UNIVERSITAS MURIA KUDUS
MATEMATIKA TEKNIK II TEKNIK ELEKTRO
SEMESTER 4
NAMA :
NIM
:
2018
DAFTAR ISI BAB
BAB
BAB
BAB
I BILANGAN HIPERBOLIK .......................................... .......................................... 1.1 Pendahuluan .......................................... .......................................... 1.1.1 Deskripsi .......................................... .......................................... 1.1.2 Manfaat dan Relevansi .......................................... .......................................... 1.1.3 Standart Kompetensi .......................................... .......................................... 1.1.4 Kompetensi Dasar .......................................... .......................................... 1.2 Bilangan Hiperbolik .......................................... .......................................... 1.3 Hiperbolik dalam Grafik .......................................... .......................................... 1.4 Perhitungan Fungsi Hiperbolik .......................................... .......................................... 1.5 Invers Hiperbolik .......................................... .......................................... 1.6 Latihan Soal .......................................... .......................................... 1.7 Daftar Pustaka .......................................... .......................................... II APLIKASI BILANGAN HIPERBOLIK DALAM TEKNIK ELEKTRO .......................................... .......................................... 2.1 Pendahuluan .......................................... .......................................... 2.1.1 Deskripsi .......................................... .......................................... 2.1.2 Manfaat dan Relevansi .......................................... .......................................... 2.1.3 Standart Kompetensi .......................................... .......................................... 2.1.4 Kompetensi Dasar .......................................... .......................................... 2.2 Identitas - identitas .......................................... .......................................... 2.3 Pers. Bil. Kompleks dan Hiperbolik .......................................... .......................................... 2.4 Latihan Soal .......................................... .......................................... 2.5 Daftar Pustaka .......................................... .......................................... III INTEGRAL LANJUT .......................................... .......................................... 3.1 Pendahuluan .......................................... .......................................... 3.1.1 Deskripsi .......................................... .......................................... 3.1.2 Manfaat dan Relevansi .......................................... .......................................... 3.1.3 Standart Kompetensi .......................................... .......................................... 3.1.4 Kompetensi Dasar .......................................... .......................................... 3.2 Integral Baku .......................................... .......................................... 3.3 Pembahasan Integral Baku .......................................... .......................................... 3.4 Integral dalam Trigonometri .......................................... .......................................... 3.5 Latihan Soal .......................................... .......................................... 3.6 Daftar Pustaka .......................................... .......................................... IV TRANSFORMASI TRANSFORMASI LAPLACE .......................................... .......................................... 4.1 Pendahuluan .......................................... .......................................... 4.1.1 Deskripsi .......................................... .......................................... 4.1.2 Manfaat dan Relevansi .......................................... .......................................... 4.1.3 Standart Kompetensi .......................................... .......................................... 4.1.4 Kompetensi Dasar .......................................... .......................................... 4.2 Transformasi Laplace .......................................... .......................................... 4.3 Transformasi Laplace Invers .......................................... .......................................... 4.4 Transformasi Laplace Turunan .......................................... .......................................... 4.5 Latihan Soal .......................................... .......................................... 4.9 Daftar Pustaka .......................................... ..........................................
Buku Ajar Matematika Teknik II
-2-
1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 5 6 6 6 6 6 6 7 8 9 9 10 10 10 10 10 10 11 12 17 20 20 21 21 21 21 21 21 22 23 25 28 28
DAFTAR ISI BAB
BAB
BAB
BAB
I BILANGAN HIPERBOLIK .......................................... .......................................... 1.1 Pendahuluan .......................................... .......................................... 1.1.1 Deskripsi .......................................... .......................................... 1.1.2 Manfaat dan Relevansi .......................................... .......................................... 1.1.3 Standart Kompetensi .......................................... .......................................... 1.1.4 Kompetensi Dasar .......................................... .......................................... 1.2 Bilangan Hiperbolik .......................................... .......................................... 1.3 Hiperbolik dalam Grafik .......................................... .......................................... 1.4 Perhitungan Fungsi Hiperbolik .......................................... .......................................... 1.5 Invers Hiperbolik .......................................... .......................................... 1.6 Latihan Soal .......................................... .......................................... 1.7 Daftar Pustaka .......................................... .......................................... II APLIKASI BILANGAN HIPERBOLIK DALAM TEKNIK ELEKTRO .......................................... .......................................... 2.1 Pendahuluan .......................................... .......................................... 2.1.1 Deskripsi .......................................... .......................................... 2.1.2 Manfaat dan Relevansi .......................................... .......................................... 2.1.3 Standart Kompetensi .......................................... .......................................... 2.1.4 Kompetensi Dasar .......................................... .......................................... 2.2 Identitas - identitas .......................................... .......................................... 2.3 Pers. Bil. Kompleks dan Hiperbolik .......................................... .......................................... 2.4 Latihan Soal .......................................... .......................................... 2.5 Daftar Pustaka .......................................... .......................................... III INTEGRAL LANJUT .......................................... .......................................... 3.1 Pendahuluan .......................................... .......................................... 3.1.1 Deskripsi .......................................... .......................................... 3.1.2 Manfaat dan Relevansi .......................................... .......................................... 3.1.3 Standart Kompetensi .......................................... .......................................... 3.1.4 Kompetensi Dasar .......................................... .......................................... 3.2 Integral Baku .......................................... .......................................... 3.3 Pembahasan Integral Baku .......................................... .......................................... 3.4 Integral dalam Trigonometri .......................................... .......................................... 3.5 Latihan Soal .......................................... .......................................... 3.6 Daftar Pustaka .......................................... .......................................... IV TRANSFORMASI TRANSFORMASI LAPLACE .......................................... .......................................... 4.1 Pendahuluan .......................................... .......................................... 4.1.1 Deskripsi .......................................... .......................................... 4.1.2 Manfaat dan Relevansi .......................................... .......................................... 4.1.3 Standart Kompetensi .......................................... .......................................... 4.1.4 Kompetensi Dasar .......................................... .......................................... 4.2 Transformasi Laplace .......................................... .......................................... 4.3 Transformasi Laplace Invers .......................................... .......................................... 4.4 Transformasi Laplace Turunan .......................................... .......................................... 4.5 Latihan Soal .......................................... .......................................... 4.9 Daftar Pustaka .......................................... ..........................................
Buku Ajar Matematika Teknik II
-2-
1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 5 6 6 6 6 6 6 7 8 9 9 10 10 10 10 10 10 11 12 17 20 20 21 21 21 21 21 21 22 23 25 28 28
BAB I BILANGAN HIPERBOLIK 1.1 Pendahuluan
Persamaan
hiperbolik
memiliki
kemiripan
dengan
trigonometri,
yang
sifatnya merupakan fungsi sirkular. Lebih sederhana lagi merupakan fungsi lingkaran. Letak
perbedaan
fungsi
trigonometri trigonometri
bersifat
periodik,
selalu berubah-rubah dan
membentuk pola yang sama.
1.1.1
Deskripsi
Pada materi bilangan hiperbolik ini akan membahas hal-hal yang berkaitan dengan perhitungan teknik te knik elektro, e lektro, antara lain; dasar bilangan bil angan hiperbolik, hiperbolik dalam grafik fungsi, perhitungan fungsi hiperbolik, dan invers hiperbolik.
1.1.2
Manfaat dan Relevansi
Matematika teknik bukan bukan sekedar belajar belajar matematika matematika saja, kemudian selesai tanpa bekas apa-apa. Matematika Matematika membekali
para
teknik
merupakan
sarana
terpenting
dalam
mahasiswa dalam memahami persoalan-persoalan persoalan-persoalan keteknikan yang
berkaitan dengan bilangan hiperbolik.
1.1.3
Standart Kompetensi
Pemahaman yang yang mendalam mengenai teknik elektro tidak lepas dari konsep matematika.
Jadi
matematika merupakan merupakan langkah awal atau dasar pijakan untuk
membuka cakrawala dalam memahami materi materi bilangan hiperbolik.
1.1.4
Dasar Kompetensi Kompetensi
1. Mahasiswa dapat mengenal bilangan bilangan hiperbolik hiperbolik 2. Mahasiswa mengenal fungsi grafik grafik bilangan bilangan hiperbolik hiperbolik 3. Mahasiswa bisa bisa mengunakan mengunakan kalkulator kalkulator mendapatkan bilangan bilangan hiperbolik hiperbolik 4. Mahasiswa dapat menghitung menghitung invers hiperbolik
1.2 Bilangan Hiperbolik
Exponensial merupakan bilangan dasar pembentukan fungsi hiperbolik, Apa itu exponensial ? Exponensial adalah bilangan berpangkat dengan bilangan dasar merupakan Buku Ajar Matematika Teknik II
-3-
hasil dari penjumlahan sebuah deret. x
e
1 x
x
2
2!
x
untuk pangkat 1 nilai dari e x = e ≅ 2, 718281828 . dasar 2,718281828
3
3!
.......
Jadi exponensial memiliki bilangan
……..
Bilangan hiperbolik dapat didefinisikan sebagai berikut; sinh x
e x e x 2 e x e
cosh x
x
2
Dari komponen dasar fungsi hiperbolik dapat diturunkan fungsi-fungsi turunan yang lain sepeti, tgnh x
sinh x cosh x
1.3 Hiperbolik dalam Grafik
Seperti yang dijelaskan diatas fungsi hiperbolik merupakan fungsi lingkaran, dengan membentuk kurva-kurva yang menyerupai lingkaran. Dapat dilakukan percobaan untuk membentuk grafik dari fungsi hiperbolik. sinh x
e x e x 2
apabila nilai x disusun berdasarkan beberapa nilai maka diperoleh nilai dari sinh x. X
-3
-2
-1
0
1
2
3
0,05
0,135
0,36
1
2,7
7,4
20
e-x
20
7,4
2,7
1
0,36 0,135 0,05
Sinh x
-10
-3,63
-1,17
0
1,17
e
x
3,63
10
Lanjutkanlah hasil dari nilai x, untuk nilai selanjutnya diatas, dan buatkanlah garis bilangan
dengan sumbu x dan y. Sumbu ini diolah dengan menentukan bahwa nilai x adalah nilai yang telah diketahui seperti pada tabel. Untuk sumbu y dibagi atas beberapa bagian yaitu, y e x y e
x
y sinh x Buku Ajar Matematika Teknik II
-4-
Tugas.
1). Dengan cara yang sama hitunglah fungsi cosh x, dan buatkanlah garis bilangan dengan sumbu x dan y. 2). Selanjutnya lakukan juga untuk fungsi turunan dibawah ini, dan buatkanlah garis bilangan dengan sumbu x dan y. tgnh x
sinh x cosh x
1.4 Perhitungan Fungsi Hiperbolik
Untuk menghitung nilai fungsi hiperbolik dapat dilakukan dengan berbagai cara : 1. Dengan menggunakan persamaan deret exponensial. 2. Dengan tabel hiperbolik. 3. Dengan kalkulator. Cara termudah adalah dengan menggunakan kalkulator. Dengan cara kalkulator ada dua cara, 1. Dengan mengunakan rumus. Contoh; hitunglah sinh 4. Jawab. e e 4
sinh 4
4
2 4 shift e (4 shift e ) x
x
2 54,6 0,02
2 27,29
2. Dengan cara langsung. Contoh; hitunglah sinh 4. Jawab. sinh 4 4 hyp sin
27,29
1.5 Invers Hiperbolik
Invers
hiperbolik adalah kebalikan nilai, pada saat mencari
hiperbolik berarti
memperoleh
nilai
pada
sumbu
y.
Invers berarti kebalikanya
yaitu yang diketahui sumbu y , yang akan dicari adalah sumbu x. Buku Ajar Matematika Teknik II
-5-
nilai fungsi
Notasi invers hiperbolik, 1
sinh x y maka x sinh y cosh 1 y x maka y cosh x
Contoh. 1). Hitunglah sinh1 2,111 Jawab. Dengan rumus,
sinh 1 2,111 x sinh x 2,111 e x e
x
2,111 2 e x e x 4,222 e x
e e x
x
1 4,222 e x 2
1 4, 222.e x
2
4, 222.e x 1 0
Dengan menggunakan rumus abc, maka; e x
4, 222 4, 2222 4.1. 1
e 4, 446 x
2 atau
e x 0, 224
Dari hasil diatas x positif pada kurva y positif pula, maka jawaban yang tepat adalah, e 4,446 x
x ln 4, 446 x 1, 492 Cara langsung,
x 2,111 hyp shift sin 1, 492
1.6 Latihan Soal
1. Gunakan cara rumus, a. sinh 3,12
g. sinh 12,34
b. cosh 5,32
h. sinh -12,34
Buku Ajar Matematika Teknik II
-6-
c. tgh 0,123
i. Cosh 1
d. sinh -2,134
j. cosh 1000
e. cosh 3,123
k. tgh 5
f.
l. tgh 0,99999
tgh -0,432
2. Gunakan cara langsung, a. sinh 13,12
g. sinh 122,34
b. cosh 15,32
h. sinh -122,34
c. tgh 0,12334
i. Cosh 11
d. sinh -12,254
j. cosh 10001
e. cosh 13,1213
k. tgh 15
f.
l. tgh 0,99999
tgh -101,41132
3. Gunakan cara rumus, a. Sinh-1 3,12
g. sinh-1 12,34
b. cosh-1 5,32
h. sinh-1 -12,34
c. tgh -1 0,123
i. Cosh-1 -1 (sebutkan sebabnya)
d. sinh-1 -2,134
j. cosh-1 1000
e. cosh-1 3,123
k. tgh-1 5
f.
tgh -1 -0,432
l. tgh-1 0,99999
4. Gunakan cara langsung, a. sinh-1 13,12
g. sinh-1 122,34
b. cosh-1 15,32
h. sinh-1 -122,34
c. tgh -1 0,12334
i. Cosh-1 11
d. sinh-1 -12,254
j. cosh-1 10001
e. cosh-1 13,1213
k. tgh-1 15
f.
tgh -1 -101,41132
l. tgh-1 0,99999
1.7 Daftar Pustaka
K.A. Stroud, Erwin Sucipto, Matematika Untuk Teknik, Edisi ketiga, Erlangga, Jakarta. K.A. Stroud, D.J. Booth, Matematika Untuk Teknik, Edisi kelima, Erlangga, Jakarta.
Buku Ajar Matematika Teknik II
-7-
BAB II APLIKASI BILANGAN HIPERBOLIK PADA TEKNIK ELEKTRO
2.1 Pendahuluan
Pemanfaatan
persamaan
hiperbolik
dibidang teknik
elektro
sangat banyak
sekali, namun pada pertemuan ini diambil pada saluran panjang transmisi tenaga listrik. Kemampuan menyelesaikan persoalan saluran panjang, ditunjang oleh pemakaian bilangan kompleks pada persamaan hiperbolik. Bekal yang diberikan akan bermanfaat untuk penerapan- penerapan yang lain di bidang intra teknik elektro maupun antar bidang.
2.1.1
Deskripsi
Aplikasi bilangan hiperbolik pada teknik elektro ini akan membahas hal-hal yang berkaitan dengan perhitungan teknik elektro, antara lain; identitas dengan menggunakan bentuk lain untuk mempermudah penyelesaian, persamaan bilangan kompleks dengan bilangan hiperbolik.
2.1.2
Manfaat dan Relevansi
Matematika teknik bukan sekedar belajar matematika saja, kemudian selesai tanpa bekas apa-apa. Matematika membekali
para
teknik
merupakan
sarana
terpenting
dalam
mahasiswa dalam memahami persoalan-persoalan keteknikan yang
berkaitan dengan aplikasi bilangan hiperbolik pada teknik elektro.
2.1.3
Standart Kompetensi
Pemahaman yang mendalam mengenai teknik elektro tidak lepas dari konsep matematika teknik. Sehingga matematika merupakan langkah awal atau dasar pijakan untuk membuka cakrawala dalam memahami materi aplikasi bilangan hiperbolik pada teknik elektro.
2.1.4
Dasar Kompetensi
1. Mahasiswa dapat membedakan identitas hiperbolik dan trigonometri. 2. Mahasiswa menyelesaikan persoalan hiperbolik dengan bilangan kompleks.
Buku Ajar Matematika Teknik II
-8-
2.2 Identitas-identitas
Identitas adalah persamaan dengan menggunakan bentuk bentuk lain atau boleh juga
disebut
dengan
persamaan
turunan.
Gunaya
adalah untuk mempermudah
menyelesaikan atau menganalisa persamaan. Bila diperhatikan identitas
persamaan
hiperbolik mirip
dengan
persamaan trigonometri. Ada beberapa kriteria yang sama dan ada yang berbeda, 1. bentuk-bentuk turunan dasar adalah sama. contoh :
cot th x
1 tgh x
sec h x
1 cosh x
2. Perbedaan tanda mutlak terjadi pada sinh2 x baik langsung ataupun tidak langsung. Langsung Contoh : 2
2
Cosh x sinh x = 1 –
pada trigonometri; Cos 2 x sin 2 x = 1 –
Tidak langsung, Contoh: tgh 2 x
2 tgh x 1 tgh2 x
pada trigonometri; tg 2 x
2 tg x 1 tg 2 x
Kenapa demikian ? Karena;
tgh x 2
sinh 2 x cosh 2 x
Dengan mengunakan identitas penganalisaan akan lebih mudah. Ada beberapa identitas yang dibutuhkan untuk pembahasan berikutnya,
sinh(a + b) = sinh a.cosh b + cosh a.sinh b sinh(a − b) = sinh a.cosh b − cosh a.sinh b cosh(a + b) = cosh a.cosh b + sinh a.sinh b Buku Ajar Matematika Teknik II
-9-
cosh(a - b) = cosh a.cosh b − sinh a.sinh b
2.3 Persamaan Bilangan Kompleks dan Hiperbolik
Bentuk terakhir dalam persamaan bilangan komplek adalah exponensial, yaitu;
x r.e j
atau
x r .e j
Apa titik temu kedua persamaan ini adalah exponensial. Persamaan bilangan kompleks;
e j cos j sin atau
e j cos j sin Bila dijumlahkan;
e j e j 2.cos Maka; cosh j cosh j
e j e
j
2 2.cos 2
cosh j cos Sedangkan sinh j j sin Misalkan
θ =
jx
cosθ = cosh jθ 2
cos jx = cosh( j x) = cosh(− x) cos jx = cosh x j sin θ = sinh jθ
j sin jx = sinh j( jx) 2
j sin jx = sinh j x j sin jx = sinh(− x) 2
j sin jx = − j sinh x − sin jx
= − j sinh x
sin jx = j sinh x
Buku Ajar Matematika Teknik II
- 10 -
Dengan mengunakan identitas, persolan dibawah ini dapat diselesaikan, Contoh. 1). Selesaikanlah sinh (3+j3)
.!
……
Jawab. sinh 3 j 3 sinh3.cosh j3 cosh3.sinh j3
10.cos3 10. j sin 3 10.0, 998 10. j 0,052 9,998 j 0,52 2). Selesaikanlah sin (4+j2)
.!
……
Jawab. sin 4 j 2 sin 4.cos j 2 cos 4.sin j 2
0,069.cosh 2 0,997. j sinh 2 0,069.3, 762 0,997. j 3, 626 0,259 j 3,615
2.4 Latihan Soal
1. Selesaikanlah a. sinh (3+j5) b. cosh (2,1-j4,2) c. sinh (-2-j3) d. cosh (-4,21-j1,11) 2. selesaikanlah a. sin (1 - j2) b. cos (4 + j4) c. sin (2,22 + j3) d. cos (1,23 - j2)
2.5 Daftar Pustaka
K.A. Stroud, Erwin Sucipto, Matematika Untuk Teknik, Edisi ketiga, Erlangga, Jakarta. K.A. Stroud, D.J. Booth, Matematika Untuk Teknik, Edisi kelima, Erlangga, Jakarta.
Buku Ajar Matematika Teknik II
- 11 -
BAB III INTEGRAL LANJUT
3.1 Pendahuluan
Pemanfaatan
integral lanjut
dibidang
teknik
elektro
sangat banyak sekali,
namun pada pertemuan ini dari pembahasan kita tentang program integrasi/integral, kita ketahui bahwa penyebutnya dapat difaktorkan dan karena itu fungsi tersebut dapat dinyatakan dalam pecahan parsialnya.
3.1.1
Deskripsi
Pada bab ini akan membahas integral lanjut dengan beberapa materi sebagai berikut; menghitung integral berbentuk 1/(Z2 integral berbentuk 1
1
Z 2 A2
1
2
, 1
A2), integral berbentuk 1/(Z 2 + A2),
, integral berbentuk
, integral berbentuk
a b sin 2 x c cos 2 x
3.1.2
A Z 2
–
1
, integral berbentuk
Z 2 A2
A2 Z 2 , Z 2 A2 , Z 2 A2 , integral berbentuk
a b sin x c cos x
Manfaat dan Relevansi
Matematika teknik bukan sekedar belajar matematika saja, kemudian selesai tanpa bekas apa-apa. Matematika membekali
para
teknik
merupakan
sarana
terpenting
dalam
mahasiswa dalam memahami persoalan-persoalan keteknikan yang
berkaitan dengan integrasi lanjut.
3.1.3
Standart Kompetensi
Pemahaman konsep dalam menghitung integral dari suatu integran beberapa be ntuk da ri matematika teknik merupakan langkah awal atau dasar pijakan untuk memahami manfaat integral di bidang teknik.
3.1.4
Dasar Kompetensi
1. Mahasiswa dapat menghitung integral berbentuk 1/(Z2 A2). –
2
2
2. Mahasiswa mampu menyelesaikan integral berbentuk 1/(Z + A ).
Buku Ajar Matematika Teknik II
- 12 -
3. Mahasiswa dapat menghitung integral berbentuk 1 4. Mahasiswa dapat menghitung integral berbentuk 1 5. Mahasiswa dapat menghitung integral berbentuk 1
A2 Z 2 Z 2 A2
. .
Z 2 A2
6. Mahasiswa dapat menghitung integral berbentuk
A2 Z 2 , Z 2 A2 , Z 2 A2 7. Mahasiswa dapat menghitung integral berbentuk
1
a b sin
2
x c cos x 2
, 1
a b sin x c cos x
3.2 Integral Baku
Inilah bentuk-bentuk baku dari integral lanjut yang diperoleh untuk masing-masing jenis dicantumkan perolehannya. a.
Z
dZ 2
A2
1 2A
A Z C A Z
b.
A
dZ
c.
Z
dZ 2
d.
Z sin 1 C A ( A2 Z 2 )
e.
Z sinh 1 C A ( Z 2 A2 )
Z cosh 1 C A ( Z 2 A2 )
f.
2
Z2 A
2
1
Z A C Z A
ln
2A
ln
Z tan 1 C A A 1
dZ
dZ
dZ
g.
A
2
Z2
A2 1 Z Z dZ sin 2 A
h.
Z
2
A
2
Z A2 1 Z dZ sinh 2 A
Buku Ajar Matematika Teknik II
- 13 -
Z 2 C A2
A
2
A2 C A2
Z
2
Z
i.
A
2
A2 Z
dZ
2
Z
2
Z cosh C A
A2
A2
2
1
3.3 Pembahasan Integral Baku a. Pecahan parsial
Z
dZ
A2
2
1 2A
Z A C Z A
ln
contoh.
Z
1). Hitunglah
dZ
25
2
Jawab.
Z
dZ 2
25
x
2). Hitunglah
dZ 2
1
4x 2
2
Z 5 2
Z 5 C Z 5
1
.ln
10
dx
Jawab.
x
1 2
dx
4x 2
1
x 2 2
2
2
dx
x 2 2 ln C 2 2 x 2 2 1
b. Pecahan parsial
A
dZ
2
Z2
1 2A
contoh. 1
5 x
1). Hitunglah
2
dx
Jawab. 1
5 x
2
dx
1
5 1
2 5
2
x
dx 2
5 x C 5 x
ln
Buku Ajar Matematika Teknik II
- 14 -
A Z C A Z
ln
1
3 6 x x
2). Hitunglah
2
Jawab. 1
3 6 x x
2
dx
3 (x
1
6 x 32 ) 9
2
1 12 ( x 3)
dx
1
2 3 1
2
4 3
c. Substitusikan Z = A tan
2
( x 3)
dx 2
2 3 x 3 C 2 3 x 3
ln
Z
dZ 2
A
2
Z tan 1 C A A 1
contoh. 1). Hitunglah
x
1 2
16
dx
Jawab.
x
1 2
16
2). Hitunglah
dx
x
x
1
dx
42 1 x tan 1 C 4 4 2
1 2
10 x 30
dx
Jawab.
x
1 2
10 x 30
dx
1
x 5
2
5
dx
1 ( x 5) 2
5
2
dx
1 x 5 tan C 5 5
1
Buku Ajar Matematika Teknik II
dx
- 15 -
d. Substitusikan Z = A sin
Z sin 1 C A ( A2 Z 2 ) dZ
contoh.
1). Hitunglah
1
25 x 2
dx
Jawab.
1
25 x 2
dx
1
5
2
x
2
dx
x sin 1 C 5
2). Hitunglah
1
dx
3 2 x x 2
Jawab.
1
dx
3 2 x x 2
1
4 x 1
2
dx
1
2 x 1 2
2
dx
x 1 sin 1 C 2
e. Substitusikan Z = A sinh
Z sinh 1 C A ( Z 2 A2 ) dZ
contoh.
1). Hitunglah
1
x
2
4
dx
Jawab.
1
x
2
4
dx
1
x
2
2
2
dx
x sinh 1 C 2 Buku Ajar Matematika Teknik II
- 16 -
2). Hitunglah
1
x
2
5 x 12
dx
Jawab.
1
x
2
5 x 12
dx
1
2
dx
5 23 x 2 4 1
5 23 x 2 2 2
2
dx
5 x 2 C sinh 1 23 2 x 5 sinh 1 C 23
f. Substitusikan Z = A cosh
Z cosh 1 C A ( Z 2 A2 ) dZ
contoh. 1). Hitunglah
1
x
2
9
dx
Jawab.
1
x
2
9
dx
1
x
2
3
2
dx
x cosh 1 C 3 2). Hitunglah
1
x
2
6 x 13
dx
Jawab.
Buku Ajar Matematika Teknik II
- 17 -
1
x
2
6 x 5
1
dx
2
x 3 4
dx
1
2
x 3 2
2
dx
x 3 cosh 1 C 2
g. Substitusikan Z = A sin
A
2
Z2
A2 1 Z Z dZ sin 2 A
Z 2 C A2
A
2
contoh. 1). Hitunglah
3 2 x x 2
Jawab.
(3 2 x x) dx 2
4 ( x 1) dx 2
22 ( x 1)2 dx 4 x 1 x 1 2 ( x 1) sin 1 2 2 4 2
h. Substitusikan Z = A sinh
Z
A
2
Z A2 1 Z dZ sinh 2 A
contoh. 1). Hitunglah
x
2
5x 12 dx
Jawab. Buku Ajar Matematika Teknik II
C
2
2
- 18 -
A2 C A2
Z
2
2
x
2
5 x 12 dx
5 23 x dx 2 4 2
23 x dx 2 2 5
2
2 2 5 5 23 x 5 x 2 x 2 2 23 2 4 sinh 1 C 2 23 4 23 2 2 2 5 23 x 10 x 2 2 23 1 x 5 sinh C 2 23 23
i. Substitusikan Z = A cosh
Z
2
A2 dZ
A2 Z
Z
2
A2
2
Z cosh 1 C A
A2
contoh. 1). Hitunglah
x
2
6 x 13 dx
Jawab.
x
2
6 x 13 dx x 3 4 dx 2
x 3 2 dx 2
4 x 3
2
2
2
x 3 2 4
2
x 3 cosh C 2 1
3.4 Integral dalam Trigonometri
Integral dalam bentuk ini berbeda dari semua integral yang telah kita bahas sebelumnya. Jelas integral ini tidak termasuk kedalam salah satu bentuk baku yang sudah kita kenal. Kunci untuk bentuk ini adalah mensubstitusikan t = tan x ke dalam integralnya, kita segera dapat mencari pernyataan untuk sin x dan cos x. Buku Ajar Matematika Teknik II
- 19 -
a b sin
a. Integral dalam bentuk
1 2
x c cos 2 x
1 t 2
dx
t
x 1 sin x
Dari gambar di dapat;
t
dx
1 t 2
dt
cos x
1
sehingga
dx
1 t 2
tan x t , maka dx dt
dt dx 1
1 t 2
1
3 cos x dx 2
1 3 3t 2 1 4 3t 2 3 cos x 3 1 t2 1 t2 1 t 2 1 1 t 2 dt Jadi dx 3 cos 2 x 4 3t 2 1 t 2 1 dt 4 3t 2 1 1 dt 3 4 t 2 3 2
1 3 t . tan 1 C 2 3 2 3
Buku Ajar Matematika Teknik II
dt 1 t 2
dx
Jawab.
1 t 2
sec 2 x 1 tan 2 x 1 t 2
contoh. 1). Hitunglah
1
t 3 3 tan 1 C 6 2
- 20 -
dt
1 t 2
2). Hitunglah
1
2sin x 4 cos 2
2
dx
x
Jawab. 2sin x 4 cos x 2
Jadi
2t 2
2
1 t
2sin x 4 cos 2
2
2
1
1 t
dx
x
2
4 2t 2 1 t
2
1 t
2
4 2t
1
4
2
1 t 2
dt
4 2t 1 1
2
dt
dt
2 2 t
2
t C 2 2 2 1 1 t tan C 2 2 2 1
.
1
tan 1
1
a b sin x c cos x dx
b. Integral dalam bentuk
1 t 2
t
x/2 1 x x t t 2t . Dari gambar di dapat; sin x 2sin cos 2. 2 2 2 1 t 2 1 t 2 1 t
cos x cos
tan
x 2
2
x 2
sin
t ,maka
sehingga
dx dt
dt
x
2 1
dx
2
2
2 1 t2
2
x 2
5 4 cos x dx
Jawab. - 21 -
t2
1 t2
1
1 t 2 1 t 2 x
1 t 2
1 tan 2 2 2
dx
1
Buku Ajar Matematika Teknik II
1 t2
sec
contoh. 1). Hitunglah
1
2dt
2
1 t 2
5 4cos x 5 4 Jadi
1 t
2
1 t
2
5 5t 4 4t 2
1 t
1 t
1
3 cos x dx 9 t 2
2
2
2dt
2
1 t
1 9 t 2
2
2
9t
2
1 t
2
2
dt
1 t tan C 3 3
2
3.5 Latihan Soal
Tentukanlah integral-integral berikut; 1. 3. 5. 7.
9.
x
dx 2
2.
12 x 15 dx
8 12 x x x
4.
2
dx 2
6.
4 x 16 1
1
x
2
6 x 1
2
6x 4 dx
9 4 x x
2 x
2
dx 2
12 x 32 1
dx
8.
dx
10.
5 x
5 4 x x 2
x
dx
2
2 x
8 x 15
2
2x 4
dx
3.6 Daftar Pustaka
K.A. Stroud, Erwin Sucipto, Matematika Untuk Teknik, Edisi ketiga, Erlangga, Jakarta. K.A. Stroud, D.J. Booth, Matematika Untuk Teknik, Edisi kelima, Erlangga, Jakarta.
Buku Ajar Matematika Teknik II
- 22 -
BAB IV TRANSFORMASI LAPLACE
4.1 Pendahuluan
Transformasi laplace adalah suatu pernyataan dalam variabel s yang dinotasikan dengan F(s). Dikatakan bahwa f(x) dan F(s) = L{f(x)} membentuk suatu pasangan transformasi (transform pair ). Ini berarti bahwa jika F(s) adalah transformasi laplace dari f(x) maka f(x) adalah transformasi laplace invers dari F(s). Kemampuan untuk mencari transformasi laplace dari suatu pernyataan dan kemudian menginverskannya inilah yang membuat transformasi laplace sangat berguna untuk menyelesaikan persamaan diferensial.
4.1.1
Deskripsi
Transformasi laplace pada teknik elektro ini akan membahas hal-hal yang berkaitan dengan perhitungan matematika teknik yang berkaitan dengan teknik elektro, antara lain; menentukan transformasi laplace invers dengan bantuan tabel transformasi laplace, mencari transformasi laplace dari suatu turunan fungsi, menggunakan transformasi laplace untuk menyelesaikan persamaan diferensial.
4.1.2
Manfaat dan Relevansi
Matematika mahasiswa
teknik
merupakan sarana terpenting dalam membekali para
dalam memahami
persoalan-persoalan keteknikan yang berkaitan antara
materi yang satu dengan yang lainnya, sehingga dalam penyelesaiannya dapat dilakukan dengan cara yang lain.
4.1.3
Standart Kompetensi
Pemahaman yang mendalam mengenai teknik elektro tidak lepas dari konsep matematika teknik. Sehingga matematika merupakan langkah awal atau dasar pijakan untuk membuka cakrawala dalam memahami materi transformasi laplace.
4.1.4
Dasar Kompetensi
1. Mahasiswa dapat mencari transformasi laplace dari suatu pernyataan dengan menggunakan definisi integral. 2. Mahasiswa mampu menentukan transformasi laplace invers dengan bantuan tabel transformasi laplace. Buku Ajar Matematika Teknik II
- 23 -
3. Mahasiswa dapat mencari transformasi laplace dari suatu turunan fungsi. 4. Mahasiswa dapat menggunakan transformasi laplace untuk menyelesaikan persamaan diferensial.
4.2 Transformasi Laplace
Metodenya bergantung dari apa yang kita sebut sebagai transformasi laplace (laplace transform). Jika f(x) adalah suatu pernyataan dalam x yang terdefinisi untuk x 0, maka transformasi laplace dari f(x), dinotasikan dengan L{f(x)}, didefinisikan sebagai;
L f ( x)
x 0
e sx f ( x ) dx
di mana x adalah suatu variable yang nilai-nilainya dipilih sedemikian rupa agar integral semi-infinitnya selalu konvergen. Sekarang apa yang akan anda katakana tentang transformasi laplace dari f(x) = 2 untuk x 0 ? L 2
2 s
asalkan s 0
Karena:
L f ( x)
e
sx
x 0
e sx f ( x ) dx
Maka: L 2
x 0
2 dx
e sx 2 s x 0 2 0 ( 1/ s)
2 s
sx Perhatikan bahwa s > 0 disyaratkan karena jika s < 0 maka e ketika x dan
jika s = 0 maka L (2) tidak terdefinisi (pada kedua kasus ini integralnya divergen), sehingga; L 2
2 s
asalkan s 0
Dengan alasan yang sama, jika k adalah sembarang konstanta maka, L k
k s
asalkan s 0
Transformasi laplace dari f ( x) e kx , x 0 dimana k adalah konstanta, adalah sebagai Buku Ajar Matematika Teknik II
- 24 -
berikut;
L e kx
1 s k
asalkan s k
Karena;
L e
kx
e sx 2 dx x 0
x 0
e
( s k ) x
dx
e ( s k ) x ( s k ) x 0 1 harus dipenuhi untuk menja min 0 s k 0 int egra ln ya konvergen dikedua lim it ( s k ) 1
( s k )
asalkan s k 0, yaitu asalkan s k
4.3 Transformasi Laplace Invers
Jika F(s) adalah transformasi laplace dari f(x) maka f(x) adalah transformasi laplace invers dari F(s), sehingga;
f ( x) L1{F ( s)} Tidak ada definisi integral yang sederhana dari transformasi invers jadi anda harus mencarinya dengan cara bekerja dari belakang ke depan. Contoh. Jika f(x) = 4 maka transformasi laplacenya L{ f ( x)} f (s )
4 s
Jadi Jika f(s) =
4 s
maka transformasi laplace inversnya L1{ f (s)} f ( x ) 4
Untuk transformasi laplace invers dari F (s )
1 s 1
, adalah;
L1{ f (s)} f ( x ) e x Karena, L e kx
1 kx anda dapat mengatakan bahwa L 1 e s k s k
1
1 ( 1) x ex Maka ketika k 1, L1 e s 1 Untuk mempermudah pencarian bentuk-bentuk transformasi laplace beserta inversnya Buku Ajar Matematika Teknik II
- 25 -
yaitu dengan membaca tabel dari kiri ke kanan akan didapatkan transformasi laplace dan dengan membaca tabel dari kanan ke kiri akan di dapatkan transformasi laplace invers, dan tabelnya adalah sebagai berikut ini;
f ( x) L1 F (s)
F ( s) L f ( x ) k
k
e
s 0
s 1
kx
s k
s k
xe
1
kx
s k
( s k ) 2
Contoh. 1. Tentukan transformasi laplace dari soal berikut untuk x 0; a.
f ( x) 3 Karena L(k )
b.
s
k s
3 s
asalkan s 0.
asalkan s 0, L (e )
e s
asalkan s 0.
f ( x) e 2 x Karena L(e kx )
d. f ( x) 5e
x 0
L 5e 3 x
1 s k
asalkan
s k , L (e 2 x )
1 s 2
asalkan s 2.
3 x
L(5e3 x )
e.
asalkan s 0, L (3)
f ( x) e Karena L(k )
c.
k
e sx ( 5e 3 x ) dx 5 5
s 3
asalkan
x 0
e sxe 3 x dx 5 L e 3 x
s 3
f ( x) 2e7 x 2 L(2e7 x 2 ) L 2e
7 x 2
x 0
e sx (2e7 x 2 ) dx 2e 2
2e2
s 7
asalkan
x 0
e sxe 7 x dx 2e 2 L e 7 x
s 7
2. Tentukan transformasi laplace invers dari soal berikut;
Buku Ajar Matematika Teknik II
- 26 -
a. F (s )
1 s
k 1 1 Karena L1 k , L1 L1 1 s s s b. F (s )
1 s 5
1 kx 1 1 ( 5) x 5 x Karena L1 e e , L e s k s 5 c. F (s )
3 s 2
3 1 2 x 2 x Karena L1 3L e 2 x maka e dan L 3e s2 s 2
3 2 x L 3e s 2 d. F ( s )
F (s ) e. F (s )
3 4 s 3 4 s
34
sehingga
s
3 1 3 4 L 3 4 4s s
L 1
1 2 x 3
1 1 3 x 1 5 1 2 L 2 e 2 F (s ) sehingga f ( x) L 2 x 3 s 3 2s 3 s 3 2 2 2 1
1
4.4 Transformasi Laplace dari Suatu Turunan
Jika diketahui bahwa suatu pernyataan
f ( x)
memiliki transformasi laplace
L f ( x) F (s) , transformasi laplace dari turunannya f ' ( x) adalah; L f '( x)
x 0
e sx f '( x ) dx
Ini dapat diselesaikan dengan integrasi per bagian;
L f '( x )
x 0
x 0
e
sx
f '( x ) dx
u ( x ) d v( x)
u ( x)v( x) x 0 v( x) du( x) x 0
dimana u(x) = e -sx maka d u(x) = -se-sx dx dan dimana dv(x) = f 1(x) dx maka v(x) = f(x), Buku Ajar Matematika Teknik II
- 27 -
sehingga akan menghasilkan;
L f ' ( x) s F (s ) f (0) Jadi transformasi laplace untuk turunan dari f(x) diberikan dalam bentuk transformasi laplace dari f(x) itu sendiri dan nilai dari f(x) untuk x = 0. Untuk mencari transformasi laplace dari kedua sisi persamaan adalah;
f ' ( x) f ( x) 1 dim ana f (0) 0 Pernyataan transformasi laplacenya F(s) adalah sebagai berikut; F (s )
1 s s 1
Transformasi laplace dari f ( x) dan turunannya f ' ( x) , ini akan menghasilkan;
S 1 F (s) f (0) S 1 F (s)
1 s
1 s
dengan syarat f (0) 0, maka
, sehingga F ( s)
1 s s 1
Misalkan; 1 s s 1
A s
B S 1
maka, 1 A( s 1) Bs sehingga d idapat;
A 1 dan B 1 sehingga F (s )
1 s
1 s 1
Transformasi laplace inversnya dari persamaan diferensial adalah sebagai berikut;
f ( x) 1 e x Karena, 1
f ( x) L
F (s )
1 1 L1 s s 1 1 1 L1 L1 s s 1 1 e x
Contoh. Selesaikan setiap persamaan diferensial berikut ini; a). f ' ( x) f ( x ) 2 dim ana f (0) 0 mencari transformasi laplace dari kedua sisi persamaan;
Buku Ajar Matematika Teknik II
- 28 -
sF (s) f (0) F (s )
2
F (s )
sehingga
s
2 s s 1
2
2
s
s 1
Transformasi laplace inversnya menghasilkan penyelesaian;
f ( x) 2 2e x 2 e x 1
b). f ' ( x) f ( x ) e x dim ana f (0) 0 mencari transformasi laplace dari kedua sisi persamaan;
sF (s) f (0) F (s )
1 s 1
sehingga
F (s )
1
s 1
2
Transformasi laplace inversnya menghasilkan penyelesaian;
f ( x) xe x c). f ' ( x) f ( x) 3 dim ana f (0) 2 mencari transformasi laplace dari kedua sisi persamaan;
sF (s) f (0) F (s )
3
F (s )
sehingga
s
2 s 1
3 s s 1
Transformasi laplace inversnya menghasilkan penyelesaian;
f ( x) 3 5e x d). f ' ( x) f ( x) e 2 x dim ana f (0) 1 mencari transformasi laplace dari kedua sisi persamaan; sF (s ) f (0) F (s ) sehingga
F (s)
1 s 2
1 s 1
atau s 1 F (s ) 1 3
s 1 s 2
1 s2
1 s2
Transformasi laplace inversnya menghasilkan penyelesaian;
f ( x) e2 x e). 3 f ' ( x) 2 f ( x) 4 e x 2 dim ana f (0) 0 mencari transformasi laplace dari kedua sisi persamaan; 4 2 6 s 2 3 s F (s) f 0 2 F (s ) s 1 s s s 1 sehingga
F ( s)
6 s 2 s s 1 3s 2
27
1 1 4 1 5 3s 2 s 5 s 1
27
1 1 4 1 2 15 s s 5 s 1 3 Buku Ajar Matematika Teknik II
- 29 -
3 2 s s (s 1)
3
5
s
s 1
