STATE UNIVERSITY OF NOVI PAZAR Department of : Technical sciences Study program of : Civil Engineering (MAS)
TEORIJE PLASTIČNOSTI I GRANIČNA STANJA
Seminarski rad tema: Proračun ploča prema linijama loma ( Yield line analysis ) Teorema gornje granice (Upper bound theorem)
Student:
Predmetni profesor:
Demić Dzenis (108004/16)
dr Dragoslav Šumarac
Novi Pazar, 2016.
Sadržaj
1. UVOD............................................................................................................. 1 2. LINIJE LOMA I MOMENTI PLASTIČNOSTI ......................................................... 2 3. PRORAČUN PLOČA ........................................................................................ 8 3.1 ODREĐIVANJE KRITIČNOG OPTEREĆENJA IZOTROPNE PLOČE ..............................11 3.1.2 Teorema gornje granice (upper bound theorem) .....................................12 3.1.2.1 UKLJEŠTENA PLOČA – JEDNAKOPODELJENO OPTEREĆENJE .......................... 14 3.1.2.1 Primer uklještena ploča,dimenzionisane po teoriji elastičnosti ............. 15 LITERATURA ................................................................................................................................. 18
1. UVOD
Proračun uticaja u AB pločama najčešće bazira na primeni teorije elastičnosti. Više puta je već rečeno da je ovo opravdano za eksploatacioni nivo opterećenja, pod kojim armatura ne dostiže granicu razvlačenja (ostaje u elastičnoj zoni). Međutim, za granični nivo opterećenja, u AB elementu se realizuju velike deformacije, prsline i, posledično, redukcije krutosti i značajne preraspodele uticaja, zbog čega linearno skaliranje elastičnih uticaja, uglavnomii, ne odgovara stvarnom stanju. Treba primetiti i nekonzistentnost kojom dimenzionisanje preseka, iako uobičajeno bazirano na uticajima elastične teorije (linearno uvećani eksploatacioni elastični uticaji), obuhvata nelinearno (neelastično) ponašanje materijala i njihov rad u plastičnoj fazi. Dodajmo ovome i činjenicu da su, iz raznih razloga (ploče su, generalno, „siromašne“ armaturom, minimalni zahtevi za armaturom, unificiranje armaturnih pozicija, jednostavnije izvođenje...), preseci ploča armirani većom količinom armature od proračunske potrebe, te da ovi „viškovi“, načelno, nisu proporcionalni proračunskoj potrebi. Sve ovo ukazuje na mogućnost da u realnim konstrukcijama uticaji u pločama u graničnom stanju nosivosti mogu imati kvalitativno bitno različitu distribuciju od one koju daje elastična teorija. Potreba za realnijom procenom raspodele graničnih uticaja je posebno aktuelna kod ploča, gde, zbog relativno malih procenata armiranja, preseci imaju visoku duktilnost – sposobnost plastičnog deformisanja (rotacija), što je uslov za preraspodelu uticaja. Tako, realno ponašanje AB konstrukcija pod graničnim opterećenjem podrazumeva primenu teorije plastičnosti, a za pune ploče razvijena je aproksimativna (pojednostavljena) teorija linija loma, ili teorija linija plastičnih zglobova, bazirana na primeni teorije plastičnosti. Njime je omogućeno određivanje kapaciteta nosivosti (maksimalno granično opterećenje) pune ploče za koju je poznat, osim geometrije, konfiguracije opterećenja i konturnih uslova, i način armiranja i količina armature (kao što je, na primer, slučaj kod postojećih, već izvedenih ploča). Alternativno, postupak može biti primenjen i u svrhu dimenzionisanja ploča, ali potreba poznavanja konfiguracije armature (odnosi, ne i količine) čini primenu suviše kompleksnom (neodređenom) za praktične potrebe (izuzev u nekim specijalnim slučajevima). Reč je o jednoj od najstarijih, ali i do danas - najuspešnijih, primena teorije plastičnosti u praktičnim problemima. Tek u novije vreme, sa razvojem računarske tehnike, postaje izgledna (u skorijoj budućnosti) primena sofisticiranijih proračuna baziranih na teoriji plastičnosti. Čak i u ovom svetlu, preglednost, jednostavnost i jasna fizička pozadina čini postupak nezamenljivim inženjerskim „učilom“ i alatom za grubu (prvu) analizu. Postupak je prvi predložio Ingerslev 1921. godine (praktično sve do sredine pedesetih godina, postupak je razvijan samo u Danskoj), a značajno je unapređen tokom četrdesetih godina XX veka u istraživanjima Johansen-a i, kasnije, mnogih drugih istraživača. -1-
2. Linije loma i momenti plastičnosti
Posmatrajmo ploču koja ravnomerno raspodeljeno opterećenje prenosi u jednom pravcu i prosto je oslonjena na dve naspramne ivice (slika 1). Jednostavnosti radi, pretpostavimo i da je ploča armirana jednakom količinom armature u svim presecima. Za male intenzitete opterećenja, ploča se ponaša elastično. Sa porastom opterećenja dolazi do formiranja prslina kada je prekoračena nosivost betona na zatezanje. Logično, ovo se prvo dešava u najopterećenijem preseku (središnji, u ovom primeru). Daljim porastom opterećenja, u jednom trenutku, napon u armaturi kritičnog preseka dostiže granicu razvlačenja. Imajući na umu da se čelik posle dostizanja napona na granici razvlačenja deformiše praktično bez prirasta napona, to će se u kritičnom preseku realizovati velike deformacije u armaturi i, time, veliki prirast krivine, bez daljeg povećanja opterećenja.
Slika 1. Prosto oslonjena ploča na dve suprotne ivice
Prirast krivine prouzrokuje relativno obrtanje delova ploče s dve strane kritičnog preseka, odnosno u preseku se formira linijski plastični zglob. Budući da je ovde reč o statički određenom sistemu, formiranje ovog plastičnog zgloba od konstrukcije pravi mehanizam, pa dalje povećanje opterećenja nije moguće. Opterećenje koje odgovara trenutku stvaranja mehanizma je granično opterećenje, qu. Uslov za stvaranje mehanizma je, dakle, formiranje plastičnog zgloba, a uslov njegovog/njihovog formiranja je dostizanje plastičnog rada armature, odnosno obezbeđenje da ne dođe do krtog loma betona pre realizacije plastičnog zgloba. Kod ploča, ovaj poslednji uslov je redovno zadovoljen, budući da su najčešće „lako“ armirane.
Slika 2. Model za izračunavanje momenta plastičnosti
U realizovanom plastičnom zglobu, moment savijanja je jednak momentu plastičnosti, Mp. Za poznat presek (d, h) i količinu armature (f, može se odrediti usvajajući dilataciju 𝜎 čelika takvu da odgovara granici razvlačenja, 𝜀𝑎 = 𝑣⁄𝐸 (Sl. 2), a raspodelu napona u 𝑎 betonu saglasno radnom dijagramu za beton. Biće, uz pretpostavku da nema aksijalnog opterećenja, za svaki pravac (z - krak unutrašnjih sila):
-2-
Realno se, sa daljim povećanjem opterećenja, u preseku može ostvariti i nešto veći moment savijanja. Naime, sa tečenjem armature (sa porastom dilatacije zategnute armature), iako sila u armaturi ne raste, uspostavljanje ravnotežnog stanja uslovljava smanjenje visine pritisnute zone, a time i blagi rast kraka unutrašnjih sila. Na ovaj način, momenat savijanja može da raste do trenutka kada napon pritiska u betonu izaziva njegovo drobljenje, što je granični momenat, Mu: 𝑀𝑢 > 𝑀𝑝 Međutim, razlika momenta plastičnosti i graničnog momenta je redovno mala, pa se u praktičnim proračunima može zanemariti i računati s graničnim vrednostima. U poređenju s promenom oblika ploče usled plastičnih deformacija izazvanih tečenjem armature, elastične deformacije (ugibi) su praktično zanemarljivo male. Zato se ovim postupkom aproksimira da se delovi ploče između linija loma i oslonaca apsolutno kruti, te da se ukupna deformacija obavlja samo po linijama plastičnih zglobova i oslonaca.
Slika 3. Obostrano uklještena ploča koja opterećenje prenosi u jednom pravcu
Kako je na primeru pokazano, kod statički određenih nosača, formiranje prve linije loma dovodi do stvaranja mehanizma. U slučaju statički neodređenih ploča, ravnotežni sistem se može uspostaviti i nakon stvaranja jedne ili više (sve do formiranja mehanizma) linije loma. Na primeru obostrano uklještene ploče koja ravnomerno podeljeno opterećenje prenosi u jednom pravcu ovo je prikazano na Sl. 3. Pretpostavimo i ovog puta, jednostavnosti radi, da su svi preseci ploče armirani istom armaturom. Niskom nivou opterećenja odgovara distribucija momenata kojom su krajnji preseci duplo više napregnuti od središnjeg. Sa porastom opterećenje do nivoa q1 , formiraju se linije loma u oslonačkim presecima, a momenat savijanja u krajnjim presecima dostiže vrednost Mp. Razvoj plastičnih zglobova na krajevima implicira dalju slobodnu rotaciju ovih preseka, ali ne i pretvaranje sistema u mehanizam. Dalji prirast opterećenja, Δq, ne može biti prihvaćen porastom momenata uklještenja, ali može prirastom momenata savijanja duž raspona, u statičkom sistemu proste grede, gde krajevi slobodno rotiraju. Jasno, prirast opterećenja je ograničen trenutkom dostizanja momenta plastičnosti u preseku u sredini raspona, kada se formira mehanizam. -3-
Neposredno pred formiranje mehanizma, distribucija momenata savijanja duž ploče se značajno i kvalitativno razlikuje od elastične. Ovde treba dati vrlo važnu napomenu, kojom se, posledično, opravdava primena teorije elastičnosti za određivanje uticaja u graničnom stanju. Naime, da je isti ovaj nosač armiran prema elastičnim uticajima, tj., da je u oslonačkim presecima zategnute armature oko dva puta više nego u preseku u sredini raspona, nikakva preraspodela se ne bi realizovala, nego bi se linije loma formirale istovremeno (pod istim opterećenjem) i u krajnjim i u središnjem preseku.
Slika 4. Prosto oslonjena ploča na sve četiri ivice
Kod ploča oslonjenih na više strana ili kod ploča oslonjenih na stubove, linije loma nije uvek jednostavno odrediti. One se, sada, mogu realizovati pod „kosim“ uglom u odnosu na pravac armature, a sama slika loma mora se pretpostaviti što bliža realnoj. Brojna eksperimentalna istraživanja su dali osnovu za relativno precizan i nedvosmislen iskustveni način određivanja/usvajanja linija plastičnih zglobova.
Slika 5. Različiti primeri dispozicija linija loma
U stanju neposredno pred formiranje mehanizma loma ploča je linijama loma izdeljena na krute delove koji se mogu obrtati oko svojih osa rotacije. Linije loma zategnute na donjoj strani se nazivaju pozitivnim linijama loma, a na gornjoj – negativnim. Ose rotacije se pružaju linijama oslanjanja (bez obzira na to da li je reč o pravom ili plastičnom zglobu) ili prolaze kroz tačke oslanjanja (stubove). Linije loma između dva susedna dela ploče su prave. Time, linije loma moraju sadržati tačku preseka odgovarajućih osa rotacije (ili su im paralelne). Na Sl. 4 prikazana je pravougaona ploča prosto oslonjena po sve četiri ivice, čiji se delovi, po stvaranju mehanizma loma, obrću: deo A oko ose a-b, deo B oko ose c-d. Linija loma e-f formira se kao prava linija koja prolazi kroz presek osa rotacije. Na Sl. 5 su, ilustracije radi, date linije loma za različite oblike ploča i različite uslove oslanjanja. -4-
Brojni primer: Za presek ploče b/d= 100/16cm , armiran sa fax= Ø12/10 = 11,3 cm2 / m´ odrediti: 1. Moment plastičnosti Mpx 2. Moment loma Mux MB30 => fb = 2,05kN/cm2 ; GA240/360 => σv = 24kN/cm2 h= d – a = 16 – 2 = 14cm 11,3
µ= a)
100·14
= 0,807 %
εa = σv/Eč = 240/210 000 = 1,143 ‰ Za = fax· σv = 11,3·24 = 271,2 kN
Iz uslova ravnoteže ΣN =0 => εb<2‰ ; σv
Za εb0=2‰ ; ψ·S-µ· S= (
ε𝑏 ε𝑏+ε𝑎
𝜀𝑏 𝜀𝑏0
-
;
𝜀𝑏
ψ=
𝜀𝑏2 3𝜀𝑏02
)·
ε𝑏 ε𝑏+ε𝑎
-
fb
𝜀𝑏0
=0
-
0,807 100
𝜀𝑏2
; 2
3𝜀𝑏0
·
24 2,05
1
η = ·(
𝜀𝑏
𝜓 3𝜀𝑏0
-
𝜀𝑏2 12𝜀𝑏02
)
=0
=> εb = 0,607‰ Zamenom u S,ψ i η dobijamo: S=0,347 ; Ψ =0,273 ; η=0,342 Iz uslova ΣM =0 => Mp = b·h2· fb·(ψ·S·(1-S·η)) = 3354 kNcm=33,54 kNm b) 𝜇′ = 𝜇
𝜎𝑣 𝑓𝑏
=
0,807∗24 150∗2,05
𝑀𝑢𝑥
= 9,448 % ; ε𝑏 = 1,78‰ ; ε𝑎 = 10‰ ; Kb= 3,346 ℎ 2 = ( ) 𝑏 𝑓𝑏 = 3588 𝑘𝑁𝑐𝑚 = 35,88 𝑘𝑁𝑚 𝐾𝑏
Moment plastičnosti takvog, „kosog“, plastičnog zgloba se lako može odrediti u funkciji poznatih momenata plastičnosti dva „glavna“ pravca sl. 6 :
Slika 6. Linija loma koja se ne poklapa s pravcima armature
-5-
Kod slobodnih ili slobodno oslonjenih ivica, moment savijanja i torzije ima teorijski nultu vrednost. Pravci glavnih napona su paralelni ivici i upravni na ivicu. Zbog toga, linije loma u neposrednoj blizini ivica „skreću“ ka pravcu upravnom na ivicu (Sl. 7a).
Slika 7. Uslovi na ivici ploče: a) stvarna i b) uprošćena linija loma
Međutim, testovi su pokazali da se ovo skretanje realizuje samo u bliskoj okolini ivice, te da je rastojanje obeleženo sa t malo u odnosu na dimenzije ploče. Zato je opravdano korišćenje uprošćene linije, kao produžene do ivice stvarne, koja s ivicom gradi oštar ugao (Sl. 7b). Čak, ova promena ne utiče na ukupan rad unutrašnjih sila.
Slika 8. Ugaoni efekti
U uglovima ploča se linije loma redovno „račvaju“ (Sl. 8b). Neka linija loma prolazi kroz presek dva pravca slobodnih oslonaca (Sl. 8a). Opterećena ploča ima tendenciju odizanja uglova, tj. tačka C teži da se odvoji od oslonca. Ukoliko to odizanje nije sprečeno, ugaona oblast 3 će rotirati oko neke ose a-a (Sl. 8b) i tačka C će ići naviše. Time se linija loma deli u dve kose prave, koje prolaze kroz preseke pravca a-a i pravaca oslonaca. Ako je, pak, ugao obezbeđen od odizanja, osa a-a se pretvara u negativnu liniju loma, a početna pozitivna se grana u dve nove pozitivne (Sl. 8c). U oba slučaja modifikacija mehanizma rezultira smanjenjem kapaciteta nosivosti ploče. Ipak, i pored toga, praktičnim proračunima se ova modifikacija u zoni ugla zanemaruje (uglavnom opravdano, zbog malih razlika).
-6-
Opšta teorija plastičnosti definiše opterećenje loma u granicama između dve krajnje vrednosti, donje i gornje granice intervala unutar kojeg se nalazi stvarno opterećenja loma. Kompletna rešenja bazirana na doslednoj primeni teorije plastičnosti, bez aproksimacija, imaju za cilj sužavanje ovog intervala praktično na jednu vrednost. Teorema donje granice (lower bound theorem, strut-and-tie postupak), prilagođena pločama: ako je za dato spoljašnje opterećenje moguće pronaći ravnotežnu raspodelu momenata savijanja, takvu da se ni u jednom preseku ne dostiže granica razvlačenja u čeliku, onda je dato opterećenje donja granična vrednost intervala kapaciteta nosivosti. Teorema gornje granice (upper bound theorem): ako je (uz zadovoljenje ravnotežnih i konturnih uslova) za mali prirast pomeranja, unutrašnji rad deformisanja ploče jednak radu spoljašnjeg opterećenja za isti mali prirast pomeranja, onda to opterećenje predstavlja gornju granicu intervala kapaciteta nosivosti. Ako su uslovi donje granice zadovoljeni, ploča sigurno može da primi i prenese bar taj nivo opterećenja. Tako gledano, postupci kojima se određuje donja granica su konzervativni (na strani sigurnosti). Ako su, pak, zadovoljeni uslovi gornje granice, svako opterećenje veće od tog će sigurno izazvati slom, ali je moguće da će to učiniti i neko manje opterećenje, ukoliko je mehanizam loma, u bilo kom smislu, nekorektno usvojen. U praksi, postupci primene teorije plastičnosti određuju ili donju ili gornju granicu. Postupak linija loma, tako, određuje gornju granicu i, time, može biti nekonzervativan (suprotno od projektantske težnje da se, u situacijama kada je do tačnijih rešenja komplikovano doći, traže rešenja koja su izvesno na strani sigurnosti), što valja stalno imati na umu u njegovoj primeni, i neophodno je usvojiti mehanizme loma koji će ovu nekonzervativnost smanjiti na najmanju meru.
-7-
3. PRORAČUN PLOČA
Pri proračunu ploča prema linijama loma mogu se razmatrati: 1.Izotropne ploče, kod kojih su momenti plastičnosti isti u oba ortogonalna pravca u kojima se polaže armatura, pojedinačno posmatrano za donju i gornju zonu ploče. Praktično to znači da je ploča armirana istom armaturom u oba ortogonalna pravca (ako se u proračunu zanemari razlika izmedju kraka unutrašnjih sila za po jedine pravce, što je inženjerski opravdano). 2.Ortotropne ploče - kod kojih se armatura u dva ortogonalna pravca odnosno odgovarajući momenti plastičnosti, međusobno razlikuju. U narednim analizama, i za izotropne i za ortotropne ploče smatraće se da su u svim presecima armirane na isti način, tj. da su istom količinom armature armirani i kritični i manje opterećeni preseci. Razlog ovako restriktivnoj pretpostavci leži samo u potrebi da se analiza pojednostavi i da se praktični proračuni zadrže dovoljno jednostavnim za manuelnu praktičnu primenu. Složenije konfiguracije armature već neminovno podrazumevaju primenu specijalizovanog softvera u rešavanju problema. Veza između graničnog opterećenja i momenata plastičnosti se može odrediti primenom principa virtuelnog rada, iz uslova da je na formiranom mehanizmu ploče, pri zadatim proizvoljnim virtuelnim pomeranjima, rad momenata plastičnosti duž linija loma na obrtanjima delova ploče, D, jednak (negativnom) radu spoljašnjeg opterećenja, W: D=-W Posmatrajmo, u koordinatnom xoy sistemu, liniju loma dužine l, koja deli ploču na delove i i j (Sl. 9). Neka se segment i obrće oko ose obrtanja, osa i, za ugao θi , a segment j, oko ose obrtanja osa j, za ugao θj (geometrijski predstavljeni, θi i θj, kao vektori usmereni duž osa obrtanja).
Slika 9. Model za određivanje rada momenata plastičnosti
Sa α je obeležen ugao normale na liniju loma. Moment plastičnosti za liniju loma je:
-8-
Relativna rotacija jednog segmenta u odnosu na drugi je vektorski zbir ( sl. 9):
Rad unutrašnjih sila na virtuelnim obrtanjima je, zapravo, rad momenata plastičnosti duž linije loma pri virtuelnim obrtanjima dva segmenta oko svojih osa. Kako rad vrše samo komponente momenta savijanja paralelne osama obrtanja, to je:
gde je uvedeno :
Integracijom duž svih, pozitivnih i negativnih, linija loma, dobija se:
Za izotropne ploče važi da je: pa se dobija :
Poslednja jednačina se može čitati na sledeći način: za izotropnu ploču, rad momenata plastičnosti duž linije loma je proizvod momenata plastičnosti i sume proizvoda rotacija delova ploče oko svojih osa rotacije i projekcija dužine linije loma na iste ose. Ovo važi i za pozitivne i za negativne linije loma. Rad spoljašnjeg opterećenja na istim, zadatim, virtuelnim pomeranjima je:
gde je A – površina ploče, p(x,y), p(s) i Pi su površinska, linijska i koncentrisana opterećenja, a w(x,y), w(s) i wi su pomeranja u pravcima odgovarajućih sila, po vrstama. U slučaju delovanja samo ravnomerno raspodeljenog površinskog opterećenja, biće:
Vrednost integrala u ovom izrazu predstavlja zapreminu koju formiraju delovi ploče u deformisanom obliku, pri zadatim virtuelnim pomeranjima. Proračun izotropnih ploča se, tako, sastoji iz pretpostavljanja/usvajanja konfiguracije linija loma, zadavanja virtuelnog pomeranja obrazovanom mehanizmu ploče i ispisivanja jednačina rada spoljašnjih i unutrašnjih (momenti plastičnosti) sila. Izjednačavanjem dva rada se uspostavlja veza između momenata plastičnosti i graničnog opterećenja. -9-
Ilustracije radi, dati su neki jednostavani konkretani primeri proračuna kapaciteta nosivosti pravougaone ploče i primer za kružnu ploču. U poslednjem primeru valja primeniti da mehanizam loma nije precizno definisan, nego je usvojen samo njegov lepezasti oblik. U praksi, kod složenijih problema, mehanizam loma nije lako usvojiti, nego se može govoriti o familiji alternativnih mehanizama. Načelno, imajući na umu teoremu gornje granične vrednosti, prednost je na strani mehanizma koji rezultuje minimalnim kritičnim opterećenjem. Kod ortotropnih ploča, primena jednačine zahteva određivanje projekcija (na koordinatne ose) relativnih rotacija (θx i θy) delova ploče oko linije loma (u jednačini rada za izotropne ploče je figurisala samo apsolutna rotacija, jednostavnija za određivanje). Na kraju, treba primetiti da, osim prednosti koje se ogledaju u jednostavnosti analize i implementaciji plastične teorije, opisani postupak ima i neke važne nedostatke. Prvo, postupkom se ne dobija nikakav uvid u eksploataciono ponašanje ploče (naponi, deformacije, isprskalost). Dalje, rečeno je već, postupak daje gornju granicu kritičnog opterećenja, što ga čini nekonzervativnim u meri u kojoj usvojeni mehanizam odstupa od stvarnog (zahteva se iskustvo, znanje i veština projektanta). Konačno, kao važan nedostatak se mora ubrojati i pomenuta pretpostavka o unificiranom armiranju svih preseka ploče, što, makar u kritičnim presecima rezultiralo i manjom količinom potrebe za armaturom, u zbiru uvećava utrošak čelika.
- 10 -
3.1 Određivanje kritičnog opterećenja izotropne ploče
Razmatra se pravougaona ploča prosto oslonjena na sve četiri ivice i ravnomerno raspodeljeno opterećenje. Pretpostavljena je konfiguracija mehanizma u kojoj je ugao koje dijagonalne linije loma zaklapaju s oslonačkim pravcima jednak 45⁰. Zadatom virtuelnom ugibu tačaka E i F odgovaraju virtualne rotacije θ1 i θ2. Izjednačavanjem rada spoljašnjih i unutrašnjih sila na virtuelnim pomeranjima, kritično opterećenje se dovodi u relaciju s momentom plastičnosti.
Slično, kad je ploča uklještena po obodu, duplira se kapacitet nosivosti.
Razmatra se kružna ploča slobodno oslonjena po konturi, opterećena koncentrisanom silom u sredini. Mehanizam loma je usvojen u lepezastom obliku, gde su „zraci“ na međusobnom otklonu od dφ. Virtuelno pomeranje (jedinično) je aplicirano kao ugib centra ploče.
- 11 -
3.1.2 Teorema gornje granice (upper bound theorem) JEDNAČINA RADA
Nakon što se izabere odgovarajući mehanizam loma definiše se jednačina:
W Ed gde je W rad spoljašnjih sila i Ed rad unutrašnjih sila ostvaren na pomeranju za vreme loma. Slika 10 prikazuje usvojeni koordinatni sistem i pozitivan pravac za pomeranje i proizvoljno kontinualno opterećenje. Rad spoljašnjih sila na pomeranju w(x,y) se može izraziti kao:
W
q(x, y)w(x, y)dxdy A
Slika 10. Usvojeni koordinatni sistem (Vrouwenvelder & Witteveen, 2003)
Za slučaj konstantnog površinskog opterećenja q, može se usvojiti da je pomeranje linearno između linije loma i ivice ploče. Drugim rečima, gornji izraz (4.4.2) se može napisati:
W q S wz A
gde je S površina dela ploče i wz je pomeranje u težištu. Što se tiče unutrašnjih sila, one vrše rad samo duž linija loma. Proizvoljna linija loma sa lokalnim koordinatnim sistemom, gde je s podužna osa linije loma a n osa upravna na liniju loma, je prikazana na Slika 11. Uslov ravnoteže mora biti zadovoljen za oba dela ploče sa obe strane linije loma. U preseku su prisutne sledeće unutrašnje sile i momenti: moment savijanja mnn, torzioni moment mns, transverzalne sile qn. Razlika obrtanja oba dela ploče oko s ose je: d d (n 0) d (n 0) pri čemu je ugao nagiba jako mali, odnosno: tan d sin d d
- 12 -
Slika 11. Deformacije i unutrašnje sile za liniju loma (Vrouwenvelder & Witteveen, 2003)
Od svih uticaja koji se javljaju duž linije loma (sile i momenti) usvaja se da samo moment savijanja vrši rad duž linije loma. To se može napisati kao: Ed mnn d ds S obzirom da se linija loma definiše na preseku dva dela ploče ugao Δφd je konstantan. Sa definisanim materijalom i graničnim plastičnim momentom mp važi: mnn mp ако је d 0 mnn mp
ако је
d 0
gde je moment definisan kao pozitivan ako je materijal u stanju pritiska (z < 0). Na osnovu toga, izraz za ukupan rad unutrašnjih sila postaje:
Ed mp |d|ls gde je mp plastični moment, Δφd ugao nagiba između delova ploče i ls je dužina linije loma.
- 13 -
3.1.2.1 UKLJEŠTENA PLOČA – JEDNAKOPODELJENO OPTEREĆENJE
Sledeći primer obuhvata pravougaonu ploču uklještenu po svim ivicama i opterećenu sa konstantnim jednakopodeljenim opterećenjem λq. Pretpostavljeni oblik linija loma je prikazan na narednoj slici.Pored linija loma kroz ploču prisutne su i linije loma duž uklještenih ivica gde je prisutan negativan moment tečenja.
Slika 12. Oblik linija loma za uklještenu ploču
Deo ploče ABEF je podeljen na dva trougla. Ugib tačaka E i F je w. Površine pojedinih delova ploče i pomeranje težišta je predstavljeno u tabeli. Deo ploče
Površina
Pomeranje težišta
ABE
1/4 ab
1/3 w
EFB
1/4 a(b-a)
2/3 w
BDF
1/4 a2
1/3 w |y |
Linija loma
lx
ly
|x|
AB
b
0
2w/a
0
AC
0
A
0
2w/a
FE
b-a
0
4w/a
0
AE
1/2 a
1/2 a
2w/a
2w/a
Dobijamo vrednost rada spoljašnjih i unutrašnjih sila: W=
1 2
1
· 𝜆 · 𝑞 · 𝑎 ·(b- · 𝑎) · 𝑤 3
𝑏
Ed = 8·mp·( + 1) · 𝑤 𝑎
Pa je faktor opterećenja:
λ=
16·𝑚𝑝 𝑞·𝑎2
·
(𝛽+1 1 ) 𝛽− 3
- 14 -
3.1.2.1 Primer uklještena ploča,dimenzionisane po teoriji elastičnosti
ly = 6,00 m lx = 3,00 m
ly/lx = 2,00 => krstasto
armirana ploča (nosiva u oba
pravca)
qu =40kN/m2 ; MB30 => fb = 2,05kN/cm2 ; RA400/500 => σv = 40kN/cm2 Q = 40·6·3 = 720 kN Mx = 0,021·Q = 0,021·720 = 15,12 kNm/m’ My = 0,006·Q = 0,006·720 = 4,32 kNm/m’ Mox = -0,042·Q = - 0,042·720 = -30,24 kNm/m’ Moy = -0,029·Q = -0,029·720 = -20,88 kNm/m’ Dimenzionisanje:
( Polje)
dpl. = 20cm ; a0 = 2cm => hst = 18cm
Mx = 15,12 kNm/m’ k=
ℎ 𝑀𝑥 √𝑏·𝑓𝑏
Aa =
2,427 100
=
18 15,12·100 √ 100·2,05
· 100 · 18 ·
= 6,628 2,05 40
µ= 2,427%
= 2,24cm2/m’
Aa,min. = 0,1% ·b·d = 0,1/100 ·100·20 = 2,0cm2/m’ Usvojeno : Aa = 2,24cm2/m’
RØ8/15cm
-------------------------------------------------------------------------------------------
dpl. = 20cm ; a0 = 2cm => hst = 18cm
My = 4,32 kNm/m’ ℎ
k=
𝑀𝑥
=
18 4,32·100
√𝑏·𝑓𝑏
√100·2,05
0,718
· 100 · 18 ·
Aa =
100
= 12,4 2,05 40
µ= 0,718%
= 0,66cm2/m’
Aa,min. = 0,1% ·b·d = 0,1/100 ·100·20 = 2,0cm2/m’ Usvojeno : Aa,min = 2,00cm2/m’
RØ8/20cm
- 15 -
Dimenzionisanje:
( Oslonci)
dpl. = 20cm ; a0 = 2cm => hst = 18cm
Mox = -30,24 kNm/m’ ℎ
k=
𝑀𝑥
=
√𝑏·𝑓𝑏
Aa =
4,794 100
18 30,24·100
= 4,687
µ= 4,794%
√ 100·2,05
· 100 · 18 ·
2,05 40
= 4,42cm2/m’
Aa,min. = 0,1% ·b·d = 0,1/100 ·100·20 = 2,0cm2/m’ Aa,pod. = 0,2·Aa,potr. = 0,2·4,42 = 0,88cm2/m’ Aa,pod.min. = 0,1·b·d = 0,1·20 = 2,0cm2/m’ Usvojeno : Aa, = 4,42cm2/m’
RØ10/15cm
Aa,pod.min = 2,0cm2/m’
RØ8/20cm
-------------------------------------------------------------------------------------------
dpl. = 20cm ; a0 = 2cm => hst = 18cm
Moy = -20,88 kNm/m’ ℎ
k=
𝑀𝑥
√𝑏·𝑓𝑏
Aa =
3,312 100
=
18 20,88·100
= 5,64
µ= 3,312%
√ 100·2,05
· 100 · 18 ·
2,05 40
= 3,06cm2/m’
Aa,min. = 0,1% ·b·d = 0,1/100 ·100·20 = 2,0cm2/m’ Aa,pod. = 0,2·Aa,potr. = 0,2·3,06 = 0,61cm2/m’ Aa,pod.min. = 0,1·b·d = 0,1·20 = 2,0cm2/m’ Usvojeno : Aa, = 3,06cm2/m’
RØ10/20cm
Aa,pod.min = 2,0cm2/m’
RØ8/20cm
- 16 -
Ploča je u odeđenom preseku armirana sa RØ8/15cm ( 3,35cm2/m’) prema momentu savijanja
Mx = 15,12 kNm/m’.
Moment plastičnosti je: b/d =100/20cm; h=18cm ; Aa = 3,35cm2 MB30 => Fb = 20,5MPa ; RA400/500 => 3,35
µ=
100·18
= 0,19%
εa = σv/Eč Za = Aa·
= 400/210 000 = 1,905‰
σv = 3,35·40 = 134 kN
Iz uslova ravnoteže ΣN =0 => Za
εb0=2‰ ;
S=
(
ε𝑏 ε𝑏+ε𝑎
𝜀𝑏
𝜀𝑏0
=>
-
σv= 400MPa
ψ·S-µ·
;
𝜀𝑏2 3𝜀𝑏0
ψ= 2 )·
ε𝑏 ε𝑏+ε𝑎
-
εb<2‰ ;
σv =0 fb 𝜀𝑏 𝜀𝑏0
0,19 100
·
𝜀𝑏2 3𝜀𝑏02 40
2,05
;
η=
1 𝜓
·(
𝜀𝑏 3𝜀𝑏0
-
𝜀𝑏2 12𝜀𝑏02
)
=0
εb = 0,432‰
Zamenom u
S,ψ i η dobijamo:
S=0,185 ; Ψ =0,200 ; η=0,341 Iz uslova ΣM =0 => Mp = b·h2· fb·(ψ·S·(1-S·η)) = 2302,51kNcm=23,03kNm - Lom konstrukcije! Mp/c = 23,03/1,5 = 15,35kNm
c – faktor sigurnosti.
Odnos momenata je: Mel/Mpl. = 15,12/15,35=0,985
- 17 -
Literatura
Betonske konstrukcije u zgradarstvu (prema evrokodu) , Zoran Brujić Armirani beton knjiga 3 , Beograd 1988. , dr Živorad Radosavljević , dr Dejan Bajić Određivanje gornje i donje granice opterećenja pravougaonih i kružnih ploča , Beograd 2014, autor: Saša D. Kovačević ; predmetni profesor: dr Dragoslav Šumarac PLASTICITY Ct 4150 - The plastic behaviour and the calculation of plates subjected to bending , Technical University Delft Faculty of Civil Engineering and Geosciences , Mart 2003, Prof. ir. A.C.W.M. Vrouwenvelder , Prof. ir. J. Witteveen Structural Analysis III, 2010/11 , Dr. Colin Caprani
- 18 -
