Ggt Apostila Volume Teórico

Universidade Federal de Pernambuco Departamento de Expressão Gráfica

Apostila Volume Teórico

GE!ET"#A G"$F#%A T"#D#!E&'#&A(

Autoras) Prof* Andiara (opes Prof* !ariana Gusmão

+,-.

APRESENTAÇÃO e AGRADECIMENTOS

Caro(a) Aluno(a),

Esta é uma apostila desenvolvida especialmente para os alunos da disciplina Geometria Gráfica Tridimensional, ministrada no Ciclo Básico do Curso de Engenharias da Universidade ederal de !ernam"uco# Essa apostila surgiu da necessidade de registrar solu$%es didáticas encontradas em sala de aula e discuss%es posteriores reali&adas periodicamente por uma e'uipe de professores 'ue ministram essa disciplina desde *# +ale salientar 'ue essa e'uipe de professores no é fi-a e, portanto, no há como registrar nominalmente cada um dos mem"ros 'ue contri"uiu com as discuss%es# Essa apostila a"orda tr.s tipos de pro/e$%es "astante utili&adas em desenho técnico0 Cavaleira, 1esenho 2sométrico e 3istema 4ongeano# Além disso, a"orda temas como +istas Au-iliares, +erdadeira Grande&a e o estudo da 3e$o !lana nos s5lidos "ásicos# A apostila está dividida em seis cap6tulos# 7 primeiro cap6tulo é introdut5rio e a"orda algumas no$%es "ásicas so"re desenho, representa$o, pro/e$o e perspectiva, "em como materiais de desenho e sua utili&a$o# 7 segundo cap6tulo trata da !erspectiva Cil6ndrica Cavaleira# 7 terceiro cap6tulo a"orda o 1esenho 2sométrico, 'ue é uma simplifica$o da !erspectiva Cil6ndrica 2sométrica# 7 'uarto cap6tulo tem como tema o 3istema 4ongeano de 8epresenta$o# inalmente, o 'uinto e se-to cap6tulos tratam dos estudos de +erdadeira Grande&a e 3e$o !lana, respectivamente# 7s e-erc6cios foram retirados, em parte, de livros e apostilas, especialmente do livro do professor 4ário 1uarte e da apostila anterior da disciplina, do professor 9oo 1uarte# 7utra parte dos e-erc6cios foi retirada de provas anteriores ela"oradas pela e'uipe de professores /á citada acima#

SUMÁRIO CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.#. 1.6. 1.".

1./.

A Disciplina Introdução ao Desenho Instrumentos de Desenho Elementos Básicos do Desenho O Desenho como in!ua!em Ortoedro de $e%er&ncia (istema de )ro*eção +ipos de )ro*eção 1.".1. )ro*eção ,-nica 1.".2. )ro*eção ,ilndrica Aplica0ilidade da )erspectia ,ilndrica

4 4 6 " ' 11 12 13 1# 16

CAPÍTULO 2 – Perspectia Ci!"#$rica Caa!eira 2.1. ,aracteriação da )erspectia ,ilndrica ,aaleira 2.2. Eios ,oordenados 2.3. O Eio  2.4. )ar5metros da )erspectia ,ilndrica ,aaleira 2.4.1. A Direção da ,aaleira 78 2.4.2. 9ator de De%ormação :8 2.#. $otação da )eça 2.#.1. Di%erença entre $otação e ;ariação do
1' 1' 21 22 22 23 24 2# 26 26 2/ 2' 2'

CAPÍTULO % – &ese#'o Iso()trico 3.1. ,aracteriação da Aonometria 3.2. ,aracteriação do Desenho Isom=trico 3.3. Desenho Isom=trico na )rática 3.4. Os Eios ,oordenados e o Ortoedro de $e%er&ncia 3.4. 1. A ;isualiação de +odas as 9aces 3.4.2. $otação da )eça 3.#. ,ilindros e ,ones 3.#.1. O Desenho da Elipse e da Oal

34 3# 36 3" 3" 3/ 3/ 4>

CAPÍTULO * – A Perspectia Ci!"#$rica Orto+rá,ica 4.1. Introdução 4.2. ,aracteriação da )erspectia ,ilndrica Orto!rá%ica 4.3. O0serador? O0*eto e )lanos de )ro*eção 4.3.1. )rimeiro e +erceiro Diedros 4.3.2. (e!undo e
4# 46 4/ 4' #> #> #1 ## #6 #" #/ 61 61 63 64 6" 6'

CAPÍTULO - – .er$a$eira /ra#$e0a #.1. De%iniçCes e sos #.1.1. ,ompreendendo as +r&s )osiçCes Básicas )aralela? )erpendicular e O0lua #.2. (istema @on!eano e )lano Auiliar #.3. @udança de )lano #.4. ,aso 1 #.#. ,aso 2 #.6. ,aso 3

"2 "2 "4 "" "" "' /1

CAPÍTULO  – Seço P!a#a 6.1. Introdução ao ,onceito de (eção )lana e Interseção 6.1.1. (uper%cie e (lido 6.1.2. Interseção e (eção 6.2. (eção )lana de (lidos Feom=tricos Básicos 6.2.1. (eção )lana de )rismas 6.2.2. (eção )lana de )ir5mides 6.2.3. (eção )lana de ,ilindros 6.2.4. (eção )lana de ,ones

/4 /4 /# /" /" /' '2 '6

UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 1 – o!"es #ásicas

CAPÍTULO 1 – o!"es #ásicas 1$1$

A Discip%ina &ntrod'!ão ao Desen(o

O conteúdo dessa disciplina é importante para os estudantes de engenharia porque a prática profissional inclui a resolução de problemas que envolvem a visualização e representação de objetos e construções em diversas escalas nos projetos de engenharia O principal objetivo da disciplina !ntrodução ao "esenho é desenvolver as habilidades de )is'a%i*a!ão espacia%# e$pressão e interpretação gráficas !sso quer dizer que ao final do semestre# se espera que os alunos possam visualizar s%lidos geométricos# se e$pressar graficamente e representar objetos em cavaleira# desenho isométrico e no sistema mongeano &ara tanto# a metodologia utilizada na disciplina inclui aulas e$positivas e resolução de e$erc'cios em sala (o entanto# para atingir um n'vel satisfat%rio na disciplina é necessário que o aluno reserve tempo e$tra)aula para complementar com resolução de e$erc'cios * disciplina será divida em tr+s unidades, !- cavaleira e desenho isométrico. !!- sistema mongeano e. !!!- verdadeira grandeza e seção plana *o final de cada unidade será realizada uma prova O assunto é cumulativo O calendário do curso é fi$o# portanto as datas das provas são definidas no in'cio do semestre *s informações e materiais trocados entre professor e aluno deverão ser feitas em sala de aula e através de e)mail

1$+$

&nstr'mentos de Desen(o

/ muito importante que os alunos das disciplinas de desenho tenham total dom'nio do uso dos instrumentos básicos de desenho 0 Lapiseira, recomenda)se o uso de lapiseira com grafite do tipo 12 com espessura de 3# mm# para evitar perda de tempo e imprecisão 5 #orrac(a, recomenda)se o uso de borracha branca macia# se poss'vel borracha espec'fica para desenho técnico 6 ,-.'a/ recomenda)se o uso de régua transparente de plástico ou acr'lico# com 0 ou 53 cm 4 Compasso de 0eta%, recomenda)se o uso de compasso de metal O compasso é um instrumento utilizado para desenhar arcos e circunfer+ncias# mas ele também pode ser usado para transportar medidas e 7ngulos  Par de Es'adros, recomenda)se o uso de um par de esquadros que não tenham marcação de escala (o par# um deve ter dois 7ngulos de 48 e o outro um 7ngulo de 938 e um de 638 :eja as figuras 00 e 05 O tamanho dos esquadros é medido pelo lado maior# a hipotenusa do tri7ngulo formado pelo esquadro de 48 e o lado de tamanho médio# cateto maior# do esquadro de 938 4

UFPE – Depar amento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 1 – o!"es #ásicas

;ig 00 ;ig 05

Os esquadros são vendidos em pares por duas razões, prim iro porque um serve de apoio para o outro no traçado de linhas paralelas e perpendiculares e segundo# porque quando usados em conj nto com a régua < ou a régua paralela# s eus 7ngulos permitem a formação de diversos ou ros 7ngulos :er figura 06

;ig 06

9 Pape%/ recomenda)se o uso de papel branco com formato *4 * qu ntidade a ser utilizada é de apro$imadamente meia resma O formato básico de papel de signado de *3 >* zeroconsidera um ret7ngulo e =40 mm >altura AaB- por 00=C mm >larg ra AlB- correspondente a 0 m? de área "este for ato derivam)se os demais formatos na rel ação l D aE 5 # conforme figura 04

;ig 04 http,@@blogcreativecopiascombr@simplificando)o)tamanho)e)formato)d os)papeis@ 


1$2$

E%ementos #ásicos d Desen(o

O desenho possui quatr Fão eles, o ponto# a linha# a sup são abstratos Huando desenh conceitos dei$am de ser conceit

elementos básicos por meio dos quais p demos e$pressar ideias rf'cie e o volume Gsses elementos são con eitos ou ideias# portanto mos um ponto# uma linha# uma superf'cie ou um volume esses s e passam a ser formas ou representa!"es

1$ O Ponto/ / o elemento ais básico e mais fundamental do desenho Gle indica uma posição# não possui formato ou dimensão# não ocupa um lugar no espaç  / também o lugar do cruzamento de duas ou mais linhas O ponto marca o in'cio e o fim de uma linha / representado por uma letra maiúscula do alfabeto latino >*# 2# "# M- Observe as figuras 0# 09 e 0I

;ig 0

;ig 09

;ig 0I

+$ A %in(a/ J medida que o onto se move# a sua trajet%ria se torna um linha *ssim# a linha é o enfileiramento de pontos unidos &ossui apenas uma dimensão >co mprimento-. mas possui posição e direção &orém# a posição e a direção são sempre rel ativos a um referencial# conforme veremos / representada por uma letra minúscula do alfab eto latino >a# b# c# r# p# q# v# $- * linha define os li ites de uma superf'cie e podem ser classi ficadas de acordo com o ;ormato e de acordo co o
DE4E3O

Linha grossa cont'nua

Linha grossa tracejada

FU56O Nepresentar linhas au$iliares de construçã ou arestas não vis'veis no desenho da cavaleira e do desenho i ométrico Nepresentar arestas vis'veis Nepresentar arestas não vis'veis no sistema mongeano

9


2$ A s'perf7cie/ (a medida m que a linha se desloca# a sua trajet%ria# q ue não seja a sua direção intr'nseca# se torna uma superf'cie *ssim# a superf'cie é o enfileiram ento de linhas unidas *s superf'cies possuem apenas duas dimensões# profundidade e largura * superf'cie define os limites de um volume &orém# a posição e a direção são sempre r lativas a um referencial# conforme veremos / rep resentada por uma letra do alfabeto grego > # P# Q# R# S# T# U- 8$ O 9o%'me/ * trajet%ria de uma superf'cie em uma direção# que não seja a sua direção intr'nseca# se torna um volume O volume tem uma posição no espaço e possui também tr+s dimensões, largura# altu a e profundidade (o espaço o volume é limitado por planos :er figura 0=

;ig 0=

1$8$

O Desen(o como Lin.'a em

"e maneira geral# o desen um dos interlocutores usa)o par das engenharias# ele adquire dimensão e posição de um obje dessa natureza dá)se o nome de

o é uma forma de linguagem Gm outras palavras# pode)se dizer que representar uma ideia e# assim# transmiti)l para o outro (o campo m caráter espec'fico# uma vez que preci a representar a forma# o de acordo com as necessidades de cada p rojeto &ara os desenhos "esenho <écnico

(as engenharias# como e muitas áreas de conhecimento e$iste a necessidade de se criar formas# desde um parafuso até ma edificação * base desse processo está numa etapa chamada de cria!ão# sendo seu produto um projeto Gsse último consiste na represent ção daquilo que está no p%ano das ideias# para que es as sejam compreendidas e e$ecutadas p los outros profissionais envolvidos no processo precisa ser desenhadas Gsse desenho não po e ser feito de qualquer maneira# deve obedecer a algu s padrões e procedimentos que visem sua 'ni)ersa%i*a!ão "essa maneira# o desen(o t-cnico cumpre sua função# que é a de estabelecer a comunicação entre as partes envolvidas no processo d criação e e$ecução de objetos Gm um desenho art'stico a representação é uma escolha do artista# este não tem compromisso com o que é real# sua represen tação é livre e é feita de acordo com a int erpretação do objeto no conte$to de sua visão do mundo (esse caso# cada artista possui uma lin guagem pr%pria# única e quanto mais particular for essa li nguagem mais marcante será seu estilo "if rentemente do desenho art'stico# o desenho técnico é comprometido com a representação da realidade Gssa sua caracter'stica possibilita a comu nicação entre as partes envolvidas no proc sso de produção de um I


objeto através da %in.'a.em 'ni)ersa%$ Observe as figuras abai$o e reflita um pouco sobre as diferenças entre o desenho art'stico# V esquerda# e o desenho técnico# V direita

MandinsWX , Arch and Point # 0C56 http,@@YYYinvisiblebooWscom@MandinsWXhtm ;ig 0C

http,@@aordemsinequanonoideblogspotcombr@5303@05@desenho) tecnico)mecanicohtml ;ig 003

&ara representar um objeto é importante perceber que todos os objetos que estão a nossa volta possuem tr+s dimensões, %ar.'ra: a%t'ra e prof'ndidade Huando vamos fazer a representação desse objeto# as dimensões precisam ser desenhadas em uma superf'cie com apenas d'as dimens"es# como é o caso do pape% ou da superf'cie da te%a do comp'tador Komo fazer essa representação é e$atamente o objetivo dessa disciplina / importante salientar# mais uma vez# que a representação para o desenho técnico# não pode ser feita de maneira aleat%ria# ela deve obedecer a normas espec'ficas para garantir a universalidade da linguagem

representação gráfica# em d'as dimens"es Ou ainda# a representação de tr+s dimensões em duas dimensões

PE,4PECT&9A < 2D

+D

*bai$o estão diferentes representações de um mesmo objeto utilizadas no desenho técnico# figuras 000# 005# 006 e 004

Axonometria C=nica

&sometria

Ca)a%eira

0on.eano

;ig 000

;ig 005

;ig 006

;ig 004

Gssas representações se diferenciam em função de dois aspectos, 1>? Posicionamento do O,TOED,O DE ,EFE,@C&A# que imaginariamente envolve o objeto# em relação ao plano de projeção e. +>? Tipo de proe!ão * seguir será e$plicado o significado de cada um desses termos

1$B$

Ortoedro de ,efer;ncia

* utilização do ortoedro de refer;ncia é uma técnica muito útil quando se trabalha com representações em geral Gla consiste em imaginarmos o objeto que queremos desenhar dentro de uma cai$a# mas não de uma cai$a qualquer Gssa cai$a também pode ser chamada de ortoedro au$iliar# ortoedro envolvente# ou ainda# de paralelep'pedo de refer+ncia :er figura 00 O ortoedro de refer+ncia possui caracter'sticas que facilitam a visualização espacial do objeto# são elas, 0 Todas as s'as arestas são para%e%as a a%.'m dos tr;s eixos coordenados $# X e z# largura# profundidade e altura# respectivamente. 5 Poss'i faces retan.'%ares. 6 *s faces formam n.'%os retos umas com as outras. 4 *s faces opostas são i.'ais entre si C


;ig 00

*s figuras 009 e 00I mostram um mesmo objeto inserido em dois ortoedros de refer+ncia diferentes Gsse e$emplo nos mostra como o mesmo objeto pode ter interpretações diferentes# dependendo da colocação do ortoedro (a figura 009 a face *2K está perpendicular ao chão# colada com a face frontal do ortoedro [á na figura 00I a face *2K está inclinada# ou obl'qua ao chão# como uma rampa

Figura 1.16

Figura 1.17

* técnica do ortoedro de refer;ncia é um artif'cio que utilizamos para desenhar objetos quaisquer / muito importante que ortoedro envolva o objeto completamente e# além disso# que fique bem AcoladaB ao objeto# de modo que possibilite a coincid+ncia de faces e arestas do objeto com faces do ortoedro "essa maneira# o ortoedro de refer+ncia seria a \G(ON K*!]* &OFF^:GL capaz de conter o objeto que queremos desenhar \uitas vantagens podem ser vistas quando usamos o ortoedro de refer+ncia, 0 O ortoedro é um objeto simples de ser desenhado. 5 O uso do ortoedro faz com que possamos controlar quais faces queremos mostrar# porque primeiro decidimos como fica o desenho do ortoedro e s% então colocamos o objeto dentro dele. 6 Komo o ortoedro possui todas as suas arestas paralelas a um dos tr+s ei$os coordenados# é fácil fazer uma correlação entre as medidas do objeto e as medidas do ortoedro. 4 Hualquer objeto pode ser colocado# ou imaginado# dentro de um ortoedro# especialmente os objetos com faces curvas ou muito detalhadas Huando mais detalhado é o objeto mais precisamos do ortoedro de refer+ncia * figura 00= mostra um objeto qualquer e a figura 00C mostra o mesmo objeto inserido no Ortoedro

03


;ig 00=

1$$

;ig 00C

4istema de Proe!ão

*s representações t+m em seu arcabouço sistemas de projeção &ara entender como funciona um sistema de projeção o e$emplo mais comumente utilizado é o da sombra :er figura 053

http,@@Yell60comunidadesnet@inde$php_paginaD0634644 ;ig 053

(a figura 00=# da fonte de luz >;- saem os raios luminosos que iluminam o objeto e a parede atrás do objeto * sombra acontece porque os raios que iluminam o objeto não chegam até a parede# dei$ando a projeção da imagem do objeto na superf'cie bidimensional da parede `m sistema de projeção funciona de forma semelhante &ara representar um objeto primeiramente é necessário projetá)lo O processo de projeção funciona como uma cena# para compreend+)la precisamos conhecer alguns elementos básicos que a compõe Fão eles, a Observador, centro de projeção. b Objeto, o objeto é o que queremos representar. c &rojetantes, raios visuais que partem dos olhos do observador. d &lano de &rojeção, é o plano onde será desenhada a projeção * cena funciona da seguinte maneira, o oser)ador observa o oeto &ara perceber o objeto# dos olhos do observador partem raios visuais# ou proetantes# que conectam os olhos do observador aos limites do objeto# projetando o objeto no p%ano de proe!ão$ Os pontos# onde as projetantes ApassamB ou AtocamB no plano de projeção definem o desenho da proe!ão do objeto# que consiste em uma imagem bidimensional proporcional ao objeto tridimensional 00


(a figura 050 abai$o o centro de projeção está representado pela lanterna# os raios de luz que saem da lanterna >projetantes- incidem sobre o objeto projetando)o no plano do quadro >plano de projeção-

http,@@edificacacaomodernablogspotcombr@5305@36@projecoes)conicashtml ;ig 050

(a situação anterior o e$emplo foi dado a partir de um objeto real# porém# podemos imaginar uma situação na qual o objeto é virtual# ou seja# e$istente apenas como uma ideia Fendo assim# é necessário um grau de abstração relativamente maior para imaginar toda essa cena primeiramente em nossa mente# para# s% então# representar no papel a projeção final do processo

1$$

Tipos de Proe!ão

G$istem dois tipos de projeção bastante conhecidos e utilizados# a &NO[GO K(!K* e a &NO[GO K!L^("N!K* (essa disciplina serão abordadas as projeções Kil'ndricas, cavaleira# isometria e sistema mongeano Observe abai$o um quadro s'ntese que mostra o mesmo objeto sendo representado em cada um dos tipos de projeção

05


0 ;`*

&NO[GO K(!K*

5 ;`*F

6 ;`*F

!FO\G
*]O(O\G
"!\G

F!F
1$$1 Proe!ão C=nica (a projeção Knica o centro de projeção é chamado de &N&N!O# isso porque ele está a uma dist7ncia finita do objeto Gsse sistema é bem semelhante ao e$emplo dado anteriormente# que comparou o centro de projeção com uma lanterna (o e$emplo da figura 055 é fácil perceber que as projetantes que partem dos olhos do observador formam um fei$e cnico &or essa razão o sistema é chamado de Knico Gsse fei$e projeta o objeto# a esfera# no plano de projeção# ficando a imagem projetada em forma de circunfer+ncia 06


(a figura 056 temos um e$emplo da uma projeção cnica de um objeto bidimensional# o tri7ngulo *2K# o qual projetado segundo um centro de projeção O# forma a imagem *2K

&rojeção cnica ;ig 055

http,@@detufcbr@desenho@_pageidD=9 &rojeção cnica ;ig 056

(esse curso n%s não estudaremos esse tipo de projeção \as é importante sabermos que a projeção cnica imita a )isão ('mana &or isso# seu desenho é mais facilmente percebido# mesmo por pessoas que não conhecem o desenho (as figuras 054 e 05 temos a mesma cena vista de 7ngulos diferentes * cena mostra uma projeção cnica com o plano de projeção localizado entre o observador e o objeto *o observarmos as duas imagens# podemos perceber claramente a relação entre observador# projetantes# objeto e sua imagem

http,@@edificacacaomodernablogspotcombr@5305@36@projecoes)conicashtml ;ig 054 04


http,@@edificacacaomodernablogspotcombr@5305@36@projecoes)conicashtml ;ig 05

1$$+$ Proe!ão Ci%7ndrica (a projeção Kil'ndrica o observador está uma dist7ncia infinita do objeto (esse caso o centro çde projeção é !\&N&N!O# ver figura 059 *s projetantes ao invés de serem concorrentes >num ponto que é o centro de projeção-# como ocorre no sistema cnico de projeção# elas são paralelas !sto é# as projetantes partem do centro de projeção num fei$e em forma de cilindro# é por essa razão que esse sistema de projeção é chamado de cil'ndrico `m e$emplo que ilustra bem a mec7nica desse sistema de projeção é o dos raios luminosos que partem do sol O sol está a uma dist7ncia tão grande da terra que ao chegar V sua superf'cie os raios luminosos estão quase paralelos entre si e a' projetam a sobra dos objetos sobre a superf'cie terrestre de forma cil'ndrica

http,@@edificacacaomodernablogspotcombr@5305@36@projecoes) conicashtml ;ig 059 0


(o sistema cil'ndrico de projeção podemos ter as projeções cil'ndricas obl'quas >figura 05I- e as projeções cil'ndricas ortogonais >figura 05=- O que diferencia uma da outra é e$atamente o 7ngulo de incid+ncia das retas projetantes no plano de projeção (as projeções cil'ndricas obl'quas o 7ngulo é diferente de C3 e nas projeções cil'ndricas ortogonais esse 7ngulo é igual a C3 Neparem a diferença,

http,@@detufcbr@desenho@_pageidD=9 Proe!ão Ci%7ndrica O%7'a ;ig 05I

1$$

http,@@detufcbr@desenho@_pageidD=9 Proe!ão Ci%7ndrica Orto.ona% ;ig 05=

Ap%icai%idade da Perspecti)a Ci%7ndrica

`ma coisa muito importante e motivadora para aprender um novo assunto é saber sobre a aplicabilidade do que se está aprendendo `ma pergunta sempre válida diante de um novo conhecimento é AHue usos esse assunto possui_B (o caso dessa disciplina a pergunta seria_ Hue usos a representação de objetos tridimensionais em duas dimensões pode ter para um futuro engenheiro_ * primeira aplicação seria a representação de objetos que muitas vezes estão apenas no plano das ideias Huando é necessário comunicar uma ideia para outros# apenas palavras não e$plicam tudo# especialmente quando as ideias tratam de formas

09


*s &erspectivas Kil'ndricas são indispensáveis para todas as áreas do conhecimento que trabalham ou estudam a ;ON\*, *rquitetura# Gngenharia# *rte# "esign# G$pressão ráfica# entre outras usualmente o desenho isométrico- para representar peças e equipamentos :eja a figura 05C de um manual virtual para montagem de um brinquedo Observe que desde as peças do menu até a representação da peça a ser montada estão em desenho isométrico

http,@@YYYbai$aWicombr@doYnload@lego)digital)designerhtm ;ig 05C

`ma terceira forma de aplicação das perspectivas está nos ambientes virtuais de jogos e manuais (esse ambiente a visão isométrica é um recurso amplamente utilizado# como mostra a figura 063

http,@@YYYtecmundocombr@03=)o)que)e)visao)isometrica)htm ;ig 063 0I


(a área das Gngenharias a aplicabilidade das perspectivas em geral é quase uma obrigatoriedade# porque não há como falar de objetos# sejam reais ou virtuais# sem lançar mão do uso de algum tipo de representação da forma >ver figura 060- *s perspectivas nesse caso são o recursos que estabelecem a comunicação na área (esse caso é poss'vel utilizar tanto as perspectivas feitas V mão livre# quanto as feitas com esquadros e compasso# até mesmo as feitas com o au$'lio de softYares especializados !ndependentemente de como as perspectivas são elaboradas# para desenhá)las são necessários conhecimentos espec'ficos sobre o assunto

3TTP/HHIII$A9AL$CO0$#,H#LOGH+J1+HJ2HJKHA9&4O43&D,OCEAOG,AF&CO4 FLU9&A&4A93OFLU,&O4OL&0OE4E,&O EG,OH

;ig 060

\uitos acreditam que com o amplo uso do computador não será mais necessário aprender certos conceitos# essas pessoas esquecem que o computador não realiza procedimentos sozinho &ara que o desenho seja feito com softYares é preciso efetuar comandos# caso contrário# mesmo com os mais avançados softYares dispon'veis no mercado# o desenho pode findar incorreto ou incompleto

0=

UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 2  Ca!a"eira

CAPÍTULO 2 – PE#$PECT%&A C%LÍ'D#%CA CA&ALE%#A 2()( Caracteri*a+ão da Perspecti!a Ci",ndrica Ca!a"eira Conforme visto no item 1.4 do capítulo anterior, as representações de objetos em perspectiva se diferenciam em função de dois aspectos: 1. Posição do ortoedro de referncia em relação ao plano de projeção, e! ". #ipo de projeção. $o caso da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira, %ue est& representada na fi'ura ".1, a posição característica ortoedro de referncia ( tal %ue sua face frontal )*+P* ficar& paralela ao plano de projeção. -& a projeção ( do tipo C/0$C2 3/0562, ou seja, as retas projetantes são paralelas entre si, por%ue o observador est& em um ponto impr7prio, e essas encontram o plano de projeção de forma oblí%ua, fa8endo, portanto, um n'ulo diferente de 9;, como aparece na fi'ura ".1.

2 an&lise da fi'ura ".", %ue tra8 a representação em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira do objeto da fi'ura ".1, mostra %ue os n'ulos retos e>istentes na face frontal são mantidos em sua verdadeira 'rande8a, ou seja, a Perspectiva Cilíndrica Cavaleira mant(m a ?@ das medidas an'ulares, bem como lineares na face frontal da peça. /embrando %ue isso ocorre por%ue a face frontal encontraAse paralela ao plano de projeção. 2l(m disso, as arestas referentes Bs profundidades e Bs alturas são paralelas entre si.

2(2( Eixos Coordenados 2 visuali8ação de objetos tridimensionais se d& com mais facilidade %uando se utili8am os ei>os coordenados, uma ve8 %ue eles funcionam como uma estrutura %ue d& suporte a todo o deseno. 2 fi'ura ".D tra8 um deseno es%uem&tico dos trs ei>os coordenados. $ele est& o ei>o x, %ue ( o ei>o referente Bs "ar-.ras! o ei>o / %ue ( o ei>o referente Bs prof.ndidades, e o ei>o *0 %ue ( o ei>o referente Bs a"t.ras. essa forma, todas as "ar-.ras da peça ficarão para"e"as ao ei>o x, todas as prof.ndidades ficarão para"e"as ao ei>o / e todas as a"t.ras ficarão para"e"as ao ei>o *.

19


Posicionamento das Faces 2 fi'ura ".4 mostra um dado desenado em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira e referenciado pelos ei>os coordenados. 2 face %ue cont(m o nEmero um do dado ( a <2C* )6P*3 do objeto, a face %ue cont(m o nEmero dois ( a <2C* <3$#2/ e a face %ue cont(m o nEmero trs ( a <2C* /2#*2/ *#2. 2 face oposta B face frontal ( a <2C* P3)#*3, j& a face oposta B face superior ( a <2C* $<*3 e, finalmente, a face oposta B face lateral direita ( a <2C* /2#*2/ *)56*2. ATE'1O3 F muito comum confundir a denominação das faces laterais, es%uerda e direita. 2 face lateral es%uerda fica do lado es%uerdo de %uem observa. Conse%uentemente, a face lateral direita fica do lado direito. /embremAse de %ue desenos são inanimados, eles não possuem conscincia e referncia pr7prias. 3 observador ( %uem denomina as partes, direções e demais elementos do deseno. Portanto, ( o referencial de %uem observa %ue ( levado em consideração. 5uando os ei>os coordenados são desenados, como na fi'ura ".D, ( possível perceber al'uns aspectos particulares desse tipo de Perspectiva Cilíndrica Cavaleira. 3 primeiro deles ( a manutenção da orto'onalidade entre os ei>os > e 8. )e considerarmos o espaço tridimensional, ( possível afirmar %ue todos os ei>os fa8em 9; entre si. $o entanto, se considerarmos a representação em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira s7 en>er'amos 9; de fato entre os ei>os > e 8. *ssa característica confere B Perspectiva Cilíndrica Cavaleira um aspecto importante %ue ( o fato dos n'ulos e medidas contidas na face frontal e posterior do ortoedro de referncia manterem suas verdadeiras 'rande8as G?@H, isto (, as medidas do deseno são i'uais Bs medidas do objeto real. F por essa ra8ão %ue se di8 %ue na Perspectiva Cilíndrica Cavaleira as faces paralelas ao plano de projeção estão em ?@. -& as outras faces sofrem al'um tipo de deformação, fato %ue ser& estudado com mais detales adiante. essa maneira, %uando se desena uma Perspectiva Cilíndrica Cavaleira os ei>os > e 8 )*+P* fa8em 9; entre si, ou seja, eles ficam fi>os nessa posição, j& o ei>o I não tem uma posição fi>a. 2 variação da direção do ei>o I e as implicações dela serão estudadas no pr7>imo item. "


2(4( O Eixo / 2s perspectivas sempre mostram trs faces. $o caso da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira a face frontal, %ue fica paralela ao plano de projeção, )*+P* ( mostrada. *sta (, em 'eral, a principal face da peça. 6sualmente, são mostradas as trs faces %ue contm mais detales ou as trs %ue melor definem o objeto. )endo assim, podemos ter apenas as se'uintes combinações: o coordenado I, pois, como foi mencionado, os ei>os > e 8 ficam fi>os, fa8endo 9J entre si. 2ssim, caso a direção escolida para o ei>o I seja como a %ue est& na fi'ura ".K, as faces mostradas são a <3$#2/, a /2#*2/ *)56*2 e a )6P*3. -& se a direção de I for como na fi'ura ".L as faces mostradas são <3$#2/, /2#*2/ *#2 e $<*3. 







2 fi'ura ".M tra8 a síntese das %uatro possíveis direções %ue o ei>o I pode assumir, bem como as faces %ue são mostradas em cada caso. 5uando a direção escolida para a projeção do ei>o I ( a %ue est& no %uadrante 1, são mostradas as faces: <3$#2/, /2#*2/ *)56*2 e $<*3. $o %uadrante " são as faces: <3$#2/, /2#*2/ *#2 e $<*3. $o %uadrante D, as faces: <3$#2/, /2#*2/ *#2 e )6P*3! e, finalmente, no %uadrante 4, as faces mostradas são: <3$#2/, /2#*2/ *)56*2 e )6P*3.

2

)

4

5

"1


2(5( Par6metros da Perspecti!a Ci",ndrica Ca!a"eira Para %ue uma Perspectiva Cilíndrica Cavaleira possa ser elaborada dois parmetros precisam ser previamente definidos: a direção da Cavaleira GNH e o fator de deformação GOH. 2 fi'ura ".= apresenta a projeção de um objeto em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira. $essa representação podemos perceber %ue as arestas referentes B lar'ura Ge>.: 2CH e B altura Ge>.: 2H são paralelas ao plano de projeção e %uando projetadas aparecem nesse plano e>atamente com a mesma medida %ue possuem no real. sso si'nifica %ue na Perspectiva Cilíndrica Cavaleira elas estão em ?@. $o entanto, as arestas referentes B profundidade Ge>.: 2H, %ue no espaço estão perpendiculares ao plano de projeção, %uando projetadas, aparecem de maneira deformada. *ssa deformação vai depender da direção tomada pelas retas projetantes Ge>.: 22H. #al direção pode ser determinada por dois n'ulos GN e QH. $o pr7>imo item tais n'ulos e as relações %ue eles tm com os parmetros determinantes da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira serão estudados.
2(5()( A Dire+ão da Ca!a"eira 789 DEF%'%1O: 3 n'ulo N pode ser definido como sendo o n'ulo formado pela ori8ontal da projeção Ge>.: 2CH e pela projeção da profundidade do objeto Ge>.: 2H, como podemos ver na fi'ura ".=. $ão e>iste uma medida definida para N, ou seja, uma Perspectiva Cilíndrica Cavaleira pode ser desenada com N medindo %ual%uer n'ulo entre ; e 9;. $o entanto, a medida de N vai influir na porção vista das faces. $a pr&tica, os n'ulos e>istentes nos es%uadros GD;, 4K; e L;H acabam sendo, pela praticidade, os n'ulos mais utili8ados na elaboração de Perspectivas Cilíndrica Cavaleira, mas nada impede %ue outras medidas sejam adotadas. ?eja nas trs fi'uras abai>o uma comparação mostrando o %ue acontece %uando variamos os valores de α.

""


3 %ue podemos concluir ap7s a an&lise das fi'uras acima ( %ue mesmo %ue estejam sendo mostradas as mesmas faces G<3$#2/, /2#*2/ *#2 e )6P*3H, %uando o n'ulo N varia, porções diferentes das faces <3$#2/ e /2#*2/ *#2 são mostradas. $o entanto, o mesmo não ocorre com a face <3$#2/, a %ual aparece da mesma forma nas trs fi'uras. sso acontece por%ue ela est& paralela ao plano de projeção e, conse%uentemente, em ?@. essa forma, suas medidas lineares e an'ulares são res'uardadas mesmo depois da sua projeção. $a fi'ura ".9, N mede DJ, e a face /2#*2/ *#2 aparece com bem mais desta%ue do %ue a face )6P*3. -& na fi'ura ".1, onde N mede 4K;, ambas as faces aparecem com o mesmo desta%ue.

2(5(2( Fator de Deforma+ão 7;9 DEF%'%1O: 3 fator de deformação GRH consiste na relação constante entre o comprimento real de um se'mento Ge>.: 2, da fi'ura ".1DH e o comprimento dele depois de projetado Ge>.: 2H. *ssa relação tamb(m ( dada pela tan'ente do n'ulo Q, o %ual est& contido no trin'ulo 232 da fi'ura ".1D. DE
23 S 2 23 2

R S 2 2 2 S R > 2
)e R S 1! 2 S 2 )e R S ,K! 2 S ,K > 2 "D


ATE'1O3 3 fator de deformação GRH atua apenas nas projeções das arestas %ue são paralelas ao ei>o coordenado T, ou seja, a%uelas %ue no espaço, são orto'onais ao plano de projeção. 2s projeções das arestas paralelas ao plano de projeção permanecem com o tamano real. 3 fator de deformação GRH ( utili8ado nos casos em %ue se %uer mostrar uma face em detales. +uitas ve8es o deseno da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira sem deformação GRS1H, ou seja, com as medidas i'uais Bs do objeto real fa8 com %ue porções de uma determinada face não apareçam, ver fi'ura ".14. )e uma face não estiver sendo vista completamente ( possível aplicar o fator de deformação GRH de forma %ue essa face seja mostrada completamente, ver e>emplo das fi'uras ".14 e ".1K. $a primeira fi'ura R S 1 e na se'unda O S ,4.

ATE'1O3 2 pr&tica mostrou %ue se o fator de deformação GRH variar entre ,K e 1 a representação da peça se assemela bastante ao aspecto real da mesma. Portanto, para %ue a perspectiva se assemele B peça real utili8e esses valores.

2(=( #ota+ão da Pe+a 2 rotação ( uma operação 'r&fica utili8ada no aprendi8ado da visuali8ação espacial. 6ma maneira de reali8ar essa rotação ainda no plano das ideias ( utili8ar os ei>os coordenados como referncia e ima'inar o objeto sendo rotacionado em torno de um dos ei>os, ver fi'ura ".1L. essa forma, a rotação depende: 1. do ei>o escolido como referncia: >, I ou 8! ". do sentido da rotação, se or&rio ou antiA or&rio, e! D. da e>tensão da rotação, ou seja, com %uantos 'raus dever& ser feito o 'iro.
"4


2s fi'uras ".1M e ".1= mostram um e>emplo de rotação. $a primeira fi'ura temAse a peça na posição ori'inal, j& a fi'ura ".1= mostra a representação da mesma peça ap7s uma rotação de 9;, em torno do ei>o 8, no sentido antiAor&rio.

2(=()( Diferen+a entre #OTA1O e &A#%A1O DA D%#E1O DA P#O>E1O P#O>E1O DO E%?O @ F importante não confundir a 3#2UV3, discutida no item ".K, com a ?22UV3 2 *UV3 2 P3-*UV3 3 *W3 T, discutido no item ".D. #ais procedimentos podem ocorrer em comandos distintos, ou num mesmo comando. )e esse for o caso, a rotação ocorrer& primeiro e somente no plano das ideias GmentalmenteH, ou seja, o objeto ser& rotacionado em torno de um dos ei>os e, em se'uida, serão escolidas as faces %ue serão mostradas ap7s a rotação. *ssa escola depender& da direção tomada pela projeção do ei>o I. 2 peça da fi'ura ".1M ap7s rotacionada 9;, em torno do ei>o 8, no sentido antiAor&rio, pode ser representada de %uatro maneiras, conforme mostra a fi'ura ".19. F possível perceber na fi'ura abai>o %ue os %uatro desenos mostram a peça na mesma posição, por(m as faces mostradas variam.

"K


2(=(2( Diferen+a entre Faces e &istas *>iste uma diferença entre <2C*) e ?)#2). 2 face pertence ao objeto, en%uanto %ue a vista ( pr7pria do ortoedro de referncia. 2s vistas do ortoedro de referncia se confi'uram num referencial fi>o de posicionamento. Por e>emplo, na fi'ura ".", a face do objeto %ue cont(m o nEmero um corresponde B vista )6P*3 do ortoedro de referncia. a mesma maneira, a face do objeto %ue cont(m o nEmero dois corresponde B vista <3$#2/ do ortoedro. -& a face do objeto %ue cont(m o nEmero trs corresponde B vista /2#*2/ *#2 do ortoedro.

2(( Ci"indros e Cones Cilindros e cones são s7lidos 'eom(tricos 'erados se'undo al'umas Xleis de 'eraçãoY. PodeAse di8er, por e>emplo, %ue o cilindro ( uma superfície 'erada por uma reta G'eratri8H paralela a um ei>o, a %ual se desloca em torno de uma circunferncia Gdiretri8H, como aparece na fi'ura "."1. 3utra forma de 'erar uma superfície cilíndrica ( %uando uma circunferncia G'eratri8H se desloca ao lon'o de um ei>o. *sse movimento, tamb(m, 'era uma superfície cilíndrica. Portanto, um cilindro possui 'eratri8es retas Gprimeiro e>emploH, bem como 'eratri8es curvas Gse'undo e>emploH.

"L


)uperfícies cZnicas podem ser 'eradas de forma semelante B descrita acima. $o primeiro caso, temAse uma reta ' G'eratri8H apoiada num ei>o [ %ue se desloca em torno de uma circunferncia Gdiretri8H. 3utra forma de 'erar um cone ( %uando uma circunferncia G'eratri8H se desloca ao lon'o de um ei>o, e na medida em %ue se desloca tem seu raio diminuído at( ce'ar ao v(rtice, onde o raio ( i'ual a 8ero. ?er fi'ura "."".

$esta disciplina trataremos apenas de Ci"indros e de Cones de #e!o".+ão. #e!o".+ão . *les são casos particulares dos cilindros e cones uma ve8 %ue possuem uma propriedade específica %ue di8 %ue todo plano perpendicular ao ei>o desses s7lidos cortar& a superfície desse s7lido se'undo uma circunferncia. $a representação de objetos em forma de cilindros e cones de revolução em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira são utili8ados se'mentos curvos Gcircunferncias e elipsesH para representar as faces planas, e se'mentos retos para representar a superfície curva. #ais se'mentos retos são camados de 'eratri8es de limite de visibilidade. *las, em 'eral, estão paralelas a um dos ei>os coordenados. $a fi'ura "."D as 'eratri8es de limite de visibilidade estão paralelas ao ei>o 8, en%uanto %ue na fi'ura "."4 elas estão paralelas ao ei>o >, j& na fi'ura "."K elas estão paralelas ao ei>o I. 'eratri8es de limite de visibilidade

$o caso da representação de objetos em forma de cones de revolução as 'eratri8es de limite de visibilidade concorrem em um ponto camado v(rtice. #ais elementos serão estudados mais adiante.

'eratri8 de limite de visibilidade

"M


2(()( Ci"indros $o espaço, um objeto em forma de cilindro possui duas faces planas e uma superfície curva. 3 deseno das faces planas em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira ( composto por circunferncias e arcos de circunferncia. F preciso camar a atenção para o fato de %ue as faces planas do cilindro possuem forma de circunferncia %uando estão no espaço. $o entanto, %uando são representadas em duas dimensões, elas podem permanecer com forma de circunferncia ou tomar forma de elipse, dependendo da posição dessas faces em relação aos ei>os coordenados, como mostram as fi'ura "."M e "."=.

2 fi'ura "."9 tra8 a representação de um cilindro cujas faces planas são paralelas aos ei>os > e I. $essa situação, as curvas assumem a forma de elipse. )ituação semelante ocorre com o cilindro da fi'ura ".D, onde as curvas aparecem como elipses. $essa fi'ura, as faces planas são paralelas aos ei>os I e 8. -& na fi'ura ".D1, as faces planas aparecem como circunferncias, nesse caso, elas estão paralelas aos ei>os > e 8. F importante destacar %ue as faces %ue aparecem como circunferncias estão paralelas ao plano de projeção, portanto em ?@. 5uando estão perpendiculares a este plano, elas aparecem como elipse, uma ve8 %ue sofrem deformação causada pelo ei>o I.

"=


2((2( Cones )ituações semelantes ocorrem na representação de objetos em forma de cone. 2s fi'uras ".D", ".DD e ".D4, mostram %ue a face plana do cone pode aparecer em forma de circunferncia ou de elipse pelas mesmas ra8ões e>plicadas acima para o cilindro.

$a fi'ura ".D" a face plana do cone aparece como uma circunferncia por%ue ela est& paralela ao plano de projeção, portanto em ?@. -& os cones das fi'uras ".DD e ".D4 tm suas faces planas representadas em forma de elipses. *ssas faces estão perpendiculares ao plano de projeção, portanto sofrem deformação. 2((4( O DesenBo da E"ipse *>istem al'uns procedimentos para facilitar o traçado da elipse. 2 se'uir serão apresentados dois deles para a Perspectiva Cilíndrica Cavaleira: o procedimento dos = pontos, tamb(m camado de procedimento das dia'onais, e o procedimento dos XnY pontos. Procedimento dos  Pontos Para desenar uma elipse parteAse de parmetros %ue valem para uma circunferncia inscrita em um %uadril&tero, ou seja: a circunferncia tan'encia o %uadrado na %ual est& inscrita em %uatro pontos, os pontos 1, ", D e 4 da fi'ura ".DK. *sses %uatro pontos são os pontos m(dios dos lados do %uadrado. 2s dia'onais do %uadrado interceptam a circunferncia inscrita nele em outros %uatro pontos, %ue são os pontos K, L, M e = da fi'ura ".DL.

"9


Colocados os parmetros %ue valem para a circunferncia, ( possível transpZAlos para a representação da circunferncia em perspectiva, ou seja, da elipse. ?er fi'ura ".DM. ?amos começar pelo deseno do %uadrado em perspectiva, %ue ser& um paralelo'ramo posicionado de forma perpendicular ao plano de projeção, ou seja, paralelo aos ei>os > e I. $o paralelo'ramo, desenamA se os mesmos parmetros vistos acima para o %uadrado, ou seja, as retas %ue li'am os pontos m(dios dos lados e as dia'onais. essa maneira, encontramAse os primeiros %uatro pontos, %ue são os pontos de tan'ncia da elipse no paralelo'ramo: pontos 1, ", D e 4 da fi'ura ".DM. *sses pontos estão locali8ados nos pontos m(dios de cada lado do paralelo'ramo e correspondem aos pontos 1, ", D e 4 do %uadrado.

Para encontrar os pontos correspondentes aos pontos K, L, M e = do %uadrado, ( necess&rio lev&Alos para o paralelo'ramo por meio de duas linas, uma paralela ao ei>o 8, %ue li'a os pontos L e M e outra paralela ao ei>o I, %ue ao cru8ar com as dia'onais do paralelo'ramo, li'a os pontos L e M, como aparece na fi'ura ".D=. 3 mesmo procedimento ( feito para encontrar os pontos K e =.

Para determinar a elipse traçamos a mão livre uma lina curva %ue passe pelos oito pontos encontrados anteriormente, ver fi'ura ".D9. Para desenar uma elipse na face lateral direita do objeto procedeAse de maneira an&lo'a, como mostra a fi'ura ".4. D


6m e>ercício muito interessante, %ue pode ser reali8ado tanto com o procedimento %ue acabou de ser apresentado, %uanto com o procedimento %ue ser& apresentado a se'uir, consiste em desenar a elipse em todas as faces do ortoedro de referncia. D%CA %emplo anterior sem %ue seja necess&rio desenar um %uadrado com uma circunferncia circunscrita previamente. Para isso encontraAse o se'mento 2, da fi'ura ".41, atrav(s da f7rmula: A  r x 04. 2 justificativa desse procedimento se baseia no fato de %ue: 2 S 3 _ 32 S r _ r cos G4K oH 2 S r G1 A cos G4K oHH S r G1 A ,MMH 2 S ,"9D > r, ou seja, 2 S r > ,D 3 ponto  do paralelo'ramo corresponde ao ponto C do %uadrado.

Procedimento dos nH Pontos *>iste outro procedimento %ue determina pontos da elipse, au>iliando a construção dessa curva, o camado procedimento dos XnY pontos. Com esse procedimento ( possível determinar %uantos pontos se desejar, ou seja, XnY pontos. *n%uanto %ue o procedimento anterior determina no m&>imo oito pontos da elipse. 5uanto mais pontos da elipse forem conecidos, mais precisa ser& a construção da mesma, sobretudo se o deseno for feito B mão livre. Portanto, a vanta'em desse procedimento ( o deseno mais preciso da circunferncia em perspectiva. Partimos do paralelo'ramo %ue circunscreve a elipse %ue se %uer construir. *m se'uida, determinamAse os %uatro pontos m(dios dos lados do paralelo'ramo: + 1, +", +D e +4. 2 partir desses pontos, divideAse o paralelo'ramo em %uatro %uadrantes.

D1


ividemAse os se-mentos destacados na fi'ura ".44 em %ual%uer %uantidade de partes i'uais. $esse e>emplo, os se'mentos foram divididos em trs partes i'uais. F muito importante %ue os se'mentos sejam divididos no mesmo nEmero de partes. &er na pá-ina se-.inte como se di!ide .m se-mento em partes i-.ais. $ão importa %ue lar'ura, altura ou profundidade, tena o paralelo'ramo %ue envolve a elipse, os dois se'mentos %ue formam cada %uadrante devem ser divididos no mesmo nEmero de partes. epois, enumeramAse os se'mentos destacados da mesma forma como aparece na fi'ura ".44 e ".4K.

Para demonstrar como desenar a elipse vamos reali8ar o procedimento no 1J %uadrante Gfi'. ".4LH e, depois, repetiAlo nos demais %uadrantes. /i'aAse o ponto 2 ao ponto ) do se-mento oI",J.o e o ponto  ao ponto ) do se-mento Bori*onta"( 3 cru8amento dos se'mentos 21 e 1 ( um dos pontos da elipse, o ponto C. Para determinar mais um ponto no mesmo %uadrante, repita a operação anterior li'ando o ponto 2 ao ponto 2 do se-mento oI",J.o e o ponto  ao ponto 2 do se-mento Bori*onta", o cru8amento dos se'mentos 2" e ", resulta no ponto , fi'ura ".4M.

-& ( possível traçar B mão livre a elipse nesse %uadrante. Para isso, iniciaAse o traçado no ponto  G%ue ( um dos ponto de tan'ncia da elipse com o %uadril&tero %ue a circunscreveH, e se'ueA se traçando o arco de elipse at( o ponto , em se'uida, se'ueAse ao ponto C e finali8aAse o arco de elipse no ponto 3 G%ue ( outro ponto de tan'ncia da elipse com %uadril&tero %ue a circunscreveH, ver a fi'ura ".49.

D"


Para traçar a elipse nos outros %uadrantes, iniciaAse o traçado em um dos pontos de tan'ncia da elipse e procedeAse analo'amente, como mostra a fi'ura ".49. 2 elipse completa fica como na fi'ura ".K. D%&%$O DE U< $EGemplo o se'mento 2 Gfi'ura ".K1H, %ue ser& dividido em XnY partes i'uais.

3 primeiro procedimento consiste na construção de uma lina au>iliar partindo de uma das e>tremidades do se'mento 2, formando um n'ulo %ual%uer com o se'mento 2, fi'ura ".K". *m se'uida, divideAse a lina au>iliar no nEmero de partes %ue %ueremos dividir o se'mento 2 Gnesse e>emplo dividiremos em trs partes i'uaisH. *ssa divisão pode ser feita com escala ou utili8ando uma mesma abertura no compasso, como mostra a fi'ura ".K". *m se'uida, li'aAse a e>tremidade da Eltima divisão B e>tremidade do se'mento, nesse caso o ponto 2, traçando assim o se'mento D2, como mostra a fi'ura ".KD. Para finali8ar deveAse traçar se'mentos paralelos ao se'mento D2 passando pelos pontos 1 e ". essa maneira, os se'mentos traçados irão interceptar o se'mento 2 dividindoAo em D partes i'uais, como se v na fi'ura ".K4.

DD

UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 3 – Deseno !som"trico

CAPÍTULO 3 – DE#E$%O !#O&'T(!CO 3)*) Caracteri+a,ão da Axonometria A isometria faz parte de um sistema de representação chamado AXONOMETRIA. onforme foi e!p"icitado no cap#tu"o $% os sistemas de representação se diferenciam por duas caracter#sticas& $. 'osição de ortoedro de refer(ncia com re"ação ao p"ano de pro)eção* +. Tipo de pro)eção. Na a!onometria a pro)eção , I-INRIA ORTO/ONA-% ou se)a% as retas pro)etantes são para"e"as entre si e formam um 0n1u"o de 2 com o p"ano de pro)eção.

Fi-) 3). Fi-) 3)* Fonte/ D0arte1 .22

No caso da a!onometria o ortoedro de refer(ncia est5 posicionado de ta" maneira com re"ação ao p"ano de pro)eção 6ue se as tr(s arestas 6ue partem de um mesmo 7,rtice A forem pro"on1adas todas e"as encontrarão o p"ano de pro)eção nos pontos E% 8 e / 97er fi1ura 3.$:. iferente da ca7a"eira% na 6ua" apenas uma das tr(s arestas encontraria o p"ano de pro)eção caso fossem pro"on1adas. ;uando todas as faces do o<)eto são pro)etadas o/% ou se)a% as tr(s faces sofrem deformação ao serem pro)etadas. omo cada face% ao ser pro)etada% faz com o p"ano do desenho um determinado 0n1u"o podem ocorrer tr(s situaç?es& 9$: se os tr(s 0n1u"os são diferentes entre si% temos a TRIMETRIA% onde as faces 6ue t(m maiores 0n1u"os t(m menos desta6ue% 7er fi1ura 3.3* 9+: se dois dos 0n1u"os são i1uais e apenas um de"es , diferente% temos a IMETRIA% onde duas faces terão mais desta6ue do 6ue a outra% 7er fi1ura 3.4* 93: se os tr(s 0n1u"os são i1uais% temos a I@OMETRIA% onde as tr(s faces sofrem a mesma deformação. O 0n1u"o 6ue as faces fazem com o p"ano de pro)eção , i1ua" a $+ 9pois 3B3 C $+% 7er fi1ura 3.D:. 34


8i1. 3.3

8i1. 3.4

8i1. 3.D

3).) Caracteri+a,ão do Deseno !som"trico entre as pro)eç?es a!onom,tricas% a isometria , a mais uti"izada. 'rincipa"mente a perspecti7a isom,trica na sua forma simp4ificada% o E@ENO I@OMFTRIO ou I@OMETRIA @IM'-I8IAA% 6ue não carece de coeficientes de redução. O termo isom,trico si1nifica i1ua" medida. Nos desenhos de perspecti7a isom,trica% o o<)eto est5 o<"#6uo em re"ação ao p"ano de pro)eção% conforme mostra a fi1ura 3.D. Essa o<"i6uidade em re"ação ao p"ano de pro)eção faz com 6ue a pro)eção das dimens?es do o<)eto no p"ano de pro)eção se)a reduzida i1ua"mente em cada direção dos ei!os. essa maneira% na isometria% todas as arestas da peça 6ue possuem direção i1ua" a uma das direç?es das arestas de um ortoedro en7o"7ente 9AG% A ou A: t(m a mesma inc"inação em re"ação ao p"ano de pro)eção. 'ortanto as pro)eç?es orto1onais dessas arestas t(m a mesma deformação 9nesse caso% uma red0,ão:& AHGHC %$ ! AG AHHC %$ ! A AHHC %$ ! A >e)a a demonstração na fi1ura 3.& Os pontos E% 8 e / são as interseç?es dos pro"on1amentos das arestas AG% A e A com o p"ano de pro)eção. Traçando por A e G perpendicu"ares a E/ determina=se o se1mento AHH GHH. AHHGHH C AG ! cos94D o: C AHGH ! cos93 o:  AHGHC cos94Do: B cos93o: ! AG C %$ ! AG 8i1. 3. 8onte& uarte% . +

@endo assim% o desenho da pro)eção fica como a fi1ura 3. om todas as arestas reduzidas com re"ação J peça rea". O
3D


!sometria Exata

Deseno !som"trico

8i1. 3.K

8i1. 3.

8onte& uarte% . +

8onte& uarte% . +

(epetindo/ $o Deseno !som"trico as pro5e,6es das arestas não são red0+idas 7A898: A91 A8C8: AC e A8D8: AD;) Os desenos feitos com es<0adros nessa discip4ina serão exec0tados adotando o Deseno !som"trico)

3)3) Deseno !som"trico na prática Na pr5tica% a construção do ortoedro en7o"7ente em deseno isom"trico começa com o desenho de uma "inha horizonta" de refer(ncia. Em se1uida , esco"hido um ponto nessa "inha para a partir de"e desenharmos duas "inhas formando 3 o com a "inha horizonta" 97er fi1ura 3.2:.

8i1. 3.2

'ara desenhar as "inhas com 3 comece desenhando uma reta 7ertica" e posicione os es6uadros como indicado na fi1. 3.$ es"o6ue o es6uadro de 3 o na direção da seta e desenhe a reta destacada. Em se1uida posicione os es6uadros como indicado na fi1. 3.$$ e desenhe a reta destacada nessa fi1ura.

8i1. 3.$

8i1. 3.$$

3


etermine a a"tura% a "ar1ura e a espessura da peça de acordo com os eixos coordenados e comp"ete o ortoedro traçando as para"e"as indicadas% conforme 7eremos no prL!imo item.

3)=) Os Eixos Coordenados e o Ortoedro de (efer>ncia a mesma forma como foi demonstrado para a perspecti7a ca7a"eira% podemos 7isua"izar as peças desenhadas com mais faci"idade 6uando re"acionamos suas dimens?es com os ei!os coordenados. Ao pensarmos 6ue tudo a nossa 7o"ta possui tr(s dimens?es faci"itamos a transposição do o<)eto rea" para o o<)eto desenhado no pape". essa maneira% teremos o ei!o das "ar1uras% o ei!o !* o ei!o das profundidades% o ei!o  e o ei!o das a"turas% o ei!o z. O
8i1. 3.$+

3.$3

3)=)*) is0a4i+a,ão de Todas as Faces A e!emp"o da 'erspecti7a a7a"eira% no esenho Isom,trico são sempre mostradas tr(s faces do ortoedro en7o"7ente. Na fi1ura 3.$3 foram mostradas as faces fronta"% "atera" direita e superior. 'ara mostrar as outras faces do o<)eto podemos ter as se1uintes com
3K


ada a peça da fi1ura 3.$4% desenhada em esenho Isom,trico% 6ue mostra as 7istas& fronta"% superior e "atera" direita do ortoedro de refer(ncia% podemos represent5="a de forma a mostrar as outras faces da peça% conforme mostram as peças da fi1ura 3.$D. Nesse caso% tem=se 6ue rotacionar a peça em torno de a"1um dos ei!os coordenados ou 7ariar a posição do ei!o % como foi 7isto para a 'erspecti7a a7a"eira. +

+ +

+ x 



x

x

x 8i1. 3.$4





8i1. 3.$D

3)=).) (ota,ão da Pe,a No esenho Isom,trico a rotação de uma peça pode ocorrer da mesma maneira como 7imos na 'erspecti7a a7a"eira. 'or,m% de7e ser o
3)B) Ci4indros e Cones As propriedades 1eom,tricas dos ci"indros e cones não se a"teram em funcão do tipo de representação esco"hida. Assim% a conceituação para "eis de 1eração e 1eratrizes de "imite de 7isi
8i1. 3.$ 3


O ci"indro pode assumir tr(s posiç?es <5sicas no desenho isom,trico% com re"ação aos ei!os coordenados.

8i1. 3.$2

8i1. 3.+

8i1. 3.+$

Na fi1ura 3.$2% a face p"ana do ci"#ndro% 6ue possui forma de circunfer(ncia 6uando est5 no espaço% est5 representada para"e"a aos ei!os  e !% tomando forma de uma e"ipse. Atenção ao ortoedro en7o"7ente para faci"itar a 7isua"ização. Na fi1ura 3.+ 6uando a face p"ana do ci"#ndro fica% na representação% para"e"a aos ei!os ! e z toma a forma de uma e"ipse. Nesse caso% diferentemente da ca7a"eira% na 6ua" a face em forma de circunfer(ncia do ci"indro fica na forma de circunfer(ncia. 'or P"timo% na fi1ura 3.+$ a face p"ana do ci"#ndro% est5 representada para"e"a aos ei!os  e z e% tam<,m% toma forma de e"ipse. Em Isometria e tam<,m em esenho Isom,trico a circunfer(ncia sempre toma forma de e"ipse% não importa a 6ue ei!os a face em forma de circunfer(ncia ou arco de circunfer(ncia este)a para"e"a. Isso ocorre por6ue em Isometria todos ou ei!os estão o<"#6uos com re"ação ao p"ano de pro)eção. 'ode=se ap"icar para o caso do cone o mesmo 6ue foi 7isto para o ci"indro% uma 7ez 6ue as situaç?es são seme"hantes. Na primeira fi1ura% 3.++% a face p"ana do cone est5 para"e"a aos ei!os ! e . >ai acontecer o mesmo 6ue aconteceu com o ci"indro% ou se)a% a face em forma de circunfer(ncia 7ai aparecer na perspecti7a como uma e"ipse.

8i1. 3.++

8i1. 3.+3

8i1. 3.+4 32


No se1undo caso% fi1ura 3.+3% a face p"ana do cone est5 para"e"a aos ei!os  e z e% a e!emp"o do ci"indro% tam<,m se torna uma e"ipse. No P"timo caso% fi1ura 3.+4% a face cur7a do cone a1ora est5 para"e"a aos ei!os ! e z% nesse caso a circunfer(ncia tam<,m tomar5 a forma de e"ipse. 3)B)*) Deseno da E4ipse e da O@a4 A e!emp"o da 'erspecti7a a7a"eira e!istem a"1uns procedimentos para faci"itar o traçado da e"ipse. >eremos tr(s de"es para o esenho Isom,trico. Os dois primeiros tipos são seme"hantes aos procedimentos )5 7istos para a 'erspecti7a a7a"eira& o traçado da e"ipse com  pontos% usando as dia1onais e o traçado da e"ipse com Qn pontos% usando a di7isão do 6uadri"5tero em 6uadrantes. O terceiro procedimento não , uti"izado na 'erspecti7a a7a"eira% e"e , uti"izado apenas na Isometria e no esenho Isom,trico% 6ue , o desenho da o7a" re1u"ar de 6uatro centros. Procedimento dos  pontos 'ara desenhar a e"ipse em esenho Isom,trico% a e!emp"o do 6ue aprendemos para a 'erspecti7a a7a"eira% serão uti"izados par0metros 6ue 7a"em para uma circunfer(ncia inscrita em um 6uadri"5tero% ou se)a& Na fi1ura 3.+D& $: a circunfer(ncia tan1encia o 6uadrado na 6ua" est5 inscrita em 4 pontos& $% +% 3 e 4. Esses 4 pontos são os pontos m,dios dos "ados do 6uadrado% e* +: as dia1onais do 6uadrado cruzam com a circunfer(ncia inscrita em mais 4 pontos& D% % K e .

8i1.3.+D

Esse mesmos par0metros são transpostos para rea"izar o desenho da e"ipse em esenho Isom,trico. O primeiro procedimento , o do desenho do 6uadri"5tero em desenho isom,trico% 6ue ser5 um para"e"o1ramo para"e"o aos ei!os ! e . No para"e"o1ramo são desenhados os mesmos par0metros do 6uadrado. Assim encontram=se os primeiros 4 pontos% 6ue são os pontos de tan1(ncia da e"ipse no 6uadri"5tero% pontos M$% M+% M3 e M4% como na fi1ura 3.+. Esses pontos estão "oca"izados nos pontos m,dios de cada "ado do 6uadri"5tero e e6ui7a"em aos pontos $% +% 3 e 4. O se1undo procedimento% fi1ura 3.+K% , encontrar os e6ui7a"ente dos pontos D% % K e  para a e"ipse% atra7,s do traçado das dia1onais. O
4


8i1.3.+K

8i1.3.+

'ara determinar os pontos D% % K e % não , necess5rio desenhar a circunfer(ncia. Gasta uti"izar o par0metro& AG C r ! .3% da mesma forma como 7imos na 'erspecti7a a7a"eira% ou se)a% mede=se o raio% mu"tip"ica=o por %3 e desco
A9

8i1.3.+

8i1.3.+2

'ara determinar a e"ipse traça=se uma cur7a J mão "i7re prestando
8i1. 3.3

Procedimento dos n pontos O outro procedimento% demonstrado para a 'erspecti7a a7a"eira% tam<,m pode ser uti"izado na Isometria. E"e permite determinar não apenas % mas sim inPmeros pontos da e"ipse. Essa , a 7anta1em da uti"ização desse procedimento% pois 6uanto mais pontos forem uti"izados para dar suporte ao traçado da cur7a J mão "i7re% mais preciso fica o desenho da cur7a. 4$


'arte=se de a"1uns princ#pios seme"hantes ao procedimento anterior% 7er fi1ura 3.3$& $. A e"ipse ser5 desenhada inscrita em um 6uadri"5tero* +. eterminam=se 4 pontos de tan1(ncia nesse 6uadri"5tero% sendo as tan1entes e seus pontos m,dios* 3. O 6uadri"5tero , di7idido em 4 6uadrantes. 8i1.3.3$

Os 6uadrantes são tra
8i1.3.3+

8i1.3.33

Deseno da O@a4 No caso da Isometria e do esenho Isom,trico% o desenho da e"ipse pode ser rea"izado uti"izando uma cur7a chamada de o@a4 re-04ar de <0atro centros. omo a o7a" , muito seme"hante a e"ipse% e"a tam<,m , conhecida como fa"sa e"ipse.

4+


Muitas pessoas preferem desenhar a o7a" a desenhar e"ipse% por6ue a o7a" pode ser desenhada tota"mente com instrumentos 9es6uadros e compasso:% e"iminando assim a parte do traçado J mão "i7re 6ue precisa ser feita 6uando se desenha uma e"ipse. 'ara desenhar a o7a" parte=se da mesma ideia inicia" dos procedimentos anteriores% ou se)a% da di7isão do 6uadri"5tero em 4 6uadrantes. @endo os pontos M$% M+% M3 e M4 os pontos m,dios de cada "ado% como mostra a fi1ura 3.34. Ao fina" do procedimento serão desenhados com o compasso 6uatro arcos de circunfer(ncias com 6uatro centros diferentes% um em 8i1. 3.34 cada 6uadrante. O primeiro centro de arco% o ponto $% , definido no 7,rtice de maior 0n1u"o do 6uadri"5tero% desse primeiro centro $ são traçados dois se1mentos de reta "i1ando=o aos pontos m,dios dos "ados opostos M$ e M+% 7er fi1ura 3.3D. 8i1.3.3D

O procedimento descrito acima , repetido no 7,rtice oposto nomeando=o de +. e + são traçados mais dois se1mentos de reta "i1ando=o aos pontos m,dios dos "ados opostos M3 e M4% como mostra a fi1ura 3.3. O cruzamento de $M$ com +M4 1era o ponto 3% 6ue ser5 o centro de um dos arcos 6ue comp?e a o7a". a mesma forma% o cruzamento de $M+ com +M3 1era o ponto 4% 6ue ser5 o centro de um dos arcos 6ue comp?e a o7a"% 7er fi1ura 3.3. A1ora )5 , poss#7e" a traçar a o7a". Resumindo& $. $ e + são centros de dois arcos maiores de mesmo raio* +. 3 e 4 são centros de dois arcos menores de mesmo raio* 3. Todos os arcos começam e terminam nos pontos m,dios do 6uadri"5tero. 'ara traçar a o7a" re1u"ar de 6uatro centros
8i1.3.3

8i1.3.3K

43


'ara conc"uir a o7a"% centra=se a ponta seca do compasso em 3% faz=se uma a
Sm e!erc#cio muito interessante e 6ue a)uda a fi!ar os conhecimentos aprendidos , desenhar a o7a" re1u"ar de 6uatro centros em todas as faces do ortoedro% como na fi1ura 3.32.

8i1.3.32

44

UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 4 – Perspectia Ci!"ndrica Orto#ráfica

Cap"t$!o 4 – Perspectia Ci!"ndrica Orto#ráfica 4%&% 'ntrod$(ão A Perspectiva Cilíndrica Ortográfica é resultado da projeção de objetos tridimensionais segundo as regras do camado )istema *on#eano! "al sistema tem como arcabouço te#rico a $eometria %escritiva& 'ue é considerada a parte da matemática 'ue tem como finalidade (representar no plano as figuras do espaço& de modo a podermos& com o au)ílio da $eometria Plana& estudar suas propriedades e resolver os problemas relativos *s mesmas+ ,-AC.A%O& /012& p! //3!

ttp666!sciencepoto!com 7ig! 4!/

%essa maneira foi possível e)pressar& comunicar& antecipar e resolver problemas relativos aos objetos reais& de diversas áreas do saber 'ue trabalam e estudam a forma através do deseno antes mesmo 'ue esses objetos fossem construídos! "al fato trou)e um significativo aumento na efici8ncia dos processos produtivos na 9uropa estimulando tanto a 9ngenaria -ilitar 'uanto a :evolução ;ndustrial! $aspard -onge& cuja foto aparece na figura 4!/& é considerado o criador da $eometria %escritiva e grande te#rico da $eometria Analítica! 9le viveu na 7rança entre os anos de /142 e /es espaciais comple)as! 7oi um dos fundadores da 9scola Politécnica 7rancesa e também lecionou na 9scola -ilitar -e=iéres& tornando?se um acad8mico de renome!

Como também era um cidadão engajado politicamente& seu conecimento também contribuiu para a 9ngenaria -ilitar! Como militar criou um método baseado na aritmética e em operaç>es espaciais 'ue tornou a artilaria francesa muito mais eficiente! A mudança foi tão significativa 'ue seu método foi considerado segredo de 9stado durante anos! 9m seus estudos& -onge acabou por elaborar o arcabouço te#rico 'ue possibilitou o avanço bélico franc8s! Outro e)emplo de sua contribuição foi durante a :evolução 7rancesa 'uando ouve a necessidade de se produ=ir uma grande 'uantidade de can>es e de p#lvora num curto espaço de tempo! -onge liderou a produção e acabou elaborando um boletim& camado @A Arte da 7abricação do Canão@& o 'ual se tornou o manual das fábricas! esse boletim e ele tradu=iu seu raciocínio espacial do ambiente militar e estratégico para o ambiente da produção de produtos em larga escala! .oje& podemos di=er 'ue ele criou uma linguagem gráfica universal& a linguagem do deseno técnico! 9ssa linguagem possibilitou a transmissão de informação sobre objetos tridimensionais com a precisão necessária para a e)ecução dos mesmos! %e fato& a linguagem -ongeana permitiu 'ue fábricas 45


fossem estruturadas não s# na 7rança& mas ao redor do mundo e 'ue os produtos dei)assem de ser fabricados nos 'uintais dos artesãos e passassem a ser produ=idos em larga escala!

4%+% Caracteri,a(ão da Perspectia Ci!"ndrica Orto#ráfica os capítulos anteriores vimos 'ue as representaç>es de objetos em perspectiva se diferenciam em função de dois aspectos /! Posição do ortoedro de refer8ncia em relação ao plano de projeção& eB ! "ipo de projeção! o caso da Perspectiva Cilíndrica Ortográfica& o objeto é projetado em pelo menos dois planos de projeção& diferentemente da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira e do %eseno ;sométrico& onde a projeção é reali=ada somente em um plano de projeção! Por essa ra=ão o -étodo -ongeano também é camado de (-étodo da %upla Projeção Ortogonal+! D possível afirmar ainda 'ue  a posi(ão do ortoedro de refer-ncia em relação a cada um dos planos de projeção é a seguinte pelo menos uma das faces do ortoedro de refer8ncia tem 'ue estar paralela ao plano de projeção& eB  o tipo de pro.e(ão da Perspectiva Cilíndrica Ortográfica é a C;EF%:;CA O:"O$OAE& o 'ue significa 'ue o observador está locali=ado a uma distGncia 'ue tende ao infinito& o 'ue& por sua ve=& tem como conse'u8ncia o fato das retas projetantes serem paralelas entre si! O método desenvolvido por -onge consiste& primeiramente& na divisão do espaço por meio de dois planos de projeção& um vertical e outro ori=ontal! 7a=endo uma analogia *s linas imaginárias do Planeta "erra é como se o p!ano /ori,ontal passasse e)atamente na Eina do 9'uador dividindo o espaço em dois semiespaços& um meridional ou sul e outro setentrional ou norte& como aparece na figura 4!! 9 da mesma maneira& o p!ano ertica! passasse no meridiano de $reen6ic! A figura 4!H mostra este plano dividindo e o espaço em dois semiespaços& um oriental ou leste e outro ociental ou oeste!

7ontettp666!portalsaofrancisco!com!bralfameridiano s?e?paralelosmeridianos?e?paralelos!pp 7ig! 4!

7ontettpmeioambiente!culturami)!comnoticiasis toria?do?meridiano?de?green6ic 7ig! 4!H

42


Os dois planos juntos dividem o espaço em 'uatro semiespaços& camados de diedros ,(di+ de dois e (edros+ de planos3 os 'uais são enumerados e organi=ados como mostra a figura 4!4! Cada diedro consiste no espaço e)istente entre dois semiplanos& cuja nomenclatura também está na figura 4!4! A lina de encontro ou interseção do Plano .ori=ontal com o Plano Iertical cama?se Eina de "erra ou& simplesmente& E"!

7onte 7ig! 4!4

9m seguida& -onge posicionou o objeto a ser representado num dos diedros J geralmente sem tocar em nenum dos planos de projeção J e& assim& reali=ou a projeção ortogonal de todos os pontos desse objeto nos planos de Projeção Iertical e .ori=ontal& ver figura 4!5!

7ig! 4!5

A figura 4!5 tra= uma nova nomenclatura para os planos de projeção e para as distGncias entre o objeto e os planos de projeção& as 'uais também serão adotadas ao longo dessa apostila ,/3 o plano de projeção ori=ontal será camado de p!ano 0& e o plano de projeção vertical será camado de p!ano 0+& ,3 já a distGncia entre 'ual'uer ponto do objeto e o plano K /& é camada de cota& e a distGncia entre o objeto e o plano K& é camada de afastamento! A figura também mostra 'ue a cota fica registrada no plano de projeção vertical e 'ue o afastamento fica registrado no plano de projeção ori=ontal!

"omando como e)emplo a face frontal do objeto contido na figura 4!5& 'ue é perpendicular ao plano de projeção ori=ontal é possível perceber ,/3 'ue as arestas AL e %C t8m projeç>es em forma de segmento de reta no plano K /& ,3 'ue a aresta A% foi redu=ida a um ponto também no 41


plano K/& ,H3 'ue o mesmo ocorreu para a aresta LC! :esumindo& todos os pontos contidos nessa face foram projetados no plano K / sobre o mesmo segmento de reta& ou seja& por ter arestas paralelas ou perpendiculares * K/& tal face aparece redu=ida a um segmento de reta 'uando projetada! Analisando a mesma face& agora em relação ao plano K & é possível afirmar ,/3 'ue ela é paralela a tal plano de projeção& ,3 'ue todas as arestas foram projetadas de forma 'ue foram mantidas suas medidas lineares& ,H3 'ue os Gngulos entre as arestas ao serem projetados também mantiveram suas grande=as e 'ue& portanto& tal face foi projetada em I$! As outras faces do objeto também são projetadas de modo 'ue todo o objeto seja representado nos planos de projeção! o e)emplo acima o objeto tem forma de cai)a& porém a Perspectiva Cilíndrica Ortográfica pode representar 'ual'uer objeto& desde um parafuso até um arrana?céu! %ando continuidade ao raciocínio gráfico de -onge& cujo objetivo era obter a representação do objeto& 'ue é tridimensional& em duas dimens>es& foi necessário fa=er o plano ori=ontal girar de modo 'ue ele coincidisse com o plano vertical! Com essa operação& -onge criou o 'ue ele camou de Dpura& definindo?a como sendo a representação de um objeto por suas projeç>es! a épura é possível visuali=ar as tr8s dimens>es do objeto& utili=ando?se apenas duas dimens>es como mostra a figura 4!2!

7ig! 4!2

4%1% O2serador3 O2.eto e P!anos de Pro.e(ão Como já foi dito& um objeto terá suas projeç>es ori=ontais e verticais& independente do diedro no 'ual está locali=ado! o primeiro capítulo dessa apostila& foram estudados os elementos 'ue comp>em um sistema de projeção! Abai)o estão relacionados os principais elementos de um sistema de projeção /3 O2serador como se trata de um sistema cilíndrico o observador está no infinitoB 3 O2.eto pode ser um objeto com 'uais'uer dimens>es! D possível representar um objeto e)istente ou mesmo um objeto 'ue está no plano das ideiasB 4<


H3 P!anos de pro.e(ão os principais planos de projeção são o Iertical e o .ori=ontal& no entanto& mais adiante veremos 'ue podemos utili=ar outros planos para obter mais vistas do objeto! "ais elementos ad'uirem diferentes posiç>es um em relação ao outro& considerando cada diedro& mas e)iste um princípio básico 'ue é respeitado em todas as projeç>es o objeto sempre deve estar entre o observador e o plano de projeção! 4%1%&% Primeiro e Terceiro Diedros o primeiro diedro& a face frontal do objeto& projeta?se no plano vertical superior e a face superior projeta?se no plano ori=ontal anterior& como mostra a figura 4!1! %essa maneira& a ordem dos elementos da projeção é a seguinte OLM9:IA%O:  OLN9"O  PEAO %9 P:ON9O! Outra conse'u8ncia do posicionamento do objeto no primeiro diedro é 'ue cotas e afastamentos são positivos! D por essa ra=ão 'ue a maioria das representaç>es se fa= locali=ando?se o objeto no primeiro diedro! 9m épura tem?se a face frontal representada acima da lina de terra e a face superior representada abai)o da mesma lina& resultando no 'ue mostra a figura 4!
7onte ttp6664!faac!unesp!brpes'uisa Qpergeomonge!tm 7ig! 4!1

7onte ttp6664!faac!unesp!brpes'uisa Qpergeomonge!tm 7ig! 4!0

7onte ttp6664!faac!unesp!brpes'uisa Qpergeomonge!tm 7ig! 4!<

7onte ttp6664!faac!unesp!brpes'uisa Qpergeomonge!tm 7ig! 4!/R

40


Suando o objeto é locali=ado no terceiro diedro& como mostrado pela figura 4!0& ele passa a não

mais estar entre o observador e o plano de projeção! A ordem dos elementos da projeção passa a ser a seguinte OLM9:IA%O:  PEAO %9 P:ON9O  OLN9"O! 9ssa mudança fa= com 'ue a face frontal do objeto& seja projetada no plano vertical inferior e a face superior é projetada no plano ori=ontal posterior! Suando se fa= o rebatimento do plano ori=ontal sobre o vertical para obter a épura teremos J agora diferente do 'ue ocorre no primeiro diedro J a face frontal abai)o e a face superior acima da Eina de "erra! 4%1%+% )e#$ndo e $arto Diedros o %eseno "écnico& o segundo e o 'uarto diedros não são utili=ados para posicionar objetos por'ue 'uando ocorre a rotação do plano ori=ontal sobre o plano vertical para obter a épura& as projeç>es ficam sobrepostas& o 'ue dificulta o entendimento da representação do objeto! Observe as figuras abai)o!

7onte ttp6664!faac!unesp!brpes'uisa Qpergeomonge!tm 7ig! 4!//

7onte ttp6664!faac!unesp!brpes'uisa Qpergeomonge!tm 7ig! 4!/H

7onte ttp6664!faac!unesp!brpes'uisa Qpergeomonge!tm 7ig! 4!/

7onte ttp6664!faac!unesp!brpes'uisa Qpergeomonge!tm 7ig! 4!/4

4%1%1% )istemas A!emão e Americano A organi=ação da apresentação das vistas apresentada estudada no item anterior é resultado do diedro escolido para posicionar o objeto! o caso da organi=ação tra=ida na figura 4!& o objeto 5R


está posicionado no primeiro diedro& ou seja& a ordem dos elementos da projeção é a seguinte OLM9:IA%O:  OLN9"O  PEAO %9 P:ON9O ,ver itens 4!H!/ e 4!H!3! Suando isso acontece di=? se 'ue o sistema de apresentação das vistas adotado foi o Mistema Alemão ou 9uropeu! 9sse sistema difere do Mistema Americano e)atamente no 'ue di= respeito ao diedro escolido para posicionar o objeto! o Mistema Americano o objeto fica no terceiro diedro! %essa forma& a ordem dos elementos da projeção é OLM9:IA%O:  PEAO %9 P:ON9O  OLN9"O! "al fato resulta numa apresentação diferente para as vistas mongeanas& a 'ual está ilustrada na figura 4!4! D possível perceber 'ue a vista ,E%3 está * direita da vista ,73& a ,E93 está * es'uerda& a vista ,M3 está acima da ,73 e a vista ,;3 está abai)o da vista ,73!

7ig! 4!4

o Lrasil& a Associação Lrasileira de ormas "écnicas ,AL"3& 'ue regula todo tipo de padroni=ação não s# para a área da $eometria e do %eseno "écnico& como também para outras as áreas do conecimento& adota o Mistema Alemão& também camado de Mistema 9uropeu! o entanto& ela admite a utili=ação do Mistema Americano em determinadas áreas do conecimento! O Mistema Alemão tem maior abrang8ncia se comparado ao Mistema Americano de apresentação das vistas! A representação do objeto no terceiro diedro é mais rara& sendo utili=ada& sobretudo& na ;nglaterra e nos 9stados Tnidos!

4%4% As )eis 5istas Tma Unica projeção ortogonal de um objeto não é suficiente para entender o objeto por completo! Comparando as figuras 4!/5 e 4!/2& se percebe 'ue os objetos são diferentes& a primeira figura mostra um cubo& já a segunda um prisma! o entanto& as projeç>es das faces frontais das peças& ou seja& as projeç>es verticais são iguais!

7ig! 4!/5

7ig! 4!/2

Caso somente a projeção vertical desses objetos estivesse disponível se teria somente as dimens>es de altura e largura! %essa maneira& não seria possível identificar a dimensão do comprimento! Conse'uentemente& não se teria o entendimento correto das peças! a medida em 5/


'ue outras faces da peça são projetadas é possível visuali=ar outras dimens>es do objeto! As figuras 4!/1 e 4!/< tra=em a projeção da face superior das peças& o 'ue por conse'u8ncia fa=em as dimens>es de largura e de comprimento serem mostradas!

7ig! 4!/1

7ig! 4!/<

Com as projeç>es das faces frontal e superior dos objetos se teriam visuali=adas as tr8s dimens>es da peça ,largura& altura na face fronta! e largura e comprimento na face s$perior3! %essa maneira& muitas peças já podem ser definidas& como é o caso das peças das figuras 4!/1 e 4!/es& a frontal e a superior& são camadas de projeç>es básicas do Mistema -ongeano! 9ntretanto& muitas ve=es as duas projeç>es básicas não são suficientes para o entendimento de alguns objetos! Mendo necessárias outras projeç>es! A figura 4!/0& mostra épuras de um mesmo objeto e os desenos isométricos das possíveis interpretaç>es dessas épuras! a primeira lina da figura abai)o se percebe 'ue apenas uma das vistas é conecida! esse caso& são possíveis pelo menos tr8s interpretaç>es do objeto& como mostram as figuras da lina /& colunas A& L e C! "odas essas figuras podem ser a figura dada na épura /! Suando são fornecidas duas vistas& épura & a figura da coluna C é descartada& pois se v8 'ue a vista superior não é compatível com a vista superior de um cilindro! -esmo assim& ainda se tem duas possibilidades& os objetos das colunas A e da coluna L! Para 'ue se possa ter certe=a de 'ue objeto se trata& mais uma vista tem 'ue ser dada! "em? se& então& a épura H& 'ue tra= as vistas ,73& ,M3 e ,E%3! Com tais informaç>es é possível afirmar 'ue o objeto tratado é o 'ue está representado na coluna L!

5


6p$ras

A

7

C

&

+

1

7ig! 4!/0

Para reali=ar a projeção de todas as seis possíveis faces do ortoedro de refer8ncia 'ue envolve um objeto no espaço& se fa= uso de outra técnica 'ue é a da caixa ima#inária de pro.e(ão! %iferente do já conecido ortoedro de refer8ncia& a cai)a imaginária de projeção não fica totalmente ajustada ou (colada+ ao objeto& de forma 'ue seja o menor ortoedro 'ue envolva todas as faces do objeto! Pelo contrário& o objeto é posicionado no interior da cai)a imaginária de projeção de maneira 'ue aja certo afastamento entre suas faces e as faces da cai)a como aparece na figura 4!R! Ap#s o posicionamento do objeto dentro da cai)a imaginária de projeção se procede com a representação de cada uma das faces do objeto em cada uma das faces da cai)a& ou seja& as faces da cai)a imaginária de projeção funcionam como planos de projeção& e duas a duas funcionam como diedros& observar a figura 4!R!

5H


7onte %TA:"9& RR
Ap#s as projeç>es& a cai)a imaginária de projeção é aberta& como mostra a figura 4!/! 9sse movimento é o mesmo 'ue $aspard -onge fe= ao fa=er o plano ori=ontal coincidir com o plano vertical& para assim criar a épura mongeana! o caso da figura analisada& ap#s a abertura da cai)a& todos os planos envolvidos coincidiram com o plano vertical e& assim& tem?se as vistas mongeana de todas as faces do objeto& ver figura 4!! D possível perceber 'ue as vistas ficam organi=adas segundo certa ordem& como mostra a figura 4!! 9sta ordem não é aleat#ria& ela é o resultado do processo de obtenção das vistas como foi visto nas figuras 4!R& 4!/ e 4!! 9ssa organi=ação também dei)a clara uma característica das vistas mongeanas& a re!a(ão pro.etia entre as faces& a 'ual se dá por meio das linas de camada& como mostra a figura 4!H! A relação projetiva possibilita 'ue as informaç>es dimensionais de uma face au)iliem a construção de outras! D e)atamente essa relação 'ue possibilita 'ue operaç>es gráficas sejam reali=adas na épura& isso por'ue elas registram as medidas lineares e angulares do objeto& bem como das distGncias entre as arestas e os planos de projeção!

7ig! 4!H

54


A vista 7:O"AE ,73 é considerada a principal vista da peça! D nela 'ue& geralmente& ficam as informaç>es mais importantes! "al vista representa a projeção obtida no plano vertical de projeção! A figura 4! mostra 'ue a esta face fica locali=ada apro)imadamente no centro da épura! 9sses dois fatores& juntamente com a relação projetiva e)istente entre as faces& fa=em com 'ue ela seja refer8ncia para a construção ou locali=ação das outras! A vista MTP9:;O: ,M3 se locali=a abai)o da vista frontal e a vista ;79:;O: ,;3& se locali=a acima! Meguindo o mesmo raciocínio a vista EA"9:AE %;:9;"A ,E%3 fica * es'uerda da vista frontal e a vista EA"9:AE 9MST9:%A ,E93 fica * direita da vista frontal! A vista POM"9:;O: ,P3 pode ficar ao lado das vistas laterais ou acima da vista inferior ou ainda abai)o da vista superior! o e)emplo dado na figura 4!& a vista posterior está locali=ada ao lado da vista lateral es'uerda!

4%8% Os Eixos Coordenados D interessante perceber 'ue a interpretação ou leitura das informaç>es tra=idas pelo Mistema -ongeano e)ige um pouco mais de abstração e de conecimento gráfico& uma ve= 'ue diferentemente do %eseno ;sométrico ou da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira& as informaç>es sobre as dimens>es do objeto v8m separadas! Cada vista tra= duas das tr8s dimens>es do objeto! A vista 7:O"AE& por e)emplo& tra= as medidas de largura ,)3 e de altura ,=3& já a vista MTP9:;O: tra= as medidas de largura ,)3 e profundidade ,Q3! %a mesma maneira acontece com as outras vistas& ou seja& cada uma dela mostra apenas uma combinação de duas dimens>es As vistas laterais mostram profundidades ,Q3 e alturas ,=3B As vistas superior e inferior mostram profundidade ,Q3 e largura ,)3B As vistas frontal e posterior mostram largura ,)3 e altura ,=3! • • •

A figura 4!5 tra= ilustrados os ei)os coordenados com todas as combinaç>es de dimens>es por face! Para visuali=ar uma peça representada no Mistema -ongeano é preciso estabelecer um diá!o#o entre todas as vistas mostradas! Momente assim& é possível ter uma ideia da totalidade da peça!

7ig! 4!5

55


4%9% 5is$a!i,a(ão das 5istas *on#eanas e da Pe(a

*UDA:;A DE PLA:O 7ig! 4!2

A figura 4!2 mostra a representação de duas superfícies distintas& identificadas pelos nUmeros / e ! ela é possível concluir 'ue são duas superfícies devido * presença da reta destacada! "al reta representa uma mudança de plano& a 'ual pode ser /! uma reta de interseção entre as superfícies / e & ouB ! uma terceira superfície perpendicular * superfície / e * ! 9ssas duas possibilidades geram uma série de possíveis interpretaç>es para a peça& como mostra figura 4!1! O fato é 'ue a e)ist8ncia da lina na vista significa 'ue á uma mudança de plano na peça!

7ig! 4!1

Para saber se a peça tra= uma interseção entre superfícies ou uma terceira superfície é necessário 'ue mais vistas sejam fornecidas& como foi discutido no item 4!4 dessa Apostila! %essa forma& é possível fa=er uma associação entre as vistas& bem como utili=ar a relação projetiva e)istente entre elas& para definir a volumetria da peça!

A figura 4!< tra= a segunda vista a ser fornecida& nela estão indicadas por setas as superfícies / e & 'ue estão redu=idas a uma reta! Com essa vista já se tem mais informaç>es sobre a peça! Mabe? se& por e)emplo& 'ue não á superfícies curvas& o 'ue descartaria algumas das possíveis interpretaç>es da peça presentes na figura 4!1! Ná a figura 4!0 tra= as duas vistas associadas& tal fato facilita a interpretação das informaç>es& inclusive por'ue pelo pr#prio posicionamento das vistas já é possível afirmar 'ue a vista da figura 4!2 é a vista ,73& en'uanto 'ue a vista da figura 4!< é a vista ,M3 ou ainda 'ue a primeira é a vista ,;3 e a segunda é a vista ,73! O mais comum é 'ue sejam fornecidas as vistas ,73& ,M3& visto 'ue essas são as vistas 'ue mostram as faces com mais detales da peça!

52


3

7ig! 4!<

3

H



/

7ig! 4!HR

7ig! 4!0

A análise feita a seguir parte da interpretação de 'ue a figura 4!0 tra= as vistas ,73 e ,M3! "al figura mostra a superfície nUmero / em vista ,73 e redu=ida a uma reta na vista ,M3! ;sso ocorre por'ue essa superfície está posicionada de modo paralelo ao plano vertical e de modo perpendicular ao plano ori=ontal ,ver figura 4!HR3! O resultado desse posicionamento é 'ue a superfície aparece em I$ na vista ,73 e como uma reta paralela * lina de terra ,E"3 na vista ,M3! A superfície nUmero  aparece do mesmo modo 'ue a primeira superfície analisada& ou seja& em vista na vista ,73 e como uma reta na vista ,M3! o entanto& seu posicionamento em relação aos planos de projeção é diferente! 9la está perpendicular ao plano ori=ontal& mas é oblí'ua ao plano vertical ,ver fig! 4!HR3! D por essa ra=ão 'ue ela aparece inclinada em relação * E" na vista ,M3! o caso da superfície nUmero H& é possível afirmar 'ue ela está posicionada de maneira semelante * superfície /& porém nas vistas contrárias& ou seja& ela é paralela ao plano ori=ontal e perpendicular ao plano vertical ,ver fig! 4!HR3! A interpretação de vistas mongeanas ocorre dessa maneira& ou seja& por meio da análise das superfícies da peça em relação aos planos de projeção e da relação 'ue elas estabelecem entre si! Parece mais complicado do 'ue é na realidade! O treino da visuali=ação das vistas mongeanas e da interpretação das peças ocorre através da resolução dos e)ercícios! Ap#s a resolução de um bom nUmero deles& a análise acima se torna automática!

4%<% A Esco!/a das 5istas Suando utili=amos o Mistema -ongeano para representar um objeto& muitas ve=es não precisamos desenar as seis vistas! O deseno de tr8s vistas& usualmente as vistas ,73& ,M3 e uma das laterais& é suficiente para o entendimento de um objeto! ;sso por'ue nessas tr8s vistas podemos ver a combinação dos tr8s ei)os coordenados& dois a dois! o entanto& a escola dessas tr8s vistas é muito importante& pois elas devem mostrar o má)imo de detales e)istentes no objeto! Me a escola 51


das faces a serem mostradas não for eficiente& pode aver tanto a dUvida 'uanto * volumetria da peça ou mesmo a interpretação incorreta da mesma! Iejamos o e)emplo abai)o dadas as duas vistas mongeanas da figura 4!H/ á várias possibilidades de interpretação do objeto& como mostram as figuras 4!H e 4!HH! Me forem fornecidas somente tais vistas& não será possível definir 'ual a volumetria do objeto! %essa maneira& deve?se sempre procurar representar as vistas do objeto 'ue mais claramente caracteri=em?no! %e forma 'ue não dei)e margens para dUvidas na interpretação!

7ig! 4!HH 7ig! 4!H 7ig! 4!H/

Como já foi mencionado nessa Apostila& geralmente são desenadas tr8s vistas de uma peça& porém& á situaç>es em 'ue a interpretação continua indefinida& como mostram as figuras 4!H4 e 4!H5!

7ig! 4!H4 7ig! 4!H5

o caso das figuras acima& ter representado as vistas E% e E9 não ajudou a interpretação da volumetria da peça por'ue ambas são e'uivalentes& ou seja& não mostram nada diferente uma da outra! Para resolver tal situação seria necessário representar outro conjunto de vistas!

4%=% Desen/ando as Primeiras Pe(as em *on#eano O primeiro passo para desenar é conecer a convenção utili=ada no Mistema -ongeano! Eeia atentamente o 'uadro abai)o com os tipos mais usados de linas& suas representaç>es e suas funç>es no deseno técnico

5<


T'PO DE L':>A Cont"n$a Grossa

?EP?E)E:TA;@O

Cont"n$a Fina

Trace.ada Grossa

FU:;@O contornos visíveis e arestas visíveis linas de interseção imaginárias& linas de cotas& linas de construção& linas de camada& acuras e linas de centro contornos não visíveis e arestas não visíveis

7ig! 4!H2

9m seguida& é necessário identificar as medidas dos segmentos da peça nas direç>es das arestas do ortoedro de refer8ncia utili=ando os conecimentos já ad'uiridos sobre perspectiva cilíndrica cavaleira e deseno isométrico& como sugere a figura 4!H1! %ando continuidade * representação da peça& são desenadas as Einas de "erra ,E"3& as 'uais são representadas por duas linas ortogonais entre si! As E"s criam 'uadrantes dentro dos 'uais as vistas serão organi=adas& como aparece na figura 4!H
7ig! 4!H1

7ig! 4!H<

O pr#)imo procedimento consiste na escola das vistas 'ue serão projetadas! 9m geral& são desenadas no Mistema -ongeano as mesmas faces 'ue aparecem na Perspectiva Cilíndrica Cavaleira ou no %eseno ;sométrico& uma ve= 'ue se tem informaç>es sobre elas& ou seja& não é preciso presumir informaç>es! o entanto& essa prática não é regra! D possível ter 'ue projetar faces 'ue não estão sendo vistas! o e)emplo mostrado as vistas escolidas foram ,73& ,M3 e ,E%3& justamente as 'ue aparecem no deseno isométrico dado& ver figura 4!H0! a se'u8ncia& as vistas são organi=adas nos 'uadrantes formados pelas E"s& de acordo com a ordem mostrada na figura 4!& ver resultado da organi=ação das vistas na figura 4!4R!

, 7:O"AE

EA"9:AE %;:9;"A

x

7ig! 4!H0

7ig! 4!4R

MTP9:;O: 

50


Procede?se então para o deseno das vistas mongeanas da peça& dei)ando um espaço entre as vistas e as E"s! 9sse espaço deve ter& de prefer8ncia& entre R&5 e / cm! Tma ve= escolida& essa distGncia terá 'ue se respeitada no deseno das outras vistas& tal fato mantém a relação projetiva entre as vistas! D possível começar o deseno por 'ual'uer uma das vistas& no e)emplo da figura 4!4/& o deseno começa pela vista ,73! %e acordo com 'ue já foi estudado& a vista ,73 como 'ual'uer outra vista& mostra duas das tr8s coordenadas a coordenada ) ,largura3 e coordenada = ,altura3! O ponto A da figura possui& então& as seguintes coordenadas V)B =W X V /B /W! 9m todas as outras vistas o ponto A deve aparecer com as mesmas coordenadas!

7ig! 4!4/ 7ig! 4!4

a figura 4!4& 'ue tra= também a vista ,M3& é possível observar mais uma coordenada do ponto A& a coordenadas de Q& 'ue é V5W! %essa forma& as tr8s coordenadas são disponibili=adas& são elas V )B QB =W X V /B 5B /W! Com essa informação e a relação projetiva entre as faces& dada pelas linas de camada& é possível construir 'ual'uer uma das outras vistas! A figura 4!4H mostra o ponto A sendo (transportado+ pelas linas de camada para o 'uadrante onde será construída a vista ,E%3! As linas de camada são linas de apoio& desenadas com traço contínuo fino& 'ue 'uando traçadas  verticalmente& transportam medidas de largura ,)3B  ori=ontalmente transportam medidas de altura ,=3B  com o compasso ou o es'uadro de 45Y transportam medidas de profundidade ,Q3!

2R

UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 4 – Perspectia Ci!"ndrica Orto#ráfica 7ig! 4!4H

D importante observar 'ue  as medidas de profundidade são transportadas primeiro até o ei)o Q e s# então são levadas com o compasso ou com o es'uadro de 45Y para o ei)o ) ,'ue representa o rebatimento do ei)o Q na épura3! Me as medidas de profundidades forem transportadas com o compasso& a ponta seca deve ser centrada na origem& dos ei)os coordenadosB  as linas tracejadas são utili=adas para representar e)istentes& porém não visíveisB  as linas de camada são traços contínuos finosB  'ue as linas de terra e as arestas de peça devem ser traços contínuos grossos!

4%B% Os )!idos 7ásicos prismas3 pirmides3 ci!indros3 cones e esferas essa disciplina& o aluno terá 'ue redesenar figuras 'ue são fornecidas ora em perspectiva cilíndrica cavaleira& ora em deseno isométrico& no Mistema -ongeano! Ou& ainda& reali=ar o camino inverso& ou seja& redesenar figuras 'ue são dadas em vistas mongeanas& em perspectiva cilíndrica cavaleira ou deseno isométrico! Para iniciar o deseno de um s#lido seja 'ual for o sistema escolido é preciso reconecer suas propriedades geométricas! Além disso& é necessário 'ue a figura dada seja compreendida& para isso é crucial reconecer o tipo de representação em 'ue a figura foi elaborada& ou seja& se a peça dada está representada em perspectiva cavaleira ou em deseno isométrico! Como cada um desses sistemas possui regras pr#prias de representação& já estudadas nos capítulos anteriores dessa Apostila& é possível e)trair do deseno& com precisão& as grande=as lineares e angulares necessárias para a construção da peça no sistema pedido! 4%B%&% Prisma Para desenar prismas& é preciso saber 'ue eles são s#lidos geométricos delimitados por faces planas& 'ue suas bases pertencem a planos paralelos entre si e 'ue suas faces laterais serão 'uadriláteros! %ado o objeto da figura 4!44& o primeiro procedimento é reconecer em 'ue sistema de representação ele foi desenado! %essa forma é possível e)trair as informaç>es& especialmente com relação *s medidas de largura& comprimento e altura! o caso da figura& o objeto está desenado em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira e possui Z X R&5& isso significa 'ue 'uando a peça for desenada em %eseno ;sométrico ou em -ongeano& as medidas relativas ao ei)o Q serão aumentadas& uma ve= 'ue nesses sistemas de representação o [ sempre é igual a /! 7eito isso é necessário identificar as faces 'ue estão sendo mostradas& no caso do e)emplo são as ,73& ,M3 e ,E%3& como mostra a figura 4!44!

2/


, EA"9:AE %;:9;"A

7:O"AE x

MTP9:;O:

  H38  7ig! 4!44

7ig! 4!45

9m seguida& as vistas já identificadas& são organi=adas nos 'uadrantes resultantes do encontro das Einas de "erra& ver figura 4!45! D importante lembrar 'ue é preciso definir a distGncia do objeto até os planos de projeção& bem como 'ue essa distGncia deve ser respeitada em todos os 'uadrantes! A épura do objeto é iniciada com a representação da vista ,73& a 'ual guarda as medidas de largura e altura& e)traídas a figura dada em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira& ver figura 4!42!

7ig! 4!42

O pr#)imo procedimento consiste na representação da vista ,M3 através do traçado das linas de camada ,no sentido vertical3& o 'ue mais parece o prolongamento das arestas 'ue representam as alturas& como pode ser visto na figura 4!41! 9m seguida& as medidas de comprimento& e)traídas da Cavaleira são introdu=idas na épura no 'uadrante da vista ,M3& como aparece na figura 4!4
2


7ig! 4!41

7ig! 4!4<

7ig! 4!40

Com o compasso& ou com o es'uadro de 45Y& transportam?se as medidas de comprimento da vista ,M3 até o 'uadrante da vista ,E%3! O compasso deve ser centrado na origem dos ei)os coordenados e devem partir de um ei)o e cegar até o outro ei)o como mostra a figura 4!40! 9m seguida& as linas de camada são levantadas a partir do ei)o para cru=arem?se com as linas 'ue partiram da vista ,73! %essa forma& a vista ,E%3 é definida& ver resultado final da épura na figura 4!40!

4%B%+% Pirmides PirGmide é um s#lido geométrico delimitado por faces planas& sendo sua base um polígono 'ual'uer e suas faces laterais triGngulos 'ue possuem um ponto em comum camado de vértice!

7ig! 4!5R

%ada a pirGmide da figura 4!5R& os primeiros procedimentos para sua representação em -ongeano é& como foi dito para Prismas& a identificação do sistema em 'ue a figura dada foi desenada& e depois sua compreensão! o caso do e)emplo& a figura foi desenada em Perspectiva Cavaleira!

Tm recurso 'ue au)ilia o entendimento de uma peça é& como foi discutido no primeiro capítulo da apostila& o uso da técnica do ortoedro de refer8ncia& ver figura 4!5R! 9m ra=ão do deseno do ortoedro é possível afirmar 'ue trata?se de uma pirGmide de base 'uadrangular reta& ou seja& todas as faces são iguais e o vértice se projeta no centro da base! O traçado em épura da pirGmide em estudo teve início com vista ,M3& 'ue guarda as medidas de largura e de profundidade! O pr#)imo procedimento é o deseno da vista ,73! Para isso estendemos as linas de camada no sentido vertical& incluindo a lina de camada 'ue contém as 2H


informaç>es sobre o vértice! 9m seguida& são traçadas linas de construção& com as medidas de altura& tra=idas da Perspectiva Cavaleira& ver figura 4!5/! a figura 4!5 é possível verificar 'ue conecendo a locali=ação do vértice& facilmente são traçadas as duas arestas 'ue representam as duas faces laterais da pirGmide& e por conse'u8ncia& a face frontal é definida! As linas de construção e de camada podem ser dei)adas no deseno& porém devem ser diferenciadas das arestas definitivas por meio da espessura do traço!

7ig! 4!5/

7ig! 4!5

Para desenar a vista ,E%3& procede?se como foi e)plicado para os prismas& ou seja& as medidas de altura e de comprimento são transportadas para o 'uadrante em 'ue a vista será desenada por meio das linas de camada! Ao se cru=arem& elas criam uma mala com linas e pontos& 'ue definem tanto as arestas definitivas 'uanto as não visíveis da peça! D importante perceber 'ue os pontos sempre estarão sobre a mesma lina de camada! ;sso ocorre devido * e)ist8ncia da relação projetiva entre as faces& estabelecida pelas linas de camada!

7ig! 4!5H

O ponto 'ue define o vértice da pirGmide& por e)emplo& (percorre+ todos os 'uadrantes& ou seja& está em todas as vistas& sempre sobre a mesma lina de camada& ver figura 4!5H!

4%B%1% Ci!indros Como já foi discutido no item !2 dessa Apostila& o cilindro é um s#lido 'ue& de acordo com uma de suas leis de geração& possui um ei)o& uma diretri= e várias geratri=es! As geratri=es são retas paralelas entre si e todas são paralelas a um ei)o& cuja visuali=ação e entendimento são imprescindíveis para a representação desses s#lidos em épura! 24


A representação de cilindros em vistas mongeanas ocorre como a representação de 'ual'uer s#lido geométrico estudado até o momento! Primeiramente& á a identificação das propriedades geométricas do objeto na figura dada! 9ssa etapa acontece com a identificação do sistema de representação utili=ado na figura dada! %epois& se dá a compreensão da volumetria da peça& essa etapa é feita& usualmente& por meio do deseno do ortoedro de refer8ncia na peça dada! 9m seguida& são identificadas as faces 'ue irão ser mostradas no deseno& assim& é feita a organi=ação da locali=ação dessas faces na épura! o caso da figura 4!54 estão sendo mostradas as faces ,73& ,M3 e ,E%3! Por uma escola didática as vistas a serem representadas em -ongeano serão as mesmas! A figura 4!54 mostra uma Perspectiva Cilíndrica Cavaleira do cilindro 'ue será desenado em -ongeano! essa figura& o cilindro está envolvido pelo ortoedro de refer8ncia e 'uatro das suas geratri=es foram destacadas! As geratri=es em desta'ue são as camadas Geratri,es de Limite de 5isi2i!idade ,$EIs3! As $EIs são retas 'ue estão presentes em 'ual'uer representação de s#lidos 'ue possuem superfícies curvas! ;sso por'ue superfícies dessa nature=a não possuem arestas! Portanto& as $EIs servem para marcar os limites de visibilidade do observador! "ais limites variam de acordo com a vista mongeana elaborada! 7ig! 4!54

Suando um cilindro é representado em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira& como é o caso da figura 4!54& sua superfície curva aparece na forma de dois traços verticais& indicados na figura como g5 e g2! 9sses dois traços são as $EIs da Perspectiva Cavaleira! "ais geratri=es sempre tangenciam as circunfer8ncias das faces planas do cilindro! Suando esse mesmo cilindro é representado em %eseno ;sométrico& o deseno mostra outro par de $EIs! O mesmo ocorre na representação do cilindro em vistas mongeanas! Suando se trata da vista ,73 um par de $EIs aparece& o par g/ e g& comparar as figuras 4!55 e 4!54! Ná na vista ,E%3& o par mostrado é o gH e g4!

25


7ig! 4!55

Como também já foi colocado& a representação no Mistema -ongeano pode começar a ser elaborada por 'ual'uer uma das vistas! a figura 4!55& a vista ,M3& 'ue possui a forma de uma circunfer8ncia& foi a primeira a ser elaborada! Para isso foi definida uma medida de afastamento do s#lido para os planos de projeção e desenado um 'uadrilátero 'ue representa a vista ,M3 do ortoedro de refer8ncia! 9m seu interior desena?se uma circunfer8ncia circunscrita 'ue já é a vista ,M3 do cilindro! A vista ,73 é composta por duas faces planas e por uma face curva! As faces planas aparecem redu=idas a retas no topo e na base da vista! A construção dessa face e)ige uma análise sobre como construir faces com essa nature=a& pois elas não possuem arestas de onde partiriam linas de camada!

Para desenar as duas faces planas do cilindro& deve?se marcar a medida da altura desse objeto& a 'ual é tra=ida da Perspectiva Cavaleira e marcadas na vista ,73 por meio de linas de camada paralelas ao ei)o )& respeitando?se a medida de afastamento para os planos de projeção& como mostra a figura 4!55! Ná para desenar a face curva& o 'ue deve ser observado é a e)tensão de visibilidade do observador& a 'ual compreende o arco /4& da figura 4!55& ou seja& a face curva do cilindro é vista pelo observador somente do ponto / até o ponto & o arco /H fica não visível para o observador! Portanto& as linas de camada 'ue partem dos pontos / e & e sobem na direção do 'uadrante da vista ,73& marcam os limites laterais do s#lido& sendo portanto& 'uando escurecidas& as $EIs! 9ssas retas representam os limites da e)tensão da face curva 'uando visuali=ada pelo observador na vista ,73! A figura 4!52 tra= a vista ,E%3& cuja construção obedece a mesma l#gica utili=ada para na construção da vista ,73& ou seja& a utili=ação das $EIs como limites da e)tensão da visuali=ação do s#lido& s# 'ue nesse caso& as linas de camada partem dos pontos H e 4& por'ue é o arco 4/H 'ue está sendo visto pelo observador!

7ig! 4!52

22


4%B%4% Cones Cones& assim como cilindros& possuem superfícies de diferentes nature=as& uma é plana e outra 'ue é curva! Conse'uentemente& os procedimentos para a representação de cones no Mistema -ongeano se assemelam aos procedimentos da representação do cilindro nesse sistema& estudados no item acima! o entanto& os cones possuem um elemento 'ue os cilindros não possuem& o vértice! 7ig! 4!51

"al ente geométrico é o ponto de converg8ncia de todas as geratri=es do cone& inclusive das $EIs& como pode ser observado na figura 4!51! Mua locali=ação é muito importante na determinação das vistas mongeanas desse s#lido! o caso da figura 4!51 estão sendo mostradas as faces ,73& ,M3 e ,E%3! Por uma escola didática& as vistas a serem representadas em -ongeano serão as mesmas! 9m seguida& é feita a organi=ação da locali=ação dessas faces na épura! A representação de um cone segue a mesma l#gica da representação de 'ual'uer s#lido geométrico! Primeiramente& á a identificação das propriedades geométricas do objeto na figura dada! 9ssa etapa acontece com a identificação do sistema de representação utili=ado! %epois& se dá a compreensão da volumetria da peça& essa etapa é feita& usualmente& por meio do deseno do ortoedro de refer8ncia na peça dada& ver figura 4!51! o caso do e)emplo tratado nesse item& a representação em -ongeano vai ter início com a vista ,M3& pois a representação dessa vista consiste somente na construção de uma circunfer8ncia ,circunscrita por um 'uadrado 'ue é a vista superior do ortoedro de refer8ncia3 e na locali=ação do vértice do cone no centro dela& como mostra a figura 4!5
21


7ig! 4!5<

7ig! 4!50

%esses pontos partem as linas de camada 'ue (sobem+ na direção do 'uadrante da vista ,73! Suando& nesse 'uadrante& á o cru=amento entre as linas de camada e a lina ori=ontal 'ue marca o afastamento do plano até o s#lido& são encontrados os pontos / e ! %esses dois pontos partem as duas $EIs& 'ue no caso do cone concorrem no vértice! As duas $EIs marcam a e)tensão da visibilidade do observador 'ue no caso da figura 4!50 vai compreender tudo 'ue é visto no arco / ! A altura onde o vértice fica na vista ,73 é tra=ida da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira e posta na vista ,73 sobre a lina de camada 'ue parte da projeção do vértice na vista ,M3! A figura 4!2R tra= a construção da vista ,E%3! A representação dessa vista é o resultado do cru=amento das linas de camada 'ue partem da vista ,M3& com as linas de camada 'ue partem da vista ,73! D possível observar 'ue na vista ,E%3 aparecem as $EIs 'ue partem dos pontos H e 4 presentes na vista ,M3!

7ig! 4!2R

2<


4%B%8% Esferas

A esfera é um s#lido geométrico 'ue possui uma característica marcante em relação aos outros s#lidos& uma Unica superfície curva! Conse'uentemente& a esfera s# possui geratri=es curvas e são de dois tipos meridianos ou paralelos& como aparece na figura 4!2/! "endo a esfera uma superfície curva não á arestas ou vértices! ttp666!mat!uel!brgeometricappgd\tgd\/5t!pp 7ig! 4!2/

A representação da esfera é feita usualmente em Iistas -ongeanas e em ;sometria& ou ainda em %eseno ;sométrico! ão é usual representar a esfera em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira por'ue a esfera fica tão deformada 'ue dei)a de parecer uma esfera! Conforme vimos no capítulo H& na ;sometria ,e)ata3 as medidas paralelas aos ei)os coordenados sofrem uma deformação natural de R&
7ig! 4!2

7ig! 4!2H

a prática& para desenar a esfera em %eseno ;sométrico utili=amos o Ortoedro de ?efer-ncia desen/ado em medidas reais% 9m se'u8ncia& para desenar o contorno aparente da 20


esfera centramos o compasso no vértice central 'ue pertence simultaneamente as vistas frontal& superior e lateral direita! A abertura do compasso será igual ao raio da esfera& mas atenção] O raio real deve ser dividido pelo fator de deformação R&
43H

43H

43H elipse 'ue divide a esfera em meias esferas

7ig! 4!24

Tma curiosidade importante é 'ue 'uando se está trabalando com a meia esfera& é possível construir o ortoedro de refer8ncia& depois a elipse 'ue dividirá a esfera ao meio e para desenar o contorno aparente da esfera podemos simplesmente observar os raios ao invés de calcular! Os raios paralelos aos ei)os coordenados estão em medida real& ou seja& cm& mas o raio no sentido ori=ontal ,'ue não está paralelo a nenum ei)o3 já está desenado com a deformação desejada& como mostra a figura 4!24! Os procedimentos para a representação de esferas em épura são os mesmos procedimentos utili=ados para representar 'ual'uer outro s#lido geométrico! Portanto& primeiramente& á a identificação das propriedades geométricas do objeto na figura dada! 9ssa etapa acontece com a 1R


identificação do sistema de representação utili=ado! %epois& se dá a compreensão da volumetria da peça& essa etapa é feita& usualmente& por meio do deseno do ortoedro de refer8ncia na peça dada& ver figura 4!24! Suando o observador v8 uma esfera& seja na vista ,73& ,M3& ,E%3 ou 'ual'uer outra& a lina 'ue ele en)erga são meridianos& como mostra as figura 4!2/! A representação da esfera no mongeano se assemela de certa forma * representação do cone e do cilindro! ;sso ocorre por'ue no caso da esfera também teremos geratri=es de limite de visibilidade! Ao iniciarmos o deseno pela vista ,M3& por e)emplo& o observador v8 apenas uma circunfer8ncia! A lina da circunfer8ncia é uma das $EIs da esfera& g& um paralelo e'uivalente ao e'uador da terra! %ando continuidade ao deseno& parte?se para a vista ,73& e traça?se duas tangentes * g da vista ,M3! o sentido da largura& é traçada então uma nova $EI& g/& 'ue corresponde * vista ,73 da esfera& composta por dois meridianos! Para finali=ar& procede?se o deseno da vista ,E%3& por meio de linas de camadas tangentes * g da vista ,M3 no sentido da profundidade e linas de camada tangentes * g/ da vista ,73 no sentido da altura! D traçada então uma nova $EI& gH& 'ue corresponde a dois meridianos! Observe atentamente a figura 4!25! Observe 'ue para efeitos didáticos foram indicadas as posiç>es de todas as $EIs em todas as vistas!

7ig! 4!25

7ig! 4!22

Conclui?se assim 'ue as linas de camada são retas tangentes *s $EIs de cada projeção da esfera& ou seja& a circunfer8ncia vista pelo observador em cada vista! D importante destacar também 'ue em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira e %eseno ;sométrico& a lina 'ue representa a esfera é camada de Contorno Aparente da esfera!

1/

UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 5 – erdadeira Grande!a

CAPÍTULO 5 " erdadeira Grande!a 5#$# Defini%&es e Usos Verdadeira Grandeza (VG) são as medidas angulares e lineares reais de uma das arestas ou faces de um objeto - como altura, largura e profundidade. Na rea de con!ecimento das "ngen!arias # imprescind$%el o con!ecimento das medidas reais, ou %erdadeiras grandezas, de um objeto, seja ele um parafuso ou um tel!ado. Geralmente, o uso das %erdadeiras grandezas de um objeto est atrelado ao clculo de reas, e realmente, sem o con!ecimento da real medida do per$metro de uma superf$cie, por e&emplo, # imposs$%el realizar o clculo de sua rea com precisão. No entanto, saber 'ler ou, mais ainda, saber e&trair as %erdadeiras grandezas de um objeto ue est representado no *istema +ongeano # importante não somente no clculo de reas, mas tamb#m em di%ersas ati%idades da prtica profissional da engen!aria, como, por e&emplo, anlise de projetos e pareceres t#cnicos. Nem sempre as caracter$sticas geom#tricas do objeto representado possibilitam a e&traão direta de suas %erdadeiras grandezas, ou seja, algumas %ezes mesmo a representaão de todas as %istas de um objeto não mostram todas as partes deste objeto em VG. ara lidar com situaes dessa natureza, de%e-se dominar o uso de operaes grficas para determinar a VG de superf$cies ou de arestas. "&istem, na Geometria /escriti%a, algumas operaes grficas, as principais são0 +udana de lano1 otaão1 e ebatimento. 





3odas as operaes citadas possuem o mesmo objeti%o, ue # o de determinar a VG de objetos geom#tricos. No entanto, nessa disciplina optou-se por trabal!ar com a operaão da '(dan%a de P)ano para determinar a VG de faces e arestas. "ssa opão foi feita porue essa operaão # a mais %erstil, ou seja, com ela se resol%e ualuer caso de obtenão de VG. 5#$#$# Compreendendo as tr*s posi%&es +ásicas, para)e)a- perpendic()ar e o+)./(a ara compreender o conceito de Verdadeira Grandeza # imprescind$%el con!ecer as tr4s posies bsicas de refer4ncia posicional entre os elementos geom#tricos ue compem um objeto (arestas ou faces) e, principalmente, de refer4ncia posicional entre os elementos desse objeto e os planos de projeão. *ão tr4s as posies bsicas ue um ente geom#trico pode assumir0 paralela, perpendicular e obl$ua. "m outras pala%ras, arestas e faces podem estar paralelas, perpendiculares ou obl$uas entre si ou entre si e os planos de projeão. No cap$tulo 5, onde estudou-se o *istema +ongeano, essas tr4s posies foram trabal!adas, no entanto, o ue ser feito agora # compreender como cada uma dessas posies pode interferir na %isualizaão da VG de arestas e superf$cies.

72


3omando como e&emplo a situaão da casa da figura .8, obser%a-se a superf$cie 9:;/ ue compe a coberta. 9tenão para a aresta 9/ e suas projees nas %istas frontal, superior e nas laterais. Na %ista superior, a aresta 9/ est sendo representada por um segmento de reta. Na %ista frontal, 9/ est representada por um importante ressaltar ue a
;asa esuemtica representada em %istas ortogrficas Aigura .8

76


ortanto, podemos concluir ue dependendo da posião da aresta com relaão aos planos de projeão, podemos ter essa aresta em %erdadeira grandeza (VG), em %ista bsica (V:) ou com dimenses reduzidas. Veja o uadro s$ntese abai&o0 objeto para)e)o ao plano de projeão B objeto em 0erdadeira 4rande!a 1G3 objeto perpendic()ar ao plano de projeão B objeto em 0ista +ásica 123 objeto o+)./(o ao plano de projeão B objeto com dimens&es red(!idas C mesmo racioc$nio utilizado para compreender as posies relati%as de uma aresta com relaão aos planos de projeão de%e ser aplicado para as faces do objeto. ;omo ser %isto no prD&imo item.

5## 6istema 'on4eano e P)ano A(xi)iar 3omando como e&emplo uma situaão na ual # solicitado o clculo da rea da superf$cie da coberta da casa representada em #pura na figura .2, para ue se possa fazer o clculo do uantitati%o de tel!as para cobrir o tel!ado, percebe-se ue nem a %ista superior da casa (projeão no plano !orizontal), nem na %ista frontal (projeão no plano %ertical) as medidas da superf$cie da coberta são as medidas reais.

;asa com #pura Aigura .2

75


Euatro %istas ortogrficas Aigura .6

Na figura .6 # poss$%el notar ue a superf$cie 9:;/ (ue corresponde ? metade da superf$cie da coberta) aparece nas projees, por#m com medidas deformadas. Na %ista superior, e nas duas laterais, a face aparece com suas medidas reduzidas, j na %ista frontal, ela aparece em V:. /essa forma, nen!uma das uatro %istas ortogrficas fornece as medidas reais da face 9:;/. @sso ocorre porue o plano em ue a superf$cie da coberta se apoia # obl$uo tanto ao plano de projeão !orizontal (F8), uanto aos planos %erticais - principal (F2) e au&iliares (F6, F5). ara ue o plano 9:;/ fosse mostrado em VG seria necessrio ue esti%esse representado paralelo a um dos planos mongeanos. No entanto, embora o plano 9:;/ não aparea em VG em nen!uma das projees mongeanas, algumas arestas do plano estão representadas em VG em algumas das %istas. " # e&atamente a noão da união das partes ue estão em VG ue ir nos au&iliar na aplicaão do m#todo da +udana de lano para a e&traão da VG de 9:;/. Cbser%e ue na %ista frontal a coberta 9:;/ est representada em V:. embrando ue a V: ocorre uando o objeto representado est perpendicular ao plano de projeão. ;onseuentemente, se o objeto for um segmento de reta, sua representaão em V: ser um ponto, e se o objeto for um plano, sua representaão em V: ser uma reta, como # o caso do plano 9:;/. Cbser%e tamb#m ue os segmentos 9: e ;/ estão paralelos ao plano %ertical de projeão (F2), portanto estando em VG nessa %ista. Cs segmentos 9/ e :; estão paralelos tanto ao plano !orizontal (F8), como aos planos %erticais de projeão (F6 e F5), conseuentemente estando em VG nessas %istas. *e pud#ssemos unir essas partes ue estão em VG do plano 9:;/ ter$amos a VG desse 7


plano. ;ontudo, esse racioc$nio, embora
;asa esuemtica para mostrar a projeão do tel!ado no plano au&iliar Aigura .5

No entanto, temos ue realizar a projeão no 9 trabal!ando de forma bidimensional, ou seja, em #pura. ara isso o 9 de%e ser inserido perpendic()armente (ortogonalmente ou em V:), com relaão a um dos seis planos mongeanos para criar um no%o diedro. ;omo mostra a figura .5, obser%e ue o 9 criou um no%o diedro com o plano %ertical F2. 7H


5#8# '(dan%a de P)ano "m resumo, na operaão da +udana de lano utilizamos um no%o plano, um plano au&iliar (9) ue de%e ser paralelo ? face da ual se uer a VG. *abemos tamb#m ue esse 9 de%e criar um no%o diedro com um dos planos mongeanos, portanto ele # inserido em V: em um dos seis planos mongeanos. ;onclu$mos, portanto, ue para se e&trair a VG de uma aresta ou face utilizando a +udana de lano de%emos ter duas premissas em mente0 8. ara %isualizar uma face ou aresta em VG, essa face ou aresta precisa ser projetada num 9 para)e)o a ela1 2. C 9 # sempre inserido perpendic()armente (em %ista bsica) a um dos seis planos mongeanos. "ssa condião de perpendicularidade ocorre porue # necessrio ue criar um no%o diedro. 6e o PA de0e- sim()taneamente- ser inserido em 2 em (m dos seis p)anos mon4eanos e estar para)e)o 9 face da /(a) irá se extrair a G- )o4o a face tem /(e estar em 2 em pe)o menos (ma das 0istas# /entro da lDgica da mudana de plano e&istem tr4s situaes poss$%eis de posicionamento entre os entes geom#tricos e os planos de projeão. 3ais situaes serão estudadas a seguir. ;ada uma das tr4s situaes são c!amadas de ;asos, temos assim0 caso 81 caso 2 e caso 6. "ssa di%isão não e&iste na literatura, ela # resultado de uma opão didtica elaborada pelos professores dessa disciplina ao longo dos semestres. "las re
5#:# Caso $ @dentificamos ue a situaão est no ;aso 8, uando a face da ual se uer a VG ;á aparece em 0ista +ásica, ou seja, ela aparece reduzida a um segmento de reta em pelo menos um dos seis planos mongeanos. Nas situaes do caso 8 # necessrio apenas um
77


<(a) 7 a G da face $=$=> 8. ocalizar se ! algum plano no ual a face 822K8 esteja representada em V:. 2. No plano da %ista superior (F 8) a face 822K8 est com as arestas 8K2Ke 82 em medidas reduzidas. +as as arestas 88K e 22K estão em VG. 6. No plano da %ista lateral (F 6) direita a face 822K8 tamb#m est com as arestas 8K2Ke 82 em medidas reduzidas. +as as arestas 88K e 22K estão em VG. 5. Na %ista frontal (F 2) as arestas 82 e 8K2K estão em VG. . 9 face 822K8K est em V: no plano da %ista frontal, pois est reduzida a um segmento de reta. @dentificando a posião da face ue se uer a VG Aigura .

Procedimento $, determinar a G da face $=$= 8. 9 face 822K8 est em %ista bsica no plano F2. ois est reduzida a um segmento de reta. 2. @nserimos o plano au&iliar, F5, em V: com relaão ao plano F2 e paralelo a V: da face 822K8K, ue tamb#m est em V:. 6. ;ria-se o diedro entre F 2 e F5. 5. 9s arestas 82 e 8K2K ue esta%am em VG em F2 t4m suas medidas projetadas em F5, isso # feito atra%#s das lin!as de c!amada. . ebatemos F5 para ue ele aparea na representaão. H. 3ransportamos as medidas com o compasso a partir da lin!a de terra F 8 F2 at# os pontos 8K, 8, 2 e 2K para o 9. ;om o cuidado de, no momento do transporte, centrar na lin!a de terra /eterminando a VG da face 828K2K com um procedimento F2F5 (%er uadro s$ntese na prD&ima Aigura .H pgina). 7. 9pDs o transporte das medidas fec!amos a lin!a poligonal unindo os %#rtices. *e !ou%er d<%idas no fec!amento da lin!a poligonal, podemos obser%ar a face da ual estamos e&traindo a VG em alguma das projees mongeanas. 7J


?'PO@TATE, Im aspecto rele%ante sobre as )inBas de cBamada # o fato de ue estas estabelecem uma relaão de ortogonalidade dentro do diedro. 9s lin!as de c!amada transportam medidas de um plano a outro dentro do diedro formado por ambos. ortanto, as lin!as de c!amada sempre estão perpendiculares ? lin!a de terra do diedro ao ual pertence. Cutro aspecto ue merece atenão # o transporte das medidas para o PA. M uma d<%ida recorrente com relaão ao transporte de medidas no momento de rebater o lano 9u&iliar. "&istem duas maneiras de %isualizar de ue lugar de%emos e&trair as medidas para o transporte0 8) Cbser%ar os ei&os coordenados. *e por e&emplo o 9 foi inserido em F 2, estamos trabal!ando com larguras (&) e alturas (z), portanto uando rebatermos o 9 as medidas ue aparecerão serão as profundidades (). 2) Cbser%ar a relaão do diedro. *e fec!armos os diedros do desen!o, %oltando a relaão em 6/, podemos, facilmente, obser%ar de onde de%eremos e&trair as medidas ue ueremos. > importante lembrar ue esse transporte de%e ser feito com o compasso e utilizando as distOncias de plano a ponto, para e%itar erros.

5#5# Caso  @dentificamos ue a situaão est no ;aso 2, uando a face da ual se uer a VG não aparece em 0ista +ásica# No entanto, e&iste pelo menos uma aresta, pertencente ? face, em VG. "sse ser nosso ponto de partida. Nas situaes do ;aso 2 são necessrios dois procedimentos para e&trair a VG da face. @sso ocorre porue para e&trair a VG da face precisamos ue ela esteja em V:, sD assim podemos inserir o 9, tamb#m em V:, paralelo a face da ual se uer a VG. ;omo a face não est em V:, precisamos realizar um procedimento anterior ao ue realizamos para o ;aso 8. "sse procedimento anterior consiste em fazer uma %ista au&iliar (utilizando um plano au&iliar) para reduzir a face para a V:. 9pDs esse procedimento inicial teremos a face em V:, %oltando assim para uma situaão de ;aso 8. Cbser%e a figura.

7L


8.

2.

6.

5.

.

H.

8.

2.

6.

5. .

H. 7.

<(a) 7 a G da face $=$=> ocalizar se ! algum plano no ual 822K8K esteja representada em V:. Nesse caso não !. recisamos fazer uma %ista au&iliar, utilizando um plano au&iliar para reduzir a face 822K8K ? V:. ara ue um 9 %isualize a face 822K8K em V: esse plano precisa estar perpendicular ? face. ara simplificar0 se o 9 esti%er perpendicular a ualuer aresta pertencente a face 822K8K ir reduzir essa aresta ? V: (ue # um ponto), conseuentemente ir reduzir toda a face 822K8K ? V: (ue # um segmento de reta). +as para fazer isso, precisamos trabal!ar com a VG de uma aresta pertencente ? face 822K8K ue est em VG. "m F2, identificamos ue as arestas 8K2K e 82 estão paralelas ? F 8, portanto, em F 8 essas arestas estão em VG. Aaremos o procedimento com base na VG do segmento. Procedimento $, determinar a 2 da face $=$= ara o 9 %isualizar a face 822K8K em V: ele precisa estar perpendicular a VG de uma aresta dessa face. "m F2, identificamos ue as arestas 8K2K e 82 estão paralelas ? F 8, portanto, em F8 essas arestas estão em VG. @nserimos o 9 perpendic()ar ? VG da aresta 8K2K (nesse caso, tamb#m poderia ser a aresta 82). rojetamos a face no 9. ebatemos o 9, transportando de compasso as medidas a partir da lin!a de terra F89 at# os pontos 8K, 8, 2 e 2K para o 9. ;om o cuidado de, no momento do transportar, centrar na lin!a de terra F 89. (obser%ar o te&to relati%o ao transporte de medidas). 9 face 822K8K aparece projetada em V: no 9. Voltamos a ter a condião do ;aso 8, na ual temos a face da ual ueremos a VG em V:.

@dentificando a posião da face ue se uer a VG Aigura .7

/eterminando a V: da face 828K2K com o primeiro procedimento Aigura .J

JP


8.

2.

6. 5. .

H.

Procedimento , determinar a G da face $=$= 9 face 822K8K est em V: no plano au&iliar F5, pois est reduzida a um segmento de reta. @nserimos um plano au&iliar, F , em V: com relaão a F5 e para)e)o ? V: da face 822K8K. ;ria-se o diedro entre F 5 e F. rojeta-se a face 822K8K em F . ebatemos F, transportando as medidas com o compasso a partir da lin!a de terra F 8 F5 at# os pontos 8K, 8, 2 e 2K para F. ;om o cuidado de, no momento do transporte, centrar na lin!a de terra F 5F (para esse transporte, perdemos a refer4ncia dos ei&os coordenados, de%emos utilizar a relaão do diedro). 9pDs o transporte das medidas fec!amos a lin!a poligonal unindo os %#rtices 8, 2, 8K e 2K.

/eterminando a VG da face 828K2K com o segundo procedimento Aigura .L

5## Caso 8 @dentificamos ue a situaão est no ;aso 6, uando a face da ual se uer a VG não aparece em 0ista +ásica e nenB(ma aresta pertencente 9 face está em G em nen!um dos seis planos mongeanos. Nas situaes do ;aso 6, a e&emplo do ue ocorreu nas situaes do ;aso 2, tamb#m são necessrios dois procedimentos para e&trair a VG da face. @sso ocorre porue para e&trair a VG da face precisamos ue ela esteja em V:, sD assim podemos inserir o 9, tamb#m em V:, paralelo ? f ace da ual se uer a VG. ;omo a face não est em V:, precisamos realizar um procedimento anterior ao ue realizamos para o ;aso 8. "sse procedimento anterior consiste em fazer uma %ista au&iliar (utilizando um plano au&iliar) para reduzir a face para a V:. 9pDs esse procedimento inicial teremos a face em V:, %oltando assim para uma situaão de ;aso 8. Cbser%e a figura.

J8


P@OCED?'ETO ??C?AL, destacar a G de se4mento da face $8 8. recisamos projetar a V: da face 826 para e&trair sua VG. 2. ara projetar a face 826 em V: precisamos de uma aresta em VG. or#m, nen!uma aresta pertencente a face 826 est em VG. 6. 9 partir de um %#rtice da face, no caso da figura, o %#rtice 2, traamos o segmento de reta 2, paralelo ? F 8. *e  pertence a aresta 68, ir, conseuentemente, pertencer a todas as projees de 68. *endo assim, descemos uma lin!a de c!amada a partir de  at# a sua projeão em F8. 5. "m F 8, o segmento de reta 2 est em VG. /essa forma, %oltamos a uma situaão semel!ante ao caso 2. @dentificando a posião da face ue se uer a VG Aigura .8P

8. 2. 6.

5. .

Procedimento $, determinar a 2 da face $8 osicionar F5 perpendicular ao segmento 2. rojetamos a face 826 em F 5 . ebatemos F5, transportando de compasso as medidas a partir da lin!a de terra F 8F2 at# os pontos 8, 2 e 6 para F 5. ;om o cuidado de, no momento de transportar, centrar na lin!a de terra F 8 F5. 9 face 826 aparece projetada em V: em F5. Voltamos a ter uma condião do ;aso 8, na ual temos a face da ual ueremos a VG em V:.

/eterminando a V: da face 826 com o primeiro procedimento Aigura .88

J2


/eterminando a VG da face 826 com o segundo procedimento Aigura .82

8. 2. 6. 5. .

H.

Procedimento , determinar a G da face $8 9 face 826 est em %ista bsica no lano au&iliar F 5. ois est reduzida a um segmento de reta. @nserimos um plano au&iliar F, em V: com relaão a F 5 e para)e)o a V: da face 826. ;ria-se o diedro entre F 5 e F. rojeta-se a face 826 em F . ebatemos F, transportando as medidas com o compasso a partir da lin!a de terra F 8 F5 at# os pontos 8, 2 e 6 para F. ;om o cuidado de, no momento do transportar, centrar na lin!a de terra F5 F. (para esse transporte, perdemos a refer4ncia dos ei&os coordenados, de%emos utilizar a relaão do diedro). 9pDs o transporte das medidas fec!amos a lin!a poligonal unindo os %#rtices 8, 2 e 6. *e !ou%er d<%idas no fec!amento da lin!a poligonal, podemos obser%ar a face da ual estamos e&traindo a VG em alguma das projees mongeanas.

J6

UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 6 – e!ão P"ana

CAPÍTULO 6 – E#$O PLA%A 6&'& (ntrod)!ão ao Conceito de e!ão P"ana e (nterse!ão 6&'&'& )perf*cie e +"ido Superfície é uma região que possui dois comprimentos. Segundo Rangel (1979) a definião mais !"sica e a!rangente para qualquer superfície é a definião de #aspar $onge% &Superfície é o limite da e'tensão a trs dimenses*. +orém, no intuito de ampliar o entendimento de superfícies Rangel apresenta mais trs definies% & a) Superfície é a película sem espessura que separa duas regies no espao tridimensional- !)  o lugar geométrico dos pontos comuns a duas regies tridimensionais e- c)  todo lugar !idimensional* (Rangel, 1979, p. 97). +ortando, as superfícies podem possuir diferentes formas. /s figuras a!ai'o mostram diferentes e'emplos de superfícies. /s figuras 0.1, 0. e 0.2 mostram uma superfície cilíndrica, uma superfície c3nica e uma superfície esférica, respectiamente, as trs possuem leis de geraão, sendo assim consideradas superfícies geométricas% &5oda superfície geométrica pode ser gerada por uma lin6a que se moe segundo uma lei dada* (6aput, 1949, p. 192). /s figuras 0.4 e 0. traem e'emplos de superfícies não geométricas, porque possuem uma forma irregular que não estão su!metida a nen6uma lei de geraão. / figura 0.0 é um caso particular de superfície, pois trata:se de uma superfície plana. / superfície plana tam!ém é um e'emplo de superfície geométrica.

Superfície ilíndrica ;igura 0.1 6ttp%<<===.mat.ufmg.!r<

Superfície cura qualquer ;igura 0.4 6ttp%<
Superfície 3nica ;igura 0. 6ttp%<<===.professores.uff.!r<

Superfície de um !ule ;igura 0. 6ttp%<
Superfície >sférica ;igura 0.2 6ttp%<<===.professores.uff.!r<

Superfície plana ;igura 0.0 6ttp%<<7dasartes.!logspot.com.!r<

84

UFPE – Depar amento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 6 – e!ão P"ana

/s superfícies fec6adas, a e'emplo da superfície esférica, figura 0.2, admitem interior e e'terior. @ espao interior A sup erfície é o seu olume e todo o restante é o espao e'terior. / soma da superfície com o espao int rior c6ama:se sBlido (Rangel, 198%2). +or e'emplo, a esfera é um sBlido composto pela superfície esférica somada a toda região compreendi a por essa superfície. @s sBlidos podem ser classificados em dois grandes grupos% os poliedros e o sBlidos de reoluão. / esfera é um e'emplo de sBlido e reoluão (figura 0.7). C" os sBlidos da figura 0.8, são e'emplos de poliedros.

>sfera ;igura 0.7

+olie ros ;igur 0.8

6ttp%<
6ttp%<<===.reidaerdade.ne t
Dessa apostila serão tr a!al6ados sBlidos geométricos !"sicos, ão eles% prisma, cone, pirEmide e cilindro, como mostr a figura 0.9.

+risma

one

+irEmide

ilindro

;igura 0.9

6&'&,& (nterse!ão e e!ão @ conceito de interse!ão na #eometria é o mesmo da $atem"tica, isto é, os elementos que faem parte do conFunto i terseão são os elementos comuns aos conFuntos relacionados. Da geometria uma interseão o orre entre entes geométricos% retas, sBlidos e su erfícies. / figura 0.1G mostra a interseão (H) entre a porão de uma superfície esférica (>) e um cone (). Hnterseã entre superfícies ;igura 0.1G 6ttp%<<===.mat.uel.!r
8


/ interseão mais simples e mais facilmente perce!ida é da figura 0.11, que ilustra a interseão entre duas retas, marcada por um ponto comum As duas retas. / interseão entre uma reta é uma superfície tam!ém é marcada por um ponto (figura 0.1) ou por mais pontos (figura 0.12). / interseão entre um plano e uma reta, não pertencente a este, é marcada por um ponto (/), como ilustra a figura 0.14. / interseão entre dois planos é marcada por um reta. Do caso da figura 0.1, onde os planos são perpendiculares entre si, a interseão entre é c6amada de Iin6a de 5erra, ou, simplesmente, I5, como imos no estudo do sistema mongeano.

Hnterseão entre duas retas ;igura 0.11

Hnterseão entre superfície e reta (um ponto) ;igura 0.1

Hnterseão entre superfície e reta ("rios pontos) ;igura 0.12

Hnterseão entre reta e plano ;igura 0.14 Hnterseão entre planos perpendiculares entre si. Hnterseão J Iin6a de 5erra ;igura 0.1

;oram istos alguns e'emplos de intersees, porém não foram esgotadas todas as possi!ilidades, podem e'istir intersees entre superfícies, entre superfícies e sBlidos ou ainda entre sBlidos. / definião de se!ão em geometria tam!ém pode ser encontrada nos dicion"rios% -e!ão. ' /to ou efeito de seccionar. , Iugar onde uma coisa est" cortada. / ada uma das partes em que um todo foi seccionado ou separado- segmento. (...) 6 Kesen6o da figura que resultaria do corte de qualquer coisa por um plano, geralmente ertical. (...) 0 Geom ;igura proeniente da interseão de um sBlido ou superfície por um plano. (...).* (6ttp%<
@ conceito de seão est" incluso no conceito de interseão porque para realiar o estudo da seão, por e'emplo, entre um plano de seão, tam!ém c6amado de plano setor, e um o!Feto, temos que determinar pontos e arestas em comum entre am!os, ou seFa, temos que determinar as 80


intersees entre o plano da seão e os elementos do o!Feto que est" sendo seccionado. Kessa forma, podemos afirmar que toda seão é uma interseão.

6&,& e!ão p"ana de s+"idos 1eom2tricos 3ásicos / seão plana enole um plano e um sBlido ou superfície. @ plano &corta* o sBlido ou superfície. Do caso da seão plana de uma superfície, a seão ser" a lin6a de interseão entre o plano e esta superfície. Do caso da seão plana de um sBlido, a seão resultante ser" uma figura plana, que compreende toda a região de interseão entre o plano e o sBlido. /s possi!ilidades de posião de plano setor são infinitas. Dessa apostila, por uma opão did"tica, o plano setor ser" sempre fornecido em ista !"sica em uma das istas mongeanas. /lém disso, serão e'ploradas algumas posies que mel6or representam essa ariedade de possi!ilidades e que, consequentemente, ilustram grande parte das situaes encontradas na atiidade profissional de um engen6eiro. Kessa forma, serão e'emplificadas "rias posies de plano setor para cada sBlido geométrico. +ara facilitar o entendimento, o p"ano 4ori5onta" tam32m c4amado de p"ano do c4ão7 o) ainda 8'9 sempre será a refer:ncia para a posi!ão do p"ano setor. 6&,&' e!ão P"ana de Prismas +ara tra!al6ar com a seão de prismas, ser" usado como e'emplo um prisma reto de !ase quadrangular. >studaremos as sees de prismas em trs situaes, que são% '9 P"ano de e!ão Para"e"o ao P"ano ;ori5onta" P;9% no caso do prisma de !ase quadrangular da figura 0.10, a seão produida é um polígono igual ao polígono da !ase, como mostra a figura 0.17.

+risma seccionado por um plano paralelo ao +L ;igura 0.10

+risma truncado apBs a seão ;igura 0.17

87


/ figura 0.18 mostra como fica a representaão, em istas mongeanas, da seão de um plano paralelo ao +L em um prisma de !ase quadrangular (o Sistema $ongeano de representaão foi estudado no capítulo 4). @!sere que plano setor M est" dado na ista frontal, e nela ele aparece em ista !"sica. / seão propriamente dita tam!ém aparece em ista !"sica nessa ista. @ mesmo ocorre na ista lateral, onde a "rea seccionada est" reduida a um segmento de reta. Da ista superior a "rea seccionada, representada por uma 6ac6ura, é uma região igual a da !ase.

Nistas mongeanas de um prisma seccionado por um plano paralelo ao +L ;igura 0.18

,9 P"ano de e!ão O3"*<)o ao P"ano ;ori5onta" P;9% no caso da figura 0.19, a seão produida é um polígono diferente do polígono da !ase, conforme mostra a figura 0.G.

+risma seccionado por um plano o!líquo ao +L ;igura 0.19

+risma truncado apBs a seão ;igura 0.G

/ figura 0.1 mostra como fica a representaão, em istas mongeanas, da seão de um plano o!líquo ao +L em um prisma de !ase quadrangular. @!sere que plano setor M est" dado na ista frontal, em ista !"sica. / "rea seccionada tam!ém aparece em ista !"sica nessa ista. Das istas superior e lateral, as "reas seccionadas estão representadas por 6ac6uras, am!as são regies quadrangulares com dimenses diferentes das dimenses da !ase e do topo. 88

UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 6 – e!ão P"ana Nistas mongeanas de um prisma seccionado por um plano o!líquo ao +L ;igura 0.1

/9 P"ano de e!ão Perpendic)"ar ao P"ano ;ori5onta" P;9% nesse e'emplo, o plano setor est" perpendicular ao plano do c6ão e est" paralelo A face frontal do prisma (er figura 0.). Desse caso, a seão produida é um polígono igual A face frontal, conforme mostra a figura 0.2.

+risma seccionado por um plano perpendicular ao +L ;igura 0.

+risma truncado apBs a seão ;igura 0.2

/ figura 0.4 mostra como fica a representaão, em istas mongeanas, da seão de um plano perpendicular ao +L em um prisma de !ase quadrangular. @!sere que plano setor M est" dado na ista superior, portanto nessa ista ele aparece em ista !"sica. / seão tam!ém est" em ista !"sica nessa ista mongeana. @ mesmo ocorre na ista lateral, onde a seão tam!ém est" em ista !"sica. C" na ista frontal, a "rea seccionada, representada por uma 6ac6ura, é um polígono igual A face frontal, uma e que o plano est" paralelo a essa face. Nistas mongeanas de um prisma seccionado por um plano perpendicular ao +L ;igura 0.4

6&,&, e!ão P"ana de Pir=mides +ara tra!al6ar com a seão de pirEmides, ser" usada como e'emplo uma pirEmide reta de !ase quadrangular. Serão estudadas quatro posies !"sicas para o plano de seão, são elas% '9 P"ano Para"e"o ao P;% no caso da pirEmide de !ase quadrangular da figura 0., a seão produida é um polígono semel6ante ao polígono da !ase, como mostra a figura 0.0. Das pirEmides, a seão 89


resultante de um plano setor paralelo ao c6ão é diferente da do prisma porque nas pirEmides as faces laterais concorrem no értice, ou seFa, as arestas laterais não são paralelas entre si, como nos prismas, e por isso, não mantm as distEncias entre si.

+irEmide seccionada por um plano paralelo ao +L ;igura 0.

+irEmide truncada apBs a seão ;igura 0.0

/ figura 0.7 mostra como fica a representaão, em istas mongeanas, da seão de um plano paralelo ao +L em uma pirEmide de !ase quadrangular. @!sere que plano setor M est" dado na ista frontal, portanto em ista !"sica. / "rea seccionada, tam!ém est" em ista !"sica nessa ista. @ mesmo ocorre na ista lateral, onde a seão est" reduida a um segmento de reta, pois tam!ém est" em ista !"sica. C" na ista superior, a "rea seccionada, representada por uma 6ac6ura, é uma região semel6ante, porém menor que a da !ase da pirEmide. Nistas mongeanas de uma pirEmide seccionada por um plano paralelo ao +L. ;igura 0.7

,9 P"ano de e!ão O3"*<)o ao P;% no caso da figura 0.8, a seão produida é um polígono diferente do polígono da !ase, conforme mostra a figura 0.9.

+irEmide seccionada por um plano o!líquo ;igura 0.8

+irEmide truncada apBs a seão ;igura 0.9

9G


Nistas mongeanas de uma pirEmide seccionada +or um plano o!líquo ao +L ;igura 0.2G

/ figura 0.2G mostra como fica a representaão, em istas mongeanas, da seão de um plano o!líquo ao +L em uma pirEmide de !ase quadrangular. @!sere que plano setor M est" dado na ista frontal em ista !"sica, portanto a "rea seccionada nesta ista coincide com a representaão do plano, ou seFa, tam!ém est" em ista !"sica. Das istas superior e lateral as "reas seccionadas estão representadas por 6ac6uras, am!as são regies quadrangulares de dimenses diferentes das da !ase, o!sere que a !ase é um quadrado e as sees das istas superior e lateral são trapéios, isso ocorre por conta da o!liquidade do plano setor M.

/9 P"ano de e!ão Perpendic)"ar ao P;% no caso da pirEmide, como mostra a figura 0.21, a seão produida é um polígono diferente do polígono da face frontal, conforme mostra a figura 0.2.

+irEmide seccionada por um plano perpendicular ao +L ;igura 0.21

Nistas mongeanas de pirEmide seccionada por um plano perpendicular ao +L ;igura 0.22

+irEmide truncada apBs a seão ;igura 0.2

/ figura 0.22 mostra como fica a representaão, em istas mongeanas, da seão de um plano perpendicular ao +L em uma pirEmide de !ase quadrangular. @!sere que plano setor M est" dado na ista superior, portanto, nessa ista, tanto o plano de seão quanto a "rea seccionada aparecem em ista !"sica. Da ista lateral, a "rea seccionada tam!ém est" em ista !"sica, portanto, reduida a um segmento de reta. C" na ista frontal, "rea seccionada representada por uma 6ac6ura, é um polígono diferente do polígono da face frontal. 91


>9 P"ano de e!ão Perpendic)"ar ao P; Passando pe"o ?2rtice% no caso da pirEmide como mostra a figura 0.24, a seão produida é um triEngulo semel6ante A face frontal, conforme mostra a figura 0.2.

+irEmide seccionada por um plano perpendicular ao +L que passa pelo értice ;igura 0.24

Nistas mongeanas de pirEmide seccionada or um plano perpendicular ao +L que passa pelo értice ;igura 0.20

+irEmide truncada apBs a seão ;igura 0.2

/ figura 0.20 mostra como fica a representaão, em istas mongeanas, da seão de um plano perpendicular ao +L, passando pelo értice, em uma pirEmide de !ase quadrangular. @!sere que plano setor M est" dado na ista superior, portanto, nessa ista, tanto p plano de seão quanto a seão propriamente dita aparecem em ista !"sica. Da ista lateral a "rea seccionada tam!ém est" reduida a um segmento de reta, portanto em ista !"sica. C" na ista frontal "rea seccionada, representada por uma 6ac6ura, é um triEngulo semel6ante ao da face frontal, o!sere que as medidas do triEngulo da seão são um pouco menores do que as medidas das arestas da face.

6&,&/ e!ão P"ana de Ci"indros +ara tra!al6ar com a seão de sBlidos curos, como o cone e o cilindro, é necess"rio utiliar os conceitos de lei de geraão e de geratries de limite de isi!ilidade. +ara realiar qualquer seão em um cilindro, ou um cone, serão utiliadas suas geratries retas e suas geratries curas, conforme mostram as figuras 0.27 e 0.28.

9


/s geratries retas e curas de um cilindro reto ;igura 0.27

/s geratries retas e curas de um cone reto ;igura 0.28

+ara o estudo da seão plana de cilindros ser" utiliado como e'emplo um cilindro reto. / e'emplo da pirEmide, estudaremos quatro posies !"sicas% '9 P"ano de e!ão Para"e"o ao P;% no caso do cilindro reto da figura 0.29, a seão produida é uma circunferncia igual A circunferncia da !ase, como mostra a figura 0.4G.

ilindro seccionado por um plano paralelo ;igura 0.29

/ figura 0.41 mostra como fica a representaão, em istas mongeanas, da seão de um plano paralelo ao +L em um cilindro reto. @!sere que plano setor M est" dado na ista frontal, portanto em ista !"sica. Ko mesmo modo, a "rea seccionada aparece reduida a uma reta nessa ista. Da ista lateral, a "rea seccionada tam!ém aparece em ista !"sica. Da ista superior, a "rea seccionada, representada por uma 6ac6ura, é uma região igual a da !ase, ou seFa, uma circ)nfer:ncia. omo o cilindro é um sBlido redondo, para determinar os pontos da seão que &cortam* a face cura dee:se tra!al6ar com as geratries de limite de isi!ilidade.

ilindro truncado apBs a seão ;igura 0.4G

Nistas mongeanas de um cilindro seccionado por um plano paralelo ao +L : ;igura 0.41

Da ista frontal, as geratries são g1 e g, como mostra a figura 0.41. / partir delas determinamos os pontos 1 e  em todas as istas. 5ais pontos pertencem tanto A seão como A face 92


cura do cilindro. Da ista lateral, os limites de isi!ilidade são as geratries g2 e g4. / partir delas foram determinados os pontos 2 e 4 em todas as istas. ,9 P"ano de e!ão O3"*<)o sem Cortar a @ase% no caso da figura 0.4, o plano setor est" o!líquo ao +L e &corta* as geratries retas e curas da face cura do cilindro. / seão produida é uma elipse, conforme mostra a figura 0.42.

ilindro seccionado por um plano o!líquo ao +L ;igura 0.4

ilindro truncado apBs a seão ;igura 0.42

/ figura 0.44 mostra como fica a representaão, em istas mongeanas, da seão de um plano o!líquo ao +6 em um cilindro reto. @!sere que plano setor M est" dado na ista frontal, portanto tanto o prBprio plano de seão quanto a seão aparecem em ista !"sica. Da ista superior a "rea seccionada, que est" 6ac6urada, tem sua representaão igual a da circunferncia da !ase, no entanto a cura da seão é uma elipse. Hsso ocorre porque quando a elipse é proFetada na ista superior ela fica aparentemente com as mesmas dimenses da !ase. Da ista lateral a "rea seccionada, que est" representada por 6ac6ura, corresponde a uma elipse com dimenses reduidas no sentido do ei'o menor por conta do plano setor que est" o!líquo A ista lateral. +ara determinar os pontos da seão que &cortam* o cilindro dee:se tra!al6ar com as geratries de limite de isi!ilidade. Da ista frontal, as geratries são g1 e g, a partir delas determinamos os pontos 1 e , em todas as istas. 5ais pontos pertencem tanto A seão como A face cura do cilindro. Da ista lateral os limites de isi!ilidade são as geratries g2 e g4, a partir delas foram determinados os pontos 2 e 4, em todas as Nistas mongeanas de um cilindro seccionado istas. por um plano o!líquo ao +L ;igura 0.44

94


/9 P"ano de e!ão O3"*<)o ao P; Cortando )ma das )perf*cies P"anas do Ci"indro% no caso da figura 0.4, o plano setor est" o!líquo &cortando* a face cura do cilindro, mas tam!ém &corta* a face plana, que tem forma de circunferncia. Desse caso, a seão produida é um arco de elipse somado a um segmento de reta, conforme mostra a figura 0.40.

ilindro seccionado por um plano o!líquo ao +L ;igura 0.4


/ figura 0.47 mostra como fica a representaão, em istas mongeanas, da seão de um plano o!líquo ao +L, que passa por uma das suas superfícies planas, em um cilindro reto. @!sere que plano setor M est" dado na ista frontal, em ista !"sica, portanto nessa ista a "rea seccionada coincide com a representaão do plano. Da ista superior, a "rea seccionada, que est" representada por 6ac6ura, é limitada por um arco de circunferncia somado a um segmento de reta. @ arco de circunferncia corresponde ao arco de elipse proFetado na ista superior, o segmento de reta corresponde A região na qual o plano setor &corta* a !ase. Da ista lateral a "rea seccionada, que est" representada por 6ac6ura, corresponde a um arco de elipse somado a um segmento de reta. @ arco de elipse apresenta um taman6o reduido no sentido do ei'o maior. +ara determinar os pontos da seão que &cortam* o cilindro dee:se tra!al6ar com as geratries de limite de isi!ilidade. Da ista frontal, as geratries são g1 e g, porém a seão não passa pela geratri g1. / partir de g determinamos o ponto , em todas as istas. 5al ponto pertence tanto A seão como a face cura do cilindro. /inda na ista frontal, determinamos os pontos 1 e 1O que estão no topo do cilindro, que é a face plana do cilindro em forma de circunferncia. Da ista lateral direita, os limites de isi!ilidade são as geratries g2 e g4, a partir delas foram determinados os pontos 2 e 4, em todas as istas.

Nistas mongeanas de um cilindro seccionado por um plano o!líquo ao +L que passa pela superfície plana superior ;igura 0.47

9


>9 P"ano de e!ão Perpendic)"ar ao P;. no caso da figura 0.48, o plano setor est" perpendicular &cortando* as geratries curas da face cura. / seão produida é um quadril"tero (nesse caso um retEngulo), sendo dois dos lados iguais As geratries retas e os outros dois lados secantes As circunferncias da !ase e do topo do cilindro, conforme mostra a figura 0.49.

ilindro seccionado por um plano perpendicular ao +L ;igura 0.48

/ figura 0.G mostra como fica a representaão, em istas mongeanas, da seão de um plano perpendicular ao +L em um cilindro reto. @!sere que plano setor M est" dado na ista superior, portanto a "rea seccionada nesta ista coincide com a representaão do plano, ou seFa, tam!ém est" em ista !"sica. Da ista frontal, a "rea seccionada, que est" representada por 6ac6ura, corresponde a um quadril"tero, sendo os segmentos 12 e 4 iguais As geratries retas do cilindro. @s segmentos 1 e 24 são secantes A face plana do cilindro que tem forma de circunferncia. Da ista lateral, a "rea seccionada, est" representada por um segmento de reta, uma e que o plano setor se encontra em ista !"sica. @!sere que o plano setor não interceptou as geratries de limite de isi!ilidade.


Nistas mongeanas de um cilindro seccionado por um plano o!líquo ao +L que passa pelo topo do cilindro ;igura 0.G

6&,&> e!ão P"ana de Cones @ estudo de sees planas nos cones poderia ser um capítulo a parte. Hsso porque elas geram as quatro curas c3nicas, conforme mostra a figura 0.1% circunferncia (a), par"!ola (!), elipse (c) e 6ipér!ole (d). ada cura c3nica possui propriedades geométricas específicas. @ tipo de cura c3nica depende da posião que o plano de seão toma em relaão ao +L quando est" cortando a superfície c3nica. 90


/s quatro curas c3nicas% circunferncia (a), par"!ola (!), elipse (c) e 6ipér!ole (d) ;igura 0.1

onforme foi dito anteriormente, para tra!al6ar com a seão de sBlidos redondos, como o cone e o cilindro, é necess"rio utiliar os conceitos de lei de geraão e de geratries de limite de isi!ilidade. +ara realiar qualquer seão em cones serão utiliadas suas geratries curas e suas geratries retas, as quais são mostradas nas figuras 0. e 0.2. Ser" tomado como referncia o cone esquem"tico da figura 0.4.

/s geratries retas do cone ;igura 0.

/s geratries curas do cone ;igura 0.2

Nista esquem"tica do cone com seus elementos formadores ;igura 0.4

+ara o estudo da seão plana do cone ser" utiliado como e'emplo um cilindro reto. Kiferentemente dos outros sBlidos estudados, estudaremos cinco posies !"sicas para o plano de seão, são elas%

97


'9 P"ano de e!ão Para"e"o ao P;  circ)nfer:ncia% caso do cone reto da figura 0., a seão produida é uma circunferncia semel6ante A circunferncia da !ase, como mostra a figura 0.0.

one seccionado por um plano paralelo ;igura 0.

/ figura 0.7 mostra um cone esquem"tico sendo cortado pelo plano setor M. Puando o plano setor est" paralelo ao +L Q ou ainda, perpendicular ao ei'o gerador &e* Q ir" produir uma seão em forma de circunferncia. Hmportante% a circunferncia é um caso particular que acontece apenas quando o plano setor est" perpendicular ao ei'o &e*.

Nistas mongeanas de um cone seccionado por um plano paralelo ao +L ;igura 0.8

one truncado apBs a seão ;igura 0.0

one esquem"tico mostrando a posião do plano de seão paralelo ao +L ;igura 0.7

/ figura 0.8 mostra como fica a representaão, em istas mongeanas, da seão de um plano paralelo ao +L em um cone reto. @!sere que plano setor M est" dado na ista frontal, portanto a "rea seccionada nesta ista coincide com a representaão do plano, ou seFa, est" em ista !"sica. Da ista lateral, a "rea seccionada est" reduida a um segmento de reta, porque tam!ém est" em ista !"sica. Da ista superior, a "rea seccionada, representada por uma 6ac6ura, é uma região semel6ante A da !ase, ou seFa, uma circ)nfer:ncia com diEmetro menor do que a circunferncia da !ase. omo o cone é um sBlido redondo, para determinar os pontos da seão que &cortam* a face cura dee:se tra!al6ar com as geratries de limite de isi!ilidade. 98


Da ista frontal, as geratries são g1 e g, a partir delas determinamos os pontos 1 e  em todas as istas, os quais pertencem tanto A seão como A face cura do cilindro. Da ista lateral, os limites de isi!ilidade são as geratries g2 e g4, a partir delas foram determinados os pontos 2 e 4, em todas as istas. ,9 P"ano de e!ão O3"*<)o ao P;  e"ipse. no caso da figura 0.9, o plano setor est" o!líquo ao +L, ou seFa, &cortando* as geratries retas e curas da face cura do cone. / seão produida é uma e"ipse, conforme mostra a figura 0.0G.

one seccionado por um plano o!líquo ao +L. ;igura 0.9

one truncado apBs a seão ;igura 0.0G

/ figura 0.01 mostra um cone esquem"tico sendo cortado por um plano setor o!líquo ao +L. Puando o plano setor forma um Engulo  com o +L, ir" produir uma seão em forma de elipse.  é o Engulo que a geratri do cone forma com o +L. >nquanto  for menor do que  teremos "rios casos de elipse.

Resumindo% diferentemente da seão em forma de circunferncia, que é um caso particular, ou seFa, o caso em que o plano setor é paralelo ao +L, com o plano setor o!líquo podemos ter "rios casos de elipse, desde que  T .

one esquem"tico mostrando a posião do plano o!líquo ao +L ;igura 0.01

99


Nistas mongeanas de um cone seccionado por um plano o!líquo ao +L ;igura 0.0

/ figura 0.0 mostra como fica a representaão, em istas mongeanas, da seão de um plano o!líquo ao +L em um cilindro reto. @!sere que plano setor M est" dado na ista frontal, portanto a "rea seccionada nesta ista coincide com a representaão do prBprio plano de seão, ou seFa, tam!ém est" em ista !"sica. Da ista superior, a "rea seccionada corresponde a uma e"ipse, que est" representada por 6ac6ura. Da ista lateral, a "rea seccionada, tam!ém est" representada por 6ac6ura, e tam!ém corresponde a uma elipse. >sta possui dimenses reduidas no sentido do ei'o menor por conta do plano setor que est" o!líquo A ista lateral. +ara determinar os pontos da seão que &cortam* o cone dee: se tra!al6ar com as geratries de limite de isi!ilidade. Da ista frontal, as geratries são g1 e g, a partir delas determinamos os pontos 1 e , em todas as istas. 5ais pontos pertencem tanto A seão como A face cura do cone. Da ista lateral, os limites de isi!ilidade são as geratries g2 e g4, a partir delas foram determinados os pontos 2 e 4, em todas as istas.

/9 P"ano de e!ão O3"*<)o ao P; e Para"e"o B Geratri5 do Cone  pará3o"a. no caso da figura 0.02, o plano setor est" &cortando* as geratries retas e curas da face cura do cone. / seão produida é uma pará3o"a, conforme mostra a figura 0.04.

one seccionado por um plano o!líquo ao +L ;igura 0.02

one truncado apBs a seão ;igura 0.04

1GG


/ figura 0.0 mostra um cone esquem"tico sendo cortado pelo plano setor. Puando o plano setor est" o!líquo ao +L e paralelo A geratri do cone, ele forma um Engulo  com a !ase do cone. / seão resultante tem a forma de uma par"!ola. Se o plano setor é paralelo A geratri do cone, os Engulos  e , que é o Engulo que a geratri do cone forma com o plano do c6ão, são iguais. Hmportante% a par"!ola é um caso particular que acontece apenas quando o Engulo que o plano setor forma com o c6ão &* for igual ao Engulo que a geratri do cone forma como c6ão &*.

Nistas mongeanas de um cone seccionado por um plano o!líquo ao +L e paralelo a uma de suas geratries : ;igura 0.00

one esquem"tico mostrando a posião do plano paralelo A geratri ;igura 0.0

/ figura 0.00 mostra como fica a representaão, em istas mongeanas, da seão de um plano o!líquo ao +L e paralelo A geratri de um cone reto. @!sere que plano setor M est" dado na ista frontal, portanto a "rea seccionada nesta ista coincide com a representaão do plano, ou seFa, est" em ista !"sica. Da ista lateral, a "rea seccionada, que est" 6ac6urada, corresponde a uma par"!ola. Da ista superior, a "rea seccionada tam!ém corresponde a uma pará3o"a. Do entanto, esta possui dimenses reduidas no sentido ertical deido ao plano setor estar o!líquo A ista lateral. +ara determinar os pontos da seão que &cortam* o cone dee:se tra!al6ar com as geratries de limite de isi!ilidade.

Da ista frontal é possíel identificar as geratries são g1 e g. / partir de g1 determinamos o értice da par"!ola, o ponto 1. /inda na mesma ista, a !ase do cone, est" em ista !"sica, portanto, representada por um segmento de reta, neste determinamos os pontos  e O. Kee:se determinar os pontos 1,  e O em todas as istas. Da ista lateral os limites de isi!ilidade são as geratries g2 e g4, a partir delas foram determinados os pontos 2 e 4, em todas as istas. >9 P"ano o3"*<)o ao P; – 4ip2r3o"e <)a"<)er. quando o plano setor est" o!líquo ao plano do c6ão. Do caso da figura 0.07, o plano setor est" o!líquo &cortando* as geratries retas e curas da face cura do cone. / seão produida é uma 4ip2r3o"e <)a"<)er, conforme mostra a figura 0.08.

1G1


one seccionado por um plano o!líquo ao +L ;igura 0.07

/ figura 0.09 mostra um cone esquem"tico sendo cortado por um plano de seão. Puando este plano est" o!líquo ao plano 6oriontal, formando um Engulo  com este, o resultado é uma seão em forma de 6ipér!ole.  é o Engulo que a geratri do cone forma com o plano do c6ão. >nquanto  for maior do que  teremos "rios casos de 6ipér!ole. Resumindo% com o plano setor o!líquo ao +L podemos ter "rios casos de 6ipér!ole, desde que  U .

one truncado apBs a seão ;igura 0.08

one esquem"tico mostrando a posião do plano o!líquo ao +L ;igura 0.09

/ figura 0.7G mostra como fica a representaão, em istas mongeanas, da seão de um plano o!líquo em um cone reto. @!sere que plano setor M est" dado na ista frontal, portanto a "rea seccionada nesta ista coincide com a representaão do plano, ou seFa, tam!ém est" em ista !"sica. Da ista superior, a "rea seccionada corresponde a uma 4ip2r3o"e, representada por 6ac6ura, com dimenses reduidas no sentido ertical por conta do plano setor que est" o!líquo A ista lateral. Da ista lateral, a "rea seccionada, que tam!ém est" representada por 6ac6ura, corresponde a uma 6ipér!ole. +ara determinar os pontos da seão que &cortam* o cone dee: se tra!al6ar com as geratries de limite de isi!ilidade. Da ista frontal, as geratries são g1 e g. / partir delas determinamos os pontos  e 2, em todas as istas. 5ais pontos pertencem tanto A seão como A face cura do cone. Da 1G

UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 6 – e!ão P"ana Nistas mongeanas cone seccionado por plano o!líquo ;igura 0.7G

ista lateral, os limites de isi!ilidade são as geratries g2 e g4. / partir delas foram determinados os pontos t e tO, em todas as istas. Das !ases foram determinados dois pares de pontos, que são% 1, 1O e 4, 4O.

9 P"ano de e!ão Perpendic)"ar ao P; – 4ip2r3o"e e<)i"átera. no caso da figura 0.71, o plano setor est" perpendicular ao +L, &cortando* as geratries curas e passando pelas geratries retas da face cura do cone. / seão produida é uma 4ip2r3o"e e<)i"átera, conforme mostra a figura 0.7. Vma 6ipér!ole dessa naturea possui seus dois ramos com iguais características geométricas.

one seccionado por um plano o!líquo ;igura 0.71

/ figura 0.72 mostra um cone esquem"tico sendo cortado pelo plano setor. Puando o plano setor est" perpendicular ao plano 6oriontal, ou seFa, quando ele for paralelo ao ei'o &e*, a seão resultante tem a forma de uma 6ipér!ole equil"tera. Resumindo% a 6ipér!ole equil"tera é um caso particular que acontece apenas quando o plano setor est" perpendicular ao c6ão, ou ainda, quando o plano setor é paralelo ao ei'o &e*.

one truncado apBs a seão ;igura 0.7

one esquem"tico mostrando a posião do plano setor perpendicular ao +L ;igura 0.72

1G2

Ggt Apostila Volume Teórico

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