Metodo de Euler Mejorado

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco Curso: Análisis Numérico Práctica: •

METODO DE EULER MEJORADO

Profesor: Miguel Jiméne !umán Alumno: "amora #ernán$e Omar  !ru%o: &A'( Mé)ico D*+*, D*+*, Diciem-re $e $ e ./01

PRÁCTICA MET!"! "E EU#ER ME$!RA"!

!%$ETI&!' A%licar méto$os numéricos %ara a%ro)imar soluciones $e algunas ecuaciones $iferenciales, 2ien$o as3 la im%ortancia $e los méto$os numéricos 4ue ra$ica en la a%arici5n $e ecuaciones $iferenciales 4ue no %ue$en resol2erse %or méto$os tra$icionales, 6 $e a73 la necesi$a$ $e im%lementar alg8n méto$o $e a%ro)imaci5n*

I(TR!"UCCI!(' Este méto$o se -asa en la misma i$ea $el méto$o anterior, %ero 7ace un refinamiento en la a%ro)imaci5n, toman$o un %rome$io entre ciertas %en$ientes* La f5rmula es la siguiente:

Don$e

En la gráfica, 2emos 4ue la %en$iente %rome$io corres%on$e a la %en$iente $e la recta  -isectri $e la recta tangente a la cur2a en el %unto $e la con$ici5n inicial 6 la 9recta tangente9 a la cur2a en el %unto $on$e es la a%ro)imaci5n o-teni$a con la  %rimera f5rmula $e Euler* +inalmente, esta recta -isectri se trasla$a %aralelamente 7asta el  %unto $e la con$ici5n inicial, 6 se consi$era el 2alor $e esta recta en el %unto la a%ro)imaci5n $e Euler meora$a*

C!"I)! "E# PR!)RAMA E( MAT#A%

como

clear all disp('METODO DE EULER MODIFICADO') clc syms x syms y f=inline(inp!('in"rese la deri#ada$'%'s'))& x=inp!('in"rese el #alr de x$')& y=inp!('in"rese el #alr de y$')& =inp!('in"rese el #alr de $')& n=inp!('in"rese nmer de i!eracines$')& clc disp('x(n) y(n) y(n) y(n*+)%p y(n*+)%p y(n*+)%c')& fr i=+$n s=*x& y+=fe#al(f%x%y)& y+=,y+& y-=y*y+& y.=fe#al(f%s%y-)& y-=y.,& yn=y*((y+*y-)/-)& fprin!f('0n123+f 1234f 1234f 1234f 1234f 1234f'%x%y%y+%y-%y-%yn)& y=yn& x=x*& x=2$+/-2$4& pl!(x% y+%x% y+)& "rid n& end

"IA)RAMA "E *#U$!

E$EMP#! "E AP#ICACI+(

Aplicar el método de Euler mejorado, para aproximar

si:

Solución

Vemos que este es el mismo ejemplo 1 del método anterior. Así que definimos y encontraremos la aproximación después de cinco iteraciones. A diferencia del método de Euler 1, en cada iteración requerimos de dos cálculos en e! de uno solo: el de primero y posteriormente el de

.

"ara aclarar el método eamos con detalle las primeras dos iteraciones. "rimero que nada, aclaramos que tenemos los si#uientes datos iniciales:

En nuestra primera iteración tenemos:

$ótese que el alor de coincidir, pues para calcular

coincide con el se usará

%Euler 1&, y es el 'nico alor que a a y no

.

Esto lo eremos claramente en la si#uiente iteración:

$ótese que ya no coinciden los alores de %Euler 1& y el de . El proceso de(e se#uirse )asta la quinta iteración. *esumimos los resultados en la si#uiente ta(la:

n

+

+

1

1

+.1

1.+1



+.

1.+-++-

/

+./

1.+0/0

-

+.-

1.1/10

2

+.2

1.//3

4oncluímos entonces que la aproximación o(tenida con el método de Euler mejorado es:

C!(C#USI!(' El méto$o mo$ifica$o si la EDO, no es lineal, se re4uiere $e un méto$o iterati2o %ara ca$a inter2alo* Am-os méto$os ; Eulera, lo 4ue aumenta el tiem%o $e cálculo 6 %ro2oca errores $e re$on$eo*