Soal Dan Pembahasan Simpleks Dua Fase

SOAL-SOAL DAN PEMBAHASAN PEMBAHASAN METODE SIMPLEKS DUA FASE

SOAL 1

Selesaikan Soal Program Linear berikut: z  3 x1  5x 2

Meminimumkan :

Dengan kendala :

x1 

4

2 x 2

 12

3 x1



2 x 2

x1 , x 2 

 184

0

Penyelesaian : Meskipun soal di atas dapat diselesaikan dengan metode grafik tetapi untuk contoh ini akan diselesaikan dengan metode simpleks dua fase. Bentuk siap simpleks untuk untuk soal ini : Meminimumkan

:

z  3 x1  5 x 2  0S 1  0S 2  A1  A2 x1  S 1 

Dengan kendala

:

4

2 x 2

 A1  12

3 x1

 2 x 2  S 2  A2  18

x1 , x 2 

0

TAHAP 1 i.

Tabel 1 (Tabel awal dengan memasukkan fungsi kendala)

Program Obyektif Kuantitas

0

0

0

0

1

1

x1

x2

S1

S2

A1

A2

S 1

1

4

1

0

1

0

0

0

A1

1

12

0

2

0

0

1

0

A2

1

18

3

2

0

-1

0

1

ii.

Tabel 2 (dilengkapi dengan nilai Z j , Z j - C j , dan nilai R i) 

Cara mencari nilai Z j sebagai berikut : Z1 = (1 x 1) + (0 x 1) + (3 x 1) = 4

Z 2 = (0 x 1) + (2 x 1) + (2 x 1) = 4

Soal Latihan Matematika Keuangan Materi Simpleks Dua Fase

1





Z3 = (1 x 1) + (0 x 1) +(0 x 1) = 1

Z 4 = (0 x 1) + (0 x 1) + (-1 x 1) = -1

Z5 = (0 x 1) + (1 x 1) + (0 x 1) = 1

Z 6 = (0 x 1) + (0 x 1) + (1 x 1) = 1

Cara mencari nilai Z j - C j sebagai berikut : Z1 – C C1 = 4 - 0 = 4

Z2 – C C2 = 4 - 0 = 4

Z3 – C C3 = 1 - 0 = 1

Z4 – C C4 = -1 - 0 = -1

Z5 – C C5 = 1 - 1 = 0

Z6 – C C6 = 1 - 1 = 0

Nilai Z j - C j terbesar berada pada kolom x 1 dan kolom x 2, sehingga pemilihan kolom kunci dapat dipilih yang mana ingin digunakan. Boleh pada kolom x 1 ataupun pada kolom x 2. Pada pembahasan kali ini, akan digunakan kolom x 1 sebagai kolom kunci.



Mencari nilai R i R1 

R2  R3 

4 1



12 0 18 3

4





6

Nilai R i terkecil yang positif akan menjadi baris kunci. Sehingga, yang menjadi baris kunci adalah baris S 1. 

Sehingga, tabel yang terbentuk sebagai berikut. Tabel 2


0

0

0

0

1

1

x1

x2

S1

S2

A1

A2

R i

S 1

1

4

1

0

1

0

0

0

4

A1

1

12

0

2

0

0

1

0



A2

1

18

3

2

0

-1

0

1

6

Z j

4

4

1

-1

1

1

Z j - C j

4

4

1

-1

0

0

iii. Tabel 3 (hasil transformasi Ketiga baris Program)


2



Transformasi Transformasi Pertama dilakukan pada baris S 1 (karena pada baris tersebut terletak bilangan pivot)  Baris kunci dibagi dengan Bilangan Pivot (dibagi 1).  Program S1 diganti dengan kolom kunci, objektifnya adalah C kolom kunci



Transformasi Transformasi Kedua dilakukan pada baris yang bukan merupakan baris kunci.

Baris yang bukan baris kunci adalah baris kedua dan baris ketiga. Cara mentransformasi baris kedua dan baris ketiga adalah dengan mengurangi angka-angka pada baris yang bersangkutan dengan hasil kali antara angkaangka pada baris kunci dengan rasio tetap. Tabelnya adalah seperti gambar dibawah. Tabel 3


0

0

0

0

1

1

x1

x2

S1

S2

A1

A2

R i

x1

0

4

1

0

1

0

0

0

R 1

A1

1

12

0

2

0

0

1

0

R 2

A2

1

6

0

2

-3

-1

0

1

R 3

iv. 



Tabel 4 (dilengkapi dengan nilai Z j , Z j - C j , dan nilai R i)


Z 2 = (0 x 0) + (2 x 1) + (2 x 1) = 4

Z3 = (1 x 0) + (0 x 1) +(-3 x 1) = -3

Z 4 = (0 x 0) + (0 x 1) + (-1 x 1) = -1

Z5 = (0 x 0) + (1 x 1) + (0 x 1) = 1

Z 6 = (0 x 0) + (0 x 1) + (1 x 1) = 1


Z2 – C C2 = 4 - 0 = 4

Z3 – C C3 = -3 - 0 = -3

Z4 – C C4 = -1 - 0 = -1

Z5 – C C5 = 1 - 1 = 0

Z6 – C C6 = 1 - 1 = 0

Nilai Z j - C j terbesar berada pada kolom x 2 sehingga kolom tersebut menjadi kolom kunci. 


4 0




3

R 2  R3 

12 2 6 2





6

3

Nilai R i terkecil yang positif akan menjadi baris kunci. Sehingga, yang menjadi baris kunci adalah baris A 1. Sehingga, tabel yang terbentuk sebagai berikut. Tabel 4


0

0

0

0

1

1

x1

x2

S1

S2

A1

A2

R i

x1

0

4

1

0

1

0

0

0



A1

1

12

0

2

0

0

1

0

6

A2

1

6

0

2

-3

-1

0

1

3

Z j

0

4

-3

-1

1

1

Z j - C j

0

4

-3

-1

0

0

**) Karena nilai nilai dari Z j - C j masih ada yang positif, maka iterasi dilakukan seperti langkah ke iii, dan seterusnya hingga menghasilkan nilai Z j - C j yang tidak positif. v. Tabel 5 (hasil transformasi Ketiga baris Program) 

Transformasi Transformasi Pertama dilakukan pada baris A 2 (karena pada baris tersebut terletak bilangan pivot)  Baris kunci dibagi dengan Bilangan Pivot (dibagi 2).  Program A2 diganti dengan kolom kunci, objektifnya adalah C kolom kunci




Baris yang bukan baris kunci adalah baris pertama dan baris kedua. Cara mentransformasi baris pertama dan baris kedua adalah dengan mengurangi angka-angka pada baris yang bersangkutan dengan hasil kali antara angkaangka pada baris kunci dengan rasio tetap. Tabelnya adalah seperti gambar dibawah.


4

Tabel 5


0

0

0

0

1

1

x1

x2

S1

S2

A1

A2

R i

x1

0

4

1

0

1

0

0

0

R 1

A1

1

6

0

0

3

1

1

0

R 2

x2

0

3

0

1

-1,5

-0,5

0

0,5

R 3

vi. 





Z 2 = (0 x 0) + (0 x 1) + (1 x 0) = 0

Z3 = (1 x 0) + (3 x 1) +(-1,5 x 0) = 3

Z 4 = (0 x 0) + (1 x 1) + (-0,5 x 0) = 1

Z5 = (0 x 0) + (1 x 1) + (0 x 0) = 1

Z 6 = (0 x 0) + (0 x 1) + (0,5 x 0) = 0


Z2 – C C2 = 0 - 0 = 0

Z3 – C C3 = 3 - 0 = 3

Z4 – C C4 = 1 - 0 = 1

Z5 – C C5 = 1 - 1 = 0

Z6 – C C6 = 0 - 1 = -1

Nilai Z j - C j terbesar berada pada kolom S 1 sehingga kolom tersebut menjadi kolom kunci. 


R 2  R3 

4 1 6 3



4



2

3  1,5

 2

Nilai R i terkecil yang positif akan menjadi baris kunci. Sehingga, yang menjadi baris kunci adalah baris A 1. Sehingga, tabel yang terbentuk sebagai berikut.


5

Tabel 6


0

0

0

0

1

1

x1

x2

S1

S2

A1

A2

R i

x1

0

4

1

0

1

0

0

0

4

A1

1

6

0

0

3

1

1

0

2

x 2

0

3

0

1

-1,5

-0,5

0

0,5

-2

Z j

0

0

3

1

1

0

Z j - C j

0

0

3

1

0

-1

vii. Tabel 7 (hasil transformasi Ketiga baris Program) 

Transformasi Transformasi Pertama dilakukan pada baris A 1 (karena pada baris tersebut terletak bilangan pivot)  Baris kunci dibagi dengan Bilangan Pivot (dibagi 2).  Program A1 diganti dengan kolom kunci, objektifnya adalah C kolom kunci




Baris yang bukan baris kunci adalah baris pertama dan baris ketiga. Cara mentransformasi baris pertama dan baris ketiga adalah dengan mengurangi angka-angka pada baris yang bersangkutan dengan hasil kali antara angkaangka pada baris kunci dengan rasio tetap. Tabelnya adalah seperti gambar dibawah. Tabel 7


0

0

0

0

1

1

x1

x2

S1

S2

A1

A2

R i

x1

0

2

1

0

0

-1/3

-1/3

0

R 1

S1

0

2

0

0

1

1/3

1/3

0

R 2

x2

0

6

0

1

0

0

-1/2

1/2

R 3

viii. 


Cara mencari nilai Z j sebagai berikut :


6

Z1 = (1 x 0) + (0 x 0) + (0 x 0) = 0

Z 2 = (0 x 0) + (0 x 0) + (1 x 0) = 0

Z3 = (0 x 0) + (1 x 0) + (0 x 0) = 0

Z 4 = (-1/3 x 0) + (1/3 x 0) + (0 x 0) = 0

Z5 = (-1/3 x 0) + (1/3 x 0) + (-1/2 x 0) = 0 Z 6 = (0 x 0) + (0 x 0) + (1/2 x 0) = 0 


Z2 – C C2 = 0 - 0 = 0

Z3 – C C3 = 0 - 0 = 0

Z4 – C C4 = 0 - 0 = 0

Z5 – C C5 = 0 - 1 = -1

Z6 – C C6 = 0 - 1 = -1

Nilai Z j - C j terbesar berada pada kolom S 1 sehingga kolom tersebut menjadi kolom kunci. 

Karena nilai dari Z j - C j seluruhnya tidak ada yang positif, maka iterasi dihentikan. Tidak perlu lagi mencari nilai R i. Proses selanjutnya adalah Fase 2.

TAHAP 2 ix.

Tabel 9 (Tabel awal dengan memasukkan fungsi kendala)

Obyektif dan Cj-ny mengikuti kofisien dari fungsi yang akan maksimumkan atau diminimumkan. Nilai yang akan diminimumkan adalah adalah

z  3 x1  5x 2

.

Tabel 9


x. 



3

5

0

0

x1

x2

S1

S2

x1

3

2

1

0

0

-1/3

S1

0

2

0

0

1

1/3

x2

5

6

0

1

0

0



Z 2 = (0 x 3) + (0 x 0) + (1 x 5) = 5

Z3 = (0 x 3) + (1 x 0) + (0 x 5) = 0

Z 4 = (-1/3 x 3) + (1/3 x 0) + (0 x 5) = -1


Z2 – C C2 = 5 - 5 = 0

Z3 – C C3 = 0 - 0 = 0 Z4 – C C4 = -1 - 0 = -1 Soal Latihan Matematika Keuangan Materi Simpleks Dua Fase

7



Karena Z j - C j sudah semua tidak positif maka iterasi pada fase 2 berhenti. Jadi didapat x1 = 2, x2 = 6. Sehingga, nilai

z

minimum adalah

z  3(2)  5(6) 

36 .

SOAL 2

Selesaikan Soal Program Linear berikut: Meminimumkan :

Dengan kendala :

z  x1  2 x 2  x3  4 x 4 x1  2 x 2  3 x3  x 4 

4

x1  2 x 2  x3  2 x 4 

4

x1 , x 2 , x 3 , x 4 

0

Penyelesaian : Dengan cara serupa seperti soal nomor 1, kita mengikuti langkah-langkah sebagai berikut. i.

Ubah terlebih dahulu fungsi tujuan dan fungsi kendala dalam bentuk simpleks.

ii. Masukkan nilai-nilai yang bersesuaian pada tabel. iii. Cari nilai Z j , dan Z j - C j. Apabila ada nilai Z j - C j bernilai positif, maka proses dilanjutkan dengan mencari nilai R i. Nilai Z j - C j terbesar akan menjadi kolom kunci, sedangkan nilai dari R i terkecil akan menjadi baris kunci. Perpotongan antara kolom kunci dengan baris kunci merupakan bilangan pivot. iv. Transformasi ketiga baris tersebut. Pada transformasi pertama dilakukan untuk baris kunci (baris yang terdapat bilangan pivotnya dengan cara car a membagi baris dengan bilangan pivot). Transformasi selanjutnya adalah transformasi baris baris yang bukan baris kunci dengan cara dengan mengurangi angka-angka pada baris yang bersangkutan dengan hasil kali antara angka-angka pada baris kunci dengan rasio tetap. v. Setelah semuanya ditransformasi, cek kembali nilai Z j - C j apakah ada nilai positif. Jika ada yang bernilai positif, maka langkah la ngkah iii dan seterusnya diulang kembali. Iterasi pada tahap pertama akan berhenti jika nilai Z j - C j tidak ada yang positif. Selanjutnya dilakukan ke Fase 2.


8

vi. Pada fase 2, obyektif dan Cj-ny mengikuti kofisien dari fungsi yang akan maksimumkan atau diminimumkan. Dan langkah selanjutnya dilakukan seperti langkah pada fase 1. Dari langkah-langkah tersebut, berikut ini akan langsung dipaparkan nilai-nilai pada tabel berdasarkan langkah-langkah tersebut.

Tabel 1


0

0

0

0

1

1

x1

x2

x3

x4

A1

A2

A1

1

4

1

2

-3

1

1

0

A2

1

4

1

2

1

2

0

1

Tabel 2


0

0

0

0

1

1

x1

x2

x3

x4

A1

A2

R i

A1

1

4

1

2

-3

1

1

0

2

A2

1

4

1

2

1

2

0

1

2

Z j

2

4

-2

3

1

1

Z j - C j

2

4

-2

3

0

0

Tabel 3


0

0

0

0

1

1

x1

x2

x3

x4

A1

A2

R i

x 2

0

2

0,5

1

-1,5

0,5

0,5

0

R 1

A2

1

0

0

0

4

1

-1

1

R 2

Tabel 4

Program Obyektif Kuantitas x 2

0

2

0

0

0

0

1

1

x1

x2

x3

x4

A1

A2

0,5

1

-1,5

0,5

0,5

0


R i -4/3 9

A2

1

0

0

0

4

1

-1

1

Z j

0

0

4

1

-1

1

Z j - C j

0

0

4

1

-2

1

0

Tabel 5


0

0

0

0

1

1

x1

x2

x3

x4

A1

A2

R i

x 2

0

2

0,5

1

0

7/8

1/8

3/8

R 1

x 3

0

0

0

0

1

0,25

-0,25

0,25

R 2

Tabel 6


0

0

0

0

1

1

x1

x2

x3

x4

A1

A2

x 2

0

2

0,5

1

0

7/8

1/8

3/8

x 3

0

0

0

0

1

0,25

-0,25

0,25

Z j

0

0

0

0

0

0

Z j - C j

0

0

0

0

-1

-1

TAHAP 2 Tabel 9


0

0

0

0

x1

x2

x3

x4

x 2

2

2

0,5

1

0

7/8

x 3

-1

0

0

0

1

0,25

Z j

1

2

-1

2

Z j - C j

0

0

0

-2

Soal Latihan Matematika Keuangan Materi Simpleks Dua Fase 10



Karena Z j - C j sudah semua tidak positif maka iterasi pada fase 2 berhenti. Jadi didapat x2 = 2, x3 = 0, x 1 = 0, x 4 = 0. Sehingga, nilai

z

minimum adalah

z 

0  2(2)  0  4(0)  4 .

SOAL 3

Selesaikan Soal Program Linear berikut: Minimumkan :

z  x1  6 x 2 

2 x3

x1  2 x 2 

Dengan kendala :

2

x1  x 2  3 x3  12 x1 , x 2 , x3 

0

Penyelesaian : Dengan cara serupa seperti soal nomor 1, kita mengikuti langkah-langkah sebagai berikut. vii. Ubah terlebih dahulu fungsi tujuan dan fungsi kendala dalam bentuk simpleks. viii.

Masukkan nilai-nilai yang bersesuaian pada tabel.

ix. Cari nilai Z j , dan Z j - C j. Apabila ada nilai Z j - C j bernilai positif, maka proses dilanjutkan dengan mencari nilai R i. Nilai Z j - C j terbesar akan menjadi kolom kunci, sedangkan nilai dari R i terkecil akan menjadi baris kunci. Perpotongan antara kolom kunci dengan baris kunci merupakan bilangan pivot. x. Transformasi ketiga baris tersebut. Pada transformasi pertama dilakukan untuk baris kunci (baris yang terdapat bilangan pivotnya dengan cara car a membagi baris dengan bilangan pivot). Transformasi selanjutnya adalah transformasi baris baris yang bukan baris kunci dengan cara dengan mengurangi angka-angka pada baris yang bersangkutan dengan hasil kali antara angka-angka pada baris kunci dengan rasio tetap. xi. Setelah semuanya ditransformasi, cek kembali nilai Z j - C j apakah ada nilai positif. Jika ada yang bernilai positif, maka langkah l angkah iii dan seterusnya diulang kembali. Iterasi pada tahap pertama akan berhenti jika nilai Z j - C j tidak ada yang positif. Selanjutnya dilakukan ke Fase 2.


xii. Pada fase 2, obyektif dan Cj-ny mengikuti kofisien dari fungsi yang akan maksimumkan atau diminimumkan. Dan langkah selanjutnya dilakukan seperti langkah pada fase 1. Dari langkah-langkah tersebut, berikut ini akan langsung dipaparkan nilai-nilai pada tabel berdasarkan langkah-langkah tersebut.

Tabel 1


0

0

0

0

0

1

1

x1

x2

x3

S1

S1

A1

A2

A1

1

2

1

2

0

-1

0

1

0

A2

1

12

1

1

3

0

-1

0

1

Tabel 2


0

0

0

0

0

1

1

x1

x2

x3

S1

S1

A1

A2

R i

A1

1

2

1

2

0

-1

0

1

0

2

A2

1

12

1

1

3

0

-1

0

1

2

Z j

2

3

3

-1

-1

1

1

2

3

3

-1

-1

0

0

Z j - C j Tabel 3


0

0

0

0

0

1

1

x1

x2

x3

S1

S1

A1

A2

x 2

0

1

0,5

1

0

-0,5

0

0,5

0

A2

1

11

0,5

0

3

0,5

-1

-0,5

1

Tabel 4


0

0

0

0

0

1

1

x1

x2

x3

S1

S1

A1

A2


R i

x 2

0

1

0,5

1

0

-0,5

0

0,5

0



A2

1

11

0,5

0

3

0,5

-1

-0,5

1

1/3

Z j

0,5

0

3

0,5 0,5

-1

-0,5

1

0,5

0

3

0,5

-1

-1,5

0

Z j - C j Tabel 5


0

0

0

0

0

1

1

x1

x2

x3

S1

S1

A1

A2

x 2

0

1

0,5

1

0

-0,5

0

1/2

0

x 3

0

11/3

1/6

0

1

1/6

1/3

-1/6

1/3

Tabel 6


0

0

0

0

0

1

1

x1

x2

x3

S1

S1

A1

A2

x 2

0

1

0,5

1

0

-0,5

0

1/2

0

x 3

0

11/3

1/6

0

1

1/6

1/3

-1/6

1/3

Z j

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-1

-1

Z j - C j

TAHAP 2 Tabel 7

Program Obyektif

Kuantitas

0

0

0

0

0

x1

x2

x3

S1

S1

R i

x 2

6

1

0,5

1

0

-0,5

0

2

x 3

2

11/3

1/6

0

1

1/6

1/3

22

Z j

10/3

6

2

-10/3

-2/3

Z j - C j

7/3

0

0

-10/3

-2/3


Tabel 8

0

0

0

0

0

x1

x2

x3

S1

S1

2

1

2

0

-2

0

10/3

0

-1/3

1

1/3

-1/3

Program

Obyektif

Kuantitas

x1

1

x 3

2

Tabel 9

Program Obyektif

Kuantitas

0

0

0

0

0

x1

x2

x3

S1

S1

x1

1

2

1

2

0

-2

0

x 3

2

10/3

0

-1/3

1

1/3

-1/3

Z j

1

4/3

2

-4/3

-2/3

Z j - C j

0

-14/3

0

-4/3

-2/3



Karena Z j - C j sudah semua tidak positif maka iterasi pada fase 2 berhenti. Jadi didapat x3 = 10/3, x 1 = 2, dan x 2 = 2 Sehingga, nilai

z

minimum adalah

z 

2  6(0)  0  2(10 / 3)  26 / 3

SOAL 4

Selesaikan soal program linier berikut: Meminimumkan:

z = 4x1 + x2

Dengan kendala:

3x1 + x2 = 3 4x1 + 3x2 ≥ 6 x1 + 2x2 ≤ 4 x1 , x2 ≥ 0

Penyelesaian : Bentuk siap simpleks untuk soal ini: Bentuk siap simpleks untuk untuk soal ini :


Meminimumkan

: z = 4x1 + x2 + 0S1 + 0S2 + 1A1 + 1A2

Dengan kendala

: 3x1 + x2 + A1 = 3  A1 = 3 - 3x 1 - x2

4x1 + 3x2 - S1 + A2 = 6  A2 = 6 - 4x1 - 3x2 + S1

7x1 - 4x2 + S1  a= A1 + A2 = 9 – 7x x1 + 2x2 + S2 = 4 x1, x2, S1, S2, A1, A2 ≥ 0

FASE I

Interasi

Basis

X1

X2

S1

S2

A1

A2

Solusi

R i

A1

3

1

0

0

1

0

3

1

A2

4

3

-1

0

0

1

6

6/4

S2

1

2

0

1

0

0

4

4

a

7

4

-1

0

0

0

9

9/7

Basis

X1

X2

S1

S2

A1

A2

Solusi

R i

X1

1

1/3

0

0

1/3

0

1

3

A2

0

5/3

4/3

0

-4/3

0

2

6/5

S2

0

5/3

0

0

-1/3

0

3

9/5

a

0

5/3

0

0

-7/3

0

2

6/5

Basis

X1

X2

S1

S2

A1

A2

Solusi

R i

X1

1

0

-4/5

0

9/15

0

3/5

X2

0

1

4/5

0

-4/5

0

6/5

S2

0

0

-4/3

0

1/3

0

1

a

0

0

-4/3

0

-1

0

0

ke-

0

Interasi ke-

1

Interasi ke-

2

Karena artificialnya sudah minimum, maka kita lanjut ke tahap 2. Dari iterasi ke-2 kita mendapat, Soal Latihan Matematika Keuangan Materi Simpleks Dua Fase 15

X1 = 3/5 + 4S1/15 X2 = 6/5 – 4S 4S1/5 Dimana kita akan meminimumkan z = 4x1 + x2 z = 4(3/5 + 4S 1/15) + 6/5 – 4S 4S1/5 z= 12/5 + 16 S 1/15 + 6/5 – 4S 4S1/5 z= 36/15 + 16 S 1/15 +18/15 - 12 S 1/15 z - 4S1/15 = 54/15 a diganti dengan z. FASE II Interasi

Basis

X1

X2

S1

S2

solusi

X1

1

0

-4/15

0

3/5

X2

0

1

4/5

0

6/5

S2

0

0

-4/3

0

1

z

0

0

-4/15

0

54/15

ke-

0

Nilai z

 0.

Maka iterasi selesai. Jadi nilai minimumnya adalah54/15 dengan

x1=3/5 dan x2 = 6/5

SOAL 5

Selesaikan soal program linier berikut: Meminimumkan z = 3x1 + 5x2 Dengan kendala: x1 ≤ 4 2x2 =12 3x1 + 2x2 ≥ 18 x1 , x2 ≥ 0 Penyelesaian : Bentuk siap simpleks untuk untuk soal ini : Meminimumkan

: z = 3x1 + 5x2 + 0S1 + 0S2 + 1A1 + 1A2


Dengan kendala

: x1 +S1 = 4 2x2 + A1 = 12  A1 = 12 - 2x2

3x1 + 2x2 – S S2 + A2 = 18 

A2 = 18 - 3x 1 - 2x2 + S2

a= A1 + A2= 30 - 3x 1 - 4x2 + S2 x1, x2, S1, S2, A1, A2 ≥ 0 FASE 1

Interasi

Basis

X1

X2

S1

S2

A1

A2

Solusi

R i

A1

0

2

0

0

1

0

12

6

A2

3

2

0

-1

0

1

18

9

S1

1

0

1

0

0

0

4

∞

a

3

4

0

-1

0

0

30

30/4

Basis

X1

X2

S1

S2

A1

A2

Solusi

R i

X2

0

1

0

0

1/2

0

6

∞

A2

3

0

0

-1

-1

1

6

2

S1

1

0

1

0

0

0

4

4

a

3

0

0

-1

-2

-2

6

2

Basis

X1

X2

S1

S2

A1

A2

Solusi

R i

X2

0

1

0

0

1/2

0

6

X 1

1

0

0

-1/3

-1/3

1

2

S1

0

0

1

1/3

1/3

-1/3

2

a

0

0

0

0

-1

-1

0

ke-

0

Interasi ke-

1

Interasi ke-

2

Karena artificialnya sudah minimum, maka kita lanjut ke tahap 2. Dari iterasi ke-2 kita mendapat, X1 = 2 + 1/3 S 2 Soal Latihan Matematika Keuangan Materi Simpleks Dua Fase 17

X2 = 6 Dimana kita akan meminimumkan z = 3x1 + 5x2 z = 3(2 + 1/3 S 2) + 5(6) z= 6 + S 2 +30 z=36 + S2 a diganti dengan z.

FASE 2

Interasi

Basis

X1

X2

S1

S2

solusi

X2

0

1

0

0

6

X1

1

0

0

-1/3

2

S1

0

0

1

1/3

2

Z

0

0

0

-1

36

ke-

0

Nilai z  0. Maka iterasi selesai. Jadi nilai minimumnya adalah 36 dengan x 1=2 dan x 2 = 6

SOAL 6

Selesaikan soal program linier berikut: Meminimumkan z = 6x1 + 2x2 + 5x3 Dengan kendala:

2x1 + 3x2 + x3 = 10 x1

+ 2x3 ≥ 8

x1 + 2x2 + 5x3 ≥ 19 Penyelesaian : Bentuk siap simpleks untuk soal ini ini : z = 6x1 + 2x 2 + 5x3 + 0S 1 + 0S 2 + A 1 + A2 + A3 Dengan kendala

: 2x1 + 3x2 + x3 + A1 = 10  A1 = 10 - 2x 1 - 3x2 - x3

x1

+ 2x3 - S1 + A2 = 8


 A2 = 8 - x1 - 2x3 + S1

x1 + 2x2 + 5x3 - S2 + A3= 19  A3= 19 - x 1 - 2x2 - x3 + S2

a= A1 + A2 + A3 = 37 - 4 x 1 - 5x2 – 8x 8x3 + S1 + S2

Interasi

Basis

X1

X2

X3

S1

S2

A1

A2

A3

Solusi

R i

A1

2

3

1

0

0

1

0

0

10

10

A2

1

0

2

-1

0

0

1

0

8

4

A3

1

2

5

0

-1

0

0

1

19

19/5

a

4

5

8

-1

-1

0

0

0

37

37/8

Basis

X1

X2

X3

S1

S2

A1

A2

A3

Solusi

R i

A1

9/5

13/5

0

0

1/5

1

0

-1/5

31/5

31/9

A2

3/5

-4/5

0

-1

2/5

0

1

-2/5

2/5

2/3

X3

1/5

2/5

1

0

-1/5

0

0

1/5

19/5

19

a

12/5

9/5

0

-1

3/5

0

0

-8/5

33/5

33/12

Basis

X1

X2

X3

S1

S2

A1

A2

A3

Solusi

R i

A1

0

5

0

3

-1

1

-3

1

5

1

X1

1

-4/3

0

-5/3

2/3

0

5/3

-2/3

2/3

-1/2

X3

0

10/15

1

1/3

-5/15

0

-1/3

5/15

55/15

55/10

a

0

5

0

3

-1

0

-4

0

5

1

Basis

X1

X2

X3

S1

S2

A1

A2

A3

Solusi

R i

X2

0

1

0

3/5

-1/5

1/5

-3/5

1/5

1

X1

1

0

0

-13/5

6/15

4/15

13/15

-14/15

2

X3

0

0

1

-1/15

-3/15

-2/15

1/15

3/15

3

ke-

0

Interasi ke-

1

Interasi ke-

2

Interasi ke-

3


a

0

0

0

0

0

0

-1

-1

0

Karena artificialnya sudah minimum, maka kita lanjut ke tahap 2. Dari iterasi ke-2 kita mendapat, X1 = 2 + 13/5S 1 - 6/15S2 X2 = 1 - 3/5S1 + 1/5S2 X3 = 3 + 1/15 S 1 + 3/15 S2 Dimana kita akan meminimumkan z = 6x1 + 2x2 + 5x3 z = 6(2 + 13/5S 1 - 6/15S2) + 2(1 - 3/5S 1 + 1/5S2) + 5(3 + 1/15 S 1 + 3/15 S 2) z= 12 + 78/15 S 1 – 36/15 36/15 S 2 + 2 – 6/5 6/5 S1 + 2/5 S 2 + 15 + 5/15 S 1 + 15/15 S2 z=180/15 + 78/15 S 1 – 36/15 36/15 S 2 + 30/15 – 18/15 S 1 + 6/15 S 2 + 15 + 5/15 S 1 + 15/15 S 2 z= 29 + 65/15 S 1 – S S2 a diganti dengan z.

FASE II

Interasi

Basis

X1

X2

X3

S1

S2

Solusi

R i

X2

0

1

0

3/5

-1/5

1

-5

X1

1

0

0

-13/15

6/15

2

5

X3

0

0

1

-1/15

-3/15

3

-15

Z

0

0

0

-65/15

1

29

29

Basis

X1

X2

X3

S1

S2

Solusi

R i

X2

1/2

1

0

5/30

0

2

S2

15/6

0

0

-13/6

1

5

X3

1/2

0

1

-15/30

0

4

Z

-15/6

0

0

-65/30

0

24

ke-

0

Interasi ke-


Nilai z  0. Maka iterasi selesai. Jadi nilai minimumnya minimumnya adalah 24dengan x1=0 , x2 = 2 dan x3 =4

SOAL 7

Meminimumkan z = x 1+ 2x2 Terhadap :

x1 + 3x2 ≥ 11 2x1 + x2 ≥ 9 x1 , x2 ≥ 0

Penyelesaian Bentuk siap simpleks untuk soal ini: Meminimumkan : Terhadap:

z = x1+ 2x2 + 0S1 + 0S2 + A1 + A2

x1 + 3x2 - S1 + A1 = 11 

A1 = 11 - x 1 - 3x2 + S1

2x1 + x2 - S2 + A2 = 9 

A2 = 9 - 2x 1 - x2 + S2

a= A1 + A2= 20 - 3x 1 - 4x2 + S1+ S2

FASE I Interasi

Basis

X1

X2

S1

S2

A1

A2

Solusi

R i

A1

1

3

-1

0

1

0

11

11/3

A2

2

1

0

-1

0

1

9

9

a

3

4

-1

-1

0

0

4

9/7

Basis

X1

X2

S1

S2

A1

A2

Solusi

R i

X2

1/3

1

-1/3

0

1/3

0

11/3

11

A2

5/3

0

1/3

-1

-1/3

1

16/3

16/5

a

5/3

0

1/3

-1

-1/3

0

16/3

16/5

Basis

X1

X2

S1

S2

A1

A2

Solusi

R i

ke-

0

Interasi ke-

1

Interasi ke-


2

X2

0

1

-6/15

1/5

6/15

-1/5

39/15

X1

1

0

1/5

-3/5

-1/5

3/5

16/5

a

0

0

0

0

0

-1

0

Karena artificialnya sudah minimum, maka kita lanjut ke tahap 2. Dari iterasi ke-2 kita mendapat, X1 = 16/5 -1/5S 1 + 3/5S2 X2 = 39/15 + 6/15S 1 - 1/5S2 Dimana kita akan meminimumkan z = x1 + 2x2 z = 16/5 -1/5S 1 + 3/5S2 + 2(39/15 + 6/15S 1 - 1/5S2) z= 16/5 -1/5S 1 + 3/5S2 +78/15 + 12/15 S 1 - 2/5 S2 z=18/15 -3/15S 1 + 9/15S2 +78/15 + 12/15 S 1 - 2/5 S 2 z= 268/15 + 9/15S 1 + 3/15 S2 a diganti dengan z. FASE II

Interasi

Basis

X1

X2

S1

S2

solusi

X2

0

1

-6/15

1/5

39/15

X1

1

0

1/5

-3/5 -3/5

16/5

Z

0

0

-9/15

-3/15

126/15

ke-

0

Nilai z  0. Maka iterasi selesai. Jadi nilai minimumnya adalah 126/15 dengan x 1= 16/5,x2 = 39/15

Soal 8

Selesaikan Soal Program Linear berikut: Meminimumkan Dengan kendala

z

= 2x1 + x2

4x1 + 2x2 ≥ 8 2x1 + 3x2 ≥ 9 x1,x 2 ≥0


Penyelesaian : Kendalanya menjadi:  4x1 + 2x2 - S1

A1

+ A1

=8

= 8 - 4x1 - 2x2 + S1

 2x1 + 3x2 - S2 + A2 = 9

A2 = 9 - 2x 2x1 - 3x2 + S2  a = A1 + A2 = 17 – 6x 6x1 – 5x 5x2 +S1+S2  x1, x2, S 1, S2, A1, A2 ≥ 0

Meminimumkan

z = 12x1 + 5x2 + 0S1 + 0S2 + a

FASE 1 Kita akan meminimumkan A 1 dan A2 terlebih dahulu. Iterasi ke-

0

Basis

x1

X2

S1

S2

A1

A2

Solusi

A1

4

2

-1

0

1

0

8

A2

2

3

0

-1

0

1

9

a

6

5

-1

-1

0

0

17

Karena ini adalah masalah meminimumkan, maka kolom kunci adalah kolom yang memiliki nilai a terbesar. Jadi kolom x 1.

Iterasi ke-

0

Basis

x1

X2

S1

S2

A1

A2

Solusi

R i

A1

4

2

-1

0

1

0

8

2

A2

2

3

0

-1

0

1

9

4,5

a

6

5

-1

-1

0

0

17

Untuk baris kunci, pilih R i terkecil, sehingga baris 1 merupakan baris kunci.

Iterasi ke0

Basis

x1

X2

S1

S2

A1

A2

Solusi

R i

A1

4

2

-1

0

1

0

8

2

A2

2

3

0

-1

0

1

9

4,5


a

6

5

-1

-1

0

0

17

Lanjut ke iterasi selanjutnya, Basis A1 digantikan oleh Basis kolom kunci yaitu x 1 Baris kunci dikalikan ¼ Baris A2 dikurangi ¼  Baris kunci. Baris a dikurangi 3/2  Baris kunci

Tabelnya akan menjadi,

Iterasi ke-

1

Basis

x1

X2

S1

S2

A1

A2

Solusi

x1

1

½

-1/4

0

¼

0

2

A2

0

2

½

-1

-1/2

1

5

a

0

2

½

-1

-3/2

0

5

Karena ini adalah masalah meminimumkan, maka kolom kunci adalah kolom yang memiliki nilai a terbesar. Jadi kolom x 2. Iterasi ke-

1

Basis

x1

X2

S1

S2

A1

A2

Solusi

R i

x1

1

½

-1/4

0

¼

0

2

4

A2

0

2

½

-1

-1/2

1

5

2,5

a

0

2

½

-1

-3/2

0

5

Untuk baris kunci, pilih R i terkecil, sehingga baris 2 merupakan baris kunci. Iterasi ke-

1

Basis

x1

X2

S1

S2

A1

A2

Solusi

R i

x1

1

½

-1/4

0

¼

0

2

4

A2

0

2

½

-1

-1/2

1

5

2,5

a

0

2

½

-1

-3/2

0

5

Lanjut ke iterasi selanjutnya,


Basis A2 digantikan oleh Basis kolom kunci yaitu x 2 Baris kunci dikalikan dikalikan ½ (pivot) Baris x1 dikurangi ¼  Baris kunci. Baris a dikurangi Baris kunci Tabelnya akan menjadi, Iterasi ke-

2

Basis

x1

X2

S1

S2

A1

A2

Solusi

x1

1

0

-3/8

¼

3/8

-1/4

0,75

x2

0

1

¼

-1/2

-1/4

½

2,5

a

0

0

0

0

-1

-1

0

Karena artificialnya sudah minimum, maka kita lanjut ke tahap 2. Dari iterasi ke-2 kita mendapat, X1 = 7,5+3S1/8 – S S2/4 X2 = 25+S2/2 – S S1/4 Dimana kita akan meminimumkan z = 2x1 + 1x2 z = 2(0,75+3S 1/8 – S S2/4) + (2,5+S 2/2 – S S1/4) z= 1,5+3S1/4 – S S2/2 + 2,5+S2/2 – S S1/4 z= 4+3S1/2 z - S1/2 = 4 a diganti dengan z

FASE 2 Iterasi ke-

0

Basis

x1

X2

S1

S2

Solusi

x1

1

0

-3/8

¼

0,75

x2

0

1

¼

-1/2

2,5

z

0

0

-13/4

0

4

Nilai z  0. Maka iterasi selesai. Jadi nilai minimumnya adalah 4 dengan x 1=0,75 dan x 2 = 2,5

SOAL 9


Selesaikan Soal Program Linear berikut: Meminimumkan

z

Dengan kendala

= 4x1 + x2

3x + x = 3 1

2

4x + 3x ≥ 6 1

2

x1 + 2x2 ≤ 4 x1, x2 ≥ 0

Penyelesaian : Kendalanya menjadi:  3x1 + x2 + A1

A1

=3

= 3 - 3x1 + x2

 4x1 + 3x2 – S S1 + A2 = 6

A2 = 6 - 4x 4x1 - 3x2 + S1  x1 + 2x2 + S2 = 4  a = A1 + A2 = 9 – 7x 7x1 – 2x 2x2 +S1  x1, x2, S 1, S2, A1, A2 ≥ 0

Meminimumkan

z = 4x1 + x2 + 0S1 + 0S2 + a

FASE 1 Kita akan meminimumkan A 1 dan A2 terlebih dahulu. Iterasi ke-

0

Basis

x1

X2

S1

S2

A1

A2

Solusi

A1

3

-1

0

0

1

0

3

A2

4

3

-1

0

0

1

6

S2

1

2

0

1

0

0

4

a

7

2

1

0

0

0

9

Karena ini adalah masalah meminimumkan, maka kolom kunci adalah kolom yang memiliki nilai a terbesar. Jadi kolom x 1. Iterasi ke0

Basis

x1

X2

S1

S2

A1

A2

Solusi

Ri

A1

3

-1

0

0

1

0

3

1

A2

4

3

-1

0

0

1

6

1,5


S2

1

2

0

1

0

0

4

a

7

2

1

0

0

0

9

4

Untuk baris kunci, pilih R i terkecil, sehingga baris 2 merupakan baris kunci. Iterasi ke-

0

Basis

x1

X2

S1

S2

A1

A2

Solusi

A1

3

-1

0

0

1

0

3

A2

4

3

-1

0

0

1

6

S2

1

2

0

1

0

0

4

a

7

2

1

0

0

0

9

S2

A1

A2

Solusi

Lanjut ke iterasi selanjutnya, Basis A1 digantikan oleh Basis kolom kunci yaitu x 1 Baris kunci dikalikan ¼ Baris A2 dikurangi 4/3  Baris kunci. Baris S2 dikurangi 1/3

 Baris

kunci.

Baris a dikurangi 7/3  Baris kunci Tabelnya akan menjadi, Iterasi ke-

1

Basis

x1

X2

S1

x1

1

-1/3

0

0

1/3

0

1

A2

0

13/3

-1

0

-5/3

1

2

S2

0

7/3

0

1

-1/3

0

3

a

0

11/3

1

0

-7/3

0

2

Kolom kunci adalah kolom yang memiliki nilai a terbesar. Untuk baris kunci, pilih R i terkecil Iterasi ke-

1

Basis

x1

X2

S1

S2

A1

x1

1

-1/3

0

0

1/3

0

1

-3

A2

0

13/3

-1

0

-4/3

1

2

0,461

S2

0

7/3

0

1

-1/3

0

3

1,29

a

0

13/3

1

0

-7/3

0

2


A2

Solusi

Ri

Lanjut ke iterasi selanjutnya, Basis A2 digantikan oleh Basis kolom kunci yaitu x 2 Baris kunci dikalikan 3/13 Baris x1 dikurangi 1/13  Baris kunci. Baris S2 dikurangi 7/13

 Baris

kunci.

Baris a dikurangi Baris kunci Tabelnya akan menjadi, Iterasi ke-

2

Basis

x1

X2

S1

S2

A1

A2

Solusi

x1

1

0

-1/13

0

3/13

1/13

15/13

x2

0

1

-3/13

0

-4/13

3/13

6/13

S2

0

0

7/13

1

5/13

7/13

25/13

a

0

0

2

0

-1

-1

0

Ini sudah minimum, maka dilanjutkan ke tahap 2 Tahap 2 X1-s1/13=15/13 => x1=15/13 + s1/13 X2-3s1/13=6/13 => x2 = 6/13 +3s1/13 S2+7s1/13=25/13 => s2 =25/13-7s1/13 Z= 4x1+x2 = 60/13+4s1/13 + 6/13 +3s1/13 = 66/13+7s1/13

Iterasi ke-

0

Basis

x1

X2

S1

S2

Solusi

x1

1

0

-1/13

0

15/13

x2

0

1

-3/13

0

6/13

S2

0

0

7/13

1

25/13

z

0

0

-7/13

0

66/13


0

Basis

x1

X2

S1

S2

Solusi

Ri

x1

1

0

-1/13

0

15/13

-15

x2

0

1

-3/13

0

6/13

-2

S2

0

0

7/13

1

25/13

25/7


z

0

0

7/13

0

66/13

Lanjut ke iterasi selanjutnya, Basis S2 digantikan oleh Basis kolom kunci yaitu S 1 Baris kunci dikalikan 13/7 Baris x1 dikurangi -1/7  Baris kunci. Baris x2 dikurangi -3/7

 Baris

kunci.

Baris z dikurangi Baris kunci Tabelnya akan menjadi, Iterasi ke-

Basis

0

x1

X2

S1

S2

Solusi

x1

1

0

0

1/7

10/7

x2

0

1

0

3/7

9/7

S1

0

0

1

13/7

25/7

z

0

0

0

1

7


0

Basis

x1

X2

S1

S2

Solusi

Ri

x1

1

0

0

1/7

10/7

10

x2

0

1

0

3/7

9/7

3

S1

0

0

1

13/7

25/7

25/13

z

0

0

0

1

7

Lanjut ke iterasi selanjutnya, Basis S1 digantikan oleh Basis kolom kunci yaitu S 2 Baris kunci dikalikan 7/13 Baris x1 dikurangi 1/13  Baris kunci. Baris x2 dikurangi 3/13

 Baris

kunci.

Baris z dikurangi 7/13  Baris kunci Tabelnya akan menjadi,


Iterasi

Basis

x1

X2

S1

S2

Solusi

ke-

0

Nilai z

 0.

x1

1

0

0

0

105/91

x2

0

1

0

0

42/91

S1

0

0

7/13

1

25/13

z

0

0

0

0

66/13

Maka iterasi selesai. Jadi nilai minimumnya adalah 66/13 dengan

x1=105/91 dan x 2 = 42/91 Z=4x1 + x2 = 4 105/91 + 42/91 = 420/7 + 42/91 = 462/91 = 66/13

Soal 10

Selesaikan Soal Program Linear berikut: Meminimumkan

z

Dengan kendala

= 2x1 + 3x2

x1 + 2x2 ≥ 4 3x1 + x2 ≥ 7 x1,x 2 ≥0

Penyelesaian : Kendalanya menjadi:  x1 + 2x2 - S1

A1

+ A1

=4

= 4 - x1 - 2x2 + S1

 3x1 + x2 - S2 + A2 = 7

A2 = 7 - 3x 3x1 - x2 + S2 4x1 – 3x 3x2 +S1+S2  a = A1 + A2 = 11 – 4x  x1, x2, S 1, S2, A1, A2 ≥ 0

Meminimumkan

z = 2x1 + 3x2 + 0S1 + 0S2 + a


Soal Dan Pembahasan Simpleks Dua Fase

Recommend Documents