Materi 10 Integral Lipat-Tiga (Koordinat Cartesius) Cartesius)
Konsep yang ditawarkan dalam integral tunggal dan lipat-dua meluas secara wajar ke integral lipat tiga, dan bahkan ke lipat n Perhatikan suatu fungsi f tiga peubah yang didefinisikan atas suatu daerah berbentuk balok B dengan sisi-sisi sejajar sumbu-sumbu koordinat. Kita tidak dapat lagi menggambarkan grafik f (dimensi empat yang diinginkan), tetapi kita dapat mengambar B (gambar 1). Bentuklah suatu partisi P dari B dengan melewatkan bidang-bidang melalui B sejajar bidang koordinat, jadi memotong B ke dalam balok-balok bagian B 1 , B2, . . ., B n ; satu yang khusus B k – diperlihatkan pada gambar 1. Pada B k , ambil satu titik contoh ( dan perhatikan penjumlahan Riemann
̅ , , ̅̅ )
=(̅ , , ̅̅)∆ Dengan ∆Vk = ∆xk ∆yk ∆zk adalah volume Bk . Andaikan norma partisi |P| ini adalah panjang diagonal terpanjang dari semua balok bagian. Maka kita definisikan integral li pat tiga dengan
(̅ , , ̅̅ )∆ ( , , ) = ||→0 lim ∑= ∭ ( Asalkan limit ini ada. Pertanyaan tentang fungsi apa yang dapat diintegralkan muncul di sini, sama halnya seperti pada integral tunggal dan lipat-dua. Tentu saja cukup bahwa f kontinu di B.sebenarnya kita membolehkan beberapa ketakkontinuan, sebagai contoh, pada sej umlah berhingga permukaan mulus. Kita tidak membuktikan (suatu tugas yang sangat sukar), tetapi kita nyatakan bahwa ia benar. Seperti yang anda harapkan, integral lipat-tiga mempunyai sifat-sifat baku; kelinearan, penjumlahan pada himpunan-himpunan yang bersekutu hanya pada suatu permukaan batas, dan sifat pembandingan. Akhirnya integral lipat-tiga dapat dituliskan sebagai integral berulang rangkap tiga seperti sekarang kita ilustrasikan. Contoh 1
Hitung
∭ , dengan B adalah kotak ; B = {(x,y,z) : 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 1 , 0
≤ ≤ 2 }
Penyelesaian :
∭ = ∫0 ∫0 ∫ 7 = ∫0 ∫0 [ ] = ∫0 ∫0
7 ∫[ ] 0 0 7 = [ ]0 7 =
=
=
7 ∫ = 7 ∫ 0 0
Terdapat enam urutan pengintegralan yang mungkin. Yang mana saja diantara mereka akan menghasilkan jawaban
7
Daerah Umum
Perhatikan suatu daerah S terbatas dan tertutup di ruang dimensi tiga dan di lingkungi di dalam suatu balok B, seperti diperlihatkan pada gambar 2. Andaikan f(x,y,z) di definisikan pada S dan berikan f nilai nol di luar S. Kemudian kita definisikan
∭ ( , ,) = ∭ ( , ,) Integral di ruas kanan didefinisikan pada catatan pembukaan kita, tetapi tidak berarti bahwa integral tersebut mudah untuk dihitung. Sebenarnya, jika himpunan S cukup rumit, kita mungkin tidak mampu melakukan perhitungan itu. Andaikan S adalah himpunan z sederhana (garis-garis tegak memotong S menurut ruas garis tunggal) dan andaikan S xy adalah proyeksinya pada bidang xy (gambar 3) maka
(,) (,,) dA ∭ ( , ,) = ∬ ∫(,) Sebagai tambahan jika Sxy adalah himpunan y sederhana (seperti diperlihatkan pada gambar 3), kita dapat mengulang-tulis integral lipat-dua sebelah luar sebagai sebuah integral lipat.
(,) (,,) ∭ ( , ,) = ∫ ∫()() ∫(,) Urutan pengintegralan lain boleh jadi memungkinkan, tergantung pada bentuk S, tetapi dalam tiap kasus kita seharusnya mengharapkan limit dari integral sebelah dalam berupa fungsi dua peubah, yang berada pada integral tengah berupa fungsi satu peubah, dan yang di sebelah luar berupa konstanta. Kita berikan beberapa contoh. Yang pertama hanya mengilustrasikan perhitungan suatu integral berulang lipat-tiga. Contoh 2
Hitung integral lipat :
∫− ∫0 ∫+ 4
Penyelesaian :
∫− ∫0 ∫+ 4 = ∫− ∫0 ∫+ 4
∫− ∫0[4]+ = ∫− ∫0 (448) = ∫−[42 8] 0 =∫−(6 24) = [2 12 ]−
=
= (-250 + 300) – (16 + 48) = 50 - 64 = -14
Contoh 3
Hitung integral lipat tiga untuk f(x,y,z) = 2xyz dalam daerah pejal S yang dibatasi oleh tabung parabol z = 2 -
dan bidang-bidang z = 0 , y = x, dan y = 0
Penyelesaian ; Daerah pejal S dipeerlihatkan pada gambar 4. Integral lipat-tiga
2 Dapat dihitung dengan integrallipat. Pertama perhatikan bahwa S adalah suatu himpunan z sederhana dan bahwa proyeksinya S xy pada bidang xy adalah y sederhana (juga x sederhana). Jadi
− ∭ 2 = ∫0 ∫0 ∫0 2 − = ∫0 ∫0 [ ]0 =... =
∫0 ∫0 42
= ... =
∫0 2 7
=... = 4/3
Latihan 10
Dalam soal 1 – 4, hitung masing-masing integral lipat 1. 2. 3. 4.
∫−7 ∫0 ∫− 3 ∫0 ∫− ∫0+ 5 ∫+ 6 ∫ ∫− 0 ∫0 ∫− ∫ 2
Untuk soal 5 – 6 , berikan sketsa benda pejal S. Kemudian tuliskan integral lipat untuk
5. 6.
(,,) S = {(x,y,z) : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 3 , 0 ≤ ≤ (12 – 3x 2y) } S = {(x,y,z) : 0 ≤ x ≤ 3z , 0 ≤ y ≤ (4 – x – 2z) , 0 ≤ ≤ 2 }
