INTERPOLACIÓN POLINÓMICA Y SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PRESENTADO POR:
PROFESOR: LUIS GOMEZ MONGUA
UNIVERSIDAD DE SUCRE FACULTAD DE INGENIERIA INGENIERIA CIVIL METODOS NUMERICOS 04 DE DICIEMBRE DEL 2013
TRABAJO DE METODOS NUMERICOS Considere la siguiente situación
1. Obtenga una solución numérica mediante el método de Euler , con h=0.1 implementando Excel. Como h=0.1, entonces las iteraciones necesarias para hallar los valores de X0
0
X1
0,1
X2
0,2
X3
0,3
X4
0,4
X5
0,5
METODO DE EULER
Iteración i=0
Iteración i=1
Realizando el mismo proceso para las demás iteración, se obtuvieron los resultados mostrados en la siguiente tabla. Y0
1
Y1
1,02
Y2
1,061616
son:
Y3
1,12923771
Y4
1,23125194
Y5
1,38285007
La solución exacta de la ecuación diferencial ordinaria es: arroja los valores de
y esta
, los cuales se muestran en la siguiente tabla mostrando
también los errores obtenidos en cada punto. Por M. de Euler
Ec. Exacta
Error
1
1
0
1,02
1,01010101
0,00989899
1,061616
1,041666667 0,019949333
1,129237712
1,098901099 0,030336613
1,231251937 1,38285007
1,19047619
0,040775746
1,333333333 0,049516737
Graficando los valores obtenidos tanto por el método de Euler como por la ecuación exacta se obtienen las siguientes gráficas.
2. Obtenga una solución numérica mediante el método de E u l e r m o d i f i c a d o , con h=0.1 implementando Excel. METODO DE EULER MODIFICADO
Primera iteración
Los demás resultados se presentan en la siguiente tabla, tanto los valores de K como los resultados finales de y & el respectivo error. CACULOS DE LOS COEFICIENTES K
VALORES OBTENIDOS DE Y
i
K1
K2
Y0
1
i=0
0
0,2
Y1
1,01
i=1
0,20402
0,424691313
Y2
1,04143557
i=2
0,43383521
0,706099471
Y3
1,0984323
i=3
0,72393211
1,096665902
Y4
1,1894622
i=4
1,13185626
1,69689136
Y5
1,33089958
i=5
1,7712937
2,728981581
Por M. Euler Mod.
Ec. Exacta
Error
1
1
0
1,01
1,01010101
0,00010101
1,041435566
1,041666667 0,000231101
1,0984323
1,098901099 0,000468799
1,189462201
1,19047619
0,00101399
1,330899582
1,333333333 0,002433752
3. Obtenga una solución numérica mediante el método de R u n g e K u t t a d e c u a r t o o r d e n con h=0.1 implementando Excel.
METODO DE RUNGE KUTTA DE CUARTO ORDEN
Donde
Primera Iteración
Los resultados para las demás iteraciones se presentan en las siguientes tablas. i
K1
K2
K3
K4
i=0
0
0,1
0,1010025
0,204060503
i=1
0,20406084
0,31230616
0,31562824
0,434025485
i=2
0,43402806
0,56537619
0,57238133
0,724555508
i=3
0,72455135
0,90196337
0,91611545
1,133857977
i=4
1,13379049
1,39988438
1,42991143
1,778140231
i=5
1,77778705
2,22499998
2,29551415
2,931143523
Por M. de Euler
Ec. Exacta
Error
1
1
0
1,010101092
1,01010101
8,16158E-08
1,04166701
1,04166667
3,4377E-07
1,098901987
1,0989011
8,8845E-07
1,190478104
1,19047619
1,91306E-06
1,333336809
1,33333333
3,476E-06
Graficando los valores obtenidos por medio del método de R u n g e K u t t a y los de la ecuación exacta se logran observar que las gráficas son muy parecidas, como se logra apreciar en la siguiente gráfica.
4. Para cada conjunto de puntos obtenidos en 1,2 y 3 construya los respectivos polinomios de interpolación de LaGrange en Excel y grafíquelos utilizando graph Para el método de EULER tenemos tenemos X
Y
0
1
0.1
1.02
0.2
1.061616
0.3
1.12923771
0.4
1.23125194
0.5
1.38285007
Las parejas ordenadas son:
El polinomio de Lagrange es: .
Graficándolo en graph con la ecuación solución se tiene que:
Para el método de EULER MODIFICADO tenemos tenemos X
Y
0
1
0.1
1.01
0.2
1.04143557
0.3
1.0984323
0.4
1.1894622
0.5
1.33089958
Las parejas ordenadas son:
Los valores de
son los mismos calculados para el método de euler, lo único
que cambia son los valores de y. El polinomio de Lagrange es: .
Graficándolo en graph con la ecuación solución se tiene que:
Para el método de RUNGE KUTTA DE O RDEN 4 (RK4) (RK4) tenemos X
Y
0
1
0.1
1,010101092
0.2
1,04166701
0.3
1,098901987
0.4
1,190478104
0.5
1,333336809
Los valores de
son los mismos calculados para el método de Euler y Euler
Modificado, lo único que cambia son los valores de y.
El polinomio de LaGrange es: .
Graficando el polinomio observamos que es muy parecido a la de la función exacta.
5. ¿Cuál método numérico genera la solución más cercana a la solución exacta? Respondiendo a la pregunta podemos ver que la grafica que más se asemeja a la solución exacta tanto en Excel como en el graph, es la solución que proporciona el método de RUNGE KUTTA DE ORDEN 4 O RK4. Este resultado era el que esperábamos, debido a que el método de RUNGE KUTTA es una mejora del método de Euler, razón por la cual se concluye que el método más exacto para estimar ecuaciones diferenciales ordinarias es el método de RUNGE KUTTA.
