Materi Integral Lipat-Dua Definisi : Andaikan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegipanjang tertutup R. Jika :
lim =(̅ , )∆ ||→
∬ ( ,, ) lim ∑= (̅ , )∆ ∬ ( ,, ) ||→ ∫ () ∬ ( ,, )
ada, kita katakan f dapat diintegralkan di R, lebih lanjut, integral lipat-dua f pada R, diberikan oleh :
yang disebut
=
Ingat bahwa,
jika f(x) ≥ 0, maka Dalam cara yang serupa ,
menyatkan luas daerah dibawah kurva y = f(x) antara a dan b.
jika f(x , y) ≥ 0, maka menyatakan volume benda pejal di bawah permukaan z = f(x , y) dan diatas persegipanjang pers egipanjang R (lihat ganbar 4). Nyatakan, kita ambil integral ini sebagai definisi volum benda pejal yang demikian. Pertanyaan Keujudan Tidak setiap fungsi dua peubah dapat diintegralkan pada suatu persegipanjang R yang diberikan. Alasannya sama seperti pada kasus satu peubah (pasal 5.5, kalkulus 1). Dalam hal khusus, suatu fungsi yang tak terbatas pada R akan selalu tidak dapat diintegralkan. Untunglah, terdapat generalisasi alamiah dari teorema 5.5 A. Buktinya berada di luar jangkauan kuliah pengantar. Teorem A (Teorema Keterintegralan) Jika f terbatas pada suatu persegipanjang tertutup R dan jika ia kontinu di sana kecuali pada sejumlah terhingga kurva mulus, maka f dapat diintegralkan pada R. Dalam hal khusus, jika f kontinu pada seluruh R, maka f dapat diintegralkan di sana. Sifat-Sifat Integral Lipat Dua Integral lipat dua mewarisi hampir semua sifat-sifat tunggal. 1. Intagral lifat-dua adalah linier
a. b.
( ,, ) ∬ ( ,, ) ∬ ( ∬ [( ,, ) + ( ,, )] ∬ ( ,, ) ∬ ( ,, ) = k
=
+
2. Integral lifat- dua adalah aditif pada setiap persegipanjang (gambar 6) yang saling melengkapi hanya pada suatu ruas garis
∬ ( ,, ) ∬ ( ,, ) ∬ ( ,, ) ≤ ∬ ( ,, ) ∬ ( ,, ) =
+
3. Sifat pembandingan berlaku. Jika f(x,y)
g(x,y) untuk semua (x , y) di R, maka
≤
Semua sifat-sifat ini berlaku pada himpunan-himpunan yang lebih umum daripada persegipanjang, tetapi ia merupakan bahan yang akan kita tinjau pada pasal berikutnya. Perhitungan Integral Lipat Dua Topik ini akan mendapat perhatian utama dalam pasal berikutnya, dimana kita akan mengembangkan suatu cara yang ampuh untuk perhitungan integral lipat dua. Tetapi, kita telah sanggup menghitung beberapa integral dan kita dapat mengaproksimasi yang lainnya. Pertama-tama kita perhatikan bahwa jika f(x , y) = 1 pada R, maka integral lipat-dua merupakan luas R, dan dari ini menyusul bahwa
∬ ∬
= k Dengan k = konstanta dan A(R) = luas daerah R
= k A(R)
Contoh 1: Andaikan f berupa fungsi tangga yang memenuhi :
f(x , y ) =
Hitunglah
∬ ( ,)
12 0≤ ≤3 , 0 ≤ ≤1 0 ≤ ≤3 , 1≤ ≤2 3 0 ≤ ≤3 , 2≤ ≤3
, dengan R = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 3 , 0 ≤ y ≤ 3}
Penyelesaian : Perkenalkan persegipanjang R 1 R 2 dan R 3 sebagai berikut R 1 = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 3 , 0 ≤ y ≤ 1} R 2 = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 3 , 1 ≤ y ≤ 2} R 3 = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 3 , 2 ≤ y ≤ 3} Kemudian dengan menggunakan sifat penjumlahan dari integral lipat-dua, kita peroleh
∬ ( ,) ∬ ( ,) ∬ ( ,) ∬ ( ,) ∬ 1 ∬ 2 ∬ 3 =
=
+
+
+
+
= 1 A(R 1) + 2 A(R 2) + 3 A(R 3) = 1.3 + 2.3 + 3.3 =3+6+9 = 18
Dalam penurunan ini, kita juga menggunakan kenyataan bahwa nilai f pada batas persegipanjang tidak mempengaruhi nilai integral. Contoh 1 adalah suatu prestasi kecil, dan secara jujur kita tidak dapat berbuat lebih banyak tanpa cara tambahan. Tetapi, kita selalu dapat mengaproksimasi suatu integral lipat-dua dengan cara menghitung suatu penjumlahan Riemann. Umumnya, kita dapat mengharapkan aproksimasi akan lebih baik dengan menggunakan aproksimasi yang lebih halus. Sekarang kita bersungguh-sungguh menghadapi masalah perhitungan R berupa persegipanjang
∬ ( ,)
dengan
R = {(x , y) : a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d } Misalkan untuk saat ini bahwa f (x , y) ≥ 0 pada R sehingga kita dapat menafsirkan integral lipat-dua sebagai volume V dari benda pejal di bawah permukaan dari gambar 1 V=
∬ ( ,)
(1)
Terdapat cara lain untuk menghitung volume banda pejal ini, yang paling tidak secara intuisi kelihatannya sahih. Iris benda pejal itu menjadi kepingan-kepingan sejajar terhadap bidang xz. Suatu kepingan khas yang demikian diperlihatkan pada gambar 2(a). Luas muka kepingan ini tergantung pada seberapa jauh ia dari bidang xz, yakni ia tergantung pada y; karena itu, kita nyatakan luas ini oleh A(y), lihat gambar 2(b) Volume ∆V dari kepingan secra aproksimasi diberikan oleh ∆V ≈ A(y) ∆y Dan, dengan mengingat kembali semboyan kita (iris, aproksimasi, integralkan), kita boleh menuliskan : V=
∫ ()
Dalam hal lain, untuk y tetap kita boleh menghitung A(y) dengan menggunakan integral tunggal biasa, nyatanya A(y) =
∫ (,)
Kita simpulkan bahwa V=
∫ ∫ (,)
(2)
Sebuah ekspresi yang disebut integral lipat (integral berulang = interated integrals). Bilamana kita menyamakan ekspresi rumus V dari (1) dan (2) kita peroleh hasil yang kita kehendaki
∬ ( ,) ∫ ∫ (,) =
Jika kita telah memulai proses di atas dengan cara mengiris benda pejal dengan bidang bidang sejajar bidang yz, kita akan memperoleh integral lipat lain dengan pengintegralan yangberlangsung dalam urutan berlawanan.
∬ ( ,) ∫ ∫ (,) =
Dua catatan menunggu. Pertama, walaupun kedua hasil rumus tadi diturunkan dengan angapan bahwa f tak-negatif, secara umum mereka adalah sahih. Kedua, seluruh latihan agak
tanpa tujuan kecuali integral lipat dapat dihitung. Untunglah, integral lipat seringkali dengan mudah dihitung seperti yang kita tunjukkan berikut.
Perhitungan Integral Lipat
Kita mulai dengan sebuah contoh sederhana Contoh 2:
Hitung
∫ ∫(2+3)
Penyelesaian : Pada integral sebelah dalam y berupa konstanta, sehingga
∫(2+3) [ + 3] =
= 4 + 6y – (1 + 3y) = 3 + 3y
Akibatnya,
∫ ∫(2+3) ∫(3+3) [3+ ] =
=
= 9 + 27/2 = 45/2
Contoh 3
Hitung
∫ ∫(2+3)
Penyelesaian : Perhatikan bahwa kita cukup menukar urutan pengintegralan dari contoh 1; kita harapkan jawab yang sama seperti dalam contoh 1.
∫(2+3) [2+ ] =
= 6x + 27/2
Jadi,
∫ ∫(2+3) ∫(6+27/2) [3 + ] =
=
= (12 + 27) – (3 + 27/2) =
45/2
Mulai saat ini, biasanya kita akan menghilangkan kurung siku dalam integral lipat, yang membolehkan urutan dx dy atau dy dx untuk memerinci pengintegralan mana yang dilakukan pertamakali. Tentu saja, batas-batas pada tanda integral yang sebelah dalam mengacu ke pubah pertama yang harus diintegralkan. Contoh 4
Hitung
∫ ∫ [648+]
Penyelesaian : Perhatikan bahwa
∫(648+) = [644 +] = [256 – 64 + 4y ] = 12 + ¼ y 2
2
Integral lipat yang diminta mempunyai nilai
∫ 12+ = [12+ ] = 96 + 512/12 = 96 + 128/3 = 138 Coba hitung kembali dengan mengintegralkan terhadap y terlebih dulu!!
Penghitungan Volume
Sekarang kita dapat menghitung volume untuk aneka-ragam benda pejal. Contoh 5
Cari volume V dari benda pejal yang di atas dibatasi oleh z = 4 – x2 – y dan di bawah oleh persegipanjang R = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 2 }. Lihat gambar 3 Penyelesaian : V = = =
∬ (4 ) ∫ ∫[4 ] ∫ 4 ∫ 4 4 =
=
= 8 – 2/3 – 2 = 16/3
Latihan
1. Dalam soal berikut, andaikan R = {(x , y) : 1 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ 2}. Hitung lah
∬ ( ,) {23 {23 21 3
, dengan f adalah fungsi yang diberikan (lihat contoh 1)
a. F(x , y) = b. F(x , y) = c. F(x , y) =
13 ≤ <3 , 0≤ ≤ 2 ≤ ≤4 , 0≤ ≤ 2 11 ≤ ≤4 , 0≤ < 1 ≤ ≤4 , 1≤ ≤ 2 1≤ <3 , 0≤ < 1 1≤ <3 , 1≤ ≤ 2 3≤ ≤4 , 0≤ ≤ 2
d. F(x , y) =
23 1≤ ≤4 , 0≤ < 1 1≤ <3 , 1≤ ≤ 2 1 3≤ ≤4 , 1≤ ≤ 2
2. Untuk soal berikut, andaikan bahwa R = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ 2} , R 1 = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ 1} , R 2 = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 4 , 1 ≤ y ≤ 2}. Andaikan
∬ ( ,) ∬ ( ,) ∬ [3(,) (,)] ∬ [2(,)+5(,)] ∬ (,) ∬[2(,)+ 3] ∫ ∫ ∫− ∫(+) ∫ ∫(+) ∫− ∫( +)
selanjutnya bahwa
=3 ,
= 5 dan
Gunakan sifat-sifat integral untuk menghitung yang berikut : e. f. g. h.
∬ ( ,)
= 2 .
3. Dalam soal berikut, hitung masing-masing integral lipat a. b. c. d.
4. Untuk soal berikut , hitung integral lipat-dua yang ditunjukkan atas R : a. b.
∬ ∬ ( +)
; R = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 1 , -1 ≤ y ≤ 1 } ; R = {(x , y) : -1 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 2 }
5. Pada soal dibawah ini, sketsa benda pejal yang volumenya adalah integral lipat yang ditunjukkan a. b. c. d.
∫ ∫ ∫ ∫(2) ∫ ∫ ( +) ∫ ∫ (4)
