Metodo de Euler El método de Euler aunque es algo Los métodos numéricos para resolver EDO tienen dos características que se han de tener en cuenta: 1. Sólo permiten hallar soluciones particulares. Por lo tanto, para poderlos aplicar, hará falta dar un conjunto completo de condiciones iniciales 2. Necesitamos que las EDO o el conjunto de EDO que se les pasa sean todas de primer orden Siendo así consideremos resolver un problema de valor inicial:
1 1
1
Integrando Tenemos:
1 1
∫
, esta integral resulta desconocida para nosotros, pero esta es obtenida
a través del método de Euler haciendo una aproximación explicada de la siguiente manera. Para poder aproximar la solución de
∫
, graficaremos f(x,y) que no es mas
que la derivada de la función a encontrar:
1
Sea
1
′
Lo que se hace es aproximar la integral a un valor constante, pero al hacer esto el valor no será exacto y habrá un error, el error esta representado por la parte de rojo, este error puede ser positivo y negativo, y depende si donde se evalua la función si es cóncava o si es convexa (trataremos del error mas adelante). Al hacer esta aproximación de la solución de la integral debemos saber que mientras menor sea el valor de h menor será el error en el que se incurrirá, esto es totalmente lógico de acuerdo a la grafica. De esta manera aproximamos el valor de la ecuación (1) a:
1 1 1 1
1 Y de esta manera podemos seguir estableciendo que,
1 11 En general podemos decir que:
1 1
Asi mediante un método recurrente podremos obtener soluciones particulares de una EDO. Ejemplo: (Steven C. Chapra 5ta edición, Ejemplo 25.1 pagina 721)
Con el método de Euler integre numéricamente la ecuación:
desde x = 0 hasta x = 4 con un tamaño de paso 0.5. La condición inicial en x = 0 es y = 1. Recuerde que la solución exacta está dada por la ecuación:
Se utiliza la ecuación (2) para implementar el método de Euler: Primer paso
y(0.5) = y(0) + f(0, 1)0.5 donde; y(0) = 1 f(0, 1) = -2(0)3 + 12(0)2 - 20(0) + 8.5 = 8.5 Por lo tanto, y(0.5) = 1.0 + 8.5(0.5) = 5.25 La solución verdadera en x = 0.5 es: y = -0.5(0.5)4 + 4(0.5)3 - 10(0.5)2 + 8.5(0.5) + 1 = 3.21875 Así, el error es: Et = valor verdadero - valor aproximado = 3.21875 - 5.25 = -2.03125 o,
expresada como error relativo porcentual, et = -63.1%.
Segundo paso
y(1) = y(0.5) + f(0.5, 5.25)0.5 = 5.25 + [-2(0.5)3 + 12(0.5)2 - 20(0.5) + 8.5]0.5 = 5.875 La solución verdadera en x = 1.0 es 3.0 y, entonces, el error relativo porcentual es -95.8%. El cálculo se sigue repitiendo de esta manera, para un desarrollo mas rápido nos ayudaremos de la siguiente tabla:
x
Y(verdadero)
Y(Euler)
Error global
E. Local
0.0
1.00000
1.00000
0.5
3.21875
5.25000
-63.1
-63.1
1.0
3.00000
5.87500
-95.8
-28.0
1.5
2.21875
5.12500
131.0
-1.41
2.0
2.00000
4.50000
-125.0
20.5
2.5
2.71875
4.75000
-74.7
1 7.3
3.0
4.00000
5.87500
46.9
4.0
3.5
4.71875
7.12500
-51.0
-11.3
4.0
3.00000
7.00000
-133.3
-53.0
Observe que aunque el cálculo capta la tendencia general de la solución verdadera, el error resulta considerable. Como se explicó, es posible reducir tal error usando un tamaño de paso menor. Error en el método de Euler La noción de error es fundamental en cualquier técnica numérica, asociado al hecho de hacer muchas operaciones si es grande, también está el problema del error de redondeo los números reales no pueden representarse exactamente en un ordenador y se han de redondear. Eso quiere decir que, cada vez que se hace una operación, es posible que se pierdan dígitos del resultado, y en principio, cuantas más operaciones más información se va perdiendo. Además, el método de Euler, introduce por sí mismo un error, que se llama error de truncamiento. Los dos tipos de errores se mezclan, y de hecho, el error total se puede amplificar. Analicemos a continuación el error que se comete al aproximar aplicando el método de Euler. El error de truncamiento local en el n-ésimo paso se define como
Donde
es el valor exacto en la de la ecuación diferencial e
de Euler.
es la aproximación
Podemos emplear la fórmula de Taylor para obtener una aproximación útil de este término de error.
para algún valor
′ 1 1 ′ 1 entre
y
Sabemos por la EDO que
obtuvimos de la formula de Taylor
Asimismo tenemos que:
.
reemplazando esto en la expresión que
1 ′′1 1 ′′1 De esto podremos concluir que nuestro error es:
1 ′′1 1 1 1 (1 ) ̃ ̃ . .
El error es proporcional a
y siendo también
El error total de truncamiento para ir de
Donde K es la media de los
a
y
en
pasos del método de Euler será:
Por lo tanto, el error total
de truncamiento al aplicar el método de Euler es proporcional al paso
Conclusiones: -
Aunque el método de Euler es sencillo de aplicar este tiende a tener errores grandes ya que los errores de truncamiento se van sumando en cada paso que se hace.
-
Para obtener resultados mas precisos se deberá tomas un h pequeño, pero cuando h tiene a ser mas pequeño tendemos a hacer muchas operaciones por lo cual es un método practico para un ordenador.
-
Existen métodos que mejoran la estimación de la pendiente del método de Euler, promediándola, este método se llama método de Euler mejorado o también método de heun.
Diagrama de flujo del método de Euler
(F,x0,x1,y0,n)
h= (x1-x0)/n; x(1)=x0; y(1)=y0;
For i=1:n
x,y
x(i+1) = x(i)+h; y(i+1) = y(i)+h*f(x(i),y(i))
Programacion en matlab método de Euler function resp=euler(f,x0,x1,y0,n) h=(x1-x0)/n; xs=x0:h:x1; y1=y0; fprintf('\n''it x0 x1 y1'); for i=1:n it=i-1; x0=xs(i); x=x0; x1=xs(i+1); y=y0; y1=y0+h*eval(f); fprintf('\n%2.0f%10.6f%10.6f%10.6f\n',it,x0,x1,y1); y0=y1; end fprintf('\n El punto aproximado y(x1) es = %10.6f\n',y1); resp=y1; end
Problemas Resueltos Ejercicios 2.6 Libro Dennis G. Zill (Problema 1) y’ = 2x -3y +1 , y(1) = 5 , y(1.2) = ¿
Paso h = 0.1
Resolucion:
i)
, para extraer su segundo
Escribimos la ED en la forma
Definimos miembro
ii)
iii)
Planteamos las ecuaciones de Euler para obtener y desarrollamos hasta obtener el valor buscado en x.
1 1
Para n=0
1 1 1 1 1 1 Seguimos:
11 1 11 11 1 Entonces nuestro y(1.2) = 2.98 Ahora intentemos con un h = 0.05
Pero para que hacer mas practico y rápido de nuestro método nos ayudaremos de una tabla para asi poder trabajar mas efectivamente:
n
h
xn
yn
y'
x(n+1)
y(n+1)
0
0.05
1
5
-12
1.05
4.4
1
0.05
1.05
4.4
-10.1
1.1
3.895
2
0.05
1.1
3.895
-8.485
1.15
3.47075
3
0.05
1.15
3.47075
-7.11225
1.2
3.1151375
4
0.05
1.2
3.1151375
-5.9454125
1.25
2.81786688
Ahora nuestro y(1.2)=3.1151375 Ahora intentemos con un h = 0.02 n
h
xn
yn
y'
x(n+1)
y(n+1)
0
0.02
1
5.000000
-12.000000
1.020000
4.760000
1
0.02
1.02
4.760000
-11.240000
1.040000
4.535200
2
0.02
1.04
4.535200
-10.525600
1.060000
4.324688
3
0.02
1.06
4.324688
-9.854064
1.080000
4.127607
4
0.02
1.08
4.127607
-9.222820
1.100000
3.943150
5
0.02
1.1
3.943150
-8.629451
1.120000
3.770561
6
0.02
1.12
3.770561
-8.071684
1.140000
3.609128
7
0.02
1.14
3.609128
-7.547383
1.160000
3.458180
8
0.02
1.16
3.458180
-7.054540
1.180000
3.317089
9
0.02
1.18
3.317089
-6.591267
1.200000
3.185264
10
0.02
1.2
3.185264
-6.155791
1.220000
3.062148
Ejercicios 2.6 Libro Dennis G. Zill (Problema 2)
′ n
h
xn
yn
y'
x(n+1)
y(n+1)
0
0.05
0
0.000000
0.000000
0.050000
0.000000
1
0.05
0.05
0.000000
0.050000
0.100000
0.002500
2
0.05
0.1
0.002500
0.100006
0.150000
0.007500
3
0.05
0.15
0.007500
0.150056
0.200000
0.015003
4
0.05
0.2
0.015003
0.200225
0.250000
0.025014
5
0.05
0.25
0.025014
0.250626
0.300000
0.037546
6
0.05
0.3
0.037546
0.301410
0.350000
0.052616
7
0.05
0.35
0.052616
0.352768
0.400000
0.070255
8
0.05
0.4
0.070255
0.404936
0.450000
0.090501
