Matemática - Questões Resolvidas(EsSA)

APOSTILA CONCURSO

ESCOLA DE SARGENTOS DAS ARMAS Questões Resolvidas MATEMÁTICA  Direitos Reservados  MAXSHOPPING10

Questões Resolvidas - Razão e Proporção, Porcentagem e Regra de Três

Aritmética

* Questões 1) Qual a razão que é igual a 2/7 e cujo antecedente seja igual a 8. Assunto: Razão e proporção. Resolução: Vamos igualar as razões. 8/X = 2/7 2x = 8 x 7 2x = 56 X = 56/2 X = 28 Desta forma a razão igual a 2/7, com antecedente igual a 8 é : 8/28 = 2/7 2) Almejando desenhar uma representação de um objeto plano de 5m de comprimento, usando uma escala de 1:20, qual será o comprimento no desenho: Assunto: Escala e noção de proporção. Resolução:

Escala: 1/ 20 1/ 20 Sabendo que 1m = 100 cm. Então 5m = 5 x 100 = 500 cm. O comprimento no desenho será: 500 x 1/20

= 500 / 20 = 25 cm

Desta forma em uma escala 1:20 em plano de 5m, o comprimento do desenho será 25 cm. 3) Em uma sala de aula, a razão de moças para o número de rapazes é de 5/4. Se o número total de alunos desta turma é de 45 pessoas, caso exista uma festa quantas moças ficariam sem par ? Assunto: Razão e proporção

Resolução: Primeiro vamos denominar o número de moças por X, e o número de rapazes por Y. x/y = 5/4 (Igualam-se as razões) x + y = 45 (Soma total de alunos) x + y = 5 + 4 (Aplicação das propriedades das proporções) x

5

45/x = 9/5 45 x 5 = 9x 225 = 9x ---> x = 225/9 ---> x = 25 moças Substituindo X = 25 na expressão x + y = 45, temos : 25 + y = 45 ---> y = 45 – 25 ----> y = 20 rapazes Tendo por base que cada rapaz fique apenas com uma moça, o número de moças que ficariam sem par será : 25 – 20 = 5 moças Então, o número de moças que ficará sem par é igual a 5. 4) (FEDF-95 / Professor Nível 1) Um copo de suco corresponde a 250 ml. Uma professora fez suco para 48 copos, o que corresponde em litros, a: a) 12,0 b) 15,2 c) 16,0 d) 20,4 e) 24,0 Assunto: Regra de três Resolução: 1 copo ---------------> 250 ml 48 copos ------------> x Resolvendo a regra de três acima : 1x = 48 x 250 X = 12000 ml Como 12000 ml correspondem a 12 l (basta dividir 12.000/1000), logo a alternativa correta é a letra “a” = 12,00 Então a resposta correta da questão acima é a letra “a”.

disco dá :

5) (FUB-94 / Auxiliar Administrativo) Um disco gira a 45 rotações por minuto. Em 4 segundos, o a) 3 voltas b) 5 voltas c) 6 voltas d) 9 voltas e) 12 voltas Assunto: Regra de três

Obs.: É importante notar que 1 minuto é igual a 60s.

Resolução: 60 s ---------------> 45 voltas 4 s ----------------> x Resolvendo a regra de três acima : 60x = 45 x 5 60x = 180 X = 180/60 X = 3 voltas v oltas Então a resposta correta da questão acima é a letra “a”. 6) Do meu salário líquido dedico: 25% ao aluguel, 30% à alimentação, 5% à compra de medicamento, 15% pagamento de mensalidades. valor de :

O resto que me sobre é R$ 550,00 para lazer. Desta forma pode-se afirmar que meu salário é no a) R$ 1.200,00 b) R$ 785,00 c) R$ 2.200,00 d) R$ 2.250,00 e) R$ 650,00 Assunto: Porcentagem e regra de três Somando-se as porcentagens dos gastos, temos: 25%+30%+5%+15% = 75% Os R$ 550,00 representam os 25% do total de 100% da operação.

Montando uma regra de três: 550,00 -------> 25 X

-------> 100

25x = 55000 X = 55000/ 25 X = 2200 Então a resposta correta da questão acima é a letra “c”. 7) (FUB-94 / Auxiliar Administrativo) Em uma loja, o metro de um determinado tecido teve seu preço reduzido de R$ 5,52 para R$ 4.60. Com R$ 126,96, a porcentagem de tecido que se pode comprar a mais é de : a) 19,5 %

b) 20%

c) 20,5%

d) 21% e) 21,5%

Assunto: Regra de três e noção de porcentagem Resolução: Cenário 1: 1m -------> R$ 5,52 X --------> R$ 126,96 5,52x = 126,96 X = 126,96 / 5,52 X = 23 m Cenário 2: 1m --------> R$ 4,60 X ---------> R$ 126,96 4,60x = 126,96 X = 126,96 / 4,60 X = 27,60 Temos então: 23m --------> 100% (Total do metro encontrado com preço maior) 27,6 ---------> x (Total do metro encontrado com preço menor) 23x = 100 x 27,6 23x = 2760 X = 2760 / 23

X = 120% Desta forma: 120% - 100% = 20% Então a resposta correta da questão acima é a letra “b”. 1) (Banco do Brasil / Escriturário) – Quatro cães consomem semanalmente 60 kg de ração. Assim, ao aumentarmos o número de cães em 75%, o consumo mensal, em Kg, considerando o mês de 30 dias, será de: a) 350 b) 400 c) 450 d) 500 e) 550

Comentários: Montando o problema: - Sobre a ração: 04 cães --------- 60 kgs -----> por semana Por mês, então --------------> 240 kgs (considerando 04 semanas no mês) - Sobre os cães: Devemos aumentar a quantidade de cães em 75%. 04 cães x 75 % = 3 Total de cães com aumento de 75% = 7 O grande macete nesta questão é o final do problema, onde o enunciado comenta sobre o mês de 30 dias. temos:

Ora, se fizemos os cálculos da quantidade de ração consumida a partir da questão central 240 kgs x 75 % = 180 240 kgs + 180 kgs = 420 kgs (Não existe resposta nas opções do problema). Porém 04 semanas x 7 dias = 28 dias. O enunciado fala sobre o mês de 30 dias.

Assim, temos que achar a quantidade diária consumida inicialmente de ração e depois acrescer o percentual pedido.

Observe: --> 60 kgs / 7 = 8,58 (arredondamento) --> 8,58 x 75 % = 6,43 --> 8,58 + 6,43 = 15,00 (arredondamento) --> 15 kgs de ração diária x 30 dias = 450 kgs/mês A resposta correta é a letra “c”.

2) (CEF / Escriturário) - Uma pessoa x pode realizar uma certa tarefa em 12 horas. Outra pessoa, y, é 50% mais eficiente que x. Nessas condições, o número de horas necessárias para que y realize essa tarefa é :

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 f) Comentários: O referido problema se trata de assunto muito cobrado, principalmente em concursos que envolvem nível de 1º grau, que é porcentagem. 12 horas -----> 100 % 50 % de 12 horas = 12 / 2 = 6 horas X = 12 horas --> 100 % = total de horas trabalhado Y = 50 % mais rápido que X. Então, se 50% de 12 horas equivalem a 6 horas, logo Y faz o mesmo trabalho em 6 horas. A resposta correta é a letra “c”.

Exercícios Resolvidos de MDC, MMC e Divisores Números Primos Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: diferentes : o 1 e ele mesmo. Exemplos: 1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo. 2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17 17,, portanto 17 é um número primo. 3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10 10,, portanto 10 não é um número primo. Observações:  => 1 não é um número primo, primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo. => 2 é o único número primo que é par. Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos. compostos. Exemplo : 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto. Reconhecimento de um número primo Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos: => ou uma divisão com resto zero e neste neste caso o número não é primo, primo, => ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. zero . Neste caso o número é primo. primo. Exemplos: 1) O número 161: não é par, portanto não é divisível por 2; 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3; não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo. 2) O número 113: não é par, portanto não é divisível por 2; 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3; não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7). por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo. primo.

R[n] = raiz quadrada de z (z>0) e R³[z] = raiz cúbica de z.

1. Um conjunto possui 18 elementos. Quais Quais as possibilidades possibil idades existentes para se dividir dividi r esse conjunto em grupos com quantidades iguais de elementos? Resposta: As possibilidades estão apresentadas na tabela abaixo:

1 grupo com 18 elementos

2 grupos com 9 elementos em cada grupo

3 grupos com 6 elementos em cada grupo

6 grupos com 3 elementos em cada grupo

9 grupos com 2 elementos em cada grupo

18 grupos com 1 elemento em cada grupo

O conjunto dos divisores de 18 é D(18)={1,2,3,6,9,18}. 2. De que forma explícita explícita podemos escrever o conjunto conjunto de todos os múltiplos de um número natural n? Resposta: O conjunto dos números naturais é N={0,1,2,3,4,5,...}. Se n é um número para o qual queremos obter os múltiplos, então a multiplicação de n por cada elemento de N será: M(n)={0,n,2n,3n,4n,...}. 3. Quantos elementos possui e como é escrito o conjunto dos múltiplos múltipl os do elemento 0? Resposta: O conjunto de múltiplos de 0 possui apenas um elemento e é denotado por M(0)={0}, pois M(0)={0x0,0x1,0x2,0x3,0x4,0x5,...}. 4. Maria possui possui 3 tias. No aniversário de de Maria, ela recebeu recebeu 2 presentes presentes de cada tia. Quantos Quantos presentes Maria ganhou no total? Resposta: No total, Maria ganhou 6 presentes. 5. Para obter os divisores de um número natural a, basta saber quais os elementos element os que, multiplicados entre si, têm por resultado o número a . Com base nessa afirmação, obtenha o conjunto de divisores de cada um dos números: 13, 18. 25, 32 e 60. Resposta: D(13)={1,13}, D(18)={1,2,3,6,9,18}, D(25)={1,5,25}, D(60)={1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60} e D(32)={1,2,4,8,16,32}. Obtivemos apenas alguns números naturais que, multiplicados entre si, têm por resultado 32: 1×32=32; 2×16=32; 4×8=32, 8×4=32, 16×2=32, 32×1=32.

6. Qual o elemento do conjunto dos números naturais que é divisor de todos os números? Resposta: O número 1, pois se dividirmos um número natural n por 1 obteremos o próprio n. Por exemplo, 2 maçãs para 1 garoto, 3 balas para 1 criança, 5 lápis para 1 estudante, etc...

7. João tinha 20 bolinhas de gude e queria distribuí-las distribuí -las entre ele e 3 amigos de modo que cada um ficasse com um número par de bolinhas e nenhum deles ficasse com o mesmo número que o outro. Com quantas bolinhas ficou cada menino? Resposta: Se o primeiro menino ficar com 2 bolinhas, sobrarão 18 bolinhas para os outros 3 meninos. Se o segundo receber 4, sobrarão 14 bolinhas para os outros dois meninos. O terceiro menino receberá 6 bolinhas e o quarto receberá 8 bolinhas. 8. Quando possível, possível , complete complete o espaço entre parênteses com números números naturais.

9. 5×( ) = 20 10.

( )×3 = 18

11.

4×( ) = 10

12.

( )÷2 = 8

13.

3÷( ) = 4

14.

( )÷3 = 4 Resposta: Não existe número natural que multiplicado por 4 produza 10 e não existe número natural que divide o número 3 e tem por resultado o número 4.

15. O número 5 é divisor do número 16? Justifique a sua resposta. Resposta: Não, porque não existe qualquer número natural que multiplicado por 5 seja igual a 16.

16. Na Páscoa, um comerciante de Ovos de Páscoa fez a seguinte promoção: 17. 1 ovo = R$ 6,00 18.

2 ovos = R$ 11,00

19.

3 ovos = R$ 15,00

20.

4 ovos = R$ 18,00 Um cliente realizou uma compra sob certas circunstâncias. Quantos ele pagou pela compra de 11 ovos? Quantos ele pagaria se comprasse 177 ovos? Sem promoção, quanto ele pagaria a mais pela compra dos 177 ovos? Resposta: Para comprar 11 ovos ele dividiu 11 por 4 para obter o maior número múltiplo de 4 e o resto da divisão será 3, assim ele usou a decomposição: 11=4+4+3. Custo=R$18,00+R$18,00+R$15,00=R$51,00. Para comprar 177 ovos, ele deve dividir 177 por 4 para obter o maior número múltiplo de 4 e o

resto da divisão Custo=44×R$18,00+R$6,00=R$798,00.

será

1,

assim:

177=4×44+1

21. Conhecendo um método para identificar os números primos, verifique quais dos seguintes números são primos: 22. (a) 49 23.

(b) 37

24.

(c) 12

25.

(d) 11 Resposta: 37 e 11 são primos porque seus únicos divisores são o número 1 e eles mesmos. 49 não é primo porque é múltiplo de 7. 12 não é primo porque é múltiplo de 2, 3, 4 e 6.

26. Qual é o menor número primo com dois algarismos? Resposta: O número 11.

27. Qual é o menor número primo com dois algarismos diferentes? Resposta: O número 13.

28. Qual é o menor número primo com três algarismos diferentes? Resposta: O número 103.

29. Qual é o valor do número natural b, tal que 64=b×b×b? Resposta: R³[64]=4, pois 64=b×b×b, ou seja, 64=b³. Esta é uma propriedade de potenciação. A base é b e b e o expoente é 3 . O número que elevado ao cubo fornece o resultado 64 é o número b=4.

30. Tente obter justificativas para garantir que valem as igualdades com potências e radicais. R[9]=3 2³=8 R³[8]=2 R[16]=4 5²=25 31. Exiba todos os números primos existentes entre 10 e 20? Resposta: 11, 13, 17 e 19.

32. Escreva três números diferentes cujos únicos fatores primos são os números 2 e 3. Resposta: 18, 12, ... A resposta resposta pode ser muito variada v ariada.. Alguns exemplos estão na justificativa abaixo. Para obtermos números que possuem apenas os números 2 e 3 como fatores, não precisamos escolher um número e fatorá-lo. O meio mais rápido de encontrar um número que possui por únicos fatores os números 2 e 3 é "criá-lo" multiplicando 2 e 3 quantas vezes desejarmos. Por exemplo: 2×2×3=12, 3×3×2=18, 2×2×3×3×3=108.

33. Seja o quadrado abaixo em que cada lado mede 3cm. Quantos quadradinhos de 1cm² cabem no quadrado?

34. Resposta: 9 quadradinhos. 35. 36. Com o mesmo quadrado acima, obter o valor de 3². Resposta: 3²=9.

37. De quantos cubinhos de 1cm de lado, isto é, um centímetro cúbico, precisaremos para construir um cubo com 3cm de comprimento, 3cm de largura e 3cm de altura?

Resposta: 27 cubinhos.

38. Qual o valor de 3 3 (3 elevado ao cubo)? Resposta: 3³=27.

Frações e Números decimais (Exercícios) * Adição e subtração com denominadores iguais Para se efetuar o cálculo com frações com denominadores iguais, siga os exemplos abaixo: 4/20 + 5/20 + 6/20 Neste caso, soma-se ou subtrai-se os numeradores e conserva-se os denominadores:

Resultado da fração acima: 15/20 * Adição e subtração com denominadores diferentes Neste caso efetua-se a substituição das frações dadas por outra equivalentes, fazendo uso do cálculo do MMC dos denominadores. 1/4 + 1/2 + 2/3 MMC (4,2,3) = 12 Assim: 3/12 + 6/12 + 8/12 17/12 * Exercícios resolvidos para prática

1. Calcule os resultados das expressões a) 8 1 + 3 2 (Frações com números mistos) 2

5

Solução: (8 + ½) + (3 + 2/5) = (8 + 3) + (1/2 + 2/5) = 11 + (1/2 + 2/5) = 11 + (5/10 + 4/10) = 11 9/10 b) 15 5/6 – 2 3/4

Solução: (15 + 5/6) – (2 + ¾) = (15 – 2 ) + (5/6 – ¾) = 13 (10/12 – 9/12) = 13 1/12

c) 2 1/3 x 4/5 Solução: (2 + 1/3) x 4/5 = 2 x 3 + 1_ x 4/5 = 3 7/3 x 4/5 = 28/15 = 1+13/15 d) 1/2 ÷ (1 3/4) 1/2 ÷ (1 + 3/4) = 1/2 ÷ 1 x 4 + 3 = 1/2 ÷ 7/4 = 4 1/2 x 4/7 = 4/14 (fazendo a simplificação pelo número 2) 2/7

* Multiplicação de frações Os passos para se efetuar uma multiplicação de frações são simples: 1) Multiplicar o numerador, dando origem a outro númerador 2) Multiplicar o denominador, dando origem a outro denominador Exemplos: a) 2/5 x 3/2 = 6/10 b) 4/3 x 1/5 x 1/4 = 4/60 (Neste caso podemos simplificar por 4) 1/15

* Divisão de frações Para dividir uma fração deve-se multiplicar o primeiro número pelo inverso do segundo número da equação dada, ou seja, o dividendo pelo inverso do divisor. Exemplos: a) 3/5 ÷ 2/7 = 3/5 x 7/2 = 21/10

b) 2/3 ÷ 1/6 2/3 x 6/1 = 12/3 (Neste caso podemos simplificar) 4 Observe: Nunca faça contas envolvendo dízimas periódicas (ensinado no tutorial anterior). Faça a troca de todas as dízimas periódicas por frações geratrizes (também comentado no tutorial anterior) antes de efetuar qualquer conta.

* Exercícios resolvidos para prática a) Quanto vale 3/4 de 480 ? Solução: 3/4 x 480 = 3 x 480 = 1440/4 = 360 4 Então, dois terços de 480 são 360. b) João gastou em compras diversas dois quintos da quantia que possuía e ainda lhe resta o valor de R$ 80,00. Quanto João tinha inicialmente? Solução: Neste o problema menciona quintos de uma quantia. Assim é possível indicar por 5x. Inicial = 5x Gastos = 3/5 de 5x = 3x Resto = 80,00 Temos então: 5x – 3x = 80 2x = 80 X = 80/2 X = 40 Logo, como a quantia inicial foi representada por 5x, temos então: 5x = 5 x 40 = 200,00 João tinha inicialmente um valor de R$ 200,00

c) Um caderno de 10 matérias custa 2/3 a mais que um caderno de 5 matérias. Juntos eles tem o valor de R$ 24,00. Qual o valor de cada caderno? Solução: O preço do caderno 10 matérias foi indicado como 2/3 a mais do preço do outro caderno, temos: Caderno 5 matérias: 3x Caderno 10 matérias : 3x + 2/3 de 3x = 3x + 2x = 5x Juntos os cadernos tem o valor de R$ 24,00 3x + 5x = 24,00 8x = 24 x= 3 Assim: O caderno de 5 matérias custa : 3x = 3 x 3 = R$ 9,00 O caderno de 10 matérias custa : 5x = 5 x 3 = R$ 15,00

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL * Definição O SISTEMA MÉTRICO DECIMAL é parte integrante do Sistema de Medidas. É adotado no Brasil tendo como unidade fundamental de medida o metro. O Sistema de Medidas é um conjunto de medidas usado em quase todo o mundo, visando padronizar as formas de medição. Deste os tempos passados os povos criavam seu método próprio de unidades de medidas. Cada um, desta forma, tinha seus próprios métodos de medição. Com o comércio crescente e em expansão na época, ficava cada vez mais complicado operar com tamanha diversidade de sistemas de medidas e a troca de informações entre os povos era confusa. Assim foi necessário que se adotasse um “sistema padrão” de medidas em suas respectivas grandezas. Então no ano de 1971, um grupo de representantes de diversos países reuniu-se para discutir a forma de adotar um sistema de medidas único que facilitasse a troca de informações entre os povos. Foi desenvolvido o sistema métrico decimal. * O metro O termo “metro” é oriundo da palavra grega “métron” e tem como significado “o que mede”. Estabeleceu-se no princípio que a medida do “metro” seria a décima milionésima parte da distância entre o Pólo Norte e Equador, medida pelo meridiano que passa pela cidade francesa de Paris. O metro padrão foi criado no de 1799 e hoje é baseado no espaço percorrido pela luz no vácuo em um determinado período de tempo. * As primeiras medições No mundo atual, temos os mais diversos meios e instrumentos que permitem ao homem moderno medir comprimentos. Porém nem sempre foi desta forma, há 3.000 anos, quando não se existia os recursos atuais, como o homem fazia para efetuar medidas de comprimentos? comprimentos? Esta necessidade de medir m edir espaços é tão antiga quanto à necessidade de contar. Quando o homem começou a construir suas habitações e desenvolver sua agricultura e outros meios de sobrevivência e desenvolvimento econômico, que se fazia necessário medir espaços, então houve ai a necessidade de se medir espaços. Desta forma, para medir

espaços o homem antigo, tinha como base seu próprio corpo, por isto que surgiram: polegadas, a braça, o passo, o palmo. Algumas destas medidas ainda são usadas até hoje, como é o caso da polegada. Há algum tempo, o povo egípcio usava como padrão para comprimento, o “cúbito”, que é a distância do cotovelo a ponta do dedo médio. Como as pessoas, é claro, tem tamanhos diferentes, o “cúbito” variava de uma pessoa para outra, fazendo com que houvesse muita divergência nos resultados finais de medidas. Então, vendo este problema de variação de medidas, o povo egípcio resolveu adotar uma outra forma de medir o “cúbito”, passaram então ao invés de usar seu próprio corpo, a usarem uma barra de pedra como o mesmo comprimento, assim deu-se origem então o “cúbito padrão”. Como era impossível realizar medições em extensões grandes, o povo egípcio então começou a usar cordas, para medir grandes áreas. Tinham nós que eram igualmente colocados em espaços iguais, e o intervalo entre estes nós, poderia medir “x” cúbitos fixos. Desta forma de medição com cordas, originou-se o que chamamos hoje de “trena”. * Múltiplos e submúltiplos do Metro Como o metro é a unidade fundamental do comprimento, existem evidentemente os seus respectivos múltiplos e submúltiplos. Os nomes pré-fixos destes múltiplos e submúltiplos são: quilo, hecto, deca, centi e mili. Veja o quadro:

Os múltiplos do metro são usados para realizar medição em grandes áreas/distâncias, enquanto os submúltiplos para realizar medição em pequenas distâncias. No caso de haver necessidade de fazer medições milimétricas, onde a precisão é fundamental, podem-se utilizar as seguintes medições:

No caso de haver necessidade de fazer medições astronômicas, pode-se utilizar a seguinte medição:

Ano-Luz é a distância percorrida pela luz em um ano. * Nomes e funções de algumas medidas

* Leitura das Medidas de comprimento Podemos efetuar a leitura corretas das medidas de comprimento com auxilio de um quadro chamado “quadro de unidades”. Exemplo: Leia 16,072 m

Após ter colocado os respectivos valores dentro das unidades equivalentes, lê-se a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e a parte decimal com a unidade de medida o último algarismo.

Veja outros exemplos de leitura: 8,05 km = Lê-se assim: “Oito quilômetros e cinco decâmetros”

72,207 dam = Lê-se assim: “Setenta e dois decâmetros e duzentos e sete centímetros” 0,004 m = Lê-se assim: “quatro milímetros” * Transformar unidades Este é um item i tem que é muito pedido em grande parte de concursos concursos que exigem matemática, e é justamente onde muitas pessoas que estudam este tema tem comprometido seus resultados. Observe a tabela abaixo:

Agora observe os exemplos de transformações 1) Transforme 17,475hm em m

Para transformar hm (hectômetro) em m (metro) - observe que são duas casas à direita direit a - multiplicamos multipli camos por 100, ou seja, (10 x 10). 17,475 x 100 = 1747,50 Ou seja 17,475 hm é = 1747,50m 2) Transforme 2,462 dam em cm

Para transformar dam (Decâmetro) em cm (Centímetro) – observe que são três casas à direita – multiplicamos por 1000, ou seja, (10 x 10 x 10). 2,462 x 1000 = 2462 Ou seja

2,462dam é = 2462cm 3) Transforme 186,8m em dam.

Para transformar m (metro) em dam (decâmetro) – observe que é uma casa à esquerda – dividimos por 10. 186,8 ÷ 10 = 18,68 Ou seja 186,8m é = 18,68dam 4) Transforme 864m em km.

Para transformar m (metro) em km (Kilômetro) – observe que são três casas à esquerda – dividimos por 1000.

864 ÷ 1000 = 0,864 Ou seja 864m é = 0,864km Obs. Os quadros das medidas foram colocados em cada operação repetidamente, de propósito, para que haja uma fixação, pois é fundamental conhecer “decoradamente” estas posições.

Exercícios Resolvidos - Potenciação Exercício 1: 1: (PUC-SP) O número de elementos distintos da sequência 2 4, 42, 4-2 (-4)2, (-2)4, (-2)-4 é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 Solução: Solução: Para determinar o número de elementos distintos é suficiente que calculemos cada um deles. Assim temos: • • • • • •

24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16 42 = 4 x 4 = 16 4-2 = 1/ 42 = 1/16 (uso da propriedade e) do artigo sobre potenciação) (-4)2 = (-4) x (-4) = 16 (potência par de base negativa tem como resultado um número positivo) (-2)4 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = 16 (idem) (-2)-4 = 1/(-2)4 = 1/16 (uso da propriedade e) do artigo sobre potenciação)

Portanto, se conclui que existem dois elementos distintos (16 e 1/16) e a resposta correta é a b). Exercício 2: 2: (FEI-SP) O valor da expressão A = (-2) + (-3) x (-2) -1:(-3) é: a) 1 b) -5/6 c) -5/3 d) -5/2 Solução: Solução: Todos sabem, após a leitura atenta do artigo sobre potenciação - propriedade e) -, que (-2)

-1

= -1/2. Logo:

A = (-2) + (-3) x (-1/2) : (-3) = (-2) + (3/2) : (-3) = (-2) - [3/(2 x 3)] Cancelando o 3 na expressão entre colchetes (note que nas passagens das igualdades acima foram utilizadas as propriedades do produto de números relativos de mesmo sinal e a divisão de números relativos com sinais diferentes - lembram-se!): A = (-2) - 1/2 = (-4 - 1)/2 = -5/2 Resposta d).

Exercício 3: 3: (FEI-SP) O valor da expressão B = 5 . 10 8 . 4 . 10-3 é: a) 206 b) 2 . 106 c) 2 . 109 d) 20 . 10-4 Solução: Solução: Como em um produto a ordem dos fatores não altera o resultado, podemos reescrever B como: B = 5 . 4 . 10 8 . 10-3 = 20 . 108 . 10-3 = 20 . 108-3 Na última passagem utilizamos a propriedade b). E para finalizar, com o uso novamente da mesma propriedade: B = 2 . 10 . 10 5 = 2 . 101+5 = 2 . 106 Resposta b). Exercício 4: 4: (PUC-SP) O valor da expressão C = (10 -3 x 105) / (10 x 104) é: a) 10 b) 1000 c) 10-2 d) 10-3 Solução: Solução: Novamente, pela propriedade b) vem que: C = 10-3+5 / 101+4 = 102 / 105 E, pela propriedade c) temos: C = 102-5 = 10-3 Resposta d). Exercício 5: 5: Se 53a = 64, o valor de 5-a é: a) 1/4 b) 1/40 c) -1/4 d) 1/20 Inicialmente, observe que pela propriedade d): 53a = (5a)3 e que 64 = (2 2)3 Como os expoentes das potências são iguais, necessariamente também são suas bases. Ou se você preferir, extraindo-se a raiz cúbica dos termos, obtemos: 5a = 22 = 4 Invertendo os membros da igualdade vem: 1/5a = 1/4

E finalmente, pela propriedade e): 5-a = 1/4 Resposta a).

Exercícios Resolvidos - Radiciação

Exercício 1: 1: A raiz de índice m de uma raiz de índice n de a é igual à raiz de índice mn de a:

O que a propriedade diz? Diz que o resultado é o mesmo se você calcula a raiz de índice n de a e depois a raiz de índice m do valor obtido dessa operação ou se você v ocê calcula, diretamente, a raiz de índice mn de a. Faça esses cálculos com a raiz cúbica da raiz quadrada de 64 e a raíz sexta de 64, e veja que o resultado obtido é igual a 2 em ambos os casos. Solução 1: 1: Primeiro, lembro a seguinte propriedade de potenciação: em uma igualdade ao se elevar ambos os seus membros à uma potência de grau m ela não se altera. Desse fato e supondo que:

vem (elevando ambos os membros à potência m) que:

e pela definição de radiciação:

o que conclui a demonstração. Solução 2: 2: Uma outra maneira de demonstrar a propriedade (P5) é através da aplicação da propriedade P7:

Exercício 2: 2: Calcular

Solução: Solução: Para facilitar a explicação, e consequentemente o entendimento, vamos, inicialmente, tratar separadamente cada membro da expressão, onde se indicam as propriedades utilizadas em cada passagem:

Assim de 1, 2 e 3 obtemos:

Exercício 3: 3: (UFCE) Simplificar a expressão:

Solução: Solução: Exercício simples que se baseia na decomposição em fatores primos de cada radicando e da utilização da propriedade P1, como você pode observar no detalhamento a seguir. Tenha em conta que na soma ou subtração de radicais, cada parcela deve ser considerada isoladamente para se obter o resultado de uma expressão. Ou seja, não se aplica que a soma de duas raízes de mesmo índice é igual a raiz da soma, como é o caso do produto, por exemplo.

Exercício 4: 4: Calcular o quociente:

Solução: Solução: Outro exercício de solução simples onde demonstro o uso das propriedades P1 e P3, e novamente, faço uso da decomposição em fatores primos dos radicandos:

Exercício 5: 5: Escrever em ordem de grandeza crescente os radicais:

Solução: Solução: Para fazer a comparação entre os radicais devemos, inicialmente, reduzí-los ao mesmo índice. Isto é feito calculando o mínimo múltiplo comum (mmc) dos índices e, após, aplicando a propriedade P6. O mmc(2, 4, 3, 6) = 12 e reescrevendo os radicais (P6) vem:

Agora, basta considerar a ordem dos radicandos para estabelecer a ordem crescente dos radicais:

Exercício 6: 6: Efetuar

Solução: Solução: Esboçada a seguir, onde utilizamos o fato de que o produto da soma pela diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo (produto notável - PN) e as propriedades da Radiciação indicadas:

Exercícios Resolvidos – proporções De um grupo de 50 jovens, 20 praticam basquete. Determine a razão entre o número de pessoas que   jogam basquete e o total. Solução: A razão é 20/50 = 2/5 , o que equivale a dizer que "de cada 5 jovens neste grupo, 2 jogam basquete". Na bula de um determinado remédio pediátrico recomenda-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg  do "peso" da criança. Se uma criança tem 12 kg, qual a dosagem correta?  Solução: 5 gotas está para 2 kg assim como x gotas x gotas está para 12 kg. Assim, 5/2 = x  /12. Então 2x  2 x = = 60, logo x = x = 30 gotas. Este procedimento é usualmente chamado de " REGRA DE TRÊS SIMPLES ". Foram empregados 24 kg de fio para tecer 120 m de fazenda de 0,82 m de largura. Quantos metros da  mesma fazenda, de 1,23 m de largura serão tecidos com 30 kg do mesmo fio?  Solução: Vamos comparar cada grupo de grandezas com o grupo em que estiver o termo desconhecido x . Se aumentarmos o comprimento da fazenda (considerando que largura não varia), o "peso" da "peso"  da fazenda aumenta (diretamente proporcional). Se aumentarmos a largura (considerando que o "peso" não "peso"  não varia), o comprimento compriment o deve deve diminuir (inversamente (inversament e proporcional). Então, a razão desse grupo de grandezas inversamente proporcionais deve ser invertida, a fim de tomar o mesmo sentido das grandezas diretamente proporcionais. Conserva-se a razão que tem x e x e multiplicam-se entre si as demais razões:

O procedimento adotado nesse exemplo é comumente chamado de "REGRA DE TRÊS COMPOSTA". Três pessoas formaram uma sociedade, A entrou com R$ 24.000,00; B com R$ 30.000,00 e C com R$  36.000,00. Depois de três meses tiveram um lucro de R$ 60.000,00. Calcule o lucro de cada sócio. Solução: Para cada sócio, a razão entre o lucro e o dinheiro investido é igual a razão entre o lucro total da sociedade e o total investido pela sociedade. Então:

Assim, A/24000 = B/30000 = C/36000 = 2/3. Logo: A = R$ 24.000,00 × 2/3 = R$ 16.000,00 ; B = R$ 30.000,00 × 2/3 2/3 = R$ 20.000,00 ; C = R$ 36.000,00 × 2/3 = R$ 24.000,00. Este procedimento é usualmente chamado de "REGRA DE SOCIEDADE " ou DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS. PROPORCIONAIS. (TRE) Para executar a tarefa de manutenção de 111 microcomputadores, três técnicos judiciários  dividiram o total de microcomputadores entre si, na razão inversa de suas respectivas idades: 24, 30 e 36  anos. Assim sendo, quanto recebeu o técnico de 30 anos? 

Solução: Sejam A, B e C as respectivas idades. Então:

Logo: 24A = 30B = 36C = 1080 A = 1080/24 = 45 B = 1080/30 = 36 C = 1080/36 = 30 . Assim, a resposta procurada é 36. Este procedimento é usualmente chamado de DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Uma miniatura de um automóvel foi construída na escala 1 : 40. As dimensões da miniatura são:  comprimento 12,5 cm e largura 5 cm. Quais as dimensões reais do automóvel?  Solução: Seja x o x o comprimento real e y o y o largura real. Temos que a razão entre a minutura e o tamanho real é 1/40. Como a miniatura é diretamente proporcional ao tamanho real, temos as proporção: 1/40 = 12,5/ x = x = 5/ y  y.  Daí, vem que: x = x = 40 × 12,5 = 500 cm = 5 m ; y = y = 40 × 5 = 200 cm = 2 m. Um garoto de 1m de altura projeta uma sombra de 0,5 m. No mesmo instante, um edifício projeta uma  sombra de 9 m. Qual é altura do edifício?  Solução: Seja x a x a altura do edifício.A altura e a sombra são grandezas diretamente proporcionais. Então, temos a proporção: 1 / 0,5 = x / x / 9. O que implica em x = x = 9 / 0,5 = 90 / 5 = 18 m Por outro lado, como a sombra e a altura formam um ângulo de 90 graus, segue que a sombra e a altura são catetos de um triãngulo retângulo. Logo, temos dois triângulos retãngulos semelhantes. Pelo Teorema de Tales, os lados correspondentes dos triângulos semelhantes são proporcionais. Então, temos a proporção: 1 / 0,5 = x / x / 9. Assim, x = x = 9 / 0,5 = 90 / 5 = 18 m (ENEM) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo momento, a seu  lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50cm, a  sombra da pessoa passou a medir quanto?  Solução: Temos que 2,00 m = 200 cm e 1,80 m = 180 cm. Como a altura e a sombra são grandezas diretamente proporcionais, temos a proporção: 180/60 = H/200, onde H é a altura do poste. Vem que, 3 = H/200 , o que implica em: H = 3 × 200 = 600 cm. Mais tarde teremos a proporção: 180/ x  180/ x = = 600/(200-50) = 600/150 = 4. Então, 180 = 4x  4 x . Logo: x = x = 180/4 = 45 cm. Este problema poderia ser resolvido de outra maneira. Observe que a sombra do poste diminuiu de 50/200 = 1/4. Então a sombra da pessoa também diminuiu de 1/4. Segue que a sombra da pessoa diminuiu de 1/4 × 60 = 15. Logo, a sombra da pessoa passou a medir: 60 - 15 = 45 cm.

Em 12 dias de trabalho, 16 costureiras fazem 960 calças. Em quantos dias 12 costureiras poderão fazer  600 calças iguais às primeiras?  Solução: Seja x o x o número de dias. dias costureiras calcas Temos que número de dias dias e número de costureiras 12 16 960 12 600 são grandezas inversamente proporcionais. Por outro lado, número x  de dias e número de calças são diretamente proporcionais.

dias

Assim, teremos a proporção:

aumenta diminui diminui aumenta

12/ x = x = (12/16) × (960/600) = (3/4) × (8/5) = 24/20 = 6/5. Portanto, 12/ x = x = 6/5 , o que implica em : 6x  6 x = = 60.

costureiras calcas constante constante

dias calcas costureiras aumenta aumenta constante diminui diminui constante

Logo: x = x = 60/6 = 10 dias. Um pai distribui R$ 50.000,00 aos seus três filhos em partes diretamente proporcionais às suas idades, que são 4, 7, 9 anos. Quanto coube a cada um?  Solução: Sejam a , b e b e c as c as parte que cabem a cada um. Temos a proporção: (a  ( a  / / 4) = (b  (b  / / 7) = (c  (c  / / 9) = (50.000/20) = 2500. Então: a = a = 4 × 2500 = R$10.000,00 ; b = b = 7 × 2500 = R$17.500,00 ; c = c = 9 × 2500 = R$22.500,00 Se 8 pedreiros constroem em 6 dias um muro de 40 m de comprimento, quantos pedreiros serão  necessários para construir, em 14 dias, um muro de 70 m de comprimentos?  Solução: Seja x o x o número de dias. Temos que número de pedreiros e número de dias dias são pedreiros 8 grandezas inversamente proporcionais. x  Por outro lado, número de pedreiros e número de pedreiros aumenta comprimento são diretamente proporcionais. diminui Assim, teremos a proporção: pedreiros 8/ x = x = (14/6) × (40/70) = (7/3) × (4/7) = 4/3. aumenta diminui Daí, vem que: 8/ x = x = 4/3. Logo x = x = 3 × 8 / 4 = 24 / 4 = 6 pedreiros.

dias comprimento 6 40 14 70 dias comprimento compriment o diminui constante aumenta constante comprimento dias aumenta constante diminui constante constante

Exercícios Resolvidos – Razões RAZÕES, PROPORÇÕES E ESCALAS EM NÍVEL II * Definição Em tutoriais anteriores, foi visto que a razão de dois números, quando dados certa ordem e sendo o segundo número diferente de zero, ao quociente do primeiro pelo segundo. A palavra razão, tem origem latina “latim” e tem como significado “dividir, divisão”. Desta forma, considere um carro qualquer com 3m de comprimento e um carro de kart com 3 m de comprimento. Para se fazer a comparação entre as medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um deles pelo outro. Logo: 3/2 = 1,5 (Nota-se que o carro de corrida é 2 x o tamanho do carro de kart). carro.

É possível, ainda, constatar que o carro de kart possui a metade (1/5) do tamanho do outro

E como informado acima, a comparação entre dois números racionais, feitas através de uma divisão, dá-se o nome nome de razão. Uma razão pode ser representada também da seguinte forma ---> a:b No exemplo acima --> 1:5

Na definição acima os termos são: a = chamado de antecedente b = chamado de conseqüente Ao representar uma razão, frequentemente simplificamos os seus termos procurando, na maior parte dos casos, torná-los inteiros. * Exercícios para fixação de conteúdo a) A razão entre 0,20 e 2 é : Resolução: 0,20/2 = (1/5)/2 = (1/5) x (1/2) = 1/10

1/10 é o mesmo que 1 para 10

b) A razão entre 1/3 e 4/7 é: Resolução: (1/3)/(4/7) = 1/3 x 7/4 = 7/12 7/12 é o mesmo que 7 para 12 c) A razão entre 6 e 1/4 é:

Resolução: (6) / (1/4) = 6 x 4/1 = 24/1 = 24 24/1 é o mesmo que 24 para 1 * Proporção

Pode-se chamar de proporção a expressão que indica uma igualdade entre duas ou mais razões. A proporção a/b = c/d pode ser lida assim: “a está para b” assim como “c está para d” é representada como ---à a: b : : c: d Os termos nestas proporções são: "a" e "d" são os extremos “b” e “c” são meios - Propriedade fundamental

- Quarta proporcional A quarta proporcional de três números dados, sendo eles a, b e c na ordem dada, é o número x que completa com os outros três uma proporção, tal qual : a/b = c/x Veja os exemplos:

Determine a quarta proporcional dos números 2,5 e 6 nesta ordem. Solução: (2/5) = (6/x) 2x = 6 x 5 2x = 30 x = 15 * Tipos de proporções - Proporção contínua A proporção contínua é aquela que tem meios iguais. Exemplos: a) 5:7 : : 4:7 é chamada de contínua, pois os seus meios são iguais a 7. b) 4:3 : : 5:3 é chamada de contínua, pois os seus meios são iguais a 3. Em uma proporção contínua temos o seguinte: 1. O último termo é denominado de terceira proporcional. Observe: 20:10 : : 10:5 (neste caso 5 é a terceira proporcional dos números 20 e 10) extremos.

2. O valor v alor comum dos meios é chamado de média proporcional ou média geométrica dos termos Observe: 2 é a média proporcional entre 12 e 24, pois : 12: 2 : : 2 : 24 - Proporção múltipla Razão múltipla é a igualdade simultânea entre três ou mais razões dadas no problema. Exemplos: (2/4) = (3/5) = (5/7) = (1/3) (2/4) = (3/5) = (5/7) = (1/3) * Escala

Escala é a razão constante entre qualquer medida de comprimento em um desenho e a medida correspondente no objeto real representado pelo desenho, ambas tomadas na mesma unidade de medida. Escala = medida de comprimento no desenho / medida de comprimento no objeto real * Exercícios resolvidos para prática a) Em uma prova com 40 questões, um candidato acertou 25, deixando 5 em branco e errando as demais.

Qual é a razão do número de questões certas para o de questões erradas ? Resolução: Do total de 40 questões, 25 estavam certas e 5 em branco. Assim, o número de questões erradas é: 40 – 25 – 5 = 10 seguinte:

Montando, a razão do número de questões certas (40) para os de questões erradas (10) é a 40/10 = 4/1 ou 4 para 1

b) Calcular dois números positivos na proporção de 3 para 5, sabendo sabendo que a diferença do maior para o menor é 27. Resolução: Sejam “a” o menor e “b” o maior dos números procurados. A proporção nos mostra que “a” está para 3 assim como “b” está para 5. Então, é possível que : “a” tem 2 partes .............................(a = 2p) “b” tem 5 partes .............................(b = 5p) Porém: A diferença entre b-a é igual a 27, temos : 5p – 2p = 27 3p = 27 P = 27/3 P=9 Como sabemos, depois de feito os cálculos cada parte vale 9 (p = 9), é possível concluir que : O valor de “a” é --> a = 2p -> a = 2.9 = 18 O valor de “b” é --> b = 5p -> b = 5.9 = 45 Provando os cálculos: 45 – 18 = 27

Razões A palavra razão vem do latim ratio e ratio  e significa a divisão ou o quociente entre dois números A e B, denotada por: A B Exemplo: A razão entre 12 e 3 é 4 porque: 12 3

=4

e a razão entre 3 e 6 é 0,5 pois: 3 6

= 0,5

A razão também pode ser expressa na forma de divisão entre duas grandezas de algum sistema de medidas. Por exemplo, para preparar uma bebida na forma de suco, normalmente adicionamos A litros de suco concentrado com B litros de água. A relação entre a quantidade de litros de suco concentrado e de água é um número real expresso como uma fração ou razão (que não tem unidade), é a razão: A B

= A/B

Exemplo: Tomemos a situação apresentada na tabela abaixo. Líquido Situação1 Situação2 Situação3 Situação4 Suco puro 3 6 8 30 Água 8 16 32 80 Suco pronto 11 22 40 110 Na Situação1, para cada 3 litros de suco puro coloca-se 8 litros de água, perfazendo o total de 11 litros de suco pronto. Na Situação2, para cada 6 litros de suco puro coloca-se 16 litros de água, perfazendo o total de 24 litros de suco pronto. Exemplo: Em uma partida de basquete um jogador faz 20 arremessos e acerta 10.

Podemos avaliar o aproveitamento desse jogador, dividindo o número de arremessos que ele acertou pelo total de arremessos, o que significa que o jogador acertou 1 para cada dois arremessos, o que também pode ser pensado como o acerto de 0,5 para cada arremesso. 10 : 20 = 1 : 2 = 0,5

ÁLGEBRA Exercícios Resolvidos – Conjuntos Inscreveram-se num concurso público 700 candidatos para 3 cargos - um de nível superior, um de nível  médio e um de nível fundamental. É permitido aos candidatos efetuarem uma inscrição para nível superior  e uma para nível médio. Os candidatos ao nível fundamental somente podem efetuar uma inscrição. Sabe-  se que 13% dos candidatos de nível superior efetuaram 2 inscrições. Dos candidatos de nivel médio, 111 candidatos efetuaram uma só inscrição, correspondendo a 74% dos candidatos desse nível. Qual é então  o número de candidatos ao nível fundamental?  Solução: Sejam: M o número de candidatos de nível médio; S M o número de candidatos aos níveis superior e médio; S o número de candidatos ao nível superior; F número de candidatos ao nível fundamental. Da Matemática Financeira sabemos que: 74% = 74/100 = 0,74 e 13% = 13/100 = 0,13. Então, 0,74M = 111, segue que, M = 111 / 0,74 = 150 e S M = 150 - 111 = 39 . Assim, 0,13S = 39, implicando em S = 39 / 0,13 = 300 . Observe o diagrama de Venn-Euler com a quantidade de elementos.

Temos: 150 - 39 = 261. Logo, 261 + 39 + 111 + F = 700. Conseqüentemente, F = 700 - 411 = 289. (PUC) Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente:  17% têm casa própia; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel. Qual o percentual dos que  não têm casa própria nem automóvel?  Solução: Com base nos dados, fazemos um diagrama de Venn-Euler, colocando a quantidade de elementos dos conjuntos, começando sempre pelo número de elementos da interseção.

Como a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, então 9% + 8% + 14% + x = 100 %. Daí, vem que 31% + x = 100%. Logo, o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel é x = 100% - 31% = 69%.

(PUC) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas. Programas  E  N  H  E e N  E e H  N e H  E, N e H  Nenhum  Número de telespectadores  400  1220  1080  220  180  800 100  x  Através desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer  dos três programas é:  (A) 200 (C) 900  (B) os dados do problema estão incorretos. (D) 100

(E) n.d.a.

Solução: No diagrama de Venn-Euler colocamos a quantidade de elementos dos conjuntos, começando sempre pela interseção que tem 100 elementos.

Então, 100 + 120 + 100 + 80 +700 + 200 + 300 + x = 1800. Segue que, 1600 + x = 1800. Logo, o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é: x = 1800 - 1600 = 200. Assim, (A) é a opção correta.

(PUC) Em uma empresa, 60% dos funcionários lêem a revista A, 80% lêem a revista B, e todo funcionário  é leitor de pelo menos uma dessas revistas. O percentual de funcionários que lêem as duas revistas é .... Solução: Seja x o valor procurado. Desenhando um diagrama de Venn-Euler e utilizando-se do fato de que a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, temos a equação: 60 - x + x + 80 - x = 100. Daí, vem que, 60 + 80 - x = 100.

Logo, x = 140 - 100 = 40. Assim, o percentual procurado é 40%. (UFMG) Numa república hipotética, o presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo; os senadores, 6  anos e os deputados, 3 anos. Nessa república, houve eleição para os três cargos em 1989. A próxima eleição simultânea para esses três cargos ocorrerá, novamente, em que ano?  Solução: Temos que encontrar um número que é multiplo de 3, de 4 e de 6 ao mesmo tempo, e mais, este número deverá ser o menor deles, ou seja, temos que encontrar o mínimo múltiplo comum de 3, 4 e 6. Fatorando 3 , 4 e 6 simultaneamente encntramos 2 2× 3. Logo, M.M.C (3 , 4 , 6) = 12. Assim, a próxima eleição simultânea acontecerá em 1989 + 12 = 2001. Em uma prova de matematica com apenas duas questões, 300 alunos acertaram somente uma das  questões e 260 acertaram a segunda. Sendo que 100 alunos acertaram as duas e 210 alunos erraram a  primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova?  Solução: Temos que 100 acertaram as duas questões. Se 260 acertaram a segunda, então, 260 - 100 = 160 acertaram apenas a segunda questão. Se 300 acertaram somente uma das questões e 160 acertaram apenas a segunda, segue que, 300 - 160 = 140 acertaram somente a primeira. Como 210 erraram a primeira, incluindo os 160 que também erraram a primeira, temos que, 210 - 160 = 50 erraram as duas. Assim podemos montar o diagrama de Venn-Euler, onde: P1 é o conjunto dos que acertaram a primeira questão; P2 é o conjunto dos que acertaram a segunda e N é o conjunto dos que erraram as duas. Observe a interseção P1  P2 é o conjunto dos que acertaram as duas questões.

Logo, o número de alunos que fizeram a prova é: 140 + 100 + 160 + 50 = 450. Exercícios - Números relativos Exercícios - Operações algébricas POLINÔMIOS •

Definição

Uma função polinomial ou simplesmente polinômio, polinômio, é toda função definida pela relação P(x)=a nxn + an-1.xn-1 + an-2.xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0. Onde: an, an-1, an-2, ..., a2, a1, a0 são números reais chamados coeficientes. n ∈ IN x ∈ C (nos complexos) é a variável. GRAU DE UM POLINÔMIO: Grau de um polinômio é o expoente máximo que ele possui. Se o coeficiente a n≠0, então o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos gr(P)=n . Exemplos: a) P(x)=5 ou P(x)=5.x 0 é um polinômio constante, ou seja, gr(P)=0 . b) P(x)=3x+5 é um polinômio do 1º grau, isto é, gr(P)=1. gr(P)=1. 5 4 c) P(x)=4x +7x é um polinômio do 5º grau, ou seja, gr(P)=5 . Obs: Se P(x)=0, não se define o grau do polinômio. •

Valor numérico

O valor numérico de um polinômio P(x) para x=a, é o número que se obtém substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pela relação que define o polinômio. Exemplo: Se P(x)=x 3+2x2+x-4, o valor numérico de P(x), para x=2, é: P(x)= x3+2x2+x-4 P(2)= 23+2.22+2-4 P(2)= 14 Observação: Se P(a)=0, o número a chamado raiz ou zero de P(x). Por exemplo, no polinômio P(x)=x 2-3x+2 temos P(1)=0; logo, 1 é raiz ou zero desse polinômio.

Alguns exercícios resolvidos: 1º) Sabendo-se que –3 é raiz de P(x)=x 3+4x2-ax+1, calcular o valor de a. Resolução: Se Resolução:  Se –3 é raiz de P(x), então P(-3)=0. P(-3)=0 => (-3) 3+4(-3) 2-a.(-3)+1 = 0 3a = -10 => a=-10/3 Resposta: a=-10/3 Resposta: a=-10/3

2º) Calcular m ∈ IR para que o polinômio P(x)=(m2-1)x 3+(m+1)x 2-x+4 seja: a) do 3ºgrau b) do 2º grau

c) do 1º grau

Resposta:  a) para o polinômio ser do 3º grau, os coeficientes de x 2 e x3 devem ser diferentes de zero. Então: m2-1≠0 => m 2≠1 => m≠1 m+1≠0 => m≠-1 Portanto, o polinômio é do 3º grau se m≠1 e m≠-1. -1. b) para o polinômio ser do 2º grau, o coeficiente de x 3 deve ser igual a zero e o coeficiente de x 2 diferente de zero. Então: m2-1=0 => m 2=1 => m=±1 m+1≠0 => m≠-1 Portanto, o polinômio é do 2º grau se m=1. m=1. c) para o polinômio ser do 1º grau, os coeficientes de x 2 e x3 devem ser iguais a zero. Então: m2-1=0 => m 2=1 => m=±1 m+1=0 => m=-1 Portanto, o polinômio é do 1º grau se m=-1. m=-1. 3º) Num polinômio P(x), do 3º grau, o coeficiente de x 3 é 1. Se P(1)=P(2)=0 e P(3)=30, calcule o valor de P(-1). Resolução : Temos o polinômio: P(x)=x 3+ax2+bx+c. Precisamos encontrar os valores de a,b e c (coeficientes). Vamos utilizar os dados fornecidos pelo enunciado do problema: P(1)=0 => (1) 3+a.(1)2+b(1)+c = 0 => 1+a+b+c=0 => a+b+c=-1 P(2)=0 => (2) 3+a.(2)2+b(2)+c = 0 => 8+4a+2b+c=0 => 4a+2b+c=-8 P(3)=30 => (3) 3+a.(3)2+b(3)+c = 30 => 27+9a+3b+c=30 => 9a+3b+c=3 Temos um sistema de três variáveis:

a + b + c = -1  4a + 2b + c = -8 9a + 3b + c = 3  Resolvendo esse sistema encontramos as soluções: a=9, b=-34, c=24 Portanto o polinômio em questão é P(x)= x 3+9x2-34x+24. O problema pede P(-1): P(-1)= (-1) 3+9(-1) 2-34(-1)+24 => P(-1)=-1+9+34+24 P(-1)= 66 Resposta: P(-1)= Resposta: P(-1)= 66 •

Polinômios iguais

Dizemos que dois polinômios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos (e indicamos A(x) ≡B(x)) quando assumem valores numéricos iguais para qualquer valor comum atribuído à variável x. A condição para que dois polinômios sejam iguais ou idênticos é que os coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais. iguais. Exemplo: 

Calcular a,b e c, sabendo-se que x 2-2x+1 ≡ a(x2+x+1)+(bx+c)(x+1). Resolução : Eliminando os parênteses e somando os termos semelhantes do segundo membro temos: x2-2x+1 ≡ ax2+ax+a+bx 2+bx+cx+c 1x2-2x+1 ≡ (a+b)x 2+(a+b+c)x+(a+c)

Agora igualamos os coeficientes correspondentes:

a + b = 1  a + b + c = −2 a + c = 1  Substituindo a 1ª equação na 2ª: 1+c = -2 => c=-3. c=-3. Colocando esse valor de c na 3ª equação, temos: a-3=1 => a=4. a=4. Colocando esse valor de a na 1ª equação, temos: 4+b=1 => b=-3. b=-3. Resposta: a=4, Resposta: a=4, b=-3 e c=-3. c=-3. Obs: um polinômio é dito identicamente nulo se nulo  se tem todos os seus coeficientes nulos. •

Divisão de polinômios

Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo. Efetuar a divisão de P por D é determinar dois polinômios Q(x) e R(x), que satisfaçam as duas condições abaixo: 1ª) Q(x).D(x) + R(x) = P(x) 2ª) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0

P( x)

D( x)

 R( x)

Q( x)

Nessa divisão: P(x) é o dividendo. D(x) é o divisor. Q(x) é o quociente. R(x) é o resto da divisão. Obs: Quando temos R(x)=0 dizemos que a divisão é exata, ou seja, P(x) é divisível por D(x) ou D(x) é divisor de P(x).

Se D(x) é divisor de P(x)

⇔

R(x)=0

Exemplo: Determinar o quociente de P(x)=x 4+x3-7x2+9x-1 por D(x)=x 2+3x-2. Resolução: Aplicando Resolução:  Aplicando o método da chave , temos:

 x

4

 x

4

−

+

−

 x

3

−

3 x3

7 x 2 + 9 x − 1

 x

2 x 2

+

 x

−

2 x 3 − 5 x 2 + 9 x − 1

+

2 x 3 + 6 x 2  x

2

 x

2

−

−

2

2

+

−

4 x

+

5 x − 1

−

3 x + 2 2 x + 1

→

 R ( x )

3 x − 2

2 x + 1

→

Q( x )

Verificamos que: 4 3 2 + x - 7x + 9x - 1 x 144  4  244 4  3  P(x)

•

≡

(x 2

+

3x - 2) (x 2 - 2x + 1) + (2x + 1)

14243  14243 

D(x)

1 4 2 4 3 

Q(x)

R(x)

Divisão de um polinômio por um binômio da forma ax+b

Vamos calcular o resto da divisão de P(x)=4x 2-2x+3 por D(x)=2x-1. Utilizando o método da chave temos:

−

4 x 2 − 2 x + 3

2 x − 1

4 x 2 + 2 x

2 x

3 Logo: R(x)=3 A raiz do divisor é 2x-1=0 => x=1/2. Agora calculamos P(x) para x=1/2. P(1/2) = 4(1/4) – 2(1/2) + 3 P(1/2) = 3

Observe que R(x) = 3 = P(1/2) Portanto, mostramos que o resto da divisão de P(x) por D(x) é igual ao valor numérico de P(x) para x=1/2, isto é, a raiz do divisor.

•

Teorema do resto

O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax+b é igual a P(-b/a). Note que –b/a que –b/a é a raiz do divisor. Exemplo: Calcule o resto da divisão de x 2+5x-1 por x+1. Resolução: Achamos Resolução:  Achamos a raiz do divisor: x+1=0 => x=-1 Pelo teorema do resto sabemos que o resto é igual a P(-1): P(-1)=(-1)2+5.(-1)-1 => P(-1) = -5 = R(x) Resposta: R(x) Resposta: R(x) = -5. -5. •

Teorema de D’Alembert

Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio ax+b se P(-b/a)=0 Exemplo: Determinar o valor de p, para que o polinômio P(x)=2x 3+5x2-px+2 seja divisível por x-2. Resolução: Se Resolução:  Se P(x) é divisível por x-2, então P(2)=0. P(2)=0 => 2.8+5.4-2p+2=0 => 16+20-2p+2=0 => p=19 Resposta: p=19 Resposta: p=19.. •

Divisão de um polinômio pelo produto (x-a)(x-b)

Vamos resolver o seguinte problema: calcular o resto da divisão do polinômio P(x) pelo produto (x-a)(x-  b), b), sabendo-se que os restos da divisão de P(x) por (x-a) e por (x-b) são, respectivamente, r1 e r2. Temos: a é a raiz do divisor x-a , portanto P(a)=r1 (eq. 1) b é a raiz do divisor x-b , portanto P(b)=r2 (eq. 2)

E para o divisor (x-a)(x-b) temos P(x)=(x-a )( )(x-b ) Q(x) + R(x)

(eq. 3)

O resto da divisão de P(x) por (x-a)(x-b) é no máximo do 1º grau, pois o divisor é do 2º grau; logo: R(x)=cx+d Da eq.3 vem: P(x)=(x-a  P(x)=(x-a )(x-b  )(x-b ) Q(x) + cx + d Fazendo: x=a  x=a  => P(a  P(a ) = c(a  c(a )+d )+d (eq. 4) x=b  x=b  => P(b  P(b ) = c(b  c(b )+d )+d (eq. 5) Das equações 1, 2, 4 e 5 temos:

ca + d  = r 1  cb + d  = r 2 Resolvendo o sistema obtemos:

c=

r 1

−

r 2

a−b

e d  =

Logo :  R ( x) =

ar 2

−

ar 1

, com a ≠ b a −b r 1 − r 2 ar  − ar 1  x + 2 , com a ≠ b a −b a−b

Observações: 1ª) Se P(x) for divisível por (x-a) e por (x-b), (x-b), temos: P(a  P(a )= )= r1 =0 P(b  P(b )= )= r2 =0 Portanto, P(x) é divisível pelo produto (x-a)(x-b), (x-a)(x-b) , pois:

 R ( x ) =

r 1 − r 2 a−b

 x +

ar 2

−

ar 1

a−b

=

0+0

=

0

2ª) Generalizando, temos: Se P(x) é divisível por n fatores distintos (x-a 1 ), (x-a 2 2 ),..., (x-a n n )  então P(x) é divisível pelo produto   (x-a 1 )(x-a 2 2 )...(x-a   ).  ) .   n  n  Exemplo: Um polinômio P(x) dividido por x dá x  dá resto 6 e dividido por (x-1) dá resto 8. Qual o resto da divisão de P(x) por x(x-1)? x(x-1)? Resolução:  0 é a raiz do divisor x , portanto P(0)=6 (eq. 1) 1 é a raiz do divisor x-1, x-1, portanto P(1)=8 (eq. 2) E para o divisor x(x-1) temos P(x)=x (x-1) Q(x) + R(x)

(eq. 3)

O resto da divisão de P(x) por x(x-1) é no máximo do 1º grau, pois o divisor é do 2º grau; logo: R(x)=ax+b Da eq.3 vem: P(x)=x  P(x)=x (x-1) x-1) Q(x) + ax + b Fazendo: x=0 => P(0) = a(0)+b => P(0) = b x=1 => P(1) = a(1)+b => P(1) = a+b Das equações 1, 2, 4 e 5 temos:

b = 6  a + b = 8

(eq. 4) (eq. 5)

Logo, b=6 e a=2. a=2. Agora achamos o resto: R(x) = ax+b ax+b = 2x+6 2x+6 Resposta: R(x) Resposta: R(x) = 2x+6. 2x+6. •

O dispositivo de Briot-Ruffini

Serve para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (ax+b). Exemplo: Determinar o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x)=3x 3-5x2+x-2 por (x-2). Resolução:  RAIZ DO DIVISOR 6 4 7 4 8

2

COEFICIENTES DE P(x) 644 4 4 4 4 4  4  744 4 4 4 4 4  4  8

3

−5

1

↓

3.(2) − 5

1.(2) + 1

3

1

3

−2 3.( 2) − 2 4

144 4 4  4  244 4 4  4  3

1 4 2 4 3

COEFICIENTES DO QUOCIENTE Q(x)

RESTO

Observe que o grau de Q(x) é uma unidade inferior ao de P(x), pois o divisor é de grau 1. Resposta: Q(x)=3x Resposta: Q(x)=3x 2+x+3 e R(x)=4. R(x)=4. Para a resolução desse problema seguimos os seguintes passos: 1º) Colocamos a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo ordenadamente na parte de cima da “cerquinha”. 2º) O primeiro coeficiente do dividendo é repetido abaixo. 3º) Multiplicamos a raiz do divisor por esse coeficiente repetido abaixo e somamos o produto com o 2º coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste. 4º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2º coeficiente e somamos o produto com o 3º coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e assim sucessivamente. 5º) Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão, e os números que ficam à esquerda deste serão os coeficientes do quociente. •

Decomposição de um polinômio em fatores

Vamos analisar dois casos: 1º caso: O polinômio é do 2º grau. De uma forma geral, o polinômio de 2º grau P(x)=ax 2+bx+c que admite as raízes r1 e r2 pode ser decomposto em fatores do 1º grau, da seguinte forma: 2

ax +bx+c = a(x-r1)(x-r2) Exemplos: 1) Fatorar o polinômio P(x)=x 2-4. Resolução: Fazendo Resolução:  Fazendo x 2-4=0, obtemos as raízes r1=2 e r2=-2. =-2. 2 Logo: x -4 = (x-2)(x+2). 2) Fatorar o polinômio P(x)=x 2-7x+10. Resolução: Fazendo Resolução:  Fazendo x 2-7x+10=0, obtemos as raízes r1=5 e r2=2. =2. Logo: x 2-7x+10 = (x-5)(x-2).

2º caso: O polinômio é de grau maior ou igual a 3. Conhecendo uma das raízes de um polinômio de 3º grau, podemos decompô-lo num produto de um polinômio do 1º grau por um polinômio do 2º grau e, se este tiver raízes, podemos em seguida decompô-lo também. Exemplo: Decompor em fatores do 1º grau o polinômio 2x 3-x2-x.

Resolução:  2x3-x2-x = x.(2x 2-x-1)  colocando x em evidência Fazendo x.(2x 2-x-1) = 0 obtemos: x=0 ou 2x 2-x-1=0. Uma das raízes já encontramos (x=0). As outras duas saem da equação: 2x 2-x-1=0 => r1=1 e r2=-1/2. =-1/2. Portanto, o polinômio 2x 3-x2-x, na forma fatorada é: 2.x.(x-1).(x+(1/2)). 2.x.(x-1).(x+(1/2)). Generalizando, se o polinômio P(x)=a nxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 admite n raízes r 1, r2,..., rn, podemos decompôlo em fatores da seguinte forma: n

n-1

anx +an-1x

+...+a1x+a0 = an(x-r1)(x-r2)...(x-r n)

Observações: 1) Se duas, três ou mais raiz forem iguais, dizemos que são raízes duplas, triplas, etc. 2) Uma raiz r1 do polinômio P(x) é dita raiz dupla ou de multiplicidade 2 se P(x) é divisível por (xr1)2 e não por (x-r 1)3. Questões Resolvidas – Produtos Notáveis PRODUTOS NOTÁVEIS É muito comum nas expressões algébrica o aparecimento de certos produtos. Para simplificar o trabalho nos cálculos será muito útil a aplicação dos produtos notáveis. Veja a tabela abaixo: 2 

2 

Produtos notáveis 2 

(a+b) = a  +2ab+b  (a-b)2  = a 2 -2ab+b 2  (a+b)(a-b) = a 2 -b 2  (x+a)(x+b) = x 2 +(a+b)x+ab (a+b)3  = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3  (a-b)3  = a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3  (a+b)(a 2 -ab+b 2  ) = a 3 +b 3  (a-b)(a 2 +ab+b 2  ) = a 3 -b 3 

2 

2 

Exemplos 

(x+3) = x  +6x+9  (x-3)2  = x 2 -6x+9  (x+3)(x-3) = x 2 -9  (x+2)(x+3) = x 2 +5x+6  (x+2)3  = x 3 +6x 2 +12x+8  (x-2)3  = x 3 -6x 2 +12x-8  (x+2)(x 2 -2x+4) = x 3 +8  (x-2)(x 2 +2x+4) = x 3 -8 

ALGUNS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 1) Desenvolva: a) (3x+y) 2 (3x+y)2 = (3x)2+2.3x.y+y2 = 9x2+6xy+y2 b) ((1/2)+x2)2 ((1/2)+x 2)2 = (1/2)2+2.(1/2).x 2+(x2)2 = (1/4) +x2+x4 c) ((2x/3)+4y 3)2 ((2x/3)+4y3)2 = (2x/3)2-2.(2x/3).4y 3+(4y3)2= (4/9)x 2-(16/3)xy 3+16y6 d) (2x+3y) 3 (2x+3y)3 = (2x)3+3.(2x)2.3y+3.2x.(3y)2+(3y)3 = 8x3+36x2y+54xy2+27y3 e) (x4+(1/x2))3 (x4+(1/x2))3 = (x4)3+3.(x4)2.(1/x2)+3.x 4.(1/x2)2+(1/x 2)3 = x12+3x6+3+(1/x6) f) ((2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5)) ((2x/3)+(4y/5)).((2 ((2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5)) x/3)-(4y/5)) = (2x/3) 2-(4y/5)2 = (4/9)x 2-(16/25)y 2 2) Efetue as multiplicações: multiplicações: a) (x-2)(x-3) (x-2)(x-3) = x 2+((-2)+(-3))x+(-2).(-3) = x2-5x+6

b) (x+5)(x-4) (x+5)(x-4) = x 2+(5+(-4))x+5.(-4) = x2+x-20 3) Simplifique Simplifi que as expressões: a) (x+y) 2 –x2-y2 (x+y)2 –x2-y2 = x2+2xy+y2 –x2-y2 = 2xy b) (x+2)(x-7)+(x-5)(x+3) 2 2 (x+2)(x-7)+(x-5)(x+3) = x +(2+(-7))x+2.(-7) + x +(-5+3)x+3.(-5) = x2-5x-14+ x 2-2x-15 = 2x2-7x-29 c) (2x-y) 2-4x(x-y) (2x-y)2-4x(x-y) = (2x) 2-2.2x.y+y2-4x2+4xy = 4x 2-4xy+y2-4x2+4xy = y2

Questões Resolvidas – Fatoração Fatoração * Definição O termo fatoração leva ao pensamento de fatores ou partes. Como já falado em alguns tutoriais, fatores são elementos constantes de multiplicação. Desta forma fatorar um número, é expressá-lo no formato de uma multiplicação de fatores. Vamos a alguns exemplos: a) O número 36 pode ser escrito como uma multiplicação de fatores de várias formas: 32 = 2 x 16 32 = 4 x 8 32 = 2 x 2 x 8 b) O número 12 pode ser escrito como uma multiplicação de fatores das seguintes formas: 12 = 2 x 6 12 = 4 x 3 12 = 1 x 6 x 2 No caso de uma expressão numérica, cujas parcelas têm um fator comum no problema, é possível fatorar da seguinte forma : 6 x 3 + 5 x 3 = (6 + 5) x 3 (Esta é a forma fatorada da expressão fornecida) 4 x 2 + 7 x 2 = (4 + 7 ) x 2 (Forma fatorada da expressão) Fatorar, então é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores. Observe: Ex: ax + ay = a.(x+y)

Ex.: bz + bw = b.(z + w) * Simplificação de cálculos algébricos com fatoração Considerando um terreno qualquer com formato dado abaixo, ou seja, dois lotes de comprimentos diferentes de larguras iguais:

É possível calcular a área total do terreno de duas maneiras distintas: distint as: » Somam-se os comprimentos dos lotes e calcula-se diretamente a área do terreno. » Calculando a área de cada lote e depois soma-se ambas. forma:

Ambas as formas de cálculo dão o mesmo resultado, então podemos escrever da seguinte Área do lote 1 = ax Área do lote 2 = bx Somam-se então as duas áreas dos lotes dados: ax + bx Comprimento total do terreno = (a + b) Área do terreno = (a + b) . x Desta forma: ax + bx = (a + b) x Onde: ax + bx = soma de duas parcelas (a + b)x = produto de dois fatores

Resumindo: Toda vez que em uma soma de duas ou mais parcelas de qualquer problema houver fator comum a todas as parcelas dadas (como no exemplo o x em “ax + bx”), é possível fatorar essas expressão, e esse fator comum no problema será um dos fatores da expressão após ser fatorada. Então, é possível ter a seguinte dúvida: Como fazer para descobrir o outro fator da expressão fatorada no problema? Simplesmente divida a expressão que vai ser fatorada pelo fator comum. * Exemplos para fixação de conteúdo 1) Use o método de fatoração para calcular facilmente a seguinte expressão: 7.544 . 49 + 455 . 49

Solução: 7.544 . 49 + 455 . 49 = 49 . (7544 + 455) = 49 . (7999) = 391951

2) Indique qual a alternativa correta: (x + 1).(x – 1) é a forma fatorada de qual expressão: a) x2 + 2x + 1

b) x2 – 20

c) x2 - 1

Calculando: (x + 1) . (x – 1) = x2– x + x – 1 = x2 - 1 A resposta corre é a letra C.

* Casos de fatoração Existem vários casos do sistema de fatoração, f atoração, veja abaixo: 1) Fatorar por agrupamento Este método se faz aplicando duas vezes o caso do fator f ator comum em alguns polinômios (já vistos anteriormente) especiais. Veja o exemplo: ax + ay + cx + cy Os dos primeiros termos do caso possuem em comum o fator “a”, os dois últimos termos do problema possuem em comum o fator b. Então, colocam-se esses termos em evidência: a. (x + y) + c.(x + y)

Este novo polinômio possui o termo (x + y) em comum. Desta forma, temos: (x + y).(a + c) Resumindo: ax ax + ay + cx + cy = (x + y) . (a +c) Exemplo: a) Fatore a seguinte expressão: x2 -2x + ax – 2a = x(x – 2) + a(x – 2) = (x – 2) . (x + a) – Forma fatorada

“x” é o fator comum “a” é fator comum também. (x – 2) é fator comum.

2) Fator comum em evidência Esse método é aplicado quando os termos apresentam fatores comuns. Observe os seguintes polinômios: cx + cy --à Ambos os termos apresentam o fator “c” em evidência. Desta forma: cx + cy = c.(x + y) - forma fatorada do problema Exemplo: Fatore as seguintes expressões: a) cx + cy –cz = c.(x+y-z)

b) 3x2 – 6xy 3x.(x – 2y)

* Exercícios resolvidos de fatoração Fatore, colocando os fatores comuns em evidência: a) ax+3a = a(x+3)

b) b²-c² = (b+c)(b-c)

c) a² - 4ab + 4b² = (a-2b)² d) 2x²-2 = 2(x²-1) = 2(x+1)(x-1)

Fatoração (Parte II) * Revisão Como visto, o termo fatoração leva ao pensamento de fatores ou partes e fatores são elementos constantes de multiplicação. fatores.

Fatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas Observe: Ex: ax + ay = a.(x+y) Ex.: bz + bw = b.(z + w)

* Formas de fatoramento 1) Fatoramento por diferença de quadrado Como estamos vendo as formas de fatoração, e dando continuidade no tutorial de número 30, este método se baseia em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença, extraindo a raiz quadrada de cada quadrado. Desta forma: X2 – 36 = (x + 6) . (x – 6) X2 – 49 = (x + 7) . (x – 7) Exemplos para fixação de conteúdo: Fatore as seguintes expressões: a) x2 – y2 = (x + y) . (x – y) b) 4a2 – 1 = (2a + 1) . (2a – 1) c) 1 – 16x4 = (1 + 4x2) . (1 – 4x2) = (1 + 4x2) . (1 + 2x) . (1 – 2x) – Note aqui que é possível fatorar a expressão duas vezes 2) Fatoração do trinômio quadrado perfeito O termo trinômio que se encontra quando se eleva um binômio ao quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito.

Veja alguns exemplos de trinômios: (a2 + 2ab + b2 ) ( a2 - 2ab + b2 ) Estes trinômios são considerados considerado s perfeitos perf eitos pois são obtidos quando as expressões (a+b) e (ab) são elevados ao quadrado, respectivamente. Observe os cálculos: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Assim: x2 + 8x + 16

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| |

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2x

4

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2x.4 = 8x » note que é igual ao segundo termo de x2 + 8x + 16 Portanto trata-se de um trinômio quadrado perfeito. x2 + 8x + 16 = (x + 4)2 » forma fatorada

|______________________________| Sinal

Logo: x2 - 8x + 16 = (x - 4 )2 » forma fatorada

|_____________________________| Sinal

Exemplos: a) X2 – 10x + 25 = (x – 5)2 b) 16x2 + 24xy + 9y2 = (4x + 3y)2

Obs.: Vale lembrar que ao fatorarmos uma expressão algébrica, deve fatorá-la por completo: Veja abaixo: a) 4x2 + 8x + 4 = 4(x2 + 2x + 1) = 4(x + 1)2 b) 25a4 - 100b2 = 25.(a4 - b2) = 25(a2 + b).(a2 - b) - Exemplo de trinômio quadrado “não perfeito” a) a2 + 8a + 9 2 . a. (quadrado de a2) + 3 (quadrado de 9) 6a # 8a Nesse caso o trinômio não é quadrado perfeito e por tanto não pode ser fatorado. * Exercícios passo a passo para fixação de conteúdo fatoração Como em matemática, devemos manter uma praticidade grande nos temas abordados, para uma melhor compreensão, vamos procurar adotar mais exercícios. Busque resolver sem olhar as respostas. a) Fatore a expressão 3xy + 6x Podemos observar que os valores 3 e x são comuns às duas parcelas. Então é possível escrever a expressão na seguinte forma: 3xy + 6x = 3x . (3xy/3x + 26x/3x) ---àsimplificando as frações 3x = (3xy/3x + 26x/3x) 3xy + 6x = 3x(y + 2) Aqui o valor “3x” foi colocado em destaque. Na prática, estes cálculos (dentro dos parênteses) são feitos na maioria das vezes “de cabeça”. b) Fatore a seguinte expressão 2a2b – 4ab2 Observando, temos que os fatores comuns neste problema são 2, a e b. Vamos colocar os valores 2.a.b em “destaque”, obtemos: 2a2b – 4ab2 = 2ab . (a – 2b) Vamos ter certeza que esta divisão está certa: Faça o seguinte: 2ab. (a – 2b) = 2a2b – 4ab2 Neste caso, usamos a propriedade distributiva da multiplicação (estudando em tutoriais anteriores) para checar se os cálculos de fatoração estão corretos.

c) Aprendemos que a2 – b2 é o resultado obtido do produto (a + b) . (a –b). Desta forma, fatore as expressões abaixo: * 4x2 - 9 4x2 = (2x)2 9 = 32 Temos então: (2x + 3) . (2x + 3) ---à forma fatorada * 36a2 - 1 36a2 = (6a)2 1 = 12 Temos então: (6a + 1) . (6a – 1) ----> forma fotorada * 16 –x2 25 16 = 42 x2 = (x/5)2 25 Temos então: (4 + x/5) . (4 – x/5) ----à forma fotorada d) Caso surja mais de um caso de fatoração, veja como resolver: Exercícios: * ax2 – ay2 a.(x2 – y2) a. (x – y) . (x + y) * x2 + 2ax + a2 - 9 (x + a)2 – 9 [(x + a) – 3] . [x + a + 3] (x + a – 3) . (x + a - )

Questões Resolvidas Mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum de polinômios. polinômios. M.M.C de polinômios: Para calcularmos o m.m.c de polinômios, basta igualá-lo ao produto dos fatores comuns e não comuns, cada um deles com o maior expoente. Exs: »

e

m.m.c = e » m.m.c = (a+b)(a-b) Não é possível fatorar nenhum dos polinômios, logo o m.m.c será o produto deles e m.m.c =

»

e