Mehanika II 1. Št Što o je je to to čestica? Pod česticom se u kinematici podrazumijeva bilo koje tijelo kojemu se zanemaruju dimenzije. Na ovakav se način mogu pojednostavniti poje dnostavniti mnogi analitički izrazi i grafički postupci kod analize gibanja tijela. 2. Št Što o je je to to putanja čestice? Putanja predstavlja liniju tj. geometrijsko mjesto točaka uzastopnih poloaja čestice tijekom gibanja. !vakoj !vakoj točki na putanji odgovara drugo vrijeme. "akle# putanja je doga$aj niza poloaja čestice u pro%losti# pr o%losti# jedne točke poloaja u sada%njosti i niza poloaja čestice koji &e se zbiti u budu&nosti. '. Što je je to poloa poloajj čestice? čestice? Poloaj je čestice točka u prostoru odre$ena koordinatama točke. (estica koja se giba ne moe istodobno imati dva različita različita poloaja. "akle# čestica moe imati isti poloaj za vrijeme gibanja# ali u različita vremena. ). Što je je to prije$eni prije$eni put čestic čestice? e? Prije$eni se put čestice mjeri linearnim jedinicama mjere *metrima i slično+ od njezinog početnog poloaja uzdu putanje za vrijeme gibanja sve do zavr%nog poloaja. Prije$eni put ne moe imati negativnu vrijednost. Prije$eni je put uvijek monotono rastu&a veličina bez obzira na smjer gibanja čestice ,. Što su to to jednadbe jednadbe gibanja gibanja čestic čestice? e? -o je ili vektorska jednadba ili sustav skalarnih jednadbi koje opisuju vremensku ovisnost poloaja čestice na njenoj putanji. . /ak /ako o se pi%e jednadba gibanja čestice u vektorskom obliku? obliku?
0. /ako se pi%u pi%u jednadbe gibanja čestice u skalarnom skalarnom obliku u "escartesovom "escartesovom koordinatnom sustavu?
. /ako se pi%u jednadbe gibanja čestice u skalarnom skalarnom obliku u cilindričnom koordinatnom sustavu?
. /ako se pi%u pi%u jednadbe gibanja čestice u skalarnom skalarnom obliku u polarnom koordinatnom koordinatnom sustavu?
13. /ako se pi%u jednadbe gibanja čestice u skalarnom obliku u sfernom koordinatnom sustavu?
11. /ako se pi%e jednadba gibanja čestice u skalarnom obliku u prirodnom koordinatnom sustavu?
4ko se položaj čestice na putanji moe odrediti u svakom trenutku duljinom luka putanje s i polumjerom zakrivljenosti putanje# mogu se za opisivanje gibanja koristiti prirodne komponente. *slika+
12. Što je to srednja brzina kod pravocrtnog gibanja čestice?
1'. Što je to trenutna brzina čestice kod pravocrtnog gibanja čestice i u kojim se jedinicama mjeri brzina?
1). Što je to srednje ubrzanje kod pravocrtnog gibanja čestice?
1,. Što je to trenutno ubrzanje čestice kod pravocrtnog gibanja čestice i u kojim se jedinicama mjeri ubrzanje?
1./oji su posebni primjeri pravocrtnog gibanja? -
Može se reći da su posebni primjeri pravocrtnog gibanja čestice: jednoliko gibanje (v = konst, a = 0), jednoliko ubrano gibanje (a = konst, a ! 0), jednoliko usporeno gibanje (a = konst, a " 0), #armonijsko (oscilatorno) gibanje$
10./ako glase izrazi za brzinu i poloaj čestice kod pravocrtnog gibanja s konstantnim ubrzanjem? %od rje&avanja ovi# adataka potrebno je primijeniti ponate 'ormule a jednoliko i jednoliko ubrano odnosno usporeno gibanje čestice po pravcu (a = konst)$
x je položaj čestice u metrima [m], t je vrijeme u sekundama [s], s je prevaljeni put u metrima [m], v je brina u metrima u sekundi [ms], a je ubranje (usporenje) u [ms],
g je ubranje sile teže, *,+ ms,
1./ako izgledaju kinematički dijagrami konstantnim ubrzanjem?
a(t)# v(t) i s(t) kod
pravocrtnog gibanja s
eka se čestica giba po pravcu be početne brine - s ubranjem a = ms a vrijeme prve dvije sekunde, - s ubranjem a = 0 ms a vrijeme druge i treće sekunda gibanja, -s usporenjem a = - ms a vrijeme pete i &este sekunde gibanja$ - .rina se linearno povećava (mijenja po pravcu) sekunde,
vrijeme prve dvije
kako je &to predstavlja povr&inu ispod dijagrama a(t ) (pravokutnik ) a vrijeme prve dvije sekunde, - brina je konstantna a vrijeme druge i treće sekunda gibanja, - brina se linearno smanjuje (mijenja po akonu pravcu) gibanja$
a vrijeme pete i &este sekunde
- prevaljeni se put mijenja po akonu parabole a vrijeme prve dvije sekunde,
a vrijeme prve dvije sekunde,
&to predstavlja povr&inu ispod dijagrama v (t ) ( trokut)
- prevaljeni se put linearno povećava (mijenja po akonu pravca) a vrijeme druge i treće sekunda gibanja, - prevaljeni se put mijenja po akonu parabole pete i &este sekunde gibanja$ a,
m/s2
a)
2 1
B
A
t ,
0
2
-1
4
s
6
-2
v,
m/s
b)
v
2 D
1
t ,
0 -1
2
C
4
s
6
-2
s,
m
c)
4 2 t ,
0
2
-2
4
s
6
F so =
-4
E
s
1.Što su to kinematički dijagrami? /o su gra'ovi crteži u mjerilu, koji u nekom koordinatnom sustavu (npr$ 1escartesovom) predstavljaju sliku promjene neke kinematičke veličine ovisne o drugoj2 npr$ ovisnost puta o vremenu ili ovisnost brine o putu i slično$
23.Što predstavlja povr%ina ispod krivulje
a(t) u
nekom intervalu vremena?
3od ovim se podraumijeva povr&ina ome4ena gra'om 'unkcije a(t ) i osi apscise (npr$ x )$
%ako je to po de5niciji derivacije predstavlja 678. /679/9 na gra' 'unkcije v (t )$ /ako je na slici IZNOS ubranja u točki jednak tangensu kuta b u točki . %ako je
Tj. , a ovo po de5niciji odre4enog integrala predstavlja povr&inu koju ome4uje 'unkcija a(t ) i os apscise (npr$ x )$
; kinematičkom smislu veličina ove povr&ine je 8<> promjene brine u vremenu ime4u t i t $ a slici je opisna povr&ina 976/8?6 (ispod osi x ) pa to predstavlja 8<> >M6@9@6 brine ime4u promatrani# točaka i A$
21.Što predstavlja povr%ina ispod krivulje
v(t) u
nekom intervalu vremena?
3od ovim se podraumijeva povr&ina ome4ena gra'om 'unkcije v (t ) i osi apscise (npr$ x )$ %ako je to po de5niciji derivacije predstavlja 678. /679/9 na gra' 'unkcije s(t )$ /ako je na donjoj slici IZNOS brine u točki B jednak tangensu kuta a u točki A na gornjoj slici$
tj$ %ako je , a ovo po de5niciji odre4enog integrala predstavlja povr&inu koju ome4uje 'unkcija v (t ) i os apscise (npr$ x )$ ; kinematičkom smislu veličina ove povr&ine je IZNOS promjene prevaljenog puta u vremenu ime4u t i t $ a slici je opisna povr&ina 3<8/8?6 (inad osi x ) pa to predstavlja 8<> 3?9B6@6 puta ime4u promatrani# točaka 1 i 3$
s
a) 3
A
2 4
1
t
v
b) 1
2
t
3
vB =
tan
B 4
22.Što predstavlja nagib tangente na krivulju
s(t) u
nekom trenutku?
%ako je to po de5niciji derivacije predstavlja 678. /679/9 na gra' 'unkcije s(t )$ /ako je na slici dijagrama v (t ) IZNOS brine u točki B jednak tangensu kuta a u točki A na slici dijagrama s(t ) $
s
a) 3
A
2 4
1
t
v
b) 1
2
t
3
vB =
tan
B 4
2'.Što predstavlja nagib tangente na krivulju
v(t) u
nekom trenutku?
3od ovim se podraumijeva povr&ina ome4ena gra'om 'unkcije a(t ) i osi apscise (npr$ x )$
%ako je 'unkcije v (t )$
to po de5niciji derivacije predstavlja 678. /679/9 na gra'
v
a) 2 1 t
3 B
4 a
b)
1 t
2
aC =
3
C
tan
4
2)./ako se odre$uje v(t) i a(t) ako je poznato
s(t)?
(slika a)$
8nos brine jednak je derivaciji 'unkcije po vremenu tj$ $ 1erivacija 'unkcije u nekoj točki 6 predstavlja tangens kuta koji atvara tangenta na 'unkciju tj$ (slika b)$ 8nos ubranja jednak je derivaciji 'unkcije po vremenu tj$ $ 1erivacija 'unkcije u nekoj točki . predstavlja tangens kuta koji atvara tangenta na 'unkciju
tj$
(slika c)$
s
a) A 2
3
4
1
t
v
b) 2 1 t
3
vB =
tan
B
4 a
c)
1 t
2
aC =
3
C
4
tan
2,./ako se odre$uje a(t) i s(t) ako je poznato v(t)? Na slici LIJEVO:
s
a)
A 2
3
4
1
t
(slika b) i )$
8nos ubranja jednak je derivaciji 'unkcije po vremenu tj$ $ 1erivacija 'unkcije u nekoj točki . predstavlja tangens kuta koji atvara tangenta na 'unkciju tj$ (slika c)$
v
b)
Na slici DESNO:
2
, ovo
1 t
3
vB =
tan
B
4 a
c)
1 t
2
aC =
3
C
4
tan
nači da je u dijagramu povr&ina ispod krivulje npr$ ime4u točaka i 1 (slika b) jednaka promjeni prevaljenog puta ime4u točaka 9 i C (slika c)$
a,
m/s
a)
2 1
B
A
t ,
0
2
-1
4
s
6
-2
v,
m/s
b)
v
2 D
1
t ,
0 -1
2
C
4
s
6
-2
s,
m
c)
4 2 t ,
0
2
-2
4
s
6
F so =
-4
E
s
2./ako se odre$uje v(t) i s(t) ako je poznato
a(t)?
(slika a) i obveno dva početna uvjeta i
)$
, ovo nači da je u dijagramu povr&ina ispod krivulje npr$ ime4u točaka 6 i . (slika a) jednaka promjeni brine ime4u točaka i 1 (slika b)$
, ovo nači da je u dijagramu povr&ina ispod krivulje npr$ ime4u točaka i 1 (slika b) jednaka promjeni prevaljenog puta ime4u točaka 9 i C (slika c)$
a,
m/s
a)
2 1
B
A
t ,
0
2
-1
4
s
6
-2
v,
m/s
b)
v
2 D
1
t ,
0 -1
2
C
4
s
6
-2
s,
m
c)
4 2 t ,
0
2
-2
4
s
6
F so =
-4
E
s
20./ako se odre$uje a(t)# v(t) i s(t) ako je poznato v(s)?
i obveno jedan početni uvjet (npr$ $
>lijedi: davde se inverijom može iračunati
$
$ $
v
2 1 s
3
4
2./ako se odre$uje a(t)# v(t) i s(t) ako je poznato a(s)?
i obveno dva početna uvjeta (npr$ )$
%ako je
, slijedi: $
vo se može integrirati te je: D$
$ astavak kao i u pitanju
a
2
T
3 s
1 4
2./ako se odre$uje a(t)# v(t) i s(t) ako je poznato a(v)?
i obveno dva početna uvjeta (npr$ )$ $ %ako je
slijedi integral:
$ 6ko je inverijom moguće dobiti postupak dalje kao pod pitanjem D$ ; nekim je primjerima moguće lak&e rije&iti na sljedeći način:
te integriranjem u ponati početni uvjet $ 6ko je inverijom moguće dobiti način$
tada se nastavlja na ranije opisani
a
1
2 3 v
4
E0$%akvo je to #armonijsko gibanje čestice kod pravocrtnog gibanjaF /o je takvo pravocrtno gibanje čestice pri kojem je uvijek ubranje proporcionalno s prevaljenim putom čestice i suprotno mu orijentirano, tj$ $ Gestica prelai uvijek istu putanju, a krajnje se točke naivaju amplitude vibriranja$ vdje je H kružna 'rekvencija #armonijskog titranja, realan poitivan broj mjeri se u rads$ E$%ako igledaju kinematički dijagrami a(t), v(t) i s(t) kod #armonijskog pravocrtnog gibanjaF , gdje je jo u radijanima 'ani pomak$ a slici je veličina T period jednog titranja pri čemu vrijedi: sekundama$
mjeri se u
%ružna je 'rekvencija u radijanima u sekundi, rads$
mjera učestalosti #armonijskog gibanja i mjeri se
i mjeri se u #ercima, I$
a, v, s vo
vo
s
=
sin t
a
= −
sin t
= −
v
s
=
vo cos t
so
so
=
t
t ,
s
t ,
s
0
ao
o =
2T
T
ao
2
2
0
'2.Što je to period jednog titraja? a slici je veličina T period jednog titranja pri čemu vrijedi: mjeri se u sekundama$
vo
s
=
sin t
a
= −
sin t
= −
v
s
=
vo cos t
so
so
=
t
0
ao
T
ao
o =
0
2T
2
2
EE$Jto je to kružna 'rekvencija #armonijskog gibanjaF a slici je veličina T je period jednog titranja pri čemu vrijedi:
mjeri se u sekundama$ vdje je H kružna 'rekvencija #armonijskog titranja, realan poitivan broj mjeri se u rads$
a, v, s vo
vo
s
=
sin t
a
= −
sin t
= −
v
s
=
vo cos t
so
so
=
t
t ,
s
t ,
s
0
ao
o =
2T
T
ao
2
2
0
EA$Jto je to 'rekvencija #armonijskog gibanjaF a slici $E veličina T je period jednog titranja pri čemu vrijedi: mjeri se u sekundama$
vo
s
=
sin t
a
= −
sin t
= −
v
s
=
vo cos t
so
so
=
t
0
ao
T
ao
o =
0
2T
2
2
EK ; kakvim se relacijama nalae: period titranja, kružna 'rekvencija i 'rekvencija $ #armonijskog gibanjaF a slici je veličina T period jednog titranja pri čemu vrijedi:
mjeri se u sekundama$ %ružna je 'rekvencija u radijanima u sekundi, rads$
mjera učestalosti #armonijskog gibanja i mjeri se
i mjeri se u #ercima, I$
a, v, s vo
vo
s
= sin t
a
= −
sin t = −
v
s
= vo cos t
so
so
= t
t ,
0
ao
T ao
o =
0
2T
2
2
s
