Métodos numéricos - Método de Runge Kutta, Euler y Euler mejorado

8 de diciembre de 2014

[ECUACIONES DIFERENCIALES POR MÉTODOS DE RUNGE KUTA, EULER Y EULER MEJORADO] MEJORADO ]

Solución d de e ecuaciones dif er enciales Método d de R R unge K K uta, E Euler y Euler y E me jor ado

Castillo Sánchez Mayrén Matrícula 00338455 Grupo 432 Turno intermedio Ingeniería en computación [email protected]

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[ECUACIONES DIFERENCIALES POR MÉTODOS DE RUNGE KUTA, EULER Y EULER MEJORADO]

Contenido 1. Introducción ………………………………………………………………… 2 2. Método de Runge Kuta …………………………………………………….. 2.1 Definición ………………………………………………………………… 2.2 Explicación ……………………………………………………………….. 2.3 Ejemplo …………………………………………………………………... 2.3.1 Solución …………………………………………………………

3 3 3 4 4

3. Método de Euler ……………………………………………………………... 3.1 Definición …………………………………………………………………. 3.2 Explicación ……………………………………………………………….. 3.3 Ejemplo …………………………………………………………………… 3.3.1 Solución ………………………………………………………….

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6 6 7

7

4. Método de Euler mejorado ………………………………………………….. 8 4.1 Definición …………………………………………………………………. 8 4.2 Explicación ………………………………………………………………... 8 4.3 Ejemplo ……………………………………………………………………. 8 4.3.1 Solución ………………………………………………………….. 8 5. Conclusión …………………………………………………………………… 10

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Introducción Según Chapra, los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos, de forma tal que puedan ser resueltos utilizando operaciones aritméticas. Se basan principalmente en dos conceptos: recursión y aproximaciones. Esto es, que utilizan la recursión y las aproximaciones así como la iteración para encontrar una solución. La recursividad relaciona términos sucesivos en función de términos anteriores, mientras que las aproximaciones son métodos iterativos por medio de los cuales en cada iteración se acerca más a la solución real del problema. Principalmente, los métodos numéricos son utilizados para:      

Solucionar sistemas de ecuaciones lineales Solucionar sistemas de ecuaciones no lineales y trascendentales Encontrar un valor por medio de tablas (interpolación) Encontrar un comportamiento (modelo) a partir de datos, ajustando una curva Integración numérica de una función Solución numérica de ecuaciones diferenciales

Siendo este último punto el que se ejemplificará y explicará a continuación. Por su parte, una ecuación diferencial se define como una ecuación que relaciona una función (o variable dependiente), su variable o variables (variables independientes), y sus derivadas. Si la ecuación contiene derivadas con respecto a una sola variable independiente entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria; y si contiene las derivadas parciales respecto a dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial en derivadas parciales.

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Método d de R R unge K K utta Def inición El método de Runge Kutta es uno de los métodos más utilizados para resolver numéricamente problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales, el cual proporciona un pequeño margen de error con resp ecto a la solución real del problema y es fácilmente programable en un software para realizar las iteraciones necesarias.

Explicación El método se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales de la forma explícita:

(1)

O e en ssu f f or ma iim pl plícita:

(2)

Este método es de suma utilidad ppar a ecuaciones dif er enciales que no ppueden ser r esultas po por los métodos convencionales, como lo es po por e je jem pl plo la se pa par ación de var ia bles. A Aunque eexisten v var iaciones een eel m método d de R R unge K K utta, eel m más u utilizado ees aquel en el cuál se elige un tamaño de ppaso denominado h y númer o máximo de iter aciones d denominado n n. El m método d de R R unge K K utta e está d dado po ecuación pa este pr por la ssiguiente e par a e pr o bl blema:

(3)

Par a ii=0, 1 1, 2 2, 3 3…, n n-1

La ssolución e está d dada a a llo llar go d del iinter valo ((  ,  + )

Donde:

De esta maner a, el siguiente valor  está deter minado po por el valor actual  más el pr oducto d del ttamaño h h d del iinter valo por una p endiente aa pr oximada. La pendiente ees u un pr omedio d de pendientes:

 = P Pendiente a al pr del iinter valo. pr inci pi pio d 3



 = P Pendiente e en e el pu medio d del iinter valo, u utilizando  pa deter minar el v valor de punto m par a d  Y e en e el punto  + . 

 = D De n nuevo lla pe en e el pu medio d del iinter valo, a ahor a u utilizando  pa pendiente e punto m par a deter minar el v valor de Y Y.  = P Pendiente f f inal d del iinter valo, con e el v valor de Y Y d deter minado por  . Al ppr omediar las cuatr o p pendientes, se le asigna un mayor ppeso a las p pendientes en el pu medio m multi pl punto m plicando po por dos:

E jemplo Usar el m método d de R R unge K K utta pa a pr dada lla e ecuación d dif er encial: par a a pr oximar y(2.2) d y´= x x + + y y

y(2) = = 4 4

Solución Se ttoma h h = = 0 0.1 y y sse lllegar á a a lla a a pr en ttan ssólo d dos pa pr oximación e pasos. Con e esta a aclar ación, sse ttienen llos ssiguientes d datos:

I t e c i : er r a c ó i n 1 :

 = =  + + h h = = 2 2.1  = h h*f ( ,   ) = = 0 0.1 ((2+4) = = 0 0.6 















 = h h*f ( + ,  +  ) = = 0 0.1 ((2.05 + + 4 4.3) = = 0 0.635    = h h*f ( + ,  +  ) = = 0 0.1 ((2.05 + + 4 4.3175) = = 0 0.63675    = h h*f ( + h h,  +  ) = = 0 0.1 ((2.1 + + 4 4.63675) = = 0 0.673675 

 =  + [[          = = 4 4.6362  

I t e c i 2 : er r a c ón ó i n 2 :

 = =  + + h h = = 2 2.2  = h  ) = h*f ( ,  = 0 0.1 ((2.1+4.6362) = = 0 0.67362

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8 de diciembre de 2014 
















 = h h*f ( + ,  + ) = = 0 0.1 ((2.15 + + 4 4.97301) = = 0 0.7123    = h h*f ( + ,  +  ) = = 0 0.1 ((2.15 + + 4 4.99235) = = 0 0.71424    = h h*f ( + h h,  +  ) = = 0 0.1 ((2.2 + + 5 5.35044) = = 0 0.75504 

 =  + [[          = = 5 5.34982  

Se c concluye e entonces q que e el v valor b es: buscado e y ((2.2) ≈ 5 5.34982

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Método d de E Euler Def inición Hasta ahora, se han resuelto ecuaciones diferenciales de variables separables como método convencional. Si una ecuación diferencial se da separable y se otorga también una condición inicial, una solución puede ser hallada por este método. Sin embargo, existen ecuaciones diferenciales en las cuáles esta técnica no funciona. Existen otras técnicas para la solución de ecuaciones diferenciales, pero de nuevo, en ocasiones estas también fallan. Aquí es donde es utilizado el método de Euler. El método de Euler provee una aproximación para la solución de la ecuación diferencial. La idea detrás del método de Euler es el uso del concepto de linealidad al unirse con múltiples segmentos lineales donde se creará una aproximación de la curva real.

Explicación Tres cosas son necesarias para la utilización del método de Euler: 1. Punto inicial: Debe haber un punto inicial conocido ( ,   ) 2. Δx: Se de be contar con el tamaño de salto. Podr á dar se dir ectamente en el pr o blema o ppodr ían dar se los valor es ppar a calcular lo. Entr e más ppequeño sea el salto, m más e exacta sser á lla a a pr pr oximación. 3. La ecuación dif er encial: Se de be conocer la p pendiente de cada segmento lineal pa par a po poder calcular Δy. Al tener un problema que requiera solución por el método de Euler, es recomendable crear la siguiente tabla: (x,y)

Δx

 



  =  

(x + , y y + + )



Los pasos para llenar la tabla anterior son: 1. Las primeras tres columnas deberán ser dadas en el problema, por lo tanto, sólo deben llenarse con la información proporcionada. 2. La Δx o dif er encial de x se mantiene igual p par a cada iter ación del método de Euler , ppor lo tanto ppuede llenar se con el mismo valor toda la columna desde el inicio. 3. Se multi p o btener la plica lla ccolumna dos ((Δx) por la ccolumna ttr es ((Δy/ Δx) par a o columna c cuatr o e en lla pr f ila. pr imer a f 4. Se aagr ega eel v valor de Δx aal v valor de x x een lla pr imer a ccolumna y y eel v valor de Δy aal valor de y en la ppr imer a columna (valor es iniciales) ppar a llenar la última columna. 5. R eescr i b bir el ppunto de la última columna en el segundo r englón de la ppr imer a columna y r e pe petir los pa pasos del dos hasta el cinco hasta llegar al valor deseado de x x.

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E jemplo Usando la técnica de ecuaciones se pa par a bl bles, dado dydx=2(x-1) y el pu punto (1,0) es un punto e en lla c cur va, h hallar la e ecuación d de lla f f or ma y y=f (x) y y u usar la par a e evaluar f (3).

Solución

∫dxdy = ∫2(x-1) y=(x-1)2+c Usando e el punto ((1,0)

0= ((1-1)2+c, e entonces c c=0

Haciendo lla e ecuación

y=(x-1)2

Usando x x=3

y=(3-1)2= 4 4

Entonces, c cuando x x=3, y y=4 Utilizando e el m método d de E Euler , c con lla tta bla ssuger ida: Si sse par te d de x x=1 h hasta x x=3 u usando llos c cinco pasos ssignif ica q que Δx = = 3 3-14=24=0.5

(1,0) (1.5, 0)

0.5 0.5

  0 1

(2, 0.5) (2.5, 1.5)

0.5 0.5

2 3

(x,y)

Δx



  =  

(x + , y y + + )

0 0.5

(1.5, 0)

1 1.5



(2, 0.5) (2.5, 1.5) (3, 3)

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Método d de E Euler m me jorado Def inición El método de Euler mejorado es una modificación del método de Euler para resolver ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales. La solución que ofrece este método, es una tabla de la función solución, con valores de y correspondientes a valores específicos de x.

Explicación Este método se basa en la misma idea del método de Euler, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes. La fórmula es:

 =  + h * [(f (  ,  ) + f (   ))/2] Donde

 =  + h * (f (  ,  )

E jemplo Aplicar el método de Euler mejorado, para aproximar y(0.5) si: y´ = 2xy

y (0) = 1

Solución Se define h = 0.1 y la aproximación será hallada después de cinco iteraciones. Se tienen los siguientes datos iniciales:

I ter ación 1

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I ter ación 2

El proceso continúa durante cinco iteraciones, después de las cuáles se presentan los resultados mostrados en la siguiente tabla: n 0 1 2 3 4 5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

1 1.01 1.040704 1.093988 1.173192 1.28336

Se concluye que la aproximación obtenida con el método de Euler mejorado es igual a

y (0.5) ≈ 1.28336

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Conclusión Este documento f ue ela bo bor ado con la f inalidad de conocer , analizar , o bs bser var y com pr ender los m métodos aaquí pr esentados, ccon lla f f inalidad d de sser ca paces d de u utilizar los en lla ssolución d de eecuaciones dif er enciales ccuando eestas n no p pu uedan sser r esueltas p po or los métodos convencionales. Es de suma im por tancia conocer las dif er entes técnicas y f or mas de solución que a pl plican a diver sos sistemas matemáticos y científ icos, pa par a f acilitar su c com pr ensión, a análisis y y ssolución.

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Métodos numéricos - Método de Runge Kutta, Euler y Euler mejorado

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