Car gacr í t i cadeEul er ,def or maci óndebi daacompr esi ón ( col umnas)
Cada vez que se diseña un elemento, es necesario que cumpla con requisitos específcos de resistencia, deexión y estabilidad. Algunos elem elemen ento toss pued pueden en es esta tarr so some meti tido doss a ca carrgas gas de co comp mprres esió ión n y si dic dicos os elem elemen ento toss so son n larg largos os y delg delgad ados os,, la ca carrga pued puede e se serr lo sufcie sufciente ntemen mente te grande grande para para acer acer que el element elemento o experi experimen mente te deexión lateral o se ladee. !n específco, los elementos largos y delg delgad ados os que que se so some mete ten n a una una "uer "uerza za de co comp mprres esió ión n axia axiall se denominan columnas, y la deexión lateral que se produce se llama pandeo. Con muca "recuencia, el pandeo de una columna puede llev llevar ar a una una "all "alla a repen epenti tin na y dra ram m#tic #tica a de una es esttructu ucturra o mecanismo y, como resultado, debe prestarse atención especial al diseño de las columnas para que puedan soportar con seguridad las cargas previstas sin pandearse. $a carga axial m#xima que puede soportar una columna cuando est# al borde del pandeo se llama carga crítica, %cr, fgura&'a(. Cualquier carga adicional ar# que la columna se pandee y, por lo tanto, su"ra una deexión lateral como se muestra en la fgura &'b(.
Figura N°1
Con el fn de comprender me)or la naturaleza de esta inestabilidad, considere un mecanismo de dos barras consistente en barras rígidas sin peso que se conectan mediante un pasador, como se muestra en la fgura &*a(. Cuando las barras est#n en posición vertical, el resorte, con una rigidez +, se encuentra sin estirar y se aplica una pequeña "uerza vertical % en la parte superior de una de las barras. !sta
posición de equilibrio puede alterarse al desplazar el pasador en A una pequeña distancia , fgura &*b(. Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre del pasador cuando las barras se desplazan, fgura &*c(, el resorte producir# una "uerza de restauración - +, mientras que la carga aplicada % desarrolla dos componentes orizontales, %x % tan u, que tiende a empu)ar al pasador &y a las barras( m#s le)os del equilibrio. Como u es pequeño, $ u&$/*( y tan u $ u. Así, la "uerza de restauración del resorte se convierte en - +u$/* y la "uerza perturbadora es *%x *%u. 0i la "uerza de restauración es mayor que la "uerza perturbadora, es decir, +u$/* 1 *%u, entonces, como u se cancela, se puede despe)ar %, de donde resulta
Figura N°2
!l valor intermedio de %, que requiere +$u/* *%u, es la carga crítica %cr +$ 2344 equilibrio neutro !sta carga representa un caso del mecanismo en equilibrio neutro. Como %cr es independiente del &pequeño( desplazamiento u de las barras, cualquier alteración ligera del mecanismo no causar# que se ale)e del equilibrio, ni se restaurar# a su posición original. !n cambio, las barras se mantendr#n en la posición con deexión. Columna ideal con soportes de pasador
!n esta sección se determinar# la carga crítica de pandeo para una columna que est# soportada mediante un pasador, como se muestra en la fgura &5a(. $a columna que se va a considerar es una columna ideal, lo que signifca que es per"ectamente recta antes de la carga, est# "abricada de un material omog6neo y la carga se le aplica a trav6s del centroide de su sección transversal. Adem#s, se supone que el material se comporta de "orma el#stico lineal y que la columna
se pandea o se dobla en un solo plano. !n la realidad, las condiciones de rectitud de la columna y aplicación de la carga no se cumplen7 sin embargo, el an#lisis realizado sobre una 8columna ideal9 es similar al usado para estudiar columnas inicialmente torcidas o aquellas en las que la carga se aplica en "orma exc6ntrica. !stos casos m#s realistas se estudiar#n m#s adelante en este capítulo. Como una columna ideal es recta, en teoría la carga axial % podría aumentarse asta que se produ)era una "alla ya sea por "ractura o por cedencia del material. 0in embargo, cuando se alcanza la carga crítica %cr, la columna estar# a punto de volverse inestable, de modo que una pequeña "uerza lateral -, fgura &5b(, ar# que la columna permanezca en la posición con deexión cuando se retira -, fgura &5c(. Cualquier reducción ligera de la carga axial % a partir de %cr permitir# que la columna se enderece y cualquier aumento ligero en %, por encima de %cr, ocasionar# un aumento adicional de la deexión lateral.
Figura N°3
!l eco de que una columna se mantenga estable o se vuelva inestable cuando se somete a una carga axial depender# de su capacidad de restaurarse, la cual se basa en su resistencia a la exión. %or consiguiente, si se desea determinar la carga crítica y la "orma pandeada de la columna, es necesario aplicar la ecuación, que relaciona al momento interno de la columna con su "orma exionada, es decir:
;ecuerde que esta ecuación supone que la pendiente de la curva el#stica es pequeña y que las deexiones ocurren sólo por exión. Cuando la columna est# en una posición exionada, fgura &3a(, el momento interno de exión puede determinarse mediante el m6todo
de las secciones. !n la fgura &3b( se muestra el diagrama de cuerpo libre de un segmento en la posición exionada. Aquí, tanto la deexión y como el momento interno < se muestran en la dirección positiva de acuerdo con la convención de signos utilizada para establecer la ecuación anterior. !l momento de equilibrio requiere que < =%y. %or lo tanto, la ecuación anterior se convierte en
>sta es una ecuación di"erencial lineal omog6nea de segundo orden, con coefcientes constantes.
$as dos constantes de integración se determinan a partir de las condiciones de "rontera en los extremos de la columna. Como y ? en x ?, entonces C* ?. @ puesto que y ? en x $, entonces
!sta ecuación se cumple si C' ?7 sin embargo, entonces y ?, que es una solución trivial que requiere que la columna permanezca siempre recta, a pesar de que la carga puede acer que la columna se vuelva inestable. $a otra posibilidad es que
que se cumple si
Figura N°4
o bien
!l menor valor de % se obtiene cuando n ', por lo que la carga crítica para la columna es
!n ocasiones esta carga se conoce como la carga de !uler, en onor del matem#tico suizo $eonard !uler, quien "ue el primero en resolver este problema en '1B1. $a "orma pandeada correspondiente se defne mediante la ecuación
Aquí la constante C' representa la deexión m#xima, ym#x, que se produce en el punto medio de la columna, fgura B. o es posible obtener valores específcos para C' puesto que la "orma exacta de la columna con deexión no se conoce despu6s de que 6sta se pandea. 0in embargo, se supone que la deexión es pequeña.
Figura N°5
Denga en cuenta que la carga crítica es independiente de la resistencia del material, ya que sólo depende de las dimensiones de la columna &E y $( y de la rigidez del material o módulo de elasticidad !. %or esta razón, en relación con el pandeo el#stico, las columnas "abricadas, por e)emplo, con acero de alta resistencia no o"recen ninguna venta)a sobre las de acero con menor resistencia, puesto que el módulo de elasticidad para ambos es aproximadamente igual. Dambi6n es importante darse cuenta de que una columna se pandear# alrededor del e)e principal de la sección transversal que tiene el menor momento de inercia &el e)e m#s d6bil(. %or e)emplo, una columna que tiene una sección transversal rectangular, como la regla mostrada en la fgura F, se pandear# alrededor del e)e a=a no del e)e b=b.
Figura N°6
!n consecuencia, casi siempre los ingenieros tratan de lograr un equilibrio manteniendo los momentos de inercia iguales en todas direcciones. %or lo tanto, geom6tricamente ablando los tubos circulares arían columnas excelentes. Asimismo, se an seleccionado tubos cuadrados o "ormas que tienen Ex $ Ey para "ormar columnas. ;esumiendo, la discusión anterior, puede reescribirse la ecuación de pandeo para una columna delgada y larga sostenida mediante pasadores, y los t6rminos se pueden defnir de la siguiente manera:
Gonde: = % cr carga axial m#xima o crítica en la columna )usto antes de que comienza a pandearse. !sta carga no debe causar que el es"uerzo en la columna supere el límite proporcional = ! módulo de elasticidad del material = E menor momento de inercia para el #rea transversal de la columna = $ longitud sin soporte de la columna, cuyos extremos est#n articulados. %ara fnes de diseño, la ecuación anterior tambi6n puede escribirse en una "orma m#s Htil, al expresar E Ar*, donde A es el #rea transversal y r es el radio de giro del #rea de la sección transversal. %or lo tanto,
I bien
Gonde:
= Jcr es"uerzo crítico, que es un es"uerzo normal promedio en la columna )usto antes de que 6sta se pandee. !ste es"uerzo es un es"uerzo el#stico y por lo tanto Jcr KJ@ = ! módulo de elasticidad del material = $ longitud de la columna sin soporte, cuyos extremos est#n articulados = r el radio de giro m#s pequeño de la columna, determinado a partir de r *E/A, donde E es el menor momento de inercia del #rea de la sección transversal A de la columna $a relación geom6trica $/r se conoce como la relación de esbeltez y es una medida de la exibilidad de la columna7 sirve para clasifcar las columnas como largas, intermedias o cortas.
!L!<%$I: !l elemento MN 5' de acero A=5F que se muestra en la fgura debe usarse como una columna conectada por pasadores. Getermine la mayor carga axial que puede soportar antes de que comience a pandearse o antes de que el acero ceda.
0I$OCEP Con base en la tabla del ap6ndice Q, el #rea de la sección transversal de la columna y los momentos de inercia son A R.'5 pulg *, Ex ''? pulg3 e Ey 51.' pulg3. %or inspección, el pandeo se producir# alrededor del e)e y=y. S%or qu6T Al aplicar la siguiente ecuación, se tiene:
Cuando est# completamente cargada, el es"uerzo de compresión promedio en la columna es
Como este es"uerzo excede el es"uerzo de cedencia &5F +si(, la carga % se determina a partir de la compresión simple:
!n la pr#ctica real, es necesario incluir un "actor de seguridad en esta carga. Columnas que tienen varios tipos de soportes:
$a carga de !uler se obtuvo para una columna que est# conectada mediante un pasador o que puede girar libremente en sus extremos.
0in embargo, es comHn que las columnas est6n soportadas de alguna otra manera.
Figura N°7
%or e)emplo, considere el caso de una columna f)a en su base y libre en la parte superior, fgura &1a(. A medida que la columna se pandea la carga se desplaza d y en x el desplazamiento es y. A partir del diagrama de cuerpo libre mostrado en la fgura &1b(, el momento interno en la sección arbitraria es < %&d = y(. !n consecuencia, la ecuación di"erencial de la curva de deexión es
$a solución consta de una solución complementaria y una solución particular, a saber,
$as constantes se determinan a partir de las condiciones de "rontera. !n x ?, y ?, de modo que C* =d. %or otra parte,
Como la deexión en la parte superior de la columna es d, es decir, en x $, y d, se requiere
$a solución trivial d ? indica que no ocurre pandeo, sin importar la carga %. !n vez de esto,
$a menor carga crítica se produce cuando n ', de modo que
!n comparación con la primera ecuación, se ve que una columna apoyada f)amente en su base y libre en su parte superior soportar# sólo un cuarto de la carga crítica que puede aplicarse a una columna soportada por pasadores en ambos extremos.
Longitud efectiva Como se mencionó antes, la "órmula de !uler, se desarrolló para el caso de una columna que tiene extremos articulados o que giran libremente. !n otras palabras, $ en la ecuación representa la distancia sin soporte entre los puntos de momento cero. !sta "órmula puede usarse para determinar la carga crítica en las columnas que tienen otros tipos de soporte siempre que 8$9 represente la distancia entre los puntos de momento cero. !sta distancia se denomina longitud e"ectiva de la columna, $e. Como es obvio, para una columna con extremos articulados $e $, fgura &Na(. %ara la columna con un extremo f)o y otro libre se encontró que la curva de deexión, ecuación '5=N, es un medio de la curva para la columna conectada mediante pasadores y tiene una longitud de *$, fgura &Nb(. %or lo tanto, la longitud e"ectiva entre los puntos de momento cero es $e *$. !n la fgura N tambi6n se muestran e)emplos de otras dos columnas con di"erentes soportes en los extremos. $a columna con extremos f)os, fgura &Nc(, tiene puntos de inexión o puntos de momento cero a $/3 de cada soporte. !ntonces, la longitud e"ectiva est# representada por un medio de su longitud, es decir, $e ?.B$. %or Hltimo, la columna con un extremo articulado y otro f)o, fgura &Nd(, tiene un punto de inexión aproximadamente a ?.1$ de su extremo articulado, por lo que $e ?.1$.
Figura N°8
!n vez de especifcar la longitud e"ectiva de la columna, mucos códigos de diseño proporcionan "órmulas que emplean un coefciente sin unidades U llamado "actor de longitud e"ectiva. !ste "actor se defne a partir de:
!n la fgura '5='? se proporcionan valores específcos de U. %or lo tanto, con base en esta generalización puede escribirse la "órmula de !uler como
o bien
Aquí &U$/r( es la relación de esbeltez e"ectiva de la columna. %or e)emplo, si la columna est# f)a en su base y libre en su extremo, se tiene U * . !L!<%$I: Ona columna de acero MF 'B tiene *3 pies de largo y est# f)a en sus extremos como se muestra en la fgura. 0u capacidad de carga se incrementa arriostr#ndola con un re"uerzo alrededor del e)e y=y &d6bil(, mediante puntales que se supone est#n conectados por pasadores en su altura media. Getermine la carga que puede soportar de modo que la columna no se pandee ni el material exceda el es"uerzo de cedencia. Considere !ac *R&'?5( +si y s@ F? +si.
0I$OCEP !l comportamiento del pandeo de la columna ser# di"erente en los e)es x=x y y=y debido al arriostramiento. $a "orma del pandeo para cada uno de estos casos se muestra en las fguras b y c.
A partir de la fgura b, la longitud e"ectiva para el pandeo respecto al e)e x=x es &U$(x ?.B&*3 pies( '* pies '33 pulg, y con base en la fgura c, para el pandeo respecto al e)e y=y, &U$(y ?.1&*3 pies/*( N.3? pies '??.N pulg. $os momentos de inercia para una viga MF 'B se encuentran en la tabla del ap6ndice Q. 0e tiene Ex *R.' pulg 3, Ey R.5* pulg3. Al aplicar la ecuación:
%or comparación, el pandeo se producir# respecto al e)e y=y. !l #rea de la sección transversal es 3.35 pulg*, por lo que el es"uerzo de compresión promedio en la columna es
Como este es"uerzo es menor que el es"uerzo de cedencia, se presentar# pandeo antes de que el material ceda. Así, IDA: A partir de la siguiente ecuación observarse que el pandeo siempre se producir# respecto al e)e de la columna que tenga la mayor relación de esbeltez, ya que una relación de esbeltez grande generar# un es"uerzo crítico pequeño. %or lo tanto, si se usan los datos para el radio de giro que se encuentran en la tabla del ap6ndice Q, se tiene
%or consiguiente, ocurrir# el pandeo del e)e y=y, que es la misma conclusión a la que se llegó mediante la comparación de las ecuaciones ' y *.
