l 3 0 4 0 5 0 6 7 0 −6 8 0 9 6 10 0
−0, 018798 l 0,103552 l
2
−0, 010929 l −0, 009563 l 2
=
K ss K os
K so
K oo
−0, 010929 l
2 0, 064208 l 2
−0, 009563 l
39 Vektori ekvivalentnih sila na štapovima:
−0, 6 5 −0,12l 2 Q′2 = P , −0, 6 8 0,12l 3
−0,625 8 Q′3 = P −0,125l 3 −0,375 10
Vektor sila u čvorovima sistema: 1
P′ = P {1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 T
0 0 0 0 0 0 0 0 0}
Vektor slobodnih članova: 1
2
{
S′ = P′ + Q′ = P 1 −0,12l
3
4
−0, 005l
0
5
− 0, 6
6
7
0
0
8
− 1, 225
9
10
0
− 0, 375
}
Rešenja sistema uslovnih jednačina – pomeranja i obrtanja čvorova:
Iz jednačine (5.23)-a imamo
q1 3 0, 027279 l −1 q s′ = K ′ss S′s = q2 = −0, 018798 EI q −0, 010929 3
−0, 018798 l 2
l
0,103552 l
l
−0, 009563 l
− 0, 010929 l
1 − 0, 009563 l ⋅ P −0,12l −0,005l 0, 064208 l 2
2
2
q1 0,029589 1 [ m] 3 Pl q s′ = q2 = −0,031176 l 2 [ rad ] q EI −0,010102 l 3 [ rad ] 3 Iz jednačine (5.23)-b imamo reakcije oslonaca, R ′o = K′os ⋅ q′s − Q′o ⇒ 0 H 4 −23, 4375 −9, 375l 0 −0, 401217 4 V −0, 5 0, 256011 5 0 8, 3333l 8, 3333l 4 2 M 4 9, 375l 2, 5l 0 0 0,199457 l 6 0,029589 3 Pl 0 −9, 375l ⋅ H 5 = −23, 4375 −0,031176 l − P 0 = P −0, 598783 7 EI V −1,125 1, 508374 8 −0,010102 l 0 − 8, 3333 l − 2, 3333 l 5 2 M 9, 375 l 0 2, 5 l 0 0, 252141 l 5 9 V −0, 375 0, 435615 10 0 0 −6l 3
40 Sile u štapovima (jedn. (5.28) )
R1 = k1 ⋅ q1 − Q1 ,
T 14 M 14 EI = 3 T 41 l M 41
R j = k j ⋅ q j − Q j ,
j = 1, 2, 3, 4
Q1 = 0
23, 4375 9, 375l − 23, 4375 9, 375l 0, 029589 1 0,401 9, 375l 2 2 3 −9, 375l − 0, 031176 l 2 5l 2, 5l 0,121l Pl ⋅ = P −23, 4375 −9, 375l 23, 4375 − 9, 375l EI − 4 0 0,401 2 2 −9, 375l 2, 5l 5l 0 0,199l 9, 375l 6
R 2 = k 2 ⋅ q2 − Q2
13, 88& T 12 M 12 EI 8, 33& l = 3 & T 21 l −13, 88 M 21 8, 33& l
& l −13,88 & 8, 33 & l 8, 33
0 5 −0, 6 0, 256 −0,12l −0,122l 2 & l 2 Pl 3 −0,0312 l 2 6, 66& l −8, 33& l 3, 33 ⋅ = P − P & l 13,88 & − 8, 33 & l EI − 0 8 0, 6 0, 944 −8, 33 2 2 & & & 3, 33l −8, 33l 6, 66l −0,0101 l 3 0,12l −0, 291l
R 3 = k 3 ⋅ q3 − Q 3
T 23 EI M 23 = 3 T l 32
0 6 6l −6 3 Pl 6l 6l 2 −6l ⋅ −0, 010102 EI −6 −6l 6 0
8 0, 564 −0,625 l 3 − P −0,125l = P 0, 064 l 10 −0,375 0, 436
R 4 = k 4 ⋅ q4 − Q4 , Q4 = 0
T 25 M 25 EI = 3 T 52 l M 52
23, 4375 9, 375l 9, 375l 2 5l −23, 4375 −9, 375l 2 2, 5l 9, 375l
−23, 4375 9, 375 l
0, 029589 2 3 −9, 375l 2, 5 l Pl −0, 010102 ⋅ 23, 4375 −9, 375 l EI 0 2 −9, 375l 5l 0
Reakcije oslonaca i pomeranja i obrtanja čvorova:
Dijagram momenata savijanja Mz:
1 0,599 l 3 0, 227l = P 0,599 − 7 0,252l 9
41
5.3. KONTINUALNI NOSAČI Kontinualne nosače možemo posmatrati kao specijalni slučaj ortogonalnih nosača, ako pokretna ležišta zamenimo vertikalnim štapovima (osloncima). Pošto nema aksijalnih sila štap kontinualnog nosača ima četiri stepena slobode, po dva na svakom kraju.
Slika 5.5 – Kontinualni nosač sa globalnim i lokalnim koordinatnim sistemima
Matrica krutosti pojedinog štapa, za sučaj promenljivog poprečnog preseka data je izrazom (5.30). Za slučaj konstantnog poprečnog preseka, za štap i matrica krutosti je 12 6l k i = ki i −12 6li
6li −12 6l i 4li 2 −6li 2li 2 , −6li 12 −6l i 2li 2 −6li 4li 2
i = 1, 2,L, n
ki =
EI i l i3
(5.34)
Matrica krutosti kontinualnog nosača je 4l12 k1 2l12 k1 2 2 2 2 2l1 k1 4(l1 k1+ l1 k2 ) 2l2 k2 2 2 2 2 (5.35) K = 2li −1ki −1 4(li −1 ki −1 + li−1 ki−1 ) 2li ki 2 2 2 4( l k + l k ) 2 l k n− 2 n− 2 n −1 n −1 n−1 n −1 2 2ln − 2 k n− 2 4ln2−1 kn−1 Primer:
42
5.4. REŠETKASTI NOSAČI Svi štapovi rešetkastog nosača na krajevima imaju zglobove i mogu prenositi samo aksijalna naprezanja. S toga ovi elementi imaju samo dva stepena slobode, odnosno dve koordinate. Matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa data je izrazom (3.2). U analizi ravnog rešetkastog sistema, u svakom čvoru, odnosno na svakom kraju štapa, neophodno je uvesti po dva nezavisna pomeranja. Na sledećoj slici prikazan je štap rešetkastog nosača sa generalisnaim pomeranjima i silama u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu.
Slika 5.6 – Sile i pomeranja na krajevima štapa, a) u lokalnom sistemu b) u globalnom sistemu, c) transformacija iz jednog u drugi
Sa slike 5.6-c možemo izvesti sledeće relacije R1′ = R1 cos ϕ q1 = q1′ cos ϕ + q2′ sin ϕ q2 = q3′ cos ϕ + q4′ sin ϕ
,
R2′ = R1 sin ϕ R3′ = R2 cos ϕ
(5.36)
R4′ = R2 sin ϕ
U matričnom obliku imamo q1′ q1 c s 0 0 q2′ q = 0 0 c s q′ , 3 2 q4′ R1′ c R2′ s R ′ = 0 3 R ′ 0
0 0 R1 , c R2 s
)
q = Tq′ ,
) T
R′ = T R ,
(5.37)
(5.38)
)
Ovde je T matrica transformacije, a c = cos ϕ , s = sin ϕ . Polazeći od izraza (5.10), uzimanjem u obzir (3.1), (3.2), (3.3) i (5.37) za matricu krutosti i vektor ekvivalentnog opterećenja ravnog rešetkastog štapa u globalnom koordinatnom sistemu dobija se c s k′ = T ⋅ k ⋅ T = 0 0 ) T
)
0 0 EF 1 −1 c s 0 0 ⋅ ⋅ , c l −1 1 0 0 c s s
c 2 cs −c 2 −cs EF cs s 2 − cs − s 2 k ′e −k ′e 2 = k ′ = , 2 cs −k ′e k ′e l −c −cs c −cs − s 2 cs s 2
(5.39)
43
k ′e =
EF c 2 cs , 2 l cs s
c ) T s Q′ = T Q = 0 0
0 cQ1 0 Q1 sQ = 1, c Q2 cQ2 s sQ2
(5.40)
(5.41)
U vektorima ekvivalentnog opterećenja (5.41) mogu se javiti samo uticaji promene temperature u osama štapova. Po formiranju matrice krutosti elemenata (5.39), dalji postupak formiranja matrice krutosti sistema i vektora sila u čvorovima sistema isti kao za pune nosače. Određivanjem pomeranja po koordinatama sistema, sile u štapovima se mogu odrediti prema izrazu ) R j = k j q ′j − Q j , j = 1, 2,L, z s , (5.42) gde je )
)
k j = k j T =
Primer.
EF c s − c − s , l −c − s c s
(5.43)
44
6. POSEBNI PRORAČUNSKI POSTUPCI. KONDENZACIJA. SUBSTRUKTURE U prethodnim poglavljima bili su razmatrani mnogi osnovni principi tehničke mehanike i pokazana metoda deformacije. Sada ćemo videti nekoliko tehnika primenjivih kod rešavanja problema praktične primene ovih metoda. Ovi problemi nastaju kod složenih konstrukcija sa velikim brojem stepeni slobode. Analiza složenih struktura se može pojednostaviti ako se one analiziraju u delovima a zatim se rezultati kombinuju, pri čemu moraju da zadovolje uslove ravnoteže, uslove kompatibilnosti i granične ulove. Jedan pristup analizi velikih konstrukcija predstavlja njihova gruba idealizacija, kojom se redukuju oni stepeni slobode koji imaju manji uticaj na rezultate. Razmotrićemo primenu metode kojom se redukuju stepeni slobode – matrična kondenzacija. Jedan od načina kojim se mogu jednostavnije rešavati pojedine složene strukture jeste primena principa simetrije i antimetrije. Simetrične strukture se dele po osi simetrije i opterećuju uticajima razloženim na simetrični i antimetrični deo.
6.1. KONDENZACIJA Izraz kondenzacija odnosi se na redukovanje veličine sistema uslovnih jednačina eliminacijom pojedinih stepeni slobode. Grupisanje koordinata sistema po nekom parametru karakterističnom za problem, omogućuje redukovanje stepena slobode i dovodi do značajnog uprošćavanja analize. Redukciju možemo sprovesti na nivou elementa, čime se smanjuje broj i širina trake sistema jednačina i na nivou sistema, kada se smanjuje stepen sistema uslovnih jednačina. Ova tehnika je posebno primenjiva kod problema dinamike konstrukcija, kada se eliminišu stepeni slobode po koordinatama po kojima se mogu zanemariti mase. Kondenzovane jednačine date su u funkciji preselektovanih stepeni slobode q′c koji, zajedno sa eliminisanim q′b čini ukupni set originalnih stepeni slobode, odnosno {q′} = {q′b q′c } . Matematički, postupak počinje originalnim sistemom jednačina (5.17) K ′ ⋅ q′ = S ′ , (6.1) koji se može prikazati i u obliku K ′bb K′ cb
K ′bc q′b
S′b = K ′cc q′c S′c
(6.2)
i nakon kondenzacije u obliku ˆ ′ ⋅ q′ = Sˆ ′ K cc c c
(6.3)
Do jednačine (6.3) ćemo doći polazeći od (6.2). Razlaganjem i rešavanjem po { qb } imamo q′b = K ′bb−1 ⋅ Sb′ − K′bb−1 ⋅ K ′bc ⋅ q′c
(6.4)
Zamenom (6.4) u donjoj jednačini (6.2) dobijamo
( K′
cc
)
− K ′cb ⋅ K ′bb−1 ⋅ K ′bc ⋅ q′c = S ′c − K ′cb ⋅ K ′bb−1 ⋅ S b′
(6.5)
Zamenama −1 ˆ ′ ′ =K K ′cc − K ′cb ⋅ K ′bb ⋅ K bc cc
(6.6)
−1 S′c − K′cb ⋅ K ′bb ⋅ S′b = Sˆ ′c
(6.7)
i u (6.5), dolazimo do izraza (6.3).
45 ˆ ′ predstavlja kondenzovanu odnosno redukovanu matricu krutosti sistema K ′ . Matrica K cc
Sa kondenzacijom stepeni slobode rešenje sistema jednačina se svodi na dva koraka. Prvo se iz jednačine (6.3) određuje q′c ˆ ′−1 ⋅ Sˆ ′ q′c = K cc c
(6.8)
−1 −1 ˆ ′−1 ⋅ Sˆ ′ q′b = K ′bb ⋅ Sb′ − K′bb ⋅ K ′bc ⋅ K cc c
(6.9)
koje se zatim zameni u (6.4) Na taj način dobijamo generalisana pomeranja u pravcu svih stepeni slobode {q′} = {q′b q′c } . Primer : Za štap u primeru 1 poglavlja 4.4, do matrice krutosti doći koristeći postupak kondenzacije.
Štap ćemo podeliti na dva dela i uvesti sledeće koordinate
Slika 6.1 a) zadati štap, b) kordinate štapa, c) koordinate elemenata
Matrice krutosti elemenata: 5
štap 1: l1 = 2m , I1 = 2 I
3 3 k 1′ = EI −3 3 1
štap 2: l2 = 4m , I 2 = I
1
2
3 −3 3 5
6 −3 3 −3 1 2 −3 4 2 4 −3 2
2
3
4
3 16 3 8 −3 16 3 8 1 38 1 −3 8 1 2 2 k ′2 = EI −3 16 −3 8 3 16 −3 8 3 3 8 1 2 −3 8 1 4 3
štap 3: l3 = 2m , I 3 = 2I
6
3 3 k ′3 = EI −3 3
4
7
8
3 −3 3 3
4 −3 3 −3 7 2 −3 4 8 4 −3 2
46 Matrica krutosti štapa: 1
2
3
51 16 −21 8 −3 16 −3 8 −21 8 5 −3 16 − 3 8 51 16 3 8 1 2 21 8 k ′ = EI −3 3 0 −3 2 0 0 −3 0 0 0 3
4
5
6
7
8
3 8 −3 −3 0 0 1 12
3
21 8 0
0 0 2 0 −3 3 3 2
5
0
0
3
0 −3 2 4 k ′bb k ′bc = 3 0 0 5 k ′cb k ′cc
0
3
4
−3
0
0
2
0
0
0 0 6 3 0 7 0 4 8
19 27 5 12 8 27 −1 4 14 −5 24 1 5 12 11 24 −1 K ′bb = 14 19 27 −5 12 EI 8 27 −1 4 −5 24 −5 12 11 24 Kondenzovana matrica krutosti, odnosno matrica krutosti štapa iz primera 1 u poglavlju 4.4: ˆ ′ = K ′ − K ′ ⋅ K ′−1 ⋅ K ′ K cc cc cb bb bc
3 3 ˆ K ′cc = EI 0 0
3 0 0
3 0
4 0
2 0
0 3 0 0
−3 0 − EI −3 0 0 4 0
0 −3 0 3
19 27 0 ⋅ 1 5 12 −3 EI 8 27 2 −1 4 0
1 24 1 6 −1 24 1 6 56 −1 6 1 2 ˆ ′ = EI 1 6 k = K −1 24 −1 6 1 24 −1 6 cc 1 6 1 2 − 1 6 5 6
5 12
8 27
11 24
1 4
1 4
19 27
− 5 24 − 5 12
−1 4
− 3 − 3 − 5 24 ⋅ EI 3 2 0 0 − 5 12 11 24 0 0
0 0
3 2
0 0 −3 −3
