1. Uvod Uvod
1.
1
Uvo d
1.1.
Zada´ ce ce proraˇ pr oraˇ cuna cuna konstru kon strukcije kcije
Proraˇcun cun konstrukcije dokaz je nosivosti i uporabljivosti konstrukcije po d djelovanjem djelovanjem propisanog propisanog optere´ optere´cenja cenja tijekom tijekom vremena trajanja konstrukc konstrukcije. ije. Postupak Postupak projektiranja, odredivanja i dimenzioniranja konstrukcije zapravo je izbor proraˇcunskog cunskog modela koji ´ce ce najvjerodosto najvje rodosto jnije opisati stvarno ponaˇsanje sanje konstrukcije pod propisanim optere´cenjem, cenjem, ali vode´ vod e´ci ci raˇcuna cun a o optima opt imalno lno j sloˇzenost zen ostii model mo dela, a, mogu´ mog u´cnosti cno stima ma proraˇ pro raˇcuna cun a i isplat isp lativos ivosti ti izvedbe pojedinih dijelova konstrukcije. Ubrzan Ubrza n razvoj razvo j raˇcunalnih cunal nih programa progr ama daje da je mogu´cnost cnost proraˇcuna cuna i stvarnih s tvarnih nelinearnih neline arnih utjecaja na konstruk konstrukcije. cije. Rezultat takvih nelinearnih nelinearnih proraˇ proraˇcuna cuna su optimalnije optimalnije projektirane i dimenzionirane konstrukcije. Uporaba suvremenih raˇcunalnih cunalnih programa prog rama mijenja i zada´cu cu inˇzenjera zenj era u projekti pro jektiranju ranju.. Raˇcunalo cunal o provodi provod i velike koliˇcine cine proraˇ pror aˇcunskih cunsk ih numeriˇckih ckih operacij ope racija. a. Inˇzenjer zenje r mora mo´ci ci prepoznat prep oznati, i, ali i razvrstati razvr stati po vaˇ znosti, znost i, mogu´ce ce probleme probl eme i definirati defin irati jednoznaˇ jedn oznaˇcno cno rjeˇsiv siv proraˇ pror aˇcunski cunsk i model mod el konstrukcije. konstru kcije. Inˇzenjer, zenj er, pri izboru izb oru optimalnog optima lnog proraˇ pror aˇcunskog cunskog modela, mod ela, mora znati i mogu´ m ogu´cnosti cnosti raˇcunalnog cunal nog programa prog rama koji mu sluˇ zi zi za proraˇ cun cun konstrukci konstrukcije. je. Neophodna je i konaˇ konaˇcna cna kontrola kontrola rezultata rezultata raˇ raˇcuna cu naln lnog og pror pr oraˇ aˇcuna cu na.. Nekr Ne krit itiˇ iˇcko cko koriˇ ko riˇsten st enje je raˇ ra ˇcuna cu naln lnih ih prog pr ogra rama ma na jˇceˇ ceˇs´ci ci je uzro uz rok k pog p ogreˇ reˇsnih sn ih proraˇ pro raˇcuna cun a konstr kon strukci ukcije. je.
1.2.
Idealizacija linearne statike statike ˇ stapnih stapnih konstrukcija konstrukcija
U dosadaˇ dosad aˇsnjim snjim proraˇ pror aˇcunima cunima konstrukcije konstru kcije pretpos pret postavljali tavljali smo linearno linear no pon ponaˇ aˇsanje sanje konstrukti struktivni vnih h elemena elemenata. ta. To je podrazumij podrazumijev evalo alo da su pomaci, pomaci, un unutar utarnje nje sile i reakcij reakcijee proporcionalni proporciona lni optere´cenju cenju konstrukcije. Tijekom provedbe pr ovedbe proraˇ p roraˇcuna cuna vrijedio je i princip superp sup erpozici ozicije, je, ˇsto sto nam je dozvoljav dozvolj avalo alo da konaˇcno cno stanje stanj e konstrukcije konstr ukcije moˇzemo zemo dobiti dobit i zbrajanjem utjecaja na konstrukc konstrukciju iju razdvojenih razdvojenih djelov djelovanja. Takav akav pristup proraˇ proraˇcunu cunu cun cun konstrukcije konstr ukcije po Teoriji Teoriji I. reda reda ili Linearni Lin earni proraˇ cun cun konkon konstrukcije zovemo Proraˇ strukcije . Osnovne pretpostavke pre tpostavke takvog t akvog pristupa proraˇcunu cunu konstrukcija su sto povlaˇci ci da nam je dozvoljeno definirati • pomaci konstrukcije dovoljno su mali ˇsto
uvjete ravnoteˇ ravnoteˇze ze na nedeformiranoj nedeformiranoj konstrukc konstrukciji, iji, zbog toga smijemo smijemo pretpostaviti pretpostaviti da sva optere´ opte re´cenja cenja na konstrukciju ne mijenjaju mijenja ju toˇcke cke i pravac pravac djelovanja djelovanja na konstrukciju,
cno ponaˇsanje sanje materijala konstrukcije (Hooke-ov zakon), po• vrijedi linearno-elastiˇcno
maci i unutarnje sile med-usobno su u linearnoj linearno j vezi, ponaˇsanje sanje materijala tijekom djelovanja optere´ opter e´cenja cenja na konstrukciju konstru kciju ne izlazi iz lazi iz linearn li nearnog og podruˇ po druˇcja, cja,
cni presjeci konstruktivn konstruktivnih ih elemenata elemenata ostaju u ravnini ravnini (okomiti (okomiti na tangentu tangentu • popreˇcni na deform def ormira iranu nu teˇziˇ ziˇsnu snu os) i nakon nako n djelovanj dje lovanjaa optere´ opt ere´cenja. cen ja.
Ako ukinemo prvu pretpostavku, pomaci konstrukcije dovoljno su mali , tada slijedi geometrijski nelinearno pon ponaˇ aˇsanje sanje konstrukcije. konstru kcije. Jednadˇ Jedna dˇzbe zbe ravnoteˇ ravnot eˇze ze postavljam po stavljamoo na deformiranoj formiranoj konstrukci konstrukciji. ji. Ako ukinemo ukinemo drugu pretpostavku, pretpostavku, linear li nearno no-e -ela last stiˇ iˇcno cno ponaˇsanj sa nje e materijala , slijedi materijalno ili fizikalno nelinearno ponaˇ po naˇsanje san je konstr kon strukci ukcije. je. Kod proraˇcuna cuna ˇstapnih stapnih elemenata konstrukcije po linearnoj linearno j teoriji pretpostavljamo osnovne idealizacije
2
1. Uvod Uvod
can materijal, • homogen, izotropan, linearno elastiˇcan linijsk i nosaˇc kojem koj em je teˇziˇ ziˇsna sna os referentna refe rentna linija okomita na ravnine pop popreˇ reˇcnih cnih • linijski presjeka u svakoj svakoj toˇcki cki i kod kojih su dimenzije popreˇcnog cnog presjeka (B, (B, H ) znatno manje u odnosu na duljinu ˇstapa stapa L, B, H ≤ 0, 2L, cnu izvedbu konstrukcije, bez poˇcetnih cetnih imperfekcija i • pretpostavljamo potpuno toˇcnu naprezanja,
zbe ravnoteˇze ze postavljamo na nedeformiranom • jednadˇzbe
sustavu, na konstrukciji u
zadanom zadan om poloˇ pol oˇzaju za ju prije djelovanja optere´ opte re´cenja, cenja ,
defor macije konstrukcije pod po d djelovanjem optere´ opter e´cenja. cenja. • pretpostavljamo male pomake i deformacije Takve pretpostavke pretpost avke za ve´ cinu cinu konstrukcija bit ´ce ce potpuno opravdane. Nije potrebno potrebn o svaku konstrukciju promatrati pr omatrati kao nelinearnu zada´cu cu Ako su ispunjeni prikazani uvjeti, rjeˇ rjeˇsenja senja dobivena dobivena linearnom linearnom teorijom u potpunosti su korektna korektna i prihv prihvatljiva. atljiva. Kod konstrukcija koje nisu obuhva´ obuhva´cene cene prethodnim pretpostavkama linearna teorija ne´ce ce rezultirati tirat i prihvatljivim p rihvatljivim rjeˇsenjima. senjim a. Jednadˇ Jedna dˇzbe zbe ravnoteˇze ze na takvim takvi m konstrukcij kons trukcijama ama treba treb a ju zapravo zapravo biti ispunjene na deformiranoj deformiranoj konstrukc konstrukciji. iji. Ponaˇ Ponaˇsanje sanje materijala kod takvih konstrukcija treba ustanoviti eksperimentalno.
1.3. 1.3.1.
Linearna teorija ravnog ˇstapa stapa Osnovne Osnovne pretposta pretpostavke vke linearne linearne teorije teorije
Kod proraˇcuna cuna konstrukcije po linearnoj linearno j teoriji teo riji uveli smo bitnu idealizaciju stvarnog ponaˇsanja sanja konstrukcije. Pretpostavili Pretpost avili smo da je materijal konstrukcije homogen, izotropan i linearno elastiˇcan, can, da su pomaci konstrukcije dovoljno mali zbog ˇcega cega moˇzemo zemo uvjete ravnoteˇ ravnot eˇze ze definirat defi niratii na nedeform ned eformirano irano j konstrukciji, konstr ukciji, zanema z anemarili rili smo poˇcetne cetn e imperfekcij imp erfekcijee i naprezanja nastala tijekom tije kom izvedbe konstrukcije. Kod ˇstapnih stapnih konstrukcija dodatno do datno pretpr etpostavljamo da je popreˇcni cni presjek bitno manji u odnosu na duljinu ˇstapa stapa (h/L 0, 2) i da je teˇziˇ ziˇsna sna os okomita na ravninu pop popreˇ reˇcnog cnog presjeka. pres jeka. Takve pretpos pret postavke tavke omogu´cile cile su nam reduciran redu ciranje je ˇstapa stapa kao tro t rodimenz dimenzionaln ionalnog og kontinuuma na teˇziˇ ziˇsnu snu os (jednod (jed nodimenimenzionalni model) u proraˇcunskom cunskom modelu.
≤
1.3.2. 1.3 .2.
Jednadˇ Jedn adˇ zb e ravnoteˇ zbe ravno teˇ ze ze na n a nedefo ned eformir rmiranom anom ˇstapu sta pu
Promatramo izdvojeni dio ˇstapa stapa duljine dx s pripa pr ipadni dnim m opter op tere´ e´cenjim cen jimaa u smjeru smj eru uzduˇ uzd uˇzne zne osi os i ˇstap st apaa n(x) i okomito na os ˇstapa q (x), (slika 1.1). Iz osnovnih jednadˇ jedna dˇzbi zbi ravnoteˇze ze q (x) n(x) M + dM
M T
N + dN
N x
dx
T + dT
z
Slika 1.1: Izdvojeni dio konstrukcije
3
1. Uvod Uvod
(zbroj sila u smjeru tri koordinatne osi) slijede diferencijalni odnosi dN ( dN (x) dT ( dT (x) dM ( dM (x) = n(x) , = q (x) , = T ( T (x) . dx dx dx Iz zadnja zad nja dv d va odnosa o dnosa jasno slijedi diferencijalna difere ncijalna veza optere´cenja cenja i momenta
−
d2 M ( M (x) = dx2
1.3.3. 1.3.3.
−
(1.3.1)
−q (x) .
(1.3.2)
Pomac Pomacii konst konstruk rukcij cije e
Kod ˇstapnih stapnih modela, svaka svaka toˇcka cka konstrukcije ima dva stupnja stu pnja slobode, slobod e, dva pomaka p omaka u(x, z ) i w(x, z ) u smjeru koordinatnih osi x i z . U proraˇ pr oraˇcunskom cunskom modelu mo delu promatramo teˇziˇ ziˇsnu snu os. os . Svako j toˇcki ck i teˇziˇ ziˇsne sn e osi os i prid pr idruˇ ruˇzimo zi mo prip pr ipad adni ni p opreˇ op reˇcni cn i pres pr esje jek k ˇcija ci ja je ravni rav nina na okomita okom ita na teˇziˇ ziˇsnu snu os u toj to j toˇcki cki teˇziˇ ziˇsne sne osi ˇstapa. sta pa. Prema Pre ma Bernou Ber noullij llijevo evojj hipote hip otezi zi ravnih ravn ih popreˇcnih cnih presjeka, popreˇcni cni presjek ostaje osta je u ravnini nakon deformacije, u ravnini okomitoj to j na deformiranu defor miranu teˇziˇ ziˇsnu snu os (okomito (okomit o j na tangentu tange ntu na deformiranu defor miranu teˇziˇ ziˇsnu snu os) u svakoj toˇcki cki ˇstapa, stap a, (slika 1.2). To znaˇci ci da je zaokret zaokr et presjeka, presj eka, β (x, z ), ), konstantan konstant an za sve toˇcke cke po visini pop popreˇ reˇcnog cnog presjeka pres jeka (zaokre (z aokrett popreˇ p opreˇcnog cnog presjeka presj eka ne ovisi o z koordinati po visini popreˇ pop reˇcnog cnog presjeka presj eka nego neg o samo s amo o x poloˇ po loˇzaju za ju na teˇzisno zis nojj osi), osi) , β (x, z ) = β (x) .
(1.3.3)
Zbog pretpostavke malih pomaka, pomak okomito na os svake svake toˇcke cke po p o visini popreˇcnog cnog
x z w(x)
β (x)
w (x) ′
u(x)
Slika Sl ika 1.2: 1. 2: Pomac Pom acii teˇziˇ ziˇsne sn e osi os i ˇstap st apaa presjeka je jednak (zanemarujemo razliku popreˇcnog cnog pomaka zbog zaokreta popreˇcnog cnog presjeka), w(x, z ) = w(x) . (1.3.4) Uzduˇzni zni pomak po mak toˇcaka caka po visini popreˇ po preˇcnog cnog presjeka presj eka oˇcito cito ovisi i o zaokretu zaokr etu pop popreˇ reˇcnog cnog presjeka presj eka (toˇ ( toˇcke cke udaljenije udalj enije od teˇzisne zisne osi u smjeru smjer u z popri po prime me propo pro porci rciona onalno lno ve´ci ci uzduˇ uzd uˇzni zni poma po mak k od zaok za okre reta ta teˇziˇ ziˇsne sn e osi os i ˇstap st apa) a),, u(x, z ) = u(x) + zβ ( zβ (x) .
(1.3.5)
Pretpos Pret postavka tavka da je ravnina pop popreˇ reˇcnog cnog presjeka pres jeka okomita o komita na teˇziˇ ziˇsnu snu os i nakon deformacije defor macije zapravo je zanemarivanje utjecaja utjeca ja posmiˇcne cne deformacije, a rezultira ˇcinjenicom cinjenicom da je kut zaokreta tada jednak derivaciji pomaka okomitog na konstrukciju β (x) =
= −w (x) , − dw dx ′
(1.3.6)
4
1. Uvod Uvod
ˇsto sto povlaˇ pov laˇci ci izraz izr az za uzduˇ uzd uˇzni zni pomak po mak po visini vis ini popreˇ po preˇcnog cno g presje pre sjeka ka u(x, z ) = u(x)
1.3.4. 1.3.4.
′
− zw (x) .
(1.3.7)
Veza pomak pomaka i defo deforma rmacija cija
Uzduˇ Uzd uˇzna zna deform def ormaci acija ja ˇstapa sta pa ǫ(x) deformacija defor macija je teˇziˇ ziˇsne sne osi ˇstapa. stapa . Odnos uzduˇzne zne deformacije i uzduˇznog znog pomaka slijedi smanjenjem duljine izdvojenog dijela ˇstapa stapa duljine dx (dx 0). u(x + dx) dx) u(x) du( du(x) = = u′ (x) . (1.3.8) ǫ(x) = lim dx→0 dx dx Ako uzmemo prethodno definirani definirani izraz za pomak po visini visini popreˇcnog cnog presjeka, presjeka, (1.3.5), slijedi slijed i izraz iz raz za uzduˇ u zduˇznu znu deform d eformaciju aciju po visini pop popreˇ reˇcnog cnog presjeka presj eka
→
−
∂u( ∂u (x, z ) du( du(x) ǫ(x, z ) = = ∂x dx
−
dw′ (x) z = u′ (x) dx
′′
− zw (x) .
(1.3.9)
Deformacije okomite na n a os ˇstapa stapa ne uzimamo u obzir. Posmiˇ cna cna deformacija u ravnini xz , γ xz zb og Bernoullij Ber noullijeve eve hipotez hip otezee ravnih pop popreˇ reˇcnih cnih presje p resjeka ka jednaka je nuli. Jednadˇ Jedna dˇzbe zbe xz , zbog (1.3.4 (1. 3.4), ), (1.3.7 (1. 3.7)) i (1.3.9 (1. 3.9)) izraˇ izr aˇzavaju zava ju sve veliˇcine cin e pomaka po maka teˇziˇ ziˇsne sne osi ˇstapa. sta pa.
1.3.5. 1.3.5 .
Zakon ponaˇsanja sanja (konstitucije) (konstit ucije) - elastiˇ elas tiˇ cni cni model mo del
Uvjeti kompatibilnosti odnose se na polje deformacija ǫ, a uvjeti ravnoteˇze ze na polje naprezanja σ . Oˇcito cito posto p osto ji veza izmed iz medu naprezanja i deformacija. Veza izmedu naprezanja i deformacija deformacija ovisi ovisi o mehaniˇ mehaniˇckim ckim svojstvima svojstvima materijala materijala utemeljenim utemeljenim na silama silama izmed-u elementarnih elementarnih ˇcestica. cestica. Najjednostavniji Najjednostavniji model veze izmed-u naprezanja i deformacija je linearno linea rno elastiˇ elast iˇcan can model mod el - Hookeov zakon . Prema Hookeovom zakonu naprezanja su proporcionalna deformacijama deformacijama (1.3.10) σ = Cǫ , gdje je C matrica materijalnih konstanti
C=
E 2 (1 + ν )
2(1−ν ) 1−2ν 2ν 1−2ν 2ν 1−2ν
0 0 0
2ν 1−2ν 2(1−ν ) 1−2ν 2ν 1−2ν
0 0 0
2ν 1−2ν 2ν 1−2ν 2(1−ν ) 1−2ν
0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
,
(1.3.11)
pri ˇcemu em u je j e E mo E modul dul elastiˇ ela stiˇcnosti cno sti,, a ν Poissonov ν Poissonov koeficijent. Za ravninsko stanje naprezanja matrica proporcionalnosti glasi
1 ν E ν 1 C= 2 (1 + ν ) 0 0
0 0
.
(1.3.12)
1+ν 1+ν 2
Za jednoosno stanje naprezanja, umjesto matrice C imamo konstantu konstantu proporcionalnosti, proporcionalnosti, modul elastiˇcnosti cnost i materijala mater ijala E σ = Eǫ . (1.3.13)
5
1. Uvod Uvod
Za potrebu uzimanja uzimanja toˇcnog cnog odnosa deformacija deformacija i pomaka pomaka definirat ´cemo cemo nekoliko nekoliko razliˇcitih citih mjera deformacije. Uz oznake, L za duljinu nedeformiranog dijela konstrukcije i ∆L za promjenu duljine deformiranog dijela konstrukcije, definiramo inˇzenjersku zenjersku mjeru deformacije, ǫI ∆L ǫI = , (1.3.14) L logaritamsku mjeru deformacije, ǫL (potrebnu (potreb nu u teoriji plastiˇcnosti cnosti kod velikih deformacija) L + ∆L ∆L ǫL = ln = ln (1 + ǫI) (1.3.15) L i Greenovu mjeru deformacije, ǫG (potrebnu (potreb nu u nelinearnoj nelinearno j teoriji elastiˇcnosti) cnosti) 1 (L + ∆L ∆L)2 L2 1 = 2ǫI + ǫI2 . (1.3.16) 2 2 L 2 Primjena inˇzenjerske zenjerske mjere deformacije, uz linearnu vezu sila i pomaka, vodi na n a linearnu vezu vezu naprezan naprezanja ja i deformac deformacija ija (1.3.13). (1.3.13). Ostale Ostale mjere mjere deforma deformacij cijee daju nelinear nelinearnu nu vezu naprezanja i deformacija, ˇcija cija linearizacija opet vodi na linearni odnos o dnos (1.3.13). (1.3.13) . Odnos naprezanja i deformacija jednostavno moˇzemo zemo prikazati na n a primjeru vlaˇcno cno optere´ opter e´cenog ceno g ˇstapa, stapa , (slika 1.3). Intuitivno Intuiti vno je jasno da ve´ca ca sila K uzrokuje uzro kuje i ve´ci ci pomak pom ak
−
ǫG =
E, F K L ∆L
Slika Sl ika 1.3: 1. 3: Vlaˇ Vla ˇcno cn o opte op tere´ re´ceni ce ni ˇstap st ap ∆L, ali i da su pomak i sila proporcionalni, K = c∆L ,
(1.3.17)
gdje je c koeficijent koefic ijent proporcio prop orcionalno nalnosti. sti. Naprezanje Napre zanje u svakoj toˇcki cki po duljini duljin i ˇstapa stapa moˇzemo zemo izraziti K c∆L cL ∆L σ = = = F F F L cL = ǫI = Eǫ , (1.3.18) F pri pr i ˇcemu ce mu je j e vel veliˇ iˇcina ci na cL zapravo zapr avo modul mod ul elastiˇ ela stiˇcnosti, cnost i, deform d eformacija acija ǫ identifi ide ntificir cirana ana s inˇzenjer zen jerskom skom F deformacij defor macijom, om, a dobivena dobiven a jednadˇ jedna dˇzba zba (1.3.18) (1.3.1 8) iskazuje zakon elastiˇ elast iˇcnog cnog pon ponaˇ aˇsanja sanja matermate rijala.
1.3.6.
Veza unutar unutarnjih njih sila i naprezanj naprezanja, a, zakon zakon konstituc konstitucije ije za unutar unutarnje nje sile
Ako na izdvojenom izdvoje nom dijelu ˇstapa stapa duljine du ljine dx promatramo sva pripadna djelovanja (zadano vanjsko anjsko optere´ optere´cenje, cenje, unutarnje unutarnje sile i naprezanja) naprezanja) iz ravnoteˇ ravnoteˇze ze svih sila u smjeru x i ravnoteˇze ze momenata momen ata oko osi y slijedi odnos naprezanja i unutarnjih sila N =
F
σ (x, z )dF ,
M = =
F
zσ( zσ (x, z )dF .
(1.3.19)
6
1. Uvod
Na temelju prethodnih izraza (1.3.19), zakona elastiˇcnosti (1.3.13) i veze pomaka i deformacija (1.3.9), slijede zakoni konstitucije za unutarnje sile N =
−
σ(x, z )dF =
F
M =
Eǫ(x, z )dF =
F
zσ(x, z )dF =
F
=
F
Eu ′ (x)dF = EF u′ (x)
(1.3.20)
F
zEǫ(x, z )dF =
F
z 2 Ew ′′ (x)dF =
F
′′
−EI w (x) .
Ez (u′ (x)
′′
− zw (x)) dF (1.3.21)
ˇ na geometrija pomaka 2. Toc
2.
7
Toˇ cna geometrija pomaka
2.1.
Linearni i nelinearni odnosi
Najjednostavniji primjer za prikaz razlike stvarnih i lineariziranih pomaka je beskonaˇcno kruta elastiˇcno upeta konzolna greda optere´ cena koncentriranom ilom na slobodnom kraju, (slika 2.1), pri ˇcemu je cM koeficijent elastiˇcne upetosti leˇzaja. Postavljanjem a.) x, u z, w
b.) cM EI =
∞
K
c.) cM
cM ϕ
L
ϕ
L sin ϕ
K
L cos ϕ
δ
K
Lϕ
L
Slika 2.1: Beskonaˇcno kruta elastiˇcno upeta konzolna greda optere´cena koncentriranom silom na slobodnom kraju, a.) zadana konstrukcija, b.) nelinearni pomaci, c.) linearni pomaci jednadˇzbi ravnoteˇze na deformiranoj konstrukciji, slijede izrazi za moment u elastiˇcno upetom leˇzaju M = KL cos ϕ , (2.1.1) vezu kuta zaokreta i momenta u elastiˇcno upetom leˇzaju M = cM ϕ , M KL cos ϕ ϕ = = , cM cM
(2.1.2) (2.1.3)
vertikalni pomak slobodnog kraja wL = L sin ϕ = L sin
KL cos ϕ , cM
(2.1.4)
i horizontalni pomak slobodnog kraja uL =
−L (1 − cos ϕ) =
− − L 1
KL cos ϕ cos cM
.
(2.1.5)
Prijelaz s nelinearne teorije na linearnu teoriju moˇzemo prikazati razvojem trigonometrijskih funkcija u red u izrazima za moment na elastiˇcno upetom leˇzaju i vertikalni pomak slobodnog kraja ϕ2 ϕ4 M = KL cos ϕ = KL 1 + ... 2! 4! ϕ3 ϕ5 wL = L sin ϕ = L ϕ + ... . 3! 5!
−
−
−
−
,
(2.1.6) (2.1.7)
Uzimanjem u obzir samo linearnih ˇclanova jasno slijede linearne veliˇcine M = KL ,
wL = Lϕ =
KL . cM
(2.1.8)
Jednostavno u linearnoj teoriji slijedi da je horizontalni pomak svih toˇcaka jednak nuli.
ˇ na geometrija pomaka 2. Toc
8
2.2.
Odnosi pomaka i deformacija
Promatramo nedeformirani izdvojeni dio ˇstapa duljine dx u koordinatnom sustavu xz . Nakon djelovanja optere´cenja ˇstap dobije deformaciju, a promatrani dio ˇstapa poprimi duljinu dξ u koordinatnom sustavu (ξ, ζ ), (slika 2.2). Duljina teˇziˇsne osi ˇstapa nakon x, u z, w
x
dx w(x) u(x)
u(x + dx)
ϕ dw ϕ + dϕ ζ
dξ = Rdϕ
R
dϕ
Slika 2.2: Odnos nedeformiranog i deformiranog izdvojenog dijela ˇstapa deformiranja iznosi dξ . Uzduˇzna deformacija ˇstapa je dξ dx dξ = 1. dx dx Prema slici 2.2 i Pitagorinom pouˇcku slijedi oˇcita veza ǫ=
−
(dξ )2 = (dw)2 + [u(x + dx)
(2.2.9)
−
2
− u(x) + dx]
,
(2.2.10)
ˇ na geometrija pomaka 2. Toc
9
iz koje proizlazi relacija 2
2
dξ dx
dw dx
=
+
u(x + dx) dx
− u(x) + 1
2
,
(2.2.11)
i izraz za deformaciju
(1 + u′ )2 + w′2
ǫ=
−1.
(2.2.12)
U linearnoj teoriji duljinu teˇziˇsne osi aproksimiramo dξ = dx + u(x + dx) u(x) i zanemarujemo utjecaj od dw na promjenu duljine teˇziˇsne osi. Razvojem izraza za deformaciju, (2.2.12), u red slijedi ǫ =
(1 + u′ )2 + w′2
∞
=
n=0
1/2 n
−
−1=
√
1 + 2u′ + u′2 + w′2
2u′ + u′2 + w′2
1 = 1 + u′ + w′2 2 1 = u′ + w′2 . . . 2
−
1 ′ ′2 uw 2
n
−
−
−1
1
1 ′4 1 ′2 ′2 w + u w + ... 8 2
−
1
(2.2.13)
,
−
pri ˇcemu linearni dio izraza za deformaciju, (2.2.13), opet vodi na linearnu teoriju, (1.3.8) . Tangens kuta zaokreta u svakoj toˇcki nakon deformiranja izraˇcunamo pomo´cu izraza dw dx u(x+dx)−u(x) dx
dw tan ϕ = = u(x + dx) u(x) + dx
−
+
w′ = ′ , u +1
dx dx
(2.2.14)
a kut zaokreta u svakoj je toˇcki tada w′ ϕ = arctan . 1 + u′
(2.2.15)
Razvojem izraza za kut zaokreta, (2.2.15), u red slijedi
w′ = 1 + u′
−
1 3
∞
′
w 1+u
−
w′ ϕ = arctan = 1 + u′
( 1)n
n=0
w′ 1 + u′
2n+1
′
2n + 1
3
+ ...
.
(2.2.16)
Zakrivljenost deformirane linije, ρ, izraˇcunamo kao derivaciju kuta zaokreta ρ = ϕ′
′
w d arctan 1+u dϕ = = dx dx 1 w′′(1 + u′ ) w′ u′′ w′′(1 + u′ ) u′′w′ = = . 2 ′ )2 ′ )2 + w ′2 w (1 + u (1 + u 1 + 1+u
′
′
−
−
(2.2.17)
′
Uzimanjem u obzir samo linearnog ˇclana razvoja u red, (2.2.16), i pretpostavke o malim deformacijama u odnosu na duljinu ˇstapa (u′ << 1), slijede aproksimacije kuta zaokreta
ˇ na geometrija pomaka 2. Toc
10
i zakrivljenosti ϕ ρ
w′ w′ , ′ 1+u w′′ w′′ . ′ 1 + 2u
≈ ≈
(2.2.18)
≈ ≈
(2.2.19)
Proizvoljno vlakno paralelno teˇziˇsnoj osi na udaljenosti z , u deformiranom poloˇzaju nalazi se na udaljenosti ζ i duljine je (R ζ )dϕ. Deformaciju tog vlakna izraˇcunamo prema
−
− ζ ) dϕ − dx dx (R − ζ ) ϕ − 1 ǫ − ζϕ . (R
ǫζ =
′
= =
(2.2.20)
′
Na temelju prethodnih izraza moˇzemo izvesti i izraze za unutarnje sile N =
σdF = E
F
M =
−EIϕ = −
Eϕ ′
ζdF
F
ζdF
F
′
− −
(1 + u′ )2 + w′2
σzdF = Eǫ
F
=
ǫdF = EǫF
F
= EǫF = EF
′′
− Eϕ ′
1 ,
ζ 2 dF
′
F
w (1 + u ) u′′ w′ EI . (1 + u′ )2 + w′2
−
(2.2.21)
(2.2.22)
3. Nelinearno ponaˇ sanje materijala
3. 3.1.
11
Nelinearno ponaˇsanje materijala Op´ cenito
Kod elastiˇcnog materijala podudaraju se krivulje optere´cenja i rastere´cenja u dijagramu σ ǫ. Kod linearno elastiˇcnog materijala krivulja optere´cenja i rastere´cenja je pravac, (slika 3.1.a.), a kod nelinearnog elastiˇcnog materijala krivulja nije polinom prvog stupnja, (slika 3.1.b.).
−
σ
σ
a.)
b.) ǫ
ǫ
Slika 3.1: Elastiˇcno ponaˇsanje materijala, a.) linearno elastiˇcno, b.) nelinearno elastiˇcno
Kod neelastiˇcnih materijala ne posto ji jednoznaˇcna veza sile i pomaka. Ukupna deformacija sastoji se od elastiˇcnog i plastiˇcnog dijela. Kod rastere´cenja vra´ca se samo elastiˇcna deformacija. Jasno slijedi da se krivulje optere´cenja i rastere´cenja ne podudaraju. σ
σ
a.)
σ
b.)
c.)
ǫ
ǫ
ǫ
Slika 3.2: Neelastiˇcno ponaˇsanje materijala, a.) nelinearno elastoplastiˇcno, b.) linearno elastoplastiˇcno, c.)linearno elastiˇcno - idealno plastiˇcno
3.2.
Nelinearno elastiˇ cno ponaˇ sanje materijala
Ponaˇsanje nelinearno elastiˇcnog materijala moˇzemo objasniti na primjeru vlaˇcno optere´cenog ˇstapa, (slika 3.2.). E, F K L ∆L
Slika 3.3: Vlaˇcno optere´ceni ˇstap
3. Nelinearno ponaˇ sanje materijala
12
Odnos sile i pomaka jednoosno vlaˇcno optere´cenog ˇstapa od nelinearno elastiˇcnog materijala moˇzemo iskazati, uz u(L) = ∆L, K = a1∆L + a2∆L2 = a1u(L) + a2 u(L)2 .
(3.2.1)
Primjenom linearne teorije na daljnju analizu, moˇzemo uzeti izraz za deformaciju ∆L = u′ (L) . (3.2.2) L Nepoznate koeficijente a1 i a2 u izrazu 3.2.1 moˇzemo zamijeniti koeficijentima elastiˇcnosti i izraziti naprezanje ǫ=
K ∆L ∆L2 σ = = a1 + a2 F F F 2 L ∆L L ∆L2 = a1 + a2 F L F L2 = E 1 ǫ + E 2 ǫ2 = E 1 u′ + E 2 u′2 ,
(3.2.3)
pri ˇcemu su koeficijenti elastiˇcnosti E 1 i E 2 definirani izrazima a1 L a2 L 2 E 1 = , E 2 = . (3.2.4) F F Ako je sila K konstantna duˇz ˇstapa slijedi, kao i u linearnoj teoriji, da je derivacija pomaka duˇz ˇstapa konstantna, u′ (x) = const.. Odnos sile i pomaka slijedi ako izraz (3.2.3) prikaˇzemo kao jednadˇzbu po u′ u′2 +
E 1 ′ u E 2
− E σ
=0.
(3.2.5)
2
Rjeˇsenjem kvadratne jednadˇzbe slijedi u
′
= =
−
1 E 12 σ + 4 E 22 E 2
1 E 1 + 2 E 2
1 E 1 2 E 2
−1 +
1+4
σE 2 E 12
.
(3.2.6)
x + u0 ,
(3.2.7)
Nakon integriranja slijedi izraz za pomak u(x) =
1 E 1 2 E 2
−1 +
1+4
σE 2 E 12
gdje je u0 integracijska konstanta koja je zapravo jednaka zadanom poˇcetnom pomaku leˇzajne toˇcke, u0 = u(x = 0) = 0. Razvojem izraza (3.2.7) u red postaje oˇcita razlika u odnosu na linearnu teoriju
E 1 σE 2 u(x) = E 2 E 12
− σE 2 E 12
2 j −1
. . . + ( 1)
−
σE 2 E 12
j
... x .
(3.2.8)
Vidljivo je da uzimanjem u obzir samo linearnog ˇclana slijedi aproksimacija koja je u stvari prikaz linearnog ponaˇsanja materijala σ u(x) x. (3.2.9) E 1
≈
13
4. Geometrijska nelinearnost
4.
Geometrijska nelinearnost
4.1.
Podjela zada´ ca
Kod pojedinih praktiˇcnih zada´ca teorija I. reda nije dovoljna. Uzimanje u obzir svih nelinearnih utjecaja dovodi do teorije gotovo neprikladne za praktiˇcnu primjenu. Potrebno je istraˇziti koliki je nuˇ zan opseg nelinearnosti kod praktiˇcnih proraˇcuna konstrukcija. Nekoliko je osnovnih pitanja koje si inˇzenjer mora postaviti,
• nuˇznost toˇcne geometrije pomaka, • nuˇznost toˇcnog odnosa pomaka i deformacija, • potreba definiranja jednadˇzbi ravnoteˇze na deformiranoj konstrukciji. Za dobivanje odgovora na zadana pitanja moramo prethodno postaviti osnovne kriterije procjene.
4.2.
Elementi pod utjecajem savijanja
Promotrimo primjer konzolne grede duljine L, konstantnog popreˇcnog presjeka F , konstantnog momenta inercije I i modula elastiˇcnosti E , optere´cene koncentriranom silom na kraju grede, (slika 4.1). Prema linearno j teoriji za gredu proraˇcunamo funkciju momenta, K
E,I,F
x, u
L z, w
KL M
w(L) ′
w (L)
Slika 4.1: Konzolna greda optere´cena koncentriranom silom zaokreta i progiba M (x) = ϕ(x) =
−K (L − x) , Kx (2L − x) , − 2EI Kx (3L − x) . 6EI
(4.2.1) (4.2.2)
2
w(x) =
(4.2.3)
Oˇcito je ekstremna vrijednost momenta na leˇzaju M min = KL, a progiba i zaokreta na slobodnom kraju wmax = KL3 /3EI , ϕmax = KL2 /2EI . U praktiˇcnom proraˇcunu konstrukcije imamo za progibe i naprezanja eksplicitno definirane dopuˇstene gornje granice.
−
−
14
4. Geometrijska nelinearnost
Progib slobodnog kraja konzolne grede ograniˇcen je s odnosom wdop do ograniˇcenja M L2 L , 3EI 150 odnosno uz uvod-enje koeficijenta α
≤ L/150 ˇsto dovodi
≤
(4.2.4)
KL2 α= , EI
(4.2.5)
slijedi relacija α
≤ 50L .
(4.2.6)
Naprezanje grede ne smije prelaziti vrijednost granice razvlaˇcenja σF , zbog ˇcega, uz visinu popreˇcnog presjeka grede h, slijedi ograniˇcenje M max KL h = σF W I 2 2I 2I KL σF = Eǫ F h h L 2 ǫF . h
σmax =
≤ ⇒ ⇒
≤
KL2 EI
≤
U stvarnim konstrukcijama vrijedi L/h
−3
≈ 10 i ǫ ≤ 10 = α ≤ 2 · 10 . F
(4.2.7)
ˇsto dovodi do kriterija
KL2 −2 (4.2.8) EI Prema tome slijedi procjena reda veliˇcine svih parametara u zada´ci w KL2 /EI,ϕ, 10−2 , (4.2.9) L koja nam sluˇzi kao kriterij o potrebi uzimanja u proraˇcun toˇcne geometrije pomaka i toˇcnog odnosa deformacija i pomaka. Potrebu uzimanja toˇcne geometrije pomaka kod proraˇcuna konzolne grede prouˇcit ´cemo na primjeru apsolutno krute elastiˇcno upete konzolne grede. U tom sluˇcaju sve se zapravo svodi na pitanje moˇze li kruˇ zni luk pomaka slobodnog kraja biti zamijenjen tangentom, (slika 4.2). Iz slike 4.2 vidljivi su odnosi
≤
cM ϕ wr
w
ϕ/2
L u
Slika 4.2: Geometrija pomaka apsolutno krute elastiˇcno upete grede ϕ u tan = 2 w ϕ u sin = 2 wr wr sin ϕ L
≈
,
(4.2.10)
,
(4.2.11)
⇒
sin
ϕ 2
w . ≈ 2L r
(4.2.12)
15
4. Geometrijska nelinearnost
Zbog malog reda veliˇcine svih vrijednosti, (4.2.9), moˇzemo dodatno uvesti aproksimaciju sin ϕ tan ϕ ϕ, pa slijedi
≈
≈
wr
≈w ⇒
u w u L
w ≈ 2L ≤ 0, 5 · 10 ≈ 12 wL ≤ 0, 5 · 10
−2
2
−4
2
.
(4.2.13)
Takav pomak u smjeru osi grede moˇze imati razliˇcit utjecaj kad je sastavni dio sloˇzenije konstrukcije. Ako je to greda okvirnog nosaˇca, tada je horizontalni pomak vrhova stupova wh = u/2, slika 4.3. To povlaˇci odnos pomaka i visine stupa u/2
K
K
u/2
L 2L
Slika 4.3: Utjecaj na okvirnom nosaˇcu
wh 1u = L 2L
≤ 0, 25 · 10
−4
,
(4.2.14)
ˇsto je utjecaj reda veliˇcine 100 puta manji u odnosu na dopuˇsteni pomak, pa moˇze biti zanemaren. Neˇsto je drugaˇciji sluˇcaj zglobno nepomiˇcno oslonjene grede, 4.2.. Pomak je sprijeˇcen K
K
L u
Slika 4.4: Zglobno nepomiˇcno oslonjena greda nepomiˇcnim zglobnim leˇzajevima, pa slijedi deformacija nosaˇca ǫ=
u L
−4
≤ 0, 5 · 10 ≈ 0, 05ǫ
F
,
(4.2.15)
ˇsto je oko 5% deformacije kod dopuˇstenog naprezanja, pa je i pripadno naprezanje oko 5% dopuˇstenog naprezanja. Utjecaj na ponaˇsanje cijelog sustava nije znaˇcajan, ali u posebnim sluˇcajevima moˇze izazvati oˇste´cenja konstrukcije (npr. pukotine kod armiranobetonskih konstrukcija. Izvedbom konstrukcije s mogu´ cim pomakom barem jednog leˇzaja izbjegavamo dodatna naprezanja. Za potrebu uzimanja toˇcnog odnosa deformacija i pomaka ponovit ´cemo neka opaˇzanja u vezi mjere deformacija. Uz oznake, dx za duljinu nedeformiranog dijela konstrukcije i
16
4. Geometrijska nelinearnost
dξ za duljinu deformiranog dijela konstrukcije, definiramo inˇzenjersku mjeru deformacije, ǫI dξ dx ǫI = , (4.2.16) dx logaritamsku mjeru deformacije, ǫL (u teoriji plastiˇcnosti kod velikih deformacija)
−
ǫL = ln
dξ dx
(4.2.17)
i Greenovu mjeru deformacije, ǫG (u nelinearnoj teoriji elastiˇcnosti) 1 dξ 2 dx2 ǫG = . 2 dx2
−
(4.2.18)
Uz prethodno dobiveni izraz 2.2.11 2
2
dξ dx
=
dw dx
+
u(x + dx) dx
− u(x) + 1
2
,
slijede izrazi za definirane mjere deformacije ǫI =
(1 + u′ )2 + w′2
ǫL = ln ǫG
−1 ,
(4.2.19)
(1 + u′ )2 + w′2 ,
(4.2.20)
u′2 w′2 = u + + . 2 2 ′
(4.2.21)
Razvojem u red slijede, za prve dvije mjere deformacije, pribliˇzni izrazi koji ukljuˇcuju kvadratne ˇclanove ǫI = u′ + ǫL = u′
−
w′2 , 2 u′2 w′2 + . 2 2
(4.2.22) (4.2.23)
Vidljivo je da su u linearno j teoriji sve tri mjere deformacije jednake, a u sluˇcaju zanemarivanja ˇclanova reda ve´ceg od kvadratnog da se razlikuju za u2 . Takva razlika znaˇcajna je kod velikih deformacija koje se kod stvarnih konstrukcija zapravo ne deˇsavaju. Za stvarne konstrukcije moˇzemo uvesti kriterij, s obzirom da je deformacija ǫ reda veliˇcine 10−3 , a w′2 maksimalno 10−4, za inˇzenjersku mjeru deformacije
±
ǫI
′2
′
≈u .
(4.2.24)
Iz takve aproksimacije moraju biti iskljuˇcene konstrukcije s vitkim konstruktivnim elementima (L/H > 15) i konstrukcije od materijala s granicom teˇcenja ǫrmF > 10−3 . Zbog poklapanja linearnog dijela, isto vrijedi i za logaritamsku i Greenovu mjeru deformacije. Ako primijenimo dobivene rezultate na procjenu zakrivljenosti deformiranog ˇstapa, slijedi w′′ (1 + u′ ) u′′ w′ ϕ = (1 + u′ )2 + w′2 ′
−
≈
w′′ 1 + 2u′
≈w
′′
.
(4.2.25)
Za prouˇcavanje potrebe definiranja jednadˇzbi ravnoteˇze na nedeformiranoj ili deformiranoj konstrukciji, promotrimo primjer konzolnog stupa optere´cenog na vrhu horizontalnom i vertikalnom silom 4.2.. Neka je horizontalni pomak vrha stupa pod djelovanjem
17
4. Geometrijska nelinearnost
w(L)
H
V
V H L
Slika 4.5: Konzolni stup optere´cen horizontalnom i vertikalnom silom
horizontalne sile H jednak wL . Zbog djelovanja vertikalne sile V dolazi do pojave dodatnog leˇzajnog momenta ∆M = V wL . Leˇzajni moment od horizontalne sile iznosi M = HL. Uz prethodno definiranu procjenu reda veliˇcine parametara konstrukcije (4.2.9) slijedi ∆M V wL V wL = = M HL H L
V 10 ≤ H
−2
.
(4.2.26)
Ako su sile H i V istog reda veliˇcine, oˇcito je da doprinos dodatnog momenta ∆M moˇzemo zanemariti u odnosu na osnovni leˇzajni moment M , ˇsto povlaˇci da jednadˇzbe ravnoteˇze moˇzemo postaviti na nedeformirano j konstrukciji. U sluˇcaju kad je vertikalna sila znatno ve´ca od horizontalne sile (ˇcesta pojava u proraˇcunu konstrukcija, npr. stup nosaˇc mosta ima znaˇcajno ve´cu vertikalnu silu od vlastite teˇzine i korisnog optere´cenja od horizontalne sile od potresa, vjetra i koˇ cenja ili npr. stup popreˇcnog okvira konstrukcije ˇceliˇcne hale s kranskom stazom), takva zada´ca viˇse nije zada´ca savijanja nego zada´ca proraˇcuna stabilnosti uzduˇzno optere´cenog stupa.
4.3.
Uzduˇ zno optere´ ceni element konstrukcije
Promatramo i dalje sluˇcaj konstruktivnog elementa na slici 4.5, pri ˇcemu je vertikalna sila V znaˇcajno ve´ca od horizontalne sile H . Dominantno optere´cenje stupa tada je uslijed uzduˇzne sile. Prouˇcimo ponaˇsanje stupa pod djelovanjem vertikalne sile. Jasno je da za naprezanje i deformaciju mora vrijediti odnos V σF , F σ V ǫ = = E EF
σ =
(4.3.27)
≤
≤ǫ
F
.
(4.3.28)
Uz definiranje pojma vitkosti popreˇcnog presjeka stupa, λ, i duljinu izvijanja Li λ=
F L2i I
= Li
F , I
(4.3.29)
moˇzemo prouˇciti zajedniˇcki utjecaj uzduˇzne sile i savijanja. Kod stvarnih konstrukcija vrijednosti vitkosti kre´cu se uglavnom u podruˇcju 30
≤ λ ≤ 140 .
(4.3.30)
18
4. Geometrijska nelinearnost
Uz uvedenu granicu teˇcenja ǫF 10−3 , prethodnu procjenu reda veliˇcine parametara konstrukcije 4.2.9 i realnu vrijednost vitkosti λ2 2 104 slijedi
≤
V EF
−3
≤ 10
≤ ·
,
V L2 EI
−3
4
≤ 10 · 2 · 10 ≤ 20 .
(4.3.31)
Za horizontalno optere´cenje vrijedi prethodna procjena 4.2.9 HL2 EI
−2
≤ 10
.
(4.3.32)
Iz toga slijedi pribliˇzan odnos utjecaja uzduˇznog i popreˇcnog optere´cenja V L2 EI
2 3 HL
≈ 10
EI
,
(4.3.33)
ˇsto znaˇci da je udio u iskoriˇstenju dopuˇstenih naprezanja i deformacija od uzduˇznog optere´cenja znaˇcajno ve´ci nego od popreˇcnog optere´cenja. Stvarni znaˇcaj ove ˇcinjenice vidljiv je u odnosu dodatnog i osnovnog leˇzajnog momenta 4.2.26 uz ograniˇcenje maksimalnog horizontalnog pomaka, wL , na red veliˇcine 10−2 , ∆M V wL V L2 wL EI = = M HL EI L HL2
≈ 10
−2
103 = 10 .
(4.3.34)
U stvarnoj konstrukciji, horizontalni pomak wL bit ´ce dodatno pove´can zbog ∆M ˇsto ovdje nije uzeto u obzir. Dodatni momenti ∆M mogu biti znaˇcajno ve´ci u odnosu na osnovni leˇzajni moment M , ˇsto dovodi do nuˇznosti postavljanja jednadˇzbi ravnoteˇze na deformiranoj konstrukciji. Za provedu praktiˇcnog proraˇcuna postoje dvije osnovne metode
• proraˇcun po geometrijski nelinearnoj teoriji, • proraˇcun po linearno j teoriji s dodatnim uzimanjem utjecaja izvijanja.
ˇ nosti I I. reda 5. Teorija elastic
5.
19
Teorija elastiˇ cnosti II. reda
5.1.
Osnovne pretpostavke
Proraˇcun po teoriji II. reda ima smisla ako su dodatni momenti ∆M , nastali kao produkt uzduˇznog optere´cenja i pomaka uslijed djelovanja popreˇcnog optere´cenja, znaˇcajno ve´ci u odnosu na osnovne momente na konstrukciji koji se javljaju pod djelovanjem popreˇcnog optere´cenja. Moˇzemo razlikovati dva osnovna sluˇcaja. U prvom sluˇcaju, to su konstrukcije bez pomaka ˇcvorova pri ˇcemu uzduˇzne sile mora ju biti priliˇcno velike jer su pomaci neznatni. U drugom sluˇcaju, to su konstrukcije sa znaˇcajnim pomacima ˇcvorova kod kojih onda i manje vrijednosti uzduˇznih sila proizvode znatne dodatne momente.
5.2.
Definiranje unutarnjih sila
Iz praktiˇcnih razloga moˇzemo definirati osnovne smjerove unutarnjih sila na deformiranoj konstrukciji u smjeru globalnih koordinatnih osi, a ne u smjeru lokalnih koordinatnih osi u presjeku konstrukcije. M T q
N
M
n M + dM T + dT
dw
n
V q
M + dM
H
H + dH
V + dV
N + dN
dx
dx
Slika 5.1: Unutarnje sile u presjeku
Umjesto uzduˇzne i popreˇcne sile (N, T ), sada promatramo horizontalnu i vertikalnu silu (H, V ), a moment ostaje isti jer je tre´ca koordinatna os ista i u lokalnom i u globalnom koordinatnom sustavu. Na taj naˇcin formulacija diferencijalnih jednadˇzbi i rubnih uvjeta postaje jednostavnija.
5.3.
Diferencijalni odnosi pomaka i optere´ cenja
Iz jednadˇzbi ravnoteˇze na izdvojenom deformiranom dijelu konstrukcije slijedi
K x = 0 K z = 0 M = 0
⇒ ⇒ ⇒
′
dH + ndx = 0
⇒ H = −n , dV + qdx = 0 ⇒ V = −q , dM + Hdw − V dx = 0 ⇒ M + Hw
(5.3.1)
′
′
(5.3.2) ′
=V .
(5.3.3)
Kod malih deformacija (sin w′ = w′ , cos w′ = 1) slijede izrazi za sile u lokalnim osima kao funkcije sila u globalnim osima N = H cos w′ + V sin w′ T = V cos w′ H sin w′
−
′
≈ H + V w , ≈ V − Hw , ′
(5.3.4)
ˇ nosti I I. reda 5. Teorija elastic
20
ili sile u globalnim osima kao funkcije sila u lokalnim osima H = N cos w′ T sin w′ V = T cos w′ + N sin w′
−
′
≈ N − T w , ≈ T + N w , ′
(5.3.5)
a iz jednadˇzbe (5.3.3) dodatno i veza momenta i popreˇcne sile kao i u teoriji I. reda M ′ = V
− Hw
′
=T .
(5.3.6)
Ako jednadˇzbu (5.3.3) deriviramo po x proizlazi M ′′ + Hw′′ + H ′ w′ = V ′ .
(5.3.7)
Uvrstimo li u jednadˇzbu (5.3.7) odnose iz jednadˇzbi (5.3.1) i (5.3.2), slijedi M ′′ + Hw′′
′
− nw = −q .
(5.3.8)
Uz pretpostavku malih pomaka i deformacija, za moment savijanja vrijedi odnos iz teorije I. reda ′′ M ′′ (x) = (EI w′′) , (5.3.9)
−
slijedi diferencijalna veza pomaka i optere´cenja (EI w′′)
′′
− Hw
′′
+ nw′ = q .
(5.3.10)
Diferencijalna jednadˇzba (5.3.10) opisuje geometrijski nelinearnu teoriju u smislu teorije II. reda. Jednadˇzba je linearna ako su koeficijenti konstantni. U op´ cenitom sluˇcaju koeficijenti su u funkciji od x (EI = const., n = 0), ˇsto znaˇci da je svaki po jedini sluˇcaj zapravo nova diferencijalna jednadˇzba.
5.4.
Rjeˇ senje diferencijalne jednadˇ zbe
S obzirom da je rjeˇsenje jednadˇzbe (5.3.10) u praktiˇcnom smislu presloˇzeno, uvodimo neka ograniˇcenja. Pretpostavljamo da je krutost ˇstapa na savijanje konstantna po cijeloj duljini ˇstapa, EI = const. i da je horizontalna sila u ˇstapu konstantna H = const. , n = 0 .
(5.4.11)
Sada jednadˇzba (5.3.10) glasi w′′′′
H w − EI
′′
=
q . EI
(5.4.12)
Prethodna jednadˇzba (5.4.12) ima, za razliku od (5.3.10), konstantne koeficijente. Takvo pojednostavljenje ne smanjuje opseg zada´ca ko ji moˇzemo promatrati. Kod ˇstapova prom jenljivog presjeka ili promjenljivog modula elastiˇcnosti moˇzemo promatrati dijelove lokalno konstantne krutosti. Promjena optere´cenja q povlaˇci promjenu samo partikularnog rjeˇsenja diferencijalne jednadˇzbe, a rjeˇsenje homogene diferencijalne jednadˇzbe osta je nepromijen jeno.
ˇ nosti I I. reda 5. Teorija elastic
5.4.1.
21
Rjeˇsenje u prirodnom koordinatnom sustavu
Za jednostavnije daljnje rjeˇsavanje jednadˇzbe moˇzemo jednadˇzbu (5.4.12) pomnoˇziti sa L3 HL2 qL 3 3 ′′′′ ′′ Lw Lw = , (5.4.13) EI EI a uvod-enjem bezdimenzionalnih koeficijenata
−
HL2 qL 3 H = , q = , EI EI
(5.4.14)
L3 w′′′′
(5.4.15)
jednadˇzba glasi
− HLw
′′
=q.
Konaˇcno rjeˇsenje ovisi o predznaku horizontalne sile H , (tlak ili vlak). Uz definiranje koeficijenta h, uzduˇzne karakteristike ˇstapa , h=
| |
H L2 EI
, h
|H |L =
2
2
EI
,
(5.4.16)
slijede pripadne homogene jednadˇzbe za oba sluˇcaja H<0 L3 w′′′′ + HLw′′ = 0 L3 w′′′′ + h2 Lw′′ = 0
H>0 L3 w′′′′ L3 w′′′′
′′
− HLw − h Lw 2
=0, ′′ =0.
(5.4.17) (5.4.18)
Uz pretpostavku oblika homogenog rjeˇsenja na razini prirodnih koordinata ξ = x/L wH = Leλξ ,
(5.4.19)
slijede pripadne bikvadratne jednadˇzbe
2
2
λ +h
H<0 λ e =0 2 λξ
(5.4.20)
H>0 λ1,2 = 0, λ3,4 =
(5.4.21)
i pripadni korijeni jednadˇzbi
λ1,2 = 0, λ3,4
H>0 λ2 h2 λ2 eλξ = 0 ,
H<0 = ih
±
−
±h .
Homogena rjeˇsenja sada slijede za tlaˇcnu horizontalnu silu (H < 0) wH = (c1 + c2 ξ + c3 sin hξ + c4 cos hξ ) L ,
(5.4.22)
te za vlaˇcnu silu (H > 0) wH = (c1 + c2ξ + c3 sh hξ + c4 ch hξ ) L .
(5.4.23)
Konstante c1 , c2, c3 , c4 odredimo iz rubnih uvjeta promatranog izdvojenog dijela ˇstapa duljine L. Partikularno rjeˇsenje za konstantno optere´cenje (q = const.) glasi wP = =
− 12 H q Lξ ± 12 hq Lξ
2
2
2
.
(5.4.24)
ˇ nosti I I. reda 5. Teorija elastic
22
Konaˇcno rjeˇsenje zbro j je homogenog i partikularnog rjeˇsenja w = wH + wP .
(5.4.25)
Prema proraˇcunu po Teoriji I. reda, uz H = 0, homogeno rjeˇsenje glasi wH = c1 + c2 ξ + c3 ξ 2 + c4ξ 3 L , a partikularno uz q = const. glasi
wP =
(5.4.26)
qL 4 ξ . 24
(5.4.27)
Primjer 5.4.1. Obostrano upeti tlaˇcni ˇstap jednoliko kontinuirano popreˇcno optere´cen Promatramo obostrano upeti tlaˇcni ˇstap, H < 0, optere´cen jednolikim kontinuiranim popreˇcnim optere´cenjem q = const., (Slika 5.2). Potrebno je odrediti momentni dijagram prema Teoriji II. reda. q H z, w
EI L
H
x, ξ
Slika 5.2: Obostrano upeti tlaˇcni ˇstap jednoliko kontinuirano popreˇcno optere´cen Jednadˇzbu (5.4.12) uz definiranu uzduˇznu karektiristiku ˇstapa (5.4.16) moˇzemo zapisati u obliku h2 ′′ q ′′′′ w + 2w = . (5.4.28) L EI Rubni uvjeti upetih krajeva su w(0) = w(L) = 0 i w′ (0) = w′ (L) = 0 .
(5.4.29)
Prema (5.4.22) i (5.4.24) slijede op´ci oblik rjeˇsenja w = (c1 + c2ξ + c3 sin hξ + c4 cos hξ ) L +
1 q 2 Lξ , 2 h2
(5.4.30)
i pripadne derivacije, uz dξ/dx = 1/L,
− c h sin hξ + hq ξ , −c hL sin hξ − c hL cos hξ + Lhq .
w′ = c2 + c3 h cos hξ w′′ =
4
2
(5.4.31)
2
2
3
4
(5.4.32)
2
Pomo´cu rubnih uvjeta (5.4.29), uz ξ = 0 za x = 0 i ξ = 1 za x = L, slijede jednadˇzbe za odred-ivanje nepoznatih konstanti w(ξ = 0) = 0 w′ (ξ = 0) = 0 w(ξ = 1) = 0 w′ (ξ = 1) = 0
⇒ ⇒ ⇒
(c1 + c4 ) L = 0 , c2 + c3 h = 0 ,
⇒
−
(5.4.33) (5.4.34)
1 q c1 + c2 + c3 sin h + c4 cos h + L=0, 2 h2 q c2 + c3 h cos h c4 h sin h + 2 = 0 . h
(5.4.35) (5.4.36)
ˇ nosti I I. reda 5. Teorija elastic
23
Rjeˇsenjem sustava jednadˇzbi slijede nepoznati koeficijenti
− 2hq − 2hq
1 + cos h = 2 h sin h
c1 = c2 =
− 2hq ctg h2 ,
(5.4.37)
3
,
2
(5.4.38)
q , 2h3 q 1 + cos h q h = = ctg . 2h2 sin h 2h3 2
c3 =
(5.4.39)
c4
(5.4.40)
Momentna jednadˇzba M =
−EI w
′′
u bezdimenzionalnom obliku glasi
M =
ML = EI
−Lw
′′
,
(5.4.41)
ˇsto povlaˇci konaˇcan izraz za momentnu funkciju u bezdimenzionalnom obliku q M = 2 h
h h 1 + cos h sin hξ + cos hξ 2 2 sin h
− 1
.
(5.4.42)
Na slici 5.4.2. prikazan je momentni dijagram u ovisnosti o koeficijentu h Prethodnu Slika 5.3: Utjecaj h na momentni dijagram
momentnu funkciju moˇzemo razviti u red po h oko 0 q M = 12
−
1 + 6ξ
−
qh 2 6ξ + 30ξ 4 720 2
3
2
− 60ξ + 30ξ − 1
+ O(h4 ) .
(5.4.43)
pri ˇcemu je oˇcito jasno da je linearni dio jednak rjeˇsenju prema Teoriji I. reda M lin =
q 12
−
1 + 6ξ
2
− 6ξ
.
(5.4.44)
Primjer 5.4.2. Obostrano upeti vlaˇcni ˇstap jednoliko kontinuirano popreˇcno optere´cen Promatramo obostrano upeti vlaˇcni ˇstap, H > 0, optere´cen jednolikim kontinuiranim popreˇcnim optere´cenjem q = const., (Slika 5.4). Potrebno je odrediti momentni dijagram prema Teoriji II. reda. q H z, w
EI L
H
x, ξ
Slika 5.4: Obostrano upeti vlaˇcni ˇstap jednoliko kontinuirano popreˇcno optere´cen Jednadˇzbu (5.4.12) uz definiranu uzduˇznu karektiristiku ˇstapa (5.4.16) moˇzemo zapisati u obliku h2 ′′ q ′′′′ w w = . (5.4.45) L2 EI
−
ˇ nosti I I. reda 5. Teorija elastic
24
Rubni uvjeti upetih krajeva su jednaki kao u prethodnom primjeru (5.4.29). Prema (5.4.23) i (5.4.24) slijedi op´ci oblik rjeˇsenja w = (c1 + c2ξ + c3 sh hξ + c4 ch hξ ) L
− 12 hq Lξ ,
(5.4.46)
− hq ξ ,
(5.4.47)
2
2
i pripadne derivacije, uz dξ/dx = 1/L, w′ = c2 + c3 hch hξ + c4 hsh hξ
2
h2 h2 q w = c3 sh hξ + c4 ch hξ . (5.4.48) L L Lh2 Pomo´cu rubnih uvjeta (5.4.29), uz ξ = 0 za x = 0 i ξ = 1 za x = L, slijede jednadˇzbe za odred-ivanje nepoznatih konstanti ′′
w(ξ = 0) = 0 w′ (ξ = 0) = 0 w(ξ = 1) = 0 w′ (ξ = 1) = 0
−
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
(c1 + c4 ) L = 0 , c2 + c3 h = 0 ,
(5.4.49) (5.4.50)
c1 + c2 + c3 sh h + c4 ch h
c2 + c3 hch h + c4 hsh h
1 q 2 h2
−
L=0,
− hq = 0 . 2
(5.4.51) (5.4.52)
Rjeˇsenjem sustava jednadˇzbi slijede nepoznati koeficijenti
− 2hq cth h2 ,
c1 =
(5.4.53)
3
1 q , 2 h2 1 q c3 = , 2 h3 q h c4 = cth . 2h3 2 Momentna jednadˇzba M = EI w′′ u bezdimenzionalnom obliku glasi ML M = = Lw′′ , EI ˇsto povlaˇci konaˇcan izraz za momentnu funkciju u bezdimenzionalnom obliku c2 =
−
(5.4.54) (5.4.55) (5.4.56)
−
−
q M = 2 h
h sh hξ 2
−
h cth h cos hξ + 1 2
.
(5.4.57)
(5.4.58)
Na slici 5.4.2. prikazan je momentni dijagram u ovisnosti o koeficijentu h Prethodnu Slika 5.5: Utjecaj h na momentni dijagram
momentnu funkciju moˇzemo razviti u red po h oko 0 q qh2 2 M = 1 + 6ξ 6ξ 30ξ 4 60ξ 3 + 30ξ 2 1 + O(h4 ) . 12 720 pri ˇcemu je oˇcito jasno da je linearni dio jednak rjeˇsenju prema Teoriji I. reda q M lin = 1 + 6ξ 6ξ 2 . 12
−
−
−
−
−
−
−
(5.4.59)
(5.4.60)
ˇ nosti I I. reda 5. Teorija elastic
5.4.2.
25
Rjeˇsenje u standardnom koordinatnom sustavu
U ovom sluˇcaju i dalje promatramo jednadˇzbu (5.4.12) q (5.4.61) . EI Konaˇcno rjeˇsenje ovisi o predznaku horizontalne sile H , (tlak ili vlak). Uz definiranje koeficijenta h, uzduˇzne karakteristike ˇstapa , w′′′′
h=
H w − EI
| |
H L2 EI
′′
=
, h
2
|H |L =
2
EI
,
(5.4.62)
slijede pripadne homogene jednadˇzbe za oba sluˇcaja H<0 2
h ′′ w =0 L2 Uz pretpostavku oblika homogenog rjeˇsenja w′′′′ +
H>0 w′′′′
−
h2 ′′ w =0. L2
wH = eλx ,
(5.4.63)
(5.4.64)
slijede pripadne bikvadratne jednadˇzbe H<0
2
h λ + 2 L 2
2 λx
λe
H>0
=0
i pripadni korijeni jednadˇzbi
2
λ
−
h2 L2
λ2 eλx = 0 ,
H<0 H>0 h h λ1,2 = 0, λ3,4 = i λ1,2 = 0, λ3,4 = . L L Homogena rjeˇsenja sada slijede za tlaˇcnu horizontalnu silu (H < 0)
±
±
wH = c1 + c2x + c3 sin
hx hx + c4 cos , L L
(5.4.65)
(5.4.66)
(5.4.67)
te za vlaˇcnu silu (H > 0) hx hx + c4 ch . (5.4.68) L L Konstante c1 , c2, c3 , c4 odredimo iz rubnih uvjeta promatranog izdvojenog dijela ˇstapa duljine L. Partikularno rjeˇsenje za konstantno optere´cenje (q = const.) glasi wH = c1 + c2 x + c3 sh
1 q L2 2 wP = x . 2 EI h2 Konaˇcno rjeˇsenje zbro j je homogenog i partikularnog rjeˇsenja
±
w = wH + wP .
(5.4.69)
(5.4.70)
Prema proraˇcunu po Teoriji I. reda, uz H = 0, homogeno rjeˇsenje glasi wH = c1 + c2 x + c3 x2 + c4 x3 L , a partikularno uz q = const. glasi
wP =
q 4 x . 24EI
(5.4.71)
(5.4.72)
ˇ nosti I I. reda 5. Teorija elastic
26
Primjer 5.4.3. Obostrano upeti tlaˇcni ˇstap jednoliko kontinuirano popreˇcno optere´cen Promatramo obostrano upeti tlaˇcni ˇstap, H < 0, optere´cen jednolikim kontinuiranim popreˇcnim optere´cenjem q = const., (Slika 5.2). Potrebno je odrediti momentni dijagram prema Teoriji II. reda. Rjeˇsavamo jednadˇzbu (5.8.139) w
′′′′
h2 ′′ q + 2w = L EI
s pripadnim rubnim uvjetima upetih krajeva (5.4.29) w(0) = w(L) = 0 i w′ (0) = w′ (L) = 0 . Prema (5.4.67) i (5.4.69) slijede op´ci oblik rjeˇsenja w=
hx hx c1 + c2x + c3 sin + c4 cos L L
1 q L2 2 + x , 2 EI h2
(5.4.73)
i pripadne derivacije, h hx hx q L2 w = c2 + c3 cos c4 h sin + x, (5.4.74) L L L EI h2 h2 hx h2 hx q L2 ′′ w = c3 2 sin c4 2 cos + . (5.4.75) L L L L EI h2 Pomo´cu rubnih uvjeta (5.4.29), slijede jednadˇzbe za odred-ivanje nepoznatih konstanti ′
−
−
w(x = 0) = 0 w′ (x = 0) = 0 w(x = L) = 0 w(x = L) = 0
−
(c1 + c4 ) = 0 , h c2 + c3 = 0 , L
⇒ ⇒ ⇒
(5.4.76) (5.4.77)
1 q L4 c1 + c2 L + c3 sin h + c4 cos h + 2 EI h2 h h q L3 c2 + c3 cos h c4 sin h + =0. L L EI h2
⇒
=0,
−
(5.4.78) (5.4.79)
Rjeˇsenjem sustava jednadˇzbi slijede nepoznati koeficijenti c1 = c2 =
− 2hq − 2hq
1 + cos h = 2 h sin h 2
− 2hq ctg h2 ,
(5.4.80)
3
(5.4.81)
,
q , 2h3 q 1 + cos h q h = = ctg . 2h2 h sin h 2h3 2
c3 =
(5.4.82)
c4
(5.4.83)
Momentna jednadˇzba M =
−EI w
′′
u bezdimenzionalnom obliku glasi
M =
ML = EI
−Lw
′′
,
(5.4.84)
ˇsto povlaˇci konaˇcan izraz za momentnu funkciju u bezdimenzionalnom obliku q M = 2 h
h h 1 + cos h sin hξ + cos hξ 2 2 sin h
− 1
.
(5.4.85)
ˇ nosti I I. reda 5. Teorija elastic
27
Slika 5.6: Utjecaj h na momentni dijagram
Na slici 5.4.2. prikazan je momentni dijagram u ovisnosti o koeficijentu h Prethodnu momentnu funkciju moˇzemo razviti u red po h oko 0 q qh 2 1 + 6ξ 6ξ 2 + 30ξ 4 60ξ 3 + 30ξ 2 1 + O(h4 ) . 12 720 pri ˇcemu je oˇcito jasno da je linearni dio jednak rjeˇsenju prema Teoriji I. reda M =
−
−
M lin =
q 12
−
−
1 + 6ξ
−
2
− 6ξ
.
(5.4.86)
(5.4.87)
Primjer 5.4.4. Obostrano upeti vlaˇcni ˇstap jednoliko kontinuirano popreˇcno optere´cen Promatramo obostrano upeti vlaˇcni ˇstap, H > 0, optere´cen jednolikim kontinuiranim popreˇcnim optere´cenjem q = const., (Slika 5.4). Potrebno je odrediti momentni dijagram prema Teoriji II. reda. Rjeˇsavamo jednadˇzbu (5.8.139) w
′′′′
−
h2 ′′ q = w , L2 EI
uz pripadne rubne uvjete (5.4.29). Prema (5.4.68) i (5.4.69) slijedi op´ci oblik rjeˇsenja
hx hx + c4 ch c1 + c2 x + c3 sh L L
w=
−
1 q L2 2 x , 2 EI h2
(5.4.88)
i pripadne derivacije, h hx h hx q L2 w = c2 + c3 ch + c4 sh x, (5.4.89) L L L L EI h2 h2 hx h2 hx q L2 ′′ w = c3 2 sh + c4 2 ch . (5.4.90) L L L L EI h2 Pomo´cu rubnih uvjeta (5.4.29), slijede jednadˇzbe za odred-ivanje nepoznatih konstanti ′
−
−
w(x = 0) = 0 w′ (x = 0) = 0
⇒ ⇒ ⇒
(c1 + c4 ) = 0 , h c2 + c3 = 0 , L
(5.4.91) (5.4.92)
1 q L4 w(x = L) = 0 c1 + c2 L + c3 sh h + c4 ch h 2 EI h2 h h q L3 ′ w (x = L) = 0 c2 + c3 ch h + c4 sh h =0. L L EI h2 Rjeˇsenjem sustava jednadˇzbi slijede nepoznati koeficijenti
−
⇒
−
c1 =
− 2hq cth h2 , 3
1 q , 2 h2 1 q = , 2 h3 q h = cth . 2h3 2
c2 = c3 c4
−
=0,
(5.4.93) (5.4.94)
(5.4.95) (5.4.96) (5.4.97) (5.4.98)
ˇ nosti I I. reda 5. Teorija elastic
28
Momentna jednadˇzba M =
−EI w
′′
u bezdimenzionalnom obliku glasi ML = EI
M =
−Lw
′′
,
(5.4.99)
ˇsto povlaˇci konaˇcan izraz za momentnu funkciju u bezdimenzionalnom obliku q M = 2 h
h sh hξ 2
h cth h cos hξ + 1 2
−
.
(5.4.100)
Na slici 5.4.2. prikazan je momentni dijagram u ovisnosti o koeficijentu h. Prethodnu Slika 5.7: Utjecaj h na momentni dijagram
momentnu funkciju moˇzemo razviti u red po h oko 0 q M = 12
−
1 + 6ξ
2
− 6ξ
qh 2 30ξ 4 720
−
3
2
− 60ξ + 30ξ − 1
+ O(h4 ) .
(5.4.101)
pri ˇcemu je oˇcito jasno da je linearni dio jednak rjeˇsenju prema Teoriji I. reda M lin =
5.5.
q 12
−
1 + 6ξ
2
− 6ξ
.
(5.4.102)
Matrica krutosti tlaˇ cnog ˇ stapa prema Teoriji II. reda
Jednadˇzbu (5.4.12) uz definiranu uzduˇznu karakteristiku ˇstapa (5.4.16) moˇzemo zapisati u obliku h2 ′′ q ′′′′ w + 2w = . (5.5.103) L EI Promatramo obostrano upeti ˇstap optere´cen tlaˇcnom silom. Rjeˇsenje pripadne homogene i
k
H
EI L
H
Slika 5.8: Obostrano upeti tlaˇcni ˇstap diferencijalne jednadˇzbe glasi w(x) = c1 + c2 x + c3 sin Pomake na krajevima ˇstapa, uz ϕ(x) =
1 w(0) ϕ(0) 0 = w(L) 1 ϕ(L) 0
0 1 L 1
hx hx + c4 cos . L L
(5.5.104)
′
−w (x), moˇzemo zapisati u matriˇcnom obliku 0
1 h 0 L sin h cos h h h cos h L sin h L
− − − −
c1 c2 c3 c4
,
(5.5.105)
ˇ nosti I I. reda 5. Teorija elastic
29
i
k
M ik
H
EI L M ki
T ik
H T ki
Slika 5.9: Sile na krajevima tlaˇcnog ˇstapa
ili u skra´cenom matriˇcnom obliku
w = Bc ili c = B−1w .
(5.5.106)
Sile na krajevima ˇstapa moˇzemo definirati prema izrazima h2 ′ h2 ′′′ = EI w + 2 w = c2 2 EI L L x=0 h2 ′′ = EI wx=0 = c4 2 EI L 2 h ′ h2 ′′′ = EI w + 2 w = c2 2 EI L L x=L
T ik M ik
(5.5.107) (5.5.108)
−
T ki
−
M ki =
−EI w
′′
x=L
(5.5.109)
−
h2 = EI (c3 sin h + c4 cos h) 2 L
,
(5.5.110)
,
(5.5.111)
odnosno u matriˇcnom zapisu
T ik M ik T ki M ki
h2 L2
0 0 = EI 0 0
0
−
2
h L2
0
h2 L2
0 0 0 sin h
0
− h2 L2
h2 L2
0 cos h
c1 c2 c3 c4
ili kra´ce zapisano obliku
f ik = Gc = GB−1 w ,
(5.5.112)
pri ˇcemu je vektor wT = [wik ϕi wki ϕk ] vektor pomaka kra jeva ˇstapa, a produkt matrica GB−1 predstavlja lokalnu matricu krutosti ˇstapa
Kik =
EI 2 + 2 cos h + h sin h
−
− −
h3 sin h L3
h2 (−1+cos h) L2 3
h sin h L3
−
h2 (−1+cos h) L2
−
h2 (−1+cos h) L2
h(h cos h−sin h) L 2
h (−1+cos h) L2
−
h(h−sin h) L
h3 sin h L3 h2 (−1+cos h) L2
−
3
h sin h L3
h2 (−1+cos h) L2
−
h2 (−1+cos h) L2
−
h(h−sin h) L
2
h (−1+cos h) L2 h(h cos h−sin h) L
.
(5.5.113)
ˇ nosti I I. reda 5. Teorija elastic
30
Matricu krutosti moˇzemo razviti u Taylorov red po h u okolini 0, pa uzimaju´ci u obzir do maksimalno kvadratnog ˇclana slijedi
− − − −
6h2 5L3
12 L3
Kik = EI
6 L2
+
6 L2
−
h2 10L2
4 L
2
12 L3
+
6h 5L3
6 L2
6 L2
+
h2 10L2
2 L
+
h2 10L2
−
12 L3
− −
2h2 15L h 10L2
12 L3
+
h2 30L
6 L2
6 L2
2
6h2 5L3
+
− − −
−
h2 10L2
6 L2 2 L
2
6h 5L3
6 L2
h2 10L2
4 L
h2 10L2
+
h2 30L
+
2
h 10L2
− −
2h2 15L
.
(5.5.114)
Razvijenu matricu krutosti moˇzemo izraziti pomo´cu uzduˇzne tlaˇcne sile H u mjesto uzduˇzne karakteristike h 12EI L3
Kik =
5.6.
− − −
−
6EI L2
6H 5L
−
6EI L2
+
H 10
4EI L
12EI L3
+
6H 5L
6EI L2
6EI L2
+
H 10
2EI L
+
−
12EI L3
2HL 15
6EI L2
H 10
12EI L3
HL 30
6EI L2
− − +
H 10
6H 5L
+
− − −
−
6EI L2
H 10
2EI L
6H 5L
6EI L2
H 10
4EI L
+
H 10
+
HL 30
− −
H 10
2HL 15
.
(5.5.115)
Vektor upetosti tlaˇ cnog ˇ stapa prema Teoriji II. reda
Jednadˇzbu (5.4.12) uz definiranu uzduˇznu karakteristiku ˇstapa (5.4.16) moˇzemo zapisati u obliku h2 ′′ q ′′′′ w + 2w = =q. (5.6.116) L EI Rjeˇsenje diferencijalne jednadˇzbe glasi hx hx qL2 x2 w(x) = c1 + c2 x + c3 sin + c4 cos + . L L 2h2
(5.6.117)
Rubne uvjete za stanje upetosti moˇzemo zapisati u matriˇcnom obliku
1 w(0) ϕ(0) 0 = 1 w(L) ϕ(L) 0
0 1 L 1
0
1 h 0 L sin h cos h h h cos h L sin h L
− − − −
c1 c2 + c3 c4
0 0 qL4 2h2 qL3 h2
−
,
(5.6.118)
ili u skra´cenom matriˇcnom obliku
w = Bc + q = 0 c = B−1 q
− −
=
qL4 ctg h2 2h3 qL 3 2h2 qL 4 2h3 qL 4 ctg h2 2h3
−
⇒
.
(5.6.119)
(5.6.120)
ˇ nosti I I. reda 5. Teorija elastic
31
Progibnu liniju sada moˇzemo zapisati u obliku w = =
1 x sin
−
hx L
1 x sin
qL 2 2 = x 2h2
−
cos hx L
qL 3 x 2h2
hx L
qL 2 x2 c+ 2h2
hx L
cos
−
qL 4 2h3
qL 2x2 B q+ 2h2 h h hx ctg ctg cos 2 2 L −1
−
−
hx sin L
.
(5.6.121)
Sile na krajevima ˇstapa T ik = M ik = T ki = M ki = =
5.7.
h2 ′ qL ′′′ EI w + 2 w = 2 L x=0 qL 2 2 hctg h2 ′′ EI wx=0 = 2h2 h2 ′ qL ′′′ EI w + 2 w = L 2 x=L qL 2 2 h cos hctg h2 + h sin h ′′ EI wx=L = 2h2 qL 2 2 hctg h2 . 2h2
− − −
− − − − − −
(5.6.122) (5.6.123) (5.6.124)
(5.6.125)
Matrica krutosti vlaˇ cnog ˇ stapa prema Teoriji II. reda
Jednadˇzbu (5.4.12) uz definiranu uzduˇznu karakteristiku ˇstapa (5.4.16) moˇzemo zapisati u obliku h2 ′′ q ′′′′ = (5.7.126) w w . L2 EI Promatramo obostrano upeti ˇstap optere´cen vlaˇcnom silom. Rjeˇsenje pripadne homogene
−
i H
k EI L
H
Slika 5.10: Obostrano upeti vlaˇcni ˇstap diferencijalne jednadˇzbe glasi w(x) = c1 + c2 x + c3 sh Pomake na krajevima ˇstapa, uz ϕ(x) =
1 w(0) ϕ(0) 0 = w(L) 1 ϕ(L) 0
0 1 L 1
hx hx + c4 ch . L L
(5.7.127)
′
−w (x), moˇzemo zapisati u matriˇcnom obliku 0 h L
− − sh h − − ch h − h L
1 0 ch h h sh h L
ili u skra´cenom matriˇcnom obliku
w = Bc ili c = B−1w .
c1 c2 c3 c4
,
(5.7.128)
(5.7.129)
ˇ nosti I I. reda 5. Teorija elastic
32
i
k
M ik
H
H
EI L M ki
T ik
T ki
Slika 5.11: Sile na krajevima vlaˇcnog ˇstapa
Sile na krajevima ˇstapa moˇzemo definirati prema izrazima h2 ′ h2 ′′′ = EI w w = c2 2 EI L2 L x=0 h2 ′′ = EI wx=0 = c4 2 EI L h2 ′ h2 ′′′ = EI w w = c2 2 EI L2 L x=L
T ik M ik T ki
M ki =
−
−
−EI w
=
x=L
(5.7.131)
−
′′
(5.7.130)
−
(5.7.132)
h2 EI (c3 sh h + c4 ch h) 2 L
−
,
(5.7.133)
odnosno u matriˇcnom zapisu
T ik M ik = EI T ki M ki
ili kra´ce zapisano obliku
0 0 0 0
−
h2 L2
0
h2 L2
0
−
0 0 0 h sh h L
0 2
h L2
2
−
2
c1 c2 c3 c4
0 h ch h L 2
2
,
(5.7.134)
f ik = Gc = GB−1 w ,
(5.7.135)
pri ˇcemu je vektor wT = [wik ϕi wki ϕk ] vektor pomaka krajeva ˇstapa, a produkt matrica GB−1 predstavlja lokalnu matricu krutosti ˇstapa
Kik =
EI 2 + 2ch h
−
−
h2 (−1+ch h) L2
h3 sh h L3
h2 (−1+ch h) L2
− hsh h
3
h sh h L3
h(sinhh−hch h) L
−
h2 (−1+ch h) L2
−
h2 (−1+ch h) L2 h(h−sh h) L
h2 (−1+ch h) L2
h3 sh h L3 h2 (−1+ch h) L2
− −
h(h−sh h) L
3
h sh h L3
−
h2 (−1+ch h) L2
h2 (−1+ch h) L2
h(sinhh−hch h) L
.
(5.7.136) Matricu krutosti moˇzemo razviti u Taylorov red po h u okolini 0, pa uzimaju´ci u obzir do maksimalno kvadratnog ˇclana slijedi
− − −
12 L3
Kik = EI
+
6 L2 12 L3
6 L2
6h2 5L3
− − −
6 L2
− −
h2 10L2
4 L
6h2 5L3 h2 10L2
h2 10L2
12 L3
− −
+
2h2 15L
6 L2
6 L2
+
h2 10L2
2 L
−
h2 30L
6h2 5L3
+
h2 10L2
12 L3 6 L2
6 L2
− − −
h2 10L2
2 L
h2 30L
+
6h2 5L3
6 L2
+
h2 10L2
+
h2 10L2
4 L
+
2h2 15L
.
(5.7.137)
ˇ nosti I I. reda 5. Teorija elastic
33
Razvijenu matricu krutosti moˇzemo izraziti pomo´cu uzduˇzne vlaˇcne sile H u mjesto uzduˇzne karakteristike h 12EI L3
Kik =
5.8.
− − −
+
6EI L2
12EI L 6EI L2
6H 5L
− − −
6EI L2
H 10
− −
H 10
4EI L
6H 5L H 10
2EI L
12EI L3
2HL 15
6EI L2
+
H 10
−
HL 30
+
6EI L2
−
−
6H 5L
+
H 10
12EI L3
+
6H 5L
6EI L2
+
H 10
6EI L2
− − − 2EI L
HL 30
6EI L2 4EI L
H 10
+
+
H 10
2HL 15
.
(5.7.138)
Vektor upetosti vlaˇ cnog ˇ stapa prema Teoriji II. reda
Jednadˇzbu (5.4.12) uz definiranu uzduˇznu karakteristiku ˇstapa (5.4.16) moˇzemo zapisati u obliku h2 ′′ q ′′′′ = =q. (5.8.139) w w L2 EI
−
Rjeˇsenje diferencijalne jednadˇzbe glasi hx hx w(x) = c1 + c2 x + c3 sh + c4 ch L L
−
qL 2 x2 . 2h2
(5.8.140)
Rubne uvjete za stanje upetosti moˇzemo zapisati u matriˇcnom obliku
1 w(0) ϕ(0) 0 = w(L) 1 ϕ(L) 0
0 1 L 1
0
1 0 ch h h sh h L
h L
− − sh h − − ch h − h L
c1 c2 + c3 c4
−
0 0
qL4 2h2 qL3 h2
,
(5.8.141)
ili u skra´cenom matriˇcnom obliku
w = Bc + q = 0 c = B−1 q
− −
=
qL4 cth h2 2h3 qL 3 2h2 4 qL 2h3 qL4 cth h2 2h3
−
(5.8.142)
⇒
.
(5.8.143)
Progibnu liniju sada moˇzemo zapisati u obliku w = = =
1 x sh
ch
hx L
qL 2 x2 2h2
− − c
qL 2 x2 1 x sh ch B q+ 2h2 qL 2 2 qL 3 qL 4 h h hx hx x + x cth cth ch + sinh 2h2 2h2 2h3 2 2 L L
− −
hx L
hx L
hx L
−1
−
. (5.8.144)
ˇ nosti I I. reda 5. Teorija elastic
34
Sile na krajevima ˇstapa T ik = M ik = T ki = M ki = =
5.9.
h2 ′ qL ′′′ EI w w = L2 2 x=0 qL 2 2 hcth h2 ′′ EI wx=0 = 2h2 h2 ′ qL EI w′′′ w = 2 L2 x=L qL 2 2 hch hx cth h2 + hsh hx ′′ L L EI wx=L = 2 2h h 2 qL 2 hcth 2 . 2h2
−
− − − −
−
− −
−
−
(5.8.145) (5.8.146) (5.8.147)
(5.8.148)
Kondenzacija lokalne matrice krutosti ˇstapa
Ako je neka od veza na kraju ˇstapa oslobod-ena, sila u smjeru te veze jednaka je nuli, a pomak u smjeru oslobod-ene veze moˇzemo izraziti kao funkciju preostalih pomaka. Ako je oslobod-ena i-ta veza ˇstapa, tada je umnoˇzak i-tog retka matrice krutosti i vektora pomaka, sila u smjeru i-te veze jednaka nuli, f i =
kij u j = 0 .
(5.9.149)
j
Pomak u smjeru oslobod-ene veze moˇzemo izraziti ui =
kij u j
j =i
−
kii
.
(5.9.150)
Ako kondenziranu matricu krutosti oznaˇcimo KC , a pripadne ˇclanove matrice krutosti kijc , ˇclanove kondenzirane matrice krutosti moˇzemo izraziti kao funkciju ˇclanova nekondenzirane matrice krutosti, uz oslobod-enu k-tu vezu, kik kkj (5.9.151) kijc = kij . kkk Primjer 5.9.5. Matrica krutosti jednostrano upetog tlaˇcnog ˇstapa kondenzacijom matrice
−
krutosti obostrano upetog tlaˇcnog ˇstapa
Promatramo jednostrano upeti tlaˇcni ˇstap, H < 0, s vezom oslobod-enom na desnom kraju ˇstapa, (Slika 5.9.). Potrebno je odrediti kondenziranu maricu krutosti prema Teoriji II. reda. Slika 5.12: Jednostrano upeti tlaˇcni ˇstap
Matrica krutosti obostrano upetog tlaˇcnog ˇstapa, (5.5.113), glasi
Kik =
−
EI 2 + 2 cos h + h sin h
h3 sin h L3 h2 (−1+cos h) L2 h3 sin h L3 h2 (−1+cos h) L2
− − −
h2 (−1+cos h) L2 h(h cos h−sin h) L h2 (−1+cos h) L2 h(h−sin h) L
−
−
h3 sin h L3 h2 (−1+cos h) L2 h3 sin h L3 h2 (−1+cos h) L2
−
h2 (−1+cos h) L2 h(h−sin h) L h2 (−1+cos h) L2 h(h cos h−sin h) L
− −
.
(5.9.152)
ˇ nosti I I. reda 5. Teorija elastic
35
Oslobod-en je kut zaokreta na krajnjem ˇcvoru ˇstapa, ϕk , a pripadni moment jednak je nuli, M ki = 0. Iz ˇcetvrtog retka matrice krutosti moˇzemo izraziti kut zaokreta ϕk kao funkciju ostalih pomaka, wi , ϕi , wk , (5.9.150) ,
ϕk = =
−
−
h2 (−1+cos h) L2
−
h(h−sin h) L
wi +
ϕi +
h2 (−1+cos h) L2
h(h cos h−sin h) L
h ( 1 + cos h) h 1sin h wi + ϕi L (h cos h sin h) h cos h sin h
−
−
−
−
wk
− L h(h(−cos1 +h −cossinh)h) w
k
(. 5.9.153)
Lokalnu kondenziranu matricu krutosti jednostrano upetog ˇstapa moˇzemo sada dobiti uvrˇstavanjem izraza za kut ϕk u ostale retke matrice krutosti, (5.9.151) Matricu krutosti moˇzemo razviti u Taylorov red po h u okolini 0, pa uzimaju´ci u obzir do maksimalno kvadratnog ˇclana slijedi
KC ik = EI
3 L3 3 L2 3 L3
6h2 5L32 h + 5L 2 6h2 + 5L3
− − −
3 L2 3 L 3 L2
−
0
h2 5L2 h2 5L2 h 5L2
+
− −
0
3 L3 3 L2 3 L3
−
6h2 5L3 h2 5L22 6h 5L3
+
− −
0
0 0 0 0
.
(5.9.154)
Razvijenu matricu krutosti moˇzemo izraziti pomo´cu uzduˇzne tlaˇcne sile H umjesto uzduˇzne karakteristike h
KC ik =
3EI 6H L3 5L 3EI H + L2 5 3EI 6H + L3 5L
−−
− 0
3EI L2 3EI L 3EI L2
−
H 5 HL 5 H 5
+
− − 0
3EI L3 3EI L2 3EI L3
−
6H 5L H 5 6H 5L
+
− − 0
0 0 0 0
.
(5.9.155)
Primjer 5.9.6. Matrica krutosti upeto-upeto kliznog tlaˇcnog ˇstapa kondenzacijom matrice krutosti obostrano upetog tlaˇcnog ˇstapa
Promatramo upeto-upeto klizni tlaˇcni ˇstap, H < 0, s popreˇcnom vezom oslobod-enom na desnom kraju ˇstapa, (Slika 5.9.). Potrebno je odrediti kondenziranu maricu krutosti prema Teoriji II. reda. Slika 5.13: Upeto-upeto klizni tlaˇcni ˇstap
Matrica krutosti obostrano upetog tlaˇcnog ˇstapa, (5.5.113), glasi
Kik =
EI 2 + 2 cos h + h sin h
−
h3 sin h L3 h2 (−1+cos h) L2 h3 sin h L3 h2 (−1+cos h) L2
− − −
h2 (−1+cos h) L2 h(h cos h−sin h) L h2 (−1+cos h) L2 h(h−sin h) L
−
−
h3 sin h L3 h2 (−1+cos h) L2 h3 sin h L3 h2 (−1+cos h) L2
−
h2 (−1+cos h) L2 h(h−sin h) L h2 (−1+cos h) L2 h(h cos h−sin h) L
− −
.
(5.9.156) Osloboden je popreˇcni pomak na krajnjem ˇcvoru ˇstapa, wk , a pripadna popreˇcna sila jednaka je nuli, T ki = 0. Iz tre´ceg retka matrice krutosti moˇzemo izraziti popreˇcni pomak
ˇ nosti I I. reda 5. Teorija elastic
36
wk kao funkciju ostalih pomaka, wi , ϕi , ϕk , (5.9.150) , wk = =
−
h3 sin h L3
wi +
h2 (−1+cos h) L2
−
ϕi +
h2 (−1+cos h) L2
h3 sin h L3
ϕk
h csc h) L (−1 + cos h csc h) ϕ − ϕ −w − L (−1 + cos h h i
i
k
.
(5.9.157)
Lokalnu kondenziranu matricu krutosti upeto-upeto kliznog ˇstapa moˇzemo sada dobiti uvrˇstavanjem izraza za popreˇcni pomak wk u ostale retke matrice krutosti, (5.9.151) Matricu krutosti moˇzemo razviti u Taylorov red po h u okolini 0, pa uzimaju´ci u obzir do maksimalno kvadratnog ˇclana slijedi 0 0 KC ik = EI 0 0
0
0 0 0 0
h2 3L
1 L
− 0 − − 1 L
h2 6L
0 1 L
− − 0 −
h2 6L
h2 3L
1 L
.
(5.9.158)
Razvijenu matricu krutosti moˇzemo izraziti pomo´cu uzduˇzne tlaˇcne sile H u mjesto uzduˇzne karakteristike h
0 0 KC ik = 0 0
0 EI L
HL 3
− 0 − − EI L
HL 6
0 0 0 0
0 EI L
− − 0 − EI L
HL 6
HL 3
.
(5.9.159)
37
6. Imperfekcije
6.
Imperfekcije
6.1.
Osnovne definicije i preduvjeti
Tijekom procesa izvedbe konstrukcije i pojedinih konstruktivnih elemenata dolazi do odred-enih odstupanja od planirane geometrije i planiranih svojstava konstrukcije. Takva odstupanja zovemo imperfekcije . Razlikujemo dvije osnovne vrste imperfekcije
• geometrijske imperfekcije (odstupanja u mjerama), • imperfekcije konstrukcije (nehomogenost materijala, parazitna naprezanja zbog varova,. . . ) .
Za pojednostavljenje proraˇcuna moˇzemo sva neplanirana odstupanja od proraˇcunskog modela uzeti u obzir kao zamjenske geometrijske imperfekcije. Utjecaj poˇcetnih deformacija na statiˇcke veliˇcine u proraˇcunu po teoriji I. reda ne uzimamo u obzir.
6.2.
Izvod diferencijalnih jednadˇ zbi
Jednadˇzbe ravnoteˇze postavljamo na elementu s poˇcetnom deformacijom bez naprezanja na kojem dolazi i do deformacije pod djelovanjem optere´cenja. Jednadˇzbe glase ˇ Slika 6.1: Stap s poˇcetnom deformacijom bez naprezanja pod djelovanjem optere´cenja
K x = 0
⇒ ⇒ ⇒
K z = 0 M = 0
H = const. ,
(6.2.1)
dV + qdx = 0 ,
(6.2.2)
dM + H dw p + dwel
Nakon integracije jednadˇzbe ravnoteˇze momenata slijedi
M + H w p + wel =
odnosno
M + Hwel =
p
−Hw
+
−
V dx = 0 .
(6.2.3)
V dx
−c
(6.2.4)
V dx
−c.
(6.2.5)
ˇ Clan Hwel dodatak je u odnosu na teoriju I. reda , a ˇclan Hw p dodatak je u odnosu na teoriju II. reda bez poˇcetne deformacije. Zakon elastiˇcnosti za moment vrijedi samo za elastiˇcnu deformaciju, M = EIwel , (6.2.6) ′′
−
slijedi EI w
el
′′
− Hw
el
= Hw
a nakon mnoˇzenja s koeficijentom 1/EI wel
′′
−
p
H el H p w = w EI EI
−
−
V dx
−c,
V c dx + . EI EI
(6.2.7)
(6.2.8)
38
6. Imperfekcije
Prethodnu jednadˇzbu promatramo dalje samo za sluˇcaj optere´cenja od poˇcetnog pomaka w p , uz wel = w, H H p w′′ w= w . (6.2.9) EI EI
−
6.3.
Rjeˇ senje diferencijalne jednadˇ zbe
Rjeˇsenje jednadˇzbe (6.2.9) moˇzemo zapisati kao zbroj homogenog i partikularnog rjeˇsenja. Promatramo paralelno jednadˇzbu za tlaˇcnu (H < 0) i vlaˇcnu silu (H > 0) u prirodnom koordinatnom sustavu ξ = x/L uz uvedenu uzduˇznu karakteristiku ˇstapa, (5.4.16). Jednadˇzbe glase H<0 h2 h2 p w′′ + 2 w = w L L2
H>0 h2 h2 p w′′ w = w , L2 L2
−
−
(6.3.10) (6.3.11)
6.3.1.
Partikularno rjeˇ senje u prirodnom koordinatnom sustavu
Homogeno rjeˇsenje za tlaˇcnu horizontalnu silu (H < 0) glasi wH = (c1 sin hξ + c2 cos hξ ) L ,
(6.3.12)
a za vlaˇcnu horizontalnu silu (H > 0) wH = (c1 sh hξ + c2ch hξ ) L . Partikularno rjeˇsenje ovisi o obliku poˇcetne deformacije. poˇcetnu deformaciju w p = w0 1 4ξ 2 ,
(6.3.13) Pretpostavimo paraboliˇcnu
−
slijedi op´ci oblik partikularnog rjeˇsenja
2
− −
wP = d0 + d1ξ + d2 ξ L ,
(6.3.14)
(6.3.15)
a uvrˇstavanjem u polaznu jednadˇzbu slijede partikularna rjeˇsenja za tlaˇcnu silu
wP = w0 4ξ 2 i za vlaˇcnu silu
− h8
wP = w0 4ξ 2 +
6.3.2.
2
8 h2
1
,
(6.3.16)
1
,
(6.3.17)
Partikularno rjeˇ senje u standardnom koordinatnom sustavu
Homogeno rjeˇsenje za tlaˇcnu horizontalnu silu (H < 0) glasi wH = c1 sin
hx hx + c2 cos , L L
(6.3.18)
hx hx + c2 ch . L L
(6.3.19)
a za vlaˇcnu horizontalnu silu (H > 0) wH = c1 sh
39
6. Imperfekcije
Partikularno rjeˇsenje ovisi o obliku poˇcetne deformacije. Pretpostavimo paraboliˇcnu poˇcetnu deformaciju, uz ishodiˇste u sredini ˇstapnog elementa, w p = w0 1
4x2 ,
−
slijedi op´ci oblik partikularnog rjeˇsenja
(6.3.20)
wP = d0 + d1 ξ + d2 ξ 2 ,
(6.3.21)
a uvrˇstavanjem u polaznu jednadˇzbu slijede partikularna rjeˇsenja za tlaˇcnu silu wP = w0 i za vlaˇcnu silu
w0 L
wP =
8 1+ 2 h 4ξ 2 +
− − 4ξ 2
,
(6.3.22)
1
,
(6.3.23)
8 h2
Primjer 6.3.7. Slobodno oslonjeni tlaˇcni ˇstap u prirodnom koordinatnom sustavu Konstante c1 , c2 odredimo iz rubnih uvjeta promatranog ˇstapa duljine L. Pomaci leˇzajeva jednaki nuli i simetrija povlaˇce vrijednosti koeficijenata za tlaˇcnu silu c1 = 0 , c2 =
− Lh8wcos 0
2
(6.3.24)
,
h 2
Sada slijedi konaˇcni izraz za progib u sluˇcaju tlaˇcne sile w = =
−
8w0 cos hξ + w0 4ξ 2 h 2 h cos 2
hξ −1 + cos −w cos
8w0 h2
h 2
p
−
8 h2
− 1
,
(6.3.25)
Primjer 6.3.8. Slobodno oslonjeni tlaˇcni ˇstap u standardnom koordinatnom sustavu Konstante c1 , c2 odredimo iz rubnih uvjeta promatranog ˇstapa duljine L. Pomaci leˇzajeva jednaki nuli i simetrija povlaˇce vrijednosti koeficijenata za tlaˇcnu silu c1 = 0 , c2 =
−
8w0 L2 , h2 cos h2
(6.3.26)
Sada slijedi konaˇcni izraz za progib u sluˇcaju tlaˇcne sile w =
−
8w0 L2 hx cos + w0 4x2 h 2 L h cos 2 2
8w0 L = h2
−
cos hx L 1+ cos h2
− − 41
p
−w
8 h2
,
(6.3.27)
Primjer 6.3.9. Obostrano upeti tlaˇcni ˇstap u prirodnom koordinatnom sustavu Konstante c1 , c2 odredimo iz rubnih uvjeta promatranog ˇstapa duljine L. Kutevi zaokreta leˇzajeva jednaki su kutu zaokreta poˇcetne imperfekcije. Takav leˇzajni uvjet i simetrija povlaˇce vrijednosti koeficijenata za tlaˇcnu silu c1 = 0 , c2 = 0 ,
(6.3.28)
40
6. Imperfekcije
Sada slijedi konaˇcni izraz za progib jednak partikularnom rjeˇsenju
2
w = w0 4ξ =
8 h2
−
− 8w −w h 0 2
p
− 1
.
(6.3.29)
Primjer 6.3.10. Obostrano upeti tlaˇcni ˇstap u standardnom koordinatnom sustavu Konstante c1, c2 odredimo iz rubnih uvjeta promatranog ˇstapa duljine L. Kutevi zaokreta leˇzajeva jednaki su kutu zaokreta poˇcetne imperfekcije. Takav leˇzajni uvjet i simetrija povlaˇce vrijednosti koeficijenata za tlaˇcnu silu c1 = 0 , c2 = 0 ,
(6.3.30)
Sada slijedi konaˇcni izraz za progib jednak partikularnom rjeˇsenju
−
8 h2
− 8w −w h
.
w = w0 4x =
0 2
2
p
− 1
(6.3.31)
41
7. Postupak P-Delta
7.
Postupak P-Delta
7.1.
Osnovna ideja postupka
Postupak P-Delta iterativni je postupak proraˇ cuna po Teoriji II. reda. Predstavlja linearizaciju jednadˇzbi nelinearne teorije. U sustavu jednadˇzbi ravnoteˇze uz nepoznate pomake imamo i nepoznatu uzduˇznu silu N . Elementi matrice krutosti iskazani su kao funkcija uzduˇ zne sile. Pretpostavimo li neku vrijednost uzduˇzne sile matrica krutosti posta je neovisna vrijednostima unutarnjih sila ˇsto dovodi do mogu´cnosti proraˇcuna po linearnoj teoriji, inˇzenjerskoj metodi pomaka. Poˇcetnu vrijednost uzduˇzne sile N 0 dobivenu linearnim proraˇcunom mijnjamo tijekom iterativnog postupka do konaˇcne vrijednosti N n nakon n iteracija. Ako su pomaci konstrukcije veliki, Moˇzemo nakon linearnog proraˇcuna mijenjati i koordinate ˇcvorova, uz novi proraˇcun lokalnih matrica krutosti pripadnih ˇstapova. Konaˇcne sile na krajevima ˇstapova iznose nelin f ik = Klin u + f ik . ik + Kik
(7.1.1)
U prvom koraku provedemo linearni proraˇcun i odredimo uzduˇzne sile u svim elementima konstrukcije. Nakon toga odredimo lokalne matrice krutosti ˇstapova, lokalne vektore upetosti, globalnu matricu krutosti i globalni vektor upetosti kao funkcije uzduˇznih sila dobivenih nakon linearnog proraˇcuna. Nepoznanice su translatorni pomaci i kutevi zaokreta prema inˇzenjerskoj metodi pomaka. Iz jednadˇzbi ravnoteˇze ˇcvorova i jednadˇzbi radova na nepoznatim translatornim pomacima odredimo vrijednosti nepoznatih pomaka i sila na kra jevima ˇstapova.
7.2.
Numeriˇ cki proraˇcun
Primjer 7.2.1. Na zadanom okvirnom nosaˇcu potrebno je odrediti momente u ˇcvorovima K
q EI EI
L L
Slika 7.1: Zadani okvirni nosaˇc Zadane su vrijednosti E = 2 108 kN/m2 , I = 25170 cm4 L = 6 m , q = 40 kN/m′ , K = 1000 kN .
·
U prvom dijelu proraˇcuna odredit ´cemo unutarnje sile linearnim proraˇcunom, npr, inˇzenjerskom metodom pomaka. Jedina nepoznanica je kut zaokreta ϕ2 pa su izrazi za momente na
42
7. Postupak P-Delta
krajevima ˇstapova jednaki 2EI ϕ2 = 16780ϕ2 , L 4EI = ϕ2 = 33560ϕ2 , L 4EI qL 2 = ϕ2 + = 33560ϕ2 + 120 , L 12 2EI qL 2 = ϕ2 = 16780ϕ2 120 . L 12
M 12 = M 21 M 23 M 32
−
−
Iz ravnoteˇze ˇcvora 2 slijedi
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
M 21 + M 23 = 0 67120ϕ2 + 120 = 0 3 ϕ2 = , 1678 M 12 = 30 kNm , M 21 = 60 kNm , M 23 = 60 kNm , M 32 = 150 kNm , N s = N 21 = N 12 = 1105 kN (tlak) , N g = N 32 = N 23 = 15 kN (tlak) .
− −
−
− −
−
Sada izraˇcunamo potrebne pripadne koeficijente (kϕ ϕ i kϕ ϕ ) u nelinearnoj matrici krutosti i nelinearne sile upetosti tlaˇcnog ˇstapa prema izrazima (kvadratna aproksimacija) i
i
i
i
4EI 2LH , L 15 2EI LH kϕ ϕ = + , 30 L qL 2 qL 4 H M ik = + , 12 720EI qL 2 qL 4 H M ik = . 12 720EI kϕ ϕ = i
i
i
k
−
−
−
ˇsto povlaˇci izraze za momente na kra jevima ˇstapova M 12 = M 21 = M 23 = = M 32 = =
−
2EI LN s + ϕ2 = (16780 + 221) ϕ2 = 17001ϕ2 , 30 L 4EI 2LN s ϕ2 = (33560 884) ϕ2 = 32676ϕ2 , L 15 4EI 2LN g qL 2 qL 4 N g + ϕ2 + L 15 12 720EI (33560 12) ϕ2 + 120, 0215 = 33548ϕ2 + 120, 0215 , 2EI LN g qL 2 qL 4N g + ϕ2 + L 30 12 720EI (16780 + 3)ϕ2 120, 0215 = 16783ϕ2 120, 0215 .
−
− −
−
−
−
43
7. Postupak P-Delta
Iz ravnoteˇze ˇcvora 2 sada slijedi
⇒ ⇒ ⇒
M 21 + M 23 = 0 66224ϕ2 + 120, 0215 = 0
−0.0018124 ≈ − 551,17678 , M = −30, 812 kNm , M = −59, 221 kNm , M = 59, 221 kNm , M = −150, 438 kNm , ⇒ N = N = −N = 1104, 7972 kN (tlak) , N = N = −N = 15, 0055 kN (tlak) . ϕ2 = 12
21
23
32
s
21
12
g
32
23
Provest ´cemo joˇs jednu iteraciju da moˇemo uvidjeti bliskost rjeˇsenja i dovoljnost prethodne iteracije u praktiˇcnom smislu. Izrazi za momente na krajevima ˇstapova su sada M 12 = M 21 = M 23 = = M 32 = =
−
2EI LN s + ϕ2 = (16780 + 220, 96) ϕ2 = 17001, 04ϕ2 , L 30 4EI 2LN s ϕ2 = (33560 883, 84) ϕ2 = 32676, 16ϕ2 , L 15 4EI 2LN g qL 2 qL 4 N g ϕ2 + + L 15 12 720EI (33560 12, 0044) ϕ2 + 120, 02146 = 33547, 9956ϕ2 + 120, 02146 , 2EI LN g qL 2 qL 4 N g + ϕ2 + L 30 12 720EI (16780 + 3, 0011) ϕ2 120, 02146 = 16783, 0011ϕ2 120, 02146 .
−
− −
−
−
−
Iz ravnoteˇze ˇcvora 2 sada slijedi
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
M 21 + M 23 = 0 66224, 1556ϕ2 + 120, 02146 = 0 1 ϕ2 = 0, 0018124 , 551, 7693 M 12 = 30, 812 kNm , M 21 = 59, 221 kNm , M 23 = 59, 221 kNm , M 32 = 150, 438 kNm , N s = N 21 = N 12 = 1104, 7972 kN (tlak) , N g = N 32 = N 23 = 15, 0055 kN (tlak) .
− −
≈−
− −
− −
Rezultati su jednaki na prikazanu decimalu. To znaˇci da je u ovakvom primjeru ve´c nakon prve iteracije dobiveno zadovoljavaju´ce nelinearno rjeˇsenje.
Primjer 7.2.2. Na prethodnom primjeru potrebno je odrediti momente u ˇcvorovima, ali za razliˇ citu krutost konstrukcije
Sve su vrijednosti jednake kao u prethodnom primjeru osim momenta inercije popreˇcbog presjeka I = 5700 cm4 . Linearni dio proraˇcuna da je jednake vrijednosti momenata kao u prethodnom primjeru, zbog istog odnosa krutosti stupa i grede, ali uz ve´ci kut zaokreta
44
7. Postupak P-Delta
zbog manje krutosti konstrukcije. Momenti na krajevima ˇstapova jednaki su 2EI ϕ2 = 3800ϕ2 , L 4EI = ϕ2 = 7600ϕ2 , L 4EI qL 2 = ϕ2 + = 7600ϕ2 + 120 , L 12 2EI qL 2 = ϕ2 = 3800ϕ2 120 . 12 L
M 12 = M 21 M 23 M 32
−
−
Iz ravnoteˇze ˇcvora 2 slijedi
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
M 21 + M 23 = 0 15200ϕ2 + 120 = 0 3 1 ϕ2 = , 380 126, 6˙ M 12 = 30 kNm , M 21 = 60 kNm , M 23 = 60 kNm , M 32 = 150 kNm , N s = N 21 = N 12 = 1105 kN (tlak) , N g = N 32 = N 23 = 15 kN (tlak) .
− ≈− −
−
− −
−
Sada izraˇcunamo kvadratnu aproksimaciju potrebnih pripadnih koeficijenata (kϕ ϕ i kϕ ϕ ) u nelinearnoj matrici krutosti i nelinearne sile upetosti tlaˇcnog ˇstapa i dobivamo izraze za momente na krajevima ˇstapova i
M 12 = M 21 = M 23 = = M 32 = =
−
2EI LN s + ϕ2 = (3800 + 221) ϕ2 = 4021ϕ2 , L 30 4EI 2LN s ϕ2 = (7600 884) ϕ2 = 6716ϕ2 , L 15 4EI 2LN g qL 2 qL 4 N g ϕ2 + + L 15 12 720EI (7600 12) ϕ2 + 120, 0474 = 7588ϕ2 + 120, 0474 , 2EI LN g qL 2 qL 4 N g + ϕ2 + L 30 12 720EI (3800 + 3) ϕ2 120, 0474 = 3803ϕ2 120, 0474 .
−
− −
−
−
−
Iz ravnoteˇze ˇcvora 2 sada slijedi
⇒ ⇒ ⇒
M 21 + M 23 = 0 14304ϕ2 + 120, 0474 = 0
−0, 0083926 ≈ − 119,1153 , M = −33, 747 kNm , M = −56, 365 kNm , M = 56, 365 kNm , M = −151, 964 kNm , ⇒ N = N = −N = 1104, 0668 kN (tlak) , N = N = −N = 15, 0187 kN (tlak) . ϕ2 = 12
21
23
32
s
21
12
g
32
23
i
i
i
45
7. Postupak P-Delta
Moˇ zemo uoˇciti da su razlike momenata u ˇcvorovima manje od 1%, pa nije potrebno za praktiˇcnu primjenu provoditi daljnje iteracije. Neˇsto je ve´ ca razlika u kutu zaokreta ˇcvora koja iznosi oko 6%. Razlike su neˇsto ve´ce nego u prethodnom primjeru zbog manje krutosti konstrukcije koja rezuktira ve´ cim utjecajem nelinearnog ponaˇsanja konstrukcije
Primjer 7.2.3. Na zadanom okvirnom nosaˇcu potrebno je odrediti momente u ˇcvorovima K H
K V
K V EI
EI
EI
H
L
Slika 7.2: Zadani okvirni nosaˇc Zadane su vrijednosti E = 2 108 kN/m2 , I = 25170 cm4 H = 4 m , L = 6 m , K H = 120 kN , K V = 1000 kN .
·
U prvom dijelu proraˇ cuna odredit ´cemo unutarnje sile linearnim proraˇ cunom, npr, inˇ zenjerskom metodom pomaka. Nepoznanice su kutevi zaokreta ϕ2 , ϕ3 i translatorni pomak u2/3 = u. Izrazi za momente na krajevima ˇstapova su M 12 = M 21 = M 23 = M 32 = M 34 = M 43 =
2EI ϕ2 + H 4EI ϕ2 + H 4EI ϕ2 + L 2EI ϕ2 + L 4EI ϕ3 + H 2EI ϕ3 + H
6EI u = 25170ϕ2 + 18877, 5u , H 2 6EI u = 50340ϕ2 + 18877, 5u H 2 2EI ϕ3 = 33560ϕ2 + 16780ϕ3 , L 4EI ϕ3 = 16780ϕ2 + 33560ϕ3 , L 6EI u = 50340ϕ3 + 18877, 5u , H 2 6EI u = 25170ϕ3 + 18877, 5u . H 2
Iz ravnoteˇze ˇcvorova 2, 3 i jednadˇzbe rada na jediniˇcnom translatornom pomaku u slijedi sustav jednadˇzbi 0 = 83900ϕ2 + 16780ϕ3 + 18877, 5u 0 = 16780ϕ2 + 83900ϕ3 + 18877, 5u 120 = 18877, 5ϕ2 + 18877, 5ϕ3 + 18877, 5u Rjeˇsenje sustava daje vrijednosti nepoznatih pomaka ϕ2 = ϕ3 =
8 1 , u = 0, 0101708 ≈ . −0, 001907 = − 4195 98, 32
46
7. Postupak P-Delta
Momenti na krajevima ˇstapova su M 12 = 144 kNm , M 21 = 96 kNm , M 23 = 96 kNm , M 32 = 96 kNm , M 34 = 96 kNm , M 43 = 144 kNm ,
−
−
a uzduˇzne (tlaˇcne) sile iznose N s1 = N 21 = N 12 = 968 kN , N g = N 32 = N 23 = 60 kN , N s2 = N 43 = N 34 = 1032 kN .
− − −
Sada izraˇcunamo potrebne pripadne nelinearne koeficijente matrice krutosti i izraze za momente na krajevima ˇstapova M 12 = = M 21 = = M 23 = = M 32 = = M 34 = = M 43 = =
2EI HN s1 + H 30 25170 + 129.06˙ 4EI 2HN s1 H 15 50340 516, 26˙
− − − − − − −
6EI N s1 ϕ2 + u H 2 10 ˙ 2 + 18780, 7u , ϕ2 + (18877, 5 96, 8) u = 25299, 06ϕ 6EI N s1 ϕ2 + u H 2 10 ˙ 2 + 18780, 7u , ϕ2 (18877, 5 96, 8) u = 49823, 73ϕ 4EI 2LN g 2EI LN g + ϕ2 + ϕ3 L 15 L 30 (33560 48) ϕ2 + (16780 + 12) ϕ3 = 33512ϕ2 + 16792ϕ3 , 4EI 2LN g 2EI LN g ϕ3 + + ϕ2 L 15 L 30 (33560 48) ϕ3 + (16780 + 12) ϕ3 = 33512ϕ3 + 16792ϕ2 , 4EI 2HN s2 6EI N s2 ϕ3 + u H 15 H 2 10 (50340 550, 4) ϕ3 (18877, 5 103, 2) u = 49789, 6ϕ3 + 18774, 3u , 2EI HN s2 6EI N s2 + ϕ3 + u H 30 H 2 10 (25170 + 137.6) ϕ3 (18877, 5 103, 2) u = 25307, 6ϕ3 + 18774, 3u ,
− − − − − − − −
−
Prve dvije jednadˇzbe su jednadˇzbe ravnoteˇze ˇcvorova, a jednadˇzba rada na deformiranom okviru glasi
−
(M 12 +21 )
· − 1 4
+ (M 34 + M 43 )
· − 1 4
+ K h 1, 0 + 2K v
·
·
u =0. 4
Posebno treba uoˇciti zadnji ˇclan u prethodnoj jednadˇzbi. Taj ˇclan pojavljuje se samo u jednadˇzbi rada na deformiranom okviru. Sustav jednadˇzbi sada glasi ˙ 2 + 16792ϕ3 + 18780, 7u 0 = 83335, 73ϕ 0 = 16792ϕ2 + 83301, 6ϕ3 + 18774, 3u 120 = 18780, 7ϕ2 + 18774, 3ϕ3 + 18827, 5u
47
7. Postupak P-Delta
Rjeˇsenje sustava daje vrijednosti nepoznatih pomaka ϕ2 = ϕ3 =
−0, 00200367 = , u = 0, 010682 ≈ 93,1612 .
Momenti na krajevima ˇstapova su M 12 = 149, 932 kNm , M 21 = 100, 793 kNm , M 23 = 100, 793 kNm , M 32 = 100, 793 kNm , M 34 = 100, 793 kNm , M 43 = 149, 847 kNm ,
−
−
a uzduˇzne (tlaˇcne) sile iznose N s1 = N 21 = N 12 = 969, 86 kN , N g = N 32 = N 23 = 57, 32 kN , N s2 = N 43 = N 34 = 1030, 14 kN .
− − −
Rezultati su vrlo bliski linearnom proraˇcunu ˇsto povlaˇci da u praktiˇcnom smislu nije potrebno provoditi dodatne iteracija.
Primjer 7.2.4. Na zadanom okviru potrebno je odrediti momente u ˇcvorovima K H
K V
K V EI
EI
EI
H
L
Slika 7.3: Zadani okvirni nosaˇc Zadane su vrijednosti E = 2 108 kN/m2 , I = 5700 cm4 H = 4 m , L = 8 m , K H = 10 kN , K V = 1000 kN .
·
U prvom dijelu proraˇ cuna odredit ´cemo unutarnje sile linearnim proraˇ cunom, npr, inˇ zenjerskom metodom pomaka. Nepoznanica je samo translatorni pomak u2/3 = u. Izrazi za momente na krajevima ˇstapova su 3EI u = 2137, 5u , H 2 3EI = u = 2137, 5u . H 2
M 12 = M 43
Iz jednadˇzbe rada na jediniˇcnom translatornom pomaku u slijedi jednadˇzba 0 =
−
(M 12 + M 43
10 = 1068, 75u
−1 + K · 1, 0 ) H
h
48
7. Postupak P-Delta
Rjeˇsenje sustava daje vrijednosti nepoznatog pomaka u == 0, 009357 =
8 . 855
Momenti na krajevima ˇstapova su M 12 = M 43 = 20 kNm , a uzduˇzne (tlaˇcne) sile iznose N s1 = N 21 = N s2 = N 43 =
−N −N
12 34
= 1000 kN , = 1000 kN .
Sada izraˇcunamo potrebne pripadne nelinearne koeficijente matrice krutosti i izraze za momente na krajevima ˇstapova M 12 = M 43 =
3EI H 2 3EI H 2
− −
N s1 5 N s2 5
u = (2137, 5
− 200)u = 1937, 5u ,
u = (2137, 5
− 200)u = 1937, 5u .
Jednadˇzba rada sada glasi 10 = 468, 75u Rjeˇsenje sustava daje vrijednosti nepoznatog pomaka u = 0, 0213˙ =
8 . 375
Momenti na krajevima ˇstapova su M 12 = 41, 3˙ kNm , M 43 = 41, 3˙ kNm , a uzduˇzne (tlaˇcne) sile jednake su N s1 = N 21 = N s2 = N 43 =
−N −N
12 34
= 1000 kN , = 1000 kN ,
jednake su kao i prije prve iteracije ˇsto povlaˇci da su dobiveni rezultati i konaˇcni. Moˇzemo uoˇciti da nelinearnim proraˇcunom dobivamo horizontalni pomak konstrukcije oko 2,28 puta ve´ci nego linearnim proraˇcunom. Leˇzajni momenti su 2,067 pota ve´ci od momenata dobivenih linearnim proraˇcunom.
49
8. Fizikalna nelinearnsot
8.
Fizikalna nelinearnsot
8.1.
Prethodne napomene
Fizikalna linearna teorija ograniˇcna je na linearno podruˇcje σ ǫ dijagrama, na podruˇcje u kojem vrijedi Hookeov zakon. Optere´cenje otkazivanja konstrukcije optere´cenje je kod kojeg je dostignuto graniˇcno elastiˇcno optere´cenje, granica teˇcenja. Ograniˇcenjem optere´cenja na dostizanje graniˇcnog elastiˇcnog optere´cenja konstrukcija zapravo nije u potpunosti iskoriˇstena. Za pove´canje optere´cenja preko granice elastiˇcnog optere´cenja do granice otkazivanja potrebno je odgovaraju´ce uzeti u obzir nelinearno ponaˇsanje materijala. Kao i kod geometrijske nelinearnosti, svaki nelinearni zakon ponaˇsanja materijala vodi do nelinearnog odnosa optere´cenja i statiˇckih veliˇcina konstrukcije.
−
8.2. 8.2.1.
Aproksimacija nelinearnog ponaˇsanja materijala Pregled
Nelinearno ponaˇsanje materijala moˇzemo pribiˇzno iskazati
• razvojem u red potencija, • op´cim bilinearnim izrazom, • posebnim bilinearnim izrazom (linearno elastiˇcno / idealno plastiˇcno), • parabola-pravokutnik izrazom (nelinearno ponaˇsanje betona). 8.2.2.
Razvoj u red potencija
Dijagram σ ǫ bez izraˇzenog podruˇcja teˇcenja moˇzemo pribliˇzno iskazati razvo jem u red potencija u obliku σ = Eǫ 1 = c1 ǫ + c2 ǫ2 + . . . cnǫn , (8.2.1)
−
pri ˇcemu vrijednosti E i ci , i = 1, . . . , n dobivamo na temelju ispitivanja. Ako promatramo ponaˇsanje materijala u odred-enom presjeku, naprezanje i deformacija su samo u funkciji varijable z , σ(x, z ) = σ(z ) i ǫ(x, z ) = ǫ(z ). Jednadˇzba (1.3.20) vrijedi i kod nelinearnog ponaˇsanja materijala, M =
σ(z )zdF =
F
σ(ǫ(z ))zdF .
(8.2.2)
F
Uvrˇstavanjem jednadˇzbe (8.2.1) u jednadˇzbu (8.2.2) slijedi jednadˇzba konstitucije M = E
zǫ 1 + c1 ǫ + c2 ǫ2 + . . . cn ǫn .
F
(8.2.3)
Uz pretpostavku malih pomaka, izraz za deformaciju je ǫ(z ) = u′
− zw
′′
,
(8.2.4)
50
8. Fizikalna nelinearnsot
ˇsto povlaˇci, prema jednadˇzbi (8.2.3),
− −
M = E u′
zdF
F
+c1
z 2 dF
w′′
F
u′2
zdF
2w′′u′
F
z 2 dF + w′′2
F
z 3dF . . .
.
(8.2.5)
F
Vidljivo je da su prva dva ˇclana u izrazu (8.2.5) zapravo ˇclanovi iz linearne teorije. U ostalim ˇclanovima dolazi do viˇsih potencija zakrivljenosti w′′
8.2.3.
Op´ ca bilinearna aproksimacija
Aproksimaciju nelinearnog ponaˇsanja materijala moˇzemo provesti i op´com bilinearnom aproksimacijom. Na taj naˇcin nelinearno ponaˇsanje materijala aproksimiramo bilinearnim elastiˇcnim ponaˇsanjem. Podruˇcje deformacija podijelimo na dva dijela i u svakom dijelu postavimo pripadnu linearnu vezu izmed-u naprezanja i deformacija, Slika 8.2.3. . Slika 8.1: Bilinearna aproksimacija nelinearnog ponaˇsanja materijala
Takva bilinearna aproksimacija dijeli σ ǫ dijagram na dva dijela, I i II, s graniˇcnim vrijednostima ǫ1 , ǫ2 i σ1 , σ2 . Nelinearno ponaˇsanje aproksimirano je sekantom izmed-u tih vrijednosti, nagibima E 1 i E 2 u pripadnim podruˇcjima. Zakon elastiˇcnosti u podruˇcju I glasi σ ]rmI = E 1ǫ , (8.2.6)
−
a u podruˇcju II σ II = σ1 + E 2 (ǫ
−ǫ ) . 1
(8.2.7)
Ako promatramo suˇcaj ˇcistog savijanja ( σdF = N = 0), moramo iskazati samo odmos M = zσdF . ZA takvo optere´cenje moˇzemo prikazati odnos naprezanja i deformacija s porastom optere´cenja , (Slika 8.2.3.). U podruˇcju I, ponaˇsanje je jednako
Slika 8.2: Os=dnos naprezanja i deformacija uz bilinearnu aproksimaciju
linearnom ponaˇsanju materijala, uz moment otpora popreˇcnog presjeka W I , M =
′′
−EI w , σ
I
= M/W I .
(8.2.8)
U podruˇcju II, zbog Bernoullijeve pretpostavke ravnih popreˇcnih presjeka, funkcija naprezanja ima lom na visini dostizanja deformacije ǫ1 i naprezanja σ1 . Integraciju naprezanja u podruˇcju II provodimo u dva dijela, integraciju preko cijelog presjeka i oduzimanjem integrirane razlike ∆σ na dijelu gdje deformacija prelazi ǫ1 . Razlika ∆σ je zapravo razlika naprezanja izmed-u napreaznja izraˇcunatog prema linearnom zakonu u podruˇcju I i