TEORIJA PLASTIČNOSTI ‐ TLO TLO Prof.dr.sc.N.Grubić Doktorski- NMG
UVODNE NAPOMENE •
•
•
•
Teorija elastičnosti i plastičnosti su dio mehanike kontinuuma. Zapisi se obično prikazuju u tenzorskoj fomulaciji, bilo u Kartezijevom sustavu ili polarnim koordinatama Potrebno je Potrebno je podsjetiti se na vektorski i tenzorski račun Osnovni pojmovi: pomaci, deformacije,rel.def.
•
Nastavak osnovnih pojmova:kompatibilnost polja pomaka, naponi, simetričnost tenzora napona, glavni naponi, invarijante, devijator napona, sferni napon, Mohr‐ov krug , rubni problem, virtualni rad,
Mohr‐ov krug
Linearna elastičnost •
Generalizirani Hook‐ov zakon
•
Što se može zapisati u matričnom obliku:
•
•
•
Energetski principi Totalna potencijalna energija: Π = Πint + Πekst Princip virtualnog rada: ‐ elastično tijelo je tijelo je u ravnoteži onda i samo onda, kada je kada je ∂Π = 0 Što znači da u stanju ravnoteže polje pomaka čini totalnu potencijalnu energiju stacionarnom za virtualne pomake. Princip minimalne potencijalne energije kaže da za stanje ravnoteže, koja je koja je stabilna, totalna potencijalna energija mora biti minimalna.
Tečenje •
•
Kada prekoračimo granicu elastičnosti nastupa tečenje. Kada elastično područ je u naponskom prostoru formira jednu formira jednu zonu, granica koja odvaja elastično područ je od ostatke naziva se površina tečenja.
Plastična deformacija •
Plastična deformacija je deformacija je nepovratni proces – proces – Hook‐ov zakon više ne vrijedi.
elastična i plastična deformaacija pri zatezanju
•
•
Stvarna naponsko defromaciona krivulja za duktilne materijale Hookov zakon vrijedi do točke σ0 koju nazivamo točkom tečenja. Iza toga materijal se deformira plastično.
•
Naponsko deformaciona krivulja sa rasterećenjem
•
•
•
•
Idealizirane krivulje tečenja: Kruti idealno plastičan materijal Perfektno plastičan materijal sa elastičnom zonom Očvršćenje deformacijom (strain‐hardening)
Ne‐elastičnost •
Ne‐elastična deformacija vraća se na nulu na kraju ciklusa
Neki tipični materijali
Duktilni metali ‐ zatezanje
Duktilno željezo – željezo – zate zatezan zanje je i kompresija
Beton i stijena – stijena – kompresija ompresija (jednoosna)
Vapnenac – Vapnenac – triaksialna kompresija
Tlo – Tlo – triaksialna kompresija
Plastičnost •
• •
•
Riječ plastičnost dolazi od staro‐grčke riječi koja znači ¨oblikovati¨ Tipičan materijal je materijal je glina Generalno je Generalno je primjećeno da velike deformacije koje nastaju kod plastičnog oblikovanja praktično ne izazivaju promjenu volumena. Stoga su plastične deformacije uglavnom distorzione (znači najveći dio rada obavi devijator).
Plastični potencijal •
Ako Ak o definiramo da postoji plastični potencijal :
•
Tada je Tada je jednadžba jednadžba tečenja
•
•
Ako postoji funkcija g(σ,T,ξ), kontinuirano Ako diferencijabilna u odnosu na σ gdjegod je gdjegod je f(σ,T,ξ)>0, tako da je da je Tada se g naziva plastičnim potencijalom.
Površina tečenja •
•
•
Neka ξ označava ava područ je internih varijabli (teorija visko‐plastičnosti) onda postoji kontinuirana funkcija f(σ, T, ξ) takva da postoji regija u prostoru naponskih komponenti za dane vrijednosti (T, (T, ξ) za koju vrijedi: f(σ, T, ξ)<0 U toj zoni plastični vektor relativne deformacije nestaje – nestaje – elastična zona. Izvan te zone plastični vektor relativne deformacije postoji. Kada je Kada je f(σ, T, ξ)=0 – to je to je površina tečenja
•
•
Slučaj kada je kada je je je f(σ, T, ξ)>0 označava ava očvršćavanje materijala. To se može shvatiti da zamislimo napon σ, koji je koji je izvan površine tečenja ali blizu nje. Očvršćavanje i omekšavanje u viskoplastičnosti je prikazano na idućem slide‐u.
Jednoosno naponsko stanje •
•
•
Viskoplastičnost Očvršćavanje i omekšavanje Točke na statičkoj krivulji su ustvari površina tečenja
•
•
Drugačije rečeno puzanje prema granici tečenja znači očvršćavanje, tj. f opada f opada od pozitivne vrijednosti prema nuli.
Gdje je Gdje je po definiciji
•
Stoga se može reći: H > 0 …………. Očvršćenje materijala H < 0 ……………. Omekšanje materijal H = 0 .............. Je granični slučaj kada f ne f ne ovisi od ξα pa opisuje perfektno plastični materijal
•
Plastična deformacija
•
Gdje je Gdje je ε ukupna relativna deformacija.
Pravilo tečenja •
•
Ako kažemo da je Ako da je tečenje materijala beskonačno sporo, drugim riječima plastično, možemo zapisati:
Kad vrijedi ova ova jednadžba radi se o inkrementalnoj ili tečenju teorije plastičnosti.
Opći slučaj očvrš vršćavanja •
Konzekventno izrazima za H, može se pokazati da u naponskom prostoru pri porastu za Δt, može doći do pomicanja površine tečenja (bilo očvršćavanjem ili omekšavanjem)
Drucker‐ov postulat
•
Očvršćavajući materijal (Drucker naziva stabilnim plastičnim materijalom) Perfektno plastičan materijal
•
Omekšavajući materijal
•
•
•
•
•
Drucker‐ov postulat implicira, da je: da je:
Gdje je Gdje je početno stanje napona koje može biti i u elastičnom područ ju. Ovo se naziva postulatom maksimalne plastične disipacije. Ovaj postulat ima veliku važnost u teoriji plastičnosti
Postulat maksimuma plastične disipacije i normalnost •
Razmotrimo li glatku površinu tečenja, ako ako prethodna nejednadžba vrijedi za sve početne napone σ* sa unutrašnje strane tangente, slijedi da plastični vektor mora biti okomit (normalan) na tangentu.
•
Ako imamo neki početni Ako napon koji se nalazi sa vanjske strane tangente, nejednadžba je nejednadžba je narušena, pa slijedi da cijela elastična regija mora biti s jedne strane da je tangente odnosno da je površina tečenja konveksna.
•
Slučaj kada površina tečenja ima jednu ima jednu ili više singularnih točaka (uglovi), plastični vektor relativne deformacije mora se nalaziti unutar “konusa”.
Okomitost ‐ Normalnost •
•
Ako u svakoj točci glatke površine tečenja Ako f(σ,ξ)=0 , prema vani okrenuti normalni vektor je proporcionalan gradientu od f (u f (u naponskom prostoru), možemo izraziti pravilo normalnosti (okomitosti) kao:
Gdje je Gdje je hij tenzor koji se pojavljuje u jednadžbi tečenja (vidi ranije).
•
Prethodna jednadžba Prethodna jednadžba znači da je da je funkcija tečenja f (definira f (definira površinu tečenja) i sama plastični potencijal . Odavde slijedi da je da je
•
pravilo okomitosti možemo zvati pravilom okomitosti koje je koje je pridruženo kriteriju tečenja, ili skraćeno asocijativno pravilo tečenja. Pravilo tečenja izvedeno iz plastičnog potencijala g koji je koji je različit od f odnosno: f odnosno: ∂g ∂ σ ij
•
≠
∂ f ∂ σ ij
Nazivamo nepridruženim ili neasocijativnim pravilom tečenja.
Plastičnost u prostoru relativnih deformacija •
•
•
Kriterij tečenja i pravilo tečenja Svee što smo razmatrali za naponski prostor Sv može se adekvatno razmotriti i za prostor relativnih deformacija ε. U prostoru deformacija površine tečenja imaju isti karakter bilo da se radi o radno‐ očvršćavajućem modelu ili radno‐ omekšavajućem.
Materijal sa linearnim očvršćavanjem •
•
Dijagram napon – napon – deformacija Kinematičko očvršćavanje ako ako je E’ >0, dok je dok je za E’ =0 materijal perfektno plastičan.
Dijagram ε ‐ εp
Pojednostavljenja ‐ prelaz ka ponašanju tla ‐
Plastično Plastič – manje kruto
τ
τ
elas el asti ticc - st stif iff f
σm
Klasično el elas asto to – pl plas asti tično modeliranje tla
γ
napon teč tečenje
Klasična identifikacija tečenja iz naponsko deformacionog odnosa
Tipič Tipični odgovor materijala
e deformacija
Geometrijska konstrukcija za određivanje napona prethodne konsolidacije
Napon prekonsolidacije
Log od vert. napona
Tipična opservacija iz eksperimenata: Krutost pada kontinuirano sa povećenjem deformacije: deformacije:
limit elastičnog odgovora??
