Matematici Financiare

Cap. I. DOBÂNDA SIMPLĂ SIMPL Ă Oricine ştie că atunci când o persoan ă (fizică sau juridică) este nevoit ă să folosească un lucru care nu îi apar ţine trebuie să plătească un preţ. Acest principiu este valabil şi în cazul banilor. Dacă persoana P 2 doreşte s ă utilizeze un capital ce îi apar ţine persoanei P 1 atunci P2 trebuie să plătească lui P1 o sumă de bani denumit ă generic dobând ă. Acest lucru este normal dac ă ne gândim c ă, pe perioada în care capitalul este la dispoziţia lui P2, P1 este privată de posibilitatea utiliz ării acestui capital. În mod logic acest  preţ este propor ţional cu dimensiunea capitalului şi cu durata utilizării acestuia. Cu alte cuvinte dobânda D este o func ţie de capital C şi durată t. Deci: D=f(c, t) În principiu func ţia f este cresc ătoare. Definiţ Definiţie. Dobânda se nume şte simplă dacă se plăteşte o singur ă dată şi dacă este propor ţională cu durata  plasamentului. Formula de calcul în acest caz este: D = C ⋅ i ⋅ t ,  unde i = rata dobânzii t = durata plasamentului (de exemplu perioada utiliz ării unui împrumut) Observaţ Observaţie. Parametrii i şi t trebuie raportaţi la acelea şi unităţi de timp (dac ă i este rată anual ă atunci t trebuie să reprezinte num ărul de ani; dac ă i este rată trimestrială, t va reprezenta num ăr de trimestre, ş.a.m.d.) Modalităţ Modalităţii de plată plată ale dobânzii. Rate echivalente În practică se utilizează două metode de plat ă a dobânzii: plata în avans şi plata la scaden ţă. În cazul în care plata dobânzii se face la scaden ţă debitorul P2 primeşte de la creditorul P 1 capitalul C, iar la sfâr şitul perioadei de plasament capitalul care trebuie rambursat este C f  (capital final) = C+D. Observaţ Observaţie. Pe toat ă durata P2 are la dispozi ţie capitalul C. Dacă dobânda se pl ăteşte în avans atunci capitalul pe care P 2 îl poate utiliza este C-D. Evident că modalitatea de plat ă a dobânzii influen ţează capacitatea de operare a debitorului P 2, deoarece sumele  pe care le are la dispozi ţie în cele dou ă situaţii sunt diferite. Putem astfel afirma c ă în cazul în care valorile numerice ale ratelor dobânzii în cele dou ă situaţii sunt egale, atunci ele nu sunt echivalente. Exemplul 1. C = 1000 u.m. (unit ăţi monetare) i = 0,1 (rat ă anuală) t = 1 an În cazul dobânzii pl ătite la scaden ţă debitorul P2 va beneficia de capitalul C = 1000 u.m. pe întreaga perioad ă (în acest exemplu 1 an), iar la sfâr şit va plăti creditorului P1 suma C+D adică: C + D = C + C ⋅ i ⋅ t = 1000 + 1000 ⋅ 0,1 ⋅1 = 1100 u. m. Dacă dobânda se pl ăteşte în avans, suma total ă pe care debitorul P 2 o pl ăteşte creditorului P 1, este tot de 1100 u.m., dar plăţile se fac la momente diferite de timp. Astfel dobânda D = 100 u.m. se pl ăteşte la începutul anului, iar capitalul C = 1000 u.m. la sfâr şit. Diferenţa este în defavoarea debitorului P 2, care, pentru aceea şi dobândă are la dispozi ţie un capital de doar 900 u.m. Observaţ Observaţie. Este foarte important de re ţinut diferenţa între dobând ă şi rată a dobânzii. Dobânda este o valoare care se măsoar ă în unităţi monetare, în timp ce rata dobânzii este o m ărime adimensional ă. Observaţie. În paralel cu i-rata dobânzii, se mai utilizeaz ă şi p-procentul dobânzii. Rela ţia dintre cei doi  parametri este: i=

 p

100

i =0,1 îi corespunde procentul p=10%. Exemplul 2. Unei rate a dobânzii i=0,1 Să revenim la exemplul 1. Am observat c ă în condiţiile unor rate egale, dar pl ătite în mod diferit, acestea nu sunt echivalente. Apare astfel mul ţimea de rate echivalente ale dobânzii. În general, vom spune c ă doi termeni sunt echivalen ţi dacă au acelaşi efect financiar. Am observat c ă, practic, în cazul pl ăţii în avans a dobânzii, debitorul P 2 dispune pe un am de zile de capitalul C-D = 900 u.m., iar la sfâr şitul anului are de pl ătit suma C = 1000 u.m. Putem astfel transforma acest

caz al pl ăţii în avans a dobânzii într-o problem ă în care putem considera c ă plata dobânzii se face la scaden ţă. Valorile numerice se modific ă astfel: capitalul C = 900 u.m., dobânda D = 1000 u.m. –C = 100 u.m. Dacă înlocuim în formula de calcul a dobânzii ob ţinem: 100 = 900 ⋅ i '⋅1 , de aici rezult ă 100 = 0,11 i'= 900 ⋅1 Pe baza acestui exemplu putem afirma c ă o rată a dobânzii de 0,1, în cazul pl ăţii în avans, este echivalent ă cu o rată de 0,11 în cazul în care dobânda se pl ăteşte la scaden ţă. În continuare vom efectua un calcul algebric pentru a stabili rela ţia dintre două rate echivalente atunci când dobânda se pl ăteşte în avans, respectiv la scaden ţă. Consider ăm deci un împrumut de capital C acordat cu o rat ă a dobânzii i, în condi ţiile în care dobânda se  plăteşte în avans. Dac ă dobânda se pl ăteşte în avans atunci suma disponibil ă este: C − D = C (1 − i ⋅ t )  Consider ăm acum un împrumut de capital C-D acordat cu o rat ă i ' echivalentă cu plata dobânzii la scaden ţă. În acest caz debitorul P 2 va plăti la scaden ţă, capitalul împrumutat şi dobânda aferent ă, adică: ( C − D ) + D ' = C (1 − i ⋅ t ) + C (1 − i ⋅ t ) ⋅ i '⋅ t = C (1 − i ⋅ t ) (1 + i '⋅ t )  Astfel, în primul caz suma final ă de achitat este C, iar în al doilea C (1 − i ⋅ t ) (1 + i '⋅ t )   iar suma disponibil ă (cea  pe care debitorul P 2 o are la dispozi ţie pe toată durata împrumutului), este, în ambele cazuri, C-D. Pentru ca cele dou ă operaţiuni să fie echivalente financiar, trebuie ca şi sumele de restituit s ă fie egale. Adică C = C (1 − i ⋅ t ) (1 + i '⋅ t )  de unde ob ţinem 1 1 + i '⋅ t  = 1 − i ⋅ t  1 −1 i '⋅ t  = 1 − i ⋅ t  1⋅ t  , adică i '⋅ t  = 1 − i ⋅ t  i'=

i

1 − i ⋅ t  Astfel rata i ' , pentru dobânda pl ătită în avans, este echivalent ă cu rata i, pentru dobânda pl ătită la scaden ţă. În exemplul 1., prin înlocuire cu valori numerice, ob ţinem: 0,1 0,1 = = 0,11 i'= 1 − 0,1 ⋅1 0, 9 Utilizarea mărimilor adimensionale constituie de multe ori un instrument prin care b ăncile încearcă să atragă clienţii f ăr ă costuri suplimentare. Să presupunem c ă un agricultor dore şte s ă achiziţioneze un utilaj şi pentru aceasta are nevoie de un împrumut. Primeşte două oferte de produse bancare de la dou ă bănci diferite şi anume O1: Împrumut acordat acordat cu un procent procent al dobânzii p=10%, dar cu plata dobânzii dobânzii în avans O2: Împrumut acordat acordat cu un procent procent al dobânzii p’=11%, dar dar cu plata dobânzii dobânzii la scaden ţă Dacă se ia în calcul factorul f actorul psihologic nu se poate prevedea decizia ce o va lua agricultorul. Mai mult, în acest exemplu intervine un mic am ănunt ce nu a fost înc ă evidenţiat. Cele două procente sunt echivalente în condiţiile în care nu se ţine cont de trunchierea f ăcută în calculul valorii lui  p ' . Să revenim la formula de calcul  p ' =

 p

100 − p ⋅ t 

⋅100

(obţinută prin înlocuirea lui i cu

 p

) 100 valoarea lui p’ va fi 11,1111.....% 11,1111.....% . Astfel, în acest caz particular, o banc ă ce reuşeşte s ă atragă un client prin efectul psihologic al ofertei O 1 (utilizarea unui procent al dobânzii mai mic) adaug ă la profitul inclus în dobând ă şi cel rezultat din calculul aproximativ al procentului  p ' . De observat c ă la un împrumut de 100.000.000 u.m. acest profit suplimentar  este de aproximativ 111.111 u.m. Exist ă multe exemple de acest fel şi asupra unora dintre ele vom reveni. 2

Definiţ Definiţii şi convenţ convenţii de notare Literatura de specialitate con ţine notaţii diferite care au aceea şi semnificaţie. Pentru a evita eventualele confuzii vom introduce un set de nota ţii care se vor p ăstra constant pe întreg cuprinsul acestei lucr ări. CI – capital ini ţial: reprezintă suma plasat ă iniţial CD – capitalul disponibil: reprezint ă suma disponibil ă pe perioada plasamentului CF – capitalul final: reprezint ă suma care se pl ăteşte la finalul duratei de plasament CT – capitalul total: reprezint ă valoarea final ă acumulată în urma fructificării CI pe durata plasamentului Pentru început, în cazul plas ării unei sume în regim DS ((dobând dobândă simplă) distingem dou ă cazuri: a) dobânda plă pl ătită tită în avans CD = CI – D CF = CD CT = CI + D b) Dobânda plă pl ătită tită la scadenţă scadenţă CD = CI CF = CI + D CT = CF i – rata anual ă a dobânzii (sau dobând ă unitar ă anuală): reprezintă, în fapt, numărul de unit ăţi monetare care constituie dobânda pentru 1 u.m. plasat ă pe un an de zile.  p = 100 ⋅ i - procentul anual al dobânzii Am amintit mai devreme de rat ă a dobânzii corespunz ătoare unei alte perioade decât anual ă. Pentru aceste situaţii se utilizeaz ă notaţia im, unde m reprezint ă numărul de subperioade în care este împ ăr ţit anul. Astfel: i12 – este notaţia pentru rata lunar ă (12 luni = 1 an) i4 – rata trimestrială (4 trimestre = 1 an) i2 – rata semestrial ă Un caz particular este cel al frac ţionării anului în zile. Practica bancar ă utilizează mai multe proceduri dintre care trei sunt utilizate frecvent: fr ecvent: -  procedura englez ă: 1 an bancar = 365 zile 1 lună bancar ă = 1 lună calendaristică (respectiv 28, 29, 30 sau 31 de zile) -  procedura francez ă: 1 an bancar = 360 zile 1 lună bancar ă = 1 lună calendaristică -  procedura german ă: 1 an bancar = 360 zile 1 lună bancar ă = 30 zile Băncile româneşti utilizează procedurile francez ă sau englez ă. Cu toate acestea noi vom utiliza procedura germană, doar cu scopul de a simplifica efectuarea calculelor. Observaţ Observaţie. Generic, în formulele utilizate, durata plasamentului va fi notat ă cu t. În cazuri particulare se vor  folosi următoarele notaţii (în loc de t): nz – număr de zile nl - număr de luni nt - număr de trimestre ns - număr de semestre Vom spune c ă două rate ale dobânzii sunt echivalente dac ă în condiţiile plasării aceleiaşi sume de bani pe  perioade egale genereaz ă dobânzi egale. De exemplu rata (dobânda unitar ă) trimestrială i4=0,1 este echivalent ă cu rata (dobânda unitar ă) anuală i = 0,4. Pentru a verifica aceast ă afirmaţie vom considera CI = 1000 u.m., t = t 4 = 1 trimestru, t = t 2 = 1 semestru, t = t = 1 an; dobânda se pl ăteşte la scaden ţă. Vom calcula dobânda pentru cele trei perioade utilizând succesiv cele două rate, trimestrială şi anuală. a) t = t1 = 1 trimestru 3

D = CI ⋅ i4 ⋅1 = 100 u. m.

sau 1 (deoarece utiliz ăm rata anual ă, iar durata plasamentului este 1/4 ani). 4  b) t = t2 = 2 trimestre D = CI ⋅ i4 ⋅ 2 = 100 0 u. m. ⋅ 0,1 ⋅ 2 = 200 u. m. sau D = CI ⋅ i ⋅

i=

n

∑1 k =

CI k ⋅ ik ⋅ tk   n

∑1 CI ⋅ t  l =

l

l 

c) t = t3 = 1 an D = CI⋅ i4 ⋅ 4 = 1000 u. m. ⋅ 0,1 ⋅ 4 = 400 u. m. sau D = CI ⋅ i⋅1 = 1000 u. m. ⋅ 0, 4 ⋅1 = 400 u. m. Studiul operaţiunilor financiare utilizeaz ă noţiunea de valoare actual ă, pentru a putea face compara ţii reale între diferite sume la diferite momente (vom detalia în capitolele urm ătoare). Valoarea actual ă îmbracă două forme: a) Valoare actual ă comercială, notată cu A, reprezint ă diferenţa dintre capitalul ini ţial CI şi dobânda aferent ă (încasată în avans) pe perioada plasamentului A = CI - D De observat c ă valoarea actual ă comercială A şi capitalul disponibil CD au aceea şi semnificaţie   b) Valoare actuală raţională, notată A', reprezintă acel capital ini ţial CI care plasat pe o anumit ă perioadă generează un capital total CT dat. Exemplul următor evidenţiază relaţia dintre valoarea actual ă comercială (capital disponibil) A (CD) şi valoarea actual ă raţională A'.

Exemplul 3 a) Consider ăm că se plaseaz ă capitalul iniţial CI = 1.000.000 u.m. pe durata nz = 120 zile cu o dobând ă unitar ă anual ă (rată anual ă a dobânzii) i = 0,15. Valoarea actual ă comercială A este dat de A = CD = CI - D 120 1⎞ ⎛ =1.000.000 ⎜1 −0,15 ⋅ ⎟ =  A = 1.000.000 −1.000.000 ⋅0,15 ⋅ 360 3⎠ ⎝ 05 ) = 1.000.000 ⋅0, 95 95 = 950.000 u. m = 1.000.000 (1 − 0, 05 Avem deci CI = 1.000.000 D = 50.000 A = 950.000  b) Utilizăm aceeaşi rată a dobânzii i şi aceeaşi durată a plasamentului şi calculăm valoarea actual ă raţională A' care genereaz ă capitalul total CT = 1.000.000 u.m. CT = A' + D CT = A '+ A '⋅ i ⋅

nz ⎞  ⎛ = A ' ⎜1 + i ⋅ 60 360 ⎟⎠ ⎝ nz

deci  A ' =

CT 

1 + 0,15 ⋅

120 360

=

1.000.000 = 952.380, 95 1,05

Astfel A' = 952.380,95 D = 47.619,05 CT = 1.000.000 În formulele utilizate pân ă acum apar frecvent doi factori şi anume: 1 + i ⋅ t  respectiv 4

1 1 + i ⋅ t 

.

Aceşti factori se vor întâlni şi în următoarele capitole deoarece au o importan ţă practică deosebit ă. Este motivul pentru care ei au fost defini ţi în felul următor: a) Factorul 1 + i ⋅ t  notat cu u se nume şte factor de fructificare. În cazul în care t = 1 an u se nume şte factor de fructificare anual. În esenţă u reprezint ă valoarea care o va avea la sfâr şitul perioadei t un capital ini ţial CI = 1 u.m. plasat cu o rată a dobânzii i. 1  b) Factorul notat cu v se nume şte factor de actualizare şi reprezintă valoarea capitalului ini ţial CI care 1 + i ⋅ t   plasat pe perioada t cu o rat ă i produce un capital total CT = 1 u.m.

Operaţ Operaţiuni echivalente în regim DS (dobândă (dobând ă simplă simplă) Practica tranzac ţiilor financiare (în caz particular opera ţiunile bancare) poate conduce la necesitatea înlocuirii unei opera ţiuni multiple cu o opera ţiune multiplă echivalentă. Operaţiunile multiple le vom nota cu M şi ele nu reprezint ă altceva decât un set de opera ţiuni simple. Pentru simplificare vom presupune c ă dobânzile se pl ătesc la scaden ţă. Aşa cum am observat problemele studiate în acest capitol implic ă trei elemente: capitalul ini ţial CI, rata dobânzii i şi durata plasamentului t. Dacă aceste elemente sunt date atunci dobânda D şi capitalul total CT pot fi privite ca ni şte funcţii de trei variabile: D = D (CI, i, t) CT = CT (CI, i, t) Cu alte cuvinte CI, i şi t determină exact valoarea dobânzii D sau a capitalului total CT. O opera ţiune simplă poate fi, deci, reprezentat ă printr-un vector de forma: ⎛ CI ⎞ ⎜i ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ t  ⎟ ⎝ ⎠

Deoarece opera ţiunea multiplă este o mul ţime de opera ţiuni simple ea poate fi reprezentat ă matricial: ⎛ CI1 CI 2 ... CI N   ⎞ M = ⎜⎜ i1 ... in ⎟⎟ i2 ⎜ t t2 ... t n ⎟⎠ ⎝ 1 Problema luat ă în considerare este aceea de a determina o opera ţiune multiplă N echivalent ă cu M dac ă se impun anumite restric ţii asupra elementelor CI, i sau t. Echivalen ţa poate fi raportat ă la dobânda total ă sau la valoarea actual ă.

Operaţ Operaţiuni echivalente în raport cu dobânda Consider ăm operaţiunea multipl ă ⎛ CI1 CI 2 ... CI k ... CI n  ⎞ M = ⎜⎜ i1 ... in ⎟⎟ i2 ... ik ⎜ t ... t n ⎟⎠   t2 ... t k ⎝ 1 Dobânda total ă a operaţiunii M este suma dobânzilor celor n opera ţiuni simple care o compun: D(M) =

n

∑1 CI k =

k

⋅ ik ⋅ tk  

O operaţiune multiplă N este echivalent ă, în raport cu dobânda, cu M dac ă D(N) = D(M) Distingem trei cazuri: a) Capitalurile iniţiale CI k  ( k = 1, n ) se înlocuiesc cu capitaluri ini ţiale egale între ele: Valoarea acestui capital mediu este dat ă de CI  =

n

∑1 k =

CI k ⋅ ik ⋅ t k   n

∑1 i ⋅ t  l =

l

l 

 b) Se înlocuiesc ratele cu o rat ă medie i. Aceast ă rată se determină cu ajutorul relaţiei: 5

i=

n

∑1 k =

CI k ⋅ ik ⋅ t k   n

∑1 CI ⋅ t  l

l =

l 

c) Înlocuirea duratelor de plasament cu o durat ă medie înlocuitoare. În acest caz t  =

n

∑1 k =

CI k ⋅ ik ⋅ t k   n

∑1 CI ⋅ i l

l =

l 

Operaţiunile: ⎛ CI CI ... CI ⎞  ⎛ CI1 CI 2 ... CI N   ⎞ ⎛ CI1 CI 2 ... CI N   ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟  N1 = ⎜ i1 i2 ... in ⎟ , N2 = i şi N3 = ⎜ i1 ... ... i i i i 2 n ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜t ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ... t n ⎠ ... t  ⎟⎠ t2 ... t n ⎠ t ⎝ 1 t2 ⎝ t1 ⎝ t

în care capitalul ini ţial mediu înlocuitor, rata medie înlocuitoare, respectiv durata medie înlocuitoare au fost calculate pe baza formulelor prezentate anterior sunt echivalente, în raport cu dobânda, cu opera ţiunea multiplă M.

Operaţ Operaţiuni echivalente în raport cu valoarea actual ă Vom utiliza valoarea actual ă raţională în cele ce urmeaz ă; cazul în care se folose şte valoarea actual ă comercială se tratează similar. Consider ăm operaţiunea multipl ă M aşa cum a fost prezentat ă anterior. Prin valoare total ă actuală a lui M înţelegem suma valorilor actuale (ra ţionale) ale opera ţiunilor simple ce o compun:  A ' (M) =

n

CI k 

k =

k

∑1 1 + i

⋅ t k 

Operaţiunea multipl ă N este echivalent ă, în raport cu valoarea actual ă, cu opera ţiunea multiplă M dacă are aceea şi valoare actual ă totală. Distingem şi în aceast ă situaţie trei cazuri: a) Înlocuirea capitalurilor ini ţiale CIk  cu un capital ini ţial mediu CI. Acesta se calculeaz ă după formula: CI  =

n

CI k 

k = n

k

∑1 1 + i

⋅ t k 

1

∑1 1 + i k =

k

⋅ t k 

 b) Rata medie înlocuitoare i se determin ă din relaţia: n

CI k

∑1 1 + i

⋅ tk

n

=∑

CI k   

1 + i ⋅ t k    c) Pentru determinarea duratei medii înlocuitoare t se utilizeaz ă relaţia: k=

k

n

CI k

∑1 1 + i

n

=∑

CI k   

1 + ik  ⋅ t   Cele trei operaţiuni multiple echivalente, care pot fi determinate prin utilizarea formulelor de calcul anterioare, sunt echivalente, în raport cu valoarea actual ă, cu opera ţiunea multiplă M. k=

k

⋅ tk

k =1

k =1

Probleme rezolvate 1. Dobânda unitar ă anuală este de 0,15. S ă se calculeze dobânda pentru 1.000 u.m. pe timp de un an, respectiv un trimestru. Soluţie: i = 0,15 ; CI  = 1.000 1.000 u.m. u.m. D = CI ⋅ i ⋅ t1  = 1.000 ⋅ 0,15 ⋅1 = 250 u.m. 1 u .m. D = CI ⋅ i ⋅ t2  = 1.000 ⋅ 0,15 ⋅ = 62, 50 u. 4 2. Să se calculeze procentul trimestrial echivalent cu procentul semestrial de 14%.

6

i2 = 0,14

Soluţie:

i4 =

i2

0, 7 = 0,7 2 3. Se consider ă operaţiunea multipl ă: ⎛ CI1 CI 2 CI 3  ⎞ ⎛ 10.000 u.m. 15.000 u.m. 20.000 u.m. ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0,12 0,06 0,09 ⎟⎟  A  = i1 i2 i3 ⎟ = ⎜ ⎜ ⎜ t 120 zile 72 zile ⎟⎠ t2 t 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 60 zile ⎝ 1 Se cere s ă se determine opera ţiunile echivalente în raport cu dobânda prin determinarea: a) capitalului mediu înlocuitor   b) ratei medii înlocuitoare c) scaden ţei medii înlocuitoare Soluţie 3

a) Capitalul mediu înlocuitor este dat de: CI  = ∑ k =1

CI k ⋅ ik ⋅ tk   3

∑1 i ⋅ t  l =

3

 b) Rata medie înlocuitoare este: i = ∑

CI k ⋅ ik ⋅ t k   3

∑1 CI ⋅ t 

k =1

l =

3

c) Scadenţa medie înlocuitoare: t = ∑

l

3

∑1 CI ⋅ i l =

l

l 

= 0,0806

l 

CI k ⋅ ik ⋅ t k  

k =1

l

14827,58 u.m. u.m. = 14827,58

79,38 zile zile = 79,38

l 

Pentru verificare dobânzile totale ale opera ţiunilor echivalente trebuie s ă fie egale cu dobânda total ă a operaţiunii A. Dobânda total ă a unei opera ţiuni multiple este dat ă de: D=

n

∑1 CI ⋅ i ⋅ t   k

k =

k

k 

Astfel pentru opera ţiunea A dobânda total ă este  D = 860 u.m. , iar pentru opera ţiunile echivalente: a) 859,99 u.m.  b) 859,73 u.m. c) 859,95 u.m. Aceste rezultate sunt satisf ăcătoare, dac ă ţinem cont de faptul c ă în calculul valorilor precedente s-au f ăcut aproximări. ⎛ CI1 CI 2 CI 3  ⎞ ⎛ 10.000 u.m. 15.000 u.m. 20.000 u.m. ⎞ ⎟ ⎜ 0,12 4. Se consider ă operaţiunea multipl ă:  A  = ⎜⎜ i1 0,06 0,06 ⎟⎟ i2 i3 ⎟ = ⎜ ⎜ t 60 zile 180 zile ⎟⎠ t2 t 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 60 zile ⎝ 1 Se cere s ă se determine opera ţiunile echivalente, în raport cu valoarea actual ă, prin determinarea: a) capitalului mediu înlocuitor   b) ratei medii înlocuitoare c) scaden ţei medii înlocuitoare Soluţie a) Capitalul ini ţial mediu CI se calculeaz ă după formula: CI  =

3

CI k 

k =

k

3

1

k =

k

∑1 1 + i ∑1 1 + i

⋅ t k 

= 14983,81u.m.

⋅ t k 

 b) Rata medie înlocuitoare i se determin ă din relaţia: 3

CI k

∑1 1 + i

3

=∑

CI k   

⋅ t k k =1 1 + i ⋅ t k    şi se ob ţine i = 0,067 . k=

k

c) Pentru determinarea duratei medii înlocuitoare t  se utilizează relaţia: 7

3

CI k

∑1 1 + i k=

k ⋅ tk

3

=∑

CI k   

şi se obţine t  ≈ 103 zile. 1 + ⋅ i t   k =1 k 

8

Cap. II. DOBÂNDA COMPUSĂ COMPUSĂ După cum s-a observat în capitolul I dobânda simpl ă se calculeaz ă şi se pl ăteşte o singur ă dată. Majoritatea dintre noi suntem îns ă obişnuiţi şi cu o alt ă expresie a dobânzii şi anume cea de dobând ă capitalizată (în limbaj  popular “dobând ă la dobândă”). În terminologia de specialitate acest termen se mai întâlne şte şi sub denumirea de dobând ă compus ă. Aplicarea unui regim de dobând ă capitalizată înseamnă, de fapt, c ă dobânda se calculeaz ă  periodic, iar la sfâr şitul fiecărei subperioade capitalul ini ţial se măreşte cu valoarea dobânzii. Practic regimul de dobând ă capitalizată utilizat într-un plasament constituie o succesiune de opera ţiuni în regim de dobând ă simplă care modifică periodic (datorită faptului că dobânda nu se pl ăteşte pe fiecare subperioad ă) capitalul ini ţial. Un exemplu simplu este urm ătorul: O persoan ă P constituie un depozit bancar pe termen de 6 luni cu o rat r at ă lunar ă i12 în regim DC cu dobând ă capitalizată lunar. Dacă regimul de dobând ă ar fi DS atunci: D = CI ⋅ i ⋅ t = CI ⋅ i12 ⋅ 6 , iar capitalul total CT = CI C I + D = CI + CI ⋅ i12 ⋅ 6 = CI (1 + i12 ⋅ 6 ) În cazul DC capitalul ini ţial se modifică lunar prin înglobarea dobânzii corespunz ătoare: Luna 1 D1 = CI1 ⋅ 1i2 ⋅1 CT1 = CI1 (1 + i12 ) Luna a 2-a Capitalul iniţial pentru luna a doua este, de fapt, capitalul total al primei luni. CI 2 = CT1 = CI CI1 (1 + i12 ) D2 = CI2 ⋅ 1i2 = CI1 (1 + 1i2 ) ⋅ 1i2 CT2 = CI CI 2 + D2 = CI CI1 (1 + i12 ) + CI1 ( 1 + i12 ) ⋅ i12 =

= CI1 (1 + i12 ) (1 + i12 ) = CI1 (1 + i12 )

2

Luna a 3-a Capitalul iniţial este egal cu capitalul total al celei de-a doua luni CT 2 CI3 = CT2 = CI1 (1 + i12 ) (1 + i12 ) D3 = CI3 ⋅ 1i2 = CI1 (1 + 1i2 ) (1 + i12 ) ⋅ i12 CT3 = CI 3 + D3 = CI1 (1 + i12 ) (1 + i12 ) + CI1 (1 + i12 ) (1 + i12 ) ⋅ i12 = = CI1 (1 + i12 ) (1 + i12 ) (1 + i12 ) = CI CI 1 (1 + i12 )

3

Prin inducţie se ob ţine 6 CT6 = CI CI1 (1 + i12 ) Deci în cazul în care rata dobânzii şi subperioadele de plasament sunt raportate la aceea şi unitate de timp,  pentru regimul DC avem t −1 D= CI(1 + i) ⋅ i CT = CI CI (1 + i )

t 

spre deosebire de capitalul total în regim DS care se calculeaz ă cu formula CT = CI (1 + i ⋅ t ) 

Observaţ Observaţie. Uzual regimul DS se aplic ă pentru perioade de pân ă la un an, iar regimul DC pentru perioade de  peste un an. Dacă durata plasamentului este de un an (f ăr ă capitalizarea dobânzii) atunci ambele formule ne conduc la acela şi rezultat, deoarece t  1 + i ⋅ t = (1 + i ) pentru t = 1. Dobânzi unitare echivalente Consider ăm dobânzile unitare i şi im; relaţia dintre ele, în regim DC, se determin ă pe baza principiului egalităţii dobânzilor calculate pe aceea şi perioadă de timp. Presupunem c ă durata plasamentului este de n ani. Atunci, dacă utilizăm rata i (anual ă) avem: n D= CI(1 + i) Pe de altă parte 9

m D= CI⎡(1 + mi ) ⎤ ⎣ ⎦

n

Prin egalarea celor dou ă expresii se ob ţine: m (1 + i ) = ⎡⎣(1 + im ) ⎤⎦ n

n

adică m 1 + i = (1 + im ) de unde se ob ţine im = m 1 + i − 1

Inflaţ Inflaţie şi risc catastrofic Este evident faptul c ă utilizarea formulelor de calcul a dobânzii, prezentate pân ă acum, conduc la o valoare aparent ă. Mai exact, în cazul în care, de exemplu, se constituie un depozit bancar cu CI = 1.000.000 u.m. şi o rată anuală i = 0,1, după un an depun ătorul va ridica suma CF = 1.100.000 u.m.   Nu întotdeauna relaţia CF>CI implică un câştig; acest lucru se întâmpl ă atunci când infla ţia depăşeşte rata dobânzii. Într-un limbaj mai pu ţin academic infla ţia simbolizează devalorizarea monedei. În func ţie de nivelul de dezvoltare a economiei ţării emitente a anumitei monezi, valoarea infla ţiei poate lua diferite valori. Pentru măsurarea inflaţiei se utilizeaz ă noţiunea de rat ă a inflaţiei. La fel ca şi rata dobânzii, rata infla ţiei  poate fi anual ă (se noteaz ă cu a) sau pe anumite subperioade a anului (se va nota cu a m, unde m reprezint ă, la fel ca la rata dobânzii, num ărul de subperioade). Să consider ăm că se doreşte fructificarea unei u.m. pe o durat ă de plasament de un an cu o rat ă anual ă i. În cazul în care nu exist ă inflaţie valoarea aparent ă a u.m. dup ă un an, adic ă 1+i, este egal ă cu valoarea real ă. Ce se întâmpl ă dacă există inflaţie şi rata inflaţiei este a? În acest caz valoarea aparent ă 1+i difer ă de valoarea real ă, aceasta deoarece infla ţia opereaz ă ca o dobândă, dar în sens contrar (am presupus c ă rata inflaţiei este pozitivă). Valoarea real ă a unei unit ăţi monetare 1+ i  plasate spre fructificare pe o perioad ă de un an cu o rat ă a dobânzii i va fi: 1+ a 1+ i Se observă imediat că dacă a > i , atunci raportul este subunitar, ceea ce conduce la concluzia c ă, în acest 1+ a caz, valoare real ă a sumei totale la sfâr şitul anului (adic ă 1+i) este mai mic ă decât 1 u.m. la începutul anului. Cu alte cuvinte, de şi s-a depus spre fructificare, cu o rat ă a dobânzii pozitiv ă, 1 u.m. în final se înregistrează o pierdere. Din acest motiv se face distinc ţia între dobânda unitar ă aparentă şi dobânda unitar ă reală. Notaţia i se va utiliza în continuare pentru no ţiunea de dobând ă unitar ă (rată a dobânzii) real ă, iar pentru rata aparent ă se va folosi notaţia k. Pentru o mai bun ă înţelegere subliniem faptul c ă rata aparent ă este acea rat ă, care aplicat ă unui CI, conduce în final la o dobând ă egală cu cea generat ă de rata real ă i în condiţiile în care nu ar exista factori  perturbatori (de exemplu infla ţia). Vom considera exemplul urm ător: CI = 100 u.m. t = 1 an i = 0,2 a = 0,1 a) Dacă nu există inflaţie atunci: D = 20 u.m. CF = 120 u.m. Mai mult, valoarea aparent ă a capitalului final este şi valoarea real ă.  b) Presupunem c ă există inflaţie a = 0,1, dar c ă aceasta nu se ia în calcul. În acest caz valorile aparente sunt D = 20 u.m. CF = 120 u.m. Valoarea real ă a capitalului final CF este dat ă de relaţia 1+ i = 109, 09 u.m. CF ( real ) = CI ⋅ 1+ a De aici şi valoarea real ă a dobânzii este 9,09 u.m. spre deosebire de valoarea aparent ă de 20 u.m. c) Pentru a înl ătura efectul inflaţiei, deci pentru a avea un câ ştig real de 20% trebuie utilizat ă rata k a dobânzii 10

aparente. Este u şor de observat c ă aceast ă rată se obţine din relaţia 1+k = (1+i)(1+a) În acest fel valoarea aparent ă a CF este CF ( aparent ) = CI ⋅ (1 + k ) = CI (1 + i ) (1 + a ) = 1, 2 ⋅1,1 = 132 u.m. = 100 u.m. ⋅1, Valoarea real ă este dată de relaţia (1 + i ) (1 + a ) 1 + k  = CI ⋅ = CI ⋅ (1 + i ) = 120 u.m. CF ( real ) = CI ⋅ 1+ a 1+ a Cu alte cuvinte, pentru a ob ţine un câ ştig real de 20%, trebuie utilizat ă o rată a dobânzii 0, 32 k = (1 + i ) (1 + a ) − 1 = 0, Din păcate rata anual ă a inflaţiei nu poate fi determinat ă a priori. Aceast ă rată poate fi doar previzionat ă   prin utilizarea aparatului matematic oferit de statistica matematică. Chiar  şi în acest caz politica economic ă implementată de factorii decizionali poate conduce la alte valori decât cele prev ăzute. În condi ţiile în care există pârghiile economice care permit men ţinerea sub control a infla ţiei vorbim de infla ţie controlată. Dacă economia unui stat este precar ă poate să apar ă fenomenul de infla ţie necontrolat ă sau galopant ă. Aceste fenomene au efecte care pot conduce la un crah economic. Unul din efecte este cel al nemuncii, deoarece în condi ţiile unei puternice devaloriz ări acumularea bănească este inutil ă, fapt ce determin ă populaţia să munceasc ă doar atât cât s ă-şi asigure subzisten ţa. Un alt factor care impune utilizarea unei rate aparente mai mari decât cea real ă este aşa numitul risc catastrofic. Aceast ă noţiune acoper ă cazurile în care un credit, din anumite motive, nu mai poate fi rambursat niciodată. Notaţia utilizată este b şi denumirea este de rat ă anuală a riscului catastrofic. Înglobarea sa în k-rata anual ă aparentă a dobânzii, i-rata anual ă reală, a-rata anual ă a inflaţiei şi b-rata anuală a riscului catastrofic devine: 1+k = (1+i)(1+a)(1+b)

Exemplu O bancă ce doreşte s ă realizeze un câ ştig real de 20% (i = 0,2) în condi ţiile unei inflaţii de 10% (a = 0,1) ( b = 0,05) trebuie s ă acorde credite cu o rat ă anuală a dobânzii aparente: şi a unui risc catastrofic anual de 5% (b k = (1+i)(1+a)(1+b)-1 = 1, 2 ⋅1,1⋅ 0, 05 05 − 1 = 0, 386 Cu alte cuvinte procentul anual aparent al dobânzii trebuie s ă fie p = 38,6% Operaţ Operaţiuni echivalente în regim DC Principiul care st ă la baza acestui paragraf este similar celui care a fost utilizat în cazul în care se aplic ă regimul DS (dobând ă simplă). Distingem şi în acest caz dou ă forme de echivalen ţă a operaţiunilor multiple. a) Echivalenţ Echivalenţa în raport cu dobânda totală total ă Este evident c ă formulele care se aplic ă pentru determinarea valorilor medii înlocuitoare (CI, i, t) sunt diferite în cazul aplic ării regimului DC deoarece şi formula pentru calculul dobânzii este alta. Datorită faptului că în expresia dobânzii calculate în regim DC apare func ţia exponen ţială este dificil de calculat valoarea medie înlocuitoare pentru scaden ţă şi rată. Doar în cazul sumei ini ţiale este uşor de determinat valoarea medie înlocuitoare şi aceasta este dat ă de formula n

CI (capital ini ţial mediu înlocuitor) =

∑1 CI k =

⎡(1 + ik  )t  − 1⎤ ⎣ ⎦ k 

k

n

∑1 ⎡⎣(1 + i ) k =

k 

t k 

− 1⎤ ⎦

b) Echivalenţ Echivalenţa în raport cu valoarea actuală actual ă În cazul opera ţiunilor multiple în regim DC valoarea actual ă raţională totală este dată de relaţia  A ' (M) =

n

n

CF k 

∑1 CI  = ∑1 (1 + i ) k 

k=

k =

t k 

k 

Similar cu situaţia aplicării regimului DS, vom spune c ă două operaţiuni multiple M1 şi M2 sunt echivalente, în regim DC, în raport cu valoarea actual ă (raţională) dacă  A ' ( M1) =  A ' ( M2) 11

Exerciţ Exerci ţii rezolvate 1. O persoan ă plasează un capital ini ţial CI  = 100 100 u.m. u.m. pe o durată de 4 ani în regim  DC  cu dobânzile unitare anuale corespunz ătoare i1 = 0,05 , i2 = 0,06 , i3 = 0,07 şi i4 = 0,08 . Să se calculeze capitalul final şi dobânda totală aferentă plasamentului. Soluţie CF = CI (1 + i1 ) ( 1+ i2 ) (1 + i3 ) (1 + i4 ) =

,05 ⋅1,06 ,06 ⋅1,07 ,07 ⋅1,08 ,08 = 128,61u. ,61u.m m. = 100 u.m. ⋅1,05 Dobânda total ă este dat ă de CF − CI  = 28,61u.m. 2. Un capital CI  = 100 u.m. plasat pe o durat ă de 3 ani produce o dobând ă de 33,1 u.m.. S ă se determine dobânda unitar ă anual ă pentru cazul în care plasamentul s-a efectuat: a) în regim  DS   b) în regim  DC  Soluţie a) În regim  DS  D = CI ⋅ i⋅ t  , astfel 33,1 = 100 ⋅ i ⋅ 3 ceea ce implic ă 33,1 i= ≈ 0,11 300  b) În regim  DC  t  CF = CI ⋅ (1 + i ) , astfel 3

133,1 = 100 (1 + i ) , de unde 3

(1 + i ) = 1, 331 , adică i = 0,10

Observaţ Observaţie. Uzual problemele în care se cere determinarea dobânzii unitare anuale sau a perioadei de plasare în regim  DC  implică utilizarea tabelelor de logaritmi. 3. Se plaseaz ă un capital ini ţial CI  = 100 u.m. în regim  DC  pe o perioad ă de 4 ani cu un procent anual  p = 10% . Se cere s ă se determine capitalul final real şi cel aparent în condi ţiile: a) nu exist ă inflaţie şi risc catastrofic  b) rata anuală a inflaţiei este a = 0,05 , iar rata anual ă a riscului catastrofic este b = 0,03 , dar nu sunt luate în calcul c) rata anual ă a inflaţiei este a = 0,05 , rata anual ă a riscului catastrofic este b = 0,03 , şi sunt luate în considerare la stabilirea ratei anuale a dobânzii Soluţie a) Deoarece se presupune c ă nu există inflaţie şi nici risc catastrofic valoarea aparent ă a capitalului final este şi valoare real ă 4 411 u.m. CF  = 100 (1,1) = 146, 4  b) Capitalul final aparent este acela şi ca şi la punctul a), dar valoarea real ă este dată de: 146,41 CF a CF r  = 4 4 = 4 4 = 107,02 u.m. (1 + a ) (1 + b ) (1, 05 ) (1, 03) Cu alte cuvinte suma cumulat ă după 4 ani de plasament este de 146,41 u.m., dar valoarea ei real ă este de 107,02 u.m. c) Dacă se iau în calcul ratele infla ţiei şi riscului catastrofic, atunci pentru o dobând ă unitar ă reală de 0,1 rata aparentă a dobânzii trebuie s ă fie k = (1 + i ) (1 + a ) (1 + b ) − 1 = 0,1896 , ceea ce face ca valoarea aparent ă a capitalului final s ă fie: 12

CF a = 100 ⋅1,18964 = 200.2644

u.m.

Valoarea reală a acestui capital este CF r  =

CF a

4 4 ≈ 146,40 u.m. adică valoarea capitalului final dac ă 1 , 0 5 1 , 03 0 3 ( ) ( )  plasarea se face cu un procent de 10% şi nu există inflaţie sau risc catastrofic.

13

Cap. III. OPERAŢ OPERAŢIUNI DE SCONT Uzual, operaţiunea de scont semnific ă cumpărarea de către o bancă comercial ă a unui document financiar  deţinut de către un creditor P1. Documentul atest ă obligativitatea unui debitor P 2 de a face o plat ă către P1 la o anumită dată (scadenţă). În cazul în care P 1 doreşte încasarea sumei înainte de scaden ţă el poate vinde acest document (bilet de ordin, poli ţe etc.) unei bănci comerciale, bineîn ţeles contra unei taxe. În schimb, banca va fi cea care va încasa, la scaden ţă, suma datorată de debitorul P2. Această operaţiune poartă denumirea de operaţiune de scont. Se disting trei momente importante de timp şi patru valori ale capitalului într-o astfel de opera ţiune: - momentul T 0: este data întocmirii documentului financiar  - momentul T: data scaden ţei - momentul TS: data scontării, respectiv - capital iniţial CI (sau valoare de emisiune) - capital final (sau nominal) CF - capital scontat C S - cursul poli ţei CP Coresponden ţa între aceste no ţiuni este dat ă de - capitalul ini ţial CI corespunde momentului ini ţial T0 - capitalul final (nominal) CF corespunde scaden ţei T - capitalul scontat C S şi cursul poliţei CP corespund momentului TS al scontării Un exemplu de opera ţiune de scont este urm ătorul: La data T0 debitorul P2 emite către creditorul P 1 un document financiar cu o valoare ini ţială CI, purtător  de dobândă cu o rată anuală i şi scadent la momentul T. Documentul este girat de o banc ă comercial ă. Presupunem că P1 doreşte încasarea banilor la momentul T S
Observaţ Observaţii: a) Scontul reprezint ă diferenţa dintre capitalul nominal CF şi capitalul scontat C S S = CF – CS  b) Prin modul în care este definit scontul reprezintă dobânda aferentă unui capital CS pe perioada t = T – TS astfel încât capitalul final ob ţinut să fie CF c) Scontul se comport ă ca o dobândă cu diferenţă, esenţială de altfel, că valoarea sa se scade din capital. Scontul simplu Dacă dobânda se calculează în regim DS, scontul se nume şte scont simplu (notat SS). În conformitate cu observaţiile anterioare calculul valorii pentru SS se face cu ajutorul formulei de calcul a dobânzii simple, adic ă: SS = CS  ⋅ j ⋅ t  

Deoarece CF = CS + SS = CS + CS  ⋅ j ⋅ t  

deducem că C S  =

CF 

1 +  j ⋅ t  iar de aici ob ţinem SS  =

CF ⋅ j ⋅ t  

1 +  j ⋅ t  14

Scontul simplu calculat pe baza acestei formule se nume şte scont simplu ra ţional (SSR). În practic ă suma 1 + j ⋅ t  se aproximează cu 1 (deoarece  j ⋅ t  reprezint ă o valoare mică). Astfel apare no ţiunea de scont simplu comercial (SSC) care se calculeaz ă pe baza formulei: SSC = CF ⋅ j ⋅ t   Astfel: SSR =

CF ⋅ j ⋅ t

1 + j⋅ t

=

SSC  

1 + j⋅ t  

adică SSC = SSR (1 + j ⋅ t ) 

Cu alte cuvinte scontul simplu comercial (SSC) reprezint ă capitalul final al unui plasament pe perioada t cu rata dobânzii j a unui capital ini ţial egal cu SSR. În baza relaţiilor stabilite, pentru capitalul scontat C s, se pot determina urm ătoarele formule de calcul: C S  =

CF 

pentru SSR  1 +  j ⋅ t  CS  = CF (1 − j ⋅ t )  pentru SSC

Observaţ Observaţii: a) Capitalul scontat C S nu este întotdeauna mai mic decât cursul poli ţei (sau valoarea final ă la scontare) C P. De exemplu, dacă un debitor P2 restituie un credit înainte de termen atunci C S>CP. De fapt valoarea capitalului scontat este o func ţie descrescătoare în raport cu j (procentul de scont).  b) Scontul simplu comercial nu se poate aplica pe durate mai mari de timp deoarece se poate ajunge la situa ţia ca  j ⋅ t  > 1 ceea ce corespunde unei valori negative a capitalului scontat C s. Scontul compus În cazul în care dobânda se calculeaz ă în regim DC, scontul se numeşte scont compus şi se notează SC. În acest caz t  CF = CS  (1 + j ) şi deoarece, din defini ţia generală a scontului, avem SC = CF – CS obţinem ⎛ 1 ⎞ CF  = CF ⎜1 − SC = CF − ⎟ = CF (1 − vt  ) t t  ⎜ (1 + j ) ⎟ (1 +  j ) ⎝ ⎠ 1 unde v = este factorul de actualizare (vezi Cap. I). 1 +  j Dacă nu se cunoaşte CF, dar se cunoaşte CS, atunci scontul compus se poate calcula dup ă formula: SC = CS  ( u t  − 1) unde u = 1+j este factorul de fructificare anual. Deci SC = CF (1 − vt ) = CS  ( u t  − 1) . Dacă scontul se calculeaz ă pe baza acestei formule se va numi scont compus ra ţional (SCR). Deoarece, în practic ă, valorile ratei de scont  j sunt mici se poate utiliza urm ătoarea aproximare: t  (1 + j) ≈ 1 + j⋅ t   astfel expresia scontului comercial devine ⎛ ⎛  j ⋅ t  1 ⎞ 1 ⎞ ⎟ = − = 1 SC = CF ⎜1 − C F C F   ⎜ ⎟ ⎜ (1 +  j )t  ⎟ j⋅ t ⎠ j⋅ t   + + 1 1 ⎝ ⎝ ⎠ În acest caz scontul compus se nume şte scont compus comercial (SCC). Expresia capitalului scontat va fi: C  s =

CF 

(1 +  j )

t 

, pentru SCR 

15

C  s =

CF 

, pentru SCC 1 +  j ⋅ t  Observa ţii: a) SSR = SCC  b) Capitalul scontat reprezintă, de fapt, o valoare actualizat ă, la momentul T S, a capitalului nominal CF. Factorul de actualizare este: 1 , în regim DS 1 + j ⋅ t  1 , în regim DC t  (1 +  j )

Exerciţ Exerci ţiu rezolvat O poliţă are valoarea de emisiune CI  = 10.000 u.m. şi este scaden ţa peste 5 ani de la emisiune. Evaluarea  poliţei se face cu un procent  p = 8% . Dacă scontarea se face cu procentele q1 = 8% şi q2 = 10% să se calculeze capitalul scontat în cazul în care: a) scontarea se face cu doi ani înainte de scaden ţă  b) scontarea se face cu 6 luni înainte de scaden ţă Soluţie Capitalul nominal, în regim  DC  este 5 T  CF = CI CI (1 + i ) = 10000 ⋅ (1, 08 ) = 14693, 28 u.m. a) În cazul în care scontarea se face cu doi ani înainte de scaden ţă se va utiliza scontul compus (ra ţional şi comercial). Ob ţinem următoarele valori: - q1 = 8% 14693,28 CF  = C S  = 2 = 12597,12 u.m., pentru SCR  t  (1 +  j ) ( 1, 08 ) 14693,28 CF  = = 12666,62 u.m., pentru SCC C S  = 1 +  j ⋅ t  1 + 0, 0 , 08 ⋅ 2 - q2 = 10% 14693,28 CF  = = 12143,21 u.m., pentru SCR  C S  = 2 t  (1 +  j ) (1,1) 14693,28 CF  C S  = = = 12244,41 u.m., pentru SCC 1 +  j ⋅ t  1 + 0,1 ⋅ 2   b) Dacă scontarea se face cu 6 luni înainte de scaden ţă se va aplica scontul simplu. Valoarea capitalului nominal (final) este aceea şi deoarece se calculeaz ă la o perioad ă de plasament de 5 ani. - q1 = 8% 14693,28 CF  = = 14128,15 u.m., pentru SSR  C S  = 1 +  j ⋅ t  1 + 0, 08 ⋅ 1 2 1⎞ ⎛ CS  = CF (1 − j ⋅ t ) = 14693, 28 ⎜1 − 0, 08 ⋅ ⎟ = 14105, 55 u.m., pentru SSC 2⎠ ⎝ - q2 = 10% 14693,28 CF  C S  = = = 13993,60 u.m., pentru SSR  1 +  j ⋅ t  1 + 0,1 ⋅ 1 2 1⎞ ⎛ CS  = CF (1 − j ⋅ t ) = 14693, 28 ⎜1 − 0,1 ⋅ ⎟ = 13958, 62 u.m., pentru SSC 2⎠ ⎝

16

Cap. IV. ANUITĂŢ ANUITĂŢII Practica financiar ă conţine multe exemple în care plata sumei aferente unui contract între un creditor P 1 şi un debitor P 2 se face în mai multe etape. Pentru ca un astfel de sistem de pl ăţi să fie bine definit este necesar ă cunoa şterea unor elemente strict necesare: - momentele efectu ării plăţilor  - valoarea ratelor (a sumelor care se pl ătesc) la diferitele momente de timp - valoarea actualizat ă a tuturor plăţilor (fie că se calculeaz ă la un moment de timp intermediar, fie c ă se calculează la finalul operaţiunii financiare) - rata (sau ratele) dobânzii care se aplic ă în cadrul contractului Cele mai des întâlnite exemple în care se utilizeaz ă plata în mai multe etape (numite pl ăţi e şalonate) sunt date de achizi ţionarea în rate a unui bun sau restituirea unui credit. Ratele împreun ă cu momentele de timp la care se pl ătesc constituie, ceea ce în termeni financiari se numesc, anuit ăţi. Am observat deja c ă o sumă de bani cu aceea şi valoare aparent ă are valori reale diferite la momente de timp diferite. Acesta este, de altfel, motivul pentru care se utilizeaz ă factorul de actualizare şi factorul de fructificare. De aceea nu se poate face o comparare direct ă a sumei de 1.000 u.m. (de exemplu) la un moment t 0 cu aceeaşi sumă la un moment anterior t 1 sau posterior t 2. Pentru acest lucru trebuie lua ţi în calcul toţi factorii care intervin (inflaţie, dobânzi etc.). Cea mai simpl ă metodă de comparare este prin intermediul valorilor actuale. În cazul anuit ăţilor, dacă rk  ( k = 1, n ) reprezintă ratele iar  tk  ( k = 1, n ) reprezintă momentele de plat ă, atunci valoarea actual ă a unei anuit ăţi A(r 1,...,r n; t1, ..., tn) la un moment fixat t este dat ă de VA ( t ) =

n

∑1 r ⋅ v k =

tk  −t 

k 

Cazuri particulare pentru aceast ă formulă de calcul sunt cele în care t = t 0 (se obţine valoarea ini ţială a anuităţii), respectiv t = t n (valoarea final ă). Anuităţile pot fi clasificate dup ă mai multe criterii. Anuităţile pentru care studierea formulelor de calcul a valorilor actuale reprezint ă o utilitate practic ă sunt anuităţile constante. Vom numi anuit ăţi constante acele anuit ăţi pentru care intervalele de plat ă şi ratele sunt constante, adic ă: r 1 = r 2 = ... = r n = r  t1-t0 = t2-t1 = ... = tn-tn-1 La rândul lor anuit ăţile constante se împart în - anuităţi constante întregi când intervalul dintre pl ăţi este de 1 an - anuităţi constante frac ţionate când intervalele de plat ă sunt egale cu o frac ţiune de an Dacă plata ratelor se face la începutul fiec ărui interval (de exemplu la începutul fiec ărui an prevăzut în contract) ele se numesc anticipate, respectiv posticipate dac ă plata se face la sfâr şitul intervalului. Pentru fiecare caz în parte se pot determina formule practice de calcul ale valorilor actuale astfel:

a) Anuităţ Anuităţii constante întregi anticipate Ratele sunt egale, intervalele de plat ă sunt de un an, iar t k  (momentul plăţii) = k-1 VA ( t ) =

n

∑1 r ⋅ v

tk  − t 

k=

= r ⋅u

t +1

v (1 − v n )

1− v

n

= r∑ v k =1

k −1−t

=

r  v

t +1

n

∑1 v

k 

=

k =

n 1 (1 − v ) = r ⋅u ⋅ ⋅ = u 1 1 − t +1

u

n 1− v t +1 1 − v = r ⋅u ⋅ = r ⋅u ⋅ u −1 i Valoarea iniţială a anuităţii constante întregi anticipate se ob ţine pentru t = t 0 (vom considera t 0=0). 1 − vn VA ( 0 ) := VI = r ⋅ u ⋅ t +1

n

i Valoarea final ă se obţine pentru t=t n=n

17

VA ( n ) := VF = r ⋅ u

= r ⋅u

n +1

⋅

1−

n +1

⋅

1 − vu i

=

1

n n u n = r ⋅ u n+1 ⋅ u − 1 = r ⋅ u ⋅ u − 1 i i ⋅un i

b) Anuităţ Anuităţii constante întregi posticipate. În acest caz t k  = k şi prin calcule similare se ob ţine n t  1 − v VA ( t ) = r ⋅ u ⋅

VI = r ⋅

1− v

VF = r ⋅

i

n

i u −1 n

i

c) Anuităţ Anuităţii constante fracţ fracţionate anticipate Consider ăm că anul este împăr ţit în m subperioade egale între ele. În acest caz: n⋅m t +1 1 − vm VA ( t ) = r ⋅ um ⋅

im unde im reprezintă dobânda unitar ă lunar ă), respectiv um = 1 + im

iar  vm =

1 1 + im

unitar ă corespunzătoare unei subperioade (de exemplu i 12 reprezintă dobânda

, VI = r ⋅ um ⋅

1 − vmn⋅m im

, VF = r ⋅ um ⋅

umn⋅m − 1 im

d) Anuităţ Anuităţii constante fracţ fracţionate posticipate n⋅m 1 − vmn⋅m umn⋅m − 1 t  1 − vm , VI = r ⋅ , VF = r ⋅ VA ( t ) = r ⋅ um ⋅ im

im

im

Valoarea actual ă a unei anuit ăţi constituie un criteriu în alegerea unuia sau altuia dintre mai multe sisteme de  plată în rate. Nu întotdeauna acest criteriu poate fi aplicat deoarece, în cele mai multe cazuri, termenii unui contract de pl ăţi eşalonate sunt determina ţi mai degrabă de rata maximă care poate fi suportat ă de către debitor. De obicei un astfel de contract care prevede pl ăţi eşalonate se deruleaz ă prin intermediul unei b ănci comerciale. Chiar  şi în cazul vânz ării de bunuri în rate, cump ăr ătorul va pl ăti periodic o sum ă de bani unei  bănci şi nu vânz ătorului. Dacă este vorba de bunuri de consum cump ăr ătorul are de obicei un singur criteriu de alegere a unui plan de achitare a bunului cump ărat şi anume nivelul ratei (presupunem bineîn ţeles că preţul total este moralmente corect). În cazul achizi ţionării unor utilaje pentru activit ăţi de microproduc ţie sau prest ări servicii (o maşină de cusut pentru o croitoreas ă, aparatur ă electronică pentru un depanator radio-TV, un calculator pentru un contabil etc.) de obicei cump ăr ătorul prefer ă un sistem de plat ă care permite ca investi ţia să se "amortizeze singur ă". Cu alte cuvinte, rata care se achit ă periodic trebuie s ă fie la un nivel cel mult egal cu plusul de venit pe care-l aduce utilajul achizi ţionat.  Nu la fel stau lucrurile în cazul întreprinderilor mari care constituie fonduri de investi ţii şi în care un plan de afaceri se întinde, de obicei, pe perioade mari de timp, iar calculele economico-financiare utilizeaz ă mult mai mulţi parametri decât în cazul unei activit ăţi individuale. Aceast ă situaţie nu face îns ă subiectul acestei lucr ări.

Exerciţ Exerci ţiu rezolvat Să se determine valoarea ini ţială şi valoarea final ă a unei anuit ăţi constante întregi de 1500000 u.m. pentru o  perioadă de 10 ani, dac ă se utilizează un procent  p = 22% . Soluţie: Dacă anuităţile sunt anticipate avem: 18

10

⎛ 1 ⎞ 1− ⎜ n 1− v 1, 22 ⎟⎠ ⎝ = 1500000 ⋅ (1, 22 ) = 7179427, 33 u.m. VI = r ⋅ u ⋅

0,22 1, 2210 − 1 un −1 = 1500000 (1, 22 ) = 52443070, 41 u.m. VF = r ⋅ u ⋅ 0,22 i n O verificare simpl ă se poate face prin verificarea egalit ăţii VF = VI (1 + i ) , care este adev ărată pentru rezultatele anterioare. În cazul anuit ăţilor posticipate calculele sunt urm ătoarele: 10 ⎛ 1 ⎞ 1− ⎜ 1 − vn 1,22 ⎟⎠ ⎝ = 1500000 = 5884776, 50 u.m. VI = r ⋅ 0,22 i 1, 2210 − 1 un −1 = 1500000 (1, 22 ) = 42986123, 29 u.m. VF = r ⋅ 0,22 i i

19

Cap. V. AMORTIZAREA ÎMPRUMUTURILOR  În sens larg împrumutul reprezint ă o operaţiune financiar ă prin care un creditor P 1 plasează, în anumite condi ţii, un capital unui debitor P 2. Restituirea, de c ătre P2, a acestei sume poart ă denumirea de amortizare. Operaţiunea de rambursare a unui împrumut are la baz ă sistemul de pl ăţi eşalonate. De aceea pentru întocmirea unui plan de rambursare a unui împrumut (sau a unui tabel de amortizare) trebuiesc cunoscute momentele efectu ării plăţilor, dacă plăţile sa fac prin rate constante sau nu ş.a.m.d. Este astfel evident c ă fiecare tip de anuitate poate constitui un model de amortizare.  Nu vom analiza toate cazurile, dar vom prezenta câteva din modelele uzuale de rambursare (amortizare) a împrumuturilor. În cele ce urmeaz ă vom presupune, pentru început, c ă împrumutul este indivizibil, spre deosebire de împrumuturile cu obliga ţiuni care vor fi studiate târziu. Pentru o simplificare a prezent ării modelelor de amortizare vom utiliza urm ătoarele nota ţii (unele dintre ele nu au fost prezentate înc ă în aceast ă lucrare): CI - capital ini ţial (sau capital împrumutat) CF - capital final Sk  - suma r ămasă de ramb rambur ursa satt la înce începu putu tull per perio ioad adei ei k ( k = 1, n ) Dk  - dobânda aferent ă sumei Sk  pe perioada k  sk  - cota din împrumut care urmeaz ă a fi rambursat ă în perioada k (la început sau la sfâr şit) r k k  - rata aferent ă perioadei k şi care reprezint ă suma dintre cot ă şi dobândă Din modul în care au fost definite no ţiunile de mai sus putem determina câteva rela ţii şi anume: S1 = CI, Sk+1 = Sk  - sk , k = 1, n , Dk = Sk  ⋅ i , k = 1, n , rk = Dk + sk  , k = 1, n În continuare vom presupune c ă plăţile se fac prin intermediul unor anuit ăţi întregi (intervalele dintre două momente de plat ă sunt egale cu un an). Tabelele de amortizare pentru cazul în care rambursarea se face  prin anuit ăţi fracţionate sunt similare cu observa ţia că în acest caz se utilizeaz ă dobânzi unitare corespunz ătoare  perioadelor în care a fost împ ăr ţit anul.

A. Rambursarea prin anuităţ anuit ăţii întregi posticipate Plăţile se fac la sfâr şitul fiecărei perioade k ( k = 1, n , n - numărul de ani prev ăzut în contract) a) Modelul PD1 Este un caz particular de amortizare când debitorul pl ăteşte întreaga datorie constituit ă din CI şi dobânzile aferente la sfâr şitul perioadei contractuale. k 1 2 ... n-1 n CI ⋅ u Sk  CI ... CI ⋅ u n −2 CI ⋅ u n −1 Dk  CI ⋅ i C I ⋅ u ⋅ i ... CI ⋅ u n−2 ⋅ i CI ⋅ u n −1 ⋅ i sk  0 0 ... 0 CI ⋅ u n −1 r k k  0 0 ... 0 CI ⋅ u n

b) Modelul PD2 - amortizarea prin plata sumei împrumutate la scaden ţă şi plata periodică a dobânzilor  sk  = 0, k= 1, n− 1 K Sk  Dk  sk  r k k 

1 CI

2

... ... CI  CI ⋅ i CI ⋅ i ... 0 0 ... CI ⋅ i CI ⋅ i ...

20

n-1 CI

n CI

CI ⋅ i

CI ⋅ i

0

CI

CI ⋅ i

CI ⋅ u

c) Modelul PD3 - rambursarea prin cote constante sk  = s, k = 1, n ; s =

CI  n

k1 2 ...n-1 n Sk CI ...CI-(n-2)s ...CI- (n-2)s CI-(n-1)s = s CI  -s Dk CI ⋅ i ( CI − s ) ⋅ i ...(CI-(n-2)s) ... (CI-(n-2)s) ⋅i (CI-(n-1)s) ⋅i = si sk  s s ...s s (CI-(n-1)s -1)s)) ⋅i +s = su r k k  CI ⋅ i +s ( CI − s ) ⋅ i +s ...(CI-(n-2)s) ... (CI-(n-2)s) ⋅i +s (CI-(n Se observă că atât ratele cât şi dobânzile reprezint ă termenii unor progresii aritmetice cu aceea şi raţie − s ⋅ i . Astfel: Dk +1 = Dk  − s ⋅ i, k = 1, n rk +1 = rk  − s ⋅ i , k = 1, n

De aici putem, calcula dobânda total ă  D =

( D1 + Dn ) ⋅ n ( CI ⋅ i + s ⋅ i) ⋅ n =

2

= ( CI + s ) ⋅

i⋅n

2

=

2

CI ( n + 1) i ⋅ n

⋅

n

2

=

= CI ⋅ i

2

( n + 1)

şi suma total ă a ratelor 

CI CI ⋅ u ⎞ ⎛ ⋅ + + C I i ⎟⋅n ( r1 + rn ) ⋅ n ( CI ⋅ i + s + s ⋅ u ) ⋅ n ⎜⎝ n n ⎠ = = =  R =

2

2

(i ⋅ n + 1 + u )

= CI ⋅

2

2

⎛ i ( n + 1) ⎞ = CI ⎜1 + ⎟ 2 ⎠ ⎝

d) Modelul PD4 - amortizarea prin rate constante r1 = r2 = ... = rn = r   Utilizarea modelului de amortizare prin rate constante nu presupune şi cote sau dobânzi constante, dimpotrivă acestea sunt diferite pentru fiecare perioad ă (doar suma dintre cot ă şi dobând ă este constant ă). De aceea o prim ă etapă const ă în determinarea ratei constante ce urmeaz ă a fi plătită în fiecare an. S ă observăm că acest model corespunde unei pl ăţi eşalonate bazate pe anuit ăţi constante întregi posticipate. Deoarece CI se cunoa şte vom utiliza formula de calcul a valorii actuale ini ţiale. 1 − vn VI = r ⋅

i

dar VI = CI, deci 1 − vn CI = r ⋅

i de unde ob ţinem CI ⋅ i r = 1 − vn

Tabelul de amortizare este urm ătorul k 1 2 Sk  1 − vn 1 − v n−1 n CI = r ⋅

i

CI − r ⋅ v = r ⋅ 

Dk  CI ⋅ i = r (1 − v n ) r (1 − v n −1 ) sk  r − D1 = r ⋅ v n r ⋅ v n−1 r k k  r r

... n ... 1− v r ⋅

i

i

... r(1-v) ... r ⋅ v ... r   21

După cum se observ ă cotele reprezint ă termenii unei progresii geometrice cu ra ţia Astfel:

1 v

=u

sk = sk −1 ⋅ u = s1 ⋅ uk −1 , k = 2, n

Suma termenilor unei progresii geometrice este dat ă de relaţia Q1 ( q n − 1) S n = q −1 unde Q1 este primul termen, q este ra ţia geometrică, iar n este num ărul de termeni. În acest caz suma cotelor trebuie s ă fie egală cu CI. n ⎛ ⎞ n ⎛1⎞ r ⋅ v ⎜ ⎜ ⎟ − 1⎟ ⎜ ⎟ n ⎝⎝ v ⎠

1 v

⎠ = r − r ⋅v = 1− v

−1

v

1 − vn 1 − vn 1 − vn = r⋅ =r⋅ =r⋅ = CI   1 1 + i −1 i 1− (1 + i ) ⋅ 1+ i 1+ i 1 1+ i Datele şi calculele anterioare ne arat ă că tabelul de amortizare poate fi calculat şi prin determinarea cotelor   periodice prin utilizarea formulelor   s1 =

CI ⋅ i u n −1

,

respectiv

sk = sk −1 ⋅ u = sk − j ⋅ u j = s1 ⋅ u k −1 , k = 2, n, j = 1, k −  1

Aceste modele de amortizare se numesc amortiz ări directe deoarece opera ţiunile financiare corespunz ătoare rambursării împrumutului au loc între debitor  şi creditor. Există însă şi modele de amortizare în care intervine un ter ţ la care debitul capitalizeaz ă suma ce o are de pl ătit creditorului (corespunz ătoare modelelor PD1 şi PD2). Acestea sunt a şa numitele amortizări indirecte.

e) Modelul PI 1 - amortizarea prin plat ă unică la creditor şi constituirea datoriei la un ter ţ prin rate constante. Acest model este cunoscut în literatura de specialitate sub numele de model american de amortizare sau metoda fondului investit (the sinking fund method). Evident că modelul prezint ă utilitate atunci când debitorul î şi poate micşora cheltuielile. Acest lucru se întâmplă atunci când ter ţul P3 ofer ă o dobândă mai mare la capitalizare sau când creditorul ofer ă debitorului P2 doar varianta PD1 de amortizare. Într-un astfel de caz între debitor  şi creditor intervine un sistem de opera ţiuni financiare care pot fi reprezentate într-un tabel de amortizare corespunz ător modelului PD1. În acela şi timp  presupunem că debitorul are posibilitatea de a face pl ăţi constante c ătre un ter ţ P3 cu scopul ca la încheierea contractului cu creditorul CF (capitalul final) constituit la P 3 să fie egal cu datoria c ătre creditorul P 1. Cu alte cuvinte P 2 face un plasament financiar cu CF = CI ⋅ u n (datoria către P1) În relaţia cu ter ţa parte debitorul P 2 va stabili un sistem de pl ăţi prin rate constante (reprezentat de modelul PD4). Schematic aceast ă relaţie poate fi reprezentat ă în felul următor: Modelul PI1  PD 4  PD1 P3 (ter ţ) P2 (debitor) P1 (creditor) Trebuie acordat ă atenţie faptului că datoria CF c ătre P1 se constituie la P 3 din ratele constante depuse de P 2 şi dobânzile aferente lor. De aceea, în primul rând, se calculeaz ă valoarea actual ă iniţială a anuităţii întregi  posticipate care are valoarea final ă egal ă cu CF - datoria total ă către P1. Aceast ă valoare actual ă iniţială reprezintă capitalul iniţial CI ' în relaţia cu ter ţa parte P3 (vom nota cu apostrof noţiunile similare în rela ţia P2(debitor) - P3(ter ţ)). Principiul este simplu. P2 plasează anual o sumă contantă de bani, în regim DC, astfel încât la sfâr şitul contractului s ă obţină o 22

sumă dată şi anume CF = CI ⋅ u n . Pentru determinarea ratei constante se va utiliza formula de calcul de la modelul PD4: r =

CI ⋅ i

1 − vn În relaţia cu ter ţa parte P3 se utilizeaz ă de obicei o alt ă valoare pentru dobânda unitar ă anuală notată (aşa cum am convenit mai devreme) cu i ' . Acest fapt implic ă o altă valoare şi pentru capitalul ini ţial CI ' . Avem deci: CI ' = CF ⋅ v 'n CI ' reprezintă valoarea ini ţială a datoriei CF atunci când se utilizeaz ă dobânda unitar ă i ' , respectiv factorul de actualizare v ' . Înlocuind în formula de calcul a ratei ob ţinem: CI '⋅ i ' CF ⋅ v 'n ⋅ i ' CI ⋅ u n ⋅ v 'n ⋅ i ' = = r ' = 1 − v 'n 1 − v 'n 1 − v 'n Odată determinată rata contant ă r ' restul tabelului de amortizare se completeaz ă ca în modelul direct PD4.

f) Modelul PI 2 - amortizare prin plata periodic ă a dobânzilor c ătre creditor  şi constituirea sumei împrumutate de un ter ţ prin plăţi periodice constante. În acest caz între debitorul P 2 şi creditorul P 1 intervine modelul de amortizare direct ă PD2, iar între debitorul P2 şi ter ţa parte P 3 intervine modelul de amortizare PD4. Schematic, reprezentarea este urm ătoarea  PD 4  PD 2 P3 (ter ţ) P2 (debitor) P1 (creditor) Spre deosebire de modelul anterior PI1 singura modificare este cea prin care se calculeaz ă rata constant ă  pe care debitorul P2 o pl ăteşte ter ţei p ăr ţi P3. Aceasta deoarece suma care se constituie la ter ţ este egal ă cu CI (dobânzile sunt pl ătite periodic). CI ⋅ v 'n ⋅ i ' Astfel se ob ţine (după calcule elementare): r ' = 1 − v 'n Toate celelalte calcule, precum şi tabelele sunt similare modelului PI 1. B. Rambursarea prin anuit ăţi întregi anticipate Dacă rambursarea se face prin anuit ăţi anticipate singurul model care prezint ă interes este cel corespunz ător  modelului PD4. Pentru a evita orice confuzie, în cazul pl ăţilor anticipate, vom nota acest model cu PDA4. În cazul anuit ăţilor întregi anticipate valoarea ini ţială este dată de: 1 − vn , VI = r ⋅ u ⋅ i dar  VI = CI   de unde ob ţinem: CI = r ⋅ u ⋅

1 − vn i

, respectiv r =

CI ⋅ i u (1 − v n )

Tabelul de amortizare este similar cu cel care se completeaz ă în cazul ramburs ării prin rate constante  posticipate. Diferenţa provine din faptul c ă prima rată se plăteşte la momentul 0 (cu alte cuvinte, la sfâr şitul  primului an se pl ăteşte deja a doua rat ă). k+1 1 Sk 

CI − r = r ⋅ 

Dk 

r (1 − v n −1 )

2 1 − v n −1 i

r ⋅

1 − v n−2 i

r (1 − v n− 2 )

... n-1 ... 1− v r ⋅

N 0

i

... r(1-v)

0

sk  ... r ⋅ v r  r ⋅ v n−1 r ⋅ v n−2 r k k  r r ... r r  De observat c ă în acest tabel apar doar n-1 rate, la acestea se mai adaug ă rata plătită în momentul 0.

23

Exerciţ Exerci ţii rezolvate 1. Să se întocmeasc ă planul de amortizare, prin cote constante posticipate, a unui împrumut de 1500000 u.m. cu 20% pe 3 ani. Soluţie Modelul corespunz ător este PD3 CI  1500000 Cota constant ă este  sk  = s = = = 500000 u.m. 3 n Planul de amortizare poate fi reprezentat prin tabelul urm ător: k 1 2 3 Sk  1500000 1000000 500000 Dk  300000 200000 100000 sk  500000 500000 500000 r k k  800000 700000 600000 2. Cu datele de mai sus s ă se întocmeasc ă planul de amortizare în cazul în care: a) Debitorul face o plat ă unică către creditor   b) Debitorul pl ăteşte periodic dobânzile, iar suma împrumutat ă la final Pentru ambele cazuri se consider ă că debitorul constituie suma împrumutat ă prin plăţi constante c ătre un ter ţ cu un procent de 22%. Soluţie a) Modelul corespunz ător datelor problemei este PI1. Tabelul de amortizare debitor-creditor (corespunz ător  modelului PD1) este urm ătorul: k 1 2 3 Sk  1500000 1800000 2160000 Dk  300000 360000 432000 sk  0 0 2160000 r k k  0 0 2592000 Pentru completarea tabelul de amortizare debitor-ter ţ (corespunzător modelului PD4) trebuie, mai întâi, s ă calcul ăm capitalul ini ţial corespunz ător şi rata constant ă care trebuie achitat ă periodic. 3 1 ⎛ ⎞ CI ′ = CF ⋅ v′n = 2592000 ⋅ ⎜ ⎟ = 1427432, 25 u.m. 1,22 ⎝ ⎠ 3

⎛ 1 ⎞ 1500000 ⋅ (1, 2 ) ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ 0, 22 n n 1 , 2 2 CI ⋅ u ⋅ v ' ⋅ i ' ⎝ ⎠ r ' = = = 3 n 1− v ' ⎛ 1 ⎞ u.m. 1− ⎜ ⎟ 1,22 ⎝ ⎠ 3

=

314035,09 = 697855,76 0,45

Planul de amortizare este: k 1 2 Sk  142743 1427432,2 2,255 111339 1113397,1 7,166 Dk  314035,09 244947,37 sk  383820,67 452908,39 r  697855,76 697855,76

3 66048 660488,6 8,611 145307,49 552548,27 697855,76

 b) Planul de amortizare debitor-creditor este: k 1 2 3 Sk  1500000 1500000 1500000 Dk  300000 300000 300000 sk  0 0 1500000 r k k  300000 300000 1800000 Pentru întocmirea tabelului de amortizare debitor-ter ţ se calculeaz ă: 24

3

⎛ 1 ⎞ CI ′ = 1800000 ⋅ ⎜ ⎟ = 991272, 39 u.m. 1,22 ⎝ ⎠ şi 3

⎛ 1 ⎞ 1 5 0 0 0 0 0 ⋅ ⎜ 1, 22 ⎟ ⋅ 0, 22 CI ⋅ v 'n ⋅ i ' ⎝ ⎠ = = r ' = 3 n 1− v ' 1 ⎛ ⎞ u.m. 1− ⎜ ⎟ ⎝ 1,22 ⎠

181733,26 = 403851,71 0,45 k 1 2 Sk  991272,39 805500,60 Dk  218079,92 177210,13 sk  185771,79 226641,58 r k k  403851,71 403851,71

=

3 578859,02 127348,98 276502,29 403851,71

25

Cap. VI. OBLIGAŢ OBLIGAŢIUNI În capitolul anterior au fost studiate împrumuturile indivizibile (sau bancare). Sunt împrumuturi care, de regulă, sunt acordate de o singur ă banc ă şi fiecare contract face referire la un singur debitor (fie (fi e persoan ă fizică, fie juridică). Practica financiar ă cuprinde îns ă multe situaţii în care statul sau anumite întreprinderi (termenul de întreprindere este utilizat aici în sens larg) doresc s ă împrumute sume de bani care nu pot fi suportate de c ătre o singur ă bancă. În astfel de situa ţii, în condiţii legislative stricte, se poate apela la împrumutul obligatar (sau cu obligaţiuni). Cazul cel mai des îl reprezint ă obligaţiunile (sau titlurile) de stat, iar i ar principalul creditor este popula ţia. În esenţă societatea (fie ea societate comercial ă, fie instituţie de stat) emite documente financiare în schimbul cărora are la dispozi ţie, pe o anumit ă perioadă, fonduri băneşti importante. Practic sunt vândute obliga ţiuni (sau titluri de valoare) care au înscrise o valoare numit ă valoare de emisiune şi pe care societatea se oblig ă să le r ăscumpere la un anumit termen şi în anumite condi ţii. Cei care cump ăr ă obligaţiunile au drepturi de crean ţă asupra societ ăţii emitente. Deoarece, în special  populaţia, nu are posibilitatea verific ării solvabilităţii emitentului, emiterea unor astfel de documente financiare se face prin respectarea unor reguli în m ăsur ă să ofere încredere creditorilor. Există mai multe no ţiuni utilizate în terminologia referitoare la obliga ţiuni, printre care: - valoarea total ă a împrumutului (notat ă cu V) - valoarea nominal ă (notată VN): este valoarea înscris ă pe obligaţiune şi este egal ă cu V   N 

unde N este num ărul total de obliga ţiuni emise - valoarea de emisiune (VE): valoarea la care se vând obliga ţiunile - valoarea de rambursare (VR): suma pe care de ţinătorul oligaţiunii (obligatar) o va primi la rambursare - cupon unitar de dobând ă: C = VN ⋅ i , unde i reprezint ă dobânda unitar ă anuală Emitentul poate vinde obliga ţiunile al-pari (la paritate) atunci când VE = VN, sau, pentru a cointeresa cumpăr ătorii le poate vinde sub-pari (sub paritate) adic ă VE < VN  . În acest caz cel care subscrie la vânzarea de obliga ţiuni (obligatarul) are şi avantajul primei de emisiune reprezentată de diferenţa VN - VE. Pe de altă parte rambursarea se poate face al-pari (VN = VR) sau supra-pari ( VR > VN  ). În acest al doilea caz obligatarul beneficiaz ă de prima de rambursare egal ă cu diferenţa VR - VN. Obligaţiunile sunt purt ătoare de dobânzi, iar dobânzile se calculeaz ă la valoarea nominal ă VN. Pe lângă dobânzi şi prime de emisiune sau rambursare exist ă şi alte modalit ăţi de a atrage subscriptori. Un exemplu des întâlnit este cel prin care se ofer ă, de obicei prin tragere la sor ţi, câştiguri suplimentare.

Amortizarea împrumuturilor obligatare În esenţă principiul de utilizare a formulelor de calcul atunci când se ramburseaz ă împrumuturi obligatare este similar cu cel utilizat la rambursarea împrumuturilor indivizibile. Distingem şi în acest caz amortiz ări: - în bloc: atunci când toate obliga ţiunile sunt r ăscumpărate la sfâr şitul perioadei de împrumut Modelele utilizate sunt PD1 (dac ă se face o plat ă unică valorii de rambursare şi a dobânzilor aferente), respectiv PD2 (dac ă dobânzile sunt pl ătite în fiecare an) - prin cote constante: atunci când anual sunt r ăscumpărate un num ăr constant de obliga ţiuni  N  n

- n este num ărul de ani corespunz ător duratei împrumutului

- prin rate constante: atunci când anual se r ăscumpăr ă un număr diferit de obligaţiuni astfel încât valoarea total ă de rambursare a lor împreun ă cu valoarea dobânzilor aferente s ă reprezinte o sum ă constantă de-a lungul anilor. Este important de observat c ă, deoarece obliga ţiunile sunt indivizibile, condi ţia de rate constante nu poate fi îndeplinită în mod real. De aceea se utilizeaz ă noţiunea de amortizare prin rate cvasi-constante. Pentru întocmirea tabelelor corespunz ătoare diferitelor tipuri de amortizare vom utiliza, în plus, următoarele notaţii:  Nk  - numărul de obligaţiuni rambursate la sfâr şitul anului k (de observat c ă

n

∑1 N k =

k 

= N )

Vk  - cota din împrumutul V, rambursat ă în anul k. V k  reprezintă de fapt valoarea produsului Nk  ⋅ VR 26

 NR k k  - numărul de obliga ţiuni r ămase pe pia ţă Dk  - dobânda aferent ă obligaţiunilor Nk  r k k  - rata corespunz ătoare anului k  Pentru rambursarea în loc calculele şi completarea tabelelor se face la fel ca la modelele PD1 sau PD2.

Rambursarea prin cote constante a) Rambursarea al-pari (la paritate) . În acest caz valoarea de rambursare VR este identic ă cu cea nominal ă VN. Deoarece rambursarea se face prin cote constante vom avea: Nk  =

 N 

, k= 1, n n Vk = N k  ⋅ VN   ⎛ k − 1 ⎞ = N⎜1 − ⎟ n n ⎠ ⎝ Dk = NRk ⋅ C = NRk  ⋅ VN VN ⋅ i NRk  = N− ( k− 1)

 N

rk = Vk + Dk , k = 1, n

b) Rambursarea supra-pari ( VR > VN  ) Formulele utilizate în cazul ramburs ării al-pari îşi păstrează valabilitatea şi în cazul ramburs ării supra-pari cu o singur ă excepţie şi anume: Vk = N k  ⋅ VR

Rambursarea prin rate constante a) Rambursarea al-pari Deoarece, în acest caz, ratele sunt constante se poate utiliza formula de calcul determinat ă la rambursarea împrumuturilor indivizibile. Vom obţine: r = N ⋅VN  ⋅

i

1 − vn Apare o singur ă problemă atunci când valoarea r a ratei calculate cu aceast ă formulă nu acoper ă un număr  întreg de obliga ţiuni. În aceast ă situaţie se apeleaz ă la un procedeu de rotunjire. Există mai multe astfel de procedee de rotunjire asupra c ărora nu vom insista. Re ţinem însă două reguli care se aplic ă tuturor procedeelor: - suma numărului de obliga ţiuni rambursate trebuie s ă fie N - teoretic, în fiecare an se ob ţin din calcule diviziuni de obliga ţiuni care nu pot fi rambursate (deoarece obligaţiunea este indivizibil ă) dar pentru valoarea lor se calculeaz ă dobânzi

b) Rambursarea supra-pari ( VR > VN  ) Se repet ă situaţia de la ramburs ările prin cote constante. Deoarece singura modificare este dat ă de relaţia Vk = N k  ⋅ VR (spre deosebire de Vk = N k  ⋅VN ,  în cazul ramburs ării al-pari) nu se influen ţează celelalte valori. Anexate no ţiunii de împrumut obligatar definim urm ătoarele tipuri de taxe: Taxa real ă - este taxa care aplicat ă valorii de rambursare a unei obliga ţiuni produce aceea şi dobândă ca şi în cazul în care se aplic ă taxa nominal ă asupra valorii nominale. Valoarea acestei taxe (notat ă aici cu i ' ) se determină din : VN ⋅ i = VR ⋅ i ' Taxa medie de de randament - taxa cu care se ramburseaz ă întreg împrumutul. Dac ă presupunem c ă rambursarea are loc prin rate cvasi-constante aceast ă taxă (notată aici cu m) se determin ă din: n ⎛ 1 ⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝1+ m ⎠ N ⋅ VE = r ⋅ 

m

Se observ ă că s-a utilizat valoarea de emisiune VE şi nu valoarea nominal ă VN. Taxa personal ă de randament - este o tax ă similar ă cu taxa medie de randament dar specific ă pentru fiecare obligatar. Se calculeaz ă la momentul ramburs ării şi corespunz ător numărului de obligaţiuni rambursate. Taxa de cost - este taxa cu care se actualizeaz ă la momentul emisiunii de obliga ţiuni ratele cvasi27

constante, astfel încât valoarea ini ţială a acestora a acestora s ă fie egală cu suma net ă împrumutată de societatea emitentă. Deoarece pentru o emisiune de obliga ţiuni societatea are cheltuieli suma net ă împrumutată nu este, de fapt,   N ⋅ VE  ci   N ⋅ VE  - cheltuieli. Astfel c ă taxa de cost (notat ă ic) se determin ă din relaţia: 1 1− n (1 + ic )   N ⋅ VE  - cheltuieli = r ⋅ ic

Exerciţ Exerci ţiu rezolvat Să se întocmeasc ă tabelul de amortizare al unui împrumut obligatar format din 1000000 obliga ţiuni cu valoarea nominală de 100000 u.m. rambursabil, în 4 ani, prin cote constante. Rambursarea se face al-pari, iar taxa nominală este 0,05. Soluţie  N  = 1000000 obligaţiuni VN = VR = 10000 u.m. n=4  N k  =

 N 

= 250000 , k  = 1,4 n 50000 ⋅1000 100000 00 = 25000 500000 0000 00000 Vk = N k  ⋅VR = 2500

u.m., k  = 1,4

=N1R000000, 2 N = R750000, =R500000, 4 N=R250000 3N  D1 = 5000000000 u.m.,  D1 = 37500000 u.m.,  D1 = 25000000 u.m.,  D1 = 1250000000 u.m. r 1 = 30000000000 u.m., r 1 = 2537500000 u.m., r 1 = 27500000000 u.m., r 1 = 26125000000 u.m. 1

tabelul de amortizare este: k  NR k k  Dk   Nk  Vk  r k k 

1 1000000 5000000000 250000 2500 250000 0000 0000 0000 3000 300000 0000 0000 0000

2 750000 3750000000 250000 2500 250000 0000 0000 0000 2875 287500 0000 0000 0000

28

3 500000 2500000000 250000 2500 250000 0000 0000 0000 2750 275000 0000 0000 0000

4 250000 1250000000 250000 2500 250000 0000 0000 0000 2612 261250 5000 0000 0000

Cap. VII. RENTABILITATEA PLASAMENTELOR FINANCIARE Orice plasare de capital este analizat ă din punct de vedere a rentabilit ăţii. Ceea ce se urm ăreşte, de fiecare dată, este ob ţinerea unor venituri reale mai mari decât cheltuielile reale aferente. În cazul plasamentelor pe termen mediu sau lung este dificil de determinat cu exactitate rentabilitatea acestora. Studii îndelungate şi de înaltă competenţă ştiinţifică au condus la formule şi relaţii care modeleaz ă, din ce în ce mai bine, fenomenele şi procesele economice. Intervine îns ă, de cele mai multe ori, ori , problema determin ării anumitor factori care apar în formulele utilizate. Ace şti factori (rata infla ţiei, indicele de cre ştere economică, ratele de schimb valutar  ş.a.m.d.) sunt influen ţaţi de fenomene, în multe cazuri, imprevizibile (mi şcări sociale, accidente sau catastrofe naturale, r ăzboaie, ac ţiuni teroriste etc.). Poate că tocmai de aceea op ţiunea pentru un plasament financiar financiar sau altul devine atractiv atractiv ă. Într-o variantă simplă analiza rentabilit ăţii unei investi ţii de capital se poate face prin utilizarea tabelelor de Cash Flow. Vom utiliza urm ătoarele notaţii: ( intrarea net ă în trezorerie în anul k) CFk  - Cash Flow net în anul k (intrarea Vk  - venituri în anul k  Ck  - cheltuieli de exploatare în anul k  Ak  - amortizarea în anul k  Cu aceste nota ţii avem: CFk  = Vk  - Ck  - Ak , k = 1, n unde n reprezint ă numărul de ani prev ăzuţi pentru amortizare. Evident că aceste formule nu sunt edificatoare deoarece sunt calculate anumite valori la momente de timp diferite, iar practica arat ă că, în acest fel, ele nu pot fi comparate. Se impune astfel actualizarea sumelor la un moment de timp t 0 (de obicei la momentul în care se face  plasamentul financiar). Astfel apare noţiunea de valoare actual ă netă a unei investi ţii (notată VAN) dată de relaţia: k  n ⎛ 1 ⎞ VAN = − I + ∑ CFk  ⎜ ⎟ ⎝ 1 + z ⎠ k =1 unde I este valoarea capitalului plasat (investi ţiei), iar z este taxa de actualizare. În cazul în care VAN  > 0 investiţia se consider ă rentabilă. Un alt criteriu utilizat pentru determinarea rentabilităţii unei investi ţii este indicele de profitabilitate  I  P  =

VAN + I    I 

Cu alte cuvinte o investi ţie este rentabil ă dacă  I  p > 1 . Se observ ă că  I  p > 1 ⇔ VAN  > 0 În cazul în care VAN = 0 (sau I p = 1) din expresia valorii actuale nete se ob ţine o taxă de actualizare numită taxă internă de rentabilitate, notat ă x. Pe baza acestui criteriu putem afirma c ă o investiţie este rentabil ă dacă taxa de actualizare z este mai mic ă decât taxa de rentabilitate x. Un alt criteriu utilizat în analiza rentabilit ăţii unui plasament financiar este cel al timpului de recuperare (notat cu t) a capitalului investit. Acesta se determin ă din relaţia: k  t  ⎛ 1 ⎞ CFk  ⎜ ∑ ⎟ = I  ⎝ 1+ i ⎠ k =1 În practică, cel mai utilizat indicator de rentabilitate este taxa de rentabilitate. r entabilitate. Exerciţiu rezolvat O societate face o investi ţie de 100000 u.m.. Investi ţia se amortizeaz ă liniar în termen 5 ani. Veniturile societ ăţii în primul an vor fi de 20000 u.m., iar în anii urm ători cresc în progresie geometric ă cu raţia 1,2. Cheltuielile în primul an sunt de 5000 u.m., iar în anii urm ători cresc în progresie aritmetic ă cu raţia de 500 u.m.. Impozitul anual este de 20%, dar societatea este scutit ă de impozit în primii 3 ani. S ă se calculeze: a) Intr ările nete în trezorerie  b) Valoarea actual ă netă, dacă taxa de actualizare este 0,1. c) Indicele de profitabilitate 29

d) Timpul de recuperare a capitalului. a) 1 20000 5000 C k  20000  Ak  0  I k  CF k  -5000 k  V k 

k 

2 24 24000 5500 20 20000 0 -1500

3 28800 6000 20000 0 800

4 34560 6500 20000 1612 6448

5 41472 7000 20000 2894,4 11577,6

k 

5 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ = −100000 + ∑ CFk  ⎜   ⎟ = VAN = − I + ∑ CFk ⎜ ⎟  b) ⎝ 1 + z ⎠ ⎝ 1,1 ⎠ k =1 k =1 = −100000 + 6408, 5 = −93591, 5 n

Investiţia este evident nerentabil ă. −93591,5 VAN  c)  I  p = 1 + =1+ = 0, 064 100000  I  d) Se observ ă că timpul de recuperare a capitalului dep ăşeşte cu mult perioada de amortizare de 5 ani.

30

Cap. VIII. DOBÂNZI ALEATOARE În capitolele precedente rata dobânzii a fost cunoscut ă sau se putea determina dintr-o rela ţie algebrică înainte de începerea tranzac ţiei. Există însă multe situaţii în care rata dobânzii nu este determinat ă în mod unic înainte de începerea tranzacţiei. Este, de obicei, cazul depozitelor sau creditelor pe termen mediu sau lung când, prin contract, este  prevăzută posibilitatea modific ării, periodic sau nu, a ratei dobânzii. În aceast ă categorie intr ă, de exemplu, şi fondurile mutuale, caz în care cre şterea sau descre şterea valorii fondului poate fi doar aproximat ă. În aceste situa ţii valoarea ratei dobânzii depinde de o serie de factori a c ăror variaţie este influen ţată de timp. În general, procesele care implic ă variaţii, dependente de timp, ale unor m ărimi se numesc procese stohastice. Rata dobânzii poate fi astfel reprezentat ă printr-o variabilă aleatoare (discret ă sau continu ă). Este, de aceea, util s ă ne reamintim câteva no ţiuni de teoria probabilit ăţilor. Dacă notăm cu X o variabil ă aleatoare, cu p ( x) = P[ X = x] funcţia de probabilitate (pentru variabile discrete), respectiv cu  f ( x ) densitatea de probabilitate (pentru variabile continuii) atunci prin valoare medie a variabilei X înţelegem: E [ X ] = ∑ x ⋅ p ( x) ,  x

respectiv ∞

E[ X ] =

∫  x⋅ f ( x) dx

−∞

Varianţa (abaterea medie p ătratică) variabilei aleatoare X este dat ă de: Var [ X ] = E ⎡⎣ X 2 ⎤⎦ − ( E [ X ] )

2

Facem observa ţia că: E [ a + X ] = a + E [ X ]  Var [ a + X ] = Var [ X  ]

,

unde a este o constant ă.

Exemple: 1. În cazul plas ării unui capital ini ţial CI=1 u.m. pe perioada de un an cu o rat ă anulă a dobânzii i = 0,125 , capitalul final va fi CF  = 1,125 u.m.. Presupunem c ă rata nu se cunoa şte apriori, dar c ă ea poate lua valorile 0,10, respectiv 0,15 cu probabilit ăţi egale. Astfel rata dobânzii pe anul urm ător este o variabil ă aleatoare discretă ce poate fi reprezentată prin următorul tabel de distribu ţie: i 0,10 0,15  p 0,50 0,50 În acest caz: 50 + 0,15 ⋅0, 50 50 = 0,125  E [i ] = 0,10 ⋅ 0, 50 2

Var [i ] = 0, 01 ⋅ 0, 5 + 0, 0225 ⋅ 0, 5 − (0,125 ) = 0, 000625

Abaterea medie este deci 0,025 ceea ce era de a şteptat deoarece reprezint ă o abatere medie a valorilor variabilei faţă de media variabilei. Acest exemplu a utilizat o distribu ţie simplă a variabilei aleatoare (discrete), în multe cazuri ea poate avea o formă complexă, dar întotdeauna sunt adev ărate relaţiile: E[1 + i] = 1 + E[ i] Var [1 + i ] = Var [i ]

 pentru perioade de un an (bineîn ţeles în cazul utiliz ării unei rate anuale a dobânzii). 2. Presupunem c ă plasamentul se face pe o perioad ă de doi ani cu ratele i1 (pe primul an) şi i2 (pe al doilea an) care au tabele de distribu ţie identice cu rata i din exemplul 1. Pentru CI  = 1u.m. vom obţine un capital final CF = (1 + i1 ) (1 + i2 ) . Valoarea medie şi varianţa capitalului final nu se mai determin ă la fel de simplu ca în exemplul anterior. Vom avea: 31

E [ CF ] = E ⎡⎣(1 + i1 ) (1 + i2 ) ⎤⎦ = 1 + E [ i1 ] + E [ i2 ] + E [ i1 ⋅ i2 ] ,

iar  E [ i1 ⋅ i2 ] nu se poate calcula f ăr ă a face ipoteze asupra rela ţiei dintre cele dou ă rate ale dobânzii. În cazul simplist, care rareori reprezint ă realitatea, ratele anuale nu sunt independente. Cu alte cuvinte valoarea ratei dobânzii i2 nu depinde de valoarea precedent ă i1 . Este însă important că, în cazul independen i ndependenţei ratelor, se  poate utiliza rela ţia E [ i1 ⋅ i2 ] = E [ i1 ] ⋅ E [ i2 ] . Pentru capitalul final (care este o variabil ă aleatoare discret ă ca o combina ţie liniar ă de variabile aleatoare discrete) se poate întocmi urm ătorul tabel de distribu ţie: CF  (1,1) ⋅ (1,1) = 1, 21 1,265 1,265 1,3225 0,25 0,25 0,25 0,25 Am utilizat relaţia P[ XY ] = P[ X ] ⋅ P[ Y ]  , valabilă pentru cazul în care variabilele sunt independente. Pentru CF 2 tabelul de distribu ţie este următorul: 1,4641 41 1,6 1,600022 0225 1,600 ,60022 2255 1,749 ,74900 006625 CF  1,46  p 0,25 0,25 0,25 0,25   E[ CF ] = 1,265625  p

  E⎡⎣ CF 2 ⎤⎦ = 1,603389 şi astfel

Var [CF ] = 0,001582

Modelul poate fi generalizat şi pentru un plasament al unui capital ini ţial CI  = 1u.m. (am considerat un  plasament de o unitate monetar ă doar pentru simplitatea calculelor, este evident c ă poate fi utilizat orice capital iniţial) pe o durat ă de n ani cu ratele corespunz ătoare ik , k = 1, n . Vom avea: CF =

n

∏1 (1 + i ) k 

k =

E[ CF] =

n

∏1 (1 +

E[ k i ])

k =

E⎡⎣ CF ⎤⎦ = 2

n

∏1 k =

2 E⎡(1 + k i ) ⎤

⎣

⎦

Dacă ratele sunt independente şi tabelele de distribu ţie sunt identice atunci formulele f ormulele anterioare devin: n CF = (1 + i ) E[ CF] = (1 + E[ i] )

n

)

(

n

2 E⎡⎣ CF2 ⎤⎦ = E⎡(1 + i) ⎤ . ⎣ ⎦

3. Presupunem, de aceast ă dată, c ă cele două rate sunt reprezentate de variabile aleatoare continui; astfel i1 are o distribuţie uniformă pe intervalul [ 0, 08;0,1 08;0,122 ] , iar  iar  i2 are o distribuţie uniformă pe intervalul [0,06;0, ,06;0,114 ] . Avem: E[ CF] = E[1 + i1 ] ⋅ E[1 + i2 ] Funcţia de densitate probabilistic ă în cazul distribu ţiei uniforme a unei variabile  X  pe un interval [ a, b ] este dată de: 1 , a < x < b, f ( x) = b−a

iar media b

E[ X] =

1

∫  x⋅ b − a a

dx=

a+b

2

Obţinem: 0, 08 + 0,12 = 0,10 E[ 1i] = 2 Astfel

E[ 2i] =

0, 06 + 0,14 = 0,10 2 32

E[ CF] = (1 + E[ i1 ] ) (1 + E[ i2 ]) = 1, 21

Deoarece i1 are o distribuţie uniformă, atunci şi (1 + i1 ) va avea tot o distribu ţie uniformă şi putem calcula: 0,12

25 (1 + i1 ) ⎡(1 + 1 )i ⎤ = (1 + 1 )i ⋅ 1 = E d i ⎣ ⎦ ∫  0, 04 1 3 0,08 2

3 0,12

2

= 1, 210133 0,08

Pe baza aceluia şi raţionament se ob ţine: 2  E ⎡(1 + i2 ) ⎤ = 1, 210533 ⎣ ⎦ Prin înlocuire, în expresia varian ţei, se ob ţine: Var [CF ] = 0,000807

33

Cap. IX CALCULE ACTUARIALE Practica opera ţiunilor financiare cuprinde multe situa ţii în care pl ăţile se fac în func ţie de realizarea unor  evenimente aleatoare. Un astfel de exemplu este cel al asigur ărilor de bunuri sau de persoane. În ceea ce prive şte asigur ările de persoane, în modalitatea de efectuare a pl ăţilor intervin evenimente legate de via ţa sau moartea persoanei asigurate. Pentru a putea analiza modelele matematice ata şate acestor evenimente se utilizeaz ă mai multe mărimi şi funcţii (aşa numitele funcţii biometrice):

a) Probabilităţ Probabilităţii de viaţă viaţă şi de deces Vom nota cu   p( x, y ) probabilitatea ca o persoan ă de ani să fie în viaţă la vârsta de ani şi cu q ( x, y )  probabilitatea ca o persoan ă de  x să fie decedat ă la vârsta de  y ani. Deoarece evenimentele de a fi în via ţă şi cu cel de a fi decedat la o anumit ă vârstă sunt complementare avem: p ( x, y ) + q ( x, y ) = 1 b) Funcţ Funcţia de supravieţ supravie ţuire Este o funcţie care are ca argument vârsta persoanei asigurate, iar valoarea func ţiei este dat ă de numărul mediu de persoane care ajung la vârsta de ani dintr-un num ăr  l a de persoane de a ani ( a ≤ x ) . Notaţia utilizată este l x . Pe baza propriet ăţilor funcţiilor probabilistice se ob ţine:   p( a, x ) =

l x l a

c) Viaţa medie Viaţa medie este o func ţie ale cărei valori reprezint ă media numărului de ani pe care îi mai are de tr ăit o  persoană în vârstă de  x ani. Se noteaz ă cu e x , iar expresia acestei func ţii este dat ă de: 1 1 e x= + ∑ l  +x n 2 l  x n≥1

Observaţ Observaţii 1. În practică se consider ă limita maximă de vârsta este de 100 de ani. 2. Valorile func ţiilor sunt cuprinse în a şa numitele tabele de mortalitate. Aceste tabele sunt întocmite pe baza unor studii statistice şi sunt specifice fiec ărei ţări. Plăţ Plăţii viagere Sistemul de pl ăţi viagere apare în contractele de asigur ări de persoane. Aceste pl ăţi au un caracter aleator, deoarece asiguratul pl ăteşte numai cât timp este în via ţă, iar asiguratorul numai la apari ţia unor evenimente  prevăzute în contractul de asigurare. De aceea plata se reprezint ă printr-o variabilă aleatoare. Principiul care st ă la baza de calcul a sumelor ce se pl ătesc de asigurat şi asigurator este cel al echilibrului financiar. Astfel, într-un contract de asigurare, se porne şte de la egalitatea valorilor actuale ale celor dou ă plăţi (asigurat şi asigurator). Acestea reprezint ă primele matematice, la ele se mai adaug ă cheltuielile aferente contractului. Pentru exemplificare vom considera cazul unei persoane în vârst ă de  x ani. Se pune problema calcul ării valorii actuale medii a unei unit ăţi monetare pl ătită peste n ani. În capitolele precedente valoarea actual ă s-a calculat simplu: v n ⋅1 u.m. = v n u.m. , unde v reprezintă factorul de actualizare. În acest caz, îns ă, se ţine cont de distribu ţia variabilei aleatoare (notat ă cu  z ) care reprezint ă plata: ⎡ ⎤ 0 vn  z ⎢ ⎥ , n = 0,1, 2, … , , + + p x x n q x x n ( ) ( ) ⎣ ⎦ Valoarea medie a variabilei  z  se numeşte factor de actualizare viager  şi se noteaz ă cu E ( x, x + n) . Avem deci: E ( x, x + n ) = v n ⋅ p ( x, x + n ) + 0 ⋅ q ( x, x + n ) = v n ⋅ p ( x, x + n ) 34

l x+ n

Dacă utilizăm relaţia p ( x, x + n) = E ( x, x + n) = v

n

lx + n l

x

=

v x + nl x + n v xl

x

=

l  x

atunci factorul de actualizare viager se mai poate scrie:

Dx + n D

x

unde D x = v lx  se numesc numere de comuta ţie. Aceste numere se reg ăsesc în tabelele de mortalitate. Pentru  plăţile viagere, ca dealtfel şi pentru alte tipuri de pl ăţi din cadrul contractelor de asigurare se utilizeaz ă mai multe modele în func ţie de felul anuit ăţilor (constante, întregi, frac ţionate, anticipate, posticipate, etc.).  x

Plăţ Plăţii în caz de deces O altă categorie de pl ăţi este cea în care plata se face doar în cazul decesului, într-un interval de timp dat,  persoanei asigurate. Consider ăm cazul în care plata pentru o persoan ă de  x ani se face doar dac ă aceasta decedeaz ă la o vârst ă cuprinsă între + n şi + n + 1 ani. Vom nota cu r  xn probabilitatea ca o persoan ă de  x ani să fie în viaţă la + n ani şi să nu mai fie în via ţă la + n + 1 ani. Pe baza propriet ăţilor de la variabile aleatoare putem scrie: r xn = p ( x, x + n ) ⋅ q ( x + n, x + n + 1) Cu aceast ă notaţie distribuţia variabilei aleatoare care reprezint ă plata este următoarea: n+ 1 ⎡ 0 v 2⎤  z ⎢ ⎥ ⎢⎣1 − r xn r  xn⎥⎦ S-a utilizat ca exponent al factorului de actualizare n + 1 2 deoarece se consider ă că persoana decedeaz ă la mijlocul anului (pentru omogenizarea calculelor). Valoarea medie a variabilei  z  se numeşte, în acest caz, factor de actualizare în caz de deces şi este dat ă de: D ( x, x + n) = v

n+ 1

2

n+ 1

⋅ r xn = v

2

l x+ n − l x+ n+1 l  x

Tipuri de asigur ări de persoane În toate tipurile de contracte asigur ări ce urmeaz ă a fi prezentate asiguratul pl ăteşte periodic o sum ă  P  timp de k  ani. Diferenţa este dat ă de condi ţiile în care asiguratorul face plata (pl ăţile).

a) Asigurarea de viaţă via ţă Asiguratorul pl ăteşte o sumă S  atunci când asiguratul împline şte vârsta de  x + n ani. În cazul în care asiguratul nu mai este în via ţă, asiguratorul nu mai are nici o obliga ţie. Prin utilizarea principiului echilibrului financiar se ob ţine:  D x + n  P = S   N x − N x+ k

 

unde N x = D x+ D x+1 + …

b) Asigurarea de pensii Asiguratorul pl ăteşte periodic suma S  asiguratului de la împlinirea vârstei de  x + n ani până la deces.  N  x+ n  P = S   N x − N x+ k

 

c) Asigurarea de deces Asiguratorul plăteşte unei persoane prev ăzute în contract suma S  dacă asiguratul decedeaz ă la o vârst ă cuprinsă între + m ani şi  x + n ani.  P = S 

M x+ m − M x+ n  N x − N x+ k

 

1

unde M x+ m = u 2 ( vN x+ m − N x+ m+1 ) . 35

d) Asigurarea mixtă mixt ă Asiguratorul plăteşte suma S  asiguratului, dac ă acesta este în via ţă la  x + n ani, sau unei persoane prev ăzute în contract, dac ă asiguratul decedeaz ă înainte de aceast ă vârstă.  P = S 

Dx+ n + Mx − Mx+ n  N x − N x+ k

 

Exerciţ Exerci ţii rezolvate 1. S ă se calculeze probabilitatea ca o persoan ă de 25 de ani s ă fie în viaţă, respectiv s ă nu fie în via ţă, la 75 de ani. Soluţie 62083 l  = 0, 684  p ( 25, 70 ) = 70 = l 25 95767 q ( 25, 70 ) = 1 − p ( 25, 70 ) = 0, 316 2. Care este probabilitatea ca o persoan ă, în vârst ă de 25 de ani, s ă decedeze la o vârst ă cuprinsă între 60 şi 70 de ani. Soluţie P= p( 25, 60 ) ⋅ q( 60, 70 ) =

l60 ⎛

l 70 ⎞

l25 ⎝

l 60 ⎠

⎜1 −

⎟ = 0,179

3. S ă se calculeze factorul de actualizare viager   E ( 40,60 ) şi de deces  D ( 40,60 ) dacă rata de actualizare este de 0,1. Soluţie 20 ⎛ 1 ⎞ l 60 = 0,1265  E ( 40, 60 ) = ⎜ ⎟ ⋅ 1 ,1 l  ⎝ ⎠ 40 ⎛ 1 ⎞  D ( 40, 60 ) = ⎜ ⎟ ⎝ 1,1 ⎠

20,5

l60 − l 61

⋅

l 40

= 0, 00198

4. O persoan ă de 25 de ani pl ăteşte unei societ ăţi de asigur ări, timp de 30 de ani, o prim ă anuală P. Să se determine valoarea acestei prime dac ă se încheie, pentru suma S=1000000 u.m.: a) o asigurare de via ţă scadentă la 60 de ani  b) o asigurare de pensii (pensia se pl ăteşte începând cu 60 de ani). c) o asigurare de deces (între 60 şi 65 de ani) d) o asigurare mixt ă scadentă la 60 de ani. Soluţie P= S⋅

a)

 D x + n Nx − Nx+ k

D60

= S  

=

N25 − N55  

 

4244,024 = 9529, 4 5197 519793 93,, 623 623 − 7443 744333, 493 493  N  x + n 48745,802  b)  P = S ⋅ = 1000000 = 109452, 55 445360,13  N x − N x+ k   1000000

 P = S ⋅

c)

M x+ m − M x+ n  N x − N x+ k

 

1970 970, 236 236 −1623 1623,, 448 = 778, 66 445360,13

= 1000000  P = S ⋅

=

Dx+ n + Mx − Mx+ n  N x − N x+ k

=

 

4244,024 ,024 + 3614,80 ,804 −1970,236 ,236 = 445360,13 = 13222,09

d) = 1000000

36

Anexa 1: Tabel cu numere de comuta ţie (i=0,05) x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

lx 10000 9767 976722 9740 974055 9723 972377 9711 971177 9703 970344 9697 969700 9691 969144 9685 968566 9680 968055 9676 967644 9672 967233 9668 966811 96693 96693 96595 96595 96548 96548 96494 96494 96432 96432 96373 96373 96300 96300 96216 96216 96132 96132 96045 96045 95954 95954 95863 95863 95767 95767 95665 95665 95552 95552 95439 95439 95315 95315 95182 95182 95029 95029 94867 94867 94698 94698 94519 94519 94324 94324 94104 94104 93880 93880 93632 93632 93364 93364 93076 93076 92773 92773 92435 92435 92062 92062 91644 91644 91214 91214 90767 90279 89741 89162 88524

Dx 10000.000 9302 93020. 0.95 9522 8834 88349. 9.20 2066 8399 83996. 6.97 9766 7989 79898. 8.39 3966 7602 76028. 8.67 6788 7236 72360. 0.50 5077 6887 68874. 4.97 9700 6555 65555. 5.95 9533 6240 62401. 1.36 3666 5940 59404. 4.70 7022 5655 56551. 1.93 9355 5383 53835. 5.59 5988 51278. 51278.362 362 48787. 48787.039 039 46441. 46441.239 239 44205. 44205.013 013 42072. 42072.962 962 40044. 40044.972 972 38109. 38109.180 180 36262. 36262.798 798 34505. 34505.847 847 32832. 32832.971 971 31239. 31239.869 869 29724. 29724.040 040 28280. 28280.260 260 26904. 26904.895 895 25593. 25593.442 442 24345. 24345.881 881 23156. 23156.428 428 22022. 22022.968 968 20940. 20940.540 540 19909. 19909.373 373 18927. 18927.530 530 17992. 17992.145 145 17100. 17100.025 025 16247. 16247.753 753 15437. 15437.217 217 14663. 14663.273 273 13925. 13925.051 051 13221. 13221.044 044 12550. 12550.480 480 11909. 11909.290 290 11296. 11296.412 412 10709. 10709.640 640 10151. 10151.800 800 9621.000 9113.594 8627.889 8164.021 7719.623

 Nx 1865577.154 1855 185557 577. 7.15 1544 1762 176255 556. 6.20 2022 1674 167420 206. 6.99 9966 1590 159021 210. 0.02 0200 1510 151031 311. 1.62 6244 1434 143428 282. 2.94 9466 1361 136192 922. 2.43 4399 1293 129304 047. 7.46 4699 1227 122749 491. 1.51 5166 1165 116509 090. 0.15 1500 1105 110568 685. 5.44 4488 1049 104913 133. 3.51 5133 995297 995297.91 .9155 944019 944019.55 .5533 895232 895232.51 .5144 848791 848791.27 .2755 804586 804586.26 .2622 762513 762513.30 .3000 722468 722468.32 .3288 684359 684359.14 .1488 648096 648096.35 .3500 613590 613590.50 .5033 580757 580757.53 .5322 549517 549517.66 .6633 519793 519793.62 .6233 491513 491513.36 .3633 464608 464608.46 .4688 439015 439015.02 .0266 414669 414669.14 .1455 391512 391512.71 .7177 369489 369489.74 .7499 348549 348549.20 .2099 328639 328639.83 .8366 309712 309712.30 .3066 291720 291720.16 .1611 274620 274620.13 .1366 258372 258372.38 .3833 242935 242935.16 .1666 228271 228271.89 .8933 214346 214346.84 .8422 201125 201125.79 .7988 188575 188575.31 .3188 176666 176666.02 .0288 165369 165369.61 .6166 154659 154659.97 .9766 144508.176 134887.176 125773.582 117145.693 108981.672

37

Mx 4773 4773.4 .406 06 4525 4525.3 .340 40 4376 4376.7 .717 17 4275 4275.6 .637 37 4209 4209.0 .077 77 4160 4160.2 .214 14 4119 4119.5 .503 03 4079 4079.3 .344 44 4045 4045.7 .721 21 4019 4019.9 .990 90 3995 3995.4 .485 85 3971 3971.5 .574 74 3978.1 3978.148 48 3927.4 3927.480 80 3904.3 3904.361 61 3879.0 3879.057 57 3851.3 3851.382 82 3826.3 3826.302 02 3796.7 3796.739 39 3764.3 3764.335 35 3733.4 3733.475 75 3703.0 3703.034 34 3672.7 3672.707 07 3643.8 3643.825 25 3614.8 3614.804 04 3585.4 3585.437 37 3554.4 3554.448 48 3524.9 3524.936 36 3494.0 3494.090 90 3462.5 3462.580 80 3428.0 3428.054 54 3393.2 3393.236 36 3358.6 3358.644 44 3323.7 3323.747 47 3287.5 3287.540 40 3248.6 3248.634 34 3210.9 3210.907 07 3171.1 3171.124 24 3130.1 3130.180 80 3088.2 3088.274 74 3046.2 3046.285 85 3001.6 3001.673 73 2954.7 2954.786 86 2904.7 2904.743 43 2855.7 2855.714 14 2807.173 2756.703 2703.710 2649.393 2592.392

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

87852 87128 86356 85523 84617 83666 82654 81599 80465 79275 77973 76613 75137 73571 71931 70154 68321 66345 64284 62083 59717 57198 54482 51782 48994 46033 42918 39730 36449 33072 29703 26320 22878 19572 16464 13551 10909 8573 6563 4883 3523 2458 1654 1070 663 392 220 117 58 27

7296.211 6891.507 6505.185 6135.653 5781.575 5444.378 5122.404 4816.211 4523.123 4244.029 3975.548 3720.197 3474.785 3240.347 3017.252 2802.584 2599.388 2404.008 2218.407 2040.430 1869.208 1705.106 1546.800 1400.137 1261.669 1128.970 1002.452 883.798 772.202 667.293 570.778 481.685 398.755 324.888 260.282 204.029 156.429 117.078 85.360 60.485 41.561 27.616 17.698 10.904 6.435 3.623 1.937 0.981 0.463 0.205

101262.049 93965.838 87074.331 80569.146 74433.493 68651.918 63207.540 58085.136 53268.925 48745.802 44501.773 40526.225 36806.028 33331.243 30090.896 27073.644 24271.060 21671.672 19267.664 17049.257 15008.827 13139.619 11434.513 9887.713 8487.576 7225.907 6096.937 5094.485 4210.687 3438.485 2771.192 2200.414 1718.729 1319.974 995.086 734.804 530.775 374.346 257.268 171.908 111.423 69.862 42.246 24.548 13.644 7.209 3.586 1.649 0.668 0.205

38

2535.210 2476.538 2416.954 2355.723 2292.296 2228.890 2164.628 2100.826 2035.512 1970.236 1902.217 1834.551 1764.609 1693.937 1623.448 1550.709 1479.250 1405.885 1333.006 1258.883 1182.998 1106.053 1027.040 952.233 878.666 804.255 729.702 657.033 585.807 515.988 449.650 386.209 324.735 268.502 218.153 173.212 134.392 101.703 74.914 53.590 37.150 24.889 16.074 9.975 5.928 3.361 1.810 0.925 0.442 0.200