MÉTODO DE CROSS PARA MARCOS SIN DESPLAZAMIENTO LATERAL
1. IN INTR TROD ODUC UCCI CIÓN ÓN Él méto método do de CROS CROSS S llev llevaa su om! om!"e "e e #oo #oo"" al $"o% $"o%es eso" o" Hardy Cross &u'e desa""ollo e el a(o 1)*+ u método umé"',o $a"a la "esolu,'- de est"u,tu"as #'$e"estt',as o 'dete"m'adas &ue al,a/- 0"a $o$ula"'dad e a&uellos t'em$os au&ue e la a,tual'dad o se usa ,o ma2o" %"e,ue,'a este método 0"a,'as a los estud'os "eal'/ados $o" el P"o%. 3a"d2 C"oss se #a $od'do desa""olla" ot"os métodos $a"a la "esolu,'- de est"u,tu"as #'$e"estt',as o 'dete"m'adas ,omo es el ,aso del méto método do de “FLEXIBILIDAD O ROGIDEZ” e4$uestos e ,lase $o" el I0. Ca"los A2ala. Este método t'ee dos ,a"a,te"5st',as &ue lo #a,e 'te"esate6 1. Es u méto método do umé umé"', "',oo de a$"o a$"o4' 4'ma ma,' ,'o oes es su,e su,es' s'va vas s &ue &ue ev't ev'taa tee tee"" &ue &ue "esolve" s'stemas de e,ua,'oes s'multeas de u 7me"o elevado ,omo su,ede e los métodos de las %ue"/as 2 las de%o"ma,'oes. Cuado el P"o%. C"oss $7!l',o su método método o e4'st5a e4'st5a ,ome",'alm ,ome",'almete ete ,om$utado ,om$utado"as "as ,omo a#o"a &ue $e"m't'ese "esolve" s'stemas de e,ua,'oes e se0udos o %"a,,'oes de se0udo $o" lo tato ,ual&u'e" est"u,tu"a ,o u 0"ado de 'dete"m'a,'- 'm$o"t 'm$o"tat atee "e&ue" "e&ue"5a 5a ua 0"a la!o" la!o" a"'tmé a"'tmét', t',aa $a"a $a"a "esolv "esolve" e" el s'stem s'stemaa de e,ua,'oes "esultates. La ve"'%',a,'- de las ,od','oes de las ,od','oes %'ales de e&u'l'!"'o se te5a &ue #a,e" des$ués de toda esta la!o" umé"',a 0"a,'as al método de C"oss o s-lo ev'ta la e,es'dad de "esolve" el s'stema de e,ua,'oes e,ua,'oes s'o &ue $e"m'te ve"'%',a" las ,od','oes de e&u'l'!"'o e ,ual&u'e" eta$a del $"o,eso de solu,'-. +. Este método método $e"m'te $e"m'te etede etede"" ,la"amete ,la"amete el %u,'oam %u,'oam'eto 'eto de ua ua est"u,tu"a est"u,tu"a la %o"ma e &ue las ,a"0as a$l',adas $"odu,e mometos %le4'oate 2 %ue"/as ,o"ta ,o"tat tes es e los los d'%e d'%e"e "et tes es m'em m'em!" !"os os de la est" est"u, u,tu tu"a "a 2 el ,o, ,o,e$ e$to to de e&u'l'!"'o e ,ada udo de la est"u,tu"a 2 e la est"u,tu"a de su ,o8uto. El método de C"oss es mu2 usado e la $",t',a ,uado se $"eseta s'tua,'oes e las &ue #a2 e,es'dad de "esolve" est"u,tu"as se,'llas
+. CONC CONCEPTO EPTOS S 9UNDAMENT 9UNDAMENTA ALES DEL MÉTO MÉTODO DO +.1 R'0'de/ R'0'de/ A0ula A0ula" " Es el mometo &ue #a2 &ue a$l',a" e el e4t"emo de u m'em!"o est"u,tu"al $a"a $"odu,'" ua "ota,'- u'ta"'a e d',#o e4t"emo. E la s'0u'ete %'0u"a se $"eseta el ,aso de u e4t"emo ,o a$o2o a"t',ulado 2 el o$uesto ,omo em$ot" $ot"aado dode ode se $"e $"ese seta su "es "es$e, $e,t'v t'va "'0 "'0'de/ 'de/ a0ul 0ulaa" 2 su ,o""es$od'ete ,o""es$od'ete %a,to" de t"as$o"te. Rigidez Angular , M AB
=
4 EI
l
Factor de transporte ,
M B A M AB
1 =
2
Pa"a el ,aso de u m'em!"o ,o dos e4t"emos a"t',ulados se $"eseta" "es$e,t'va "'0'de/ a0ula" 2 su ,o""es$od'ete %a,to" de t"as$o"te.
Rigidez Angular , M AB
Factor de transporte ,
M BA M AB
=
=
3 EI
l
0
Es ,om7 &ue e las est"u,tu"as se use el m'smo mate"'al $a"a los d'st'tos m'em!"os. Cuado esto su,ede el valo" de E es el m'smo $a"a todos los m'em!"os. Como adems lo &ue 'te"esa e la ma2o"5a de los ,asos es la "'0'de/ "elat'va de los d'%e"etes m'em!"os est"u,tu"ales suele ,os'de"a"se &ue la "'0'de/ de u m'em!"o ,o u e4t"emo a"t',ulado 2 el ot"o em$ot"ados es6 K
=
I l
Esta "'0'de/ se deom'a "'0'de/ a0ula" s'm$l'%',ada $a"a u v'0a ,o a$o2o a"t',ulado 2 u em$ot"am'eto e ot"o ,aso s' se "e&u'e"e ua "'0'de/ s'm$l'%',ada $a"a ua v'0a ,o a$o2os a"t',ulados e sus e4t"emos se usa"a la s'0u'ete e,ua,'-6 K '
=
3 4
K
La "'0'de/ :; se deom'a rigidez angular simli!i"ada modi!i"ada#
+.+ R'0'de/ A0ula" Se de%'e ,omo la "ela,'- et"e el mometo &ue se desa""olla e el e4t"emo de u m'em!"o ,uado se a$l',a u mometo e el e4t"emo 2 el valo" del mometo MA< e el e4t"emo A de la %'0u"a most"ada a ,ot'ua,'- 2 el e4t"emo < se desa""olla ,omo ,ose,ue,'a u mometo M
FT
1
=
2
E u m'em!"o &ue te0a dos e4t"emos a"t',ulados ,omo muest"a la %'0u"a s'0u'ete al a$l',a" u mometo e el e4t"emo A o se desa""olla '07 mometo e el e4t"emo < $"es,'samete $o"&ue esta a"t',ulado. E este ,aso el %a,to" de t"as$a"te vale =.
FT = 0
El mometo &ue se desa""olla e u e4t"emo ,omo ,ose,ue,'a de la a$l',a,'- de u mometo e el ot"o e4t"emo se deom'a momen$o $ransor$ado as5 e la %'0u"a most"ada a ,ot'ua,'- el mometo M
+.* R'0'de/ L'eal Se #a de%''do ,omo el valo" de los mometos &ue se desa""olla e los e4t"emos de u m'em!"o ,uado se 'm$oe des$la/am'etos l'eales u'ta"'os et"e d',#os e4t"emos. S' los dos e4t"emos est em$ot"ados ,omo e la s'0u'ete %'0u"a se $"eseta"a la "'0'de/ l'eal s'0u'ete6
Rigidez Lineal , M AB M B A =
=
6 EI
l
2
S' u e4t"emo est em$ot"ado 2 el ot"o est ,o u a$o2o a"t',ulado ,omo se muest"a a ,ot'ua,'- la "'0'de/ l'eal se" la s'0u'ete6
Rigidez Lineal , M AB
=
3 EI
l
2
S'0u'edo u "a/oam'eto seme8ate al del ,aso de la "'0'de/ a0ula" se $uede de%''" la rigidez lineal simli!i"ada%
RL
=
I l
2
> la rigidez lineal simli!i"ada& modi!i"ada% RL'
I RL
=
2
Esta 7lt'ma es $a"a el ,aso de m'em!"os ,o u e4t"emo em$ot"ado 2 el ot"o a"t',ulado.
+.? 9a,to" de d'st"'!u,'o
DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO EL método se "eal'/a de la m'sma mae"a &ue $a"a v'0as ,ot'uas. La 7',a d'%e"e,'a ,os'ste e &ue $uede ,o,u""'" ms de dos m'em!"os a u m'smo udo. U e8em$lo ,la"o est dado e u udo 'te"'o" de u ma",o "et',ula" dode se ue 0ee"almete dos v'0as 2 dos ,olumas. Las "'0'de,es a0ula"es de los m'em!"os 2 los %a,to"es de d'st"'!u,'- e ,ada udo se ,al,ula ,omo 2a se #a e4$l',ado e el ,a$5tulo ate"'o". Se de!e de ve"'%',a" &ue la suma de los %a,to"es de d'st"'!u,'- sea '0ual a 1 e todos los udos 2 el mometo de e&u'l'!"'o &ue se 't"odu/,a e la eta$a de d'st"'!u,'- de!e se" '0ual a la suma de los mometos de em$ot"am'eto $e"%e,to de todos los m'em!"os &ue ,o,u""e al udo.
