7) Daca A,B sunt matrice echivalente (A B) atunci:
8) Fie A M n(R ). ). Daca rang A = r, atunci prin trans!"rmari elementare se "#tine: a) A,B sunt matrice patratice; a) cel putin r c"l"ane ale matricei b) rang A = rang B; unitate; c) daca determinantul lui A = 0 #) cel mult r c"l"ane ale matricei rezulta, si det B = 0; unitate; d) daca det A = 1 rezulta ca si det B c) e$act r c"l"ane ale matricei = 1. unitate; d) t"ate c"l"anele matricei unitate. 10) +entru a a!la inversa unei 11) Daca A M n(R ) cu det A = 1 matrice A M n(R ) prin trans!"rmari atunci !"rma auss*"rdan as"ciata elementare, acestea se aplica: va avea: a) numai liniil"r; a) " singura linie a matricei unitate #) numai c"l"anel"r; In; c) atat liniil"r cat si c"l"anel"r; b) t"ate liniile si c"l"anele matricei d) intai liniil"r ap"i c"l"anel"r. unitate In; c) " singura c"l"ana a matricei unitate In; d) numai " linie si " c"l"ana a maricei unitate In. 1) +entru a!larea inversei unei 14) Fie A M n(R ) si matricea matrice A M n(R ) prin trans!"rmari atasata acesteia in met"da a!larii elementare, acestea se aplica: inversei lui A prin trans! elementare.'tunci: a) direct asupra lui A; #) asupra matricei transpuse A/; a) M M n (R ); ); b) M M n,2n ); c) matricei atasate = 'M2n 3 ; n,2n (R ); / c) M M 2n,n ); 2n,n (R ); d) matricei atasate = 2n M' 3 . d) M M 2n,2n ); 2n,2n (R );
%) Fie A M n(R ) cu det A & 0. 'tunci: a) rang A = n; b) A este echivalenta cu matricea unitate In (A - In); c) prin trans!. elementare putem determina inversa A1. d) !"rma aus*"rdan a matricei A este In. 1) -et"da de a!lare a inversei unei matrice A cu trans!"rmari elementare se p"ate aplica: a) "ricarei matrice A M n(R ) ; b) numai matricel"r patratice; c) maricel"r patratice cu det A & 0; d) tutur"r matricel"r cu rang A & 0.
15) Fie A M n(R ) si matricea atasata lui A pentru determinarea lui A1 prin trans!"rmari elementare. Daca 0 1 1 0M1 −4 ÷ atunci: 1 −4 ÷ ÷ a) A1 = #) A1 = 1 −4 c) A1
16) Fie A M n(R ) si matricea atasata lui A pentru determinarea lui A1 prin trans!"rmari elementare. Daca 1 0 0
0 1
,
.
1M .
,
1
1
0 ,
1
1
a) A = 1 = .
÷atunci: ÷ .
0 0
1 .
.
÷ #)A1 = ÷ .
1÷ 1
1 , .
÷ 1 ÷c) A ÷ .
.
,
,
1
1
÷ = −4 1 d) A1 nu e$ista. 18) Daca matricea A M , ,(R ) este echivalenta cu matricea A = 1 0 0 −1 1÷atunci: a) rang A = ; #) rang A = 1; c) rang A = ; d) rang A = rang A`.
17) 'ducand matricea A la !"rma auss*"rdan "#tinem: a) A1; b) rang A; c) det A; d) A/.
.
÷ ÷ 1
1 .÷
d) A1 nu e$ista.
1%) Daca matricea A M (R ) este
0)Daca A este echivalenta cu matricea unitate I (A I), atunci: ÷ 0 0÷ echivalenta cu matricea A` = ÷ a) rang A = ; 0 1 b) det A & I; atunci rang A este: a) ; #) ; c) 1; d) c) A = I; d) A1 = I. 0. ) Daca matricea A este echivalenta ) Daca matricea A este −1 0
cu A` =
1 0 0
0 1 0
÷ ÷ atunci: ÷ −1
1 0
0 0
a) rang A = ; #) rang A = 1; c) det A & 0; d) A este inversa#ila.
echivalenta cu matricea A` = atunci: a) rang A = 0 =9 = 0 #) rang A = 1 =9 = 1 c) rang A , ( ∀) R ;
1 0 0
0 1 0
0
÷ ÷ α 0÷
1) +iv"tul unei trans!"rmari elementare este int"tdeauna: a) nenul; #) egal cu 0; c) egal cu 1; d) situat pe diag"nala matricei. 4)Daca matricele A si A` sunt echivalente (AA`) atunci: a) au acelasi rang; #) sunt "#ligat"riu matrice inversa#ile; c) sunt "#ligat"riu matrice patratice;
16) Fie A M n(R ) si matricea atasata lui A pentru determinarea lui A1 prin trans!"rmari elementare. Daca 1 0 0
0 1
,
.
1M .
,
1
1
0 ,
1
1
a) A = 1 = .
÷atunci: ÷ .
0 0
1 .
.
÷ #)A1 = ÷ .
1÷ 1
1 , .
÷ 1 ÷c) A ÷ .
.
,
,
1
1
÷ = −4 1 d) A1 nu e$ista. 18) Daca matricea A M , ,(R ) este echivalenta cu matricea A = 1 0 0 −1 1÷atunci: a) rang A = ; #) rang A = 1; c) rang A = ; d) rang A = rang A`.
17) 'ducand matricea A la !"rma auss*"rdan "#tinem: a) A1; b) rang A; c) det A; d) A/.
.
÷ ÷ 1
1 .÷
d) A1 nu e$ista.
1%) Daca matricea A M (R ) este
0)Daca A este echivalenta cu matricea unitate I (A I), atunci: ÷ 0 0÷ echivalenta cu matricea A` = ÷ a) rang A = ; 0 1 b) det A & I; atunci rang A este: a) ; #) ; c) 1; d) c) A = I; d) A1 = I. 0. ) Daca matricea A este echivalenta ) Daca matricea A este −1 0
cu A` =
1 0 0
0 1 0
÷ ÷ atunci: ÷ −1
1 0
0 0
a) rang A = ; #) rang A = 1; c) det A & 0; d) A este inversa#ila.
echivalenta cu matricea A` = atunci: a) rang A = 0 =9 = 0 #) rang A = 1 =9 = 1 c) rang A , ( ∀) R ;
1 0 0
0 1 0
0
÷ ÷ α 0÷
1) +iv"tul unei trans!"rmari elementare este int"tdeauna: a) nenul; #) egal cu 0; c) egal cu 1; d) situat pe diag"nala matricei. 4)Daca matricele A si A` sunt echivalente (AA`) atunci: a) au acelasi rang; #) sunt "#ligat"riu matrice inversa#ile; c) sunt "#ligat"riu matrice patratice;
d) rang A = =9 & 0.
d) se "#tin una din alta prin trans!"rmari elementare. 5) Fie A M (R ) cu det A = . 6) D"ua sisteme liniare de ecuatii 7) -atricea unui sistem liniar 'tunci !"rma auss*"rdan a lui A: se numesc echivalente daca: "arecare, in !"rma e$plicita are: a) !"rma auss*"rdan; a) are acelasi rang cu matricea A, (∀) a) au acelasi numar de ecuatii; #) au acelasi numar de necun"scute; b) c"l"anele varia#ilel"r principale, R ; c) au aceleasi s"lutii; c"l"anele matricei unitate; #) are acelasi rang cu matricea A, d) matricele l"r e$tinse sunt c) t"ate elementele de pe liniile numai pt = 0; echivalente. varia#ilel"r secundare nule c) c"incide cu I =9 & 0; d) elementele c"respunzat"are de pe d) are cel mult d"ua c"l"ane ale c"l"anele varia#ilel"r secundare, matricei unitate I daca = 0 negative. 8) -et"da auss*"rdan de %) Fie A si ' matricea, respectiv 0) +entru a "#tine matricea unui rez"lvare a sistemel"r liniare prin matricea largita a unui sistem liniar. sistem liniar su# !"rma e$plicita, se trans!"rmari elementare se aplica: 'plicand met"da auss*"rdan de aplica trans!"rmari elementare: a) numai sistemel"r patratice; rez"lvare, se aplica trans!"rmari a) numai c"l"anel"r c"respunzat"are b) "ricarui sistem liniar; elementare asupra: varia#ilel"r secundare; c) numai daca rangul matricei a) liniil"r lui A si c"l"anel"r lui ' ; #) numai c"l"anei termenil"r li#eri; sistemului este egal cu numarul de #) liniil"r si c"l"anel"r lui ' ; c) tutur"r liniil"r si c"l"anel"r ecuatii; c) liniil"r lui ' ; matricei e$tinse; d) d"ar sistemele c"mpati#ile d) c"l"anei termenil"r li#eri din ' . d) pentru a !ace c"l"anele nedeterminate. varia#ilel"r principal alese, c"l"anele matricei unitate. 1) 'plicand met"da auss*"rdan ) -atricea e$tinsa ) -atricea e$tinsa c"respunzat"are unui sistem liniar de ecuatii, matricea c"respunzat"are unui sistem liniar in unui sistem liniar in !"rma e$plicita 1 0 −1 4 1 0 −1 0 1 e$tinsa ' este echivalenta cu matricea 0 1 1 1 M ÷ ÷ !"rma e$plicita este ' = ÷. este ' = 0 1 1 0 M ÷. 'tunci sistemul , 1 −1 0 . ÷ ÷ ' = . 0 , 1 M1 ÷. 'tunci sistemul 0 0 0 0 −1 0 0 1 . 'tunci sistemul liniar: liniar: liniar: a) este inc"mpati#il; a) sistemul este c"mpati#il a) este inc"mpati#il; #) este c"mpati#il determinat; nedeterminat; #) este c"mpati#il nedeterminat;
c) are s"lutia de #aza: $1=4, $=, $=1, $4=0; d) are " in!initate de s"lutii.
c) are s"lutia de #aza $1=1, $=, $=1, $4=0; d) are " in!initate de s"lutii.
4)
5) un sistem liniar cu ecuatii si necun"scute admite s"lutia de #aza X=(0,1,0)/ . tiind ca $, $ sunt varia#ile principale, atunci s"lutia $ a) c"mpati#ile nedeterminate; este: #) c"mpati#ile determinate; c) inc"mpati#ile; a) admisi#ila; d) patratice. b) neadmisi#ila; c) degenerata; d) nedegenerata. 8) -atricea e$tinsa %) +entru a se "#tine s"lutia de #aza c"respunzat"are !"rmei e$plicite a din !"rma e$plicita a unui sistem 1 1 −1 0 1 liniar de ecuatii: M÷ unui sistem liniar este ' =
a) admisi#ila si nedegenerata; #) admisi#ila si degenerata; c) neadmisi#ila si nedegenerata; d) nead#isi#ila si degenerata. 7) F"rmei e$plicite a unui sistem liniar ii c"respunde matricea ' = 1 0
0
−1
1 1
1 M −1 − ÷ . 'tunci s"lutia
c"respunzat"are este: a) $1= > ? , $=> ? , $=, $4= ?; #) $1=> ? , $=> ? , $=, $4= ?; c) $1=> ? , $=> ? , $=, $4= ? ; d) $1= ? , $=>> ? , $=, $4= ?. 40) "lutia de #aza X=(,0, ? ,0)/ a unui sistem liniar de d"ua ecuatii este neadmisi#ila daca:
1
0
b) varia#ilele principale alese sunt $1, $, $4; c) sistemul este inc"mpati#il; d)s"lutia de #aza c"res. este $1=1, $=, $=0, $4=. 6) istemele liniare de ecuatii care admit s"lutii de #aza sunt numai cele:
1 1
. 'tunci s"lutia de #aza c"respunzat"are este: a) X= (1 1 1 0) /; #) X= (1 0 1) /; c) X= (1 1 0 0) /; d) X= (0 1 0 1) /.
a) varia#ilele principale se egaleaza cu 0; b) varia#ilele secundare se egaleaza cu 0; c) t"ate varia#ilele se egaleaza cu 0; d) se atri#uie varia#ilel"r secundare val"ri nenule distincte.
41) "lutia de #aza X=(0,0, , ? )/ c"respunzat"are unui sistem liniar cu ecuatii principale si 4
4) Fie n si n@ numarul s"lutiil"r de #aza distincte, respectiv al !"rmel"r e$plicite, c"respunzat"are unui
a) 9 0 si ? 90; b) 0 si ? 0; c) 90 si ? 0; d) 0 si ? 90.
necun"scute este degenerata daca: a) =0, ? &0; b) &0, ? =0; c) =0, ? =0; d) &0, ? &0.
4) Fie s"lutia de #aza X=(1,, 0, ? )/ c"respunzat"are varia#ilel"r principale $1 si $4. 'tunci $ este admisi#ila degenerata daca: a) 90, ? =0; b) =0, ? =0; c) =0, ? 90; d) 90, ? 90.
44) F"rma e$plicita a unui sistem liniar are matricea de !"rma ' =
46) Fie
'=
1 0 0
−1M− ÷÷ maricea 0 α ÷
1 0 0
0 0
÷ . −1 ÷
1
0 1 . M ÷ 1 0 1
c"respunzat"are X este: a) X=(1 1 0) / ; b) X=(1 1 0) / ; c) X=(1 0 1) / ; d) X=(1 1 0) /
0 0 1 0 0 0
c"respunzat"are !"rmei e$plicite a unui sistem liniar. 'tunci sistemul este inc"mpati#il daca: a) =0; b) =1; c) =1; d) =. 4%) Fie X=(1,1,0,0)/ s"lutia de #aza a unui sistem liniar de ecuatii c"respunzat"are varia#ilel"r
'tunci s"lutia de #aza
47) Fie
'=
1 0 0
−1M−1÷÷ matricea α 0 ÷
sistem liniar c"mpati#il nedeterminat. 'tunci: a) n A n@ ; #) n n@ ; c) int"tdeauna n = n@ ; d) "#ligat"riu n 9 n@ . 45) F"rma e$plicita a unui sistem liniar are matricea de !"rma ' = , 1
0
−1
1
1
1 0
− 1 ÷ . 0
M
c"respunzat"are X este: a) admisi#ila; b) degenerata; c) neadmisi#ila; d) nedegenerata.
0 1 0
c"respunzat"are !"rmei e$plicite a unui sistem liniar. 'tunci sistemul este:
'tunci s"lutia de #aza
48) Fie
'=
1 0 0
−1M−1÷÷ matricea α β ÷
0 1 0
c"respunzat"are !"rmei e$plicite a unui sistem liniar. 'tunci sistemul este c"mpati#il nedeterminat daca: a) = 0, ? &0; a) c"mpati#il nedeterminat, daca = #) & 0, ? =0; 0; c) =", ? =0; b) c"mpati#il determinat, daca =1; d) &0, ? &0. c) inc"mpati#il, daca & 0; d) inc"mpati#il, daca = 0. 50)
principale $1, $, $. 'tunci: a) X este admisi#ila, daca 90; b) X este degenerata, daca =0; c) X este neadmisi#ila, daca = 1; d) X este nedegenerata, daca = 1.
5) n s"lutii de #aza.
de !"rma: ' = . 'tunci s"lutia de #aza c"respunzat"are X este: a) admisi#ila, daca =1, ? =0; b) degenerata, daca 0, ? =0; c) neadmisi#ila, daca 9 0 si ? 0; d) nedegenerata, daca 0 si ? A0. 5) C s"lutie de #aza pentru un sistem cu m ecuatii liniare cu n encun"scute, mn, este degenerata daca are:
a) e$act m c"mp"nente nenule; #) mai mult de m c"mp"nente nenule; c) mai putin de m c"mp"nente nenule; d) mai mult de nm c"mp"nente nenule. 55) +entru a trans!"rma un sistem 56) -et"da gra!ica se !"l"seste in liniar de ecuatii intrunul echivalent se rez"lvarea sistemel"r de inecuatii !"l"sesc trans!"rmari elementare liniare cu: asupra: a) d"ua necun"scute; a) liniil"r matricei sistemului; #) mai mult de necun"scute; #) c"l"anel"r matricei sistemului; c) "ricate necun"scute; c) liniil"r si c"l"anel"r matricei d) e$act necun"scute. sistemului; d) termenil"r li#eri ai sistemului.
58) Fie A
matrice nenula de tipul
5%) +entru
trans!"rma
sistem
m
b) cel mult Bn !"rme e$plicite; m c) e$act Bn !"rme e$plicite; d) m>n !"rme e$plicite.
54) C s"lutie de #aza pentru un sistem cu m ecuatii liniare cu n encun"scute, mn, este nedegenerata daca are: a) e$act m c"mp"nente nenule; #) mai mult de m c"mp"nente nenule; c) mai putin de m c"mp"nente nenule; d) nm c"mp"nente nenule.
57) C s"lutie de #aza pentru un sistem cu m ecuatii liniare cu n encun"scute, mn, este admisi#ila daca are: a) ma"ritatea c"mp"nentel"r p"zitive; #) mai mult de m c"mp"nente p"zitive: c) mai putin de m c"mp"nente negative; d) t"ate c"mp"nentele negative. 60) C s"lutie de #aza unui sistem
(m,n). 'tunci matricea A admite inversa daca: a) det A & 0; b) m=n si det A &0; c) det A=0 si m=n; d) det A = 1 si m=n.
liniar de ecuatii in unul echivalent, se !"l"sesc: a) trans!. elem. aplicate liniil"r matricei atasate sistemului; #) trans elem aplicate liniil"r si c"l"anel"r matr. atasate sist c) "peratii de adunare a c"l"anel"r matricei atasate sist; d) t"ate "peratiile care se p"t e!ectua asupra unei matrice. II.ELEMENTE DE ALGEBRA LINIARA 1) ,E) spatiul liniar al spatiu liniar real daca: p"lin"amel"r de grad cel mult n. 'tunci "peratiile >G si EG a) elementele sale sunt numere reale; reprezinta: #) c"rpul peste care este de!init a) adunarea si inmultirea c"incide cu multimea numerel"r p"lin"amel"r; naturale; b) adunarea p"lin"amel"r si c) multimea X este nevida; inmultirea p"lin"amel"r cu scalari d) "peratiile de!inite pe X sunt reali; "peratii cu numere reale. c) adunarea numerel"r reale si inmultirea p"lin"amel"r; d) adunarea p"lin"amel"r si inmultirea nr reale. 4) -ultimea s"lutiil"r unui sistem 5) Fie vect"rii $1, $, ... , $H R n a.i. liniar !"rmeaza un spatiu liniar daca 1$1>$>...>H$H =0 n .'tunci sistemul este: $1,$,...,$H sunt liniar independenti a) inc"mpara#il; numai daca: b) "m"gen; a) (∀)i= 0, i= 1, k ; c) c"mpati#il determinat; #) (∃)i= 0; d) patratic, cu rangul matricei egal cu
liniar se "#tine: a) dand varia#ilel"r principale val"area 0; b) dand varia#ilel"r secundare val"area 0; c) dand varia#ilel"r principale val"ri nenule; d) dand varia#ilel"r secundare val"ri strict p"zitive.
) Fie (+ n(X),>,E) spatiul liniar al p"lin"amel"r de grad cel mult n. 'tunci dimensiunea sa este: a) n; b) n=1; c) n; d) n.
6) Fie vect"rii $1, $, ... , $H R n a.i. 1$1>$>...>H$H =0 n .'tunci $1,$,...,$H sunt liniar dependenti daca: a) i = 0, (∀) i= 1, k ; b) (∃) i &0;
nr. Iecun"scutel"r.
c) i& 0, (∀)i=1, k ; d) H9n. 7) Fie X un spatiu liniar si vect"rii 8) Ject"rii $1, $, ... , $H R n sunt $1,$,$ X a.i. $1>$>$=0$. liniar independenti. 'tunci: 'tunci vect"rii sunt: a) $1,$,...,$H1 sunt liniar a) liniar dependenti, daca =0; independenti; #) liniar independenti, daca &0; b) $i&0n, ( ∀)i= 1, n ; c) liniar dependenti, daca &0; c) H A n; d) liniar independenti, daca =0. d) $1>$>...>$H=0n 10) Fie B si B` d"ua #aze din spatiul 11) Fie vect"rii $1, $, ... , $H liniar R si S matricea schim#arii de R n .'t. ei !"rm " #aza daca: #aza. 'tunci S este: a) sunt liniar independenti si H&n; a) patratica; #) $i&0n si H=n; b) inversa#ila; c) sunt liniar independenti si H=n; c) dreptunghiulara; d) H=n si i&0, ( ∀)i=1, k d) nesingulara (det S&0). 1) Fie S matricea de trecere de la " 14) Fie B = K$1,$,...,$HL " #aza in #aza B la #aza B` si u respecti# u R n .'tunci: c""rd"natele vect"rului u in cele d"ua #aze. 'tunci au l"c relatiile: a) $1,$,...,$H sunt liniar 1 a) u = S u si u =S u independenti; / 1 #) u = S u si u =S u #) Hn; / / 1 c) u = S u si u =( S ) u c) H = n; 1 / d) u =S u si u = S u d) H9n. 16) Fie "perat"rul liniar M: R → R 17) Daca M: R m → R n este un si 0,0 vect"rii nuli ai cel"r spatii. "perat"r liniar, atunci: 'tunci: a) M(0) = 0; a) "#ligat"riu m9n; #) M(0) = 0; #) "#ligat"riu mn; c) M(0) = 0; c) m si n unt numere naturale
c) H9n; d) i &0, (∀)i=1, k . %) Fie $1, $,$ R vect"ri "arecare a.i. $=$1$. 'tunci: a) c""rd"natele lui $ sunt 1 si ; b) $1,$,$ nu !"rmeaza " #aza in R c) $1,$,$ sunt liniar dependenti; d) de"arece $1$$=0 =9 $1,$,$ sunt liniar indep.
1) Fie B = K$1, $,...,$HL " #aza in spatiul liniar X. 'tunci: a) dim X = H; #) dim X 9 H; c) dim X H; d) $i &0$, ( ∀) i=1, k .
15) 2n spatiul liniar R n e$ista: a) cel mult n #aze; #) e$act n #aze; c) " singura #aza; d) " in!initate de #aze.
18) Fie M: R m → R n un "perat"r liniar si ker M nucleul sau. Daca $1,$ Her M, atunci: a) $1>$ Her M; b) $1 Her M, ( ∀) B; c) $1> ? $ Her M, ( ∀) , ? R ;
d) M(0) = 0.
"arecare, nenule; d) "#ligat"riu m=n. n m 1%) Fie M: R → R un "perat"r 0) Daca M: R m → R n este un liniar si Her M nucleul sau. Daca $ "perat"r liniar si A matricea sa !ata Her M, atunci: de " pereche de #aze B,B` atunci: a) M($) = 0m; a) A M m,n(R ); #) A M n,m(R ); b) M($) = 0m, (∀) B; c) B,B sunt #aze in R m ; c) M($) = 0m, d"ar pt = 0; d) B este #aza in R m si B` este #aza d) M($) = 0n. in R n ) Fie M: R n → R n un "perat"r liniar ) -atricea atasata unei !"rme liniare f : R n → R este " matrice: si $ un vect"r pr"priu c"respunzat"r a) patratica: val"rii pr"prii λ. 'tunci: #) c"l"ana; a) M($) = λ$; c) linie; #) daca M($) = 0n, atunci $=0n; d) inversa#ila. c) M(λ$)= λ$; d) daca M($) = 0n, atunci λ = 0.
5) Fie M: R n → R m un "perat"r liniar. 'tunci M devine !"rma liniara daca: a) n = 1; b) m = 1; c) n = 1 si m = 1; d) n=m. 8) F"rma patratica O: R → R are ,
matricea as"ciata A= 1 are e$presia:
6) Fie O: R n → R " !"rma patratice si A matricea as"ciata acesteia. 'tunci: a) A = A/ #) A M n,1(R ); c) A M n(R ); d) A este inversa#ila. %) F"rma patratica O: R → R are 1 !"rma can"nica as"ciata O(P)= −1÷ . 'tunci O , y + y + α y . 'tunci: ,
1
,
.
,
.
d) M($1) = $. 1) Fie M: R n → R n un "perat"r liniar si $ un vect"r pr"priu pt. M. 'tunci: a) (∃N) λ R a.i. M($)= λ$; #) M(λ$)=$, (∀) λ R ; c) $ & 0 ; d) M($) = λ$, (∀) λ R . 4) Daca f : R n → R este " !"rma liniara, atunci: a) !($1>$) = $1 > $; ( ∀) $1,$ R n b) !($1>$) = !($1) > !($); $1,$ R n; c) !($) = $, ( ∀) R si (∀) $ R n; d) !($) = !($), ( ∀) R si (∀) $ R n. 7) Fie !"rma patratica Q : R. → R ( . Q( x) = x1 + x + x. − x1 x
∀)$=($1,$,$) /
R .'tunci matricea as"ciata lui O este: c) A =
1 −1 −1 0 0
0
÷ 1÷ 0÷
0) F"rma patratica O: R → R are 1
,
matricea as"ciata A= , −.÷ . 'tunci !"rma can"nica as"ciata este:
c) O($) =
,
, x1
− x + ,x x ,
,
1
,
1) F"rma patratica O: R → R are !"rma can"nica as"ciata O(P) = ay1 + by . 'tunci O este negativ de!inita daca: c) a0, #0
4) F"rmei patratice "arecare O: R n → R i se p"ate as"cia: b) msi multe !"rme can"nice, dar cu acelasi nr de c"e!icienti p"zitivi, repectiv negativi. c) " matrice patratica si simetrica. 7) F"rma patratica O: R → R are !"rma can"nica as"ciata: O(P)= − y1 + y − y . 'tunci: c) (∃)$1,$ R a.i. O($1)0 si O($)90
a) O este p"zitiv de!inita daca 90; c) O este semip"zitiv de!inita daca = 0; d) O nu pastreaza semn c"nstant daca 0 . 1
∆ ∆
∆ ∆
Iici una: O(P)= − y − y sau − y1 + y sau y1 − y sau − y1 + 7 y ,
1
,
,
) Fie A matricea as"ciata !"rmei patratice O: R n → R si ∆1 , ∆ ,..., ∆ n can"nica as"ciata !"rmei patratice O: min"rii principali ai lui A. +entru a R → R .'tunci: aplica met"da lui *ac"#i de aducere la !"rma can"nica, tre#uie "#ligat"riu a) daca ∆1 > 0, ∆ > 0, ∆ > 0 , O este ca: p"zitiv de!inita; d) daca ∆1 < 0, ∆ > 0, ∆ < 0 , O este Iici una. negativ de!inita. ) Fie O(P)= ∆
1
y1,
+
1
,
y,, +
,
.
y., !"rma
Q:¡ n → ¡ 5) F"rma patratica Q( x) = n n a x x ∑∑ ij i j i =1 j =1 spunem ca este p"zitiv de!inita daca: b) O($)90, (∀) $ R n , x ≠ 0 .
Q:¡ n → ¡ 8) F"rma patratica Q( x) = n n a x x ∑∑ ij i j i =1 j =1 are !"rma can"nica as"ciata O(P)= α1 y1 + α y + ... + α n yn . 'tunci O este degenerata daca:
Q:¡ n → ¡ 6) F"rma patratica Q( x) = n n a x x ∑∑ ij i j i =1 j =1 spunem ca este seminegativ de!inita daca: b) O($)A0, (∀) $ R n , x ≠ 0 . %) Fie O(P)= α1 y1 + α y + α y !"rma can"nica as"ciata !"rmei patratice O: R → R .'tunci O nu pastreaza semn c"nstant daca:
a) 190, 0, 90; d) 190, 0, R .
c) (∃) 1=0, pentru i= 1, n .
40) -et"da lui *ac"#i de a "#tine !"rma can"nica, se p"ate aplica in cazul !"rmel"r patratica:
41) Fie "perat"rul liniar L : ¡ → ¡ T , L( x) = ( x1 + x , x1 − x )
a) p"zitiv de!inite; c) negativ de!inite.
(∀)$=($1,$,$) / R .'tunci matricea "perat"rului in #azele can"nice ale cel"r d"ua spatii are !"rma:
4) +entru a se determina val"rile pr"prii ale "perat"rului M: R n → R n cu matricea c"respunzat"are A, se rez"lva ecuatia: T c) det ( ' − λ I n ) = 0
46) Fie "perat"rul liniar M: R → R .'tunci:
1 , ÷ b) A= 0 −1÷. 1 0 ÷
44) Cperat"rul liniar M: R → R are 1 , matricea A= . −1÷ 'tunci ecuatia
caracteristica pt "#tinerea val"ril"r pr"prii are !"rma: 1 − λ c) −1 − λ = 0
4) -atricea "perat"rului M: R → R !ata de #aza can"nica din R are 1 −1 ÷. 0
e$presia A= ,
'tunci "perat"rul
M are e$presia: T
b) M($)= ( x1 + x − x1 ) .
45) Fie "perat"rul liniar M: R → R 1
cu matricea A= 1
0
÷ 'tunci ecuatia
1
caracteristica c"recpunzat"are: c) λ − λ + 1 = 0 1
1
48) Fie A= 1 1÷ matricea atasata
"perat"rului M: R →R 'tunci: b) val"rile pr"prii ale lui M sunt λ1 = 0, λ = ; d) sistemul caracteristic atasat este (1 − λ ) x1 + x = 0 x + (1 − λ ) x = 0 1
c) "perat"rului nu i se p"ate atasa ecuatia caracteristica. 4%)Cperat. M: R →R are val"rile 47) Cperat"rul liniar M: R → R are pr"prii λ1 = 1, λ = . 'tunci: 0 c) daca $1,$ sunt vect"ri pr"prii matricea A= −1 − ÷ 'tunci, val"rile 51) Bare din urmat"arele a!irmatii pentru λ 1 , respectiv λ =9 $1,$ sunt pr"prii ale lui M sunt: sunt adevarateQ liniar independenti. a) "rice spatiu liniar este grup d) e$ista " #aza !ata de care matricea = = − , λ λ c) 1 1 0 a#elian; "perat"ului are !"rma A= 0 ÷ L : ¡ → ¡ #) "rice grup a#elian este spatiu 50) Fie "perat"rul L( x) = ( x + x , x )T 1 1 liniar; .'tunci : c) e$ista spatii liniare care nu sunt a) HerM=K(0,0) /L grupuri a#eliene;
d) e$ista grupuri a#eliene care nu sunt spatii liniare.
5) Fie vect"rii $1,$,...,$m R m si A matricea c"mp"nentel"r acest"ra. 'tunci:
5) 2n spatiul R n " multime de vect"ri liniar independenti p"ate avea:
54) Fie vect"rii $1,$,...,$m R m si A matricea c"mp"nentel"r acest"ra. 'tunci sunt liniar dependenti daca:
a) vect"rii sunt liniar independenti daca rang A = m; b) vect"rii sunt liniar dependenti daca rang A m. 55) Fie vect"rii $1,$,...,$m R m si A matricea c"mp"nentel"r acest"ra. 'tunci sunt liniar independenti daca:
a) cel mult n vect"ri; c) e$act n vect"ri.
c) rang A m; d) det A =0.
56) Fie vect"rii $1,$,...,$m R n liniar independenti. 'tunci vect"rii :
57) -ultimea $1,$,...,$m este !"rmata din vect"ri liniar dependenti. 'tunci:
a) rang A = m; d) det A & 0.
58) Fie vect"rii $1,$,...,$n R n, n9, liniar independenti. 'tunci: a) vect"rii $1,$,...,$n !"rmeaza " #aza in R n ; b) vect"rii $1,$,...,$H sunt liniar independenti, (∀)H= 1, n .
c) !"rmeaza " #aza in R n , numai daca m=n; d) nu c"ntin vect"r nul.
5%) Bare din urmat"arele a!irmatii sunt adevarate: a) "rice su#multime a unei multimi de vect"ri liniar independenti este t"t liniar independenta; #) " su#multime a unei multimi de vect"ri linair dependenti este t"t liniar dependenta; c) c""rd"natele unui vect"r in #aza can"nica din R n c"incid cu c"mp"nentele acestuia.
b) cel putin un vect"r se p"ate e$prima ca " c"m#inatie liniara de ceilalti; d) p"ate c"ntine vect"r nul. 60) B""rd"natele unui vect"r din R n : a) sunt unice relativ la " #aza !i$ata; b) se schim#a la schim#area #azei; c) sunt aceleasi in "rice #aza.
61)
d) daca " multime de vect"ri nu c"ntine vect"rul nul, atunci este liniar independenta. 6) B""rd"natele unui vect"r in #aze care di!era printrun singur vect"r sunt:
6) Dimensiunea unui spatiu vect"rial este egala cu:
a) numarul vect"ril"r dintr" #aza; a) di!erite. b) numarul ma$im de vect"ri liniar independenti. 64) -atricea schim#arii de #aza este: 65) Fie aplicatia M: R m → R n .'tunci 66) 'plicatia M: R m → R n este un a) " matrice patratica; M este un "perat"r liniar daca: "perat"r liniar. Bare din a!irmatiile b) " matrice inversa#ila; de mai "s sunt adevarate: c) !"rmata din c""rd"natele c) M($1>$)=M($1)>M($) si a) M($1>$)=M($1)>M($), ( ∀)$1,$ m vect"ril"r unei #aze desc"mpusi in M($)=M($),(∀)$,$1,$ R R m ; cealalta #aza. b) M($)=M($),(∀) $ R m , (∀) R ; d) M($1>$)=M($1)>M($), (∀)$1,$ R m si (∀) R 67) Fie $1 si $ vect"ri pr"prii pt 68) Fie M: R m → R n un "perat"r 6%) Fie M: R → R un "perat"r "perat"rul liniar M: R n → R n liniar si A matricea sa. 'tunci: liniar. 'tunci: c"respunzat"ri la val"ri pr"prii c) nu se p"ate pune pr"#lema distincte. 'tunci: a) A M m,n(R ) val"ril"r pr"prii pentru M; d) matricea lui M este a) $1 si $ sunt liniar independenti. dreptunghiulara. n n m n 70) Cperat"rul M: R → R are n 71) Fie "perat"rul liniar M: R →R 7)
d) $1,$,...,$n sunt liniar independenti.
7) Iucleul unui "perat"r liniar M: R m →R n este: a) un su#spatiu liniar; b) " multime de vect"ri din R m 76) Fie vect"rii $1,$,...,$m R , vect"rii liniar indep.'tunci c) !"rmeaza " #aza in R n , daca m=n.
7%) Dimensiunea unui spatiu liniar este egala cu: a) numarul vect"ril"r dintr" #aza. 8) C !"rma patratica este p"zitiv de!inita daca !"rma can"nica atasata acesteia: a) are c"e!icientii p"zitivi;
74)
75) 2n spatiul R n " multime de vect"ri liniar independenti p"ate !i !"rmata din: a) mai putin de n vect"ri; c) e$cat n vect"ri. 78)
80) -atricea unei !"rme patratice "arecare este " matrice: b) patratica; c) simetrica. 8) C s"lutie de #aza a unui sistem se "#tine:
81) Daca avem relatia $1=$ atunci vect"rii: c) $1 si $ sunt liniar independenti, (∀) R . 84) C !"rma liniara este p"zitiv de!inita daca:
b) dand varia#ilel"r secundare, val"area 0 n 85) Daca suma a n vect"ri din R este 86) Daca vect"rii $1,$...$n egala cu vect"rul nul atunci: !"rmeaza " #aza in spatiul liniar X, b) vect"rii sunt liniar independenti; atunci: c) cel putin unul se srie ca " b) $1,$...$n sunt liniar c"m#inatie liniara de restul. independenti; n d) nu !"rmeaza " #aza in R . c) dim X = n; d) $1,$...$n1 sunt liniar
d) p"zitiva de!inire se re!era numai la !"rmele patratice. 87) -atricea as"ciata unui "perat"r liniar "arecare M: R m →R n : b) depinde de #azele c"nsiderate in cele d"ua spatii;
independenti. 88) Iucleul unui "perat"r liniar M: R m →R n : b) c"ntine t"tdeauna vect"rul nul al spatiului R m; c) este m su#spatiu liniar; d) nu c"ntine vect"rul nul al spatiului R . III.ELEMENTE DE PROGRAMARE LINIARA 1) C pr"#lema de pr"gramare liniara ) 2n !"rma vect"riala, " pr"#lema ) 2n !"rma standard " pr"#lema de are int"tdeauna: de pr"gramare liniara are vect"rii prgramare liniara are int"tdeauna: a) !unctia "#iectiv liniara; +1,+,...+n de!initi de: c) restrictiile de tip ecuatie. c) restrictiile liniare. b) c"l"anele matricei A c"respunzat"are sistemului de restrictii. 4) 2ntr" pr"#lema de pr"gramare 5) +t a aplica alg"ritmul imple$ de 6) +t a aduce " pr"#lema de liniara c"nditiile de negativitate cer rez"lvare a unei pr"#l. de pr"gramare liniara de ma$im la una ca: pr"gramare liniara, aceasta tre#uie sa de minim se !"l"seste realtia: d) necun"scutele pr"#lemei sa !ie !ie in !"rma: c) ma$(!) = min(!) negative. c) standard. 8) B"m#inatia liniara λ1 x1 + λ x + λ x G %) Daca - ⊂ R n este " multime 7) C multime - ⊂ R n se numeste este c"nve$a daca: c"nve$a daca: c"nve$a spunem ca $ - este var! + + = 1 λ λ λ ∈ ∀ = 0,13, ( ) i 1, λ ∀ ∈ ∀ ∈ b) i si 1 c) ( ) x1 , x M si ( )λ 0,13 avem (punct e$trem) al multimii - daca: λ x1 + (1 − λ ) x ∈ M . Iici una. 10) Fie ' multimea s"lutiil"r 11) Fie ' si ' multimea s"lutiil"r 1) Fie ' , ' , C multimile admisi#ile al unei pr"#leme de admisi#ile, respectiv multimea s"lutiil"r admisi#ile., de #aza pr"gramare liniara. 'tunci: s"lutiil"r admisi#ile de #aza a unei admisi#ile, respectiv "ptime pentru " a) pr"#leme de pr"gramare liniara. pr"#lema de pr"gramare liniara. (∀) x1 , x ∈ S A ⇒ λ x1 + (1 − λ ) x ∈ S A , (∀)λ ∈ 0,13 'tunci, daca $ ' rezulta ca: 'tunci: b) (∀) x1, x ∈ S A , x1 ≠ x avem d) ' , C sunt multimi c"nve$e. x1 ≠ λ1 + (1 − λ ) x , (∀)λ ∈ 0,13 .
1) 2n rez"lvarea unei pr"#leme de pr"gramare liniara cu alg"ritmul imple$ se aplica: a) intai criteriul de intrare in #aza, ap"i criteriul de iesire din #aza; d) criteriul de "ptim la !iecare etapa a alg"ritmului.
14) Daca $1 si $ sunt s"lutii "ptime distincte ($1,$ C) ale unei pr"#leme de pr"gramare liniata, atunci: a) λ x1 + (1 − λ ) x ∈ S O , (∀) λ ∈ 0,13 ; b) C are " in!initate de elemente; c) !($1)=!($), cu !($) !unctia "#iectiv.
16) Fie urmat"rul ta#el simple$ al 17) C pr"#lema de pr"gramare unei pr"#leme de pr"gramare liniara: liniara are urmet"rul ta#el imple$:
B +0 1 +1 1 0 1 1 1
+ 1
+ 1 0
0 +4 1
0 +5 1 1
1
0
0
+ +1 z R c d) =8
0
1%) C pr"#l. De pr"gramare liniara cu cerinte de minim are urm.ta#el
B +0
+ +1 1 z R ! c c) !=8, =1
+1 0 1
1 + 1 1
+ 1 0
0 +4 1
0
0) C pr"#l. De pr"gramare liniara cu cerinte de minim are urm.ta#el
15) C pr"#lema de pr"gramare liniara cu cerinte de minim are urmat"rul ta#el imple$: 1 0 0 B +0 +1 + + +4 +5 +1 1 1 0 1 1 + 1 0 1 1 z R 1 0 0 4 4 1 c a) 2ntra in #aza + ; c) iese din #aza +1 . 18) C pr"#l. De pr"gramare liniara cu cerinte de minim are urm.ta#el imple$: 0 1 0 B +0 +1 + + +4 + 0 1 1 1 0 + 1 1 0 1 1 z R 1 0 0 1 c
'tunci s"lutia "ptima a pr"#lemei este: c) $0 =(0,1,,0) / 1) Bare din elementele urm.ta#el imple$ nu sunt c"recteQ
imple$: + +1 z R c
imple$:
B +0
1 !
+1 0 1 0
+ 1 0 0
1 + 1 1
0 +4 1 6
'tunci: c) !=6 si s"lutia "ptima este $0 =(1,,0,0)/ ; d) pr"#lema admite s"lutie "ptima unica. ) 2n urm.ta#el imple$ pt " pr"#lema de transp"rt cu cerinte de minim: 1 0 0 B +0 +1 + + +4 +5 +1 1 1 0 1 +4 0 1 0 1 1 z R 6 0 1 0 c b) intra in #aza + sau +5 ; c) iese din #aza +4 daca intra +5 ;
B +0
+1 1
1 + 0 1 0
+ 1 0 0
B +0 1 1 0 0 +1 + + +4 +5 + 1 + 1 1 0 1 1 + 1 + 1 1 4 0 1 1 z R z R 7 5 0 0 0 c c b) di!erentele z1c1 si z5c5; b) vect"rul + va iesi din #aza; d) pr"#lema are " in!initate de s"lutii c) val"area !unctiei "#iectiv. "ptime.
) 2n ta#.imple$ de mai "s, cu cerinte de minim pentru !unctia "#iectiv 0 B +0 +1 + + +4 + 0 1 0 1 1 +1 1 1 0 z R 6 0 0 c
0 +4 1 1 4
0 +5 1 1
4) 2n ta#elul simple$ de mai "s
B +0
+ +1
1 0
4 1
+1 1 0 0
+ 0 1 1
1 + 0 1 0
1 +4 1 0
0 +5 0 0 S
0 +6 1 1 1
z R ! 0 ? 1 0 1 c c"nstantele !, , ? , S au urmat"arele val"ri: c) !=7, =1, ? =0, S =1
5) 2n !aza 2 a met"dei cel"r !aze, val"area "ptima a !unctiei arti!iciale g($ a )=1 . 'tunci: b) pr"#lema initiala nu are s"lutie.
c) =1 si pr"#lema admite "ptim in!init. 6) Functia arti!iciala din met"da cel"r d"ua !aze:
7) +r"#l arti!iciala se ataseaza unei pr"#l de pr"gramare: b) in !"rma standard; d) pentru determinarea unei s"lutii de #aza admisi#ile a pr"#lemei initiale.
a) depinde d"ar de varia#ilele arti!iciale intr"duse; c) are c"e!icientii varia#ilel"r arti!iciale egali cu 1. 8) Din ta#elul imple$ de mai "s pt %) Din ta#elul imple$ de mai "s pt 0) 2n ta#elul imple$ de mai "s pt " " pr"#lema de pr"gramare liniara cu " pr"#lema de pr"gramare liniara cu pr"#lema de pr"gramare liniara cu cerinte de minim: cerinte de minim: cerinte de minim:
B +0
1 +1 4
+ 0 1
+ 1 0
0 +4 1 1
0 +5 4
B +0
+1 0 1 0
1 + 1 1
+ 1 0 0
0 +4 0 0 1
0 +5 1 1
4 + 6 + 1 +1 4 +1 0 z R 6 0 0 0 5 z R c 14 0 0 0 0 1 c d) $0 =(0,4,6,0,0) / s"lutie "ptima, dar a) $0 =(1,0,4,,0) / este s"lutie nu este unica. "ptima. c) pr"#lema are " in!initate de s"lutii "ptime. ) 2n rez"lvarea unei pr"#leme de 4) Bantitatile Tij din criteriul de transp"rt met"da c"stului minim se "ptim al pr"#lemel"r de transp"rt se aplica pt determinarea: calculeaza pentru:
B +0
+1
0 + 0 1
1 + 1 0
0 +4 1
0 +5
+ 1 +1 0 1 z R 4 0 0 c a) p"ate intra in #aza +4 sau +5 ; b) va iesi din #aza numai + ; d) s"lutia de #aza admisi#ila gasita este $0 =(0,1,,0,0) / .
5) 2ntr" pr"#lema de transp"rt ciclul celulei care intra in #aza este:
c) unei s"lutii de #aza admisi#ile initiale.
c) celulele ne#azice.
6) "lutia unei pr"#leme de transp"rt este "ptima daca: c) (∀) Tij A 0.
%) C s"lutie de #aza admisi#ila a unei pr"#leme de transp"rt este degenerata daca: b) (∃) $i = 0, cu (i,) celula #azica.
1) +r"#lema de transp"rt de !"rma:
) "lutia de #aza admisi#ila a unei pr"#leme de transp"rt este data de ta#elul:
D1 D D
B1 1
B
B
4
1
1
0
0
0 0
15
B1 B B 1 D1 15 1 4 1 D 5 15 5 D 15
0
15
B4 ?
1 0 0
0 0 0
a) $11 . 41) C s"lutie de #aza admisi#ila a unei pr"#leme de transp"rt cu dep"zite si 5 centre de des!acere este degenerata daca are: b) 7 c"mp"nente egale cu 0; c) cel mult 5 c"mp"nente nenule. 7) C s"lutie de #aza admisi#ila a unei B1 B B pr"#leme 1 D1 de 10 10 transp"rt este data 1 4 1 D de 5 5 ta#elul. 5 D 15
c) echili#rata, daca =5. a) cantitatea t"tala de mar!a care
'tunci: c) = 15, ? = 0. 8) Fie pr"#lema de transp"rt data de 40) Fie pr"#lema de transp"rt: urmat"rul ta#el: B1 B 1 B1 B B D1 0 D1 1 0 D 0 4 D 10 10 0 D
1 15
5 5
0
0
'tunci pr"#lema: d) este neechili#rata.
'plicand met"da c"sPului minim se determina mai intai val"area lui : c) x1 .
tre#uie transp este 65 u.m. d) T1 =4. 4. "lutia "ptima a unei pr"#leme de transp este unica daca cantitatile Tij c"respunzat"are acesteia sunt t"ate: b) strict negative. 4) "lutia unei pr"#leme de transp"rt este "ptima daca: c) (∀) Tij A 0. 45) 2ntr" pr"#lema de transp"rt va intra in #aza varia#ila xij c"respunzat"are cantitatii Tij data de relatia: b) Tij = ma$Kδ kl > 0L
44) Fie s"lutia de #aza admisi#ila a unei pr"#leme de transp"rt data de ta#elul: B1 B B 1 D1 15 5 1 4 D 10 0
46) "lutia de #aza initiala a unei pr"#leme de transp"rt este data de ta#elul:
B1 B 1 D1 0 1 D 10 5 D
48) 2ntr" pr"#lema de transp"rt varia#ila $11 intra in #aza si are urmat"rul ciclu:
'tunci: 'tunci val"area !unctiei "#iectiv !, c"respunzat"are acestei s"lutii este: b) !=65
c) θ = 10 d) $ 1 iese din #aza.
'tunci T1 se calculeaza dupa relatia: c) T1 =1>=1>4 47) 2ntr" pr"#lema de transp"rt cu 4%) 2ntr" pr"#lema de transp"rt, 50) B"e!icientii !unctiei "#iectiv a m dep"zite si m centre de des!acere, n"tiunea de ciclu se ataseaza: unei pr"#leme de transp"rt "arecare varia#ilele ne#azice ale unei s"lutii b) celulel"r ne#azice. sunt: de #aza admisi#ile sunt: c) numere negative. b) t"ate egale cu 0; d) in numar de m − m + 1 . 51) +t " pr"lema de pr"gramare liniara, care din 5) 2ntr" pr"#lema de pr"gramare liniara se !"l"sesc urmat"arele a!irmatii sunt adevarate: varia#ilele de c"mpensare cand: a) " s"lutie de #aza admisi#ila este punct e$trem al a) restrictiile sunt de !"rma GAG; multimii s"lutiil"r admisi#ile; b) restrictiile sunt de !"rma G. b) un punct e$trem al multimii s"lutiil"r admisi#ile este " s"lutie de #aza admisi#ila. 5) C s"lutie de #aza admisi#ila are 54) C pr"#lema de pr"gramare 55) C pr"#lema de pr"gramare c"mp"nente: liniara cu cerinte de minim are mai liniara cu cerinta de minim pentru
a) negative.
multe s"lutii "ptime daca: !unctia "#iectiv, admite "ptim in!init daca: a) z j − c j ≤ 0 si e$ista vect"ri P j care − = a) e$ista vect"ri P j cu t"ate nu !ac parte din #aza cu z j c j 0 c""rd"natele negative, care nu !ac ,care au si c""rd"natele strict parte din #aza si pentru care z j − c j > 0 . p"zitive. 56)2n !"rma standard, " pr"#lema de 57) Daca matricea unei pr"#leme de 58) +entru a aduce " pr"#lema de pr"gramare liniara are: pr"gramare liniara in !"rma standard pr"gramare liniara la !"rma standard, a) numarul restrictiil"r cel mult egal are rangul egal cu nr. restrictiil"r, se !"l"sesc variaile: cu al necun"scutel"r atunci: b) de c"mpensare. b) restrictiile sunt independente. 5%) "lutiile admisi#ile ale unei 60) "lutiile de #aza admisi#ila ale 61) C s"lutie de #aza admisi#ila are pr"#leme de pr"gramare liniara unei pr"#leme de pr"gramare liniara numai c"mp"nente: !"rmeaza t"tdeauna " multime. !"rmeaza " multime: a) nenegative. c) c"nve$a. a) !inita. 6) +entru aplicarea alg"ritmului 6) C s"lutie de #aza admisi#ila a 64) +entru " pr"#lema de transp"rt imple$, s"lutia de #aza initiala a unei pr"#leme de transp"rt cu m care din urmat"arele a!irmatii sunt unei pr"#leme de pr"gramare liniara dep"zite si n centre (mn) are: adevarateQ tre#uie sa !ie: a) cel mult m>n1 c"mp"nente a) admite t"tdeauna " s"lutie de #aza a) admisi#ila. nenule. admisi#ila; c) are t"tdeauna "ptim !init. 65) 2ntr" pr"#lema de transp"rt 66) C pr"#lema de transp"rt pt care 67) -et"da gra!ica de rez"lvare a met"da pertur#arii se aplica atunci e$ista δ ij = 0 pt " varia#ila ne#azica a pr"#lemel"r de pr"gramare liniara se cand: aplica pt pr"#leme: s"lutiei "ptime are: a) s"lutia initiala este degenerata; c) cu d"ua necun"scute. b) mai multe s"lutii "ptime. b) pe parcursul rez"lvarii se "#tine " s"lutie degenerata. 68) +entru " pr"#lema de pr"gramare 6%) C pr"#lema de pr"gramare 70) +entru a aplica alg"ritmul de liniara, multimea ' a s"lutiil"r liniara p"ate avea: rez"lvare a unei pr"#leme de admisi#ile si multimea ' a transp"rt tre#uie ca: s"lutiil"r admisi#ile de #aza satis!ac a) "ptim (!init sau nu) sau nici " relatiile: s"lutie admisi#ila. b) pr"#lema sa !ie echili#rata si sa
c) S A ⊃ S AB d) S A ∪ S AB = S A 71) +t a rez"lva " pr"#lema de transp"rt neechili#rata: a) se intr"duce un n"u dep"zit, daca cererea este mai mare decat "!erta; b) se intr"duce un n"u centru, daca cererea este mai mica decat "!erta. 74) C pr"#lema de pr"gramare liniara de minim are mai multe s"l. "ptime daca avem satis!acut criteriul de "ptim si: b) e$ista vect"ri + care nu !ac parte din #aza, cu z j − c j = 0 , care au c""rd"nate p"zitive.
7) +entru " pr"#lema de pr"gramare liniara care din urmat"arele a!irmatii sunt adevarate: d) multimea s"lutiil"r admisi#ile este c"nve$a. 75) C pr"#lema de pr"gramare liniara de minim admite "ptim in!init daca: a) criteriul de "ptim nu este satis!acut si vect"rii din a!ara #azei au t"ate c""rd"natele negative.
77) 2n !"rma standard, " pr"#l. de pr"gramare liniara are: a) numarul restrictiil"r cel mult egal cu al necun"scutel"r; b) restrictiile de tip ecuatie. 80) "lutiile "ptime ale unei pr"#leme de pr"gramare liniara !"rmeaza t"tdeauna " multime: c) c"nve$a.
78) Daca matricea unei pr"#lema de pr"gramare liniara in !"rma standard are rangul egal cu nr. restrictiil"r atunci: b) restrictiile sunt idependente. 81) C s"lutie de #aza admisi#ila nedegenerata are int"tdeauna c"mp"nentele principale: b) stricti p"zitive.
8) C pr"#lema de pr"gramare liniara p"ate !i rez"lvata cu alg"ritmul imple$ numai daca: a) este in !"rma standard.
84) +entru a rez"lva " pr"#lema de transp"rt tre#uie ca: b) pr"#lema sa !ie echili#rata.
avem " s"lutie de #aza initiala nedegenerata. 7) 2ntr" pr"#lema de pr"gramare liniara nu se !"l"sesc varia#ile de c"mpensare cand: c) restrictiile sunt de !"rma =G d) sistemul initial de restrictii este in !"rma standard. 76) C pr"#lema de pr"gramare liniara de minim admite s"lutie "ptima unica daca: a) criteriul de "ptim este satis!acut si t"ti vect"rii din a!ara #azei au di!erentele z j − c j < 0 ; c) criteriul de "ptim este satis!acut si vect"rii din a!ara #azei cu di!erentele z j − c j = 0 au c""rd"natele negative. 7%) +entru a aduce " pr"#lema de pr"gramare liniara la !"rma standard se !"l"sesc: b) varia#ile de c"mpensare. 8) C pr"#l. De transp"rt cu centre si 4 dep"zite, are s"lutia de #aza initiala nedegenerata, daca aceasta are: b) 6 c"mp"nente p"zitive. 85) -et"da cel"r !aze se aplica: b) +entru determinarea unei s"lutii de #aza admisi#ile a pr"#lemei initiale; d) cu " !unctie "#iectiv di!erita de
!unctia initiala. 86) C pr"#lema de transp"rt: a) are int"tdeauna s"lutie "ptima !inita; c) p"ate avea mai multe s"lutii "ptime. 87) +entru a determina s"lutia 88) +entru aplicarea alg"ritmului 8%) "lutia unei pr"#leme de initiala a unei pr"#leme de transp"rt: imple$ este necesar ca: transp"rt este "ptima daca: a) se aplica met"da diag"nalei; b) sistemul in !"rma standard sa ai#a b) t"ate cantitatile δ ij ≤ 0 d) pr"#lema tre#uie sa !ie echili#rata. cel putin " s"lutie de #aza admisi#ila. %0) Briteriul de "ptim al unei %1) C pr"#lema de transp"rt are %) C pr"#lema de transp"rt are pr"#leme de pr"gramare de minim "ptim in!init: int"tdeauna: este satis!acut daca: b) nici"data. a) "ptim !init; a) t"ate di!erentele z j − c j ≤ 0 ; b) cel putin " s"lutie de #aza d) t"ti vect"rii + din a!ara #azei au admisi#ila. di!erentele z − c ≤ 0 . %) Functia "#iectiv a pr"#lemei %4) Daca !unctia arti!iciala are "ptim %5) 2ntr" pr"#lema de transp"rt arti!iciale are: strict p"zitiv, atunci; c"e!icientii !unctiei "#iectiv a) t"tdeuna "ptim !init; a) pr"#lema initiala nu are s"lutii; reprezinta: d) c"e!icienti negativi. b) in #aza au ramas varia#ilele c) cheltuieli de transp"rt. arti!iciale. %6) 2ntr" pr"#lema de transp"rt v"m %7) 2ntr" pr"#lema de transp"rt va %8) Biclul unei celule ne#azice este avea c"sturi de transp"rt egale cu 0 intra in #aza varia#ila !"rmat: daca: c"respunzat"are lui: a) din cel putin 4 celule; b) pr"#lema initiala este c) dintrun numar par de celule. a) δ ij > 0 , ma$im. neechili#rata. %%) +r"#lemele de transp"rt: a) sunt cazuri particulare de pr"#leme de pr"gramare liniara; c) au numai "ptim !init. 100) 2ntr" pr"#lema de transp"rt criteriul de iesire se aplica: b) celulel"r cu numar par din ciclul celulei care intra in #aza. IV. SERII NMERI!E. SERII DE PITERI ∞ ) Bare din urmat"arele "peratii ) uma unei serii c"nvergente se 1) Fie seria ∑ an c"nvergenta. 'tunci, n =1 p"ate m"di!ica natura unei serii m"di!ica at. cand: as"ciind termenii in grupe !inite: divergente: j
j
b) seria ramane c"nvergenta; d) suma seriei nu se m"di!ica.
a) as"cierea termenil"r seriei in grupe !inite.
∞
5) Fie
sumel"r partiale S n = , atasat seriei ∑ an Daca lim n →∞
∑ a , a ∈ ¡ .Bare
4) Fie seria numerica
n
n =1
n
∑a
a) daca
n
n =1
c"nverge, atunci
lim an n→∞
≠ 0 , atunci seria
∞
atasat seriei
n =1
atunci:
lim an n →∞
a) seria c"nverge; d) seria are suma =
∞
∑a n =1
si
n
lim Sn n→∞
= S . 'tunci
seria: a) c"nverge, daca S ≠ ±∞ ; d) c"nverge, daca =1.
=0
; d) daca
( S n ) n∈¥ sirul ∞
din a!irmatiile de mai "s sunt adevarate: ∞
b) adaugam un nr.!init de termeni; c) suprimam un nr. !init de termeni ai seriei; d) inmultim termenii seriei cu un scalar ennul. 6) Fie ( S n )n∈¥ sirul sumel"r pariale
∑a n =1
n
diverge. ∞
7) Fie seria ge"metrica
∑
an
n=0
∞
cu a&0.
8) eria arm"nica generalizata
'tunci seria: a) c"nverge, pentru U (1,1);
an
∑ n =1
∞
n =1
∑
c"nverge daca
n =1
;
n
diverge.
1) Fie seriile cu termeni p"zitivi ∞
∑a n =1
∑ b ast!el incat
n si
n =1
∞
bn
∞
∑a
n
∞
si
an
∑ b . Daca lim b n =1
n
n →∞
∞
∑a n =1
n
, ( an ≥ 0 ). 'tunci sirul
n
( S n ) n∈¥ este
int"tdeauna: b) m"n"t"n crescat"r. ∞
11) Fie seria cu termeni p"zitivi
∑a
n
n =1
,
an
≥ 0 si seria
∞
∞
a)
n =1
%) Fie ( S n )n∈¥ sirul sume"l"r partiale atasat unei serii de termeni p"zitivi
∞
∑a
≤ bn , (∀)n ∈ ¥ V .'tunci: an
n =1
a
este " serie: b) divergenta, daca 0; c) c"nvergenta, daca 91; d) divergenta, daca =1. ∞
10) Fie seriile cu termeni p"zitivi
∑ n1
n
= 1 , atunci:
d)
∑ b diverge daca n =1
arm"nica
∑ 1n . 'tunci: n =1
∞
n
b)
∑a n =1
n
diverge daca
1) Briteriile de c"mparatie se aplica seriil"r: b) cu termeni p"zitivi.
an
1
≥ . n ∞
15) Fie seria
∑a n =1
n
,
an
≥ 0 . Daca
∞
a) daca
∞
n =1
n
n
n=1
∞
b) daca
14) Fie seriile de termeni p"zitivi
∑ a (! ) ⇒ ∑ b (!) ;
∞
∑a
∞
∑ b ( ") ⇒ ∑ a ( ") . n =1
n
n =1
n
n=1
∞
lim n →∞
n
si
an bn
∑ b , care satis!ac relatia
= k .'tunci:
∞
16) Fie seria cu termeni p"zitivi , si n"tam cu
λ 1 = lim n→∞
an+1 an
si
λ
∑ n =1
an
n a = lim n . n →∞
'tunci: c) λ1 = λ ; d) daca λ = ⇒ λ 1 = . 18) +entru seria cu termeni p"zitivi ∞
∑a n =1
n
avem
lim an n
n →∞
=
.
'tunci:
∞
c)
∑a n =1
n
diverge;
d)
lim
an+1
n →∞
an
=
sirul sumel"r partiale 'tunci:
∑ n =1
( S n ) n∈¥ marginit.
∑a n =1
n
b) sirul
( S n ) n∈¥ c"nverge. ∞
4) Fie seria
∑ n =1
+
(−1) n 1 an , an
≥ 0 ast!el
an =0. 'tunci seria c"nverge incat lim n →∞ daca:
=
1
b)
∑a n =1
n
c"nverge. ∞
∞
lim
n
n =1
n=1
n
∞
∑ b ( ") ⇒ ∑ a ( ") . n =1
n
n=1
n
an +1
n →∞
an
∑a
n
n =1
,
an
≥ 0 avem
= λ . 'tunci : ∞
n =1
∞
d) daca λ ∈ 0, ÷⇒ ∑ an c"nverge. n=1 1
∞
1%) Fie
∑a n =1
n ,
an
≥ 0 ast!el incat
n =1
n
,
an
≥ 0 ast!el incat
∞
d) daca µ ∈ (1, ) ⇒ ∑ an (! )
n c"nverge.
n =1
) 2n aplicarea criteriului lui Waa#e ∞
Duhamel seriei
∑ n =1
an an
≥ 0 se cere
∞
5) eria
∑a
an − 1÷ = µ . 'tunci: n →∞ a n +1
∑a n =1
∞
0) Fie lim
calculul limitei: an − 1÷. c) lim n→∞ a n +1
c"nverge;
n →∞
∑ a (! ) ⇒ ∑ b (!) .
∞
are
lim n an
c) daca λ ≥ ⇒ ∑ an , diverge.
a) an
a)
an
17) +entru seria
an − 1÷ = . 'tunci : n →∞ a n+1
∞
a)
∞
lim
∞
1) eria cu termeni p"zitivi
c) H=1 si
1
= , atunci:
∞
a) daca H (0,1) seriile au aceeasi natura. ∞
an +1
n →∞
n
n =1
b) H= si
lim
∑u n =1
n
este " serie alternata
daca : b) un gu+1 ≤ 0, (∀)n ∈ ¥ ;
∞
) Fie seria alternata
∑ (−1) a cu n =1
n
n
≥ 0 . Briteriul lui Mei#niz a!irma ca seria: a) c"nverge, daca an 9 0 m"n"t"n descrescat"r. an
6) Fie seria de termeni "arecare ∞
∑a n =1
n
,
an ∈ ¡
. Bare din urmat"arele
a!irmatii sunt adevarateQ
b) ( an ) n∈¥ este m"n"t"n descrescat"r. ∞
7) Fie seria
∑a
n
n =1
,
an ∈ ¡
ast!el incat
d) lim
a) seria
∑a n =1
n
an+1
n→∞
∞
un
= (−1)n+1 an , an ≥ 0 .
∞
1
= . 'tunci:
an
c"nverge;
b) seria
∑a n =1
n
c"nverge;
c)
=
lim n an n→∞
∞
8) C serie cu termeni "arecare an ∈ ¡
∑ n =1
, %) Fie seria cu termeni p"zitivi
daca: b)
∑ n =1
∑ n =1
b)
an +1 an lim n →∞
n
∑ n =1
= 1;
are
c) seria c"nverge
∑ a ( x + 1) n =1
n
n
∞
n →∞
n =1
are raza
∑ a ( x − x ) are n =1
n
n
0
= 0 'tunci seria:
n =1
∞
∑
( −1)
n
x n
.
n
n =1
∞
n =1
n
(! ) .
n
n =1
n =1
n
n =1
n ( ") ;
∞
n
n =1
n
.
∑ n =1
an x n , an ∈ ¡
are
an = 0 . 'tunci: limita lim n →∞ b) seria c"nverge, pentru (∀) x ∈ ¡ ; lim n →∞
an+1 an
= 0.
∞
6) eria de puteri
∑ a ( x − x ) are n =1
n
n
0
%) Fie r raza de c"nvergenta a seriei
n
are
∞
∑a
d) µ = rezulta
∑a
µ =0
n =1
diverge;
n
∞
n =1
) eria de puteri an ∈ ¡
n =1
an − 1÷ = µ . 'tunci daca: an +1
n →∞
rezulta
c)
∑a
lim n
n
c"nverge. ∞
n
d)
0) eria cu termeni p"zitivi
(! ) ;
∑ a ( ") rezulta ∑ a
∑a = ∑ a n =1
n
raza de c"nvergenta r 90. 'tunci te"rema lui '#el a!irma ca seria c"nverge pe intervalul: b) ($0r,$0>r)
d) c"nverge, ( ∀) $∈R .
8) Fie seria de puteri
∑
∞
) eria de puteri
de c"nvergenta r=1. 'tunci seria: c) c"nverge, pentru $ ∈ (,0); d) diverge, daca $∈(,∞) 5) eria de puteri
n
∞
∞
lim n an
n =1
∞
c)
pentru $ (1,1) 4) eria de puteri
∑ a (!) ;
∞
an
limita
∑ a (! ) rezulta ∑ a
b) daca
= 1 . 'tunci: an
n =1
(! ) ⇒
∞
∞
an x n , an ∈ ¡
∑ a ( ") ⇒ ∑ a
1
≥ 0 . 'tunci:
an ( ")
1) eria de puteri n →∞
an
a) daca
∞
∞
lim
,
∞
an (! ) si
c) daca
n
∞
an
se numeste semic"nvergenta
∞
∑a ∞
∞
∞
b) daca
are
lim n→∞
an+1 an
∑ a ( x − x ) cu n
n
n =1
0
= +∞ . 'tunci seria:
c) are raza de c"nvergenta r=0; d) c"nverge numai inXpentru $=$0.
∞
7) Fie seria de puteri lim n →∞
an+1 an
∑a x
n
n
n =1
cu
1
= . 'tunci
b) raza de c"nvergenta este r=; d) seria diverge (∀)$∈(∞,)∪(,> ∞) ∞
40) eria de puteri
∑
( −1)
n
x n
are raza
'tunci c"e!icientii seriei sunt dati de relatia: c)
an
= ( −1) n
1 n ∞
41) Fie seria de puteri
∑a x n =1
n
n
, a carei
raza de c"nvergenta este r 9 0 !inita. 'tunci: a) seria c"nverge, (∀) $ ∈(r,r) c)
lim n an
d)
lim
n→∞
n →∞
an+1 an
1
= ; r n = lim n →∞
an
∞
de puteri
∑a x n =1
n
n
de c"nvergenta r=1. 'tunci d"meniul ma$im de c"nvergenta a seriei este: b) $ ∈ (1,13
. 'tunci seria:
a) c"nverge ( ∀) $∈R , daca r = >∞; c) c"nverge int"tdeauna in $ = 0. 4) eria /aPl"r atasata unei !unctii !($) in punctul $0: b) este " serie de puteri; d) are c"e!icientii de !"rma an
=
f ( n ) ( x0 ) nN
44) Fie f : I ⊆ ¡ → ¡ " !unctie "arecare. Bare din c"nditiile de mai "s sunt necesare pt ai atasa acesteia " serie /aPl"r in punctul $0: a) "#ligat"riu $0 ∈ 2; b) !($) admite derivate de "rice "rdin in $0. 45) B"e!icientii numerici ai unei serii -acMaurin atasate unei !unctii !($) au !"rma:
.
4) eria -acMaurin atasata unei !unctii !($):
.
c) este " serie de puteri centrata in 0; d) este un caz particular de serie /aPl"r. ∞
46) eria de puteri
∑a x n =1
∞
47) eria de puteri
n
n
∑ n =1
satis!ace pr"prietatea
n
( −1) x n :
c) are raza de c"nvergenta r =1; d) c"nverge, ( ∀) $∈ (1,1)
lim an n →∞
= 1 . 'tunci seria:
( n)
b)
48) +entru a studia c"nvergenta unei serii alternate se aplica: c) criteriul lui Mei#niz.
∞
∑ a (x − x ) n
∞
n
0
n =1
c"nverge numai in $0, daca si numai daca: a) raza de c"nvergenta r=0; a = >∞. c) lim →∞ n
n
n
51) Fie seria numerica
∑ a pentru n
n =1
a = 0. 'tunci seria: care lim →∞ d) nu se p"ate preciza natura seriei. n
n
=
f (0) nN
c) c"nverge, (∀) $ ∈(1,1) ∞
4%) eria de puteri
∑a x n =1
n
n
este
c"nvergenta pe R numai daca: b) raza de c"nvergenta r = > ∞; c)
50) eria de puteri
an
= 0.
lim n an n →∞
5) Daca pentru sirul numerel"r ∞ S = 1 atunci seria ∑ a : partiale lim →∞ n
n
n
n =1
a) este c"nvergenta si are suma =1.
∞
5) Daca pentru seria
∑a , a
n
n
n =1
≥ 0 sirul
sumel"r partiale este marginit, atunci seria: a) este c"nvergenta. ∞
56) Fie seria
∑ n =1
∞
5%) Fie seria
∑a , a
n
n
n =1
≥ 0 si
an
n 1
= λ .
n →∞
c) este c"nvergenta, pentru λ = d) este divergenta, daca
λ =
1
∑
an x
n =1
n
n→∞
an+1 an
= λ .
∞
55) Fie seria
∑
∑a , a n
n =1
n
≥ 0 si
an+1 − 1÷ = µ . 'tunci seria: →∞ an a) este divergenta, daca µ =0; d) este c"nvergenta, daca µ = > ∞. lim n
∞
an
n =1
, si
lim an =1. n →∞
'tunci
seria: d) nu se p"ate preciza natura seriei; se aplica criteriul lui Waa#e Duhamel. ∞ an − 1÷ =0. 60) Fie seria ∑ a , cu lim →∞ a = n+1 'tunci seria: b) este divergenta, pentru an ≥ 0 . n
n
58) eria
∑a
este divergenta daca:
n
n =1
b)
lim an =1
c)
lim an =
n →∞
n →∞
> ∞. ∞
61) Fie seria
∑ a x si n
n
n =1
lim n →∞
an+1 an
= 0.
'tunci seria: a) este c"nvergenta, (∀) $∈ R .
> ∞.
avem
lim n an n →∞
= λ 6) eria
=ρ. 'tunci raza de c"nvergenta r este: 1
lim
.
∞
c) r=0, daca ρ= > ∞;
a) r= ρ ;
n
n =1
n 1
'tunci seria: b) este divergenta, pentru λ 91.
6) +entru seria
≥ 0 si n
'tunci seria b) c"nverge daca λ 1; c) c"nverge, daca λ =0 57) Fie seria
≥a+
lim n an
∑a , a
∞
n an ( −1) an , an ≥ 0 si lim n→∞
=0. 'tunci seria: c) este c"nvergenta, daca pentru price n ∈ ¥ V .
∞
54) Fie seria
∞
∑ n =1
∞
an x
n
are raza de
c"nvergenta r=0. 'tunci seria: a) este c"nvergenta, numai in $=0. d)
64) Daca seria
∑ a ( x − x ) are raza de n
n
0
n =1
c"nvergenta r=", atunci seria: b) este divergenta, (∀) $ ∈ R YK$0L; c) este c"nvergenta, numai in $=$0.
r=1, daca ρ=1. ∞
a+ 65) eria ∑ a ( x − x ) are lim →∞ a
n 1
n
n
n =1
0
n
∞
= 0.
66) Fie seria numerica
n
'tunci seria: a) este c"nvergenta, (∀) $∈ R
seria: c) diverge, daca
lim an & n →∞
∑ a . 'tunci
67) C serie cu termeni p"zitivi:
0.
b) este divergenta, daca termenul general nu tinde la 0; c) are t"tdeauna sirul numerel"r
n
n =1
partiale crescat"r. ∞
68)Fie seria
∑a , a
n
n
n =1
≥ 0 si
lim
an+1
n →∞
an
= λ .
∞
∑a , a n
n =1
n
n =1
n→∞
lim an n
n →∞
7) Fie seria
= 1.
∑ n =1
an cu lim n
∑a , n
n =1
d) diverge, daca
n →∞
an+1
=
an
lim n an n →∞
= . ∞
∑ n1 n =1
cu ∈ R : b) diverge, daca 1; d) c"nverge, daca = . ∞
∑ a ( x + 1) n
n =1
≥ 0.
∑ a x are n
n
α
∑ (−1) a n
n
n =1
,
an
≥ 0 . Daca
lim an =1, n →∞
atunci:
∞
are raza 81) eria de puteri
de c"nvergenta r=1. 'tunci seria: b) diverge, pentru x ∈ (−∞, 0) ∪ (, +∞) ;
∑ a ( x + 1) n
n =1
n
lim n →∞
an +1
lim an =1;
c) diverge, daca
lim an =
n →∞
> ∞.
n →∞
∞
7) C serie de puteri
∑ a x are raza n
n
n =1
de c"nvergenta r=. 'tunci seria: a) c"nverge pt $ ∈ (,) d) diverge, daca $ 9. 76) Fie " seria "arecare cu termeni n
≥ 0 si
lim n→∞
an+1 an
=1.
'tunci: a = 1; a) lim c) Waa#eDuhamel pt a →∞ det. natura seriei n
n
n
∞
7%) eria de puteri
∑ a ( x + 1) n
n =1
n
, are
raza de c"nvergenta r=1. 'tunci seria: b) diverge, pentru x ∈ (−∞, −) ∪ (0, +∞) ; d) c"nverge, pentru $ ∈ (,0). ∞
, are
raza de c"nvergenta r=∞. 'tunci seria:
n
n =1
= 0;
an
b) diverge, daca
n =1
b) seria diverge c"n!"rm criteriului general de divergenta. n
a) c"nverge, daca
n
= +∞ . 'tunci seria:
∑a ,
≥ 0:
∞
b) c"nverge, numai pentru $=0; d) diverge, pentru $ & 0. 78) Fie seria cu termeni alternanti ∞
an
p"zitivi ∑ a , a
n =1
;
77) eria arm"nica generalizata
80) eria de puteri
an
∞
75) eria de puteri lim n an
n→∞
n →∞
'tunci seria b) este divergenta, daca
≥ 0: lim
an − 1÷ = 0. an +1
∞
= ;
∞
b) diverge, daca
70) C serie cu termeni p"zitivi
b) µ = ; = −∞ µ d) .
=0;
74) C serie de termeni p"zitivi an
∞
≥ 0 si
1
lim n an
n →∞
c) c"nvergenta, daca
n
n
lim n an
b) divergenta, daca
n
lim
≥ 0 este:
a) c"nvergenta, daca
∑a , a
an − 1÷ = µ . 'tunci seria este →∞ a n +1 divergenta, daca:
'tunci seria a) diverge, daca λ > ; b) c"nverge, daca λ < 1 . 71) eria
∞
6%) Fie seria
8) eria de puteri
∑ a x are raza de n
n
n =1
c"nvergenta r =0. 'tunci seria: b) c"nverge, numai pentru $=0;
c) c"nverge, pentru $ ∈ (0,). c) c"nverge, pentru $ ∈ R . V. "N!TII REALE DE N VARIABILE 1) Fie punctele +1(1,1), +(,) ∈ R . ) Fie punctele +1($1,$) si +(P1,P) ∈ R .'tunci distanta 'tunci distanta dintre ele este egala cu: b) d(+1,+)= ( x1 − x ) + ( y1 − y ) . c) d(+1,+) = . 4) Fie sirul ( xn ) n∈ ∈ ¡ cu termenul 5) Fie sirul ( xn )n∈¥ ∈ ¡ cu termenul ( −1) n 1 n general de !"rma xn = n , n + 1 ÷ . 'tunci general x = n , n + 1 ÷÷.'t.: b)sirul b) limita sirului este $0=(0,1) divergeXlimita $0=(0, ∞)
d) diverge, ( ∀) $ ∈R.
) Fie +($1,$) ∈ R ; 'tunci distanta de la C(0,0) la + este: b) d(C,+)= x1 + x .
n 6) Fie sirul de puncte ( xn )n∈ ∈ ¡ . 'tunci sirul: b) c"nverge, daca t"ate sirurile c""rd"natel"r c"nverg; d) diverge, numai daca t"ate sirurile de c""rd"nte diverg. 7) Fie !($,P) " !unctie de varia#ile si n"tam cu lg limita gl"#ala, respectiv l1,l limitele partiale ale acesteia intrun puct ($0,P0). Bare din urmat"arele a!irmatii sunt adevarate: a) daca (∃) lg atunci (∃) l1,l si l1=l=lg; c) daca (∃)l1,l si l1&l atunci nu e$ista lg. x 10) Derivatele partiale ale !unctiei 8) Fie f : " ⊆ ¡ → ¡ si ($0,P0) ∈ D. %) Fie !unctia !($,P)= y . 'tunci: !($,P)=ln($P) sunt: 'tunci derivata partiala a lui !($,P) in ∂ f x ∂ f 1 ∂ f x rap"rt cu varia#ila $ in punctul b) ∂ = ; a) ∂ x = y ; d) ∂ = . x x x y ($0,P0) se calculeaza cu relatia: ∂ f 1 ∂ f f ( x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) d) ∂ x = y . b) ∂ x ( x0 , y0 ) = xlim . →x x − x0 11) Fie !unctia !($,P)=$P, care din 1) Di!erentiala de "rdin 2 a !unctiei 1) Di!erentiala de "rdin 2 a !unctiei urmat"arele egalitati sunt c"recteQ !($,P)=$P calculata in punctul !($,P)=$P>$P in punctul +0(1,1) ∂ f ∂ f +0(1,) are e$presia: are e$presia: b) ∂ = y ; d) = 0 . x ∂ x c) d!(+0)=4d$>4dP b) d!(+0)= 7d$>4dP. 6 x − 14)Di!erentiala de "rdin 2 a !unctiei 15) Fie ($,P) "" !unctie care satis!ace 16) Fie [($,P)= − 6 y ÷hessiana P !($,P) = $e are e$presia criteriul lui chZartz si care are P P ∂ f atasata !unctiei !($,P). Daca +1(,1) c) d!($,P) = e d$ > $e dP; = xy . 'tunci: ∂ x∂y si +(,1) sunt puncte critice ale lui ¥
n
n
0
,
,
¥
∂ f b) ∂ y∂x = xy
17) +unctele critice ale !unctiei !($,P) 18) Functia !($,P) are derivatele partiale "rdinul 2 de !"rma: ∈ B(R ) se "#tin: ∂ f ∂ f ∂ f = 0 b) ∂ x∂y = ∂y∂x ; d) [($,P)= ∂ x c) rez"lvand sistemul ∂ f . x =0 ∂ y
ln y x y + ÷ y
y + x −
y x
,
y
,
∂ f x c) ∂ y = x − y
f : ¡ → ¡ 0) Functia f ( x, y) = x + y + 1 are: b) nici un punct critic. ,
) [essiana !unctiei !($,P) in punctul critic +0, este de !"rma
α
[(+0)= −β
− β −1 ÷ .
'tunci +0 este punct
de ma$im l"cal pentru ! daca: Nici #$a
α
6) Fie [(+0)= − α
− α 1
÷hessiana
!unctiei !($,P) in punctul critic +0. 'tunci pentru :
÷ ÷ ÷ ÷
!,atunci c) +1 nu este punct de e$trem, iar + este punct de ma$im; f : ¡ → ¡ 1%) Functia f ( x, y ) = xy + 1 are: c) un singur punct critic; 0 1 d) hessiana de !"rma [($,P)= 1 0 ÷.
α
β
atasata ) Fie +0 un punct critic al !unctiei !($,P) si hessiana c"respunzat"are !unctiei !($,P) in punctul critic +0. . α α 1 ÷. acestuia de !"rma: [(+0)= 'tunci +0: 1) Fie [(+0)= β
÷ hessiana
1
a) este punct de minim l"cal, daca =β=1; c) nu este punct de e$trem l"cal, daca =1 si β=. 4) [essiana !unctiei !($,P) in punctul critic +0 are !"rma: α + −
[(+0)= −
α
α
α ,
÷÷.
+0 de minim l"cal
pt ! daca: b) 9 si 90; 7) [essiana atasata !unctiei !($,P) y .
are !"rma [($,P)= 6 xy
6xy
6x y
÷; 'tunci
di!erentiala de "rdin 22 a !untiei are
'tunci +0 va !i punct de minim pt !unctia ! daca: c) =
;
1
d) = .
5) Daca !unctia !($,P) are derivatele partiale de "rdin 2 de !"rma ∂ f = x( x + y − 1) ∂ x ∂ f , = y ( x + y − 1) ∂ y
atunci ! are:
d) patru puncte critice. 8) Di!erentiala de "rdin 2 a !unctiei !($,P) are !"rma d!($,P)=($>P)d$> ($>)dP. 'tunci !unctia !($,P); c) are punctul critic unic +(,)
b) =4⇒ nu se p"ate preciza natura lui +0; c) =
1
!"rma: c) # f ( x, y) = y #x + 1 xy #x#y + 6 x y #y
⇒+0 nu este punct de e$trem
l"cal; d) =⇒ +0 este puct de minim l"cal. y
x
α − 1
0
0
÷ 0) Fie [($,P)= x 0 ÷ hessiana 1) Fie [(+0)= 0 α 0 ÷÷ hessiana 0 0 α + 1 atasata !unctiei !($,P). Daca +1(1,1), c"respunzat"are !unctiei !($,P,z) in +(1,1) sunt punctele critice ale lui punctul critic +0. 'tunci: !, atunci a) +0 este punct de minim l"cal, daca c) +1,+ nu sunt puncte de e$trem 91; l"cal. c) +0 nu este punct de e$trem l"cal, ) Fie +0 un punct critic al !unctiei 1 !($,P) si # f ( P0 ) = 4#x − #x#y + #y . daca = ; 'tunci: d) +0 este punct de minim l"cal, daca a) +0 este punct de minim l"cal. =. 5) Functia !($,P) are derivatele 6) Di!erentiala de "rdin 2 a !unctiei partiale de "rdin 2 de !"rma !($,P,z)=$P>Pz are !"rma: ∂ f ∂ f = x − .x + , respectiv = y − 1 . 'tunci b) d!($,P,z)=Pd$>($>Pz)dP>P z;
x
) Fie +0 punct critic al !unctiei !($,P) si # f ( P0 ) = −#x + #y . 'tunci: c) +0 nu este punct de e$trem l"cal. 4) ) Fie +0 un punct critic al !unctiei !($,P,z) si # f ( P0 ) = #x + 4#y + # z . 'tunci: a) +0 este punct de minim l"cal.
7) Di!erentiala de "rdin 2 a !unctiei !($,P,z)=$Pz are !"rma:
,
∂ x
y
%) Fie [($,P)= x 0 ÷ hessiana atasata !unctiei !($,P). 'tunci di!erentiala de "rdin 22 a !unctiei ! are !"rma: d) # f ( x, y) = y#x + 4 x#x#y
∂ y
numarul punctel"r critice ale lui ! este: d) 4. 8) Functia "arecare !($,P,z) satis!ace %) Fie !unctia !($,P)= x + y + x − y si x + y c"nditiile din criteriul lui chZarz. l 1 = lim lim f ( x, y ) , l = lim ( lim f ( x, y ) ) 'tunci au l"c egalitatile: x → 0 y → 0 y →0 x →0 ∂ f ∂ f ∂ f ∂ f limitele iterate ale !unctiei in C(0,0). = = b) ; d) ∂ y∂z ∂z∂ y . ∂ x∂z ∂z∂x 'tunci: d) l1=1, l=1.
(
)
c) d!($,P,z)=Pzd$>$zdP>$Pdz;
40) Fie !unctia !($,P)=e $P .'tunci: ∂ f = ye xy . c) ∂ x 4) Fie [(+0)= 0 −1
0 1 1
−1 ÷ 1 ÷hessiana 1÷
41) Fie !unctia !($,P)= e$>P. 'tunci: ∂ f x + y d) ∂ = e . x
44) Daca +0($0,P0) este punct critic pentru !unctia !($,P) atunci: ∂ f ∂ f b) ∂ ( P 0 ) = 0 si ∂ y ( P 0 ) = 0 ; c) d!(+0)=0 x
, y
α
.
46) Fie [($,P)= β xy
6 xy
6x
÷ matricea
y
hessiana atasata !unctiei !($,P). 'tunci , daca !unctia !($,P) satis!ace criteriul lui chZarz avem: a) =, β=6; 50) Briteriul lui chZarz a!irma ca !unctia !($,P) are: c) derivatele partiale mi$te de "rdinul egale.
5) C !unctie f : ¡ n → ¡ are int"tdeauna: a) n derivate partiale de "rdinul 2; d) n derivate partiale de "rdinul 22.
4) Fie !unctia !($,P,z)=$>P>z. 'tunci: b) !unctia ! nu are puncte critice; c) !unctia ! nu are puncte de e$trem l"cal. α β 45) Fie [(+0)= β 0 ÷ hessiana atasata !unctiei !($,P) in punctul critic +0. 'tunci, daca: Nici #$a
y 47) Fie [($,P,z)= β x 0
x 0
γ z
÷ ÷ 6 yz ÷ α
. z
hessiana atasata !unctiei !($,P,z)= x y + yz . De"arece ! satis!ace criteriul lui chZarz avem: c) =0, β=, γ =. 51) Bare din urmat"arele a!irmatii sunt adevarate: b) "rice punct de e$trem l"cal este punct critic; c) in un punct critic derivatele partiale de "rdinul 2 sunt nule d) punctele de ectrem l"cal se gasesc printre pct. critice. 54) [essiana atasata !unctiei "arecare f : ¡ n → ¡ : a) este " matrice patratica de "rdinul n; d) este !"rmata cu derivatele partiale
atasata !unctiei !($,P,z) in punctul critic +0. 'tunci: c) +0 nu este punct de e$trem l"cal.
48) -et"da multiplicaril"r lui Magrange se !"l"seste la determinarea punctel"r de e$trem l"cal, in cazul !unctiil"r: d) ale car"r varia#ile sunt supuse la " serie de legaturi. 4%) Fie !unctia !($,P)=$>P cu varia#ilele satis!acand legatura $>P=1. 'tunci !unctia lui Magrange atasata are e$presia: c) M($,P)=$>P> λ($>P1) 5) C !unctie f : ¡ n → ¡ are int"tdeauna: d) numarul punctel"r critice si de e$trem nu depinde de n.
55) +unctul +0∈R n este punct critic pentru !unctia f : ¡ n → ¡ daca derivatele partiale: c) de "rdin 2 se anuleaza in +0.
