Mehanika Fluida Skripta Šavar

Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje Zavod energetska postrojenja, energetiku i ekologiju Katedra za mehaniku fluida

Mario Šavar - Zdravko Virag - Ivo Džijan

Mehan ika fl ui d a Skripta – predavanja

Zagreb 2014

Predgovor

Gradivo izneseno u ovoj skripti predstavlja dio materijala predavanja kolegija Mehanika fluida koji se na Fakultetu strojarstva i brodogradnje, Sveučilišta u Zagrebu predaje studentima smjerova: Mehatronika i robotika, Proizvodno strojarstvo, Računalno inženjerstvo, Industrijsko inženjerstvo i menadžment. Skripta je prvenstveno namijenjena za lakše razumijevanje teoretskih izvoda koji su potrebni za razumijevanje osnovnih jednadžbi mehanike fluida. Nadamo se da će materijali dani u ovoj skripti omogućiti studentima da lakše prate predavanja, te da ta znanja kasnije lakše usvoje. Svrha i cilj ove skripte nije bio da zamjeni udžbenike i knjige iz Mehanike fluida, već je u njoj dan samo materijal koji omogućuje studentima da kvalitetnije, preglednije i lakše usvoje potrebna znanja iz Mehanike fluida. Koncept predavanja koji je iznesen u ovoj skripti rezultat je gotovo četrdeset godina kontinuiranog nastavnog rada na Katedri za mehaniku fluida. Na ovome mjestu se želimo zahvaliti našim učiteljima i prethodnicima prof. dr. Mladenu Fancevu i prof. dr. Zdravku Dolineru, na čijem je konceptu predavanja formiran kolegij u današnjem obliku.

U Zagrebu, 06.02.2014. Mario Šavar, Zdravko Virag, Ivo Džijan

Mehanika fluida

I

Sadržaj

SADRŽAJ 1. Uvod ................................................................................................................................ 1 1.1. Fluid ili tekućina ..................................................................................................... 1 1.2. Osnovne dimenzije u mehanici fluida .................................................................... 1 1.3. Hipoteza kontinuuma ............................................................................................. 1 1.4. Sile u fluidu ............................................................................................................ 2 1.4.1. Masene sile .................................................................................................. 2 1.4.2. Površinske sile ............................................................................................. 2 1.4.3. Tenzor naprezanja (Dodatak) ..................................................................... 3 1.5. Viskoznost fluida .................................................................................................... 4 2. Hidrostatika .................................................................................................................... 5 2.1. Osnovna jednadžba statike fluida ........................................................................... 5 2.2. Promjena tlaka u mirujućem fluidu u polju sile teže .............................................. 6 2.3. Hidrostatski manometri .......................................................................................... 7 2.4. Sila tlaka na ravne površine.................................................................................... 8 2.5. Sila tlaka na zakrivljene površine ......................................................................... 12 2.6. Sila uzgona ........................................................................................................... 13 3. Kinematika fluida ........................................................................................................ 15 3.1. Opis gibanja fluida ............................................................................................... 15 3.1.1. Lagrangeov opis gibanja fluida ................................................................ 15 3.1.2. Eulerov opis gibanja fluida ....................................................................... 16 3.1.3. Materijalna derivacija .............................................................................. 17 3.2. Strujnice................................................................................................................ 18 3.3. Trajektorije ........................................................................................................... 18 3.4. Strujna površina i strujna cijev ............................................................................. 19 3.5. Protok ................................................................................................................... 20 3.6. Protok fizikalne veličine ....................................................................................... 21 3.7. Leibnitzov teorem ................................................................................................. 22 3.7.1. Brzina promjene veličine volumena .......................................................... 22 3.7.2. Brzina promjene sadržaja fizikalne veličine unutar volumena ................. 23 3.8. Materijalni volumen ............................................................................................. 23 4. Dinamika fluida............................................................................................................ 24 4.1. Osnovni zakoni ..................................................................................................... 24 4.2. Zakon očuvanja mase ........................................................................................... 25 4.3. Zakon očuvanja količine gibanja .......................................................................... 25 4.4. Zakon očuvanja momenta količine gibanja .......................................................... 26 4.5. Zakon očuvanja energije ...................................................................................... 27 4.6. Zakon produkcije entropije................................................................................... 27 5. Integralne metode rješavanja jednodimenzijskih problema mehanike fluida ....... 28 5.1. Koncept kontrolnog volumena ............................................................................. 28 5.2. Reynoldsov transportni teorem ............................................................................ 28 5.3. Jednadžba kontinuiteta ......................................................................................... 29 5.4. Jednadžba količine gibanja ................................................................................... 30 5.4.1. Primjena jednadžbe količine gibanja za određivanje sile fluida na plašt cijevi .......................................................................................................... 31 5.4.2. Primjena jednadžbe količine gibanja za određivanje sile mlaza fluida na lopatice ...................................................................................................... 33

Mehanika fluida

II

Sadržaj

5.5. Jednadžba momenta količine gibanja ................................................................... 34 5.6. Bernoullijeva jednadžba ....................................................................................... 35 6. Primjena osnovnih jednadžbi mehanike fluida......................................................... 40 6.1. Mjerenje brzine ..................................................................................................... 40 6.2. Prandtl-Pitotova cijev ........................................................................................... 41 6.3. Mjerenje protoka u strujanju kroz cijevi .............................................................. 42 6.3.1. Venturijeva cijev........................................................................................ 42 6.3.2. Kavitacija .................................................................................................. 43 6.3.3. Ejektor ....................................................................................................... 44 6.3.4. Istjecanje iz velikog spremnika ................................................................. 44 6.3.5. Gubitak utjecanja u veliki spremnik .......................................................... 45 6.3.6. Sifon .......................................................................................................... 46 6.3.7. Maksimalna visina usisavanja pumpe ....................................................... 46 6.3.8. Korekcije brzine i protoka pri istjecanju kroz otvore ............................... 46 6.3.9. Formula za izračunavanje vremena pražnjenja posude ........................... 47 6.4. Ilustracija sadržaja Bernoullijeve jednadžbe ........................................................ 48 7. Dimenzijska analiza ..................................................................................................... 50 7.1. Osnovna jednadžba metrologije ........................................................................... 50 7.2. Skup osnovnih i izvedenih fizikalnih jedinica ..................................................... 50 7.3. Dimenziono nezavisan skup ................................................................................. 51 7.4. Backinghamov teorem (Pi-teorem) ...................................................................... 52 7.5. Nezavisni bezdimenzijski parametri (kriteriji sličnosti) ...................................... 55 7.6. Neki zavisni bezdimenzijski parametri ................................................................ 55 8. Primjena osnovnih zakona dinamike fluida na strujanje u hidrauličkim strojevima ..................................................................................................................... 61 8.1. Osnovni zakoni u koordinatnom sustavu koji se giba pravocrtno brzinom u ...... 61 8.2. Bernoullijeva jednadžba za rotirajuću strujnu cijev ............................................. 63 8.3. Eulerova jednadžba za turbostrojeve .................................................................... 63 8.4. Primjena na rotirajuću cjevčicu ............................................................................ 65 8.5. Primjena na hidrauličke strojeve .......................................................................... 67 8.5.1. Primitivna teorija propelera ..................................................................... 67 8.5.2. Primjena na centrifugalni stroj ................................................................. 69 8.5.3. Primjena na Pelton turbinu....................................................................... 72 8.5.4. Primjena na aksijalni tubostroj................................................................. 73 9. Hidraulički proračun cjevovoda................................................................................. 77 9.1. Osnovne jednadžbe............................................................................................... 77 9.2. Modeliranje linijskih gubitaka.............................................................................. 77 9.3. Modeliranje lokalnih gubitaka.............................................................................. 80 9.3.1. Veza među faktorom brzine i koeficijentom lokalnog gubitka .................. 81 9.3.2. Ekvivalentna duljina cjevovoda ................................................................ 81 9.4. Hidraulički proračun cjevovoda nekružnog poprečnog presjeka ......................... 82 9.5. Ilustracija modificirane Bernoullijeve jednadžbe ................................................. 83 9.6. Postupci proračuna jednostavnih cjevovoda ........................................................ 84 9.7. Energetske karakteristike pumpe.......................................................................... 85 9.7.1. Realna karakteristika hidrauličkog stroja ................................................ 85 9.7.2. Radna točka pumpe ................................................................................... 86 9.7.3. Zakoni sličnosti ......................................................................................... 86 9.7.4. Spajanje pumpi .......................................................................................... 87

Mehanika fluida

III

Popis najvažnijih oznaka

POPIS NAJVAŽNIJIH OZNAKA Fizikalna veličina površina poprečnog presjeka brzina zvuka promjer sila gravitacija volumenski modul elastičnosti maseni protok moment sile snaga tlak volumenski protok potencijal masene sile specifična unutrašnja energija volumen fluida brzina strujanja fluida rad sile geodetska visina gustoća fluida koeficijent kinematičke viskoznosti koeficijent dinamičke viskoznosti brzina vrtnje koeficijent otpora trenja naprezanje kut

Oznaka

Dimenzija

A, S c D, d F g K m M P p Q U u V v W z

L2 LT-1 L MLT-2 LT-2 ML-1T-2 MT-1 ML2T-2 ML2T-3 ML-1T-2 L3T-1 L2T-2 L2T-2 L3 LT-1 ML2T-2 L ML-3 L2T-1 ML-1T-1 T-1 ML-1T-2 -

      

Jedinica u SI sustavu m2 m/s m N m/s2 Pa kg/s Nm W Pa m3/s m2/s2 J/kg m3 m/s J m kg/m3 m2/s Pa∙s rad/s N/m2 rad

PREPORUČENA LITERATURA Virag, Z.: Mehanika fluida – odabrana poglavlja, primjeri i zadaci, Sveučilište u Zagrebu, Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagreb, 2002. Fancev, M.: Mehanika fluida, Tehnička enciklopedija, 8, Hrvatski leksikografski zavod, Zagreb, 1982. Munson, B. R., Young, D. F., Okiishi, T. H.: Fundamentals of Fluid Mechanics, John Wiley&Sons, Toronto, 1990. White, F. M.: Fluid Mechanics, McGraw-Hill, 2003. Cengel, Y. A., Cimbala, J. M.: Fluid Mechanics – Fundamentals and Applications, McGraw-Hill, 2006.

Mehanika fluida

IV

1. Uvod

1. UVOD Mehanika fluida je dio fizike koji se bavi gibanjem fluida i silama koje djeluju na fluid. Mehanika fluida se dijeli na statiku fluida koja proučava ravnotežu fluida u mirovanju, kinematiku fluida koja se bavi zakonima gibanja fluida, i dinamiku fluida koja se bavi silama koje djeluju na fluid i gibanjima koje nastaju djelovanjem tih sila te interakcijama između čvrstih tijela i fluida. 1.1.

Fluid ili tekućina

Definicija fluida: Fluid je tvar koja se neprekidno deformira (tj. struji) pod djelovanjem ma kako malog smičnog naprezanja. Ova neprekidna deformacija naziva se strujanje. Iz definicije fluida slijedi: U fluidu u mirovanju nema smičnih naprezanja. Fluid dijelimo: Fluide dijelimo s obzirom na veličinu deformacije kao posljedicu tlačnog naprezanja na kapljevine i plinove

1.2.

Veličina masa duljina vrijeme temperatura

Osnovne dimenzije u mehanici fluida

Oznaka dimenzije M L T Θ 1.3.

Jedinica u SI sustavu kg m s K

Hipoteza kontinuuma

Gledajući u mikroskopskom svijetu materija se sastoji od atoma i molekula, a ovi se sastoje od još sitnijih čestica. Gledajući iz makrosvijeta diskretna strukture se ne može matematički opisati jer i vrlo mali volumen sadrži jako veliki broj molekula (V = 10 3 mm3→Nplin=1015 Nkaplj=1018) . Zbog toga se uvodi hipoteza kontinuuma po kojem fluid kontinuirano popunjava prostor, a sva fizikalna svojstva će biti definirana u svakoj točci prostora. Definicija: Kontinuum je matematički model materije prema kojem ona zadržava svoja fizikalna svojstva pri smanjivanju volumena u točku. Čestica kontinuuma (materijalna točka) ima infinitezimalni volumen dV, a svaka čestica zauzima samo jednu točku prostora, a u jednoj točki prostora se može nalaziti samo jedna čestica kontinuuma. Hipoteza kontinuuma omogućuje primjenu integralnog i diferencijalnog računa u mehanici fluida. dm Primjer: Gustoća čestice fluida se izražava derivacijom , dV kg     ML3 ;   SI  3 . m Mehanika fluida

1

1. Uvod

1.4.

1.4.1.

Sile u fluidu

Masene sile

Masene sile su raspoređene po prostoru i djeluju na svaki element mase fluida. Sile nisu posljedica fizičkog dodira čestica fluida nego su posljedica položaja mase u polju masene sile, Tipične masene sile su sila teža, inercijska sila, magnetska sila, centrifugalna sila itd. Masene sile su posljedica položaja mase u polju masene sile. ( f je specifična masena sila m = sila po jediničnoj masi,  f   LT 2 ;  f   2 ) SI s Masena sila dF na česticu fluida: dF fdm fdV f Sila F na ukupni volumen V F fdV

z

V

V

f dm

 F   MLT 2 ;  F   N SI Primjeri: sila gravitacije: f inercijske sile: f

y

O

gk x

a

Slika uz definiciju masenih sila

Površinske sile

1.4.2.

dS

Površinske sile su sile dodira između čestica fluida ili između čestica fluida i stjenke. Definirane su specifičnom površinskom silom ili vektorom naprezanja ,    ML-1T2 ;  SI  Pa .

n V z

Sila dF na elementarnu površinu dS dF = dS

S

Sila F na ukupnu površinu S

F=

O

dS

y

x

S

Za površinske sile vrijedi III Newtonow zakon (princip akcije i reakcije), tj. n n

Slika uz definiciju površinskih sila

(čitaj vektor naprezanja na površini orijentiranoj jediničnim vektorom normale n jednak je po veličini i suprotan po smjeru vektoru naprezanja na površini orijentiranoj normalom n ).

Mehanika fluida

2

1. Uvod

Površinska specifična sila (vektor naprezanja) dijeli se na normalno naprezanje (tlak) i tangencijalno naprezanje ( viskozno naprezanje) t pn p = tlak = normalno naprezanje t = viskozno naprezanje = tangencijalno n. (neki autori označavaju s τ) 1.4.3.

Tenzor naprezanja (Dodatak) Stanje naprezanja u točki prostora jednoznačno je definirano tenzorom naprezanja. Komponente tenzora naprezanja definirane su komponentama triju vektora naprezanja koji djeluju na površinama orijentiranim normalama u smjeru osi koordinatnog sustava, kao na slici. Svaki vektor naprezanja ima jednu normalnu komponentu (okomitu na površinu) i dvije tangencijalne (smične) komponente. Tablični zapis komponenti tenzora naprezanja

z zz zy

yz

zx

yy

xz

y

yx

xy

xx

x

ji

Slika uz definiciju komponenti tenzora naprezanja

xx

xy

xz

yx

yy

yz

zx

zy

zz

Prvi indeks označuje redak, tj. smjer normale na površinu, a drugi stupac odnosno pravac djelovanja

komponente tenzora naprezanja. Tenzor naprezanja je simetričan

ij

(osim ako postoje maseni i površinski momenti).

ji

Veza između vektora i tenzora naprezanja: (vektor naprezanja je projekcija tenzora naprezanja na smjer normale) (n ) n (nx xx ny yx nz zx )i ji

(nx

xy

ny

yy

nz

zy

)j

(nx

xz

ny

yz

nz

zz

)k

Dogovor o predznacima naprezanja: Pozitivna naprezanja na površinama orijentiranim normalama u pozitivnom smjeru koordinatnih osi također gledaju u pozitivne smjerove tih osi i obrnuto, pozitivna naprezanja na površinama orijentiranim normalama koje gledaju u negativnom smjeru koordinatnih osi, također gledaju u negativne smjerove tih osi. Površinska sila (vektor naprezanja) za slučaj stanja tlačnog naprezanja: Slučaj Vektor naprezanja n pn n pn ji ji - Realni fluid u gibanju (postoje viskozne sile)

pn

t

t

= tenzor viskozna naprezanja p = tlak = normalno naprezanje t = viskozno naprezanje = tangencijalno n. ji

- Realni fluid u mirovanju ili relativnom mirovanju - Idealni fluid (neviskozan)

n

Mehanika fluida

ji

pn

3

1. Uvod

1.5.

Viskoznost fluida

Viskoznost fluida je mjera otpora tečenju fluida. Newtonov zakon viskoznosti

v A

vA F  h



Generalizirani Newtonov zakon viskoznosti

y

F h

dy

dv F    x A dy

dvx

x U newtonskim fluidima viskozna naprezanja su linearno razmjerna brzini deformacije fluida. Koeficijent razmjernosti se naziva (dinamička) viskoznost fluida  ,     ML1T-1 ;   SI  Pa  s . Viskoznost je fizikalno svojstvo fluida, i zavisi od termodinamičkog stanja fluida. Kod plinova s porastom temperature raste i viskoznost, a kod kapljevina opada. Viskoznost pokazuje otpor fluida ka tečenju. Kinematička viskoznost  

 m2 . ,    L2T -1 ;  SI   s

Fluidi koji poštuju zakonitost   

v nazivaju se Newtonovski fluidi y

x yd v  x  yd v   y   t t v y         y y

v+Δv

Δx

dφ

Δy

v Smično ili tangencijalno naprezanje proporcionalno je gradijentu brzine odnosno brzini kutne deformacije ( u Hookovom zakonu smično naprezanje proporcionalna je deformaciji).

Mehanika fluida

4

2. Hidrostatika

2. HIDROSTATIKA dS

Ako nema gibanja fluida sile u fluidu moraju biti u ravnoteži. Suma sila jednaka je nuli. Ako nema gibanja fluida iz definicije fluida slijedi da nama niti tangencijalnih sila

n

V z

 F  0    f dV    dS V

dV

 fdV

S

  f dV     pn   dS=0 t

V

S

S

Uz zanemarenje viskoznih sila   f dV   pndS=0 V

O

S

Primjenom formula Gauss-Ostrograski   f dV   pdV=0 V

x

y

Slika uz definiciju sile tlaka

V

2.1.

Osnovna jednadžba statike fluida

Osnovna jednadžba gibanja za izražava ravnotežu masenih sila i sila tlaka za svaku elementarnu česticu fluida u mirovanju.  f  p ili  f  gradp Iz osnovne jednadžbe statike imajući na umu svojstva gradijenta zaključuje se: 1) Ako nema masenih sila ( f  0 ) slijedi da je tlak p konstantan, 2) Tlak najbrže raste u smjeru gradp tj. u smjeru masene sile, a najbrže opada u smjeru – gradp tj. u smjeru suprotnom od masene sile, 3) Budući da je gradp okomit na površinu p=konst. promjena tlaka u okomitom smjeru na vektor masene sile je jednaka nuli. Drugim riječima, vektor masene sile je okomit na površine konstantnog tlaka (izobare). Također vrijedi: 4) Granica dvaju fluida u mirovanju poklapa se s izobarom, te je vektor masene sile u svakoj točki okomit na razdjelnu površinu, Vektor masene sile je usmjeren od razdjelne površine prema fluidu veće gustoće, Na granici dvaju fluida tlak je neprekidan, ako se zanemare učinci površinske napetosti.

Mehanika fluida

5

2. Hidrostatika

Promjena tlaka u mirujućem fluidu u polju sile teže

2.2.

1

Promjena tlaka između dvije točke (uz   konst. i f  konst. ) Iz osnovne jednadžbe statike sljedi:  f  p /  dr



f

r r

2

 f  dr  p  dr







 p

p 

p



 f x i  f y j  f z k  dxi  dyj  dzk   i  j  k   dxi  dyj  dzk y z   x   f x dx  f y dy  f z dz  



p p p dx  dy  dz  dp x y z

p2  p1  f  r ili

p2  p1  f  r  p1   f r cos   Iz svojstva skalrnog produkta je jasno da se pri određivanju promjene tlaka može ili put projicirati na silu ili silu na put. Očito je da ako se poveća tlak p1 u točki 1, da će se on povećati i u točki 2, odnosno u svim drugim točkama, što je bit Pascalova zakona koji kaže da se tlak narinut izvana na fluid u mirovanju širi jednoliko u svim smjerovima. Promjena tlaka u mirujućem fluidu u polju sile teže



 



f  f x i  f y j  f z k  0i  0 j  (  g )k ( g  9,80665 m/s2 ) p p  z  0  konst. g g gdje z označuje visinu, h dubinu, a p0 tlak u ishodištu koordinatnog sustava. p  p0   gz  p0   gh ili

 p   p  p  visina tlaka,   L,     m stupca fluida, g  g    g  SI p  z  piezometrička visina. g U fluidu u mirovanju piezometrička visina je konstantna

Princip spojenih posuda

p0

p0

p0 .

O

g

z=konst.

Ako homogena kapljevina miruje u više međusobno spojenih posuda, tada će slobodne površine otvorene prema istom atmosferskom tlaku p0 ležati u istoj izobari (za mirujući fluid to je horizontalna ravnina).



Mehanika fluida

6

2. Hidrostatika

2.3.

Hidrostatski manometri

Apsolutni tlak se mjeri od apsolutne nule (100% vakuum). Manometarski tlak pM je razlika apsolutnog p i atmosferskog tlaka pa (mjeri se u odnosu na atmosferski tlak) pM = p - pa. Pozitivni manometarski tlak se naziva pretlak, a negativni podtlak. Postupak za postavljanje jednadžbe manometra (jednadžbe promjene tlaka između dviju točaka koje se mogu međusobno spojiti kroz fluid) Polazi se s tlakom u jednoj točki i tom se tlaku dodaju sve promjene tlaka oblika  gh , (idući od meniskusa do meniskusa) i to s pozitivnim predznakom ako se ide prema dolje, a s negativnim ako se ide prema gore. Kada se dođe do druge točke tako dobiveni izraz se izjednačuje s tlakom u toj točki. Primjer diferencijalnog manometra: A B

h1 1

h0

- jednadžba od točke B do točke A pB  2 gh2  0 gh0  1gh1  pA - jednadžba od točke A do točke B pA  1gh1  0 gh0  2 gh2  pB

h2 2

0

Barometar Barometar je hidrostatski manometar kojim se mjeri apsolutni atmosferski tlak. pv – tlak zasičenja pv ha pa ρ

pa   gha  pv pa   gha  pv

pv  0

Θ [0C] pv Hg [Pa] 0 0.021 40 0.8412

pa   gha

pa st = 101325 Pa = 760 mmHg

Mehanika fluida

7

2. Hidrostatika

Sila tlaka na ravne površine

2.4.

p0

O

g



h

n

hC  in = s yC

x

hC

F0= p0 A Fh=pC A

C

p=p0+gh H =konst.

H

 x

C

y

 y



A F   pdS   ( p0  gh)dS  p0 S   g  hdS  p0 S   g  sin( )  ydS  p0 S   ghc S S

S

S

S

yc S

Fh  yc  y      g  h  ydS   g  sin    y 2 dS S

S

I xx

  g  sin    yc  S   yc  y     g  sin    I  yc2 S  I xx

y 

I

yc S Sila F0 uslijed konstantnog tlaka p0 okomita je na ravnu površinu A i djeluje u njenom težištu, a po veličini je: F0  p0 A Sila Fh uslijed promjenjivog hidrostatskog tlaka ph   gh okomita je na ravnu površinu A i djeluje u točki H, a po veličini je: Fh  pC A   ghC A gdje je hC dubina na kojoj se nalazi težište C površine A . Položaj točke H je u odnosu na težište C površine A definiran pomacima x i y za koje I I Δx  vrijedi: Δy   i gdje je yC  hC sin  udaljenost težišta C od yC A yC A slobodne površine, mjereno u ravnini u kojoj se nalazi površina (udaljenost OC prema slici), a I  i I su glavni i centrifugalni moment inercije površine A u odnosu na osi  i  kroz težište, prema slici. Pomak Δx je za površine s barem jednom osi simetrije jednak nuli (vidjeti kao primjer tablicu koja prikazuje podatke o centrifugalnom momentu inercije I ).

Mehanika fluida

8

2. Hidrostatika

Za vertikalno uronjenu površinu prema slici vrijedi yC=hC. Za horizontalno uronjenu površinu (   0 ) yC   pa su prema gornjim izrazima x=y=0, te će sila Fh djelovati u težištu površine, kao i za slučaj konstantnog tlaka p0.

p0

O

g

g

p0

 

yC=hC C H

hC

h

Fh= ghC A



Fh= ghC A C

A

A Momenti Mx i My sile hidrostatskog tlaka u odnosu na težište C površine ne zavise od dubine na kojoj se težište nalazi I M x  Fh   y   ghC A     gI  sin yC  A I M y  Fh   x   ghC A     gI  sin yC  A

Mehanika fluida

9

2. Hidrostatika

Geometrijska svojstva nekih površina Geometrijski lik Površina

I

I

ba 3 12

ab 3 12

0

R4 4

R4 4

0

1 2 R 2

0,1098R 4

0,3927 R 4

0

ab 2

ba 3 36

1 2 R 4

0,05488R 4

C

a



 b/2

R

A  ab

I

b/2



C

A R

2





C

A

4R 3 R

R 

d

a



C

a 3



A

ba 2  b  2d  72

b+d 3 b

4R 3 4R 3

C R



A

0,05488R 4

0,01647 R 4



Mehanika fluida

10

2. Hidrostatika

Položaj rezultantne sile FR=Fh+F0 za slučaj istosmjernih i mimosmjernih sila F0 i Fh.

y 

y

yR



yR



 F0

F0

Fh

FR= Fh+F0

C

Fh H

yR=y

FR= Fh -F0

C H

Fh

yR=y

Fh+F0

a) istosmjerne sile

Fh Fh -F0

b) mimosmjerne sile

Fiktivna slobodna površina pM0 ρ

hf h C

C Ako je tlak s obje strane površine isti (slučaj otvorenog spremnika), sile konstantnog tlaka se poništavaju. Za slučaj zatvorenog spremnika rezultatntna sila konstantnog tlaka se računa s manometarskim tlakom pM0 u spremniku. Računanje sile konstantnog tlaka (u slučaju da je površina potpuno uronjena u fluid) može se izbjeći uvođenjem fiktivne slobodne površine. Fiktivna slobodna površina je udaljena od stvarne slobodne površine za visinu manometarskog tlaka hf  pM0  g (za slučaj pretlaka je iznad, a za slučaj podtlaka ispod stvarne slobodne površine). Fiktivna slobodna površina se može uvesti i za slučaj mirovanja dvaju fluida različitih gustoća prema slici. g

h O

pa p=pa+0gh

0<

fiktivna slobodna površina  hf = h1 1

h pM0=0gh

h1

pa

C

A

p = pa+0gh1+g (h -h1) p = pa+gh

Mehanika fluida

11

2. Hidrostatika

Sila tlaka na zakrivljene površine

2.5.

Sila tlaka na zakrivljenu površinu se razlaže na komponente u smjerovima osi. Zakrivljena površina S se projicira na koordinatne ravnine. Projekcija površine je pozitivna ako je kut između vektora normale i pozitivnog smjera osi manji od 90° (fluid je ispred površine S gledano iz pozitivnog smjera osi). z

g y

O

n b od slo

a šin ov r p a

dSz

Sz hx

x dV=hdSz

V

Sx Cx Hx

hy Sy

n

Cy

x

hyh

z

hxy

dS

S

Hy

h hxh

z

h yx

h=-z

Izrazi

za

Fy0 ,

komponente Fx0 ,

Fy0   p0 S y ;

Fx0   p0 Sx ;

Fz0

sile

F0

uslijed

konstantnog

tlaka

Fz0   p0 Sz

Izrazi za horizontalne komponente Fx i Fy sile uslijed promjenjivog hidrostatskog tlaka ph   gh i za pomake hvatišta tih komponenti u odnosu na težišta projekcija su: Fy   pCy  S y    ghy S y Fx   pCx  Sx    ghx S x

hxh 

hxy 

I hx  S x I hx  S x

hyh  hyx 

I hy  S y I hy  S y

Vertikalna komponenta Fz sile hidrostatskog tlaka na površinu S je po veličini jednaka težini fluida koji se nalazi u volumenu V između površine S i slobodne površine. Sila Fz prolazi težištem volumena V. Predznak komponente sile Fz ovisi o predznaku projekcije Sz, te se može pisati da je Fz   gV Negativni predznak se odnosi na slučaj pozitivne projekcije površine Sz (fluid je iznad površine S), a pozitivni predznak za slučaj negativne projekcije Sz (fluid je ispod površine S).

Mehanika fluida

12

2. Hidrostatika

Primjer: Vertikalna i horizontalna komponenta sile na zakrivljenu površinu ABDEF (prema slici) širine B (okomito na ravninu slike). Fluid je označen sivom bojom, a točke G, H i I su na slobodnoj površini. H

I

G

G H

I

V

= B

B

B

D

E

A

+

F

D

E

F

Vertikalna komponenta jednaka je po veličini težini fluida u osjenčanom volumenu V, djeluje prema dolje i prolazi težištem tog volumena. Na dijelu površine BDEF fluid je iznad površine, te sila djeluje prema dolje, a po veličini je jednaka težini fluida u volumenu BDEFIGB. Na dijelu površine AB fluid je ispod površine pa sila djeluje prema gore, a po veličini je jednaka težini fluida u volumenu AHGBA. Horizontalne komponente sile tlaka na dijelovima površine EF i ED se međusobno poništavaju. Projekcija površine s kojom se računa horizontalna sila tlaka je dakle jednaka umnošku visine AD sa širinom B površine. 2.6.

Sila uzgona

Sila uzgona je rezultat djelovanja sila tlaka po površini tijela uronjenog u fluid. Sila uzgona je jednaka težini fluida istisnutog tijelom (težini istisnine), djeluje vertikalno u vis i prolazi težištem istisnine.

ρ·g· V ρ

m· g

Mehanika fluida

13

2. Hidrostatika

Sila uzgona na granici dvaju fluida

Slika prikazuje slučaj plivanja tijela mase m , gustoće  0 na razdjelnoj površini dvaju fluida gustoća 1 i 2. Točke C1 i C2 su težišta volumena istisnine V1 i V2, a T je težište tijela.

g

1

Fb1

V1 T

Fb2

0

mg

C2

V2

Sila Fb uzgona je zbroj Fb  Fb1  Fb2  1 gV1  2 gV2 Uvjet plivanja (ravnoteže) je da su rezultantna sila (tj. Fb  mg ) i rezultantni moment na tijelo jednaki nuli (tj. suma momenata sila Fb1 i Fb2 u odnosu na težište tijela mora biti jednaka nuli). Jasno je da vrijedi 2  0  1 . Za slučaj 2  1 sila Fb2 se zanemaruje.

Mehanika fluida

14

3. Kinematika fluida

3. KINEMATIKA FLUIDA Kinematika fluida je dio fizike koji se bavi gibanjem fluida. Prema hipotezi kontinuuma vrijedi pravilo da svaka čestica fluida (materijalna točka) zauzima samo jednu točku prostora, a u jednoj točki prostora se može nalaziti samo jedna čestica kontinuuma. 3.1. 3.1.1.

Opis gibanja fluida

Lagrangeov opis gibanja fluida

Položaji točaka prostora i položaji čestica fluida opisuju se radijus vektorom r (čije su komponente prostorne ili Eulerove koordinate x, y, z). U apsolutnom koordinatnom sustavu položaj točke prostora je stalan u vremenu (prostorne koordinate x, y, z nisu funkcije vremena), a položaj gibajuće čestice fluida se mijenja s vremenom, što znači da komponente radijus vektora r (vektora položaja) koje opisuju položaj čestice fluida jesu funkcija vremena. Gibanje čestice definirano je vremenskom promjenom njena vektora položaja u obliku r  r (t ) (jednadžba gibanja čestice fluida). Brzina čestice fluida jest vremenska derivacija vektora položaja v  r (t ) (točkica označuje vremensku derivaciju), a ubrzanje čestice fluida jest vremenska derivacija brzine a  v (t )  r (t ) . t0

t

VM(t0) z

A

r  r (r0 , t )

VM(t)

A

r0

r (t0 )

r (r0 , t ) O

y

x

Materijalni volumen se sastoji od beskonačnog broja čestica fluida, a koje su to čestice definirano je uočenom konfiguracijom VM  t0  u početnom vremenskom trenutku t0 . Za potrebe opisa njihova gibanja nužno ih je razlikovati. S obzirom da se u jednoj točki prostora može nalaziti samo jedna čestica fluida, čestice će se razlikovati po položaju kojeg zauzimaju u početnoj konfiguraciji. Za koordinate početnog položaja čestica fluida se uvodi posebna oznaka r0  r (t0 ) i te se koordinate nazivaju materijalnim ili Lagrangeovim koordinatama. Jasno je da su materijalne koordinate vremenski nezavisne.

Mehanika fluida

15


Gibajući materijalni volumen će u trenutku t zauzeti novi položaj, a budući da se radi o materijalnom volumenu u tom trenutku će se u njemu nalaziti iste čestice koje su u njemu bile i u trenutku t0 . Na primjer čestica A koja je u početnoj konfiguraciji bila na položaju definiranom koordinatama r0 , će u trenutku t biti u točki s koordinatama r . Jasno je da će vrijednosti koordinata x, y, z zavisiti i od vremena i od točke u početnoj konfiguraciji, tako da vrijedi x  1  x0 , y0 , z0 , t 

r  r  r0 , t  , odnosno y   2  x0 , y0 , z0 , t  z  3  x0 , y0 , z0 , t  Gornje jednadžbe opisuju vremenski promjenljivi položaj one čestice fluida koja je u trenutku t0 bila na poziciji opisanoj vektorom položaja r0 . Mijenjajući vektor r0 dobivaju je jednadžbe gibanja različitih čestica materijalnog volumena. Brzina čestice fluida jest vremenska derivacija vektora položaja r (r0 , t ) Dr v (r0 , t ) t r0 konst. Dt U mehanici se ona naziva materijalnom derivacijom, a zbog posebne važnosti se označuje D s . Materijalnom derivacijom se izražava vremenska promjena fizikalnog svojstva Dt čestice fluida, onako kako bi to osjećao promatrač koji se giba zajedno s česticom. Gornji izraz opisuje promjenjivu brzinu čestice fluida izraženu Lagrangeovim koordinatama. Promjenom koordinata r0 dobiju se brzine različitih čestica materijalnog volumena. Ubrzanje čestice fluida jest materijalna derivacija brzine v (r0 , t ) Dv a (r0 , t )   t r0 konst. Dt Ponovo se promjenom Lagrangeovih koordinata dolazi do ubrzanja različitih čestica kontinuuma, u bilo kojem trenutku. U Lagrangeovom opisu strujanja fluida se funkcijama Lagrangeovih koordinata i vremena mogu opisati i druga fizikalna svojstva čestica fluida. Ako se sa označi neko fizikalno svojstvo kontinuuma (gdje za može stajati skalarno fizikalno svojstvo poput gustoće i temperature, vektorsko poput položaja, brzine i ubrzanja ili tenzorsko svojstvo), općenito se može pisati: L r0 , t Riječima bi se reklo da gornja jednadžba opisuje vremensku promjenu fizikalnog svojstva čestice r0 . Nadindeks L u oznaci funkcije ukazuje da je fizikalno svojstvo izraženo Lagrangeovim koordinatama. 3.1.2.

Eulerov opis gibanja fluida

U mehanici fluida se uglavnom koristi Eulerov opis strujanja fluida, koji se temelji na poljima fizikalnih veličina. Ako se svakoj točki prostora u svakom vremenskom trenutku pridruži fizikalno svojstvo one čestice fluida koja se u promatranom trenutku nalazi u promatranim točkama prostora dobije se polje fizikalne veličine izraženo prostornim

Mehanika fluida

16


(Eulerovim) koordinatama    E r ,t  Za polje koje nije funkcija vremena kaže se da je stacionarno, inače je nestacionarno. Vezu među Lagrangeovim i Eulerovim opisom nekog fizikalnog svojstva u strujanju fluida definiraju inverzne jednadžbe gibanja1: x0 x0 x, y, z , t

y0

y0 x, y, z , t

z0

z0 x, y , z , t

ili kraće

r0  r0  r , t 

Gornje jednadžbe daju početni položaj (u trenutku t0 ) one čestice fluida koja se u trenutku t nalazi na poziciji definiranoj prostornim koordinatama r . Uvrštavanjem gornjeg izraza u Lagrangeov zapis fizikalnog svojstva  slijedi Eulerov zapis polja    L  r0 , t    E  r0 (r , t ), t    E  r , t  Bez obzira što su fizikalna svojstva izražena prostornim koordinatama jasno je da su nositelji fizikalnih svojstava čestice fluida, a ne točke prostora. U točkama prostora u kojima nema čestica fluida polje fizikalne veličine nije definirano. 3.1.3.

Materijalna derivacija

Materijalna derivacija izražava brzinu promjene fizikalnog svojstva čestice fluida, tj. promjenu koju bi osjetio promatrač koji bi se gibao zajedno s česticom. Za fizikalno svojstvo zapisano Lagrangeovim koordinatama ona je definirana kao  L r0 , t D

Dt

t

r0 konst.

Materijalna derivacija istog tog fizikalnog svojstva zapisanog u Eulerovim koordinatama glasi D  E (r , t )   v E (r , t )  E (r , t ) t konst. Dt t r  konst. Prvi član desne strane gornjeg izraza označuje lokalnu promjenu fizikalnog svojstva, koju bi osjetio promatrač u fiksnoj točki prostora, dok drugi član desne strane označuje konvektivnu ili prijenosnu brzinu promjene fizikalnog svojstva, uslijed pomicanja čestice fluida u polju . Ispuštajući oznaku E za Eulerovo polje i izbjegavajući eksplicitno navođenje zavisnosti polja  od prostornih i vremenske koordinate, gornji izraz u razvijenom obliku poprima oblik: D       vx  vy  vz Dt t x y z lokalna promjena

konvektivna promjena

Moguće je definirati i operator materijalne derivacije, koji glasi: D    v   Dt t Gdje umjesto oznake  može stajati skalarno, vektorsko ili tenzorsko polje izraženo u funkciji prostornih koordinata i vremena. 1

Nužan i dovoljan uvjet za postojanje inverzne funkcije je da je determinanta

r / r0 različita od nule i

konačna.

Mehanika fluida

17


Dok se u Lagrangeovom opisu strujanja fluida polazi od jednadžbi gibanja (čijim se deriviranjem dolazi do brzine i ubrzanja), u Eulerovom se opisu polazi od polja brzine (jer se polje brzine pojavljuje u operatoru materijalne derivacije). 3.2.

Strujnice

Strujnice su zamišljene krivulje kojima se u svakoj točki smjer tangente poklapa sa smjerom vektora brzine. Na strujnicama se ucrtava smjer strujanja kao što prikazuje slika. Za nestacionarno polje brzine, slika strujnica se mijenja od trenutka do trenutka, pa se slika strujnica odnosi na jedan izabrani vremenski trenutak, npr. t=t1. Pošto se pravac vektora brzine poklapa s tangentom na strujnicu, usmjereni element luka strujnice dr je paralelan vektoru brzine v , te je njihov vektorski produkt jednak nuli, odnosno omjer pripadajućih komponenti im je jednak, tako da vrijedi:

dx dy dz   vx ( x, y, z, t1 ) v y ( x, y, z, t1 ) vz ( x, y, z, t1 ) Osnovno svojstvo strujnica je da se one ne mogu presijecati, jer bi to značilo da u točki presjeka vektor brzine ima dva različita smjera, što je nefizikalno. Izuzetak čine točke zastoja u kojima je brzina jednaka nuli. 3.3.

Trajektorije

Trajektorija je prostorna krivulja koju svojim gibanjem opisuje čestica fluida. Jednadžbe gibanja čestice fluida zapisane u Lagrangeovim koordinatama označuju parametarski zapis jednadžbe trajektorije. U Eulerovom opisu strujanja, gdje se polazi od polja brzine, do jednadžbe trajektorija se dolazi, polazeći od definicije brzine čestice kontinuuma. Ako je dr usmjereni infinitezimalni element puta kojeg prevali čestica kontinuuma gibajući se po svojoj trajektoriji za infinitezimalno vrijeme dt, tada za taj usmjereni element luka trajektorije, iz same definicije brzine slijedi: dr  v (r , t )dt , što se može prikazati i u obliku sustava diferencijalnih jednadžbi: dx dy dz    dt vx ( x, y, z, t ) v y ( x, y, z, t ) vz ( x, y, z, t ) čijim se rješavanjem uz početne uvjete za t=t0, r  t0   r0 , dolazi do jednadžbi trajektorija. Krivulja obilježenih čestica u danom vremenskom trenutku spaja sve čestice fluida koje su prošle zadanom točkom prostora. U stacionarnom strujanju trajektorije, strujnice i krivulje obilježenih čestica se poklapaju.

Mehanika fluida

18


Vektori brzine za strujanje u blizini točke Slika strujnica za strujanje u blizini točke zastoja zastoja

Slika strujnica za slučaj naglog proširenja

Slika strujnica pri optjecanju cilindra 3.4.

Strujna površina i strujna cijev Strujna površina je sastavljena od strujnica koje prolaze točkama neke krivulje C. Vektor brzine je tangencijalan na površinu v  n  0 , pa kroz strujnu površinu nema protoka Q   v  ndS  0 . S

Mehanika fluida

19


Ako je krivulja C zatvorena, strujna površina prelazi u plašt strujne cijevi, kroz kojeg nema protoka fluida, kao i kroz plašt neke fizičke cijevi. Ako je površina poprečnog presjeka cijevi dS infinitezimalna, govori se o elementarnoj strujnoj cijevi. U graničnom prijelazu dS  0 elementarna strujna cijev prelazi u strujnicu.

3.5.

Protok

Volumenski protok ili jednostavno protok Q jest volumen čestica fluida koje u jediničnom vremenu prođu kroz promatranu površinu S orijentiranu jediničnim vektorom normale n . Ako se čestice fluida gibaju brzinom v , a točke površine brzinom u , tada je relativna brzina gibanja čestica fluida u odnosu na površinu w  v  u , a protok Q je definiran izrazom Q   w  ndS    v  u   ndS . S

S

Mirujuća površina S

Primjer 1: Protok kroz mirujuću površinu ( u  0 ) je prema općoj formuli Q   v  ndS . S

Čestica fluida T se u trenutku t nalazi na površini dS , a u trenutku t+dt će zauzeti novi položaj u prostoru, pri čemu će prevaliti put vdt , odnosno svojim gibanjem n opisati kosu prizmu, kojoj je visina jednaka projekciji T(t+dt) vektora puta na smjer normale dh  n  vdt . Volumen T(t) vdt čestica fluida koje u vremenu dt prođu kroz površinu dS dS jednak je volumenu prizme dV  dS  dh  v  ndS  dt . Elementarni protok kroz površinu dS jednak je po definiciji omjeru volumena dV  v  ndS , a ukupni dV i vremena dt , tj. dQ= dt protok kroz površinu S jednak je zbroju svih elementarnih protoka, što se opisuje integralom Q   v  ndS . S

Poseban slučaj (brzina okomita na ravnu Brzina je okomita na ravnu površinu i površinu) konstantna Q   v  ndA   vdA Q   vdA  vA A

A

A

Mehanika fluida

20


v

dA

v

A

Primjer 2: Protok kroz površinu koja se giba brzinom u u mirujućem fluidu ( v  0 ) je prema općoj formuli Q   u  ndS .

Gibajuća površina S

S

n

S(t)

udt dS S(t+dt)

Gibanjem površine S, element dS opisuje kosu prizmu kojoj je duljina brida udt , a volumen dV  u  ndS  dt . Dakle gibanjem površine S mirujuće čestice fluida prelaze s desne na lijevu stranu površine, pa gledano relativno u odnosu na površinu to je isto kao da je površina mirovala, a čestice brzinom u prolazile kroz površinu. Zato je protok definiran izrazom Q   u  ndS . S

Primjer 3: Protok kroz materijalnu površinu ( u  v ) Q    v  u   ndS  0 . Jasno je da kroz materijalnu površinu nema protoka čestica fluida S

jer se ona sastoji stalno od jednih te istih čestica. 3.6.

Protok fizikalne veličine

Čestice fluida osim volumena imaju masu, energiju, količinu gibanja, itd. Prolaskom čestice fluida kroz neku površinu, ona pronosi fizikalne veličine, pa se govori o protocima: volumena (što je gore definirano jednostavno kao protok), mase, energije, količine gibanja i sl. Ako se sa F označi fizikalna veličina, a sa  volumensku gustoću te fizikalne veličine, koja je definirana izrazom ΔF dF ,   lim  ΔV 0 ΔV dV odnosno sadržaj fizikalne veličine unutar čestice fluida (unutar infinitezimalnog volumena dV ) jest dF =  dV , a sadržaj te fizikalne veličine unutar određenog volumena V je definiran integralom F =  dV V

F = V    1; Primjeri: 1 1 F = mv 2     v 2 2 2

F=m   ;

F = mv     v ,

Dakle za slučaj gibajuće površine u gibajućem fluidu, volumenski protok kroz elementarnu površinu dS će biti dQ   v  u   ndS , a protok fizikalne veličine pronesene kroz tu površinu je dQF    v  u   ndS , odnosno protok fizikalne veličine kroz ukupnu površinu

Mehanika fluida

21


je

QF     v  u   ndS S

Primjeri: Maseni protok: Qm  m     v  u   ndS ;  m  MT1 ,  mSI  kg/s . Za slučaj mirujuće S

površine: m    v  ndS . Za   konst. vrijedi m  Q . S

Težinski protok QG  G    g  v  u   ndS ; G   MLT 3 , G   N/s . Za slučaj SI S

mirujuće površine: G    gv  ndS . Za   konst. i g  konst. vrijedi G  mg   gQ . S

Protok količine gibanja: QKG    v  v  u   ndS ; QKG   MLT2 , QKG SI  N . Za slučaj S

mirujuće površine: QKG    v  v  n  dS . (Protok količine gibanja je vektorska veličina!) S

1 Protok kinetičke energije: QEK    v 2  v  u   ndS ; QEK   ML2T3 , QEK SI  W . 2 S

3.7.

3.7.1.

Leibnitzov teorem

Brzina promjene veličine volumena

V(t)

V(t+dt) n udt

dS S(t+dt)

Opći slučaj volumena V čija se granica S giba brzinom u Brzina promjene volumena je po definiciji dV V  t  dt   V  t   , a element površine dt dt opisuje element volumena dS d (dV ) u ndtdS , što integrirano po površini S daje razliku volumena V  t  dt   V  t  , te je konačno:

dV  u  ndS     udV . dt S V

S(t) Gibajuća površina S

Mehanika fluida

22


3.7.2.

Brzina promjene sadržaja fizikalne veličine unutar volumena

 d 1   dV  lim  ( r , t   t ) dV   ( r , t ) dV     t 0 t dt V(t ) V (t ) V (t t )   1   ( r , t   t ) dV   ( r , t ) dV   ( r , t   t ) dV   ( r , t   t ) dV       t 0 t V (t )  V (t ) V ( t t ) V (t ) lim

 1   dV  lim  (r , t  t )dV   dV    u  ndS   dV     ( u )dV   t  0 t t V (t t )V (t ) t t V (t ) V (t ) S (t ) V (t ) V (t )



a) Opći slučaj gibajućeg volumena d      dV   dV    u  ndS        u  dV  dt V t t  V S V lokalna promjena

promjena uslijed gibanja volumena

d D )  dt Dt D      dV   dV    v  ndS        v  dV  Dt VM t t  VM SM VM 

b) Materijalni volumen ( u

c) Mirujući volumen ( u d   dV   dV  dt V t V

v,

0)

3.8.

Materijalni volumen

Materijalni volumen VM (fluidno tijelo) je uočeni dio prostora ispunjen fluidom koji se tijekom gibanja sastoji stalno od jednih te istih čestica. Materijalni volumen je od okoline odijeljen materijalnom površinom S M koja se također sastoji stalno od jednih te istih čestica. Jasno je da je brzina gibanja materijalne površine jednaka brzini gibanja čestica fluida, koje čine materijalnu površinu. U općem slučaju materijalni volumen tijekom gibanja mijenja svoj položaj, oblik i veličinu, pa je za opis njegova gibanja, potrebno opisati gibanje svake njegove čestice. Nema protoka kroz materijalnu površinu ( v  u ). Brzina promjene sadržaja fizikalne veličine za materijalni volumen jednaka je

D   dV   dV    v  ndS  Dt VM (t ) t VM ( t ) SM ( t )

Mehanika fluida

23

4. Dinamika fluida

4. DINAMIKA FLUIDA Dinamika fluida je dio mehanike fluida koji se bavi silama koje djeluju na fluide, gibanjima koja nastaju djelovanjem tih sila i interakcijama između čvrstih tijela i fluida u gibanju Materijalni volumen (fluidno tijelo) je ekvivalentno sustavu materijalnih točaka u mehanici, te zatvorenom termodinamičkom sustavu u termodinamici, pa će svi zakoni mehanike i termodinamike biti direktno primjenjivi i na materijalni volumen. U mehanici su definirani Newtonovi zakoni gibanja, od kojih se drugi Newtonov zakon, može zapisati u obliku zakona količine gibanja, zakona momenta količine gibanja ili zakona kinetičke (mehaničke) energije, a u termodinamici su definirani prvi zakon termodinamike (zakon očuvanja energije) i drugi zakon termodinamike. Svi su ti zakoni, kao i zakon očuvanja mase, osnovni za klasičnu fiziku pa tako i za mehaniku fluida. U termodinamici se uvodi koncept topline, unutarnje energije i entropije, a radni medij je uglavnom plin, kojemu se djelovanjem sile tlaka može mijenjati volumen. Za smanjivanje volumena plina unutar termodinamičkog sustava (kada se govori o kompresiji), potrebno je ulagati mehanički rad, a pri širenju plina (ekspanziji) plin vrši rad u odnosu na okolinu. U procesima pri konstantnom volumenu korisni mehanički rad jednak je nuli. Osim tlačnih sila u sustavu djeluju i sile trenja (u fluidu su to viskozne sile). Budući su sile trenja uvijek suprotne pomaku, njihovim se djelovanjem uvijek mehanička energija pretvara u unutarnju, a nikad obrnuto. Iz rečenog se zaključuje da se u sustavima s konstantnim volumenom ne može povećati mehanička energija na račun unutarnje. Zato se u mehanici krutog tijela (sustava materijalnih točaka, kojima je volumen konstantan) ne razmatraju termodinamički zakoni, odnosno unutarnja energija, jer se iz unutarnje energije ne može dobiti mehanička energija, odnosno ne može se djelovati na gibanje tijela. U mehanici se rad sila trenja, kojim se mehanička energija (zbroj kinetičke i potencijalne energije) pretvara u unutarnju označuje kao gubitak mehaničke energije (jer je jasno da je ta pretvorba jednosmjerna). 4.1.

Osnovni zakoni

Dinamika fluida bazirana je na pet osnovnih zakona koji su definirani za materijalni volumen: 1. Zakon očuvanja mase 2. Zakon očuvanja količine gibanja 3. Zakon očuvanja momenta količine gibanja 4. Zakon očuvanja energije 5. Zakon produkcije entropije

Mehanika fluida

24

4. Dinamika fluida

Zakon očuvanja mase

4.2.

Materijalni volumen se tijekom gibanja sastoji stalno od jednih te istih čestica fluida, što znači da mu je masa konstantna, što se može izraziti riječima: «Brzina promjene mase materijalnog volumena jednaka je nuli» tj. matematički: D dV  0 Dt VM

4.3.

Zakon očuvanja količine gibanja

Definicija zakona očuvanja količine gibanja za materijalni volumen: Brzina promjene količine gibanja materijalnog volumena jednaka je zbroju vanjskih sila (masenih i površinskih) koje djeluju na materijalni volumen. Matematički zapis zakona očuvanja količine gibanja za materijalni volumen: dS

U strujanju fluida u polju masene sile f uočen je materijalni volumen VM koji je od okolnog fluida odijeljen materijalnom površinom S M . Na svaku česticu fluida djeluje elementarna masena sila fdV , a na svaki djelić SM površine elementarna površinska sila dS , pri čemu je vektor naprezanja definiran s pomoću tenzora naprezanja relacijom Količina n ji .

n

dS V z

M

v

dm=ρdV

f

SM

fdV O

y

x

gibanja čestice fluida je vdV .

Slika uz definiciju zakona količine gibanja

D  vdV    f dV  Dt VM VM Brzina promjene količine gibanja VM

ukupna masena sila na VM

  dS

SM



  f dV   n  

VM

ji

dS

SM

ukupna površinska sila na VM

Mehanika fluida

25

4. Dinamika fluida

4.4.

Zakon očuvanja momenta količine gibanja

Definicija zakona očuvanja momenta količine gibanja za materijalni volumen: Brzina promjene momenta količine gibanja materijalnog volumena jednaka je zbroju momenata vanjskih sila (masenih i površinskih) koje djeluju na materijalni volumen2.

Matematički zapis zakona očuvanja momenta količine gibanja za materijalni volumen: U strujanju fluida u polju masene sile f uočen je materijalni n volumen VM koji je od okolnog dS SM r fluida odijeljen materijalnom z površinom S M . Na svaku česticu v fluida djeluje elementarna r dm=ρdV V masena sila fdV . Udaljenost f M čestice fluida od ishodišta je definirana radijus vektorom r , fdV čije su komponente x, y, z, a moment masene sile u odnosu na y O ishodište koordinatnog sustava je x r fdV . Na svaki djelić Slika uz definiciju zakona momenta količine gibanja površine S M djeluje elementarna površinska sila definiran s pomoću tenzora naprezanja relacijom dS , pri čemu je vektor naprezanja n dS . ij . Moment elementarne površinske sile u odnosu na ishodište je r dS

Moment količina gibanja čestice fluida je r

D r   vdV  Dt VM Brzina promjene momenta količine gibanja VM

 r   f dV

VM

ukupni moment masenih sila na VM



vdV .

 r   dS

SM





 r   f dV   r  n  

VM

ij

dS

SM

ukupni moment površinskih sila na VM

2

Pretpostavlja se da u fluidu nema momenata raspodijeljenih po materijalnom volumenu ili materijalnoj površini.

Mehanika fluida

26

4. Dinamika fluida

Zakon očuvanja energije

4.5.

Definicija zakona očuvanja energije za materijalni volumen: Brzina promjene energije materijalnog volumena jednaka je zbroju snaga vanjskih sila (masenih i površinskih) koje djeluju na materijalni volumen i brzini dovođenja topline. Matematički zapis zakona očuvanja energije za materijalni volumen: dS n

n

q

dS dS

z

v

V dm=ρdV

M

f

U strujanju fluida u polju masene sile f uočen je materijalni volumen VM koji je od okolnog fluida odijeljen materijalnom površinom S M . Na svaku česticu fluida, kojoj je ukupna energija djeluje elementarna edV ,

SM

masena sila

fdV , a snaga te sile

je f vdV . Na svaki djelić površine elementarna SM y O površinska sila dS , a njena x snaga je vdS , pri čemu je vektor naprezanja definiran Slika uz definiciju zakona očuvanja energije zbrojem tlačnih i viskoznih sila    pn   f . Površinske sile koje djeluju po materijalnoj površini su za materijalni volumen vanjske sile (sile dodira između čestica materijalnog volumena i okoline. Ukupna energija edV čestice  v2  v2 dV  e  u   . fluida definirana je kao zbroj unutrašnje udV i kinetičke energije 2 2 

fdV

Kroz svaki djelić površine S M prolazi toplinski tok definiran vektorom gustoće toplinskog toka q . Matematički zapis zakona je:

D  edV Dt VM



 D v2   u   dV    f  vdV     vdS  Dt VM  2 VM SM

Brzina promjene energije VM

snaga masenih sila na VM

4.6.

snaga vanjskih površinskih sila na VM

 q  ndS

SM

brzina dovođenja topline na VM

Zakon produkcije entropije

Definicija zakona produkcije entropije (II zakon termodinamike) za materijalni volumen: Produkcija entropije materijalnog volumena veća je ili jednaka nuli D qn   sdV   dS  0  Dt VM T SM gdje je  produkcija entropije, s entropija, a T apsolutna temperatura.

Mehanika fluida

27

5. Integralne metode rješavanja jednodimenzijskih problema mehanike fluida

5. INTEGRALNE METODE RJEŠAVANJA JEDNODIMENZIJSKIH PROBLEMA MEHANIKE FLUIDA Formulacija za jednodimenzijsko strujanje Pretpostavke:

z

i

S x Su

y S

v  vn

Sw

 0 t v  vn Fluid je nestlačiv   const. Masena sila je sila gravitacije f   gk    pn   f Strujanje je stacionarno

ds  dses dV=Sds

5.1.

Koncept kontrolnog volumena

Svi zakoni mehanike i termodinamike bit će primjenjivi na materijalni volumen (u mehanici je to materijalno tijelo ili sustav materijalnih točaka, a u termodinamici je to zatvoreni termodinamički sustav). U mehanici fluida nije interes pratiti što se događa sa samim fluidom (dakle neće se pratiti gibanje materijalnog volumena, kao što se u mehanici prati gibanje tijela), nego je potrebno odrediti posljedice strujanje fluida u blizini neke konstrukcije. U tom smislu će se definirati kontrolni volumen čije se granice poklapaju s površinom konstrukcije za koju se želi istražiti utjecaj strujanja fluida. Budući da će svi zakoni mehanike fluida biti formulirani za materijalni volumen potrebno ih je preformulirati za kontrolni volumen. Kontrolni je volumen s mirujućim granicama ( u 0 ), a u analizi konstrukcija s pomičnim dijelovima koristi se i formulacija općeg promjenjivog volumena s pomičnim granicama. 5.2.

Reynoldsov transportni teorem

Brzina promjene sadržaja fizikalne veličine unutar materijalnog volumena izražena promjenom u kontrolnom volumenu U trenutku poklapanja materijalnog i kontrolnog volumena brzina lokalne promjene im je ista, kao što su isti i površinski integrali, u gornjim izrazima, iz kojih slijedi: a) slučaj kontrolnog volumena KV koji je ograđen mirujućom kontrolnom površinom KP D    dV   dV    v  ndS   dV    v  ndS  Dt VM t t VM SM KV KP

Mehanika fluida

28


 d dV    dV t dt KV KV b) slučaj općeg promjenjivog volumena V čija se granica S giba brzinom u D d  dV    dV     v  u   ndS  Dt VM dt V S uz napomenu da vrijedi:



Jednadžba kontinuiteta

5.3. Zakon održanja mase: D dV  0 Dt VM

Primjenom Reynoldsovog transportnog teorema uz    zakon se formulira za kontrolni volumen d  dV   KP  v  ndS dt KV m

Lijeva strana označuje brzinu promjene mase fluida unutar kontrolnog volumena, a desna ukupni maseni protok kroz kontrolnu površinu. Na dijelu kontrolne površine kroz koju fluid ulazi u kontrolni volumen vektor vanjske normale i vektor brzine čine kut veći od 90°, te je v  n  0 i maseni protok je negativan, a negativni predznak ispred integrala ukazuje da će taj protok povećavati sadržaj mase unutar kontrolnog volumena. Na izlaznoj granici je v  n  0 , pa negativni predznak ispred integrala ukazuje na istjecanje fluida iz kontrolnog volumena tj. označuje smanjenje sadržaja mase unutar kontrolnog volumena. Kroz nepropusnu stijenku nema protoka, što znači da je brzina ili jednaka nuli ili je tangencijalna na stijenku. Ako se sa mU označi ukupni maseni protok kojim fluid ulazi u kontrolni volumen, a sa mI maseni protok kojim fluid iz njega izlazi, tada vrijedi: d  dV  mU  mI . dt KV Slučaj stacionarnog strujanja. U stacionarnom strujanju fluida se slika strujanja ne mijenja s vremenom, što znači da se neće mijenjati niti sadržaj mase unutar kontrolnog volumena pa vrijedi jednakost ulaznog i izlaznog masenog protoka mU  mI Slučaj nestlačivog (stacionarnog ili nestacionarnog) strujanja homogenog fluida ( konst. ). S obzirom da je gustoća konstantna u kontrolnom volumenu će se u svakom trenutku nalaziti jednaka masa fluida, a maseni protok je m Q , te vrijedi QU  QI Primjer: Strujanje kroz račvastu cijev

Mehanika fluida

29


Q3

Q1

Q4

Q2

5.4.

Na slici je uočen kontrolni volumen koji obuhvaća unutarnjost račvaste cijevi. Kroz dva presjeka nestlačivi fluid ulazi u kontrolni volumen protocima Q1 i Q2 , a kroz dva izlazi protocima Q3 i Q4 . Kroz plašt račve nema protoka fluida. Prema jednadžbi kontinuiteta vrijedi Q1 Q2 Q3 Q4 .

Jednadžba količine gibanja

Primjenom Reynoldsova transportnog teorema na lijevu stranu zakona očuvanja količine gibanja za materijalni volumen, koji glasi D  vdV    f dV    dS Dt VM VM SM slijedi jednadžba količine gibanja za kontrolni volumen s mirujućim granicama d   vdV  KP  v  v  n dS  KV  f dV  KP  dS dt KV brzina promjene količine gibanja KV -a

protok količine gibanja kroz kontrolnu površinu

ukupna masena sila na KV

ukupna površinska sila na KV

gdje se kontrolna površina može općenito prikazati zbrojem ulaznog dijela S u kontrolne površine (kroz koji fluid utječe u kontrolni volumen), izlaznog dijela S i (kroz koji fluid napušta kontrolni volumen) i površine stijenke S w (koja je dio nekog uređaja, stroja ili konstrukcije, kroz koju nema strujanja fluida v  n  0 ) KP  S u  S i  S w Uz pretpostavku nestlačivog strujanja, uzimajući da je masena sila jednaka sili težine f   gk i uz v  n  0 na S w , jednadžba količine gibanja se može napisati i u obliku





d   vdV    gk KV dV  u i   v  v  n    dS  dt KV S S brzina promjene količine gibanja KV -a

G =težina fluida u KV

  dS

Sw

- F w =sila stijenke na fluid

Posljednji integral u gornjoj jednadžbi daje ukupnu površinsku silu između stjenke i fluida i to silu kojom okolina (stjenka) djeluje na fluid. Ta je sila po trećem Newtonovom zakonu jednaka negativnoj vrijednosti sile F w kojom fluid djeluje na stjenku. Vektor površinske sile se može prikazati zbrojem sile tlaka i viskoznih sila    pn   f pri čemu se viskozne sile na ulaznoj i izlaznoj površini obično zanemaruju (tangencijalne viskozne sile se obično međusobno poništavaju, a normalne komponente viskoznih sila su male u odnosu na tlačne sile), tako da zakon količine gibanja za kontrolni volumen prelazi u oblik

Mehanika fluida

30


d w   vdV  G  u i   v  v  n   pn dS  F dt KV S S brzina promjene količine gibanja KV -a

U uvjetima stacionarnog strujanja (kada se slika strujanja ne mijenja s vremenom) brzina promjene količine gibanja kontrolnog volumena (lijeva strana jednadžbe) je jednaka nuli, te će zakon količine gibanja izražen za kontrolni volumen služiti za određivanje sile kojom fluid djeluje na stjenku     F w  G     v  v  n   pn dS    vn   Su Si  Očito je da će za određivanje sile kojom fluid djeluje na stjenku biti potrebno poznavanje profila brzine i tlaka na ulaznom i izlaznom dijelu kontrolne površine. 5.4.1. Primjena jednadžbe količine gibanja za određivanje sile fluida na plašt cijevi

p1, v1

f   gk

1

z

x

2

y

O

p2, v2

Za ulazni presjek n

Slika prikazuje jedan kontrolni volumen koji p3, v3 obuhvaća unutrašnjost račvaste cijevi, a na kontrolnoj 3 površini se mogu uočiti dva ulazna presjeka (presjeci 1 i 2) i dva izlazna presjeka (3 i 4 4). U tim su presjecima p4, v4 strujnice međusobno paralelne, a vektori brzine su okomiti na presjek, pri čemu vrijedi Za izlazni presjek

v

n

u

v i

S

S

v  vn v  vn v  n  v v n  v             v  v  n   pn dS  n    v 2  p dS     v  v  n   pn dS  n    v 2  p dS      vn   vn    Su  Su Si  Si Pri strujanju viskoznog fluida brzina po poprečnom presjeku cijevi nije konstantna, ali se integral kvadrata brzine po presjeku može prikazati pomoću kvadrata srednje brzine i faktora ispravka količine gibanja u obliku  v 2dS   vsr2 S gdje je faktor ispravka količine S

1 v 2dS . Vrijednosti faktora su:  v SS Strujanje idealnog fluida – jednoliki profil brzine po presjeku: Laminarno strujanje u okruglim cijevima polumjera R – postoji gibanja definiran izrazom  

2 sr

Mehanika fluida

1 1,33

31


r2 : R2 Turbulentno strujanje u okruglim cijevima – profil brzine zavisi od vD Reynoldsova broja Re , a koeficijent se kreće u rasponu analitičko rješenje za profil brzine v

vmax 1

1,01 1,03

6

1,01 (pri višim vrijednostima Re>10 ) do 1,03 (pri nižim vrijednostima Re) U praksi je strujanje najčešće turbulentno pa se uzima da je 1 (bez da se bitno naruši točnost rezultata) U strujanju fluida kroz cijevi strujnice su paralelne, pa će promjena tlaka po presjeku biti ista kao u fluidu u mirovanju, tj. bit će linearna. Ako se promatra strujnica koja prolazi težištem poprečnog presjeka cijevi, tada je integral tlaka po površini poprečnog presjeka jednak umnošku tlaka na strujnici i površini poprečnog presjeka  pdS  pS . S

Konačan izraz za izračunavanje sile kojom fluid djeluje na plašt cijevi jest

F w  G    n   v 2  p  S  k

I

 k  = imulsna funkcija

k 

 G  I 

k

k

ili F w  G   I  k  k

gdje je k broj ulaznih i izlaznih dijelova kontrolne površine. Impulsna funkcija je vektor, koji je po veličini jednak I    v 2  p  S , okomit je na površinu S i gleda suprotno od vanjske normale (uvijek gleda u kontrolni volumen bez obzira radi li se o ulaznom ili izlaznom dijelu kontrolne površine), kao na sljedećoj slici. Ako se impulsne funkcije shvate kao sile, tada se I1 I2 problem određivanja sile kojom fluid djeluje na plašt f   gk cijevi svodi na problem statike z tj. određivanje suma sila. Zakonom količine gibanja I3 definirana je veličina i smjer y O G sile fluida na plašt, a hvatište I4 1 x je definirano zakonom momenta količine gibanja. Postupak izračuna sile: Primjenom jednadžbe kontinuiteta i Bernoullijeve jednadžbe odrede se brzine i tlakovi na ulaznim i izlaznim dijelovima kontrolne površine. Iz izračunatih brzina i tlakova računaju se vrijednosti impulsnih funkcija na ulaznim i izlaznim dijelovima kontrolne površine. Vektorskim zbrajanjem (u analitičkom postupku sumiranjem komponenti sila u smjerovima osi) impulsnih funkcija i sile težine se dobije sila kojom fluid djeluje na plašt cijevi. Treba naglasiti da gornja formula vrijedi za bilo kakav oblik kontrolnog volumena, jedino je važno da na ulaznim i izlaznim presjecima strujnice budu međusobno paralelne i da su vektori brzine okomiti na pripadajuće presjeke.

Mehanika fluida

32


Impulsne funkcije računate s apsolutnim tlakom definiraju silu fluida na stijenku (dakle silu na plašt samo s unutrašnje strane). Ako s vanjske strane plašta djeluje atmosferski tlak, onda bi rezultantna sila na plašt bila jednaka zbroju unutarnje sile i vanjske sile atmosferskog tlaka. Do rezultantne sile se dolazi tako da se u impulsnu funkciju umjesto apsolutnog tlaka uvrštava manometarski tlak, dakle vrijedi F  G   n   v 2  pM  S gdje je F rezultantna sila na plašt cijevi. 5.4.2. Primjena jednadžbe količine gibanja za određivanje sile mlaza fluida na lopatice Slika prikazuje mlaz fluida površine poprečnog presjeka A1 , koji brzinom v1 i protokom Q1 v1 A1 , nailazi na ravnu lopaticu (ploču jedinične širine) koja na sebi ima razdjelnik strujanja (nosić) kojim se mlaz dijeli na dvije grane označene indeksima 2 i 3. Ako je površina mlaza mala u odnosu na površinu lopatice mlaz će tangencijalno napuštati lopaticu. Mlaz struji u atmosferi, a s druge strane lopatice vlada atmosferski tlak. Na slici je ucrtan odabrani kontrolni volumen (crta-točka linija) na čijoj se kontrolnoj površini može uočiti ulazni presjek mlaza, dva izlazna presjeka, rub mlaza i površina lopatice. Ako se pretpostave jednoliki profili brzine po presjecima i linearnu promjenu tlaka, tada će se impulsne funkcije računati po istim formulama kao i pri određivanju sile fluida na plašt cijevi. Ako se traži rezultantna sila na lopaticu (uzimajući u obzir i silu atmosferskog tlaka s vanjske strane, impulsne funkcije se računaju s manometarskim tlakom, koji je u svim presjecima jednak nuli, te za veličinu impulsne funkcije vrijedi I v2 A Qv Na ulaznim i na izlaznim dijelovima kontrolne površine impulsne funkcije gledaju u kontrolni volumen, a okomite su na površine. Po rubu mlaza također treba izračunati impulsnu funkciju, jer ta površina nije dio površine lopatice na kojoj se želi odrediti silu. Međutim budući da kroz tu površinu nema strujanja, a na njoj je pretlak jednak nuli, zaključuje se da je i impulsna funkcija jednaka nuli, te preostaju samo impulsne funkcije kao prema slici. Tražena sila jednaka je vektorskom zbroju impulsnih funkcija i sile težine. Ako bi strujanje bilo neviskozno (nema smičnih naprezanja), a ploča bila ravna (nema razdjelnika strujanja) sila fluida bi bila okomita na ploču (jer postoje samo sile tlaka), a protoci Q2 i Q3 bi bili upravo takvi da nema tangencijalne komponente sile na ploču.

Mehanika fluida

33


Jednadžba momenta količine gibanja

5.5.

Primjenom Reynoldsova transportnog teorema na lijevu stranu jednadžbe momenta količine gibanja za materijalni volumen, slijedi jednadžba momenta količine gibanja za kontrolni volumen s mirujućim granicama d  r   vdV  KP r   v  v  n dS  KV r   f dV  KP r   dS dt KV Protok momenta količine gibanja kroz KP

Brzina promjene momenta količine gibanja KV

ukupni moment masenih sila na KV

ukupni moment površinskih sila na KP

Uz sljedeće pretpostavke: strujanje je nestlačivo i stacionarno masena sila je sila težine kontrolna površina se sastoji od ulaznog, izlaznog dijela i površine plašta, KP  S u  S i  S w vektor naprezanja    pn   f jednadžba momenta količine gibanja primjenjena na kontrolni volumen, služi za određivanje momenta sile kojom fluid djeluje na plašt

 

 

moment sile fluida na plašt

moment sile težine

M Fw  M G 

   r    v  v  n   pn      vn  Su Si



f

 dS 

Primjena jednadžbe momenta količine gibanja za određivanje momenta sile fluida na plašt cijevi

p1, v1

f   gk

p3, v3 1

r1

z

3 4

O x

2

y

p4, v4

p2, v2

Slika prikazuje jedan kontrolni volumen koji obuhvaća unutrašnjost račvaste cijevi, a na kontrolnoj površini se mogu uočiti dva ulazna presjeka (presjeci 1 i 2) i dva izlazna presjeka (3 i 4). U tim su presjecima strujnice međusobno paralelne, a vektori brzine su okomiti na presjek.

Na gornjoj slici je također ucrtan radijus vektor do težišta prvog presjeka. Ako se zanemare momenti viskoznih sila na ulaznim i izlaznim presjecima, tada bi jednadžba momenta količine gibanja za prikazani kontrolni volumen (uzimajući u obzir da je na ulaznom presjeku vektor brzine orijentiran suprotno od vanjske normale, a na izlaznom u smjeru normale) glasila

Mehanika fluida

34


 

 

M Fw  M G  k moment sile fluida na plašt

moment sile težine

  r  n  v

A

2

 p dS

k

Ako su površine poprečnih presjeka male u odnosu na veličinu radijus vektora, tada se mogu zanemariti promjene radijus vektora po površini poprečnog presjeka i zamijeniti ga u gornjem integralu s konstantnim radijus vektorom do težišta presjeka. U tom se slučaju umnožak r  n može izlučiti ispred integrala, pa integral označuje impulsnu funkciju definiranu u zakonu količine gibanja, te vrijedi

 

 

M F w  M G   r ( k )  I k k

Dakle za slučaj strujanja kroz cijevi, na svakom ulazno/izlaznom presjeku se postavlja impulsna funkcija, koja se za potrebe proračuna sile fluida na plašt cijevi i momenta te sile u odnosu na odabranu točku (obično je to ishodište koordinatnog sustava), tretira kao vanjska sila. Prema jednadžbi količine gibanja sila fluida na plašt jednaka je sumi vanjskih sila koje djeluju na kontrolni volumen (impulsne funkcije i sila težine), a moment sile kojom fluid djeluje na plašt cijevi je jednak sumi momenata vanjskih sila na kontrolni volumen (sumi momenata impulsnih funkcija i momentu sile težine). Problem se dakle svodi na primjenu uvjeta ravnoteže sila i momenata, kao u klasičnoj mehanici, odnosno statici fluida.

5.6.

Bernoullijeva jednadžba

Matematički zapis zakona očuvanju energije (unutrašnje i kinetičke):  D v2   u   dV    f  vdV     vdS   q  ndS Dt VM  2 VM SM SM Brzina promjene energije VM




Primjenom Reynoldsovog transportnog teorema, zakon očuvanja energije se može prikazati za kontrolni volumen:   d v2  v2   u  d V   u    2  KP  2 v  ndS  KV  f  vdV  KP   vdS  KP q  ndS dt KV U stacionarnom strujanju fluida prvi član na lijevoj strani gornje jednadžbe je jednak nuli. Kada ovu jednadžbu primijenimo na strujnu cijev uz f   gk , v  es v , dV  Sds ,

k  es ds  dz i Q  vS  konst. prvi volumenski integral na desnoj strani jednadžbe koji predstavlja snagu masenih sila postaje: si

zi

  f  vdV     gk  e vSds    gQ  dz    gQ  z  z  s

KV

su

i

u

zu

Mehanika fluida

35


Kontrolna površina strujne cijevi se sastoji od izlazne, ulazne i površine stijenke cijevi KP  S u  S i  S w pri čemu je v  n  v na S i , v  n  v na S u i v  n  0 na S w , te je drugi integral na lijevoj strani jednadžbe jednak:    v2  v2  v2     u  2 v  ndS  i   u  2 vdS  u   u  2   v  dS KP S S Za nestlačivo strujanje i ako u predstavlja konstantnu srednju vrijednost specifične unutrašnje energije po ulaznom, odnosno izlaznom presjeku dobijemo  v2   3  3  u  KP  2 v  ndS  ui i vdS  2 i v dS  uu u vdS  2 u v dS S S S S Za strujnu cijev vrijedi dQ  vdS , odnosno Q 

 vdS  v S u

Su

u

  vdS  vi Si  konst . Si

Pri strujanju viskoznog fluida brzina po poprečnom presjeku cijevi nije konstantna, ali se integral treće potencije brzine po presjeku može prikazati pomoću treće potencije srednje brzine i faktora ispravka kinetičke energije u obliku  v3dS   vsr3 S pri čemu je faktor  S

1 v3dS . Vrijednosti faktora ispravka kinetičke energije  su:  v SS Strujanje idealnog fluida – jednoliki profil brzine po presjeku: 1 Laminarno strujanje u okruglim cijevima polumjera R – postoji r2 2 analitičko rješenje za profil brzine v vmax 1 : 2 R Turbulentno strujanje u okruglim cijevima – profil brzine zavisi od vD 1,01 1,1 Reynoldsova broja Re definiran izrazom  

3 sr

U praksi je strujanje najčešće turbulentno pa se uzima da je 1 (bez da se bitno naruši točnost rezultata). Nakon uvođenja konstantnog protoka kroz strujnu cijev i faktora ispravka kinetičke energije  drugi integral na lijevoj strani jednadžbe ima oblik:  v2    2 2 KP   u  2 v  ndS  uiQ  2 ivi Q  uuQ  2 uvu Q Drugi integral na desnoj strani jednadžbe se modificira uz    pn   f , gdje je p srednja vrijednost tlaka po ulaznom, odnosno izlaznom presjeku. Ponovo se koristi v  n  v na S i , v  n  v na S u , v  n  0 te v  0 na S w . Snaga viskoznih sila na ulaznom i izlaznom presjeku se zanemaruje, tako da je taj integral: f    vdS    pn  vdS     vdS    pvdS   pvdS   piQ  puQ KP

KP

KP

Si

Su

Posljednji član na desnoj strani jednadžbe predstavlja toplinski tok Φ koji je pozitivan kad se dovodi fluidu u kontrolnom volumenu     q  ndS KP

Nakon uvrštavanja gornjih rezultat dobije se Bernoullijeva jednadžba:

  uiQ  i vi2Q  uu Q  u vu2Q    gQ  zi  zu   piQ  puQ   2

2

Mehanika fluida

36


Za slučaj adijabatske cijevi (   0 ) ukupno povećanje unutrašnje energije nastaje zbog snage unutrašnjih sila koje uvijek povećavaju unutrašnju energiju na račun smanjenja mehaničke energije (ovaj proces je jednosmjeran). Ako snagu unutrašnjih sila definiramo kao pozitivnu i označimo s PF onda je:

PF  Q  ui  uu 

Bernoullijeva jednadžba sada ima oblik:     vi2 vu2 Q  i   pi   gzi   Q  u   pu   gzu   PF 2 2     Ako u cjevovodu između ulaznog i izlaznog presjeka postoji stroj (pumpa koja predaje snagu PP fluidu ili turbina koja oduzima snagu PT od fluida), onda se modificirana jednadžba može poopćiti u sljedeći oblik       v2 v2   p   gz Q    p   gz  Q   PF  PP  PT     2 2   i   u  snaga na izlazu iz cijevi

snaga na ulazu u cijev

Pumpa je pogonjena motorom, pri čemu motor predaje pumpi snagu PM , pa je faktor P korisnosti pumpe P  P . Turbina obično pogoni generator, pri čemu generatoru predaje PM P snagu PG , pa je faktor korisnosti turbine definiran odnosom T  G . PT U gore prikazanom obliku modificirane Bernoullijeve jednadžbe, svaki član ima dimenziju snage, a koriste se i sljedeći oblici te jednadžbe Oblik Dimenzija snaga     PF PP PT v2 v2 volumenki protok    p   gz      p   gz     2 2  i  u Q Q Q snaga  v2 p   v2 p  PF PP PT    gz     gz    maseni protok      2  i  2  u  Q  Q  Q snaga  v2   v2  PF PP PT p p    z     z    težinski protok      2g  g i  2 g  g u  gQ  gQ  gQ U zadnjem obliku modificirane Bernoullijeve jednadžbe obično se uvode oznake P hP  P =visina dobave pumpe,  gQ P hT  T =pad visine energije u turbini  gQ P hF  F =visina gubitaka mehaničke energije (energije pretvorene u unutarnju energiju)  gQ Za slučaj račvanja cjevovoda oblici modificirane Bernoullijeve jednadžbe iz gornje tablice postavljaju se duž strujnice.

Mehanika fluida

37


Primjer: Slika prikazuje račvastu cijev s dva ulazna presjeka (1 i 2) te dva izlazna presjeka (3 i 4). Između točaka 5 i 6 se nalazi pumpa koja predaje fluidu snagu PP. Prema jednadžbi kontinuiteta ukupni protok kroz pumpu je Q  Q1  Q2  Q3  Q4 . U točkama 5 i 6 visina energije je jednoznačno definirana, bez obzira s koje strane se u te točke dolazi. Integralni oblik zakona kinetičke energije za stacionarno strujanje fluida kaže da je snaga na izlazu iz KV (presjeci 3 i 4) jednaka snazi na ulazu (presjeci 1 i 2) uvećanoj za snagu pumpe i umanjenoj za snagu viskoznih sila, tj. 3

v32 2

p3

gz3 Q3

4

v42 2

p4

gz4 Q4

1

v12 2

p1

gz1 Q1

2

v22 2

p2

gz2 Q2

PP

Modificirana Bernoullijeva jednadžba postavljena između točaka 1 do5 je: 5

v52 2g

p5 g

z5

1

v12 2g

p1 g

z1

hF15 , gdje je hF15

PF15 gQ1

Modificirana Bernoullijeva jednadžba između točaka 5 i 6 glasi v62 6 2g

p6 g

z6

v52 5 2g

p5 g

z5

hP

p6 g

z6

hF63 , gdje je hF63

hF56 , gdje su hF56

PF56 i hP gQ

PP , gQ

a između točaka 6 i 3 v32 3 2g

p3 g

z3

v12 6 2g

PF63 gQ3

Iz kombinacije prethodnih jednadžbi dobije se modificirana Bernoullijeva jednadžba između presjeka 1 i 3 3

v32 2g

p3 g

z3

1

v12 2g

p1 g

z1

hP

hF15

hF56

hF63

Dakle modificirana Bernoullijeva jednadžba vrijedi duž strujnice. Analogno se dobije izraz za modificiranu Bernoullijevu jednadžbu između presjeka 1 i 4 ili između presjeka 2 i 3 ili između presjeka 2 i 4. Važno je zapamtiti da se snaga viskoznih sila dobije množenjem visine gubitaka hF s pripadajućim težinskim protokom, kao i snaga pumpe (u ovom g Q1 Q2 hP ). primjeru PP

Mehanika fluida

38

PF


Promjena tlaka okomito na strujnice (integral jednadžbe gibanja fluida po putu okomitom na strujnice) Izraz za promjenu tlaka okomito na strujnice je:

2 x3

n

vi

g

1 O x1

x2

2

v2 p2 p1 g z2 z1 dn R 1 udaljenost n se mjeri od središta zakrivljenosti strujnice.

R=radijus zakrivljeno sti

Slika uz definiciju promjene tlaka okomito na strujnice

U strujanju fluida s ravnim strujnicama ( R ) promjena tlaka okomito na strujnice ista je kao u fluidu u mirovanju. U strujanju fluida u horizontalnoj ravnini sa zakrivljenim strujnicama tlak raste od središta zakrivljenosti strujnica.

Mehanika fluida

39

6. Primjena osnovnih jednadžbi mehanike fluida

6. PRIMJENA OSNOVNIH JEDNADŽBI MEHANIKE FLUIDA Pojave i principi rada nekih uređaja koji se mogu objasniti Bernoullijevom jednadžbom 6.1.

pa

pa

g

z pa

A

h

v1

h

1

B

2 

Mjerenje brzine

Slučaj otvorenog strujanja s ravnim strujnicama Cjevčica A (piezometrička cijev) mjeri visinu tlaka u točki 1. Promjena tlaka okomito na ravne strujnice ista je kao u fluidu u mirovanju, pa će razina fluida u cjevčici biti u slobodnoj površini. Cjevčica B (Pitotova cijev) mjeri visinu tlaka u točki 2, u kojoj je brzina jednaka nuli (zaustavna točka). Prema Bernoullijevoj jednadžbi visina zaustavnog tlaka p2 /  g je veća od visine tlaka p1 /  g u točki 1 za visinu brzine Δh  v12 / 2 g .

Članovi Bernoullijeve jednadžbe se mogu tumačiti i na sljedeći način 1 2 p v gz konst. 2 statički tlak

dinamički tlak

hidrostatski tlak

zaustavni tlak totalni tlak

Bernoullijeva jednadžba kaže da totalni tlak ostaje konstantan duž strujnice. Mjerenje brzine strujanja fluida u cijevima

h

Lijeva cjevčica mjeri statički tlak u točki 1, a Pitotova cijev zaustavni tlak u točki 2. Razlika ta dva tlaka je visina brzine, pa vrijedi v1  2 gΔh . Očito je da se brzina računa iz mjerene razlike tlakova, koja se obično mjeri diferencijalnim manometrom.

v1 1

2

 <  1



h

x

R

R

2

x

v1 1

1 v1

2

h 

 > 

Mehanika fluida

40


Slučaj kada je diferencijalni Slučaj kada je diferencijalni manometar ispunjen manometar ispunjen fluidom manje fluidom veće gustoće od fluida koji struji u cijevi gustoće od fluida koji struji u cijevi

  v1  2 gΔh  0  1   

   v1  2 gΔh 1  0    

6.2.

Prandtl-Pitotova cijev

Sastoji se od dvije koaksijalne cijevi, pri čemu je unutarnja cjevčica svojim otvorom suprotstavljena strujanju i mjeri zaustavni tlak (točka 2 na slici). Vanjska cijev ima po obodu rupice s otvorima preko kojih čestice fluida prolaze tangencijalno kojima se mjeri statički tlak (točka 3 na slici). Donja slika kvalitativno prikazuje promjenu tlaka duž strujnice 1-2-3. U točki zastoja je brzina jednaka nuli, a tlak je maksimalan. Od točke zastoja fluid se ponovo ubrzava, a tlak opada. U području između točaka 2 i 3 brzina na nekim mjestima premašuje brzinu v1 , te tlak opada ispod tlaka p1 , ali se na određenoj udaljenosti od točke 2 tlak ponovo vraća na vrijednost tlaka p1 . Ako se zanemari učinak viskoznih sila u neograničenom strujanju fluida tlak p3 će biti jednak tlaku p1 , pa će se iz

  mjerene visine Δh moći izračunati brzina v1 , pri čemu vrijedi izraz v1  2 gΔh  0  1 .    tlak p1 3

v1 1 

2

p3=p1 h  > 

Mehanika fluida

41


6.3.

1

2

1

2

6.3.1.

1

Slika shematski prikazuje tri različita mjerna uređaja za mjerenje protoka u strujanju kroz cijevi, redom mjerna blenda, mjerna sapnica i Venturijeva cijev. U svim uređajima je princip mjerenja isti: u suženom presjeku tlak je zbog povećanja brzine niži. Razlika tlaka u presjecima 1 i 2 raste s porastom protoka, te se iz mjerene razlike tlaka može zaključiti o protoku kroz cijev. Primjenom Bernoullijeve jednadžbe se dolazi do protoka idealnog fluida, a uvođenjem faktora korekcije brzine i faktora kontrakcije mlaza se dolazi do protoka realnog fluida.

Venturijeva cijev

D2 D1

Mjerenje protoka u strujanju kroz cijevi

 2 h x

z=0

Slika shematski prikazuje Venturijevu cijev postavljenu u kosom cjevovodu, u kojoj se diferencijalnim manometrom mjeri razlika tlaka u dva presjeka. Iz jednadžbe kontinuiteta, Bernoulijeve jednadžbe i jednadžbe manometra slijedi izraz za protok idealnog fluida

Q h0

Qid

D22 4

2 gh0 1

0

D2 D1

1 4

Protok realnog fluida viskoznosti  je Q CcCvQid . 0 Venturijeva cijev se izvodi tako da je faktor kontrakcije mlaza Cc 1 , a faktor korekcije v D brzine Cv je funkcija Reynoldsova broja Re  1 1 . Primjer zavisnosti faktora Cv o



Reynoldsovu broju Re je dan na sljedećoj slici.

Mehanika fluida

42


6.3.2.

Kavitacija

Povećanjem protoka uz istu ukupnu energiju strujanja dolazi do smanjenja tlaka u najužem presjeku Q 2g (na slici je prikazan pomak HGL 2g kada se protok poveća od Q na Q1) Q1>Q Kada se tlak u najužem presjeku p 2 p1 snizi na vrijednost tlaka isparavanja g g pojavljuju se mjehurići pare (kavitacija), čime se smanjuje v1 v2 G.L. poprečni presjek te dolazi do 2 1 zagušivanja strujanja. Protok pri kojem se pojavljuje kavitacija je p p1 maksimalno mogući protok za A A zadanu visinu energije. Mjehurići pare bivaju nošeni u područje višeg tlaka, gdje implodiraju (ponovo se pretvaraju u kapljevitu fazu). Pojava kavitacije je popraćena vibracijama i bukom, a pri imploziji mjehurića pare u blizini stijenke dolazi i do njena oštećenja. U nestacionarnom strujanju se kavitacija može pojaviti uslijed naglog ubrzavanja fluida. E.L.

2

2

1

Mehanika fluida

43


6.3.3.

Ejektor Strujanje primarnog fluida protokom Q1 u suženom presjeku izaziva smanjenje tlaka, koje ima za posljedicu usisavanje sekundarnog fluida, protokom Q2, tako da je na izlazu iz ejektora protok Q1+Q2. Ovaj se princip koristi npr. u uređajima za bojanje, u kojima se u struju zraka uvlači boja.

6.3.4.

Istjecanje iz velikog spremnika

Slika prikazuje zamišljenu strujnicu unutar spremnika. Ako se pretpostavi veliki spremnik, brzina fluida na slobodnoj površini unutar spremnika će biti vrlo mala. Brzina se povećava približavanjem ulazu u cijev. Za potrebe crtanja hidrauličke gradijentne linije će se pretpostaviti da je u svakoj točki spremnika brzina jednaka nuli, pa će visina ukupne energija u spremniku biti jednaka piezometričkoj visini (koja je za slučaj mirovanja jednaka u svim točkama spremnika). Prema tome Bernoullijevu jednadžbu može se postavljati od bilo koje točke u spremniku, a obično se bira točka na slobodnoj površini. Bernoullijeva jednadžba postavljena od točke 0 na slobodnoj površini do točke 1 na izlazu iz cijevi glasi pa v2 pa 2 gH ili v H g 2g g iz koje je jasno da se potencijalna energija fluida u spremniku pretvorila u kinetičku energiju mlaza na izlazu iz cjevovoda, što prikazuje i slika. (Iz mehanike je poznato da bi kuglica u slobodnom padu puštena iz stanja mirovanja na putu H postigla brzinu v 2 gH ).

Mehanika fluida

44


6.3.5.

Gubitak utjecanja u veliki spremnik

U prethodnom primjeru je mlaz fluida istjecao u atmosferu, pa je u njemu vladao atmosferski tlak, g H=h1-h2 a ovdje mlaz istječe u mirujući pa 2 fluid u velikom spremniku, a h1 eksperimenti pokazuju da će u h 2 mlazu vladati tlak definiran Q v jednadžbom hidrostatike 3 4 p4 pa gh2 Bernoullijeva jednadžba postavljena duž strujnice između točaka 1 i 4 (gdje je z4=0) glasi v2 pa v2 pa h1 h2 ili uz h1 h2 H : H 2g g 2g g pa

1

p4 / g

Ponovo je jasno da će brzina biti funkcija razlike visina u spremnicima. Ako se za desni spremnik usvoji model mirujućeg fluida onda će energija desnog spremnika biti jednaka piezometričkoj visini i bit će manja od energije lijevog spremnika. Dakle u cijevi će prema Bernoullijevoj jednadžbi visina ukupne energije biti jednaka energiji lijevog spremnika, a ulaskom u desni spremnik energetska linija skokovito opada za visinu H, odnosno za visinu brzine, te se govori o gubitku utjecanja u veliki spremnik(ili istjecanja iz cijevi). Bernoullijeva jednadžba se formalno postavlja od slobodne površine lijevog spremnika do slobodne površine desnog spremnika, s tim da se pri ulasku u spremnik obračuna gubitak visine ukupne energije koji je jednak visini brzine. Tako bi Bernoullijeva jednadžba između točaka 1 i 2, prema prethodno slici, (uz z2=0), glasila: pa pa v2 H g g 2g energija u točki 1

energija u točki 2

gubitak

v2 =H 2g

pa g

E.L. pa g

H.G.L.

3

4

Mehanika fluida

Lijeva slika prikazuje energetsku liniju (EL) za strujanje između dva velika spremnika. Oduzimanjem visine brzine od EL dobije se HGL. Prema prije rečenom pretpostavlja se da su brzine u spremnicima jednake nuli, te se HGL skokovito mijenja pri ulazu u cijev, u kojoj je brzina za slučaj konstantnog promjera cijevi konstantna.

45


6.3.6.

Sifon

1 h pa

d=konst

0 r

H 2 pa

6.3.7.

Maksimalna visina usisavanja pumpe

pumpa 1 pa

Strujanje kroz sifon će se ostvariti ako je cijev u početnom trenutku bila ispunjena fluidom ili je potrebno stvoriti podtlak na izlaznom kraju cijevi (točka 2) tako da se fluid podigne preko točke 1. Iz Bernoullijeve jednadžbe od 0 do 2 je v2 ili v 2 gH H 2g Spuštanjem izlaznog kraja povećava se brzina istjecanja. Iz Bernoullijeve jednadžbe od 1 i 2 p1 pa g H h Spuštanjem izlaznog kraja ili podizanjem točke 1 smanjuje se tlak p1, koji mora biti veći od tlaka para pv da ne bi nastupila kavitacija, čijom bi se pojavom strujanje prekinulo.

h 0

Da bi se uključivanjem pumpe uspostavilo strujanje, usisna cijev mora biti ispunjena fluidom. Da bi se izbjegla pojava kavitacije tlak u točki 1 mora biti viši od tlaka para. Iz Bernoullijeve jednadžbe od 0 do 1 je pa p1 v12 h g g 2g

p1 v12 zanemarive, g 2g teorijski maksimalna visina usisavanja je jednaka visini atmosferskog tlaka, a stvarno je to i manje. Uz pretpostavku da su visine

6.3.8.

Korekcije brzine i protoka pri istjecanju kroz otvore

Strujnica ne može biti slomljena crta, jer bi u točki loma radijus zakrivljenosti strujnice bio jednak nuli, te bi derivacija tlaka okomito na strujnicu bila beskonačna, što ne bi bilo fizikalno. Zbog toga pri istjecanju fluida kroz otvor površine A0 s oštrim rubom dolazi do suženja mlaza. Slika prikazuje presjek 1 u kojemu su strujnice paralelne, a tlak konstantan. U tom presjeku 1 A0 se mjeri površina A poprečnog presjeka mlaza. A pa Faktor kontrakcije mlaza je Cc A / A0 . Realni fluidi su viskozni te će se dio mehaničke energije na putu od točke 0 do točke 1 uslijed djelovanja viskoznih sila pretvoriti u unutarnju energiju, što znači da će mehanička energija (odnosno brzina) za slučaj realnog fluida biti manja. To se uzima u obzir iskustvenim faktorom korekcije brzine Cv (koji se određuje eksperimentalno) prema formuli v Cvvid Cv 2 gH . Jasno je da je faktor korekcije brzine uvijek manji od jedan.

Mehanika fluida

46


Protok Q fluida kroz otvor će biti jednak umnošku stvarne brzine i stvarne površine mlaza: Q vA CvCc vid A0 CdQid , gdje je Cd CvCc faktor korekcije protoka (često se Cd

Qid

označuje i s CQ ) Primjeri faktora korekcije brzine i faktora kontrakcije mlaza za neke tipične slučajeve:

Tanka stijenka-oštri rub: Cc=0.62 Cv=0.98

Lijepo zaobljeni rub: Cc=1 Cv=0.98

Ispust: Cc=1 Cv=0.82

Ispust: Cc=1 Cv=0.74

Formula za izračunavanje vremena pražnjenja posude

6.3.9.

A(z)

pa

0

g v0=-

dz dt t=t1 H1

A0 Cd 1

Pretpostavke: Posuda je otvorena prema atmosferi. t=t0 Visina z se mjeri od presjeka mlaza u kojem su strujnice paralelne (vena contracta). Površina poprečnog presjeka posude H0 A(z), je puno veća od površine A0 otvora z na dnu (kvazistacionarno strujanje vid 2 gz ).

pa v

Vrijeme Δt potrebno da se razina fluida spusti s visine z  H 0 na z  H1

t1 t0

Δt

1 Cd A0 2 g

H1

H0

A z z

dz

Mehanika fluida

47


Ilustracija sadržaja Bernoullijeve jednadžbe

6.4.

v2 2g

p g

visina brzine

visina tlaka

z

konst.

geometrijska visina =geodetska linija

piezometrička visina = hidraulička gradijentna linija visina ukupne energije = energetska linija

Visina ukupne energije ostaje konstantna duž strujnice. Za strujanje u cijevima sadržaj Bernoulijeve jednadžbe se prikazuje za strujnicu koja prolazi simetralom cijevi, tako da simetrala označuje geodetsku liniju (GL). Hidrauličku gradijentnu liniju (HGL) se dobije oduzimanjem visine brzine od energetske linije (EL). Primjeri ilustracije sadržaja Bernoullijeve jednadžbe: 2

2

2

v 2g

v 2g

E.L.

2g

2g

v3 2g

H.G.L. p1 g 1

p2 g 2

z1

G.L.

z2

z=0

Promjer cijevi je konstantan, pa je prema jednadžbi kontinuiteta konstantna i brzina. Dolazi do preraspodjele visine tlaka i geodetske visine, a promjena tlaka je ista kao u fluidu u mirovanju. Smjer strujanja neodređen (slika je ista za oba smjera struajnja). Položaj z=0 se odabire proizvoljno. Energetska linija se može definirati ili s apsolutnim tlakom ili s pretlakom (ako je definirana s apsolutnim tlakom, tada visina tlaka ne može biti negativna, tj. HGL ne može biti ispod GL, kao ni EL).

H.G.L. p1 g

p2 g

1

2 z

z

p3 g 3 z z=0

Visina z je konstantna, pa dolazi do preraspodjele između visine brzine i visine tlaka. Iz jednadžbe kontinuiteta Q=vA=konst., slijedi da će u presjeku manje površine A biti veća brzina, a iz Bernouulijeve jednadžbe je jasno da će pri većoj brzini biti niži tlak. Minimalna vrijednost tlaka je dakle u najužem presjeku, a ne može biti manja od tlaka para (tlaka kod kojeg fluid pri zadanoj temperaturi počinje isparavati). Minimalnim tlakom je definirana i maksimalna brzina strujanja, odnosno maksimalni protok Q.

pa pa

pa

pa

B

A

A

Mehanika fluida

48


Geodetska visina izlaznog kraja cijevi je previsoka, pa nema strujanja fluida. Bernoulijeva jednadžba se svodi na osnovnu jednadžbu hidrostatike (princip spojenih posuda).

Skraćivanjem priključne cijevi, dolazi do strujanja fluida, a visina mlaza jednaka je visini fluida u velikom spremniku. (za slučaj viskoznog strujanja, ta bi visina bila nešto manja zbog pretvorbe mehaničke energije u unutarnju).

Mehanika fluida

49

7. Dimenzijska analiza

7. DIMENZIJSKA ANALIZA Dimenzijska analiza i teorija sličnosti predstavljaju znanstveni temelj eksperimentalnom istraživanju složenih fizikalnih pojava kako u mehanici fluida, tako i u ostalim područjima fizike. Primjenom dimenzijske analize minimizira se potrebni broj mjerenja za istraživanje neke pojave, a olakšavaju se prikaz i tumačenje rezultata mjerenja. Teorija sličnosti daje podlogu za primjenu modelskih istraživanja i primjenu analogija u fizici. 7.1.

Osnovna jednadžba metrologije

Sadržaj fizikalne veličine Q izražava se produktom mjernog broja Q i mjerne jedinice Q .

Q  Q Q  Npr. ubrzanje a  4m / s 2 7.2.

Skup osnovnih i izvedenih fizikalnih jedinica

Dimenzija Q odnosno jedinica Q SI svake fizikalne veličine Q u mehanici fluida se može prikazati produktom potencija osnovnih dimenzija odnosno jedinica u obliku Q Ma LbTc d Q kg a mbsc K d SI

gdje su osnovne fizikalne veličine (čije su dimenzije osnovne) u mehanici fluida Veličina Oznaka Dimenzija Jedinica u SI sustavu duljina L L m vrijeme t T s masa m M kg temperatura T K  a eksponenti a, b, c i d tipični za fizikalnu kategoriju Q. Nisu uvijek potrebne sve četiri osnovne dimenzije. Tako se dimenzije svih fizikalnih veličina u kinematici fluida mogu opisati s dvije dimenzije: duljine i vremena. U dinamici nestlačivog strujanja fluida gdje temperatura fluida ne igra ulogu dovoljne su tri dimenzije: duljine, vremena i mase, a tek u dinamici stlačivog strujanja taj skup se proširuje dimenzijom temperature. Oznake, dimenzije i jedinice nekih izvedenih fizikalnih veličina u mehanici fluida Fizikalna veličina Oznaka Dimenzija Jedinica u SI sustavu -1 brzina, brzina zvuka v, c LT m/s sila F MLT-2 N -2 gravitacija g LT m/s2 -3 težinski protok MLT N/s G volumenski modul elastičnosti K ML-1T-2 Pa -1 maseni protok MT kg/s m 2 -2 moment sile M ML T Nm snaga P ML2T-3 W -1 -2 tlak p ML T Pa 3 -1 volumenski protok Q LT m3/s plinska konstanta R J/kgK L2T-2-1

Mehanika fluida

50


potencijal masene sile specifična unutrašnja energija rad sile, energija gustoća fluida kinematička viskoznost dinamička viskoznost Kutna brzina naprezanje

U u W, E     , i ,

kut površinska napetost

  7.3.

ij

L2T-2 L2T-2 ML2T-2 ML-3 L2T-1 ML-1T-1 T-1 ML-1T-2

m2/s2 J/kg J kg/m3 m2/s Pas rad/s N/m2

MT-2

rad N/m

Dimenziono nezavisan skup

Treba naglasiti da je izbor skupa osnovnih fizikalnih veličina u principu proizvoljan, te se može koristiti bilo koji skup od četiri dimenziono nezavisne fizikalne veličine. Dimenziona nezavisnost osnovnog skupa fizikalnih veličina podrazumijeva da se dimenzija niti jedne od fizikalnih veličina izabranog skupa ne može prikazati dimenzijama preostalih fizikalnih veličina u tom skupu, što je sadržano u teoremu o dimenziono nezavisnom skupu koji glasi: Ako samo trivijalno rješenje a1=a2= ...=an=0, čini produkt potencija Q 1a1 Q 2a2 Q nan bezdimenzijskim, onda je skup n fizikalnih veličina Q 1 ,Q 2 , ... ,Q n dimenziono nezavisan. Ako je n>k, gdje je k broj osnovnih dimenzija (mjernih jedinica) u skupu, tada skup n fizikalnih veličina ne može biti dimenziono nezavisan. Primjeri: 1. Sila, masa i ubrzanje su dimenziono zavisne veličine, jer su vezane drugim Newtonovim zakonom. 2. Skup od n=3 veličine: brzina, ubrzanje i kutna brzina čije su dimenzije opisane s dvije osnovne dimenzije duljine i vremena (k=2), zbog n>k ne mogu biti dimenziono nezavisne. 3. Ispitati dimenzionu nezavisnost skupa veličina , v, L Prema teoremu o dimenziono nezavisnom skupu traži se rješenje za eksponente a, b, c, koji čine produkt potencija veličina bezdimenzim, tj. 

a

v

b

L

c

M0 L0T0

Ako se dimenzije , v, L izraze pomoću M, L, T, gornja jednadžba prelazi u oblik: ML-3

a

LT-1

b

L

c

M0 L0T0

Izjednačavanjem eksponenata nad istim bazama lijeve i desne strane gornje jednadžbe, slijedi sustav linearnih algebarskih jednadžbi M: L: T:

a -3a

+b -b

+c

=0 =0 0

kojeg je rješenje trivijalno (a=b=c=0), što znači da je skup veličina , v, L dimenzionalno nezavisan.

Mehanika fluida

51


7.4.

Backinghamov teorem (Pi-teorem)

Ključno značenje u dimenzijskoj analizi ima Pi-teorem koji glasi: Svaki fizikalni zakon između n fizikalnih veličina Q 1 ,Q 2 , ... ,Q n , izražen funkcijom G( Q 1 ,Q 2 , ...,Q n )=0, neovisnom o promjeni mjerila (veličinska jednadžba), može se izraziti kao funkcija n-k bezdimenzijskih varijabli u obliku  1 , 2 , ... n- k   0 , gdje je k broj osnovnih veličina čijim se dimenzijama mogu opisati dimenzije čitavog skupa n fizikalnih veličina. Ilustracija: Promjena puta pri pravocrtnom gibanju konstantnim ubrzanjem s v0t

1 2 at je 2

fizikalni zakon između n=4 fizikalne veličine u čijim se dimenzijama pojavljuje samo put i vrijeme (k=2), pa se zakon može prikazati pomoću dvije bezdimenzijske varijable. Dijeljenjem gornje jednadžbe s v0t dobije se i Π2

s v0t

1

1 at ili Π1 2 v0

1

1 Π 2 , gdje su Π1 2

s v0t

at . v0

Primjenom Pi-teorema se smanjuje broj varijabli u pojavi, čime se smanjuje potrebni broj mjerenja i olakšava analiza rezultata. Pi-teorem se općenito realizira kroz sljedeće korake: 1) Pretpostavlja se skup n fizikalnih veličina za koji se smatra da upravlja fizikalnom pojavom, te se sastavi tablica s njihovim simbolima i dimenzijama ili mjernim jedinicama, iz koje se odredi broj k, dimenziono nezavisnih veličina. 2) Iz skupa od n fizikalnih veličina izabere se k dimenziono nezavisnih veličina i dokaže dimenzionu nezavisnost izabranog skupa prema danom teoremu. 3) Od svake fizikalne veličine izvan skupa dimenziono nezavisnih veličina formira se bezdimenzijski  parametar na način da se njena dimenzija prikaže dimenzijama fizikalnih veličina iz dimenziono nezavisnog skupa, u obliku Πk i Qk +i Q1a1 Q2a2 ... Qkak , i=1, n-k Na taj način skup od n fizikalnih veličina zamijenjen je skupom od n-k bezdimenzijskih  parametara. Pri tome vrijede sljedeća pravila: a) ako je n-k  0, što znači da se ne može formirati niti jedan  parametar, ukazuje da je skup od n utjecajnih veličina nepotpun; b) ako je n-k=1, moguće je sačiniti samo jedan  parametar, a problem se svodi na ()=0 ili =konst, što znači da je problem principijelno moguće riješiti samo jednim mjerenjem. c) Funkcija među bezdimenzijskim  parametrima, identičnog je oblika za beskonačnu obitelj geometrijski, kinematički i dinamički sličnih pojava. Sličnost dvaju pojava podrazumijeva da se iz rezultata dobivenih na jednoj pojavi mogu odrediti rezultati na drugoj pojavi jednostavnim množenjem rezultata prve pojave s konstantnim koeficijentom (koeficijentom sličnosti). Posebno, ona je jedna i ista funkcija za modelsku i prototipnu pojavu. d) Bezdimenzijska veličina (npr. kut) već je sama po sebi  parametar i ne može biti uključena u skup dimenziono nezavisnih fizikalnih veličina.

Mehanika fluida

52


e) Postoji više mogućnosti izbora skupa dimenziono nezavisnih veličina, a u taj skup se ne stavljaju fizikalne veličine čiji se utjecaj želi promatrati izolirano (cilj je da se pojavljuje u samo jednom  parametru). f) Svaki  parametar se smije potencirati i množiti proizvoljnom konstantom. g) Ukoliko je neka od utjecajnih fizikalnih veličina ispuštena iz polaznog skupa, rezultati mjerenja neće ležati na krivulji nego će biti rasuti po čitavom dijagramu. Primjer: Treba istražiti zavisnost sile otpora R hidraulički glatke kugle promjera D potopljene u fluid (gustoće , koeficijenta dinamičke viskoznosti ) kroz koji se ta kugla giba stalnom brzinom v u horizontalnoj ravnini. Pretpostavlja se dakle da je sila otpora definirana nekom funkcijom G R, D, , , v 0 među n=5 fizikalnih veličina. Prvi korak je formiranje tablice s dimenzijama svih fizikalnih veličina u pojavi. Veličina D v R   -1 -3 -2 Dimenzija L LT ML MLT ML-1T-1 Iz tablice je vidljivo da se od osnovnih dimenzija pojavljuju M, L, T, dakle k=3, što omogućuje izbor skupa od tri dimenzionalno nezavisne fizikalne veličine, odnosno mogu se formirati dva  parametra. Drugi korak je izbor skupa dimenziono nezavisnih veličina, za što postoji više mogućnosti. Ako se traži zavisnost sile otpora R, ona se neće uključiti u taj skup, a obzirom da je ona posljedica viskoznosti čiji se utjecaj želi posebno analizirati, koeficijent dinamičke viskoznosti također neće ući u taj skup, te ostaje skup , v, D čija je dimenziona nezavisnost već dokazana u prethodnom primjeru (gdje je uzeto L umjesto D) U trećem koraku formiraju se bezdimenzijski  parametri, jedan od sile F, a drugi od koeficijenta dinamičke viskoznosti  u obliku Π

R

a b

v Dc

ili pomoću dimenzija M0L0T0

MLT-2 ML-3

a

LT-1

b

L

c

Nakon izjednačavanja eksponenata nad istim bazama na lijevoj i desnoj strani gornje jednadžbe slijedi sustav tri linearne algebarske jednadžbe M: L: T:

0 0 0

1 1 -2

a -3a

b -b

c

kojeg je rješenje a=-1, b=-2, c=-2, što uvršteno u definicijsku jednadžbu za parametar Π R a vb Dc daje R v2 D2

Π

Pozivajući se na pravo množenja  parametara proizvoljnom konstantom parametar 1 se može preurediti u oblik koeficijenta sile (koeficijenta otpora) CD

R 1 2

v2

D2 4

gdje je 1 2 v 2 dinamički tlak, a D2 4 površina presjeka kugle suprostavljenog strujanju fluida.

Mehanika fluida

53


Analogno se definira drugi  parametar u obliku Π

a b

v Dc

iz kojeg slijedi sustav tri linearne algebarske jednadžbe: M: L: T:

0 0 0

1 1 -1

a -3a

b -b

c

Rješenje kojega je a=-1, b=-1, c=-1, što uvršteno u definicijsku jednadžbu Π daje Π

a b

v Dc

vD

koji označuje recipročnu vrijednost Reynoldsova broja Re 

1 Π

vD

Prema tome, funkcija G među pet fizikalnih veličina, prevodi se u funkciju među dva  parametra oblika CD

 Re

ili R

1 2

v2

D2 4

vD



Jednom određena bezdimenzijska funkcija (Re) može poslužiti za određivanje sile otpora R pri gibanju kugle bilo kojeg promjera, bilo kojom brzinom u bilo kojem fluidu. Ako bi se raspolagalo samo jednim mjerenjem CD1=(Re1), ono bi još uvijek moglo poslužiti za određivanje sile R u velikom broju situacija kojima je zajednička vrijednost Reynoldsova broja Re1 iz koje slijedi jedna te ista vrijednost koeficijenta sile CD1, dakle padaju u istu točku prostora bezdimenzijskih varijabli. Općenito za pojave koje su opisane istim fizikalnim jednadžbama i koje su karakterizirane istom točkom u prostoru bezdimenzijskih varijabli kaže se da su fizikalno slične. Tako bi se npr. iz sljedećih podataka mjerenih u 3 vodi: 1,03 10 3 Pas, D 300 mm, v 0.142 m/s, R 0,3 N, mogao 999,8 kg/m , izračunati koeficijent otpora

Re

vD

Re 1 1D1

1 2

v

2

=0.421, pri Reynoldsovom broju

D2 4

4.135 104 . Iz tih se podataka može izračunati sila na kuglu promjera D1

mm, koja se giba u ulju gustoće v1

R

CD

3

1

820 kg/m , viskoznosti

80.7 m/s pri kojoj će sila otpora biti R1

1 2

2 2 D1 v 1 1

4

CD

1

50

0.08 Pas, brzinom 2207 N .

Bezdimenzijski  parametri u mehanici fluida se mogu svrstati u nezavisne parametre ili kriterije sličnosti koji potječu od nezavisnih veličina u pojavi, te zavisne parametre koji potječu od rezultata. Tako na primjer sila otpora u prethodnom primjeru zavisi od veličina s kojima se formira Reynoldsov broj kao nezavisni parametar, a sila otpora se prikazuje pomoću bezdimenzijskog koeficijenta sile, koji je zavisni parametar. Sljedeće tablice daju pregled najčešćih nezavisnih i zavisnih bezdimenzijskih parametara u nestlačivom strujanju fluida.

Mehanika fluida

54


7.5.

Nezavisni bezdimenzijski parametri (kriteriji sličnosti)

Naziv

Oznaka

Reynoldsov broj

Re, Rn

Froudeov broj

Fr , Fn

Strouhalov broj

Sh

Definicija vL vD 4 Q , , D

v v2 , gL gL L D , vt v p0

Eulerov broj

Eu

1

v2

2

7.6.

Neki zavisni bezdimenzijski parametri

Naziv

Oznaka

Koeficijent tlaka, trenja

Cp , Cf , C

Definicija p

p

1

v

,

2

2

CF , CD , CL

1

w

, v

1

2

2

F

Koeficijent sile (otpora, uzgona)

1

2

FD

,

1

2

v A

2

v2

2

v A

2

,

FL 1

v2 A

2

M

Koeficijent momenta

CM

1

v 2 AL

2

Faktor trenja za strujanje u cijevima

Δp f L v2 2 D

1

,

Δh f v2 L 2g D

Doprinos dimenzijske analize je u smanjenju broja varijabli kojima je opisana neka pojava, a ona ne može dati odgovor o funkciji koja povezuje bezdimenzijske parametre. U pojedinim slučajevima se razmišljanjem može doći do nekih zaključaka o nepoznatoj funkciji, koja povezuje bezdimenzijske parametre. Tako bi se u prethodnom primjeru moglo pretpostaviti, da su pri gibanju kugle malom brzinom v (točnije pri niskim vrijednostima Reynoldsova broja Re 1 ), inercijske sile zanemarive u odnosu na viskozne sile, pa u tom slučaju sila otpora neće zavisiti od gustoće  fluida (koja je predstavnik mase, odnosno inercijskih sila). Uzimajući u obzir da je sila otpora pri mirovanju kugle jednaka nuli, zaključuje se da zavisnost koeficijenta otpora o Reynoldsovu broju mora biti konst oblika CD , odnosno sila otpora je R konst vD . Ovo je potvrđeno Re eksperimentima i vrijedi ne samo za kuglu nego za optjecanje bilo kojeg tijela (vrijednost konstante ovisi o obliku tijela), a donja tablica daje neke primjere.

Mehanika fluida

55


Gornja slika prikazuje u logaritamskom mjerilu zavisnost koeficijenta otpora kugle u širem rasponu Reynoldsova broja. Uočava se područje Reynoldsova broja u kojem je koeficijent otpora približno konstantan, i područje u kojem dolazi do pada koeficijenta otpora zbog promjene slike strujanja (pomicanja točke odvajanja prema stražnjem dijelu kugle, što će se objasniti u MF II).

Mehanika fluida

56


Tijela drugačijeg oblika imaju slične funkcionalne zavisnosti koeficijenta otpora o Reynoldsovu broju. Slijedeća slika prikazuje dijagram koeficijenta otpora za različite profile (od ravne ploče do kružnog cilindra) i to pri višim vrijednostima Reynoldsova broja, koje se u praksi češće pojavljuju. U svim slučajevima se može uočiti područje konstantne vrijednosti koeficijenta otpora, a što je profil tanji to je područje pomaknuto prema višim vrijednostima Reynoldsova broja.

Sljedeće tablice daju vrijednosti koeficijenata otpora za različite oblike profila i tijela i to u području Reynoldsova broja gdje su one približno konstantne. Pri višim vrijednostima Reynoldsova broja strujanje prelazi iz režima laminarnog strujanja u režim turbulentnog strujanja. U režimu laminarnog strujanja čestice se gibaju pravilno u slojevima, a putanje čestica su glatke krivulje. Turbulentno strujanje je izrazito nestacionarno strujanje u kojem se čestice fluida gibaju po vrlo nepravilnim putanjama i intenzivno se miješaju, a brzina, tlak i ostale veličine pokazuju slučajne pulzacije. U turbulentnom strujanju sila otpora je funkcija i hrapavosti površine pri čemu s povećanjem hrapavosti u pravilu sila otpora raste. Povećanjem hrapavosti se smanjuje i vrijednost Reynoldsova broja pri kojoj laminarno strujanje prelazi u turbulentno.

Mehanika fluida

57


Mehanika fluida

58


Mehanika fluida

59


Pri opstrujavanju nesimetričnih tijela, ili pri opstrujavanju simetričnih tijela kod kojih se pravac vektora brzine ne poklapa s osi simetrije pojavljuje se i sila u okomitom smjeru na smjer brzine, koja se naziva silom uzgona (za razliku od sile otpora čiji se pravac djelovanja poklapa s pravcem brzine). Avioni lete upravo zahvaljujući sili uzgona. Sila uzgona povećava se povećanjem kuta između vektora brzine i skeletne linije krila (napadni kut ), a sljedeće slike prikazuju zavisnost sile uzgona i sile otpora o napadnom kutu. Pri određenoj vrijednosti kuta koeficijent uzgona doživljava maksimum, nakon čega s povećanjem napadnog kuta sila uzgona naglo opada jer se na gornjoj strani profila pojavljuje odvajanje strujanja.

Oba se dijagrama mogu prikazati na jednoj slici s kutom kao parametrom, kao što prikazuje sljedeća slika za područje kuta do 8°. Optimalna točka je ona u kojoj je odnos sile uzgona spram sile otpora maksimalan (crtkani pravac s najvećim nagibom koji tangira krivulju).

Mehanika fluida

60

8. Primjena osnovnih zakona dinamike fluida na strujanje u hidrauličkim strojevima

8. PRIMJENA OSNOVNIH ZAKONA DINAMIKE FLUIDA NA STRUJANJE U HIDRAULIČKIM STROJEVIMA 8.1.

Osnovni zakoni u koordinatnom sustavu koji se giba pravocrtno brzinom u

Koordinatni sustav koji se giba konstantnom brzinom u (konstantnom po veličini i smjeru) je inercijski koordinatni sustav. Promatrač iz apsolutno mirujućeg koordinatnog sustava mjeri apsolutnu brzinu v , a promatrač koji se giba zajedno s koordinatnim sustavom mjeri relativnu brzinu w , pri čemu vrijedi v  u  w . Svi zakoni mehanike fluida u koordinatnom sustavu koji se giba konstantnom brzinom su istog oblika kao i za apsolutno mirujući koordinatni sustav uz uvjet da se umjesto apsolutne brzine uzme relativna brzina. Primjer: sila mlaza na pomičnu lopaticu Lopatica se giba konstantnom brzinom u, a fluid u mlazu površine A z=konst. pa poprečnog presjeka struji brzinom v.  v Za promatrača iz koordinatnog  x sustava Oxy koji se giba zajedno s O nepomična A lopaticom, fluid nailazi na lopaticu u mlaznica pomična lopatica relativnom brzinom w v u (sve su brzine horizontalne pa vrijedi algebarski zbroj). w1 Slika lijevo prikazuje kontrolni y A1 volumen koji obuhvaća fluid koji je u Sa pa dodiru s lopaticom, s ucrtanim  w x relativnim brzinama. Kontrolna A Sw površina se sastoji od ulaznog dijela V A, izlaznog A1, ruba mlaza Sa, te površine Sw na kojoj se ostvaruje sila dodira mlaza i lopatice. Bernoullijeva jednadžba od ulaznog do izlaznog presjeka uz pretpostavku da je lopatica u horizontalnoj ravnini glasi y

pa g

w2 2g

z

pa g

w12 2g

z

iz koje je jasno da vrijedi w1

w

Jednadžba kontinuiteta glasi Qrel wA w1 A1 iz koje je jasno da je A1 A . Treba naglasiti da je Qrel relativni protok kojim fluid struji preko lopatice i da je taj manji od apsolutnog protoka Q vA kojim fluid izlazi iz mlaznice, jer se razmak između mlaznice i lopatice stalno povećava, te se dio apsolutnog protoka troši na popunjavanje mlaza u prostoru između mlaznice i lopatice.

Mehanika fluida

61


Sila fluida na lopaticu definirana je jednadžbom količine gibanja. Veličine impulsnih funkcija na A ulaznom i izlaznom presjeku su Sa pa  jednake, tj vrijedi I x V dok je na I w2 A Qrel w , A površini Sa impulsna funkcija Sw jednaka nuli. Sila fluida na lopaticu je jednaka vektorskom zbroju impulsnih funkcija. Komponenta sile u smjeru osi x definirana je izrazom: I

Fx

I

w2 A 1 cos

I cos

wQrel 1 cos

Kad bi to bila jedina sila na lopaticu u smjeru osi x, lopatica bi se po II. Newtonovom zakonu ubrzavala, što je protivno pretpostavci da se lopatica giba konstantnom brzinom u. Dakle zaključuje se da za održavanje konstantne brzine na lopaticu mora izvana djelovati sila Fx koja će ju kočiti (uravnotežiti silu fluida na lopaticu). Tim kočenjem se dobiva rad (lopatica djeluje poput turbine), a snaga tog kočenja je definirana izrazom PT

Fx

u

uwQrel 1

cos

Jasno je da će snaga biti maksimalna za

180

i jednaka nuli za

0

(fluid je neviskozan pa nema sile u x smjeru, tj. snaga je jednaka nuli)

180

0

Pad visine energije definiran je izrazom hT

PT gQrel

uw 1 cos g

Do istog se rezultata moglo doći promatranjem problema iz apsolutnog koordinatnog sustava. Slika prikazuje kontrolni volumen koji miruje, te trokut brzina na izlazu kojim se definira apsolutna brzina v1 . w

v1=u+w  u

v

PT

Budući da se kroz kontrolnu površinu izmjenjuje snaga s okolinom (odvodi se snaga PT ), snaga na izlazu će biti manja od snage na ulazu za odvedenu snagu, tj. prema Bernoullijevoj jednadžbi (uzimajući u obzir da su tlak i visina konstantni) vrijedi v12 2g

v2 2g

hT ,

a budući da vrijedi v12

v1 v1

w w

u Bernoullijevu jednadžbu daje hT

2w u u u uw 1 cos g

w2

2wu cos

u2 i v

u

w , što uvršteno

.

Mehanika fluida

62


Bernoullijeva jednadžba za rotirajuću strujnu cijev

8.2.

2

A

w  wn

dV=Ads 1 2 A  rer A

ω Sw

r

ds  ses

Pretpostavke: 1. Fluid je nestlačiv   const. 2. Fluid je neviskozan   0 ,    pn 3. u  const. 4. q  0  5. Strujanje je stacionarno 0 t

w  wn

D  edV Dt VM

 D w2     u  dV    f  wdV     wdS  Dt VM  2  VM SM

Brzina promjene energije VM



 q  ndS

SM


  D D w2 2    wdV     wdS   q  ndS  u d V   d V    gk   re  2   w r    Dt VM Dt VM 2 Koriolis VM SM SM  gravitacija centrifugaln a  0


0

Integracijom jednadžbe očuvanja energije, po kontrolnom volumenu prema slici, dobije se d 1 1  w2 dV    w2  w  n  dS    gk  wdV    2 rer  wdV     pn   wdS  dt KV 2 2 KP KV KV KP 2

Q

w

 s ds 0

1 Q 2



2 2 w2  w1



  Qg  z2  z1 

1 Q 2



2 2 2 2 2 r2 1 r1



 Q  p2  p1 

1

gdje su v1 i v2 prosječne brzine na presjecima A1 i A2 , a Q protok kroz cijev. Primjenom zakona očuvanja energije za jednodimenzijsko strujanje u rotirajućoj cjevčici izbodi se Bernoullijeva jednadžba za rotirajuću strujnu cijev   w2   2 r 2     w2   2 r 2    p   gz  Q      p   gz  Q    2 2   2   1  snaga na izlazu iz cijevi

snaga na ulazu u cijev

Obodna brzina u definirana je izrazom u  r . w22 u22 p2 w12 u12 p1 z2 z1 2g g 2g g

8.3.

Eulerova jednadžba za turbostrojeve

Promatrač iz koordinatnog sustava koji rotira zajedno s rotorom mjeri relativnu brzinu w koja je tangencijalna na lopatice. Obodna brzina u r je na ulazu u rotor po veličini R1 , a na izlazu u2 R2 i okomita je na radijus. Apsolutna brzina v je jednaka u1 zbroj obodne i relativne brzine v u w , što se prikazuje trokutom brzina. Kut je kut lopatice, a označuje kut između vektora relativne brzine w (tangenta na lopaticu) i

Mehanika fluida

63


negativne obodne brzine u . Sljedeće slika prikazuje primjer trokuta brzina, na kojem je označen i kut definiran kao kut između obodne i apsolutne brzine.

v

Jasno je da vrijede relacije: v2 u 2 w2 2uw cos v u w cos vn w sin

w vn

v

u

Apsolutna brzina se može rastaviti u radijalni i obodni smjer, gdje je radijalna komponenta okomita na ulazni i izlazni presjek, pa se označuje s vn , a obodna s v . Ako se jedinični vektori u radijalnom i obodnom smjeru označe s er i e (neka uvijek gleda u smjeru obodne brzine) tada vrijedi v vn er v e . Bernoullijeva jednadžba duž strujnice od ulaza do izlaza iz pumpe kaže da će se energija na izlazu povećati za visinu dobave pumpe, tj. vrijedi v22 p2 v12 p1 z2 z1 hP 2g g 2g g Ako se u Bernoullijevoj jednadžbi apsolutne brzine prikažu preko obodne i relativne brzine ( v2 u 2 w2 2uw cos ), te od nje oduzme Bernoullijeva jednadžba za rotirajuću strujnu cijev w22 u22 p2 w12 u12 p1 z2 z1 2g g 2g g Izvodi se Eulerova jednadžba za turbostrojeve 1 1 hP u2 u2 w2 cos 2 u1 u1 w1 cos 1 u2v 2 u1v 1 g g

Mehanika fluida

64


8.4.

Primjena na rotirajuću cjevčicu

Osnovna Eulerova jednadžba za turbostrojeve i Bernoullijeva jednadžba za rotirajuću strujnicu se mogu primijeniti i na strujanje u rotirajućoj cjevčici. Naravno i dalje vrijede pretpostavke o neviskoznom nestlačivom strujanju, uz dodatnu pretpostavku da je promjer cjevčice mali u odnosu na njenu duljinu. Svinuta cjevčica može raditi poput primitivne pumpe, koja podiže fluid na visinu H (slika lijevo) ili poput turbine, koja pretvara raspoloživu visinu H u mehanički rad (slika desno). Ako se cjevčici snaga niti dovodi niti odvodi govori se o slobodnorotirajućoj cijevi (ako se zanemare učinci trenja to bi bio slučaj poljevača trave). Jasno je da za slučaj pumpe cjevčica prije početka rotacije mora biti ispunjena fluidom, inače se strujanje ne bi uspostavilo.

Mehanika fluida

65


pa

=konst. pa

g

1

2



D

H

=konst.

H

g

pa

D

2



1

pa 

u

u

v

 R

vq

w R

Primitivna pumpa Bernoullijeva jednadžba strujnicu:



=90o

za

Primitivna turbina rotirajuću Bernoullijeva jednadžba strujnicu:

u2

0

H

w2

R

v

za

w

rotirajuću

u2 2

w2

R

2

H 2g 2g R Iz trokuta brzina je: v u Iz trokuta brzina je: v u w cos (brzina v je uvijek pozitivna tj. gleda u (ako je brzina v pozitivna radi se o pumpi, smjeru brzine u pa će moment i snaga biti ako je negativna radi se o turbini, a ako je jednaka nuli o slobodnorotirajućoj cijevi) pozitivni, odnosno radi se o pumpi). 2 D konst. Jednadžba kontinuiteta: Q w 4 uv Visina dobave pumpe: hP (kod turbine će se dobiti negativna visina dobave) g gQhP (za turbinu negativno) Snaga koja se predaje fluidu: PP P Moment sile kojom cjevčica djeluje na fluid: M P

Mehanika fluida

66


8.5.

8.5.1.

Primjena na hidrauličke strojeve

Primitivna teorija propelera

Ova se teorija temelji na idealiziranoj slici strujanja uz pretpostavku neviskoznog strujanja fluida i definira samo okvirne odnose među integralnim veličinama karakterističnim za propeler, pa se ovom teorijom propeleri ne mogu projektirati. Analizirat će se slučaj avionskog propelera koji se giba konstantnom brzinom v u mirujućem zraku. Iz koordinatnog sustava vezanog na propeler izgledat će kao da fluid nailazi na propeler brzinom v . Sljedeća slika shematski prikazuje propeler i odabrani kontrolni volumen.

Mehanika fluida

67


Površina A1 kroz koju fluid ulazi u kontrolni volumen je dovoljno daleko ispred propelera, tako da je profil brzine jednolik, a u tom presjeku vlada neporemećeni tlak p . Neposredno ispred i neposredno iza propelera (presjeci A2 i A3 ) površine su jednake A2 A3 AP , a prema jednadžbi kontinuiteta i brzine su jednake v2 v3 vP , a zbog snage koju propeler predaje fluidu tlak p3 iza propelera će biti veći od tlaka p2 ispred propelera. Dovoljno daleko iza propelera tlak će se smanjiti na vrijednost neporemećenog tlaka p , a brzina će narasti na vrijednost v4 v Δv . U izlaznom presjeku A4 pretpostavlja se jednoliki profil brzine. Preostali dio kontrolne površine čini strujna površina kroz koju nema protoka i na kojoj se pretpostavlja neporemećeni tlak p . Prema jednadžbi kontinuiteta protok Q kroz propeler je

Q

v A1

vP AP

v4 A4

v

Δv A4

Komponenta sile fluida na propeler u pravcu gibanja propelera je F

p3

p2 AP i

djeluje suprotno od vektora brzine v . Prema jednadžbi količine gibanja, ta je sila jednaka zbroju impulsnih funkcija na ulaznoj i izlaznoj površini, gdje se impulsne funkcije računaju s pretlakom u odnosu na tlak p , te vrijedi: I 4 v42 A4 Qv4 i

I1 v2 A1 Qv , dok je impulsna funkcija po plaštu kontrolnog volumena jednaka nuli (vidjeti sliku gore desno). Sila F je dakle po veličini jednaka F p3 p2 AP Q v4 v Bernoullijeve jednadžbe između presjeka 1 i 2, odnosno presjeka 3 i 4 glase 1 2 1 2 1 2 1 2 p v p2 vP i p3 vP p v4 2 2 2 2 čijom kombinacijom se dobije 1 p3 p2 v42 v 2 , što uvršteno u izraz za silu F daje relaciju 2 v v4 Δv vP v 2 2 Snaga P koju propeler predaje fluidu je definirana Bernoullijevom jednadžbom između presjeka 1 i 4 između kojih je propeler, te vrijedi v42 v2 P 2g 2g gQ 1 odakle je P Q v42 v 2 QvPΔv . 2 Korisna snaga propelera je ona snaga koja se troši na potisak aviona, a definirana je izrazom Pk Fv Q v4 v v Qv Δv , a faktor korisnosti propelera Q v4 v v Pk v 2v 1 1 P vP 2v Δv 1 Δv Q v42 v 2 2 2v

Mehanika fluida

68

8. Primjena osnovnih zakona dinamike fluida na strujanje u hidrauličkim strojevima 3 Primjer: Avion leti brzinom v 320 km/h kroz mirujući zrak gustoće 1,22 kg/m , pri čemu kroz njegova dva propelera promjera D 800 mm protječe Q 100 m3/s zraka. Odredite teorijski faktor korisnosti propelera, potisnu silu, skok tlaka kroz propeler i snagu potrebnu za pogon propelera.

Rješenje: Brzina aviona je v

88.9 m/s, a brzina zraka kroz propeler kroz koji je protok

Q/2 4 vP

Q 2

D2

99,5 m/s

Teorijski faktor korisnosti propelera je

v vP

0.894 ,

a brzina v4 iza propelera je v4 2vP v 110.1 m/s. Potisna sila od oba propelera je F Q v4 v 2,58 kN, F

A skok tlaka kroz propeler p3

p2

2 D2 4

Snaga koju propeler predaje fluidu je P

8.5.2.

2.57 kPa.

1 Q v42 2

v2

256.8 kW.

Primjena na centrifugalni stroj

Mehanika fluida

69


z g Q

kućište

b1

lopatica

b2

rotor u2 v2 n2 v1

w1 1

w2

u1

2

n1

=konst.

R

1

R2

lopatica

Pretpostavke: 1. Rotor se okreće konstantnom kutnom brzinom . 2. Strujanje između lopatica je u radijalnom smjeru (visina lopatice na ulazu je b1 , a na izlazu iz rotora b2 ). 3. Kontrolni volumen obuhvaća prostor između lopatica. Kontrolna površina se sastoji od ulaznog dijela veličine S1 2R1 b1 , izlaznog dijela veličine S2 2R2 b2 te plašta, kroz kojeg nema protoka. 4. Na rotoru se pretpostavlja beskonačno puno beskonačno tankih lopatica, što znači da će se oblik strujnica gledano iz koordinatnog sustava koji rotira zajedno s rotorom poklapati s oblikom lopatica, a da će strujanje fluida biti punim presjekom. 5. Strujanje je neviskozno i nestlačivo 6. Utjecaj sile težine se zanemaruje

Promatrač iz koordinatnog sustava koji rotira zajedno s rotorom mjeri relativnu brzinu w koja je tangencijalna na lopatice. Obodna brzina u r je na ulazu u rotor po veličini jednaka u1 R1 , a na izlazu u2 R2 i okomita je na radijus. Apsolutna brzina v je zbroj obodne i relativne brzine v u w , što se prikazuje trokutom brzina. Kut je kut lopatice, a označuje kut između vektora relativne brzine w (tangenta na lopaticu) i negativne obodne brzine u . Sljedeće slika prikazuje primjer trokuta brzina, na kojem je označen i kut definiran kao kut između obodne i apsolutne brzine.

v

w

Jasno je da vrijede relacije: v2 u 2 w2 2uw cos

vn

v vn v

u w cos w sin

u

Apsolutna brzina se može rastaviti u radijalni i obodni smjer, gdje je radijalna komponenta okomita na ulazni i izlazni presjek, pa se označuje s vn , a obodna s v . Ako se jedinični vektori u radijalnom i obodnom smjeru označe s er i e (neka uvijek gleda u smjeru obodne brzine) tada vrijedi v vn er v e . Jednadžba kontinuiteta za kontrolni volumen kaže da je protok kroz ulaznu i izlaznu površinu jednak Q 2R1 b1vn1 2R2 b2vn2

Mehanika fluida

70


Primjenom zakona momenta količine gibanja za komponentu momenta sile fluida u odnosu na os rotacije (kojoj ne doprinose sile tlaka, a viskozne sile su zanemarene) slijedi izraz za moment kojim fluid djeluje na rotor, što je po definiciji moment turbine M T

MT Q R2v2 R1v1 Moment pumpe je dakako suprotnog predznaka, pa vrijedi MP Q R2v2 R1v1 Uobičajeno je uvijek raditi s izrazima za pumpu, a ako se dobije negativan rezultat, to ukazuje da se radi o turbini. Snaga pumpe je definirana izrazom PP M P Q u2v2 u1v1 Visina dobave pumpe je PP 1 1 hP u2v 2 u1v 1 u2 u2 w2 cos 2 u1 u1 w1 cos 1 gQ g g što se naziva osnovnom Eulerovom jednadžbom za turbostrojeve. Iz te je jednadžbe jasno da će visina dobave pumpe biti maksimalna pri v 1 0 (što znači da je apsolutna brzina na ulazu u lopatice okomita na obodnu brzinu), a pad visine energije u turbini pri v 2 0 . Bernoullijeva jednadžba duž strujnice od ulaza do izlaza iz pumpe kaže da će se energija na izlazu povećati za visinu dobave pumpe, tj. vrijedi v22 p2 v12 p1 z2 z1 hP 2g g 2g g Ako se u Bernoullijevoj jednadžbi apsolutne brzine prikažu preko obodne i relativne brzine ( v2 u 2 w2 2uw cos ), te uvrsti izraz za visinu dobave pumpe, slijedi Bernoullijeva jednadžba za rotirajuću strujnicu w22 u22 p2 w12 u12 p1 z2 z1 2g g 2g g

Mehanika fluida

71


Primjena na Pelton turbinu

R

8.5.3.

w

u=R

v A

w

 u

w=v-u w

Kada se usporedi slučaj lopatice Pelton turbine, koja se giba obodnom brzinom u R s pomičnom lopaticom u prethodnom primjeru, jasno je da će trokut brzina na izlazu mlaza s lopatice biti isti, pa će i izraz za pad visine energije biti isti. Međutim bitna je razlika u tome što je razmak između mirujuće mlaznice i pokretnih lopatica stalno jedan te isti, pa se apsolutni protok ne gubi na popunjavanje prostora između mlaza i lopatica, nego sav protok fluida prijeđe preko lopatica (pri čemu mlaz može biti u zahvatu s više lopatica), gQhT Quw 1 cos . Uzimajući u obzir da na tako da je snaga turbine jednaka PT Pelton turbinu može djelovati više mlazova (npr. n mlazova), te da je w teorijski izraz za snagu Pelton turbine je

PT

v u

v

R,

n u vA v u 1 cos Q

w

Maksimalna snaga PT max turbine je pri

180 i pri obodnoj brzini u

v , pri čemu je 2

1 3 v A , što odgovara raspoloživoj snazi mlaza, tako da je teorijski faktor 2 korisnosti jednak jedinici. U tom bi slučaju apsolutna brzina mlaza na izlasku s lopatice bila jednaka nuli, dakle sva snaga mlaza bi bila pretvorena u snagu turbine. PT max

Mehanika fluida

72


8.5.4.

Primjena na aksijalni tubostroj

Nestlačivi fluid struji pri stalnom tlaku protokom Q kroz lopatice radnog kola turbine prema slici, koja rotira stalnom kutnom brzinom . Uz pretpostavku neviskoznog strujanja i beskonačno mnogo beskonačno tankih lopatica, treba odrediti snagu P turbine. Također pretpostaviti da je visina lopatice puno manja od polumjera radnog kola, tako da se vijenac lopatica smije razmotati u ravninu i strujanje kroz lopatice smatrati ravninskim.

u 2

1

Q

r

R

=konst 1

2

razmotani vijenac lopatica

Mehanika fluida

73


Rješenje: Kao što je u zadatku pretpostavljeno visina lopatice R-r je puno manja od srednjeg polumjera R r 2 , te se s dovoljnom točnošću strujanje može smatrati ravninskim. Razmotani vijenac lopatica se tada giba prosječnom translatornom brzinom u koja je definirana izrazom

u

R

r

(a)

2

Zbog stalne brzine vrtnje i brzina u je stalna brzina, a koordinatni sustav vezan čvrsto za vijenac lopatica je inercijski. Pretpostavka beskonačnog broja beskonačno tankih lopatica osigurava da sve strujnice u strujanju kroz prostor između lopatica imaju oblik lopatice, tj. relativna brzina strujanja fluida kroz lopaticu je tangencijalna na lopaticu. Apsolutna brzina v je zbroj obodne brzine u i relativne brzine w , v u w . Zbroj v u w geometrijski se predočuje trokutom brzina.

w2

u 1

2 w1

u

. v2

v1

u

Slika (a)

Slika (a) prikazuje trokut brzina na ulazu u vijenac lopatica (gdje relativna brzina w1 gleda u kontrolni volumen) i na izlazu iz vijenca (gdje relativna brzina w2 gleda od kontrolnog volumena koji obuhvaća unutarnjost vijenca lopatica). Relativna brzina w1 čini s obodnim smjerom kut 1, a na izlazu brzina w2 čini kut 2. Obodna brzina u je jednaka na ulaznom i izlaznom presjeku kontrolnog volumena. Osnovni zakoni u pomičnom koordinatnom sustavu čvrsto vezanom za vijenac lopatica koji se giba stalnom brzinom u imaju isti oblik kao i u nepomičnom koordinatnom sustavu s jedinom razlikom da se umjesto apsolutne brzine koristi relativna brzina.

Zanemarujući promjenu geodetske visine od ulaza do izlaza iz vijenca lopatica, te uz pretpostavku strujanja pri stalnom tlaku, iz Bernoullijeve jednadžbe 2 2 p1 w p w  z1  1  2  z2  2 slijedi jednakost veličina relativnih brzina w1 w2 w . g 2g  g 2g Prema jednadžbi kontinuiteta je protok Q kroz izlaznu površinu jednak protoku Q kroz ulaznu površinu, tj. Q A1w1 sin 1 A2 w2 sin 2 . Očito da za w1 w2 i uz zadane 1 2 slijedi A1

1

A2 , odnosno jednakost ulazne i izlazne površine.

u

2

Slika (b) prikazuje kontrolni volumen s ucrtanim impulsnim Qw1 i I 2 Qw2 . U impulsnim funkcijama se ne funkcijama I1 pojavljuje tlak p jer je pretpostavljeno strujanje pri konstantnom tlaku, te se sile tlaka međusobno poništavaju. Množenjem w u impulsnoj funkciji s ukupnim protokom Q impulsna funkcija je obračunata po čitavoj površini. Aksijalna sila koja djeluje od ulazne prema izlaznoj površini je

Mehanika fluida

74


Slika (b)

Fa

I1 sin

I 2 sin

1

Qw sin

2

1

sin

2

(b)

Očito će zbog 1=2 aksijalna sila biti jednaka nuli. Sila F u obodnom smjeru u kojem se giba vijenac lopatica je

F

I1 cos

I 2 cos

1

Qw cos

2

1

cos

(c)

2

Snaga P turbine je jednaka

P

F u

Qwu cos

cos

1

(d)

2

Visina pada energije u turbini je

hT

P gQ

wu g

cos

cos

1

(e)

2

Do istog se rezultata za snagu P turbine može doći i primjenom Bernoullijeve jednadžbe iz nepomičnog koordinatnog sustava. Ako se zanemari promjena geodetske visine i uzme u obzir da je strujanje pri konstantnom tlaku iz Bernoullijeve jednadžbe slijedi da je pad visine energije hT kroz vijenac lopatica jednak razlici kinetičkih energija na ulazu i izlazu iz vijenca, tj.

hT

v12 2g

v22 2g

(f)

Gledajući sliku (a) kvadrati apsolutnih brzina se mogu izraziti s pomoću obodne brzine u i relativne brzine w u obliku

v12

w sin

2

w cos

1

1

2

u

2

(g)

2

v22 w sin 2 w cos 2 u Uvrštavanjem jednadžbe (g) u (f) slijedi

hT

wu cos g

1

cos

(h)

2

što odgovara izrazu (e). Iz jednadžbe (f) je očito da će pad visine energije u turbini biti maksimalan ako je apsolutna brzina v2 na izlazu minimalna. Iz slike (a) je vidljivo da će za zadani kut 2 i relativnu brzinu w2, brzina v2 biti minimalna, ako je okomita na brzinu u. Konačno, zadatak se mogao riješiti i primjenom jednadžbe momenta količine gibanja, po kojoj je moment M fluida na vijenac lopatica jednak zbroju momenata količine gibanja na ulaznoj i izlaznoj površini. Uz pretpostavku da je polumjer r kola velik u odnosu na visinu lopatica R-r, moment količine gibanja na ulaznoj i izlaznoj površini se može izračunati kao moment impulsne funkcije. Komponenta impulsne funkcije u obodnom smjeru je I cos , prema slici (b), a srednji krak do osi vrtnje je

Mehanika fluida

R

r 2 . Moment sile težine se

75


zanemaruje, a s obzirom da je tlak na ulaznoj i izlaznoj površini jednak, jednadžba za moment M sile fluida na lopaticu glasi

M

R

r 2

I1 cos

R 1

r 2

I 2 cos

R 2

r

Qw cos

2

1

cos

(i)

2

Snaga P je

P

M

R

r 2

Qw cos

1

cos

2

Qwu cos

1

cos

2

(j)

što je jednako izrazu (d).

Mehanika fluida

76

9. Hidraulički proračun cjevovoda

9. HIDRAULIČKI PRORAČUN CJEVOVODA

9.1.

Osnovne jednadžbe

Hidraulički proračun cjevovoda se temelji na jednadžbi kontinuiteta Q vA konst. i modificiranoj Bernoullijevoj jednadžbi, koja za strujanje od presjeka 1 prema presjeku 2 cijevi glasi p1 v2 p v2  1 1  z1  hP  hT  2   2 2  z2  hF g 2g g 2g gdje je hP visina dobave pumpe, hT pad visine energije u turbini, a hF ukupna visina gubitaka između promatranih presjeka. Visina hF gubitaka mehaničke energije (pretvorbe mehaničke energije u unutarnju) se dijeli na linijske gubitke hf i lokalne gubitke hfm, tj. vrijedi hF  hf  hfm .

9.2.

Modeliranje linijskih gubitaka

Linijski gubici hf se modeliraju s pomoću izraza Darcy-Weissbacha koji glasi  pf L v2 8LQ 2 hf    2 5 g D 2g  Dg

Mehanika fluida

77


gdje je  faktor trenja koji je određen eksperimentalno, a u općem je slučaju funkcija Reynoldsova broja vD 4Q  vD 4 Q ili Re   Re     D   D i relativne visine k/D hrapavosti stijenke cijevi. U gornjim izrazima: L je duljina cjevovoda; D je promjer cjevovoda; v je srednja brzina strujanja fluida; Q je protok;  je dinamička viskoznost fluida, a   /  kinematička viskoznost. Za strujanje u okruglim cijevima se uzima da je ono laminarno do Re=2300, a pri višim Reynodsovim brojevima se uzima da je turbulentno, iako je u području Reynoldsova broja od 2300 do približno 4000 faktor trenja vrlo nepredvidiv, te je pouzdanost proračuna slaba. Za laminarno strujanje postoji analitičko rješenje za faktor trenja 64 , za Re<2300  Re iz kojeg je jasno da faktor trenja u laminarnom strujanju ne zavisi od hrapavosti stijenke cijevi. U području turbulentnog strujanja najtočnijom se smatra formula Colebrooka koja glasi 1 k 2,5119    0,86859  ln  0 , 2698  D Re     Iz koje bi se faktor trenja odredio iterativnim postupkom, što je nepraktično, te se preporuča koristiti eksplicitnu formulu Swamee-Jain, koja je dovoljno točna, a primjenjiva praktički za čitavo područje Moodyjeva dijagrama uz Re>5000, a koja glasi 1,325  2   k 5,74   ln  3,7 D  Re0 ,9      Ovaj izraz vrijedi i za hidraulički glatke cijevi (k/D=0) i za područje potpuno izražene turbulencije ( Re   ). Zavisnost faktora trenja  od Reynoldsova broja Re i relativne visine k/D hrapavosti stijenke cijevi je prikazana grafički Moodyevim dijagramom, prema sljedećoj slici. Uz dijagram su dane neke tipične visine hrapavosti stijenke.

Mehanika fluida

78


Moodyjev dijagram

Mehanika fluida

79


Treba imati na umu da prikazani model linijskih gubitaka vrijedi za strujanje ustaljenim (izobraženim) profilom brzine, gdje je pad tlaka uslijed trenja linearno razmjeran duljini cjevovoda. U određenim dionicama cjevovoda, npr. ulazni dio cjevovoda priključen na veliki spremnik, strujanje iza koljena, ventila, naglog proširenja i slično, strujanje neće biti ustaljenim profilom. U realnim cjevovodima je duljina dionica u kojima je strujanje ustaljenim profilom brzine obično puno veća od duljine dionica s neustaljenim profilom te se prikazani model s dovoljnom točnošću može primijeniti na čitavu duljinu cjevovoda. 9.3.

Modeliranje lokalnih gubitaka

Lokalni gubici strujanja nastaju pri strujanju kroz koljena, ventile, zasune, filtre, nagla proširenja i slično. Gledajući lokalno u svim nabrojanim situacijama, strujanje je trodimenzijsko, ali se pretpostavlja da su dimenzije prostora u kojem se to strujanje događa zanemarivo male u odnosu na ukupnu duljinu cjevovoda pa se takav prostor može smatrati točkom cjevovodnog sustava, a nastali gubitak lokalnim ili mjesnim. Jasno je da je gubitak mehaničke energije vezan uz strujanje pa će i visina lokalnih gubitaka biti razmjerna visini kinetičke energije u obliku v2 8Q 2 hfm  K K 2 4 2g  Dg gdje je K koeficijent lokalnog gubitka. Usporedbom Darcy-Weissbachove formule s gornjim izrazom može se reći da se i linijski gubici mogu izraziti koeficijentom gubitka K   L D . U općem je slučaju koeficijent K funkcija Reynoldsova broja i relativne visine hrapavosti stijenke. Kao što i faktor trenja  pri visokim vrijednostima Reynoldsova broja postaje konstantnim tako se i koeficijent lokalnog gubitka može smatrati konstantnim pri visokim vrijednostima Reynoldsova broja. Za slučaj da ulazna i izlazna brzina nisu jednake uz koeficijent lokalnog gubitka mora točno stajati na koju visinu kinetičke energije se on odnosi, iako se najčešće koristi najveća visina kinetičke energije. Tako je na sljedećoj slici definiran koeficijent lokalnog gubitka naglog proširenja (koji se može dobiti teorijskim razmatranjima), a s obzirom da ulazna i izlazna brzina nisu jednake definiran je i izraz za visinu lokalnih gubitaka da se zna uz koju visinu kinetičke energije se gubici računaju.

v1

D1

D2 v2

 D2  K  1  12   D2  v2 hfm  K  1 2g

2

Posebni slučaj naglog proširenja je utjecanje u veliki spremnik gdje se može uzeti da je D2  D1 te vrijedi da je K=1, kao što je i prije prikazano. Sljedeća tablica daje pregled nekih tipičnih lokalnih gubitaka. Lokalni gubitak Koeficijent lokalnog gubitka K Ulaz iz spremnika u cijev: oštri rubovi 0,50 lijepo zaobljeni rubovi 0,04 Koljeno 90° - veliki radijus luka 0,20 - mali radijus luka 0,70 Kuglasti ventil: potpuno otvoren 0,05 1/3 zatvoren 5,50 Ventil s pladnjem – potpuno otvoren 10,00

Mehanika fluida

80


Veza među faktorom brzine i koeficijentom lokalnog gubitka

9.3.1.

Pri analizi istjecanja kroz otvore uveden je pojam faktora brzine Cv kojim se uzima u obzir gubitak mehaničke energije uslijed trenja. Isti se ti gubici mogu obuhvatiti koeficijentom lokalnog gubitka K. Gledajući sliku može se pisati izraz za brzinu istjecanja pa 0 v  Cv 2 gh , a modificirana Bernoullijeva jednadžba od točke 0 to točke 1 uz postojanje lokalnih gubitaka glasi v2 v2 h K h 2g 2g Usporedbom tih izraza slijedi veza između koeficijenta brzine pa 1 Cv i koeficijenta lokalnog gubitka K, oblika K  2  1 Cv 1 Očito je da za Cv=1 (strujanje bez gubitaka), slijedi K=0.

9.3.2.

Ekvivalentna duljina cjevovoda

Kod strujanja kroz cijev konstantnog promjera lokalni gubici se mogu zamijeniti ekvivalentnom duljinom cjevovoda. Sljedeća slika prikazuje energetsku liniju za strujanje kroz cijev konstantnog promjera s ugrađenim ventilom, koja ima skokoviti pad visine energije na mjestu lokalnog gubitka.

E.L.

E.L.

L

L

Le Lue

Na desnoj slici je lokalni gubitak ventila zamijenjen ekvivalentnom duljinom Le cjevovoda, tj. cijev je fiktivno produljena da bi pad tlaka u oba slučaja bio isti. Jasno ja da vrijedi

K

K v2 L v2  e iz čega je Le  D 2g D 2g 

Mehanika fluida

81


Hidraulički proračun cjevovoda nekružnog poprečnog presjeka

9.4.

Opisani postupak za hidraulički proračun cjevovoda kružnog poprečnog presjeka se može primijeniti i za proračun cjevovoda nekružnog poprečnog presjeka. Proračun se temelji na ekvivalentnom promjeru De, a vrijedi za slučaj turbulentnog strujanja fluida. Ekvivalentni promjer je definiran kao S De  4 RH  4 T O gdje je ST ploština poprečnog presjeka toka, a O oplakani opseg (duljina linije dodira fluida i stijenke cijevi). Odnos ST O  RH se naziva hidrauličkim radijusom. Na sljedećoj slici su definirani ekvivalentni promjeri za neke tipične situacije strujanja fluida. Slučaj strujanja Ekvivalentni promjer Strujanje punim pravokutnim presjekom b

De 

2ab ab

De 

4ac a  2c

a

Strujanje u otvorenom pravokutnom kanalu c a

1

D

Strujanje između dvije koaksijalne cijevi D2

De  D2  D1

Faktor trenja  za ustaljeno strujanje kroz cijevi nekružnog presjeka se također očitava iz Moodyjeva dijagrama ili računa iz formule Swamee-Jaina s tim što su Reynoldsov broj v  De Re  i relativna visina hrapavosti k definirani na temelju ekvivalentnog De  promjera. Srednja brzina v u svim izrazima se definira omjerom protoka i stvarne ploštine poprečnog L v2 Q presjeka toka v . Izraz za visinu linijskih gubitaka glasi hf   u kojem v ST De 2 g ponovo označuje stvarnu srednju brzinu strujanja fluida.

Mehanika fluida

82


9.5.

Ilustracija modificirane Bernoullijeve jednadžbe pa

g H

L

, 

K1 K

D

2

Modificirana Bernoullijeva jednadžba p1 8Q 2 p 8Q 2 L 8Q 2 8Q 2  1 4 2  z1  hP  hT  2   2 4 2  z2     K  D4 2 g g g D D 4 2 g D1  g D2  g hf

h fm

koja se za slučaj postojanja pumpe u cjevovodu prema slici može svesti na oblik pa p L 8Q 2 8Q 2 8Q 2 8Q 2  hP  a  H    K  K  1 2 g g D D 4 2 g D 4 2 g D 4 2 g D 4 2 g može se grafički ilustrirati crtanjem energetske linije, hidrauličke gradijentne linije i geodetske linije 

pa/ g

E. L. H

hp

v

2

2g



L1 v 2 D 2g

H.G .L. K2

v

v

2

2g

g

K2

L1 v 2 D 2g

v

2

2g



2

H.G 2 g .L.

pa/ g

L2 v 2 D 2g

,  K1

L

K2

D

Mehanika fluida

83


9.6.

Postupci proračuna jednostavnih cjevovoda

Kategoriji hidraulički jednostavnih cjevovoda pripadaju svi cjevovodi jednostavne topološke strukture (cjevovod može biti po volji razgranat, ali cjevovod ne smije biti zatvoren u prsten) kod kojih se problem proračuna svodi na postavljanje jedne modificirane Bernoullijeve jednadžbe, a koja se za slučaj postojanja pumpe u cjevovodu može svesti na oblik p1 8Q 2 p 8Q 2 L 8Q 2 8Q 2  1 4 2  z1  hP  2   2 4 2  z2     K  D4 2 g (a) g g D D 4 2 g D1  g D2  g hf

h fm

Ovom se izrazu pridodaje izraz za faktor trenja



1,325

(b) 2   k 5,74   ln  3,7 D  Re0 ,9      i izraz za Reynoldsov broj 4 Q (c) Re   D što čini osnovni sustav jednadžbi za hidraulički proračun jednostavnih cjevovoda. Iz ovog sustava triju jednadžbi mogu se izračunati tri nepoznanice. S obzirom da se radi o sustavu nelinearnih jednadžbi one će se u većini slučajeva rješavati iterativnim postupkom. Ako je npr. poznata geometrija cjevovoda (kao na slici uz ilustraciju Bernoullijeve jednadžbe) i raspoloživa visina energije za svladavanje gubitaka hp, a potrebno je odrediti protok Q, sustav jednadžbi (a) do (c) se rješava iterativnim postupkom. pa p L 8Q 2 8Q 2 8Q 2 8Q 2 (a)  hP  a  H    K  K  1 2 g g D D 4 2 g D 4 2 g D 4 2 g D 4 2 g 1,325  (b) 2   k 5,74   ln  3,7 D  Re0 ,9      4 Q (c) Re   D Iterativni postupak započinje pretpostavkom o faktoru trenja. Obično se pretpostavlja turbulentno strujanje u režimu potpuno izražene hrapavosti (vrijednost faktora trenja se očita iz Moodyjeva dijagrama ili izračuna iz formule Swamee-Jaina uz pretpostavku Re=). S tom vrijednošću  se ulazi u izraz (a) te se izračunava protok.

g 2 D5  hP  H  Q 8  K1 D   L  K 2 D  D 

(a)

S tako izračunatim protokom Q se računa Reynoldsov broj iz izraza (c), te se ponovo računa nova vrijednost faktora trenja  iz izraza (b). Nakon toga se postupak ponavlja. Iterativni postupak se smatra završenim kada se vrijednost protoka Q prestane mijenjati u prve tri signifikantne znamenke, a najčešće su potrebne svega dvije ili tri iteracije. Iterativni postupak se prikazuje kroz sljedeću tablicu, koja se popunjava redak po redak

Mehanika fluida

84




Broj iteracije 0 1 …

Q

9.7.

9.7.1.

Re

Energetske karakteristike pumpe

Realna karakteristika hidrauličkog stroja

v w vn Eulerova jednadžba i trokut brzina za hidrauličke strojeve

u

v

1 1 u2 u2 w2 cos 2 u1 u1 w1 cos 1 u2v 2 u1v 1 g g Iz jednadžbe jasno da će visina dobave pumpe biti maksimalna pri v 1 0 (što znači da je apsolutna brzina na ulazu u lopatice okomita na obodnu brzinu) u2 u2 w2 cos 2 u2v 2 Q 2 r2 hP cos 2 2 r2 g g g A Iz Eulerove jednadžbe za hidrauličke strojeve slijedi da je visina dobave pumpe linearno zavisna od protoka. Ovaj izraz je izveden pri pretpostavci strujanja neviskoznog fluida i beskonačnog broja beskonačno tankih lopatica. Idealna karakteristika pumpe prikazana je na dijagramu ispod. Realna karakteristika pumpe (prikazana na dijagramu ispod lijevo) ima visinu dobave pumpe umanjenu za gubitke nastalih konačnim brojem konačno tankih lopatica, gubicima trenja i sudarnim gubicima. hP

hp

Idealna karakteristika  = 900 Utjecaj konačnog broja lopatica

hp

Idealna karakteristika  <90

karakteristika pumpe

0

Radna točka faktor korisnosti

Realna karakteristika

Utjecaj viskoznog trenja

karakteristika cjevovoda

Utjecaj sudarnih gubitaka

Q Mehanika fluida

Q 85


9.7.2.

Radna točka pumpe

U otvorenim cjevovodnim sustavima visinom dobave pumpe se svladava razliku energija Δh21 i gubitke trenja, dok u zatvorenim (cirkulacijskim) sustavima pumpa svladava samo gubitke trenja. Uz pretpostavku da su gubici razmjerni kvadratu protoka, potreba za visinom dobave pumpe može se općenito prikazati funkcijom h Δh21 rQ2 što označuje parabolu koja se naziva karakteristikom cjevovoda. Dijagram (slika gore desno) prikazuje primjer na kojem je prikazana karakteristika pumpe (plava krivulja) s ucrtanom karakteristikom cjevovoda (crna krivulja). Crtkana plava krivulja označuje faktor korisnosti pumpe. Visina dobave pumpe je maksimalna kod nultog protoka, a maksimalni je protok pri nultoj visini dobave pumpe. Radna točka pumpe definirana je presjekom karakteristike pumpe i karakteristike cjevovoda. Pumpu treba izabrati tako da radna točka padne u područje maksimalnog faktora iskoristivosti pumpe. 9.7.3.

Zakoni sličnosti

Karakteristika pumpe dana je izrazom Q e p g hP cos 2 ili (ep ,  , D, Q)  0 2 r2 2 r2 A primjenom dimenzione analize izvodi se bezdimenziona zavisnost e g h  Q    2 p 2  2 p2  f   f ( ) 3   D  D  D  Dakle svi hidrodinamički slični strojevi opisani su jednom bezdimenziskom krivuljom   f ( ) Primjer: Ista pumpa radi na dva različita broja okretaja Ukoliko obije pumpe rade u istim režimima rada oba bezdimenzijska parametra moraju biti jednaka (promjer rotora D identičan je za oba režima rada)  g h   g h   Q   Q   uz D = 1   2 1  2 odnosno    2 p2    2 p2     3  3    D 1   D 2   D 1   D 2 2 const. Izrazi prelaze u oblik hp1  1 Q1  1 2

hp 2

2

Q2

2

hp1 hp 2

2



Q1 2 Q2

ili grafički na dijagramu ispod

lijevo

Mehanika fluida

86


hp

karakteristika pumpe 1

Krivulje sličnosti

hp1 hp 2



2 1 2 2

Q Q

serijski rad pumpi

hp

karakteristika pumpe 2 paralelni rad pumpi

karakteristika pumpe

Q 9.7.4.

Q

Spajanje pumpi

Često se u praksi radi s paralelno ili serijski spojenim pumpama. U paralelnom radu jednakih pumpi visina dobave je zajednička za sve pumpe, a ukupni protok je jednak zbroju protoka kroz sve pumpe. U serijskom radu pumpi protok je kroz svaku pumpu jednak, a ukupna visina dobave jednaka je zbroju visina dobava svih pumpi. Slika gore desno prikazuje karakteristiku jedne pumpe (plava krivulja), te karakteristike serijskog rada (zelena krivulja) i paralelnog rada (crvena krivulja) dviju takvih pumpi.

Mehanika fluida

87

Mehanika Fluida Skripta Šavar

Recommend Documents