Why the Laplace Transform is useful, but most importantly, how you can derive it from those properties and effectively "invent" it again from scratch.Full description
laplaceFull description
Materi pelajaran statistika untuk teknik kimiaDeskripsi lengkap
mtk
mtkDeskripsi lengkap
Matematika Teknik KimiaDeskripsi lengkap
to excel in process control .....first we should have good knowledge in laplace transformsFull description
tranformationsFull description
buku matematikaDeskripsi lengkap
In this paper, we introduce definition for fractional quadruple Laplace transform of order a,0 a = 1, for fractional differentiable functions. Some main properties and inversion theorem of fractional quadruple Laplace transform are established. Furth
Descripción completa
Modul karya Mahasiswi Pendidikan Matematika UHAMKA dalam memenuhi tugas mata kuliah Pengantar Dasar MatematikaFull description
Laplace Transform Pengantar Matematika Teknik Kimia
Muthia Elma
Penemu Pierre-Simon LAPLACE 1749 – 1827 Ahli Matematika dari Perancis
Laplace Transform
Rumus lain….. ∞
X ( s ) = ∫ x(t ).e − st dt 0
σ + j∞
1 st x(t ) = X ( s ). e ds ∫ 2πj σ − j∞ s = σ + jω
• X(s) = [x(t)] • x(t) = -1[X(s)]
Konsep variabel kompleks •
Variabel kompleks « s » mempunyai dua komponen : 1. Komponen nyata « s » 2. Komponen khayal « ω »
Secara grafis….. • Komponen nyata « s » dinyatakan dengan sumbu s pada arah horizontal • Komponen khayal di ukur sepanjang sumbu vertikal ω
Perhatikan gambar berikut
Gambar bidang kompleks « s »
• Gambar diatas menggambarkan bidang kompleks s pada titik sembarang s = s1 yang ditentukan oleh koordinat = 1 atau ω = ω1 • Secara sederhana s1 =
1
+ j ω1
• Fungsi G(x) merupakan fungsi variabel kompleks s, jika setiap nilai s terdapat satu atau lebih nilai G(x) • Karena s memiliki bagian yang nyata dan khayal, maka fungsi G(s) juga dikatakan bagian yang nyata dan khayal
G(s)=Re G(s) + j Im G(s) Re G(s) : bagian nyata dari G(s) Im G(s) : bagian khayal dari G(s)
Pemetaan nilai tunggal dari bidang s ke bidang G(s)
Teorema Laplace • Penggunaan transformasi Laplace dalam berbagai hal disederhanakan dengan memanfaatkan sifat-sifat trans-j formasi. • Sifat-sifat ini dinyatakan dengan teorema berikut, dengan tidak memberikan bukti.
Teorema 1. Perkalian dengan suatu Konstanta
• Misal k adalah suatu konstanta dan F(s) adalah transformasi Laplace dari f(f).
Teorema 2. Penjumlahan dan Pengurangan
Teorema 3. Diferensiasi • Misal F(s) adalah transformasi Laplace dari f(t) dan f(O) adalah limit dari f(t) dengant mendekati 0. • Tranformasi Laplace dari turunan f(t) terhadap waktu adalah
Bentuk umum untuk turunan berorde lebih tinggi dari f(t),
Teorema 4. Integrasi • Transformasi Laplace dari intergral pertama f(t) terhadap waktu adalah transformasi Laplace dari f(f) dibagi dengan s; yaitu,
Untuk integrasi orde ke n,
Teorema 5. Pergeseran terhadap Waktu
• Transformasi Laplace dari f(f) yang ditunda dengan waktu T adalah sama dengan transformasi Lapace f(f) dikalikan dengan e-Ts;
• Dengan us(t-T) menyatakan fungsi undak satuan yang digeser terhadap waktu ke kanan sebesar T.
Teorema 6. Teorema nilai awal • Jika transformasi laplace f(t) adalah F(s), dan jika limitnya ada
Teorema 7. Teorema nilai akhir. • Jika transformasi (t) adalah F(s), dan sF(s) analitis pada sumbu khayal dan berada pada bagian kanan bidang s,
Teorema 8. Pergeseran Kompleks • Transformasi Laplace dari f(t) yang dikalikan dengan e±ar, dengan a merupakan suatu konstanta, akan sama dengan transformasi Laplace, dengan s diganti oleh s
Teorema 9. Konvolusi Nyata (Perkalian Kompleks)
• Misal F1(s) dan F2(s) adalah transformasi Laplace dari /j(t) dan/2(f), dan /1(t) = 0, • /2(t) = 0, untuk t < 0 ,
Transformasi Laplace x(t)
X(s)
ROC
(t)
1
Semua s
u(t) tn
Re(s)>0 Re(s)>0
u(t)
e-at u(t) u(t) Cos u(t) Sin
Re(s)+Re(a)>0 0t
0t
Re(s)>0 Re(s)>0
Sifat-sifat Transformasi Laplace Sifat
x(t)
X(s)
Kelinearan
a x(t) + b y(t)
a X(s) + b Y(s)
Penskalaan
x(at)
Geseran waktu
x(t-a)
e-sa X(s)
Geseran frekuensi
e-at x(t)
X(s+a)
Konvolusi waktu
x(t) * y(t)
X(s) Y(s)
Sifat-sifat Transformasi Laplace Sifat Konvolusi frekuensi (modulasi) Diferensiasi frekuensi Diferensiasi waktu
x(t)
X(s)
x(t) y(t) (-t)n x(t)
Untuk TL dua sisi
Sifat-sifat Transformasi Laplace Sifat Integrasi waktu
Teorema nilai awal Teorema nilai akhir
x(t)
X(s)
Pecahan Parsial X(s) • Jika X(s) berbentuk pecahan parsial yang pembilang dan penyebutnya berbentuk polinomial
Pecahan Parsial X(s) • Akar-akar Q(s) berbeda, tidak ada yang sama P( s) X ( s) = ( s + p1 )( s + p2 )...( s + pn ) An A1 A2 X ( s) = ... + ( s + p1 ) ( s + p2 ) ( s + pn ) Ak = lim ( s + pk ). X ( s ) s → − pk
k = 1,2,...n x(t) menjadi : x(t ) = A1e − p1t + A2 e − p2t + ... + An e − pnt
Pecahan Parsial X(s) • Jika pi = pk*, maka penyelesaian dapat diselesaikan secara khusus yang menghasilkan x(t) merupakan fungsi Cosinus dan Sinus
Pecahan Parsial X(s) • Q(s) mempunyai akar rangkap X ( s) =
P( s) ( s + p1 ) r ( s + p2 )...(s + pn )
A11 A12 A1r + + ... + X ( s) = 2 ( s + p1 ) ( s + p1 ) ( s + p1 ) r An A2 + + ... + ( s + p2 ) ( s + pn ) Ak = lim ( s + pk ). X ( s) s → − pk
1 d r −l r + Akl = lim ( s p ) . X ( s ) k s = − pk (r − l )! ds r −l s →− pk
Transformasi Laplace s+4 ( s + 1)( s + 2)( s + 3) A A A X (s) = 1 + 2 + 3 s +1 s + 2 s + 3 s+4 3 = A1 = ( s + 2)( s + 3) s = −1 2
• Contoh soal X ( s) =
A2 =
s+4 = −2 ( s + 1)( s + 3) s = −2
A3 =
s+4 1 = ( s + 1)( s + 2) s = −3 2
1 2 − + 2 X (s) = s +1 s + 2 s + 3 x(t ) = 32 e −t − 2e − 2t + 12 e −3t 3
t >0
2
Contoh soal..... 1 s ( s 2 + 2 s + 2) A s + A3 A X ( s) = 1 + 2 2 s s + 2s + 2 A1 ( s 2 + 2 s + 2) + s ( A2 s + A3 ) X ( s) = s ( s 2 + 2 s + 2) X ( s) =
( A1 + A2 ) s 2 + (2 A1 + A3 ) s + 2 A1 X ( s) = s ( s 2 + 2 s + 2) 1 A1 = 2 1 A2 = − 2 A3 = −1
Transformasi Laplace s +1 X (s) = − 2 s s + 2s + 2 1 1 s+2 2 X (s) = − s 2 ( s + 1) 2 + 12 1 1 s +1 1 1 2 X (s) = − − 2 2 s 2 ( s + 1) + 1 2 ( s + 1) 2 + 12 1
2
1 2
x(t ) = 12 − 12 e −t Cos (t ) − 12 e −t Sin(t ) t >0
Transformasi Laplace X (s) =
s ( s + 1)( s + 2) 2
X (s) =
A1 A A12 + 11 + s + 1 s + 2 ( s + 2) 2
A1 =
s = −1 ( s + 2) 2 s = −1
A11 =
1 d s 1 = =1 ( 2 − 1)! ds s + 1 s = −2 ( s + 1) 2 s = −2
A12 =
1 s =2 ( 2 − 2)! s + 1 s = −2
X (s) =
1 2 −1 + + s + 1 s + 2 ( s + 2) 2
x (t ) = −e −t + e −2t + 2te − 2t t>0
Transformasi Laplace ••
•
•
y + 7 y + 10 y = x + 3 x
dengan −t
x(t ) = e , t > 0 −
y (0 ) = 1 •
−
y (0 ) =
1 2
[
]
. 2 − − − − − − + − + = − s Y ( s ) sy ( 0 ) y ( 0 ) 7 sY ( s ) y ( 0 ) 10 Y ( s ) sX ( s ) x ( 0 ) + 3X (s) walaupun x(0+ ) = e0 = 1, x(0− ) = 0 karena belum ada masukan
[s Y (s) − s − ]+ 7[sY(s) −1] +10Y (s) = sX (s) + 3X (s) (s + 7s +10)Y (s) − s − 7 = (s + 3)X (s) (s + 7s +10)Y (s) − s − 7 = (s + 3) s 1+1 2
1 2
2
1 2
2
1 2
Y (s) =
( s +3) ( s +1) 2
+ s + 152
s + 7s +10 s + 152 (s + 3) + 2 Y (s) = 2 (s +1)(s + 7s +10) (s + 7s +10) s + 152 (s + 3) + Y (s) = (s +1)(s + 2)(s + 5) (s + 2)(s + 5) 5 12 − 13 − 16 112 + + + + 2 Y (s) = (s +1) (s + 2) (s + 5) (s + 2) (s + 5) y(t ) = 12 e−t − 13 e−t − 16 e−t + 112 e−t + 52 e−t