MEHANIKA FLUIDA Skripta za studente Tehničkog fakulteta u Rijeci
Luka Sopta Lado Kranjčević
Rijeka, 2006.
SADRŽAJ 1. Fluid i njegova svojstva 2. Statika fluida 3. Osnove dinamike fluida 4. Strujanje idealnog fluida 5. Strujanje realnog fluida u cijevi 6. Optjecanje tijela
1
SADRŽAJ 1. Fluid i njegova svojstva 2. Statika fluida 3. Osnove dinamike fluida 4. Strujanje idealnog fluida 5. Strujanje realnog fluida u cijevi 6. Optjecanje tijela
1
1. FLUID I NJEGOVA SVOJSTVA Materija se dijeli na čvrstu, tekuću i plinovitu. U čvrstom stanju materije molekule se nalaze u kristalnoj rešetki s malim stupnjem slobode gibanja. U teku ćem stanju molekule imaju ve ću slobodu gibanja i mogu zauzeti proizvoljan oblik zadržavaju ći isti volumen, a u plinovitom stanju molekule mogu zauzeti proizvoljan prostor. Najveći dio svemira je u fluidnom stanju. Galaksije, zvijezde i planete u ve ćem dijelu se promatraju kao fluid. Atmosfera, oceani, mora, jezera i rijeke su fluidi. Unutrašnjost zemlje je u fluidnom stanju. Za gotovo sve industrijske grane važna je mehanika fluida: automobilska, avionska, brodogra đevna, kemijska industrija, energetika… Čovjekovo tijelo je ve ćim dijelom fluid. Za medicinu je od velike važnosti poznavanje strujanja krvi i drugih fluida u tijelu. Definicija fluida: fluid je materija koja se deformira deformira za proizvoljno malo malo tangencijalno naprezanje ( Sl.1.1 Sl.1.1). Fluid je moguće podijeliti na kapljevine (voda, ulje ...) i plinove. τ
τ
Krutina
τ > 0,
v ( x , t ) = 0 r
Fluid
τ > 0,
r
v ( x , t ) > 0 r
r
Sl.1.1
1.1 Fluid kao kontinuum 1.1.1 Gustoća U mehanici fluida stvarna molekularna struktura materije zamjenjuje se hipotetskim kontinuumom koji zadržava neprekidnost fizikalnih svojstava prelaze ći i u infinitezimalne volumene, odnosno u graničnom prijelazu i u nulti volumen, tj. u to čku. Na osnovu toga gusto ću je mogu će definirati na način ρ =
Δm . Δv →0 ΔV lim
a.
b. Sl.1.2 Definicija gustoć e u toč ki ki
2
Na slici 1.2 a označen je volumen V . Potrebno je odrediti gusto ću u točki C(x0 ,y0 ,z 0 ). Srednja gustoća u volumenu V je ρ = m / V . Kako bi se odredila gusto ća u točki C definiran je maleni volumen δ V . Na slici 1.2 b vidljivo je da smanjivanje volumena δ V ne može ići ispod minimalne vrijednosti δ V ' jer on mora sadržavati barem toliko mnogo molekula da statisti čki proračun daje pouzdanu i stabilnu srednju vrijednost fizikalnih svojstava i dinami čkih vrijednosti, a u tom slu čaju srednja gustoća se približava asimptotskoj vrijednosti slika 1.2 b. Smanjivanjem volumena δ V ispod granice δ V ' on sadržava samo mali broj molekula te je nemogu će fiksirati konačnu vrijednost δ m / δ V jer će vrijednost jako varirati kako molekule ulaze i izlaze iz volumena. Definirajući gustoću na takav na čin u beskona čno mnogo točaka u fluidu postavlja se gusto ća fluida u obliku skalarnog polja ρ = ρ ( x, y , z , t ) .
U gornjem izrazu t je vrijeme pošto gustoća može varirati u vremenu zbog rada u činjenog na fluidu ili sa fluidom i/ili zbog dovo đenja ili odvođenja topline fluidu. Elementarna čestica fluida, definirana je u tom skalarnom polju elementom mase δ m δ m = ρ ⋅ δ V .
Tako definirana čestica fluida ne smije se zamijeniti s pojmom molekule tvari. Kapljevine je praktički nemoguće toliko razrijediti da se ne bi mogla primijeniti hipoteza kontinuuma. Za razliku od kapljevina plinovi mogu do ći u tako razrijeđeno stanje da hipoteza kontinuuma više nije održiva. Kao kriterij primjenjivosti hipoteze kontinuuma najprikladniji je omjer slobodne putanje molekula l i karakteristične duljine L koja se zove Knudsenov broj K =
l L
.
Za K ~ < 0,01 plin se ponaša kao kontinuum. Na visini od 200 km iznad Zemlje zrak je toliko razrijeđen da molekule u prosjeku pre đu udaljenost od približno 300m prije sudara. Kod ra čunanja leta rakete duljine L=30m nemoguće je stoga primijeniti hipotezu zraka kao kontinuuma.
Sl.1.3 Gustoć a vode
3
Konverzija jedinica iz engleskog BG i EE sustava u SI sustav
1.1.1 Stlačivost i tlak Tlak fluida u mirovanju definira se kao djelovanje normalne sile po jedinici površine tijela okruženog (uronjenog) fluidom i nastaje bombardiranjem površine molekulama fluida. U SI sustavu jedinica je Pascal (Pa). Nestlačiv fluid definiran je izrazom ρ = const .
te je definicijski izraz za gustoću nestlačivog fluida moguće napisati u obliku ρ = m / V .
Praktično, kapljevine su nestla čive te se gornji izraz može primijeniti na njih. Efekt stla čivosti kod vode se javlja tek kod ekstremnog tlaka od p ~ > 1 GPa . Plinovi se u problemima mehanike fluida mogu javiti kao kontinuum s prostorno i, u op ćem slučaju, s vremenski promjenjivom gusto ćom, u pojedinim to čkama i vremenskim trenucima. Realni plinovi se ponašaju približno prema zakonu idealnog plina. Idealni plin je potrebno razlikovati od pojma idealnog fluida pošto se pod pojmom idealnog fluida smatra fluid bez trenja, 4
dok je idealan plin viskozan i u njemu se razvija smi čno naprezanje. Plin je stoga stla čiv prema zakonu idealnog plina pV = mRT
ili
p = ρ RT
gdje je R (Nm/kg K) plinska konstanta. Za zrak pri normalnim uvjetima R=287 (Nm/kg K). Prijelaz iz plinovitog u stanje kapljevine i obrnuto u ovisnosti o tlaku i temperaturi mogu će je prikazati p-V dijagramom gdje je p tlak, a V specifični volumen (slika 1.3).
Sl.1.3 p-V dijagram
Efekt stlačivosti plinova prisutan je i kod transsoni čnog strujanja. Kod male izmjene topline i Machov broj M =
v c
< 0,3 plinovi pokazuju varijaciju gusto će do 5% i mogu se aproksimirati kao
nestlačivi.
Koeficijent stlačivosti Stlačivost fluida izražava se koeficijentom stla čivosti. Ako se u jedinici volumena tlak pove ća za dp to će uzrokovati smanjenje volumena za –dV . Kvocijent dV κ = − V dp
se naziva koeficijentom stla čivosti ( Pa −1 ) (stišljivosti, kompresibilnosti).
5
Modul elastičnosti (Pa) E =
1 κ
Koliko je puta zrak stlačiviji od vode ? Izotermna i izentropska kompresija i ekspanzija Kod stlačivanja plinova odnos izme đu tlaka i gusto će ovisi o prirodi procesa. Ako se kompresija ili ekspanzija događa uz konstantnu temperaturu tada je taj proces izoterman te na osnovu jednadžbe idealnog plina slijedi p ρ
= const .
U slučaju da je proces kompresije ili ekspanzije izentropan tj. proces je bez trenja i ne dolazi do izmjene topline s okolinom vrijedi p ρ k
= const . ,
gdje je koeficijent k kvocijent specifič ne topline c p pri konstantnom tlaku i specifič ne topline cv pri konstantnom volumenu: k=c p /cv. Specifične topline se odnose prema plinskoj konstanti R na način: R= c p-cv.
Stlačivo strujanje se često javlja u inženjerskoj praksi kod kompresora i raznih sustava s komprimiranim zrakom, zubarskih bušilica, ventilatora, pri prijenosu plinova u plinovodima pod visokim tlakom, transsoni čnih strujanja oko aviona i projektila itd.
1.1.2 Tlak isparavanja Isparavanje (ishlapljivanje) – izbacivanje molekula kapljevine u plin doga đa se kada neke molekule kapljevine imaju dovoljnu koli činu gibanja da svladaju me đumolekularne kohezivne sile. Ako se kapljevina zatvori u spremniku s malo zrakopraznog prostora (vakuuma) iznad površine fluida, prostoru iznad površine fluida rasti će tlak kako odbjegle molekule kapljevine ishlapljuju. Kada se stvori ravnoteža u smislu da je broj molekula koje napuštaju kapljevinu jednak broju molekula koji se vra ća u fluid smatra se da je para zasićena te se tlak pare tada naziva tlak zasićene pare. Vrenje – formiranje mjehuri ća pare unutar kapljevine po činje kada se apsolutan tlak u fluidu izjednači s tlakom isparavanja. Voda vrije u normalnim uvjetima (tlak 1 bar) pri temperaturi od 100OC, dok na nadmorskoj visini od npr. 3000m pri atmosferskom tlaku od približno 70000 Pa voda vrije pri temperaturi od približno 90 OC. Vrenje je stoga mogu će inducirati pri zadanom tlaku pove ćanjem temperature ili na zadanoj temperaturi smanjenjem tlaka.
6
1.1.3 Površinska napetost σ Na granici između kapljevine i plina ili dviju kapljevina koje se ne miješaju, na površini kapljevine razvijaju se sile koje uzrokuju da se površina ponaša kao neka vrsta membrane koja okružuje fluid. Iz tog razloga čelična igla može plutati na površini vode ili se javlja fenomen žive koja se formira u kuglice kada se stavi na glatku površinu pošto kohezivne sile površine nastoje držati sve molekule žive zajedno u kompaktnoj formi. Tlak u kapljici vode koja leti zrakom je ve ći nego tlak zraka koji ju okružuje. Površinska napetost se javlja radi neuravnoteženih kohezivnih sila izme đu molekula fluida na površini. Površinska napetost σ jest intenzitet privla čnih molekularnih sila po jedinici duljine bilo koje linije na površini. Dimenzija σ jest Nm-1. Fenomen koji se javlja radi površinske napetosti je i povišenje (ili sniženje) stupca fluida u kapilari. U kapilarnoj cjev čici umetnutoj u vodu javit će se povišenje razine vode zbog me đudjelovanja kapljevine, plina i krute stjenke. U primjeru a. na slici između molekula krute stjenke i molekula kapljevine javlja se privla čna molekularna sila koja je ja ča od interne kohezivne molekularne sile među molekulama u kapljevini i koja zato uzdiže stupac kapljevine. Takva kapljevina se naziva važeća kapljevina.
Sl.1.4 Površinska napetost
Visina elevacije kapljevine u kapilari odre đuje se izrazom h=
2σ cos θ ρ gR
gdje je σ površinska napetost, R radijus kapilare, θ kut kontakta fluida i stjenke. Kut kontakta je funkcija i svojstava kapljevine i vrste stjenke. Za vodu u kontaktu sa staklom θ ≈ 0 o , dok živa u kontaktu sa staklom ima θ ≈ 130 o te je primjer nevlažećeg fluida u kontaktu sa staklom pošto je u adhezivna sila molekula krute stjenke slaba u usporedbi s kohezivnom molekularnom silom fluida. Površinska napetost ima važnu ulogu u strujanju kapljevina kroz tlo i poroznu sredinu, kod formiranja kapljica i mjehuri ća, disperziji mlaza kapljevine, penjanju vode kroz korijenje biljaka itd. Efekt kapilarnosti omogu ćuje da stablo kroz korijenje crpi vodu iz tla do iznad površine zemlje. Sunčeva energija preko procesa isparavanja i osmoze koja se doga đa u stanicama listova diže vodu od površine zemlje do listova.
7
Sl.1.4 Veliko stablo sekvoje
1.2 Viskoznost Fluid je tvar koja se kontinuirano deformira pod utjecajem smi čnog naprezanja ma kako malo to naprezanje bilo. Viskoznost – svojstvo otpornosti fluida prema smi čnoj deformaciji. Svojstvo suprotno viskoznosti jest fluidnost. Viskoznost je također i mjera unutarnjeg trenja u fluidu. Povezanost viskoznosti i trenja ukazuje na viskoznost kao svojstvo fluida zbog kojeg nastaju gubici pri strujanju. Viskoznost je svojstvo fluida koje se očituje tek pri gibanju fluida.
y U
F
u H
y
x Sl.4.1.1
Između dvije paralelne plo če nalazi se neka tvar ( Sl.4.1.1). Donja plo ča je fiksna, dok na gornju djeluje sila F, koja proizvodi smi čno naprezanje τ = F/A na tvar među pločama. A je površina gornje ploče. Ako sila F prouzrokuje gibanje plo če stalnom brzinom, tada je moguće zaključiti da je tvar me đu pločama fluid. Fluid u neposrednom kontaktu s čvrstom granicom ima istu brzinu kao čvrsta granica (tzv. '' no slip condition ''). Pokus pokazuje da je sila F direktno proporcionalna površini i brzini A i U i obrnuto proporcionalna debljini sloja fluida H
8
AU F = μ , H
gdje je μ faktor proporcionalnosti vezan za svojstva fluida. Kvocijent U/H predstavlja brzinu kutne deformacije i op ćenitije ga se može napisati
du dy
. Ako se nadalje u prethodnu jednadžbu uvede
izraz za smično naprezanje τ = F/A. Slijedi Newtonov zakon viskoznosti : τ = μ
du dy
,
gdje je τ smično naprezanje, du/dy brzina kutne deformacije pri 1D strujanju fluida, a μ [ Pa s] dinamički koeficijent viskoznosti. Osnovna podjela fluida je na njutnovske i nenjutnovske (ili newtonske, nenewtonske) fluide ( Sl.4.1.2). Kod njutnovskih fluida (plinovi, ve ćina tekućina) postoji linearna relacija (kao na Sl.4.1.1) između intenziteta smi čnog naprezanja i odgovaraju će brzine deformacije. Nenjutnovski fluidi jesu npr. dugolan čani hidrokarbonati, krv, zubna pasta, neke boje, blato... ( Sl.4.1.2) i kod njih je odnos između intenziteta smičnog naprezanja i odgovaraju će brzine deformacije nelinearan.
Sl.4.1.2 Newtonovski i nenewtonovski fluid
Viskoznost se gotovo ne mijenja promjenom tlaka, a mijenja se s promjenom temperature. Kod tekućina, povećanjem temperature smanjuje se viskoznost, dok se kod plinova pove ćanjem temperature viskoznost pove ćava ( Sl.4.1.3.a,b).
9
Sl.4.1.3a,b Dinami č ka i kinematska viskoznost u ovisnosti o temperaturi, za neke fluide
Dijeljenjem koeficijenta dinami čke viskoznosti s gusto ćom fluida dobiva se koeficijent kinematske μ ⎡ m 2 ⎤ viskoznosti fluida ν = ⎢ ⎥ . Kinematska viskoznost se često koristi u mehanici fluida i ρ ⎣⎢ s ⎦⎥ inženjerstvu i predstavlja mjeru otpora fluida smi čnoj deformaciji odn. te čenju pod djelovanjem sile gravitacije. Na slikama Sl.4.1.3a,b uočljivi su različiti međusobni odnosi dinami čkog odn. kinematskog viskoziteta za neke fluide (npr. voda i živa Sl.4.1.3a,b). Za vodu pri normalnim 2 −6 ⎡ m ⎤ uvjetima vrijedi ν ≈ 1 ⋅10 ⎢ ⎥ = 1 cSt (centi Stokes), odn. μ ≈ 1 ⋅10 −3 [ Pa s ] = 1 cP (centi Poise). ⎣⎢ s ⎦⎥ Spomenute su starije jedinice za kinematsku viskoznost Stokes i dinamičku viskoznost Poise koje su još ponegdje u upotrebi.
10
PRIMJER 1.1: Mjerenje dinami čk e viskoznosti rotacijskim viskozimetrom
Uz zadanu brzinu kutne deformacije du/dy te mjerenjem smi č nog naprezanja τ , moguć e je pomoć u Newtonovog zakona viskoznosti τ = μ
du dy
, izrač unati koeficijent dinami č ke
viskoznosti μ .. Rotacijski viskozimetar se u osnovi sastoji od vanjskog rotiraju ć eg cilindra i unutarnjeg, koncentri č nog, stacionarnog cilindra Sl.4.1.P1. Mjerenjem torzijskog momenta T na unutarnjem stacionarnom cilindru mogu ć e je izrač unati smi č no naprezanje.
Sl.4.1.P1 Shematski prikaz rotacijskog viskozimetra
Unutarnji je cilindar u dodiru s fluidom preko "plašta" i dna. Ukupni torzijski moment izmjeren na unutarnjem cilindru je stoga
T = T C + T D gdje je T C torzija zbog smi č nog naprezanja na plaštu i T D torzija zbog naprezanja na dnu. Za plašt:
du dy
=
ω r 2 b
,
gdje je ω brzina rotacije vanjskog cilindra , a b moment zbog trenja na plaštu je
zrač nost međ u cilindrima. Torzijski
T C = τ ⋅ 2r 1π ⋅ h ⋅ r 1 . Uzevši u obzir prethodna dva izraza i Newtonov zakon viskoznosti slijedi
T C
=
2π r 12 r 2 hμ ω b
.
Za dno cilindra:
dA = r d θ ⋅ dr 11
dT D
= τ r dA = μ
r r ⋅ r d θ dr a
Integriranjem po dnu unutarnjeg cilindra slijedi:
T D
= T D
μ ω a
=
2π
r 1
∫ d θ ∫ r dr 3
0
μ ω
0 4 r 1 π
a
2
gdje je a zra č nost na dnu cilindra prema slici. Slijedi jednadžba za ukupni torzijski moment
T =
μ πω r 12
⎛ 2r 2 h r 12 ⎞ ⎜⎜ + ⎟⎟ . b 2a ⎠ ⎝
Pošto je T ukupni torzijski moment izmjeren na unutarnjem cilindru iz gornjeg izraza direktno proizlazi dinami č ki koeficijent viskoznosti μ .
12
PRIMJER 1.2: Mjerenje kinematske viskoznosti Sayboltovim viskozimetrom Princip mjerenja viskoznosti Sayboltovim viskozimetrom (Sl.4.1.P2 ) sastoji se u mjerenju vremena 3 potrebnog za istjecanje V L=60 cm fluida kroz kapilarnu cijev pod utjecajem gravitacije. Pri mjerenju se održava konstantna temperatura mjerenog fluida. Pošto fluid istje če pod utjecajem sile gravitacije važnost pri ovom mjerenju ima i gusto ća fluida te je mjerena viskoznost kinematska viskoznost ν.
Sl.4.1.P2 Shematski prikaz Sayboltovog viskozimetra Pri analizi strujanja kre će se od Hagen Poisseuilleove formule za strujanje viskoznog fluida kroz cijev ( Hagen Poisseuilleova formula će biti analizirana kasnije u ovom poglavlju) :
Δ p π D 4 Q= . 128μ L Dalje, definira se prosje čna piezometri čna visina za vrijeme istjecanja hL, poznat je volumen mjerenog fluida V L, protok Q se aproksimira Q = V L / t te se uzima Δ p = ρ g h L . Slijedi:
V L t ν =
=
ρ g h L π D 4
128 μ L
π gD 4 h L
128V L L
⋅ t = C 1 ⋅ t .
Pošto je duljina kapilarne cjev čice L relativno malena dodaje se gornjem izrazu još i korekcijski faktor oblika C/t pa konačno slijedi izraz za kinematski viskozitet oblika
ν = C 1t +
C 2 t
tj. približni odnos Sayboltovih sekundi i kinematske viskoznosti jest
⎛ ⎝
ν = ⎜ 0.0022 t −
1.8 ⎞ −4 2 −1 ⎟ ⋅ 10 m s . t ⎠
13
PRIMJER 1.3: SAE gradacija viskoznosti motornih ulja S inženjerskog motrišta viskoznost je najvažnije svojstvo industrijskih maziva. Premalo viskozno mazivo pod silom strojnih nasjednih površina bude istisnuto te dolazi do kontakta strojnih elemenata i oštećenja. Previše viskozno mazivo npr. ne te če preko cijele ležajne površine te dolazi do ošte ćenja ili zbog svoje prevelike viskoznosti apsorbira previše energije koja se potom pretvara u toplinu te dovodi do pregrijavanja. Stoga je pravilan izbor odre đenog maziva, ulja za odre đenu industrijsku namjenu od izuzetne važnosti. Za pravilan izbor maziva odn. motornih ulja važna je njihova što preciznija klasifikacija. SAE (Society of Automotive Engineers) klasifikacija motornih ulja prema viskoznosti je najrašireniji i op ćenito prihva ćen sustav klasifikacije na svijetu. Prema SAE oznakama definiraju se dvije grupe viskoznosti: - sa oznakom W - kojom se klasificiraju ulja za zimske uvjete rada; - bez oznake - ulja za op ćenite uvjete rada. Viskoznost se kod ulja s oznakom W mjeri na dva načina: - simulatorima hladnog starta; - testom pumpanja koji definira kriti čnu temperaturu pumpanja. U simulatorima hladnog starta dobiva se dinami čka viskoznost u (Pa s), dok ta ulja moraju o također zadovoljiti i test minimalne kinematske viskoznosti pri 100 C. Kod ulja bez oznake mjeri se samo kinematska viskoznost pri višoj temperaturi. U modernim motorima koriste se tzv. multigrade ulja koja se dobiju miješanjem prethodno navedenih dviju grupa ulja te ona zadovoljavaju kriterije viskoznosti pri niskim temperaturama i o zadovoljavaju također uvjete minimalne viskoznosti pri 100 C. Npr. ulje koje zadovoljava 10W uvjete i 30 uvjet označava se SAE 10W30 . SAE Viskoznost
0W 5W 10W 15W 20W 25W 20 30 40 50
ASTM D2602 Viskoznost (Pa s) o Max temp. ( C)
6200 6600 7000 7000 9500 13000
pri -35 pri -30 pri -25 pri -20 pri -15 pri -10
ASTM D3829 Granična temp. o pumpanja ( C)
ASTM D445 Minimalna viskoznost 2 o (mm /s) pri 100 C
ASTM D445 Maksimalna viskoznost 2 (mm /s) pri o 100 C
-35 -30 -25 -20 -15 -10
3,8 3.8 4,1 5,6 5,6 9,3 5,6 9,3 12,5 16,3
9,3 12,5 16,3 21,9
Tablica 4.1.P3 SAE klasifikacija viskoznosti motornih ulja U inženjerstvu se često koristi veličina indeksa viskoznosti "VI" . Unutarnje trenje u kapljevinama pa tako i mazivu je ve će pri nižoj temperaturi i manje pri višoj temperaturi. Npr. med pri niskoj temperaturi jedva da te če, a nakon zagrijavanja te če sasvim lako. Med i njemu slični fluidi imanju nizak indeks viskoznosti dok fluid koji podjednako te če i pri niskim i visokim temperaturama ima visok indeks viskoznosti. Raspon indeksa VI ide od VI=0 za ulja sa visokom osjetljivošću na viskoznost obzirom na temperaturu do cca. VI=200 za ulja kod kojih se viskoznost puno manje mijenja s promjenom temperature. U motorna ulja stoga se dodaju kemijski aditivi (obi čno dugolan čani polimeri) za poboljšanje indeksa viskoznosti, a što s e posebno odnosi na miješana (multigrade) ulja.
14
1.3 Sile, naprezanja i tlak u fluidu Sile u mehanici fluida dijele se na [Cauchy]: - masene ili tjelesne sile, u oznaci F m , (gravitacija, inercijalna sila, centrifugalna sila, Coriolisova sila, elektromagnetska sila) - kontaktne ili površinske sile , u oznaci F s . r
r
a.
b. Sl.1.2
Masene i kontaktne sile u fluidu
r
Gustoća masene sile, u oznaci f , se definira u svakoj to čki promatranog tijela fluida kao r
r
Δ F m Δ F m , = lim f ( x 0 , y 0 , z 0 ) = lim Δm →0 Δm ΔV →0 ρ ΔV r
gdje je Δm masa tijela ΔV koje sadrži to čku (xo, yo, zo) i Δ F m masena sila na to tijelo ( Sl.1.2). r
r
Gustoća kontaktne sile, u oznaci t , se definira u svakoj to čki tijela fluida kao r
Δ F S t ( x, y, z ) = lim , Δ A→0 ΔS r
gdje je ΔS površina diferencijalnog dijela ravnine definirane to čkom (x, y, z) i normalom n , te Δ F S kontaktna sila na ΔS ( Sl.1.3). Uz osnovna dva zakona statike fluida, koji su ujedno osnovni zakoni statike bilo kojeg kontinuuma, potrebno je definirati konstitutivnu relaciju za fluid koja se o čituje u definiranju tenzora naprezanja r
r
15
Kontaktne sile Kontaktne ili površinske sile djeluju na plohu – granicu tijela. Naprezanja proizlaze od kontaktnih sila koje djeluju na granicu tijela. Konceptom naprezanja objašnjava se na čin na koji se djelovanje sila koje djeluju na granicu tijela prenosi kroz tijelo. Obzirom da su i sila i ploha (definirana normalom) vektorske veli čine očigledno je da je polje naprezanja skalarno polje. Pretpostavimo neku plohu u fluidu koji struji te kontaktnu silu koja djeluje na tu plohu. Pretpostavimo dalje dio te plohe – malenu plohu δ A u sredini koje se nalazi to čka C, kao što je prikazano na slici. Kontaktnu silu δ F (čiju gustoću označujemo sa t ) koja djeluje na malenu plohu δ A moguće je rastaviti na dvije komponente, jednu u smjeru normale na plohu i jednu tangencijalnu na plohu. Na osnovu toga definiraju se normalno σ i tangencijalno naprezanje τ :
Sl.1.5 Kontaktne sile u fluidu
σ =
lim
δ A→0
δ F n δ A
i
τ =
lim
δ A→0
δ F t δ A
.
(1.1.4.1)
Segment plohe – malena ploha δ A , slobodno je orijentirana u trodimenzijskom prostoru te se komponente sile koja na nju djeluje, dalje u kartezijevom koordinatnom sustavu rastavljaju na x, y i A kroz njene projekcije prema koordinatnim osima z komponente. Isto tako analiziramo plohu δ δ A x , δ A y , δ A z . Ako se prvo analizira x projekcija plohe - δ A x čija je normala u smjeru osi x te se definiraju limesi slično (1.1.4.1) dobivaju se komponente naprezanja:
A x Sl.1.6 Komponente sile i naprezanja na malenu plohu δ
16
σ xx
= lim
δ A x →0
δ F n , x δ A x
,
τ xy
= lim
δ F t , y
δ A x →0
τ xz =
,
δ A x
lim
δ A x →0
δ F t , z δ A x
.
(1.1.4.2)
Naprezanja su označena dvostrukim indeksima, gdje prvi indeks ozna čuje projekciju male plohe δ A , a drugi indeks ozna čuje smjer u kojem naprezanje djeluje. Sukladno projekciji δ A x računaju se i označuju naprezanja i za druge projekcije. U y smjeru, na projekciji plohe - δ A y definiraju se naprezanja σ yy , τ yx , τ yz . Za projekciju plohe δ A z slično prethodnome, vrijede naprezanja σ zz , τ zx , τ zy .
Naprezanje u točki C potpuno je definirano definicijom naprezanja na tri me đusobno okomite, prethodno opisane plohe koje prolaze kroz tu to čku. Skup prethodno definiranih (devet) naprezanja zapisuje se u obliku tenzora naprezanja
⎡σ xx ⎢ T σ = ⎢τ yx ⎢⎣τ zx
τ xy
τ xz ⎤
σ yy
τ yz ⎥ .
τ zy
⎥
(1.1.4.3)
σ zz ⎥⎦
Moguće je dokazati da je prethodno definirani tenzor simetričan, tj. da vrijedi τ yz = τ zy ,
τ zx
= τ xz ,
τ xy
= τ yx ,
(1.1.4.4)
te na osnovu toga proizlazi da je za definiranje stanja naprezanja unutar fluida potrebno poznavati šest skalarnih funkcija, me đusobno različitih komponenti tenzora naprezanja.
Sl.1.7 Nač in označ avanja naprezanja
Na slici 1.7 prikazan je infinitezimalni volumen ograni čen sa šest ploha, sa dvije x plohe, dvije y plohe i dvije z plohe. Normala svake plohe usmjerena je prema van u odnosu na centar elementa. 17
Na slici su radi zornosti prikazana naprezanja samo na x i y plohama. Npr. gornja ploha ( y ploha ) je pozitivna, a donja ( y ploha) negativna, što proizlazi iz usmjerenosti njihovih vektora normala obzirnom na odgovaraju ću koordinatnu os ( y os). Komponenta naprezanja je pozitivna ako su smjerovi komponente naprezanja i normale plohe na kojoj naprezanje djeluje oboje pozitivni ili negativni. Na slici 1.7 sva naprezanja prikazana su kao pozitivna. Komponente gustoće kontaktnih sila definiranih na po četku poglavlja mogu će je zapisati pomoću komponenti naprezanja:
t x = σ xx i + τ xy j + τ xz k ,
t y = τ yx i + σ yy j + τ yz k ,
t z = τ zx i + τ zy j + σ zz k (1.1.4.5)
Prema definiciji, u fluidu u stanju mirovanja nema smi čnih naprezanja. Isto tako u idealnom fluidu (koji se giba ili miruje) koji predstavlja idealizirani model u kojem ne postoje viskozne sile tj. ne postoje smi čna naprezanja, ukupna kontaktna sila na bilo koju plohu unutar fluida kolinearna je s vektorom normale plohe. Za miruju ći realni fluid i gibaju ći ili mirujući idealni fluid vrijedi da jedina preostala komponenta naprezanja – normalna naprezanja σ ne ovise o orijentaciji plohe. Tu zakonitost definirao je Blaise Pascal (1623.-1662.). Pascalov zakon definira: „tlak u nekoj toč ki fluida koji miruje ili se giba, neovisan je o orijentaciji plohe na kojoj je toč ka, ako nema smi čn ih naprezanja “. Kod realnog gibajućeg fluida (kod kojeg stoga postoje smi čna naprezanja) normalno naprezanje u nekoj točki nije nužno isto u svim smjerovima tako da se u tom slu čaju tlak računa kao srednja vrijednost normalnih naprezanja u tri me đusobno okomita pravca (smjera). Za bilo koju to čku unutar miruju ćeg ili idealnog fluida osim činjenice da ne postoje tangencijalna naprezanja τ = 0 vrijedi i σ xx
= σ yy = σ zz = − p
(1.1.4.6)
gdje je p tlak. Tenzor naprezanja (1.1.4.3) se stoga pojednostavljuje u
T p
0 ⎤ ⎡− p 0 = ⎢⎢ 0 − p 0 ⎥⎥ . ⎢⎣ 0 0 − p ⎥⎦
(1.1.4.7)
odnosno, raspored unutarnjih kontaktnih sila dan je jednom skalarnom funkcijom – tlakom. Vektor gustoće kontaktne sile t ( x0 , y 0 , z 0 ) = − t ⋅ n . r
r
r
moguće je stoga u miruju ćem ili idealnom fluidu jednostavnije izraziti pomo ću tlaka p. Vrijedi: t ( x 0 , y 0 , z 0 ) = − p ⋅ n r
r
Kad fluid miruje, sila fluida na plohu je okomita i tlak je uvijek isti, kako god orijentirali plohu Δs . Tlak je temeljna varijabla u mehanici fluida. Tlak u točki (x, y, z), p(x,y,z) , definiran je omjerom intenziteta kontaktne sile i površine plohe. Osnovna jedinica za tlak je paskal (Pa) i jednaka je kvocijentu sile od jednog njutna i površine od jednog metra kvadratnog, Pa (paskal) =N/m2. Često se koristi i jedinica bar = 105 Pa. 18
U tablici 1.1.4.1 dane su osim normalnog (normnog) tlaka na površini mora i druge normalne veličine. Svojstvo Temperatura Tlak Gustoća Viskoznost
Simbol T p ρ
Vrijednost 150C 101.3 kPa 1.225 kg/m3 1.781 10-5 Pa s
Tablica 1.1.4.1 Normalni uvjeti na površini mora PRIMJER 1.4: Primjena Pascalovog zakona kod tlačnih hidrauličnih sustava Pascalov zakon definira da pove ćanje tlaka u bilo kojoj to čki fluida zatvorenog u spremniku uzrokuje jednako pove ćanje tlaka u svim to čkama fluida u spremniku. Primijenjeno na slu čaj hidrauličke dizalice prikazane na slici vrijedi da je tlak na površini lijevog i desnog klipa isti
p1
= p2 .
Sila na klip manje površine A1 jest F 1 = p1 A1 pa slijedi da se sila na klipu ve će površine za idealan slučaj bez gubitaka trenja, multiplicira prema izrazu F 2
=
A2 A1
F 1 .
Multipliciranje sile istodobno pretpostavlja da će hod manjeg klipa biti znatno duži d 1 od hoda većeg klipa d 2 pošto volumen kojega prebriše manji klip mora biti jednak volumenu kojega prebriše veći klip (tamno siva podru č ja na slici). Pokazani princip koristi se kod raznih hidrauli čnih sustava: teških građevinskih strojeva – raznih kopa ča i buldožera, automehani čarskih dizalica, kočionih sustava u automobilu, hidrauli čnih preša itd.
19
2. STATIKA FLUIDA Statika fluida se bavi fluidom u stanju mirovanja. Fluid je u stanju mirovanja ako postoji koordinatni sustav u kojem je brzina čestica fluida u svakoj to čki jednaka nuli.
2.1 Osnovni zakoni statike fluida U statici fluida vrijede dva osnovna zakona: 1.Suma sila na svako tijelo fluida jednaka je nuli. 2.Suma momenata na svako tijelo fluida jednaka je nuli.
2.2 Osnovna jednadžba statike fluida – Eulerova jednadžba U poglavlju 1.1.4 pokazano je kako se tlak u to čki ne mijenja s promjenom smjera plohe. Važno je definirati i na koji na čin se tlak u fluidu bez smi čnih naprezanja (miruju ćem ili idealnom) mijenja od točke do točke. Maleni dio tijela fluida oblika kocke prikazan je na slici 2.1.1. Na taj element djeluju: kontaktne sile zbog djelovanja tlaka te masena koja je jednaka težini elementa fluida. Ako se tlak u središtu elementa ozna či sa p, tada se srednje vrijednosti tlaka na plohama koje ome đuju element mogu izraziti pomo ću tlaka u središtu elementa p i njegovih derivacija (slika 2.1.1). Koristi se razvoj u Taylorov red kako bi se na osnovu tlaka u centru elementa aproksimirale srednje vrijednosti tlaka na stranicama uz istovremeno zanemarivanje članova višega reda kako se vrijednosti δ x , δ y , δ z približavaju nuli. Radi zornosti na slici nisu prikazane kontaktne sile u x smjeru. Rezultantna sila
Sl.2.1.1 Kontaktne i masene sile na segment fluida
20
u y smjeru je
⎛ ∂ p δ y ⎞ ⎛ ∂ p δ y ⎞ ⎟⎟δ xδ z − ⎜⎜ p + ⎟⎟δ xδ z = ⎜⎜ p − y y 2 2 ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
δ F y
odnosno slijedi
δ F y
=−
∂ p δ xδ yδ z . ∂ y
Sličnim postupkom dobivaju se kontaktne površinske sile za x i z smjer:
δ F x
=−
∂ p δ xδ yδ z ∂ x
δ F z = −
∂ p δ xδ yδ z . ∂ z
Vektorski zbroj definiranih komponenti δ F x , δ F y , δ F z daje rezultantnu kontaktnu površinsku silu δ F s
= δ F x i + δ F y j + δ F z k
odnosno δ F s
⎛ ∂ p ∂ p ∂ p ⎞ = −⎜⎜ i + j + k ⎟⎟δ xδ yδ z . ⎝ ∂ x ∂ y ∂ z ⎠
Jedinični vektori po koordinatnim osima x, y, z označeni su i, j, k , dok su u prethodnom izrazu u zagradi članovi koji čine gradijent tlaka i mogu se kra će zapisati pomoću operatora ∇ (nabla) ili grad na sljedeći način:
∂ p ∂ p ∂ p i + j + k = ∇ p = grad p . ∂ x ∂ y ∂ z Osim kontaktnih površinskih sila u analizu je potrebno uklju čiti djelovanje gravitacijske (masene) sile na element fluida pa slijedi izraz za težinu elementa fluida
− δ W = − ρ g δ xδ yδ z k gdje negativan predznak zna či da je z os usmjerena prema gore tj. suprotno djelovanju gravitacijske sile. Ako se sve sile (i kontaktne površinske i masene) sumiraju i uklju če u drugi Newtonov zakon δ F = δ m a koji djeluje na element fluida, slijedi
∑
δ F s
− δ W = δ m a
odnosno
− grad p δ xδ yδ z − ρ g δ xδ yδ z k = ρδ xδ yδ z a
21
− grad p − ρ g k = ρ a . Dobiveni izraz jest Eulerova jednadžba gibanja, za fluid bez smi čnih naprezanja. Za slu čaj mirujućeg fluida a = 0 pod djelovanjem gravitacijske sile prethodni izraz se reducira u
− grad p = ρ g k . Ako se prethodni izraz poop ći tako da vrijedi za slu čaj mirujućeg fluida pod utjecajem masene sile u općenitom smislu, proizlazi Eulerova jednadžba miruju ćeg fluida
grad p = ρ f gdje f označava gustoću (sila kroz masa) predstavlja sustav diferencijalnih jednadžbi: ∂ p ∂ x
masene sile jedinice ms-2.
∂ p
= ρ f x
∂ y
= ρ f y
∂ p ∂ z
Eulerova jednadžba
= ρ f z
Zadatak statike fluida sastoji se u tome da se iz Eulerove jednadžbe statike fluida uz poznatu f gustoću volumne sile i ρ - gustoću (mase), izračuna raspodjela tlaka p(x,y,z). Eulerova jednadžba izražava zakonitost da je najve ća promjena tlaka ( grad p ) u mirujućem fluidu u smjeru masene sile f . Gradijent tlaka je vektor okomit na izobaru (plohu jednakog tlaka).
2.3 Fluid konstantne gustoće u polju sile teže Važan slučaj je slučaj fluida konstantne gusto će (homogenog fluida) u konstantnom polju sile teže. Koordinatni sustav definiran je tako da je r
r
f = g k ,
gdje je g = 9,81 m/s2 ubrzanje sile teže ( Sl.1.4). zrak
x
p0 y
voda
Izobare
z f
=
g . k
Sl.1.4 Mirujuć i fluid u polju sile teže
Eulerova jednadžba napisana po komponentama glasi: ∂ p ∂ x
= 0,
∂ p ∂ y
= 0,
∂ p ∂ z
= ρ g .
22
Iz prve dvije jednadžbe izlazi da je p funkcija samo varijable z , tj. p = p ( z ). Treća diferencijalna jednadžba je: dp dz
= ρ g .
Opće rješenje ove jednadžbe je p ( z ) = ρ gz + C .
Konstanta integracije C se odre đuje iz poznavanja tlaka u jednoj to čki fluida. Za z = 0, prema slici Sl.1.4 tlak je p = p0 pa slijedi vrijednost konstante integracije C: p(0) = p0
= C .
Iz prethodnog izraza vidljivo je: Izobare, plohe jednakog tlaka, su ravnine z = C , gdje je C proizvoljan broj, odnosno izobare su ravnine okomite na smjer sile teže. Na odre đenoj dubini fluida z = h tlak je: p( z ) = p 0
+ ρ gh .
2.4 Mjerenje tlaka Barometar Barometar je instrument za mjerenje atmosferskog tlaka. Princip barometra [Torricelli, 1643] je prikazan na Sl.1.5. Cijev dužine 1m napunjena je živom i uronjena u posudu sa živom . Živa u cijevi ostane na visini H, približno 760 mm , iznad površine žive u posudi. p
0
C
h
B
A
patm
živa Hg
Sl.1.5
Prema Sl.1.5: p A = patm p B p atm
= p A ,
(atmosferski tlak) pC ≈ 0
(vakuum) ,
p B
= pC + ρ Hg ⋅ g ⋅ h
= p B = ρ Hg g h = 13600kg / m 3 ⋅ 9.81 N / kg ⋅ 0.76 m = 1.01396 ⋅ 10 5 Pa = 1.01396bar
23
Manometar Manometar je instrument koji mjeri tlak pomo ću stupca fluida. Princip rada manometra je prikazan na Sl.1.6 . Sa slike mogu će je zaključiti: zrak
p
atm
A
H h C
B
voda
Sl.1.6
p B
= pC
pC
= ρ fluida g h + p atm
p B
≅
p A
Diferencijalni manometar Diferencijalni manometar prikazan na Sl.1.7 mjeri pad tlaka u dijelu cijevi. Vrijedi: pC = p A
+ ρ g ( x + Δh) ,
p D
= p B + ρ g x + ρ m g Δh
Sl.1.7
Izobara povučena kroz to čke C i D daje pC = p D . Slijedi: p A − p B
= ( ρ m − ρ ) g Δh
U slučaju da u cijevi Sl.1.7 struji zrak, a mjerni fluid je voda, gornji izraz za razliku tlakova moguće je aproksimirati p A − p B ≈ ρ m g Δh , pošto je mjerni fluid ( voda ρ m = ρ voda ) u ovom slu čaju približno tisuću puta gušći od fluida čiju razliku tlakova mjerimo ( zrak ρ = ρ zrak ).
2.5. Relativno mirovanje fluida 24
Jednoliko pravocrtno ubrzanje fluida. Promatra se fluid u posudi koja se giba konstantnim ubrzanjem a , ( Sl.1.8) Čestice fluida miruju u koordinatnom sustavu vezanom za spremnik. r
Sl.1.8
Gustoća masene sile je: r
f
= − a − g r
r
Eulerova jednadžba glasi: = ρ ⋅ f = − ρ (a + g ) , r
grad p
r
r
odnosno po komponentama: ∂ p ∂ x
∂ p
= − ρ a
∂ y
=0
∂ p ∂ z
= − ρ g
Iz druge jednadžbe slijedi p
= p( x, z ) .
Integracijom iz prve jednadžbe slijedi p
= − ρ ax + ϕ ( z )
Uvrštavanjem u treću jednadžbu dobije se:
∂ p dp = = − ρ g ,. ∂ z dz
ϕ ( z ) = − ρ gz + C
Konačno se može napisati p
= − ρ a x − ρ g z + C .
Konstanta C se određuje iz poznavanja tlaka u proizvoljnoj to čki fluida. Izobare su ravnine (u XZ ravnini pravci):
25
− ρ a x − ρ g z + C = 0
Ako fluid ima slobodnu površinu, onda je ona jedna izobara. Kut horizontalnu ravninu može se izra čunati iz relacije: tanθ =
a g
θ izobara u odnosu na
.
Rotacija fluida u rotirajućem spremniku Fluid u spremniku koji rotira konstantnom kutnom brzinom ω, rotira kao kruto tijelo. Čestice fluida miruju u koordinatnom sustavu koji je vezan za posudu.
Sl.1.9
Gustoća masene sile je sada r
f
= g + ac r
r
r
gdje je a c centrifugalno ubrzanje. Treba uo čiti da se f = g + a c mijenja po smjeru i intenzitetu počevši od osi rotacije do ruba posude. U cilindričnom koordinatnom sustavu (gdje je ishodište sustava na dnu posude, a osi z i r usmjerene kako je prikazano na slici Sl.1.9) je r
r
r
f = ω 2r er + 0 ⋅ eϕ + (− g )k . r
r
r
r
i gradijent tlaka grad p
=
∂ p ∂ r
er + r
1 ∂ p r ∂ϕ
eϕ + r
∂ p
r
∂ z
k .
Eulerove jednadžbe po komponentama glase: ∂ p ∂ r
= ρ ω 2 r
1 ∂ p r ∂ϕ
=0
∂ p ∂ z
= − ρ g
te slijedi p = p(r,z). Integracijom prve jednadžbe dobiva se 26
p(r , z ) = ρ ω
2 2 r
2
+ ψ ( z ) .
gdje je ψ(z) proizvoljna funkcija varijable z. Ako se navedeni izraz uvrsti u tre ću jednadžbu, nalazimo: dp dz
=
d dz
= − ρ g , odnosno
ψ = − ρ g z + C
Konačno, polje tlaka je definirano relacijom: p ( r , z )
= − ρ g z + ρ ω
2 2 r
2
+ C
Konstanta integracije C se dobije iz poznavanja tlaka u proizvoljnoj to čki fluida (npr. na površini fluida p=p0): p ( r , z )
r 2
= ρ ω 2
2
+
ρ g ( Z 0
− z ) +
p0
Izobare, plohe konstantnog tlaka, su rotacijski paraboloidi: z =
ω 2 r 2
2 g
+ Z 0 .
Ako fluid ima slobodnu površinu, onda je ona izobara – rotacijski paraboloid. Volumen rotacijskog paraboloida jest pola volumena valjka visine Z R V R
=
1 2 R π Z R , 2
gdje je ( Sl.1.9): Z R
=
ω 2 R 2
2 g
.
27
2.6. Sile fluida na ravnu plohu r
Na dio ravnine A treba izra čunati silu F. Na dA djeluje sila d F u smjeru normale n ( Sl.2.6.1):
r
Sl.2.6.1 Sila fluida na ravnu plohu r
d F = p ⋅dA ⋅n
r
.
Ukupna sila je (vektor normale u ovom slu čaju je konstanta):
∫
F = n p dA , r
r
A
a intenzitet sile jednak je:
∫
F = F = p dA . r
A
Za slučaj fluida konstantne gusto će u konstantnom gravitacijskom polju tlak je definiran relacijom:
= ρ g h + p 0 , p = ρ g y sin α + p 0 p
h = y sinα
Sada za silu vrijedi:
28
F
= ∫ ( p0 + ρ g ⋅ y sin α )da = ρ g sin α ∫ ydA + p0 ∫ dA = p0 A + ρ g sin α ∫ ydA , A
A
A
A
Prvi moment plohe A oko osi x definiran je izrazom
∫ ydA = y A , T
A
gdje je yT ordinata težišta T(xT , , yT ) površine A. Slijedi izraz za intenzitet sile fluida na plohu A: F = p0 A + ρ g sin α yT A
Centar tlaka Centar tlaka je točka P(xP, yP) za koju vrijedi: M x = y P F ,
M y = x P F
gdje su M x , M y momenti oko osi-x i osi-y. Kako je ukupni moment oko x-osi promjenjive sile po površini A : M x
=
∫ dM = ∫ ydF = ∫ ypdA = ∫ y( p dA + ρ g ⋅ y ⋅ sin α ⋅ dA) = p ∫ ydA + ρ g ⋅sin α ∫ y 0
x
A
A
A
0
A
A
2
dA
A
slijedi da je: y P F = ρ g ⋅sin I xx
y P =
+ p 0 yT A ,
+ p0 yT A ρ g sin α ⋅ yT A + p 0 A
ρ g sin α I xx
gdje je I xx (moment inercije plohe A prema osi x ): I xx
= ∫ y 2 dA A
Na analogan način moguće je dobiti i x-koordinatu centra tlaka : x P F =
∫∫ x pdA = ρ g sin α ∫∫ x ydxdy + p ∫∫ xdxdy = ρ g sin α I 0
A
A
x P =
xy
+ p 0 xT A
A
+ p 0 xT A , ρ g sin α y T A + p 0 A
ρ g sin α I xy
pri čemu je: I xy
=
∫ xydxdy
A
produkt inercija plohe A (ili centrifugalni moment plohe A) obzirom na osi x i y. Za slučaj da je vanjski tlak po isti s obje strane plohe ( Sl.2.6.2) vrijedi: F 1
= p 0 A + ρ g ⋅ yT A ⋅ sin α
F 2
= p 0 A
F 1 − F 2
= ρ g ⋅ y T A ⋅ sin 29
F = ρ g y T
y P =
sin α A
I xx ⋅ ρ g sin α yT A ⋅ ρ g sin α
=
I xx y T A
.
p0 F1 F2
p0
Sl.2.6.2 Tlak p0 s obje strane plohe
Translacijom koordinatnog sustava x-y u težište plohe A dobije se novi koordinatni sustav ξ − η . Ako se moment inercije I xx izrazi pomoću I xx = yT 2 A + I ξξ , gdje je I ξξ moment inercije prema osi ξ koja prolazi kroz težište plohe, slijedi: y P =
2 I ξξ + yT A
y T A
y P = y T +
, tj.
I ξξ y T A
Slično, dobije se i x P = xT +
I ξη yT A
,
gdje je I ξη produkt inercija obzirom na koordinatni sustav koji prolazi kroz težište plohe i pomo ću kojega je mogu će izračunati produkt inercija oko osi x i y I xy = xT yT A + I ξη .
Izraze za moment inercije I ξξ i produkt inercija očitati u većini adekvatnih priru čnika.
I ξη za
razli čite geometrijske likove mogu će je
30
2.7. Sile fluida na plohu Na dio plohe S, dS, djeluje sila dF u smjeru vektora normale ( Sl.1.12): fluid
S Δ FS
n
ΔS
Sl.2.7.1 Odnos vektora sile fluida i normale plohe
d F = − p ⋅dS ⋅n . r
r
Ukupna sila je:
∫
∫
F = − d F = − pndS . r
r
S
r
S
Vektor normale može se napisati kao r
= n x i + n y j + n z k r
r
n
r
pri čemu je nx=cos α, ny=cos β, nz=cos γ, a α, β, γ kutovi koje vektor normale zatvara sa koordinatnim osima. Sila fluida na plohu po komponentama jest: F x
= ∫ pn x dS = S
∫ pdA
x
A x
, F y
= ∫ pn y dS = ∫ pdA y , F z = ∫ pn z dS = ∫ pdA z S
A y
S
Az
pri čemu su A x, A y, i A z odgovarajuće projekcije plohe S na ravnine yz, xz i xy.
31
Sl.2.7.2 Zakrivljena ploha
Za zakrivljenu plohu S u miruju ćem fluidu s otvorenom površinom mogu će je izraziti komponente sile fluida na plohu. F x i F y komponente jesu F x
= − pT A x = − ρ ghT A x , x
x
F y
= − pT A y = − ρ ghT A y . y
y
Vertikalna komponenta sile fluida jest
∫
∫
F z = pdA z = ρ g hdA z . A z
A z
∫
Obzirom da je volumen fluida izme đu zakrivljene plohe S i slobodne površine V = hdA z slijedi A z
konačni izraz za intenzitet vertikalne komponente sile fluida F z
= ρ gV
što predstavlja težinu fluida izme đu zakrivljene plohe S i slobodne površine.
32
2.8. Uzgon Ukupna kontaktna sila miruju ćeg fluida na tijelo koje pluta ili je potopljeno u njemu zove se uzgon. Uzgon na tijelo u miruju ćem fluidu (pod djelovanjem gravitacije) djeluje vertikalno prema gore, suprotno smjeru djelovanja gravitacijske sile jer je uzrokovan porastom tlaka u fluidu s povećanjem dubine. Horizontalne se komponente sile tlaka na površinu tijela me đusobno poništavaju. Sila fluida na tijelo uronjeno u njemu jest r
r
F = ρ fluida ⋅ g ⋅ V tijela ⋅ k U = F z = ρ gV tijela
odnosno, sila fluida na tijelo, uzgon (U ), ne ovisi o gustoći (materijalu) tijela, nego o gusto ći fluida, gravitacijskom ubrzanju i volumenu tijela. Zadržavši se na izrečenim pretpostavkama da se horizontalne sile fluida na uronjeno tijelo poništavaju te da je sila uzgona na tijelo u miruju ćem fluidu uzrokovana porastom tlaka u fluidu s povećanjem dubine i usmjerena vertikalno prema gore, za slu čaj prikazan na sljede ćoj slici vrijedi:
Sl.2.8.1 Uzgon
dF z = ( p0 + ρ gh2 )dA − ( p0 + ρ gh1 )dA = ρ g (h2
− h1 )dA .
Obzirom da je volumen elementa dV = (h2 − h1 )dA slijedi izraz za uzgon
∫
∫
U = F z = dF z = ρ gdV = ρ gV . V
Hvatište sile uzgona jest u težištu istisnutog volumena fluida.
33
PRIMJER 2.1: Definiranje uzgona za tijelo koje je isplivalo na površinu Ako je težina tijela veća od uzgona, G > U , tijelo tone, ako je težina tijela jednaka uzgonu, G = U , tijelo lebdi u fluidu, a ako je težina tijela manja od uzgona, G < U , tijelo izranja. Nakon što je tijelo izronilo njegova težina je jednaka uzgonu, i vrijedi, npr. za tijelo na granici kapljevine i plina (vode i zraka), sljede će (Sl.2.8.2 ): U = ρ 2 gV 2
zrak voda
ρ ρ
+ ρ 1 gV 1 = G
V1 1
Ω
2
V2
Sl.2.8.2 slučaju
gustoća
vode
= 1000
kg / m 3 ,
U
ovom
ρ 1
= 1,29 kg / m 3 te se potvr đuje prethodno definiran izraz za uzgon:
ρ 2
U ≅ ρ 2 ⋅ g ⋅ V 2
znatno
je
veća
od
gusto će
zraka
≅G
tj. uzgon je jednak težini vode istisnute tijelom. Ova zakonitost naziva se Arhimedov zakon prema gr čkom misliocu Arhimedu (287-212 pr.n.e.).
PRIMJER 2.2: Uzgon na tijelo djelomi čn o potopljeno u fluidu fiktivna površina fluida
Gorn ja ploha G
D
E
D F
G
C
TIJELO
A
E
F
C
TIJELO
A
B
B
Donja ploha
Sl.2.8.3 Primjer rač unanja uzgona za tijelo djelomi č no uronjeno u fluid
Ako na slici Sl.2.8.3 označimo plohu CDA kao gornju plohu tijela i plohu ABC kao donju plohu tijela, uzgon na tijelo, potpuno ili djelomi čno potopljeno u fluidu, jednak je razlici vertikalne komponente sile fluida na donju plohu tijela i vertikalne komponente sile fluida na gornju plohu tijela. Sila na gore koja djeluje na donju plohu tijela jest, F G = ρ fluida ⋅ g ⋅ V ABCFGA , gdje je V ABCFGA volumen između donje plohe tijela i površine fluida (realne ili fiktivne.). Sila na dolje, koja
djeluje da gornju plohu je F D = ρ fluida ⋅ g ⋅ V AEGA , gdje je V AEGA volumen između gornje plohe tijela i površine fluida (realne ili fiktivne). Uzgon je jednak razlici: U = F G
− F D tj. za dani primjer na slici
Sl.2.8.3 U = ρ fluida ⋅ g ⋅ V ABCFEA .
34
2.9. Stabilnost Tijelo potpuno uronjeno u fluid ili plutaju će tijelo, smatra se stabilnim, ako se nakon pomaka iz ravnotežnog položaja ono vra ća u prvobitni položaj.
Potpuno uronjeno tijelo Za slučaj potpuno potopljenog tijela koje ima težište T ispod centra uzgona C vrijedi da će pomak iz ravnotežnog položaja kreirati moment težine G i uzgona U koji će vratiti tijelo u po četni položaj te je takvo tijelo stabilno. Vrijedi da će potpuno uronjeno tijelo biti stabilno uvijek ako se težište nalazi ispod hvatišta uzgona.
Sl.2.9.1 Stabilno, uronjeno tijelo. Stabilizirajuć i moment vrać a u poč etno stanje
U slučaju da se težište T nalazi iznad hvatišta uzgona C pomak iz ravnotežnog položaja uzrokovat će prevrtanje tijela odnosno vrijedi da je potpuno uronjeno tijelo sa težištem iznad hvatišta uzgona u nestabilnom stanju.
Sl.2.9.2 Nestabilno, uronjeno tijelo. Destabilizirajuć i moment preokre ć e tijelo
35
