Método de Euler mejorado

7.3 7. 3

Método Mét odo de Eul Euler er mej mejor orado ado

Consideremos ahora el polinomio de Taylor de orden 2 de y.x/ en x D x0 para aproximar a la solución del

Para determinar un valor aproximado de la solución en x D 1 usamos h D 1: yQ2 .1/ D 1 C 1 C .1/2 D 3:

Por otra parte la solución analítica del PVI es y.x/ 3. En este caso Q

D x2 C x C 1

por lo cual, al evaluar en x

D 1,

resulta

H

Derivando la ecuación diferencial con respecto a x : y 00 D 1  y 0 D 1  x C y:

Usando la condición inicial, obtenemos:

De la condición inicial y.1/ D 4, tenemos: y 0 .1/ D

14

D

1C4 8 C 1:2

3 5

D 0:6;

9:2

Ejemplo 7.3.4 Considere la ecuación diferencial y 0 D x  y;

con y.1/ D 2:

Encuentre una aproximación cuadrática de la solución en x D 1:1 ; posteriormente posteriormente use esta aproximación aproximación para p ara deter-

Para determinar la solución aproximada, necesitamos la derivada de la ecuación diferencial, esto es, 00

y D

2y  2xy 0 .x C y/ 2

:

y

Error absoluto

Desarrollando (*) en serie de Taylor, la función f.x;y/ alrededor del punto .xi ; yi /: f .xi C h; yi C k1 / D f .xi ; yi / C hf x .xi ; yi / C k1 f y .xi ; yi /;

luego:

y

1.0

h D 0:1 Euler mejorado h D 0:05 Euler mejorado

0.9

h D 0:05 Euler



El método de Euler mejorado en Mathematica f[x_,y_]:=x-3y; x0=0; y0 1;

(* Defi Defini nir r f *) (* Ab Absc scis isa a de del l pu punt nto o in inic icia ial l *) (* Ord Ordena enada da del pun punto to ini inicia cial l *)

Ejercicios 7.3.1 Método de Euler mejorado. Soluciones en la página 15

Determine Determine una aproxima aproximación ción cuadrática cuadrática de la solución solución y.x/ de cada uno de los siguientes PVI utilizando el h pro porcionado y calcule el error error porcentual. En los casos que se requiera requiera aplique dos veces el proceso de aproximación aproximación cuadrática para obtener una estimación de la solución.

Ejercicios 7.3.1 Método de Euler mejorado. Página 14

1. 2.

. 1:9. 2:5

5. 6.

. 3:7297 . 1:8592