MATEMATIKA LANJUT c I | cl n cl civil engineering blog
SERI DIKTAT KULIAH
DAFTAR ISI AB 1. EKTOR EKTOR I R DAN U UKUR UKUR ANALITIK : AN A 1.1. KOORDINAT SlKU-SIKU DI FFi 1.2. RANGKUMAN 1.3. SUDUT ARAH, COSINUS ARAH, BILANGAN ARAH 1.4. KOOHDINAT TITIK YANG MEMBAGI SEGMEN GARIS ATAS PERBANDINGAN TERTENTU 1.5. CROSS PRODUCT (PRODUK VEKTOR) 1.6. BIDANG RATA 1.7. PERSAMAAN NORMAL BIDANG RATA 1.8. SUDUT ANTARA BIDANG RATA 1.9. JARAK DUA BIDANG RATA YANG SEJAJAR DAN JARAK SUATU TITIK KE BIDANG FIATA 1.10. PEHSAMAAN BIDANG RATA DIKETAHUI MELALUI SATU TITIK 1.11. BERKAS BIDANG RATA 1.12. JARINGAN BIDANG RATA 1.13. GARIS LURUS DI FP 1.14. MENCARI BILANGAN ARAH GARIS LURUS 1.15. BEBERAPA BENTUK PERSAMAAN GARIS LURUS 1.16. GARIS DAN BIDANG RATA 1.17. GARIS HUBUNG TERPENDEK DAN JARAK DUA GARIS BERSILANGAN 1.18. SOAL-SOAL DAN PEMECAHANNYA PEMECAHANNYA 1.19. SOAL-SOAL UNTUK LATIHAN 2.1. PERSAMAAN GARIS DAN BIDANG LENGKUNG 2.2. PROYEKSI GARIS LENGKUNG PADA BIDANG KOORDINAT 2.3. BOLA 2.4. TEMPAT KEDUDUKAN, BIDANG SILINDEH, BIDANG KERUCUT, BIDANG PUTAR DAN BIDANG ATUR 2.5. PERSAMAAN STANDAR 2.6. SOAL-SOAL DAN PEMECAHANNYA PEMECAHANNYA 2.7. SOAL-SOAL UNTUK LATIHAN AB 3. DI FEREN FEREN KAL I US DARI FUNGSI BEBERAPA BEBERAPA VARIABEL VARIABEL A 3.1. FUNGSI DARI BEBERAPA VARIABEL 3.2. D 0 M A l N 3.3. TURUNAN PARSIAL 3.4. DIFFERENSIAL TOTAL
3.5. DIFFERENSIAL FUNGSI DARI FUNGSI 63 3.6. FUNGSI IMPLISIT, INVERS, JACOBIAN 64 3.7. TURUNAN PARSIAL ORDER TINGGI 72 AB 4. PER AMAAN AMAAN DIFFERENSIAL DIFFERENSIAL - 7 4.1. PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDER SATU 76 4.2. PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER 89 4.3. PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDER DUA 97 4.4. LEBIH LANJUT TENTANG PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER 107 4.5. SOAL-SOAL DAN PEMECAHANNYA 117 4.6. SOAL-SOAL LATIHAN 142 5.1. BARISAN TAK HINGGA 150 5.2. DERET TAK HINGGA 152 5.3. DERET DENGAN SUKU-SUKU POSITIP 155 5.4. TES BANDING 159 5.5. TES RASIO 162 5.6. DERET DENGAN SUKU-SUKU NEGATIP 167 5.7. TEST RASIO UNTUK KONVEFIGENSI ABSOLUT 168 5.8. DERET KUASA (PANGKAT) 173 5.9. INTERVAL KONVERGENSI 173 E I = 6. V RAL LIPA , AL ARIS RAL PERMUKAA 6.1. INTEGFIAL LIPAT DUA 177 6.2. INTEGRAL ITERASI 178 6.3. INTEGRAL LIPAT TIGA 199 6.4. SOAL-SOAL DAN LATIHAN 207 AB 7. FUNGSI VEKTOR I' ` 21 7.1. LIMIT, KONTINUITAS DAN TURUNAN FUNGSI VEKTOR 217 7.2. TAFSIHAN ILMU UKUR DARI TURUNAN VEKTOR 218 7.3. GRADIEN, DIVERGENSI DAN CURL 319 7.4. RUMUS-RUMUS YANG MENGANDUNG V 221 7.5. KOORDINAT KURVILINIER TAGAKLURUS DAN JACOBIAN 221 7.6. GRADIEN, DIVERGENS!1 CURL DAN LAPLACIAN DALAM KOORDINAT KURVILINIER TEGAKLURUS TEGAKLURUS 223 7.7. KOORDINAT KURVILINIER KHUSUS 224
7.8. soAI. DAN PEMEcAHANNYA 225 7.9. soAL-soAL LATIHAN 236' AB s. TRANSFOR AsI LA cE I, 24 8.1. DEFINISI TRANSFORMASI LAPLAcE 244 8.2. TRANSFORMASI LAPLACE UNTUK BEBERAPA FUNGSI ELEMENTER 245 8.3. SYARAT CUKUP UNTUK KEUJUDAN TRANSFORMASI TRANSFORMASI LAPLACE 246 8.4. INVERS TRANSFORMASI LAPLACE 247 8.5. TRANSFORMASI LAPLACE DARI FUNGSI TURUNAN 248 8.6. FUNGSI TANGGA SATUAN 248 8.7. BEBERAPA TEOREMA KHUSUS PADA TRANSFORMASI LAPLACE 249 8.8. PECAHAN BAGIAN (PARTIAL FRACTION) 251 8.9. PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL DENGAN TRANSFORMASI LAPLACE 251 8.10. RUMUS INVERS LAPLACE 251 8.11. SOAL-SOAL LATIHAN DAN PENYELESAIAN 251 8.12. SOAL-SOAL LATIHAN 274 AB 9. INTEGRAk INTEGRAk GARIS PERMUKAAN PERMUKAAN DAN TEOREMA INTE RAL 28 9.1. INTEGRAL GARIS 287 9.2. NOTASI VEKTOR UNTUK INTEGRAL GARIS 288 9.3. MENGHITUNG INTEGRAL GARIS 289 9.4. SIFAT-SIFAT INTEGRAL GARIS , 289 9.5. KURVA TERTUTUP SEDERHANA, DAERAH TERHUBUNG SEDERHANA DAN GANDA 290 9.6. SYARAT INTEGRAL GARIS UNTUK TIDAK BERGANTUNG PADA LINTASAN 291 9.7. INTEGRAL PERMUKAAN 292 9.8. TEOREMA DIVEHGENSI 293 9.9. TEOREMA STOKES 294 9.10. SOAL-SOAL LATIHAN DAN PENYELESAIANNYA PENYELESAIANNYA 295
9.11. soAL-soAL LATIHAN 323 L 10. DERET FOURIER 3 1 10.1. FuNGs1 PEHIODIK 333 10.2. DERET FoumER 334 10.3. sYARAT DIRICHLET 335 10.4. FUNGSI GANJIL DAN GENAP 335 10.5. DERET FOURIER SINUS ATAU KOSINUS SEPARUH JANGKAUAN (HALF RANGE) 336 10.6. PENDIFFERENSIALAN DAN PENGINTEGRALAN DERET FOURIER 336 10.7. FUNGSI TEGAKLURUS 337 10.8. SOAL-SOAL LATIHAN DAN PENYELESAIANNYA PENYELESAIANNYA 338 10.9. SOAL-SOAL LATIHAN 358
VEKTOR DI Ra DAN ILMU UKUR ANALITIK RUANG 1.1. vKOORDINAT SIKU-SIKU DI FP Di sini kita hanya memandang sistim koordinat siku-siku (Cartesian), yaitu sistim koordinat dengan sumbu-sumbu X,Y, dan Z yang saling tegak lurus, dan melalui sebuah titik, yang kita sebut titik awal (origin). asis alam).
Setiap titik di dalam ruang dinyatakan dengan tripel bilangan riil (x , y , z) dan disebut ”koordinat” titik tersebut. Sedangkan setiap vektor a R3 dinyatakan sebagai kombinasi linier dari i , , dan k.
Misalnya â=[3,2,2]berartiš=3[1 1 ,0]+2[0,0,1]
1.2. RANGKUMAN Dari pembicaraan kita yang umum di bab l, kita tulis lagi beberapa hasil pembicaraan tersebut untuk R3. : (1) Dot produk, dari a = , , dan B = , , 22] : IBI cosBdimana: I b I adalah panjang vektor dan B, sedangkan 9 adalah sudut antara à dan b. cosG:
(3). Jarak antara 2 titik (jarak antara titik-ujung ujung vektor radius)
POKl , , 21) dan , , 22)
1.3. SUDUT ARAH, COSINUS ARAH, BILANGAN ARAH Sudut-sudut arah suatu vektor V = [x , y, z] yaitu oc , B , Y adalah sudut antara V dengan i , j dan k. Sedangkan cos a , cos dan cos Y disebut cosinus-cosinus arah dari V.
Maka vektor [cos a , cos B , cos y] adalah vektor satuan searah V
CATATAN (1) Kita dapat teruskan pembicaraan tentang sudut-sudut arah dan cosinus-cosinus arah sebuah vektor dengan sudut arah dan cosinus arah sebuah garis lurus. Di sini sudutsudut arah dan cosinus-cosinus arah sebuah garis lurus adalah sama dengan sudutsudut arah dan cosinus-cosinus arah vektor yang dibawanya (vektor arahnya). Contoh (1.1). Carilah cosinus-cosinus arah dari a = [2, -2, 1] dan cosinus-cosinus arah sebuah gan's yang melalui titik P(2 , 1 , 3) dan O(2 , 2 , 3 ). Jawab : Cosinus-cosinus arah dari a = [2 , -2 , 1] ialah : _) Sedangkan garis melalui (2 , 1 , 3) dan (2 , 2 , 3) akan membawa vektor PQ = [2-2 , 2-1 , 3-3] = [0 ,1, 0] , Jadi cos a = 0. Dapat kita catat bahwa garis tersebut l / sumbu Y (vektor arahnya j).
CATATAN (2) Bilangan arah dari sebuah garis lurus adalah bilangan-bilangan yang sebanding dengan cosinus-cosinus arah garis lurus tersebut. Kita sebut bilangan-bilangan arah tersebut a,b,c makazcosot = cosB = cosy, abc
Hubungan antara bilangan arah dan cosinus arah adalah sebagai berikut : CATATAN (3). Kita lihat bahwa cosinus-cosinus arah dari suatu vektor sebanding Y IVI dengan komponen-komponennya, cos (x = x I V I maka komponen-komponen vektor x , y , z merupakan bilangan-bilangan arah garis lurus yang membawanya. CONTOH (1.2). Caršh bilangan arah garis yang melalui titik P(3 , 2 , 1) dan Q(1 , 2 , 3). Garis , PQ = [1-3 [1 -3 , 2-2, 3-1] = , 0 , 2] sebagai vektor arahnya, jadi bilangan-bilangan arahnya adalah -2,0 dan 2.
1.4. KOORDINAT TITIK YANG MEMBAGI SEGMEN GARIS ATAS PERBANDIN PERBANDINGAN GAN TERTENTU TERTENTU
1.5. CROSS PRODUCT (PRODUK VEKTOR) Produk vektor x E (baca : ”a cross b”) menghasilkan sebuah vektor (sebutlah E) yang Ranjang adalah perkalian panjang vektor I a I serta I b I dan sinus _sudut antara _a dengan b dikalikan dengan vektor dari? yakniuc, sedangkan arah dari? adalah tegak lurus; dan E menurut sistem tangan kanan
