Waa Ode Cakr W Cakraa Nirwana, ST., ST., MT. MT. Program Studi Teknik Kimia Ki mia Fakultas Fakultas Tekni Teknik k Universitas Universitas Brawijaya
Pengolahan Pengolahan Data Data Teknik Teknik & Persamaan Pendekatan untuk Estimasi
Pengolahan Pengolahan Data Data Teknik Teknik & Persamaan Pendekatan untuk Estimasi
Pengolahan data teknik dan persamaan pendekatan untuk estimasi A. Persamaan Persamaan Linier Bentuk umum: y = ax + b
bentuk grafis pers. linier
y= f (x1, x2, ……)
Variabel bebas/ faktor (independent variable) 2 variabel Variabel tdk bebas/ variabel response (dependent variable) CASE 1
x = variable bebas y = variabel tidak bebas D1,…..,Dn = jarak antara garis dengan titik secara vertikal Garis regresi terbaik dicapai jika: D12 + D12 + ….. + Dn2 memberikan nilai minimum
Persamaan regresi least square: Y = a0 + a1X a0 dan a1 adalah koefisien regresi Dimana a0 = intercept; a1 = gradien
a0 dan a1 dapat dicari dari pers. (1) dan (2). Sehingga:
CASE 2
y = variable bebas x = variabel tidak bebas H3,…..,Hn = jarak antara garis dengan titik secara horisontal/ deviasi
Persamaan regresi least square: X= b0 + b1Y b0 dan b1 adalah koefisien regresi X dan Y adalah nilai koordinat
Contoh Soal: In an experiment to determine the relationship between frequency and the inductive reactance of an electrical circuit, the following results were obtained: Frequency (Hz) Inductive reactance (ohms)
: 50 100 150 200 250 300 350 : 30 65 90 130 150 190 200
Determine the equation of the regression line of inductive reactance on frequency, assuming a linear relationship
Answer: Problem 1 Since the regression line of inductive reactance on frequency is required, the frequency is the independent variable, X, and the inductive reactance is the dependent variable, Y. The equation of the regression line of Y on X is: Y = a0 + a1X
Frequency, X
Inductive reactance, Y
X2
XY
50
30
2500
1500
100
65
10000
6500
150
90
22500
13500
200
130
40000
16000
250
150
62500
37500
300
190
90000
57000
350
200
122500
70000
ΣX = 1400
ΣY = 855
ΣX2 = 350000
ΣXY = 212000
= 0.586
= 4.94
the equation of the regression line of inductive reactance on frequency is: Y = 4.94 + 0.586X
Problem 2
For the data given in Problem 1, determine the equation of the regression line of frequency on inductive reactance, assuming a linear relationship Answer:
In this case, the inductive reactance is the independent variable X and the frequency is the dependent variable Y. From equations 3 and 4, the equation of the regression line of X on Y is:
Y = b0 + b1X = -6.15 = 1.69
the equation of the regression line of inductive reactance on frequency is: X = -6.15 + 1.69Y
B. Persamaan Logaritmik Bentuk umum persamaan logaritmik adalah y = axn x vs y pada koordinat logaritmik
y
x
Persamaan logaritmik y = axn menjadi : log y = log a + n log x y’ = ax’ + b
dapat dilinierkan
dimana : y’ = log y x’ = log x Secara grafik dapat digambarkan dalam bentuk :
log x vs log y pada koordinat linier
log y
log x
Contoh Soal: Data kesetimbangan biosorpsi Cu dengan saccharomyces cereviciae adalah sebagai berikut : Berat biomassa (m) = 0.2 gram Volume larutan CuSO 4 (V) = 100 ml No
Co
Cs
qs data
% Penyerapan
(mg/l)
(mg/l)
(mg/g)
1
20
9.5325
5.23375
52.3375
2
40
22.2425
8.87875
44.39375
3
60
34.9525
12.52375
41.74583
4
80
47.6625
16.16875
40.42188
5
100
63.55
18.225
36.45
Hubungan antara Cs dengan qs adalah Dimana Cs = konsetrasi cairan, q s = konsentrasi padatan, K dan n = konstanta Freundlich Jika isotherm kesetimbangan yang dipakai adalah Model Isotherm Freundlich, dengan persamaan : q s = KFCs1/n
Persamaan diatas dapat dilinierkan menjadi : log qs = log KF + (1/n) log Cs y’ = ax’ + b
No
x = log Cs
y = log qs
x2
xy
1 2 3 4 5
0.979207 1.347184 1.543478 1.678177 1.803116
0.718813 0.948352 1.097734 1.208676 1.260668
0.958846 1.814904 2.382325 2.816277 3.251226
0.703867 1.277604 1.694329 2.028373 2.273129
Total
7.351161
5.234243
11.22358
7.977302
Menghitung harga a : Menghitung harga b :
= 0.677828 = 0.050284
Dengan mengganti harga a dan b maka persamaan: y = 0.677828 x + 0.050284 log qs = 0.677828 log Cs + 0.050284 Sehingga diperoleh harga (1/n) dan K F, sbb : 1/n = 0.677828 KF = 10^0.050284 = 1.12275242 Harga kf dan 1/n disubstitusikan persamaan isotherm freundlich akan diperoleh harga qs model (perhitungan) dan persen kesalahan :
No
qs data
qs model
% Kesalahan
1
5.23375
5.176282854
2
8.87875
9.192698152 3.535949903
3
12.52375
12.48811818 0.284513983
4
16.16875
15.40987089 4.693492756
5
18.225
18.72776711
1.09801091
2.75866727
C. Persamaan Eksponensial Bentuk umum persamaan logaritmik adalah y = aebx Persamaan logaritmik dapat dilinierkan menjadi : ln y = ln a + bx Y= Ax + B Dimana: Y = ln y X=x B = ln a
A=b
Contoh Soal: Pada suatu reaksi kimia diperoleh data hubungan antara temperatur (T) dengan harga konstanta kecepatan reaksi (k) sebagai berikut : No
Temperatur, K
k. 1/menit
1
300
0.0012
2
330
0.0017
3
360
0.0025
4
390
0.0036
5
420
0.0042
Jika hubungan antara k dan T mengikuti persamaan Arrhenius : k = A.exp(-E/RT) Carilah harga A dan E!.
Answer:
Persamaan Arrhenius dapat dilinierkan menjadi : ln k = ln A – E/RT y= ln k x = 1/T y = b – ax b = ln A a = -E/R No
T, K
k, 1/mnt
x=1/T
y=ln k
xy
x^2
1
300
0.0012
0.003333
-6.72543
-0.02242
1.11111E-05
2
330
0.0017
0.00303
-6.37713
-0.01932
9.18274E-06
3
360
0.0025
0.002778
-5.99146
-0.01664
7.71605E-06
4
390
0.0036
0.002564
-5.62682
-0.01443
6.57462E-06
5
420
0.0042
0.002381
-5.47267
-0.01303
5.66893E-06
0.014086
-30.1935
-0.08584
4.02535E-05
Dari hasil perhitungan
x. y n xy a x n. x 2
2
x. xy y. x b x2 n. x2
2
akan diperoleh : Harga konstanta pada persamaan linier (a dan b) : a= -1373,19 b = -2,17002 Harga konstanta pada persamaan Arrhenius ( A dan E) dimana dimana R = 1,987 cal/mol K: A = 0,114175 E = 2728,529 cal/mol K
Persamaan berbentuk: y
x a
bx
Persamaan diatas dapat dilinierkan menjadi: 1
y
a x
b
y’ = ax’ + b
dimana : y’ = 1/y x’ = 1/x
Contoh Soal Data kesetimbangan biosorpsi Cu dengan saccharomyces cereviacae adalah sebagai berikut : Berat biomassa (m) = 0.2 gram Volume larutan CuSO4 (V) = 100 ml
No
Co
Cs
qs data
%
(mg/l)
(mg/l)
(mg/g)
Penyerapan
1
20
9.5325
5.23375
52.3375
2
40
22.2425
8.87875
44.39375
3
60
34.9525
12.52375
41.74583
4
80
47.6625
16.16875
40.42188
5
100
63.55
18.225
36.45
Hubungan antara Cs dengan qs adalah :
qs
V (Co Cs ) m
Jika isotherm kesetimbangan yang dipakai adalah Model Isotherm Langmuir, dengan persamaan : qs
qmasbCs 1 bCs
Carilah konstanta pada isotherm Langmuir tersebut!
Persamaan dapat dilinierkan menjadi : 1/qs = 1/ (qmaksbCs) + 1/ qmaks Jika data-data dimasukkan akan diperoleh: Co
Cs
1/Cs = x
qs
1
20
9.5325
0.104904
5.23375
0.191068 0.011005
0.020044
2
40
22.2425
0.044959
8.87875
0.112628 0.002021
0.005064
3
60
34.9525
0.02861
12.52375 0.079848 0.000819
0.002284
4
80
47.6625
0.020981 16.16875 0.061848
0.00044
0.001298
5
100
63.55
0.015736
0.000248
0.000863
0.500262 0.014533
0.029553
Total
0.21519
18.225
1/qs = y
x2
No
0.05487
xy
Menghitung harga :
x. y n xy a 2 x n. x 2 b
x. xy y. x
x n. x 2
2
= 1.521983
2
= 0.034549
Dengan mengganti harga a dan b maka persamaan : y’ = 1.521983 x’ + 0.034549 atau
maka qmaks = 28.94419 maka b
= 0.0227
Harga Cs disubstitusikan ke persamaan 1/qs = 1/ (qmaksbCs) + 1/ qmaks untuk memperoleh harga qs model (perhitungan) No
Co
Cs
1/q s (model)
q s model
1 2 3 4 5
20 40 60 80 100
9.5325 22.243 34.953 47.663 63.55
0.194213
5.149
0.102977
9.711
0.078094
12.805
0.066482
15.042
0.058499
17.094
Perhitungan % kesalahan :
No
qs
data
qs
model
% Kesalahan
1
5.23375
5.149019
1.618937
2
8.87875
9.710997
9.37347
3
12.52375
12.80515
2.24695
4
16.16875
15.04172
6.970406
5
18.225
17.09442
6.203459
% Kesalahan rata-rata
5.282644
Metode Interpolasi Persamaan dasar metode interpolasi : Misal untuk suatu variabel bebas dan terikat : X
Y
Xo
Yo
X2
Y2
X3
Y3
X4
Y4
Berapa harga Y pada nilai X1 yang terletak diantara Xo dan X 2?
Y 1 Yo
( X 1 Xo) ( X 2 X o )
(Y 2 Y o )
Contoh Soal: Pada steam tabel pada steam jenuh terdapat nilai Hfg untuk masing-masing temperatur sebagai berikut : T, oF
Hfg
100
950
120
942
150
935
Berapa harga Hfg pada T = 130 oF? Answer:
942
10 30
(935 942)
LANGKAH-LANGKAH UMUM DALAM MEMBUAT SUATU PERSAMAAN DARI SUATU DATA PERCOBAAN : 1. BUAT GRAFIK (X,Y) 2. TENTUKAN PERSAMAAN YANG PALING SESUAI 3. HITUNG KONSTANTA-KONSTANTA YANG ADA 4. HITUNG PERSEN KESALAHAN RATA-RATA 5. PERSAMAAN DIANGGAP MENDEKATI DATA JIKA PERSEN KESALAHAN RATA-RATANYA < 10%
Operasi Matriks di Excel •
•
Operasi matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan secara simultan. Metode ini biasanya dipakai dalam neraca massa. Contoh:
2 3 A 4 3
2 x1
3 x2 8
4 x1
3 x2 2
x1 X x 2
8 B 2
AX
X
B
A1 B
Blok sel yang akan digunakan untuk matriks inverse lalu ketik: =MINVERSE(C2:D3) lalu tekan CtrlShift-Enter bersamaan
Blok sel yang akan digunakan untuk matriks X lalu ketik: =MMULT(C5:D6,G2:G3) lalu tekan Ctrl-Shift-Enter bersamaan
Exercise Reactant A decomposes in a batch reactor A product The composition of A in the reactor is measured at various times with results shown in the following columns 1 and 2. Find the reaction constant and reaction order if the reaction n -rA=is kC -rAA= kCAn equation Column 1 Column 2 Column 3 Time Concentration -rA t, s 0 20 40 60 120 180 300
C A, mol/liter 10 8 6 5 3 2 1
0.1256 0.0919 0.0614 0.0476 0.0233 0.0132 0.0050
Persamaan
-rA= kCAn dapat dilinierkan menjadi :
log -rA = log k + n log C A y’ = ax’ + b Column 1
Column 2
Column 3
Column 4
Column 5
Time
Concentration
-rA
x = log CA
y = log -r A
x2
xy
t, s
CA, mol/liter
0
10
0.1256
1.0000
-0.9010
1
-0.9010
20
8
0.0919
0.9031
-1.0367
0.8156
-0.9362
40
6
0.0614
0.7782
-1.2116
0.6055
-0.9428
60
5
0.0476
0.6990
-1.3225
0.4886
-0.9244
120
3
0.0233
0.4771
-1.6331
0.2276
-0.7792
180
2
0.0132
0.3010
-1.8796
0.0906
-0.5658
300
1
0.0050
0
-2.3010
0
0
4.1584
-10.2855
3.2279
-5.0494
Total
Menghitung harga a : Menghitung harga b :
= 1.4 = -2.30103
Column 6 Column 7
n = 1.4
k = 0.005
Exercise!! A wet paper pulp is found to contain 71% water. After drying it is found that 60% Of the original water has been removed. Calculate the following: (a)The composition of the dried pulp (b)The mass of water removed per kilogram of wet pulp Solution:
Wet pulp Pulp: 0.29 H2O: 0.71
x
F y
H 2O Basis: 1 kg of wet pulp
Dried pulp Pulp: 0.505 H 2O
Solution: Persoalan di atas dapat disederhanakan berdasarkan neraca massa komponen menjadi persamaan aljabar sebagai berikut: 0.505x = 0.29 0.495x + y = 0.71
Nilai x dan y dapat dicari dengan menggunakan matriks yang diperoleh menggunakan excel dimana A X = B atau X = A -1 B A=
0.505 0.495
0 1
A-1 =
1.9802 -0.98
0 1
X=
0.574 0.426
B=
0.29 0.71
x = 0574 y = 0.426
Latihan Soal 1 Steam table adalah tabel yang menyediakan data-data fisis dari uap H2O pada berbagai suhu dan tekanan, baik pada kondisi jenuh atau superheat. Tentukan entalpi steam pada tekanan 150 kPa dan 360oC bila data yang tertera pada steam table adalah sebagai berikut: Tekanan, kPa
H, pada 350oC
H, pada 400oC
125
3175,2
3277,8
150
3073,9
3174,7
175
3072,7
3174,2
Latihan Soal 2 Suatu kolom distilasi umumnya beroperasi untuk memisahkan seperti campuran etanol air berikut: Distilat (D): 85% Etanol 15% H2O 1 kg Feed (F): 35% Etanol 65% H2O Waste(W): 5% Etanol 95% H2O
Hitunglah massa distilat per kg limbah! D = 0.375
Latihan Soal 3 Pure gaseous reactant A (CA0 = 100milimol/lt) is fed at a steady rate into A mixed flow reactor (V = 0.1 liter) where it dimerizes (2A R). For different gas feed rates the following data are obtained: Run number υ0, liter/hr CAf , millimol/liter
1 10 85.7
Find k and n if the rate equation is Note:
2 3 66.7
3 1.2 50
-rA= kCAn
4 0.5 33.4
Solver Microsoft Excel mempunyai modul yang disebut Excel Solver yang mengijinkan pemakai untuk memasukkan nilai decision variable, constraint, dan objective untuk melakukan optimasi ke dalam cell dari suatu spreadsheet Misal ada persamaan sebagai berikut: X1 = 2T X2 = 3T Y1 = 4.2 X1 Y2 = 7.5 X2 Y1 +Y2 = 1 Carilah nilai T yang memberikan Y1 +Y2 = 1
Latihan Soal 4 Uap sebanyak F mol/mnt yang mengandung i-butane, n-butane dan n-hexane dengan fraksi mol umpan masing-masing sebesar 0.3, 0.2, 0.5, didinginkan di dalam suatu kondensor sehingga terbentuk campuran uap dan cairan yang kemudian dipisahkan dalam suatu flash. Tekanan sistem sebesar 1500 mmHg. Diinginkan perbandingan laju alir mol liquid dan laju alir mol feed (L/F) = 0.42. Berapakah suhu pendinginan yang diperlukan serta komposisi cairan dan uap yang diperoleh?
Data tekanan uap setiap komponen adalah sebagai berikut: A = i-butane
B = n-butane
P dalam mmHg dan t dalam 0C
C = n-hexane
Algoritma Perhitungan
……(1)
……(2)
……(3)
……(4)
Langkah penyelesaian: 1.
Trial T (suhu pendinginan dalam 0C)
2.
Hitung
3.
Hitung xi dari pers. (3)
4.
Hitung yi dari pers. (3)
5.
Cek apakah nilai T yang ditrial sudah memenuhi pers. (4). Jika belum, kembali
dari pers. (2)
ke langkah(1)
Nilai T hasil solver
Hukum Kekekalan & Pemodelan Matematika
Hukum Kekekalan Massa Neraca massa total:
massa tidak dapat berkurang atau bertambah, sehingga neraca massanya dapat dituliskan sebagai berikut: Laju akumulasi massa dalam sistem
=
laju massa masuk sistem
-
laju massa keluar sistem
Neraca massa komponen: massa suatu komponen dapat berkurang atau bertambah, sehingga neraca massanya menjadi:
Laju akumulasi massa komponen i dalam sistem
laju massa komponen i masuk sistem
=
+
-
laju massa komponen i yang terbentuk
laju massa komponen i keluar sistem
-
laju massa komponen i yang terpakai
Hukum Kekekalan Energi laju akumulasi energi dalam sistem
=
+
laju energi masuk sistem laju energi yang timbul dalam sistem
-
-
laju energi keluar sistem laju energi yang terpakai dalam sistem
Energi yang timbul ataupun terpakai dalam sistem dapat disebabkan oleh adanya reaksi kimia, reaksi nuklir, listrik, magnet, gesekan dan kompressi. Reaksi eksoterm akan menambah energi dalam sistem sedangkan reaksi endoterm akan mengurangi energi dalam sistem. Energi dapat dibagi menjadi dua yaitu: • Energi yang dimiliki oleh aliran massa yaitu energi kinetik, energi potensial, energi dalam dan energi alir • Energi yang ditransfer melalui batas sistem yaitu energi panas (Q) dan kerja (W)
Hukum Kecepatan a. Kecepatan Perpindahan Massa
Perpindahan massa secara difusi: Perpindahan massa secara konveksi: dimana, = Laju perpindahan massa komponen A ke arah x [mol/s] = koefisien difusivitas komponen A [m2 /s]
= luas perpindahan massa [m2] = gradien konsentrasi komponen A ke arah x
= koefisien perpindahan massa [m/s] = konsentrasi A pada bidang batas [mol/m3] = konsentrasi A pada badan fluida [mol/m3]
b. Kecepatan Perpindahan Panas
Perpindahan massa secara konduksi: Perpindahan massa secara konveksi: dimana, = laju perpindahan panas ke arah x [W], [Btu/h] = konduktivitas termal [W/m. K]
= luas perpindahan panas [m 2] = gradien temperatur ke arah x = koefisien perpindahan panas konveksi [W/m 2] = temperatur pada interface [K] = temperatur pada badan fluida [K]
c. Kecepatan Reaksi
maka kecepatan reaksinya dapat dituliskan sebagai berikut:
dimana, = laju reaksi komponen A = konstanta reaksi = konstanta reaksi = konsentrasi A
Prosedur Penyelesaian dalam perumusan matematik suatu sistem proses: 1. Buat sketsa sistem, definisikan variabel-variabel & parameterparameter 2. Pilih kontrol volume yang ditinjau untuk pengembangan modelnya 3. Buat persamaan neraca pada control volume dengan menggunakan hukum-hukum kecepatan dan atau hukum kesetimbangan yang diperlukan. Umumnya akan dihasilkan persamaan diferensial 4. Tulis kondisi batas dan kondisi awal 5. Selesaikan persamaan diferensial pada pers. (3) dengan kondisi batas/awal pada pers (4) 6. Interpretasi penyelesaian Asumsi diberikan untuk beberapa situasi atau variabel yang tidak terlalu berpengaruh.
Contoh: Garam: 10 gr Bisa dianggap ρ tetap, berarti Air: 1 m3
Karena perubahan ρ tidak terlalu besar
Garam: 10 kg
ρ tidak bisa diasumsikan tetap atau dengan kata lain Air: 1 m3
Contoh soal 1 (Kondisi Steady): Suatu tangki dengan volume 100 lt, mula-mula mengandung garam dengan konsentrasi sebesar C A0 kg/lt. Ke dalam tangki dialirkan air dengan laju 5 lt/mnt. Sedangkan liquid mengalir dari tangki dengan laju 5 lt/mnt. Jabarkan suatu persamaan yang menggambarkan perubahan konsentrasi garam yang keluar reaktor setiap waktu! Penyelesaian:
υair = 5 lt/mnt CA1= 0 ρ1 = ρ air CA ρ
υ lar. garam = 5 lt/mnt CA2 = ρ2 = ρ lar. garam
Contoh soal 2 (Kondisi Unsteady):
Suatu tangki dengan volume 100 lt, mula-mula berisi air murni. Ke dalam tangki dialirkan larutan garam dengan konsentrasi 0,0015 kg/lt dan laju 5 lt/mnt. Sedangkan liquid mengalir dari tangki dengan laju 3 lt/mnt. Hitung konsentrasi larutan garam yang keluar dari reaktor setelah 5 menit!
Tugas 1: 1.Sebuah tangki berisi 2 m3 air. Ke dalam tangki mengalir larutan garam dengan konsentrasi 20 kg/ m 3 dengan kecepatan alir 0,02 m3 /s. Liquid mengalir dari tangki dengan rate 0,01 m3 /s. Berapa konsentrasi dalam tangki jika tangki mengandung 4 m3 larutan garam? 2. Tangki yang berisi larutan garam mula-mula bervolume 100 lt dengan konsentrasi 0,002 kg/lt. Kemudian air murni dialirkan ke dalam tangki dengan laju 1 lt/mnt. a. Jabarkan suatu persamaan diferensial yang menggambarkan perubahan konsentrasi garam dalam tangki setiap waktu b. Hitung waktu yang dibutuhkan jika diinginkan konsentrasi garam dalam tangki sebesar 0,001 kg/lt 3. Dua buah tangki masing-masing bervolume 25 m3, berisi larutan garam dengan konsentrasi 100 kg/ m3. Ke dalam tangki pertama dialirkan air murni dengan rate 0,2 m3 /min sedangkan larutan garam yang keluar tangki pertama dialirkan ke tangki kedua dengan rate 0,2 m 3 /min. Larutan garam yang keluar dari tangki kedua juga mempunyai rate yang sama yaitu 0,2 m 3 /min. a. Hitung waktu yang dibutuhkan agar konsentrasi garam dalam tangki pertama sebesar 10 kg/ m3 b. Hitung konsentrasi garam dalam tangki kedua pada saat konsentrasi garam dalam
Contoh soal 3 1. 5 m3 /jam larutan yang mengadung reaktan A dengan konsentrasi 2 kgmol/m3 dialirkan ke dalam suatu reaktor alir tangki berpengaduk, yang mula-mula berisi pelarut murni sebanyak 2 m3. Di dalam reaktor terjadi reaksi peruraian A k R + S yang merupakan reaksi irreversible orde 1. Dari reaktor keluar larutan dengan laju alir 5 m3 /jam. a. Tentukan persamaan yang menyatakan konsentrasi A dalam reaktor sebagai fungsi waktu b. Tentukan waktu yang dibutuhkan agar konsentrasi A yang keluar reaktor 2. Suatu reaktor batch dengan volume konstan mengalami reaksi seri berikut ini: A k1 B k2 C Anggap reaksi – reaksi ini orde 1. Mula-mula di dalam reaktor terdapat larutan A dengan kadar CA0 mol/volume. Tentukan CA(t), CB(t), CC(t)
Lump Parameter & Distributed Parameter Model Lump parameter model: Model formulasi matematik suatu proses dimana variabel-variabel dependennya seragam di seluruh bagian sistem Contoh: Sistem tangki teraduk
Konsentrasi di seluruh reaktor sama
Sistem yang ditinjau untuk formulasi matematik adalah seluruh bagian sistem
Distributed Parameter Model: Model formulasi matematik suatu proses dimana nilai variabel-variabel proses tersebut tidak seragam di seluruh bagian sistem
Contoh: Sistem reaktor plug flow in
Control Volume
Liquid yang dialirkan ke dalam out reaktor tidak tercampur dengan sempurna sehingga terjadi perbedaan konsentrasi dan suhu
Sistem yang ditinjau untuk formulasi matematik adalah bagian elemen kecil dari sistem keseluruhan
ILUSTRASI PROSES PEMODELAN
Contoh: Proses pendinginan fluida yang mengalir di dalam pipa berpenampang lingkaran. MODEL 1 – PLUG FLOW
Langkah Pemodelannya adalah
1. Buat sketsa sistem.
Plug flow: Profil kecepatan fluida berbentuk plug (merata pada posisi radial). Elemen fluida bercampur sempurna ke arah radial sehingga temperatur fluida merata pada bidang normal terhadap bidang aliran (arah
Jika tube tidak panjang atau perbedaan temperatur tidak besar, maka sifat fisik fluida tidak banyak berubah. 2. Membuat asumsi: 1. Keadaan tunak; 2. Sifat fisik fluida ( , C p, k dll) konstan; 3. Temperatur dinding konstan dan merata (tidak berubah ke arah z atau r ) dengan nilai T w; 4. Temperatur inlet konstan dan merata (tidak berubah ke arah r ) dengan nilai T 0, dimana T 0 > T w; 5. Profil kecepatan berbentuk plug atau datar sehingga merata ke arah z atau r; 6. Fluida bercampur sempurna (turbulen Re > 2100)
sehingga temperatur merata ke arah radial; 7. Konduksi termal sepanjang sumbu relatif kecil dibandingkan konveksi.
3. Buat sketsa elemen volume diferensial sistem (fluida alir) atau “volume kontrol."
4. Kembangkan hukum kekekalan energi umum
Keadaan tunak akumulasi nol. Tidak ada sumber kimia, nuklir atau listrik tidak ada pembangkit panas. Panas hanya berpindah melalui perimeter elemen akibat perbedaan temperatur antara fluida dan dinding. Laju pengambilan panas menggunakan hukum pendinginan Newton (+)
Luas kontak = keliling x panjang. Koefisien perpindahan panas, h konstan. Tanda bar di atas T menyatakan nilai rata-rata antara T (z) dan T (z + z)
Kembangkan hukum kekekalan energi umum
Sepanjang sumbu, panas masuk dan keluar hanya melalui konveksi (aliran) sehingga
Dua suku pertama: laju alir massa x entalpi lokal (temp. rujukan untuk entalpi = 0).
Disusun kembali dan dibagi z, diperoleh
Dengan
menjadi
Pengelompokan parameter parameter menjadi satu s atu suku (parameter lumping)
menjadi . dimana .
Persamaan diferensial biasa b iasa orde pertama.
Contoh soal
PENERAPAN HUKUM KEKEKALAN ENERGI & HUKUM KECEPATAN PERPINDAHAN PANAS Suatu cairan dengan suhu T0 masuk ke dalam pipa dengan kecepatan superfisial v. Cairan tersebut didinginkan pada saat melewati pipa. Di luar pipa terdapat cairan pendingin dan dianggap suhu dinding dalam pipa seragam dan konstan sebesar Tw. Anggap Anggap aliran sangat turbulen turbu len sehingga sehing ga distribusi kecepatan cairan adalah flat. f lat. Koef Koefisien isien perpindahan perpi ndahan panas secara konveksi konveksi pada dinding pipa adalah h. Tentukan Tentukan distribusi dist ribusi suhu suh u cairan di dalam pipa!
Contoh soal
Perpindahan Panas Radial Melewati Konduktor Silinder Suatu shell silinder metalik digunakan sebagai peralatan perpindahan panas, dimana panas mengalir dari permukaan dalam ke permukaan luar. Jika kedua permukaan tersebut mempunyai temperatur konstan yang berbeda, cari distribusi temperatur kondisi steady dalam material tersebut!
MODEL 2 – KECEPATAN PARABOLIK
Volume kontrol berbentuk cincin dengan tebal r dan panjang z ; Panas melewati dua permukaan, area anular yang normal terhadap aliran fluida, dan area sepanjang keliling cincin; Fluks panas (laju per satuan luas normal) menggunakan konduksi molekular.
MODEL 2 – KECEPATAN PARABOLIK
Laju bersih pembentukan (pelepasan) panas oleh konduksi = fluks x luas area normal terhadap arah fluks. Hukum kekekalan panas elemen volume
– KECEPATAN PARABOLIK
Dua koordinat posisi proses diferensiasi parsial, misalnya
disusun kembali dan dibagi dengan 2zr . .
– KECEPATAN PARABOLIK
Dengan limit, diperoleh
Turunan terhadap z menunjukkan nilai r konstan, sehingga r dapat ditempatkan di luar suku; dengan membagi dengan r dan menata kembali, diperoleh
MODEL 2 – KECEPATAN PARABOLIK
Substitusi hukum Fourier dan uz ke diperoleh
Persamaan diferensial parsial orde dua
Tugas 2: . Sebuah bola berongga (dengan jari-jari dalam 0,5 m dan jari-jari luar 0,6 m) berturut-turut dipertahankan pada suhu 330 K dan 310 K. Konduktivitas termal bahan bola adalah 0,9 W/m.K. Anggap perpindahan panas hanya terjadi secara konduksi. a.Tentukan distribusi suhu pada dinding bola b.Tentukan laju panas yang hilang dari bola . Suatu batang silider terbuat dari logam yang kedua ujungnya terisolasi sehingga perpindahan panas hanya ke arah radial saja. Mula-mula batang silinder berada pada suhu seragam T0. Jabarkan persamaan diferensial yang menggambarkan peristiwa perpindahan panas di dalam silinder jika dianggap perpindahan panas terjadi secara konduksi dan konveksi
3.
Sebuah sirip berbentuk segitiga dengan panjang L, lebar dasar sirip W dan tebal sebesar satu satuan panjang. Dasar sirip di las pada suatu benda tertentu dengan temperatur konstan T B. Dari sirip terjadi kehilangan panas secara konveksi ke lingkungan yang bertemperatur TA. Koefisien transfer panas secara konveksi pada permukaan adalah h (Btu/j.ft 2.0F) dan konduktivitas panas dari sirip adalah k (Btu/j.ft2.0F). Pada kondisi steady state, jabarkan persamaan diferensial yang menggambarkan hubungan antara temperatur dengan jarak dari dasar sirip (L-x)
4.
Dikehendaki untuk menghasilkan suatu zat B dari bahan baku A di dalam reaktor alir berpengaduk dengan volume efektif V m 3. Bila larutan A dengan kadar CA0 dialirkan ke dalam reaktor yang semula kosong dengan laju alir Q m3 /s dan reaksi yang terjadi di dalam reaktor adalah
dimana seluruh reaksi orde satu. Tunjukkan bahwa jumlah mol B yang ada dalam reaktor sebelum larutan dalam reaktor tumpah dinyatakan dengan persamaan diferensial berikut:
Dimana
P = k + k + k
R= k k
S=QC
k
Persamaan Aljabar Linear
Persamaan Aljabar Linear Bentuk umum :
dimana x1, x2, . . . , xn variabel tak diketahui, aij , bi, i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bil. diketahui. Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel. Atau bila dinyatakan dalam notasi matriks:
AX = B
Langsung: digunakan pada matriks yang rapat (dense matrix) Yaitu matriks yang elemen-elemen nol-nya hanya sedikit
Metode Penyelesaian Persamaan Aljabar Linear
Metode: Eliminasi Gauss, eliminasi Gauss-Jordan dan LU decomposition
Tak Langsung: digunakan untuk sparse matriks Yaitu matriks yang banyak elemen-elemen nol-nya Dimana metode ini butuh harga awal (tebakan) Metode: Jacobi dan Gauss-Siedel
METODA ELIMINASI GAUSS Prinsipnya: merupakan operasi eliminasi dan substitusi variabel-variabelnya
sedemikian rupa sehingga dapat terbentuk matriks segitiga atas , dan akhirnya solusinya diselesaikan menggunakan teknik substitusi balik ( backsubstitution).
Diagonal utama tidak boleh sama dengan nol
Contoh matriks segitiga atas
Perlu dicatat: Pada setiap tahap, arr TIDAK BOLEH sama dengan nol
Tiap tahap diadakan pertukaran baris agar harga arr adalah
Contoh: Carilah x1, x2, dan x3 dari persamaan berikut dengan cara Eliminasi Gauss 3x1 – x2 + 2x3 = 12 x1 + 2x2 + 3x3 = 11 2x1 – 2x2 – x3 = 2 Penyelesaian:
B2- 1/3B1
B3+ 4/7B2
B3- 2/3B1
x3 = 2
Substitusi x3 ke pers. 2
x2 = 1 Substitusi x2 dan x3 ke pers. 1
METODA GAUSS-JORDAN Prinsipnya: mirip sekali dengan metode EG, namun dalam metode ini harga (absolut) yang besar ada di diagonalnya
Syarat Metode Gauss-Jordan 1.
Jika sebuah baris seluruhnya bukan merupakan angka nol, maka angka bukan nol pertama pada baris tersebut adalah 1 ( leading 1).
2.
Jika ada 2 baris berurutan yang sama-sama tidak terdiri dari angka nol seluruhnya, maka leading 1 dari baris yang lebih bawah berada di sebelah kanan dari leading 1 yang berada di baris yang lebih atas.
3.
Pada setiap kolom yang memiliki leading 1 di kolomnya , maka nilai yang ada di kolom tersebut kecuali leading 1 adalah nol.
Contoh: Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode Gauss-Jordan!
Penyelesaian: Tukar baris 1 dan 4
B1 /6 B2-2B1' B3-4B1'
Tukar baris 2 dan 3
B2 /(-11/3) B1-1/6B2' B3-5/3B2' B4-2B2'
Sehingga:
B3 /(75/11) B1+ 9/11B3'
B4 /(39/25) B1- 1/25B4'
B2+12/11B3' B4-24/11B3'
B2+77/275B4' B3-62/75B4'
x1 = -1/2 x2 = 1 x3 = 1/3 x4 = -2
METODA LU DECOMPOSITION
Prinsipnya: melakukan dekomposisi matriks A terlebih dahulu sehingga dapat terbentuk matriks-matrik segitiga atas dan bawah, kemudian secara mudah dapat melakukan substitusi balik ( backsubstitution) untuk berbagai vektor VRK (vektor ruas kanan).
Matriks A diuraikan ke dalam hasil kali dua matriks L dan U, dimana L adalah Triangular bagian bawah (Lower) dan U adalah Triangular matriks bagian atas (Upper) dengan angka 1 pada diagonalnya. Penentuan elemen-elemen matriks L dan U dapat dijabarkan sebagai berikut:
matriks U
matriks A
Dengan operasi perkalian matriks maka dapat diperoleh elemen-elemen L dan U yaitu Baris-baris L dikali kolom ke-1 U: L11 =a11 L21 = a21 L31 = a31
L41= a41
Baris ke-1 L dikali kolom-kolom U: L11 U12 =a12 L11 U13 = a13 L11 U14 = a14
L41= a41
Baris-baris L dikali kolom ke-2 U: L21 U12 + L22 =a22 L31 U12 + L32 = a32 L41 U12 + L42 = a42
Dengan cara yang sama diperoleh:
L22 =a22 - L21 U12 L32 = a32 -L31 U12 L42 = a42 - L41 U12 L33 =a33 – L31 U13 – L32 U23 L43= a43 – L41 U13 – L42 U23 L44 = a44 - L41 U14 – L42 U24 – L43 U34
Rumus umum untuk memperoleh elemen-elemen L dan U:
Untuk Untuk
j=1 i=1
Li1 = ai1 U1j = a1j /L11 = a1j /a11
Setelah elemen-elemen L dan U diperoleh
Penyelesaian pers. A X = c
Gunakan transformasi yang sama pada vektor c menjadi vektor baru c ’. Bila vektor c’ digabung dengan matriks U maka penyelesaian dapat dicari Persamaan umum untuk menghitung c ’ :
Persamaan untuk substitusi kembali:
Contoh: Selesaikan sistem persamaan-persamaan berikut dengan metode LU decomposition:
Penyelesaian: Dari soal diperoleh:
Mencari matriks matriks L dan U untuk matriks A
Tugas Gambar berikut ini memperlihatkan sistem tiga buah reaktor yang terhubungkan oleh pipa-pipa. Laju perpindahan setiap komponen/zat melalui setiap pipa merupakan perkalian dari laju alir volumetriknya (Q, dalam satuan m3/detik) dengan konsentrasinya yang keluar dari masing-masing reaktor (C, dalam satuan mg/m 3). Sistem proses berada dalam kondisi steady, steady, yang berarti bahwa laju massa masuk ke setiap reaktor sama dengan laju massa keluar.
Q33 = 120 Q13 = 40 Q12 = 80 Q23 = 60 Q21 = 20
Susunlah neraca massa pada masing-masing reaktor dan selanjutnya selesaikanlah sistem persamaan aljabar linier yang terbentuk (untuk menentukan harga-harga C1, C2, dan C3).
Tugas Kelompok Studi Kasus
Umpan berupa zat A murni dengan laju 100 kmol/jam. Syarat: 1. 80% dari A dan 40% dari B di dalam alur 2 didaur ulang (recycle). 2. Perbandingan mol A terhadap mol B di dalam alur 1 adalah 5:1 Susunlah neraca massa pada masing-masing alat dan selanjutnya selesaikanlah sistem persamaan aljabar linier yang terbentuk!
METODA JACOBI Prosedur penyelesaian: Baris-baris persamaan diatur kembali sehingga elemenelemen diagonal diusahakan mempunyai harga yang relatif lebih besar dibanding elemen pada baris yang sama Pendekatan awal x(1) hitung masing-masing komponen x, untuk i = 1,2,……n dengan pesamaan:
dimana
adalah harga xi pada pendekatan k
Iterasi dihentikan bila harga
mendekati
yaitu bila:
adalah batas kesalahan maks yang diijinkan. Metode ini konvergen jika
METODA GAUSS-SIEDEL Metode ini hampir sama dengan metode Jacobi. Prosedur penyelesaiannya adalah:
Iterasi dihentikan bila harga
mendekati
yaitu bila:
adalah batas kesalahan maks yang diijinkan. Metode ini konvergen jika
Contoh: Tentukan x, y, dan z dari sistem persamaan-persamaan berikut dengan metode Jacobi dan Gauss Siedel dengan harga awal x 0 = 1, y0 = 2 dan z0 = 2
Penyelesaian: Persamaan dapat ditulis Proses iterasi Jacobi:
Proses iterasi Gauss Siedel:
Jacobi k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
xk 1 1.75 1.84375 1.9625 1.990625 1.994141 1.998594 1.999648 1.99978 1.999947 1.999987 1.999992 1.999998 2.000000 2.000000 2.000000
yk 2 3.375 3.875 3.925 3.976563 3.995313 3.997188 3.999121 3.999824 3.999895 3.999967 3.999993 3.999996 3.999999 4.000000 4.000000
zk 2 3 3.025 2.9625 3.000000 3.000938 2.998594 3.000000 3.000035 2.999947 3.000000 3.000001 2.999998 3.000000 3.000000 3.000000
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Gauss Siedel xk yk 1 2 1.75 3.75 1.95 3.96875 1.995625 3.996094 1.999266 3.999512 1.999927 3.999939 1.999989 3.999992 1.999999 3.999999 2.000000 4.000000 2.000000 4.000000
zk 2 2.95 2.98625 2.999031 2.999804 2.999983 2.999997 3.000000 3.000000 3.000000
Metode Penyelesaian Numerik
Introduction Even with advanced methods of integration there are many mathematical functions which cannot be integrated by analytical methods and thus approximate methods have then to be used. Approximate methods of definite integrals may be determined by what is termed numerical integration. It may be shown that determining the value of a definite integral is, in fact, finding the area between a curve, the horizontal axis and the specified ordinates. Three methods of finding approximate areas under curves are the trapezoidal rule, the mid-ordinate rule and Simpson’s rule, and these rules are used as a basis for numerical integration.
Trapezoidal rule Let a required definite integral be denoted by and be represented by the area under the graph of y = f (x) between the limits x = a and x = b as shown below
An approximation to the area under the curve may be determined by joining the tops of the ordinates by straight lines. Each interval is thus a trapezium, and since the area of a trapezium is given by: area = ½ (sum of parallel sides) (perpendicular distance between them) then,
i.e. the trapezoidal rule states:
Problem 1 (a) Use integration to evaluate, correct to 3 decimal places, (b) Use the trapezoidal rule with 4 intervals to evaluate the integral in part (a), correct to 3 decimal places Solution:
(b) The range of integration is the difference between the upper and lower limits, i.e. 3 - 1 = 2. Using the trapezoidal rule with 4 intervals gives an interval width
and ordinates situated at 1.0, 1.5, 2.0,
2.5 and 3.0. Corresponding values of
are shown in the table below,
each correct to 4 decimal places (which is one more decimal place than required in the problem).
Problem 2 Use the trapezoidal rule with 8 intervals to evaluate
, correct correct
to 3 decimal places
With 8 intervals, the width of each is
giving ordinates
at 1.00, 1.25, 1.50, 1.75, 2.00, 2.25, 2.50, 2.75 and 3.00. Corresponding values of
are shown in the table below:
Analytic method
Numerical method
2.928
2.945 (4 intervals) 2.932(4 intervals)
This problem demonstrates that the greater the number of intervals chosen (i.e. the smaller the interval width) the more accurate will
Mid-Ordinate Rule
Let a required definite integral be denoted again by and represented by the area under the graph of o f y = f(x) between the limits x = a and x = b, as shown in fig. below
With the mid-ordinate rule each interval of width d is assumed to be replaced by a rectangle of height equal to the ordinate at the middle point of each interval, shown as y1, y2, y3, . . . yn in Fig. above.
Thus
Example Use the Mid-Ordinate Rule with 4 and 8 intervals to evaluate , correct to 3 decimal places
With 4 intervals, each will have a width of
, i.e. 0.5 and the
ordinates will occur at 1.0, 1.5, 2.0, 2.5 and 3.0. Hence the midordinates y1, y2, y3 and y4 occur at 1.25, 1.75, 2.25 and 2.75 Corresponding values of are shown in the following table:
With 8 intervals, each will have a width of 0.25 and the ordinates will occur at 1.00, 1.25, 1.50, 1.75, . . . and thus mid-ordinates at 1.125, 1.375, 1.625, 1.875 . . . . Corresponding values of are shown in the following table:
Simpson’s rule The approximation made with the trapezoidal rule is to join the top of two successive ordinates by a straight line, i.e. by using a linear approximation of the form a+bx. With Simpson’s rule, the approximation made is to join the tops of three successive ordinates by a parabola, i.e. by using a quadratic approximation of the form a+ bx + cx2.
Figure 1
Figure above shows a parabola y = a + bx + cx2 with ordinates y1, y2 and y3 at x = d, x = 0 and x = d respectively.
Thus the width of each of the two intervals is d. The area enclosed by the parabola, the x-axis and ordinates x = -d and x = d is given by:
…….(1)
Thus the area under the parabola between x = d and x = d in Fig. 1 may be expressed as 1/3 d(y 1 + 4y2 + y3), from equations (1) and (2). Example and represented by the area Let a definite integral be denoted by under the graph of y = f(x) between the limits x = a and x = b, as shown in Fig. 2. The range of integration, b-a, is divided into an even number of intervals, say 2n, each of width d.
Figure 2
Since an even number of intervals is specified, an odd number of ordinates, 2n + 1, exists. Let an approximation to the curve over the first two intervals be a parabola of the form y = a+bx+cx2 which passes through the tops of the three ordinates y1, y2 and y3. Similarly, let an approximation to the curve over the next two intervals be the parabola which passes through the tops of the ordinates y3, y4 and y5, and so on. Then
Simpson’s rule states:
Note that Simpson’s rule can only be applied when an even number of intervals is chosen, i.e. an odd number of ordinates.
Example
Use Simpson’s rule with (a) 4 intervals, (b) 8 intervals, to evaluate correct to 3 decimal places
Solution (a) With 4 intervals, each will have a width of and the ordinates will occur at 1.0, 1.5, 2.0, 2.5 and 3.0.
b. With 8 intervals, the width of each is
giving
ordinates at 1.00, 1.25, 1.50, 1.75, 2.00, 2.25, 2.50, 2.75 and 3.00.
Analytic method
2.928
Numerical method
Trapezoidal
Mid-Ordinate Rule
Simpson’s rule
2.945 (4 intervals)
2.920 (4 intervals)
2.929 (4 intervals)
2.932(8 intervals)
2.926(8 intervals)
2.928 (8 intervals)
It is noted that the latter answer is exactly the same as that obtained by integration. In general, Simpson’s rule is regarded as the most accurate of the three approximate methods used in numerical integration.
Penyelesaian Persamaan-Persamaan Non Linier
Suatu persamaan non linier f(x) = 0 pada umumnya tidak dapat diselesaikan secara analitis. Persamaan ini dapat diselesaikan secara numerik. Metode ini sifatnya iteratif yakni dimulai dari satu atau lebih pendekatan awal, selanjutnya diperoleh sederetan harga-harga x0, x1, x2, ….., yang diharapkan konvergen pada satu harga, yaitu penyelesaian dari persamaan f(x)=0 tersebut di atas. Beberapa metode numerik yang banyak digunakan untuk menyelesaika persamaan ini adalah Metode Bisection dan Newton Raphson
Bisection Pandanglah persamaan pangkat tiga berikut:
Pada x=1
f(x) = -4
Pada x=2
f(x) = +3
Karena fungsi f(x) adalah kontinyu, jelaslah bahwa perubahan tanda di antara x=1 dan x=2 menunjukkan setidak-tidaknya satu akar berada pada interval (1,2) Misal, sekarang kita hitung fungsi pada x=1.5 dan bandingkan hasilnya dengan harga fungsi pada x=1 dan x=2. Karena harga fungsi tandanya berubah di antara x=1,5 dan x=2, maka salah satu akar terletak diantara x=1,5 dan x=2. Kita dapat melanjutkan operasi membagi dua interval ini untuk menentukan interval yang makin kecil dimana satu akar tersebut
Sehingga dapat dituliskan prosedur dalam menentukan akar persamaan menggunakan metode Bisection 1. Pilih harga x1 dan x2 sedemikian sehingga f(x1) dan f(x2) berlawanan tanda 2. Tentukan harga x3 dengan rumus: 3. Bila
, tetapkan harga x3 adalah harga x yang dic
Bila tidak, lanjutkan ke tahap 4 4. Bila f(x3) berlawanan tanda dengan f(x1), tetapkan x2 = x3 Bila f(x3) berlawanan tanda dengan f(x2), tetapkan x1= x3 Kembali ke tahap 2
Introduction to iterative methods Each successive approximation method relies on a reasonably good first estimate of the value of a root being made. One way of determining this is to sketch a graph of the function, say y = f(x), and determine the approximate values of roots from the points where the graph cuts the x-axis. Another way is by using a functional notation method. This method uses the property that the value of the graph of f(x) = 0 changes sign for values of x just before and just after the value of a root. For example, one root of the equation x2 - x - 6 = 0 is x = 3.
Using functional notation:
It can be seen from these results that the value of f(x) changes from -4 at f(2) to +6 at f(4), indicating that a root lies between 2 and 4. This is shown more clearly in Fig. 16.1.
Newton Raphson The Newton – Raphson formula, often just referred to as Newton’s method, may be stated as follows:
The advantages of Newton’s method over other methods of successive approximations is that it can be used for any type of mathematical equation (i.e. ones containing trigonometric, exponential, logarithmic, hyperbolic and algebraic functions), and it is usually easier to apply than other methods. The method is demonstrated in the following worked problems.
Problem 1
Use Newton’s method to determine the positive root of the quadratic equation 5x2 + 11x + 17 = 0, correct to 3 significant figures. Check the value of the root by using the quadratic formula! Solution: The functional notation method is used to determine the first approximation to the root:
This shows that the value of the root is close to x = 1. Let the first approximation to the root, r1, be 1. Newton’s formula states that a closer approximation,
By Newton’s formula, a better approximation to the root is:
A still better approximation to the root, r3, is given by:
i.e. 1.05, correct to 3 significant figures Since the values of r2 and r3 are the same when expressed to the required degree of accuracy, the required root is 1.05, correct to 3 significant figures. Checking, using the quadratic equation formula,
The positive root is 1.047, i.e. 1.05, correct to 3 significant figures
Dalam metode Newton- Raphson, f(x) didekati dengan garis singgungnya pada titik (xn, f(xn)) dan xn+1 adalah absis dari titik potong garis singgung dengan sumbu x Jadi untuk menentukan xn+1 digunakan persamaan: f(xn)+(xn+1 - xn) f’(xn) = 0 atau
Iterasi dihentikan bila menjadi lebih kecil dari kesalahan terbesar yang dibolehkan. Dimana error =
Problem 2 Tentukan akar dari persamaan berikut ini:
Sampai ketelitian lima angka di belakang koma dengan menggunakan x0 = 1.5 sebagai pendekatan awal dan error ≤ 10-5 Iterasi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x0 1.5 1.80435 1.88242 1.91255 1.92488 1.93002 1.93218 1.93309 1.93347 1.93364 1.93370 1.93373
f(xn) 0.43499 0.15893 0.06596 0.02770 0.01168 0.00493 0.00208 0.00088 0.00037 0.00016 0.00007 0.00003
f'(xn) -1.4293 -2.0358 -2.1890 -2.2477 -2.2716 -2.2816 -2.2857 -2.2875 -2.2883 -2.2886 -2.2887 -2.2888
hn -0.30435 -0.07807 -0.03013 -0.01233 -0.00514 -0.00216 -0.00091 -0.00038 -0.00016 -0.00007 -0.00003 -0.00001
x1 1.80435 1.88242 1.91255 1.92488 1.93002 1.93218 1.93309 1.93347 1.93364 1.93370 1.93373 1.93374
(xn+1-xn)/xn 2.029E-01 4.327E-02 1.601E-02 6.445E-03 2.671E-03 1.119E-03 4.712E-04 1.988E-04 8.393E-05 3.545E-05 1.497E-05 6.324E-06
Bairstow Metode ini digunakan untuk mencari semua akar-akar persamaan polinomial dengan menentukan faktor-faktor kuadratisnya Dalam hal ini polinomial dituliskan sebagai berikut:
Bila
Adalah faktor kuadratis yang akan dicari, maka
Algoritma penentuan faktor kuadratis suatu fungsi polinomial dijelaskan sebagai berikut: 1. Pilih harga pendekatan awal R dan S dan pilih harga toleransi 2. Tentukan b(i) dan c(i) sebagai berikut: b1 = a1 c1 = b1 b2 = a2 + rb1 c2 = b2 – rc1 b3 = a3 + rb2 + sb1 c3 = b3 – rc2 – sc1 ‘ ‘ ‘ ‘ bn = an + rbn-1 + sbn-2 cn = bn – rcn-1 – scn-2 bn+1 = an+1 + rbn + sbn-1 cn+1 = bn+1 – rcn – scn-1
3. Tentukan Denom = (cn-1) - cn . cn-2 4. Bila Denom = 0 maka set R = R + 1, S = S + 1 dan kembali ke tahap 2. Bila Denom ≠ 0 lanjutkan ke tahap 5 5. Tentukan DELR dan DELS yaitu: DELR = (-bn. cn-1 + bn+1 . cn-2)/ Denom DELS = (-bn+1. cn-1 + bn . cn)/ Denom 6. Tentukan R baru dan S baru yaitu: Rbaru = Rlama + DELR Sbaru = Slama + DELS 7. Bila {|DELR| + |DELS|} ≤ Toleransi maka perhitungan dihentikan dan harga R dan S terakhir adalah harga R dan S yang dicari. Bila {|DELR| + |DELS|} ≥ Toleransi, kembali ke tahap 2 Contoh: Cari semua akar-akar persamaan berikut dengan metode Bairstow x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0, Toleransi = 0,05
Tugas
1. Tinjaulah reaksi water – gas shift yang dapat dimanfaatkan untuk memproduksi gas hidrogen dalam industri sel bahan bakar: Pada kesetimbangan (suhu 500 K) dengan reaktan awal yang berupa campuran stoikiometrik CO dan H2O, hubungan antara nilai konstanta kesetimbangan reaksi (K) dengan fraksi reaktan yang terkonversi (x) dinyatakan sbb: Tentukan nilai x, dengan error ≤ 10-5 (a) bisection (b) Newton-Raphson
2. Sistem persamaan berikut ini dirancang untuk menentukan konsentrasi (c, dalam g/m3) dalam serangkaian reaktor sebagai fungsi jumlah massa yang diumpankan ke dalam masing-masing reaktor (pada ruas kanan persamaan, dalam g/hari):
Tentukan c1, c2, dan c3 dengan metode iteratif Gauss-Seidel. 3. Sebuah reaksi homogen fase gas: , dengan campuran reaktan berupa 50%-mol A dan 50%-mol inert diumpankan ke dalam sebuah reaktor alir pipa (RAP) yang beroperasi pada 215oC dan 5 atm. CA0 = 0,0625 mol/liter. Space-time (t) yang dibutuhkan agar tercapai konversi A 80% dapat ditentukan berdasarkan persamaan kinerja RAP sbb:
