Solucionario de Matematica Basica de Figueroa

SOLUCIONARIO DE MATEMÁTICA I

Grupo: 20 4. Dada la ecuación (2k+2) +4x-4kx+k-2=0, hallar la suma de sus raíces sabiendo que estas son inversas Solución. La ecuación equivale a :(2k+2)

+4(1-k)x+k-2=0 ………α

r y s sean las raíces de la ecuación “α” tienen raíces inversa . Entonces. rs=1

k=

.

reemplazamos el valor de “k” en la ecuación “α” , entonces la ecuación “α” equivale a : -20x+6=0

6

Nos pide : r+s.

r+s=

r+s=

14. para que valores de “m” las raíces de la ecuación (

b )(m+1)=am

a

cm+c son de signos contrario e iguales en valor absoluto.

Solución. La ecuación equivale a: (m+1)

-{b(m+1)+a(m-1)}x+c(m-1)=0 …………β

r y s sean las raíces de la ecuación “β” tienen raíces de signos contrario e iguales en valor absoluto , Entonces. bm+b+am-a =0

r+s =0

r+s =

=0

despegamos “m” el valor que nos pide calcular

m=

24.Si “ r “ y “s “ son las raíces de la ecuación a +2bx+c=0 , hallar la ecuación cuyas raíces son “ ” y “ ”, y probar que cuando a+c=0 , esta ecuación es la misma que la ecuación original .

Solución. Construimos la ecuación a partir de la raíces “ ” y “ ”, entonces -{ }x+ )=0 la ecuación queda de la siguiente manera en función de r y s -{2(r+s)+

}x+4sr+ +4=0 ………………ϴ

SOL. POR: MÁXIMO DELGADO ACHATA, WILBER CHIPA PEÑA, MÁXIMO PACCA MERMA, JONATHAN VELÁSQUEZ VALVERDE

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1


+2bx+c=0 de raíces “ r “ y “s “, podemos obtener

De la ecuación. a

……..m , rs=

r+s=

………n , reemplazamos las ecuaciones “m” y “n “ en la

ecuación “ϴ ” , entonces se tiene. -{ -{

}x+

=0

}x+

=0 la ecuación equivale a.

a +2b(2c+a)x+ =0 ………….z Probar que cuando a+c=0 , esta ecuación es la misma que la ecuación original . Entonces a

+2bx+c a +2bx+c a +2b(2c+a)x+ a=ac c=1 también 2b =2b(2c+a)

a=-1

a+c=0

Grupo : 21

3. resolver.

=4

Solución. =4 Sea, m=

entonces la ecuación equivale a. =4 =0 factorizando tenemos , m(m -4)=0

m=0

m -4 = 0

Reemplazando, tenemos .

m=0

m -4 = 0 – 4=0

=0 x(x+3) =0

factorizando tenemos.

(x+4)(x - 1)=0 ( x=0

( x=0

) )

( x+4 =0 ( x= -4

) ) ,

Entonces. CS={-4 ,-3 ,0 ,1}


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2


13. resolver. Solución. La ecuación equivale a: = Sea n= +

, entonces la ecuación equivale a :

+

= 0 , factorizando :

=0 (8

8 8

)( .

)=0 Reemplazando, tenemos. factorizando:

cs=

Grupo : 22 3. Si a>0 y b>0 , hallar valor de verdad de las siguientes afirmaciones : Solución . a) Demostrando, que: Se sabe que :a>0 y b>0 , entonces : ab>o……………..m Sumando “a” en la desigualdad “m”, entonces : ab +a > a , factorizando “a” : a(b+1)> a ……………….z multiplicamos por “

” a desigualdad “z” , entonces se tiene ,que :

Entonces la proposición es ………. Falso b) Demostrando , que : Se sabe que :a>0 y b>0 b >a , entonces : b , b> b-a ……………q multiplicamos por “a” a la desigualdad “q” entonces se tiene , que: ab>ab Entonces la proposición es ………. Verdadero

:


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3


c) Demostrando que : Se sabe que :a>0 y b>0 Como a>0 ,entonces: >0 y también ; ab>0 Sumamos “ ab “ a la desigualdad >0: ab+ > ab , factorizamos ,” a” Que de la siguiente manera : a(b+a)>ab , luego multiplicamos por Entonces : a > , multiplicamos por Resultar que : Entonces la proposición es ………………. Verdadero d) Demostrando que : Se sabe que :a>0 y b>0 , teniendo que: Multiplicando por “b” a la desigualdad Multiplicando por

entonces b < a b < a se tiene que :

, se tiene que :

Entonces la proposición es …………………….. Verdadera 13. para números proposiciones:

reales cualesquiera, determinar el valor de verdad de las siguientes

a) Si,

, multiplicamos por

, entonces :

no

cambia la desigualdad porque : c < 0 Entonces la proposición es …………………. falso b) si

, multiplicamos las desigualdad , entonces :

Entonces: Entonces la proposición es …………….. Verdad c) si. , multiplicamos por -1 la desigualdad : sumamos “a” entonces: . , elevamos al cuadrado , entonces se tiene: Entonces la proposición es …………………. Verdad d) Si , y entonces : Entonces la proposición es …………..verdad

se cumple :


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4


23. Si a, b, c son números reales positivos y diferentes, demostrar que.

Solución. Si a ,b ,c . mayores que cero y diferentes

, sumando las tres desigualdades, se tiene : ………………………z Si a ,b ,c . mayores que cero y diferentes , elevamos al cuadrado: ………………..d

……………..r De las desigualdades “z” y “r”, se tiene : ……………………….t De las desigualdades “d” y “t” se tiene que:

Grupo: 23 1. Hallar conjunto solución de :

Solución.

x c.s.=


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5


11. Hallar conjunto solución de: Solución. La desigualdad equivale a : , puntos críticos. x=

, x= 1

Ubicamos los puntos críticos en la recta real

Entonces . x

21. definimos la operación del siguiente modo Hallar el conjunto solución de

,

Solución. Aplicamos la operación definida en la desigualdad dada, entonces.

Puntos críticos: z=3 , z= -2 Ubicamos los puntos críticos en la recta real.

Entonces.


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6


31. determinar “m” de manera que la raíz de la ecuación en

:

, sea menor que 1.

Solución. Despejamos “x” de la ecuación

x=

la raíz de la ecuación en sea menor que 1. x< 1

–1<0

<1 ,

,

Puntos críticos. m= -7 , m= Ubicamos los puntos críticos en la recta real.

Entonces. m

, Grupo: 24

8. demostrar que: a) si b) si c) si d) si

>

Solución. a) si Como

tenemos

-3 x 2 sumando 3 0 x

, -3

dividiendo entre 7

x ,

2 ............... es verdadero


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7


b) si Sol; si

tenemos:

Sumando 5

Invirtiendo,tenemos:

……… es verdadera c) si Sol: Como

tenemos:

Multiplicando por 2 Sumando 5

Invirtiendo, por 3

……… es verdadera d) si

>

Sol: Como

tenemos: Multiplicando por 2 Sumando 3 Invirtiendo , >……… es verdadera


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8


18. dado los conjuntos:

,

B

,

,

. Hallar los intervalos que corresponden a las siguientes operaciones .

a) b) c) d) Solución. Resolviendo los conjuntos:

Sumando 2

B

-2 -4

4 restado 2 dividiendo entre 3 Multiplicando por -1

U

>


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9


,

RESOLVER: a) : (

-

U

> )∩

∩ Cs= b) Sol: (

∪(

(

U

U

>))-

>)-

Cs = (

U

)

c) SOL: ∩

(

)∪

Cs = d) SOL: (

U U

>)-

)-

U

>

> Cs =

>


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10


28. dado los conjuntos:

,

B

,

, hallar el conjunto D,si

. Solución. Tenemos: Sumamos 3

B

tenemos:

Dividimos entre 2

.


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11


Grupo: 25 7. Resolver la inecuación dada: Solución. La ecuación equivale a.

>0

El termino desigualdad equivale a:

,

(x- 2)(x + 4)>0 , Puntos críticos.

porque

< o

, entonces, factorizando la

x= - 4; x= 2

Ubicamos los puntos críticos en la recta real.

Entonces

,

17. Resolver la inecuación dada:

Solución. La ecuación. utilizando el esquema de Ruffini.

1 X=1 1 X=2 1 X=-3 1 X=2 1

-2

-4

1

-1

14 14 -5

-1

-5

9

2 1 -3 -2 2

2 -3 6 3 0

-6 3 -9 -6 6

0

3

0

, factorizamos

-33

6o

-36

9

-24

36

-24 36 -36 6 0 -18

0

18 0


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12


La ecuación equivale a.

,

>0 entonces se cumple

.

La desigualdad que de la siguiente manera. ) Obtenemos los Puntos críticos igualando a cero cada factor. x = 1 , x= 2 , x= - 3 Ubicamos los puntos críticos en la recta real.

Grupo: 26 3. Resolver.

.

Solución. 

Calculamos el universo “U1 “de U1 : U 1: x 2 U1 :



x

………….q x

x 2

U1 = Elevamos al cuadrado la ecuación “q” , entonces se tiene .

=


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13


} x U2

}

{ (x-5)(x+4)= }

U2

{ x=5 , x= -4 } U1

{ x=5 , x= -4 }

{ 5} 13. resolver.

.

Solución. 

Calculamos el universo “U1 “de

. ………..c

U1: U 1: x

x U1 =

 .

Elevamos al cuadrado la ecuación “c” , entonces se tiene .

=

U2 :

……………………r

, también U2=



Elevamos al cuadrado la ecuación “r ” , entonces se tiene



La ecuación equivale a :

(17x-30)(x-6)=0 entonces 17x-30=0

, factorizando x-6=0


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14


x=

x= 6 U1

,

ya que no satisface la ecuación. Entonces.

c,s.= {6}

. el valor de “x” que la satisface es x=c/d

23. dada la ecuación con enteros primos entre si . Hallar c 2-d.

Solución. Calculamos el universo “U “de

…………..s

U : La ecuación “ s” equivale a . Elevamos al cuadrado la ecuación “t“, entonces se tiene. ,

, …………….. b

, Elevamos al cuadrado la ecuación “b“, entonces se tiene. , c,s = U

,

x=

{ }

c,s =

,

Comparando la igualdad se tiene, c= 9 , d= 16 Nos pide calcular. c2-d.

entonces reemplazando los valores de c y d .

c2-d = 65


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15


Grupo: 27 10. resolver la inecuación dada y representar sus soluciones sobre una recta real.

Solución. …………………..h Hallamos el universo “ U” de la desigualdad “h”

{x

}

C.S= 20. resolver la inecuación dada y representar sus soluciones sobre una recta real.

Solución. …………………………A De la desigualdad “A” se tiene que :

, es un numero positivo;

Calculamos el universo “ U”: U:

, factorizando: U :

U:

U: La desigualdad “ A” es equivalente, a: , puntos críticos

, x= 2 , x=5 ; ubicamos en la recta real

:


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16


Entonces de la recta se tiene , que : C.S= U: C.S= 30. resolver: Solución. ………….. v Los radicales pares proporcionaran el universo “ U “ , entonces se tiene :

Luego factorizamos , como los radicales pares son positivos , entonces la desigualdad “ v” se reduce , a:

Como los radicales impares tienen los mismos signos que sus cantidades sub radicales entonces la desigualdad se reduce , a:

, Entonces cumple

,

entonces la desigualdad se reduce , a:


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17


Puntos críticos: recta real:

+ -

-

-8

ubicamos en la

+ -6

-1

1

2

+ 3

10

+ 12

+

Entonces la solución se encuentra en los intervalos “ negativos” C.S1= C.S= U { C.S= C.S=

}

Grupo: 28 ;

4. Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones para números reales a) si b) c) d) Solución.

a)

Si , cumple , la desigualdad Entonces la proposición “ a)” es …………………….. verdad


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18


Solución.

b) ………………..q

de la desigualdad “ q” se tiene que : , por propiedad de valor absoluto con inecuación se tiene , que : entonces : Entonces la proposición “ b)” no cumple con la condición ,entonces : es …………… falso

Solución.

c) a:

La desigualdad equivale a : entonces se tiene , que:

completamos cuadrados . Entonces se tiene , que : <0 extraemos la raíz cuadrada a la desigualdad ,

Por propiedad del valor absoluto, queda de la siguiente manera . Entonces la proposición “ c)” es …………………….. verdad Solución.

d)

Por definición de valor absoluto con inecuaciones, que :

restamos 7 a la desigualdad , entonces se tiene , que: invertimos la desigualdad , entonces se tiene, que:

Entonces la proposición “ d)” es …………………….. verdad

14. en los ejercicios siguientes, hallar el valor de la expresión E en el intervalo indicado. a) b) E= c) d)


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19


Solución.

a)

Por definición de valor absoluto se tiene, que: =

,

=

, entonces:

,

Reemplazando: E = E =

, por lo tanto

Solución.

E =5

b)

E= Por definición de valor absoluto se tiene, que: =

, , entonces :

= =

,

Reemplazando: E=

, por lo tanto E= 4

Solución.

c)

Por definición de valor absoluto se tiene, que:

=

,

=

, Para :

no se reduce la expresión E en un valor independiente:

Reemplazando: E=

, por lo tanto E=


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20


Solución.

d)

Por definición de valor absoluto se tiene, que:

=

,

=

, entonces : Reemplazando: E=

= =

, por lo tanto E=2 Grupo: 29

3. Determine el conjunto solución. Solución. La ecuación.

equivale , a:

, entonces por definición del valor absoluto:

Reduciendo se tiene, que: x= 3 Entonces : c.s= {

x=

}


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21


13. Determine el conjunto solución

.

Solución. . ………………………w Obtenemos los puntos críticos :

-

, ubicamos en la recta real :

-1

2

+

, en la ecuación “w”:

Para

2 , entonces: c.s1=

Para

Por lo tanto: c.s2= C.S2= 0 Para

, en la ecuación “w”

, en la ecuación “w”

Entonces: C.S3= C.S3=


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22


23. hallar los números reales que satisfacen la desigualdad dada. Solución.

,

por definición de valor absoluto con inecuaciones:

, factorizando se tiene:



los puntos críticos para :

;

, ubicamos los puntos

críticos en la recta real:

-

+

-

-1/2

3

+

+

C.S1= 

los puntos críticos para :

ubicamos los puntos

críticos en la recta real :

-

+

-3

-

1/2+

+

3 C.S2= Por lo tanto: C.S= C.S1

C.S2

C.S=

33. hallar los números reales que satisfacen la desigualdad dada.

Solución. De la desigualdad: , también


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23


…………………………….m

Puntos críticos:

a.

Para :

ubicamos en la recta real:

2 -2 , entonces la desigualdad “m” se tiene :

9

+

factorizando :

C.S1= C.S1 = b. Para :

, entonces la desigualdad “m” se tiene :

, completando cuadrados: = = 2 Para 2

c.


, factorizamos por diferencia de cuadrados:

C.S.3 = 3=

d.

Para :


c.s4 =


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24


C.S1

2

C.S.3

4

43. determinar el conjunto solución de la inecuación.

< 2.

Solución. <2 …………..z

La desigualdad equivale a : Puntos críticos:

, ubicamos en la recta real :

-

1/2

+

, entonces la desigualdad “z” se tiene :

a) para :

, entonces:

1=

1=

, entonces la desigualdad “z” se tiene :

b). para :

la desigualdad equivale a : , entonces:


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25


C.S2= C.S2= C.S=

1

C.S =

C.S2 >

C.S =

53. resolver. . Solución. . ………..H La desigualdad “H” se reduce + Puntos críticos :

a). para:

…………………………………………..p , ubicamos en la recta real :

1

4

+

, entonces la desigualdad “p” se tiene :

C.S1= C.S1= b). para.

, entonces la desigualdad “p” se tiene:


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26


C.S2=. Entonces, C.S2= ,entonces la desigualdad “p” se tiene :

c). para :

C.S3=

, entonces: C.S3=

C.S= C.S1 C.S2 C.S3 C.S= . Sean los conjuntos

y

.

Hallar. A B. Solución. Del conjunto A, se tiene : La desigualdad equivale a:

, por propiedad se tiene :

Entonces el conjunto A, tiene elementos Del conjunto B, tiene : La desigualdad equivale a:

Entonces el conjunto B, tiene elementos Nos pide calcular : A Entonces: A A

=

=

73. hallar los conjuntos

y

. Hallar A B.

Solución. Del conjunto A , se tiene :

, equivale a :


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27


……………….v Puntos críticos: x=4 , ubicamos en la recta real :

-

a). para:

+

4

4> , la desigualdad se tiene: , entonces su equivalencia, es:

x

, entonces : C.S1=

4>

C.S1= b).

, la desigualdad se tiene: , entonces su equivalencia, es:

C.S2=

=

Entonces C.S. del conjunto A ,es: Del conjunto B , se tiene :

, entonces

U: Por lo tanto el conjunto B , tiene elementos, Nos pide A B. A B=


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28


Grupo: 30 8. resolver Solución.

Por definición e máximo entero se tiene, que :

{

}

{

} Factorizamos por diferencia de cuadrados cada desigualdad , entonces se tiene , que :

{

Obtenemos puntos críticos: Ubicamos en la recta real intersectamos las posibles soluciones y que de la forma siguiente

-

-1

3

e

+

18. resolver. Solución.

, por propiedad se tiene, que:


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29


28. resolver la inecuación. Solución. Por propiedad de máximo entero se tiene , que : Factorizando se tiene: Los puntos críticos se obtiene igualando cada factor igualando a cero , entonces se tiene, que: Ubicamos los puntos críticos en la recta real.

-

-3/4

x

2

;2 >

38. dado los conjuntos

y . Hallar : A

Solución. -

Del conjunto A , se tiene que:


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30


x -

Del conjunto B , se tiene que :

Por propiedad: (

)(

=

, entonces la ecuación equivale a:

) , Factorizando se tiene , entonces se tiene, que:

-

Entonces :

A= B=

A

Nos pide : A = (A A =

, complemento del conjunto B, es :

, entonces :


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31

Solucionario de Matematica Basica de Figueroa

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