2. Encuentre el área de la región limitada por las gráficas de
= 2co 2 coss =
Interprete el resultado usando la gráfica del ejercicio generada en GeoGebra.
Solución
El área encerrada entre las dos funciones se encuentra mediante el cálculo de la integral definida:
+ Definida por los puntos de corte de la función en x
Primera integral
2cos 2cos 2 = 2si2 sin 4 +
Las coordenadas de X entre el punto C y B son: X = 1.252
X = -2.133 Evaluando: 1,608 – (-2,892) (-2,892) = 4.5
Segunda integral
2 2cos = 4 2 2 sin +
Las coordenadas de X entre el punto B y A son: X = -2,133 X = -3,595 Evaluando: (2,829) – (2,354) (2,354) = 0,475 Área total = 4,5 + 0,475 R/ 4,975
6. Encuentre el volumen del sólido que se genera al girar la región plana determinada por
= 2 2 2 2 = 0
las ecuaciones y alrededor del eje x entre x = -1 y x = 1, elabore la gráfica en GeoGebra y considere el volumen en unidades cubicas.
Solución
El volumen solido por revolución viene dado por:
= . En la imagen de GeoGebra se encuentran los puntos que generan los límites de integración Planteo las ecuaciones de volumen:
, = − . . + 20 2 0 , − . 2 +10 +, .2 +10 ,. . + 20 2 0
Procedo a resolver las integrales:
Primera integral
2 0 ∫ + 2 ∫ 2 + 4 ∫ . + 20 =
=
Aplico integración inmediata
=
− +4
Evaluó límite superior menos límite inferior
20,61 21 0, 6 1 1 = [ [( 5 3 + 40,611) ( 5 3 + 41 1)] = ,, Segunda integral
.2 +10 = 2 + 1 = 4 + + 1 Aplico integración inmediata
.. 12 + 2 + Evaluó límite superior menos límite inferior
0,61 1 0, 6 1 1 = 12 + 2 +0,61 12 + 2 1 = ,
La tercera y cuarta integrales son iguales que la primera y segunda, solo cambian los limites por lo cual pongo el resultado directo de estas y paso a hallar el volumen. V = 15,77 – 4,39 4,39 + 2,41 – 2.23 2.23 R/ 11.56 u3
10. Si un resorte tiene una longitud natural de 18 cm y es suficiente una fuerza de 4
newtons para comprimirlo y reducirlo a una longitud de 16cm. a. ¿cuál es el valor de la constante k para este resorte? b. Calcule el trabajo necesario para comprimirlo desde 16 cm a 12 cm
Solución
Ecuación de la fuerza y trabajo F = k * (x2 – x1) x1) T = F * (x4 – x3) x3) Datos F = 4N X2 = 0.18m X1 = 0.16m X4 = 0.16m X3 = 0.12m Sustituyo en la ecuación R/
R/
a. 4 = k * (0.18 – 0.16)
b. T = 4 * (0.16 - 0.12)
K = 200N/m
T = 0.16J
