Metode Bagi Dua (Bisection Method )
Sewaktu menerapkan teknik grafik, kita telah mengamati (gambar a) bahwa f ( x ) berganti tanda pada kedua sisi yang berlawanan dari kedudukan akar. Pada umumnya, kalau f ( x ) nyata (riil) dan kontinu dalam interval dari
x l
hingga
xu
, serta f ( xl )
dan f ( xu ) berlainan tanda, yakni : f ( x l ) f ( xu )
<
0
…[1]
maka terdapat sekurang-kurangnya satu akar nyata di antara
x l
dan
xu
.
Metode carian inkremental inkremental memodali pengamatan pengamatan ini dengan dengan penempatan penempatan sebuah interval di mana fungsi tersebut bertukar tanda. Kemudian penempatan perubahan tanda (tentunya harga akar) ditandai lebih teliti dengan cara membagi interval tersebut menjad menjadii sejuml sejumlah ah subint subinterv erval. al. Setiap Setiap subint subinterv erval al itu dicari dicari untuk untuk menemp menempatka atkan n perubahan tanda. Proses tersebut diulangi dan perkiraan akar diperhalus dengan membagi subinterval menjadi lebih bertambah halus. Metode bagi dua, disebut juga pemotongan biner ( binary chopping ), ), pembagian dua interval (interval halving ) atau metode Bolzano, adalah suatu jenis carian incremental dimana dimana interv interval al senant senantias iasaa dibagi dibagi separu separuhny hnya. a. Kalau Kalau suatu suatu fungsi fungsi beruba berubah h tanda tanda sepanjang suatu interval, harga fungsi ditengahnya dievaluasi. Letak akarnya kemudian ditentukan berada di tengah-tengah subinterval di man perubahan tanda terjadi. Proses tersebut diulangi untuk memperoleh taksiran yang diperhalus. Algoritma
Langkah 1 : Pilih taksiran terendah
x l
dan tertinggi
xu
untuk akar fungsi berubah
tanda sepanjang interval. Ini dapat diperiksa dengan menyakinkan bahwa f ( xl ) f ( xu )
<
0.
Langkah 2 : Taksiran pertama akar
x r
=
x r
ditentukan oleh :
xl + xu
2
Langkah 3 : Buat evaluasi yang berikut untuk menentukan subinterval, di dalam mana akar terletak : a. Jik Jika f ( xl ) f ( x r ) < 0 , akar terletak pada subinterval pertama, maka xu
=
xr , dan lanjut ke langkah 4.
b. Jika f ( xl ) f ( x r ) xl
=
>
0 , akar terletak pada subinterval kedua, maka
x r , dan lanjutkan ke langkah 4.
c. Jika f ( xl ) f ( x r )
=
0 , akar =
x r ,
hentikan komputasi.
Langkah 4 : Hitung taksiran baru akar :
x r
=
xl + xu
2
Langkah 5 : Putuskan apakah taksiran baru anda cukup akurat sesuai kebutuhan. Jika “ya”, hentikan komputasi, jika “tidak” kembali ke langkah 3.
Contoh : Gunakan metode bagi dua untuk menentukan akar dari f ( x) = e
x
−
−
x.
Dari grafik fungsi (gambar a) terlihat bahwa harga akar terletak antara 0 dan 1. Karena interval awal dapat dipilih dari xl
=
0 hingga xu
=
1.
Dengan sendirinya, taksiran awal akar terletak di tengah interval tersebut : x
r
=
0+ 1 = 2
0,5
Taksiran ini menunjukan kesalahan dari (harga sebenarnya adalah 0,56714329…) : E t
=
0,56714329
−
0,5
=
0,06714329
atau dalam bentuk relatif : ε t
=
0,0 6 7 1 4 3 2 9 x 0,5 6 7 1 4 3 2 9
1 0 0% = 1 1,8%
dimana indeks t menunjukkan bahwa kesalahan diacu terhadap harga sebenarnya. Sekarang kita hitung : f (0). f (0,5)
=
1.(0,10653 )
Tidak ada perubahan tanda terjadi antara
x l
=
0,5+ 1, 0 = 2
=
0,7 5 dan
0,10653
>
0
x r .
dan
akar selanjutnya terletak pada interval antara x
xr
=
0,5 ε t
dan
=
1,0
( xl
=
0,5 )
32,2%
Proses dapat dilanjutkan lagi agar mendapatkan taksiran yang lebih halus. misalnya untuk iterasi ketiga adalah : f (0). f (0,5)
Karena akar terletak di antara 0,5 dan 0,75 ( xu
xr
=
0 ,5 + 0 , 7 5 = 2
0,030
=−
0,6 2
=
<
0
0,75 ) :
dan
ε t
=
10,2%
Dan iterasi keempat adalah : f (0,5). f (0,625 )
0,010
=−
Karena akar terletak di antara 0,5 dan 0,625 ( xu
x r
=
0 , 5+ 0 , 6 2 5 = 2
0,5 6 2
=
dan
<
0
0,625 ) : ε t
=
0,819%
sampai seterusnya diulangi untuk memperoleh taksiran yang lebih halus.
Kriteria Terminasi dan Taksiran Kesalahan
Mengembangkan suatu kriterian objektif untuk menentukan kapan metode ini berhenti. Kita memerlukan suatu taksiran kesalahan yang tidak ditentukan oleh pengetahuan tentang akar itu sebelumnya. Suatu kesalahan aproksimasi dapat dihitung ε a
dimana
x r
=
x r baru
−
x r lama
x r baru
100 %
×
baru adalah akar dari iterasi sekarang, dan
x r
lama adalah akar iterasi
sebelumnya. Harga absolut dipakai karena kita biasanya cenderung memakai besarnya ε a
ketimbang tandanya. Bila
penghentian praspesifikasi
ε s
ε a
menjadi lebih kecil daripada suatu kriteria
, komputasi dihentikan.
Contoh : Taksiran kesalahan untuk metode bagidua 0,5
Taksiran pertama x r
=
Taksiran kedua xr
0,75
ε a
=
0, 7 5 0,5 0,7 5
Iterasi 1 2 3 4 5
−
x1 0 0%
=
=
x r
0,5 0,75 0,625 0,5625 0,59375
3 3,3% ε t
%
11,8 32,2 10,2 0,819 4,69
ε a
%
Kecenderungan : ε a
33,3 20,0 11,1 5,3
selalu lebih besar dari
ε t
→
karakteristik ekstrim Jadi bila
ε a
jatuh di bawah
ε s
,
komputasi dapat dihentikan dengan keyakinan bahwa akar telah diketahui sekurang-kurangnya sama telitinya dengan tingkat penentua awal yang dapat diterima
Metode Posisi Salah (The False-Position Method )
Walupun metode bagidua merupakan suatu teknik sempurna yang berlaku secara sempurna untuk menentukan akar-akar, pendekatan “Paksa-Besar (“brute-force”)”nya relatif kurang efisien. Posisi salah merupakan suatu alternative perbaikan berdasarkan suatu pengertian grafik. Kelemahan metode bagidua ialah dalam membagi interval x l
hingga
xu
ke dalam paruhan-paruhan yang sama, tidak ada perhitungan
mengenai besar harga daripada
f ( xl ) dan . Misalnya jika
f ( xl ) lebih mendekati nol
f ( xu ) , tampaknya akar menjadi lebih dekat ke
x l
daripada ke
xu
(gambar c).
f ( xu )
x l
xu
x r
f ( xl ) x
gambar c Suatu metode alternative yang menggali pengertian grafik ini ialah dengan menggabungkan titik-titik oleh sebuah garis lurus. Perpotongan dari garis ini dengan sumbu x menyatakan sebuah taksiran perbaikan dari akar. Ternyata penempatan kembali kurva oleh sebuah garis lurus memberikan suatu “posisi salah” dari akarakar, nama aslinya adalah metode posisi salah ( method of false position ) atau regula falsi dalam bahasa latin. Metode ini juga dinamakan metode interpolasi linier. Dengan memakai segitiga yang serupa (gambar c), perpotongan garis lurus dengan sumbu x dapat ditaksir sebagai : f ( xl ) xr xl −
=
f ( xu ) xr xu
…[1]
−
yang dapat diselesaikan menjadi x r
=
xu
−
f ( xu ).( xl f ( xl )
−
−
xu )
f ( xu )
…[2]
ALGORITMA Langkah 1 : Pilih taksiran terendah x l dan tertinggi xu untuk akar fungsi berubah tanda sepanjang interval. ini dapat diperiksa dengan menyaksikan bahwa f(xl).f(xu)<0. Langkah 2 : xr
=
xu
−
f ( xu )( xl f ( xl )
−
xu )
−
f ( xu )
Langkah 3 : Buat evaluasi yang berikut untuk menentukan subinterval, di dalam mana akar terletak : a. Jika f ( xl ) f ( x r ) < 0 , akar terletak pada subinterval pertama, maka xu
=
xr , dan lanjut ke langkah 4.
b. Jika f ( xl ) f ( x r ) xl
=
>
0 , akar terletak pada subinterval kedua, maka
x r , dan lanjutkan ke langkah 4.
c. Jika f ( xl ) f ( x r )
=
0 , akar =
x r ,
hentikan komputasi.
Langkah 4 : Hitung taksiran baru akar dengan :
xr
=
xu
−
f ( xu )( xl f ( xl )
−
−
xu )
f ( xu )
Langkah 5 : Putuskan apakah taksiran baru anda cukup akurat sesuai kebutuhan. Jika “ya”, hentikan komputasi, jika “tidak” kembali ke langkah 3.
REKOMENDASI Walaupun metode posisi salah kelihatannya selalu menjadi metode prefrensi mengurung, ada harus-harus dimana metode ini bekerja kurang baik. ternyata pada masalah yang lain, dimana bagi dua mengandung hasil yang lebih baik. Contoh : Suatu harus dimana metode Bisection lebih disukai dari pada metode posisi salah. Pernyataan masalah : Gunakan metode Bisection dan posisi salah untuk menempatkan akar-akar: f ( x )
=
x10
1
−
diantara x = 0 dan 1,3 selusi : dengan
menggunakan
metode
Bisection,
diperoleh
hasil-hasil
yang
dapat
diringkaskan sebagai berikut : Iterasi
Xl
Xu
Xr
t %
∈
a%
∈
1
0
1.3
0.65
35
2
0.65
1.3
0.975
2.5
33.3
3
0.975
1.3
1.1375
13.8
14.3
4
0.975
1.1375
1.05625
5.6
7.7
5 0.975 1.05625 1.015625 1.6 4.0 jadi, setelah lima kali iterasi, kesalahan sebenarnya dikurangi sampai kurang dari 2%. Untuk posisi salah, harga-harga yang sangat berbeda diperoleh : Iterasi
Xl
Xu
Xr
1
0
1.3
0.09430
90.6
2
0.09430
1.3
0.18176
81.8
48.1
3
0.18176
1.3
0.26287
73.7
30.9
4
0.26287
1.3
0.33811
66.2
22.3
5
0.33811
1.3
0.40788
59.2
17.1
t %
∈
a%
∈
Setelah lima kali iterasi, kesalahan sebenarnya hanya dikurangi menjadi kira-kira 59%. Sebagai tambahan, patut dicatat bahwa
∈a
< ∈t
. Jadi, kesalahan aproksinasi
ternyata meleset. f ( x ) f ( x )
1
-1 gambar b
=
x10
1
−
x
