Sandra Teodorescu
Matematici aplicate î n economie - suport de curs -
EDITURA UNIVERSITĂŢII
„NICOLAE TITULESCU”
BUCUREŞTI
2015
Acest material este destinat uzului studenţilor, forma de învăţământ la distanţă. Conţinutul cursului este proprietatea intelectuală a autorului /autorilor; designul, machetarea şi transpunerea în format electronic aparţin Departamentului de Învăţământ la Distanţă al Universităţii „Nicolae Titulescu” din Bucureşti. Acest curs este destinat uzului individual.
Este interzisă multiplicarea, copierea sau
difuzarea conţinutului sub orice formă. f ormă. Acest manual a fost analizat analiz at si aprobat in sedinta Departamentului de Administrarea Afacerilor si Marketing din data de 16 septembrie 2015.
UNIVERSITATEA „NICOLAE TITULESCU ” DIN BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL PENTRU ÎNVĂŢĂMÂNTUL LA DISTANŢĂ
Sandra Teodorescu
Matematici aplicate în economie
Editura Universităţii „Nicolae Titulescu” Calea Văcăreşti, nr. 185, sector 4, Bucureşti Tel./fax: 0213309032/0213308606 Email:
[email protected]
ISBN: 978-606-751-176-5
INTRODUCERE
Această lucrare se adresează studenţilor anului I ai Facultăţii de Ştiinţe E conomice din cadrul Universităţii Nicolae Titulescu, forma de învăţământ la distanţă. Lucrarea de faţă acoperă materia unui semestru şi este structurată în cinci părţi. Partea întâi, Algebră lineară, cuprinde noţiunile şi rezultatele privind rezolvarea sistemelor de ecuaţii lineare, spaţiile vectoriale, aplicaţii lineare, valori şi vectori proprii. Partea a doua, Programarea lineară, cuprinde metoda simplex şi problema de transport. Partea a treia, Analiză matematică, c uprinde elemente de calcul diferenţial, partea a patra Probabilităţi şi statistică matematică dezvoltă noţiunile de variabilă aleatoare discretă şi de variabilă aleatoare bidimensională . Partea a cincea, conţine elemente de Matematici financiare: dobanda simplă, dobânda compusă, plasamentele în condiţii inflaţioniste , rambursarea împrumuturilor. Obiectivele cursului: Aceste cunoştinţe înarmează pe studentul economist cu instrumentul matematic necesar abordării şi modelării fenomenelor economice cu caracter determinist sau aleator şi ajută la formarea gândirii matematice necesară atât cursurilor de specialitate ce urmează a fi studiate cât şi în activitatea profesională ulterioară.
Competențele conferite: C ursul are ca scop formarea capacitaţii de a manevra conceptele matematice dobândite şi de a utiliza instrumentele matematice în rezolvarea problemelor economice concrete. După parcurgerea acestui curs, studentul va fi capabil să: înțeleagă şi să descriere procesele economice prin prisma fenomenelor aleatoare înţeleagă noţiunile abstracte în strânsă corelaţie cu fenomenele
aleatoare din viaţa economică conştientizeze importanţa cunoaşterii fenomenelor atât în plan concret cât şi în plan abstract matematic conştientizeze faptul că majoritatea fenomenelor care ne înconjoară nu pot fi tratate determinist Structura cursului: Cursul este structurat în 12 unități de învățare, fiecare unitate de învățare, putând fi parcursă în maxim 2 -3 ore. Cursul poate ţine loc şi de culegere de probleme deoarece conţine numeroase exemple rezolvate (teste de evaluare), fiecare capitol
încheindu-se cu un rezumat și un set de probleme propuse spre rezolvare (teste de autoevaluare).
5
Temele de control (Tema 1 și Te ma 2) se regasesc in Calendarul disciplinei, care se găsește in platform E -Lis. Modul de transmitere al temelor de control către tutore se face prin secretariatul Facultatii, în datele comunicate in Calendarul Disciplinei iar rezultatele către studenţi se va face prin platforma eLearning. Pe tot parcursul lucrării am avut în vedere îmbinarea rigorii matematice cu claritatea şi accesibilitatea expunerii astfel încât aceasta să conducă la asimilarea în condiţii cât mai bune a cunoştinţelor de algebră lineară, programare lineară, analiză matematică, probabilităţi şi statistică matematică şi nu în ultimul rând de matematici financiare.
Resurse și mijloace de lucru Instrumentul utilizat, în vederea înţelegerii aspectelor practice şi a rezolvării elementelor de testare, este calculatorul științific. Discipline deservite
Statistică; Microeconomie, Macroeconomie; Management; Econometrie, Analiză economico-financiară. Durata medie de studiu individual Timpul necesar parcurgerii fiecarei UI este estimat la începutul acesteia, cu respectarea indicaţiei conformă căreia o UI ar trebui parcursă în 2 -3 ore de studiu individual. Evaluarea Evaluarea cunoştinţelor acumulate sunt evaluate astfel: 70% din nota finală este reprezentată de nota obţinută la examen i ar restul de 30% o reprezintă nota obţinută la temele de control pe perioada semestrului. Modalitatea de transmitere al temelor de control se va face prin predarea către tutore, a materialulului ce va contine temele de control.
Sandra Teodorescu
6
Cuprins
Unitatea de învăţare 1. SISTEME DE ECUAȚII LINEARE. METODA LUI GAUSS-JORDAN 1.1.Introducere 1.2.Obiective 1.3.Matrice şi determinanţi
1.4.Rezolvarea sistemelor de ecuații lineare 1.5. Metoda Gauss-Jordan 1.6. Aplicații ale metodei Gauss-Jordan 1.7.Rezumat 1.8.Test de autoevaluare 1.9.Bibliografie
Unitatea de învăţare 2. SPAȚII VECTORIALE 2.1. Obiectivele unității de învățare 2.2. Noţiunile de spaţiu vectorial şi subspaţiu vectorial 2.3. Combinaţii lineare. Dependenţa şi independenţa liniară 2.4. Sistem de generatori
2.5. Bază a unui spaţiu vectorial; dimensiunea unui spaţiu vectorial 2.6. Coordonatele unui vector într -o bază dată 2.7. Rezumat 2.8. Test de autoevaluare 2.9. Bibliografie
Unitatea de învăţare 3. APLICAȚII LINEARE 3.1. Obiectivele unității de învățare 3.2. Aplicații lineare 3.3. Matricea ataşată unei aplicaţii lineare 3.4. Valori şi vectori proprii ai unui endomorfism 3.5. Rezumat 3.6. Test de autoevaluare 3.7. Bibliografie
Unitatea de învăţare 4. PROGRAMARE LINEARĂ 4.1. Obiectivele unității de învățare 4.2. Modelul matematic al problemelor de programare lineară. Restricţii. Variabile de decizie. Funcţie obiectiv 4.3.Forma canonică şi forma standard a unei probleme de programare lineară 4.4. Rezumat 4.5. Bibliografie
Unitatea de învăţare 5. METODA SIMPLEX 5.1. Obiectivele unității de învățare 5.2. Metoda Simplex 5.3. Algoritmul Simplex primal 7
5.4. Rezumat 5.5. Test de autoevaluare 5.6. Bibliografie
Unitatea de învăţare 6. PROBLEMA DE TRANSPORT 6.1. Obiectivele unității de învățare 6.2. Modelul matematic al problemei de transport 6.3. Metode de rezolvare a problemei de transport 6.4. Rezumat 6.5. Test de autoevaluare 6.6. Bibliografie
Unitatea de învăţare 7. CALCUL DIFERENȚIAL PENTRU FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE
7.1. Obiectivele unității de învățare 7.2. Funcţii de mai multe variabile 7.3. Derivate parţiale şi diferenţialele funcţiilor de mai multe variabile 7.4. Rezumat 7.5. Test de autoevaluare 7.6. Bibliografie
Unitatea de învăţare 8. EXTREMELE FUNCȚIILOR DE MAI MULTE VARIABILE
8.1. Obiectivele unității de învățare 8.2. Punctele de extrem local ale unei funcţii de două variabile 8.3. Punctele de extrem local ale unei funcţii de trei variabile 8.4. Extreme condiţionate (cu legături) 8.5. Rezumat 8.6. Test de autoevaluare 8.7. Bibliografie
Unitatea de învăţare 9. VARIABILE ALEATOARE 9.1. Obiective
9.2. Variabile aleatoare discrete. Definiţie. Operaţii 9.3. Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare discrete 9.4. Caracteristici numerice ale unei variabile aleatoare discrete 9.5. Variabile aleatoare bidimensionale 9.6. Rezumat 9.7. Test de autoevaluare 9.8. Bibliografie
Unitatea de învăţare 10. DOBÂNDA SIMPLĂ ȘI DOBÂNDA COMPUSĂ 10.1. Obiectivele unității de învățare 10.2. Dobânda simplă 10.3. Dobânda compusă 10.4. Proporţionalitate şi echivalenţa dobânzilor 10.5. Rezumat 10.6. Test de autoevaluare 10.7. Bibliografie 8
Unitatea de învăţare 11. PLASAMENTE ÎN CONDIȚII INFLAȚIONISTE 11.1. Obiectivele unității de învățare 11.2. Structura procentului de plasament
11.3. Inflaţia controlată şi plasarea aparentă 11.4. Inflaţia galopantă şi inflaţia necontrolată 11.5. Inflaţie şi risc catastrofic 11.6. Rezumat 11.7. Test de autoevaluare 11.8. Bibliografie
Unitatea de învăţare 12. RAMBURSAREA ÎMPRUMUTURILOR 12.1. Obiectivele unității de învățare 12.2. Rambursarea împrumuturilor 12.3. Rezumat 12.4. Test de autoevaluare 12.5. Bibliografie
9
PARTEA I. ALGEBRĂ LINIARĂ Unitatea de învăţare 1 SISTEME DE ECUAŢII LINEARE. METODA GAUSS-JORDAN Cuprins 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9.
Introducere Obiective
Matrice şi determinanţi Rezolvarea sistemelor de ecuații lineare Metoda Gauss-Jordan
Aplicații ale metodei Gauss-Jordan Rezumat Test de autoevaluare Bibliografie
Timpul minute
necesar de parcurgere a unității de învățare este de 125
6
1.1. Introducere
Acest capitol este destinat introducerii unor noţiuni de bază din matematica lineară. Matematica lineară este importantă din mai multe motive. Multe fenomene din lumea reală care trebuie studiate matematic sunt lineare sau pot fi aproximate ca fiind lineare. Deci, matematica lineară se aplică în multe domenii. În plus, analiza şi manipularea relaţiilor lineare este mai uşoară decât a relaţiilor nelineare. Mai mult, unele dintre metodele utilizate în matematica nelineară sunt similare cu cele din matematica lineară sau sunt extensii ale acestora. 1.2. Obiective
După parcurgerea unităţii veţi fi capabili să răspundeţi la întrebările:
Ce reprezintă metoda Gauss -Jordan şi la ce foloseşte ea ? Cum se aplică metoda lui Gauss -Jordan la rezolvarea unui sistem de ecuaţii lineare? Cum se aplică metoda lui Gauss -Jordan la calculul inversei unei matrici? Cum se determină rangul unei matrici folosind transformările lineare?
1.3.
Matrice şi determinanţi
În această secţiune vor fi punctate câteva definiţii şi proprietăţi elementare din algebra matriceală. Ne vom limita doar la acele elemente care vor fi folosite în secţiunile şi capitolele următoare.
Definiţia 1.3.1. Se numeşte matrice o mulţime de numere (reale sau complexe) aranjate într -un tablou dreptunghiular având m linii şi n coloane. Spre exemplu, matricea notată cu A m n
a11 a21 A ... am1
este formată din numerele
a12 a22
... am 2
aij , i
... a2 n ... ... ... amn a1n
...
1, 2, ..., m, j
(1.1)
1, 2, ..., n , numere care se
mai numesc elementele matricei A.
Observaţii:
O matrice cu m linii şi n coloane se numeşte matrice de ordinul m n sau matrice de tipul (m, n) . O matrice cu m linii şi n coloane ca cea din formula (1.1) se mai poate nota prescurtat A (aij )i 1, m, j 1, n .
Mulţimea matricilor de tipul (m, n) având toate elementele din mulţimea R a numerelor reale se notează cu M m, n (R ) . În acest curs vor fi folosite numai matrice care au ca elemente numere reale.
Definiţia 1.3.2.
Fie A (aij ) M m, n (R )
=
o matrice pătratică. (
un număr notat det( A) numit determinantul matricii A. 7
) Vom asocia acestei matrici
Dacă A (a11) M 1 (R ) este o matrice pătratică de ordinul întâi, atunci det( A) = a11 .
a11
a22 a12
Determinantul matricii A
a21
det( A)
a
a
a
a
11
21
12
22
a
11a22
a
12 a21
a11 Determinantul matricei A a21 a 31
este numărul
. El se numeşte determinant de ordin 2 . a11 a12 a23 este numărul det A a21 a22 a31 a32 a33
a12
a13
a22 a32
11a22 a33 a21a32a13 a12a 23a31 a13a 22a 31 a 23a 32a11 a 21a12a 33 El
a
a13 a23 a33
se numeşte
determinant de ordin 3. Determinantul de ordin 3 se poate calcula cu regula triunghiului sau regula lui Sarrus.
1.4. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii lineare
Se consideră sistemul de ecuaţii algebrice lineare (sistem Cramer): a x a x ... a n xn b a x a x ... a x b n n ............................................ a n x a n x ... a nn xn bn
în care presupunem că matricea
11
1
12
2
1
1
21
1
22
2
2
2
1
1
2
2
A (aij ) i , j
1,n
este nesingulară (are determinantul
nenul), unde
a11 a 21 A ... an1
a12
...
a 22
...
...
...
an2
...
a1n
este matricea sistemului, ... a nn
a2 n
x1 x2 X ... este vectorul soluţiei sistemului, x b1 b2 b ... este vectorul termenilor liberi. bn n
Sistemul (1) se mai poate scrie matriceal astfel: AX
b
(1.3)
sau, dacă
det A 0
8
(1.2)
1
X A b
(1.4)
Observaţie. Sistemul de ecuaţii considerat este pătratic (numărul ecuaţiilor este egal cu numărul necunoscutelor). Spre exemplu matricea A M n, n ( R) sau notată, pe scurt, A M n ( R) este o matrice pătratică cu n linii şi n coloane. 1.5. Metoda Gauss-Jordan pentru rezolvarea sistemelor de ecuaţii algebrice lineare Metoda lui Gauss-Jordan
(metoda eliminării complete) este o metodă directă de rezolvare a sistemelor de ecuaţii lineare, adică după un număr finit de operaţii logice şi aritmetice, metoda dă soluţia exactă a sistemului. Avantajele acestei metode sunt: se pot afla soluţiile unui sistem de ecuaţii lineare de dimensiuni mari, se po ate programa, se foloseşte la calculul inversei unei matrici, calculul rangului etc. Se construieşte tabelul de mai jos care se completează pe prima coloană cu elementele matricei A, iar a doua coloană cu termenii liberi. După exact n paşi se obţine în stânga jos, matricea unitate, iar în dreapta jos, soluţia sistemului. A
b
. . .
. . .
I n
X
Algoritmul de determinare a soluţiilor unui sistem de ecuaţii lineare folosind metoda Gauss-Jordan
Pornim cu primul element al matricei A, pe care îl vom numi pivot (în cazul în care elementul este nul, putem schimba două linii sau două coloane între ele astfel încât primul element să fie nenul ). Elementele de pe diagonala matricii A vor deveni pe rând pivoţi (în tabel el va apărea subliniat), coloana lui se va numi coloana pivotului iar linia lui, linia pivotului. Regula de transformare a elementelor este următoarea: Elementele de pe linia pivotului se împart la pivot (astfel că, elementul pivot se va înlocui cu 1; )
Elementele de pe coloana pivotului devin 0;
Restul elementelor din tabel se calculează cu regula dreptunghiului. Regula dreptunghiului
Este vorba despre minorul de ordinul doi care are pe diagonala principală elementul care trebuie înlocuit şi elementul pivot: a
b
c
d
sau 9
ad d '
bc
a
a
b
c
d
b'
cb ad c
unde, elementul încercuit este pivotul. Se observă că întotdeauna înmulţirea începe cu pivotul. Se continuă următoarea iteraţie luând drept pivot următorul element nenul de pe diagonală. Observaţie: În cazul în care unul din pivoţi este nul, se pot efectua permutări de linii sau coloane.
Exemplul 1.1.
Să se determine soluţia sistemului de mai jos, folosind metoda lui Gauss-Jordan: 2 x1 x2 x3 2 x1 4 x2 2 x3 10 x 2 x 2 x 10 1 2 3 Rezolvare:
Calculăm determinantul matricei sistemului: 2
1
1
4
1
2
1 2 18 0 2
Cum determinantul este nenul, putem aplica metoda, sistemul are soluţie unică. Construim tabelul şi îl completăm conform regulilor de mai sus:
2 1 1
A
b
1 1 4 2 2 2
2 10 10
Elementele care sunt pe linia pivotului se împart la pivot iar cele de pe coloana pivotului devin 0. Elementele care nu sunt nici pe linia nici pe coloana pivotului se transformă conform regulii dreptunghiului astfel:
Linia 2:
2 4 1 1 9 devine 4 2 2 2 2 1 1 3 devine 2 2 2 2 10 1 2 devine 9 10 2
10
2 2 1 1 3 devine 2 2 2 2 2 1 1 5 devine 2 2 2 2 10 1 2 devine 9 10 2
Linia 3:
Astfel, înlocuind în tabel, obţinem: 1
1
0
9
1
2
3
2
32
0
5
2 2
2
1 9 9
În continuare, scriem prima coloană neschimbată, iar pivotul va fi următorul element nenul de pe diagonală, adică 9 2 . Aplicînd aceleaşi reguli de calcul, rezultă la următorul pas: 1
0
2
0
1
1
0
0
3 3
2
2 2 12
Pentru cel de-al treilea pas şi ultimul, pivotul va fi al treilea element nenul de pe
diagonală, adică 2. Primele două coloane rămîn neschimbate, linia pivotului se împarte la pivot, coloana pivotului se completează cu 0, iar pentru restul elementelor se aplică r egula dreptunghiului: 1
0
0
6
0
1
0
4
0
0
1
6
X
I 3
Prin urmare, am obţinut pe prima coloană, matricea unitate, iar pe poziţia în care iniţial au fost termenii liberi, soluţia sistemului: x 6 x 4 x 6 1
2
3
Aplicarea metodei Gauss-Jordan
a condus la transformarea sistemului iniţial într un sistem echivalent, care se poate citi în ultima iteraţie astfel: x1 0 x2 0 x3 6 0 x1 x2 0 x3 4 . 0 x 0 x x 6 2 3 1
Observaţie: Această metodă nu se aplică doar pentru sisteme de ecuaţii în care matricea sistemului este pătratică sau în care determinantul este nenul. Vom considera în continuare exemple în care: determinantul matricei sistemului este nul, un sistem 11
pentru care matr icea incompatibil.
ataşată nu este pătratică şi un sistem care se va dovedi
Exemplul 1.2.
Să se determine soluţia sistemului de mai jos cu metoda lui Gauss-Jordan: x1 x2 x3 4 2 x1 x2 2 x3 2 x x x 0 2 3 1 Rezolvare:
Metoda 1. Calculăm determinantul matricei sistemului: 1
1
1
2
1
2
1
1
1
0
În acest caz, rangul matricii este 2 deoarece avem un minor de ordinul doi nenul:
no t
Astfel, x3 principale.
1
1
2
1
3
va fi necunoscuta principală iar
x1
0
şi x vor fi necunoscutele 2
Sistemul devine:
x1 x2 4 2 x1 x2 2 2
Construim tabelul şi îl completăm conform regulilor de mai sus: b
A
1
1
4
2
1
2 2
1
1
4
0
3
6
1
0
2
0
1
2
X
I 2
Deci, sistemul fiind compatibil nedeterminat, are soluţia: x1 2 x2 2 , R . x 3 12
Metoda 2. b
A 1
1
1
4
2
1
2
2
1
1
1
0
1
1
1
4
0
3
0
6
0
2
0
4
1
0
1
2
0
1
0
2
0
0
0
0
X
I 3
x1 x3 2 , x 2 2
Rescriind sistemul pe baza datelor din ultima iteraţie, rezultă:
care este un sistem compatibil simplu nedeterminat, având soluţia: x1 2 x2 2 , R . x 3
Exemplul 1.3.
Să se rezolve sistemul de ecuaţii liniare, folosind metoda eliminării complete: 2 x1 x 2 x3 2 x 4 1 x1 x 2 2 x3 x 4 2 3 x 2 x x 3 x 1 2 3 4 1 Rezolvare: b
A 2
1
1
2
1
1
1
2
1
2
3
2
1
3
1
1 2 1 2
1
1
1
2
1
2
2
3
1
3
1
1 0 0
2 1 2
1
3
3
3
3
1 1 1
13
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
Aplicând metoda eliminării complete, am obţinut următoarea formă echivalentă a sistemului: x2 x3 1 , 1 x x x 4 1 3 care este un sistem compatibil dublu nedeterminat. x3
x 4 Soluţia sistemului este: , cu , R . x 1 2 x1 1
Exemplul 1.4.
Să se rezolve sistemul de ecuaţii liniare, folosind metoda eliminării complete: x x x 10 2 x x x 16 3 x 2 x 2 x 24 1
2
1
1
3
2
2
3
3
Rezolvare: b
A 1
1
1
10
2
1
1
16
3
2
2
24
1
1
1
10
0
1 1
1 1
4
0
6
1
0
0
6
0
1
1
4
0
0
0
2 X
I 2
Aplicând metoda eliminării complete, am obţinut următoarea formă echivalentă a sistemului: x1 0 x2 0 x3 6 0 x1 x2 x3 4 0 x 0 x 0 x 2 2 3 1
Din ultima relaţie rezultă că sistemul este incompatibil. 14
1.6.Aplicaţii ale
metodei Gauss-Jordan
1.1.1. Determinarea inversei unei matrici Fie
A M n ( R)
o matrice nesingulară, deci a11 a21 A ... an1
rangA n ,
a12
...
a1n
a 22
...
a2n
... ... ... a nn
... an 2
Se construieşte tabelul de mai jos care se completează pe prima coloană cu elementele matricei A , iar a doua coloană cu elementele matricii unitate. După exact n paşi se obţine în stânga jos, matricea unitate, iar în dreapta jos, inversa matricii A. A
I n
. . .
. . . 1
I n
A
Algoritmul este acelaşi cu cel prezentat mai sus . Exemplul 1.5.
Să se determine inversa matricii: 2 2 1 A 1 1 2
3
0
1
Rezolvare:
Calculând determinantul sistemului det A
2
2
3
1
1
0
1
2
1
1
0
se observă că matricea A este nesingulară, deci inversabilă (exisă inversa matricei A, adică există A 1 ). Construim tabelul în care în locul termenilor liberi ai sistemului trecem elementele matricii unitate. Transformările pe care le efectuăm sunt aceleaşi cu cele prezentate la rezolvarea sistemelor de ecuaţii lineare. I 3
A
2
2
3
1
0
0
1
1 0
0
1
0
1
2
0
0
1
1
15
1
1
3 2
1 2 0
2
0
3
3
2
5 2
1
2
1 2
0
0
1
0
0
1
1
0
34
1 4
1 2
0
0
1
34
1 4
1 2
0
0
0
14
1 4
3 2
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
I 3
4 3 5 3 6 A
4
1
Astfel, inversa matricei A este: A
1
1 4 3 1 5 3 . 1 6 4
Observaţie: Transformările efectuate asupra matricii A au adus matricea A la o formă diagonală, deci am anulat toate elementele ei, mai puţin cele de pe diagonala principală. Cu acelaşi procedeu de diagonalizare se poate determina rangul unei matrici A evitând calculul determinanţilor. 1.1.2. Determinarea rangului unei matrici
Pentru determinarea rangului unei matrici se vor folosi următoarele transformări elementare:
schimbarea liniilor între ele schimbarea coloanelor între ele înmulţirea liniilor sau coloanelor cu o constantă
adunarea elementelor unei linii (coloane) cu elementele altei linii
(coloane)
Observaţii: 1. Orice matrice poate fi adusă la forma diagonală prin transformări 2.
elementare. Se va nota cu Li linia i a matricii şi cu C i coloana i a matricii.
Definiţia 1.6.1. o matrice nenulă. Spunem că matricea A are rangul r şi scriem rangA r dacă A are un minor nenul de ordin r iar toţi minorii lui A de ordin mai mare decât r (dacă există) sunt nuli. Definiţia 1.6.2. Se numeşte matrice diagonală o matrice A M m,n (C ) , A (aij )i, j1,n cu a 0 (eventual) şi cu aij 0, i j. Fie
A M m,n (C )
ii
16
Observaţie: Rangul unei matrici este dat de numărul elementelor nenule din forma diagonală.
Exemplul 1.6.
Pornind de la aceste observaţii să se determine rangul matricei de mai jos: 1 A 0 1 Rezolvare: 1 2 1
A 0 4 1 6
C 1 C 3 C 3
3 L L L 2 3
1
3
1 2 1 0 4 3 0 4 3 L _ L L 3
1 0 0 0 4 3 0 0 0 4C 3C C 3
2
3
2
3
1 3 2
2 4 6
1 2 1 0 4 3 0 0 0 C 2C C 2
1
2
1 0 1 0 4 3 0 0 0
1 0 0 0 4 0 0 0 0
rang A= numărul elementelor nenule din forma diagonală=2.
Observaţii: Relaţia este o relaţie de echivalenţă în sens de păstrare a rangului. Elementul subliniat reprezintă pivotul, el urmând să devină 0 , după aplicarea transformării respective (notată sub relaţia de echivalenţă). Analog se procedează în cazul matricilor nepătratice. Exemplificare:
Exemplul 1.7.
Să se determine rangul matricei de mai jos: 1 1 3 2 A 6 1 2 4 Rezolvare:
Pentru A efectuăm transformările: 1 1 3 2 A 6 1 L 3 L L L 6 L L 2 4 L 2 L L 2
1
2
3
1
3
4
1
4
1 1 0 1 0 7 L L L L 7 L L 0 2 L 2 L L 2
17
1
1
3
2
3
4
2
4
1 0 0 0
0
1 0
0
rangA 2
1.7. Rezumat
Cu ajutorul metodei Gauss-Jordan se pot rezolva sisteme de ecuaţii lineare
precum şi afla inversa unei matrici, dacă admite; În cazul sistemelor de ecuaţii, se scrie matricea ataşată sistemului şi se construieşte tabelul de mai jos care se completează pe prima coloană cu elementele matricei A, iar a doua coloană cu termenii liberi. După exact n paşi se obţine în stânga jos, matricea unitate, iar în dreapta jos, soluţia sistemului, dacă există. A
b
. . .
. . .
I n
X
În cazul inversei unei matrici nesingulare A, se construieşte tabelul de mai jos care se completează pe prima coloană cu elementele matricei A , iar a doua coloană cu elementele matricii unitate. După exact n paşi se obţine în stânga jos, matricea unitate, iar în dreapta jos, inversa matricei A, A . 1
A
I n
. . .
. . .
I n
A
1
Ca şi în cazurile de mai sus, în cazul aflării rangului unei matrici, se aduce
matricea la o formă diagonală, dar de data aceasta prin transformări elementare. Rangul matricei este dat de numărul elementelor nenule din forma diagonală. 1.8. TEST de AUTOEVALUARE Timp necesar: 60 min
1.
Să se calculeze inversele matricilor, folosind metoda Gauss-Jordan:
a)
1 A 0 1
0 1 1
1
1 1
b)
1 1 A 2 1 4 1
2
2
4
2.
Să se rezolve sistemele de ecuaţii lineare folosind metoda Gauss-Jordan:
a)
x 2 y 2 z 1 4 x y 2 z 2 2 x y 3 z 3
3.
Să se determine rangul matricilor:
b)
x y z 0 x 2 y 3 z 1 x 3 y 2 z 14
18
1 A 3 4
a)
2
4
1
2
3
6
6
3 9
b)
2 1 A 4 2 2 1
3 5 1
2 1 8
RĂSPUNSURI: 1.
0 1 1 a) A1 1 0 1 1 1 1
b)
1 1 3 2 3 1 A 0 2 3 1 3 1 1 2 1 2
2. a) x 5 11, y 16 11, z 13 11 3. a) rangA 2
b) x 1, y 3, z 2
b) rangA 2
1.9. BIBLIOGRAFIE
1.
Cenuşă, Gh. şi colectiv
- Matematici pentru economişti ;
Bucureşti,
Editura CISON, 2000
2. 3. 4.
Cenuşă, Gh. şi colectiv - Matematici pentru economişti. Culegere de probleme; Bucureşti, Editura CISON, 2001 Fătu, I., Dinescu, C. - Matematici pentru ec onomişti ; Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1995 Matei, P., - Algebră lineară, Geometrie analitică şi diferenţială, Editura Agir,
5.
Bucureşti, 2000 Popescu, O. şi colectiv - Matematici aplicate în economie ; Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1993
6.
Teodorescu, S., -Matematici economice, Editura Bren, 2005
19
PARTEA I. ALGEBRĂ LINIARĂ Unitatea de învăţare 2 SPAŢII VECTORIALE Cuprins
2.1. Obiectivele unității de învățare 2.2. Noţiunile de spaţiu vectorial şi subspaţiu vectorial 2.3. Combinaţii lineare. Dependenţa şi independenţa liniară 2.4. Sistem de generator
2.5. Bază a unui spaţiu vectorial; dimensiunea unui spaţiu vectorial 2.6. Coordonatele unui vector într -o bază dată 2.7. Rezumat 2.8. Test de autoevaluare 2.9. Bibliografie
2.1. Obiectivele unității de învățare
După parcurgerea unităţii veţi fi capabili să răspundeţi la întrebările:
Ce este un spaţiu vectorial? Cum se determină natura unui sistem de vectori?
Cum se determină coordonatele unui vector într -o bază? Cum se determină relaţia dintre vectorii unui sistem liniar dependent? Cum se schimbă coordonatele unui vector la schimbarea bazei? Durata medie de parcurgere a unităţii de învăţare este de 135 minute.
23
2.2. NOŢIUNILE DE SPAŢIU VECTORIAL ŞI SUBSPAŢIU VECTORIAL.
Fie V o mulţime nevidă şi K un corp nevid (de exemplu, mulţimea numerelor reale sau complexe) cu 0 K şi 1 K elementul zero şi respectiv elementul unitate din K. Definim următoarele operaţii: a) adunarea a două elemente din V astfel: dacă x y V x y V (operaţie internă) b) înmulţirea cu un scalar a unui element din V astfel: fiecărui element x V şi K i se poate asocia un element din V notat cu x V , sau simplu, x . (operaţie externă) "
"
,
" "
Observaţie: În acest context, pe K îl vom numi corpul scalarilor iar elementele sale, numite scalari , se notează de obicei cu litere greceşti. Definiţia 2.2.1.
se numeşte spaţiu vectorial dacă cele două operaţii de la a) şi b) sunt definite şi satisfac următoarele axiome:
Cvartetul (V , K ,,) v1 ) v
2
)
x ( y z ) ( x y ) z , x, y, z V 0V V
astfel încât 0 K x 0V , x V
v3 )
1 K x x, x V
v4 )
( x) ( ) x, , K , x V
v5 )
( x y ) x y, K , x, y V
v
6
)
( ) x x x, , K , x V
Observaţii: 1) Dacă K=R, corpul numerelor reale, atunci V se numeşte spaţiu vectorial real , iar dacă K= , corpul numerelor complexe, atunci V se numeşte spaţiu
ℂ
vectorial complex. 2) Elementele lui V se numesc vectori , şi se notează de obicei cu litere latine. 3) Adunând doi vectori obţinem tot un vector, iar înmulţind un scalar cu un vector rezultatul este tot un vector.
Exemplul 2.1.
Primul şi cel mai important exemplu de spaţiu vectorial este spaţiul Rezolvare: Fie Rn x1 , x2 , ..., xn
xi
n
R
.
. Corpul K este R, corpul numerelor reale.
R
Egalitatea a doi vectori este definită astfel : x x 1 , x2 ,..., x şi y y 1 , y2 ,..., yn sunt egali dacă şi numai dacă xi yi , i 1, n . Definim acum cele două operaţii: dacă x x1, x2 , ..., xn R n şi y y1, y2 , ..., yn R n atunci adunarea vectorilor a) x y se defineşte astfel: n
x y ( x1 y1 , x2 y2 ,..., xn yn ) R n
24
înmulţirea unui scalar cu un vector se defineşte astfel:
b)
x x1 , x2 ,..., xn R n
Acum este uşor să verificăm cele 5 axiome din definiţia 2.1.1. Fie x x1 , x2 , ..., xn R n , y y1 , y2 , ..., yn R n , z z1 , z2 ,..., z n R n trei vectori
v1 )
din
n
R
Asociativitatea adunării se scrie astfel: x ( y z ) x1 , x 2 ,..., x y1 , y 2 ,..., y z 1 , z 2 ,..., z x1 , x 2 ,..., x y1 z 1 , y 2 z 2 ,..., y z x1 y1 z 1 , x 2 y 2 z 2 ,..., x y z x1 y1 z 1 , x 2 y 2 z 2 ,..., x y z x1 y1 , x 2 y 2 ,..., x y z 1 , z 2 ,..., z x1 , x2 ,..., x y1 , y 2 ,..., y z 1 , z 2 ,..., z ( x y ) z n
n
n
n
n
n
n
v
2
)
n
n
n
Vectorul nul
n
n
n
n
n
n
n
0V este
evident vectorul cu toate componentele egale cu zero: 0 Rn
(0,0,...,0)
Dacă înmulţim vectorul x R n cu scalarul 0 K 0 R obţinem: 0 x 0 x1 , x2 ,..., xn 0 x1 ,0 x2 ,...,0 xn 0,0,...,0 0 R v ) Dacă înmulţim vectorul x R n cu scalarul 1 K 1 R obţinem: 3
n
n
1 x 1 x1 , x2 ,..., xn 1 x 1 ,1 x2 ,...,1 xn x1 , x2 ,..., xn x v
4
)
Fie , R
şi
x R n . Atunci:
( x) x1. x2 ,..., xn x1 , x2 ,..., xn x1 , x2 ,..., xn ( ) x v
5
)
Fie
şi
R
x, y R n . Atunci:
( x y ) x1 y1 , x2
y 2 ,..., xn
x1 y1 , x2 y2 ,..., x y x1 , x2 ,..., x y1 , y2 ,..., y x y
yn
n
n
x1 y1 , x2 y2 ,..., x y Fie , R şi x R n . Atunci: 6) ( ) x x1 , x2 ,..., xn x1 x1 , x2 x2 ,..., xn xn x1 , x2 ,..., xn x1 , x2 ,..., xn x x Am verificat cele 5 axiome ale spaţiului vectorial deci, spaţiul R este spaţiu vectorial
n
v
n
n
n
n
peste R.
Definiţia 2.2.2. O submulţime W i) ii)
nevidă, se numeşte subspaţiu vectorial al lui V dacă x, y W x y W şi V
x W , K x W
Observaţie: Cele două condiţii i) şi ii) se pot exprima într -o formă echivalentă: iii)
x
,
y W K x y W ,
,
25
Exemplul 2.2. Fie
R
3
x1, x2 , x3 xi
şi fie W x1, 0, x3 x1, x3
R , i 1, 3
R
3
R
o submulţime. Arăt
că W este subspaţiu vectorial al lui R 3 . Într -adevăr avem îndeplinite cele două condiţii: i) ii)
x1 ,0, x3 y1 ,0, y3 x1 y1 ,0, x3 y3 W x x1 ,0, x3 x1 ,0, x3 W
Exemplul 2.3.
x, y, z
. Arăt că W este subspaţiu vectorial al lui Pentru aceasta e suficient să verific, spre exemplu, condiţia iii) adică Fie W
R
3
x 2 y z 0
x x, y W , , K
3
R
3
R
.
y W
Fie astfel doi vectori din x1 , y1 , z 1 , x2 , y2 , z 2 W . W : x1
2 y1
x2
2 y 2
z 1
Ei satisfac condiţia din definiţia lui
0
z 2
0
Fie , R . Atunci: x1 , y1 , z 1 x2 , y2 , z 2 x1 , y1 , z 1 x2 , y2 , z 2 x1 x2 , y1 y 2 , z 1 z 2 x1 , y1 , z 1 x 2 , y 2 , z 2 W x1 x 2 , y1 y 2 , z 1 z 2 W
x1 x 2 2 y1 y 2 z 1 z 2 0 x1 2 y1 z 1 x2 2 y 2 z 2 0
Deci, W este subspaţiu vectorial al lui
3
R
.
Definiţia 2.2.3. Fie (V , K ,,) un spaţiu vectorial. Aplicaţia dacă sunt îndeplinite următoarele axiome: p1 )
x y z
p 2 )
x y
p3 )
x, x
,
,
x, z
y x
,
,
y z ,
,
, : V V K
se numeşte produs scalar ,
x, y, z V , , K
x, y V
0, x V , x
0V
Definiţia 2.2.4. Spaţiul vectorial dotat cu cel puţin un produs scalar se numeşte spaţiu euclidian. Observaţii: Dacă 1)
V
n
K
spaţiu vectorial peste K , unde K=R sau K=C atunci aplicaţia n
, : K
n
K
K
dată de relaţia: x, y x1 y1 x2 y2 ... xn y n ,
26
x1 , x2 ,..., x K şi y y1 , y 2 ,..., y n K n sunt doi vectori arbitrari din spaţiul K , este produs scalar pe spaţiul dat. În particular, dacă V R n atunci aplicaţia are forma: 2) unde
x
n
n
n
x, y
x1 y1 x 2 y 2 ... xn y n
Exemplul 2.4: Fie vectorii
x
1, 1, 3 ; y 0, 2, 2 R 3 . Calculaţi produsul scalar dintre vectori.
Rezolvare: x, y 1 0 (1) 2 3 ( 2) 8 .
2.3. COMBINAŢII LINEARE. DEPENDENŢĂ ŞI INDEPENDENŢĂ LINEARĂ. Definiţia 2.3.1. Fie (V , K ,,) un spaţiu vectorial. 2 ,..., n sunt n scalari din K , şi v1 , v2 ,..., v sunt n vectori din V atunci i) Dacă 1 , se numeşte combinaţie lineară a vectorilor 1 , 2 ,..., vectorul ... n
v
1 1
cu scalarii
2
v
2
n
1 , 2 ,...,
n
v
v
n
Fie (V , K ,,)
v
n
.
2 ,..., n K astfel încât v v Dacă v V şi există 1 , spune că v este combinaţie lineară de vectorii v1 , v2 ,..., vn . ii)
v
1 1
2 v2
...
v n
n
se
un spaţiu vectorial şi S v 1 , v2 ,..., vn un sistem de vectori din V .
Definiţia 2.3.2. Se spune că sistemul de vectori S este linear dependent dacă există n scalari 1 , 2 ,..., n K , nu toţi nuli, astfel încât 1v1 2 v2
... n vn
0V
(2.1)
Observaţie: Relaţia (2.1) se numeşte relaţie de dependenţă. Definiţia 2.3.3. Se spune că sistemul de vectori S este linear independent dacă din orice combinaţie 2 ,..., n K sunt nuli. lineară de forma (2.1) rezultă că toţi scalarii 1 , Propoziţia 2.1.
Sistemul de vectori S v 1 , v2 ,..., vn este linear dependent
cel puţin unul dintre
vectori este combinaţie lineară de ceilalţi vectori. Demonstraţie: " " Dacă sistemul S v 1 , v2 ,..., vn este linear dependent atunci există scalarii 2 ,..., n K nu toţi nuli pentru care este adevărată relaţia de dependenţă (2.1). 1 , 27
Fie
k
0 K . Multiplicând relaţia (2.1) cu
1
1
vk
Notăm cu i
i k
k
v1
K , i 1, n, i k .
şi izolând v în membrul stâng, obţinem: k
k
2 k
v2 ...
n k
vn
Atunci, relaţia de mai sus devine:
vk 1v1 2 v2 ... n vn vk
n
v
i i
i 1 i k
adică cel puţin unul dintre vectori este combinaţie lineară de ceilalţi vectori. " " Fie v j o combinaţie lineară de ceilalţi vectori din S astfel: n
v j i vi i 1 i j
sau altfel spus: v j
iar scalarii 1, 1 , 2 ,..., n
1 1 2 2
v
v
... n vn
0
nu sunt toţi nuli, deci sistemul de vectori
S v 1 , v2 ,..., vn
este linear dependent.
Exemplul 2.5. Fie vectorii e1 1, 0, 0 , e2 0,1, 0 , e3 0, 0,1 R 3 .
Stabiliţi dacă sistemul de vectori
e1 , e2 , e3 este linear independent. Rezolvare:
În acest caz, relaţia de dependenţă (2.1) este:
1
e1
2 e2 3e3
0
R
3
Înlocuind vectorii obţinem: 1 (1, 0, 0) 2 (0,1, 0) 3 (0, 0,1) 0
R3
1 0 1, 2 , 3 (0, 0, 0) 2 0 0 3
ceea ce înseamnă că sistemul de vectori e1 , e2 , e3 este linear independent.
Observaţie: Considerăm în spaţiul vectorial K
n
peste corpul K , mulţimea de vectori
1 , 2 ,..., , e
e
e
n
unde e1 (1,0,0,...,0,0) e2 (0,1,0,...,0,0) ........................... en ( 0,0,0,...,0,1)
Analog se arată că această mulţime formează un sistem de vectori linear independent. 28
Exemplul 2.6. Fie vectorii v1 1,1, 0 , v2 2, 1,1 , v3 1, 5, 4 R 3 .
1, v
v
2
Stabiliţi dacă sistemul de vectori
, v3 este linear independent.
Rezolvare:
În acest caz, relaţia de dependenţă (2.1) devine: 1v1
2
v2
3 3
v
0 R3
Înlocuind vectorii obţinem: 1 (1,1,0) 2 (2,1,1) 3 (1,5,4) 0 R3 1 2 2 3 , 1 2 5 3 , 2 4 3 (0,0,0)
1 2 2 3 0 1 2 5 3 0 4 0 2 3 astfel, problema s-a redus la rezolvarea unui sistem omogen de trei ecuaţii cu trei
necunoscute. Calculând determinantul sistemului se obţine: 1
2
1
1
1
5
0
1
4
18 0
În acest caz sistemul are soluţie unică şi pentru că sistemul este omogen, soluţia este nulă: 1
2 3
0
adică sistemul v1 , v2 , v3 este linear independent.
Observaţie:
Subsistemul v1 , v2 este deasemenea independent. În general vorbind, un subsistem al unui sistem de vectori linear independent este deasemenea linear independent. Dacă adăugăm la acest subsistem încă un vector, natura sistemului s-ar putea schimba.
Exemplul 2.7. Fie vectorii
v
1
2,
1, 3 , v2
1,1, 1 ,
v
3
2, 2, 2 R 3 .
Stabiliţi dacă sistemul de vectori
v1 , v2 , v3 este linear independent. Rezolvare:
În acest caz, relaţia de dependenţă (2.1) devine: 1v1 2 v2
3v3
Înlocuind vectorii obţinem:
29
0 R3
1 (2,1,3) 2 (1,1,1) 3 (2,2,2) 0 R3
2 1 2 2 3 , 1 | 2 2 3 ,3 1 2 2 3 (0,0,0) 2 1 2 2 3 0 1 2 2 3 0 3 2 0 2 3 1 astfel, problema s-a redus la rezolvarea unui sistem omogen de trei ecuaţii cu trei
necunoscute. Calculând determinantul sistemului se obţine: 2 2 0
2
1
1
1
3
1
2
În acest caz, sistemul este compatibil (fiind omogen) şi nedeterminat. Un minor principal este : 2
1
1
1
30
care corespunde primelor două ecuaţii din sistem şi necunoscutelor
,
1 2
. În acest
not
necunoscute principale şi t R necunoscută secundară . Cum t este arbitrar şi 1 , 2 se vor calcula în funcţie de t există cel puţin un caz vom considera i
,
1 2
3
0, i 1,2 sistemul de vectori v1 , v2 , v3 este linear dependent.
Pentru a stabili relaţia de dependenţă rezolvăm sistemul: 1 0 2 1 2 2t 2 2t 0v1 2tv2 tv3 0 1 2 2t 3 t Cum t este arbitrar, fie t =1, deci relaţia de dependenţă va fi: 0v1 2v2 v3 0 .
Observaţii: 1) Dacă un sistem de vectori, conţine vectorul nul, sistemul este linear dependent. 2) Dacă S este un sistem de vectori linear dependent şi S S ' atunci sistemul S’ este deasemenea linear dependent.
Exemplul 2.8. Fie vectorii v1 1, 2,1 , v2 de vectori
1, v
v
2
2, 1, 2 , v3 4, 3, 0 , v4 (1,1, 2) R 3 . Stabiliţi dacă sistemul
, v3 , v4 este linear independent.
Rezolvare:
În acest caz, relaţia de dependenţă (2.1) devine: 1v1
2 v2 3v3 4 v4
Înlocuind vectorii obţinem:
30
0
R
3
1 (1,2,1) 2 (2,1,2) 3 (4,3,0) 4 (1,1,2) 0 R3
1 2 2 4 3 4 ,2 1 2 3 3 4 , 1 2 2 2 4 (0,0,0) 1 2 2 4 3 4 0 2 1 2 3 3 4 0 2 2 0 1 2 4 astfel, problema s-a redus la rezolvarea unui sistem de trei ecuaţii cu patru necunoscute.Un minor principal este: 1 2 1
2
1
1 1 11 0 2 2 no t
În acest caz vom considera 1 , 2 , 4 necunoscute principale şi 3 t R necunoscută secundară . Cum t este arbitrar şi 1 , 2 , 4 se vor calcul în funcţie de t există cel puţin un i 0, i 1,2,4 sistemul de vectori v1 , v2 , v3 , v 4 este linear
dependent.
Observaţii: Dacă avem sistemul format din vectorii v1 , v2 ,..., vn ; vi R n , i 1, n şi vrem să studiem linear independenţa este suficient să calculăm determinantul de ordin n format din componentele vectorilor aşezaţi pe coloană şi dacă: det 0 vectorii sunt linear dependenţi det 0 vectorii sunt linear independenţi Această metodă o putem aplica numai în cazul în care numărul vectorilor este egal cu numărul componentelor fiecărui vector din sistem. Dacă numărul vectorilor este diferit de numărul componentelor avem că: Dacă numărul vectorilor din sistem este mai mare decît numărul componentelor atunci sistemul este linear dependent.
Dacă numărul vectorilor din sistem este mai mic decît numărul componentelor atunci se utilizează determinantul Gramm, care pentru un sistem format din vectorii v1 , v2 ,..., v ; v R , i 1, n; m n , se defineşte astfel:
n
m
i
G
v1 , v1
v1 , v 2
...
v1 , v m
v 2 , v1
v2 , v2
...
v2 , v m
...
...
...
...
v m , v1
vm , v2
...
vm , vm
eprezintă produsul scalar dintre vectorii vi şi v j . Astfel dacă: unde v , i v j r
det G det G
0 sistemul de vectori este linear dependent; 0 sistemul de vectori este linear independent.
Exemplul 2.9.
Stabiliţi dacă vectorii de mai jos sunt linear independenţi: v1 1, 2,1, 0 , v2 2, 1, 3, 2 , v3 (1, 2, 5, 1) R 4 .
31
Rezolvare:
Observăm că avem 3 vectori din R 4 (numărul vectorilor este mai mic decât numărul componentelor) ceea ce ne duce la construcţia determinantului Gramm: 12
22
12
02
v
,
v
,
v
,
1 2 2 (1) 1 3 0 (2)
v
1 v3
,
v
,
11 2 2 1 5 0 (1)
v
2
, v2
22
2
, v3
v
,
1 v1 1 v2
v
v
3 v3
2 v1
3 v1
( 1) 2
,
3 v2
12
22
32
6
( 2) 2
3
10
18
2 1 ( 1) 2 3 5 ( 2) ( 1) 52
( 1) 2
17
31 6 G
3
3
10
18 17 0
10 17
31
Prin urmare, vectorii din enunţ sunt linear independenţi. 2.4. SISTEM DE GENERATORI
un spaţiu vectorial. Definiţia 2.4.1. Sistemul de vectori S v 1 , v2 ,..., vn constituie un sistem de generatori pentru V dacă orice vector din V este o combinaţie liniară de aceştia, 2 ,..., K astfel încât v v v ... v S . adică: pentru orice v V există 1 , Fie V , K
n
1 1
2 2
n n
Exemplul 2.10.
Considerăm în spaţiul vectorial
n
R
peste corpul
R
, mulţimea de vectori e1 , e2 ,..., e , n
unde e1 (1,0,0,...,0,0) e2 (0,1,0,...,0,0) ........................... en (0,0,0,...,0,1)
Această mulţime formează un sistem de generatori al spaţiului R n . Rezolvare.
Într -adevăr, fie x x 1 , x2 ,..., xn un vector oarecare din R . Avem evidentă egalitatea: 1 ,0,...,0 0, 2 ,...,0 ... 0,0,..., 1 , 2 ,..., 0,0,...,1 1 1 2 2 ... 1 1,0,...,0 2 0,1,...,0 ... n
x
x
x
x
x
n
x
x
x
x
n
x
x e
32
x e
n
x e n
n
Exemplul 2.11.
Să se arate că mulţimea de vectori S v1 , v2 , v3 , v4 , unde 1 1, 3, 2 , v2 1,1,1 , v3 2,2, 1 , v4 1, 0,1 , formează un sistem de generatori pentru spaţiul liniar ( R 3 , R) . v
Rezolvare:
Conform definiţiei , 1 , 2 , 3 , 4 formează sistem de generatori ai spaţiului liniar ( R 3 , R) dacă ()v R 3 , () 1 , 2 , 3 , 4 R astfel încât v v v v v . Fie v a, b, c R 3 ; relaţia de mai sus devine: v
v
v
v
1 1
2
2
3
3
4
4
t
1 2 2 3 4 a b; 3 1 2 2 3 2 c 1 2 3 4
rangul matricei sistemului este 3 şi este egal cu rangul matricei extinse, prin urmare sistemul este compatibil, deci există 1 , 2 , 3 , 4 R astfel încât v
1v1 2v 2 3v3 4 v4
.
Rezultă că v1 , v2 , v3 , v4 este sistem de generatori pentru spaţ iul liniar ( R 3 , R) .
2.5. BAZĂ A UNUI SPAŢIU VECTORIAL. DIMENSIUNEA UNUI SPAŢIU VECTORIAL Fie (V , K ,,) un spaţiu vectorial
şi B {v1 , v2 ,..., v } o mulţime de vectori din V.
n
Definiţia 2.5.1. Spunem că mulţimea B este o bază a spaţiului vectorial V dacă: B constituie un sistem liniar independent în V; 1) 2)
B constituie un sistem de generatori pentru V .
Exemplul 2.12. În spaţiul vectorial R peste corpul n
R
, mulţimea de vectori e1 , e2 ,..., e , unde n
1
(1,0,0,...,0,0)
2
(0,1,0,...,0,0)
e e
........................... e
n
(0,0,0,...,0,1)
este o bază după cum rezultă din exemplele 2.5 şi 2.10. Teorema 1. Orice spaţiu vectorial V are cel puţin o bază; mai mult, orice două baze ale aceluiaşi spaţiu vectorial au acelaşi număr de elemente.
Observaţie:
33
Rezultă, din teoremă, că numărul vectorilor dintr -o bază depinde numai de spaţiul vectorial V şi nu depinde de baza aleasă. Definiţia 2.5.2. Numărul vectorilor dintr -o bază a unui spaţiu vectorial se numeşte dimensiunea spaţiului vectorial V şi se notează cu dimV : n, cardB n dimV 0,V 0V , cardB
Observaţii: 1) Spaţiul vectorial V se numeşte finit dimensional dacă V 0 sau dacă, B fiind o bază a sa, avem cardB= . Spaţiul vectorial menţionat mai sus are următoarea dimensiune: 2)
n
dim R
V
n
2.6. COORDONATELE UNUI VECTOR ÎNTR-O BAZĂ DATĂ Teorema 2. Fie (V , K ,,) un spaţiu vectorial de dimensiune n şi o bază a sa B {v1 , v2 ,..., vn } .
2 ,..., n K astel Atunci, pentru orice vector v din V există şi sunt unici scalarii 1 , n
încât
v
v i
i
.
i 1
Observaţie: Scalarii
1 , 2 ,...,
n
se numesc coordonatele vectorului v în baza B.
Exemplul 2.13.
spaţiu vectorial peste K , şi x x 1 , x2 ,..., xn un vector oarecare din K . Fie e1 , e2 ,..., e o bază a sa, unde n
n
Fie K
n
e1 (1,0,0,...,0,0) e2 (0,1,0,...,0,0) ........................... en (0,0,0,...,0,1)
Atunci avem imediat că x
x
1
, x2 ,..., x
n
x e
1 1
x2 e2
... x
n
e
n
,
şi deci elementele x1 , x 2 ,..., xn , care definesc vectorul x , sunt coordonatele vectorului x în raport cu baza e1 , e2 ,..., en . Exemplul 2.14. Aflaţi coordonatele vectorului v (3,2,0), v R 3 în :
a) baza canonică din spaţiul
3.
R
34
b) în baza B
v1 1,1, 1 , v2 1, 0,1 , v3 0,1, 1 din spaţiul R 3 .
Rezolvare: a) Conform exemplului 2.12, vectorul v (3,2,0) R 3 ,
baza canonică din
se poate scrie în raport cu
3
astfel: v (3,2,0) 3,0,0 0,2,0 0,0,0
R
3 1,0,0 2 0,1,0 0 0,0,1 3e1 2e2 0e3 3
Deci, cordonatele vectorului
v (3, 2,0) R
b)
coordonatele
Fie
1 , 2 , 3
sunt: 3,2,0, chiar componentele vectorului. 3
v (3,2,0) R
lui
,
în
baza
B v1 1,1, 1 , v2 1, 0,1 , v3 0,1, 1 . Aceste coordonate sunt date de egalitatea
de mai jos: v
1v1 2 v2 3v3
3, 2, 0 1 1,1, 1 2 1, 0,1 3 0,1, 1 3, 2, 0 1 2 , 1 3 , 1 2 3 1 2 3 1 3 2 0 2 3 1
sistem compatibil determinat cu soluţia
1
1, 2
2, 3
1.
Deci, coordonatele
vectorului v (3,2,0) R 3 sunt 1,2,1, sau altfel spus, vectorul v în raport cu baza B are coordonatele
.
2.7. REZUMAT Un sistem de vectori {v1 ,..., vn } din () 1 , 2 ,..., n K 1
v (1, 2,1) .
2
... n
se numeşte liniar independent dacă astfel încât 1v1 2 v2 ... n vn 0 , rezultă X
0.
Un sistem de vectori v1 , v 2 ,......, vn din
se numeşte liniar dependent 2 ,..., n K , nu toţi nuli, astfel încât dacă există scalarii 1, X
1v1 2 v2 ... n vn 0 .
Un sistem de vectori din spaţiul liniar
( R n , R)
este liniar independent dacă şi numai dacă rangul matricei avand pe coloane componentele vectorilor este egal cu numărul de vectori.Dacă rangul acestei matrice este mai mic decât numărul de vectori, atunci vectorii sunt liniar dependenţi. Într -un spaţiu vectorial de dimensiune n, orice sistem de n vectori liniar independenţi formează o bază. Coordonatele unui vector intr-o baza se obţin utilizând relaţia: 35
v 1v1 2v2
... n vn
2.8. TEST de AUTOEVALUARE Timp necesar: 60 min 1. Verificaţi dacă vectorii de mai jos:
c)
sunt linear independenţi, în cazul dependenţei aflaţi relaţia de dependenţă; formează sistem de generatori pentru spaţiul din care fac parte; formează bază pentru spaţiul din care fac parte;
1)
v1
1,1, v2 1,2
2)
v1
1,3,1, v2
3)
v1
a) b)
R
2
3,1,1, v3 1,1,2
4)
1,1,1, v2 1,2,2 R 3 3 v1 1,1,1, v2 0,0,0 R
5)
v1
6)
v1
7)
v1
R
3
0,5,1, v2 1,2,3, v3 2,4,6 R3 1,1,1, v2 0, 1, 2, v3 1,3,1, v4 (1,1, 2) 2,1, 0, 0 , v2 1, 0,1,1, v3 0,1, 1,1 R4
R
3
2. Aflaţi coordonatele vectorului v (1,1,1), v R 3 în :
a) baza canonică din spaţiul
3 R .
b) în baza B v1 2, 2, 1 , v2 2, 1, 2 , v3 1, 2, 2 din spaţiul
3.
R
RĂSPUNSURI: 1.
1) vectorii formează bază pentru spaţiul R . 2) vectorii formează bază pentru spaţiul R 3 . 3) vectorii sunt linear independenţi dar nu formează sistem de generatori pentru spaţiul R 3 . 4) vectorii sunt linear dependenţi, relaţia de dependenţă este 0v1 v2 0 R3 , R 2
şi nu formează sistem de generatori pentru spaţiul R 3 . 5) vectorii sunt linear dependenţi, relaţia de dependenţă este: formează sistem de generatori pentru spaţiul
36
3.
R
0v1
2v2
v3
0
R3
dar
6) vectorii sunt linear dependenţi, relaţia de dependenţă este v1 4v2 v3 2v4 0 3 , şi nu formează sistem de generatori pentru spaţiul R
3 R .
2. a) Coordonatele vectorului v (1,1,1), v R 3 în baza canonică din spaţiul 1,1,1. b) Coordonatele vectorului
spaţiul
v (1,1,1),
3
v R
3 R sunt
în baza B din
3 sunt 1 , 1 , 1 .
R
3 3 3
2.9. BIBLIOGRAFIE
1.
Cenuşă, Gh. şi colectiv
- Matematici pentru economişti ;
Bucureşti,
Editura CISON, 2000
2. 3. 4.
Cenuşă, Gh. şi colectiv - Matematici pentru economişti. Culegere de probleme; Bucureşti, Editura CISON, 2001 Fătu, I., Dinescu, C. - Matematici pentru economişti ; Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1995 Matei, P., - Algebră lineară, Geometrie analitică şi diferenţială, Editura Agir,
5.
Bucureşti, 2000 Popescu, O. şi colectiv - Matematici aplicate în economie ; Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1993
6.
Teodorescu, S., -Matematici economice, Editura Bren, 2005
37
PARTEA I. ALGEBRĂ LINIARĂ Unitatea de învăţare 3 APLICAŢII LINEARE
Cuprins
3.1. Obiectivele unității de învățare 3.2. Aplicații lineare 3.3. Matricea ataşată unei aplicaţii lineare 3.4. Valori şi vectori proprii ai unui endomorfism 3.5. Rezumat 3.6. Test de autoevaluare 3.7. Bibliografie
3.1. Obiectivele unității de învățare După parcurgerea unităţii veţi fi capabili să răspundeţi la întrebările:
Ce este o aplicaţie lineară? Cum se determină matricea ataşată unei aplicaţii lineare? Cum se determină valorile şi vectorii propriiai unui endomorfism?
Timpul necesar parcurgerii unității de învățare este de 120 minute
43
3.2. APLICAŢII LINEARE
Definiţia 3.2.1. Fie V şi W două spaţii vectoriale peste acelaşi corp K . Aplicaţia A : V W se numeşte aplicaţie (transformare) lineară condiţiile:
sunt îndeplinite
1) A( x y) A( x) A( y ), x, y V (aditivitate) 2) A( x) A( x), x V , K (omogenitate) sau . 3) A( x y) A( x) A( y), x, y V , , K
Exemplul 3.1.
Să se verifice dacă aplicaţia A : R
2
R
3
A( x1 , x2 ) (3x1 , x2 , x1
x2 )
este aplicaţie liniară. Rezolvare:
Verific condiţiile 1) şi 2) din definiţia 1. Fie
x
( x1 , x2 ) R2
şi y ( y1 , y2 ) R
2
2 1) A( x y) A( x) A( y ), x, y R .
Încep cu membrul drept al egalităţii: A( x) (3x1 , x2 , x1 A( y) (3 y1 , y2 , y1
x2 )
y2 )
A ( x) A( y) = (3 x1 , x2 , x1 x2 ) + (3 y1 , y2 , y1
y2 ) = ( 3 x1 3 y1 , x2
y2 , x1
x2
y1
y2 ) .
Evaluez membrul stâng al egalităţii. Pentru aceasta e necesar să determin componentele vectorului
x y :
x y ( x1 , x2 ) ( y1 , y2 ) ( x1 y1 , x2
A( x y) (3( x1 y1 ), x2
y2 )
y2 , x1 y1 x2
y2 ) = (3 x1 3 y1 , x2
y2 , x1
(x) A( y) . = A 2 2) A( x) A( x) , x ( x1 x2 ) R , R .
A( x)
(3x1 , x2 , x1
Vectorul
x
x2 )
(3 x1 , x2 , x1
x2 ).
are componentele: x ( x1 , x2 ) ( x1 , x2 )
A( x) (3 x1 , x2 , x1 x2 ) A( x) .
Cum condiţiile 1) şi 2) sunt îndeplinite
aplicaţia
44
A
este liniară.
y1
x2
y2 )
Exemplul 3.2.
Verificaţi dacă următoarea aplicaţie este liniară: A : R
2
2
R
2
x ( x1 , x2 ) R
A( x) ( x1 , x2 ),
2
Rezolvare:
Verificăm de data aceasta condiţia 3) echivalentă cu 1) şi 2) din definiţia 3.1.1. Adică: 2 A( x y) A( x) A( y) , x, y R , , R .
Fie astfel,
x
( x1 , x2 ) R2
şi
y
( y1 y2 ) R2 .
Încep cu membrul drept al egalităţii: A( x) ( x12 , x2 ) ( x12 , x2 )
A( y ) ( y12 , y2 ) ( y12 , y2 )
A( x) A( y) ( x12 , x2 ) ( y12 , y2 )
( x12
y12 , x2
y2 ) .
Evaluez membrul stâng al egalităţii. Pentru aceasta e necesar să determin componentele vectorului x y : x y = ( x1 , x2 ) ( y1 , y2 ) ( x1 , x2 ) ( y1 , y2 )
2
A( x y) ( x1 y1 , x2 y2 ) = ( 2 x12
( x1
y1 , x2
2 x1 y1 2 y12 , x2
y2 )
y2 ).
Se observă că A( x y) A( x) A( y)
adică 3) nu s-a verificat
A
nu este transformare liniară.
3.3. MATRICEA ATAŞATĂ UNEI APLICAŢII LINEARE
Fie Vn ,W m
două spaţii vectoriale peste corpul K de dimensiuni n
şi respectiv m, şi B {e1 , e2 ...en } şi B {w1 , w2 ...wm } câte o bază în fiecare din spaţiile date. Atunci, se poate dovedi că există şi este unică o aplicaţie liniară definită pe V
n
cu valori în W m dată de relaţia: 45
m
A(ei ) aij w j ,
i 1, n
(3.1)
j 1
unde aij sunt coordonatele vectorilor A(ei ) în baza B . Matricea
A aij
i 1, n
se
j 1,m
numeşte matricea ataşată aplicaţiei liniare Dacă notăm cu
A .
A(e1 ) w1 şi relaţia (3.1) se va transcrie matriceal astfel: A(e) W A(e ) w m n
A(e) A t W
Dacă
A : Vn
W m
(3.2)
este o aplicaţie liniară şi x V care se scrie n
x
unde x i sunt coordonatele lui
n
x e , i
i
i 1
în baza B , şi dacă y W m admite scrierea m
y
y
j
w j
în baza B
j 1
atunci avem următoarea corespondenţă: n
a x ,
y j
i
ij
j 1, m .
(3.3)
i 1
Relaţia (3.3) exprimă legătura dintre coordonatele vectorului x şi imaginea acestui vector prin aplicaţia A. y Dacă notăm cu y y
1
m
şi
x x x
, relaţia (3.3) are următoarea transcriere
1
n
matriceală: y
A
x
(3.4)
Exemplul 3.3.
Să se scrie matricea ataşată aplicaţiei liniare A : R3 R3 A( x) (2 x1 , x1 x2 , x1 x2 3x3 ) .
Rezolvare: Fie {e1 , e2 , e3} baza canonică din
R
3
. 46
A(e1 ) (2,1,1) 2e1 e2 e3 A(e2 ) (0, 1,1) 0 e1 e2 e3 A(e3 ) (0,0,3) 0 e1 0 e2 3e3
A(e1 ) 2 1 1 e1 2 0 1 A(e) A(e2 ) 0 1 1 e2 A 1 1 0 A(e ) 0 0 3 e 1 1 3 3 3 sau: A( x) y,
A
2 0 1 1 1 1
Fie
V
y ( y1 , y2 , y3 )
y1 2 x1
y2
x1 x2
y3
x1 x2
3x3
0
. 3
0
3.4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII AI UNUI ENDOMORFISM spaţiu vectorial peste K , K RVC şi A : V V un endomorfism
(aplicaţie liniară şi injectivă).
00:30
Definiţia 3.4.1. Un scalar un vector
K se numeşte
a.î.
v V \ 0v
valoare proprie a endomorfismului A(v) (v) .
A
dacă există cel puţin
Definiţia 3.4.2. Orice vector
care satisface relaţia de mai sus se numeşte vector propriu
v V \ 0v
al endomorfismului Definiţia 3.4.3.
A .
Mulţimea valorilor proprii ale unui endomorfism endomorfismului
A
se numeşte spectrul
A .
Exemplu rezolvat.
Dacă A : R2 R2 1.1)
A( x, y) ( y, x) , atunci A(1,1) 1 (1,1) , deci
1
1
este valoare proprie iar
v1 (1,1) este vector propriu al endomorfismului A . 1.2) A(1,1) (1, 1) (1)(1.1) deci 2 1 este valoare proprie iar
este vector propriu al endomorfismului A . Proprietatea 3.4.1. p1) Unui vector propriu îi corespunde o singură valoare proprie. 47
v
2
( 1,1)
p2)
Dacă
este vectorul propriu corespunzător valorii proprii , atunci toţi vectorii k v, k 0 , sunt vectori proprii corespunzători acestei valori proprii. Demonstraţie: p1) Reducere la absurd. Presupunem că unui vector propriu îi corespund două valori proprii
v
1 , 2 , 1
2
A(v) 1v 1v 2 v (1 2 ) v 0 ( ) A v v 2
v
dar
v
0
v
1
p2) Avem A(kv)
2
presupunerea
aplicatie liniara
kA(v)
e falsă.
vvector propriu
propriu pentru endomorfismul
k ( v) ( kv) kv 0v
k 0
kv este vector
A .
Consecinţă (la p2) Unei valori proprii
îi pot corespunde o infinitate de vectori proprii.
Definiţia 3.3.4. Mulţimea
S ( )
kv / A(v)
propriu generat de
A
v, este valoare proprie, k K se
numeşte subspaţiu
(mulţimea tuturor vectorilor proprii corespunzători valorii proprii
).
Proprietatea 3.3.2.
Subspaţiile proprii corespunzătoare valorilor proprii distincte sunt distincte.
Demonstraţie: Fie şi presupunem că subspaţiile proprii nu sunt distincte, adică 1
2
S (1 ) S (2 ) A(v) 1v v
Fie
şi A(v) 2 v 1v 2 v (1 2 )v 0v
0v avem S (1 ) S (2 )
s. v. K, un spaţiu de
pentru
1
2 .
1 2
v 0v
dimensiune n , şi fie o bază a sa B e1 , e2 ,..., en . Fie
endomorfismul A : Vn V n , despre care am văzut că i se poate ataşa o matrice A ,
unică, în baza B .
48
Definiţia 3.4.5. Prin valori şi vectori proprii ai matricii A , înţelegem valori şi vectori proprii ai endomorfismului
A .
Definiţia 3.4.6. Matricea A I n Mn, n (K ) A
Mn,n (K ) ,
se numeşte matricea caracteristică ataşată matricii
iar determinantul det( A
I n )
se numeşte determinantul caracteristic
al matricii A .
Observaţie: Dacă dezvoltăm determinantul de mai sus, obţinem un polinom de gradul
n
, de
forma: Pn ( ) det( A
In )
c0 n
c1 n
1
... cn ,
ci K ,
i 1, n .
Definiţia 3.4.7. Polinomul
P n ( )
se numeşte polinom caracteristic ataşat matricii A .
Definiţia 3.4.8. Ecuaţia det( A I n ) =0 se numeşte ecuaţie caracteristică ataşată matricii A , iar rădăcinile ecuaţiei carcateristice se numesc rădăcini caracteristice ale matricii A . Proprietatea 3.4.3. Un scalar
K este
valoare proprie a matricii A Mn (K )
verifică ecuaţia
caracteristică: det( A I n ) =0.
Observaţie: Mulţimea valorilor proprii, ale matricii A , coincide cu mulţimea rădăcinilor ecuaţiei caracteristice, iar subspaţiile proprii corespunzătoare fiecărei valori proprii în parte sunt formate de soluţiile ecuaţiilor matriceale.
49
Exemplul 3.4.
Să se determine valorile şi vectorii proprii corespunzători matricei A M2 (R), A
1 2 . 4 1
Rezolvare:
Rezolvăm ecuaţia caracteristică: 1
2 0 1 0 det 0 4 0 4 1 1
det( A I 3 ) 0 det
1
2
4
1
1
3,
2
0 (1 )(1 ) 8 0 1 2 8 2 9 3 sunt valorile proprii pentru A .
2
Determinăm vectorii proprii corespunzători fiecărei valori proprii în parte: Pentru
1
A v1
a b
a
căutăm vectorul v1 R 2 , v1 b
3
a. î.
1 2 a a a 2b 3a 2a 2b 0 v 3 b 4 1 b 4a b 3 b 4 a 4b 0 1 1
0a
b.
a a Deci v1 v1 , b a S (3) a, a a R a 1,1 a R . Unul din
proprii
1
Pentru
2
A v2
3 este 1,1 (pentru
3
a
1 ).
a
căutăm un vector v2 R2 , v2 a.î. b
1 2 a a a 2b 3a 4a 2b 0 2 v2 3 b 4 1 b 4a b 3b 4a 2b 0
4a 2b 0 b 2a . Deci
vectorii proprii corespunzători valorii
v2
a a v , b 2a 2
50
S (3)
a,
2a
valorii proprii
2
a 1, 2 a
a R
3 este
. Unul din vectorii proprii corespunzători
R
1, 2 (pentru
a
1 ).
Exemplul 3.5.
Să se determine vectorii şi valorile proprii ataşaţi matricii A
1 0 0
3 2 0
2
. 3 2
Rezolvare:
Ecuaţia caracteristică ataşată matricii A este: 1
3
2
0
2
2
0
0
3
det( A I 3 ) 0
1
1, 2
Pentru
A v1
1
1v1
2, 3
1
3
0 1 2 3 0
sunt valorile proprii ataşate matricii A .
căutăm vectorul
v1
R3 ,
v1
a b a.î. c
1 3 2 a a a 3b 2c a a a 0 2 2 1 b b 2b 2c b b 0 , a R . 0 0 3 c 3c c c c 0
a a Deci v1 b v1 0 , c 0 S (1) a, 0, 0 a R a 1,0,0 a R .
Unul din vectorii proprii corespunzători valorii proprii 1
Pentru
A v2
2
2 v2
2
căutăm un vector
v2
R , 3
v2
1 este
1,0,0 (pentru
a b a.î. c
1 3 2 a a a 3b 2c 2a a 3b 0 2 2 b 2 b 2b 2c 2b b b , b R c0 0 0 3 c c 3c 2c 51
a
1 ).
Deci
S (2)
3b, b, 0 b
valorii proprii
Pentru
A v3
3 v3
Deci
S (3)
3
v3
3
2
v2
b 3,1,0 b
R
a 3b b v b , c 0 2
. Unul din vectorii proprii corespunzători
R
2 este 3,1, 0 (pentru
căutăm un vector
v3
R3 ,
b
v3
1 ).
a b a.î. c
1 3 2 a a a 3b 2c 3a a 4c 0 2 2 3 b b 2b 2c 3b b 2c , c R 0 0 3 c c cc 3c 3c
a 4c b v 2c , c c 3
4c, 2c, c c
c 4, 2,1 c
R
corespunzători valorii proprii
3
. Unul din vectorii proprii
R
3 este
4,2,1 (pentru
c
1 ).
3.5. Rezumat Aplicaţia
A : V
W
îndeplinite condiţiile:
se numeşte aplicaţie (transformare) lineară
sunt
1) A( x y) A( x) A( y), x, y V (aditivitate) 2) A( x) A( x), x V , K (omogenitate) sau . 3) A( x y) A( x) A( y), x, y V , , K
Oricărei aplicaţii lineare
A : V
W
i se poate ataşa o matrice,
A
a ij
i 1, n
,
j 1,m
numită matricea ataşată aplicaţiei lineare. Matricea ataşată unei aplicaţii lineare se poate afla folosind baza canonică {e1 , e2 ...en } din
ℝ
e1 A(e1 ) A(e2 ) e A 2 sau y A x . şi utilizând relaţia A(e) ... ... A(e3 ) en
52
3.6. TEST de AUTOEVALUARE Timp necesar: 60 min 1. a) b)
Să se scrie matricele ataşate aplicaţiilor liniare de mai jos: A : R3
R
3
, A( x) ( x1 , x1 x2 x3 , 2 x2 x3 )
A : R3
R
3
, A( x) ( x1 x2 , x2 x3 , x3 x1 )
2.
Determinaţi care din următoarele aplicaţii sunt aplicaţii liniare:
a)
A : R
2
R
2
, A( x) ( x1 , x1 x22 ), x ( x1 , x2 ) R2
b)
A : R
c)
A : R
2
3
R
R
3
2
2 , A( x) ( x1 x2 , x1 x2 , 2 x1 ), x ( x1 , x2 ) R
, A( x) ( x1 2 x3 ,3 x2 ),
x
3 3 d) A : R R , A( x) ( x1 1, x1 , x1 x2 x3 ),
3. a)
A
2 1
( x1 , x2 , x3 ) R3
2
1 3
0
1
1
2
0
Să se găsească valorile şi vectorii proprii ai endomorfismelor:
a) A : R R , 2
b)
x
Să se găsească valorile şi vectorii proprii ai următoarelor matrici.
1 b) A 2 3 4.
( x1 , x2 , x3 ) R3
A : R
3
2
R
3
A( x) ( x1 2x2 , 2x1
, A( x) (2 x1 2 x2
4x2 ),
x ( x1 , x2 ) R
x3 ,5x1 3x2 3x3 , x1
RĂSPUNSURI: 1 0 0 1.a) Α 1 1 1 0 2 1 1 b) Α 0 1
1
0
1
1
0
1
2. a) nu este aplicaţie lineară; b) este aplicaţie lineară; c) este aplicaţie lineară; d) nu este aplicaţie lineară.
3. a) 1 3, 2 0, v1 2b, b , v2 a, a unde a, b R 53
2
2x3 ), x (x1 , x2 , x3 ) R3
b) 1 1, 2
2, 3
4, v1
0, b, 0 , v2 a, 0, a , v3 3b, 4b, 3b unde
a b R ,
4. a) 1 0, 2 5, v1 2b, b , v2 a, 2a unde b) 1, v b, b, b unde
a b R ,
b R
3.7. BIBLIOGRAFIE
1.
Cenuşă, Gh. şi colectiv
- Matematici pentru economişti ;
Bucureşti,
Editura CISON, 2000
2. 3. 4.
Cenuşă, Gh. şi colectiv - Matematici pentru economişti. Culegere de probleme; Bucureşti, Editura CISON, 2001 Fătu, I., Dinescu, C. - Matematici pentru economişti ; Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1995 Matei, P., - Algebră lineară, Geometrie analitică şi diferenţială, Editura Agir,
5.
Bucureşti, 2000 Popescu, O. şi colectiv - Matematici aplicate în economie ; Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1993
6.
Teodorescu, S., -Matematici economice, Editura Bren, 2005
54
Unitatea de învăţare 4 PROGRAMARE LINEARĂ
Cuprins 4.1. Obiective 4.2. Modelul matematic al problemelor de programare lineară. Restricţii. Variabile de
decizie. Funcţie obiectiv 4.3.Forma canonică şi forma standard a unei rrobleme de programare lineară 4.4. Rezumat 4.5. Bibliografie
4.1. Obiective
După parcurgerea unităţii veţi fi capabili să: vă familiarizaţi cu metodele de optimizare, specifice cercetării operaţionale, utilizate în soluţionarea aplicaţiilor din domeniul economic vă formaţi o bază minimă necesară unui specialist în domeniul economic aplicaţi instrumentele de bază în veder ea folosirii lor la alte discipline puneţi o problemă de programare lineară sub o formă matematică aduceţi modelul matematic al unei probleme de programare lineară la forma canonică sau la forma standard
Timpul necesar de parcurgere a unității de învățare este de 100 minute
71
4.2. MODELUL MATEMATIC AL PROBLEMELOR DE PROGRAMARE
LINEARĂ. RESTRICŢII. VARIABILE DE DECIZIE. FUNCŢIE OBIECTIV.
Se consideră m resurse materiale (materii prime, materiale, forţă de muncă, investiţii de capital) notate prin R1 , R 2 , ..., Rm ce se utilizează C 1 , C 2 ,..., C n .
pentru a produce n produse notate prin
Se cunosc cantităţile disponibile de resurse, notate prin b1 , b2 ,..., b ; beneficiile unitare obţinute prin realizarea produselor, notate prin c1 , c2 ,..., c ; coeficienţii tehnologici, notaţi prin aij , ce reprezintă cantitatea din resursa Ri , i 1, m , m
n
ce se consumă (utilizează) pentru a se r ealiza unitatea de produs C j , j 1, n. Scopul acestui proces economic constă în determinarea cantităţii din fiecare produs, ce trebuie produsă pentru a se obţine beneficiul total maxim. În vederea construirii modelului matematic datele problemei se reprezintă în următorul tabel:
Obiective
C 1
C 2
....
...
R1
a11
a12
....
.
.
.
....
.
...
.
.
.
.
.
....
.
...
.
.
Ri
ai1
ai 2
....
aij
...
.
.
.
....
.
...
.
.
.
.
.
....
.
...
.
.
Rm
am1
C j
C n
Disponibil
Resurse
Beneficii
c1
am2
c2
....
....
...
a1 j
a1n
ain
amj
...
amn
c j
...
cn
B1
Bi
Bm
Tabel 1. Fie x j , j
1, n
cantitatea ce trebuie realizată din produsul C j , j
1, n .
Problema de programare lineară (pe care o vom nota prescurtat cu p.p.l.) optimizează (maximizează sau minimizează) o funcţională lineară, numită “funcţie obiectiv ” şi o mulţime de egalităţi şi/sau inegalităţi lineare numite “restricţii ”.
Exemplul 4.1.
O firmă produce matase de două tipuri : A şi B. Profitul la un balot de matase de tipul A este de 20 € iar unul de tipul B este de 16 €. Firma are un stoc de 1400 kg de mătase roşie, 1500 kg de mătase neagră şi 1800 kg de mătase verde. Pentru un balot de matase de tipul A sunt necesare 4 kg de mătase roşie, 5 kg de mătase neagră şi 2 kg de mătase verde. Cantităţile corespunzătoare pentru un balot de mătase de tipul B sunt respectiv: 4 kg, 3kg, 6 kg. Cîte baloturi de mătase de tipul A respectiv B trebuie să producă firma pentru a -şi maximiza profitul?
72
00:00
Formularea matematică a problemei Vom nota cu x numărul baloturilor de tipul A şi cu x numărul baloturilor de 1
2
tipul B. Aceste variabile le vom numi variabile de decizie. Profitul total realizat de x1 şi x 2 este : 20 x1 +16 x 2 . Funcţia obiectiv reflectă obiectivul problemei: maximizarea profitului total. Una din restricţii, cea referitoare la stocul de mătase roşie este că acesta nu trebuie să depăşească 1400 kg: 4 x1 +4 x2 ≤1400. Analog, restricţiile referitoare la
stocul de mătase neagră: 5 x +3 x ≤1500, şi la stocul de mătase verde: 2 x +6 x ≤1800, şi bineînţeles cerinţele minime: x1 0, x2 0 . 1
2
1
2
Problema se poate scrie astfel: max( f ) 20 x1 16 x 2
Observaţii: Funcţia obiectiv 1.
f ( x )
4 x1 4 x 2 1400 5 x1 3 x 2 1500 2 x1 6 x 2 1800 x1 0 x 2 0
şi restricţiile sunt expresii lineare ale variabilelor de
decizie. 2.
3.
Restricţia poate fi: - inegalitate: “mai mic sau egal” (≤), “mai mare sau egal” (≥) - egalitate: (=) Toate variabilele unei p.p.l. sunt nenegative. Această proprietate reflectă faptul
că programarea lineară este folosită în probleme reale (variabilele negative fiind ilogice).
Exemplul 4.2.
O firmă fabrică două produse A şi B. Pentru fiecare produs este necesară executarea a 3 operaţii de prelucrare la 3 utilaje, U 1 , U 2 , U 3 . Timpul necesar pentru prelucrarea unui produs A este de 10 min la utilajul
U 1 ,
7 min la utilajul U 2 , 5 min la
utilajul U 3 , iar pentru prelucrarea unui produs B este de 8 min la utilajul
U 1 ,
11 min la
şi 13 min la utilajul U 3 . Procesul de fabricaţie este condiţionat de următoarele nor me lunare: - utilajul U poate funcţiona cel mult 160 ore/luna ; - utilajul U 2 poate funcţiona cel mult 150 ore/lună ; - utilajul U 3 trebuie utilizat la maxim, adică 280 ore/lună ; - din producţia secţiei produsul B trebuie să aibă o pondere de cel puţin 30% utilajul
U 2
1
Beneficiul realizat dintr-o unitate de produs A este 100 u.m. iar cel realizat dintr-
o unitate de produs B este de 90 u.m. Să se determine producţia lunară a firmei pentru care se realizează beneficiul maxim.
73
Construirea modelului matematic Vom nota cu x1 cantitatea din produsul A ce trebuie fabricată şi cu x 2 cantitatea din produsul B ce trebuie fabricată. Aceste variabile le vom numi variabile de decizie. Atunci, beneficiul realizat va fi : 100 x1 +90 x 2 . Funcţia obiectiv reflectă obiectivul problemei: maximizarea beneficiului. Una din restricţii referitoare la timpul necesar de funcţionare al utilajului U 1
pentru fabricarea cantităţilor x1 şi x 2 este: 10 x1 +8 x 2 minute. Analog, restricţiile referitoare la timpul necesar de funcţionare al utilajului U 2 pentru fabricarea cantităţilor şi x este: 7 x +11 x minute şi U trebuie să funcţioneze 5 x +13 x minute. x Întreaga producţie este x1 + x 2 , iar 30% din întreaga producţie înseamnă 1
30 100
1
2
3
2
( x1 + x 2 )=0,3( x1 + x 2 ).
Evident că
1
x1
şi x
2
2
sunt pozitive , avînd în vedere
seminficaţia lor. Problema se poate scrie astfel:
max( f ) 100 x1 90 x2 10 x 8 x 160 60 1 2 7 x1 11x2 150 60 5 x1 13 x2 280 60 x 0,3( x x ) 1 2 2 x1 0 x2 0
Definiţia 4.1.1. În general p.p.l. este definită astfel: min( f ) sau max( f ) c1 x1 c2 x2 ... cn xn a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n (, , )b1 a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n ( , , )b2 .......... .......... .......... .......... .......... ... a m1 x1 a m 2 x 2 ... a mn x n ( , , )bm x j 0, j 1, n unde c j , bi , aij , i 1, m, j 1, n ,
(4.1)
sunt constante care se determină din datele
problemei iar x j sunt variabilele de decizie.
Pentru fiecare restricţie este valabilă doar una din inegalităţile: , , . Restrâns, problema se poate scrie astfel: n opt ( f ) c j x j j 1 n aij x j ( , , )bi , i 1, m j 1 x j 0, j 1, n
(4.2)
unde -
prima relaţie opt(f) reprezintă max(f) sau min(f); a doua relaţie reprezintă sistemul de restricţii ; 74
-
a treia relaţie reprezintă condiţiile de nenegativitate (pozitivitate) impuse variabilelor modelului matematic.
Observaţie: În general modelul matematic al unei probleme de programare lineară are următoarea structură: optimizarea funcţiei obiectiv, prin aceasta înţelegându -se maximizarea 1) sau minimizarea fu minimizarea funcţiei obiectiv; sistemul de restricţii, care este alcătuit din ecuaţii, din inecuaţii de tipul 2) " " , " " , " " ;
condiţii impuse variabilelor , cele mai frecvente sunt condiţiile de nenegativitate (pozitivitate).
3)
4.3. FORMA CANONICĂ ŞI FORMA STANDARD A UNEI P.P.L. Următorul pas după formularea problemei constă în determinarea metodei pentru obţinerea soluţiei. P.p.l. poate fi prezentată într -o -o multitudine de forme (max sau min pentru funcţia obiectiv, , , pentru restricţii). În consecinţă, este necesar să vedem cum aceste forme diferite pot fi modificate pentru a -i determina soluţia. Astfel, există două forme pentru p.p.l.: forma canonică şi forma standard.
Prima formă canonică P.p.l., în general, se pune în următoarea formă, numită formă canonică: n max( f ) c j x j j 1 n aij x j bi , i 1, m j 1 x j 0, j 1, n
(4.3)
Observaţii: 1.
-
toate variabilele de decizie sunt nenegative;
toate restricţiile sunt de tipul “ ”; funcţia obiectiv este de tipul “max”. 2. Orice p.p.l. poate fi pusă în forma canonică utilizînd câteva transformări elementare: - minimizarea funcţiei f(x) este echivalentă cu maximizarea funcţiei f ( x ) ; exemplu: min( f ) c1 x1 c2 x2 c3 x3 max( g ) c1 x1 c2 x2 c3 x3 , unde g f
În consecinţă, orice funcţie obiectiv obiectiv poate fi pusă în forma “max”. “max”. - o inegalitate ( sau ) poate fi schimbată cu inegalitatea inversă ( sau ) multiplicând inegalitatea cu (-1); exemplu: 75
00:20
restricţia a1 x1 a2 x2 b a1 x1 a2 x2 b . - O egalitate poate fi înlocuită cu două inegalităţi inverse; exemplu: a1 x1 a2 x2 b a1 x1 a2 x2 b şi a1 x1 a2 x2 b sau a1 x1 a2 x2 b a1 x1 a2 x2 b şi a1 x1 a2 x2 b f i pozitivă, negativă sau zero) - O variabilă care este arbitrară ca semn (poate fi poate fi înlocuită cu x x , unde x şi x sunt amândouă nenegative: x , x 0 .
Exemplul 4.3. Fie p.p.l.
min( f ) 12 x1 12 x2 7 x3 x1 x2 3 x3 40 2 x1 9 x2 7 x3 50 5 x1 x2 20 x1 , x2 0 x3 arbitrara
Atunci, prima formă canonică este este : max( g ) 12 x1 12 x2 7 x3 7 x3 x x 3 x 3 x 40 1 2 3 3 2 x1 9 x2 7 x3 7 x3 50 5 x1 x 2 20 5 x1 x2 20 x1 , x2 , x3 , x3 0
A doua formă canonică O altă formă specifică de p.p.l . este a doua formă canonică : n min( f ) c j x j j 1 n aij x j bi , i 1, m j 1 x j 0, j 1, n
(4.4)
Observaţii: -
toate variabilele de decizie sunt nenegative; toate restricţiile sunt de tipul “ ”;
funcţia obiectiv este de tipul “min”. 76
Forma standard
Spunem că o p.p.l. este dată în forma standard dacă se poate scrie astfel: opt ( f ) c T x AX b X 0 (4.5)
Observaţii: 1.
- toate variabilele de decizie sunt nenegative;
toate restricţiile sunt ecuaţii, cu excepţia variabilelor de decizie unde avem inegalităţi “ ”; - funcţia obiectiv este de tipul “min” sau “max”. Restricţiile inegalităţi se pot schimba în egalităţi prin adunarea/scăderea unei variabile nenegative numită variabilă de compensare/surplus sau variabilă ecart , -
astfel: exemplu: restricţia a1 x1 a2 x2 b a1 x1
a2 x2
x3
b cu
poate fi transformată în forma standard astfel:
x3
0
sau
restricţia a1 x1
a1 x1 a2 x2 b
a2 x2
x3
b cu
x
poate fi transformată în forma standard astfel: 3
0
2. Dacă schimbăm forma canonică a p.p.l. cu forma f orma standard, atunci se observă că apar încă m variabile de compensare, sistemul restricţiilor devenind un sistem de m ecuaţii cu m+n variabile, n fiind numărul variabilelor de decizie şi m numărul
variabilelor de compensare. Forma standard a unei p.p.l. poate fi prezentată în următorul tabel:
Variabile de bază x1 x2 a
a
a
a
11
21
... a
12
22
...
m1
c
1
a
m2
c
2
...
xn
Variabile de compensare
xn
xn
1
2
xn
...
Termeni liberi din
restricţii
m
...
a
1n
1
0
...
0
b1
...
a
2n
0
1
...
0
b2
...
...
... ...
...
0
0
...
bm
... ...
...
... a
c
n
mn
1
0 0 ... 0
Tabel 2.
Dacă schimbăm a doua formă canonică a p.p.l. cu forma standard, atunci apar încă m variabile surplus xn1 , x n2 , ..., xnm nenegative. Tabelul corespunzător este :
77
Variabile de bază x1
x2
a
a
a
a
11
12
21
... a
...
22
... a
m1
c1
c2
xn a
1n
1
...
a
2n
...
...
a
...
mn
0
Termeni liberi din
restricţii
... xnm
xn1 xn2
...
...
m2
Variabile surplus
...
0
b1
0
1 ...
0
b2
...
...
...
...
...
0
0
...
1
bm
0 0 ... 0
cn
Tabel 3. Matricea unei p.p.l.
Dacă ne referim la problema (4.3) atunci definim următoarele matrici:
X
Astfel, forma canonică
x1 c1 b1 x2 c2 b n n R , c R , b 2 R m ... ... ... x c n n bm
poate fi scrisă:
max( f ) c T X Prima formă canonică: AX b X 0
(4.6)
min( f ) cT X A doua formă canonică: AX b X 0
(4.7)
iar forma standard:
max( f ) c T X A, I m X b X 0 unde
I m este
respectiv
m
R
linii şi m coloane, X şi c sunt vectori din , iar c T reprezintă transpusa matricei c . matricea unitate cu m
(4.8) m n
R
şi
Soluţia unei p.p.l.
Definiţia 4.3.1.
Oricare ar fi forma p.p.l. numim soluţie admisibilă ( posibilă) a p.p.l. orice X care
satisface restricţiile sistemului şi condiţiile nenegative. Vom nota cu :
n m
P X R
A, I X b, X 0 mulţimea soluţiilor admisibile (posibile). m
Definiţia 4.3.2. Se numeşte soluţie optimă, soluţia admisibilă care optimizează (minimizează sau maximizează) funcţia obiectiv. Vom nota cu : O X P c T X opt ( f )
soluţia optimă (mulţimea soluţiilor optime), dacă
există. 78
Soluţii de bază Fie sistemul de m ecuaţii lineare cu n necunoscute, m
(4.9)
Presupunem că rangA m . Fie A a 1 , a2 ,..., an , unde reprezintă coloana j a matricei A,
a j este un vector care
a1 j a 2 j R m , j 1, n a j ... a mj
Forma vectorială a lui (4.9) este: n
a j x j
b
(4.10)
j 1
Dacă X este soluţie pentru (4.9) , fie xi , x i ,..., xi toate componentele nenule ale soluţiei X şi ai , a i ,..., ai r sistemul de vectori corespunzător din R . Definiţia 4.3.3. Se numeşte bază a sistemului (4.9) orice bază a spaţiului liniar (R , R ) în componenţa căruia intră numai vectori coloană din A. Observaţie: Se ştie de la algebră liniară că m vectori din R formează bază sunt liniar independenţi. O bază formează o submulţime B A , B fiind matrice nesingulară de ordinul m şi reciproc, oricărei submulţimi B A , nesingulară de ordinul m I se poate asocia o bază în (R m , R ) . Definiţia 4.3.4. Cele m variabile asociate coloanelor matricei B se numesc variabile de bază şi se notează cu x B (reprezentând un vector al lui x ). Celelalte variabile se numesc variabile secundare şi formează subvectorul x . Observaţie: Dacă x 0 se obţine Bx B Sx S b de unde rezultă că soluţia este unică (sistem Cramer) şi are loc: x B B b. Definiţia 4.3.5. Vectorul X se numeşte soluţie de bază a ecuaţiilor (4.9) dacă sistemul de i ,..., ai r corespunzător componentelor nenule este linear independent în vectori ai , a 1
r
2
m
1
2
m
m
S
S
n m
1
1
m
R
2
.
Observaţie: Dacă soluţia are exact m componente nenule, se numeşte soluţie de bază nedegenerată, altfel se numeşte soluţie de bază degenerată. Exemplul 4.3.
Fie sistemul de 2 ecuaţii şi 4 necunoscute: 79
3 x1 4 x2 x3 15 x1 x2 x4 5 (4.11)
3 4 1 0 15 , a2 , a3 , a4 R 2 , b R 2 , 1 1 0 1 5 X x1 , x2 , x3 , x4 , rangA 2 .
Avem m=2, n=4,
a1
Luând x1 x 2 0 se obţine
x3
15, x4
nedegenerată deoarece sistemul vectorial
5 a
3
1 X
1 şi 0
(0,0,15,5) a
4
este soluţie de bază
0 este linear independent 1
în R şi soluţia are exact 2 componente nenule. Luând x x 0 se obţine x2 15 4 , x4 5 4 X 2 (0,15 4 ,0, 5 4) este 2
1
3
deasemenea o soluţie de bază nedegenerată deoarece vectorii
a
2
4 şi 1
a
4
0 1
corespunzători variabilelor nenule sunt linear independenţi în R şi soluţia are exact 2 componente nenule. Mai jos sunt date soluţiile de bază ale sistemului (4.11): 2
Crt.
Baza
Soluţia
Tipul
, a4
(0,0,15,5)
ne deg enerat ă
2 a4
( 0, 15 4,0, 5 4)
ne deg enerat ă
1
, a4
(5,0,0,0)
deg enerat ă
2
, a3
(0,5,5,0)
ne deg enerat ă
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
1
, a3
(5,0,0,0)
deg enerat ă
6
a
1
, a2
(5,0,0,0)
deg enerat ă
3
,
Definiţia 4.3.6. 1)
O soluţie de bază a p.p.l. (4.8) este un vector X care verifică proprietăţile: a) X satisface restricţiile Dacă xi , x i ,..., xi sunt toate componentele nenule ale soluţiei X atunci b) 1
2
r
sistemul vectorial ai1 , ai2 ,..., ai r este linear independent . 2)
O soluţie admisibilă de bază a unei componentele nenegative ( X≥0 ).
p.p.l. este o soluţie de bază X cu toate
Observaţie: Dacă b 0 , problema (4.8) admite cel puţin o soluţie admisibilă : x1 x 2 ... x n 0 x n 1 b1 x n 2 b2
00:90
.... x n m bm
80
4.4.Rezumat
Orice problemă de programare lineară poate fi formulată matematic
astfel: - prima relaţie opt(f) reprezintă max(f) sau min(f); - a doua relaţie reprezintă sistemul de restricţii ; - a treia relaţie reprezintă condiţiile de nenegativitate (pozitivitate) impuse variabilelor modelului matematic.
Orice p.p.l. poate fi pusă în forma canonică utilizând transformările
elementare. Astfel conform primei forme canonice: - toate variabilele de decizie sunt nenegative; - toate restricţiile sunt de tipul “ ”; - funcţia obiectiv este de tipul “max”; sau, conform celei de-a doua forme canonice: - toate variabilele de decizie sunt nenegative; - toate restricţiile sunt de tipul “ ”; - funcţia obiectiv este de tipul “min”.
Orice p.p.l. poate fi pusă în forma standard utilizând transformările
elementare. - toate variabilele de decizie sunt nenegative; - toate restricţiile sunt ecuaţii, cu excepţia variabilelor
inegalităţi “ ”; - funcţia obiectiv este de tipul “min” sau “max”.
de decizie unde avem
4.5. BIBLIOGRAFIE
1.
Cenuşă, Gh. şi colectiv - Matematici pentru economişti ; Bucureşti, Editura CISON, 2000
2. 3. 4. 5.
Cenuşă, Gh. şi colectiv - Matematici pentru economişti. Culegere de probleme; Bucureşti, Editura CISON, 2001 Fătu, I., Dinescu, C. - Matematici pentru economişti ; Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1995 Popescu, O. şi colectiv - Matematici aplicate în economie ; Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1993 Teodorescu, S., -Matematici economice, Editura Bren, 2005
81
PROGRAMARE LINEARĂ
Unitatea de învăţare 5 METODA SIMPLEX 5.1. Obiective 5.2. Metoda Simplex 5.3. Algoritmul Simplex primal 5.4. Rezumat 5.5. Test de autoevaluare 5.6. Bibliografie
5.1. Obiective
După parcurgerea unităţii veţi fi capabili să:
înţelegeţi algoritmul simplex primal si să îl implementaţi in soluţionarea problemelor economice concrete
vă dezvoltaţi o gândire ordonată, algoritmică, pe baza înţelegerii metodelor de optimizare
rezolvaţi o problemă de programare lineară folosind algoritmul simplex primal Timpul necesar de parcergere a unității este de 105 minute
82
5.2. METODA SIMPLEX
Problemele de programare lineară al căror model matematic au mai mult de trei necunoscute nu se pot rezolva cu metoda grafică. Astfel de probleme se rezolvă cu algoritmul simplex primal, creat de D.G. Dantzig (1947).
Este o tehnică iterativă care pleacă de la o soluţie admisibilă şi prin calcule algebrice această soluţie se îmbunătăţeşte succesiv, în mai mulţi paşi. Metoda simplex investighează toate soluţiile de bază posibile. Astfel, există două condiţii numite condi ţia de admisibilitate şi condiţia de optimalitate, care selectează soluţia optimă. Numărul maxim de iteraţii din rezolvarea unei p.p.l. prin metoda simplex nu poate depăşi numărul soluţiilor de bază. O simplă greşeală de calcul într -o iteraţie oarecare poate duce la un rezultat eronat, deşi studentul respectiv a înţeles corect mecanismul algoritmului.
Condiţia de selectare a vectorului care părăseşte baza (Condiţia de admisibilitate) Notăm prin a1 , a2 ,..., amn coloanele matricei ( A, I ) , cu B a 1 , a2 ,..., am baza şi cu
X
X X
soluţia admisibilă de bază corespunzătoare.
B R
Presupunem că X este nedegenerată. Cazul soluţiei degenerate trebuie studiat separat.
A schimba soluţia înseamnă a schimba baza B cu cel puţin un vector din a1 , a 2 ,..., a . Acum, pentru a arăta cum poate fi generată o nouă soluţie admisibilă de bază din baza B iniţială, fie a j un vector selectat din cei n vectori nebazici ai matricei ( A, I ) şi fie x j variabila corespunzătoare vectorului a j . Din definiţie, a1 , a2 ,..., am formează bază, deci este posibil să-l exprim pe a j ca şi combinaţie lineară de aceşti vectori. Astfel, fie scalarii k j , k 1, m , cel puţin unul nenul a.î. m
m
a j k j a k . k 1
j sau, fie
, , ..., j 1
j 2
j m
T
, atunci: B j
a j
(5.1)
sau j
Fie
B
1
a j
(5.2)
un număr real. Dacă multiplicăm relaţia (5.1) cu obţinem: j
B a j .
Cum BX B b , obţinem:
B X B
j
j
a
b.
Relaţia de mai sus indică faptul că vectorul X ' de dimensiune X B j B 1b j X '
este soluţie pentru p.p.l. dată cu o nouă variabilă x j 83
.
m 1:
(5.3)
Pentru a obţine o soluţie de bază admisibilă scalarul trebuie selectat astfel:
x x min k j , k j 0 r j k k r
Cu alte cuvinte, variabilele x j
şi
(5.4)
vectorii a j şi
x r (sau
a
r
) devin variabile (respectiv
vectori) de intrare şi de ieşire. E important să observăm că dacă toţi k j 0 , noile variabile xk k j vor fi întotdeauna nenegative pentru orice valoare 0 . Aceasta înseamnă că variabilele pot creşte la infinit iar valoarea maximă a funcţiei este . Dacă r nu este unic, atunci pentru a se afla vectorul care intră în bază se aplică metoda
perturbaţiilor.
Condiţia de selectare a vectorului de intrare (Condiţia de optimalitate) Considerăm p.p.l. (4.8) şi fie c B c1 , c2 ,..., cm T vectorul coeficienţilor funcţ iei obiectiv, corespunzători soluţiei de bază iniţiale X B b . 1
B
Definim numerele reale f j
unde
j
este dat de (5.2),
j
c BT j ,
j 1, m n
(5.5)
1
B a j .
Teorema 5.1. Fiind dată soluţia admisibilă de bază
X B
1
B b ,
vectorul nonbazic a j va intra în noua
bază dacă c j f j 0 . Dacă c j f j 0 , j R (adică pentru toţi vectorii nonbazici a j ), soluţia de bază corespunzătoare lui B este optimă.
Observaţie. În cazul în care modelul este de maxim se calculează diferenţele modelul este de minim se calculează diferenţele f j c j .
c j
f j ,
iar dacă
5.3. ALGORITMUL SIMPLEX PRIMAL
Aplicarea algoritmului simplex primal se poate face dacă sunt îndeplinite următoarele ipoteze: I1 -
modelul matematic este la forma standard;
I2 -
b 0n ;
se află exact m vectori unitari i ,..., ai care formează baza iniţială cu care se începe aplicarea algoritmului şi ai , a care este de fapt baza canonică a lui R . Algoritmul conţine patru paşi sau patru reguli care se aplică iterativ. I3 -
1
2
printre
a
, , ..., a , coloanele matricei A,
1 a2
n
m
m
Pas 1. (Testul de optim)
Se calculează diferenţele c j f j (pentru problemele de maxim) şi f j c j (pentru problemele de minim). Dacă aceste diferenţe sunt toate negative sau nule , soluţia iteraţiei este optimă. Dacă nu, soluţia nu este optimă şi baza trebuie schimbată prin ieşirea unui vector din bază şi intrarea altui vector în bază. 84
Pas 2. (Testul de intrare) Se alege maxck f k ck f k
0 c j
f j . Astfel, a j este
vectorul care intră în noua
bază. Pas 3. (Testul de ieşire)
În dreapta tabelului avem o coloană- numită coloana rezultatele împărţirilor:
x k
, în cazul
j k
j k
.
şi se alege
0
În această coloană se pun xk
min k
j
k
xr
r
, k 0 j
j
. Astfel,
părăseşte baza. j Pas 4. Pivotul iteraţiei este r adică elementul care se află la intersecţia dintre linia, care conţine vectorul ce părăseşte baza, şi coloana care conţine vectorul ce va intra în bază. vectorul
a r
Tabelul Simplex
Aplicarea algoritmului simplex primal se face în cadrul unui tabel, numit tabel simplex , alcătuit din module numite iteraţii . Un model de tabel care utilizează metoda simplex este următorul: Variabile
de bază
c B
B a
Valorile variabilelor de bază X B
c
x
...
...
...
a
c
x
1
1
r
... a
r
... c
m
m
c1
.......... c j
.......... ck
......... cn
a1
.......... a j
.......... ak
......... an
m
m
1
r
... x
m
c j f j
c1 f 1
...
c j
f j
...
ck f k
...
cn
m
f n
m
Tabel 4
Observaţie. La fiecare iteraţie, elementele din tabel se schimbă folosind metoda Gauss-Jordan, pe care o reamintim: -
linia pivotului se transformă prin împărţire la pivot; coloana pivotului devine vector unitar;
celelalte elemente ale tabelului (care nu se află nici pe linia nici pe coloana pivotului) se calculează cu regula dreptunghiului.
Exemplul 5.1.
Rezolvaţi p.p.l. găsind soluţia optimă:
85
max( f ) 5 x1 4 x2 3 x3 x1 2 x 2 2 x3 10 8 2 x1 x 2 2 x 2 x3 8 x1 , x 2 , x3 0. Rezolvare:
Trecem problema în forma standard: max( f ) 5 x1 4 x2 3 x3 x 2 x 2 x x 10 1 2 3 4 x5 8 2 x1 x2 2 x2 x3 x6 8 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 , x6 0. unde
x4 , x5 , x6 sunt
variabile ecart (de compensare).
Matricea ( A, I ) este:
1 2 0
2
2
1
0
0
1
0
0
1
0
2
1
0
0
1
iar
a
1
1 2 2 , a2 1 , 0 2
a3
2 1 0 , a4 0 , 1 0
a
5
0 10 0 1 , a6 0 , b 8 0 8 1
Soluţia de început care poate fi aleasă este X 0,0,0,10,8,8. X este soluţie admisibilă de bază, deoarece are toate componentele nenegative şi vectorii T
1 corespunzători componentelor nenule , a4 0 , 0
a
5
0 1 , 0
independenţi. Astfel, baza pentru prima iter aţie este
1 0 0 B a4 , a5 , a6 0 1 0 0 0 1
86
a6
0 0 , sunt liniar 1
astfel că toate coloanele matricei A sunt exprimate direct în raport cu această bază (baza canonică), nemaifiind nevoie de alte calcule. Pas 1. Pentru prima iteraţie trebuie calculate diferenţele c j f j . Pentru aceasta se calculează: 1 f 1 c BT B 1a1 c BT Ia1 0,0,0 2 0 0 Deci, c1 f 1 5 0 5 .
2 f 2 c BT B 1a 2 c BT Ia 2 0,0,0 1 0 2 Deci, c2 f 2 4 0 4 .
2 f 3 c BT B 1a3 c BT Ia 3 0,0,0 0 0 1 Deci, c3 f 3 3 0 3 .
1 f 4 c BT B 1a4 c BT Ia4 0,0,0 0 0 0 Deci, c4
f 4
0 0 0.
0 f 5 c BT B 1a5 c BT Ia5 0,0,0 1 0 0 Deci, c5 f 5 0 0 0 .
0 f 6 c BT B 1a6 c BT Ia6 0,0,0 0 0 1 Deci, c6
f 6
0
0
0.
Soluţia nu este optimă căci c j f j 0, j 1,6 . Pas 2. Alegem maximul din 5,4,3,0,0,0, adică 5 c1 f 1
şi deci
a
1
intră în bază.
Pas 3. Pentru a găsi vectorul care părăseşte baza folosim coloana pe care o
completăm cu rezultatele împărţirilor:
87
x
4 1
4
10
8
x
5 1
5
Să observăm că raportul
x
6
1
10
1
4
2
nu are sens deoarece
1 6
0.
6
Astfel, se alege minimul dintre 10 şi 4 adică 4
x5
, iar vectorul
51
a5
părăseşte baza.
Acum, noua bază este B a4 , a1 , a6 Pas 4. Pivotul iteraţiei este
(notat în tabel cu asterisc), determinat de elementul care se află la intersecţia dintre linia, care conţine vectorul ce părăseşte baza, şi coloana care conţine vectorul ce va intra în bază. Calculele se fac cu metoda lui Gauss- Jordan reamintită mai sus şi făcută în prima 1
5
2
parte a cursului. 0
0
0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
0
10
1
2
2
1
0
0
10
0
8
2*
1
0
0
1
0
4
Prima
0
8
0
2
1
0
0
1
iteraţie
0
5
4
3
0
0
0
0
6
0
3 2
2*
1
1
a
5
4
1
1 2
0
0
a
0
8
0
2
1
0
20
0
3 2
3
0
3
3
0
3 4
1
5
4
1
1 2
0
11
0
11 4
29
0
4
a5 a
6
c j f j a4 1 6
c j f j
a
3
X B
a
a
4
c B
B
a
5
3
1
6
c j f j
3
4
0
3
1 2
0
A doua
0
1
iteraţie
52
0
1 2
1 4
0
10
0
0
12
0
4
0
1 2
1 4
1
0
3
2
7
2
4
A treia
iteraţie
0
Cum, la a treia iteraţie, diferenţele c j f j sunt toate negative sau nule , soluţia iteraţiei este optimă. Deci, p.p.l. are soluţia optimă: 88
x1
4, x2
0, x3
3, x4
0, x5
0, x6
11 iar
max( f )
29 .
5.4. Rezumat
Metoda Simplex este o tehnică iterativă care pleacă de la o soluţie admisibilă şi prin calcule algebrice se îmbunătăţeşte succesiv, în mai mulţi paşi. Metoda simplex investighează toate soluţiile de bază posibile. Cele două condiţii numite condiţia de admisibilitate (condiţia de ieşire din bază) şi condiţia de optimalitate (condiţia de intrare în bază) , selectează soluţia optimă. Aplicarea algoritmului simplex primal se face în cadrul tabelului simplex. Aplicarea algoritmului simplex primal se poate face dacă sunt îndeplinite următoarele ipoteze: I1 -
modelul matematic este la forma standard;
I2 - b
I3 -
0n ;
printre a1 , a 2 , ..., an , coloanele matricei A, se află exact m vectori unitari
care formează baza iniţială cu care se începe aplicarea algoritmului şi care este de fapt baza canonică a lui R . ai
1
,a i2 ,..., ai
m
m
Algoritmul conţine patru paşi sau patru reguli care se aplică iterativ.
Pas 1. (Testul de optim)
Se calculează diferenţele c j f j (pentru problemele de maxim) şi f j c j (pentru problemele de minim). Dacă aceste diferenţe sunt toate negative sau nule , soluţia iteraţiei este optimă. Dacă nu, soluţia nu este optimă şi baza trebuie schimbată prin ieşirea unui vector din bază şi intrarea altui vector în bază. Pas 2. (Testul de intrare) Se alege max ck f k ck f k 0 c j f j . Astfel, a j este
vectorul care intră în
noua bază. Pas 3. (Testul de ieşire)
În dreapta tabelului avem o coloană- numită coloana . În această coloană se pun
rezultatele xk
min k
j k
x r
r j
, k 0 j
împărţirilor:
x k j k
,
în
cazul
j k
0
şi
se
alege
. Astfel, vectorul a r părăseşte baza.
Pivotul iteraţiei este r j adică elementul care se află la intersecţia dintre linia, care conţine vectorul ce părăseşte baza, şi coloana care conţine vectorul ce va intra în bază. Pas 4.
89
5.5. TEST de AUTOEVALUARE Timp necesar: 45 min
Rezolvaţi, folosind algoritmul simplex, Exemplul 4.1.
1.
se fabrică din trei materii prime M1 , M2 , M3. Beneficiile unitare, consumurile specifice şi disponibilul de materii prime se dau în următorul tabel:
2.
Trei tipuri de produse P1 , P2 , P3
Produse
Consumuri specifice
Materii prime
P1
P2
P3
Disponibil (tone)
M1
2
0
1
200
M2
0,5
1
1
100
3 600
0 400
400
M3
1 Beneficiul unitar (u.m.) 500
Să se stabilească un plan de producţie, astfel încât beneficiul să fie maxim. RĂSPUNSURI 1.
x1
225, x2
125, x3
x4
0, x5
600, max f 6500
Conform soluţiei optime trebuie să se fabrice 100 tone din produsul P1 şi 50 tone din produsul P , beneficiul total fiind de 80.000 u.m. Din materia primă M 3 rămân 2.
2
neutilizate 150 tone.
5.6. BIBLIOGRAFIE
1.
Cenuşă, Gh. şi colectiv
- Matematici pentru economişti ;
Editura CISON, 2000
2. 3. 4. 5.
Bucureşti,
Cenuşă, Gh. şi colectiv - Matematici pentru economişti. Culegere de probleme; Bucureşti, Editura CISON, 2001 Fătu, I., Dinescu, C. - Matematici pentru economişti ; Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1995 Popescu, O. şi colectiv - Matematici aplicate în economie ; Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1993 Teodorescu, S., -Matematici economice, Editura Bren, 2005
90
PROGRAMARE LINEARĂ Unitatea de învăţare 6 PROBLEMA TRANSPORTURILOR (A DISTRIBUIRILOR)
CUPRINS 6.1. Obiective 6.2. Modelul matematic al problemei de transport 6.3. Metode de rezolvare a problemei de transport 6.4. Rezumat 6.5. Test de autoevaluare 6.6. Bibliografie
6.1. Obiective
După parcurgerea unităţii veţi fi capabili să: înţelegeţi problema clasică de transport utilizată in soluţionarea problemelor economice concrete
vă familiarizaţi cu probleme specifice care vor face obiectul altor discipline economice
puneţi o problemă de transport în format matematic să rezolvaţi o problemă de transport
Timpul necesar de parcurgere a unității de învățare este de 90 minute
82
6.2. MODELUL MATEMATIC AL PROBLEMEI DE TRANSPORT Problemele de transport (distribuire) constituie cazuri particulare de probleme
de programare liniară. Enunţul general al unei probleme de transport : un produs care se află depozitat în m centre furnizoare sau depozite D1 ,D 2 ,...,D m şi în cantităţile d1 ,d 2,...,d m urmează a fi transportate (distribuite) la n beneficiari sau consumatori B1 ,B2,...,Bn
al căror
necesar este b1 , b2 ,..., bn . Costul unitar de transport de la furnizorul Di la consumatorul B j este cij , i 1, m, j 1, n.
Se fac următoarele ipoteze: I1 Se
pot face transporturi de la orice furnizor la orice beneficiar;
Se pot transporta orice cantităţi din produsul dat; I 3 Suma totală a necesarului este mai mică sau egală cu suma totală a I2
disponibilului; I4
Costul unei cantităţi ce se transportă depinde liniar de costul unitar.
Se pune problema determinării unui plan de transport, astfel încât să fie satisfăcut necesarul fiecărui beneficiar şi care să corespundă cheltuielilor total e minime de transport. Pentru a construi modelul matematic al problemei de transport, datele iniţiale se dispun în următorul tabel: B j
Di
Disponibil B1
...........
c1n
c11
x11
D1
Bn
...........
x1n
d1
...........
c m1
Dm
x m1
...........
cmn x mn
dm m
d
i
Necesar
b1
...........
b n
i 1
n
b j j 1
este cantitatea ce se transportă de la Di la B j , i 1, m, j 1, n . Fie C cij M m.n R matricea costurilor iniţiale, iar X xij M m.n R
unde x ij
matricea necunoscutelor problemei. Modelul matematic al problemei de transport este:
83
m
n
min f x cij xij i 1 j 1
n xij di , i 1, m j 1 , m x b , j 1, n ij j i 1 xij 0, i 1, m, j 1, n
(6.1)
cu condiţiile suplimentare: m n b j d i i 1 j 1 cij 0, i, j b 0, j j di 0, i
Definiţia 6.2.1. Modelul matematic (6.1) se numeşte echilibrat dacă: m
i 1
di
n
b
j
(6.2)
j 1
În acest caz şi problema de transport se numeşte echilibrată. Dacă relaţia (6.2) nu este adevărată, atunci modelul matematic este neechilibrat , iar problema de transport este, deasemenea, neechilibrată.
Observaţie. O problemă de transport neechilibrată se transformă într -o problemă echilibrată astfel: n
a)
m
dacă b j d i , atunci se va considera un beneficiar fictiv j 1
Bn 1 , pentru care
j 1
m
n
i 1
j 1
costurile unitare de transport sunt nule şi necesarul bn 1 di b j obţinându-se o problemă extinsă echilibrată cu n+1 beneficiari şi m furnizori; n
b)
m
dacă b j d i , atunci se va considera un furnizor fictiv j 1
Dm 1 pentru care
j 1
costurile unitare de transport sunt nule şi disponibilul
d m 1
n
m
j 1
j 1
b j d i obţinându-se
o problemă extinsă echilibrată cu m+1 furnizori şi n beneficiari.
Propoziţia 6.1. Condiţia necesară şi suficientă pentru ca modelul matematic (6.1) să fie echivalent cu modelul matematic la forma standard – obţinut din (6.1) prin înlocuirea cu semnul „ ” a tuturor semnelor de inegalitate din sistemul de restricţii – este ca problema de transport să fie echilibrată. Consecinţă: Modelul matematic al unei probleme de transport echilibrate este:
84
m
n
min f X cij xij i 1 j 1
n xij di , i 1, m j 1 , m x b , j 1, n ij j i 1 xij 0, i 1, m, j 1, n
unde
T
m
n
i 1
j 1
(6.3)
di b j .
Observaţie: O problemă de transport echilibrată se poate rezolva cu algoritmul simplex primal. Propoziţia 6.2. Mulţimea soluţiilor posibile ale modelului matematic (6.2) este nevidă. Teorema 6.1. Orice problemă de transport echilibrată are soluţie optimă. Demonstraţia rezultă din faptul că mulţimea soluţiilor posibile este mărginită inferior, datorită existenţei unei soluţii posibile şi având în vedere că este o problemă de minim.
Propoziţia 6.3. Rangul matricei formate cu coeficienţii sistemului de restricţii al problemei (6.2) este, m+n-1 dacă. m+n mn Consecinţă. O soluţie posibilă de bază a modelului matematic (6.2) conţine cel mult m+n-1
≤
componente strict pozitive.
Observaţie: O soluţie posibilă de bază este nedegenerată dacă are exact
m+n-1 componente
strict pozitive.
Propoziţia 6.4. O problemă de transport este degenerată dacă şi numai dacă există şi N 1,2,...,n astfel încât:
b j d i jN
M 1,2,...,m
.
iM
Rezolvarea modelului matematic al unei probleme de transport cu algoritmul simplex primal este foarte greoaie şi de aceea s-a construit un algoritm special care să fructifice forma sa particulară. Conform acestui algoritm, rezolvarea unei
probleme de transport echilibrată se face în două etape: I. Se determină o soluţie posibilă de bază , nedegenerată, iniţială; II.
Se verifică optimalitatea soluţiei posibile de bază; dacă nu este optimă, atunci se determină o nouă soluţie posibilă de bază care, la rândul ei, este verificată ş.a.m.d. până la obţinerea soluţiei optime.
85
6.3. METODE DE REZOLVARE A PROBLEMEI DE TRANSPORT a) Metoda Nord-Vest
Se consideră o problemă de transport echilibrată. Tabelul în care se află datele problemei este orientat precum o hartă în funcţie de punctele cardinale: Nord, Sud, Est şi vest. Fie X x ij Mm,n matricea necunoscutelor problemei. Conform metodei, se determină mai întâi necunoscuta x11 aflată în poziţia N -V, în felul următor: a11 min b1 , d1 .
Dacă x11 b1 d1 , atunci necesarul lui
B1 devine
b1
b1
0 şi necunoscutele
x i1 se
egalează cu zero pentru i 2, m , iar disponibilul lui D devine d1 b1 ; dacă şi b1 d1 , atunci disponibilul lui D devine d1 b1 0 şi necunoscutele x1j se egalează cu zero
1
pentru j
d1
B1 devine b1
d1 , iar disponibilul lui
0 şi necunoscutele x1j se egalează cu zero pentru j
atunci necesarul lui B1 i
2, n .
Dacă x11 d1 b1 atunci necesarul lui d1
1
se anulează şi necunoscutele lui
x i1
D1 devine
2, n ; dacă şi d1
b1 ,
se egalează cu zero pentru
2, m .
Apoi, dintre necunoscutele rămase nedeterminate se consideră cea aflată în poziţia N -V; fie această necunoscută x kp .Atunci: x kp min bk , dp şi se scade x kp atât din
necesarul b k cât
şi din disponibilul d p . Dacă se anulează necesarul, atunci necunoscutele nedeterminate de pe coloana p se anulează. Dacă se anulează disponibilul, atunci necunoscutele nedeterminate de pe linia k se anulează. Se procedează în acest fel până când toate componentele matricei X sunt determinate. Observaţie: Calculele necesare se fac într -un tabel cu m + 1 linii şi n + 1 coloane. b) Metoda costului minim pe linie
Se consideră o problemă de transport echilibrată şi fie X x ij , i 1, m, j 1, n matricea necunoscutelor. Conform metodei se determină costul minim de pe prima linie din tabelul
problemei. Fie c1k min c11 , c12 ,..., c1n . Atunci x1k necesarul b k cât
şi din disponibilul
min bk , d1
d1 . Dacă se
i 2,n , se
şi apoi se scade x1k atât din
anulează necesarul, atunci x ik 0 pentru
suprimă coloana k din matricea costurilor şi se consideră dintre costurile rămase de pe prima linie pe acela de valoare minimă, repetându -se procedura expusă; acest lucru se repetă până când se determină toate necunoscutele de pe prima linie, după care se trece la linia a doua şi se procedează analog ş.a.m.d.
86
Dacă se
anulează disponibilul, atunci x1j 0 , pentru j k şi j 1, n , se suprimă prima linie şi se trece la linia a doua, aplicându -se procedura de mai sus. Se continuă în acest fel până se determină toate elementele lui X. Observaţii: 1. Dacă minimul costurilor aflate pe o linie a matricei costurilor se realizează pentru mai mulţi indici, se fixează unul din indici în mod arbitrar; 2. Calculele se fac întrun tabel cu m + 1 linii şi n + 1 coloane.
c) Metoda costului minim pe coloană Această metodă se deosebeşte de metoda minimului pe linie numai prin faptul că la fiecare etapă se alege costul minim de pe o coloană şi nu costul minim de pe o linie. d) Metoda costului minim din matrice
Se consideră o problemă de transport echilibrată şi fie X x ij M m,n matricea necunoscutelor. Conform metodei se consideră costul minim din matricea costurilor C. Fie acest cost c kp ; atunci x kp min bk , d p şi se scade x kp atât din necesarul b p cât şi
din disponibilul d k .
Dacă se anulează necesarul, atunci xip 0 pentru i k, i 1, m şi se elimină coloana p din matricea costurilor. Dacă se anulează disponibilul, atunci x kj 0
pentru j p, j 1, n
şi se elimină linia k din matricea costurilor.
În continuare se alege costul minim dintre elementele rămase ale matricei costurilor şi se procedează ca mai sus. Se continuă în acest fel până când se determină toate elemntele lui X.
Observaţie: Calculele se fac într -un tabel cu m + 1 linii şi n + 1 coloane.
Exemplul 6.1.
Fie problema de transport ale cărei date iniţiale se dau în următorul tabel: B j
B1
B2
B3
D1
2
4
1
40
D2
1
5
7
60
Di
87
Disponibil
D3
3
Necesar
2
50
60
10 45
30 130 155
Să se determine, cu fiecare dintre metodele expuse, o soluţie posibilă de bază, iniţială, indicându-se şi costul ei. Rezolvare:
Mai întâi, deoarece suma necesarului (155) diferă de suma disponibilului (130), trebuie să se echilibreze problema prin introducerea unui furnizor fictiv D 4 ; astfel se obţine următorul tabel al problemei extinse:
B j
B1
B2
B3
D1
2
4
1
40
D2
1
5
7
60
D3
3
2
10
30
D4
0
0
0
25
Disponibil
Di
Necesar
50
60
45
155 155
a) Metoda Nord-Vest
Calculele se fac în următorul tabel: 40 10 0 0 50 10 0
0 50 10 0 60 10 0
0 40 0 60 20 30 25 25 45 25 0 40 0
0 50 20 0
0 0
0
10 50 0 Soluţia obţinută este : X: 0 10 20 0 0 25
X are 6 componente strict pozitive şi, deci, este o soluţie posibilă de bază nedegenerată, al cărei cost este 40 2 10 50 5 10 2 20 10 25 0 560 . 88
b) Metoda costului minim pe linie
Calculele se fac în următorul tabel: 0 50 0 0 50 0
0 10 30 20 60 50 20 0
40 0 0 5 45 5 0
40 60 30 25
0 10 0 5
0 0
Soluţia obţinută este : 0 0 40 50 10 0 X: 0 30 0 0 20 5
al cărei cost este
50 1 10 5 30 2 20 0 40 1 5 0
X are 6 componente strict pozitive
c) Metoda costului minim pe coloană
Calculele se fac în următorul tabel: 30 0 30 0 60 30 0
10 35 0 0 45 35 0
40 60 30 25
.
m n 1 4 3 1 6 şi, deci, este o soluţie
posibilă de bază nedegenerată.
0 25 0 25 50 25 0
200
10 35 0 0
0 0
Soluţia obţinută este :
89
0 25 X: 0 25
30
10
0
35
30
0
0
0
Având 6 componente strict pozitive este o soluţie posibilă de bază nedegenerată. Costul soluţiei este 450. d) Metoda costului minim din matrice
Calculele se fac în următorul tabel: 0 50 0 0 50 0
20 10 30 0 60 30 0
20 0 0 25 45 20 0
40 60 30 25
20 10 0 0
0 0
0 20 20 50 10 0 Soluţia obţinută este : X: 0 30 0 0 0 25
Având 6 componente strict pozitive este o soluţie posibilă de bază nedegenerată al cărei cost este 260.
6.4. Rezumat În cazul problemei de transport se pune problema determinării unui plan de transport, astfel încât să fie satisfăcut necesarul fiecărui beneficiar şi care să corespundă cheltuielilor totale minime de transport. Pentru a construi modelul matematic al dispun într -un tabel.
problemei de transport, datele iniţiale se
Pentru a determina soluţia optimă trebuie în primul rând ca problema să fie echilibrată. Rezolvarea unei probleme de transport echilibrată se face în două etape:
Se determină o soluţie posibilă de bază, nedegenerată, iniţială; Se verifică optimalitatea soluţiei posibile de bază; dacă nu este optimă, atunci se determină o nouă soluţie posibilă de bază care, la rândul ei, este verificată ş.a.m.d. până la obţinerea soluţiei optime. Metodele de rezolvare a problemei de transport vizează: Metoda de Nord -Vest, metoda costului minim pe linie, metoda costului minim pe coloană şi metoda costului I. II.
minim din matrice.
90
6.5. TEST de AUTOEVALUARE Timp necesar: 30 min
Să se rezolve următoarele p robleme de transport: 1. B j
Disponibil
B1
B2
B3
B4
D1
4
6
5
2
35
D2
3
2
7
8
30
D3
2
10
5
6
50
20
25
45
25
Di
Necesar
115 115
2. B1
B2
B3
Disponibi l
D1
2
1
3
50
D2
1
3
2
70
40
20
60
120 120
B1
B2
B3
B4
Disponibil
D1
3
2
1
2
30
D2
4
2
3
2
20
D3
2
1
4
5
40
10
15
15
40
B j Di
Necesar
3. B j Di
Necesar
RĂSPUNSURI
b.
0 0 10 25 Răspuns: X 5 25 0 0 , min f x 370 . a. 15 0 35 0 30 20 0 Răspuns: X , min f x 210. 10 0 60
91
90 80
0 0 15 5 10 Răspuns: X 0 0 0 20 0 , min f x 145 . 10 15 0 15 0
c.
6.6. BIBLIOGRAFIE
1.
Cenuşă, Gh. şi colectiv - Matematici pentru economişti ; Bucureşti, Editura CISON, 2000
2. 3. 4. 5.
Cenuşă, Gh. şi colectiv - Matematici pentru economişti. Culegere de probleme; Bucureşti, Editura CISON, 2001 Fătu, I., Dinescu, C. - Matematici pentru economişti ; Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1995 Popescu, O. şi colectiv - Matematici aplic ate în economie; Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1993 Teodorescu, S., -Matematici economice, Editura Bren, 2005
92
ANALIZĂ MATEMATICĂ Unitatea de învăţare 7 CALCUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE
Cuprins 7.1. Obiective
7.2. Funcţii de mai multe variabile 7.3. Derivate parţiale şi diferenţialele funcţiilor de mai multe variabile 7.4. Rezumat 7.5. Test de autoevaluare 7.6. Bibliografie
7.1. Obiective
După parcurgerea unităţii veţi fi capabili să:
înţelegeţi modalitatea de calcul diferenţial diferenţial pentru funcţiile de mai multe variabile, calcul utilizat in soluţionarea problemelor economice concrete cum ar fi, spre exemplu, calculul utilităţilor marginale, a productivităţilor marginale sau a salariului marginal, în economie vă familiarizaţi cu probleme specifice care vor face obiectul altor discipline economice
funcţie de mai multe variabile şi cum poate poate ea înţelegeţi ce înseamnă o funcţie
economică răspundeţi la întrebarea : Cum se calculează derivatele parţiale ale unei funcţii de mai multe variabile? răspundeţi la întrebarea : Cum se calculează diferenţialele de ordinul întâi şi al doilea ale unei funcţii de mai multe variabile? modela un fenomen, o activitate
Timpul necesar de parcurgere parcurgere a unității de de învățare este de 90 minute
105
7.2. FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE Funcţiile de mai multe variabile sunt întâlnite adesea în modelarea activităţilor economice. De exemplu:
o firmă exportă 3 produse în cantităţile
1, x2 , x3
x
la preţul pieţei,
1, p2 , p3 .
p
Să se scrie funcţia care cuantifică nivelul încasărilor dacă: a) indiferent de cantităţile cumpărate, preţul rămîne p1, p2 şi respectiv p3 . b) se face o reducere de preţ de 1% pentru produsul 2, o reducere de 1,5% pentru produsul 1 şi o reducere de 2% pentru produsul 3, în raport cu cantităţile cumpărate. Rezolvare: y f ( x1, x2 , x3 ) p1x1 p2 x2 p3 x3 a) b) y f ( x1, x2 , x3 ) p 0, 015 p x1 p
1 1 0, 985 p1x1 0, 99 p2 x2 0, 98 p3x3
2
0, 01 p x2 p 0, 02 p x3 2 3 3
Definiţia 7.2.1. Fie I R . O funcţie f : I R se numeşte funcţie reală de n variabile reale. Valoarea funcţiei f într -un -un punct x x1 , x2 ,..., xn I se notează cu
n
f ( x1 , x2 ,..., xn ) .
Definiţia 7.2.2. Graficul unei funcţii reale de n variabile, f ( x1 , x2 ,..., xn ) , definită pe o mulţime I este format din toate punctele din spaţiul R de forma x1 , x2 ,..., xn , f ( x) , unde x x1 , x2 ,..., xn I . Observaţie: din plan, I Graficul unei funcţii de două variabile f ( x, y ) definită pe o mulţime I din este mulţimea din spaţiul tridimensional, x, y, z x, y I , z f ( x, y ). Acest grafic este o suprafaţă din R , având ecuaţia
R
n
,
R
2
,
n 1
3
z f ( x, y )
106
şi care se întinde deasupra domeniului I din plan dacă f ( x, y ) 0 şi respectiv dedesubtul domeniului I dacă f ( x, y ) 0 . 7.3. DERIVATE
PARŢIALE ŞI DIFERENŢIALELE FUNCŢIILOR DE
MAI MULTE VARIABILE , f : I R şi un punct interior mulţimii I . Definiţia 7.3.1. Funcţia f ( x, y ) admite în punctul (a,b) derivată parţială în raport cu variabila x Fie
I R
2
există şi e finită limita: lim lim
x a x a
f ( x, b) f ( a, b) x a
În acest caz ea se notează notează cu f ' x (a, b) sau
dacă
.
f ( a, b) x
f f sau x x a ,b
sau
( a ,b )
.
Definiţia 7.3.2. Funcţia f ( x, y ) admite în punctul (a,b) derivată parţială în raport cu variabila y dacă există şi e finită limita: lim lim
y b y b
f (a, y ) f ( a, b) y b
În acest caz ea se notează notează cu f ' y (a, b) sau
f ( a , b) y
f f sau y y a ,b
sau
(a,b)
.
Observaţie: Derivatele de mai sus sunt derivate parţiale de ordinul I în raport cu cele două variabile. Din definiţiile de mai sus se observă imediat că atunci când calculăm derivata parţială lui f în variabila x , considerăm variabila y , ca fiind constantă, iar atunci când în raport cu variabila x calculăm derivata parţială lui f în în raport cu variabila y , considerăm variabila x , ca fiind constantă. Observaţie: Pentru o funcţie de trei variabile, f ( x, y, z ) pot exista trei der ivate ivate parţiale de ordinul I în punctul (a,b,c): (a,b,c): raport cu variabila x derivata parţială a lui f în punctul (a,b,c)în raport
107
f x' (a, b, c) lim
f ( x, b, c) f ( a, b, c) x a
xa x a
derivata parţială a lui f în punctul (a,b,c)în raport cu variabila y f y' (a, b, c ) lim
f ( a, y , c ) f (a, b, c ) y b
yb y b
derivata parţială a lui f în punctul (a,b,c)în raport cu variabila z f z ' (a, b, c) lim
f (a, b, z ) f (a, b, c ) z c
z c z c
.
Definiţia 7.3.3. n Fie I R şi o funcţie f : I R de n variabile reale. Funcţia f este derivabilă în punctul (a1 , a2 ,..., an ) I în raport cu variabila x dacă
n
i
lim
f ( a1 ,..., ai 1 , xi , ai 1 ,..., an ) f (a1 ,..., ai 1 , ai , ai 1 ,..., an )
xi
xi ai xi ai
ai
există şi este finită. În acest caz derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x se notează cu: i
' xi
f ( a1 , a2 ,..., an ) .
Definiţia 7.3.4. Fie I R şi o funcţie f : I R de 2 variabile reale pentru care există f x' şi f y pe I . Dacă pentru funcţiile de două variabile f x' ( x, y ) şi f y' ( x, y) există derivatele lor parţiale, atunci ele se numesc derivatele parţiale de ordinul doi ale funcţiei f(x,y).
2
'
''
f x
2
f xy''
f yx''
''
f y
2
f '
'
x x
f '
'
x y
f '
'
y x
f '
'
y y
sau
sau
sau
sau
f 2 f x x x 2 f 2 f y x x y f 2 f x y y x
f 2 f y y y 2
Observaţie: Derivatele parţiale de ordinul trei sunt derivatele parţiale ale celor de ordinul doi. Observaţie: O funcţie de trei variabile, f(x,y,z) poate avea 9 derivate de ordinul doi. Criteriul lui Young
Dacă f(x,y) are f x' şi f y' pe o vecinătate V a punctului (a,b) şi sunt diferenţiabile în (a,b) există derivatele mixte de ordinul doi în (a,b) şi f xy'' (a, b) f yx'' (a, b) . Criteriul lui Schwarz
Dacă f(x,y) are f xy' şi f yx' pe o vecinătate V a punctului (a,b) şi sunt continue în (a,b) '' '' derivatele mixte de ordinul doi în (a,b) sunt egale: f xy ( a, b) f yx ( a, b) . 108
Diferenţiala de ordinul I pentru funcţia de două variabile f : I R 2 formula: df
f x
dx
f y
este dată de
R
dy
sau df f x' dx f y' dy
Diferenţiala de ordinul I pentru funcţia de trei variabile f : I R 3 R este dată de formula: f
df
x
dx
f y
dy
f z
dz
sau df f x' dx f y' dy f z ' dz
Diferenţiala de ordinul II pentru funcţia de două variabile f : I R 2 formula: 2
d f
2
f 2 dx 2 x
2
f 2 dxdy x y
este dată de
R
2
f 2 dy 2 y
sau d 2 f f x'' dx 2 2
''
2 f xy dxdy
f y'' dy 2 2
Diferenţiala de ordinul II pentru funcţia de trei variabile f : I R 3 R este dată de formula: 2
d f
2
f
x
2
dx
2
2
f
y
2
dy
2
2
f 2
z
2
2
dz
2
f
x y
dxdy 2
2
f
y z
dydz 2
2
f
z x
dzdx
sau d 2 f f x'' dx 2 2
f y'' dy 2 2
f z '' dz 2 2
''
2 f xy dxdy
''
''
2 f yz dydz 2 f zx dzdx
Exemplul 7.1. 3 2 2 3 Fie f : R R , f ( x, y ) x 4 x y 7 xy y 189 . Să se calculeze diferenţia lele de 2
ordinul I şi de ordinul II. Rezolvare:
Pentru a calcula diferenţiala de ordinul I este necesar să calculăm derivatele parţiale de ordinul I, în raport cu x şi cu y : f x'
3 x 2
f y'
4 x
8 xy 7 y
2
2
14 xy 3 y
2
Înlocuind în formula diferenţialei de ordinul I obţinem: df f x' dx f y' dy df (3 x 2 8 xy 7 y 2 )dx (4 x 2 14 xy 3 y 2 )dy
Pentru a calcula diferenţiala de ordinul II este necesar să calculăm derivatele parţiale de ordinul II:
f x''2 f xy''
f yx''
6 x 8 y
8 x 14 y
109
f y''
14 x 6 y
2
Înlocuind în formula diferenţialei de ordinul II obţinem: d 2 f f x''2 dx 2 2 f xy'' dxdy f y''2 dy 2 d 2 f (6 x 8 y )dx 2 2(8 x 14 y )dxdy (14 x 6 y )dy 2
Exemplul 7.2. Fie f : R 3 R ,
f ( x, y, z ) x 3 y 3 z 3 xy 3 xyz .
Să se calculeze
diferenţiala de ordinul I şi diferenţiala de ordinul II. Rezolvare:
Pentru a calcula diferenţiala de ordinul I este necesar să calculăm derivatele parţiale de ordinul I, în raport cu x , y şi cu z : f x'
f y'
3 x 2
f z '
y 3 yz
3 y 2
x 3 xz
3 z 2
3 xy
Înlocuind în formula diferenţialei de ordinul I obţinem df f x' dx f y' dy f z ' dz df (3 x 2
y 3 yz )dx (3 y 2
x 3 xz )dy (3 z 2
3 xy )dz
Pentru a calcula diferenţiala de ordinul II este necesar să calculăm derivatele parţiale de ordinul II: ''
f x2
f xy''
f yx''
f y''
2
'' f yz
6 x 1
6 y
f zy''
f z '2'
6 z
f zx''
3 z
''
f xz
3 x
3 y
Înlocuind în formula diferenţialei de ordinul II obţinem: d 2 f f x''2 dx 2 d 2 f 6 xdx 2
f y''2 dy 2
6 ydy 2
f z '2' dz 2
6 zdz 2
2 f xy'' dxdy
(1 3 z )dxdy
2 f yz '' dydz 2 f zx'' dzdx
3 xdydz 3 ydzdx
7.4. Rezumat
Regulile de calcul pentru derivatele parţiale ale unei funcţii de două variabile
sunt aceleaşi ca la derivarea unei funcţii de o singură variabilă. Trebuie precizată variabila în raport cu care se derivează, cealaltă variabilă comportându-se ca o constantă în raport cu derivarea; Dacă o funcţie de două variabile admite derivate parţiale de ordinul n, atunci acestea sunt în număr de 2 derivate parţiale. n
110
Regulile de calcul pentru derivatele parţiale ale unei funcţii de trei
variabile sunt asemănătoare cu cele de la derivarea unei funcţii de o două variabile. Trebuie precizată variabila în raport cu care se derivează, celelalte variabile comportându-se ca şi constante în raport cu derivarea; Dacă o funcţie de trei variabile admite derivate parţiale de ordinul n, atunci acestea sunt în număr de 3n derivate parţiale. Dacă f : A R R este diferenţiabilă în punctul (a, b) , interior lui A , atunci diferenţiala de ordinul I a funcţiei f în punctul (a, b) este funcţia liniară: 2
f (a, b)
df (( x, y); (a, b))
x
( x a)
f (a, b) y
( y b)
iar diferenţiala de ordinul doi este:
2
d f (( x, y ); (a, b))
2
f (a, b) x
2
( x a)
2
f (a, b) y
( y b)
7.5. TEST de AUTOEVALUARE Timp necesar: 40 min
Să de calculeze: a) derivatele parţiale de ordinul I şi II diferenţialele de ordinul I şi II b) pentru funcţiile: 1)
f ( x, y ) x 2
2 xy y 2
2)
f ( x, y, z) 2 x2 3xy y 2 z 2 x
3)
f ( x, y ) ( x 2
y 2 )2
RĂSPUNSURI 1) a) f x'
2 x 2 y, f y
'
b) df
(2x 2 y)dx (2 x 2 y) dy , d 2 f
2x
2 y, f
''
x2
''
2, f xy
''
2, f 2 y
2dx
2
2
4dxdy
2x
2) a) f x' 4 x 3 y z 2 , f y' 3x 2 y , f z ' 2zx; f ''2
x
'' 4, f xy
'' 3, f xz
2 z, f ''2
y
'' '' 2, f yz 0, f 2 z
b) df (4x 3y z2 )dx (3x 2 y)dy 2zxdz d 2 f 4dx 2 2dy 2 2 xdz 2 6dxdy 4 zdxdz
3) a) f x'
4x
3
4 xy
f ''2
12x
b) df
(4 x3
x
d2 f
2
12 x
'
, fy 2
''
4x
4 y , f xy
2
2
y 4 y3 ;
8xy, f
''
y2
4x
2
12 y
2
4xy 2 )dx (4x 2 y 4 y 3 )dy
2
4 y 2 dx 2
16 xydxdy 4 x 2
111
12 y 2 dy 2
2dy
2
2
2
2
f (a, b) x y
( x a)( y b)
7.6. BIBLIOGRAFIE
1.
Cenuşă, Gh. şi colectiv - Matematici pentru economişti ; Bucureşti, Editura CISON, 2000
2. 3. 4. 5.
Cenuşă, Gh. şi colectiv - Matematici pentru economişti. Culegere de probleme; Bucureşti, Editura CISON, 2001 Fătu, I., Dinescu, C. - Matematici pentru economişti ; Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1995 Popescu, O. şi colectiv - Matematici aplicate în economie ; Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1993 Teodorescu, S., -Matematici economice, Editura Bren, 2005
ANALIZĂ MATEMATICĂ Unitatea de învăţare 8 EXTREMELE FUNCŢIILOR DE MAI MULTE VARIABILE
Cuprins 8.1. Obiective
8.2. Punctele de extrem local ale unei funcţii de două variabile 8.3. Punctele de extrem local ale unei funcţii de trei variabile 8.4. Extreme condiţionate (cu legături) 8.5. Rezumat 8.6. Test de autoevaluare 8.7. Bibliografie
8.1. Obiective
După parcurgerea unităţii: 112
Veţi avea deprinderea modalităţilor de determinare a extremelor funcţiilor de două variabile, noţiuni frecvent utilizate în economie, spre exemplu în stabilirea optimului la consumator
Veţi avea deprinderea modalităţilor de determinare a extremelor funcţiilor de
trei variabile, noţiuni deasemenea frecvent utilizate în economie Veţi avea deprinderea modalităţilor de determinare a extremelor condiţionate ale funcţiilor de două variabile, noţiuni întâlnite în economie, spre exemplu în teoria economică a consumatorului
Timpul necesar de parcurgere a unității de învățare este
8.2. PUNCTELE
de 150 minute
DE EXTREM LOCAL ALE UNEI FUNCŢII DE DOUĂ VARIABILE
Noţiunea de extrem al unei funcţii de o variabilă, aşa cum a fost introdusă în clasa a XI-a , se poate generaliza pentru funcţii de mai multe variabile. Ca şi în cazul unei funcţii de o singură variabilă, o funcţie de mai multe variabile poate avea sau nu puncte de extrem.
Definiţia 8.2.1. Fie I R 2 , f : I R şi (a, b) I un punct interior al lui I. (a,b) se numeşte punct de minim local al funcţiei f(x,y) dacă există o vecinătate V a lui (a,b) astfel încât ( x, y ) V I să avem f ( x, y ) f (a, b). Analog, se defineşte (a,b) punctul de maxim local al funcţiei f(x,y) dacă există o vecinătate V a lui (a,b) astfel încât ( x, y ) V I să avem f ( x, y) f (a, b). Dacă (a,b) este un punct de extrem local pentru f(x,y) şi dacă Teorema 8.1. există derivatele parţiale de ordinul I în (a,b), f x' (a, b) şi f y' (a, b) atunci ele sunt nule: f x' (a, b) 0 , f y' (a, b) 0 .
Definiţia 8.2.2.
Un punct (a, b) IntI se numeşte punct staţionar (critic) al funcţiei f(x,y) dacă f(x,y)este diferenţiabilă în punctul (a,b)şi df(a,b)=0.
Observaţii: Dacă (a,b) este punct staţionar al funcţiei f(x,y) atunci f x' (a, b) 0 şi f y' (a, b) 0 . Dacă f(x,y) este diferenţiabilă pe I şi I este o mulţime deschisă, atunci punctele de extrem se găsesc printre punctele staţionare, adică printre soluţiile sistemului de ecuaţii f x' ( x, y ) 0 ' f y ( x, y ) 0 conform teoremei de mai sus.
Reciproca nu este adevărată. Nu întotdeauna un punct staţionar este punct de extrem al funcţiei. Analoage sunt definiţiile în cazul funcţiilor de trei sau mai multe variabile. 113
Pentru determinarea extremelor unei funcţii de două variabile, parcurgem următorul algoritm: Pas1. Se rezolvă sistemul de ecuaţii algebrice, format din derivatele parţiale de
ordinul I ale funcţiei egalate cu zero: f x' ( x, y ) 0 ' f ( x , y ) 0 y
(8.1)
Soluţiile acestui sistem, conform definiţiei 2 sunt punctele staţionare. Printre aceste puncte vom căuta eventualele puncte de extrem ale funcţiei f. Fie A(a,b), un astfel de punct staţionar, ale cărui coordonate sunt soluţiile sistemului (8.1). Pas 2. Se calculează derivatele parţiale de ordinul II
ale funcţiei: f x'' , f xy'' , f y . ''
2
2
Pas 3. Se construieşte matricea hessiană:
f x'' Hf ( x, y ) '' f yx
f xy''
f y
2
''
2
Pas 4. Se scrie matricea hessiană pentru fiecare punct staţionar, în parte, determinat la Pas1: f x''2 (a, b) f xy'' (a, b) Hf ( a, b) '' f yx (a, b) f ''2 ( a, b) y
Pas 5. Se calculează: ''
1 f 2 ( a, b) x
2
det Hf (a, b)
Pas 6.
Dacă 2 0 atunci: dacă 1 0 punctul staţionar este punct de minim. dacă 1 0 punctul staţionar este punct de maxim.
Dacă 2 0 , punctul staţionar nu este punct de extrem.
Dacă
2
0,
nu putem determina natura punctului staţionar .
Exemplul 8.1.
Să se determine punctele de extrem ale funcţiei f ( x, y ) x 2 y 2 . Rezolvare: Pas1. Se rezolvă sistemul de ecuaţii algebrice, format
ordinul I ale funcţiei egalate cu zero:
din derivatele parţiale de
f x' ( x, y ) 0 2 x 0 x 0 A(0,0) este punct staţionar; ' y y 2 0 0 f ( x , y ) 0 y Pas 2. Se calculează derivatele parţiale de ordinul II f x'' 2 , 2
f xy''
f y''
2
f yx''
2.
114
0,
ale funcţiei:
Pas 3. Se construieşte matricea hessiană:
f x'' Hf ( x, y ) '' f yx
f xy''
2 0 f y'' 0 2
2
Pas 4. Se scrie matricea
2
hessiană în punctul staţionar A(0,0) determinat la Pas1:
f x'' (0,0) f xy'' (0,0) 2 0 Hf (0,0) '' f yx (0,0) f '' (0,0) 0 2 y 2
2
Pas 5. Calculez: ''
1 f 2 (0,0) x
2
2 det Hf (0,0) 4 Pas 6. Cum 2 0 punctul staţionar punctul A(0,0) este punct de minim.
A(0,0) este punct de extrem; şi cum
1 0
Observaţie: Punctul de minim local al funcţiei este A(0,0) dar valoarea minimă a funcţiei este f(0,0)=0.
Exemplul 8.2.
Să se determine punctele de extrem ale funcţiei f ( x, y ) x 3 y 3 3xy 2 . Rezolvare: Pas1. Punctele staţionare sunt soluţiile sistemului: f x' ( x, y ) 0 3 x 2 3 y 0 x 2 y 0 2 2 ' f ( x , y ) 0 3 y 3 x 0 y x 0 y
Scăzând cele două ecuaţii obţinem: x
2
y
2
y x
0 ( x y )( x y 1) 0 x y sau
x 1 y
1 . În acest caz, s-au obţinut Dacă x y x 2 x 0 x( x 1) 0 x 0 sau punctele staţionare: A1 (0,0) şi A2 ( 1,1) . Dacă x 1 y y 2 y 1 0 0 ecuaţia nu are soluţii reale. Verificăm care dintre punctele A1 (0,0) sau/şi A2 (1,1) este punct de extrem. Pas 2. Se calculează derivatele parţiale de ordinul II ale funcţiei: x
f x''2 f xy''
f y''
2
6 x ,
f yx''
6 y
3,
.
Pas 3. Se construieşte matricea hessiană:
f x'' Hf ( x, y ) '' f yx 2
f xy''
6 x 3 f y 3 6 y ''
2
Pas 4. Caz I.
Se scrie matricea hessiană în punctul staţionar Pas1:
115
A1 (0,0) determinat la
f x'' (0,0) f xy'' (0,0) 0 3 Hf (0,0) '' f yx (0,0) f '' (0,0) 3 0 y 2
2
Pas 5. Calculez: ''
1 f 2 (0,0) x
2
0
det Hf (0,0) 9
punctul staţionar A1 (0,0) nu este punct de extrem. Caz II. Se scrie matricea hessiană în punctul staţionar A2 (1,1) determinat la Pas 6. Cum
2 0
Pas1:
f x'' ( 1,1) f xy'' ( 1,1) 6 3 Hf ( 1,1) '' f yx ( 1,1) f '' ( 1,1) 3 6 y 2
2
Pas 5. Calculez: ''
1 f 2 ( 1,1) 6 x
2 det
Pas 6. Cum
2
şi cum
0
1
Hf ( 1,1) 27
punctul staţionar A2 ( 1, 1) este punct de extrem;
0 punctul
A2 (
1, 1) este punct de maxim local.
Exemplul 8.3.
Să se determine punctele de extrem ale funcţiei f ( x, y) 4 x 2 y 2 xy x 3 . Rezolvare: Pas1. Punctele staţionare sunt soluţiile sistemului: f x' ( x, y ) 0 8 x y 3 x 2 0 x 2 y
' f ( x , y ) 0 y
x 2 y 2 2 16 y y 12 y 0 12 y 15 y 0
2 y x 0
x 2 y x 2 y x x 2 y x 0 5 sau sau y ( 4 5 ) 0 0 0 y y y y y 4
În acest caz, s-au obţinut punctele staţionare: A1 (0,0) şi A2 ( Verificăm care dintre punctele A1 (0,0) sau/şi A2 (
f yx''
ale funcţiei:
1,
f y''2 2 .
Pas 3. Se construieşte matricea hessiană:
f x'' Hf ( x, y ) '' f yx 2
f xy''
6 x 8 1 f y'' 1 2 2
Pas 4.
116
4
5 5 , ). 2 4
2
2 5
5 5 , ) este punct de extrem. 2 4
Pas 2. Se calculează derivatele parţiale de ordinul II f x'' 6 x 8 , f xy''
5
Caz I.
Se scrie matricea hessiană în punctul staţionar
A1 (0,0) determinat
la
Pas1:
f x'' (0,0) f xy'' (0,0) 8 1 Hf (0,0) '' f yx (0,0) f '' (0,0) 1 2 y 2
2
Pas 5. Calculez: 1 2
1
det Hf (0,0) 15
staţionar A1 (0,0) este punct de extrem; şi 0 punctul A1 (0,0) este punct de minim şi f min (0,0) 0 .
Pas 6. Cum cum
f x''2 (0,0) 8
2
0 punctul
Caz II. Se scrie matricea hessiană în punctul staţionar
A2 (
5 5 , ) determinat la 2 4
Pas1:
f 2 5 5 Hf ( , ) x'' f yx 2 4
f xy''
7 1 f y 5 5 1 2 ( , )
''
''
2
2 4
Pas 5. Calculez: 5 5 , ) 7 x 2 4 5 5 det Hf ( , ) 15 2 4 ''
1 f 2 ( 2
Pas 6. Cum 2 0
punctul staţionar
5 5 A2 ( , ) nu este punct de 2 4
extrem.
8.3. PUNCTELE DE EXTREM LOCAL ALE UNEI VARIABILE
FUNCŢII DE TREI
Pentru determinarea extremelor unei funcţii de trei variabile, parcurgem următorul algoritm:
Se rezolvă sistemul de ecuaţii algebrice, format din derivatele parţiale de ordinul I ale funcţiei egalate cu zero: Pas1.
f x' ( x, y , z ) 0 f ' ( x, y , z ) 0 y f ' ( x, y, z ) 0 z
(8.2)
Fie A(a,b,c), un astfel de punct staţionar, ale cărui coordonate sunt soluţiile sistemului (8.2). '' Pas 2. Se calculează derivatele parţiale de ordinul II ale funcţiei: f x''2 , f y , f z '' , f xy , ''
2
'' , f zx'' . f yz
Pas 3. Se construieşte matricea hessiană:
f x'' Hf ( x, y, z ) f yx'' '' f zx 2
117
f xy''
f xz ''
f y''2
f yz ''
f zy''
f z '2'
2
Pas 4. Se scrie matricea hessiană pentru fiecare punct la Pas1:
staţionar, în parte, determinat
f x'' ( a, b, c) f xy'' (a , b, c ) f xz '' (a, b, c ) '' '' '' Hf ( a, b, c) f yx (a, b, c ) f y (a , b, c ) f yz (a , b, c ) '' '' '' f ( a , b , c ) f ( a , b , c ) f ( a , b , c ) zx zy z 2
2
2
Pas 5. Se calculează: ''
1 f 2 ( a, b) x
f x'' (a, b, c) f xy'' ( a, b, c) 2 det '' f yx (a, b, c) f '' (a, b, c) y 2
2
3
det Hf (a, b, c)
Pas 6.
dacă
1 0, 2
0, 3 0 punctul
staţionar A(a,b,c) este punct de
minim.
dacă 1 0, 2 0, 3 0 punctul staţionar este punct de maxim.
Exemplul 8.4.
Să se verifice dacă funcţia f ( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 4 x 10 y 8 z admite puncte de extrem iar in caz afirmativ să se determine minimul sau maximul funcţiei, după caz. Rezolvare: Pas1. Se rezolvă sistemul de ecuaţii algebrice, format
ordinul I ale funcţiei egalate cu zero:
din derivatele parţiale de
f x' ( x, y , z ) 0 2 x 4 0 x 2 2 y 10 0 y 5 f ' ( x, y , z ) 0 A(2,5,4) este punct staţionar; y 2 z 8 0 z 4 f ' ( x, y , z ) 0 z Pas 2. Se calculează derivatele parţiale de ordinul II ale funcţiei: f x''2 2 , f xy'' f yx'' 0 f y''
2,
'' f yz
f zy''
0
f z ''
2,
f xz ''
f zx''
0
2
2
Pas 3. Se construieşte matricea hessiană:
f x'' Hf ( x, y, z ) f yx'' '' f zx 2
Pas 4. Matricea
f xz ''
f xy''
2 0 0 '' f yz 0 2 0 f z '' 0 0 2
f y''2 f zy''
2
hessiană în punctul staţionar A(2,-5,4) este: f x'' Hf ( 2,5,4) f yx'' '' f zx 2
f xy'' f y''2 f zy''
f xz ''
2 0 0 0 2 0 f yz '' 0 0 2 f z '' ( 2 , 5, 4 )
Pas 5. Calculez: 118
2
''
1 f 2 ( 2,5,4) x
f x'' 2 det '' f yx 2
3 det
f xy''
2
2
0
4 '' f y 0 2 ( 2, 5,4 ) 2
Hf (2,5,4) 8
punctul staţionar A(2,-5,4) este punct de minim local iar valoarea minimă a funcţiei este f (2,-5,4)= - 45. Pas 6. Cum
1 0, 2 0, 3 0
8.4. EXTREME CONDIŢIONATE (CU LEGĂTURI)
În această capitol vom trata problema pentru o funcţie de două varaiabile, generalizarea făcându-se uşor pentru o problemă în care variabilele x şi y sunt legate printr-o relaţie ( x, y ) =0
Punctele de extrem ale funcţiei f(x,y) relativ la relaţia
(8.3) (8.3) se numesc extreme
condiţionate sau extreme cu legături.
Algoritmul de determinare a extremelor cu legături urmează metoda multiplicatorilor
Lagrange:
Pas 1. Se construieşte funcţia ajutătoare, numită funcţie Lagrange: F ( x, y, ) f ( x, y) ( x, y ) unde R se numeşte multiplicator Lagrange şi este pentru moment nedeterminat. Pas 2. Se rezolvă sistemul de ecuaţii algebrice, format din derivatele parţiale de
ordinul I ale funcţiei Lagrange şi legătura egalate cu zero: F x' ( x, y ) 0 F ' ( x, y ) 0 y ( x, y ) 0
(8.4)
Acesta este un sistem de trei
ecuaţii cu trei necunoscute: x, y , . Soluţiile acestui sistem, dacă există, sunt punctele staţionare condiţionate. Printre aceste puncte vom căuta eventualele puncte de extrem ale funcţiei F. Fie A(a,b, ), un astfel de punct staţionar, ale cărui coordonate sunt soluţiile sistemului 1
(8.4). Pas 3. Se calculează derivatele parţiale de ordinul II
ale funcţiei: F x , F xy , F y . ''
2
''
''
2
Pas 4. Se construieşte matricea hessiană:
F x'' F xy'' HF ( x, y, ) '' F yx F '' y 2
2
Pas 5. Se scrie matricea hessiană pentru fiecare punct staţionar, în parte, determinat la Pas1: F x''2 ( a, b, 1 ) F xy'' (a, b, 1 ) HF (a, b, 1 ) '' F yx (a, b, 1 ) f ''2 (a, b, 1 ) y
Pas 6. Se calculează: ''
1 F 2 ( a, b, 1 ) x
119
2
det HF (a, b, 1 )
Pas 7.
Dacă dacă dacă
2
0 atunci:
1
0 funcţia f(x,y) are un minim condiţionat în punctul (a,b)
1
0 funcţia f(x,y) are un maxim condiţionat în punctul (a,b)
Dacă 0 , punctul staţionar (a,b) nu este punct de extrem condiţionat al funcţiei f(x,y) cu legătura (8.3).
Dacă
2
2 0
, nu putem determina natura punctului staţionar (a,b) .
Observaţie: Aici am tratat doar situaţia în care variabilele sunt legate printr -o singură relaţie, dar sunt cazuri în care variabilele sunt legate prin mai multe relaţii de dependenţă.
Exemplul 8.5.
Să se determine extremele condiţionate ale funcţiei f ( x, y ) x 2 y cu legătura ( x, y ) x 2 y 2 5 . Rezolvare: Pas 1. Construim funcţia ajutătoare: F ( x, y, ) f ( x, y ) ( x, y ) F ( x, y, ) x 2 y ( x 2 y 2 5) Pas 2. Se rezolvă sistemul de ecuaţii algebrice, format din derivatele parţiale de
ordinul I ale funcţiei Lagrange şi legătura egalate cu zero: 1 x 2 F x' ( x, y ) 0 1 2 x 0 2 F ' ( x, y ) 0 2 2 y 0 y y 2 ( x, y ) 0 x 2 y 2 5 0 2 2 x y 5
înlocuind pe x şi y în ultima
ecuaţie se obţine: 2 1
Caz I. 1
Caz II. 1
2
1 2
x
1
4
1, 2
1, y
2 (1,2)
1 2
2 (-1,-2) este punct
1, y
x
staţionar condiţionat.
este punct staţionar condiţionat.
Pas 3. Se calculează derivatele parţiale de ordinul II F x' ' 2
ale funcţiei:
2
F xy'' 0
F y''
2
2
Pas 4. Se construieşte matricea hessiană:
F x'' F xy'' 2 0 HF ( x, y , ) '' F yx F '' 0 2 y 2
2
120
Pas 5. Se scrie matricea hessiană pentru fiecare punct staţionar, Caz I. 1 0 1 HF ( 1,2, ) 0 1 2 Pas 6.
în parte:
1 1 2 1
Pas 7.
şi 1 0 punctul (-1,-2) este punct de minim local pentru funcţia f cu legătura . Cum
2 0
Caz II.
1 0 1 HF (1,2, ) 0 1 2 Pas 6. 1 1 2 1
Pas 7.
şi 1 0 punctul (1,2) este punct de maxim local pentru funcţia f cu legătura . Cum
2 0
Exemplul 8.5.
Să se determine extremele condiţionate ale funcţiei f ( x, y) 6 4 x 3 y cu legătura
x
2
y
2
1.
Rezolvare: Pas 1. Construim funcţia ajutătoare: F ( x, y, ) f ( x, y ) ( x, y ) unde ( x, y ) x 2
F ( x, y, )
6 4 x 3 y ( x 2
y2
1) ,
y2 1 .
4 x 2 F x' ( x, y ) 0 4 2 x 0 3 ' Pas 2. F y ( x, y ) 0 3 2 y 0 y 2 ( x, y ) 0 x 2 y 2 1 0 2 2 x y 1
înlocuind pe x şi y în
ultima ecuaţie se obţine: 2 5
Caz I. 1
Caz II. 1
2
x
5 2
4 5
,y
x
4 5
3
5 ,y
25 4
4 3 A( , ) 5 5 3 5
1,2
5 2
este punct staţionar condiţionat.
B(
4
3 , ) 5 5
este punct staţionar condiţionat.
Pas 3. Se calculează derivatele parţiale de ordinul II F x'' 2 2
121
ale funcţiei:
F xy'' ''
F y
2
0
2
Pas 4. Se construieşte matricea hessiană:
F x'' F xy'' 2 0 HF ( x, y , ) '' F yx F '' 0 2 y 2
2
Pas 5. Se scrie matricea hessiană pentru fiecare punct staţionar, Caz I. 5 0 4 3 5 HF ( , , ) 0 5 5 5 2 Pas 6. 1 5 2
în parte:
25
Pas 7. 4 3 0 punctul A( , ) este punct de minim local 5 5 pentru funcţia f cu legătura .
Cum
2 0
şi
1
Caz II. HF (
5 0 3 5 , , ) 0 5 5 5 2 4
Pas 6. 1 5 2
25
Pas 7. Cum 2 0 şi
1
0 punctul
B(
4
3 , ) este punct de maxim 5 5
local pentru funcţia f cu legătura . 4 3 f min ( , ) 1 5 5
şi
f max (
4
3 , ) 11 . 5 5
Exemplul 8.6.
Să se determine extremele condiţionate ale funcţiei f ( x, y) 1 x 3 y cu legătura
xy 3 0 . Rezolvare: Pas 1. Construim funcţia ajutătoare: F ( x, y, ) f ( x, y ) ( x, y ) unde ( x, y ) xy 3 .
F ( x, y, ) 1 x 3 y ( xy 3) ,
122
Pas 2.
1 y F x' ( x, y ) 0 1 y 0 3 F ' ( x, y ) 0 3 0 x x y ( x, y ) 0 xy 3 0 xy 3
x şi y în ultima ecuaţie se obţine 2
înlocuind pe
1 1, 2 1
este punct staţionar condiţionat. Caz II. 1 1 x 1, y 3 B( 1,3) este punct staţionar condiţionat. Pas 3. Se calculează derivatele parţiale de ordinul II ale funcţiei: Caz I.
1 1 x 1, y 3 A(1,3)
F x'' F xy''
F yx''
''
F y
0
2
2
0
Pas 4. Se construieşte matricea hessiană:
F x'' F xy'' 0 HF ( x, y, ) '' F yx F '' 0 y 2
2
Pas 5. Se scrie matricea hessiană pentru fiecare punct staţionar, în parte: Caz I. 0 1 HF (1,3,1) 1 0 Pas 6. 1
0
2 1
Pas 7. Cum
punctul A(1,3) nu este punct de extrem pentru funcţia f cu legătura . 2 0
Caz II. HF ( 1,3,1)
0 1 1 0
Pas 6. 1 0
2 1
Pas 7. Cum
punctul B( 1,3) nu este punct de extrem pentru funcţia f cu legătura . 2
0
8.5. Rezumat Pentru determinarea punctelor de extrem local se parcurg două etape: - Se determina punctele staţionare rezolvând sistemul :
123
f xi
-
0, i 1, n ;
Se aleg punctele de extrem local cu ajutorul matricii hessiene:
2 f 2 x1 2 f H x 2 x1 . . . . . 2 f x n x1
2 f x1 x 2
. . . . . . . .
2 f . x22
. . . . . . .
2 f x1 x n 2 f . x 2 x n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 f x n x2
. . . . . . . .
2 f . x n2
şi anume: daca determinantii principali sunt toţi strict mai mari ca 0, punctul este de minim, iar dacă semnele alternează incepând cu minus, punctul este de maxim.
Pentru determinarea punctelor de extrem condiţionat ale unei funcţii de două variabile se parcurg trei etape: - Se construieşte funcţia ajutătoare, numită funcţie Lagrange:
F ( x, y, ) f ( x, y) ( x, y ) - Se determina punctele staţionare rezolvând sistemul :
F x' ( x, y ) 0 F ' ( x, y ) 0 y ( x, y ) 0 - Se aleg punctele de extrem local cu ajutorul matricii hessiene:
F x'' ( a, b, 1 ) F xy'' (a, b, 1 ) HF (a, b, 1 ) '' F yx (a, b, 1 ) f '' (a, b, 1 ) y 2
2
şi anume: daca determinantii principali sunt toţi strict mai mari ca 0, punctul este de minim condiţionat, iar dacă semnele alternează incepând cu minus, punctul este de maxim condiţionat. 8.6. TEST de AUTOEVALUARE Timp necesar: 60 min
1. Să se determine extremele funcţiilor (dacă există) şi în caz afirmativ sa se determine minimul sau maximul funcţiei, după caz: 2 2 f ( x , y ) 2 x y x xy y a) b)
f ( x, y ) ( x 1) 2
c)
f ( x, y ) x 3 y 3 3 xy
d)
2y2
f ( x, y) 2 x 2 5 y 2 2 xy 6 x 6 y
124
2. Să se determine extremele funcţiei (dacă există) iar in caz afirmativ să se determine minimul sau maximul funcţiei, după caz.: f ( x, y, z ) x 2 2 y 2 3 z 2 6 xy 7 x 6 z 20 .
3. Să se determine extremele următoarelor funcţii cu condiţiile: a)
f ( x, y ) xy ,
x y
b)
f ( x, y ) x 2 y ,
x 2
c)
f ( x, y ) xy ,
2 x 3 y 5 0
1
y2
5
RĂSPUNSURI 1. a)
5 4 5 4 7 , este punct de minim local, iar valoarea minimă a funcţiei este f , . 3 3 3 3 3
A
1, 0 este punct de minim local, iar valoarea minimă a funcţiei este f 1, 0 0 . c) A 1,1 este punct de minim local, iar valoarea minimă a funcţiei este f 1,1 1. d) A 2,1 este punct de maxim local, iar valoarea maximă a funcţiei este f 2,1 9 . b)
A
2. Funcţia nu admite puncte de extrem. 3. a) b)
Funcţia nu admite puncte de extreme condiţionat. A1 1, 2 este punct de minim condiţionat iar valoarea minimă a funcţiei este f 1, 2 5 , A2 1, 2 este punct de maxim condiţionat iar valoarea maximă a funcţiei este f 1, 2 5 . c) Funcţia nu admite puncte de extreme condiţionat.
8.7. BIBLIOGRAFIE
1.
Cenuşă, Gh. şi colectiv - Matematici pentru economişti ; Bucureşti, Editura CISON, 2000
2. 3. 4.
Cenuşă, Gh. şi colectiv - Matematici pentru economişti. Culegere de probleme; Bucureşti, Editura CISON, 2001 Fătu, I., Dinescu, C. - Matematici pentru economişti ; Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1995 Popescu, O. şi colectiv - Matematici aplicate în economie ; Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1993 125
5.
Teodorescu, S., -Matematici economice, Editura Bren, 2005
126
PROBABILITĂŢI PROBABILITĂŢI ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ Unitatea de învăţare 9 VARIABILE ALEATOARE Cuprins 9.1. Obiective
9.2. Variabile aleatoare discrete. Definiţie. Operaţii 9.3. Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare discrete 9.4. Caracteristici numerice ale unei variabile aleatoare discrete 9.5. Variabile aleatoare bidimensionale 9.6. Rezumat 9.7. Test de autoevaluare 9.8. Bibliografie
9.1. Obiective
După parcurgerea unităţii : Aţi dobândit cunoştinţele de bază ale probabilităţilor şi statisticii matematice, necesare înţelegerii aplicării sale în alte discipline cum ar fi statistica economică V-aţi dezvoltat abilităţile de calcul necesare utilizării metodelor statisticii matematice în alte discipline. Sunteţi capabili să răspundeţi la întrebarea: Ce este o variabilă aleatoare? Sunteţi capabili să răspundeţi la întrebarea: Cum se calculează caracteristicile numerice ale unei variabile aleatoare?
Sunteţi capabili să răspundeţi la întrebarea:Care sunt proprietăţile mediei, dispersiei?
Sunteţi capabili să răspundeţi la întrebarea:Ce este o variabilă aleatoare bidimensională? Ce este coeficientul de corelaţie şi care sunt proprietăţile lui?
Timpul necesar
de parcurgere a unității de învățare este de 180 minute
125
9.2. VARIABILE ALEATOARE DISCRETE. DEFINIŢIE. OPERAŢII Definiţia 9.2.1. Variabilele aleatoare care iau o mulţime finită sau numărabilă de valori se numesc
:: → [0,1]
variabile aleatoare discrete. O variabilă aleatoare este o funcţie Schematic, o variabilă aleatoare se reprezintă x1 x 2 . . X : p1 p2 . .
, unde A este o mul’ime finită, astfel: . xn , . pn
⊂ ℝ
.
unde, în primul rând al tabloului sunt trecute valorile posibile ale variabilei şi sub fiecare valoare, probabilitatea cu care X ia această valoare. Observaţie: Pentru ca X să fie o variabilă aleatoare discretă trebuie ca n
p i 1
i
=1.
Tabloul de mai sus se numeşte repartiţia variabilei aleatoare X. Notaţie: Pentru simplitate vom nota de acum înainte variabila aleatoare cu aleatoare cu v.a. v.a. A. Adunarea variabilelor aleatoare
Fie X şi Y două v.a. independente cu repartiţiile: x1 p1
x2
.
.
.
xn
p2
.
.
.
pn
y1 Y : q1
y2
.
.
.
ym
q2
.
.
.
qm
X :
,
,
Atunci se defineşte adunarea adunarea v.a. X şi Y astfel: x1 y1 X Y : p11 unde pij (i Y
1, n, j
1, m)
x 2 y2
. . .
xi y j
p12
. . .
pij
. . . xn ym . . .
,
pnm
este probabilitatea realizării simultane a egalităţilor
X
xi
y j .
Exemplul 12.1. 1 0 0 1 1 1 1 2 Fie v.a. X: şi Y: 5 5 3 3
1 3
5
0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 2 1 1 3 2 2 6 1 1 1 3 2 1 2 1 2 3 X Y : 1 1 3 5 15 15 15 15 15 15 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 1 0 1 2 1 3 5 6 . 15 15 15 15
Înmulţirea variabilelor variabilelor aleatoare Fie X şi Y două v.a. independente cu repartiţiile:
B.
126
şi
00:00
x1 p1
x2
.
.
.
xn
p2
.
.
.
pn
y1 Y : q1
y2
. . .
ym
q2
. . .
qm
X :
,
,
Atunci se defineşte produsul v.a. X şi Y astfel: x1 y1 x2 y 2 . . . xi y j X Y : p12 pij . . . p11 unde pij ( i 1, n, j 1, m) Y
. . .
xn ym
. . .
pnm
,
este probabilitatea realizării simultane a egalităţilor
X
xi
şi
y j .
Exemplul 9.2. 0 Fie v.a. independente X: 1 3
0 1 X Y : 1 1 3 5 1 2 15
0 7 15
00 1 1
3 5
0 1 1 3
3 5
1 1 şi Y: 5 3
1 2
1 1
1 0
2 1
2 1
3 5
3 5
0 1
1 3
5
5
1 1
0 2 3 1 15 3 5
0 1
0 3
1 2
0 2
1 6
15
15
15
15
15
1 6 .
15
Observaţie: Pentru operaţiile de adunare, scădere şi înmulţire, operaţia care se efectuează asupra variabilelor aleatoare independente se reflect doar pe prima linie, pe linia a doua
probabilităţile se înmulţesc întotdeauna. C. Ridicarea la putere a unei variabile aleatoare Fie v.a. x x . . . x n X : . p p . . . p n 1
2
1
2
Se ridică la putere prima linie din repartiţia v.a., linia probabilităţilor rămânând neschimbată: x1n X : p1 n
n
. . .
n xn
p2
. . .
pn
x2
.
Exemplul 9.3.
1 0 1 Fie v.a. X : 1 1 3 5 5 5
X
4
( 1)4 1 5
04 1 5
14 3
5
1 0 1 0 1 1 3 1 5 5 5 5
D. Înmulţirea cu o constantă constantă a unei variabile aleatoare Fie v.a. cu repartiţia:
127
1 4
5
x1 p1
X :
x2
.
.
.
xn
p2
.
.
.
pn
.
Se înmulţeşte doar prima linie din repartiţia v.a. cu constanta a, linia probabilităţilor rămânând neschimbată: ax1 ax2 . . . axn . p1 p2 . . . pn
aX :
Exemplul 9.4. Fie v.a.:
( 2) ( 1) ( 2) 0 ( 2) 1 2 1 0 1 1 3 ( 2) X 1 1 3 1 X : 1 5 5 5 5 5 5 5
2 2 0 3 3 1 5 5 5 5
0 1
2 1
5
E. Adunarea unei variabile aleatoare cu o constantă Fie v.a. : x x . . . x n X : . p p . . . pn
Atunci variabila X+c are repartiţia:
1
2
1
2
x1 c X c: p1
x2 c . . .
x n c
. . .
p n
p2
.
9.3. FUNCŢIA DE REPARTIŢIE A UNEI VARIABILE ALEATOARE DISCRETE
Definiţia 9.3.1. Se numeşte funcţie de repartiţie a variabilei aleatoare X aplicaţia F: R 0,1 dată de F(x)= P(X
x2
. . .
xn
p2
. . .
pn
.
Funcţia de repartiţie asociată acestei
variabile aleatoare are următoarea formă: 0, x x1 p , x x x 1 1 2 F ( x ) p1 p2 , x 2 x x 3 ... 1, x x n
Observaţie: Graficul funcţiei de repartiţie este un grafic în trepte.
Exemplul 9.5.
2 1 1 Fie variabila aleatoare discretă X : 1 2 1 9 9 9
repartiţie. 128
3 2 9
4 1 3
. Să se determine funcţia de
00:15
Rezolvare:
Funcţia de repartiţie a acestei variabile aleatoare este 0, x 2 0, x 2 1 1 ,2 x 1 9 9 ,2 x 1 1 2 3 ,1 x 1 ,1 x 1 9 9 1 2 1 F ( x ) 94 9 9 9 ,1 x 3 ,1 x 3 1 2 1 2 9 ,3 x 4 6 ,3 x 4 19 29 19 29 1 9 , x 4 1, x 4 9 9 9 9 3 Exemplul 9.6.
1 Variabila aleatoare are repartiţia X: p 2 Rezolvare:
2 7 4
4 1
3 1
p
. Se cere P(X 3 ). 6
3
Cum X este variabilă aleatoare , suma probabilităţilor trebuie să fie egală cu 1: p 2
p1
7 4
p
1
1
3 6 21 27
24
1 2 X : 1 7 6 16 P( X
3)
sauP( X
1 12 p2 21 p 6 0 441 48 6 729
3 1 3
6 24
1
21 27
4
24
, p2
24
48 24
2 p
1 4
27
4 1
X 3 X 1 X 2 X 3 6
P( X 1) P( X
2) P( X 3)
3) 1 P( X 4) 1
1 6
1 16
7 16
1 3
5 6
5 6
9.4. CARACTERISTICI NUMERICE ALE UNEI VARIABILE ALEATOARE DISCRETE
Media şi dispersia unei variabile aleatoare discrete Fie v.a. discretă cu repartiţ ia: X :
x1
x2
.
.
.
xn
p1
p2
.
.
.
p n
.
Definiţia 9.4.1. Se defineşte media lui X sau valoarea medie a lui X ca fiind numărul: n
M ( X )
x i pi
x1 p1 x 2 p 2 ... x n p n
i 1
Definiţia 9.4.2. Se defineşte dispersia lui X ca fiind numărul: D( X ) M ( X 2 ) M 2 ( X ) 129
00:30
Definiţia 9.4.3. Se defineşte abaterea medie pătratică a lui X ca fiind Observaţie: Întotdeauna dispersia trebuie să fie strict pozitivă.
( X )
D( X ) .
Exemplul 9.7.
1 Fie v.a. X cu repartiţia 1 5
1
0
.Să se calculeze media şi dispersia variabilei X. 5
2
2
5
Rezolvare: M ( X )
2
X
( 1)2 va avea repartiţia: 1 5
5
2 2 Atunci, D( X ) M ( X ) M ( X ) =
Fie v.a. X cu repartiţia a) b) c)
2 7
p
1 2 2 0 1 5 5 5
1 0 2 2 5 5
0 2
Exemplul 9.8. 2 1
( 1)
3 5
1
1 ; 5
1 2 3 3 3 M ( X 2 ) 0 1 ; 5 5 5 5
25
14 25
, iar
( X )
D( X )
14 25
.
3
7
1 .
Să se calculeze p; Să se calculeze media,dispersia şi abaterea medie pătratică a variabilei X; Să se calculeze P(X 1 ).
Rezolvare: a) Cum X este variabilă aleatoare , suma probabilităţilor trebuie să fie egală cu 1: 2 7
1 p
7
1
4 p
7
Astfel, repartiţia lui X devine: 2 2 7
1 4 7
3
7 1
2 4 1 3 ; 1 3 7 7 7 7 21 2 2 2 2 4 2 1 3; M ( X ) ( 2) 1 3 7 7 7 7
b)
M ( X )
Atunci,
( 2)
D( X )
M( X
2
) M
2
2
9 147 3 ( X ) = 3 3 , iar ( X ) D( X ) 49 49 7
130
147 49
.
Exemplul 9.9. 1 a 1 2 a 1 1 1 2 Se dau variabilele independente X : şi Y : p q q 3 3 3
2
.
p
Să se calculeze a astfel încât variabila X-Y să aibă dispersia egală cu
4 9
Rezolvare:
Cum X şi Y sunt variabile aleatoare discrete trebuie să avem: 1 3 p q 1 , 1 2 q p 1 3 3 1
sistem care prin rezolvare dă soluţia:
p
q
3
.
Deci, variabilele X şi Y au repartiţiile: a X : 1 3
1 1
2 1
3
3
şi
a 1 Y : 1 3
1 1 3
2 1
. 3
4
Din ipoteză ştim că D(X-Y)= , iar din teorema dispersiei ştim că: 9
D(X-Y)=D(X)+D(Y) 2 2 D(X)= M ( X ) M ( X )
2 2 D(Y)= M (Y ) M (Y ) 1 1 1 a a Dar, M(X)= a 1 2 1 M 2 ( X ) ( 1) 2 ; 3 3 3 3 3 2 a 2 1 4 a 5 2a 2 2a 2 2 2 1 1 M ( X ) X : 1 D( X ) 3 3 9 3 3 3 3 3
Analog se calculează D(Y ) Din egalitatea D(X)+D(Y)=
2( a 1)2 9
4
9
2( a 1) 3
2 3
;
a=1.
Exemplul 9.10.
Fie v.a. X şi Y cu repartiţiile:
1 0 1 2 X : 2 p p 7 a) b) c) d)
2 2 7
1 şi Y : q 2
Să se determine repartiţia v.a. X+Y Să se determine funcţia de repartiţie a v.a X+Y Să se determine M(X+Y), D(X+Y), ( X Y ) Să se determine P(2 X+Y<5) 131
2 7
3 1
4 1
4
3
6
q
.
Rezolvare: 2 2 2 p p 1 7 7 1 1 Din condiţiile ca X şi Y să fie v.a. 2 7 1 1 p , q ; 7 4 q 4q 3 6 p, q 0
Atunci repartiţiile v.a. X şi Y sunt: 1 X : 2 7
2 2
1 1 şi Y : 16 7
0 1
1 2
7
7
0 1
1 2
2 2
7
7
2 7
3 1
4 1
16
3
6
Repartiţia v.a. X+Y=Z este:
a)
1 Z=X+Y: 2 7
7
1 1 16
2 7
3 1
16
3
4 1
= 6
1 2 3 4 5 6 1 2 0 0 2 15 59 80 82 1 1 12 45 59 = 56 112 336 336 336 7 21 336 336 336 b) Funcţia de repartiţie a v.a. Z este: 0, x 0 12 336 ,0 x 1 57 ,1 x 2 336 116 ,2 x 3 336 F Z ( x ) 196 ,3 x 4 336 278 ,4 x 5 336 326 ,5 x 6 336 1. x 6
c) Z
2
M(Z)= 0
0 : 12 336
D( Z )
d)
12 336
1
1 45
4 59
336
336
M( Z
2
)
45 336
9 80
2
16 82
59 336
3
25 48
336 336 336 4089 1067 2 2 ) M (Z ) ( 336 336
80 336
4
36 16 336
82 336
5
2
M ( Z
3 80
4 82
5 48
336
336
336
48 336
)
6
16 336
1067
59 336
80 336
82 336
221 336
D (Z )
12 ,160
0,65 65%
Varianta 2. P(2 X+Y<5)=P(2 Z<5)= F Z (5) F Z (2)
278 336
132
57 336
221 336
;
336
12,160 (Z )
; 336
4089
Varianta 1.
P(2 X+Y<5)=P(2 Z<5)=
336
6 16
0,65 65% .
3,48
9.5. VARIABILE ALEATOARE BIDIMENSIONALE
Definiţia 9.5.1. Fie X şi Y două variabile aleatoare discrete cu repartiţiile y j x i X , pi 0, ( )i I , pi 1 , şi Y , q j 0,( ) j J , q j 1 ,. pi q j jJ iI Z=(X,Y) se numeşte variabilă aleatoare bidimensională discretă . Repartiţia lui Z este: ( x i , y j ) , ( i, j ) I J . Z p ij Obser vaţie:
În
cazul
în
care
X
pij pi q j , ()( i, j ) I J .
şi
Y
sunt
variabile
aleatoare
independente
Definiţia 9.5.2. Prin definiţie, se numeşte coeficientul de corelaţie, al variabilelor aleatoare X şi Y, numărul notat cu X ,Y Y , X şi care are următoarea formulă de calcul: X ,Y
Observaţie: Dacă X
şi
Y
M ( X Y ) M ( X ) M (Y ) D( X ) D(Y )
sunt
M ( X Y ) M( X ) M( Y ) X ,Y 0 .
Din condiţia
X ,Y 0
variabile
.
aleatoare
independente
nu rezultă independenţa variabilelor aleatoare ci faptul că ele
sunt necorelate.
Exemplul 9.11.
Fie variabilele aleatoare simple şi independente X, Y definite pe acelaşi câmp finit de probabilităţi ( , K , P ) unde: 0 X: 1 2
2 şi Y : 1 2 4
1 1
1 1
5 1.
2
4
Să se scrie repartiţia variabilei aleatoare bidimensionale Z=(X,Y). Rezolvare: Variabila aleatoare bidimensională Z va avea repartiţia: (0,2) (0,1) (0,5) (1,2) (1,1) (1,5) Z: 1 1 1 1 1 1 4 8 8 4 8 8
sau prin reprezentarea tabelară: X/Y
-2
1
5
0 1 q j
1/8 1/8 1/4
1/4 1/4 1/2
1/8 1/8 1/4
133
pi 1/2 1/2 1
00:60
Exemplul 9.12.
Fie variabila aleatoare bidimensională discretă Z=(X,Y) a cărei repartiţie este dată în următorul tabel: X/Y
y1
y 2
y 3
pi
x1
0,11
0,29
0,20
p1
x 2
0,07
0,19
0,14
p2
q j
q1
q2
q3
1
Să se afle repartiţiile marginale X şi Y. Rezolvare:
x
X :
1
p
1
p1
0,11 0,29 1,20 0,6
x2 x deoarece sau X : 1 p 0 , 6 0 , 4
x2 2
şi p2
1 p1
0,4
q1 0,11 0,7 0,18
y1 y2 Analog Y : q1 q2
y1
y3
q2 0,29 0,19 0,48 Y :
unde: q3
y2
y3
0,18 0,48 0,34
q3 0,20 0,14 0,34
Exemplul 9.13.
Un proces economic financiar F este rezultanta a două componente esenţiale A şi B, caracterizate prin nedeterminare şi incertitudine. Modelul probabilistic al lui F este o variabilă aleatoare discretă Z=(X,Y), unde X modelează probabilistic componenta A, iar Y componenta B. Se presupune că repartiţia lui Z este următoarea: X/Y
0
1
2
2 3
0,2 0,1
0,3 0,1
0,1 0,2 1
q j
a) b) c) d)
pi
Să se caracterizeze probabilistic componentele A şi B; Să se stabilească dacă există o interdependenţă între A şi B; Ce efect ar avea evenimentul că valoarea lui X este 3? Efectul pe care îl are evenimentul că Y are valoarea 1?
Rezolvare: a). Componenta A, respectiv B, este caracterizată probabilistic de repartiţia marginală
a lui X, respectiv Y, adică:
2
3
1 2 0 respectiv Y : 0 , 6 0 , 4 0 , 3 0 , 4 0 , 3
X :
Interdependenţa dintre componentele A şi B este modelată probabilistic de interdependenţa dintre variabilele aleatoare X şi Y; dacă există (i,j) 1,2 1,2,3 b).
134
astfel încât pij pi q j atunci X şi Y sunt variabile aleatoare dependente. Se observă că p11 P( X 2, Y 0) 0,2 P( X 2) P(Y 0) 0,18 . Prin urmare, variabilele aleatoare X şi Y sunt dependente şi se poate aprecia că procesul economic F apare ca rezultat al unei legături dintre cele două componente A şi B, legătură care poate avea un caracter funcţional. c). Efectul pe care îl are evenimentul (X=3) este caracterizat probabilistic de repartiţia lui Y, condiţionată de (X=3) şi anume: ,
0 (Y/X=3) : 1 4 d)
1 1
2 1
4
4
Efectul pe care îl are evenimentul (Y=1) este caracterizat probabilistic de repartiţia lui X, condiţionată de (Y=1) şi anume: 2 (X/Y=1) : 3 4
3 1.
4
Exemplul 9.14.
Fie X şi Y două variabile aleatoare discrete cu repartiţiile: 1 X: 1 2
1 1
1
şi Y :
2 1 .
2
3
2
3
Dacă P(X=-1,Y=-1)= k, k R, să se calculeze: a) repartiţia variabilei aleatoare bidimensionale Z=(X,Y); b) coeficientul de corelaţie în funcţie de k; c) valorile lui k pentru care X şi Y sunt necorelate.
XY
Rezolvare: a) Deoarece X şi Y sunt
variabile aleatoare simple, repartiţia lui Z=(X,Y) este dată de tabelul repartiţiei comune a lui X şi Y, adică:
b) XY
X/Y
-1
2
-1 1 P(Y= y j )
k (2/3)-k 2/3
(1/2)-k k-(1/6) 1/3
M ( X Y ) M ( X ) M ( Y ) D( X ) D(Y )
, unde:
1 XY : k Avem M(XY)=k+(-2)(
1 2
2
k )+(-1)(
D(Y)=2. Rezultă aplicând
P(X= x i ) 1/2 1/2 1
2 1 2
1
k
2 3
k
k )+2( k
1
3 6 formula de mai sus: 6k 2 XY 2
135
1, k 6 2
)=6k-2; M(X)=0, M(Y)=0, D(X)=1,
1
rezultă k = , pentru această valoare a lui k variabilele aleatoare X şi Y
Din XY 0
3
sunt necorelate.
Exemplul 9.15.
1 0 Fie v.a. X cu repartiţia X : 1 1 8 4
1 5 . Să se calculeze coeficientul de corelaţie dintre
8
X şi X2. Rezolvare:
Din formula coeficientului de corelaţie avem : XX 2
M ( X X 2 ) M ( X ) M ( X 2 ) D( X ) D(Y )
M ( X 3 ) M ( X ) M ( X 2 ) D( X ) D(Y )
Pentru calculul valorilor ce intră în componenţa formulei de mai sus, e necesr să determinăm repartiţiile variabilelor X2, X3, X4. X
2
1 :1 8
1 5
0 1 4 8
0 1 4
1 1 3 3 , X : 1
0 1
1 0 4 5 , X : 1
1 3.
4
4
8
4
8
4
Din M ( X )
1 2
M ( X 2 ) 3 şi M ( X )
, 3 4
M ( X
)
3 4
, M ( X 4 )
1
2
2
( X ) M ( X 2 ) M 2 ( X )
D
3 4
3
4
1
4
4 3
D( X 2 ) M ( X 4 ) M 2 ( X 2 )
2
1 2
9
4 16
X
3 16
2 2
X 2
,
rezultă: 1 XX 2
M ( X ) M ( X ) M ( X ) 3
2
D( X ) D(Y )
2
1
1 3
2 4 8 6 . 6 2 3 6
2
4
8
Exemplul 9.16.
Fie X şi Y două v.a. cu repartiţiile: 1 0 1 şi Y : 1 X : p1 p 2 5 a)
Determinaţi p1 şi
b)
Determinaţi repartiţiile v.a. X / Y 1 , X / Y 2 ,
p 2
ştiind că: P ( X 1, Y 2)
136
2 4.
5
1 2
şi XY
Y / X
0
şi
2
. 8 Y / X 1 .
;
3 4
Rezolvare: a) Din condiţia ca X să fie v.a. discretă p1 , p2 0,1; p1 p2
1
p2 1 p1 .
Repartiţia v.a. bidimensionale (X,Y) este: X\Y
1
2
0
p1-(3/10)
3/10
P(X= x i ) p1
1 P(Y= y j )
(1/2)-p1 1/5
1/2 4/5
1-p1 1
Avem: M ( X ) 0 p1 1 p2
p2
1 p1
M ( X 2 ) 1 p1
D( X ) M ( X 2 ) M 2 ( X ) 1 p1 (1 p1 ) 2
1 p1
1 2 p1 p12
p1 p12
Analog, M (Y )
1
8
9
5 5 5 1 16 17
M (Y 2 )
5
5
5
D(Y ) M (Y 2 ) M 2 (Y )
17
5
81
4
25
25
Y
2
5
Cum nu ştim dacă v.a. X şi Y sunt independente, media v.a. XY o vom determina folosind repartiţia v.a. bidimensionale (X,Y): M ( XY ) 0 1 ( p1
1 2
p1 1
3 2
3 10
) 02
2
p1 (1 p1 ) 2
p1 p1
2
10
1
1
2
2
1 1 ( p1 ) 1 2
p1
2
Înlocuind în ecuaţia XY 3
3
8
9 5
2
4 p1
M ( XY ) M ( X ) M (Y )
8
X Y 2
2
4
Calculând cele două rădăcini şi ţinând seama că de mai sus) obţinem
p1
1 3
p2
8
2 3
..... 129 p12
p1
0
.
În acest caz, repartiţiile marginale sunt: 0 X : 1 3
2
, obţinem:
3
2 p1 p1
5
1 1 2 şi Y : 1 3 5
iar repartiţia comună este:
137
2 4 ,
5
97 p1 3
18 0 .
şi p1 (din prima implicaţie 8
b)
X\Y
1
2
0 1
1/30 1/6
P(Y= y j )
1/5
3/10 1/2 4/5
0 X / Y 1 : P ( X 0, Y 1) P (Y 1)
0 1 1 P ( X 1, Y 1) 30 P (Y 1) 1 5
P(X= x i ) 1/3 2/3 1 1 1
0 6 1 1 6 5
1 5
6
Analog, 1 ( 1 , X 0) P Y Y / X 0 : P ( X 0)
Calculaţi singuri repartiţiile v.a.
1 2 1 P (Y 2, X 0) 30 P ( X 0) 1 3
X / Y
2
şi
Y / X
2 3
1 2 9 10 1 1 10 10 3
1.
9.6. Rezumat
Fie (Ω, K , P ) un câmp de probabilitate. O aplicaţie X : Ω → R se numeşte variabilă aleatoare (v .a.) dacă pentru orice x R avem: { X ( ) < x } K . Variabila aleatoare X : Ω → R poate fi: a) discretă, dacă mulţimea valorilor v.a. (adică X (Ω) ) este
finită sau numărabilă; b) continuă, dacă mulţimea valorilor v.a. este un interval sau o reuniune finită de intervale din R . Se numeşte media (valoarea medie) variabilei aleatoare X numărul (dacă există): M ( X )
xi pi , dacă X este o v.a. discretă;
i I
Proprietăţile mediei sunt: a) M (a) = a; b) M (aX ) = a M (X ); c) M (X +Y ) = M (X ) + M (Y );
∈ℝ
d) dacă v.a. X, Y sunt independente, atunci M (X Y ) = M (X ) M (Y ),
Se numeşte D
2
( X )
dispersia variabilei aleatoare X
M X
M ( X )
2
Proprietăţile dispersiei sunt: a) D 2( X ) 0; b) D 2( X ) = M ( X 2) - M 2( X ); c) D 2(a) = 0; 138
numărul (dacă există):
01:20
d) D 2(a X ) = a2D 2( X ); e) dacă X , Y sunt v.a. independente, atunci D 2(X + Y ) = D 2( X ) + D
2
(Y ) ,
∈ℝ.
Fie (Ω, K , P ) un câmp de probabilitate. O aplicaţie (X , Y ) : R 2 se numeşte variabilă aleatoare bidimensională (vector aleator ) dacă oricare ar fi ( x , y ) R 2 avem: { X () < x , Y () < y } K . Se numeşte coeficient de corelaţie al variabilelor aleatoare X şi Y numărul:
( X , Y )
cov( X , Y )
( X ) (Y )
M ( XY ) M ( X ) M (Y )
( X ) (Y )
Proprietăţile coeficientului de corelaţiei sunt:
- ρ ( X , Y ) = 0 dacă şi numai dacă v.a. X şi Y sunt necorelate. - Dacă X, Y sunt v.a. independente, atunci ρ ( X , Y ) = 0.
9.7. TEST de AUTOEVALUARE Timp necesar: 60 min 1.
Fie X şi Y două v.a. independente cu repartiţiile: 1 X : p 1 6
şi
2 9
1
Care din următoarele tablouri poate fi repartiţia variabilei aleatoare discrete X: 2 3 4 5 1 ; 0,1 0,3 0,2 0,3 0,1
b)
1 1 6
2 1
3 1
4 1
6
6
6
1 1 4
2 1
3 1
4 1
4
4
4
d)
1 3
1 0 Y : 1 q 3
a)
c)
p
1 1 3
Să se calculeze p şi respectiv q, să se scrie repartiţiile lui X şi Y; Să se calculeze M ( X ), D( X ), ( X ); Să se calculeze M (Y ), D(Y ), (Y ); Să se calculeze P X 0 , P Y 0 .
a) b) c) d) 2.
0
1 2 p
2 p
3 1 8
5 1
; 6
4 1
, p>0; 8
139
1 2 p
e)
2 7 p 4
4 1
3 1 3
, p>0. 6
3. Fie X şi Y două v.a. independente cu repartiţiile: 4 6 3 5 1 2 şi Y : 0,6 0,2 0,2 0,2 0,3 0,5
X :
Să se determine repartiţiile variabilelor aleatoare X+Y, X-Y, XY, şi să se afle M(X), M(Y), D(X), D(Y). 4. Fie X o v.a. cu repartiţia: b 7 a , 0,2 0,5 0,3
X :
şi M(X)=5,7. Să se calculeze F X , D( X ), ( X ); şi să se facă graficul funcţiei de repartiţie. 5. Repartiţia unei v.a. discrete este: cu a+3=b
3 1 X : 7
2 3
7
7
Să se determine funcţia de repartiţie F X Să se calculeze P ( X 2 5) .
a) b)
6.
0 3
2
( x)
şi să i se facă graficul;
Variabilele aleatoare X şi Y au repartiţia comună : X
0
2
3
0.25 0.15
0.1 0.2
0.15 0.15
Y -1 2
a) b) c)
7.
Să se determine repartiţiile marginale , Să se stabilească dacă variabilele aleatoare X şi Y sunt independente, Să se determine repartiţia variabilei aleatoare A=X+Y, B=XY.
Fie X şi Y două variabile aleatoare discrete având repartiţia comună dată în tabelul: X
-2
-1
1
Y -1 3
0,1
0,6 0,1
0,3
0,3
140
1
Să se scrie repartiţiile variabilei aleatoare X şi Y şi repartiţia comună a celor două. b) Să se calculeze . a)
3
, ~0,24 0,16 ~0,17 0,33 = =2, =
8. Se dau variabilele aleatoare: .
,
.Fie
Să se scrie repartiţia comună a variabilelor aleatoare X şi Y; Să se determine parametrul k astfel încât variabilele aleatoare X,Y sa f ie
a) b)
necorelate;
Pentru k determinat la punctul b) să se stabilească dacă variabilele aleatoare X şi Y sunt independente.
c)
1 2 3 1 2 ~ ~ 0. 2 5 0. 4 0. 3 5 0. 3 5 0. 6 5 =2, =1 =0,05 =1, =2 =0,1 şi ,să se determine:
9. Fie variabilele aleatoare :
şi
a). repatiţia comună a variabilelor aleatoare X şi Y; b). coeficientul de corelaţie al variabilelor aleatoare X şi Y.
RĂSPUNSURI: -1 0 1. a) p ; q ; X: 1 5 12 9 4 12 1
1
b)
M ( X )
c)
M (Y )
d)
P X
12 1
1
4
9
; D X
; D X
0
2 3
;
83
144 43
81
P Y
1 ;
3
; X
; X
0
2 3
-1 0 Y: 1 4 3 9
9 2
83
12 43
9
.
2. a) da; b) nu; c) da; d) da pentru p 3. a)
1
1 2
; e) da pentru p
4 6 7 8 9 11 3 Y : ; 0,12 0,18 0,34 0,06 0,04 0,16 0,1 3 2 1 1 2 4 4 X Y : ; 0, 04 0, 06 0, 04 0,16 0, 22 0,18 0, 3 3 5 8 12 18 20 30 2 X Y : ; 0,12 0,18 0, 3 0, 04 0,1 0, 06 0,1 0,1 M ( X ) 3, 8; D X 1, 56; M (Y ) 2, 6; D X 4, 24. X
4. D X 2, 01;
X 1, 41.
141
1 4
.
. Ştiind că
0, x 0 3 , 0 x 4 6 7 5. a) F X 2 ( x) ; b) P X 2 5 . 7 6 , 4 x 9 7 1, x 9 6.
. ~~10.510.251 ~2 0.404 50.23 0.33~ 3 2 0 4 6 0.25 0.1 0.3 0.2 0.15 0.15 0.1 0.4 0.2 0.15
, b). X şi Y sunt v.a. dependente.
,
c).
7.
a). Y X -1 3
-2
-1
1
0.1 0.2 0.3
0.3 0.1 0.4
0.2 0.1 0.3
~=10.6 0.34 ~20.3 10.4 0.13 √
0.6 0.4 1
b)
8. a).
Y
-1
3
-2
0.4-k
K
0.4
∈0,0.3
k+0.3
0.3-k
0.6
0.7
0.3
1
X 1
k b).k=0.12 , c) da. 9.
a). Y
1
2
1
0.15
0.1
2
0.05
0.35
3
0.15
0.2
X
b).
,√ ≈0.0477685 142
9.8. BIBLIOGRAFIE
1.
Cenuşă, Gh. şi colectiv - Matematici pentru economişti ; Bucureşti, Editura CISON, 2000
2. 3. 4. 5.
Cenuşă, Gh. şi colectiv - Matematici pentru economişti. Culegere de probleme; Bucureşti, Editura CISON, 2001 Fătu, I., Dinescu, C. - Matematici pentru economişti ; Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1995 Popescu, O. şi colectiv - Matematici aplicate în economie ; Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1993 Teodorescu, S., -Matematici economice, Editura Bren, 2005
143
Partea a IV-a. MATEMATICI FINANCIARE
Unitatea de învăţare 10 DOBÂNDA SIMPLĂ ŞI DOBÂNDA COMPUSĂ Cuprins 10.1. Obiective 10.2. Dobânda simplă 10.3. Dobânda compusă 10.4. Proporţionalitate şi echivalenţa dobânzilor 10.5. Rezumat 10.6. Test de autoevaluare 10.7. Bibliografie
10.1. Obiective
După parcurgerea unităţii veţi fi capabili să răspundeţi la întrebările: Cum se calculează dobânda simplă cand procentul anual de dobândă este unic sau când se modifică pe parcursul perioadei? Cum se calculează dobânda compusă cand procentul anual de dobândă este unic şi când se modifică pe parcursul perioadei? Ce sunt procentele proporţionale şi echivalente? Timpul necesar de parcurgere a unității de învățare este de 120 minute
150
10.2. DOBÂNDA SIMPLĂ Noţiunea de bază cu care se operează în calculele financiare este noţiunea de dobândă. Din punct de vedere practic, dobânda poate fi definită ca o remuneraţie pentru un împrumut bănesc. Dobânda serveşte la măsurarea costului unei operaţiuni financiare de împrumut, de creditare sau de finanţare. Odată cu dezvoltarea economică generală a apărut noţiunea de dobândă unitară sau procent . Definiţia 10.2.1. Dobânda unitară (Rata anual ă a dobânzii ) este dobânda dată de o unitate monetară (1 u.m.) pe timp de 1 an . În practică o vom nota cu i .
Definiţia 10.2.2. Procentul este dobânda dată de 100 u.m. pe timp de 1 an şi se notează cu p. Observaţie. Din cele două definiţii de mai sus se observă că dobânda este a suta parte din
= 100 ⇔=100∙
procent. Vom scrie acest lucru astfel:
Definiţia 10.2.3. Dobânda calculată asupra aceleiaşi sume de bani pe toată durata împrumutului se numeşte dobândă simplă. Notaţii: S - suma depusă sau împrumutată; t - timpul exprimat în ani; D - dobânda simplă dată de suma S pe perioada t ; - suma sau valoarea finală, adică suma disponibilă peste t ani dacă se S f plasează în momentul iniţial suma S . 0
0
0
Pe o perioadă de 1 an dobânda se calculează după formula: D
S 0 i
S p
100
Pentru o perioadă mai mare de 1 an, adică pe o perioadă de t ani , vom avea o dobândă de t ori mai mare: D S 0 i t
S p t 100
(10.1)
Observaţie: Dobânda simplă este direct proporţională cu suma împrumutată, cu procentul şi cu timpul. Dacă împărţim anul în k părţi egale şi t este un număr de astfel de părţi pentru care se calculează dobânda atunci formula ( 10.1) devine: k
D
S 0 i t k k
151
S 0 p t k 100 k
(10.2)
00:00
Observaţie: pentru k=2,
anul se împarte în 2 semestre
pentru k=4,
anul se împarte în 4 trimestre
pentru k=12, anul se împarte în 12 luni
D
S 0 i t 4
4 S 0 i t 12
12 D
S 0
D
;
;
S 0 i t 36 0
Suma finală are următoarea formulă: S f
;
2
D
pentru k=360, anul se împarte în 360 zile
S 0 i t 2
D
360
.
S 0 (1 i t )
Exemplul 10.1.
Un capital de 100.000 u.m. este plasat într -un cont cu procentul anual de 9%. Ce sumă va fi disponibilă peste 20 zile? Dar peste 3 luni? Dar peste un an?
Rezolvare:
Suma iniţială sau capitalul este S =100.000 u.m.; rata anuală de dobândă este i=0.09; perioada de timp , în fiecare din cele trei cazuri, este: 0
a)
t 360 =20
zile b) t 12 =3 luni c) t=1 an a)
S f S0 (1 i
b) c)
t 360
) 100.000(1 0.09
20
) 100500 . u.m. 360 360 t 12 3 S f S0 (1 i ) 100.000(1 0.09 ) 102.250 u.m. 12 12 S f S0 (1 i t ) 100.000(1 0.09 1) 109.000 u.m.
Exemplul 10.2.
De ce sumă dispunem peste 270 zile dacă depunem azi 5000 u.m. cu procent de 3 % anual? Care este dobânda obţinută? Rezolvare:
Suma iniţială sau capitalul este S =5.000 u.m.; rata anuală de dobândă este i=0.03; 0
perioada de timp este t 360 =270 zile;
Atunci, capitalul la sfârşitul perioadei va fi: 152
S f
S0 (1 i
t 360 360
) 5000 . (1 0.03
270 360
) 5112.5 u.m.
iar dobânda obţinută va fi: D
S f S 0
112,5 u.m.
Exemplul 10.3.
În câte zile suma de 4800 u.m. va deveni 4912 u.m. cu procent de 8% anual? Rezolvare:
Dobânda, D S f S 0 112 u.m. , iar perioada de timp , măsurată în zile, o scoatem din formula dobânzii simple: D S 0 i
t 360
360
t 360 360
D S0 i
360
112 4800 003 .
280 zile.
Exemplul 10.4.
Cu ce procent trebuie depusă suma de 3500 u.m. pentru ca peste 240 zile să se ridice suma de 3570 u.m.? Rezolvare:
Suma iniţială sau capitalul este S =3500 u.m.; suma finală este S f =3570 u.m. 0
perioada de timp este
t 360 =240
zile;
Rata anuală de dobândă o scoatem din formula dobânzii simple. Ştiind că D S f S 0
70 u.m.,
iar, D
S0 i
t 360
360
i
360
D S 0 t 360
360
70 3500 240
0015 .
Cum procentul este p 100 i p 1,5% .
Exemplul 10.5.
Depunând o sumă de 131.550 u.m. se achită o datorie care era de 120.000.u.m. acum un an şi 9 luni. Capitalizarea făcându-se cu dobândă simplă, care este rata anuală de dobândă? Rezolvare:
Suma iniţială sau capitalul este S =120.000 u.m.; suma finală este S f =131.550 u.m. perioada de timp este t=1 an şi 9 luni, 0
sau 153
=1 129 =1,75
Rata anuală a dobânzii se determină din formula dobânzii simple, adică: D S 0 i t i
D
S f S 0
S 0 t
11.550
S 0 t
120.000 1,75
0,055
adică procentul este p=5.5%.
Exemplul 10.6. Cu dobânda simplă şi procentul anual de 6.3%, o sumă a trecut de la 100.000 u.m. la 114.700 u.m. Pe ce perioad ă de timp a fost plasată? Rezolvare: Suma iniţială sau capitalul este S 0 =100.000 u.m.; suma finală este S f =114.700 u.m.;
rata anuală a dobânzii este i=0.063 Perioada de timp (măsurată în ani) se determină din formula dobânzii simple, adică: D S 0 i t t
D S0 i
S f S 0
S0 i
14.700 100.000 0.063
2.33 ,
~
adică t=2.33 ani, ceea ce, transformat în ani, luni şi zile, înseamnă: 2,33ani = 2 ani + 0,33 ani = 2 ani şi 0,33 12 luni 2 ani şi 4 luni Exemplul 10.7.
Diferenţa dintre 2 capitaluri este de 12.000 u.m. Cel mai mare a fost plasat cu dobândă de 5% anual, iar al doilea, 5 luni , cu dobândă de 4% anual, conducând la o dobândă simplă de 1300 u.m. Care sunt cele 2 capitaluri? Rezolvare:
Notăm cu S 1 , respectiv cu S 2 , cele 2 capitaluri. Situaţia se prezintă astfel: S1 S 2
12.000
Din formula dobânzii simple îl determin pe D2
S2 i
t k k
S 2
D2 k i t k
S 2
S2
: 1300 12
0.0 4 5
S 2
78.000 u.m.
şi înlocuind în relaţia de mai sus obţinem: S 1 90.000 u.m.
10.3. DOBÂNDA COMPUSĂ
În operaţia de dobândă compusă se consideră ca unitate etalon o anumită unitate de timp. Calculul dobânzii compuse se face ţinând cont de unitatea 154
00:20
considerată. De aceea în operaţiunile pe termen lung cea mai des folosită unitate de timp este anul.
Definiţia 10.3.1. Se spune că o sumă de bani este plasată în regim de dobândă compusă atunci când la sfârşitul primei perioade, dobânda simplă a acestei perioade este adăugată la sumă pentru a produce la rândul ei dobândă în perioada următoare. Procesul se continuă în acest fel până la sfârşitul perioadei pe care s-a făcut plasarea. Pentru a putea determina formula de calcul în regim de dobândă compusă trebuie să avem în vedere următoarele notaţ ii: Notaţii: t – perioada de plasament sau numărul de perioade (numărul de perioade este număr întreg); S - valoarea actuală sau suma plasată iniţial; i – dobânda unitară (corespunzătoare unei perioade); S f - valoarea finală sau suma disponibilă după t perioade; 1+i=u – factor de fructificare. Cu aceste notaţii date vom putea scrie formula sumei finale: 0
S f
S 0 (1 i) t sau S f
Se poate scrie formula dobânzii astfel: D S f S 0
S 0 u t
S 0 (u t 1)
S 0 (1 i ) t 1
Observaţie: Dacă perioada de timp nu este număr întreg, t n de calcul pentru suma finală este:
S f S 0 1 i 1 i n
h k
sau
=
atunci formula
h
=1 ∙ ( 1∙ ) k
Exemplul 10.8.
Ce sumă a fost plasată în urmă cu 10 ani , în regim de dobândă compusă cu procent anual de 6% pentru ca acum să se dispună de 1 milion u.m.? Rezolvare: perioada de timp t = 10 ani;
rata anuală a dobânzii este i = 0.06 valoarea finală a sumei depuse este
S f =1.000.000 u.m.
Atunci din: S f S (1 i ) t S
S f (1 i ) t
S
155
1.000.000 (1 0.06)10
558.394,78 .
Exemplul 10.9. Cu ce procent anual trebuie plasa tă
suma de 75.000 u.m. timp de 5 ani în regim de dobândă compusă pentru a ajunge în final la suma de 100.000 u.m.? Rezolvare:
Valoarea iniţială a sumei este S=75.000 u.m. valoarea finală a sumei depuse este S f =100.000 u.m. perioada de timp t = 5 ani; Din:
075.00000 ⇒ 1 =1, 3 ⇒1 = ⇒ 1 = 100. =1 = ⇒ 11, 3 ⇒1=1, 059⇒=0,059⇒=5,9% Exemplul 10.10.
Pe ce termen trebuie să plasăm o sumă în regim de dobândă compusă cu procent anual de 10% pentru ca suma să se dubleze? Rezolvare:
rata anuală a dobânzii este i = 0.1 Valoarea iniţială a sumei este S valoarea finală a sumei depuse este S f = 2S perioada de timp t trebuie determinată; Din:
S f S (1 i ) t 2S S (1 i ) t (1 i ) t 2 S f 2S t ln(1 i ) ln 2 t ln 2 7,2725 ln 1,1 t = 7 ani, 3 luni, 8 zile.
Exemplul 10.11.
Se depune la bancă, în regim de dobândă compusă, cu procent de 5% anual, suma de 10.000 u.m. cât se obţine la lichidarea contului după 3 ani şi 5 luni? Rezolvare:
Capitalul iniţial este S 0 =10.000 u.m. rata anuală de dobândă este i=0.05; Perioada de timp t = 3 ani şi 5 luni, sau altfel, t 3
5 12
Din formula
S f S 0 1 i 1 i n
obţinem: 156
h
k
5 S f 10.000(1 0.05)3 1 0,05 11.817 u .m. 12
Exemplul 10.12.
Un capital de 30.000 u.m. a fost plasat cu dobândă compusă 2 ani cu un procent anual de 6%. Cât timp trebuie plasat cu dobândă simplă ca să conducă la aceeaşi valoare finală? Rezolvare:
Capitalul iniţial este S =30.000 u.m. rata anuală de dobândă este i=0.06; 0
Perioada de timp t = 2 ani (cu d.c.) Din formula
obţinem:
=1 =30.00010,06 =33.708 . . = ∙∙⇒= ∙ = ∙ = 30.0370800∙0,06 =2,06
Perioada de timp în care trebuie plasată , cu dobândă simplă , ca să conducă la aceeaşi valoare finală, o aflăm din formula dobânzii simple:
~
adică t =2.06 ani sau, mai concret, t=2 ani şi 0,06 360 zile t 2 ani şi 22 zile. Exemplul 10.13.
Fie un împrumut în valoare de 300.000 u.m. compus din împrumuturi care urmează să se achite în regim de dobândă compusă cu un procent anual de 4% peste 7 ani şi respectiv 10 ani. Ce valoare au cele 2 împrumuturi dacă în momentul achitării raportul valorilor lor finale este de 5/3? Rezolvare:
Fie împrumutul S=300.000 u.m. Se cer finale S f 1 şi S f 2 , ştiind că:
S 1
şi
S 2
, cele 2 împrumuturi care dau valorile
S S S S f 5 S f 3 1
2
1
2
Dar, S f 1
S 1 (1 i ) t 1
S f 2
S2 (1 i ) t 2
Se obţine sistemul:
157
S 1 S 2 S S 1 S 2 30.000 S (1 i) 1 5 1 7 10 S S 3 ( 1 0 . 04 ) 5 ( 1 0 . 04 ) 2 2 1 S 2 (1 i) 3 t
t
S 1 S 2 30.000 S 2 104529,52 S S 1 . 87 2 1
şi S 1
195470.38
Deci cele 2 împrumuturi sunt de 104.529,52 u.m. şi respectiv 195.470,38 u.m.
Exemplul 10.14.
O sumă de 200.000 u.m. plasată în regim de dobândă simplă, cu un anumit procent anual şi pe o anumită perioadă de timp, a condus la o dobândă de 5.400 u.m. Aceeaşi sumă plasată în regim de dobândă compusă, cu un procent anual de 4% pe aceeaşi perioadă de timp a condus la o dobândă de 8466,4 u.m. Să se determine durata de plasare a celor două operaţiuni precum şi procentul anual al primei operaţiuni. Rezolvare:
Suma plasată o vom nota cu S=200.000 u.m. Valoarea finală a acestei sume , plasată cu dobândă simplă, o vom nota cu S f 1
200.000 54.000 S f 1
254.000 u.m.
Valoarea finală a aceleiaşi sume , plasată cu dobândă compusă, o vom nota cu S f 2
200.000 8.466,4 S f 2
208.466,4 u.m.
Perioada de timp t se determină din formula: S f S (1 i ) t
de unde se obţine: (1 i ) t
t
S f
S
ln S f ln S ln(1 i)
t ln(1 i) ln
S f
S
t 1.057
t=1 an şi 0.057•360 zile t=1 an şi 20 zile. Cunoscând perioada de timp t, putem determina rata anuală de dobândă (din primul caz), folosind formula: S f
S (1 i t )
de unde,
158
1 i t
i
S f S
1
i t
S f S
54000
1.057 200000
S
i
i
1
t
DS
S
0.255
Deci, i=0.255 sau p=25.5%.
Exemplul 10.14.
În urmă cu trei ani a fost depusă la o bancă, în regim de dobândă compusă, suma de 5,5 milioane u.m. Ştiind că în primii ani banca a folosit procentul anual de dobândă de 32% şi că astăzi suma revenită deponentului este de 12.937.320 u.m., să se determine procentul anual utilizat de bancă în al treilea an. Rezolvare:
Formula folosită este: S f
S 0 1 i (1 i ' ) 2
este rata anuală de dobândă în primii doi ani iar dobândă corespunzătoare celui de -al treilea an. Din formula de mai sus obţinem că unde
i
0,32
1 i'
S f S 0 1 i
2
12.937.320 5.500.000 1,32
2
i
'
este rata anuală de
1,35 i ' 0,35
Deci procentul utilizat de bancă în al treilea an este de 35%.
10.4. PROPORŢIONALITATE ŞI ECHIVALENŢA DOBÂNZILOR În cazul trecerii de la un tip de dobândă la altul se foloseşte echivalenţa dobânzilor sau proporţionalitatea acestora după cum e vorba de dobânda compusă sau cea simplă. Notaţii: =rata anuală de dobândă sau dobânda anuală; rata trimestrială de dobândă sau dobânda trimestrială; rata semestrială de dobândă sau dobânda semestrială; rata lunară de dobândă sau dobânda lunară; rata săptămânală de dobândă sau dobânda săptămânală. În cazul dobânzii compuse, f ormulele de trecere de la un tip de dobândă la altul , numite relaţii de echivalenţă a dobânzilor, sunt:
= = == =
11==11 159
00:55
1 = 1 11==11 1 = 1 1 = 1 =12 =2 =4 =52
În cazul dobânzii simple, f ormulele de trecere de la un tip de dobândă la altul, ; ; ; . numite relaţii de proporţionalitate, sunt: Altfel toate aceste formule pot fi scrise sub forma acestor egalităţi: 1 i1
(1 i2 )
2
(1 i4 )
4
(1 i12 )
12
(1 i52 )
52
Exemplul 10.15. Un capital de 30.000 u.m. a fost plasat cu
dobândă compusă 3 ani cu un procent de 8% semestrial. Să se determine suma finală. Rezolvare:
= 0,08 şi trebuie să-l determinăm pe i i ; Folosind formula corespunzătoare de mai sus, 2 1 i1 (1 i2 ) 2 1 0, 08 1,1664 i 0,1664 obţinem soldul final: i2
1
S f S0 (1 i)t 30.000 (1,1664) 3 30.000 1,5795 47.385 u.m .
10.5. Rezumat
Dobânda simplă se calculează după formula:
D
, atunci când
S 0 i t
procentul anual nu se modifică şi după formula: D S i t i t ... i t atunci când el variază. Dobânda compusă se calculează după formula: D S 1 i S , atunci când procentul anual nu se modifică şi după formula: D S 1 i 1 i ....1 i S atunci când el variază. În cazul dobânzii simple, trecerea de la un tip de dobândă la altul se face prin proporţionalitate, folosind formulele:
0
1 1
i1
2i2 ;
i1
4i4 ;
i1
12i12 ;
i4
3i12 ;
0
i2
2 2
0
1
n
n n
0
2
n
0
6i12 etc.
În cazul dobânzii compuse, trecerea de la un tip de dobândă la altul se face
prin echivalenţă, folosind formulele:
1 i1 (1 i12 ) 12 , 1 i1 (1 i2 ) 2 , 1 i1
160
(1 i4 ) 4 , 1 i4
(1 i12 ) 3 etc.
00:60
10.6. TEST de AUTOEVALUARE Timp necesar: 60 min
De ce sumă dispunem după 135 zile dacă depunem azi la bancă, cu dobândă simplă, suma de 200.000 u.m. cu procent de 5%? 1.
Ce sumă trebuie să depunem la o bancă, cu dobândă simplă şi cu procent de 9%, pentru ca după 3 luni să obţinem o dobândă de 2250 u.m.? 2.
În ziua de 31 mai s-a plasat suma de 90.000 u.m. cu procentul de 8%. Care este valoarea finală a plasamentului în ziua de 10 octombrie a aceluiaşi an? 3.
4. Două capitaluri a astfel: primul - 90 zile - 4% al doilea - 60 zile - 3%
căror sumă este de 60.000 sunt plasate cu dobândă simplă
Dobânda primului este de 10/7 din dobânda celui de -al doilea. Să se determine cele 2 capitaluri.
5. Suma a două capitaluri este de 144.000 u.m. Primul este plasat 150 zile cu 6%, iar al doilea 90 zile cu 7% , ambele cu dobândă simplă. Dobânda adusă de primul capital este dublă dobânzii celui de -al doilea capital. a) Determinaţi cele 2 capitaluri şi dobânzile lor. b) Câte zile ar trebui să fie plasate simultan cele 2 sume pentru ca diferenţa dintre valorile lor finale să fie de 24.700 u.m.? 6. Ce sumă ar trebui să se plaseze acum în regim de dobândă compusă cu procent anual de 10% pentru ca peste 20 ani să se dispună de un capital de 1.000.000 u.m.? 7. O sumă de 50.000 u.m. a fost plasată cândva cu procent anual de 8%, în regim de dobândă compusă, iar astăzi se constată că valoarea ei este de 175.432 u.m. Cu cât timp în urmă a avut loc operaţiunea de plasare? 8. Un unchi doreşte să împartă un capital de 25.000 u.m. între nepoata sa de 10 ani şi nepotul său de 12 ani, astfel încât fiecare să primească aceeaşi sumă, evaluată cu dobândă compusă şi cu un procent anual de 9%, la împlinirea vârstei de 18 ani. Determinaţi cele 2 sume şi cât va primi fiecare nepot la împlinirea vârstei de 18 ani. 9. Împărţiţi suma de 1.800.000 u.m. în două părţi astfel încât plasând cele 2 sume cu dobândă compusă, cu 10%, 7ani şi respectiv 10 ani, să dea capitaluri + dobânzi al căror raport să fie 7/10. Discuţie.
10. Cu câţiva ani în urmă o persoană a depus la o bancă, în regim de dobândă compusă, suma de 7,5 milioane u.m. , astăzi revenindu -i suma de 33.761.812 u.m. Ştiind că în primii ani banca a utilizat procentul anual de dobândă 40% iar în ultimii doi ani procentul anual de 35%, să se determine durata plasamentului.
161
11. Pentru cumpărarea unei case se achită un avans de 10.000 u.m. şi după doi ani încă 18.000 u.m. Considerând că în calcule s-a folosit un procent anual de 20%, să se determine preţul la care a fost negociată casa. Dacă a doua plată a avea loc nu după doi ani ci după 3 ani de la negocierea preţului, utilizând acelaşi procent anual, să se determine mărimea celei de-a doua plăţi. RĂSPUNSURI: 1.
S f 203.750 u.m.
2.
S 0 100.000 u.m.
3.
S f 92.640 u.m.
4.
S1 867.357,52 u.m., S 2 932.642,48 u.m.
5. a)
6.
S1 84.000 u.m.; S 2 60.000 u.m.;
110 zile; t b) 360 S 0 297.619, 04 u.m.
7. t 31, 25 ani S1 11.467,88 u.m., S 2
8.
S f
9. 10. 11.
S1
t
13.532,12 u.m.,
22.821, 08 u.m.
24.912,29 u.m.; S 2
35.087 u.m.;
25 ani
22500 u.m.; 21.600 u.m.
10.7. BIBLIOGRAFIE
1.
Cenuşă, Gh. şi colectiv - Matematici pentru economişti ; Bucureşti, Editura CISON, 2000
2. 3. 4. 5.
Cenuşă, Gh. şi colectiv - Matematici pentru economişti. Culegere de probleme; Bucureşti, Editura CISON, 2001 Fătu, I., Dinescu, C. - Matematici pentru economişti ; Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1995 Popescu, O. şi colectiv - Matematici aplicate în economie ; Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1993 Teodorescu, S., -Matematici economice, Editura Bren, 2005
162
Partea a IV-a. MATEMATICI FINANCIARE
Unitatea de învăţare 11 PLASAMENTE ÎN CONDIŢII INFLAŢIONISTE Cuprins 11.1. Obiective 11.2. Structura procentului de plasament
11.3. Inflaţia controlată şi plasarea aparentă 11.4. Inflaţia galopantă şi inflaţia necontrolată 11.5. Inflaţie şi risc catastrofic 11.6. Rezumat 11.7. Test de autoevaluare 11.8. Bibliografie
11.1. Obiective
După parcurgerea unităţii veţi fi capabili să răspundeţi la întrebările:
Care este structura procentului de plasament?
Cum se calculează soldul final în cazul unei inflaţii controlate
respectiv necontrolate?
Ce este procentul anual aparent de plasament şi cine intră în componenţa lui? Timpul necesar de parcurgere a unității de
168
învățare este de 105 minute
11.2. STRUCTURA PROCENTULUI DE PLASAMENT
Să presupunem că partenerul X plasează partenerului Y suma S0 sub formă de împrumut. În mod normal X ar dori o dobândă mai mare, iar Y una mai mică calculate după aceeaşi formulă. Dacă notăm cu p1, respectiv p2 cele două procente corespunzătoare intenţiilor celor doi parteneri atunci prin intermediul sumei finale cuvenite, avem inegalităţile: S 0 i1t S 0 i2 t , în regim de dobândă simplă şi t t S 0 (1 i1 ) S 0 (1 i2 ) , în
regim de dobândă compusă
Definiţia 11.2.1. Spunem că plasamentul sumei S0 pe durata t este negociat sau reciproc avantajos pentru X şi Y dacă există un procent anual de plasament p0 =p(S0, t) astfel încât : min S(So, p1, t) = S(So, po, t) = max S(So, p2, t) p1
p2
Luând
în consideraţie semnificaţia economică practică a dobânzii, procentul trebuie sa aibă, în componenţa sa, din punctul de vedere al celui care creditează , următoarele: - cheltuieli efectuate de creditor pentru acordarea împrumutului, -profitul pe care creditorul îl are de pe urma împrumutului, -suma care să acopere eventualele pierderi sau riscuri prevăzute sau neprevăzute, pe durata rambursării împrumutului. 11.3. INFLAŢIA CONTROLATĂ ŞI PLASAREA APARENTĂ
În conformitate cu cele spuse mai sus procentul p apare doar ca o funcţie de componentele p1 (acoperirea cheltuielilor) si p2 (dezvoltarea sau profitul).
Dacă moneda considerată se devalorizează anual cu un coeficient anual unitar vom obţine: 1 u.m.
,++ ,îî.. { 1 1 1 ,î .
,
a) fără inflaţie, b) are loc inflaţia, dar nu se ţine cont de ea (devalorizare necompensată), c) are loc inflaţia, dar se ţine cont de ea (devalorizare compensată).
Definiţia 11.3.1. Dacă se cunoaşte coeficientul şi se foloseşte în mod corespunzător pentru a împiedica deprecierea sau pierderea de valoare a monedei se spune ca are loc o inflaţie controlată. Pentru determinarea valorii finale S(So, p, t) avem următoarea formulă pentru fiecare din cazurile a), b), c).
169
00:00
S 0 (1 i) t 1 i t ) S(So,p, t)= S 0 ( 1 t t S 0 (1 i ) (1 )
Observaţie: t
1 i
) t () 0. 1
S 0 (1 i) S 0 (
Valoarea finală este descrescătoare în raport cu coeficientul anual de inflaţie al dobânzii , pentru orice i (rata anuală a dobânzii). Definiţia 11.3.2. 1.
1 1
se numeşte factor de depreciere sau devalorizare.
2. 1+ se numeşte factor anual de compensare a inflaţiei sau de anulare a deprecierii sau a devalorizarii sau de revalorizare.
Observaţie: În general nu se pune egal între devalorizare si inflaţie, chiar dacă uneori din punct de vedere al nivelului de trai, ele au aceleaşi consecinţe practice. În problemele rezolvate şi propuse spre rezolvare vom folosi noţiunea de devalorizare. Se notează cu: 1+j = (1+i)(1+ )
j
i i
Definiţia 11.3.3. - coeficientul j se numeşte dobânda unitară aparentă şi q=100j se numeşte procent anual aparent de plasament. - i se numeşte dobânda anuală unitară reală iar p=100i se numeşte procent anual unitar de plasament . - coeficient se numeşte inflaţia anuală unitară (rata anuala unitară a inflaţiei).
Observaţii: I Dacă într -o perioadă de t ani
avem diferite 1 , 2 , ... t atunci formula sumei finale se scrie astfel
rate anuale unitare ale inflaţiei
t S 0 1 i t 1 i S 0 1 1 1 2 ... 1 n t S 0 1 i 1 1 1 2 ... 1 n
a)
b)
c)
S(So,p, t)=
a) fără inflaţie, b) are loc inflaţia, dar nu se ţine cont de ea (devalorizare necompensată) c) are loc inflaţia, dar se ţine cont de ea (devalorizare compensată). II Dacă într -o perioadă de t ani avem diferite rate anuale unitare ale inflaţiei 1 , 2 , ... t atunci formula dobânzii unitare aparente se scrie astfel: 1 j t 1 i t 1 1 1 2 ... 1 n 170
11.4. INFLAŢIA GALOPANTĂ ŞI INFLAŢIA NECONTROLATĂ
Definiţia 11.4.1. Dacă rata anuală a inflaţiei este o funcţie de timp crescătoare atunci se spune ca are loc o inflaţie crescătoare. Dacă în plus aceasta este foarte mare în raport cu rata anuală a dobânzii reale atunci se spune ca are loc o inflaţie galopantă. Observaţie: Presupunând că inflaţia are două componente: a) una cunoscută si controlată de rata anuala ; b) una cunoscută sau necunoscută dar necontrolată de rata anuală 2 .
00:20
1
Putem scrie : 1an 1u.m.
S 0
(1 i)(1 1 ) 1 2
S ( S 0 , i, 1 , 2 , t ) S 0 (
(1 i)(1 1 ) 1 2
) t
Observaţie:
se numeşte factor de fructificare aparent . Se observă că în general, în condiţiile inflaţiei galopante se ia măsura ca rata inflaţiei să fie superioară unei anumite rate controlate pentru a acoperi ceva din inflaţia necunoscută, care ar putea să apară pe parcursul derulării unor operaţiuni super ioare. Dacă este foarte mare în raport cu şi este cunoscut, dar necontrolat atunci cunoaşterea şi controlul lui este inutilă. (1 i ) (1 1 )
2
1
1
11.5. INFLAŢIE ŞI RISC
CATASTROFIC În anumite condiţii, care ar putea face ca anumite credite să nu poată fi rambursate niciodată (se pot enumera situaţii de excepţie ca războaie, catrastofe naturale, schimbări politice violente) apare în afara coeficienţilor şi i încă un coeficient , căruia îi corespunde un procent anual de tip risc catrastofic notat 100 astfel încât avem : 1 1u.m (1 i )(1 )(1 ) an
şi S 0
S (S 0 , i, , , t )
S 0 (1 i)
t
(1 ) t (1 ) t
Se notează cu: 1 k (1 i)(1 )(1 ) (1 j)(1 )
iar
1+k - se numeşte factor anual de fructificare aparentă k – se numeşte dobândă unitară aparentă Din relaţia de mai sus: şi procentul anual aparent de clasament: k i i i i
Observaţie:
q=100k
Pierderea valorică = diferenţa dintre valoarea aşteptată şi cea realizată 1 i t t = S 0 1 i S 0 1 t 1 t
171
00:25
Exemplul 11.1.
Se plasează suma de 1.000.000 u.m. în regim de dobândă compusă timp de 5 ani cu procent anual de 10%. Care este valoarea finală a operaţiunii dacă: a) nu există devalorizare; b) există o devalorizare anuală de 4% neluată în seamă; c) există o devalorizare anuală de 4% luată în seamă. Rezolvare:
Suma plasată iniţial este S =1.000.000 u.m., perioada de timp cons iderată este t=5 ani, procentul anual de dobândă este p=10% i=0,1 reprezintă rata anuala de dobândă; a) Valoarea finala a operaţiunii în cazul în care nu există devalorizare este: 0
S f ( S0 , i, t )
S0 (1 i) t
adică: S f (S 0 , i, t ) 1.000.000 (1,1) 5
Valoarea finală b) cont de ea, este:
1.610.510u.m
a operaţiunii, în cazul în care există devalorizare şi nu se ţine S f ( S 0 , i , , t ) S 0
rata devalorizării fiind
(1 i ) t (1 ) t
,
0,04
S f ( S 0 , i, , t ) 1.000.000
1,15 1,04 5
1.323.722u.m
c) Valoarea finală a operaţiunii, în cazul în care există devalorizare şi se ţine cont de ea, este: S f ( S0 , i, t ) S0 (1 i) t (1 ) t ,
rata devalorizării fiind
0,04
S f (S 0 , i, t ) 1.000.000 1,15 1,045
18859522
Exemplul 11.2.
Un bancher acordă un credit, în valoare de 10.000.000 u.m. pe durata a 3 ani, rambursabil o singură dată cu dobânzi cu tot, cu procent anual de 10% fără a avea în vedere devalorizarea monedei. Se cere: a) suma pe care o va primi la scadenţă; b) valoarea sumei pr imite dacă pe parcursul
devalorizare constantă de 5%;
celor 3 ani a avut loc o
c) valoarea sumei primite daca devalorizarea anuala controlata a fost de 5% d)
în primul an, de 7% în al doilea an si de 10% în al treilea an; procentul aparent de împrumut ce ar fi trebuit aplicat dacă ar fi ştiut într -un fel că vor apare devalorizările controlate de la b) şi c).
Rezolvare:
a)Suma pe care o va primi la scadenţă reprezintă de fapt valoarea finală 172
S f ( S0 , i, t )
S0 (1 i) t
unde:
suma plasata iniţial este S =10.000.000 u.m., perioada de timp considerată este t=3 ani, procentul anual de dobândă este p=10% i=0,1 reprezintă rata anuala de dobândă; 0
atunci: S f (S0 ,i , t ) 10 11 , 7
3
13310000u.m.
b)În ipoteză ni se specifică faptul că nu s-a ţinut cont de devalorizarea monedei, ceea ce înseamnă ca valoarea finală a operaţiunii, în cazul în care există devalorizare şi nu se ţine cont de ea, este: S f ( S 0 , i , t )
S 0
(1 i ) t (1 ) t
,
rata devalorizării fiind 0,05 S f ( S 0 , i, t ) 10.000.000
1,13 1,053
11.497.678u.m
c)Trebuie determinată valoarea finală a sumei în cazul în care avem rate distincte ale devalorizării pe fiecare din cei 3 ani;
=0,=0,0057 =0,1 , , =10 ∙ ,∙,,∙, =10.769.915,44 1,1 ∙1,05∙1,07∙1,1=1,64 =0,1 1 =1 ∙1 ∙1 ∙1 =1,1 ∙1,05∙1,07∙1,1=1,64 =1, 6 4 1=0, 1 8 ⇒
Astfel:
pentru primul an; pentru al doilea an; pentru al treilea an;
În acest caz valoarea finala este: S f ( S 0 , i, t )
S0
(1 i )
3
(1 1 ) (1 2 ) (1 3 )
u.m.
d)Folosind datele de la b) adică
0,05 si i=0,1 , atunci procentul aparent ce ar fi
trebuit aplicat este
j
i
i
adică:
Folosind datele de la c) adică
şi i=0,1 , atunci procentul aparent ce ar fi trebuit aplicat îl determinăm din formula: 1
0,05 , 2
0,07 ,
relaţie din care îl scoatem pe j:
procentul aparent de împrumut pe care ar fi trebuit să îl aplice bancherul este de
q=18%.
Exemplul 11.3.
Se consideră că o bancă acordă un credit în valoare de 100.000.000 u.m. pe o perioadă de 4 ani cu procent anual de 10%. Să se determine: a) Suma finală dacă nu apar devalorizarea şi riscul catastrofic; 173
b) Pe parcursul celor 4 ani a avut loc o devalorizare a monedei de 8% anual precum şi o pierdere anuală de 5% de tip risc catastrofic pe care creditorul nu le-a prevăzut şi ca urmare nu le-a luat în considerare. Să se determine suma finală şi pierderea c)
valorică. Suma finală dacă s-ar fi prevăzut devalorizarea şi riscul catastrofic.
Rezolvare:
Suma plasată iniţial este S 0 =100.000.000 u.m., perioada de timp considerată este t=4 ani, procentul anual de dobândă este p=10% i=0,1 reprezintă rata anuală de dobândă; a) Valoarea finală catastrofic este:
a operaţiunii în cazul în care nu apar devalorizarea şi riscul S f ( S 0 , i, t ) S 0 (1 i) t
adică: S f ( S0 , i, t ) 108 (1,1) 4
146.410.000u. m.
Valoarea finală a operaţiunii, în cazul în care există devalorizare şi risc catastrofic şi nu se ţin cont de ele, este: b)
S f ( S 0 , i , , , t ) S 0
rata devalorizării fiind
(1 i ) t (1 ) t (1 ) t
,
0,08
iar coeficientul de tip risc catastrofic este: 0,05 , S f ( S0 , i, , , t) 10 8
11 , 4 1,084 1,054
. . u. m. 88853369
În acest caz pierderea valorică este de:
57 .556.631u .m . S f (S0 , i , t ) S f (S0 ,i , , ,t ) 146.410.000 88853369 . .
Valoarea finală a operaţiunii, în cazul în care au apărut devalorizarea, riscul catastrofic şi au fost prevăzute, este: c)
S f ( S0 , i , , , t ) S0 (1 i ) t (1 )t (1 )t ,
adică: S f ( S0 , i , , , t ) 108 1,14 1,084 1,054 242.115.680u.m.
11.6. Rezumat
Ţinând cont de semnificaţia economică practică a dobânzii, procentul trebuie sa aibă în componenţa sa, din punctul de vedere al celui care creditează, următoarele: - cheltuielile efectuate de acesta pentru acordarea împrumutului, -profitul pe care creditorul îl are de pe urma împrumutului, -suma care să acopere eventualele pierderi sau riscuri prevăzute sau neprevăzute, pe durata rambursării împrumutului. Dacă rata anuală a inflaţiei este o funcţie de timp crescătoare atunci se spune ca are loc o inflaţie crescătoare. Dacă în plus aceasta este foarte mare în 174
00:60
raport cu rata anuală a dobânzii reale atunci se spune ca are loc o inflaţie galopantă.
Procentul anual aparent de plasament este procentul care are în componenţa sa, în afara ratei anuale a dobânzii (procentul real), alti coeficienti cum ar fi coeficientul anual de devalorizare a monedei şi/sau coeficientul anual de tip risc catastrofic.
11.7. TEST de AUTOEVALUARE AUTOEVALUARE Timp necesar: 45 min
Care este dobânda reală pentru un depozit la care dobânda afişată este de 15% anual dacă rata inflaţiei pe anul respectiv este de 10, 5%?
1.
O persoană a plasat o 8500 u.m. în regim de dobândă compusă având un procent anual de 25%, cu condiţia să nu se atingă de această sumă timp de 5 ani. a) Dacă nu apare devalorizarea, de ce sumă va dispune persoana peste 5 ani? b) Constatând că dupa 5 ani suma primită are o valoare mai mica de 32 ori decât suma plasată iniţial, ce procent mediu de devalorizare anuală a intervenit în aceasta perioadă? c) Dacă această devalorizare ar fi fost avută în vedere, cu ce procent aparent tr ebuia ebuia plasată suma în discuţie? 2.
Suma de 5000 u.m. a fost împrumutată pe 5 ani, cu dobândă compusă, cu procent aparent de 10% (incluzând şi devalorizarea de 2%). Care este procentul anual real al împrumutului şi care este valoarea finală a împrumutului cu şi fără considerarea devalorizării? 3.
Suma de 65.000 u.m a fost împrumutată pe timp de 6 ani cu dobânda compusă , cu procent anual de 10%. Se consideră că anual are loc o devalorizare de 3%. Care ar trebui sa fie procentul anual de calcul al dobânzii împrumutului?
4.
În urma cu 10 ani s-a facut un împrumut în valoare de 100.000 u.m. cu procent real de 8%. Acum, după 10 ani s -a constatat că a avut loc o devalorizare anuală de 1,5%. Cât ar trebui sa plătească debitorul în plus astăzi pentru a compensa devalorizarea dacă o astfel de cauză ar fi f i fost prevazută?
5.
O societate care garantează sistemul de vânzări în rate pentru un anumit tip de automobile, acordă împrumuturi cu un procent real de 10% anual. Ştiind că procentul anual de devalorizare este de 2% şi riscul anual de nerambursare a creditelor este de 5%, care este procentul anual aparent folosit în sistemul de garantare?
6.
Suma de 30.000 u.m. este plasată timp de 6 ani în regim r egim de dobândă compusă 7. cu un procent anual de 25%. Care este valoarea finală a operaţiunii dacă: a) nu există devalorizare; b) există o devalorizare anuală necompensată de 10%; c) există o devalorizare anuală compensată de 12%, caz în care se cere şi procentul anual aparent utilizat. 175
RĂSPUNSURI:
1. 4% S 10.848 u.m.; 2. a) f b) 30% c) 36,5% 3. 7,8%; 8052,55 8052,55 u.m.; u.m.; 6589,67 u.m. 4. 13,3% 5. 64.949 u.m. 6. 17, 81% 7. a) 40.200 u.m. b) 37.888,78 u.m. c) 43.174,8 u.m.; 6,26%
11.8. BIBLIOGRAFIE BIBLIOGRAFIE
1.
Cenuşă, Gh. şi colectiv - Matematici pentru economişti ; Bucureşti, Editura CISON, 2000
2. 3. 4. 5.
Cenuşă, Gh. şi colectiv - Matematici pentru economişti. Culegere de probleme; Bucureşti, Editura CISON, 2001 Fătu, I., Dinescu, C. - Matematici pentru economişti ; Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1995 ate în economie ; Popescu, O. şi colectiv - Matematici aplic ate Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1993 Teodorescu, Teodorescu, S., -Matematici -Matematici economice, economice, Editura Bren, 2005
176
Partea a IV-a. MATEMATICI FINANCIARE FINANCIARE Unitatea de învăţare 12
RAMBURSAREA ÎMPRUMUTURILOR Cuprins
12.1. Obiective
12.2. Rambursarea împrumuturilor 12.4. Test de autoevaluare 12.5. Bibliografie
12.1. Obiective
După parcurgerea unităţii veţi fi capabili să răspundeţi la întrebările: Cum se face tabelul de amortizarea unui împrumut cu amortismente constante şi procent anual unic sau variabil? Cum se face tabelul de amortizarea unui împrumut cu anuităţi constante ? Timpul necesar de parcurgere a unității de minute
181
învățare este de 150
12.2. Rambursarea împrumuturilor
Definiţia 12.2.1. În sens general, se numeşte împrumut o operaţiune financiară prin care un partener P1 plasează o sumă de bani , de care el dispune la un moment dat, pe o perioadă de timp şi în anumite condiţii , unui alt partener P2, de care acesta are nevoie. De regulă P1 se numeşte creditor iar P2 se numeşte debitor.
Definiţia 12.2.2.
Operaţiunea prin care P2 restituie partenerului P1 suma de care a beneficiat se numeşte rambursare sau amortizare a împrumutului.
Definiţia 12.2.3. Dacă împrumutul nu se mai înapoiază parţial sau total atunci el se numeşte parţial sau total nerambursabil.
Observaţii: Din modul de definire al împrumutului el apare ca o operaţiune financiară compusă din două componente: una de creditare şi cealaltă de rambursare. Fiecare componentă reprezintă o operaţiune de plăţi eşalonate. Clasificarea plăţilor eşalonate poate conduce la o anumită clasificare a împrumuturilor, atât după modul în care se face creditarea cât şi după modul în care se face rambursarea.
În general, cele două operaţiuni nu au loc în acelaşi timp şi ca urmare, valoarea finală corespunzătoare nu este aceeaşi. Ceea ce au în comun este valoarea actuală a rambursării, adică valoarea împrumutată, evaluată la începutul rambursării ei. Notaţii: V =valoarea împrumutului sau a datoriei la momentul în care începe 0
amortizarea sa, t = durata de timp pe t k
care urmează a se face amortizarea; = durata de timp dintre două plăţi consecutive, 1 k n astfel încât
n
t k 1
k
t (suma tuturor perioadelor = întreaga perioadă); Qk = o parte din valoarea
V 0
a datoriei care se plăteşte la un moment dat din n
intervalul de timp
t k ,
parte numită amortisment şi care satisface relaţia Qk V 0 ( k 1
suma tuturor amortismentelor = valoarea împrumuturilor ) i k = dobânda anuală unitară corespunzătoare perioadei t k , d k
1 k
n;
= dobânda totală corespunzătoare datoriei rămase la un moment dat din
intervalul t k ; S k = suma efectivă plătită în perioada t k sau rata corespunzătoare perioadei t k , determinată astfel: Sk Qk d k , 1 k n (rata = amortismentul + dobânda) V k = valoare datoriei rămase după achitare a amortismentului Qk , adică k
Vk V0 Qi ; i 1
Observaţie: Deoarece rambursarea este o operaţiune de plăţi eşalonate, putem avea diferite moduri de rambursare. În cele ce urmează vom trata rambursarea prin anuităţi temporare imediate. 182
00:00
Definiţia 12.2.4. Se spune că rambursarea se efectuează prin anuităţi temporare imediate, dacă plăţile corespunzătoare se fac în următoarele condiţii: a) anual, anticipat sau posticipat (la începutul sau la sfârşitul anului); b) într -un număr de ani bine precizat; c) prin sume egale sau nu de la un an la altul; d) imediat ce s-a fixat începerea rambursării; e) cu procente egale sau nu de la un an la altul;
Observaţie: Procedeul de amortizare poate fi sintetizat sub aspect informaţional prin tabelul de mai jos, denumit tablou de amortizare, ordinea de prezentare a elementelor din
tablou nefiind semnificativă. Perioad a de
plată ( t k )
Dobânda pe
Valoarea
Amortismentul
Valoarea
împrumutului la începutul
în perioada
împrumutului la datoria sfârşitul rămasă la începutul perioadei t
perioadei t k
t k
( Qk )
Rata din perioada t k ( S k )
k
( V k 1 )
perioadei t k
( V k )
( d k )
t 1
V 0
Q1
V 1
d 1
S 1
t 2
V 1
Q2
V 2
d 2
S 2
. . .
. . .
t k
V k
. . .
. . .
t n
V n 1
. . .
. . .
. . .
V k
Qk . . .
d k
. . .
Qn
. . . S k
. . .
. . . d n
V n =0
S n
k
unde, Vk V0 Qi ; S k Qk d k ;
1 k n
.
i 1
Observaţie: Acest tablou este valabil oricare ar fi legea de anuităţi folosită. Amortizarea prin plăţi anticipate I a) prin rate egale
sau
⇒ == +∙[∙++−] , ∀ 1≤≤. == 11 ∙ − ∙ 11 , ∀ 1≤≤
relaţie care iese din formula
n
( A )
An
S (1 i )
k 1
S (1 i)
k 1
1 (1 i) n i
în care am considerat valoarea actuală ca fiind valoarea împrumutului
183
V 0
.
⇒ ==
b) prin amortismente egale
amortismentului
, relaţie
care iese din definiţia
Amortizarea prin plăţi posticipate;
II
a) prin rate egale S k S
V0 i (1 i ) n (1 i ) n 1
relaţie care iese din formula A
( P )
S
n
1 (1 i)
n
i
în care am considerat valoarea actuală ca fiind valoarea împrumutului
⇒ ==
b) prin amortismente egale amortismentului
V 0
.
, relaţie care iese din definiţia
Observaţie: O altă formulă importantă este Qk
V 0 i (1 i) k 1
, k 1, n
Q1
V 0 i
(1 i ) n 1 (1 i ) n 1 sau, mai putem scrie formula astfel, sub forma unei recurenţe: Qk Q1 (1 i) k 1 , k 2, n
Exemplul 12.1.
Un împrumut în valoare de 1.000.000 u.m. trebuie rambursat în 10 ani prin anuităţi anticipate cu un procent anual p=10%. Să se întocmească tabloul de amortizare corespunzător cazurilor în care : a) amortismentele sunt egale; b) ratele (anuităţile) sunt egale.
Rezolvare: a) amortismentele sunt egale
Qk
Vk
V 0
Q
Vk
n 1
1000 . .000
10
100.000
u.m.
Qk
d 1
0,1 1000 . .000 100.000
d 2
0,1 900.000 90.0 00
S1
Q1
S2
Q2
...
d 1
d 2
200.000
190.000
...
Anii
Datoria la
Amortismentul
începutul t k
anului
Datoria
Dobânda
rămasă la Qk
d k 184
Anuitatea (rata)
sfârşitul
V k 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b)
anului V k
1.000.000 900.000 800.000 700.000 600.000 500.000 400.000 300.000 200.000 100.000
100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000
Anii
S k
S
V 0 i
1
1 (1 i ) n 1 i
Datoria la
începutul
100.000 90.000 80.000 70.000 60.000 50.000 40.000 30.000 20.000 10.000
1.000.000 0,1 1 1 1,110
Amortismentu l
anului V k 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
900.000 800.000 700.000 600.000 500.000 400.000 300.000 200.000 100.000 0
200.000 190.000 180.000 170.000 160.000 150.000 140.000 130.000 120.000 110.000
dacă suntem în cazul în care ratele sunt egale
t k
S k
1 000 000 951.851,85 898.888,88 840.629,61 776.544,42 706.050,71 628.507,63 543.210,24 449.383,11 346.173,27
1,1
100.000 0,675
148.148,148u.m.
Datoria
Dobânda
rămasă la sfârşitul
d k
anului
Qk
Anuitatea (rata) S k
V k
48.148,15 52.962,97 58.259,27 64.085,19 70.493,71 77.543,08 85.297,39 93.827,13 103.209,84 113.530,83
951.851,85 898.888,88 840.629,61 776.544,42 706.050,71 628.507,63 543.210,24 449.383,11 346.173,27
100 000 95.185,18 89.888,88 84.062,96 77.654,44 70.605,07 62.850,76 54.321,02 44.938,31 34.617,32
148.148,15 148.148,15 148.148,15 148.148,15 148.148,15 148.148,15 148.148,15 148.148,15 148.148,15 148.148,15
Observaţie: Cu cât vom lucra cu mai multe zecimale, cu atât aproximarea este mai bună şi deci rezultatul V 10 va fi mai apropiat de zero.
Exemplul 12.2.
Un împrumut în valoare de 5.000.000 u.m. trebuie rambursat în 10 ani prin anuităţi posticipate cu un procent de 20% anual. Să se întocmească tabloul de amortizare corespunzător cazurilor în care: a) amortismentele sunt egale; b) ratele (anuităţile) sunt egale.
185
Rezolvare: a) amortismentele sunt egale
⇒ == = 5.000.10000 =500.000 .. , ∀=1,̅ 10 Vk
Vk 1 Qk
,
d 1
0,2 5.000.000 1000 . .000
d 2
0,2 4.500.000 900.000
S1
Q1
S2
Q2
...
d 1 d 2
1500 . .000
1400 . .000
...
Anii
Datoria la
Amortismentul
Datoria
Dobânda
Qk
rămasă la sfârşitul
d k
începutul t k
anului V k 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5.000.000 4.500.000 4.000.000 3.500.000 3.000.000 2.500.000 2.000.000 1.500.000 1.000.000 500.000
S k
anului V k
500.000 500.000 500.000 500.000 500.000 500.000 500.000 500.000 500.000 500.000
4.500.000 4.000.000 3.500.000 3.000.000 2.500.000 2.000.000 1.500.000 1.000.000 500.000 0
Anuitatea (rata)
1.000.000 900.000 800.000 700.000 600.000 500.000 400.000 300.000 200.000 100.000
1.500.000 1.400.000 1.300.000 1.200.000 1.100.000 1.000.000 900.000 800.000 700.000 600.000
b) ratele sunt egale V0 i (1 i ) n V0 i 5000 . .000 0,2 1000 . .000 S k S 1190 . .476u. m. n 0,84 (1 i ) n 1 1 1,2 10 1 1 i
Tabloul de amortizare în cazul ratelor egale este următorul: Anii
Datoria la
Amortismentul
Datoria
Dobânda
Qk
rămasă la sfârşitul
d k
începutul t k
anului V k 1
anului V k
1 2 3 4 5 6 7 8
5.000.000 4.809.524 4.580.952 4.306.667 3.977.525 3.582.554 3.108.589 2.539.830
190.476 228.572 274.285 329.142 394.971 473.965 568.759 682.510
4.809.524 4.580.952 4.306.667 3.977.525 3.582.554 3.108.589 2.539.830 1.817.320 186
Anuitatea (rata) S k
1.000.000 961.904 916.191 861.334 795.505 716.511 621.717 507.966
1.190.476 1.190.476 1.190.476 1.190.476 1.190.476 1.190.476 1.190.476 1.190.476
9 10
1.817.320 998.308
819.012 991.000
998.308 0
371.464 199.662
1.190.476 1.190.476
Exemplul 12.3.
Un împrumut se amortizează în 10 ani prin anuităţi constante posticipate. Ştiind că al 3-lea amortisment este 2103,70 u.m. iar al 6-lea, 2435,30 u.m., să se calculeze: a) procentul împrumutului; b) suma împrumutată; c) anuitatea constantă; d) datoria rămasă după 8 ani de plată. Indicaţie: Se va folosi formula Qk
V0 i (1 i ) k 1 (1 i ) n 1
Rezolvare: a) Înlocuim pe k în formula: Qk
V0 i (1 i ) k 1 (1 i ) n 1
Atunci avem:
V0 i (1 i ) 2 Q3 Q6 2435,3 (1 i ) 10 1 3 3 i i ( 1 ) ( 1 ) , i 3 1157 1 i 0,050 5 ( 1 ) V i i 2103 , 7 Q 3 Q 0 6 10 (1 i ) 1 p 5% b) Din formula V 0 i (1 i ) k 1
Qk
V 0
(1 i ) n
1
2103,7(1 0,05)10 0,05(1 0,05)
V 0
1
2
Qk (1 i ) n
i (1 i ) k 1
1
V 0
24.000,102u.m.
.000,144u. m. ; unde, am înlocuit k cu 3; pentru k =5 se obţine V0 24 Se va rotunji valoarea împrumutată la suma de 24.000,1 u.m.
c)
S k
Anii
V0 i (1 i )
(1 i ) n
n
1
Datoria la
Sk
24.000,1 0,05 (1 0,05)10 (1 0,05)10
anului V k 1
1
S k
3108,12u. m.
Amortismentul
Datoria
Dobânda
Qk
rămasă la sfârşitul
d k
începutul t k
Anuitatea (rata) S k
anului V k
1 2 3
24.000,1 22.092,0 20.088,5
1.908,1 2.003,5 2.103,7
22.092,0 20.088,5 17.984,8 187
1.200,0 1.104,6 1.004,4
3.108,1 3.108,1 3.108,1
4 5 6 7 8 9 10
17.984,8 15.775,9 13.456,6 11.021,3 8.464,3 5.779,4 2.960,2
2.208,9 2.319,3 2.435,3 2.557,0 2.684,2 2.819,2 2.960,1
15.775,9 13.456,6 11.021,3 8.464,3 5.779,4 2.960,2 0,1
899,2 788,8 672,8 551,1 423,2 288,9 148
3.108,1 3.108,1 3.108,1 3.108,1 3.108,1 3.108,1 3.108,1
Din acest tablou al amortizării împrumutului, după 8 ani de plată rezultă că a mai r ămas de rambursat suma de 5.779,4 u.m.
Exemplul 12.4.
Un împrumut de tip clasic este rambursabil prin anuităţi egale posticipate pe 4 ani. Dacă suma primelor 2 amortismente este de 46.855,47 u.m., iar suma ultimelor amortismente este de 53.144,53 u.m., să se determine: a) procentul împrumutului; b)valoarea primului amortisment; c)valoarea ratei constante. Rezolvare: a) Folosind formula Qk
V0 i (1 i ) k 1 (1 i ) n 1
,
şi ştiind că . ,47 Q1 Q2 46855 . ,53 Q3 Q4 53144 V 0 i V 0 i (1 i ) V 0 i (2 i ) (1 i) 4 1 (1 i ) 4 1 46.855,47 46.855,47 (1 i ) 4 1 2 3 V 0 i (1 i ) V 0 i (1 i ) 53.144,53 V 0 i (1 i) 2 (2 i ) 4 4 53.144,53 (1 i) 1 (1 i ) 1 (1 i) 4 1
(1 i ) 2
b)
53144 . ,53 46855 . ,47
i
53144 . ,53 46855 . ,47
1 i 0,065 p 6,5%
Pentru a calcula valoarea primului amortisment trebuie calculată valoarea împrumutului.
Din Q1
Q2
V 0
V 0 i ( 2 i )
46.855,47 1 46.855,47 (1 0,065) 4 1 100.000 0,0651 (1 0,065) (1 i ) 4
188
u.m.
sau din Astfel
= =46.855,4753.144,53=100.000.. Q1
i (1 i ) 11 100.000 0,065 2.260,30 u. m. 4 4 (1 i ) 1 (1 0,065) 1 0
c)
i (1 i ) n 100.000 0.065 (1 0 ,065) 4 29.190,31u. m. S k n 4 (1 i ) 1 (1 0,065) 1 0
Exemplul 12.5.
Un împrumut de 1.000.000 u.m. se rambursează prin anuităţi posticipate în 5 ani cu dobânda de 8% anual şi cu amortismentele în progresie geometrică. Să se întocmească tabloul de amortizare în fiecare din cazurile: a) raţia progresiei amortismentelor este de 50.000 u.m.; b) primul amortisment este egal cu 100.000 u.m.; c) al doilea amortisment este egal cu 250.000 u.m.; d) primul amortisment este egal cu raţia;
e) raţia este egală cu ultimul amortisment cu semnul - ( r Q ). 5
Rezolvare: 5
Ştim că
V0 Qk ,
şi că amortismentele sunt în progresie aritmetică ceea ce
k 1
înseamnă că vom avea Q1, Q2, Q3, Q4, Q5 date de formula termenului general al unei progresii aritmetice Qn
Qn
1
r Q1 n 1 r ,
unde r este raţia progresiei aritmetice, astfel: Q1 Q1
Q2 r Q1 Q3 r Q2 2r Q1 Q4 r Q3 3r Q1 Q5 r Q4 4r Q1
a) Având în vedere formulele de mai sus şi adunând amortismentele obţinem 5Q1
r V 0
10
Q1
V 0
r
10
5
Q1
1.000.000 500.000
100.000
5
Cunoscând primul amortisment şi faptul că amortismentele sunt în progresie aritmetică de raţie 50.000 u.m., se determină şi restul amortismentelor.
189
Anii
Datoria la
începutul anului V k 1
t k
1 2 3 4 5
Amortisment ul
Qk 100.000 150.000 200.000 250.000 300.000
1.000.000 900.000 750.000 550.000 300.000
Datoria
Dobânda
rămasă la sfârşitul anului
d k
Anuitatea (rata) S k
V k 900.000 750.000 550.000 300.000 0
80.000 72.000 60.000 44.000 24.000
180.000 222.000 260.000 294.000 324.000
b) Având în vedere formulele de mai sus şi adunând amortismentele obţinem Q1
100.000u.m.
5Q1 10r 1.000.000u.m.
r
1.000.000 500.000 10
50.000u.m.
Cunoscând raţia şi primul amortisment se determină şi celelalte amortismente şi se poate întocmi tabloul de amortizare. Anii
Datoria la
Amortismentul
Datoria
Qk
rămasă la sfârşitul anului
începutul anului
t k
V k 1
1 2 3 4 5
c)
Dobânda d k
S k
V k
1.000.000 900.000 750.000 550.000 300.000
100.000 150.000 200.000 250.000 300.000
900.000 750.000 550.000 300.000 0
Anuitatea (rata)
80.000 72.000 60.000 44.000 24.000
180.000 222.000 260.000 294.000 324.000
Având în vedere formulele de mai sus şi adunând amortismentele obţinem Q1
5Q1
250.000u.m.
10
r
r 1.000.000u.m.
1.000.000 1.250.000
u.m.
25.000
10
Cunoscând raţia şi primul amortisment se determină şi celelalte amortismente. Anii Datoria la
Amortismentul
Datoria rămasă la sfârşitul
Dobânda
Qk
anului V k
d k
începutul t k
1 2 3 4 5
anului V k 1 1.000.000 750.000 525.000 325.000 150.000
250.000 225.000 200.000 175.000 150.000
750.000 525.000 325.000 150.000 0 190
Anuitatea (rata) S k
80.000 60.000 42.000 26.000 12.000
330.000 285.000 242.000 201.000 162.000
Având în vedere formulele de mai sus şi adunând amortismentele obţinem
d)
Q1
5Q1
r
10
Q1
r 1.000.000u.m. 15Q1
1.000.000
15
1.000.000
66.666,67u.m.
Cunoscând raţia şi primul amortisment se determină şi celelalte amortismente. Anii
Datoria la
Amortismentul
Datoria rămasă la sfârşitul
Dobânda
Qk
anului V k
d k
începutul anului
t k
V k 1
1 2 3 4 5 e)
1.000.000 933.333,3 799.999,9 599.999,9 333.333,3
66.666,67 133.333,3 200.000,0 266.666,6 333.333,3
933.333,3 799.999,9 599.999,9 333.333,3 0
Anuitatea (rata) S k
80.000 74.666,67 63.999,99 47.999,99 26.666,66
146.666,6 208.000,0 264.000 314.666,6 360.000,0
Având în vedere formulele de mai sus şi adunând amortismentele obţinem:
Q5
Q5
5Q1
4r Q1
15r
r
10r
Q1
5r
1.000.000u. m. 25r 10r
1.000.0 00u. m. r
1 .000.000
1000 . .000
15
66.666,67u. m.
Cunoscând raţia şi ultimul amortisment se determină şi celelalte amortismente. Anii
Datoria la
Amortismentul
Datoria rămasă Dobânda la sfârşitul
Qk
anului
începutul t k
anului V k 1
1 2 3 4 5
d k
V k
1.000.000 666.666,65 399.999,97 199.999,96 66.666,62
333.333,3 266.666,68 200.000,01 133.333,34 66.666,67
666.666,65 399.999,97 199.999,96 66.666,62 0
Anuitatea (rata) S k
80.000 53.333,33 31.999,99 15.999,99 5.333,33
413.333,35 320.000,01 232.000 149.333,33 72.000
Exemplul 12.6.
O persoană a împrumutat suma de 50.000 u.m. pe care o va rambursa în 5 ani cu procentul anual de 10% prin anuităţi posticipate cu amortismente egale. a) să se întocmească tabloul de amortizare; b) să se determine dobânda medie din tabelul anterior şi să se refacă tabelul de amortizare având şi rată constantă.
191
Rezolvare: V 0 50.000 , n 5 Q 10.000 ; i 0,1 a) Anii
Datoria la
Amortismentul
Datoria rămasă Dobânda la sfârşitul
Qk
anului V k
d k
40.000 30.000 20.000 10.000 0
5000 4000 3000 2000 1000
începutul anului V k 1
t k
1 2 3 4 5
50.000 40.000 30.000 20.000 10.000
10.000 10.000 10.000 10.000 10.000
Anuitatea (rata) S k
15.000 14.000 13.000 12.000 11.000
Dobînda totală (nominală) este:
b)
5
d k 5000 4000 3000 2000 1000 15.000 u.m. k 1
Dobânda medie este d
5
1
d k 5 k 1
15.000 5
3000 u.m.
Rata constantă este S S k
Q 3000 13.000u.m.
Tabelul de amortizare devine:
Anii
Datoria la
Amortismentul
Datoria rămasă Dobânda medie la sfârşitul
Qk
anului V k
începutul anului V k 1
t k
1 2 3 4 5
50.000 40.000 30.000 20.000 10.000
10.000 10.000 10.000 10.000 10.000
40.000 30.000 20.000 10.000 0
d
3000 3000 3000 3000 3000
Anuitatea (rata) S k
13.000 13.000 13.000 13.000 13.000
Exemplul 12.7.
O firmă particulară împrumută suma de 100.000 u,m, pe care urmează să o ramburseze în 4 ani, pe baza procentului de 4% anual. Se cere: să se întocmească planul de amortizare prin anuităţi posticipate conţinând a) amortismente egale; b) c)
să se determine dobânda medie din tabelul obţinut; să se refacă tabelul de amortizare cu amortismente egale dar şi cu rate egale.
192
Rezolvare: a)
Anii
V 0
10 5 u.m., n 4 Q
Datoria la
V 0
4
Amortismentul
Datoria rămasă Dobânda la sfârşitul d k
Qk
anului V k
începutul anului
t k
V k 1
1 2 3 4
100.000 75.000 50.000 25.000
25.000 25.000 25.000 25.000
d
b) Anii
S k
75.000 50.000 25.000 0
1
4000 3000 2000 1000
4
4000 3000 2000 1000
k 1
4
d k 4
29.000 28.000 27.000 26.000
2500 u.m.
Tabelul cu amortismentele egale şi rate egale va fi: Datoria la
Amortismentul
Datoria rămasă Dobânda la sfârşitul medie
Qk
anului
începutul anului
1 2 3 4
Anuitatea (rata)
Dobânda medie este
b)
t k
25.000 u.m.; i 0,04
V k 1
V k
100.000 75.000 50.000 25.000
25.000 25.000 25.000 25.000
75.000 50.000 25.000 0
d 2500 2500 2500 2500
Anuitatea (rata) S k
27.500 27.500 27.500 27.500
Exemplul 12.8. Un împrumut de 50.000 u.m. se restituie în 6 ani prin amortismente egale, dar cu primul an – an de graţie- , prin rate anuale posticipate, cu o dobândă de 10%
anual. Să se întocmească tabelul de amortizare. Rezolvare:
An de graţie înseamnă că în anul respectiv nu se plăteşte decât dobânda, amortismentul este 0.
Amortismentele fiind egale şi în număr de 5 (primul amortisment este 0)
Qk
Q
V 0 5
50.000 5
10.000 u.m.,
Tabelul de amortizare a împrumutului arată astfel:
193
k
2,6 , i 0,1
Anii
Datoria la
Amortismentul
Datoria rămasă Dobânda medie la sfârşitul
Qk
anului V k
începutul anului V k 1
t k
1 2 3 4 5 6
50.000 50.000 40.000 30.000 20.000 10.000
0 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000
Anuitatea (rata)
d
50.000 40.000 20.000 20.000 10.000 0
S k
5000 5000 4000 3000 2000 1000
5000 15.000 14.000 13.000 12.000 11.000
Exemplul 12.9.
O bancă acordă unei firme un credit de 100.000 u.m. care urmează a fi rambursat în 5 ani, prin anuităţi posticipate, cu amortismentele egale astfel: primul an este an de graţie, dobânda anuală este de 10% în primii trei ani şi de 5% în următorii doi ani. Să se întocmească tabloul de rambursare a împrumutului. Rezolvare:
Amortismentele fiind egale şi în număr de 4 (primul amortisment este 0) Qk
Anii
Datoria la
Q
V 0
100.000
4
anului
25.000 u.m.,
k
2,5
Amortismentul
Datoria
Dobânda medie
Qk
rămasă la sfârşitul
începutul t k
4
V k 1
d
Anuitatea (rata) S k
anului V k
1 100.000 0 100.000 2 100.000 25.000 25.000 3 75.000 25.000 50.000 4 50.000 25.000 25.000 5 25.000 25.000 0 unde s-a ţinut cont că dobânda în primii trei ani este de 5%.
10.000 10.000 7500 2500 1250
10.000 35.000 32.500 27.500 26.250
10% iar în ultimii doi este de
12.3. Rezumat
In cazul rambursării prin amortismente egale valoarea amortismentelor se determină dupa formula:
=
.
In cazul rambursării prin anuităţi egale valoarile amortismentelor se determină după formula: Qk
V0 i (1 i )
k 1
(1 i)n 1 194
, k 1, n ,
00:90
In cazul rambursării prin anuităţi egale posticipate, anuităţile se determină
n
, k 1, n . (1 i) n 1 In cazul rambursării prin anuităţi egale anticipate, anuităţile se determină n V0 i (1 i ) , k 1, n . după formula: Sk S n (1 i ) (1 i ) 1
după formula:
Sk
S
V0 i (1 i)
12.4. TEST de AUTOEVALUARE Timp necesar: 60 min
1. O persoană a contractat un împrumut în valoare de 10.000 euro, pe care trebuie să-l ramburseze în 6 ani, prin plăţi posticipate, cu un procent de 12% anual. Ştiind că amortismentele corespunzătoare celor 6 ani de rambursare sunt de respectiv 2.500, 3.000, 1.000, 1.500 , 500 şi 1.500 euro, să se construiască tabelul de amortizare.
2. Un împrumut în valoare de 14.000 lei trebuie rambursat în patru ani, prin anuităţi posticipate cu amortismente egale. Dacă procentele anuale ale împrumutului corespunzătoare celor 4 ani sunt 12%, 10%, 9%, şi 8%, să se construiască tabelul de amortizare.
3. O persoană contractează un împrumut în valoare de 50.000 euro, pe care urmează să-l restituie în 5 ani, prin anuităţi constante posticipate. Dacă procentul anual al împrumutului este de 8%, să se construiască tabelul de amortizare. 4. Un împrumut în valoare de 30.000 lei trebuie rambursat în trei ani, prin anuităţi posticipate, cu un procent anual de 20% . Ştiind că amortismentul din ultimul an are valoarea de 10.000 lei şi dobânda plătită în al doilea an este egală cu 2.800 lei, să se construiască tabelul de amortizare. 5. Un imprumut se amortizeaza in zece ani prin anuitati constante posticipate. Se stie ca amortimentele 2 şi 6 sunt repectiv egale cu 2004 u.m. şi 2435 u.m. Se cer: a) procentul operatiunii; b) suma imprumutata; c) anuitatea constanta; d) primele trei linii din tabelul de amortizare. 6. Un imprumut este rambursat prin patru anuitati posticipate egale. Daca suma primelor doua amortismente este egala cu 4.686, iar ultimele doua totalizeaza 5.314u.m., se cer: a) Procentul imprumutului; b) Valoarea datoriei ; c) Primele doua linii ale tabelului de amortizare.
195
RĂSPUNSURI 1. Anul (k ) 1 2 3 4 5 6
2. Anul (k ) 1 2 3 4
0.12 0.10 0.09 0.08
V k- 1
Qk
d k
S k
V k
10.000 7.500 4.500 3.500 2.000 1.500
2.500 3.000 1.000 1.500 500 1.500
1.200 900 540 420 240 180
3.700 3.900 1.540 1.920 740 1.680
7.500 4.500 3.500 2.000 1.500 -
V k- 1 14.000 10.500 7.000 3.500
Qk 3.500 3.500 3.500 3.500
d k 1.680 1.050 630 280
S k 5.180 4.550 4.130 3.780
V k 10.500 7.000 3.500 -
3. Anul (k ) 1 2 3 4 5
V k- 1
Qk
d k
S k
V k
50.000 41.477 32.277 22.331 11.595
8.523 9.205 9.941 10.736 11.595
4.000 3.318 2.582 1.787 928
12.523 12.523 12.523 12.523 12.523
41.477 32.277 22.331 11.595 -
4. Anul (k ) 1 2 3
V k- 1
Qk
d k
S k
V k
30.000 14.000 10.000
16.000 4.000 10.000
6.000 2.800 2.000
22.000 6.800 12.000
14.000 10.000 -
V k- 1
Qk
d k
S k
V k
24.000 22.092 20.088
1908 2.004 2.103
1.200 1.104 1.004
3.108 3.108 3.108
22.092 20.088 -
5. a) 5%; b)2400; c)3108; d) Anul (k ) 1 2 3
6. a) 6,5%; b) 10;000;
196
