Número e mal periódico. periódico. Además, Además, también también como π , es un número un número trascendente,, es decir, que no puede ser raíz de ninguna trascendente ecuación algebraica con algebraica con coeficientes racionales [4] .
First 10,000 decimals of 2. 7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260 5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101901 1573834187 9307021540 8914993488 4167509244 7614606680 8226480016 8477411853 7423454424 3710753907 7744992069 5517027618 3860626133 1384583000 7520449338 2656029760 6737113200 7093287091 2744374704 7230696977 2093101416 9283681902 5515108657 4637721112 5238978442 5056953696 7707854499 6996794686 4454905987 9316368892 3009879312 7736178215 4249992295 7635148220 8269895193 6680331825 2886939849 6465105820 9392398294 8879332036 2509443117 3012381970 6841614039 7019837679 3206832823 7646480429 5311802328 7825098194 5581530175 6717361332 0698112509 9618188159 3041690351 5988885193 4580727386 6738589422 8792284998 9208680582 5749279610 4841984443 6346324496 8487560233 6248270419 7862320900 2160990235 3043699418 4914631409 3431738143 6405462531 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6084287535 1848364959 1950828883 2320652212 8104190448 0472479492 9134228495 1970022601 3104300624 1071797150 2793433263 4079959605 3144605323 0488528972 9176598760 1666781193 7932372453 8572096075 8227717848 3361613582 6128962261 1812945592 7462767137 7944875867 5365754486 1407611931 1259585126 5575973457 3015333642 6307679854 4338576171 5333462325 2705720053 0398828949 9034259566 2329757824 8873502925 9166825894 4568946559 9265845476 2694528780 5165017206 5165017206 7478541788 7982276806 5366506419 1097343452 8878338621 7261562695 8265447820 5672987756 4263253215 9429441803 9943217000 0905426507 6309558846 5895171709 1476074371 3689331946 9090981904 5012903070 9956622662 0303182649 3657336984 1955577696 3787624918 8528656866 0760056602 5605445711 3372868402 05 57441603 57441603 0837052312 0837052312 2425872234 3885412317 9481388550 0756893811 2493538631 8635287083 7998456926 1998179452 3364087429 5911807474 5341955142 0351726184 2008455091 7084568236 8200897739 4558426792 1427347756 0879644279 2027083121 5015640634 1341617166 4480698154 8376449157 376449157 3900121217 39001212170415478725 0415478725 9199894382 5364950514 7713793991 4720521952 9079396137 6211072384 9429061635 7604596231 2535060685 2535060685 3765142311 5349665683 7151166042 2079639446 6621163255 1577290709 7847315627 8277598788 1364919512 5748332879 3771571459 0910648416 4267830994 9723674420 1758622694 0215940792 4480541255 3604313179 9269673915 7542419296 6073123937 6354213923 0617876753 9587114361 0408940996 6089471418 3406983629 9367536262 367536262 1545247298 4642137528 9107988438 1306095552 6227208375 1862983706 6787224430 1957937937 8607210725 4277289071 7328548743 7435578196 6511716618 3308811291 2024520404 8682200072 3440350254 4820283425 4187884653 6025915064 4527165770 0044521097 7355858976 2265548494 1621714989 5323834216 0011406295 0718490427 7892585527 4303522139 6835679018 764060421 7604060421 3830730877 4460170842 6882722611 7718084266 4333651780 0021719034 0021719034 4923426426 629226145600 6292261456 004337 433738 3838 38 6833555534 3453004264 8184739892 1562708609 5650629340 4052649432 4426144566 5921291225 6488935696 5500915430 6426134252 6684725949 1431423939 8845432486 3274618428 4665598533 2312210466 2598901417 1210344608 4271616619 0012571958 7079321756 9698544013 3976220967 49 454185407118446433 45418540 7118446433 9469901626 9835160784 8924514058 9409463952 6780735457 9700307051 1636825194 8770118976 4002827648 4002827648 4141605872 4141605872 0618418529 0618418529 7189154019 6882532893 0914966534 5753571427 3184820163 8464483249 9037886069 0080727093 2767312758 1966563941 1489617168 3298045513 9729506687 6047409154 2042842999 3541025829 1135022416 9076943166 8574242522 5090269390 3481485645 1303069925 1995904363 8402842926 7412573422 4477655841 7788617173 7265462085 4982944989 4678735092 9581652632 0722589923 6876845701 7823038096 5678831122 8930580914 0572610865 8848458731 0165815116 7533327674 8870148291 6741970151 2559782572 7074064318 0860142814 9024146780 4723275976 8426963393 5773542930 1867394397 1638861176 4209004068 6633988568 4168100387 2389214483 1760701166 8450388721 2364367043 3140911557 3328018297 7988736590 9166596124 0202177855 8854876176 1619893707 9438005666 3364884365 0891448055 7103976521 4696027662 5835990519 8704230017 9465536788...
El valor de e truncado a sus primeras cifras decimales es el siguiente: e
1
≈ 2, 71828182845904523536...
His Histori toria a
Diez mil primeras cifras decimales del número e en formato cartel . La constante matemática e es uno de los los más imporimportantes números tantes números reales que reales que aparece en diversas áreas de la [1] matemática. Es aproximadamente igual a 2.71828 y se relaciona con muchos interesantes resultados, como ser la base de los logaritmos los logaritmos naturales y naturales y su aparición en el estudio del interés del interés compuesto. compuesto. El número e , conocido en ocasiones como número de Euler o constante de Napier, fue reconocido y utilizado por primera vez por el matemático escocés matemático escocés John Napier, Napier , quien quien introdu introdujo jo el concepto concepto de logaritmo enel cálc cálculo ulo matemático.. temático
Leonhard Euler popularizó Leonhard popularizó el uso de la letra e para representar la constante; además fue el descubridor de numerosas propiedades referentes a ella. A diferencia de π , la introducción del número e en la matemática es relativamente reciente, lo cual tiene sentido si se considera considera que este último t uvo un origen analítico y no geométrico, como el primero. En las palabras de Eli de Eli Maor [5] ,
Juega un rol importante en el cálculo el cálculo y y en el análisis matemático, en la definición de la función más importante de la matemática,[2] la función exponencial, así como π lo es de la geometría la geometría y y el número i del análisis del análisis complejo [3] y del álgebra. El número e , al igual que el número π y el número el número áureo (φ), reo (φ), es un número un número irracional, irracional, no expresable expresable mediante una razón de dos números enteros; o bien, no puede ser representado por un numeral decimal exacto o un deci-
Las primeras referencias a la constante fueron publicadas en 1618 en la tabla en un apéndice de un trabajo sobre 1
2 DEFINICIÓN
2
logaritmos de John Napier.[6] No obstante, esta tabla no contenía el valor de la constante, sino que era simplemente una lista de logaritmos naturales calculados a partir de ésta. Se cree que la tabla fue escrita por William Oughtred. Unos años más tarde, en 1624, e se ve nuevamente involucrado en la literatura matemática, aunque no del todo. Ese año, Briggs dio una aproximación numérica a los logaritmos en base 10, pero no menciono al número e explícitamente en su trabajo. La siguiente aparición de e es algo dudosa. En 1647, Saint-Vincent calculó el área bajo la hipérbola rectangular. Si reconoció la conexión con los logaritmos es una cuestión abierta a debate, e incluso si lo hizo, no hubo razón para que tratara con e explícitamente. Quien si comprendió la relación entre la hipérbola rectangular y el logaritmo fue Huygens allá por 1661, al estudiar el problema del área bajo la curva yx = 1 . El número e es aquel valor de abscisa a tomar para que el área bajo esta curva a partir de 1 sea igual a 1. Esta es la propiedad que hace que e sea la base de los logaritmos naturales, y si bien no era comprendida del todo por los matemáticos de aquel entonces, de a poco iban acercándose a su comprensión. Sin embargo, y tal vez inesperadamente, no es a través de los logaritmos que e es descubierto, sino del estudio del interés compuesto, problema abordado por Jacob Bernoulli en 1683. Si se invierte una Unidad Monetaria (que abreviaremos en lo sucesivo como UM ) con un interés del 100% anual y se pagan los intereses una vez al año, se obtendrán 2 UM. Si se pagan los intereses 2 veces al año, dividiendo el interés entre 2, la cantidad obtenida es 1 UM multiplicado por 1,5 dos veces, es decir 1 UM x 1,502 = 2,25 UM. Si dividimos el año en 4 períodos (trimestres), al igual que la tasa de interés, se obtienen 1 UM x 1,254 = 2,4414... En caso de pagos mensuales el monto 1 12 ) = 2,61303...UM. Por tanasciende a 1 UM x (1 + 12 to, cada vez que se aumenta la cantidad de períodos de pago en un factor de n (que tiende a crecer sin límite) y se reduce la tasa de interés en el período, en un factor de 1 , el total de unidades monetarias obtenidas estará dado n por la siguiente expresión:
lim
n→∞
� � 1+
1
n
n
.
Bernoulli utilizó el teorema del binomio para mostrar que dicho límite se encontraba entre 2 y 3. Se puede considerar esta la primera aproximación encontrada para e . Incluso si aceptamos esta como una definición de e , seria la primera vez que un número se define como un proceso de límite. Con seguridad, Bernoulli no reconoció ninguna conexión entre su trabajo y los logaritmos. De aquí proviene la definición que se da de e en finanzas, que expresa que este número es el límite de una inversión de 1 UM con una tasa de interés al 100% anual compuesto en forma continua. En forma más general, una inversión que se inicia con un capital C y una tasa de interés anual R , proporcionará C eR UM con interés compuesto.
El primer uso conocido de la constante, representado por la letra b, fue en una carta de Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens en 1690 y 1691. Leonhard Euler comenzó a utilizar la letra e para identificar la constante en 1727, y el primer uso de e en una publicación fue en Mechanica, de Euler, publicado en 1736. Mientras que en los años subsiguientes algunos investigadores usaron la letra c , e fue la más común, y finalmente se convirtió en la terminología usual. Euler realizó varios aportes en relación a e en los años siguientes, pero no fue hasta 1748 cuando publicó su Introductio in Analysin infinitorum que dio un tratamiento definitivo a las ideas sobre e . Allí mostró que
e = 1 +
1 1 1 + + + 1 1 2 1 2 3
·
· ·
···
y dio una aproximación para e de 18 cifras decimales, sin mostrar cómo la obtuvo. También dio su expresión como fracción continua reconociendo el patrón que sigue dicha expresión. Fue esta caracterización la que le sirvió de base para concluir que e es un número irracional, y la mayor parte de la comunidad acepta que Euler fue el primero en probar esta propiedad. La pasión que guió a mucha gente a calcular más y más cifras decimales de π nunca pareció replicarse de la misma manera para e . Sin embargo, algunos se embarcaron en la tarea de calcular su expansión decimal y el primero en contribuir con esto fue William Shanks en 1854. Vale la pena destacar que Shanks fue un entusiasta aún mayor del cálculo de los decimales de π . James Whitbread Lee Glaisher mostró que los primeros 137 lugares de Shanks para el cálculo de e eran correctos, pero encontró un error que, luego de corregido por el propio Shanks, arrojo cifras decimales de e hasta el lugar 205. De hecho, se necesitan alrededor de 120 términos de 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... para obtener 200 decimales. Expansiones decimales aún mayores siguieron con los trabajos de Boorman en 1884, quien calculó 346 lugares y halló que su cómputo coincidía con el de Shanks hasta el lugar 187, pero luego divergían. En 1887 Adams estimó el logaritmo de e en base 10 con 272 cifras exactas. En 1873, Charles Hermite (1822-1905) logró demostrar que e es trascendente, a dicho logro llegó usando un polinomio, conseguido con ayuda de fracciones continuas, empleadas, anteriormente, por Lambert. David Hilbert — también Karl Weierstrass y otros — propusieron, posteriomente, variantes y modificaciones de las primeras demostraciones. [7]
2
Definición
La definición más común de e es como el valor límite de la sucesión (1 + n1 )n . En símbolos,
3.1 Análisis matemático
3
3 e
3
2
2 1
1
1
2
e El área entre el eje x y la gráfica y = 1/ x , entre x = 1 y x = e es 1.
e := lim
n→∞
� � 1+
1
n
n
∞
1 1 1 1 + + + + 0! 1! 2! 3!
···
Otra definición habitual dada a través del cálculo integral es como solución de la ecuación
dt = 1, t
es decir que se define e como el número para el que e
∫ 1
3
3.1
∈
x n
converge.
n
� � 1+
x n n
Para cualquier x R , la sucesión 1 + Podemos denotar dicho límite con ex :
.
Se llama función exponencial a la función real cuya variable independiente recorre el conjunto R de los números reales, y se define como
[8]
1
1
Función exponencial
n→∞
que se expande como
x
0
En comparación, las funciones 2 x (curva a puntos) y 4 x (curva a trazos) son mostradas; no son tangentes a la línea de pendiente 1 (rojo).
ex := lim
1 e = n! n=0
�
∫
−1
e es el único número a , tal que la derivada de la función exponencial f(x) = ax (curva azul) en el punto x = 0 es igual a 1.
3.1.1
A veces se toma también como punto de partida la serie
e =
−2
3
dt = 1. t
Propiedades matemáticas y aplicaciones Análisis matemático
f :
→ R+ x → e
R
x
El rasgo más relevante de la función exponencial es que su función derivada (que existe en todo punto) coincide con la propia función, es decir, d x e = e x . dx
Además, es la única función no idénticamente nula (a menos de multiplicación por constantes) con esta propiedad. Esto hace de la exponencial la función más importante del análisis matemático, y en particular para las ecuaciones diferenciales. Por este motivo, sugerimos consultar el artículo de más abajo para un análisis más detallado. El desarrollo en serie de la función f (x) = e x se realiza mediante la fórmula de Maclaurin. Puesto que ′
′′
f (x) = f (x) = f (x) = ... = f n+1 (x) = e x ,
3 PROPIEDADES MATEMÁTICAS Y APLICACIONES
4 ′
′′
f (0) = f (0) = f (0) = ... = f n+1 (0) = 1,
·
xx
· ·
x
o ∞x
la fórmula de Maclaurin se escribe de esta manera: n x
e =
�
k=0
converge si y solo si e−e Leonhard Euler[11] .
≤ x ≤ e1/
e
, por un teorema de
f (k) (0) k x x2 x3 xn x +Rk (x) = 1+ + + +...+ +O(xn+1 ) 1! 2! 3! k! n!
3.2
Números complejos
Suponiendo x =1, se obtiene el valor aproximado del número
≈ 1 + 1!1 + 2!1 + 3!1 + ... + n1!
e
Donde ≈ se entiende como un valor aproximado. [9] 3.1.2
Problema de Steiner
1.5
1.0
Representación geométrica de la fórmula de Euler . 0.5
El número e presenta en la fórmula de Euler un papel importante relacionado con los números complejos:
0
1
El máximo global de
2
√ x
x
e 3
ocurre en x
=
4
e
5
.
Este problema plantea encontrar el máximo absoluto de la función
eix = cos x + i sin x,
El caso especial con x = π es conocido como identidad de Euler o fórmula mística de Euler
eiπ + 1 = 0.
de lo que se deduce que: f (x) = x 1/x .
Este máximo se da precisamente en e . [10] Asimismo, 1/e es el mínimo absoluto de la función
loge ( 1) = iπ.
−
Además, utilizando las leyes de la exponenciación, se obtiene:
f (x) = x x
definida para x > 0 . Más en general, la función
(cos x+i sin x)n = eix
n
= e inx = cos (nx)+i sin(nx)
que es la fórmula de De Moivre. n
f (x) = x x
alcanza su máximo global en 1/e para n < 0 ; y el mínimo global se encuentra en e−1/n para n > 0 . La tetración infinita
Esta fórmula llegó como una revelación a Benjamin Peirce, profesor de Harvard, quien la expuso ante sus alumnos, y manifestó su reconocimiento ante la maravillosa conexión de los cinco números más famosos de toda la matemática [12] .
3.4 Teoría de Números
3.3
5
Probabilidad y estadística
3.4
El número e también aparece en aplicaciones a la teoría de probabilidades. Un ejemplo es el problema de los desarreglos, decubierto en parte por Jacob Bernoulli junto con Pierre Raymond de Montmort, también conocido como el problema de los sombreros [13] : los n invitados a una fiesta dejan a la entrada sus sombreros con el mayordomo, quien los coloca luego en n compartimentos, cada uno con el nombre de uno de los invitados. Pero el mayordomo no conoce la identidad de los invitados, y entonces coloca los sombreros en los compartimentos al azar. El problema de De Montmort es encontrar la probabilidad de que ninguno de los sombreros sea colocado en el compartimento correcto. La respuesta es:
Las siguientes dos relaciones son corolarios directos del teorema de los números primos [19]
e = lim
n→∞
n
P (n) = 1
− 1!1 + 2!1 − 3!1 + ··· + (−n1)!
=
√
pn
( pn #)
donde p n es n -esimo primo y p n # es el primorial del n esimo primo. e = lim nπ(n)/n n→∞
donde π (n) la función contadora de primos.
3.5 n
Teoría de Números
Geometría
( 1)k . k!
�− k=0
A medida que el número n de invitados tiende a infinito, P (n) se aproxima a 1/e. Mas aún, el número de maneras en que se pueden colocar los sombreros en los compartimentos de forma que ninguno corresponda a su dueño es n !/e redondeado al entero más cercano, para cada positivo n .[14] El resultado anterior puede reformularse de la siguiente manera: sea P (n) la probabilidad de que una función aleatoria del conjunto 1, 2, ..., n en si mismo tenga al menos un punto fijo. Entonces
lim P (n) = 1
n→∞
− 1e = 0 .6321205588...
(A068996 en OEIS) Otra aparición de e en la probabilidad es en el siguiente problema: se tiene una secuencia infinita de variables aleatorias X 1 , X 2 ..., con distribución uniforme en [0,1]. Sea V el menor entero n tal que la suma de las primeras n observaciones es mayor que 1:
Espiral equiangular de ángulo α. N = min n X 1 + X 2 +
{ |
··· + X
n
> 1 .
}
Luego, E (N ) = e .[15] Este resultado permite estimar el valor de la constante por medio de simulaciones aleatorias [16][17] . Sin embargo, el papel más relevante que juega el número e en esta rama de la matemática viene dado a través de la función de densidad de probabilidad para la distribución normal con media μ y desviación estándar σ, que depende de la integral gaussiana[18] :
φ(x) =
1 √ e σ 2π
−
(x−µ)2 /2σ2
Al igual que π , e puede interpretarse como un cociente entre cantidades ligadas a cierta curva del plano. Consideremos una curva con la propiedad de que cualquier semirrecta que nace en el origen corta a esta formando un ángulo de π /4 radianes (existen instrumentos que permiten trazar curvas con esta característica [20][21] ). Si tomamos dos puntos cualesquiera de la curva P 1 , P 2 con una separación angular de 1 radián, y r i = dist(P i , O), r1 < r2 , entonce se tiene r2 = e. r1
.
El rol de esta distribución es central en la teoría y la práctica.
Esta construcción puede parecer forzada por el hecho de requerir medir un radián, sin embargo, esto puede conseguirse muy fácilmente si permitimos la operación de deslizar una circunferencia sobre una recta (operación más
4 REPRESENTACIONES DE E
6
que usual dentro del conjunto de curvas mecánicas). La curva con la propiedad anteriormente señalada es un caso especial de espiral logarítmica o equiangular, y puede probarse fácilmente que a partir de su condición de “equiangularidad”, su ecuación en coordenadas polares (r, θ) viene dada por
θ
r(θ) = Ae ,
θ
∈ R, A > 0.
e+1 = 2+ e 1
−
1
.
1
6+
1
10 + 14 +
√ e − 1 =
1 . 18 + . .
1 1+
1
1+
Más generalmente, si la curva es cortada formando un ángulo 0 < α π /2 , entonces su expresión en coordenadas polares es
.
1
≤
1
1+
1
5+
1
1+ r(θ) = Ae cot(α)·θ .
1+
2=
e+ [22]
El número real e es irracional , lo que significa que no puede expresarse como fracción de dos números enteros, como demostró Euler en 1737. En su demostración, Euler se valió de la representación de e como fracción continua, que al ser infinita, no puede corresponder a un número racional. Sin embargo, la demostración más conocida fue dada por Fourier, y se basa en el desarrollo en serie del número. J. H. Lambert probó en 1768 que e p/q es irracional si pq es un racional positivo. También es un trascendente, es decir, que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros (ver Teorema de Lindemann–Weierstrass). Fue el primer número trascendente que fue probado como tal, sin haber sido construido específicamente para tal propósito (comparar con el número de Liouville). La demostración de esto fue dada por Charles Hermite en 1873[23] . Se creeque e además es un número normal.
Fórmulas que contienen al número e
e
e
√ e =
∞
k=0
1 e
1/7
· ee1/6 · ee1/8 ··· ,
∞
=2
∏� ∏�
1+
k =1 ∞
1
. 1 + ..
1 k2 π2
�
.
4 1+ (2k 1)2 π 2
k =1
− 12 + 13 − 14 ···
−
�
.
eiπ + 1 = 0.
Fórmula de Stirling:
n!
≈
√
2πn
n e
n
��
.
Fórmula de Gosper:
−
π2 = 12e3
∞
�
k =1
1 k2
cos
�
9
kπ +
√ k2π2 − 9
�
.
Representaciones de e
∞
∑ � =
1/5
1
Identidad de Euler o fórmula mística de Euler
4
1−2k [24] k =0 (2k)! .
·
−e =2
A continuación, se exhiben varias fórmulas que involucran de diversas formas a e : 1
e1 e 1/3 e1/2 e1/4
la cual se obtiene de la identidad ln 2 = 1
Irracionalidad y trascendencia
3.7
1
9+
Otra manifestación relevante de e en la geometría se da con la catenaria. La catenaria es la curva cuya forma es adoptada por una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la gravedad. Queda determinada por la posición de sus extremos y su longitud.
3.6
1
1+
4k + 3
22k+1 (2k +
1)!
.
El número e puede ser representado como un número real en varias formas: como serie infinita, como producto infinito, como fracción continua o como límite de una sucesión.
4.3 Como producto infinito
4.1
7
Como límite
Algunos ejemplos de esta última caracterización:
La principal de estas representaciones, particularmente en los cursos básicos de cálculo, es la propia definición de e , es decir, el límite:
∞
e =
k2 2(k !)
� � � � � �
k=1
e = lim
n→∞
� � 1+
1
n
∞
.
n
e =
k3 5(k !)
k=1
En 1975, el suizo Felix A. Keller obtuvo el límite simétrico[25][26] :
∞
e =
k4 15(k !)
k=1
e = lim
n→∞
(n + 1)n+1
�
nn
n
− (n −n 1)
n−1
�
∞
.
e =
k=1
De la fórmula de Stirling se obtiene
∞
e =
e = lim n n→∞
� √ � 2πn n!
·
n→∞
√ ! n
n
Se mostró también que
∞
e =
n→∞
k7 877(k !)
k=1
4.3
Como producto infinito
El número e puede expresarse también mediante productos infinitos “del tipo Wallis” de diversas formas[27] , incluyendo el producto de Pippenger[28][29]
√
pn
e = lim
k6 203(k !)
k=1
1/n
n
e = lim
k5 52(k !)
( pn #)
donde pn es enésimo primo y pn # es el primorial del enésimo primo.
e = lim nπ (n)/n
e = 2
1/2
1/4
�� � � � 2 1
2 4 3 3
4 6 6 8 5 5 7 7
1/8
� �
8 10 10 12 12 14 14 16 9 9 11 11 13 13 15 15
el producto de Catalan
n→∞
donde π (n) la función contadora de primos. e =
4.2
Como serie o suma infinita
1/1
1/2
1/4
�� � � �·� � 2 1
4 1 3
·
6 8 5 7
·
10 12 14 16 9 11 13 15
· · · · · ·
�
1/8
y el producto de Guillera [30][31]
1 e = 2
∞
k =0 ∞
e = 2
k=0
∞
e =
k=0 ∞
e =
k + 1 k!
� � � − � ∑ k=0
e =
k + 1 (2k + 1)!
2 1
1/2
22 1 3
23 4 1 33
1/3
·
·
24 44 1 36 5
·
· ·
1/4
�
donde el n-ésimo factor es la n-ésima raíz del producto
3 4k2 (2k + 1)!
n
∏
(k + 1) (
1)k+1(n k)
−
,
k =0
(3k )2 + 1 (3k)!
como también el producto infinito n
k e = k=1 Bn (k !) donde Bn es el n -esimo número de Bell. ∞
1/1
�� � � � ·� �
2
2 2(ln(2) 1) e = ln(2) 1 (ln(2) 2 2
·
−
−
·
···
1)3
−
··· .
··· ,
··· ,
5 CURIOSIDADES
8
4.4
Como fracción continua
el prestigio que conlleva para el constructor de la máquina cuando su marca aparece en la lista de los récords.
El desarrollo decimal de e no muestra regularidad alguna. Sin embargo, con las fracciones continuas, que pueden ser normalizadas (con los numeradores todos iguales a 1) o no, obtenemos, en fracción continua normalizada:
1
e = 2 +
,
1
1+
Primeras cien cifras decimales
A pesar de tratarse de un número irracional continúa siendo averiguada la máxima cantidad posible de cifras. Las cien primeras son:
1
2 +
1
1+
≈ 2, 7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995
e
1
1+
Para ver secuencias mayores de este número consúltese las referencias (5·1011 decimales) [45] , así como Las primeras diez mil cifras decimales del número e, A001113 y OEIS.
1
4 +
1
1+
1
1+ 6 +
1 1+
···
que se escribe = e [2;1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, . . . , 2n, 1, 1, . . .] , [32] propiedad descubierta por Leonhard Euler (A003417 en OEIS). En fracción continua no normalizada se tiene lo
5
Curiosidades
5.1
• En su desarrollo decimal, después del “2,7” el nú-
3
2+
4
3+
5
4+ 5+
Reglas mnemotécnicas mero “1828” aparece dos veces, y después vienen los ángulos de un triángulo rectángulo isósceles que son 45°, 90°, 45°: 2,7 1828 1828 45 90 45.
2
e = 2 +
• 878/323 = 2.718266254 ... es la mejor aproxi-
6 7 6+ 7+
mación racional utilizando enteros menores que 1000[46] . Además, ambos son palíndromos y 878323=555.
···
En ambos casos, e presenta regularidades no fortuitas.
4.5
4.6
• Es muy frecuente emplear frases como regla mne-
motécnica para poder recordar las primeras cifras. Una forma de memorizar los 13 primeros dígitos es con esta frase, sólo hay que contar las letras de cada palabra: "El trabajo y esfuerzo de recordar e revuelve mi estómago, pero podré acordarme". Otro ejemplo, en francés: "Tu aideras a rappeler ta quantite a beaucoup de docteurs amis " (Tú ayudarás a recordar la cantidad a muchos doctores amigos).
Dígitos conocidos
El número de dígitos conocidos de e ha aumentado enormemente durante las últimas décadas. Esto es debido tanto al aumento del desempeño de las computadoras como también a la mejora de los algoritmos utilizados[33][34] . En 1949, J. von Neumann y su grupo utilizaron el ENIAC para obtener 2010 decimales. D. Shanks y J.W. Wrench hallaron hasta 100.265 en 1961 con la fórmula de Euler con un IBM 7090. Se emplearon 2,5 horas. Ya para 1994, R. Nemiroff y J. Bonnell habían llegado a 10.000.000 de decimales. En las últimas décadas, los ordenadores fueron capaces de obtener números que poseen una inmensa cantidad de decimales. Así, por ejemplo, en el año 2000, utilizando el programa de cálculo PiFast33 en un ordenador Pentium III 800, se obtuvieron 12 884 901 000 cifras decimales, para lo que se necesito 167 horas. En la época computacional del cálculo de e las cifras se han disparado, no sólo debido a la potencia de cálculo que estas máquinas son capaces de generar, sino también por
• Suele invocarse también la figura del presidente de
Estados Unidos Andrew Jackson: tuvo 2 mandatos presidenciales, fue el presidente n°7, fue electo por primera vez en 1828, el cual repetimos por sus dos mandatos, y murio en el 45. Con esto se puede recordar las primeras 12 cifras.
5.2
e en la cultura informática
• En su oferta publica inicial de 2004, Google anunció
su intención de recaudar $2,718,281,828, que son e miles de millones de dólares, redondeados a un valor entero.
5.4 Otras curiosidades
9
Cartel publicitario de Google que planteaba problema relacionado con e.
• Google
fue también responsable de un cartel publicitario [47] que apareció en el corazón de Silicon Valley, y mas tarde en Cambridge, Massachusetts; 5.4 Seattle, Washington; y Austin, Texas. En él se leía "{primer primo de 10 dígitos hallado entre 1os dígitos consecutivos de e}.com”. Resolviendo este problema y visitando el anunciado sitio web, se accedía a un problema aún más difícil, el cual a su vez conducía los Google Labs, donde el visitante estaba invitado a dejar su currículum[48] . El primer primo de 10 dígitos en e es 7427466391, que comienza en el nonagésimo noveno (99°) dígito[49] .
que al elevarlo a la su derivada permanece igual; ¡qué grandioso trascendental! sin ser su intención del gran Euler es la inicial y en las funciones trigonométricas hiperbólicas lo podemos encontrar, a ese interminable numeral. Las estrellas lograremos contar, mas las cifras de (e) jamás, pues como cociente de enteros nunca lo podremos expresar; y como por mandato divino, con (pi) y la unidad imaginaria se puede relacionar mediante una hermosa identidad, que sólo a Euler se le pudo revelar. Por eso y mucho más en diversas ramas de las matemáticas, el número (e) nunca, jamás ha de faltar.
Otras curiosidades
• El científico de la computación Donald Knuth hace
que el número de versión de su programa Metafont se aproxime a e. Las versiones son 2, 2.7, 2.71, 2.718, etc.[50]
e en chocolate
5.3
Poemas al número e i
• El valor principal de la expresión i
• La matemática y poetisa Sarah Glaz escribió un ela-
real y está dado por
borado y extenso poema en el que describe la historia de e y sus principales propiedades [51][52] .
ii = eiπ/2
2
= e i
π/2
= e
π/2
−
= 0.207879...
• Deslumbrado por la identidad de Euler, Benjamin
• Otro poema: Singular y encantador es el número (e). Sus primeros nueve dígitos decimales no deben confundirte, 718281828, el 18 28 que se repite, pues al igual que (pi) es un número irracional. De la fórmula del interés compuesto, extiende el límite hasta el infinito y comprenderás lo que digo. ¡Oh! qué número tan fascinante que aparece en las finanzas, del cálculo de Newton y Leibniz ni hablar, que ha encontrado en los logaritmos de Neper su morada al ser su base natural. Intrigante es el número (e),
i
es un número
[53]
Pierce sugirió crear nuevos símbolos para e y π . Pierce publicó su sugerencia en revistas de matemática y libros de su autoria. Debido a las dificultades tipográficas y la similitud entre los símbolos, su propuesta no fue bien recibida y cayó en el olvido rápidamente.
• Algunos matemáticos proponen declarar el 2 de Julio de 2018 como el día e .
6
Cuestiones abiertas sobre e
• No se sabe si e es simplemente normal en base 10 (o
alguna otra base). Esto es, que cada uno de los diez
8 REFERENCIAS
10
dígitos del sistema decimal tenga la misma probabilidad de aparición en una expansión decimal. e
• No se sabe si e es trascendente • No se sabe si π + e y π · e son irracionales. Se sabe que no son raíces de polinomios de grado inferior a nueve y con coeficientes enteros del orden 109 .[54][55]
7
Véase también
[15] [16] Russell, K. G. (1991) Estimating the Value of e by Simulation The American Statistician, Vol. 45, No. 1. (Feb., 1991), pp. 66–68. [17] Dinov, ID (2007) Estimating e using SOCR simulation , SOCR Hands-on Activities (retrieved December 26, 2007). [18] Weisstein, Eric W. «Gaussian Integral». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. Consultado el 8 de noviembre de 2007. [19] S. M. Ruiz 1997
8
Referencias
• El contenido de este artículo incorpora material de
una entrada de la Enciclopedia Libre Universal , publicada en español bajo la licencia Creative Commons Compartir-Igual 3.0.
[1] Howard Whitley Eves (1969). An Introduction to the History of Mathematics. Holt, Rinehart & Winston. [2] Calculus de Spivak [3] Sin el concurso de i las ecuaciones de 2 grado, con determinante negativo, no tendrían solución
[20] M. E. J. Gheury de Bray, Exponentials Made Easy, Macmillan & Co., London, 1921, pp.108-110. [21] T. Olivier, Complements de geometrie descriptive, Paris, 1845, p. 445. [22] http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/0704/0704.1282.pdf [23] http://www.math.utk.edu/~{}freire/m400su06/ transcendence%20of%20e.pdf [24] Formulas 2–7: H. J. Brothers, Improving the convergence of Newton’s series approximation for e, The College Mathematics Journal , Vol.35, No.1,(2004), pp.34–39.
[4] Elon Lages. Análisis matemático.
[25] H. J. Brothers and J. A. Knox, New closed-form approximations to the Logarithmic Constant e, The Mathematical Intelligencer , Vol. 20, No. 4, (1998), pp. 25–29.
[5] Maor, Eli (1994). E - The story of a number . Princeton University Press. pp. XII.
[26] Khattri, Sanjay. «From Lobatto Quadrature to the Euler constant e».
[6] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2001), «The number e» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews, http:// www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/e.html.
[27] http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1005/1005.2712.pdf
[7] Pro Mathematica, Volumen IV/ Nºº. 7-8. (1990) PUCP, Lima.ISSN 1012-3938 [8] Esta forma de definir la función logaritmo natural, el número e, la función exponencial, etc. puede encontrarse en Cálculo Infinitesimal 2.ª edición, cap. 17 (p. 465) de Michael Spivak, Reverté o en Calculus 2.ª edición, cap. 6 (p. 277) de Tom Apostol, Reverté. [9] V. S. Shipachev. Op. cit. [10] Dorrie, Heinrich (1965). 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Dover. p. 359. [11] Euler, L. “De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus.” Acta Acad. Scient. Petropol. 2 , 29–51, 1783. Reprinted in Euler, L. Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Commentationes Algebraicae . Leipzig, Germany: Teubner, pp. 350–369, 1921. (facsimile) [12] Kasner -Newman. Matemáticas e imaginación [13] Grinstead, C.M. and Snell, J.L.Introduction to probability
theory (published online under the GFDL), p. 85. [14] Knuth (1997) The Art of Computer Programming Volume I, Addison-Wesley, p. 183 ISBN 0-201-03801-3.
[28] Weisstein, Eric W. “Pippenger Product.” From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PippengerProduct.html [29] . N. Pippenger, An infinite product for e, Amer. Math. Monthly 87 (1980) 391. [30] J. Sondow, A faster product for pi and a new integral for ln pi/2, Amer. Math. Monthly 112 (2005) 729–734. [31] J. Guillera and J. Sondow, Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch’s transcendent,Ramanujan Journal 16 (2008), 247–270. [32] Sandifer, Ed (Feb 2006). «How Euler Did It: Who proved e is Irrational?». MAA Online. Consultado el 18 de junio de 2010. [33] Sebah, P. and Gourdon, X.; The constant e and its computation [34] Gourdon, X.; Reported large computations with PiFast [35] Roger Cotes (1714) “Logometria,” Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 29 (338) : 545; see especially the bottom of page 10. From page 10: “Porro eadem ratio est inter 2,718281828459 &c et 1, … " (Furthermore, the same ratio is between 2.718281828459… and 1, … )
11
[36] Leonhard Euler, Introductio in Analysin Infinitorum (Lausanne, Switzerland: Marc Michel Bousquet & Co., 1748), volume 1, page 90. [37] William Shanks, Contributions to Mathematics , … (London, England: G. Bell, 1853), page 89. [38] William Shanks (1871) “On the numerical values of e , loge 2, loge 3, loge 5, and log e 10, also on the numerical value of M the modulus of the common system of logarithms, all to 205 decimals,” Proceedings of the Royal Society of London, 20 : 27-29. [39] J. Marcus Boorman (October 1884) “Computation of the Naperian base,” Mathematical Magazine , 1 (12) : 204205. [40] Daniel Shanks and John W Wrench (1962). «Calculation of Pi to 100,000 Decimals». Mathematics of Computation 16 (77): 76-99 (78). doi:10.2307/2003813. «We have computed e on a 7090 to 100,265D by the obvious program». [41] Wozniak, Steve (June 1981). «The Impossible Dream: Computing e to 116,000 Places with a Personal Computer». BYTE . p. 392. Consultado el 18 de octubre de 2013.
9
Bibliografía
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• Elon Lages Lima. «Curso de análisis matemático». Edunsa, Barcelona (1991)
• Stefan
Banach. «Cálculo diferencial e integral» UTEHA, México D.F. (1967)
• Maynard Kong. «Cálculo diferencial» • Granville, Smih, Longley «Cálculo diferencial e integral»
• N. Piskunov. «Cálculo diferencia e integral» Tomo I
• Rodríguez, Vasallo, Gómez, Domínguez. «Cálculo diferencial e integral» Primera parte.
10
Enlaces externos
[42] Nemiroff, Robert; Bonnell, Jerry. «The Number e to 1 Million Digits» (en inglés). Consultado el 16 de junio de 2013.
• Descubriendo el número e: el número e como límite
[43] Announcing 500 billion digits of e...
•
[44] A list of notable large computations of e|
de una determinada sucesión.
Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Número eCommons.
[46] Wells, Dictionary of Curious and Interesting Numbers, p.46.
• Número e con 10.000 decimales. • Un millón de cifras del número e. • Fórmula para el cálculo de límites de sucesiones del
[47] {First 10-digit prime found in consecutive digits of e}. Brain Tags. Retrieved on 2012-02-24.
• Programa para el cálculo de e y de otro gran número
[45] http://www.numberworld.org/misc_runs/e-500b.html, http://www.numberworld.org/misc_runs/e-500b.html
[48] Shea, Andrea. «Google Entices Job-Searchers with Math Puzzle». NPR. Consultado el 9 de junio de 2007.
tipo 1 elevado a infinito
de constantes (en inglés)
• e Approximations – Wolfram MathWorld
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11 ORIGEN DEL TEXTO Y LAS IMÁGENES, COLABORADORES Y LICENCIAS
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Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias
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