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MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)
Es divisor común de los números dados.
Es el mayor posible.
– – –
3 1 1
Se llama MCD de un conjunto de dos o más números enteros positivos, al número que cumple dos condiciones:
Hallar el MCM (120 ; 200) 120 – 200 2 60 – 100 2 Todos los factores 30 – 50 2 3 2 MCM (120 ; 200) = 2 . 3 . 5 15 – 25 5 5 5 1
3 5
MCM (120 ; 200) = 600
2. POR DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA: Ejemplo: 3
Dados los números: 120 = 2 . 3 . 5
Ejemplo: Sean los números 32 y 40
3
200 = 2 . 5 32
1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32
3
MCD (120 ; 200) = 2 . 5 ...... Factores comunes elevados al menor exponente
Divisores
40
1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ; 20 ; 40
Los divisores comunes son: 1; 2; 4; 8, de los cuales el mayor es 8, entonces MCD (32 ; 40) = 8
3
Es un múltiplo común de todos los números.
Es el menor posible.
2
MCM (120 ; 200) = 2 . 3 . 5 ... Todos los factores elevados al mayor exponente
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) Se llama MCM de un conjunto de dos o más números enteros positivos, al número positivo que cumple dos condiciones:
2
OBSERVACIONES:
1.
Si: N = a
N = MCM (a ; b)
N= b Ejemplo: Sean los números 12 y 8
12
12; 24 ; 36 ; 48 ; 60 ; 72 ; 84 ; 96 ; ....
2.
Si: N = a r
8
N= br
8 ; 16 ; 24 ; 32 ; 40 ; 48 ; 56 ; 64 ; 72 ; ........
N = MCM (a ; b ; c ) r
N= cr Los múltiplos comunes son: 24 ; 48 ; 72 ; ...., de los cuales el menor es 24, entonces MCM (12 ; 8) = 24
DETERMINACIÓN DEL MCD Y MCM 1. POR DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA: Ejemplos:
Hallar el MCD (360 ; 480) 360 – 480 2 180 – 240 2 Factores comunes 90 – 120 2 3 MCD (360 ; 480) = 2 . 3 . 5 45 – 60 3 15 3
– –
20 4
5
MCD (360 ; 480) = 120
1.
Cuántos divisores tiene el MCD de los números: 4 2 4 5 2 3 A = 20 . 30 B = 15 . 12 C = 36 . 40
2.
En el ejercicio anterior, ¿cuál es el MCM y cuántos divisores compuestos tiene?
3.
¿Cuántos números dividen exactamente números 420; 630 y 350 a la vez?
Av. Universitaria 1875 Pueblo Libre (Frente a la U. Católica) – Teléfono: 261-8730
a
los
4.
¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos a la vez de 12 y 30?
5.
Hallar el valor de “x”, sabiendo que el MCD de los números: A = 10 . 15 divisores.
x
y
B = 15 . 10
x
14. En un aula, si se cuentan los alumnos de 4 en 4, de 5 en 5 ó de 7 en 7, siempre sobran 3. ¿Cuál es el número de alumnos si está comprendido entre 400 y 500?
tiene 20 15. Hallar el valor de “k”, si el MCM (20k; 32k; 40k) = 1600
6.
En el ejercicio anterior, hallar “x” si el MCM de A y B tiene 76 divisores compuestos.
7.
Un padre da a un hijo 800 panes, a otro 700 y al tercero 600, para repartir entre los pobres, de modo que todos den a cada pobre la misma cantidad. ¿Cuál es la menor cantidad de pobres que podrían socorrer?
8.
1.
Se desea construir un aviso luminoso de la forma y dimensiones que se muestran. Determinar el menor número de focos equidistantes y que por lo menos deben estar en los puntos indicados.
3m
Se desea formar un cubo con pequeños ladrillos, cuyas dimensiones son 7, 10 y 14 cm. ¿Cuántos ladrillos se necesitarán para formar el cubo más pequeño posible?
¿Cuántos múltiplos comunes de 8 y 20 poseen 3 cifras? A) 24 B) 22 C) 20 D) 18 E) 16
3.
¿Cuántos divisores comunes tienen los números 5040; 6720 y 12600? A) 16 B) 20 C) 32 D) 40 E) 24
4.
¿Cuántos múltiplos comunes de 4 cifras tienen los números 24; 50 y 60? A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18
5.
Hallar “n” si el MCM de los números: n
10. En el ejercicio anterior, si se desea que la arista del cubo esté comprendida entre 3m y 4m, ¿cuántos ladrillos se necesitarán?
A = 28 . 32 n B = 28 . 32 tiene 72 divisores. A) 2 B) 3 C) 4
11. Juan visita a su mamá cada 3 días y Pedro cada 5 días. Si ambos coincidieron en visitarla el domingo 19 de mayo, ¿cuál será el próximo domingo que vuelvan a coincidir?
6.
12. Hallar el MCD y el MCM de A y B 2 4 3 5 A = 30 . 20 B = 36 . 12 Indicar: a) ¿Cuántos divisores tiene el MCM (A, B) b) ¿Cuántos números dividen exactamente a A y B. n
E) N.A.
2.
2m
9.
Hallar “k”, sabiendo que: MCD (210k, 300k, 420k) = 1200 A) 6 B) 15 C) 40 D) 90
2
13. Hallar el valor de “n”, si el MCD de: A = 30 . 10 ; n 3 B = 10 . 30 tiene 75 divisores.
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Se desea construir un prisma rectangular recto de dimensiones 135, 189 y 261 m respectivamente con la menor cantidad de ladrillos cúbicos de dimensiones enteras de metros posibles. ¿Cuántos ladrillos se usarán? A) 585 C) 21 E) 10135 B) 315
-2-
E) 6
Si tenemos que llenar 4 cilindros de capacidad: 72; 24; 56 y 12 galones respectivamente. ¿Cuál es la capacidad del balde que puede usarse para llenarlos exactamente si está comprendida entre 2 y 8 galones? A) 3
7.
D) 5
D) 9135
MCD – MCM
I
8.
Se han plantado árboles igualmente espaciados en el contorno de un campo triangular cuyos lados miden 144 m, 180 m y 240 m. Sabiendo que hay un árbol en cada vértice, ¿cuántos árboles, como mínimo, se utilizarán? A) 47 B) 48
9.
C) 46
D) 45
16. Se desea dividir 3 barras de acero de longitudes 165, 225 y 345 cm en trozos de igual longitud. ¿Cuál es el menor número de trozos que se puede obtener? A) 40 B) 44 C) 55 D) 147 E) 49
E) 49
17. En un patio de forma cuadrada se desea acomodar losetas de 15 por 24 cm de tal manera que no sobre ni falte espacio. ¿Cuál es el menor número de losetas que se requiere? A) 60 B) 90 C) 80 D) 40 E) 120
De tres personas que se encuentran en un consultorio se sabe que la primera asiste cada 3 días, la segunda cada 5 días y la tercera cada 7 días. ¿Qué número de días debe de transcurrir para que vuelvan a encontrarse de nuevo estas tres personas? A) 210 B) 150 C) 105 D) 35 E) 75
18. El número de páginas de un libro es mayor que 500 pero menor que 600. Si se cuentan de 3 en 3 sobra 2, de 5 en 5 sobra 4 y de 7 en 7 sobra 6. ¿Cuántas páginas tiene el libro? A) 514 B) 512 C) 522 D) 524 E) 536
10. Para que un objeto que pesa más de 2000 gramos complete un peso de 3 Kg se puede utilizar un número exacto de pesitas de 40g, 60g ó 70g. ¿Cuál es el peso exacto del objeto? A) 4,2 Kg C) 5,84 Kg E) 3,94 Kg B) 2,16 Kg D) 6,3 Kg
19. El número de páginas de un libro está comprendido entre 850 y 950. Si se cuentan sus páginas de 12 en 12 sobran 5; de 15 en 15 sobran 8 y de 18 en 18 sobran 11. Hallar el número de páginas del libro.
11. Cuantos divisores tiene el MCD de los números: 3 2 A = 12 . 100 2 2 B = 324 . 15 2 3 C = 10 . 30 A) 18 B) 35 C) 60 D) 40 E) 36
A) 857
; 130
D) 893
21. ¿Cuántos de los divisores de 100 30 20 10 divisores de 200 ; 300 y 400 ? A) 800
13. ¿Cuántas cifras tiene el MCD de 120 140 150 140 ; 150 ? A) 125 B) 124 C) 123 D) 122
C) 878
E) N.A.
20. Se trata de llenar una caja de dimensiones 216; 126 y 72 cm con cubitos que tengan el mayor volumen posible. ¿Cuántos cubitos son necesarios? A) 336 B) 320 C) 84 D) 48 E) 672
12. ¿Cuántos números dividen exactamente a 6750, 6300 y 4050? A) 18 B) 12 C) 15 D) 20 E) 10 120
B) 869
B) 441
C) 861
40
son también
D) 396
E) 720
130
; 22. Si: MCD (N; 7128; 17424) tiene 24 divisores. 3 ¿Cuántos divisores como mínimo tiene N ? A) 576 B) 280 C) 144 D) 160 E) 248
E) 121
14. Dados: n
23. Al dividir 1015 y 666 entre “n” los restos respectivos fueron 7 y 18. Hallar el mayor valor de “n”. A) 64 B) 72 C) 90 D) 108 E) 80
A = 12 . 45 n B = 12 . 45 Hallar “n”, si su MCM tiene 90 divisores. A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5 24. SI 199 y 369 se dividen entre “n” se obtienen por restos a 7 y 9 respectivamente. ¿Cuántos valores puede tomar “n”? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
15. Hallar el valor de “n” en los números: N1 = 45 60
n
N2 = 45 60 n
Sabiendo que el MCM de dichos números es 12 veces su MCD. A) 6 B) 5 C) 2 D) 3 E) 4
25. N es el mayor número natural tal que al dividir 1572 y 670 entre N deja como residuo 36 y 30 respectivamente. ¿Cuál es la suma de cifras de N? A) 10 B) 11 C) 12 D) 14 E) 16 -3-
MCD – MCM
I
26. Se trata de depositar aceite de tres barriles de capacidades 210, 300 y 420 litros, en envases que sean iguales entre sí. ¿Cuál es la menor cantidad de envases que se emplearía para que todos estén llenos y no desperdiciar aceite? A) 30 B) 51 C) 50
33. Se han dividido tres barras cuyas longitudes son 360; 480 y 540 mm en trozos de igual longitud, siendo ésta la mayor posible. ¿Cuántos cortes se han dado en total? A) 20
D) 31
28. Un obrero trabaja 11 días seguidos y descansa el duodécimo. Si comenzó a trabajar un día lunes, entonces el número de días mínimo que debe transcurrir para que le toque descansar en domingo es: A) 83 B) 84 C) 90 D) 78 E) 96
A) 419
E) 60
B) 420
C) 421
D) 439
E) 440
37. El MCD de a7a y 7b7 es 11. Hallar “a + b”. A) 7
B) 9
C) 10
D) 12
E) 14
38. Se tiene un terreno triangular de 1260 m, 1320 m y 3900 m. ¿Cuántos árboles equidistantes son necesarios plantarlos al contorno del terreno, de modo que la distancia entre árboles esté comprendida entre
constante hace escala en B al ir de A a C. Suponiendo que tarda nada en la ciudad B y que el MCM de los tiempos que demora en ir de A a B y B a C es 700 minutos. ¿Cuántos minutos dura el viaje de A a C? A) 57 B) 78 C) 87 D) 96 E) 67
10 m y 15 m? (Hay un árbol en cada vértice) A) 360 B) 540 C) 1080 D) 1200
E) 1430
39. Hallar dos números enteros sabiendo que su producto es igual a 12 veces su MCM y que su suma es igual a 6 veces su MCD. Indicar el menor de dichos números. A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 20
31. De un terreno rectangular que mide 360 m de largo y 240 m de ancho, se quieren hacer lotes cuadrados, lo más grandes posibles. ¿Cuántos lotes saldrán? D) 10
E) 34
36. El número de páginas de un libro es mayor que 400 pero menor que 500. Si se cuentan de 2 en 2 sobra una, de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7 en 7 sobran 6. ¿Cuántas páginas tiene el libro?
30. Una ciudad A está a 224 Km de la ciudad B y a 624 Km de la ciudad C. Un avión que vuela a velocidad
C) 9
D) 33
35. Si: MCD (A, B) = 12; hallar MCD (4A, 4B) A) 12 B) 24 C) 36 D) 48
29. Un terreno de forma rectangular cuyos lados miden 144 m y 252 m está sembrado con árboles equidistantes y separados lo más posible. Si se observa que hay un árbol en cada vértice y uno en el centro del terreno, ¿cuántos árboles hay en total? A) 112 B) 56 C) 40 D) 135 E) 126
B) 8
C) 31
34. Un comerciante tiene tres cajas de galletas sueltas con 288; 360 y 408 unidades; desea venderlas en pequeños paquetes de igual cantidad que están contenidas exactamente en cada una de las cajas. ¿Cuál es el menor número de paquetes que se obtiene, sin desperdiciar galletas? A) 24 B) 32 C) 44 D) 47 E) 51
27. Ramiro compra cierta cantidad de metros de tela en S/. 3 000. Se da cuenta que no necesita tanta tela y vende cierta parte a S/. 1 750 con un precio por metro igual al inicial (que está comprendido entre S/. 100 y S/. 200). ¿Cuántos metros de tela le quedan? A) 24 B) 14 C) 10 D) 20 E) 18
A) 6
B) 23
E) N.A.
40. Si abc – 5mn = cba . ¿Cuál debe ser el valor de la
E) 12
cifra “b” para que el MCD de abc y cba sea 18? A) 2
32. Un comerciante realiza la venta consecutiva de dos productos. Recibió S/. 9 750 por los productos A y S/. 12 350 por los productos B. Si ambos productos tienen el mismo precio y es el mayor posible, ¿cuántos productos vendió en total? A) 19 B) 34 C) 44 D) 48 E) 54
-4-
B) 4
C) 6
D) 8
E) 9
MCD – MCM
I
