FACULTAD DE INGENIERÍA EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS
CURSO
:
ANALISIS MATEMATICO PARA INGENIERIA
TEMA
:
ECUACIONES DIFERENCIALES-EULER MEJORADO
DOCENTE
:
ING. RIVERA ROJAS HUMBERTO
ALUMNOS
:
ALANIA BRAVO, Clenen. POMA JULCA, Víctor Adrián Adrián QUESQUEN CONDORI, Gabriella ROMERO ABAD, Ivanny
SEMESTRE
:
2016-II
TINGO MARÍA – MARÍA – PERU PERU.
I.
INTRODUCCION Los fenómenos que estudia la ingeniería se pueden representar mediante modelos matemáticos, éstos en algunos casos se reducen a una ecuación diferencial, cuya solución es una función que representa el comportamiento del fenómeno. Las ecuaciones diferenciales aparecen naturalmente al modelar situaciones físicas en la ingeniería, y otras disciplinas, donde hay envueltas razones de cambio de una o varias funciones desconocidas con respecto a una o varias variables independientes. Estos modelos varían entre los más sencillos que envuelven una sola ecuación diferencial para una función desconocida, hasta otros más complejos que envuelven sistemas de ecuaciones diferenciales acopladas para varias funciones desconocidas. Usualmente estas ecuaciones están acompañadas de una condición adicional que especifica el estado del sistema en un tiempo o posición inicial. Esto se conoce como la condición inicial y junto con la ecuación diferencial forman lo que se conoce como el problema de valor inicial. Por lo general, la solución exacta de un problema de valor inicial es imposible ó difícil de obtener en forma analítica. Por tal razón los métodos numéricos se utilizan para aproximar dichas soluciones. Esta monografía tiene como objetivo desarrollar problemas por los métodos de Euler y Euler mejorado.
II.
MARCO TEORICO
2.1 METODO DE EULER El método de Euler es uno de los más sencillos y uno de los menos exactos para la aproximación de la solución. Dependiendo del tamaño del paso h, este método puede resultar inaceptable en muchas aplicaciones El método de Euler consistente en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada.
+= ℎ, + ℎ Error para el método de Euler
Errores de Truncamiento, causados por la naturaleza de las técnicas empleadas para aproximar los valores de y.
Errores de Redondeo, que son los resultados del número límite de cifras significativas que pueden retener una computadora.
2.2 METODO DE EULER MEJORADO Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes. La fórmula es la siguiente:
+ ℎ[ , 2+,+] Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica:
En la gráfica, vemos que la pendiente promedio corresponde a la pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la “recta tangente” a la curva en el punto
,
donde es la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en el punto
como la aproximación de Euler mejorada.
III. RESULTADOS Ejercicio N°1
2cos ∗ C.I:
y (0)=1; h=0.1 hallar las primeras cinco iteraciones
Resolución
1 ∫ ∫2cos Ln (y)=2senx+c
+ + 1= 0 Y= 1=
… (analítico)
Y (x) = 1ra Iteración
X1 = X0 + h X1 = 0 + 0.1 X1 = 0.1 Y1 = y0 + h [2cos(0) * 1] Y1 = 1 + 0.1 (2) y1 = 1.2
Euler mejorado 1
,∗ ∗ ℎ[(, )+
]
∗.] ∗ 1 0.1[+. ∗ 1 0.1[+. ∗ 1.21995 ]
2da Iteración
X2=x1+h X2=0.1+0.1 x2=0.2 Y2=y1+h [2cos (0.1)*1.2] Y2=1.2+0.1 [2cos (0.1)*1.2] Y2=1.43999
Euler mejorado 2
2∗
2cos(0.1)(1.2) + 2cos(0.2)(1.43999) = 1.2 + 0.1[ 2
∗ 1,43999 3ra iteración
0.2+0.1 =0.3 =1.72798
ℎ 1.43999 0.1[2cos0.2 ∗1.43999]
Euler mejorado 3
[2cos 0. 2 1. 4 3999 2cos0.3.1.72798 ∗ 1.43999 0.1 2
∗ 1.75678 4ta iteración
0.3 0.1
= 0.4 1.72798 0.1[2cos0.3 ∗ 1.72798] 2,07357 Euler mejorado 4
0.42,07357] ∗ 1.72798 0.1 [2cos0.31.72798 2cos 2 ∗ 2,10812 5ta iteración
0.4 0.1 0.5 2,07357 0.1[2cos0.4∗ 2,07357] 2.48827 Euler mejorado 5
∗ 2.07357 0.1[2cos0.4 ∗ 2.073572 2cos0.52.48827 ∗ 2.52973
Solución mediante Excel
h=
0.1
xi
yi
f(xi,yi)
predictor
f(xi+1,pi)
y (aproximado)
y(real)
N°Iteracion
0
1.00
2
1.2
2.38801
1.2194005
1
1
0.1
1.0
2
0.2
1.21977856 2.39092839
3
1.99000833 1.19900083 2.35020129
error verdad
1.217010481
1.21977856 1.11977856
2.78742615
1.478696283
1.47612195 1.27612195
0.3
1.47612195 2.82038632 1.75816058 3.23874626
1.779078575
1.75881885 1.45881885
4
0.4
1.75881885 3.23995887 2.08281473 3.65568378
2.103600978
2.04900865 1.64900865
5
0.5
2.04900865 3.59634852
2.427620003
2.31977682 1.81977682
1.4588714
2.4086435
3.97587853
0.6
Gráfico de las Curvas 3
2.5
2
Series1 1.5
Series2 Series3
1
0.5
0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
IV. CONCLUSIONES
Se demuestra que con el Euler mejorado tiene un margen de error mínimo a comparación del Euler..
