Matemática 5
aula 13
C OMENTÁRIOS – A TIVIDADES
PARA
=
1+
3 2 = 2+ 3 2 4
SALA
senx 1. I) Dada a equação tgx + cotgx = 4. Como tgx = cosx cosx e cotg x = , então: senx 1
5 2
II) 20 . cos 15° = 20 .
F 2 + 3 I = H G 4 J K
10 + 5 3 = 10 10 + 5 . 1,73 1,73 = 10 + 8,65 8,65 = 18,6 18,655 Resposta correta: D
644 744 8
II)
senx cosx sen2 x + cos2 x + =4⇒ =4⇒ cosx senx cosx . sseenx ⇒ 4 . co c osx . senx = 1 ⇒ 2 . 2 . senx . cosx = 1 ⇒ sen(2x) 1 ⇒ sen(2x ) = = 0, 5 2 144 44 244 44 3
Resposta correta: D
144 4 2444 3
144 244 3
(I)
I.
2. I) Desenvolvendo a expressão tg35o + tg55o, temos: sen35o sen55o sen35o . cos55o + sen55o . cos35o + = = cos35o cos55o cos35o + cos55o sen(35o + 55o ) cos35o . cos55o Como cos55o = sen35o, temos: =
II)
x + 15x 2 −1 5. Seja a expressão x (2x ) − 2 . co cos2 x . + cos (2 |x | e | x | . l o g e (II)
sen90o = 1 2 2 = = o o . o sen35 . cos35 2 2 sen35 . co cos35o 2 2 = = o sen(2 . 35 ) sen70o
x + 15x 2 x 1 + 15x 2 x x −1 = e = |x| e | x |. | . | x | . l o g e |x|.log e 1 x 2 + 15x2 16x 2 = = 16, x > 0 |x|2 |x| 2
II. cos (2x) – 2 . cos cos2x = → cos2x – sen2x – 2 . cos 2x = → – sen2x – cos2x = –(sen2x + cos2x) = –1 III. Somando (I) com com (II), temos: 16 – 1 = 15 Resposta correta: E
Resposta correta: B
3. I) Da equação cotgθ - tgθ = 8, temos: cosθ senθ cos2θ − sen2θ − =8⇒ =2. 4⇒ senθ cos θ senθ . cos θ cos2θ − sen2θ ⇒ = 4. 2 . senθ . cos θ Como cos2θ – sen2θ = cos(2θ) e 2senθ . cosθ = sen(2θ), temos: II)
cos(2θ) = 4 ⇒ cotg(2θ)=4 sen(2θ)
C OMENTÁRIOS – A TIVIDADES P ROPOSTAS sen θ . Podemos escrevê-la como: 1+ cos θ
1. Seja a razão
F sen θ I H G 1+ cos θ J K
2
=
sen2 θ = (1+ cos θ)2
(1+ cos θ) (1− cos θ) = (1+ cos θ) (1+ cos θ)
1− cos2 θ = (1+ cos θ)2
1− cos θ F θ I = tg G J H 2 K 1+ cos θ
Resposta correta: D
Resposta correta: A
4. Para efeito de operação aproximaremos 3 ≅ 1,73. Atenção!
cos2
F G θ I J = H 2 K
1+ cos θ 2
F 30 I J = H 2 K
I) cos2 15° = cos2 G
1+ cos 30° = 2
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1
2. Observe a figura e lembre-se que o raio maior é quatro vezes o raio menor:
Com isso temos que sen θ =
8 5 8 5 e tg θ = . 21 11
Assim: 20 5 20 5 20 5 = = = 20 5 . → 1 1 21 11 32 + + 8 5 8 5 8 5 8 5 8 5 21 11 1
5
8 5 20 . 5 = = 25 32 4 4
Resposta correta: A
Pegando o triângulo destacado na figura, temos:
4. Temos a igualdade: sen x + cos x = m → (sen x + cos x) 2 = m2 → sen sen2x + 2 sen x . cos x + cos2x = m2 → 2 sen x cos x = m2 – 1 →
Como R = 4r, temos:
1
3r 3 4 → sen β = e cos β = . 5r 5 5 Pela figura, temos que θ = 2β 2β, assim: cos θ = cos (2β (2β) = cos2β – sen2β = → F G 4 I J 2 – F G 3 I J 2 = 16 – 9 = 7 H 5 K H 5 K 25 25 25 sen β =
Resposta correta: E
20 5 . 1 1 + sen θ tg θ É preciso encontrar o senθ sen θ e tgθ tgθ para simplificá-la. F θ I 1− cos θ . I) Sabemos que tg 2 G J = H 2 K 1+ cos θ
m2 − 1 2 sen x cos x = 2 Substituindo os valores encontrados em “y”, temos: sen (2x ) 2 sen x cos x y= = = 3 3 (sen x + cos x ) (1− sen x cos x) sen x + cos x m2 − 1 m2 − 1 m2 − 1 = = L F m2 − 1I O m L 2 − m2 + 1O 3m − m3 = m M1− G P M 2 P 2 MN H 2 J K PQ N Q (m2 – 1) –
3. Temos a expressão
F θ I J = H 2 K
Como tg G
F 5 I H G 4 J K
2
=
5 , temos: 4
1− cos θ 1− cos θ 5 → = → 1+ cos θ 16 1+ cos θ
16 – 16 cos θ = 5 + 5 cos θ → 11 21 cos θ = 11 → cos θ = . 21 Aplicando o valor do cosseno no triângulo retângulo abaixo, temos:
Resposta correta: D
5. Substituindo: ƒ(x) = senx + cosx
F π I J = sen π + cos π H 12K 12 12
ƒG
ƒF GH 1π2I J K = ƒF GH 12π I J K = F π I ƒ G J = H 12K F π I ƒ G J = H 12K
2
F G sen π + cos π I J H 12 12 K
2
esen15
o
sen2 15o + cos2 15o + sen2 ⋅ 15o 1+
F π I J = H 12K
3 2
ƒG
2
+ cos 15o j
sen2 15o + 2sen15o ⋅ cos 15o + cos2 15o
F π I J = H 12K
ƒG
y2 = 212 – 112 y2 = 441 – 121 y= 8 5
2 2 ( m2 − 1) = 3m − m3 m (3 − m3 )
1 2
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Desta maneira: F π I 6 ⋅ ƒ G J H 12 K
F 3 I 6 ⋅ G J = H 2 K
II) sen 75° = sen (45° + 30°) = sen 45° . cos 30° + cos 45° . sen 30° = 2 3 2 1 6 2 → . + . = + 2 2 2 2 4 4
9 =3
sen 75° =
Resposta correta: C
6 2 + . 4 4
6. Observe a figura: III) Substituindo (I) e (II) na expressão, expressão, temos: F 6 2 I F 6 2 I 2 6 G 4 − 4 J K + H G 4 + 4 J K H 4 sen a = = = 2 2 2 6 1 6 . = 4 2 4 2ª Solução: Em toda PA a soma dos termos eqüidistantes é igual ao dobro do termo médio: π 5π 2sena = sen + sen 12 12
2sena = sen15o + sen75o (2sena)2 = (2sen15 15o cos15o )2 I)
cos α =
Q L
II) senα =
Q = cosα
4sen2a = sen2 15o + 2sen15 15 ⋅ cos 15o + cos2 15o 4sen2a = sen215o + cos215o + sen2 . 15o
r 1
r = senα
Desta maneira: tg
α r senα = = 2 1+ a 1+ cos α
Resposta correta: B
7. Atenção! Seja a seqüência (a, b, c). Se a seqüência é uma PA, então temos que a razão é constante. a+c Assim b – a = c – b ↔ 2b = a + c → b = , ou seja, 2 o termo central é média aritmética dos extremos ou dos termos eqüidistantes aos extremos. Temos a seqüência
F G sen π ; sena; sen 5π I J . H 12 12 K
Transfor-
mando em graus, temos (sen 15°, sen a, sen 75°). sen15° + sen 75° , em que 2 sen 15° = sen (45° – 30°) =
Assim, temos: sen a = I)
sen 45° . cos 30° – cos 45° . sen 30° = 2 3 2 1 6 2 → . – . = – 2 2 2 2 4 4 sen 15° =
6 2 – . 4 4
4sen2a = 1 + sen30o 1 4sen2a = 1+ 2 3 4sen2a = 2 3 sen2a = 8 3 sena sena = ± 8 sena =
2 6 3 ⋅ = 4 2 2 2
Resposta correta: D
8. y = 4 cos 15o . cos 75o, como cos 75o = sen 15o, então: y = 4 cos 15 o sen 15o y = 2 . 2 sen15 o cos 75o, Sabemos que sen (2 . 15 o) = 2 sen 15 o cos 75o y = 2 . sen (2 . 15 o) y = 2 sen 30 o y=2.
1 2
y=1 Resposta correta: A
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3
10. Desenvolvendo a expressão: 3 sen10o (tg 5o + cotg 5o) F sen 5o + cos 5o I 3 sen10o . G H cos 5o sen 5o J K
9. Atribuindo valores a n: F π I J = cos π ƒ(1) = cosG H 3 ⋅ 21 K 6 π ƒ(2) = cosF GH 3 ⋅π22 I J K = cos 12
F π I J = cos π H 3 ⋅ 2 K 24 F π I J = cos π ƒ(4) = cosG H 3 ⋅ 2 K 48 F π I J = cos π ƒ(5) = cosG H 3 ⋅ 2 K 96 ƒ(3) = cosG
F sen 5 + cos 5 I H G sen 5 cos 5 J K 2
3 sen10o .
o
2
o
o
o
x2 1 sen 5° cos 5° x 2 6 sen10° 2 sen5° cos 5° 6 sen10° =6 sen(2 . 5° )
3
3 sen10o .
4
5
Resposta correta: E
Calculando K: K = ƒ(1) ⋅ ƒ ( 2) ⋅ ƒ( 3) ⋅ ƒ(4) ⋅ ƒ (5) ⋅ sen
11. Observe que:
π 96
I)
π π π π π π K = cos ⋅ cos ⋅ cos ⋅ cos ⋅ cos ⋅ sen x2 6 12 24 48 96 96
π π π π π π 2K = cos ⋅ cos ⋅ cos ⋅ cos ⋅ F 2 cos ⋅ sen I G J H 6 12 24 48 96 96 K π π π π π 2K = cos ⋅ cos ⋅ cos ⋅ cos ⋅ sen2 ⋅ 6 12 24 48 96
x(2)
π π π F π π I 4K = cos ⋅ cos ⋅ cos ⋅ G 2sen ⋅ cos J 6 12 24 H 48 48 K π π π π 4K = cos ⋅ cos ⋅ cos ⋅ sen2 ⋅ 6 12 24 48
x(2)
( x2)
π F π π I 16K = cos ⋅ G 2 cos ⋅ sen J 6 H 12 12 K
Resposta correta: A
49 (1 + sen θ) = 9 + 12 12 10 + 40 49 + 49 senθ = 49 + 12 12 10 12 10 senθ = 49 θ θ 12 10 2 sen . cos = 2 2 49 θ θ 2 θ θ θ θ II) sen + cos = sen2 + 2 . sen . cos + cos2 2 2 2 2 2 2
F G sen θ + cos θ I J H 2 2 K
θ θ 12 10 = sen2 + cos2 + 2 2 49
F G sen θ + cos θ I J H 2 2 K
= 1+
F G sen θ + cos θ I J H 2 2 K
=
F G sen θ + cos θ I J H 2 2 K
2
( x2)
=
32K =
3 2
K=
3 64
sen
49 + 12 10 49 32 + 2 . 3 . 2 10 + e2 10 j 72 2
θ θ 3 + 2 10 10 ( x 28) + cos = 2 2 7
28 F G sen
10 j e3 + 2 10 θ θ I + cos J = 28 . 2 2 K 7
H θ I F θ 28 G sen + cos J = 12 + 8 H 2 2 K Resposta correta: D
4
12 10 49
10 j F G sen θ + cos θ I J 2 = e3 + 2 10 H 2 2 K 72
π 6
π 3
2
49 (1 + sen θ) = 32 + 2 . 3 . 2 10 + e2 10 j
2
π π 32K = 2 cos ⋅ sen 6 6
32K = sen
2
2
π π π 8K = cos ⋅co c os ⋅ sen2 ⋅ 6 12 24
32K = sen ⋅ 2
2
1 + senθ ) = ( 3 + 2 10 )
2
π π F π π I 8K = cos ⋅ cos ⋅ G 2 cos ⋅ sen J 6 12 H 24 24 K
π π 16K = cos ⋅ sen2 ⋅ 6 12
(7
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10
2
1 4 tg2 x − 12. Sendo K = , teremos: (cos2 x − sen2 x)2 (1 − tg2 x )2 2tgx 1 K= 2 − 2 (cos 2x ) 1 − tg x
K=
1 – tg22x 2 cos 2x
K =
1 sen2 2x − cos2 2x cos2 2x
15. (sen 22°30’ + cos 22°30’)2 = sen 2 22° 30' + 2 . sen 22°30’ . cos 22°30’ + cos2 22° 30' 14 4 24 4 3
1424 3
2
1 1 + 2 . sen 22° 30 30'. cos 22° 30 30' → 14444 24444 3
ARCO ARCO DUPLO DUPLO
1 + sen (2 . 22°30’) = 1 + sen 45° = 1 +
1− sen2 2x K= , como 1 – sen 22x = cos22x, então: 2 cos 2x
2 2+ 2 = 2 2
Resposta correta: C
cos2 2x K= cos2 2x K=1 Resposta correta: C
13. Sendo E = 2 – E=2–
2tgx , então: tg2x
2tgx 2 . tgx 1− tg2 x
(1− tg2 x ) E = 2 – 2tg x . 2tgx 2 E = 2 – (1 – tg x) E = 1 + tg 2 x, como sec2 x = 1 + tg 2 x, então: E = sec2 x Resposta correta: C
14. Na expressão: F x I F x I F x I tg G J + cotg G J = 8, chamaremos G J = y. H 2 K H 2 K H 2 K Assim, podemos reescrever a expressão como: seny cosy tg y + cotg y = 8 → + =8→ cos y seny sen2 y + cos2 y 8 sen y cos y → = sen y cos y sen y cos y 1 = 8 sen y cos y → 1 = 4 . 2 sen y . cos y → 1 1 = 4 . sen (2y) → sen (2y) = 4 x Como y = , temos: 2 F x I 1 → sen x = 1 sen G 2 . J = H 2 K 4 4 Resposta correta: B
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