STATISTIKA TEKNIK
Oleh : Kelompok 8 1. I Made Surya Kumara (1404405061) 2. Nicko Satrio Pambudi (1404405065) 3. Haksari Laksmi Bestari Besta ri (1404405066)
JURUSAN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS UDAYANA
BAB 10 TEORI SAMPLING ELEMENTER 10.1
Sampel Acak
Populasi adalah totalitas dari semua objek atau individu yang memiliki karakteristik tertentu, jelas, dan lengkap yang akan diteliti. Populasi merupakan keseluruhan pengamatan yang menjadi perhatian kita, baik terhingga maupun tak terhingga. Dilambangkan dengan huruf N. Sampel adalah bagian dari populasi yang diambil melaui cara-cara tertentu yang juga memiliki karakteristik tertentu, jelas dan lengkap yang dianggap bisa mewakili populasi. Sampel merupakan himpunan bagian dari populasi. Dilambangkan dengan huruf n. Unit dasar adalah individu yang akan diteliti atau unit terkecil di mana karakternya akan diteliti. Sampling adalah cara pengumpulan data dengan mengambil sampel saja (unit elementer dari populasi). Hasil sampling merupakan data atau nilai perkiraan. Pengambilan sampel dibagi memjadi dua, yaitu : 1. Secara acak (probability sampling / random sampling) 2. Secara tidak acak (non probability sampling / non random sampling) Random sampling adalah cara pengambilan sampel yang memberikan kesempatan yang sama untuk diambil kepada setiap elemen populasi. Artinya jika elemen populasinya ada 100 dan yang akan dijadikan sampel adalah 25, maka setiap elemen tersebut mempunyai kemungkinan 25/100 untuk bisa dipilih menjadi sampel. Sampel acak adalah sampel yang diambil dari populasi di mana setiap anggota populasi memiliki peluang yang sama terpilih sebagai anggota sampel. Cara pengacakan sebagai berikut : 1. Undian 2. Tabel Bilangan Acak 3. Program Komputer Tabel Bilangan Acak
Pada sampel acak (random sampling) dikenal dengan istilah simple random sampling, stratifield random sampling, cluster sampling, systematic merupakan satu cara yang paling sederhana. Misalkan besarnya populasi sama dengan N unit sedangkan besarnya sampel sama
dengan n unit (n ≤ N). Jika pengambilan sampel dengan pengambilan, maka ada
Nn sampel, dan jika pengambilan sampel tanpa pengambilan ada ( ) sampel. Jika setiap sampel mempunyai nilai kemungkinan yang sama untuk diambil, kita telah mendapat sampel acak yang sederhana.
Pada umumnya dalam statistika kita
menggunakan pengambilan sampel tanpa pengembalian, sehingga dalam hal ini setiap sampel mempunyai nilai kemungkinan terambil sama dengan
1⁄()
.
Salah satu proses acak ialah proses yang dipakai pada penarikan undian seperti
undian Loto, undian ‘Harapan’, dan lain -lain. Mesinnya mempunyai tabung yang berisi 10 bola pingpong yang diberi angka 0,1,2, . . . , sampai dengan 9, dan setelah
dikocok
dengan
menggerakkan
tabung
tersebut
secara
mekanis
dikeluarkan satu bola. Angka pada bola ini adalah angka acak yang pertama. Kemudian bola tersebut dikembalikan ke dalam tabung dan proses itu diulangi terus-menerus.
10.2
Distribusi Sampling
Distribusi sampling merupakan distribusi teoritis (distribusi kemungkinan) dari semua hasil sampel yang mungkin, dengan ukuran sampel yang tetap N, pada statistik (karakteristik sampel) yang digeneralisasikan ke populasi. Distribusi sampling memungkinkan untuk memperkirakan probabilitas hasil sampel tertentu untuk statistik tersebut. Semua sampel yang besarnya n yang dapat diambil dari populasi yang besarnya N. Pengambilan sampel dapat dengan atau tanpa pengembalian. Untuk setiap sampel, kita dapat menghitung suatu statistik, misalkan nilai rata-rata
x
.
Teranglah bahwa
x
berbeda-beda dari sampel yang
satu ke sampel yang lain. Dengan demikian kita memperoleh suatu distribusi daripada
X ,
dimana
X ialah
suatu variabel acak. Distribusi
X dalam
hal ini
disebut distribusi sampling
X .
Kita juga dapat memperoleh distribusi sampling
statistik lain seperti S2 , S median
~
X ,
dan lain-lain.
CATATAN : Huruf besar dipakai untuk menyatakan variabel acak dan huruf kecil menyatakan salah satu nilai yang dapat dicapai oleh variabel acak tersebut. Sebagai contoh
x
adalah nilai rata-rata yang dihitung dari sampel tertentu dan nilai ini adalah salah satu nilai daripada
X yang
dapat dicapainya.
Contoh : 1. Suatu populasi terdiri atas 4 bilangan 2,3,6, dan 9. Pandanglah semua sampel 2 bilangan, yang dapat diambil dari populasi ini, dengan pengembalian. Carilah : a. Nilai rata-rata populasi b. Deviasi baku populasi c. Mean distribusi sampling
X
d. Deviasi baku daripada distribusi sampling Jawab : 1.
+++ (−) + (−) + (−) + (−) 7,5
μ=
= 5
2. σ2 =
σ=
= 2,74
3. Ada 4 . 4 = 16 sampel 2 bilangan (2,2)
(2,3)
(2,6)
(2,9)
(3,2)
(3,3)
(3,6)
(3,9)
(6,2)
(6,3)
(6,6)
(6,9)
(9,2)
(9,3)
(9,6)
(9,9)
Rata-rata tiap-tisp sampel ialah :
2 5 2 4 4 7
2
4
3
4
X
6
6
7,5
5
X
6
=
7
9
ℎ − =
= 5
4.
X
σ
(+ ,+ + ,+ ,+ + ,+ + + ,+ + ,+ ,+ + ,+ )
=
- 52
= 28,75 – 25 = 3,75 X
10.3
=
3,75
= 1,94
Teori Distribusi Sampling
Distribusi sampel dari rata-rata hitung sampel adalah suatu distribusi probabilitas yang terdiri dari seluruh kemungkinan rata-rata hitung sampel dari suatu ukuran sampel tertentu yang dipilih dari populasi, dan probabilitas terjadinya dihubungkan dengan setiap rata-rata hitung sampel. (Suharyadi) Sedangkan menurut Sudjana, Distribusi Sampling merupakan kumpulan nilainilai statistika yang sejenis lalu disusun dalam suatu daftar sehingga terdapat hubungan antara nilai statistik dan frekuensi statistika. (Sudjana, 2001 :87) Distribusi Sampling terdiri dari: 1. 2. 3. 4.
Distribusi Sampling Rata-rata Distribusi Sampling Proporsi Distribusi Sampling Selisih Rata-rata Distribusi Sampling Selisih Proporsi
10.3.1 Distribusi Sampling Rata-Rata
Sudjana (2001 : 87) mendefenisikan Distribusi sampling rata-rata adalah kumpulan dari bilangan-bilangan yang masing-masing merupakan ratarata hitung dari samplenya. Notasi yang digunakan : n
: Ukuran sample
x̅
: Rata-rata sample
s
: Standar deviasi sample
̅ ̅
N
: Ukuran populasi
: Rata-rata populasi : Standar deviasi
: Rata-rata pada distribusi sampling rata-rata : Standar deviasi pada distribusi sampling rata-rata
Rumus Distribusi Sampling Rata-rata:
≤5% ̅ ̅ √ x̅ ̅ ̅
Populasi tidak terbatas Rata-rata Standar Deviasi
Nilai Baku
Note :
−−
disebut dengan faktor koreksi
≥5% ̅ ̅ √ . 1 x̅ ̅ ̅
Populasi terbatas
Contoh Soal Distribusi Sampling Rata-Rata
ABC Company memproduksi ‘Remote Control’ d engan menggunakan dua baterai. Rata-rata umur baterai yang digunakan di produk ini adalah 35 jam. Distribusi umur baterai mendekati distribusi probabilitas normal dengan standar deviasi 5,5 jam. Sebagai bagian dari program pengujian, diambil sampel sebanyak 25 baterai. Hitunglah probabilitas umur baterai lebih dari 36 jam? Penyelesaian : Dik :
35 x̅ > 36 ̅ √ √ , 1,1 −̅ −, 0,91 = 5,5
n Dit :
P(
Jawab :
= 25
)?
a.
Lihat tabel z: luas sebelah kanan 0 = 0,5000 luas antara 0 - z
= 0,3186 –
luas sebelah kanan z = 0,1814 Kesimpulan : Jadi, dari 25 baterai yang dipilih, probabilita umur baterai lebih dari 36 jam adalah sebesar 0,1814 atau 18,14%
10.3.2 Distribusi Sampling Proporsi
Menurut Sudjana (2001 : 95), distribusi sampling proporsi adalah kumpulan atau distribusi semua perbandingan samplenya untuk suatu peristiwa. Notasi Dalam Distribusi Sampling Proporsi:
: rata-rata pada distribusi sampling proporsi : standar deviasi pada distribusi sampling proporsi
Rumus Disribusi Sampling Proporsi Populasi Tidak Terbatas ( ) Rata-rata
Standar Deviasi
Nilai Baku
≤5%
Populasi Terbatas ( )
≥5%
(1) (1) . 1
Note :Jika nilai π dari populasi tidak diketahui, dalam hal ini π dianggap sama dengan 0,5 yaitu nilai π(1-π) yang maksimum.
Contoh Soal Distribusi Sampling Proporsi
Sebuah Bakery Store “BT” menemukan bahwa pembelia n dilakukan oleh 20% dari pelanggan yang memasuki tokonya. Suatu pagi terdapat sampel acak sebanyak 180 orang memasuki toko. Berapa probabilitas pelanggan yang membeli kurang dari 15%? Penyelesaian: Dik : n = 180
π(membeli)= 20% = 0,20
0,20 (−) ,(,) 0,029814239 − ,−, , 1,68
Dit: a. P (
< 15%)?
Jawab :
a.
lihat tabel z: luas sebelah kiri 0 = 0,5000 luas antara z-0 = 0,4535luas sebelah kiri z = 0,0465 Kesimpulan: Jadi, probabilitas bahwa diantara 180 orang yang masuk ke toko, pelanggan yang membeli kurang dari 15% adalah sebesar 0,0465 atau 4,65
10.4
Distribusi Sampling Statistik Lain yang Penting
Statistik merupakan salah satu hal terpenting dalam proses pengambilan keputusan pada bidang ekonomi, bisnis maupun ilmu pengetahuan. Statistik mengacu pada estimasi dan uji hipotesis. Agar estimasi atau uji hipotesis mendekati kondisi sebenarnya pada populasi maka perlu diambil sampel-sampel yang dapat mewakili populasi. Hal ini dapat dilakukan dengan cara random sampling, dimana setiap elemen dari populasi memiliki peluang yang sama untuk terpilih menjadi sampel. Dari pengambilan sampel ini kita dapat mempelajari karakteristik populasi berdasarkan sampel yang diambil dari populasi itu. Berdasarkan sifatsifat sampel yang diambil dari sebuah populasi, statistika akan membuat kesimpulan umum yang diharapkan berlaku untuk populasi itu. Jika nilai-nilai statistik yang sejenis dikumpulkan, lalu disusun dalam suatu daftar sehingga terdapat hubungan antarnilai statistik dan frekuensi statistik yang didapat, maka diperoleh kumpulan statistik yang disebut distribusi sampling (Sudjana, 2004: 87). 10.4.1 Distribusi Sampling Selisih Rata-Rata
Distribusi sampling selisih rata-rata adalah distribusi probabilitas yang dapat terjadi dari selisih rata-rata dua sampel yang berbeda berdasarkan pada dua sampel tertentu dari ukuran parameter dua populasinya. Untuk ukuran sampel n1 dan n2 yang cukup besar (n1, n 2> 30), maka distribusi sampling selisih rata-rata sangat mendekati distribusi normal, untuk mengubahnya ke dalam bentuk normal standar maka diperlukan rumus :
(x x)− −
Dimana : a. Rata-rata (Means)
− −
b. Simpangan Baku (Standar deviation)
Jika dan dari sampel
tidak diketahui, maka dapat menggunakan standar deviasi
Contoh soal : Pegawai perusahaan Global Network Inspectionpada Divisi Inspeksi Pembongkaran mempunyai gaji rata-rata sebesar $4300/bulan, sedangkan Divisi Inspeksi Pengangkutan mempunyai gaji $3750/bulan. Setelah dihitung, diperoleh rata-rata hitung dari deviasi kuadrat setiap gaji terhadap gaji rata-rata Divisi Inspeksi Pembongkaran $52.000, sedangkan Divisi Inspeksi Pengangkutan sebesar $19.500. Bila diasumsikan diambil sampel random pada Divisi Inspeksi Pembongkaran sebanyak 90 orang dan Divisi Inspeksi Pengangkutan75, berapakah probalilita selisih rata-rata gaji dari dua sampel lebih besar dari $ 500 ? Dik : Divisi Inspeksi Pembongkaran : μ 1 = $ 4300 = $ 52.000 n1 = 90 Divisi Inspeksi Pengangkutan : μ 2 = $ 3750 = $ 37.000 n2 = 75 Dit : ? Jawab :
x x >500
Jadi, probabilitas selisih rata-rata gaji dari dua sampel lebih besar dari $ 500 adalah 0,9370 atau 93,70 %.
10.4.2 Distribusi Sampling Selisih Proporsi
Distribusi sampling selisih proporsi adalah distribusi probabilitas yang dapat terjadi dari selisih proporsi dua sampel yang berbeda berdasarkan pada dua sampel tertentu dari ukuran parameter dua populasinya, adapun rumus distribusi sampling selisih proporsi dinyatakan dalam : a. Rata-rata proporsi
b. Simpangan baku proporsi
Distribusi sampling selisih proporsi inipun akan mendekati distribusi normal bila ukuran-ukuran sampel cukup besar (n1 n2> 30), maka untuk merubahnya menjadi bentuk normal standar diperlukan rumus :
Jika
tidak diketahui dan dianggap sama maka nilai :
sehingga standar baku proporsinya menjadi :
Contoh soal : Alya dan Deasy akan melakukan sebuah pertandingan pelemparan sekeping uang logam, Deasy akan menang bila memperoleh 8 sisi gambar lebih banyak dari pada Alya, jika diasumsikan mereka diberi kesempatan masingmasing melempar uang logam sebanyak 40kali, berapa peluang Deasy memenangkan pertandingan ini ? Berilah saran apakah Deasy akan ikut dalam pertandingan atau tidak, jika harapan kemenangannya harus sebesar 15% atau lebih? Jawab : Dik
:
50% ( >15%)
n1 = n2 = 40 Dit
: a.
Jawab :
Jadi, peluang Deasy memenangkan pertandingan ini adalah 0,1335 atau 13,35%. Karena peluang Deasy menang kurang dari harapan menangnya (13,35% <15%), maka Deasy disarankan tidak mengikuti pertandingan ini.
10.5
DISTRIBUSI SAMPLING ASIMOTIS
Pada umumnya untuk mengetahui secara eksak distribusi Xi (distribusi induk) normal dapat memakai dalil limit sentral. Yang mengatakan bahwa untuk n besar distribusi
= Var Xi.
⃗ ∑= Xi
ialah normal asimotis
,
dimana
= Exi dan
Hal tersebut juga berlaku untuk fungsi simetris lain dari data sampel. Dapat dibuktikan (lihat H. Cramer, Mathematical Methods of Statistics, Princeton University Press, Princeton) bahwa di bawah syarat agak umum setiap momen dan momen sentral sampel dan juga fungsi aljabar momen berdistribusi normal asimtotis untuk n besar. Ini berarti distribusi S=
=(Xi) =(Xi) 2
=(Xi
, ukuran kemiringan G1 =
/S3, dan
ukuran kurtosis G2 -3 = M4 / S4 – 3, dan lain lain daripada sampel berdistribusi 3
normal asimtotis untuk n besar ( M3 =
)
4
).
dan ( M4 =
Juga statistik lain yang tidak berhubungan dengan momen, seperti median kwartil Q1 dan Q3 berdistribusi normal asimtotis untuk n besar.
dan
Pula dalil ini dapat dierluas untuk distribusi multi dimensional. Sebagai contoh untuk distribusi induk yang berdimensi dua koefisien korelasi sampel R(X, Y) =
,SSy
cov
atau
=(Xi) (Yi) =(Xi) =(Yi)
R (X, Y) =
2
2
Berdistribusi normal asimtotis, jika n besar. Sifat normalitas ini adalah sangat penting untuk pemakaian statistika dan kelak akan dipakai.
Besarnya sampel yaitu n, agar statistik yang disebut di atas berdistribusi normal asimtotis yaitu ketika memakai mean
daripada sampel yang diambil dari
populasi yang tidak terlalu miring, maka aproximasi normal sudah baik untuk n
≥30. Untuk variansi, median, koefisien kemiringan, dan kurtosis, koefisien
korelasi < 0,2 , dianjurkan mengambil n ≥100. Untuk keofisien korelasi yang jauh berbeda dari 0, sampel sebesar 300 kadang-kadang belum cukup untuk normalitas simtotis. Akan tetapi ada beberapa pengecualian dari aturan umum. Misalkan Xmin dan Xmax , yaitu nilai sampel yang terkecil dan terbesar kedua-duanya tidak normal asimtotis, ini berarti untuk beberapa besarnya n juga distribusi tidak akan menjadi normal. 10.6
TEKNIK SAMPLING
Beberapa teknik sampling : 1. Sampling acak dengan stratifikasi Disini populasi dibagi lebih dahulu menjadi strata (tunggalnya stratum), yaitu bagian populasi yang mempunyai sifat yang serupa terhadap karakteristik yang diselidiki dan kemudian dalam setiap stratum dilakukan pengambilan sampling sederhana. Dengan jalan ini akan diperoleh sampel yang lebih representatif dengan besar sampel yang dapat direduksi
2. Sampling sistematis Apabila unit populasi yang besarnya N, sudah diberi nomor 1 sampai dengan N. Untuk mendapat sampel, harus diambil satu unit secara acak dari k unit yang pertama dan kemudian mengambil setiap unit yang ke-k yang menyusul. Misalkan k = 10 dan unit yang pertama yang terambil secara acak adalah unit bernomor 7, maka unit lain dalam sampel adalah unit yang bernomor 17, 27, 37, dan seterusnya. Jadi pengambilan unit yang pertama sudah menentukan seluruh sampel sistematis. Salah satu
keuntungan sampling sistematis ini ialah pelaksanaannya lebh mudah daripada sampling acak sederhana.
3. Sampling dwitahap Apabila setiap unit populasi dapat dibagi lagi menjadi unit yang lebih kecil, yang disebut elemen. Sebagai contoh satu kecamatan dibagi menjadi rukun warga (RW) dan setiap RW dapat dibagi lagi menjadi rukun tetangga (RT). Jika elemen RT daripada unit menghasilkan data yang serupa, tidak ekonomis jika semua elemen RT diselidiki. Cukup beberapa elemen saja. Cara ini disebut sampling dwitahap, karena sampel diambil dalam dua tahap. Pertama dipilih sampel unit secara acak, yang disebut unit primer dan kemudian diambil sampel elemen setiap unit primer, juga secara acak. Salah satu keunttungan sampling dwitahap ialah lebih flexibel daripada sampling satu tahap. Sampling dwitahap dapat diperluas menjadi sampling multitahap.
