texto cuadernillo 8 matematica

CUADERNO DE EJERCICIOS

Matemática

BÁSICO Verónica Muñoz Correa Ana José Chacón Aguirre

EDICIÓN ESPECIAL PARA EL MINISTERIO DE EDUCACIÓN PROHIBIDA SU COMERCIALIZACIÓN AÑO 2017

CUADERNO DE EJERCICIOS

Matemática

BÁSICO

Verónica Muñoz Correa Profesora de Matemática Pontificia Universidad Católica Ana José Chacón Aguirre Licenciada en Educación Matemática y computación Universidad de Santiago de Chile

Los ascensores de Valparaíso son un medio de transporte muy usado, debido a las características del emplazamiento de la ciudad, entre las cuales encontramos la pendiente de sus cerros. Algunos de los ascensores son tan característicos, que fueron declarados Monumentos Históricos Nacionales.

El Cuaderno de ejercicios Matemática 8.° básico, es una creación del Departamento de Estudios pedagógicos de Ediciones SM, Chile.

Dirección editorial Arlette Sandoval Espinoza

Dirección de arte Carmen Gloria Robles Sepúlveda

Coordinación editorial María José Martínez Cornejo

Coordinación de diseño Gabriela de la Fuente Garfias

Coordinación área Matemática Carla Frigerio Cortés

Diseño de portada Estudio SM

Edición Verónica Muñoz Correa

Diseño y diagramación Teresa Serrano Quevedo

Autoría Ana José Chacón Aguirre Verónica Muñoz Correa

Jefatura de producción Andrea Carrasco Zavala

Corrección de estilo y prueba Loreto Navarro Loyola Desarrollo de solucionario José Antonio Romante Flores

Este cuaderno corresponde al Octavo año de Enseñanza Básico y ha sido elaborado conforme al Decreto Supremo N° 614/2013, del Ministerio de Educación de Chile. ©2015 – Ediciones SM Chile S.A. – Coyancura 2283 piso 2 – Providencia ISBN: 978-956-349-952-0 / Depósito legal: 260988 Se terminó de imprimir esta edición de 231 000 ejemplares en el mes de octubre 2016. Impreso por A Impresores Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del “Copyright”, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

Presentación

Estimado y estimada estudiante: El siguientematerial fue diseñado para reforzar y profundizar los conocimientos y habilidades que trabajarás durante este curso. Te encontrarás con actividades que te motivarán para comenzar el estudio de nuevos conocimientos, repasando aquellos necesarios para enfrentar con éxito cada nueva unidad. Este material está organizado en las mismas secciones y lecciones del texto e incluye recursos para realizar en forma individual y grupal, además de páginas destinadas a actividades de integración y evaluación, como también páginas enfocadas a la resolución de problemas. Al finalizar cada unidad tendrás disponible actividades de cierre que integran los conocimientos y habilidades adquiridas durante el trabajo en ellas. Para maximizar el espacio e incluir la mayor cantidad de ejercicios y problemas te pedimos que realices los desarrollos en tu cuaderno y solo escribas tu respuesta en este Cuaderno, ya que contarás con un espacio para ello. Por último, en las páginas finales encontrarás las soluciones a los ejercicios y problemas incluyendo más de una opción para aquellas preguntas que lo requieran.

Este Cuaderno de ejercicios pertenece a:

Del curso:

Del colegio:

Matemática 8.º básico

3

Índice UNIDAD

1 Números

Sección 1

Operaciones con números positivos y negativos

¿Cómo multiplicar números enteros? ............ 6 ¿Cómo dividir números enteros? ....................... 8 Lección 3: ¿El cociente de dos números enteros es siempre entero? ......................................................10 Lección 4: ¿Cómo sumar y restar fracciones y decimales negativos? ...........................................11 Lección 5: ¿Cómo multiplicar números decimales y fracciones? ..........................................12 Lección 6: ¿Cómo dividir números decimales y fracciones? .....................................................................14 ¿Cómo voy? ...................................................................................................16 Resolución de problemas ...............................................................18

UNIDAD

2 Álgebra y funciones

Sección 4

algebraica? .........................................................................42

Lección 1: Lección 2:

Sección 2

Potencias y raíces cuadradas

¿Cómo calcular una potencia de base y exponente naturales?..............................20 Lección 8: ¿Cómo multiplicar potencias de igual base?, ¿y de igual exponente? .......................... 21 Lección 9: ¿Cómo dividir potencias de igual base?, ¿y de igual exponente?............. 23 Lección 10:¿Cuál es el valor de una potencia de exponente 0? ...........................................................25 Lección 11:¿Cómo se calcula una raíz cuadrada?.......... 26 Lección 7:

Expresiones algebraicas

Lección 15:¿Qué representa una expresión Lección 16:¿Cómo multiplicar expresiones

algebraicas? ......................................................................44 Lección 17:¿Cómo factorizar expresiones

algebraicas? ......................................................................46 ¿Cómo voy? ...................................................................................................48 Resolución de problemas ...............................................................50

Sección 5

Ecuaciones e inecuaciones

Lección 18:¿Cómo modelar situaciones

con ecuaciones? ............................................................52 Lección 19:¿Cómo resolver ecuaciones?............................... 54 Lección 20:¿Cómo modelar situaciones con

inecuaciones? ..................................................................56 Lección 21:¿Cómo representar la solución de

una inecuación? ............................................................57 Lección 22:¿Cómo resolver inecuaciones? .......................... 58

¿Cómo voy? ...................................................................................................60 Resolución de problemas ...............................................................62

Sección 6

Función lineal y función afín

Lección 23:¿Cómo relacionar la proporcionalidad

directa y la función lineal?.................................... 64

Lección 12:

¿Cómo raíces................................... cuadradas en....................27 la rectaubicar numérica? ¿Cómo voy? ...................................................................................................28 Resolución de problemas ...............................................................30

Sección 3

Variaciones porcentuales

Lección 13:¿Cómo calcular una variación

porcentual?........................................................................32 Lección 14:¿Cómo hacer cálculos usando variaciones porcentuales? ....................................34 ¿Cómo voy? ...................................................................................................36 Resolución de problemas ...............................................................38 ¿Qué aprendí? ...........................................................................................................................40

4

Índice

Lección 24:¿Cómo representar y analizar una

función lineal? .................................................................65

Lección 25:¿Cómo definir una función afín? ..................... 67 Lección 26:¿Cómo interpretar los parámetros

de una función afín? ..................................................69 Lección 27:¿Cómo analizar y graficar una

función afín? .....................................................................70 Lección 28:¿Cómo modelar situaciones usando las

funciones afín o lineal? ............................................72 ¿Cómo voy? ...................................................................................................74 Resolución de problemas ...............................................................76 ¿Qué aprendí? ...........................................................................................................................78

UNIDAD

3 Geometría

Sección 7

Área y volumen de prismas y cilindros

Lección 29:¿Cómo estimar el volumen de

UNIDAD

4 Estadística y probabilidad

Sección 10

prismas y cilindros? ....................................................80 Lección 30:¿Cómo calcular el volumen de

prismas y cilindros? ....................................................81 Lección 31:¿Cómo estimar el área de

prismas y cilindros? ....................................................83 Lección 32:¿Cómo calcular el área de

prismas y cilindros? ....................................................84 Lección 33:¿Qué aplicaciones tiene el cálculo del

volumen y área de prismas y cilindros? .... 86 ¿Cómo voy? ...................................................................................................88 Resolución de problemas ...............................................................90

Sección 8

Teorema de Pitágoras

de un gráfico? ...............................................................120 Lección 43:¿Cómo comparar gráficos? ................................ 122 Lección 44:¿Cómo escoger el

gráfico más adecuado para un requerimiento?........................................124 ¿Cómo voy? ...............................................................................................126 Resolución de problemas ...........................................................128

Sección 11

Sección 9

Transformaciones isométricas

Lección 36:¿Qué es y cómo se realiza

una traslación? ............................................................100

Medidas de posición

Lección 45:¿Qué es un percentil?.............................................130 Lección 46:¿Qué es un cuartil?

...................................................132

Lección 47:¿Cómo representar gráficamente

los cuartiles? ..................................................................134 Lección 48:¿Cómo construir diagramas de

cajas usando un software?................................. 136

Lección 34:¿Qué es y cómo se verifica el

teorema de Pitágoras? .............................................92 Lección 35:¿Qué aplicaciones tiene el teorema de Pitágoras? .............................................94 ¿Cómo voy? ...................................................................................................96 Resolución de problemas ...............................................................98

Interpretación y elección de gráficos

Lección 42:¿Cómo interpretar la información

Lección 49:¿Cómo comparar muestras usando

medidas de posición? ............................................138 ¿Cómo voy? ...............................................................................................140 Resolución de problemas ...........................................................142

Sección 12

Probabilidades

Lección 50:¿Qué es el principio multiplicativo? .......... 144 Lección 51:¿Cúal es la cardinalidad de un espacio

muestral? ..........................................................................146

Lección 37:

¿Qué es y cómo.................................. se realiza .............................102 una reflexión? Lección 38:¿Qué es y cómo se realiza una rotación? ................................................................104 Lección 39:¿Cómo realizar transformaciones isométricas en un software?............................. 106 Lección 40:¿Cómo componer transformaciones isométricas?....................................................................109 Lección 41:¿Cómo realizar teselaciones? .......................... 112 ¿Cómo voy? ...............................................................................................114 Resolución de problemas ...........................................................116 ¿Qué aprendí? .......................................................................................................................118

Lección 52:¿Cómo calcular probabilidades usando

el principio multiplicativo?............................... 148 ¿Cómo voy? ...............................................................................................150 Resolución de problemas ...........................................................152 ¿Qué aprendí? .......................................................................................................................154

Solucionario ............................................................................................................................156


5

Lección

1

¿Cómo multiplicar números enteros? Para multiplicar números enteros, se puede proceder de la siguiente manera:

Propósito Comprender la multiplicación de números enteros.

•

Se multiplican los valores absolutos de los números, de la misma forma que en las operaciones con números naturales. Para determinar el signo del resultado basta con observar los signos de los números presentes en la operación:

•

Si los números que se multiplican tienen el mismo signo, el producto es positivo.

•

Si los números que se multiplican tienen signo diferente, el producto es negativo.

Practiquemos lo aprendido Práctica guiada

1. Resuelve las siguientes multiplicaciones.

3. Calcula el resultado de cada expresión.

4 • 7 = 28

2 – 3 • (–2) + (–5) = 3

a. (–40) • 100 =

a. 2 • (2 • (–4) + (–7)) – 4 =

b. (–117) • 4 =

b. –12 • (–3) + (–5) • 5 + (–3) • (–6) =

c. (–12) • 6 =

c. (– 3) – 20 + 5 • (4 – 8) =

d. (–7) • (–9) =

d. –9 + 7 • 3 – 15 • 0 – 6 =

e. 1000 • (–99) = Aplica

f. 0 • (–9) = g. (–7) • 0 =

4. Identifica el error cometido en cada caso y corrígelo.

a. |–170| • 10 = –1700

h. (–201) • (–201) = i. 23 456 • 1 =

Corrección:

j. –(10 • 100 • 1000) = k. (–5) • (–3) • (–2) =

b. (18 + (–20)) • 10 = –380

2. Calcula el valor que falta en cada igualdad y completa.

Corrección:

7 • (–6) = –42 a. (–5) • b.

= –40 • 7 = 84

c. 0 • (–45) = –45 Corrección:

c. 689 • (–2) = d. (–689) • 2 = e.

• (–15) = 120

f.

• (–20) = 800

g.

• 5 = 17 + (–77)

h. 83 • i. (–1) • j. (–2 + 3) • k. 1000 •

5. Aplica la multiplicación de números enteros para calcular el valor pedido en cada caso.

a. El triple de –5.

= 8383 • (–1) = –1 =7 = –10 000

b. El producto del antecesor de –7 y el sucesor de –16.

c. El producto del antecesor de –10 y el inverso

aditivo de 14.

6

Unidad 1Números

Se cción

d. El doble del producto del inverso aditivo del

inverso aditivo de –4 y el elemento neutro de la adición en los números enteros.

e. El resultado de –2 tres veces por sí mismo.

1

2

3

1

g. Una pared está formada por 131 filas de 289 ladrillos

cada una. Si se necesita saber aproximadamente el número de ladrillos, ¿cómo aproximarías las cantidades? ¿Cuál sería el resultado aproximado? ¿Cuál sería el resultado exacto? R: h. Un bus tiene capacidad para 55 pasajeros. Si un

f. La suma de los primeros tres múltiplos de 5 y los

primeros tres múltiplos de 7.

pasaje cuesta $15 750, ¿cuánto dinero se recaudó en un viaje con el bus completo? R: i. Una bomba extrae el petróleo de un pozo a 820 m

6. Resuelve los siguientes problemas. a. Camila retiró de su cuenta de ahorro $ 8500 cada

mes durante 5 meses. ¿Qué cambio se produjo en su saldo?

R: b. Cierto día la temperatura de una ciudad descendió

3 grados cada hora, durante 4 horas seguidas. ¿Cuál fue el cambio total en la temperatura? R: c. En el mar, un buzo desciende 2 m cada

3 segundos. Si está en la superficie, y comienza a sumergirse ¿a qué profundidad se encontrará pasados 18 segundos? R: d. La temperatura al interior de un congelador es de

de profundidad y lo eleva a un depósito situado a 32 m de altura. ¿Cuántos metros recorre el petróleo? R: j. La temperatura baja aproximadamente 3 °C cada

500 metros. Si un avión sube 4500 m ¿cuántos grados ha bajado la temperatura? R: k. Una cámara de refrigeración baja su temperatura

en 3 °C cada 20 minutos. Si en un momento marca 25 °C, ¿cuánto tiempo se demorará en que en la cámara haya una temperatura de –8 °C? R: l. En promedio, en una escalera que va de un piso

a otro en un edificio hay 17 escalones de 18 cm cada uno.

20 y, luego de encendido, disminuye a razóncon de 4 °C°Cpor cada media hora. Si se ponen cubetas agua para hacer hielo, ¿Cuánto demora en llegar a

•

¿Qué altura tiene cada piso?

0 °C?

•

Si te encuentras en el piso 8, ¿a qué altura estás?

R: ¿Cuánto en lograr los –16 °C?

R:

R:

•

R:

Si el edificio tiene 4 subterráneos y tú estás en el tercero, ¿a qué profundidad te encuentras? R:

e. Julio y María venden mallas de paltas en la feria.

Las mallas de Julio contienen 10 paltas y cuestan $ 3500 cada una, mientras que las de María vienen con 12 paltas y cuestan $ 4800. Ayer Julio vendió 30 bolsas y María 20. ¿Quién vende las paltas más caras? ¿Quién recibió más dinero por las ventas? R: f. En un juego Rodrigo obtiene tres veces 7 puntos

a favor y dos veces 5 puntos en contra. Por otra parte, Francisca obtiene dos veces 6 puntos a favor y cinco veces 2 puntos en contra. ¿Cuál es el ganador del juego?

Desafío

En una fábrica de chocolates, se hacen 2750 bombones diarios. Por unidad su costo es $ 85 y el precio de venta es de $ 100. ¿Cuántos bombones se hacen en una semana si se trabaja de lunes a viernes? R:

En una semana se recaudaron $ 1 300 000, ¿cuánto se ganó o perdió esa semana? R:

R:


7

Lección 2 Lección

2

¿Cómo dividir números enteros? Al dividir números enteros, se procede de la siguiente manera:

Propósito Comprender la división de números enteros.

•

Se dividen los valores absolutosde los números, de la misma forma que en las operaciones con números naturales.

•

Para determinar el signo del resultado basta con observar los signos de los números presentes en la operación: Si los números que se dividen tienen el mismo signo, el cociente es positivo. Si los números que se dividen tienen signos diferentes, el cociente es negativo.


1. Resuelve las siguientes divisiones.

(–20) : 4 = –5

3. Si a Ф b = a • (–b) • (b : a), calcula el resultado en cada caso.

4 Ф 16 = 4 • (–16) • (16 : 4) = –256

a. (–360) : 60 = b. 0 : (–10 000) =

a. (–5) Ф 25 =

c. 48 : 8 =

b. 3 Ф 27=

d. 243 : (–81) =

c. (–4) Ф 4 =

e. (–10 800) : 5400 =

d. 2 Ф (–8)=

f. (–363) : 33 =

Aplica

g. (–286) : (–11) =

4. Resuelve los siguientes ejercicios combinados.

h. (–25) : (–5) =

a. 9 • (–6) : 54 =

i. (–1500) : (–1500) =

b. 9 : (–3) • 5 =

j. (–1500) : 1500 =

c. –7 • 13 • (–4) =

k. (–783) : (–9) : (–3) = l. (18 : (–6)) : (–3) =

d. 4 • (–7 + 3) = e. 42 • 8 : (–6) =

2. Calcula el valor que falta en cada igualdad y completa.

21 : (–3) = –7 a. (–5 000) : 500 =

h. (–5) • (–8) – (–56) : (–4) =

b. (–252) : 4 =

i. –16 : (–2) : 4 + (–20) : 4 =

c.

: (–15) = 13

d. (–816) :

= –68

e. 299 :

= –23

f. 10 000 :

= –100

g. 0 : (–100) =

5. Aplica la división de números enteros para calcular el valor pedido en cada caso.

divisor 14.

i.

: (–17) = –13

j.

: (–1) = –1

k. (–358) : l.

j. 3 – 2 : (–2) + (–15) : (–3) = k. 2 • (20 – 2 • 4) : (–4) + 3 • (–5) =

a. El cociente de una división con dividendo –588 y

h. 1378 : (–689) =

8

f. 8 • (–6) : 4 = g. (50 – 25) • 0 – 16 : 4 =

= –2 : 12 = –12

Unidad 1Números

b. El divisor de una división con dividendo 150 y

cociente –6.

Se cción

c. El dividendo de una división con divisor –4 y

cociente 16.

1

2

3

1

f. Marcos registró la masa, en gramos, que ha

perdido semanalmente: –200, –50, –150 y –100. En promedio, ¿cuánta masa ha perdido?

d. El resultado de –2 tres veces por sí mismo y luego

R: g. El cociente de dos números es –16 y el divisor es

dividido por –8.

–8, entonces ¿cuál es el dividendo? e. El divisor si el dividendo es 24 y el cociente es –2.

R: h. Observa la siguiente sucesión de números enteros:

6. Calcula el valor de Y que se obtiene al aplicar sobre X

–144, 72, –36, 18…. Si se mantiene el mismo patrón, ¿cuál es el siguiente término de la sucesión? R:

las operaciones sucesivas, según el esquema. X

Multiplica por →

C

a. X = 12

C=4

b. X = –28 c. X = 50 d. X = 42

Divide por →

D

→

Y

D=3

Y=

C = –2

D = –4

Y=

C = –8

D = –5

Y=

C=8

D = –6

Y=

i. El producto de dos números es –48. Si uno de los

factores es 12, ¿cuál es el otro factor? R: j. ¿Cuál es el sucesor del resultado de esta operación

–60 : 12 – 3 • (–2) + 2? R: k. Un submarino se encuentra a –88 m y después de

7. Resuelve los siguientes problemas.

a. Un montañista se encuentra a 1500 m sobre el

nivel del mar y asciende hasta los 2800 m en 4 horas. ¿Cuántos metros ascendió por hora? R: b. Las temperaturas mínimas registradas durante

los 5 primeros días de invierno fueron: –4 °C; –2 °C; –3 °C; –1 °C; –5 °C. ¿Cuál fue la temperatura promedio durante esos 5 días? R: c. En un edificio, la altura de cada piso es de 3 m. Si

estamos a 18 metros de profundidad, indica con un número entero, el subterráneo en que nos encontramos. R: d. En un estanque hay 900 litros de agua. Por la parte

superior, una llave vierte en el estanque 15 litros de agua por minuto, y por la parte inferior, por una manguera salen 20 litros por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el estanque después de 15 minutos de funcionamiento?

2 horas a – 44 m. Si su ascenso ha sido constante, ¿a qué profundidad está media hora después de haber comenzado a subir? R: l. ¿Cuál es el número que corresponde a la tercera

parte de –27 aumentada en el resultado de la resta entre –12 y –7? R: m. Gracias a una oferta bancaria, Ximena solicita un

crédito sin interés de $ 672 000 en 12 cuotas que se descontarán de su saldo en su cuenta corriente. ¿Qué monto referente al crédito solicitado aparecerá en su estado de cuenta? R: n. En cierta ciudad a las 16:00 h se registró

una temperatura de 31 °C y a las 20:00 h los termómetros marcaban 23 °C. Si la temperatura bajó la misma cantidad de grados cada 30 minutos. ¿Qué temperatura había a las 18:30 h? R: Desafío

R: e. Un día de invierno, a las 9 de la mañana, la

temperatura es –3 °C y a las 3 de la tarde es 21 °C. Si la temperatura ha aumentado uniformemente, ¿cuántos grados ha subido por hora? R:

Un número entero cumple las condiciones siguientes: su valor absoluto es mayor que 5 y menor que 9 y cuando se divide por 2 su cociente es negativo, ¿cuál puede ser su valor? R:


9

Lección

3

El cociente de dos números enteros, ¿es siempre entero?

Propósito Explorar el cociente de números enteros.

•

Cuando se dividen números enteros los cocientes pueden ser números enteros, decimales o fracciones negativas o positivas.

•

Cada fracción, ya sea positiva o negativa, se puede expresar en forma decimal.


Aplica

1. Representa cada división, primero como fracción y luego como decimal.

–3 _

15 : (–20)

→

4

→

a. 3,5; –4,2; 0,8; –0,4

–0,75

a. (–2) : 5

=

=

b. (–27) : (–18)

=

=

c. 16 : 50

=

=

d. (–9) : 6

=

=

5. Identifica el número menor (m) y el mayor (M) de cada grupo de números racionales.

b.

m= m=

;M=

_

m=

;M=

m=

;M=

6 3 12 4

_

c. –6,4; 24; –0,6; 19

5 8 d. 7 ; –3 ; 0,6 ; –2 5 10 4

__

2. Realiza las siguientes divisiones y luego ubica los cocientes en la recta numérica.

;M=

–8 ; _ –3 1 ;_ _5 ; _

_

6. Resuelve los siguientes problemas justificando tu respuesta.

a. Descubre un patrón y escribe los siguientes cuatro

–3 : 15 = –0,2

términos de la sucesión: 32; –16; 8; … a. 2 : –5 =

d. 3 : 5 =

b. –32 : –40 =

e. 7 : 14 =

c. –4 : 5 =

f. –54 : 90 = b. En la cartola de la cuenta corriente de Andrés –0,2

–1

0

1

aparece un saldo de –$ 158 625. Si decide pagar su deuda en 6 cuotas, ¿cuál será el valor de cada una?

3. Cambia cada fracción a su expresión decimal.

–3 > –3 : 5 = –0,6 _ 5

_

_ 5 13 = _

d. –8 =

a. –7 =

8 6= b. _ 5 c. –15 = 12

e.

_

2 _

f. –38 = 4

4. Escribe cada decimal como fracción irreductible.

_

_

3 –1,6 = –16= –8 =–1_ 5 10 5

10

a. –3,4 =

d. 1,1 =

b. 0,9 =

e. –0,8 =

c. –1,3 =

f. –2,6 =

Unidad 1Números

c. Por recomendación médica Antonio se puso a

dieta, registrando la pérdida de masa corporal semanal en la siguiente tabla. Semana Pérdida (kg)

1

–3 _ 4

2 –1,2

3

–7 _ 5

4

–0,8

¿En qué semana perdió más masa corporal? Justifica tu respuesta.

Se cci ón

4

Lección

1

2

3

1

¿Cómo sumar y restar fracciones y decimales negativos?

Propósito Representar adiciones y sustracciones de fracciones y decimales positivos y negativos.

•

Para sumar fracciones y decimales debes considerar la regla de los signos: Si tienen igual signo, se conserva el signo de los sumandos y se suman los valores absolutos. Si tienen distinto signo, se restan los valores absolutos y se conserva el signo del sumando de mayor valor absoluto.

•

Para restar fracciones y decimales, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.

•

Para resolver operaciones combinadas de adición y sustracción, se procede de izquierda a derecha.


1. Completa las operaciones con las cifras que faltan. c. 6 , 4 3 1 , 3 4

+ 2 , 9 8 7 9 , 4 1 8 a. –

b.

d.

7 , 4 8 2 , 4 5 , 3 2 1 4 , 3

+

–

–

e.

7

6 , 2 8 2 , 8 2 6 , 1 7 2 , 5 9 , 7 6 2 ,

, 6 9 8 , 0 2 1

+

4

0

, 2 1 9 , 1 6

a. Dos unidades y una centésima. b. 24,8 + 10,96 c. 190,543 – 64,091 d. Valor posicional de 3 en 1,23. e. 46,852 + 89,05 + 118,235 f. 1,059 – 1 – 0,058 g. Siete décimas. Aplica

4. Resuelve los siguientes problemas. a. Tres amigas salieron a caminar. Amalia recorrió

4,12 km, Luciana recorrió 1,55 km más que Marta y Marta recorrió 1 8 k m menos que Amalia. 25 ¿Cuántos kilómetros recorrieron Luciana y Marta?

_

2. Resuelve las siguientes operaciones.

_5 – _4 – _1 = _2 ( ) 9

_

6

3

1–_ 4= a. –1 – _

9

_ _ _ (_ _)

5+ 2 + 5 = c. _

2 8 5 3–_ 3– 3 = b. _ 5 7 10

6 10 10 d. –9 – 2 + 5 = 10 10 10

_

R: b. Para preparar una torta, Jorge utilizó 1,75 kg de los

14 kg de harina que tenía. Si para una nueva _

5 3 k g, ¿cuántos kilogramos preparación necesita 1_ 4 le faltan?

3. Completa el siguiente crucigrama.

d. c.

R:

f.

Desafío

g. b.

Una parcela tiene 600 m2 y se quieren sembrar dos sextos de su superficie. De lo restante, se ocuparán tres cuartos paramide construir una casadel y elterreno resto para juegos. ¿Cuánto la superficie que se ocupará para cada una de los propósitos señalados?

e. a. 2

,

0

1

R:


11

Lección

5

¿Cómo multiplicar números decimales y fracciones?

Propósito

•

Multiplicar fracciones y decimales negativos.

Para multiplicar números racionales debes considerar la regla de los signos. +•+

+•– +

–•–

•

– –•+

Luego de saber el signo del producto, debes multiplicar el valor absoluto de los factores.


Aplica

1. Calcula los siguientes productos. 72,345 • (–100) = –7234,5

b. m = –4 y n = 6

b. –3,111 • (–0,86) =

c. m = –2 y n = –3

c. 25,3 • 40,17 =

d. m = –2 y n = 5

d. 96,022 • (–1,5) =

e. m = 3 y n = –4

e. 12,65 • (–3,47) =

f. m = 9 y n = 3

f. –1 000 • 0,001 = 4•1 2 = g. _

_

h. i. j. k.

4. Completa los rectángulos encontrando cada producto.

16

–8 • _ 144 = _ 12 80 –9 _ –34 _ 17 • 729 = 2•1_ 1 •_ –7 = 2_ 3 14 4 –6 • _ 4 •_ –12 • _ 8 _ 8

12

4

a.

0,3 •

3

b.

e.

12

2 7= ( –6,7 ) • 2,1 • _ 9 1 • –1 = –1,5 • _ 2 10 ( –1,4 ) • 5,4 + 1 = 10 –0,75 • 32 – 12 • –5 = 21 24

_

(

_

–0,8 •

0,5 •

–0,3 •

1,4 •

–0,1 •

1,1 •

1,53

3 2

1 • ( –2,1 ) = a. 3 _

d.

2,4 •

6

_8 • 1,5 = _8 • _3 = 4

c.

1,21 •

5,1

2. Calcula el valor de las expresiones siguientes.

b.

)

a. m = –1 y n = 3

a. –3,056 • 1,2 =

3

( _) (

1 para cada par de 3. Calcula el valor de 1 – 1 • 1 + _ m n valores de m y n.

_) _

Unidad 1Números

–4,6

c.

3,2

Se cción

5. Completa las siguientes multiplicaciones.

a. b.

–2 • _ = _ 1 _ 3 8 2 6 14 = _ _• _ 7

5

5

c.

–3 = _ _1 • _

5 10 d. _ • –2 = 1 4 15 10

_ _


a. Las dos séptimas partes de un muro están

pintadas, lo que corresponde a 14 m2. ¿Cuántos metros cuadrados del muro no están pintados? R: b. Un colegio tiene 2322 alumnos, de los cuales

cinco novenos son mujeres. ¿Cuántos varones hay en el colegio? R:

6 de la superficie están c. En un diario mural, _

8 cubiertos con imágenes. De ese espacio, se 2 con fotografías de automóviles. ocuparon _ 5 ¿Qué fracción del diario mural se destinó a fotos de automóviles? R:

d. De mi casa al colegio hay una distancia de

1200 metros. Cinco sextos del recorrido los hago solo y el resto, con Juan. ¿Cuántos metros camino con Juan? R: e. Se deja caer una pelota desde una altura de

120 cm. En cada rebote, alcanza dos tercios de la altura anterior. Determina la altura que alcanzará en el tercer rebote. R: f. Si por cada transacción internacional un banco

cobra 5,63 dólares, ¿cuántos dólares debe pagar una persona que realizó 25 de estas operaciones bancarias?

R: g. Se tienen 124 cajas con 21 bolsas cada una. Si la

masa de cada bolsa es 10,54 kg, ¿cuál es la masa de cada caja? R:

¿Cuál es la masa de todas las cajas? R:

1

2

3

1

h. Si el lado de un cuadrado mide 2,75 cm, ¿cuál es

su área? R: i. Una persona pide un préstamo de 20,49 UF, que

pagará en 9 cuotas de 2,85 UF cada una. Una vez que termine de pagar todas las cuotas, ¿cuál será el interés cancelado? R: j. En algunos países, como Estados Unidos

se utiliza la escala Fahrenheit para medir la temperatura. La fórmula que se aplica para convertir de grados Fahrenheit (F) en grados 5 • ( F – 32 ). Si el pronóstico Celsius (C) es C = _ 9 para el día de hoy en Nueva York es de 69 °F la temperatura máxima y 54 °F la mínima, ¿qué temperaturas extremas tendrá Nueva York en grados Celsius? R: k. El Rally Dakar 2015 realizado en Chile, Argentina

y Bolivia recorrió 9000 km en total. Cierto corredor tiene problemas mecánicos en la tercera parte de la primera mitad. ¿Qué distancia alcanzó a recorrer antes de la falla mecánica? R:

Un corredor chileno se ve obligado a parar en 3 de la carrera. ¿Qué distancia ha los 8 de los _ 4 ahora? 10 recorrido hasta

_

R: l. La variación de temperatura durante las últimas

5 horas fue, en total, –2,4 °C por hora. ¿Cuál fue el cambio total en la temperatura? R: m. El largo de un rectángulo es 38,5 cm y su ancho

mide 2,5 cm. ¿Cuál es la medida de su área? R: Desafío

Del total de los asistentes a un taller musical, un sexto fueron mujeres adultas y un décimo, hombres adultos; del resto, las dos terceras partes correspondieron a niñas. Si la cantidad de niños fue de 88, ¿cuántos hombres, mujeres y niñas asistieron al taller?

R:


13

6

Lección

¿Cómo dividir números decimales y fracciones?

Propósito

•

Resolver problemas dividiendo números decimales y fracciones.

Para dividir fracciones y decimales negativos debes considerar la regla de los signos. +:+

+:– +

–

–:–

•

–:+

Luego de saber el signo del cociente, debes dividir el valor absoluto de las fracciones o decimales.


1. Calcula los siguientes cocientes de decimales.

3. Completa la siguiente tabla.

–40,159 : 1,31 = 4 015,9 : 131 ≈ –30,656

• a. b. c. d.

a. 3,6 : 5 = b. 1 980,2 : (–10) = c. –4796,19 : (–105) = d. –20,48 : 3,2 = e. –12,125 : (–4,85) =

5

12

31,9

6,38

256,14 59,778

4. Escribe el valor que falta en cada caso. La letra A representa el área de la figura.

g. 40,159 : 1,31 = h. 0,891 : 2,2 =

a.

d.

i. 13,583 : 12,05 = 2. Calcula los siguientes cocientes de fracciones.

_

_

_

A = 5,4 m 2 2,9 m

2,96 m

_

15 : 35 = 15 • 90 = 15 • 90 = 1350 = 54 = _ 6 45 90 45 35 45 •35 1575 63 7

4 : 12 = a. _

14,76

Aplica

f. 57,599 : 2,89 =

__ _ _

3,8

159,6

x

6,324 m

4,3 m

=

A

=

x

3 16

__

b. 5 8 : 8 =

b.

A = 15,939 cm2

10 30

c.

_ _ _ 3 9

3 9 27

=

_

6 5_ 22 = _ 40 _ 30

_

6

36

4 : 1 10 = f. 6 _

14

8,42 cm

2,3 cm

1 : 34 = d. 4 _ 4 32 e.

e.

Unidad 1Números

b

=

b

c.

=

12,35 cm

A f.

2,85 cm

A = 42,5 cm2 z

2,85 cm 12,5 cm

=

A

=

z

Se cción

5. Calcula las operaciones indicadas y compara los resultados utilizando los signos <, > o =.

a.

_3 • _5

10 _5 : _

b.

8 2•_ 4_

14 : _ 42 _

5 3

3•2_ 6 c. _ 7

9

d.

12 : _ 24 _ 44 11

_

6 e. 3 5 • _ 10 7

1

una de ellas?

7 21

R:

32 • _ 3 _

h. ¿Cuántos envases de tres cuartos de litro se

33 4

necesitan para envasar el agua contenida en 512 envases de un litro y cuarto?

_1 : _3 2 4

__

R:

2 9 : 58 10 10

i. Javier está manejando su automóvil en la carretera,

a una rapidez constante. A las 13:00 pasa por la marca que indica 47 km y a las 13:30 pasa la marca del kilómetro 107. ¿Con qué rapidez recorrió Javier

a. Un jarro contiene dos litros y cuarto de jugo, que

se desean repartir en vasos con una capacidad de cinco octavos de litro cada uno. ¿Cuántos vasos se ocupan? ¿Qué cantidad de jugo sobra?

esa distancia?

R: j. La excavadora más grande del mundo, la

R:

Bagger 288, cava 0,6 km en una hora. ¿Cuánto se demorará en cavar un pozo de 1,13 km de profundidad?

1 kilogramos de Cinco compañeros compran 3_ 4

carne para hacer un asado. Si un kilogramo de carne cuesta $ 4980 y deciden pagar en partes iguales entre todos, ¿cuánto dinero le corresponde poner a cada uno?

R: k. Si una milla equivale a 1,609 kilómetros y un

kilómetro equivale a 1093,61 yardas, ¿cuántas yardas hay en una milla?

R:

5 m de largo se quieren hacer c. De una cinta de _

3 1 m. ¿Cuántos lazos se pueden obtener? lazos de _ 6

R: l. Una nevera industrial varía su temperatura de los

14 °C a los –8 °C en 5 minutos.

•

R:

d. Si se disolvieron 1,925 litros de limpiador

•

R:

m. Si una pulgada equivale a 2,54 cm, ¿cuánto mide,

en centímetros, un televisor de 39 pulgadas?

R:

R:

f. ¿Cuántos vasos de 0,2 litros se pueden llenar

1 latas de bebida, si cada una contiene con 15_ 2 0,35 litros?

¿Cuánto tiempo debe pasar para que la nevera pase de estar de 3 °C a –11 °C?

R:

e. Se quiere cortar un lazo de 3,8 m de largo en trozos

de 0,5 m. ¿Se pueden obtener ocho trozos?

¿Cuántos grados baja cada segundo si la disminución de temperatura es constante?

R:

concentrado en 38,5 litros de agua, ¿cuánto limpiador fue disuelto por cada litro de agua?

R:

3

Si una de las personas tiene una masa corporal de 75,43 kg y las otras dos personas tienen la misma masa entre ellas, ¿cuál es la masa corporal de cada


b.

2

g. La masa corporal de tres personas es de 272,03 kg.

3 6

4 3

1

Desafío

Una piscina dispone de dos entradas de agua para su llenado. Si solo se usa la primera, la piscina tarda 5 horas en llenarse. Si solo se usa la segunda, tarda 3 horas. ¿Cuánto demorará en llenarse con los dos grifos abiertos a la vez? R:


15

¿Cómo voy? Lee los recuadros de la izquierda y luego resuelve los ejercicios y problemas propuestos. Recuerda la regla de los signos: Si los factores tienen igual signo, el producto es positivo. Si los factores tienen diferente signo, el producto es negativo. Primero resuelve los paréntesis, luego las multiplicaciones, finalmente las sumas y las restas.

Lección 1 1

Calcula los siguientes productos. a. 4 • (–7 + 3) = b. –7 • 13 • (–4) = c. 3 – 2 • (–2) + (–15) • (–3) = d. 2 • (20 – 2 • 4) + (–4) + 3 • (–5) =

2

Calcula considerando la prioridad de las operaciones. a. 2 – 2 • {2 – 3 • [2 – 3 • (2 – 3)]} = b. {4 + [–10 + 2 – (4 – 1)] + (8 – 5 + 2)} = c. – [– (–3 – 20) + 5 • (4 – 8) + (–6 + 4) • 2] = d. (–50) • (5 + 6) + (–2) • [(8 + 3) • (2 – 1)] = e. –2 • {–5 + (5 –1) • (–3) + 2 – (2 – 5) • (–2 –1)} = f. {–[4 – 2 • (12 – 3)] + [2 • (–6 – 5)]} + 3 • (–2) =

Lecciones 2 y 3

Recuerda que la regla de los signos es la misma para la multiplicación y la división. No siempre el cociente de dos números enteros es un número entero, este puede ser una fracción o un decimal, positivo o negativo.

3

4

Calcula los siguientes cocientes. a. –6 : 3 =

c. (–75 + 3) : 3 =

b. –28 : (–4) =

d. (6 – 48) : (2 : –7) =

Selecciona los cocientes que no pertenecen al conjunto de los enteros. a. 81 : –6 =

c. –70 : –7 =

b. –80 : 5 =

d. –42 : 5 =

e. 13 : 3 =

Lección 4

Para sumar y restar fracciones y decimales negativos se combinan las reglas para la suma y resta de fracciones y decimales y la regla de los signos.

5

Conecta cada operación del lado izquierdo con su respectivo resultado del lado derecho.

3 – 0,5 a. –_

–8,9

4

_

1 –2,6 + _

–3,31

c. 16,5 – 25,4

–1,25

b.

d.

2

17 –5,2 + _

–2,1

9

Lecciones 6 y 7

Recuerda que la regla de los signos de los números enteros es la misma para los decimales y fracciones negativos. En los ejercicios que combinan fracciones y decimales, se deben cambiar todos los términos al mismo tipo de expresión y luego resolver.

16

Unidad 1Números

6

7

Resuelve los siguientes ejercicios. a. –3 • 12 = 4 15

c. 3,2 • (–0,21) =

b.

d. –16 : –25 =

__ –6 : 0,16 = _ 5

Determina un posible valor de A y B. 1 a. –1 • A = _ 4 15 5

__

_ _ 15 24 _5

b. –6 : B = –1

Se cción

1

2

3

1

Desafíos de integración 1.

Resuelve los siguientes problemas. a. Un automóvil debe recorrer 300 km en 3 horas.

2 de la distancia, _ 1 la La primera hora recorre _

3 12 segunda hora y la tercera hora el resto. ¿Cuántos kilómetros recorre en la tercera hora? R:

b. La Edad Antigua abarca del 3000 a. C. al 476 d. C.

¿Cuántas décadas completas comprende dicho período?

h. ¿Cuál es el doble del producto del inverso aditivo

de –4 y el sucesor de 5? R:

i. Un corredor de larga distancia comienza una

carrera a una rapidez promedio de 4 km/h. Media hora más tarde, un segundo corredor empieza la misma carrera pero a su rapidez promedio es de 5 km/h. ¿Cuánto tiempo tardará el segundo corredor en alcanzar al primero? R:

R: j. Camila es visitadora médica y trabaja en la c. El triple de la suma de dos números es 126. Si uno

de ellos es –7, ¿cuál es el otro número? R:

1 de hora mañana de 9:00 a 13:00. Si se demora _ 3 1 _ en cada visita y de hora yendo de una ocina a 6 otra, ¿cuántas visitas alcanza a realizar? R:

d. Si a cuatro veces mi edad le sumo 4 años, tendría

100 años. Entonces, ¿cuál es mi edad? R:

e. Teresa se resfrió durante un viaje a Australia. Allá

usó un termómetro con la escala Fahrenheit y este marcó 102 °F. ¿Cuál era su temperatura en grados Celsius? 5 (F – 32) Recuerda: C = _ 9 R:

f. Un submarino se encuentra a 103 m bajo el nivel

del mar. Comienza a subir lentamente, a razón de 3,75 m cada media hora. ¿Cuánto se demorará en llegar a la supercie? R:

g. Al comenzar Junio, Andrés tenía $ 125 000. Paga

cuentas por $ 85 000 y sus gastos promedio diarios son de $ 2530. ¿Cuánto tiene al nal del mes? R:

k. ¿Cuál es la diferencia de nivel entre un objeto que

vuela a 1500 m de altura y otro que se encuentra a 350 m bajo el nivel del mar? R:

l. En el casino de la empresa donde trabaja Jorge

le dan diariamente una colación, pero él debe anotar $ –2300 cada vez para pagarlas todas juntas los días viernes. Si trabaja cinco días a la semana, ¿cuál sería su deuda después de cuatro semanas? R:

m. Un curso de 36 estudiantes está organizando su

esta de graduación y dispone de $ 3 200 000 para los gastos. Cada estudiante asistirá con dos acompañantes y por concepto de cóctel deben gastar $ 3200 por persona, por la cena deben pagar $ 19 000 por persona y además, un presente para cada uno de los estudiantes que tendrá un valor de $ 7800. ¿Cuánto dinero necesitan para costear todos los ítems? R:


17

Resolución de problemas Recuerda que al resolver un problema siempre debes:

Estrategia: Construir un diagrama Cuando un problema está relacionado con distancias o lugares, puedes hacer un diagrama que muestre los datos y las relaciones entre ellos.

1

• •

Determinar qué información se quiere obtener.

• •

Crear un plan para resolver el problema y aplicarlo.

Anotar los datos que te sirven y descartar aquellos que no te sirven. Verificar la respuesta obtenida y comunicarla.

Resuelve los siguientes problemas utilizando la estrategia presentada.

a. La temperatura del aire baja a medida que

aumenta la altitud, aproximadamente 9 °C cada 300 metros. Si en la superficie la temperatura es 0 °C, ¿a qué altura vuela un avión si la temperatura del aire es de −81 °C?

f. Martín se demora 5 horas en cosechar una

hectárea, mientras que Paula es capaz de hacerlo en 4 horas. Si trabajan juntos, ¿cuántas horas tardarán en cosechar 6 hectáreas? R:

R:

b. ¿Cuál es la diferencia entre el sucesor de 12 y el

antecesor del producto de –12 y 2? (Recuerda que una recta numérica también se puede considerar como un diagrama)

3 de su capacidad. g. Un estanque tiene ocupada _ 4 Si tiene 80 litros de agua, ¿cuál es su capacidad máxima? R:

R:

h. Las líneas de longitud son círculos máximos que c. Una cuerda de 2 m de largo se corta en dos trozos

2 de la de tal manera que uno de ellos equivalga a _ 5 cuerda. ¿Cuánto mide el otro trozo? R:

pasan por los polos y se llaman meridianos. La distancia equivalente a 1° de longitud es 111 km. Si dos ciudades están a la misma latitud, pero la longitud de una es –6° y la de la otra es –12°, ¿a qué distancia están las ciudades? R:

d. Martina practica buceo y lleva el siguiente registro de

las profundidades, en metros, a las que ha llegado en los últimos entrenamientos: –15, –32, –18 y –15. En promedio, ¿a qué profundidad ha buceado? R:

i. Luis anotó en su agenda $ –28 600, para acordarse

que le debe esa cantidad a su mamá. Si decide pagarle en 5 cuotas, ¿cuál debería ser el monto de cada cuota?

R: e. ¿Cuál es la diferencia de nivel entre dos objetos

que se encuentran a 2300 m de altura y 535 m bajo el nivel del mar, respectivamente? R:

18

Unidad 1 Números

Se cción

2

1

2

3

1

Utilizando la misma estrategia u otra que consideres adecuada, resuelve los siguientes problemas. a. El producto de dos números es –72. Si uno de los

factores es –9, ¿cuál es el otro factor? R:

e. Un delfín se encuentra a 5,2 m bajo el nivel del

mar y un submarino está a 22,8 m, directamente bajo el delfín. ¿Qué distancia hay entre ellos? R:

b. Las tres quintas partes de una piscina están con

agua, lo que corresponde a 25 3m . ¿Cuántos metros cúbicos de agua faltan para llenar la piscina? R:

f. Las dos quintas partes de una bolsa de

chocolates tienen coco, esto equivale a 125 gramos. ¿Cuántos gramos de chocolates en la bolsa no tienen coco?

R: c. Cada 15° de longitud cambia el huso horario

en una hora, es decir, de este a oeste se suma una hora. Si Camila viaja a un lugar cuyo huso horario es –4 horas, ¿cuántos grados y en qué dirección viajó? R:

d. La suma de dos números enteros es –24 y uno de

ellos es el triple del otro. ¿Cuáles son los números? R:

g. La variación semanal del precio de cierta acción

fue $ –25. Si Esteban tiene 238 acciones, ¿cuánto perdió en esa semana? R:

h. En el mar, cerca de una isla, se encontró un

tesoro ubicado a –30 m. Si un buzo se sumerge 4 m cada 6 minutos, ¿al cabo de cuánto tiempo llegará al tesoro? R:

3

Con la información dada en cada caso, crea problemas que puedan ser resueltos con la ayuda de un diagrama y utilizando los contenidos de esta sección. Compártelos con tus compañeros. a. Un jarro que contiene cinco litros y tres cuartos

b. El perímetro de un cuadrado es 2,76 cm.

de jugo y vasos con capacidad de tres octavos de litro cada uno.

Pregunta:

Pregunta:

Respuesta:

Respuesta:

Revisando mis procesos Responde las siguientes preguntas sobre la estrategia de dibujar un diagrama. 1. ¿Utilizaste la misma estrategia en todos los problemas? Si no fue así, ¿por qué?

2. Si aplicaste otra estrategia, explícala.

3. ¿En qué caso crees que no es práctico dibujar un diagrama?


19

7

Lección

¿Cómo calcular una potencia de base y exponente naturales?

Propósito Calcular una potencia de base y exponente natural.

•

•

En la expresión an, a es la base y n es el exponente. Para calcular una potencia de base natural y exponente natural, puedes utilizar la siguiente expresión: an = a • a • a • … • a, con a y n ∈ ℕ n veces Es decir, se debe multiplicar la base tantas veces como indique el exponente.


1. Representa como una potencia los siguientes

productos: 5•5•5•5

3. Compara cada par de números. Luego, escribe = o ≠

según corresponda. =

54

24

42

a. 7 • 7

=

b. 11 • 11 • 11

=

b. 73

37

e. 84

48

c. 8 • 8 • 8 • 8

=

c. 17

170

f. 104

1002

d. 4 • 4 • 4 • 4

=

e. 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1

=

f. 9 • 9 • 9 • 9 • 9

=

g. 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2

=

h. 12 • 12 • 12 • 12 • 12 i. 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3

= =

a. 83

=

=

b. 74

=

=

c. 65

=

=

6

d. 5

=

=

e. 44

=

=

f. 542 =

=

g. 453 =

=

h. 213 =

=

i. 155 = j. 664 =

= =

Unidad 1 Números

2

x y

x x

multiplicación iterada y calcula su valor. =

360

pedidos. Si x > 5

= 3•3•3•3•3

d. 62

4. Analiza el esquema y luego calcula los valores

2. Representa las siguientes potencias como una

35

210

Aplica

j. 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 =

20

=

a. 45

243

3

Si x < 5

a. x = 2 → y =

c. x = 6 → y =

b. x = 4 → y =

d. x = 8 → y =


a. Un estante para libros tiene 4 repisas. En cada repisa caben 4 enciclopedias y cada enciclopedia está compuesta por 4 tomos. ¿Cuántos tomos de enciclopedia caben en el estante?

b. Una persona escucha un rumor, dos horas después ya se lo había contado a dos personas, cada una de las cuales, dos horas después se lo cuentan a otras dos que no lo conocían y así sucesivamente. ¿Cuántas personas han escuchado el rumor después de 32 horas?

Sección 1

8

Lección

2

3

1

¿Cómo multiplicar potencias de igual base?, ¿y de igual exponente?

Propósito Explicar y representar las propiedades de la multiplicación de potencias.

•

•

Para multiplicar dos potencias de igual base, se mantiene la base y se suman los exponentes. 53 • 54 = 53+4 = 57 Para multiplicar dos potencias de igual exponente, se mantiene el exponente y se multiplican las bases. 53 • 63 = (5 • 6)3 = 303


Aplica

1. Representa cada expresión como una potencia.

122 • 52 = (12 • 5)2 = 602 a. 5 • 53 =

=

b. 34 • 54 • 24 =

=

c. 52 • 32 • 22 =

=

5. Escribe el valor que debe tener

a. 5

• 53 = 57

b. 2

• 23 • 2 = 212

=

10

=

=

2

d. 72 • 72 • 72 =

c. 3 • 3 • 3 = 3

=

2. Determina, en cada ejercicio, una base común y

reduce las expresiones a una sola potencia.

b. 32 • 8 • 64 = c. 6 • 216 • 1296 = d. 100 • 1000 • 10 000 =

=

=

Por ejemplo: 65 = 62 + 3 = 62 • 63 c. 125 =

b. 58 =

d. 2143 =

4. Representa cada potencia como el producto de dos potencias de igual exponente. (Considera que puede haber más de una respuesta correcta)

Por ejemplo: 65 = (2 • 3)5 = 25 • 35

6. Indica si los siguientes ejercicios están bien resueltos

a. 23 • 33 = 6Sí3

No

b. 42 • 72 = 11 Sí2

No

Sí 8 c. 54 • 54 = 25

No

7. En cada caso, calcula el valor de la expresión: P = x • yn • (x • y)n

a. x = 4, y = 3, n = 2

P=

b. x = 3, y = 2, n = 3

P=

c. x = 4, y = 5, n = 1

P=

8. Une con un segmento cada expresión del lado

izquierdo con su simplificación del lado derecho. a. 8 • 108 • 16 • 1012 • 20 • 105 2

b. 128 =

3

d. 4512 =

2

8

b. 2 • 10 • 6 • 10 • 9 • 10 3

c. 185 =

=

=

a. 23 =

a. 8 =

10

=

3. Representa cada potencia como el producto de dos potencias de igual base. (Considera que puede haber más de una respuesta correcta)

3

d. 2 • 3 =6

o no y explica por qué.

9 • 27 = 32 • 33 = 35

a. 125 • 25 • 5 =

para que cada

igualdad sea correcta.

4

4

64 • 1015 28 • 1026

7

c. 24 • 10 • 36 • 10 • 9 • 10 d. 4 • 102 • 25 • 105 • 20 • 102

12

2 • 10 65 • 1014

e. 214 =


21


a. Considera las cantidades: P = 64 • 16 • 8 • 4 y Q = 27 • 4 • 2 3 • 8 Utilizando solo las propiedades de las potencias y sin calcular las cantidades, indica cuál de ellas es la mayor. Justifica tu respuesta.

i. ¿Cuál es el área del triángulo de la figura? Escribe el resultado como una potencia.

82 cm

R: b. Las dimensiones de una parcela rectangular son 106 m y 103 m. Si sus dueños la tienen en venta a $ 100 000 el metro cuadrado, ¿cuál es el valor de la parcela? Expresa el resultado como una potencia. R: c. En un restaurante se ofrece un almuerzo en que se puede optar por uno de 4 platos de fondo, una de 4 opciones de postre y uno entre 2 tipos de jugos. ¿Entre cuántas alternativas de almuerzos se puede elegir? Expresa tu resultado como una potencia. R: d. Teresa está en Requínoa y para llegar a Quinta de Tilcoco tiene 6 caminos posibles. Desde ahí a Peumo hay 12 alternativas de caminos, y desde ahí a Pichidegua hay 18 maneras de llegar. Entonces, ¿de cuántas formas puede llegar Teresa desde Requínoa a Pichidegua? Escribe tu resultado como una potencia.

32 cm R: j. Para determinar la clave de un candado se debe elegir un número del 1 al 9 en cada uno de sus tres casilleros. ¿Cuántas claves distintas se pueden escoger? R: k. Las patentes de los automóviles tienen 4 letras y 2 dígitos. Suponiendo que se pudieran utilizar las 27 letras del abecedario y los 10 dígitos, ¿cuántas patentes se pueden hacer? R: l. Un dado de seis caras se lanza 6 veces y se anota el número que sale en cada lanzamiento. Usando potencias, responde: ¿cuántas combinaciones se pueden obtener a partir de los 6 lanzamientos?

R: e. Pamela ahorra $ 500 cada semana. Como quiere

R: m. ¿Cuál es la capacidad de un recipiente en forma de

comprar regalo de cumpleaños su6hermana, ahorra el un doble durante un períodoade semanas consecutivas. Expresa la cantidad ahorrada la última semana utilizando potencias. R: f.

El área de la base de un prisma rectangular es 27 m2 y su alto es 6 7 m. ¿Cuál es su volumen?

paralelepípedo de 33 cm de largo, 3 2 cm de ancho y 3 cm de profundidad? R: n. En un jardín, el número de maceteros puestos en cada fila es igual al número de filas. Si en total hay 81 maceteros, ¿cuántas filas hay? R:

R: g. Observa la siguiente sucesión: 3, 6, 12, 24, 48,… ¿Cuáles son los dos términos que siguen? Utilizando el producto de potencias, ¿cuál sería el valor del término que ocupa el lugar número 25 en la sucesión? R: h. Un rectángulo tiene un largo de 53 mm y un ancho de 8 mm. Expresada como una potencia de 10,

¿cuál es el área del rectángulo? R:

22

Unidad 1 Números

Desafío

Mario debe construir una caja de cartón con la única condición que tenga una capacidad de 43 • 26 • 8 cm3. ¿Cuáles serían las dimensiones de la caja si esta tuviera una forma cúbica? R:

Sección 1

9

Lección

2

3

1

¿Cómo dividir potencias de igual base?, ¿y de igual exponente?

Propósito Explicar y representar la división de potencias.

•

•

Para dividir dos potencias de igual base, se mantiene la base y se restan los exponentes. 712 : 74 = 712 - 4 = 78 Para dividir dos potencias de igual exponente, se mantiene el exponente y se dividen las bases. 123 : 63 = (12 : 6)3 = 23


Aplica

1. Representa cada expresión como una potencia.

Para ello, utiliza las propiedades de la división de potencias. 754 : 752 = 754 – 52 = 72 a. 417 : 47 =

d. 243 : 83 =

b. 85 : 25 =

e. 72012 : 912 =

c. 124 : 123 =

f. 325 : 45 =

2. Determina, en cada ejercicio, una base común y

reduce las expresiones a una sola potencia. 128 : 16 = 27 : 24 = 23

__

5. Simplifica las siguientes expresiones.

a.

_

(27 : 22) • 512 • 105 25 • 510 • 102

_

8 9 6 b. 52 • 27 • 104 5 • 2 • 10 15

6 c. 2 • 23 • 11 3 •6 10

7

5

e. 610 : 2 5 2 :2

_

f. 52 • 102 5 • 10

b. 625 : 25 = c. 2401 : 49 =

= =

g.

= =

=

_

=

5

h. 14 :314 7

=

6. Determina, en cada caso, el valor de x para que se

Por ejemplo: 45 = 47 – 2 = 47 : 42 a. 33 =

c. 94 =

b. 78 =

d. 1110 =

4. Representa cada potencia como el cociente de dos

potencias de igual exponente. Por ejemplo: 45 = (16 : 4)5 = 165 : 45 a. 2 =

=

610 185 : 35 8

3. Representa cada potencia como el cociente de dos potencias de igual base. (Puede haber más de una respuesta correcta)

3

=

5

=

e. 243 : 81

=

5

=

d. 1296 : 216 =

=

12

d. 3 8 • 2 • 2012 3 • 2 • 10

2

a. 16 : 2

=

_ _ 7

=

cumpla la igualdad. a. 3x : 32 = 37

x=

b. 211 : 2x = 23

x=

c. 87 : 27 = x7

x=

d. 62 : 2x = 32

x=

e. 14x : 79 = 29

_

x=

a b 7. Calcula el valor de x •c x con los valores dados en cada x caso.

a. x = 3, a = 5, b = 2, c = 4 b. x = 4, a = 6, b = 3, c = 8

4

b. 5 = c. 76 =

d. x = 7, a = 2, b = 4, c = 2

d. 315 =

e. x = 5, a = 8, b = 2, c = 6

c. x = 8, a = 5, b = 1, c = 4


23


a. Dos municipalidades deciden arreglar un sector de la carretera que une ambas localidades. El área que se quiere reparar es 217 m2 y el ancho de la carretera es 26 m. ¿Cuál es la longitud del tramo de la carretera?

h. En una caja de cartón como la que muestra la figura, multiplicando el área de la base, 36 cm2, por la longitud de la arista, x cm, se obtiene un volumen de 2 • 38 cm3. ¿Cuál es el valor de x?

R: b. El área de un triángulo se puede calcular multiplicando la mitad de su base por la altura correspondiente. Si el área del triángulo de la figura es 125 mm2, ¿cuánto mide su altura expresada como potencia? B

A

C

24 mm

36 cm2

x cm

R: i. En una bodega se almacenan cajas con un volumen de 105 cm3, en contenedores de capacidad 27 • 56 cm3. Si un contenedor está lleno, ¿cuántas cajas se guardaron en él? R: j. Si el volumen de un cubo es 8000 cm3, ¿cuánto mide cada una de las aristas del cubo?, ¿cuál es el área de cada cara del cubo? Recuerda que el volumen es a3 cm3, cuando la arista mide a cm.

R: c. Una empresa almacena insecticida en 100 contenedores de 10 000 litros cada uno. Si para vender el producto la empresa utiliza estanques de 10 litros, ¿cuántos estanques pueden llenar? Expresa la respuesta como una potencia.

R: k. Si el área de una cara de un cubo es 121 cm 2, ¿cuál es su volumen? Escribe la respuesta como una potencia. R:

R: 3

2

d. Una6cancha tiene un área total de 12 m y el largo es 2 m, ¿cuál es su ancho? R: e. Bajo ciertas condiciones, los nenúfares duplican su número diariamente. Si después de 23 días la laguna está completamente cubierta de nenúfares, ¿a los cuántos días ocupaban la mitad de la laguna?

l. Si se necesita cubrir una superficie cuadrada de lado 16 metros con baldosas cuadradas de 15 cm de lado. ¿Cuántas baldosas se deben ocupar? R: m. Un contenedor de 183 litros de limpiador de pisos industrial debe embotellarse en envases de 1,53 litros. ¿Cuántos envases se necesitan? R:

R: f. Observa la siguiente sucesión: 78 125, 15 625, 3125,… Si el patrón se mantiene y utilizando potencias, ¿cuál es el sexto término? R: g. Si un cordel mide 512 cm, ¿cuánto mide la mitad de su mitad? Escribe la respuesta como una potencia. R:

24

Unidad 1 Números

Desafío

Durante un período de tiempo, la población de mariposas de una región se puede modelar con la relación M = 6 • 2t, donde M es la cantidad de mariposas y t, el número de días. Si los entomólogos encontraron 768 mariposas, ¿en qué día de la temporada se encuentran? R:

Lección

Sección 1

10

2

3

1

¿Cuál es el valor de una potencia de exponente 0?

Propósito Aplicar las propiedades de las operaciones con potencias.

•

•

Toda potencia de base distinta de cero y de exponente cero equivale a 1. a0 = 1, donde a es un número natural distinto de cero.

Practiquemos lo aprendido Aplica

Práctica guiada

1. Calcula las siguientes potencias. 5. Calcula el resultado de la siguiente expresión.

240 = 1 a. 480

=

d. 120

b. 170

=

e. 2 • 60 =

c. 350

=

f. 33 : 50 =

_

=

2. Simplifica las siguientes expresiones.

_

57 • 53 = 510 = 5 0 = 1 52 • 58 510

_ 0

3 • (20 + 30) –30 + 120 • (50 – 60) = 7

_

6. Simplifica la expresión sin calcular las potencias.

32 + 32 + 32 = 33

7. Determina si las siguientes igualdades son verdaderas

o falsas. a.

00 = 1

e.

45 : 43 = 42

b.

23 • 32 = 65

f.

72 + 72 = 2 • 72

b. (113 • 711 • 9)0 =

c.

350 = 1

g.

23 + 23 = 24

5 3 c. 4 • 53 • 22 = 2 •3

d.

54 + 53 = 57

a. 27 : 50 =

_

d. e.

_

8. Responde las siguientes preguntas.

25 • 23 = (212 • 22) : 26

a. En el ejercicio 2b, en la columna izquierda, ¿es necesario calcular (113 • 711 • 9) para obtener el resultado? Justifica.

(104 • 24) • 53 = 106 : 26

__ _

5 5 5 : 45 = f. 10 : 2 3 + 20 5 • 52

3. Encuentra el valor de x para completar correctamente

b. Si se tiene la potencia ab, a ≠ 0, ¿existe algún valor de b con el cual el resultado de la potencia sea igual a 0?

las igualdades. 24 : 4x= 1

x=2

a. 36 : x6 = 1 x =

d. x4 : 44 = 1 x =

b. 2x : 23 = 1 x =

e. x3 : 3x = 1 x =

c. Observa el ejercicio 2f, en la columna izquierda, y explica la prioridad de las operaciones que debiste aplicar para resolverlo.

c. 58 : 5x = 1 x = 4. En cada caso, escribe la propiedad que se pudo

utilizar para resolver el ejercicio.

d. Si tienes que multiplicar dos potencias de diferente base y diferente exponente, ¿qué debes hacer? Describe el procedimiento.

32 • 35 = 37; al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes. a. 40 = 1 b. 75 • 55 = 355

e. En esta lección aprendiste que la expresión 0 0 no

está definida, ¿qué otra expresión no está definida? Da un ejemplo.

c. 105 : 25 = 55 d. 87 : 83 = 84


25

Lección

11

¿Cómo se calcula una raíz cuadrada?

Propósito

La raíz cuadrada de un número a, mayor o igual a 0, es el número que al ser

•

Comprender el concepto de raíz cuadrada de un número natural y estimar su valor.

multiplicado por sí mismo, da a como resultado. _ √a = b, si b2 = a Para determinar entre qué números enteros se encuentra una raíz cuadrada, se buscan los cuadrados perfectos, números que son el cuadrado de otro, más cercanos al número y se calcula la raíz de cada uno. _ _ _ _ Por ejemplo: 3 < √15 < 4 porque √32 < √15 < √42

•


Práctica guiada

1. Marca todos los números que son cuadrados

5. Determina algún valor de x para que cada

perfectos. 9

13

25

24

64

81

18

27

desigualdad sea correcta. Existe más de una respuesta correcta.

144

49

_

a. 5 < √x < 6

16

_

4 b. 3 < √x <

_ √169 = 13, porque 13 = 169

2. Calcula el valor de cada raíz cuadrada.

_

c. 7 < √x < 8 _

2

_

6 d. 5 < √x < _

a. √4

=

e. 10 < √x < 11

b. √16

=

f. 15 < √x < 16

_ _

c. √25

d. √121

=

e.

_ _ √64

=

=

_

=

f. √144

_

x

_

x= x= x= x=

a. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado de área 144 cm2? R:

9 3

49

196 6

12

4. Determina los números enteros más cercanos entre

los que se encuentran las siguientes raíces cuadradas. _ 2 < √7 < 3

_

a.

< √11 <

b.

< √8 <

c.

<

d.

<

e.

< √92 <

f.

< √104 <

_

_ √21 < _ √83 < _

_

b. Las longitudes de los lados de un rectángulo son cuadrados perfectos y su área es 900 cm 2. ¿Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo? R: c. Los lados mayores de un rectángulo miden el doble que los lados menores. Si el área del rectángulo es de 18 cm2, ¿cuál es la longitud de los lados del rectángulo? R: Desafío

Un prisma rectangular tiene un volumen de 64 cm3. El área de la base es 16 cm 2. Explica por qué puedes asegurar que estás en presencia de un cubo. R:

26

x=


3. Analiza y completa la siguiente tabla.

√x

x=

Unidad 1 Números

Sección 1

12

Lección

2

3

1

¿Cómo ubicar raíces cuadradas en la recta numérica?

Propósito Estimar y representar raíces cuadradas.

•

•

Si la raíz cuadrada es de un cuadrado perfecto, se dice que es una raíz exacta y su valor se ubica en la recta como ya lo sabes hacer. Si no es así, se dice que es una raíz inexacta, y se debe estimar su valor. Esta estimación se ubica en la recta numérica dividiendo la unidad de acuerdo a la cantidad de decimales que tenga el valor estimado.


Aplica

1. En cada ejercicio, elige el número con el que

5. Sin calcular, une cada raíz con la aproximación que

comenzarías a calcular el valor de la raíz central, como muestra el ejemplo. _ _ _ √4

< √5 < √9 ,

_ _ _ a. √4 < √7 < √9 , _ _ _ b. √9 < √11 < √16 , _ _ _

2,2

2,7

2,1

2,5

3,2

3,8

c. √9 < √15 < √16 ,

3,1

3,7

d. √16 < √23 < √25 ,

4,3

4,5

_

_

_

2. Calcula el cuadrado de los siguientes decimales.

2,32 = 2,3 • 2,3 = 5,29

_

10,4

_

3,2

_

4,6

_

8,1

a. √10 b. √21 c. √65

d. √108

6. Determina si las siguientes igualdades son verdaderas

_

o falsas. a. √12 = 6

a. 1,42 =

_ _ c. √0_ = 1 d. √6 ≈ 2,4 _2

b. 2 < √3 < 4

b. 6,82 = c. 5,22 = d. 7,12 = 3. Calcula, comparando el valor de cada una de las raíces

con un dígito decimal. _

_

√3 ≈ 1,7

_ _

_ _

a. √7 ≈

c. √12 ≈

b. √8 ≈

d. √23 ≈

numérica, como muestra el ejemplo. 2

_ √5

3

cuadrado y extraer la raíz cuadrada de ese número.


4. Ubica las raíces del ejercicio anterior en la recta

1

e. (√5 ) = 5

7. Explica la relación entre elevar un número positivo al

1 < √3 < 2; 1,32 = 1,69; 1,42 = 1,96; 1,82 = 3,24

0

consideres más adecuada.

a. Si el área de un cuadrado es igual a 18 cm2, ¿cuánto mide su lado? R:

4

5

b. Camila calculó la raíz de un número natural resultando 3,2. ¿Qué raíz estaba calculando? R: c. ¿Cuál es el área de un triángulo si su base es 2√2_ cm y la altura correspondiente es √8_ cm? R:


27

¿Cómo voy? Lee los recuadros de la izquierda y luego resuelve los ejercicios y problemas propuestos. Recuerda: En la expresión a n, a es la base y n es el exponente. Para calcular una potencia, la base se convierte en un factor que se repite tantas veces como lo indica el exponente.

Lección 7 1

Completa la siguiente tabla. Potencia 56

a. b. c. d. e.

Base

Exponente

Valor

3

81 32

5 3

4

125

Lecciones 8, 9 y 10

Para multiplicar o dividir potencias de igual base, se mantiene la base y se suman o restan los exponentes. Para multiplicar o dividir potencias de igual exponente, se multiplican o dividen las bases y se mantiene el exponente. Además, recuerda que cualquier número distinto de 0 elevado a 0 es igual a 1.

2

3

Calcula los resultados de cada ejercicio. a. 5 •103 + 53 =

c. 83 – 35 =

b. 63 + 43 + 23 =

d. 4(24 – 9) =

Encuentra el producto o cociente pedido en cada caso. Entrega el resultado como una potencia.

_

a. 75 • 55 = 6

c. 45 • 25 : 83 = 3 4 2 d. 72 • 5 • 22 = 5 •2•7

0

b. 6 : 4 = 4

Reduce a una sola potencia. a. p3 • p5 • p10 = 2

c. xy • 30 =

r

d. qa • qb : qc =

b. a : a = Lecciones 11 y 12 Calcular la raíz cuadrada de un número natural es encontrar un factor que elevado al cuadrado sea igual al número dado. Para estimar una raíz se consideran los cuadrados perfectos entre los que se ubica y, por ensayo y error, se encuentra la estimación.

5

¿Cuáles de los siguientes números son cuadrados perfectos? Márcalos con una cruz. 8

18 225

6

100 289

_ _ _ √225 + 3√400 = _

b.

Unidad 1 Números

d.

_

< √40 <

_

< √26 <

b.

Calcula las raíces del ejercicio anterior con un dígito decimal y ubica su valor en la recta numérica. 4

28

_ _ _ _ √324 – √441 =

c. √900 –2√625 =

¿Entre qué valores se encuentra cada raíz? a.

8

79

Resuelve los siguientes ejercicios que involucran raíces cuadradas exactas. a. √64 – √121 =

7

169

5

6

7

Sección 1

2

3

1


h. Si una colonia de bacterias se cuadriplica cada 20 minutos e inicialmente había 2 de ellas, ¿cuántas bacterias habrán después de 15 horas? Escribe el resultado utilizando potencias.

Resuelve los siguientes problemas. a. Si el área de un cuadrado es 324 mm2, ¿cuánto mide su lado?

R:

R:

b. Una parcela cuadrada tiene un área total de 40 000 m2 y está rodeada completamente por 5 vueltas de alambrado. ¿Cuántos metros de alambrado se usaron como mínimo?

i. Un camión reparte bebidas de lunes a sábado, cada uno de esos días deja seis cajas con seis bebidas cada una en seis supermercados

diferentes. ¿Cuántas bebidas reparte en seis semanas?

R:

_

_

_

R:

c. Si P = 3 • 16 +√9 + 23 + √25 , ¿cuál es el valor de√P .

R: d. Usando las bases 2, 3 y 5, escribe el número 120 como un producto de potencias.

j. Una planta que duplica su altura cada día se mide el lunes y el viernes de una determinada semana. Si el viernes su altura era 48 cm, ¿cuánto medía el lunes?

R:

R: e. El número de días que tiene un año, 365, es igual a la suma de los cuadrados de dos números naturales. ¿Cuáles son esos números?

R: f. Se estima que el cuerpo humano está formado por aproximadamente cien billones de células. Escribe el número de células como una potencia de 10.

R: g. Se coloca una bacteria en un cultivo, después de 1 hora, se pueden observar 10 bacterias. Si se tienen 10 millones de bacterias, ¿cuántas horas han pasado?

R:

_

_

k. Se tienen las expresiones a = √81 + 19 y b = √3(a • k + 7) . Si k es un número natural, ¿cuál es su menor valor posible para que b sea una raíz exacta?

R: l. En un cine hay 25 grupos de asientos, cada grupo tiene filas y columnas de 5 asientos. ¿Cuántos asientos hay en total en el cine? Expresa el resultado como una potencia.

R: m. Francisco decide criar una pareja de conejos. A los tres meses, los conejos se triplicaron y, después de tres meses más, nuevamente se triplican. Si los conejos siguen con ese patrón de crecimiento, ¿cuántos conejos tendrá Francisco después de un año?

R:


29

Resolución de problemas Recuerda que para resolver un problema siempre debes:

Estrategia: Encontrar un patrón Busca un patrón cuando un proceso se repita en forma predecible. Normalmente, resulta útil construir una tabla para ordenar los datos.

•

Cuando se cuenta con a lgunos términos de una sucesión, no siempre hay un solo patrón que la describa.

•

1

•

•

Determinar qué información se quiere obtener. Anotar los datos que te sirven y descartar aquellos que no te sirven. Crear un plan para resolver el problema y aplicarlo. Verificar la respuesta obtenida y comunicarla.

Resuelve los siguientes problemas utilizando la estrategia presentada. a. La tabla muestra las potencias de base 4. n12345 4n 4

16

64

256

1024

Observa el último dígito de cada potencia en la tabla y responde las siguientes preguntas, sin realizar cálculos.

c. Observa la siguiente sucesión: 2, 6, 12, 20, 30, 42… ¿Qué número se debe sumar a 42 para obtener el siguiente término? d. La tabla que sigue muestra números y sus cuadrados. Completa la tercera fila con la combinación de las dos primeras que permita obtener los términos de la sucesión dada.

¿Cuál es el último dígito de 4 6? ¿y en el de 4 11? Escribe una conjetura sobre cuál es el último dígito de una potencia de 4 si: El exponente es par

n12345 n2 1

6

4

9

16

25

36

Usando tus resultados de la tabla, escribe el término que ocupa el lugar décimo segundo en la sucesión. ¿Cómo podrías comprobar tu resultado?

El exponente es impar

R:

b. Tomás tiene cuadrados de papel lustre, consideró uno de ellos como 12, luego, agregando 3 papeles obtuvo 22 y finalmente agregando otros 5 construyó 32, como muestra la figura.

e. La figura muestra los llamados números triangulares. Dibuja los siguientes dos triángulos y anota el número de puntos usados.

Si ahora quiere construir 42, completa la suma de los papeles que tendrá:

1+3+5+

1

Y para 52: 1 + 3 + 5 +

3

+

Escribe la suma de papeles que necesitará para construir 92 +

+

+

+

+

+

+

+

¿Cuántos sumandos tendrá la representación de 182? Utilizando la potencia correspondiente, encuentra el resultado de: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + 23 =

30

Unidad 1 Números

7 49

10

6

Sección 1

2

3

1

Utilizando la misma estrategia, u otra que consideres adecuada, resuelve los siguientes problemas. a. La máxima distancia d hasta la cual puede verse desde lo alto de un edificio está modelada por _ la fórmula: d ≈ 3700√h , donde h indica la altura del edificio expresada en metros. ¿A qué distancia máxima podrías ver desde la azotea de un edificio de 144 m de altura?

e. La imagen muestra el llamado Triángulo de Pascal. 1 1 1

R:

1

3 y luego responde las preguntas. n12345 3n 11

1 2

1

1331 1

b. Completa la siguiente tabla con las potencias de

4 5

3

6 10

10

1 5

1

Escribe las siguientes dos filas. 6

7

R: Describe otra regularidad que encuentres en el triángulo de Pascal.

15

¿Con qué dígito termina 3 ? ¿Y 3 ?

R:

R:

c. Observa la siguiente sucesión: 2, 9, 16, 23, 30, … ¿Cuáles podrían ser los 3 términos que siguen?

R: d. Matilde dice que la fórmula para obtener los términos es 7n – 4, ¿está en ol correcto? Si no es así, corrígela.

f. Luis está jugando con bloques de madera y los dispuso como muestra la figura. Si sigue el mismo patrón, ¿habrá alguna figura que use 28 bloques? ¿Cuál será el número más cercano a 28 que utilizará?

R:

R:

3

2

Con la información dada, crea problemas que puedan ser resueltos encontrando un patrón y utilizando los contenidos de esta sección. Compártelos con tus compañeros. a. La tabla muestra las potencias de 2, con el último dígito marcado. n12345 2n 2

6

4

8

16

32

64

b. Se tiene la sucesión 2, 5, 10, 17, …

Pregunta:

7 128

Respuesta:

Pregunta: Respuesta:

Revisando mis procesos

Responde las siguientes preguntas sobre la estrategia de encontrar un patrón. 1. ¿Utilizaste la misma estrategia en todos los problemas?

Si no fue así, ¿por qué?


3. ¿En qué caso crees que no es práctico encontrar un patrón?


31

13

Lección

¿Cómo calcular una variación porcentual?

Propósito Comprender el concepto de variación porcentual y calcular variaciones porcentuales.

•

•

Una variación porcentual es una rebaja o aumento de porcentaje respecto a una cantidad inicial. Para calcular una variación porcentual puedes: - Ocupar una recta numérica e interpretar los valores representados en ella. - Usar proporciones para calcular los porcentajes correspondientes. - Utilizar el factor multiplicativo para calcular directamente la variación.


1. Con la información entregada, interpreta cada

3. Calcula las siguientes variaciones porcentuales

situación.

usando el factor multiplicativo.

Precio srcinal $ 30 000, ahora $ 24 000. 0

10

20

30

40

50

60 70

0

80 90 100

24 000

125 disminuido en un 20% 1 – 0,2 = 0,8; 125 • 0,8 = 100

%

30 000

Hubo un descuento del 20 % en el precio.

c. 98 140 aumentado en un 45 %.

a. Altura srcinal 138 cm, ahora 96,6 cm. 0

10

20

30

40

0

50

60 70

96,6

80 90 100

a. 552 000 aumentado en un 5 %. b. 17 260 disminuido a un 65 %. d. 1687 disminuido a un 98 %.

%

Aplica

4. Analiza cada afirmación respecto a variaciones

138

porcentuales. Luego, escribe V si la afirmación es verdadera y F si es falsa. b. Número srcinal de miembros del club 2350, ahora 2585. 0 0

10

20

30

40

50

60 70

470

80 90 100

2350

2. Calcula las siguientes variaciones porcentuales,

usando proporciones.

__

2600 aumentado en un 20 %. 2600 = x ; x = 3 120 100 120 a. 5000 aumentado en un 15 %. b. 3500 disminuido en un 75 %. c. 12 985 aumentado en un 10 % d. 1 14 505 disminuido a un 70 %.

32

Unidad 1 Números

%

a.

Al aumentar el precio de un artículo en un 35 % y luego disminuir este nuevo precio en un 35 %, el artículo queda con su valor srcinal.

b.

Para calcular un aumento del 20 % de una cantidad esta se puede multiplicar por 1,2.

c.

57 aumentado en un 50 % es un número decimal. El 10 % del 60 % de un número es igual a su

d.

70 %. e.

Para disminuir un número en 20 % hay que dividirlo por 2.

5. A una cantidad srcinal x se le aplicó una variación

porcentual y resultó la cantidad y. En cada caso, encuentra la cantidad x. a. y = 150, aumentó en 20 %,

x=

b. y = 150, disminuyó en 20 %,

x=

c. y = 340, aumentó en 15 %,

x=

d. y = 340, disminuyó en 15 %,

x=

Sección 1

6. Completa la tabla, indicando si la situación es de

aumento (A) o disminución (D) y escribe el porcentaje correspondiente. Antes 2430 288 320 3700 540 1420

a. b. c. d. e. f.

Ahora 2187 345,6 384 925 702 994

A

D

%

2

3

1

h. Al comprar un MP4 en 5 cuotas, cada cuota tiene un valor de $ 12 573. Si se ha cobrado un interés por el total del celular de 4,8 %, ¿cuál es el valor srcinal del celular? R: i. Si en una automotora se compra un automóvil que cuesta $ 7 990 000 al contado, se rebaja el 15 % del valor. Si se decide comprar el vehículo al contado, ¿cuál será su valor final? R: j. Una día la temperatura mínima fue de 14 °C y la

7. Resuelve los siguientes problemas: a. Una chaqueta tiene un precio de $ 53 550, IVA

incluido. ¿Cuál es su valor sin IVA? R: b. Si un vestido vale actualmente $ 7 500 y se rebaja un 10 %, ¿cuál es el precio rebajado? R:

máxima de 32 °C. ¿Cuál fue la variación porcentual de la temperatura? R: k. La base de un rectángulo mide 12 cm y su altura 8 cm. Si la base aumenta en un 10 % y la altura en un 25 %, ¿cuál es su nueva área? R:

c. Un arbusto mide 170 pero al podarlo puede disminuir su altura hasta un 5 %, ¿cuánto podría llegar a medir la altura del arbusto? R:

l. El precio de las acciones de una compañía sube un 12 % durante la semana, llegando a un valor de $ 2 800 por acción. ¿Cuál era el valor anterior? R:

d. Al comprar 10 cajas de fósforos se hace un descuento del 1 % por cada una. Si cada caja tiene un valor de $ 239 y se compran 50 cajas, ¿cuál es el monto aproximado que se descuenta?

m. Una persona tiene un sueldo líquido de $ 238 619 y un sueldo bruto de $ 317 363. ¿Cuál fue el porcentaje de descuentos?

R: e. En un casino se prepararon porotos, al desgranarlos se produce una merma del 12 %. Si se sabe que los porotos desgranados pesaron 27 kg, ¿cuántos kilos de porotos se desgranaron?

n. Doña Julia compra maní para vender en su tostaduría a $ 400 el kilogramo. Sobre esto cobra un 35 % más de ganancia másel 19 % del IVA. En una liquidación, decide hacer un descuento del 25 %. ¿Cuánto gana o pierde por kilogramo de maní?

R:

R:

f. Se anuncia la siguiente promoción: “Por la compra de tres lápices, pague dos”

¿Cuál es el porcentaje de descuento que se obtiene sobre el precio srcinal de los cuatro artículos? R: g. ¿Cuál es el 15 % de 1 364 580 aumentado en el 45 % de 318 128 000 y, posteriormente, disminuido en el 40 % de 16 186 000? R:

R:

ñ. Un producto que valía $ 1000 bajó un 15 % y luego subió un 10 %. ¿Cuál es su precio actual? R: Desafío

Originalmente la base de un triángulo mide 3 cm y la altura, 14 cm, por lo tanto su área es: 3 • 14 : 2 = 21 cm2. Si la altura disminuye un 15 %

y su base aumenta un 15 %, ¿en qué porcentaje varía su área?


33

Lección

14

¿Cómo hacer cálculos usando variaciones porcentuales?

Propósito

Las aplicaciones de las variaciones porcentuales son diversas, entre otras: El valor del IVA (impuesto al valor agregado), porcentaje agregado al precio neto de un producto, correspondiente al 19 %. La tasa de interés compuesto que es aplicado en créditos, ahorros, inversiones, etc. Las tasas de natalidad o mortalidad de las comunidades. El IPC (Índice de precios al consumidor).

Resolver problemas cotidianos que involucran variaciones porcentuales.

•

•

•

•


Aplica

El IPC es un porcentaje promedio mensual de aumento (positivo) o disminución (negativo) de los precios de los productos incluidos en la llamada “canasta familiar”. 1. Con la información de los precios y el IPC, completa la

siguiente tabla. Precio aceite: $ 1800; IPC: –0,4 % –0,4 % significa que bajó 0,4 %, 1800 • (100 – 0,4) % = 1800 • 0,996 = 1792,8

Precio actual del aceite: $ 1793

a.

Producto Arroz

Precio 830

IPC 0,5

b. c. d. e. f.

Tallarines Lentejas Harina Atún Sopa

640 1270 670 990 390

1,4 –0,8 –1,6 –2,5 1

Preciofinal

2. La tabla muestra los precios actuales de productos y el

IPC con que se calcularon. Encuentra el precio srcinal de ellos. Precio pasta dental: $ 1600; IPC: 4 %

_

Precio srcinal: x x = 1600 ; x ≈ 1538 100 104 Precio actual: $ 1538

_ Producto Jabón Detergente

Precio 1320 2420

a. b. c. Papel higiénico 3200 Lavaloza 1100 d. Cera 880 e. f. Bolsas de basura 830

34

Unidad 1 Números

IPC 1,3 0,6

–1,6 –3,4 0,5 –2

El IVA es un impuesto que se carga en casi todos los países, pero varía su valor. Por ejemplo, en Dinamarca es del 25 %. 3. Imagina que viajas a Dinamarca y debes calcular

el total a pagar, con IVA de cada uno de los costos dados. (La moneda en Dinamarca es la corona, kr). a. Costo: 230 kr

→

Precio:

b. Costo: 640 kr

→

Precio:

c. Costo:

75 kr

→

Precio:

d. Costo: 1540 kr

→

Precio:

4. Calcula el costo, dado el precio con IVA en Dinamarca.

a. Costo:

←

b. Costo:

←

c. Costo:

←

d. Costo:

←

Precio: 780 kr Precio: 240 kr Precio:

95 kr

Precio: 1320 kr

Generalmente, cuando se compra a crédito se debe pagar un interés, y lo más habitual es que ese interés sea compuesto. 5. Calcula el total a pagar incluyendo el interés

compuesto anual. a. Préstamo: $ 1 000 000, con un interés compuesto del 3 %, después de 2 años.

Preciooriginal

b. Préstamo: $ 500 000, con un interés compuesto del 7 %, después de 4 años.

c. Préstamo: $ 1 000 000, con un interés compuesto del 2 %, después de 3 años.

Sección 1


a. Al exprimir 12 kg de naranjas se pierde un 25 % de su masa srcinal en jugo. Entonces, ¿cuál es la masa de las naranjas exprimidas? R: b. El largo de un terreno rectangular es 15 m. Si al disminuir su área al 25 % se obtienen 72 m 2, ¿cuál es su ancho srcinal? R: c. En un colegio se aumentó la matrícula anual un 10 % en media y un 20 % en básica. Si este año el colegio tiene 500 estudiantes en básica y 700 en media, ¿cuántos alumnos tendrá el próximo año? R: d. Un trabajador recibe como sueldo líquido $ 450 000 mensuales. Si los descuentos fueron un 7 % para salud y un 12 % para el fondo de pensiones, ¿cuál es su sueldo bruto? R: e. La temperatura máxima un día en Valdivia marcó 9,5 °C, mientras que la mínima fue 8,8 °C. Determina la variación porcentual entre ambas temperaturas.

menos enen el año anterior. ¿Cuánto facturó el mismo que grupo el 2013? R: g. Cierto capital se deposita por 2 meses con un interés mensual del 3 %. Si al cabo de dicho período el capital es de $ 530 450, ¿cuánto era el capital inicial? R: h. En una tienda se puede ver el siguiente anuncio: “¡20 % de descuento sobre el 20 % ya aplicado a toda la ropa de invierno!” ¿Cuál es el descuento total que tiene la ropa de invierno? R: i. El valor inicial de un artículo es de $ 5300. ¿Cuál es su precio si se le agrega el IVA?

3

1

j. Una lavadora cuesta $ 120 000, si se compra en cinco cuotas en total se paga $ 200 000. ¿En qué porcentaje sube el precio al comprarla en cuotas? R: k. El año pasado, Laura invirtió $ 300 000 en acciones que este año valen $ 354 000. ¿En qué porcentaje subieron las acciones? R: l. En una librería se rebajaron todos los precios. Si un libro está marcado con un precio mayor a $ 14 000, el descuento es del 20 % y si es menor

o igual a ese precio, el descuento es del 10 %. Si Matilde compró tres libros marcados con $ 18 000, $ 16 000 y $ 12 000, ¿cuánto ahorró en total? R: m. En temporada alta una empresa emplea 520 trabajadores, en temporada baja trabajan solo 416. ¿En qué porcentaje varía el empleo en esa empresa? R: n. Para preparar 250 cc de jugo de papaya se utiliza un 20 % de concentrado y el resto agua. Si ahora los envases son de 300 cc, ¿cuánta agua se debe poner?

R: f. En el 2014 un grupo de empresas facturó en conjunto 36 979 millones de euros, un 4,9 %

2

R: ñ. Si la medida de todos los lados de un cuadrado disminuye a la mitad, ¿en qué porcentaje disminuye su área? R: o. El precio inicial de un libro aumentó un 7 % durante septiembre y disminuyó un 12 % en octubre. Si el precio en octubre fue de $ 19 962, ¿cuál fue el precio inicial? R: Desafío

En el problema anterior, ¿habría sido suficiente con calcular el precio inicial considerando un descuento del 5 % (12 % – 7 %)? Justifica tu respuesta. R:

R:


35

¿Cómo voy? Lee los recuadros de la izquierda y luego resuelve los ejercicios y problemas propuestos.

Para calcular un porcentaje, recuerda que puedes:

Lección 13 1

Responde las siguientes preguntas. a. ¿Qué porcentaje es 95 de 1900?

Plantear una proporción. Dibujar rectas numéricas.

b. ¿Cuál es el 6 % de 1050?

Utilizar el f actor multiplicativo.

c. ¿De qué valor 249 es el 60 %? d. ¿Qué porcentaje es 198 de 450? e. ¿Qué valor representa el 51% de 9700? f. ¿Cuál es 10 % del 35 % de 70? g. ¿Cuál es el 30 % del 55 % de 105 000? h. Si el 20 % del 40 % de un número es 32, ¿cuál es el número?

Para calcular un porcentaje de aumento, puedes: Sumar el porcentaje de aumento al 100%. Sumar el decimal equivalente al porcentaje de aumento a 1. Para calcular un porcentaje de disminución, puedes: Restar el porcentaje de disminución al 100 % Restar el decimal equivalente al porcentaje de disminución a 1.

Lección 14 2

Resuelve los siguientes problemas. a. Si el número 75 aumenta un 60 %, ¿qué número se obtiene?

b. ¿Qué número se obtiene si el número 41 aumenta un 18 %?

c. Si una cantidad pasa de 65 a 87, ¿en qué porcentaje aumentó? d. Si se suman 6 unidades a 250, ¿en qué porcentaje aumentó el número?

e. Se sabe que al aplicarle un aumento del 5 % a un número, este aumenta en 67 unidades. ¿Cuál era el número inicialmente?

3

Resuelve los siguientes problemas. a. ¿Qué porcentaje de disminución se aplicó a un número que pasó de 1 200 unidades a 876?

b. Al aplicar una disminución de un 23 % a 415 000, ¿qué número se obtiene? c. ¿En cuántas unidades debe aumentar el número 25 para que su porcentaje de aumento corresponda a un 38 %?

d. Si 205 000 disminuye 34 % y luego disminuye nuevamente un 12 %, ¿qué número se obtiene finalmente? e. Si a 1400 se le resta 28, ¿cuál fue su porcentaje de disminución?

36

Unidad 1 Números

Sección 1

2

3

1

Desafío de Desafíos deintegración integración 1.

Resuelve los siguientes problemas. a. El total de la cuenta de luz deuna casa disminuyó de $ 31500 a $ 27 400 con respectoal mes anterior. ¿A qué porcentaje corresponde esa disminución?

R: b. Producto de las comisiones, un vendedor que mensualmente gana $ 550 000 recibe un bono de $ 66 000. ¿Qué porcentaje aumentó su ingreso durante ese mes?

R: c. El costo de un libro es de $ 15 000. Si una librería lo vende aplicándole el IVA más un 30 % para la ganancia, ¿cuál será el precio final del libro?

R: d. Normalmente, el pasaje en bus desde Santiago a Valparaíso cuesta $ 4000. Si durante el verano, sube un 15 %, ¿cuál es su valor final en esa época?

R: e. El precio de una caja de bombones experimenta un descuento de un 12 %. Si inicialmente estaba a la venta con un valor de $ 3500, ¿cuál es el nuevo precio de la caja?

R: f. Una fábrica de bicicletas tiene a la venta un

total de 3200 productos. Si decide aumentar la mercancía en un 40 %, el 15 % deben ser cascos y el resto asientos, ¿cuántos asientos tendrá a la venta la fábrica?

R: g. La audiencia de un programa de radio disminuyó un 7 %. Si normalmente, se estimaba que 112 000 personas lo escuchaban, ¿cuántos auditores tiene el programa luego de su baja de sintonía?

R: h. Una persona compró un vaso de bebida fuera de un recital, ahorrando un 35 % comparado con el mismo producto comprado dentro. Si el producto le costó $ 900, ¿cuánto costaría el vaso dentro del recital?

R: i. En un negocio, el precio de un detergente sube de $ 750 a $ 900. ¿Cuál es el porcentaje de aumento en el precio del producto?

j. Para hacer un postre, se mezclan 300 gramos de frutillas que cuestan $ 850 el kilogramo y 200 gramos de manzana que valen $ 600 el kilogramo. ¿A cuánto se debe vender el postre para tener una ganancia del 40 %?

R: k. Por motivos de inauguración, una tienda ofrece descuentos si la compra es mayor a $ 80 000. Si normalmente un televisor cuesta $ 120 000 y le descuentan $ 15 600, ¿qué porcentaje disminuyó su precio con esta promoción?

R: l. El número de habitantes de una población aumentó desde 150 700 a 155 221 en diez años. ¿Qué porcentaje aumentó su población?

R: m. En una florería, hay 140 rosas y 210 claveles. Debido a la baja de clientes, el dueño decide traer un 30 % menos de mercadería. ¿Cuántas rosas y claveles tendrá la florería?

R: n. El precio de una moto, $ 950 000, tiene un alza de un 11 %. Al mes siguiente, baja su valor en un 10 % y finalmente vuelve a subir un 4 %. ¿Qué porcentaje de disminución o aumento tuvo el

producto con respecto al precio inicial?

R: ñ. Normalmente asisten cada mes 1700 personas al teatro. Si durante el próximo mes se estima que habrá un aumento de un 25 % del público, ¿cuántas personas asistirán?

R: o. La temperatura en una comuna de Santiago durante el verano a las 13:00 es de 28 °C, mientras que cinco horas más tarde, el termómetro marca 21 °C. ¿En cuánto disminuyó la temperatura con respecto a lo que marcó el termómetro a las 13:00?

R: p. Por el incendio de una casa, la compañía de seguros pagó $ 24 500 000, lo que equivale al

80 % de su valor. ¿Cuál es el valor del inmueble?

R:

R:


37

Resolución de Problemas Recuerda que al resolver un problema siempre debes:

Estrategia: Construir un diagrama de barra

•

Usa un diagrama de barras para mostrar cómo se relaciona lo que se sabe con lo que se quiere encontrar. Luego, escoge la operación que permita obtener la respuesta. Al resolver un problema, siempre se debe leer cuidadosamente el enunciado, de esa forma se puede discriminar la información útil para la resolución del mismo de la información que solo corresponde al contexto.

1

•

Determinar qué información se quiere obtener. Anotar los datos que te sirven y descartar aquellos que no te sirven.

•


•

Verificar la respuesta obtenida y comunicarla.

Resuelve los siguientes problemas utilizando la estrategia presentada. a. Un fertilizante debe diluirse en agua, de manera que corresponda al 2 % de la solución. Si se utilizan 50 cc de fertilizante, ¿cuánta agua se debe agregar? 2%

R:

50 cc

x

R:

100 %

b. Para un partido de fútbol asisten 35 000 personas al estadio. De ellos el 40 % son del equipo local y el 25 % del visitante. ¿Cuántos asistentes no son de ninguno de los dos equipos que juegan? 100 %

R:

25 %

40 %

x

35 000

c. El costo de una chaqueta es $ 18 000. Si a eso se le agrega el IVA y un 25 % de ganancia, ¿cuál es el precio final de la chaqueta? 100 %

R:

25%

$18000

19%

g. La bebida que prefiere Ester costaba $ 1200 y ahora cuesta $ 1272, ¿en qué porcentaje subió su valor?

R: h. Se compraron 10 000 acciones de una empresa a $ 120 cada una. Si en un año su valor baja en un 20 %, ¿cuánto se perdió en el negocio?

R: i. Al primer año de una carrera universitaria se inscribieron 350 estudiantes y de ellos solo volvieron 256 a segundo año. ¿En qué porcentaje bajo la matrícula ese año?

R:

x

d. El precio de un libro es $ 14 756. ¿Cuál es su precio sin IVA? 119 %

R:

f. Don Javier tiene una fábrica artesanal de sillas. Si el último semestre ha producido 3000 unidades y quiere incrementar la producción en un 35 %, ¿cuántas sillas producirá?

j. En un concierto hay 1200 personas. El 40 % son mujeres y de ellas, el 75 % tiene entre 20 y 30 años. ¿Cuántas mujeres tienen entre 20 y 30 años?

19 % de x

x

R: $ 14 756

e. Violeta tiene un sueldo de $ 350 000. Si este mes le dieron un bono adicional del 22 % de su remuneración, ¿cuánto dinero recibió en total?

k. Para un cóctel se compraron 120 panes, como no alcanzaron, se compró un 30 % más. Si del total solo se consumió el 90 %, ¿cuántos panes se

consumieron?

R:

38

Unidad 1 Números

R:

Sección 1

2

2

3

1

Utilizando la misma estrategia, u otra que consideres adecuada, resuelve los siguientes problemas. a. Marta contrató un seguro de vida por el cual debe pagar una cuota mensual que será descontada de su sueldo. Si su sueldo era de $ 520 000 y ahora es de $ 480 000, ¿a qué porcentaje de su sueldo equivale la cuota del seguro?

R: b. Una persona deposita en una institución

financiera $ 250 000 un porinterés la cualde se 2gana, acumulativamente, % cada tres meses. ¿Qué cantidad de dinero tendrá a los 9 meses?

R: c. Ana, Luis y Carla se reparten un premio que han obtenido. El premio es de $ 150 000. A Carla le corresponden $ 24 000, a Ana le corresponden $ 55 000 y Luis se queda con el resto. ¿Cuál es el porcentaje aproximado que le corresponde a cada uno?

d. Andrés debe $ 840 000 que pagará en 4 cuotas, la primera será del 40 % y las otras tres serán iguales. ¿Cuánto deberá pagar en la cuarta cuota?

R: e. Dos amigas, Ana e Isabel, tienen 45 libros cada 4 de los libros de Ana y _ 2 de los de Isabel una, _ 5 3 son novelas. ¿Qué porcentaje más de novelas tiene Ana que Isabel?

R: f. Utilizando el nuevo camino el viaje entre dos pueblos se reduce de una hora a cuarenta minutos. ¿En qué porcentaje disminuye el tiempo de viaje?

R: g. Matilda compró un notebook en $ 320 000. Como lo pagará en cuotas, el precio aumenta en un 35%. ¿Cuánto pagará Matilda en total?

R:

R: 3

Con la información dada, crea problemas que puedan ser resueltos realizando un diagrama de barras y utilizando los contenidos de esta sección. Compártelos con tus compañeros. a.

110 % de x% 10

x

b. Los tomates cuestan $ 1200 y el último IPC fue de –1,3 %.

Pregunta: $13 520

Pregunta:

Respuesta:

Respuesta:


Responde las siguientes preguntas sobre la estrategia de dibujar un diagrama. 1. ¿Utilizaste la misma estrategia en todos los problemas? Si no fue así, ¿por qué?

2. Si utilizaste otra estrategia, explícala.



39

¿Qué aprendí? 1.

a. 5 • [ −19 + 121 : (−11) • 2 ] − 10 =

4 de su capacidad, Si el contenedor está a_ 5 ¿Cuántas botellas de 1,25 L se necesitan para

b. −64 :16 • 3 − (128 : 32 • (−5)) : (−4) =

envasar todo el aceite?

•

Resuelve los ejercicios con números enteros.

c. { −[ 8 + ( −4) • 15 : 3 ] • (−5) : − 1 } + 5 • (−9) =

R:

d. −3(15 − 8) + [ −(18 : (−3)) − 21 : 3 • (−7) ] = 2.

Ubica los siguientes números en la recta numérica. Luego, intercala otro número entre dos consecutivos.

_2; 3

0,125;

–1 3.

_1 ; 5

3; –0,375; – _ 3 −_ 4 5 0

R:

a.

Al sumar dos enteros de distinto signo se suman sus valores absolutos y el resultado mantiene el signo del número de mayor valor absoluto.

b.

La ley de los signos en la multiplicación se resume en que si los factores son del mismo signo el producto será positivo y si tienen distinto signo, negativo.

c.

El elemento neutro de la multiplicación es 0.

Las propiedades de clausura y conmutatividad se cumplen tanto en la multiplicación como en la división.

Resuelve los problemas escribiendo la respuesta completa.

•

cuarto de la carrera. ¿Cuántos kilómetros ha 3 par tes corresponden a recorrido si las _ 4 42 km?

Para las preguntas 5 a 9, marca la alternativa que consideres correcta. 5.

6.

R:

para vaciar el contenedor lleno? ¿y de 1,25 L? 1 L? ¿y de 2_ 2 R:

Unidad 1 Números

En las maderas horizontales se deben instalar clavos cada 0,7 cm para armar la urdiembre dejando libres 3 cm en ambos extremos. ¿Cuántos clavos se necesitarán para armar los11 telares si existen tres maderashorizontales en cada telar? R:

_3 ¿Cuál es el opuesto aditivo de −5 : 5 A. −3 C. − _ 5 3 3 3 _ B. D. −5 5 1 − 12 − 0,25 : 0,75 + 4 se obtiene: Al resolver −2_ 3 9 1 A. 0 C. 11_ 6 B. 11 D. − 67 6

_ _

_

_

b. Se cuenta con un contenedor de aceite para

reciclar de 250 litros de capacidad. El camión recolector de aceite acepta solo botellas de 0,25; 1 litros. 1,25; y 2_ 2 • ¿Cuántas botellas de0,25 L se necesitan

Si se necesitan construir 11 telares de iguales proporciones, ¿cuántos metros de madera se necesitan? R:

•

a. Un ciclista recorre la tercera parte del primer

40

Antes de vaciar el contenedor por completo se 1 L, 17 de 1,25 L y llenaron 12 botellas de 2_ 2 9 de 0,25 L. ¿Cuántos litros de aceite habían en el contenedor?

c. Para construir un telar mapuche se necesita un bastidor rectangular de madera de 0,5 m de ancho y 0,62 m de largo.

1

Escribe una V si la afirmación es verdadera y una F si es falsa. Justifica las falsas.

d.

4.

•

7.

Observa la serie. ¿Cuántos triángulos serán en la figura 8?

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

1 triángulo

3 triángulos

9 triángulos

27 triángulos

A. 24

C. 39

B. 63

D. 2187

8.

__

El inverso aditivo del resultado de 2

4

8

3

• 32 • 5 • 4

25 • 204 • 251

1 es:

7

A. 2

15

B. 2

C. –128 D. 17 2

_

9.

15. Una tienda compra tapices tejidos por una artesana.

Esta vende cada uno a $ 15 000 y la tienda los revende a $ 72 500. ¿Qué porcentaje de incremento aplica la tienda? R:

¿Cuál de las siguientes alternativas presenta solo cuadrados perfectos?

16. Observa el gráfico referente a la disminución

de cierta especie nativa en una zona del país y responde las preguntas a continuación:

A. 4, 169, 289, 110 B. 121, 441, 36, 200

2

o p s e i c e p s E

C. 81, 441, 361, 121 D. 9, 144, 11, 25 10. Resuelve las

1 500 m k r 1 000

operaciones combinadas.

a. (54 • (24 – 32) + 82) • 33 =

500 0

2008

2010

2012 2014 Año

2016

b. (121 + 42) + 32 • (43 – 26) =

a. ¿En qué porcentaje ha disminuido la especie entre el año 2008 y 2016?

3 3 3 4 c. 4 • 2 4• 25 5•22 = 8 • 5 • (2 ) ________________ d. √ 52 − ( −3 • 33) + (32 • 10) =

b. ¿En qué porcentaje varió el número de especies del 2010 al 2014?

__

R:

11. Calcula

el largo estimado del lado de cada cuadrado sabiendo que su área (A) es: a. A = 30 cm2 arista estimada:

cm

b. A = 85 cm2 arista estimada:

cm

c. A = 140 cm2 arista estimada:

cm

d. A = 220 cm2 arista estimada:

cm

12. ¿Qué precio de venta tiene

un artículo cuyo precio es $17 010 antes de considerar el IVA? R:

R: c. Si actualmente se realizan acciones para detener la disminución de la especie y se espera un incremento del 5,8 % bianual, ¿cuántas especies se espera tener el año 2018? R: 17. En el

verano del año 2014, 2 400 000 personas visitaron la región de Valparaíso. El incremento de visitantes para el 2015 pasado fue del 3 %. a. ¿Cuántos turistas hubo en el año 2015 en la quinta región?

13. El precio de venta de un MP4 es

$ 45 990. Aproximadamente, ¿cuál es su precio sin IVA? R:

14. En un periódico aparece la siguiente noticia:

El INE entregó el IPC correspondiente al mes de abril que fue del –0,2 %. Explica qué significa ese IPC. R:

R: b. Se espera que el 2016 visiten la región alrededor de 3 000 000 personas. ¿A qué porcentaje de variación corresponde esta cantidad? R: 18. Explica

por qué un cambio de 20 cm a 10 cm representa una disminución del 50 %, pero un cambio de 10 cm a 20 cm es un aumento del 100 %. R:

Si en marzo el kilogramo de pan valía $ 950, ¿cuál fue su precio en abril? R:


41

Lección

15

¿Qué representa una expresión algebraica?

Propósito Comprender, representar, reducir y valorizar expresiones algebraicas.

•

Una expresión algebraica contiene:

•

Coeficientes numéricos: pueden ser enteros, fracciones o decimales. Factores literales: compuesto por letras que representan variables. Operaciones aritméticas: relacionan los términos entre sí y las variables con los coeficientes numéricos.

Para reducir expresiones algebraicas que tienen términos semejantes (igual factor literal incluyendo el exponente), se suman o restan los coeficientes numéricos según la operación indicada, y se mantiene el factor literal.

Practiquemos lo aprendido Práctica guiada 1. Representa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados:

5. Resuelve las siguientes problemas.

a. En la tabla de la derecha se tacharon algunos números, como se muestra a la izquierda. ¿Qué expresión representa los números tachados?

Un número aumentado en treinta unidades. (x + 30) a. La quinta parte de un número disminuida en tres unidades. b. La mitad de un número aumentada en cinco unidades. c. La quinta parte de la diferencia entre un número y su sucesor. 2. Escribe en lenguaje natural las siguientes expresiones:

x+3

→

a. 3x + 2

_

b. 4 + z c. 2x – 3 4

Un número aumentado en tres unidades.

1 11 21 31 41 51 61 71 81

2 12 22 32 42 52 62 72 82

3 13 23 33 43 53 63 73 83

4 14 24 34 44 54 64 74 84

5 15 25 35 45 55 65 75 85

6 16 26 36 46 56 66 76 86

7 17 27 37 47 57 67 77 87

8 18 28 38 48 58 68 78 88

9 19 29 39 49 59 69 79 89

10 20 30 40 50 60 70 80 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

→

R:

→

b.

→

Figura1

Figura2

Figura3

3. Determina si las parejas de términos son semejantes.

Sí xw

→

2wx

a. –b

→

b

b. 4x y z

→

4zy 2x3

c. 3xy

→

2 3

• ¿Cuál es el término general de la sucesión de

No

cuadrados negros?

X

xy _

• ¿Cuántos cuadrados negros tendrá la figura 35? c.

Figura1

Figura2

Figura3

2

Aplica 4. Reduce los términos semejantes.

a. x – 2 + 2x – 3x + 5 – 8x b. 0,02d –10 – 0,2d –12 – d 2 x + _1 y + _ 3x c. _ 5 5 2

42

Unidad 2 Álgebra y funciones

¿Cuál es el término • hexágonos negros?general de la sucesión de • ¿Cuántos hexágonos negros tendrá la figura 84?

Se cción

6. Resuelve los siguientes problemas:

a. En una caja solo hay autos, bolitas y bloques. Si hay m bolitas, x autos y en total hay f elementos en la caja, ¿cuántos bloques hay? R: b. Si el lado de un cuadrado mide (2m + 4n) metros, ¿cuál es su perímetro? R: c. En un estacionamiento hay h automóviles, m son rojos. ¿Cuál es la razón entre el número de automóviles que no son rojos y el número de automóviles? R: d. ¿Cuál es la suma de tres números enteros consecutivos si el menor de ellos es x + 3? R: e. ¿Cuál es el perímetro de un triángulo si sus lados miden (k + 7); (3 – k) y (3k – 2) centímetros?

4

5

6

2

k. La fórmula que permite calcular la rapidez v de d , donde d un cuerpo en movimiento es v = _ t es la distancia recorrida en un tiempo t. Si una motocicleta viaja durante 1,5 horas a 92,4 km/h, ¿cuál es la distancia recorrida? R: m permite calcular el índice l. La fórmula IMC = _ t2 de masa corporal (IMC) de una persona, donde m es su masa en kilogramos y t es su estatura en metros. ¿Qué IMC tiene una persona si su masa es 65 kg y su estatura es 1,75 m? Responde aproximando a la centésima más cercana.

_

R:

m. El área de un rombo está dada por A = D • d , 2 donde D y d son las longitudes de las diagonales. Si el área del rombo de la figura es 53,2 cm 2 y una de sus diagonales mide 14 cm, ¿cuál es la medida de la otra diagonal?

R:

A

f. ¿Qué expresión se debe sumar a 6x – y para obtener 5x + 3y?

B

R: g. ¿Cuál es el perímetro de un rectángulo si sus lados miden (4m + 12) y (3m + 9) metros? R: h. ¿Qué expresión permite calcular el área total de un prisma recto de base rectangular, de lados a, b y c? R: i. ¿Qué expresión representa el área de la siguiente figura? 2y

D

C

R: n. El costo de 12 vestidos es $ x, a eso se le debe agregar el IVA y sobre eso se debe calcular una ganancia del 30 %. ¿Cuál es la expresión correspondiente al precio de un vestido? R: ñ. Ximena compró x cuadernos a $ 860 cada uno y su hermana compró 8 de los mismos cuadernos. ¿Cuánto gastaron entre ambas? R:

3z

Desafío

4x

Área:

j. ¿Qué expresión representa es el perímetro de la siguiente figura? 8 + 7x

Se tiene un rectángulo como el de la figura. Si se sabe que x representa un número entero, ¿cuál es el menor valor posible para x? Justifica tu respuesta. 3x – 6

x+4

x+4 3x + 7

x–3

Perímetro:

R:


43

16

Lección

¿Cómo multiplicar expresiones algebraicas?

Propósito Comprender la multiplicación de expresiones algebraicas.

Para multiplicar expresiones algebraicas debemos considerar lo siguiente: •

•

Monomio por monomio: se multiplican los coeficientes numéricos y los factores literales. Producto de binomios: se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación y cada término del primer binomio se multiplica por cada término del segundo binomio.


Práctica guiada 1. Calcula el producto de los siguientes monomios.

3x • 4x = (3 • 4)(x • x) = 12x 2

a. 12b• 33b

a. Cuadrado ABCD.

=

b. –5z • 8z2

=

c. 8a3b • 9a2b2 2 a3b • _ 4 ab2 d. _ 3 5

=

5. Calcula el área (A) de las siguientes figuras.

D

C

A

B

A=

=

2. Resuelve las multiplicaciones de monomios por polinomios. Si es posible, reduce términos semejantes.

5x(4x2 + 2) = 5x • 4x2 + 5x • 2 = 20x3 + 10x a. ab3(b + 12a3b +a)

=

b. –9z(8z + z2 + 5z3) 1 ab( a2 – b2 ) c. – _

=

d. 5b33c2(10b2c + b3c)

=

5x + 3y

b. Rectángulo ABCD. D

C 2x3y2 + 5x3y2

=

A

A=

B 5x2y3 – 2x3y2

3. Multiplica las expresiones y reduce los términos semejantes si es posible.

c. Triángulo rectángulo ABC. C

(3x + 5y)(x – y) = 3x(x – y) + 5y(x – y) = 3x2 – 3xy + 5xy – 5y2 = 3x + 2xy – 5y = 2

a.

( _2x – 1 ) ( x – 3 )

b. (m – 1)(3 – m + m 2)

=

c. (1 + a + b)(1 – a – b)

=

A

2

3

E

2

4. Desarrolla los siguientes ejercicios. Recuerda reducir los resultados.

6x – 2

A

(x – 3)(x + 3) = x2 – 9 = =

c. (2y – 4)(2y + 6) = d. (3x – 4) (3x + 4) =

44


F

D 6x – 2

2 2

a. (a + b ) b. (x + 3)(x – 6)

B

2a – 3b

d. ABCD es un cuadrado.

d. (2a + 4c ) (2a – 4c ) = 3

A=

a3b2

2

B

C

A=

Se cción


a. Calcula el producto entre el número par (2m – 4) y el número par que le antecede.

4

5

6

2

k. Para calcular el producto 86 • 89 se utilizará el desarrollo de dos binomios.

• Escribe el desarrollo con los números que elegiste.

R:

R:

b. Calcula el área de un rectángulo cuyo largo es (2x + 9) cm y su ancho es 2 cm menor que el largo.

• ¿Qué resultado obtuviste? R:

R: c. ¿Cuál es el producto entre el número impar (2n + 3) y el que es 6 unidades menor?

l. La figura muestra dos rectángulos. ¿Cuál es su área? Simplifica si es posible. x

R: d. ¿Qué se obtiene al multiplicar (x + 2) por sí mismo?

x

6

R:

x + 10

e. ¿Cuál es la expresión simplificada del producto de tres números consecutivos? R: f. Se sabe que (x + y) 2 = x2 + 2xy + y2. Si a + b = 5 y ab = 3, ¿cuál es el valor de a 2 + b2?

m. La figura muestra un rectángulo dividido en cuatro rectángulos menores. Encuentra el área de cada uno de ellos y el área total de la figura.

R:

3

g. ¿Es correcta la siguiente igualdad? (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by) 2 + (ay – bx)2 (Desarrolla cada miembro de la igualdad y compáralos) R: h. Julio quiere calcular mentalmente 532. Para ello decide descomponer el 53 en una suma y luego multiplicar.

A=

x

x

A1

A2

A3

A4

x

7

A1

=

A2

=

A3

=

A4

=

A Total =

n. La figura muestra un rectángulo al cual se le recortó un rectángulo menor. Encuentra el perímetro y el área de la figura sombreada.

• ¿Cómo descompondrías tú el 53?

3

R:

x+8

x

• Escribe el desarrollo de la multiplicación de la suma de tu descomposición de 532. R:

x+9

• ¿Qué resultado obtuviste? R: i. Utilizando una suma y una diferencia para calcular

Perímetro =

Área =

Desafío

27 • 33 escribiendo su desarrollo.

R:

;

j. Se quiere calcular el producto de 105 • 95. ¿Qué binomios utilizarías? R:

• Escribe el desarrollo y el resultado. R:

;

La cantidad de tiempo (t) en nanosegundos, que se demora en leer un chip de n celdas de una computadora, está dada por la expresión t = 2[(n + 2)2 + n]. Desarrollando el producto, ¿cuál es una expresión simplificada para el tiempo? R:


45

Lección

17

¿Cómo factorizar expresiones algebraicas?

Propósito Comprender la factorización de expresiones algebraicas.

Dados dos o más números o expresiones algebraicas (factores), podemos encontrar su producto multiplicándolos entre sí.

•

Con el proceso inverso, es decir, dado un número o una expresión algebraica, se pueden encontrar los factores que lo forman. Este procedimiento es llamado factorización.

•

La factorización de un número o expresión no es, necesariamente única.

•

Por ejemplo: 12 = 6 • 2 = 3 • 4 y 2x2 + 4x = 2(x2 + 2x) = 2x(x + 2)


Práctica guiada 1. Identifica el factor común de cada expresión. Luego, factoriza.

3. Completa la tabla con dos números enteros cuya suma y producto sean los señalados.

36x2y2 + 18xy2 – 72x3y3 = 18 • 2 • x • x • y 2 + 18 • x • y 2 – 18 • 4 • x • x 2 • y2 • y

Factor común: 18xy2 Factorización: 18xy2(2x + 1 – 4x2y) a. 25a3b4c – 100a2b3c4 + 150a3b2c4 Factor común: Factorización:

_

_

Suma 5 –6 –7 12

a. b. c. d.

Producto 4 8 12 32

Números

4. Completa los diagramas para poder factorizar los trinomios dados.

_

a. v2 + 5v + 6 = (

b. 16 p3q4 + 32 p 4q5 – 8 p 5q3 15 75 25

)(

)

v2

Factor común: Factorización:

6

c. 14z3w2 – 70z 2w5 + 21z 4w – 147z2w4 Factor común:

b. p + 11p + 18 = ( 2

p

)(

)

)(

)

2

Factorización: 18

d. 8x5y3z4 – 16x 7y4z2 + 32x3y2z5 – 4x4y4z3 Factor común:

c. y2 + 10y + 25 = (

Factorización:

y

2

5y

2. Completa las siguientes factorizaciones.

x2 + 22x + 117 = (x + 9)( x + 13) 117 : 9 = 13; 13 + 9 = 22 2 a. z+ 17z + 60 = (z + 5)(

d. m2 + 8m + 15 = (

)

2

b. b+ 18b + 77 = (b + 11)( c. y2+ 17y + 42 = (y + 3)( 2

d. m– 7m + 12 = (m – 3)(

46


)

2

m

) )

15

)(

)

Se cción

5. Factoriza utilizando las siguientes expresiones.

a. p2 + 12p + 36 = (

)2

b. b2 + 18b + 81 = ( c. y2 – x2 = ( 42 d. –9m

)2 )(

=(

4

5

6

2

f. El área del rectángulo de la figura es 6x2 + 7x + 2. Divide adecuadamente su interior para encontrar las medidas de sus lados.

) )(

)


a. El lado del cuadrado de la figura mide (x + y + z). Relaciona el área total del cuadrado con sus áreas parciales. x

y

z

x

R: g. Factoriza completamente P y Q: P = (x + y)2 – 2(x + y) – 15, Q = (y 2 + 8y + 16) – 25 Recuerda que muchas veces un problema matemático se puede resolver cuando se reescribe como uno más simple.

y

R: h. Considerando que n es un número entero, identifica todos sus valores para que x2 + nx – 28

z

pueda ser factorizado.

=

R:

b. El área de un rectángulo es y2 + 6y + 8. Escribe una expresión para representar su perímetro. R: c. El área de un triángulo es x2 + 7x + 10 y su base mide 2x + 4. ¿Cuánto mide su altura? R: d. Un rectángulo fue dividido en cuatro rectángulos menores y se anotó el área correspondiente, como lo muestra la figura. ¿Cuál es la medida de los lados del rectángulo mayor? 4x2

6x

2x

3

i. Joaquín quiere construir el marco rectangular de un cuadro y el área del cuadro que quiere poner es m2 – 10m + 21. Si m corresponde a un número entero, ¿cuál es el menor perímetro posible para el marco? R: j. ¿Cuántos rectángulos de área 3p 2 – 6p pueden construirse? Justifica tu respuesta. R: k. Los números de dos dígitos que terminan en 5 pueden escribirse como (10n + 5), donde 0 < n < 10, con n natural. Muestra que el cuadrado de cada uno de ellos termina en 25. R: Desafío

R: e. Cuando el producto de dos números es cero, al menos uno de esos números debe ser cero. Considerando lo anterior determina los valores de x con los cuales la expresión x 2 + 3x – 18 es igual a cero.

El perímetro del cuadrado A es 20 unidades mayor que el del cuadrado B. Por otra parte, la diferencia entre sus áreas es 39 unidades cuadradas. Calcula la longitud de los lados de ambos cuadrados. R:

R:


47

¿Cómo voy? Lee los recuadros de la derecha y luego resuelve los ejercicios y problemas propuestos. Recuerda que el álgebra es un lenguaje que permite escribir matemáticamente valores y variables relacionados por operaciones. Reducir términos semejantes significa sumar o restar aquellos que tienen igual factor literal y exponente.

Lección 15 1

Representa cada enunciado utilizando expresiones algebraicas.

a. La suma del doble de un número y la tercera parte del mismo. b. Dos tercios de un número disminuidos en la quinta parte del mismo. c. La cuarta parte de número aumentado en seis unidades menos tres veces el mismo número. d. El doble de un número más el triple del mismo número disminuido en tres. e. El cuádruple de un número aumentado en cinco, más siete veces el mismo número disminuido en cuatro. f. La diferencia entre el triple de un número y la mitad del mismo número disminuido en cinco. g. La suma de la mitad de un número disminuido en nueve y un cuarto del mismo número.

Para multiplicar expresiones algebraicas, se multiplican los factores numéricos entre ellos y las variables entre sí, recordando las propiedades de las potencias.

Lección 16 2

Multiplica y reduce las expresiones algebraicas.

a. 6 • 3a • 7b

=

b. 5x • 8y • 12xy

=

c. 4a(5a – 11b + 3)

=

d. (m + 7) • (m – 11)

=

e. (12p – 3q) • (3p – 24q + 17)

=

5 b • 12 f. _1 a • _3 ab c• _ = 5 2 4 2 g. (15a – 8b – 12c) • (4a – 3b – c)

=

_

Cuando debas factorizar comienza por lo más simple, busca un factor común y luego busca los patrones vistos con anterioridad.

Lección 17 3

Factoriza las expresiones algebraicas y luego responde.

a. 12a + 14b = b. 5x + 15y – 70z + 25 = c. 12a2b – 27ab2 + 3ab = d. m2 + 12 + 20 = e. s2 + 12s + 32 = f. ¿Qué métodos utilizaste para factorizar las expresiones anteriores? Explica.

48


Se cción

4

5

6

2

Desafíos de integración 1. Resuelve los siguientes problemas. a. Si el lado de un cuadrado mide (7m + 4) cm, ¿qué expresión representa su perímetro?

h. Si los lados de un rectángulo miden (5x + 3) cm y (7x + 9) cm, ¿cuál es el 80 % de su área? R:

R:

b. Un camino recto une a las ciudades A y B, y la distancia total del trayecto es (15 000x) m. Si un auto que salió desde la ciudad A ha recorrido (4200x + 2250) m, ¿cuánto le falta para llegar a la ciudad B? R:

c. Un jardín rectangular de lados (115x + 35) cm y (85x + 22) cm se quiere rodear con una cerca. Si ya se ha rodeado (15x + 14) cm, ¿cuántos faltan para terminar el trabajo? R:

d. El modelo de una escalera de madera se fabrica con dos listones de largo (87x + 6) cm cada uno y ocho listones pequeños, cada uno de (12x + 4) cm. ¿Qué largo debe tener como mínimo para la tabla con que se construirá la escalera?

i. Si se aumenta en un 10 % la medida de los lados de un cuadrado de lado (3x + 1) cm, ¿cuál es su nueva área? R:

j. Se quiere pintar las cuatro paredes de una bodega de dimensiones: (3x + 2) m de largo, (2,5x + 1) m de alto y (x + 1,8) m de ancho, entonces ¿cuál es la superficie total a pintar? R:

k. Se desea construir una cancha rectangular de área (x2 + 14x + 48) m2. ¿Cuáles pueden ser las medidas de sus lados? R:

l. El diseño de una baldosa rectangular, de área (a2 + cb) cm2, se compone de un área cuadrada verde sobre un área rectangular celeste. ¿Cuáles son

R:

las dimensiones de la región verde y la celeste? R:

e. Se quiere adornar por fuera una caja cúbica de lado (4x + 9) cm pegando cinta verde por todas sus aristas. ¿Cuántos centímetros de cinta se necesita? R:

f. Un campesino siembra papas en un terreno de (14x + 35) m de largo y (27x + 42) m de ancho ¿Cuál es el área total sembrada? R:

g. Un arquitecto debe construir un bloque cúbico de cemento para que sea la base de una escultura. Si el lado de la base del cubo es de (75x + 25) cm, ¿cuál es su volumen? R:

m. Un empresa de alfombras quiere sacar a la venta un modelo rectangular de (7t + 10) cm de largo. ¿Cuánto debe medir el ancho si se quiere que el área de la alfombra sea de (28t2 + 96t + 80) cm2? R:

n. Un carpintero debe hacer una ventana cuadrada cuya área sea 4a2 + 12ab + 9b2. ¿Cuáles serán sus medidas? R:

ñ. Un cuadrado tiene un área de (x2 + 12x + 36) cm2. ¿Cuánto mide su lado? R:


49


Estrategia: Usar un proceso de ensayo y error.

•


Usa este método cuando se deban combinar cantidades para encontrar un total.

•

Elige un valor que sea posible y pertinente al problema, prueba con él y verifica si has alcanzado el objetivo; si no es así, debes elegir otro valor y repetir el proceso.

•


•

Verificar el resultado obtenido y comunicarlo.

A veces se resuelve correctamente un procedimiento matemático pero el resultado puede no cumplir con las condiciones de un problema dado. Por esto es necesario comprobar tus resultados en el contexto del problema.

1

Resuelve los siguientes problemas utilizando la estrategia presentada.

a. Encuentra dos números enteros cuya suma sea igual a –11 y su producto, 24.

e. El matemático Augustus de Morgan vivió en el siglo XIX y trabajó especialmente en álgebra y lógica matemática. En cierta ocasión afirmó: “Yo tenía x años en el año x2”. ¿En qué año nació de Morgan?

R:

b. Para factorizar la expresión 3x2 + 7x + 2 se dibujó el siguiente rectángulo subdividiendo en otros cuatro. Escribe en cada región los términos correspondientes y finalmente, la factorización.

R:

f. Jorge fue a un corral con cerdos y gallinas, y al salir declaró haber contado 18 animales con un total de 50 patas. ¿Cuántos cerdos había? R:

g. Un padre y su hijo tienen en conjunto 55 años. Sus edades, por separado, están compuestas por las mismas cifras pero colocadas al revés. ¿Cuáles son esasdos cifras? 3x2 + 7x + 2 = (

)(

)

R:

c. Marisa compró dos unidades de un producto y un tercero de la lista que aparece a continuación. Si en total gastó $ 2600, ¿qué productos compró? Tallarines Arroz Azúcar Aceite Galletas R:

→ → → → →

$ 600 $ 800 $ 700 $ 950 $ 900

y 18x2y

_

d. Calcula el valor de √1024 aproximado a un dígito decimal. (Recuerda que debes comenzar encontrando dos números naturales que al

50

h. Tomás dice que para factorizar el trinomio 18x2 + 42x + 12 debe, por una parte, buscar todas las parejas de factores enteros en que se descomponen 18x2 y 12, para después combinar cada pareja y que produzcan el término 42x. Completa los pasos y llega a la factorización requerida. y 12 y

y

Posibles factores (

)(

¿Dan 42x?

)

cuadrado que 1024).sean menor y mayor, respectivamente,

(

)(

)

R:

(

)(

)


y

Se cción

2

4

5

6

2

Utilizando la misma estrategia, u otra que consideres adecuada, resuelve los siguientes problemas.

a. Andrés, su hermano Tomás y su primo Nicolás tienen, cada uno, una de las siguientes mascotas: un perro, un gato y un conejo. Indica de quien es cada mascota considerando que: un primo de Nicolás tiene un gato, Andrés tiene un perro y Tomás no tiene un conejo. R:

b. Si el área de un rectángulo es (4x 2 – 9y2) cm2, ¿cuáles son sus dimensiones? R:

c. La tercera parte de una chacra tiene lechugas. Si hay 12 lechugas costinas y dos quintos de las lechugas son escarolas. ¿Cuántas lechugas hay en total en la chacra? R:

d. ¿Cuál es la factorización de x 2 – 8x – 48?

e. La suma de los cuadrados de dos números es 898. Si uno de los números es 13, ¿cuál es el otro? R:

f. Camila quiere calcular mentalmente el resultado de 5502 – 4502. Ayúdala factorizando y calculando el total. R:

g. Un agricultor midió los tres sectores de una chacra que destinará a cultivar distintas verduras. Las medidas fueron 982 m2, (12 • 98) m2 y 20 m2. ¿Cuál es el área total? (Factoriza y luego calcula). R:

h. Si el área de un cuadrado es 164 m 2 , ¿cuánto mide su lado aproximadamente? R:

R:

3

Con la información dada, crea problemas que puedan ser resueltos con los contenidos de esta sección y utilizando el procedimiento de ensayo y error. Compártelos con tus compañeros.

a. El volumen de un prisma recto es (4x2 – 16x – 84) cm3.

b. La suma de dos números enteros es –24 y su producto es –180.

Pregunta:

Pregunta:

Respuesta:

Respuesta:

Revisando mis procesos Responde las siguientes preguntas sobre la estrategia de ensayo y error. 1. Nombra una ventaja y una desventaja de la estrategia de ensayo y error.


3. Explica paso a paso como resolviste el problema 1.e.


51

Lección

18

¿Cómo modelar situaciones con ecuaciones?

Propósito Modelar situaciones usando ecuaciones lineales.

•

Una ecuación expresa una relación de igualdad entre cantidades siendo algunas de ellas conocidas y otras desconocidas. En una ecuación las cantidades desconocidas se llaman incógnitas y están relacionadas con las cantidades conocidas por medio de operaciones aritméticas.

•

Resolver una ecuación significa encontrar cuál es su solución. Un número se llama solución de una ecuación si, al reemplazarlo en el lugar de la incógnita la igualdad se hace verdadera.


1. Representa las siguientes ecuaciones colocando sus términos en cada plato de las balanzas.

2. Representa en cada recta la ecuación dada. x

x

1

1

1

2x + 3 = 9 9

2•p=3 a. 2 • u = 3 b. a : 6 = 2

a. 5 = 2x + 1

c. 13 = x – 6 d. 6x – 3 = 9x e. 8x – 4 = 6x

b. 3x + 3 = 6 f. 2(m – 3) = m Aplica

c. 5 – 3 = 2y + 1

3. Plantea la ecuación que corresponda a cada situación.

a. Si Mario pagó $ 8500 en el almacén y le quedan

$ 12 300, ¿cuánto dinero tenía Mario?

b. Si al doble de un número se le agregan cinco d. 6 = 3 • q

unidades, se obtiene 10 menos el triple del número. ¿Cuál es el número?

c. La suma de las edades de dos hermanos es 61. Si e. 0,5m = 3

52


uno tiene cinco años menos que el otro, ¿cuántos años tiene el menor?

Sección 4

d. Si un rectángulo tiene área 6 m 2 y uno de sus

5

6

2

c. 2x + 2

lados mide un metro más que el otro, ¿cuál es la longitud del lado menor?

12 – x 4x

e. Las edades de Luis y Pedro suman 41 años. Si Pedro

Ecuación:

es un año mayor que Luis, ¿qué edad tiene Luis? 5. En cada caso, crea un problema que pueda ser resuelto con la ecuación dada.

f. El perímetro de un cuadrado es 144 cm. ¿Cuál es la

a. 50 = 2x + 8

longitud de su lado? b. 70x – 16 = 125 g. Si de la sala de clases sale la mitad de los alumnos

y dos alumnos más, entonces quedarían 17. ¿Cuántos alumnos hay en ese curso?

c. 7 = 2y + 1

h. El precio bruto de un artículo es $ 42 500, ¿cuál es

el precio sin el IVA?

6. Encuentra una fórmula que permita calcular el término de orden n, en cada sucesión.

2 del mismo i. La tercera parte de un número más _

9 número suman 8. ¿Cuál es el número?

a. 8, 3, –2, –7, –12, ...

b. –7, –1, 5, 11, 17, ... 2 j. Jaime posee _ de un terreno familiar y si vende _1

4 3 de su parte, le pagan $ 8 000 000. ¿Cuál es el precio

c. 1, 6, 11, 16, 21, ...

del terreno familiar completo? d. 3, 7, 11, 15, 19, ... k. El producto de 12 y la diferencia entre 1 y el

número p es 84. ¿Cuál es el valor de p? e. –4, 0, 4, 8, 12, ... 4. Usando la información de cada diagrama, escribe una ecuación para calcular el valor de x.

f. 2, 5, 8, 11, 14, ...

a. x–2

3(x + 7) Desafío 50

Representa mediante una ecuación la información del siguiente diagrama.

Ecuación:

a + 30

b. 3x + 2

a

70 5x

x

Ecuación: Ecuación:


53

Lección

19

¿Cómo resolver ecuaciones?

Propósito

•

Para resolver una ecuación se debe despejar la incógnita. Entonces, hay que aplicar las operaciones inversas a las que aparecen en la ecuación.

Resolver ecuaciones lineales.

•

Esas operaciones deben aplicarse a ambos miembros de la ecuación, para que no se altere la igualdad.


1. Identifica la operación que debes realizar en ambos

lados de cada ecuación para despejar la incógnita.

t + 25 = 80 → Restar 25

a. x + 10 = 22

→

b. 5a = 45

→

c. m – 87 = 87

→

d. 10x = 20

→

e. 7 = 1 + x

→

2. Verifica si el valor dado es la solución de la ecuación. Selecciona Sí o No, según corresponda.

Valor

→

Ecuación

→

Sí x

y=5

→

y+3=8

→

a. t = 6

→

5 • t = 40

→

b. x = 19

→

13 = x – 6

→

c. z = 25

→

100 : z = 4

→

d. x = 34

→

52 + 6 = x + 28

→

e. a = 21

→

a • 3 = 65 – 2

→

No

/ +8

→

su solución de la columna B.

Columna A

Columna B

x : 125 = 9

x = 21

a. 50 = 2x + 8

x = 1125

b. 6x – 3 = 9

x=4

c. 7x – 16 = 12

x = –7

d. 2x – 4 = –18

x=2

e. 5x + 5 = 25

x=5

Aplica

5. Plantea dos ecuaciones diferentes (con distintas operaciones aritméticas) cuya solución sea 22.

Ecuación 1: Ecuación 2: 6. Plantea una ecuación que te permita calcular el valor de la incógnita en cada figura.

a. Área: 40 cm2 b

Ecuación:

3. Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones e indica la operación necesaria para despejar la incógnita.

x – 8 = 25

4. Une con una línea cada ecuación de la columna A con

x=

33

8 cm

Solución: b.

Ecuación:

a. x + 12 = 345

/

→

x=

b. 64 = b : 8

/

→

x=

c. 36 = t • 4

/

→

x=

d. 44 • 4 = 2r

/

→

x=

Ecuación:

e. 34 + 89 = 76 + d

/

→

x=

Solución:

Solución:

x + 40º x + 80º

x

c. Perímetro: 31cm (x + 2) cm (3 + x) cm (2x + 2) cm

54


Sección 4

7. Simón resolvió dos problemas planteando y resolviendo una ecuación, y luego escribió la respuesta. ¿Por qué crees que sus respuestas no son correctas? Justifica tu respuesta. a. Respuesta: la edad de Juan es –32 años.

b. Respuesta: el número de hermanos de Lucas es 3,6. c. Respuesta: el área del cuadrado es –8 cm.

5

6

2

k. El doble del número de álamos es igual al triple del

de sauces. Si en total hay 50 árboles, ¿cuántos de ellos son sauces? R: l. Tobías compró 22 paquetes de galletas de un

mismo precio y pagó con un billete de $ 20 000. Si recibió de vuelto $ 9990, ¿cuánto le costó cada paquete de galletas? R: m. El diámetro de Júpiter es de 141 900 km, es

decir, unas once veces el diámetro de la Tierra. 8. Soluciona los siguientes problemas planteando y resolviendo una ecuación.

a. Si dos números consecutivos suman 65, ¿cuál es el

producto entre ellos? R: b. Si al aumentar en 5 cm el doble de una longitud,

se obtienen 23 cm, ¿cuál es la longitud? R: c. La suma de un número, su antecesor y su sucesor

es 153. ¿Cuál es el número? R: d. El perímetro de un cuadrado es 1048 cm. ¿Cuál es

Aproximadamente, ¿cuál es el diámetro de la Tierra? R: n. El doble de la edad de Fernanda aumentado en

5 es igual a la edad de su hermano mayor, que tiene 11 años. ¿Qué edad tiene Fernanda? R: ñ. Eduardo guarda sus ahorros en tres alcancías. En

la primera tiene $ 8250 y en la segunda, $ 6450. Si en total tiene $ 23 500, ¿cuánto dinero hay en la tercera alcancía? R: o. El triple de la edad de Carol es el doble de la edad

la longitud de cada uno de sus lados?

de Franco más nueve años. Si Carol tiene 17 años, ¿cuál es la edad de Franco?

R:

R:

e. ¿Cuál La tercera de un número es el doble de 33. es elparte número? R: f. El 25 % de mi nota final es 1. ¿Cuál es mi nota final? R: g. Si al triple de un número se le resta su mitad, se

obtiene 40. ¿Cuál es el número? R: h. Si el doble de mi sueldo es $1 650 000, ¿cuál es mi

sueldo? R: i. El perímetro de un cuadrado es 84 m. ¿Cuál es la

longitud de sus lados? R: j. Adela tiene 5 muñecas más que Julia. Si al doble

de las de Julia se le suman 6, se obtiene 14. Entonces, ¿cuántas muñecas tiene Adela? R:

p. Las edades de Luis y Cristián suman 114 años. Si Luis tiene 55 años, ¿cuál es el doble de la edad de

Cristián? R: q. Un proveedor de servicios de Internet cobra

$ 1000 por la primera hora y $ 250 por cada media hora adicional. Si a Francisca le llegó una cuenta de $ 3500, ¿durante cuántas horas utilizó Internet? R: r. La producción de un evento tiene un costo de

$ 1 250 000. Si cada entrada se vende a $ 3000, ¿cuántas entradas hay que vender para obtener una ganancia de $ 850 000? R: Desafío

Divide 127 en tres partes, tales que la segunda sea el triple de la primera y sea 20 unidades mayor que la tercera.


55

Lección

20

¿Cómo modelar situaciones con inecuaciones?

Propósito Modelar situaciones usando inecuaciones lineales.

•

Una inecuación expresa una relación de desigualdad (<, >, ≤, o ≥) entre distintas cantidades, algunas de ellas conocidas y otras desconocidas. En una inecuación las cantidades desconocidas se llaman incógnitas y están relacionadas con las cantidades conocidas a través de operaciones aritméticas.

•

Un número se llama solución de una inecuación si, al reemplazarlo por la incógnita, la desigualdad es verdadera. Resolver una inecuación significa encontrar el conjunto de sus soluciones.


1. Representa cada inecuación en la balanza dada.

3. Subraya la palabra que indica la desigualdad en cada enunciado y únela al signo correspondiente.

Juan tiene más de 5 años. a. A lo más tiene 3 dulces.

x+2>3

≥

d. Estuvo menos de 3 horas.

<

e. Quiero a lo más un kilo de queso.

a. 3 • p < 6

>

b. El récord es no más de 3,5 m. c. El trabajo dura más de 2 días.

≤

f. A lo menos tiene $ 1000. Aplica

4. Durante cierta semana Esteban practicó deportes más de dos horas, vio televisión más de tres horas y leyó más de cuatro horas. ¿Cuánto tiempo dedicó esa semana a esas tres actividades? Escribe la inecuación que modela esta situación.

b. 2k + 1 < 3

c. a : 2 < 3 5. Analiza las siguientes afirmaciones y señala si son verdaderas (V) o falsas (F).

d. 4v > 8

a.

En una inecuación las soluciones son siempre mayores que cero.

b.

En una inecuación se puede sumar cualquier número en ambos miembros.

c.

En una inecuación se puede multiplicar por cualquier número en ambos miembros.

d.

Al cambiar de lugar el miembro izquierdo por el miembro derecho, una inecuación no se altera.

e.

Si 3 es solución de una inecuación, entonces –3 es solución de la inecuación con el signo de desigualdad contrario.

f.

Las inecuaciones tienen una única solución.

2. Representa cada inecuación en la recta numérica. x

x

x

1

3x + 1 > 7 7

a. 2 • u > 3 b. a : 12 < 2 c. 13 > x – 6

56


Lección

Sección 4

21

5

6

2

¿Cómo representar la solución de una inecuación?

Propósito Representar inecuaciones lineales.

•

La solución de una inecuación no siempre es un valor único sino un conjunto solución. Por lo tanto, se puede expresar en forma algebraica o utilizando la recta numérica.

•

Existen 4 casos que se pueden dar al resolver una inecuación: x
x>a

a

a

x≤a

x≥a

a

a


Práctica guiada

1. Representa cada expresión en la recta numérica.

x≥3

0

1

2

3

4

3. Representa la información como se solicita.

5

a. Todos los números mayores de 4,6. Algebraicamente:

a. x < 5

b. Los números menores o iguales a –3,2.

b. x > –2

Recta:

_

c. Cualquier número menor que –1 .

c. –3 < x

3

Recta:

2 d. Los números mayores o iguales a _ .

d. x ≤ 2

5

e. 3 ≥ x

Algebraicamente:

f. –4 ≥ x

4. Modela una situación dada la solución de una inecuación.

2. Representa algebraicamente la información de cada recta numérica.

x≤1

–3

–2

–1

0

1

2

a. x ≥ –2 R: b. x < 3

R:

c. 3 ≥ x

R:

d. –1,4 < x R:

a.

–3

–2

–1

0

1

2

b.

–4

–3

–2

–1

0

1

c.

–3

–2

–1

0

1

2

5. Modela una situación dada la representación de la solución de una inecuación.

–2

–1

0

1

2

3

0

1

2

3

4

5

–3

–2

–1

0

1

2

a. R: b.

d.

–4

–3

–2

–1

0

1

e.

0

1

2

3

4

5

R: c.

R:


57

Lección

22

¿Cómo resolver inecuaciones?

Propósito

•

Para resolver una inecuación, se aplican las operaciones inversas necesarias para despejar la incógnita, al igual que en las ecuaciones.

Resolver inecuaciones lineales.

•

La única diferencia con la resolución de ecuaciones es al multiplicar y dividir por un número negativo. En esos casos la desigualdad se invierte.


Práctica guiada

1. Identifica la operación que debes realizar en ambos

miembros de cada inecuación para despejar la incógnita.

x + 18 < 625 → Restar 18 a. y – 10 < 34

→

b. 6a > 78

→

c. m – 35 > 53

→

d. 89 > z : 4

→

e. 100u > 0

→

f. 0,3 < 0,2 + q

→

g. 0 > – 6 – s

→

h. 0,8 < –2p

→

i. –10d – 4d > 7

→

4. Plantea la inecuación y entrega la solución y un valor

que cumpla con las condiciones de cada problema. a. Si la suma de un número y su sucesor es mayor

que 100, ¿cuál puede ser el número? Inecuación:

Solución:

Valor: b. El perímetro de un rectángulo no puede ser mayor

que 900 m. Si sus lados están en razón 1 : 2, ¿cuál puede ser la longitud de su lado mayor? Inecuación:

Solución:

Valor: c. La mitad de un número es mayor que el doble

de 25. ¿Cuál puede ser ese número? 2. Resuelve cada una de las siguientes inecuaciones.

Inecuación:

x – 14 > 32 → x > 46 a. x + 15 > 72 b. 81 < b : 9

→ →

d. Gasto más del 40 % de mi mesada en fotocopias,

Valor:

c. 77 > t • 7

→

lo que equivale a $ 4000. ¿Cuánto es mi mesada?

d. 11 • 4 < 4r

→

Inecuación:

e. 3 + 65 > 43 + d

→

f. 3x ≥ 9 + 2x

→

g. –24 + 3q ≥ –5

→

Columna A x : 11 > 12 a. 70 < 5x + 10

5. Resuelve los siguientes problemas en el conjunto de los números enteros.

Columna B 10 > x x > 132

b. x : 5 + 4 < 6

x > 3

c. 7x – 15 > 6

1 < x

d. 20x – 7 > 13

x > 12

e. 50(x + 1) < 1000

x < 19

a. El perímetro de un triángulo equilátero es menor

que 300 cm. ¿Cuánto mide su lado como máximo? R: b. Si el área de un rectángulo es mayor que 200 m 2 y

uno de sus lados mide 40 m, ¿cuál es la longitud mínima del otro lado? R: c. En una colecta aporté más que Hernán y Tito

juntos. Si Hernán aportó $ 2500 y Tito aportó el doble que Hernán, ¿cuánto aporté como mínimo? R:


Solución:

Valor:

3. Une cada inecuación de la columna A con su solución de la columna B.

58

Solución:

Sección 4

6. Inventa una inecuación que tenga como solución los valores indicados en cada caso.

R:

c. t > 5

j. Una secretaria ha escrito 75 cartas y solo le quedan

menos de 26 cartas para terminar. ¿Cuántas cartas debía escribir en total?

7. Resuelve los siguientes problemas

a. Si el máximo valor del perímetro de un cuadrado

R: k. Una empresa A ofrece un plan de Internet que

tiene un costo fijo mensual de $ 12 000 más $ 100

R: b. El triple de un número disminuido en cinco

por hora depor consumo. B ofrece alternativa $ 8 000 La de compañía costo fijo más $ 150una por hora de consumo. ¿A partir de cuántas horas de consumo es más conveniente el plan de la empresa A?

unidades es menor que siete. ¿Qué valor podría tener dicho número? R:

c. La base de un triángulo isósceles mide 18 cm.

Determina la medida mínima de uno de los otros dos lados si el perímetro es mayor que 45 cm.

R: l. Un vinatero tiene dos tipos de vinos: uno de $ 400

el litro y otro de $ 700 el litro. Quiere mezclarlos para llenar una barrica de 500 litros, pero quiere que la mezcla no cueste más de $ 600 ni menos de $ 500. ¿Entre qué valores debe estar la cantidad de litros del primer tipo de vino para que el precio final esté en el rango deseado?

R: d. El triple de un número disminuido en cinco

unidades es mayor que el doble del mismo número aumentado en seis. ¿Cuál es el menor número entero que cumple esta condición?

R:

R: e. En una tienda se mezcla aceite de oliva, que cuesta

m. El número de estudiantes de tres cursos es menor

que 85. El curso A tiene eldoble de estudiantes que el curso B, el curso C tiene 15estudiantes más que

$ 2880 por litro, con aceite de palta, de $ 3440 por litro. Si se pretende conseguir 60 litros de una mezcla intermedia que no supere los $ 3200 por litro, ¿qué condiciones tienen que cumplir las dos clases de aceite? R:

el curso A. ¿Cuántos estudiantes como máximo tiene cada curso? R: n. La edad de Andrés es el doble de la de Camila, y la

de Camila el doble de la de Tomás. Si la suma de sus edades es a lo más 56 años, ¿cuál puede ser la edad de Camila?

f. La masa de un camión es 1075 kg. La diferencia

entre la masa del camión y a masa dea lcarga que transporta no puede ser menor que 400 kg. Si la carga consiste en 25 cajas iguales, ¿cuál es la masa máxima que puede tener cada una de las cajas? R: g. Roberto compró un helado, un chocolate que

cuesta la cuarta parte del precio del helado y una caluga que vale $ 850. Si llevaba $ 8000 y gastó menos de las dos terceras partes de este monto, ¿qué podrías decir del precio del helado? R:

2

velocidad que nunca supera los 120 km/h. ¿Cuál es la distancia máxima a la que se encontrará de su punto de partida luego de 6 horas de viaje?

b. m ≤ –3

es 300 m, ¿cuánto puede medir su lado?

6

i. Un automóvil transita por una autopista a una

a. x > 0

d. p ≥ 4

5

R: Desafío

Un chocolate cuesta $ 300 más que una bolsa de calugas. Si ambos cuestan entre $ 800 y $ 1400, ¿entre qué valores está el precio de la bolsa de calugas? R:

h. Un padre y su hijo se llevaron 22 años. ¿En qué

período de sus vidas la edad del padre excede en más de seis años al doble de la edad del hijo? R:


59

¿Cómo voy? Lee los recuadros de la izquierda y luego resuelve los ejercicios y problemas propuestos. Recuerda que primero debes reducir términos semejantes, luego aislar la incógnita en un miembro de la ecuación y después despejarla.

Lecciones 18 y 19 1

Resuelve las ecuaciones. a. –5(q + 1) = 4(q – 7) + 1

q =

1 x –x_2+ 4 = x + 4 b. _ 6

x =

5

c. 8t + 4(t – 1) = 12 – (8 – 3t) + 1

t =

_

3 m – (5m – 1) = 2m – _ 1 – m7 d. _ 5

En este ejercicio puedes resolver la

2

2

10

Verifica si el valor de la incógnita corresponde a la solución de la ecuación. a. _ 12 f + 1 = 4f → f = – _ 71

ecuación y comparar los resultados, o evaluar la ecuación con el valor dado.

m=

_

b. –8(x + 2) = 5 → x = – 21 8

c.

Identica primero cuál es la incógnita y luego escribe la relación que se muestra en cada balanza.

_2 y – _4 = y – 1 → y = _2 3

9

3

Lección 20 3

Escribe una ecuación que represente cada balanza. a.

b. k

k

Lecciones 21 y 22

Primero, marca el número dado y luego determina si debes rellenar o no esa marca. Luego, representa los números que son parte de la solución.

4

Representa cada inecuación en la recta numérica. a. x < 3 –4

b.

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

x ≥ (– _1 ) 2

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

c. x > 1 Trabaja como en una ecuación, solo si multiplicas o divides por números negativos, debes invertir el signo de la inecuación.

–4 5

–3

a. 20x + 4 ≤ 18 b. 2 – 6x < 18 + 5x c.

_2 x + 1 > 3x

d.

( _3 )x – 10 ≥ _1 (7) 5

60


–2

–1

Resuelve las inecuaciones.

2

0

1

2

3

4

5

6

Sección 4

5

6

2

Desafíos de integración 1. Resuelve los siguientes problemas que involucran ecuaciones e inecuaciones. a. Pablo tiene 30 años menos que su padre y este

tiene el cuádruple de los años de su hijo. ¿Qué edad tiene cada uno? R:

h. El cuádruple de un número disminuido en doce

unidades es mayor que el doble del mismo número aumentado en cuatro. ¿Cuál es el número que cumple con esta condición? R:

b. El lado menor de un rectángulo mide 11 m.

¿Cuántos metros más mide el lado mayor del rectángulo si su perímetro es 52 m? R:

i. La base de un triángulo isósceles mide 20 cm. Si el

perímetro 45 cm,del ¿cuál es la medida mínima dees losmayor otros que dos lados triángulo? R:

c. Francisco tiene $ 4500 en monedas de $ 500 y

de $ 100. Si el número de monedas de $ 100 es el cuádruple de monedas de $ 500, ¿cuántas monedas de cada valor tiene Francisco? R:

j. En una frutera, la cantidad de manzanas es mayor

que la de naranjas más dos, y la de naranjas es mayor que el doble de la cantidad de peras más cuatro. Si en total hay menos de 20 frutas, ¿cuántas peras puede haber como máximo? R:

d. En un triángulo ABC, la medida del ∡ABC es el

doble que la del ∡BCA y esta última es el triple que la del ∡CAB. ¿Cuál es la medida de los ángulos del triángulo? R:

k. Lorena tiene 18 años menos que Andrea. Si las

edades de ambas suman menos de 42 años, ¿cuál es la máxima edad que podría tener Lorena? R:

e. En una bolsa hay dulces de menta, naranja y uva.

Los dulces de menta son el doble que los de naranja y los de uva son iguales a la suma de los de menta y naranja más 3. Si en total hay 423 dulces, ¿cuántos hay de cada sabor?

l. ¿Cuáles son los números cuyo triple excede a su

doble en más de 20 unidades? R:

R: m. Para convertir de grados Celsius a grados f. En la ciudad de Valdivia, durante abril a lo más

cayeron 131,5 mm de precipitaciones. Si en las dos primeras semanas se registraron 69,7 mm, ¿cuántos milímetros cayeron a lo más en el resto del mes?

Fahrenheit se puede utilizar la aproximación: F = 1,8C + 32. ¿Cuál es el rango, en grados Fahrenheit, del rango en Celsius 20 < C < 30? R:

R: n. En un curso si falta un cuarto de los estudiantes,

es la carga máxima que se puede agregar?

quedan menos de 18 personas. Pero si falta un tercio de los estudiantes, entonces los que quedan en clases son más de 14. ¿Cuántos estudiantes hay en el curso?

R:

R:

g. Un ascensor puede cargar como máximo 1230 kg.

Si en cierto momento se carga con 750 kg, ¿cuál


61

Resolución de problemas

Estrategia: Plantear una ecuación o inecuación. Escribe una ecuación o inecuación cuando el contexto describa una situación que relacione la incógnita con los otros datos a través de operaciones aritméticas. 1

Recuerda que la mayoría de las veces un problema puede resolverse con más de una estrategia o combinando varias Tú debes elegir la que te resulte más fácil o con la que sientas mayor seguridad.

Resuelve los siguientes problemas utilizando la estrategia presentada. a. Julia piensa que, en tres años más, el pino de su

h. Lía y Beatriz leen el mismo libro. Si el triple de lo

jardín tendrá a lo menos 60 años. ¿Cuántos años

que lee Lía en un día más lo de Beatriz es más de

tiene ahora el pino de la casa de Julia?

51 páginas, y si además el doble de Lía menos lo de Beatriz es 24, ¿cuál es la cantidad mínima de páginas que pueden leer en total?

R:

R: b. La suma de dos números pares consecutivos es

igual al menor aumentado en cuatro. ¿Cuáles son esos números? R:

i. Andrés y Claudio juntaron $ 620 000, Claudio

aportó el doble de Andrés más $ 17 000. ¿Qué monto puso Andrés? R:

c. Si Pedro tiene $ 24 000 más que Camila y entre los

dos tienen $ 38 000, ¿cuánto dinero tiene Pedro? R:

d. La medida de los ángulos interiores del ∆PQR están

en la razón 2 : 3 : 5. ¿Cuánto mide el ángulo menor?

j. El segundo de tres números es tres veces el

primero, y el tercero es cuatro veces el primero disminuido en cinco, además la suma es de ellos es 11. ¿Cuál es el número mayor? R:

R:

1 kg de naranjas se puede tener de 4 a 6 k. Si en _ 2

e. Si al cuádruple de un número se le restan

5 unidades, no alcanza a ser igual a 13. ¿Cuál es el mayor número entero que cumple esta condición?

unidades, ¿cuál es la menor masa que puede obtenerse con 9 docenas de ellas? R:

R:

f. Luz tiene 20 años menos que Ana. Si sus edades

suman menos de 86 años, ¿cuál es la máxima edad que podría tener Ana? R:

l. La masa de una camioneta es 875 kg. La diferencia

entre la masa de la camioneta vacía y la masa de la carga que lleve no puede ser inferior a 415 kg. Si hay que cargar cinco cajones iguales, ¿cuál es la masa, como máximo, de cada uno de ellos? R:

g. Si al doble de z se le restan 17, resulta menos de

35; pero si a su mitad se le suman 3, el resultado es mayor que 15. ¿Cuál es el valor de z? R:

m. El perímetro de un rectángulo es 24 cm y sus lados

miden menor?(8x – 6) y (2x + 8) cm. ¿Cuánto mide el lado R:

62


Sección 4

2

5

6

2

Utilizando la misma estrategia, u otra que consideres más rápida o más fácil, resuelve los siguientes problemas. a. ¿Cuáles son los números cuyo triple excede a su

doble en más de 50 unidades? R:

e. Las notas de Samuel son 5,6 – 5,6 – 6,4 – 6,4 – 5,6

– 4,4. Si le queda una prueba por rendir, ¿puede tener un promedio final de 6? y ¿cuál es el promedio más alto que puede obtener? R:

b. Leonor tiene (c + 2) cuadernos. Si compra c

cuadernos más tendrá, a lo menos, 18. ¿Cuál es la menor cantidad de cuadernos que puede tener después de la compra? R:

c. Gloria compró (5t + 8s) kg de fruta, congeló

(2t – 2s) kg y preparó un postre con (3t + 5s) kg. ¿Qué expresión algebraica representa los kilogramos de fruta no utilizada?

f. La familia deSimón se vade vacaciones. Después

_4 5 del camino se detienen para cargar de recorrer bencina. Si aún les faltan 200 km para llegar asu destino, ¿cuántos kilómetros recorrerán en total? R:

g. Si se sigue el patrón que muestran las figuras,

¿cuántos triángulos tendría la figura 5?

R:

d. Si el largo de un rectángulo es el triple de su

ancho y su perímetro es 72 cm, ¿cuál es su área? R:

3

Figura1

Figura2

Figura3

R:

Con la información dada, crea problemas que puedan ser resueltos por medio de una ecuación o inecuación y utilizando los contenidos de esta sección. Compártelos con tus compañeros. a. En un jardín de 16 m2, el 25 % tiene flores y el

b. El triple de un número más el doble de su

resto solo pasto.

sucesor es a lo más 12.

Pregunta:

Pregunta:

Respuesta:

Respuesta:

Revisando mis procesos Responde las siguientes preguntas sobre la estrategia de plantear una ecuación o inecuación. 1. ¿Utilizaste la misma estrategia en todos los problemas? Si no fue así, ¿por qué?


3. Explica paso a paso como resolviste el problema 1.k.


63

Lección

23

¿Cómo relacionar la proporcionalidad directa y la función lineal?

Propósito Relacionar la proporcionalidad directa con la función lineal.

Toda relación de proporcionalidad directa entre dos variables puede ser representada por una función de la forma y = ax, donde x e y son las variables y a es la constante de proporcionalidad. A este tipo de función se le llama función lineal.


Aplica

1. Determina si las magnitudes son directamente proporcionales. Marca con un✓ las que lo son. ✓ El perímetro de un cuadrado y la longitud de uno de sus lados.

a.

El número de entradas vendidas en un concierto y la recaudación obtenida.

b.

La velocidad de un auto y el tiempo de viaje entre dos ciudades.

c.

El costo de una docena de huevos y el costo de un huevo.

d.

La cantidad de hojas de un cuaderno y su grosor.

e.

La cantidad de obreros que realizan un trabajo y el tiempo que demoran en terminarlo.


a. Las variables M y N son directamente proporcionales. Si M = 11 cuando N = 9, ¿cuál es el valor de M si N = 5? R: b. A y B son directamente proporcionales. Si A = 2 cuando B = 5, ¿cuál es el valor de A si B = 3? R: c. En la etiqueta de un alimento se especifica que 230 g del producto contienen 5 g de grasa. ¿Cuántos gramos de grasa consume una persona que ingiere 12 g de ese alimento? R: d. Una máquina puede embalar 5 resmas de papel

f. transcurrido La población de bacterias y el tiempo en su duplicación. 2. Analiza las siguientes tablas de valores. Si las variables son directamente proporcionales, calcula la constante de proporcionalidad (k).

64

x y

2 5

6 15

10 25

a.

x y

2 6

4 8

6 10

b.

x y

2 3

2,5 3,75

10 15

c.

x y

2 4

6 12

12 24

d.

x y

3 4,5

6 9

10 15


Sí k=2,5

en una caja en 3 minutos. ¿Cuántas resmas puede embalar en 36 minutos? R: 4. Analiza cada situación de proporcionalidad directa y escríbela como función una lineal.

a. Imprimir una cantidad x de libros tiene un costo de $ 7500 por unidad.

b. Un maestro pone 144 ladrillos en tres horas y siempre trabaja al mismo ritmo.

c. Camila trabaja los fines de semana y cobra $ 16 250 por 5 horas.

d. Un balde se llena en 6 horas con una gotera.

Lección

Sección 4

24

5

6

2

¿Cómo representar y analizar una función lineal?

Propósito Representar y analizar la función lineal.

•

•

Una función lineal puede estar dada por una fórmula, una tabla o un gráfico. La gráfica de una función lineal es siempre una línea recta que pasa por el srcen. Para graficarla se determina un punto que per tenezca a ella además del (0, 0) –que corresponde al srcen de las coordenadas–. Por estos dos puntos se traza la recta que la representa.


Aplica

1. Grafica cada una de las siguientes funciones en el plano cartesiano rotulando cada una de ellas.

f(x) = 2x

3. En el plano cartesiano se muestra el gráfico de varias funciones lineales. Escribe la fórmula correspondiente a cada una de ellas.

a. g(x) = 1,5x

a. f(x) =

c. h(x) =

b. h(x) = 3x

b. g(x) =

d. i(x) =

c. i(x) = 0,5x 5

d. j(x) = x Y

5

Y

4 f(x)

4

3 h(x) 2

3 f(x)

g(x)

1

2

i(x) X

1 X

0 –4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

2. Cada tabla muestra los valores de una relación de proporcionalidad directa. Escribe la función que la describe.

x y

1 15

2 30

3 45

a.

x y

1 5

2 10

3 15

b.

x y

1 6

2 12

3 18

c.

x y

1

2

3

0,1

0,2

0,3

d.

x y

1 8

2 16

3 24

=15x y f(x)=15x

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

4. Resuelve los siguientes problemas que involucran variables directamente proporcionales.

a. Una compañía de reciclaje produce 2 kg de abono por cada 100 kg de basura. ¿Cuál es la fórmula que representa esta situación? R: b. El precio de un litro de bencina de 95 octanos, en cierta estación de servicio, es de $ 830. Encuentra la regla de formación de la función que relaciona la cantidad de litros (l) con su costo (c). R: c. Un excursionista recorre de forma constante 1,5 km por hora en un parque. ¿Qué función describe esta situación? R:


65


a. El gráfico muestra las funciones f(x) y g(x), que representan los valores de la bencina en los centros de servicios A y B. 6000

Y f(x)

g(x)

d. Imprimir una cantidad x de álbumes fotográficos tiene un costo de $ 7500 por unidad.

Determina la función lineal de costo C(x). R:

¿Cuál será el costo de imprimir 450 álbumes ?

5000

R:

4000

¿Cuántos álbumes se pueden imprimir con tres millones de pesos?

3000

R:

2000 1000

X 0 1 2

3 4

5 6

7

8 9 10 11 12 13 14 15

e. Los impulsos en las fibras nerviosas viajan a una velocidad aproximada de 90 metros por segundo.

¿Cuál es la función que representa dicha relación? R:

Si se sabe que en A los precios son más altos, ¿qué función le corresponde? Justifica tu respuesta. R:

En el centro de servicio C el precio de la bencina es más bajo que en A pero más alto que en B. ¿Cuál podría ser el precio en ese servicentro? Justifica.

Si un impulso que va directamente de la cabeza a los pies se demora 0,015 segundos, ¿cuál es la estatura de la persona? R: f. El siguiente gráfico muestra el número de fotocopias que una máquina puede realizar en función del tiempo. Número de fotocopias

R: b. La función c = 1350n representa el precio de las naranjas, donde c es el costo de n kilos de naranjas.

320

En este contexto, ¿cuál es el significado del número 1350? 8

R:

_ _

Si la igualdad c = 1350n se divide por 1350, se obtiene otra función lineal, n = 1 c. En este el 1350 contexto, ¿qué significa el número 1 ? 1350 R: c. La función lineal C(x) = 650x describe el costo (C) de x cajas de lápices de colores. Se desea definir una función P(x) que entregue el precio (P), para lo cual se debe agregar el IVA a cada caja. ¿Cuál sería esta nueva función?

R:

¿Cuál es el significado de la constante de proporcionalidad? R:

¿Cuántas fotocopias puede sacar la máquina entre las 9:00 y las 9:30 de la mañana? R:

R:

¿Cuánto demora en sacar 200 fotocopias?

Si se graficaran ambas funciones utilizando los ejes como referencia, ¿cómo se describiría la función P con respecto a C?

R:

R:

Si se necesitan 2000 fotocopias para las 15:00 y la solicitud de fotocopias llegó a las 14:15, ¿es posible cumplir con lo pedido? R:

66

tiempo

¿Cuál es la constante de proporcionalidad de las variables relacionadas?


Lección

Sección 4

25

5

6

2

¿Cómo definir una función afín?

Propósito

•

Definir la función afín. •

Se llama función afín a una función de la forma y = mx + n donde x es la variable independiente, y es la variable dependiente y m y n son sus coeficientes. Si n ≠ 0, las variables x e y no tienen una relación de proporcionalidad directa.


Práctica guiada

1. Identifica si las reglas de formación corresponden a una función lineal o a una función afín. Marca con una X según corresponda.

Lineal

Afín

f(x) = 8x

X

7x a. g(x) = – _ 8 b. h(x) = x – 1

5. Encuentra la función afín que describe cada una de estas situaciones y determina su pendiente.

a. En su banco, Julio pagó $ 62 000 para comprar 100 dólares, además de $ 325 lo que cobra el banco por cada operación de este tipo. Función: Pendiente: b. Daniel tiene una cuerda que mide 30 cm. Utilizándola completamente forma distintos rectángulos si varia el largo x y el ancho y.

c. j(x) = 2x d. k(x) = 3x + 3 e. p(x) = 2,5x 2. Determina la pendiente de cada una de las funciones lineales o afines del ejercicio anterior.

f(x) = 8x a.

c.

b.

d.

→

k=8 e.

f(1) = 2; f(2) = 5 (1, 2) y (2, 5) m = 5 – 2 = 3 ; 5 = 3 • 2 + n n = –1 2–1 f(x) = 3x – 1

Pendiente: d. Juan quiere preparar tallarines y para eso pone agua a hervir. La temperatura inicial del agua es 12 °C y aumenta a razón de 6 °C por minuto.

→

→

a. g(–2) = 4

g(1) = 1

→

b. h(1) = –2

h(4) = 2

→

c. j(–3) = 1

j(1) = –3

→

d. k(–1) = –2

k(3) = –1

→

4. Evalúa cada función afín con los valores dados. f(x) = –3x + 4, f(2) = –3 • 2 + 4 = –6 + 4 = –2

a. g(x) = 8x – 4;

c. La última cuenta del agua que recibió Marisa indicaba: cargo fijo = $ 3200, consumo = $ 12 800 por 32 m cúbicos de agua. Función:

3. Considera la información dada y determina la regla de formación de cada uno de los siguientes modelos afines.

_

Función: Pendiente:

g(–1)=

b. h(x) = –4x – 3

h(2) =

c. j(x) = 8 – 3x

j(0) =

d. k(x) = 3 – x

k(5) =

Función: Pendiente: e. Un estanque de agua contiene 4500 litros pero, debido a una filtración, pierde 25 litros por hora. Función: Pendiente: f. Una pizzería ofrece la siguiente promoción: se paga un derecho a mesa de $ 2000 y luego solo $ 250 por cada pedazo de cualquier tipo de pizza. Función: Pendiente: g. $ Laura tiene una deuda de $ 80 000 y desea pagar 12 000 mensualmente. Función: Pendiente:


67


a. En el almuerzo, Camila consume 4 g de grasa de una porción carne además de otro producto que indica que contiene 5 g de grasa por cada 130 g. ¿Cuántos gramos de grasa consume Camila si ingiere x gramos del producto?

e. El volumen de un cubo de hielo expuesto al sol disminuye de tal forma que se puede modelar utilizando una función afín. Tras 5 min de expuesto, el volumen es de 12 cc y a los 10 min es 8 cc.

•

R: b. Un estanque contenía 28 litros de agua cuando, a las 6:00 de la mañana, comenzó a llover en forma constante y cayeron 5 mm por hora.

•

Determina la función de precipitación por hora

R:

•

¿Qué cantidad de agua había caído a las 13:00?

R:

•

Determina la función que relaciona la altura H de la planta con el tiempo t en semanas, sabiendo que el crecimiento es constante.

f. Al comenzar un viaje, un automóvil contiene 30 litros de bencina y se sabe que gasta 4 litros cada 48 km recorridos.

•

•

R:

•

Si se mantiene el crecimiento de la misma forma, ¿qué altura tendrá la planta luego de 20 semanas? R:

d. Un transportista cobra $ 500 fijos por viaje más $ 120 por kilómetro recorrido.

•

¿Cuál es la función que modela el costo (C) de viajar x kilómetros? R:

•

¿Cuánto cuesta un viaje de 120 km? R:

•

Si por un viaje se pagaron $ 29 300, ¿cuántos kilómetros se recorrieron? R:

68


Determina la función afín que relaciona los litros de bencina que contiene el estanque del automóvil y los kilómetros recorridos. R:

•

¿Después de recorrer cuántos kilómetros el automóvil queda sin bencina? R:

R:

¿Cuánto tiempo que debe transcurrir para que la planta alcance los 8 cm?

¿Cuánto tiempo tardará el cubo de hielo en derretirse por completo? R:

¿A qué hora habían precipitado45 mm?

c. A Gonzalo le regalaron una planta que medía 1 cm, desde entonces ha llevado un registro del crecimiento de la planta, de esa forma sabe que luego de la quinta semana su altura es de 4 cm y a la décima semana es 6 cm.

¿Cuál será el volumen del cubo a los 9 minutos? R:

•

R:

•

Calcula el volumen inicial del cubo de hielo. R:

•

P(h). R:

•

Determina la función afín que relaciona el volumen (V) y el tiempo de exposición (t).

Desafío

Un hormiguero tiene inicialmente 2000 individuos. Para proteger sus plantas, Carla aplica un insecticida que elimina, en promedio, 72 hormigas por día. Define una función N(t), donde N es la cantidad de hormigas y t el número de días desde que se aplicó el insecticida. R:

¿Después de cuántos días la población de hormigas se acerca lo más posible a cero individuos? R:

¿Cuál es el número mínimo de hormigas vivas que describe este modelo? R:

Lección

Sección 4

26

5

6

2

¿Cómo interpretar los parámetros de una función afín?

Propósito Describir y caracterizar la función afín.

•

En una función afín y = mx + n (con n ≠ 0), las variables no están relacionadas en forma directamente proporcional, pero sí lo está el incremento funcional y el incremento de la variable. Es decir, para dos valores de x y los correspondientes valores de y, se tiene:

_

_

y2 – y1 ∆y x2 – x1 = ∆x = Constante •

La constante de proporcionalidad corresponde al coeficiente a de la función y = mx + n, y se le llama pendiente. Si m > 0, se trata de una función creciente; mientras que si m < 0, la función es decreciente.


Aplica

__

1. Calcula la pendiente de cada función.


f(–3) = 4 y f(6) = 2 2 – 4 = –2 = m 6 – (–3) 9 a. f(–3) = –4 y f(3) = 2

→

m=

b. f(–4) = 2 y f(3) = 2

→

m=

c. f(1) = 4 y f(2) = –3

→

m=

d. f(0) = 4 y f(2) = –4

→

m=

e. f(–2) = –1 y f(1) = 2

→

m=

→

f. f(–1) = –3 y f(–3) = –5 m= 2. Dada una función afín, f(x) = mx + n, encuentra el valor de n con la información dada. f(x) = 2x + n y f(3) = 5 5 = 2 • 3 + n n = –1

a. Las funciones que describen el movimiento de dos buses son f(x) = 62x + 20 y g(x) = 53x + 35. Si necesitas llegar lo más rápido posible a tu destino, ¿cuál de estos buses tomarías? Justifica tu respuesta. R:

b. El comportamiento del precio de las acciones de la empresa A, diariamente en las últimas semanas, es A(t) = 240 – 18t. Por otra parte la de la empresa B es B(t) = 18t + 240. Si quisieras ganar dinero, ¿en cuál empresa invertirías? Justifica tu respuesta.

→

a. f(x) = –x + b y f(1) = –4

→

n=

b. f(x) = 4x + b y f(–1) = 2

→

n=

c. f(x) = –2x + b y f(8) = –4

→

n=

d. f(x) = 2x + b y f(–3) = 5

→

n=

e. f(x) = –3x + b y f(2) = –4

→

n=

→

n=

f. f(x) = 4x + b y f(4) = 11

R:

c. Cierto día un termómetro aumenta 3 °C por hora. Si la medición comenzó a las 5:00 y a las 10:00 se registraron 15 °C, ¿cuánto marcaba el termómetro al inicio de la medición? R:

3. Evalúa la pendiente de cada función y únela con el concepto que corresponda.

f(x) = –2x + 3 a. g(x) = 2x – 6 b. h(x) = 3x + 2 c. j(x) = –5x – 5

Creciente

d. k(x) = –x + 4

Decreciente

d. La compañía de alquiler de autos A cobra $ 12 000 al momento de arrendar y $ 350 por cada kilómetro recorrido. Si la compañía B cobra el mismo cargo fijo que A pero quiere competir con esta, ¿qué podría hacer? Justifica tu respuesta. R:

e. m(x) = –0,5x + 3


69

Lección

27

¿Cómo analizar y graficar una función afín?

Propósito Analizar y graficar la función afín.

•

•

La gráfica de una función afín y = mx + n es una recta. En la función, el coeficiente “m” corresponde a la pendiente de la recta. Según su valor podemos distinguir los siguientes casos: m > 0: la recta es creciente, es decir, “sube” de izquierda a derecha. m < 0: la recta es decreciente, es decir, “baja” de izquierda a derecha. Mientras mayor sea su valor absoluto, mayor será la inclinación de la recta respecto del eje X.

•

En la función, el coeficiente n se llama coeficiente de posición e indica la ordenada del punto de intersección de la recta con el eje Y. Es decir, la recta se interseca con este eje en el punto (0, n).


Práctica guiada

1. Representa gráficamente cada función según la regla de formación dada en el plano cartesiano. 4 Y

f(x) = –2x + 3

3

(0, b)

2

–2

3 A

f(x) = –2x + 3 C

1

R

_

1

2

3

4

–3

–2

f. t(x) = –2x – 2 Y

–1

0

1

2

a. f(x) = – x + 1

→

b. j(x) = – x – 1

→

2

3

X 4

1x+ 1 h(x) = _ 2

2x – 2 d. i(x) = _ 3 e. g(x) = x – 1

5

→

→

→

3

a.

–3

b. 2. Clasifica las funciones anteriores según su pendiente (creciente o decreciente).

a.

c.

e.

b.

d.

f.


1

4. Completa la tabla con la regla de formación de cada función.

–2

70

0

–2

c.

X –1

–1 –1

1

–2

D

e. s(x) = –3x –1

2

–3

B

1

d. u(x) = 4x – 2

3

C

X 0

a. p(x) = –2x+2 3 4 x+3 b. q(x) = _ 5 c. r(x) = 3x + 4

Y

2

E

0 –1

3. Relaciona cada función afín con la gráfica que le corresponda, escribiendo la letra que identifica.

c. d.

x –2 2 –1 3

y 8 4 2 5

2 7 4 – 1

3 –1 –3 –1

Función

Sección 4


a. Los vértices de un triángulo son P(–4, 6), Q(5, 6) y R(–4, –2). Encuentra la pendiente de la función afín cuyo gráfico contiene el lado QR del triángulo.

5

Y

3

B

2

b. Determina la función afín cuyo gráfico es la recta que pasa por los puntos (4, 6) y (0, 4).

1

A X

R:

Si el punto (–3, y) también pertenece al mismo gráfico, encuentre el valor de y.

–1

•

R: c. Encuentra la función afín cuya gráfica contiene todos los puntos en que la abscisa y la ordenada suman 10. R: d. Las tres compañías de telefonía de una localidad cobran un cargo fijo más otra cantidad por cada minuto hablado. Los modelos de cobro de cada una de ellas responden a una función afín.

Si todas ellas tienen el mismo cargo fijo “b”, pero distinta cantidad por minuto hablado, ¿cómo serían sus gráficos? Explica tu respuesta. R:

•

Si ahora cobraran lo mismo por cada minuto hablado pero distinto cargo fijo, ¿cómo seríansus gráficos? Explica tu respuesta. R:

e. El dueño de una mueblería A paga a los carpinteros un sueldo base de $ 300 000 más $ 5500 por cada mueble terminado. Por otra parte, en la mueblería B el dueño paga un sueldo base de $ 400 000 pero $ 4000 por cada mueble terminado.

•

¿De qué depende el sueldo de una persona que trabaja en A o en B? R:

•

0

1

2

3

4

5

Analizando los gráficos, ¿qué característica del viaje se debe considerar para decidir qué bus tomar? Justifica tu respuesta. R:

•

¿Qué interpretación se puede dar a los puntos que intersectan el eje Y? R:

Desafío

Al dueño de un local comercial le pagarán $ 30 000 más el 15 % de lo que se recaude mensualmente, por instalar una caja receptora de pago de cuentas. ¿Cuánto dinero recibirá si recauda $ 5 000 000? R:

¿Qué función afín representa esta situación? R: En el plano cartesiano, grafica la función y marca el punto que considera una recaudación de $ 80 000. 5

Y

4 3

¿Se puede afirmar que en A o en B se paga más o menos que en la otra? Justifica tu respuesta. R:

•

2

f. En el eje x del gráfico se ubicaron las horas que dura el mismo viaje de los buses A y B. En el eje Y, las distancias recorridas en cientos de kilómetros.

R:

•

6

2 1

X

0 –5 –4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

–1 –2 –3 –4

¿Qué harías para determinar en qué mueblería es mejor trabajar si te interesa un mayor sueldo?

–5

R:


71

Lección

28

¿Cómo modelar situaciones usando las funciones afín o lineal?

Propósito Modelar situaciones usando las funciones afín y lineal.

•

•

Las funciones lineal y afín permiten modelar diferentes situaciones de diversos ámbitos. La pendiente de la función indica el crecimiento o decrecimiento de la variable dependiente, mientras que el coeficiente de posición está asociado al valor inicial de ella. Se pueden determinar los valores sucesivos de una función lineal utilizando la fórmula recursiva: f(x + 1) = f(x) + m. Donde m corresponde a la pendiente de la función.


Práctica guiada

1. Para teñir lana, Andrés parte con 1 cc de tinte negro y luego va añadiendo 3 cc de tinte negro por cada 2 cc de tinte blanco, para producir el mismo gris.

Define la función que relaciona la cantidad de cada tintura para obtener el color gris deseado.


a. Un profesor confeccionó una prueba de matemática que tiene un total de 40 puntos. A los 0 puntos se le asignará la nota 1 y al 60 % de los puntos la nota 4.

Solución: variable independiente, tinte blanco, x, en el eje X. Variable dependiente, tinte negro, y, en el eje Y.

¿Qué función relaciona el puntaje (p) con lanota (n)?

Objetivo: definir una expresión y = mx + n.

R:

•

“…parte con 1 cc de tinte negro…”, el valor de n es 1, luego el punto (0, 1) es la intersección del eje Y.

•

“…3 cc de tinte negro por cada 2 cc de tinte ∆y 3 blanco…”, la pendiente es: = _ 2 ∆x • La fórmula que describe la mezcla es: y = _3 x + 1 2 7 cc ¿Cuánto tinte blanco se necesita si Andrés pone de pintura negra? 3x + 1 Solución: y = _ 2 Se necesitan 4 cc de pintura blanca.

_

¿Cuál es la gráfica de la función?

Y 8 6 4 2

Y

3

0

5

500

15

20

25

30

35

Y

400

1

300

X

0

200 0

1

2

3

4

X

0 0 1

Resuelve los problemas de la sección Aplica siguiendo los pasos mostrados en esta sección.


2

3

4

5

6

7

¿Cuál es la rapidez media con que van los buses para cumplir con las condiciones del problema? R:

72

10

40

–2

2

–1

X

0

b. Un bus sale a la 1:00 de la mañana de Puerto Montt al norte a las 2:00 parte otro en la misma dirección. A las 6:00 ambos buses entran simultáneamente a Temuco, a 360 km del punto de partida. Grafica la situación de ambos buses.

Solución: 4

El profesor quiere tener un gráfico con la escala de notas para calificar sus pruebas. Realiza el gráfico para él.

Sección 4

c. Una artesana ha determinado que la función que describe la ganancia de su negocio es: g(x) = 155x – 10 800.

•

¿Cuál es el significado de los parámetros en el contexto del problema?

¿Qué condición se debe cumplir para que la artesana no tenga ganancia ni pérdida?

•

A: Hacerse socio del club organizador del concierto

por un valor de $ 18 000 y comprar las entradas a $ 7000 cada una. B: Comprar cada entrada a $ 10 000.

•

Si n es el número de invitados de Pablo, obtén, en función de n, el precio a pagar en los dos casos. R:

•

R: f. En un lago, por el cambio de la temperatura del agua y la disminución del alimento, la población de peces ha ido disminuyendo según la función n(t) = 700 – 0,2t; donde n es el número de peces

¿Después de cuantos kilómetros Cecilia deberá parar a comprar combustible? R:

R:

Escribe una fórmula para convertir de grados Fahrenheit a grados Celsius.

¿Cuál es la función afín que describe la relación del gasto de bencina del auto de Cecilia durante su viaje?

j. Para invitar a un concierto a sus amigos, Pablo tiene dos posibilidades:

R: e. Se sabe que 20 °C equivalen a 60 °F y 0 °C a 32 °F. Escribe una fórmula para convertir de grados Celsius (°C) a grados Fahrenheit (°F).

Finalmente,Pablo va al concierto con 7 invitados. ¿Qué opción debía elegir para pagar menos? R:

Desafío

Un artesano debe entregar sus productos en un

y t es el tiempo en meses. Si las condiciones no cambian, ¿en cuántos meses desaparecerán los peces del lago?

radio de 350 km alrededor de su casa. Recibe las ofertas de dos transportistas, cada una con las siguientes condiciones:

R:

Transportista A: $ 600 por km.

g. Un objeto de 35 kg en la Tierra, en Mercurio tendría una masa de aproximadamente 13 kg. ¿Cuál sería la función lineal que relaciona la masa de un objeto bajo la fuerza de gravedad de la Tierra con la de Mercurio? R: h. El supermercado El Rápido decidió subir todos los precios un 5 %. Si un producto costaba $ x, ¿cuál sería su precio después del aumento?

2

R:

•

R: d. Para preparar un desinfectante a base de cloro, se deben poner 250 cc de cloro por cada 500 cc de agua. ¿Cuál es la expresión que permitiría calcular la cantidad de cloro para cualquier cantidad de agua que quisiera usarse?

6

i. En el auto de Cecilia, la bencina rinde 10 kilometros por litro. Ella decide comenzar un viaje con el estanque a media capacidad, es decir con 25 litros

R:

•

5

Transportista B: $ 450 de cargo fijo y $ 500 por km.

Dibuja en un mismo plano cartesiano las gráficas de coste para x km en los dos casos. ¿Qué transportista es más barato para un trayecto de 20 km? R:

¿En qué caso cobran lo mismo? R:

R:


73

¿Cómo voy? Lee los recuadros de la izquierda y luego resuelve los ejercicios y problemas propuestos. Para graficar una función lineal, siempre marca el srcen como el primer punto y luego calcula otro con la función dada, o desde el srcen utiliza la pendiente hasta llegar a un segundo punto.

Lección 24 1

Representa en el plano cartesiano cada función lineal. a. f(x) = 6x b. q(x) = –x

2x c. p(x) = _ 5 1x d. h(x) = _ 3

Y

3 2 1

X –3

–2

–1

0

1

2

3

–1

–2 –3

Lección 25 Recuerda que la función lineal es y = mx y la función afín es y = mx + n

2

Identifica las funciones afines marcándolas con un ✓. a.

f(x) = –5

c.

b.

g(x) = 4x + 2

d.

h(x) = 0,6x 3x – 8 q(x) = – _ 7

Lección 26 Para decir que m es la pendiente de la función se debe escribir de la forma y = mx + n, y solo entonces se puede decir que m es la pendiente.

3

Calcula la pendiente de cada función. a. –2y = 6x + 2 m = 3y = –1 m = 1x + _ b. _ 4 2

c. 10x = –3y – 8 m = 6x + 1 m = d. 2y = _ 5 10

_

Lección 27 Recuerda que necesitas la pendiente y el intercepto con el eje Y. El intercepto lo puedes sacar directamente del gráfico y para calcular la pendiente puedes utilizar dos puntos y la fórmula:

4

Identifica las funciones afines representadas en el gráfico. Y a. f(x) = 3

b. g(x) =

2

c. h(x) =

_

y2– y1 m= x2– x1

1 f(x)

0 –3

–2

–1 g(x)

0

1

p(x) 2

X 3

–1 –2 –3

Lección 28 Si crees que la relación entre las variables es afín, será del tipo y = mx + n. Con dos puntos, calcula el valor de m usando la misma fórmula y luego reemplaza un punto para calcular el valor de n.

74


5

La siguiente tabla muestra el dinero que se invierte en una empresa de publicidad. Gastos (millones de pesos)

Ingresos (millones de pesos)

1 2 3 4

2 8 14 20

¿Qué función afín representa la relación entre los gastos (G) e ingresos (I) que tiene la empresa? R:

Sección 4

5

6

2

Desafíos de integración 1. Resuelve los siguientes problemas.

a. Juan recorre en su bicicleta 20 km en 2 horas con una rapidez constante de 10 km/h. ¿Cuántos kilómetros recorre en 5 horas? R: b. María compró 4 kg de papas en una verdulería y pagó $ 3600. Si comprara 12 kg, ¿cuánto dinero debería pagar?

h. En la función afín y = mx + n, se tiene que cuando x = 0 entonces y = 3 y cuando x = 1, entonces y = 4. ¿Cuál es el valor de m y n? R: i. En algunos países anglosajones se utiliza el galón como medida de capacidad. Aproximadamente, 1 galón equivale a 3,8 litros.

•

R: c. Una tubería está perdiendo 1,25 litros de agua por hora. ¿Cuánta agua perderá en una semana?

R:

•

R: d. Una persona que bucea en el mar desciende 4 m cada 3 segundos a rapidez constante. ¿Cuál es la función lineal que relaciona la profundidad P(t) con el tiempo t que desciende la persona? R: e. La función de ingresos, en miles de pesos, de una tienda está dada por I(x) = 35x donde x representa la cantidad de artículos vendidos e I(x) representa los ingresos por x artículos vendidos.

•

¿Cuál es el ingreso al vender 100 unidades del artículo? R:

•

¿Qué cantidad de artículos se necesita vender para que el ingreso sea de $ 525 000? R:

f. Si el precio de 3 chocolates es $ 6000, ¿cuál es la función lineal que permite calcular el costo C(x) de una cantidad x de chocolates? R: g. La entrada a un parque de diversiones tiene un valor de $ 5 000 y subirse a cada juego tiene un costo adicional de $ 750.

•

¿Qué función afín modela el costo C al visitar el parque y subirse a una cantidad de x juegos? R:

•

¿Cuánto pagaría una persona que visita el parque y se sube a 9 juegos?

Escribe una fórmula que transforme galones en litros.

Escribe una fórmula que transforme litros a galones. R:

j. Un estacionamiento cobra $ 1200 como cargo fijo más una cierta cantidad por minuto que permanezca el automóvil. Marisa deja su automóvil por 45 minutos y debe pagar $ 3450, mientras que Héctor lo deja 60 minutos y debe pagar $ 4200. ¿Cuánto debe pagar José si deja su automóvil durante una hora y media? R: k. Luis trabaja lavando autos, en el estacionamiento de un centro comercial. El cobra $ 2500 por el lavado básico pero debe pagar $18 000 mensual a la compañía que le

arrienda los implementos que utiliza para su trabajo. En Febrero trabajó 5 días a la semana y ganó $ 232 000. En promedio, ¿cuántos autos lavó diariamente ese mes? R: l. Hoy día el precio de un cierto automóvil nuevo es $ 8 000 000, pero se devalúa $ 250 000 anualmente. ¿Cuál será su precio en n años más? R: m. El precio del viaje en un bus interurbano depende de los kilómetros recorridos y un cargo fijo. Por un trayecto de 120 km tiene un precio de $ 4000 y por uno de 230 km, el precio es $ 7500. ¿Cuál es la función que permite calcular el precio de un viaje sabiendo la cantidad de kilómetros? R:

R:


75


Estrategia: Usar modelos matemáticos Un modelo matemático básicamente expresa relaciones entre variables. En general se utiliza cuando se quiere describir una situación en el pasado o predecir cómo será en el futuro. 1

Recuerda que el elemento principal de cualquier resolución de problemas es el razonamiento, que se aplica al reconocer y discriminar la información y, al diseñar o elegir una estrategia determinada.

Resuelve los siguientes problemas utilizando la estrategia presentada. a. Gladys trabaja en una casa de cambios. Cada

f. Inés tiene una fábrica de pantalones y vende

mañana ella averigua el precio de las divisas y define un modelo para poder calcular el precio de cualquier cantidad de esa divisa. Si hoy 1 euro vale $ 678, ¿cuál es el modelo que debe utilizar?

cada prenda a $ 12 000. El costo de producir x pantalones está dado por la función c(x) = 750x + 1 500 000. ¿Cuál es la función que permite calcular la ganancia por x pantalones?

R:

R: b. En el supermercado se vende un concentrado de frutas para hacer jugo. Las indicaciones del envase dicen que se debe agregar dos envases de agua por cada envase de concentrado. Si se utilizan c envases de concentrado, ¿cuántos envases de agua deben agregarse? R:

¿Cuántos pantalones debe vender para tener una ganancia de $ 1 000 000? R:

g. El precio de un computador nuevo es de $ 450 000 pero su valor baja un 20 % por cada año que pasa.

¿Cuál es su valor después de x años?

c. El valor del envío de una carta por correo varía de acuerdo a su masa. Por cada 10 gramos se cobran $ 20 más un valor fijo de $ 50. Si el precio de enviar una carta es $ 480, ¿cuál es su masa?

R:

Si se quiere vender el computador cuando al menos valga la mitad de su precio srcinal, ¿pasado cuándo tiempo se debe vender?

R:

d. El perímetro de un triángulo isósceles es 30 cm. Si la base mide x y cada uno de los lados congruentes mide y, escribe una relación entre ellos. R:

R:

h. El gráfico muestra la rapidez (m/s) del sonido en distintos medios. Escribe una conclusión sobre el gráfico.

e. En las 10 primeras semanas de cultivo de una planta que medía 3 cm, se ha observado que su crecimiento es directamente proporcional al tiempo. En la primera semana se registró que pasó a medir 3,5 cm. Establece una función afin que muestre la altura de la planta en función del tiempo.

Y

R:

300 Piedra 200

Agua

100 Aire 0

R:

76


–1

0

1

2

3

X

Sección 4

2

5

6

2

Utilizando la misma estrategia, u otra que consideres adecuada, resuelve los siguientes problemas. a. Hay tres ciudades M, N y P. Un empresario que viaja en avión, cuando va de M hacia N tiene que atrasar su reloj 2 horas al llegar a N, y cuando va de M hacia P debe adelantarlo 3 horas al llegar a P. Si sale de P hacia N, a las 11 de la noche y el viaje dura 4 horas, ¿qué hora es en N cuando llega? R: b. Hoy el precio del dólar es $ 612 y se anuncia que

subirá $ 3 diariamente. Mientras se mantenga esta tendencia, ¿cuál es la función que permitirá calcular el precio del dólar? R: c. El año que se fundó una escuela se matricularon 350 estudiantes. A partir de entonces la matrícula fue aumentando en 30 estudiantes cada año. ¿Cuál es el modelo que permite calcular el número de matrícula por año?

d. Tres kilogramos de peras nos costaron $ 3000 y, por siete kilogramos, habríamos pagado $ 7000. Encuentra la función que nos da el precio total, y, en función de los k ilogramos que compremos, x. R: e. Una receta dice que se necesitan 4 litros de agua. El problema es que se tienen 2 jarras sin graduar, una de 5 litros y otra de 3 ¿Cómo se pueden

medir los 4 litros que se necesitan? R: f. Un tanque de reserva de agua utiliza una bomba neumática para surtirse de un río cercano. Todos los días la bomba sube el nivel del agua 2 m; por la noche, el agua se filtra de regreso al río y el nivel baja 50 cm. ¿Cuál es el nivel máximo alcanzado en el tanque durante el quinto día de llenado? R:

R: 3

Con la información dada, crea problemas que puedan ser resueltos realizando un modelo y utilizando los contenidos de esta sección. Compártelos con tus compañeros. a. Un objeto de 20 kg en la Tierra tendría 51 kg en Saturno.

Pregunta:

b. Hoy día $ 10 000 pueden comprar 42 libras ut rcas.

Pregunta: Respuesta:

Respuesta:

Revisando mis procesos Responde las siguientes preguntas sobre la estrategia que consiste en realizar un modelo 1. ¿Utilizaste la misma estrategia en todos los problemas? Si no fue así, ¿por qué?


3. En el ejercicio 1 a. Gladys utilizó como variable independiente la cantidad de euros. Si lo hubiera hecho al revés, utilizando

la cantidad de pesos, ¿cuál habría sido su significado? (Piensa en la pendiente del modelo)


77

¿Qué aprendí? 1.

Representa cada situación con una expresión algebraica.

b. En un circuito programado para tres días, un

excursionista recorrió el primer día un cuarto del trayecto y el segundo la mitad de lo que le quedaba. Si el tercer día recorrió 80 km, ¿cuál era la longitud del circuito?

a. La mitad de la edad de Gonzalo hace 15 años es

igual a la quinta parte de su edad actual. R:

R:

b. El cociente entre el doble del producto de dos

c. La suma de tres números consecutivos es 330. Si

números distintos y un tercer número disminuido en 9.

el menor de los números es (a – 9), ¿Cuáles son los números?

R: R: 2.

Las dimensiones de un terreno rectangular están 6.

representadas por (2p – q) y (12q – p) metros. a. ¿Cuál es la expresión algebraica reducida que define el perímetro del terreno?

Resuelve cada ecuación. a. –(x + 5) = 3 – 5x R:

R:

b. –(2x + 3) – x = 4x – 3(8 – x)

b. ¿Cuál es el área del terreno?

R:

R: 3.

c. 5(x + 1) – 3 = 4x – 9(x + 1) R:

Se tiene un cuadrado de lado (x + 5) cm y un rectángulo de ancho (2x + 3) cm y de largo (3x + 1) cm. a. ¿Cuál es la expresión que representa la suma de las

áreas de ambas figuras? R:

7.

Plantea y resuelve una inecuación para cada balanza. Considera que cada es equivalente a 3 unidades. a.

X X X

b. Si el lado del cuadrado aumenta en (x + 1) cm,

¿cuál es su nueva área? R: c. Si el largo del rectángulo aumenta en (2x + 1) cm

y su ancho disminuye x cm, ¿cuál es el área de la nueva figura? R: 4.

R: b.

Factoriza las siguientes expresiones.

X X X X

a. 25 + 10w + w2 R: b. 24p2q + 16pq2 – 12pq

R:

R: c. 30t5b8c7 – 60t7b4c6 – 48t9b5c4 – 18t4b6c7

c.

X X

R: 5.

Resuelve los problemas planteando una ecuación que corresponda a cada situación. a. El cuádruple de cierto número es igual al doble del

mismo aumentado en 86. ¿Cuál es el número? R:

78


R:

2 8.

Resuelve cada inecuación y expresa el resultado de forma gráfica.

b. Grafica en un mismo plano las tres funciones.

Y

a. –12x + 13 ≥ 8x – 3

b. 5x – 3 < 2x – 9

c. 6x + 12 ≤ 4x – 2

X

d. 2x > x + 1

9.

11. En

un estacionamiento privado del centro de Concepción, se paga un cargo fijo de $ 320 y $ 22 el minuto. a. ¿Cuánto debe pagar un vehículo que

Resuelve los siguientes problemas

permanece 2,5 horas en el estacionamiento?

a. Una camioneta puede transportar un máximo

de 300 kg. Si dos tercios de la carga total han sido subidos y corresponden a 195 kg, ¿qué inecuación representa la masa de la carga que falta por agregar a la camioneta?

R: b. Plantea una función que permita calcular el valor

que debe cancelar un vehículo que estaciona n minutos.

R:

R:

b. Se quiere construir un cuadrado que tenga

como máximo 60 cm de perímetro. ¿Entre qué valores deberían estar las longitudes de sus lados? R:

Responde las preguntas 12 y 13 marcando con un círculo la alternativa que consideres correcta. 12. ¿Qué alternativa contiene la función representada

en la gráfica?

c. Los nutricionistas recomiendan que una persona

no sedentaria, con contextura y estatura media, debe consumir máximo 2000 calorías diarias. Si Martina ha consumido 1650 calorías, ¿Cuántas calorías más debería comer para no sobrepasar lo recomendado por los nutricionistas?

A. f(x) = 6x

12 Y

B. f(x) = 7x

10

C. f(x) = 1/6x

8

D. f(x) = 2x + 12

6 4

R:

2

10. Las siguientes funciones describen el costo del kilo

X

de corvina en tres locales del mercado de Ancud. Local A: a(x) = 3050x

2

4

6

Local B: b(x) = 2999x

13. La

tabla muestra los valores asociados a una función afín: ¿Cuál es el valor de f(3) – f(–4)?

Local C: c(x) = 3120x

A. –14

a. Completa la tabla con los valores solicitados. Corvina

0

LocalA

LocalB

LocalC

B. –1 C. 1

x

f(x)

0 2

6 10

D. 14

0,750 kg $ 305 $ 10 920


79

Lección

29

¿Cómo estimar el volumen de prismas y cilindros?

Propósito Estimar el volumen de prismas y cilindros

Para estimar el volumen de un prisma o cilindro, debemos considerar el espacio que ocupa tanto el área de su base como la altura de sus caras. También es posible utilizar un referente, por ejemplo cuántos cubitos pequeños puedo poner en un cubo mayor.


1. Resuelve los siguientes problemas siguiendo el

modelo del primero. Mauricio tiene en su pieza un papelero cilíndrico y quiere saber cuántos cubos de madera, como el de la figura, caben en él.

El largo del cilindro central mide 30 cm y los de los extremos miden 10 cm cada uno. La figura muestra las bases de los cilindros que forman la pesa donde el lado de cada cuadrado es 1 cm. Aproximadamente, ¿cuál es el volumen de cada pesa?

R:

Paso 1:Mauricio

ve cuantas veces cabe una cara del cubo en la tapa del basurero.

Si se sabe que la masa de un litro de agua es igual a un kilogramo. ¿Cuál es la masa con que Daniel hace ejercicio si usa ambas pesas? R: Aplica

Cabe 12 veces. Mauricio cuenta cuantas filas de cubos caben en el basurero. La altura del basurero es igual a 4 veces la altura del cubo. Paso 2:Ahora

total de cubos que caben en el basurero serán: 12 • 4 = 48 cubos. a. Mauricio tiene un cubo, como en el caso anterior, pero ahora es hueco. Él lo llena con agua y los vacia en el papelero, aproximadamente, ¿cuántos cubos de agua caben?


a. La figura muestra la base de un cuerpo recto de

18 cm de alto. Si el lado de cada cuadrado mide 2 cm, ¿cuál es el volumen aproximado del cuerpo?

Paso 3:El número

R: b. Daniel hace ejercicios con dos pesas, como la que

muestra la figura. Estas pesas están formadas por 3 cilindros llenos de agua.

R:

b. Jaime estima que el volumen de una caja es

240 cm2. ¿Qué error está cometiendo Jaime? R: c. La figura muestra la base de un cuerpo recto de

15 cm de alto. Si el área de cada cuadrado mide 5 cm2, ¿cuál es el volumen aproximado del cuerpo?

R:

80

Unidad 3 Geometría

Lección

Se cción

30

7

8

9

3

¿Cómo calcular el volumen de prismas y cilindros?

Propósito Calcular el volumen de prismas y cilindros

•

•

•

El volumen es la medida del espacio que ocupa un cuerpo. Se mide en unidades cúbicas como el centímetro cúbico (cm 3), el metro cúbico (m 3), entre otras. El volumen de prismas y cilindros rectos se obtiene a partir del producto entre el área de la cara basal (AB) y la medida de su altura (h). V = AB • h La base de un cuerpo corresponde a la cara que no varía al hacer cortes transversales paralelos a ella.


Práctica guiada

1. Para cada cuerpo dado dibuja la cara basal.

3. Calcula el volumen de cada cilindro.

a. Radio 5 cm y altura 20 cm.

V= b. Radio 8 cm y altura 8 cm.

V= c. Diámetro 12 cm y altura 12 cm.

a.

V= d. Área basal 9 π cm2 y altura 25 cm.

V= b.

π

2

e. Radio 4 cm y área lateral 64 cm .

V=

f. Radio 3 cm y altura 10 cm.

V=

c.

4. Si el volumen del cuerpo es 75 cm3, ¿cuál es el valor

de x? 2. Calcula el volumen de cada cuerpo.

ABCD es un cuadrado. V = área basal • altura V = 22 • 11 V = 44 mm2

A B 11 mm

V=

x= 5 mm x mm

2 mm

a. El área del pentágono basal es 40 mm 2.

32 mm

5 mm

D C

5. Andrés calculó el volumen del cilindro aproximando π

a 3 y obtuvo 240 cm3, ¿cuál es la altura del cilindro? 4 cm

x

x=


81


a. El área basal de un prisma hexagonal es, 2 aproximadamente, 2,6 mm . Sabiendo que el lado del hexágono mide 1 mm y la altura del prisma mide el triple de la arista, ¿cuál es su volumen?

R: 2 b. El área basal de un prisma octogonal es 4,83 cm y su

altura mide 10 cm, ¿cuál es el volumen del prisma? R: c. El volumen de una caja con forma de prisma

rectangular es 384 cm3. La longitud de la primera arista mide el doble que la segunda, y la tercera mide el triple que la segunda. ¿Cuánto mide cada una de las aristas si se sabe quecada una es un número natural? R:

k. Un vaso puede contener 200 cm3 de líquido.

¿Cuántas veces se puede llenar dicho vaso con dos botellas de 1,25 litros? R: l. Si las aristas basales de un prisma recto de base

cuadrada disminuyen a la mitad, ¿cómo varía el volumen? R: m. Una pieza metálica está formada por dos cilindros

de 4 cm de altura cada uno. Si el radio de uno es 12 mm y del otro es 7 mm, ¿cuál es el volumen de la pieza? R: n. El siguiente cuerpo es parte de un cilindro. ¿Cuál

es su volumen?

d. Tres prismas tienen la misma área basal pero

diferentes alturas. La suma de los volúmenes de los dos primeros es igual al del tercero. ¿Qué relación existe entre las alturas de los prismas?

12 cm 8 cm

R: e. La base de un prisma recto es un triángulo

rectángulo cuyos catetos miden 24 m y 10 m. Si su volumen es 1920 m3, ¿cuál es su área?

R:

ñ. La figura muestra la red de un prisma formada

por tres rectángulos congruentes y dos triángulos equiláteros. ¿Cuál es su volumen?

R: 6 cm

f. Un contenedor tiene forma de prisma rectangular.

Medido miden cm de largo, 50desde cm deafuera, ancho sus y 20paredes cm de alto. Si la30pared del contenedor tiene un grosor de 2 cm, ¿cuál es su capacidad?

9 cm

R:

R: g. El volumen de un cilindro es 128 π cm3. Calcula el

radio y la altura, considerando que el radio es la mitad de la altura. R: h. Calcula el volumen que queda entre dos cilindros

centrados de altura 8 cm y radios 5 cm y 2 cm, respectivamente. R: i. Si una piscina tiene una capacidad máxima de

15,3 m3 de agua, ¿con cuántos litros de agua se llena? R: j. Si la altura de un cilindro disminuye a la mitad,

¿qué debe ocurrir con el radio para que el volumen se mantenga constante? R: 82

Unidad 3 Geometría

o. La capacidad de tus pulmones es

aproximadamente igual al volumen de una caja de 30,5 cm por 20,3 cm por 12,7 cm. ¿Cuál es la capacidad total de tus pulmones? R: Desafío

Un recipiente de base cuadrada de lado 11 cm tiene una altura de 15 cm. Se le agrega agua hasta 4 cm del borde, y luego se arroja dentro de él un prisma sólido de base rectangular. Si las aristas de dicho prisma miden x cm, (x + 1) cm y (x + 2) cm, donde x es un número natural, ¿cuál es el mayor valor de x para que así el agua no rebalse? R:

Lección

Se cción

31

7

8

9

3

¿Cómo estimar el área de prismas y cilindros?

Propósito Estimar el área de prismas y cilindros

Para estimar el área de un prisma o de un cilindro, se identifican sus redes y se calcula el área de cada figura que la forma. Luego, se suman estas áreas. En el caso de un prisma se calculan las áreas de los rectángulos correspondientes a las caras laterales y las bases. En el caso de un cilindro se calculan las áreas de las bases y del manto que tiene la forma de un rectángulo. •

•


1. En cada caso indica a qué figura corresponden las

caras del cuerpo y cuántas de ellas posee .

a.

2 hexágonos (las bases) y 6 rectángulos (caras laterales).

Base

Cara lateral

Base

Cara lateral

R:

b. a. R:

c. b.

Base

Cara lateral

R:

Base

Cara lateral

R:

d. c.

Aplica

d.

3. Los siguientes cuerpos están formados por cubos. El

2. Cada figura muestra las caras de un cuerpo.

Aproximadamente, ¿cuántos cuadrados lo cubrirían completamente? Base

área de cada cara del cubo mide 4 cm 2. Calcula el área total de cada cuerpo. a.

Cara lateral

Caras basales: 2 • 2,5 = 5 cuadrados Caras laterales: 6 • 4 = 24 cuadrados Área Total: 5 + 24 = 29 cuadrados

c.

R:

R: d.

b.

R:

R:


83

32

Lección

¿Cómo calcular el área de prismas y cilindros?

Propósito Calcular el área de prismas y cilindros.

•

•

Para calcular el área de la superficie de un prisma se deben sumar las áreas de cada una de sus caras laterales (A L) y basales (AB) : A = A L + AB Para calcular el área de la superficie de un cilindro se calcula el área lateral (AL), que es un rectángulo cuyos lados coinciden con la altura (h) del cilindro y el perímetro de su base circular (2πr). Luego, se calcula el área de sus bases (AB), que son dos círculos, y posteriormente se suman ambas áreas como se muestra a continuación: A = AL + AB 2 A = (2 πrh) + (2πr )


Práctica guiada

1. Calcula, utilizando la información dada, el área de

cada uno de los prismas. 1 cm 2,5 cm

a.

Área de los círculos: 2 • π • 12 ≈ 6,28 cm2 Área del rectángulo: 2 • π • 1 • 2,5 ≈ 15,7 cm2 Área total ≈ 21,98 cm2

3,5 cm

2. Determina el área total de cada poliedro cuya base es

un triángulo rectángulo. a. Los lados del triángulo miden 3 cm, 4 cm y 5 cm y la altura 9 cm. R: b. Los lados del triángulo miden 5 cm, 12 cm y 13 cm

y la altura 7 cm. R:

1,5 cm

c. Los lados del triángulo miden 3 cm, 2 cm y 3,6 cm y

la altura 4 cm. b. El área del triángulo es 6,9 cm 2 6 cm

R: d. Los lados del triángulo miden 8 cm, 12 cm y

4 cm

14,4 cm y la altura 21 cm.

4 cm

R:

4 cm

c. 4 cm 4 cm

3. Calcula el área total de cada cilindro, usando la

información dada. a. El radio basal mide 3 cm y la altura 10 cm. R:

8 cm

d. El área del hexágono es 10,4 cm 2 y las dimensiones

de los rectángulos son 2 cm y 8 cm.

b. El diámetro basal mide 16 cm y la altura mide 12 cm.

c. El radio basal es de 5 cm y la altura mide 18 cm. R: d. El diámetro basal mide 2,6 cm y la altura mide

3,2 cm. R:

84

Unidad 3 Geometría

Se cción


a. Una caja de chocolates tiene forma de prisma

recto de base triangular. La base es un triángulo equilátero de lado 3 cm y la longitud de la caja es de 20 cm. ¿Cuál es el área de la superficie de la caja? R: b. Un cubo tiene un área total de 150 cm2. ¿Cuál es la

longitud del lado del cuadrado? R: c. Los lados de un prisma recto de base rectangular

están en razón 1 : 2 : 3. Si el área total del prisma es 88 m2, ¿cuál es la longitud de cada uno de sus lados? R: d. Si la altura de un prisma se duplica, ¿qué sucede

con su área lateral?

7

8

9

3

k. Una familia utilizó 15,3 m3 de agua, ¿cuántos litros

de agua utilizaron? R: l. Una caja tiene 1 m de largo y los lados de su base

rectangular mide 50 cm y 800 mm. ¿Cuál es la cantidad mínima de papel que para forrarla? R: m. Se construye un prisma de base rectangular de

lados 5 cm y 6 cm y altura 10 cm. Con la misma cantidad de cartulina se forma un cubo. ¿Entre qué números enteros se encuentra la medida de la arista del cubo? R: n. Las caras de una caja se muestran en la figura,

¿cuál es la cantidad mínima de cartulina para construirla?

R: e. Si el radio de un cilindro se reduce a la mitad, ¿qué 8 cm

R: f. ¿Qué condiciones deben cumplir la altura y el

radio de un cilindro para que el área lateral sea igual al área basal? R:

R:

9,2 cm

sucede con su área basal?

12 cm

ñ. Un hospital de campaña, hecho de lona, tiene las

dimensiones que muestra la figura. Si el suelo del hospital también es de lona, ¿qué cantidad mínima de este material se necesita para hacerlo?

g. Calcula el área lateral de un cilindro de radio 1 cm

y altura 0,5 cm.

R:

3,4 m

R:

6m 5m

h. Para disminuir el área total de un cilindro, Pedro

propone disminuir la altura en 2 unidades, mientras que Matilde propone disminuir el radio en 2 unidades. ¿Con cuál de las propuestas disminuye más el área total del cilindro?

o. Para calcular la pintura necesaria para pintar la

tarima de la figura, don Julio debe calcular el área total. Resuelve tú el problema. 120 cm

R:

32 cm

i. Un contenedor sin tapa está fabricado con

cemento y tiene forma de prisma rectangular. Medido desde afuera, sus paredes tienen 30 cm de largo, 50 cm de ancho y 20 cm de alto. ¿Cuál es su área total?

64 cm

180 cm 240 cm

R: Desafío

R: j. Una botella cilíndrica tiene una capacidad máxima

de 4 578 cm3. ¿Cuántos litros de bebida puede contener como máximo? R:

Tres cilindros tienen la misma altura pero sus radios están en la razón 1 : 2 : 3, ¿cuál es la razón de sus volúmenes? R:


85

Lección

33

¿Qué aplicaciones tiene el cálculo del volumen y área de prismas y cilindros?

Propósito

El volumen y el área de prismas y cilindros tienen diversas aplicaciones en la vida cotidiana. Para resolver estas situaciones utilizamos las siguientes fórmulas: Volumen de un prisma: A b • h Volumen de un cilindro: r2π • h 2 Área de un prisma: Ab + AL Área de un cilindro: (2rπ • h) + (2r π)

Realizar aplicaciones del cálculo de volumen y área de prismas y cilindros.

•

•

•

•



Un dado tiene 2 cm de arista, si se quieren guardar 50 de esos dados en una caja, ¿cuál es la capacidad mínima de esta? Volumen del cubo = 2 3 = 8 cm3 Volumen total = 50 • 8 = 400 cm 3 a. Un vaso tiene forma de prisma recto de base

e. Con la información de la misma figura, ¿cuál es la

superficie total del cuerpo?

f. La figura muestra el corte transversal de una

canaleta para recolectar agua lluvia. Si el largo de la canaleta es de 4 m, ¿cuál es el volumen de agua que puede contener?

cuadrada, sus dimensiones son 6 cm de arista basal y 20 cm de altura. El vaso contiene jugo hasta una altura de 12 cm. Si se pone un cubo de hielo el nivel del jugo sube hasta 14 cm, ¿cuál es el volumen del cubo de hielo?

b. Un prisma de base rectangular cumple con las

siguientes condiciones: su largo es 6 veces su alto, el alto es3 el doble del ancho y su capacidad es 1152 cm . ¿Cuáles son sus dimensiones?

c. Una caja tiene dimensiones 30 cm por 40 cm

y 50 cm. Si se ocupan 30 cajas iguales en una mudanza, ¿cuál es el volumen total?

La figura muestra la base de un prisma cuya altura mide 10 cm 4 cm 3 cm

cm 5

cm 5

36 cm 12 cm 12 cm

g. Un estanque cilíndrico, que se utiliza para

almacenar agua, tiene un radio 4my altura de 3 m. ¿Cuántos litros debasal aguade puede contener a su máxima capacidad?

h. Se tiene un cilindro de 12 cm de altura y diámetro

basal 8 cm, en él se introduce un prisma de base cuadrada (la base se inscribe en la del cilindro) y tiene la misma altura que el cilindro. ¿Cuánto espacio queda entre ambos cuerpos? Desafío

Un cuadrado de 40 cm de lado se utiliza para construir un cubo. Si el largo del cuadrado aumenta un 10 % y el ancho disminuye un 20 %, se construye un prisma con la misma altura que el cubo. ¿En qué porcentaje varía el volumen del cubo comparado con el prisma?

7,1 cm

R: d. Según la información dada en la figura, ¿cuál es el

volumen del cuerpo?

86

Unidad 3 Geometría

Se cción

2. Resuelve los siguientes problemas combinados de

áreas y volúmenes. a. Un prisma recto de base cuadrada tiene una altura de 40 cm y su volumen es 1000 cm3. ¿Cuál es su superficie?

de 20 cm de alto y una base rectangular de 6 cm por 8 cm. Con un torno se quiere construir un cilindro con la madera, con la misma altura y la base lo más grande posible. ¿Cuál es el volumen del cilindro? R: c. Una importadora de café vende su producto en

tarros de diámetro basal 12 cm. Por una campaña de publicidad se decide cambiar el envase, los nuevos deben tener la misma capacidad, 250 cm3, pero su altura se duplica. ¿Cuál es su nuevo diámetro basal? R:

8

9

3

h. Un tarro de salsa de tomate tiene un diámetro

basal de 12 cm y su altura es 18 cm.

•

R: b. Se tiene un trozo de madera en forma de prisma

7

Tiene una etiqueta que lo rodea completamente, pero su largo excede en 1 cm para poder pegarla. ¿De qué tamaño es la etiqueta? R:

•

Si el litro de salsa cuesta $2500, ¿cuál debe ser el precio del tarro de salsa? R:

i. Para pintar un depósito cilíndrico de agua, sólo

por la parte de afuera se ocuparon 168 litros de pintura. El radio basal del depósito mide 6 m y se sabe que 1 litro de pintura cubre 4 m2. ¿Cuál es la altura del depósito? R: j. Un vaso cilíndrico de radio 4 cm y altura 20 cm

está con agua hasta la mitad, ¿cuánta agua se 4 de su debe agregar para que el nivel llegue a los _ 5 capacidad?

d. Cecilia tiene un macetero cilíndrico de 50 cm de

alto y diámetro basal 40 cm, en él pondrá un árbol cuya tallo puede modelarse como un cilindro de 5 cm de radio basal y se debe enterrar 18 cm. Sin considerar el volumen de las raíces, ¿cuánta tierra se debe agregar para llenar el macetero? R: e. cambiar Matilda tiene un El cojín cilíndrico cual le quiere el tapiz. cojín tiene unaldiámetro de

1,2 m y su largo de 80 cm. Ella sabe que debe agregar 3 cm a cada una de las piezas para las costuras. ¿Cuál es la cantidad mínima de género para realizar su proyecto? R: f. En una botella cilíndrica se comercializará un

extracto de flores que incluirá algunos pétalos. El ancho de la botella medirá 8 cm y su altura será de 16 cm. Cinco octavos de la capacidad de la botella se llenará con el extracto, un cuarto con los pétalos y el resto estará vacío. ¿Cuántos centímetros cúbicos de cada ingrediente se pondrán en la botella? R: g. Una barra cilíndrica de metal de 1 m de largo y

R: k. La altura de un cilindro es igual a su diámetro. Si el

radio basal mide x encuentra una expresión para su volumen. R: l. La altura de un cilindro es igual al doble de su

diámetro. Si el radio basal mide y encuentra una expresión para su área total. R: m. Si se quiere duplicar el volumen de un cilindro,

¿qué medida variarías? Justifica tu respuesta. R: n. Si se reduce a la mitad el radio basal de un cilindro,

¿que efecto tiene en el volumen? ¿y en el área? R: Desafío

Dos cilindros tienen sus radios en la razón 5 : 1 y sus alturas en la razón 1 : 5, ¿en qué razón están sus volúmenes? R:

6 cm de diámetro se derrite y con todo el material obtenido se construyen cubos de 2 cm de arista. ¿Cuántos cubos se pueden hacer en total? R:


87

¿Cómo voy? Lee los recuadros de la izquierda y luego resuelve los ejercicios y problemas. Recuerda que el volumen es la capacidad o el espacio que ocupa un cuerpo en el espacio. Para calcular el volumen se debe multiplicar el área de base por la altura del cuerpo.

Lecciones 29 y 30 1

Completa la información de los prismas en cada caso. ; volumen: 2000 cm3

a. Altura: 20 cm; área basal:

b. Largo: 12 m; ancho: 14 m; alto: 5 m; volumen: c. Volumen: 12 cm3; altura:

; área basal: 2 cm2

d. Área basal: 2,76 cm2; altura: 3,2 cm; volumen: 2

Calcula el volumen de cada cilindro. Considera π ≈ 3. h = 8 cm; V=

a. r = 5 cm;

3

El área total de un cuerpo es siempre igual a la suma de las áreas de todas sus caras. Para un prisma recto, cuyas dimensiones son m, p y q, la fórmula de su área es: A = 2(mp + mq + pq) Para alturaunh,cilindro su área de es: radio basal r y A = 2πr(r + h)

b. r = 7 cm; c. d = 8 cm;

h = 12 cm; h = 10 cm;

V= V=

d. d = 3 cm;

h = 7 cm;

V=

Un cilindro tiene un radio basa 8 cm y su altura mide 0,2 m. Determina el volumen y exprésalo en: a. Centímetros cúbicos V= b. Metros cúbicos

V=

c. Milímetros cúbicos

V=

Lecciones 31 y 32 4

Con la información dada, calcula la superficie de cada cilindro. h = 6 cm; A=

a. r = 5 cm;

5

b. r = 9 cm;

h = 6,4 cm;

A=

c. d = 8 cm;

h = 1,8 cm;

A=

d. d = 18 cm;

h = 2,6 cm;

A=

Calcula la superficie de cada prisma. Las medidas están en centímetros. 5

a. 2,24

4,47 3,61

A=

b. El prisma se puede construir con

2 hexágonos y 6 rectángulos, como los que se muestran a continuación. A= Recuerda que para resolver correctamente un problema debes leerlo cuidadosamente, definir una estrategia y chequear la solución.

3 2

1,73 2

Lección 33 6

Resuelve los siguientes problemas. a. El volumen de un cilindro es 288 cm 3 y su altura mide 9 cm. Si

π

≈

3,

¿cuánto mide su diámetro basal? R: b. Si se duplica el radio del cilindro del problema anterior, ¿en cuánto au-

menta el volumen? R:

88

Unidad 3 Geometría

Se cción

7

8

9

3


Resuelve los siguientes problemas que involucran áreas y volúmenes. a. La señora Julia necesita pintar un galpón como

el que muestra la figura. En la ferretería le dijeron que el tarro de pintura cuesta $ 6400 y cubre 9 m2. ¿Cuánto le cuesta a la señora Julia pintar el galpón? 2,5 m

2m

3m 8m 3m

f. Julio construyó un pozo cilíndrico en su patio

para preparar compost, el diámetro mide 80 cm y tiene 60 cm de profundidad. ¿Con cuánto material lo puede llenar? R: g. Para el cumpleaños de Camila su mamá le

preparó una torta cilíndrica de 40 cm de diámetro y 30 cm de alto. Mientras la mamá rellenaba la torta, el papá de Camila batió la crema y colocó una capa de 0,5 cm de ella sobre la torta y por los lados. ¿Cuál es la cantidad mínima de crema que batió el papá? R:

R:

h. En la figura se pueden observar 15 caras de los

b. La imagen muestra un ladrillo. Sus dimensiones

son 25 cm de largo, 7 cm de alto y 12 cm de ancho. Cada uno de los orificios son cuadrados de 5 cm de lado y atraviesan todo el ladrillo. En una obra se utilizaron 1500 de estos ladrillos, ¿cuál es el volumen total de los ladrillos?

R: c. En una metalurgia se pone un trozo de mineral

en un cilindro de 10 cm de diámetro. El agua en el cilindro sube 25 cm. Si se sabe que la masa del mineral es 25 gramos por centímetro cúbico, ¿cuál es la masa del trozo de mineral? R: d. Si la arista de un cubo aumenta en 2 cm, ¿cuál

es la razón entre el volumen del nuevo cubo y el srcinal?

cubos. Si el área total de esas caras es 135 cm2, ¿Cuál es el volumen total de los cubos?

R: i. Si cada arista de un cubo aumenta al doble. ¿Qué

sucede con su área y con su volumen? R: j. En una empresa necesitan embalar cajas cúbicas

cuyas aristas miden 1 m en contenedores de 8 m por 4 m y 2 m de altura. ¿Cuál es la cantidad máxima de cajas que se puede guardar en el contenedor? R: k. La red de la figura está formada por triángulos

R: e. Un cilindro de cristal de 30 cm de alto se coloca

rectos y rectángulos, ¿cuál es su volumen? 4 cm

en una caja de la misma altura y base pentagonal, como muestra la figura. Para proteger el cristal el espacio entre él y la caja se llena de algodón. ¿Cuánto algodón se necesita?

3 cm

3 cm

4 cm

5,7 cm 4 cm 3 cm

2,75 cm 4 cm

R:

4 cm

R:


89


Estrategia: Buscar los datos para poder resolver Si se quiere definir una estrategia para resolver un problema se debe leer este con mucha atención, determinar cuál es la información útil y cuál no lo es. Muchas veces, la estrategia de resolución dependerá de los datos con que se cuenta. 1

•

•


•


•


Responde las preguntas sobre el análisis de la información entregada en los siguientes problemas. Luego resuélvelos. a. Gloria tiene un florero blanco y quiere poner rosas

en él. El florero es cilíndrico, de radio basal 8 cm y altura 22 cm, si se llena a la mitad con agua, ¿qué volumen de agua se necesita? • Información que sobra:

• Información que sobra: • Información necesaria: R: e. Un frasco de pintura sin tapa tiene forma de

• Información necesaria:

R: b. La figura muestra la red de un cubo, se necesita

averiguar su área total. • ¿Qué información necesitas tener para resolver el problema?

• Inventa dos datos que se podrían agregar al enunciado que no serían necesarios para resolverlo. • Si el lado del cuadrado mide 3 cm, ¿cuál es el área total? R: c. Para aumentar el área total de un cilindro, Pedro

propone aumentar la altura en 3 unidades, mientras que Claudia propone aumentar el radio en 3 unidades. ¿Con cuál de las propuestas se aumenta más el área total del cilindro? • Información que sobra:

prisma cuya base es un triángulo rectángulo. Los catetos de dicho triángulo miden 9 cm y 12 cm, mientras que la altura del frasco es de 10 cm. Marcela observa que el frasco tiene pintura hasta la mitad, ¿qué volumen de pintura tiene? • Información que sobra: • Información necesaria: R: f. La base de un prisma recto es un triángulo

rectángulo. Si su volumen es 1920 m3, ¿cuál es su área? • ¿Qué información necesitas tener para resolver el problema? • Inventa dos datos que se podrían agregar al enunciado que no serían necesarios para resolverlo. • Si los catetos del triángulo miden 24 m y 10 m, ¿cuál es el área? R: g. Si la altura de un cilindro disminuye, ¿qué debe

• Información necesaria:

ocurrir con el radio para que el área lateral se mantenga constante. • ¿Qué información necesitas tener para resolver

R: d. ¿Qué condiciones debe cumplir la altura y radio de un

cilindro para que su área lateral sea igual a su base?

el problema? • La altura disminuye a la mitad. Resuelve el problema. R:

90

Unidad 3 Geometría

Se cción

2

8

9

3

Analiza la información marcando la necesaria y la irrelevante, luego resuelve. a. El área total de un prisma de base cuadrada es

680 cm2. Si la arista basal mide 2 cm menos que la arista lateral, ¿cuáles son las medidas de las aristas si suman 22 cm? R: b. Las aristas de un prisma rectangular miden

(x) m, (x + 1) m y (x + 2) m, ¿cuál es su volumen? R: c. Una barra cilíndrica de acero de 15 cm de largo

y 1 cm de radio se va a procesar para formar un alambre cilíndrico de radio 1 mm, ¿cuál será el largo del alambre? R: d. Hay tres cubos iguales, el volumen total es

1029 cm3. Se ponen uno encima de otro para formar un cuerpo. ¿Cuál es el área del cuerpo? R: e. En la frutería La Frescura, se mantienen las frutas

en cajas de 36 cm por 24 cm por 30 cm. En esa caja se ponen paquetes de plátanos que son, aproximadamente, 9 cm por 6 cm y por 5 cm.

3

7

f. Un depósito tiene forma de prisma recto y su

base es un hexágono regular de lado 2,31 m de lado. Está lleno solo hasta el 60 % de su capacidad y contiene 47 817 litros de agua. ¿Cuál es la altura del depósito? R: g. Andrea está ordeñando sus vacas, para ello tiene

una cubeta cilíndrica de 30 cm de diámetro y de altura. Cada veztambién que llenacilíndrico la cubetadela 1vacía en un contenedor m de diámetro y 1,2 m de altura. ¿Cuántas cubetas debe llenar para completar el contenedor? R: h. El diámetro de una pelota de tenis es 6,8 cm y

su volumen es, aproximadamente, 93 cm3. Se colocan para su venta 3 pelotas en un cilindro de acrílico del mismo diámetro de las pelotas y del mismo alto de las tres, ¿cuánto espacio sobra en el cilindro? R: i. Una caja de bombones tiene la forma de un

¿Cuántos paquetes de plátanos es el máximo que se pueden poner en una caja?

prisma hexagonal. El área de la base es 90 cm 2 y su altura mide 5 cm. Si el volumen de cada bombón es 1,5 cm3, ¿Cuál es el número máximo de bombones que caben en la caja?

R:

R:

En cada caso se entrega el objetivo que debe tener el problema, entrega la información necesaria y dos datos no necesarios. a. El área total de un prisma.

Problema:

b. El volumen de un cilindro.

Problema:


Responde las siguientes preguntas sobre analizar la información dada en un problema. 1. Averigua qué significa tener la información necesaria y suficiente para resolver un problema.

2. ¿Es posible resolver un problema sin analizar la información dada en él? Si es así, explica cómo.

3. Explica paso a paso como resolviste el problema 1.a


91

Lección

34

¿Qué es y cómo se verifica el teorema de Pitágoras?

Propósito Explicar la validez del teorema de Pitágoras.

•

•

•

Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo de 90º y los otros dos ángulos agudos. Los lados del triángulo que forman el ángulo recto se llaman catetos. El lado mayor del triángulo se opone al ángulo recto y se llama hipotenusa. El teorema de Pitágoras plantea que, en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. Si el triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y b, y la longitud de la hipotenusa es c, entonces el teorema de Pitágoras se expresa por la igualdad

_

_

c2 = a2 + b2. Del teorema se deduce que a = √c2 – b2 y que b = √c2 – a2 .


Aplica

1. Analiza la siguiente figura. Luego, determina el dato

que se pide en cada caso.

_

_ _

c = 8 cm, b = 6 cm, a = √28

C

3. La figura muestra el rombo ABCD, cuyas diagonales se

intersectan en el punto E. Recuerda que las diagonales se intersectan en el punto medio.

x = √82 – 62

a

b

_

C

D

x = √64 – 36 A

B x = √28

c

E

a. a = 3 cm, c = 9 cm,

b=

b. b = 4 cm, c = 15 cm,

_

a=

c. a = 4 cm, c = 4 √10 cm,

b=

d. a = 5 cm, c = 13 cm, e. a = 2 cm, b = 8 cm,

b= c=

2. Determina si los triángulos son acutángulos,

rectángulos u obtusángulos. a = 5 cm, b = 8 cm y c = 10 cm

B A

Resuelve los siguientes ejercicios guiándote con la figura dada. Las medidas están en centímetros.

__

a. DE = 5, EC = √11 , DC = b. AB = 6, DB = 2√11 , AC =

_

c. El perímetro del rombo es 32 y BD = 2√15 AC =

_

d. AE es el doble de ED y AB = 4 √5 , BE =

52 + 82 = 89; 102 = 100; 89 < 100, triángulo obtusángulo.

4. Con la información de la figura completa las medidas

pedidas, sabiendo que el triángulo ABC es isósceles.

a. a = 12 cm; b = 16 cm y c = 20 cm.

E D 1 cm 1 cm

R:

1 cm C

b. a = 30 m b = 40 m y c = 50 m.

B

c. a = 15 mm; b = 36 mm y c = 39 mm. a. AC =

R:

b. AD = d. a = 4 km; b = 5 km y c = 6 km. R:

c. AE =

_

e. a = 6 dam; b = 12 dam y c = 6 √5 dam. R:

92

Unidad 3 Geometría

1 cm G

1 cm

R:

d. AF = e. AG =

F

A

Sección 7

5. En los siguientes ejercicios escribe una relación entre

los catetos y la hipotenusa, simplificándola a la forma ax2 + bx + c = 0, con a, b y c números enteros. a.

8

9

3


a. Marisa está formando un cuadrado con varillas de madera que miden 8 cm cada una. ¿Cuánto debe medir BD para que sea un cuadrado?

A

x+4

8 cm

B

x

x+2 C

D

R: R:

2x + 2

b.

x 2x + 3

b. El pie de una escalera de 3 m de largo se coloca a 50 cm de la base de un árbol, de manera que la punta de la escalera llega a 30 cm de la punta del árbol. ¿Cuánto mide el árbol? R:

R: 6. Determina si las siguientes afirmaciones son

verdaderas o falsas. Escribe V o F, según corresponda. a.

Si en un triángulo rectángulo la longitud de un cateto es el doble de la del otro cateto, entonces, la longitud de la hipotenusa es la _ longitud del cateto menor multiplicada por √5 .

b.

En todo triángulo rectángulo el lado de menor longitud es la hipotenusa.

c.

En un triángulo rectángulo isósceles las longitudes de sus catetos son iguales a 4 cm y la _ longitud de la hipotenusa es 4 √2 cm.

d.

Si un triángulo tiene lados de 1 cm, 2 cm y 3 cm, entonces es acutángulo.

e.

Si un triángulo tiene lados de 9 m, 40 m y 41 m, entonces es rectángulo.

f.

_La diagonal de un cuadrado de lado a mide a√2 .

g.

Si en un triángulo se cumple que c2 = a2 + b2, entonces c = a + b.

h.

El teorema de Pitágoras no puede cumplirse en un triángulo isósceles.

i.

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la suma de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.

c. Un terreno rectangular de 700 m por 600 m se quiere dividir en dos terrenos triangulares. Al metro más cercano, ¿cuál sería el perímetro de cada terreno? R: d. Para ir al colegio, Juan atraviesa un parque rectangular de 60 m por 80 m a través de su diagonal. Un día cerraron el parque y Juan tuvo que rodear el parque por todo el borde. ¿Cuántos metros más de lo usual tuvo que recorrer ese día? R: e. En un triángulo rectángulo uno de sus catetos mide 6 cm y su hipotenusa 10 cm. ¿Cuánto miden su perímetro y su área? R: f. Carmen sale de su casa y camina 4 cuadras al norte, luego dobla y camina 6 cuadras al este, después 8 cuadras al norte llegando a la biblioteca. Si todas las cuadras miden lo mismo ¿a qué distancia está la casa de Carmen de la biblioteca? R: Desafío

Muestra que las diagonales de un cuadrado de lado 10 cm son perpendiculares. (Recuerda que las diagonales de un cuadrado se intersecan en su punto medio) R:


93

Lección

35

¿Qué aplicaciones tiene el teorema de Pitágoras?

Propósito Aplicar el teorema de Pitágoras a la resolución de problemas.

•

•

El teorema de Pitágoras tiene muchas aplicaciones en problemas que involucran figuras que son, o que contienen, triángulos rectángulos. El recíproco del teorema de Pitágoras también tiene muchos usos en problemas en que un triángulo deba ser rectángulo.


_


_

x = √122 + 162

x

12

x = √400 16

x = 20 cm

a. Pilar es paisajista y está trabajando en el diseño de un jardín cuadrado, ella quiere dividirlo en dos triángulos, en uno quiere plantar pasto y en el otro pondrá una terraza de madera. La información que tiene es que la diagonal mide √80 m, el costo del pasto es $ 4500 el metro cuadrado y de la madera $ 6500 el metro cuadrado. ¿Cuánto gastaría en el jardín?

_

R: b. Entre la casa de María y el almacén del barrio había

toda una cuadra que era un sitio baldío, que María cruzaba por su diagonal cuando iba a comprar. Pero ahora están construyendo por lo que María debe caminar 120 m desde su casa a la esquina y 160 m desde allí al almacén. ¿Cuántos metros más debe caminar ahora? R:

d. Según la información dada, ¿cuál es el área de la figura? 22 cm

10 cm

R:

14 cm e. Un aviso publicitario contiene una letra N, los dos segmentos verticales miden 1,8 m y están separadas por 1,5 m. ¿Cuánto mide el segmento oblicuo? R: f. Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles se prolongan, se formaría un triángulo equilátero de 8 cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del triángulo, ¿cuál es el área del

trapecio? R: g. Una cancha de fútbol mide 125 m de largo. Si la longitud de sus diagonales es de 150 metros. ¿Cuál es el ancho de la cancha? R:

c. La figura muestra un cuadrado de lado 4 cm. El triángulo AEF, ¿es rectángulo? Justifica tu respuesta.

D

F

2cm

C 1 cm E

h. Una ciudad se encuentra 25 km al oeste y 18 km al norte de otra. ¿Cuál es la distancia entre las dos ciudades? R: i. Para entrar a una casa se deben subir 3 escalones, cada uno mide 30 cm por 30 cm estos escalones se reemplazarán por una rampa que comienza a 12 m de la casa. ¿Cuánto mide la rampa?

Rampa A

B 12 m

R:

94

Unidad 3 Geometría

R:

Sección 7

j. Desde un barco se observan dos islas, como muestra la figura, ¿cuál es la distancia entre las islas?

Isla 1

8

9

3

o. El triángulo ABC no es rectángulo, se traza la altura desde C y mide 3 cm. ¿Cuál es la medida del lado BC?

C Isla 2

40 km 30 km Barco

5 cm

3 cm R:

R:

k. A cierta hora del día, un árbol de 5 m de alto proyecta una sombra de 6 m de largo. ¿Cuál es la distancia entre la punta del árbol y la punta de la

sombra? R:

A

2cm

B

p. La figura muestra el volantín que está construyendo Tomás. Si quiere poner un hilo alrededor de todo el volantín, ¿cuánto debe medir este?

0,8 m

l. Según la información del dibujo, ¿cuál es el valor de x?

1

1

_ √8

R:

1m

1 1

0,2 m

R:

_

q. Si la diagonal de un cuadrado mide √42 unidades, ¿cuál es su área?

1 x m. Si el punto D es el centro de la semicircunferencia y según la información entregada, ¿cuál es el área de la figura? C 4m

D

R: R:

B A 3m n. ¿Cuál es el volumen del cilindro que se muestra en la figura?

10 cm

R: r. Un poste de 6 m de altura se ancló a tierra con un cable a 2 m del pie del poste. Si se utilizó un metro de cable para anudarlo, ¿cuánto cable se utilizó en total?

R:

6 cm ñ. Un granjero quería construir un corral rectangular. Cuando terminó midió el corral y se dio cuenta que el fondo medía 54 m, que un lado medía 32 m y la diagonal medía 63 m. ¿El corral tiene realmente forma rectangular? Justifica tu respuesta.

s. Una caja tiene una base cuadrada de arista 8 cm y una altura de 12 cm, ¿cuánto mide la diagonal interna de la caja? R: Desafío

Se dibuja una circunferencia de radio 6 cm, en ella se inscribe un cuadrado y sobre cada lado del cuadrado se construyen cuatro triángulos equiláteros. ¿Cuál es el área total de la figura que se forma?

6

cm

R:

R:


95

¿Cómo voy? Lee los recuadros de la izquierda y luego resuelve los ejercicios y problemas propuestos. Recuerda que en un triángulo rectángulo, si los catetos miden a y b unidades, y la hipotenusa mide c, entonces: a2 + b2 = c2 Y también se cumple el recíproco, es decir, si en un triángulo se tiene que los lados cumplen con la relación a2 + b2 = c2, entonces el triángulo es rectángulo. También, si: 2

2

Lección 34 1

En los siguientes ejercicios x e y corresponden a los catetos de un triángulo rectángulo y z es la hipotenusa. Encuentra en cada caso la medida del lado pedido. a. x =

5,

y=

b. x =

4,

y=

c. x =

, y=

d. x =

3,

y=

12,

z= , z=

5

16,

z=

20

1

z=

2

aacutángulo. + b > c , entonces el triángulo es a2 + b2 < c2, entonces el triángulo es obtusángulo.

2

Dadas las medidas de los lados de un triángulo, determina si es rectángulo, obtusángulo o acutángulo. a. 2, 3 y 5 b. 8, 15 y 17

_ _

_

c. 2√5 , √2 y 3√2

_

_

d. 4, 4√5 y 4√6 3

Los lados de un triángulo son 6, 4 y x, ¿cuál es el mayor valor entero de x para que el triángulo sea obtusángulo?

4

Los lados de un triángulo son 7, 3 y x, ¿cuál es el menor valor entero de x para que el triángulo sea acutángulo?

Lección 35 Recuerda que para resolver un problema debes, primero, leerlo cuidadosamente, luego, elegir la estrategia que te parezca más adecuada y finalmente comprobar la respuesta.

5

Resuelve las siguientes aplicaciones del teorema de Pitágoras. a. ¿Cuánto mide la diagonal de la pantalla de un televisor que tiene 32 pulgadas de largo y 24 pulgadas de alto?

b. ¿Cuánto mide la altura del triángulo de la figura?

F

2 cm

2 cm y

F

G 3 cm

E

c. Los lados de un triángulo isósceles miden 3,2 cm y la base mide 2 cm. ¿Cuánto mide su área?

96

Unidad 3 Geometría

Sección 7

8

9

3


Resuelve los siguientes problemas que involucran el teorema de Pitágoras y su converso. a. La figura muestra un prisma rectangular recto. ¿Cuál es el área del triángulo IJK??

K

g. Los lados de un triángulo rectángulo están en la razón 3 : 4 : 5. Si la hipotenusa mide 50 cm, ¿cuál es la longitud de los catetos?

R: 8 cm J

h. Los lados más largos de un triángulo rectángulo miden 3 y 4 cm, ¿cuánto mide el lado más corto?

R:

6 cm I

8 cm

R:

i. La diagonal de una fotografía cuadrada mide 16 cm. ¿Cuánto mide el marco que la rodea?

R:

b. En el triángulo ABC, AC = 15 cm, AB = 13 cm y la altura desde A mide 12 cm. ¿Cuánto mide el lado BC?

j. Fernanda dice que el triángulo ABC del problema b es acutángulo. Justifica su afirmación.

R:

R: c. La base de un triángulo isósceles mide 6 cm y la altura a la base mide 4 cm, ¿cuál es el perímetro del triángulo?

k. Los lados más largos de un triángulo rectángulo miden 24 y 26 cm, ¿cuál es el área del triángulo?

R:

R: d. Las reglas del tenis de mesa dice que la longitud de la mesa debe medir 2,74 m. Si la diagonal es, aproximadamente, de 3,14 m, ¿cuál es el ancho reglamentario de la mesa?

R:

e. Durante la tormenta un árbol, de 20 m, se quebró formando un triángulo rectángulo como muestra la figura. ¿A qué altura se quebró el árbol?

l. Una escalera de 5 metros de altura se apoya contra un edificio. Si la base de la escalera se encuentra a 3 metros del edificio, ¿cuál es la distancia desde el piso hasta la parte superior de la escalera?

R: m. En una caminata por una plaza de forma rectangular, con largo de 24 m y ancho 10 m, un grupo toma el camino que corresponde a la diagonal. ¿Cuántos metros recorre el grupo?

R:

6m

R: f. La base de una caja es un rectángulo de 7 cm por 10 cm, en ella se quiere guardar una varilla de vidrio de 20 cm de largo. ¿De qué altura debe ser la caja?

R:

n. Un conejo se encuentra a 6 metros de la base de un árbol perpendicular al suelo. El árbol tiene una altura de 12 metros y en la punta más alta de este se encuentra un halcón. ¿A qué distancia se encuentra el conejo del halcón?

R: ñ. Las medidas de una ventana triangular son 1,5 m, 3,4 m y 4 m. La ventana, ¿es un triángulo rectángulo?

R:


97


Estrategia: Identificar submetas Algunas veces los datos no aparecen directamente en el enunciado de un problema, se deben determinar antes para poder encontrar la respuesta final. Si ese es el caso entonces se deben identificar las submetas o subtareas para luego determinar la respuesta final.

1

•

•

•

•

Determinar qué información se quiere obtener. Anotar los datos que te sirven y descartar aquellos que no te sirven. Crear un plan o definir una estrategia para resolver el problema y aplicarlo. Verificar la respuesta obtenida y comunicarla.

En cada uno de los siguientes problemas determina cual es la submeta que debes lograr y luego resuelve el problema. a. Sobre un cubo se pone un cilindro de la misma altura y el círculo basal queda inscrito en la cara superior. Si la arista del cubo mide 8 cm, ¿cuál es el volumen total del cuerpo compuesto?

Submeta:

R:

f. En un jardín hay un estanque cuadrado lleno de agua y algunos peces. Al medio crece una caña que sobrepasa el nivel del agua en 1 m. Si la punta de la caña se tira hasta una esquina del estanque llega justo a la superficie. ¿Cuánto mide el perímetro del estanque? Submeta:

b. Ana es 5 años mayor que su hermana Luisa, la suma de las edades es 81 años. ¿Cuál es la edad de Ana?

R: g. Con la información de lafigura, ¿cuál esel volumen del prisma?

Submeta:

R: c. ¿Cuál es el área de un triángulo equilátero de lado 8 cm?

10 cm

Submeta:

7 cm

8 cm

Submeta:

R: d. En una familia hay 3 hermanos, el mayor tiene 4 años más que el del medio y éste tiene 3 años más que el menor. Si la suma de las tres edades es 40, ¿cuál es la edad del menor?

R: h. Se tiene la sucesión 7, 6, 5, 4, 3, …. ¿Cuál es el término que ocupa el lugar 106 en la sucesión? Submeta:

Submeta:

R:

R: e. Con la información dela figura, ¿cuál es el volumen del cilindro?

i. La razón entre los perímetros de dos triángulos isósceles rectángulos es 3 _: 4. La hipotenusa del triángulo mayor mide 12√2 cm. ¿Cuánto mide el cateto del triángulo menor? Submeta:

5 cm

Submeta:

R:

4 cm

R:

j. La suma de tres números consecutivos es 48, ¿cuál es la suma del menor y el mayor? Submeta:

R:

98

Unidad 3 Geometría

Sección 7

2

8

9

3

En cada caso determina si puedes resolver el problema directamente o si debes definir una submeta. Luego resuelve cada uno de ellos. a. ¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles si la suma de los catetos es 22 cm?

f. El triángulo de la figura es isósceles y su hipotenusa mide 16 cm. ¿Cuál es el área no sombreada del círculo? C

R: b. ¿Cuál es el siguiente término en la sucesión –3, –1, 1, 3, 5…?

A

0

B

R:

R: c. ¿Cuál es área de un cuadrado cuya diagonal mide 5 cm?

d. Las medidas de los catetos de un triángulo son 5 y 8 cm, ¿cuál es su perímetro?

R: e. El volumen de una pelota es igual a la de un cilindro cuyo radio basal mide 2 cm y su altura mide 5 cm. ¿Cuál es el volumen de 5 pelotas iguales?

g. Un cable de 20 m sujeta un poste desde su punta y se afirma a tierra a 2 m del poste. ¿Cuál es la altura del poste?

R: h. Según la información de la figura, ¿cuál es el valor de x? 2m 8m 2m

R:

x

R: 3

Con la información dada, crea 2 problemas, el primero debe resolverse de forma directa y en el segundo debe plantearse una submeta. Compártelos con tus compañeros.

a. En una caja se pone una varilla, como muestra la figura. ¿Cuál es la longitud mayor posible de la varilla?

b. En una caja se pone una varilla, como muestra la figura. ¿Cuál es la longitud mayor posible de la varilla?

Información:

Información:

Pregunta:

Pregunta:


Responde las siguientes preguntas sobre analizar la información dada en un problema. 1. ¿Qué importancia tiene trabajar ordenadamente al resolver un problema?

2. Explica cómo organizar la información de un problema, por ejemplo en el problema 1. h.

3. Explica paso a paso como resolviste el problema e. de la página anterior.


99

Lección

36

¿Qué es y cómo se realiza una traslación?

Propósito Describir la posición y el movimiento de figuras 2D al trasladarlas.

Una traslación corresponde a una transformación isométrica, donde se desplazan puntos o figuras a partir de un vector de traslación dado. La figura resultante es congruente a la srcinal y recibe el nombre de imagen. El vector (x, y) indica un movimiento de x unidades en sentido horizontal e y unidades en sentido vertical. _ Si las coordenadas del punto P son P(a, b) y el vector en coordenadas esv = (h, k), entonces, la imagen por la traslación tiene coordenadas P’(a + h, b + k). ›


Aplica

1. Observa la imagen y completa las oraciones.

3. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Escribe V o F, según corresponda.

a.

Un vector permite trasladar una figura en tres direcciones diferentes.

b.

_ Si el punto P(a, b) se traslada según el vector v = (h, k), se obtiene el punto P’(a – h, b – k).

A´ C´

B´

›

_

B

C

verticalmente hacia arriba. a. La figura A se trasladó hasta la figura A’ según el vector . b. El perímetro de la figura C’ es perímetro de la figura C.

al

c. El área de la figura B’ es figura B.

al área de la

›

2. Calcula las coordenadas del vector de traslaciónv , dados el punto y su imagen, respectivamente.

_

›

a. B(0, 0)

→

A’(3, 9) B’(–3, 5)

b. C(20, –17) c. D(–6, 1) d. E(0, –9)

100

→

→

v = (–2, 2)

_ ›

(=v

,

)

(=v

,

)

D’(5, –8)

(=v_

,

)

E’(0, –1)

(=v

,

)

→

C’(13, 11)

Unidad 3 Geometría

El área de un cuadrado aumenta cuando se le realiza una traslación.

e.

La traslación sucesiva_ a una __ figura geométrica, según los vectoresv y w, es ›

›

equivalente a una __ . traslación de la figura, _v +sola w según el vector ›

›

f. _ Trasladar una figura según un vector v = (h, k) _ y, luego, trasladar la imagen según el vector v = (–h, –k) regresa la figura a su lugar inicial. ›

g.

_Si una figura geométrica se traslada por un vector v , la imagen es congruente con la figura inicial. ›

_

→

d.

›

d. Para obtener la figura C’ a partir de la figura C por una traslación, el vector de la traslación debe ser .

A(5, 7)

El vector v = (2,–4) permite trasladar una figura geométrica 2 unidades a la derecha y 4 unidades hacia abajo.

A

La figura B se trasladó hasta la figura B’ 5 unidades horizontalmente hacia la derecha y 4 unidades

›

c.

_ ›

›

_ ›

h.

Al trasladar una figura con un vector negativo, la figura decrece su área.

i.

Al trasladar una figura se mantiene su perímetro pero cambia su área.

j.

Si la primera coordenada del vector traslación es negativo el movimiento horizontal es a la izquierda.

Sección 7

Resuelve los siguientes problemas.

8

9

3

9. Si un triángulo cuyos vértices son _D(5, 2), E(7, 10) y F(9, 0) se traslada según el vector v , siendo el punto D’(8, 13) la imagen del punto D, ¿cuáles son las coordenadas del vector de traslación? ¿ y cuáles son las de los vértices de los puntos E’ y F’? ›

4. Calcula las coordenadas de los vértices _de la figura preimagen, dado el vector de traslación v = (1, 2) y los vértices de la imagen A’(–2, –3), B’(2, –1) y C’(0, 6) ›

R:

R:

5. Dibuja la figura que se obtiene_al aplicar al hexágono una traslación según el vector v = (12, –3) Luego, responde.

10. Las coordenadas del vector traslación están dadas por el siguiente par de ecuaciones: a + 4 = 5 y 5 – b = 3.

›

¿Cuál es el vector traslación?

Y

E

R:

8 7 6

F

D C

A

B

11. En el siguiente plano cartesiano se ubicó, en el punto A, el caballo de un juego de ajedrez. Marca todos los posibles puntos a los que puede ir el caballo y escribe los vectores que lo trasladarían a esos puntos.

5 4 3 2 1

–12 –11 –10–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1–10 1 2 3 4 5 6 7 8

9 10 11

X 3

–2 –3

R:

2

a. Calcula el perímetro de la preimagen y de la imagen y compara.

A

1 0 -1

0

1

2

3

R: b. Calcula el área de la preimagen y de la imagen y compara. R: c. Calcula la medida de los ángulos CDE y C’D’E’ y compara. R: d. ¿Qué propiedades generales podrías conjeturar a partir de los resultados anteriores? R: 6. Si un triángulo cuyos vértices _ son A(1, 2), B(7, 2) y C(4, 5) se traslada según el vectorv = (–5, –7), ¿cuáles son las coordenadas de los vértices de la imagen obtenida? ›

R:

12. Grafica la función y = 3x – 2._ Si la recta de tu gráfico se traslada según el vectorv = (–2, 1), ¿qué función representaría? ›

R: 13. Se tiene el triángulo de vértices A(5, 7), B(–6, 1) y C(3, 2). ¿Qué traslación haría que A’ = C?

R:

_

›

_

›

14. Los vectoresp = (y, –1) y q = (4, x) se suman obteniendo el vector (–3, 3). ¿Cuáles son los valores de x e y?

R:

_

›

15. El punto P(8, –1) se traslada según el vector v y luego el __ punto obtenido se traslada según el vector w = (4, –7). Si las coordenadas del punto final _ son el doble de P, ¿cuáles son las componentes dev ? ›

›

7. Si un triángulo cuyos vértices son _D(5, 2), E(7, 10) y F(9, 0) se traslada según el vector v , siendo el punto D’(8, 13) la imagen del punto D, ¿cuáles son las coordenadas del vector de traslación? ›

›

8. Un rombo de diagonales 8 cm y 6_cm se traslada ›

v =de(1,la2), vectores _sucesivamente v 2 = (2, 3) y _v 3 =según (3, 4).los ¿Cuál es el área imagen ›

obtenida? ¿Cuál es su perímetro? R:

Desafío

_

R:

›

R:

1

El punto C se traslada según el vector x = (2, p), el _ punto obtenido se traslada según el vector y = (q,_9) y, finalmente, se traslada según el vector z = (5, 7). Si el resultado final es el mismo punto C, ¿cuáles son los valores de p y q? ›

›

R:


101

Lección

37

¿Qué es y cómo se realiza una reflexión?

Propósito Describir la posición y el movimiento de figuras 2D al reflejarlas.

Una reflexión es una transformación isométrica en la que los puntos de la preimagen y de la imagen se encuentran a la misma distancia de un eje de simetría y el segmento que une el punto srcinal con su imagen es perpendicular a este eje. Para reflejar un punto con respecto a los ejes del plano cartesiano se puede utilizar la siguiente regularidad: •

RX(x, y) = (x, –y), reflexión con respecto al eje X.

•

RY(x, y) = (–x, y), reflexión con respecto al eje Y.


1. Observa la imagen y dibuja el eje de simetría de cada reflexión.

c. C(–8, –10) d. D(1, 2)

→

e. E(3, –6)

→

C’(–8, 10)

D’(–1, –2)

→

E’(–3, 6)

Aplica

4. Calcula las coordenadas de los vértices de la figura imagen, dada la figura srcinal que se refleja respecto a la recta que se indica.

a. Triángulo de vértices A(–2, –3), B(2, –1) y C(0, 6) se refleja respecto al eje X. A’

B’

2. Escribe V o F según corresponda.

V Si una figura geométrica se refleja, la imagen que se obtiene es congruente. a.

Si el punto P(a, b) se refleja respecto al eje X, se obtiene el punto P’(–a, b).

b.

Si el punto P(a, b) se refleja respecto al eje Y, se obtiene el punto P’(–a, b).

c.

La imagen de una circunferencia por una reflexión respecto a uno de sus diámetros es la misma circunferencia.

d. e.

El área de un cuadrado se duplica al realizarse una reflexión respecto a uno de sus lados. Si se refleja un ángulo de 45º, su imagen también medirá 45º.

C’

b. Cuadrado de vértices A(0, 0), B(2, 0), C(2, 2) y D(0, 2) se refleja respecto al eje X. A’

B’

C’

D’

c. Cuadrilátero de vértices A(–4, –10), B(2, –10), C(2, 5) y D(–3, 0) se refleja respecto al eje Y. A’

B’

C’

D’

5. Dibuja la figura que se obtiene al aplicar al cuadrilátero una reflexión respecto al eje Y, y luego, otra reflexión respecto al eje X. D

8

Y

7 6 5

E

G

4 3 2

F

1

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1–10 1 2 3 4 5 6 7 8

3. Identifica la recta respecto de la que se realizó la

–2 –3

reflexión, dados el punto y su imagen. Eje Y P(5, 7) P’(–5, 7)

–4

a. A(4, –3)

–7

→

→

b. B(11, –2)

102

A’(–4, –3)

→

B’(11, 2)

Unidad 3 Geometría

–5 –6 –8

X

Sección 7

Resuelve los siguientes problemas. 6. Si un triángulo cuyos vértices son A(1, 2), B(7, 2) y C(4, 5) se refleja respecto al eje Y, ¿cuáles son las coordenadas de los vértices de la imagen obtenida?

R:

8

9

3

11. ¿Qué tipo de triángulo tiene exactamente un eje de simetría?

R: 12. ¿Qué figura geométrica tiene infinitos ejes de simetría?

R:

7. Si un triángulo cuyos vértices son D(5, 2), E(7, 10) y F(9, 0) se refleja respecto a una recta, siendo el punto D’(–5, 2) la imagen del punto D.

13. La siguiente figura, ¿tiene ejes de simetría? Si es así, dibújalas.

a. ¿Cuál es la recta de reflexión? R: b. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices imágenes de los puntos E y F? R: 8. Un rombo A(–3, 0), B(0, –4), C(3, 0) y D(0, 4) se refleja respecto al eje X y luego respecto al eje Y.

R: 14. Los problemas a, b y c se resuelven con la información de la figura. La recta m es un eje de simetría y el ángulo en E mide 30°. A

a. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen?

C

R:

B

G

b. ¿Cuál es su área? c. ¿Cuál es su perímetro?

a. ¿Cuál es la imagen del ángulo EFA por la recta m?

m D

E

R: F

C

R: c. ¿Cuántos ejes de simetría tiene en total el hexágono? R: 10. La figura muestra un cuadrado ubicado en el plano cartesiano. 2 Y

–2

–1 A

a. ¿Cuánto mide el ángulo EBG? R: b. Si GB mide 2,2 cm y AF mide 4 cm, ¿cuál es el área del triángulo BFG? R:

b. ¿Cuál es la imagen del punto C por la recta n?

D

F

B

A

1 0 E 0 –1

m

E

9. En el hexágono regular de la figura se dibujaron dos de sus ejes de simetría, las rectas m y n. n

D

C

a. Dibuja todos los ejes de simetría que faltan en la figura.

1 X 2 B

b. ¿Cuáles son las ecuaciones de cada una de las rectas que son eje de simetría?

c. Si BC mide 2 cm y DB mide 1 cm, ¿cuál es el perímetro del triángulo BED? R: 15. Si P(3, 6) y Q(3, 12) se reflejan sobre el eje X, ¿cuáles son las coordenadas del punto medio del segmento P’Q’?

R: Desafío

En el plano cartesiano se dibuja la recta y = x la cual se utiliza como eje de simetría. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen de A(2, 5)? R: ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen de (x,y)? R:

R:


103

Lección

38

¿Qué es y cómo se realiza una rotación?

Propósito Describir la posición y el movimiento de figuras 2D al rotarlas.

Una rotación en el plano es una transformación isométrica que permite mover todos los puntos de una figura srcinal, siguiendo un arco de circunferencia. Para ello, se requiere de un centro y de un ángulo de rotación. Cuando la rotación se realiza en el plano cartesiano con respecto al srcen (0, 0), se producen las siguientes regularidades. •

R(O, 90°) (x, y) = (–y, x), rotación en 90°.

•

R(O, 180°) (x, y) = (–x, –y), rotación en 180°.

•

R(O, 270°) (x, y) = (y, –x), rotación en 270°.

Practiquemos lo aprendido e. F(0, –5)

Práctica guiada

f. G(2, 0)

1. Observa la imagen y completa las oraciones.

→

→

F’(5, 0)

G’(0, 2)

Aplica

3. Calcula las coordenadas de los vértices de la figura imagen, dada la figura srcinal que se rota respecto al srcen según el ángulo que se indica.

B

A´ Y X

B´

a. Triángulo de vértices A(–2, –3), B(2, –1) y C(0, 6), y α = 90°.

A

A’

La figura A se rotó en sentido antihorario, con centro de rotación en el punto X y en un ángulo de 90°. a. La figura B se rotó en sentido

, con

centro ángulode derotación en. el punto

A’

y en un

b. El perímetro de la figura A’ es perímetro de la figura A.

B’

A’ al área

C’

D’

B’

C’

D’

4. Determina si las siguientesafirmaciones son verdaderas o falsas. Escribe V o F, según corresponda.

d. Para obtener la figura A’ a partir de la figura A por una rotación en sentido horario, con centro en el punto X, el ángulo de rotación debe ser de .

a.

Si una figura geométrica se rota 90° respecto al srcen del sistema de coordenadas, la imagen que se obtiene es congruente con la figura inicial.

e. La figura B’ se puede obtener de la figura B haciendo dos .

b.

2. Calcula la medida del ángulo (positivo) de rotación respecto al srcen, dados el punto y su imagen, respectivamente.

Rotar una figura geométrica 90° respecto al srcen del sistema de coordenadas es equivalente a rotarla en –90° respecto al mismo punto.

c.

Dos rotaciones sucesivas respecto al srcen, según los ángulos α y β, respectivamente, son equivalentes a una sola rotación respecto al srcen, según el ángulo α + β.

a. B(1, 0) B’(–1, 0) b. C(11, –5) C’(–5, –11)

d.

Si el punto P(a, b) se rota 180° respecto al srcen, se obtiene el punto P’(–b, –a).

c. D(1, 80)

e.

Si el punto P(0, 1) se rota 270° respecto al srcen, se obtiene el punto P’(1, 0).

A(5, 7)

→

A’(–7, 5)

→

90 º

→

→

d. E(–3, –4)

104

C’

c. Cuadrilátero de vértices A(–4, –10), B(2, –10), C(2, 5) y D(–3, 0), y α = 270°.

al

c. El área de la figura B’ es de la figura B.

B’

b. Cuadrado de vértices A(0, 0), B(2, 0), C(2, 2) y D(0, 2), y α = 180°.

D’(1, 80)

→

E’(3, 4)

Unidad 3 Geometría

Sección 7

Resuelve los siguientes problemas. 5. Si un triángulo cuyos vértices son D(5, 2), E(7, 10) y F(9, 0) se rota respecto al srcen, según el ángulo de medida α (positivo), siendo el punto D’(–2, 5) la imagen del punto D.

8

9

3

c. Uno de los vértices se rotó en –60° con centro en B, su imagen fue el punto G. ¿Cuál fue el punto que se rotó? R: 10. La imagen muestra un triángulo equilátero. ¿Qué rotaciones se deben aplicar al triángulo para formar un hexágono?

a. ¿Cuál es el valor de α? R: b. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices imágenes de los puntos E y F?

J

R: H

6. Si un triángulo cuyos vértices son A(1, 2), B(7, 2) y C(4, 5) se rota 270° respecto al srcen, ¿cuáles son las coordenadas de los vértices de la imagen obtenida?

R:

I

R: 11. La imagen muestra un triángulo isósceles, el ángulo basal mide 54°. ¿Qué rotaciones se deben aplicar al triángulo para formar un pentágono?

7. La figura representa un semicírculo de centro en A. ¿Qué punto se debe elegir como centro y en qué ángulo se debe rotar la figura para producir un círculo?

O

M C

R:

R:

8. La imagen muestra dos rotaciones del punto A con imagen en A’. ¿Por qué las imágenes son diferentes? A´

N

B

A

A

A

12. Se tiene un segmento AB. Define dos rotaciones para determinar el punto C de tal manera que se forme un triángulo ABC equilátero.

R: O O Figura 1

Figura 2

A´

R:

13. Al polígono ABCDEF se le aplicó una transformación cuya imagen fue el polígono A’B’C’D’E’F’. ¿Cuáles fueron las características de esa transformación? E

9. La figura muestra un hexágono regular y el punto G es el centro de ella, con esa información resuelve los problemas a, b y c. E

B B´

D D´

A´ A

C´

C

G

F

D C

F

F´ E´

A

B

a. Uno de los vértices se rotó en 60° con centro en G, su imagen fue el punto C, ¿cuál fue el punto que se rotó?

R: 14. ¿En qué ángulo se fue rotando el cilindro de la izquierda para llegar al de la derecha?

R: b. Uno de los vértices se rotó en –120° con centro en G, su imagen fue el punto E. ¿Cuál fue el punto que se rotó? R:

R:


105

Lección

39

¿Cómo realizar transformaciones isométricas en un software?

Propósito Realizar transformaciones isométricas en un software y verificar sus propiedades.

Con GeoGebra o cualquier otro programa procesador geométrico podemos resolver problemas construyendo la figuras y, en este caso, las transformaciones en forma más rápida y, si sabemos entregar las instrucciones adecuadamente, sin errores. Los procesadores geométricos tienen regla y compás integrado a sus programaciones.


Aplica

1. Los vértices de un triángulo son A(3, 1), B(3, 3), C(1, 3). Realiza una rotación en 35° con centro en el punto P(3, 0).

2. Traslada el triángulo de la figura según el vector (–2, 3) y luego refleja la imagen sobre el eje X. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen final? Y

Paso 1: realizar las construcciones básicas, en este caso ubicar P y dibujar el triángulo ABC.

B

C

Y

2

C

3

B 1

A 2

0 -3

-2

-1

0

X

R:

P

0 0

1

2

X

3

3. El triángulo ABC se rotó con centro en el srcen obteniendo como imagen el triángulo A’B’C’. Copia

Paso 2: realizar la transformación pedida.

los triángulos en GeoGebra y averigua el ángulo de la rotación.

Y C

3

B

Y C

5

B´

4

2

C´

2

B´

P

0 -1

0

1

2

0 -6

C´

B

C B´

-5

-4

A

1

X

3

Paso 3: si se desea, se puede comprobar la solución. Y

B

3

A

A´

1

3

1

A

1

-1

3

-3

-2

A´

-1

D 0

1

2

3

X

-1

R:

2

a. Describe el procedimiento que seguiste para obtener la respuesta del problema anterior.

C´ A

A´

1

R: -1

α = 35º

º

0 0

1

β = 35 2

3

P

X

Todos los ángulos con vértice en P son iguales a 35°. Las medidas de los ángulos y lados correspondientes entre el triángulo y su imagen son los mismos.

106

Unidad 3 Geometría

b. ¿En qué otro ángulo podría haberse rotado para obtener la misma imagen? R:

Sección 7


5

4. Dibuja el triángulo de vértices A(1, 2), B(2, 5) y C(2, 2) y las rectas paralelas al eje Y que pasan por x =2, por x = 4 y por x = 6.

A’

B(2, 5),

B’

C(2, 2)

C’

Y D

4

C

A

3 2

a. Refleja el triángulo respecto a la primera recta, luego su imagen respecto a la segunda y la segunda imagen respecto a la última. Registra tus resultados en la siguiente tabla. A(1, 2),

B 1

L

0 0

X

12345

a. ¿Cuáles son las coordenadas de las imágenes de los vértices? R:

b. Si quisieras reflejar el triángulo ABC y obtener el triángulo A’’’B’’’C’’’ con solo una reflexión, ¿dónde ubicarías la recta correspondiente al eje de simetría? Justifica tu respuesta. R:

7. Construye el pentágono de la figura y trasládalo de manera que la imagen del vértice H sea el punto marcado como H’.

5

E C

D

2

b. ¿Cuáles son las coordenadas de C’?

1

H´

0

R:

0

1

2

X

c. ¿Cómo lo hiciste?

Y C

5

H I

3

R: 5. Copia en GeoGebra los triángulos de la figura y realiza las construcciones adecuadas para encontrar el punto P, centro de la reflexión.

Y

4

a. ¿Cuál es el vector traslación?

R:

4

B

3

A´

2

A

8. Copia la figura de la imagen y rótala, con centro en el

B´

1 0 0 -1

3

9

8

1

2

3

4

5

6

7

X

srcen, y con el menor ángulo posible de manera que toda la imagen se ubique en el tercer cuadrante.

C´

Y D

4

a. ¿Cuáles son las coordenadas de P?

A

3

R: b. Describe el procedimiento que seguiste para obtener la respuesta del problema anterior.

C

2

1

B

R: 0 0

6. El programa GeoGebra tiene herramientas para realizar automáticamente las transformaciones, pero en este problema no las podrás usar.

Copia la figura dada en la imagen y refléjala sobre la recta L utilizando las herramientas, segmentos, rectas perpendiculares y medidas de segmentos.

1

2

3

X

a. ¿Cuál es el ángulo de rotación que usaste? R: b. ¿Cuál es el mayor ángulo que permitiría que la figura se ubicara en ese cuadrante? R:


107

9. La figura muestra la recta y = x y además, los puntos A, B, C y D. Cópiala en GeoGebra. Y B

3

11. La siguiente figura muestra el cuadrilátero ABCD y la recta x = y. Calcula las coordenadas de los vértices de la imagen del cuadrilátero luego de ser reflejado mediante L. Comprueba tus resultados utilizando GeoGebra.

2

Y A

1

-2

0

-1

D

1

B

5 4

C

0

2

3

X

A

C L

3

-1 2

D

1

a. Refleja cada uno de los puntos y registra las coordenadas de los puntos y sus imágenes en la siguiente tabla. A

A’

B

B’

C

C’

D

D’

0 -1

0

1

2

3

X

R:

x y b. ¿Qué relación puedes establecer entre las coordenadas de un punto y su imagen cuando se refleja sobre la recta x = y? R:

12. La siguiente figura muestra el cuadrilátero ABCD y la recta y = –x. Calcula las coordenadas de los vértices de la imagen del cuadrilátero luego de ser reflejado mediante L. Comprueba tus resultados utilizando GeoGebra. Y

L C

10. La figura muestra la recta y = –x y los puntos A, B, C y D. Cópiala en GeoGebra.

3

D

B

2

1

Y

A 0

3

B

X

-4

1

2

3

Y

B

B’

C

C’

D

D’

L C

D

x

2

y

1

B

A 0

b. ¿Qué relación puedes establecer entre las coordenadas de un punto y su imagen cuando se refleja sobre la recta y = –x?

Unidad 3 Geometría

1

Calcula las coordenadas de los vértices de la imagen de la figura que se muestra a continuación luego de una reflexión mediante L. Comprueba tu resultado en GeoGebra. 3

108

0

Desafío A

a. Refleja cada uno de los puntos y registra las coordenadas de los puntos y sus imágenes en la siguiente tabla.

R:

-1

X

-1

A’

-2

C 0

-1

-2

A

-3

R:

0

D

-5

2

1

-2

-6

-1

R:

0

1

2

3

4

X

Lección

Sección 7

40

9

3

¿Cómo componer transformaciones isométricas?

Propósito Resolver problemas relacionados con la composición de transformaciones isométricas.

8

Una composición de transformaciones isométricas es una aplicación sucesiva de isometrías a una figura. Por medio de la composición de isometrías y de uno o varios polígonos se puede embaldosar o teselar una superficie.


1. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Escribe V o F, según corresponda.

V Cuando se realizan dos rotaciones el resultado es una rotación. a.

Cuando se componen dos rotaciones sus ángulos de rotación se restan.

b.

Cuando se componen dos rotaciones se debe mantener el centro de rotación.

c.

Si se componen dos reflexiones, el resultado es una traslación.

d.

Si se componen dos traslaciones, los vectores de traslación se suman.

Aplica

3. La figura representa la estrella de David que aparece en la bandera de Israel. Considerando un triángulo equilátero, ¿qué transformaciones isométricas permiten lograr la figura completa?

R: 4. Al triángulo ABC se le aplicó una traslación y luego otra a su imagen, resultando el triángulo A’’B’’C’’.

2. Completa las siguientes afirmaciones.

Y

Se realiza una rotación con centro en O y ángulo de 55° y luego, la imagen se rota en 65°. La

b. Se rota una figura en 75° y su imagen se rota en y el resultado es la figura srcinal. c. Una figura se refleja sobre una recta y su imagen se refleja sobre la misma recta, la imagen srcinal y la final es la . d. Una figura se traslada bajo el vector (–5, 3), a su imagen se le debe aplicar otra traslación bajo el vector , para obtener la figura srcinal.

B

2

relación entre la primera y la última figura es una rotación con centro en O y ángulo de rotación de 120 ° . a. Se aplica una traslación de vector (3, –2) y luego una de (5, 1). La figura srcinal se trasladó con vector .

B´

3

1

B´´

A´

A

C´

C

C´´

A´´

0 -1

0

1

2

3

4567

X

a. Determina los vectores utilizados. R: b. ¿Qué vector se le puede aplicar al triángulo ABC para producir directamente el triángulo A’’B’’C’’. R: c. ¿Qué vectores diferentes a los anteriores se le pueden aplicar al triángulo A’’B’’C’’ para obtener el triángulo ABC? R: d. Cuando se realizan varias traslaciones sucesivas, ¿siempre el resultado es una traslación? R:


109

Resuelve los siguientes problemas 5. Partiendo con el triángulo ABC se obtuvo el triángulo A’’B’’C’’. Y H

3

7. Un triángulo equilátero puede construirse a partir de un trazo y rotaciones. Observa la imagen y responde las siguientes preguntas. Y

J

3

C

2

C´

C´´

B

2

A

1

B

A´´ B´

1

B´´ A´

0 -1

A

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

X

a. Describe las dos reflexiones efectuadas. R:

0

1

2

3

X

a. ¿Cuántas rotaciones se deben efectuar? R: b. Describe la primera rotación.

b. ¿Qué otra transformación isométrica se le puede aplicar al triángulo ABC para que su imagen sea el triángulo A’’B’’C’’? Descríbela.

R:

c. Describe la segunda rotación.

R:

R: 6. Al polígono ABCDEF se le aplicó una rotación en 90° con centro en O y luego una traslación con cierto vector obteniendo el polígono A’’B’’C’’D’’E’’F’’.

8. En el plano cartesiano de la figura se dibujaron el punto A y la recta x = y. Y

Y C´´

D´´ E´´

2

4

F´´ 3

A´´

B´´

E A

2

-2

-1

1

D

0 -4

F C

-2

0

-1

1

2

3

4

X

-2 -3

G 0

-3

-1

B

1 0

A

3

5

1

2

3

X

a. ¿Cuáles pueden ser dos transformaciones, diferentes a las recíprocas de las efectuadas, que pueden tener la misma imagen final?

a. Refleja el punto A sobre el eje X y luego sobre la recta x = y. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen final? R:

R:

b. ¿Es la respuesta a. la única posible? Justifica tu respuesta. R:

c. Define dos transformaciones partiendo de A’’B’’C’’D’’E’’F’’ para producir el polígono ABCDEF. R:

110

Unidad 3 Geometría

b. Ahora refleja el punto A sobre la recta x = y. Luego, refleja la imagen sobre el eje X. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen final? R:

c. ¿Son conmutativas las reflexiones? Justifica tu respuesta. R:

Sección 7

d. Realiza la misma actividad pero ahora con dos traslaciones. ¿Llegas a la misma conclusión? Justifica tu respuesta.

3

9

8

11. La imagen muestra el triángulo ABC. Y 4

R:

C

3

B

2 1

9. Carolina partió con el triángulo ABC y creó la figura que se muestra.

0 -4

-3

-2

-1

A

D 0

1

2

3

4

X

5

-1

Y -2

C

3

-3

a. En el plano cartesiano rota con centro en el srcen la figura en 90° y luego su imagen en 90° más. ¿Cuál rotación puede representar ambas?

A

2

B 1

R:

0 -1

0

X

123456

Describe completamente dos transformaciones que pudo haber utilizado para realizarla.

b. Si se rota una figura más de una vez, ¿siempre se pueden sumar los ángulos y mantener el centro para realizar una sola rotación? R:

R:

12. La figura muestra una rotación en 180°. Y

10. La figura muestra un octógono regular y las rectas a, b y c. La recta b contiene los puntos medios de los lados AB y EF del octógono. a

b F

E -5

-4

C A

B

Con el punto G realiza las reflexiones indicadas y entrega el punto imagen final. a. Reflexión sobre b y luego sobre a. R: b. Reflexión sobre a y luego sobre c. R: c. Reflexión sobre a y luego sobre c y luego sobre b. R: d. ¿Qué par de reflexiones del punto H resultan en el punto F? R:

D

A

0 -3

C´ H

1

B´ D

B

2

A´

c

G

C

3

-2

-1

0

1

2

3

4

X

-1

a. ¿Qué otra transformación tiene el mismo efecto en el triángulo ABC? R: 13. La figura muestra una D circunferencia que ha sido dividida en arcos de igual E medida. Encuentra las imágenes pedidas en cada caso, sabiendo que Rp, (A) significa la rotación de F centro P y ángulo α del punto A.

C B P

A

H

α

G

a. Rp, 45 º y luego Rp, 90 º del punto C. R: b. Rp, –45 º, luego Rp, 90 º y finalmente Rp, –270 º del punto G. R: c. ¿Qué par de rotaciones positivas sobre F resultan como imagen H? R:


111

Lección

41

¿Cómo realizar teselaciones? •

Propósito Aplicar transformaciones isométricas para realizar teselaciones.

•

•

•

Un teselado o teselación es un cubrimiento del plano por figuras planas, de modo que estas no se sobreponen ni dejan espacios entre ellas. Las teselaciones se construyen aplicando transformaciones isométricas a las figuras que la componen. Cuando las figuras que componen una teselación son polígonos, éstas se pueden clasificar en regulares y semirregulares.

-

Una teselación es regular cuando se construye aplicando transformaciones a un solo polígono regular.

-

Una teselación es semirregular cuando se construye utilizando una combinación de distintos polígonos regulares.

En un vértice de un teselado, la suma de los ángulos interiores de todos los polígonos que concurren en él debe ser igual a 360°.


1. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Escribe V o F, según corresponda. V Es posible teselar un plano usando solo

Aplica

2. Indica si las siguientes imágenes son teselaciones o no. Justifica tu elección.

a.

traslaciones. a.

b. c.

Para formar una teselación se puede utilizar una combinación de transformaciones isométricas.

No

Sí

No

Sí

No

Sí

No

Una teselación regular está compuesta por dos o más polígonos regulares. Un triángulo isósceles rectángulo puede

b.

teselar el plano. d. Un polígono regular de siete lados puede teselar el plano.

112

Sí

e.

Una traslación es un recubrimiento del plano por medio de figuras 2D.

f.

En una teselación, la suma de los ángulos interiores de los polígonos que coinciden en un vértice es 360°.

g.

Las teselaciones solo se pueden hacer con polígonos regulares.

h.

Se puede teselar el plano con circunferencias.

i.

Un octágono puede estar en una teselación regular del plano.

j.

Un octágono puede estar en una teselación semirregular del plano.

k.

Un polígono regular de cinco lados puede teselar el plano.

Unidad 3 Geometría

c.

d.

Sección 7

8

9

3

Resuelve los siguientes problemas. 3. Identifica si las siguientes teselaciones son regulares o semirregulares.

a.

b. ¿Qué transformación isométrica relaciona a los triángulos grises con los triángulos blancos adyacentes? R:

Regular

Semirregular

c. Dibuja una base para la teselación, es decir, una configuración de los polígonos involucrados que permita construir la teselación solamente con traslaciones de esta configuración.

b. Regular

Semirregular c. Regular

Semiregular

5. Construye una teselación con las características dadas. Para ello, utiliza los instrumentos geométricos que estimes convenientes.

a. Teselación regular formada por rectángulos.

d. Regular

Semirregular e. Regular

Semirregular

b. Teselación semirregular formada por cuadrados y triángulos equiláteros.

4. Analiza la teselación que se muestra. Luego, responde.

a. ¿Qué transformación isométrica relaciona a los triángulos grises entre sí? R:


113

¿Cómo voy? Lee los recuadros de la izquierda y luego resuelve los ejercicios y problemas propuestos. Las traslaciones, reflexiones y rotaciones son las llamadas trasformaciones isométricas. Para realizarlas necesitas una figura y la información específica de cada transformación.

Lección 36, 37 y 38 1

Construye la imagen en cada caso. a. Reflexión respecto a la recta L. J

M

K L

b. Rotación en 90° respecto del punto Q. Q

M

P

Lección 39 En la composición de transformaciones es importante el orden en que se realizan, porque algunas de ellas no son conmutativas.

2

Traslada el cuadrilátero ABCD según el vector y luego rota la imagen en –90º con centro en H. B

A

_

›

C

f

H D

Lección 40 Una teselación debe cumplir la condición que en un vértice de un teselado, la suma de los ángulos interiores de todos los polígonos que concurren en él debe ser igual a 360°.

3

Observa el polígono de la figura formado por 2 triángulos equiláteros y un hexágono regular.

a. ¿Se puede teselar el plano con ella? Justifica tu respuesta. R:

b. ¿Con qué transformaciones puedes teselar el plano con esa figura? R:

114

Unidad 3 Geometría

Sección 7

9

8

3

Desafíos de integración Resuelve los siguientes problemas que involucran transformaciones. 1.

Copia la figura dada en un papel transparente y realiza la teselación en el espacio siguiente.

4.

Responde las siguientes preguntas. a. ¿Qué condiciones debe cumplir un triángulo para que tenga tres ejes de simetría? R:

b. ¿Qué condiciones debe cumplir un triángulo para que tenga dos ejes de simetría? R: 2.

Observa las figuras dadas y responde las preguntas. a. ¿Qué transformaciones isométricas deben aplicarse a la figura para formar la teselación? +

+ +

+

+ +

c. ¿Qué condiciones debe cumplir un triángulo para que no tenga ejes de simetría?

+

R:

+ +

+

5. +

+

+

+

¿Cuál es el menor ángulo de rotación que se puede aplicar a esta figura para que quede la figura inicial?

R: R: b. ¿Y si la figura fuera la siguiente?

6. +

¿Cuál es el menor ángulo de rotación que se puede aplicar a esta figura para que quede la figura inicial? 5

R:

4

Y J

G F

3

3.

E

Describe las transformaciones que se le aplicaron al polígono ABCD. 4

D

C B

C´

3

D´ - 5

-4

-2

A´

-2

0

-1

1

2345

X

-2

X 0

-1

-3

-1

1

-3

0

B´

0 -4

D

1

Y

2

A

- 5

2

C

1

2345

a. Refleja el polígono srcinal sobre cada una de las rectas.

C´´

-1

R: -2 -3 -4

R:

B´´ A´´

D´´

b. correspondientes ¿Encuentras alguna entre los vértices derelación las dos imágenes? R:


115


Estrategia: Aplicar procesos reversibles

•

Trata de empezar por el final cuando conozcas el resultado final de una serie de pasos y quieras saber lo que sucedió al comienzo. 1 1.

•


Resuelve los problemas aplicando el proceso reversible. La siguiente figura la utilizarás para resolver los problemas a, b, c y d.

B´ A´

2.

El triángulo ABC se rotó en 90° con centro en O obteniendo el triángulo A’B’C’, ese triángulo se

Y

reflejó el eje X, la obteniendo el triángulo A’’B’’C’’sobre que muestra figura.

3

a. Realiza en el plano cartesiano de la figura las transformaciones requeridas para obtener el triángulo ABC srcinal.

2

1

Y

C´

3

0 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

X 2

1

a. Si el triángulo A’B’C’ es el_ resultado de una traslación bajo el vector v = (2, –3), ¿cuáles son las coordenadas de la preimagen, es decir, el triángulo ABC? ›

0 -4

-3

-2

-1

0

R:

b. Si el triángulo A’B’C’ es el resultado de una rotación en 90° con centro en el srcen. ¿Cuáles son las coordenadas de la preimagen?

d. Si el triángulo ABC es el resultado de una simetría central con centro en O. ¿Cuáles son las coordenadas de la pre imagen, el triángulo ABC? R:

3

4

B´´- 3

R: c. ¿Cuáles son las coordenadas del triángulo ABC? R: 3.

El cuadrado cuyos vértices son A’(1, 1), B’(3, 1), C’(3,3), D’(1, 3) es la imagen de un cuadrado que se reflejó sobre la recta x = y, ¿Cuáles son las coordenadas de la preimagen? Dibújala en el plano cartesiano. Y 4

3

2

1 0 0

116

Unidad 3 Geometría

X

b. ¿Cuáles son las coordenadas del triángulo A’B’C’?

R:

R:

2

-2

C´´

c. Si el triángulo A’B’C’ es el resultado de una reflexión sobre el eje X. ¿Cuáles son las coordenadas de la pre imagen, es decir, el triángulo ABC?

1

A´´- 1

1

2

3

4

X

Sección 7

2

9

8

3

En cada caso determina si puedes resolver el problema directamente o si debes partir del final. Luego, resuelve cada uno de ellos. Y

a. Las coordenadas de un triángulo que se rota en 90° con centro en O son P(1,3), Q(–1, 3) y R(–1, 0). ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen de sus vértices?

5

4

3

R: b. Define dos combinaciones de dos transformaciones que sean conmutativas.

2

1

R:

0

X

-5

-4

-3

-2

-1

C´´- 2 -3

E´´

R:

3

0 -1

c. La figura muestra un triángulo que fue reflejado sobre la recta y = –x y luego fue reflejado sobre el eje X. Encuentra las coordenadas del triángulo srcinal.

D´´- 4

A continuación encontrarás una imagen. Inventa un problema que se pueda resolver con la estrategia presentada y luego, compártelos con tus compañeros y compañeras. a.

b. Y

Y B´´

4

5

D

-4

-3

-2

A´´

C´´

_

_

›

0

-1

C´´

2

1 0

-5

A´´

3

2

A

B´´

4

3

1

23456

-1

X -6

-5

-4

1

›

v1

v2

-3

-2

D´´

0 -1

0

1

2

3

4

X

Problema: Problema:

Revisando mis procesos Responde las siguientes preguntas sobre analizar la información dada en un problema. 1. Explica con tus palabras la estrategia presentada.

2. ¿Cómo resolviste el problemas 1. e?

3. Explica paso a paso como resolviste el problema f. de la página anterior.


117

¿Qué aprendí? I. Resuelve los siguientes ejercicios. 1. ¿Cuál es el área total del siguiente prisma recto? 6 cm

R:

8. ¿Cuál es el perímetro de un triángulo si sus catetos miden 16 cm y 12 cm?

R:

5 cm

7. Uno de los catetos de un triángulo mide 5 cm y la hipotenusa mide 12 cm. ¿Cuál es su área?

2 cm

R:

2. ¿Cuál es el volumen del siguiente prisma recto? 9. La figura muestra un triángulo isósceles, ¿cuánto mide la base PQ?

0,2 cm

R

R: 0,3 cm

0,5 cm

10 cm 8 cm

3. El radio de un cilindro es 2 m y su altura es 5 m, ¿cuál es su superficie?

P

Q S

R:

4. Completa las siguientes afirmaciones con la información del plano cartesiano.

10. Refleja la figura sobre el eje X y luego trasládalo según el vector (4, 1) Y 4

Y 10

3

9 8 7 6 5

2

C D

1

A

0

4

1 E 7 8 9 1 0

4 5 6

X

a.

Las coordenadas del punto B son

b.

El punto cuya ordenada es cuatro veces la abscisa es

c.

El punto que tiene coordenadas (6, 7) es ___ La primera coordenada del vectorAC es ___ Las coordenadas del vector son BD ___ ___ ___ La suma de vectoresAB + BD + DC es igual al vector

f.

›

II. Resuelve los siguientes problemas 1. El vaso de la figura es un cilindro, su diámetro mide 10 cm, su altura es 25 cm y el nivel del agua llega a 5 cm de la base. ¿Cuánta agua se necesita para llenar el vaso?

›

›

›

›

5. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 9 cm y 12 cm, ¿cuándo mide la hipotenusa? R:

6. ¿Cuál es el área de un cuadrado si su diagonal mide 20 cm? R:

118

X

–2 0 1 2 3

e.

3 4

–1

B

2

d.

0 1 2

– 4 –3 –2 –1

3

Unidad 3 Geometría

R:

3 2. La figura muestra un cuadrado de lado 4 cm, ¿el triángulo AEF es rectángulo? Justifica tu respuesta. D

2 cm

F

A.

Rotación.

1 cm

B.

Traslación.

B

R:

3. Observa la teselación de la figura y responde las preguntas.

A

B

C

E

A

2. ¿Qué transformación isométrica puedes observar en el siguiente dibujo?

C.

Simetría axial.

D.

Ninguna de las anteriores.

A` C D

D`

B` C`

3. ¿Qué transformación se puede observar en el siguiente dibujo? C`

A.

Rotación.

B.

Traslación.

C.

Simetría axial.

D.

Simetría central.

C D

D`

B`

B A`

A

4. Si la siguiente teselación está compuesta por cuadrados, hexágonos regulares y dodecágonos regulares, ¿a qué tipo de teselación corresponde?

a.

A.

Regular.

B.

Irregular.

C.

Isométrica.

D.

Semi regular.

¿Cuál es la figura básica que forma este teselado? R:

b.

¿Qué transformaciones permiten realizar la teselación? 5. ¿Qué nombre recibe una teselación en la que interviene un solo polígono regular?

R:

III. En las siguientes preguntas marca la opción correcta. 1. ¿Qué transformación se efectuó al triángulo ABC para obtener el triángulo A’B’C’? A.

Traslación.

B.

Homotecia.

C.

Simetría axial.

D.

A.

Teselación regular.

B.

Teselación irregular.

C.

Teselación isométrica.

D.

Teselación semi regular.

6. La figura

rota en 90°, ¿cuál es su imagen?

A.

Simetría central. C

B.

B`

C.

A B

A`

D.

C`


119

42

Lección

¿Cómo interpretar la información de un gráfico?

Propósito Interpretar la información contenida en distintos tipos de gráficos.

Para interpretar la información de un gráfico, primero debes identificar qué tipo de gráfico (barra, histograma o gráfico circular). Si el gráfico es de barra o es un histograma, debes identificar lo que representa cada eje. En el caso del gráfico circular, debes identificar qué representa cada sector del gráfico. Ten en cuenta que el histograma sirve para graficar variables que son continuas y que se pueden representar en intervalos.


g. ¿Qué local vende más empanadas de pino?

1. Analiza el siguiente gráfico. Luego, responde. Y

R:

Empanadas vendidas La Lupe

s a160 d a140 n a p120 m100 e e d 80 d 60 a d ti 40 n a 20 C

h. ¿Qué local vende más empanadas napolitanas? R:

La Pepa

i. ¿Cuál vende más empanadas en total? R: Aplica X

0 Pino Queso Napolitana

Vegetariana

Tipo de empanadas

2. Determina si las siguientes afirmaciones con respecto al gráfico de barras doble son verdaderas o falsas. Escribe V o F, según corresponda.

¿Qué representa el gráfico?

Cantidad de prendas por tipo sa d n e r p e d d a d ti n a C

La de empanadas de cada tipo vendidas en cantidad dos locales.

a. ¿Cuál es la variable en estudio? y ¿cuáles son sus valores?

R: b. ¿Qué representa el eje horizontal?

Y 14 12 10 8 6 4 2 0

Elisa Vanesa

X Pantalón

R:

d. ¿Qué representan las barras verdes?

a.

R: ¿Qué tipo de empanada es el que menos se f. vende?

R:

120

Unidad 4 Estadística y probabilidad

Elisa tiene más prendas de vestir que Vanesa.

b.

R: e. ¿Qué representan las barras moradas?

Pares de zapatos

Tipo de prenda

c. ¿Qué representa el eje vertical? R:

Polera

c.

La mayor diferencia entre la cantidad de prendas se da en los pares de zapatos. Ambas tienen más poleras que pantalones.

d.

Elisa tiene la misma cantidad de pantalones que Vanesa.

e.

Vanesa tiene más cantidad de pantalones que de poleras.

f.

Vanesa tiene más poleras que Elisa.

Sección

3. Construye un gráfico circular para los siguientes datos. Luego, responde.

Estado de los días mes de abril Días Frecuencia Nublados Lluviosos Despejados

10 11

12

4

h. Si la encuesta fue respondida por 500 personas, ¿cuántas de ellas prefieren el helado de lúcuma?

R: 5. Analiza la información de la tabla. Luego, responde.

15 12 3

Campo

a. ¿Qué porcentaje del total son los días nublados? R: b. ¿De cada diez días del mes de abril, cuántos fueron despejados?

Cantidad de árboles plantados Árbol Pino Belloto Boldo Peumo

Vientosdelsur Aguasclaras

58 70

63 65

80 80

77 92

a. ¿Cuántos boldos fueron plantados en el campo de Aguas claras?

R:

R:

c. ¿Qué porcentaje del total son los días soleados? R:

b. ¿Cuántos pinos fueron plantados en el campo Vientos del sur?

R:

4. Analiza el siguiente gráfico. Luego, responde.

Sabor de helado preferido 15 %

Frutilla Chocolate

45 %

30 %

c. ¿Cuántos árboles fueron plantados en total en el campo Aguas claras?

R: d. ¿Qué tipo de árbol fue plantado en menor

Vainilla

cantidad en el campo de Aguas claras?

Lúcuma

R:

a. ¿Qué representa el gráfico? R: b. ¿Qué representa el sector de menor área? R:

6. Analiza la información del gráfico. Luego, responde.

El gráfico muestra la distribución del ingreso mensual de una familia. Distribución del ingreso mensual

15 %

5%

20 %

c. ¿Qué porcentaje de personas prefiere el helado de lúcuma?

R: d. ¿Cuál es el sabor de helado preferido por más personas?

R: e. ¿Qué sabor de helado es preferido por el 15 % de las personas?

10 % 40 %

Ahorro

Servicios

Vestuario

Salud

Educación

Diversión

10 %

a. Si un mes la familia ganó $ 830 000, ¿cuánto dinero destinó a cada ítem? Ahorro:

$

Educación: $

Diversión: $ Salud:

$

R: f. Si la encuesta fue respondida por 180 personas, ¿cuántas de ellas prefieren helado de chocolate?

R: Si la encuesta fue prefieren respondida por 300de personas, g. ¿cuántas de ellas el helado frutilla?

R:

b. Si al mes siguiente las proporciones de cada ítem se mantienen, pero la familia recibió un ingreso de $ 950 000, ¿cuánto dinero destinó a cada ítem? Vestuario: $ Ahorro:

$

Salud:

$

Servicios: $


121

Lección

43

¿Cómo comparar gráficos? Para interpretar gráficos y poder compararlos, puedes seguir estos pasos:

Propósito Evaluar la forma en que está representada la información en gráficos.

•

1: comprender la información que representan los elementos de cada gráfico.

•

2: comparar las escalas y analizar los valores de las categorías.

•

3: interpretar las comparaciones para comunicar las conclusiones.


Aplica

1. Los siguientes gráficos representan las posiciones que obtuvieron dos atletas durante las mismas competencias en un año.

Resultados de Nadia Y s10 e c8 e v e6 d º. 4 N2

4 2 X

0 ro e m ir P

o d n u g e S

ro e c r e T

Estatura jugadoras de vóleibol

Estatura jugadoras de básquetbol

159 160 161 162 163 Estatura (cm)

159 160 161 162 163 Estatura (cm)

Resultados de Valeria

9 5

2. Analiza y compara los gráficos. Luego, escribe tres conclusiones.

Y s10 e c8 e v e6 d º. 4 N2

8

7 3

2 X

0

o tr O

Lugar obtenido

o r e

im r P

o d n u g e S

o r e c r e T

o tr O

Lugar obtenido

Paso 1: comprender la información que representan los elementos de cada gráfico

¿Qué representa el eje horizontal? El eje horizontal representa las posiciones que de las atletas durante las competencias de un año.

a. ¿Qué representa el eje vertical? R: b. ¿Cuántas categorías existen? R: Paso 2: Compara y analiza las categorías.

a. ¿Cómo son las escalas utilizadas? R: b. ¿Cómo son los valores para cada categoría? R:

Paso 1: Comprender la información que representan los elementos de cada gráfico.

a. ¿Qué representa el eje horizontal? R: b. ¿Qué representa el eje vertical? R: c. ¿Cuántas categorías existen? R: Paso 2: Comparar las escalas y analizar los valores de las categorías.

a. ¿Cómo son las escalas utilizadas? R: b. ¿Cómo son los valores para cada categoría? R: Paso 3: Interpretar las comparaciones para comunicar las conclusiones.

Conclusión 1:

Conclusión 2:

Paso 3: Redacta conclusiones.

Conclusión 1: Conclusión 3: Conclusión 2:

122


Sección


a. ¿Qué representa el eje horizontal?

3. El gráfico muestra la distribución de la población chilena según su tipo de sangre, considerando el grupo sanguíneo y el Rh.

b. ¿Qué representa el eje vertical?

12

4

R:

R:

Grupos sanguíneos de la población chilena

c. ¿Cuál de las tres amigas utiliza más la autopista en

Y

40 35 30 25 20 15

10 11

el horario que se paga la tarifa base punta?

R:

10 5 0

Rh +

d. ¿Cuál de las tres amigas utiliza más la autopista

Rh –

en el horario que se paga la tarifa base fuera de punta?

X GrupoA

Grupo B

Grupo AB

Grupo 0

De acuerdo a la información, compara y responde:

R: e. Escribe tres conclusiones respecto al gráfico anterior: Conclusión 1:

a. ¿Qué tipo de sangre es el más común en la población chilena?

Conclusión 2:

R: b. ¿Qué tipo de sangre es el más escaso en la población chilena?

Conclusión 3:

R: 5. Tres amigas comparan el tiempo que dedican a diario a hacer acondicionamiento físico y obtuvieronlos

c. ¿Qué representa el eje vertical? R:

siguientes resultados:

d. ¿Qué representa el eje horizontal? R: e. ¿Qué se está comparando en el gráfico? R: f. Si analizas el grupo de sangre, ¿qué puedes concluir? R: g. Si analizas el Rh, ¿qué puedes concluir? R:

Y 60 55 50 45 40 s o t 35 u 30 in M25 20 15 10 5 0

Acondicionamiento físico diario

Belén Camila María

X

4. El gráfico muestra la frecuencia con que deben pagar las distintas tarifas de una autopista automovilística tres amigas, estas pueden ser tarifa base punta (TBP) o tarifa base fuera de punta (TBFP).

a. ¿Quién entrena menos veces a la semana?

Utilización de una autopista automovilística

b. ¿Quién entrena más tiempo a la semana?

Y

M

M

J

V

S

D

R:

R:

40

TBP TBFP

20 0

L

X Andrea

Paula

María

c. ¿Qué día de la semana entrenaron las tres amigas? R: d. ¿Qué días de la semana no entrenó Camila? R:


123

Lección

44

¿Cómo escoger el gráfico más adecuado para un requerimiento?

Propósito Justificar la elección de un tipo de gráfico para representar una situación.

Para elegir un gráfico que represente los datos dados, puedes tener en cuenta el tipo de variable y la agrupación de los datos, en el caso de que la variable en estudio sea de tipo cuantitativa. Para datos cualitativos o cuantitativos no agrupados utilizamos: •

Gráfico circular.

Gráfico de puntos discreto.

•

Gráfico de barra. Pictograma. Para datos cuantitativos continuos o discretos agrupados en intervalos: •

•

•

Histograma.

Gráfico

•


Aplica

Señala qué tipo de gráfico es el adecuado para representar los datos de cada tabla. 1. Marta registra cuando ha ahorrado, en pesos, que ha realizado en los últimos 5 meses en la siguiente tabla:

Ahorro mensual Mes Monto($) Enero Febrero Marzo Abril Mayo

5000 10000 25000 15000 15000

2. Pedro registra el estado meteorológico de los días de abril.

Estado de los días del mes de abril Días Frecuencia Nublados Lluviosos Despejados

a. Identifica la variable en estudio. R: b. Relaciona el tipo de variable con el gráfico pertinente.

Identifica la variable en estudio. La variable en estudio es del tipo cuantitativa discreta, ya que se registra la cantidad de dinero ahorrado mensualmente.

15 12 3

R: c. ¿Qué gráfico consideras más adecuado? Justifica. R:

a. ¿Qué gráficos se pueden utilizar de acuerdo a la variable de estudio?

R: b. Relaciona el tipo de variable con el gráfico

3. Se aplica una encuesta a estudiantes de octavo básico en la que se pregunta por la cantidad de dinero que reciben mensualmente. ¿Cuál es el gráfico más apropiado para esta situación?

pertinente.

R: c. ¿Qué gráfico consideras más adecuado para la situación anterior? Justifica.

R: d. ¿Hay otro tipo de gráfico que pudieras utilizar? R:

Mesada de los estudiantes ($) Monto f 1 2 3 4

[0, 1000[ [1000,2000[ [2000,3000[ [3000,4000[

12 15 10 3

F 12 27 37 40

a. Identifica la variable en estudio. R: b. ¿Qué gráfico te resulta pertinente? Justifica. R:

124


Sección

c. ¿Qué gráfico consideras más adecuado para la situación anterior? Justifica.

10 11

12

4

5. ¿En qué otro tipo de gráfico se podría representar la información dada?. Fundamenta tu respuesta:

a. Una aerolínea realiza una encuesta a 2000

R:

pasajeros frecuentes de vuelos nacionales. Allí ellos señalaron los destinos de sus viajes en diferentes épocas del año.

Resuelve los siguientes problemas. 4. Construye un gráfico adecuado para cada una de las tablas y justifica tu elección dando por lo menos dos argumentos.

a. Temperaturas máximas y mínimas registradas en una semana en una ciudad del norte del país.

Temperaturas en una ciudad del norte del país Días

Máxima

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

23 °C 24 °C 22°C 23 °C 25°C 22 °C 23°C

Mínima 19 °C 18 °C 19°C 17 °C 19°C 18 °C 19°C

b. Para un estudio se pide la cantidad de teléfonos celulares en 120 hogares escogidos al azar.

Cantidad de teléfonos celulares Cantidad F 0 1 2 3

2 5 13 39

4 5 más o6

33 19

Destino de vuelos nacionales

Y 300

Iquique

250

Santiago

200

Puerto Montt

150 100 50 0

X Verano

b. Se aplica una encuesta a 100 personas que responden la pregunta: ¿Qué medio de transporte utilizas regularmente para ir a trabajar? Las respuestas fueron las siguientes: Medio de transporte para ir a trabajar Auto 34 %

Bicicleta

14 %

Autobús Metro

6. La tabla muestra la variación del precio del dólar en los meses de marzo, abril y mayo en los años 2013, 2014 y 2015.

10

60 integrantes de una escuela de fútbol.

Masa de un equipo de fútbol Masa (kg) Frecuencia 6 9 13 17 15

Mes Marzo Abril Mayo

Valor promedio mensual del precio del dólar 2013 2014 472,43 472,14 472,34

554,64 563,84 554,41

2015 628,50 614,73 623,62

a. Representa en un gráfico la información de la tabla. Justifica tú elección del gráfico.

R:

d. Se realiza una encuesta a 100 clientes de una heladería para saber el sabor preferido.

Preferencias de sabores de helados Sabor Frutilla Menta Chocolate Cereza

26 %

26 %

c. En una evaluación se registran la masa de

[45 – 50[ [50 – 55[ [55–60[ [60–65[ [65–70[

Otoño Invierno Primavera

Frecuencia 26 17 39 18

b. ¿En qué año el valor promedio del precio del dólar sufrió una mayor variación?

R: c. ¿Qué podrías concluir sobre la variación del precio del dólar en el tiempo?

R:


125

¿Cómo voy? Lee los recuadros de la izquierda y luego resuelve los ejercicios y problemas propuestos. Recuerda que si el gráfico es de barra o un histograma, debes identificar lo que representa cada eje. En el caso del gráfico circular, debes identificar qué representa cada porción del gráfico.

Lección 42 1

Analiza los gráficos y completa la tabla sabiendo que ambos cursos tienen la misma cantidad de estudiantes. Estudiantes con promedios insuficientes, 8.°B 10 %

20 %

18 16 14 12

10 %

60 %

0

2

1

3

Estudiantes con promedios insuficientes en el 8.ºA Y

10 8 6 4 2 0 0

X 1

2

3

Tabla comparativa entre los octavos de un colegio N° de alumnos con promedios 8.°A 8.°B insuficientes 0 1 2 3 Recuerda que debes: Comprender la información. Comparar las escalas y analizar los valores de las categorías. Interpretar las comparaciones para comunicar las conclusiones. •

4

Lección 43 2

Interpreta los gráficos del problema 1 y compáralos.

a. ¿Qué curso tiene la mayor cantidad de estudiantes con cero asignaturas

•

insuficientes?

•

R:

b. ¿Cuántos estudiantes tiene el 8.°B? R:

c. Si con 2 asignaturas insuficientes el estudiante está en peligro de repetir el año, ¿cuántos estudiantes del 8.°B están en esta situación? R:

Lección 44 Recuerda que para elegir un gráfico que represente los datos dados puedes tener en cuenta el tipo de variable y la agrupación de los datos, en el caso de que la variable en estudio sea cuantitativa.

3

Compara ambos gráficos del problema 1 y responde:

a. Identifica las dificultades para representar la información de cada gráfico. R:

b. Identifica una ventaja de cada gráfico. R:

c. ¿Cuál es el gráfico más adecuado? R:

126


Sección

10 11

12

4

Desafíos de integración d. ¿En qué mes se pagaron $3 500?

Resuelve los siguientes problemas. 1. Analiza la información del gráfico. Luego, responde. Y

s 30 o id rr 25 o c 20 e r e 15 d o r 10 e m5 ú 0 N

R:

e. ¿Cuánto se gastó durante mayo?

Frecuencia de recorridos de buses

R: 3. Analiza la información del gráfico. Luego, responde.

El gráfico muestra las temperaturas registradas durante dos semanas. X 5

10 15 20 Tiempo (minutos)

a. ¿Cuántos recorridos fueron considerados en el estudio? R:

Y 12 )10 C °( 8 ] s o6 d a r 4 G 2 0

Temperaturas Semana 2 Semana 1

X L

M

M

b. ¿Cuántos recorridos demoran más de 5 minutos? c. ¿Qué porcentaje de los recorridos tiene una frecuencia menor a 10 minutos?

temperatura considerando las dos semana? R:

b. Durante la semana 1, ¿qué día registró una menor

R:

d. ¿Qué porcentaje de los recorridos tiene una frecuencia mayor o igual a 5 minutos y menor a 15 minutos?

temperatura? R:

c. ¿Cuál fue la temperatura máxima en las dos semanas registradas?

R: 2. Analiza la información del gráfico. Luego, responde.

Cuenta del agua

R: 3 500

4 500

3 200

4. Analiza la información del gráfico. Luego, responde.

Meses Mar

Abr

Artículos de bazar

2 900

2 700

Feb

R:

d. ¿Qué se puede decir, en general, sobre las temperaturas de las dos semanas?

5 000

0Ene

May

Lápices 14,5 %

Cuadernos

20,50%

Jun

Calculadoras

11,2 %

a. ¿Cuál es la variable en estudio? R:

Bolígrafos

¿Por qué? R:

c. ¿Entre qué meses hubo una diferencia de $500? Justifica.

25,8 %

10,8 %

Agendas Otros

17,2 %

b. ¿En qué mes el valor de la cuenta fue mayor?

R:

D

a. ¿Qué día presentó la mayor variación de

R:

F ) $ ( 6000 a t n5000 e u c 4000 a l 3000 e d r 2000 o l a 1000 V

J V S Tiempo (días)

a. ¿Qué fracción del gráfico representa el porcentaje de cuadernos en el bazar? R:

b. Si el total de los artículos son 1 000, ¿qué cantidad representa cada porcentaje? R:


127


Estrategia: Identificar la información necesaria para analizar un problema Destaca o subraya la información importante y relevante del problema para diferenciar los datos que están involucrados en la resolución y los que son distractores. 1

Recuerda que la mayoría de las veces un problema puede resolverse con más de una estrategia o combinando más de una. Tú debes elegir la que te resulte más fácil o con la que te sientas más seguro o segura.

Analiza la información de estos problemas y resuelve.

1. En marzo la Universidad de Santiago de Chile realizó

una encuesta a personas de la ciudad de Antofagasta para conocer su nivel de estudios. Los resultados fueron los siguientes:

Nivel

Nivel de estudios Hombres

Básico Medio Universitario Postgrado

15 80 75 15

Mujeres 10 96 79 12

a. ¿Cuál es la variable representada en la tabla? R:

2. Una aerolínea investiga qué día de la semana es el

preferido o el más solicitado para viajar entre sus pasajeros. El gráfico muestra la cantidad de pasajes vendidos por la aerolínea en una semana. Y 1 800 1 600 1 400 s 1 200 e j a s 1 000 a P 800 600 400 200 0

L

Cantidad de pasajes

X M

M

b. ¿Qué tipo son los datos están representados? R:

c. De las personas con estudios universitarios, los hombres son más que las mujeres. ¿Es cierta esta afirmación? Justifica. R:

d. El porcentaje de mujeres con postgrado es mayor que el de los hombres con ese mismo nivel de estudios. ¿Es cierta esta afirmación? Justifica. R:

e. ¿En cuál de los dos grupos de encuestados existe una mayor diferencia entre la cantidad de personas con nivel de estudios básico y personas con nivel de estudios universitario? Justifica. R:

f. ¿Cuántas personas de cada sexo fueron encuestadas? R:

g. Señala dos datos relevantes y dos irrelevantes del

J

V

S

D

Días

a. ¿Qué cantidad de pasajes se vendió para el día miércoles? R:

b. ¿Para qué día la aerolínea vendió la mayor cantidad de pasajes? R:

c. ¿Para qué día la aerolínea vendió la menor cantidad de pasajes? R:

d. ¿Cuál es la diferencia entre la cantidad de pasajes vendidos para el sábado y el domingo? R:

e. Con respecto al día anterior, ¿para qué día hubo una mayor alza en la venta de pasajes? R:

f. ¿De cuántos pasajes fue esa diferencia? R:

enunciado del problema. R:

g. ¿Cuál fue el total de pasajes vendidos para la semana? R:

128


Sección

2

10 11

12

4

Analiza la información de cada problema marcando la necesaria y la irrelevante, luego resuelve.

1. El dueño de una librería le solicita a uno de sus empleados que resuma en un gráfico la cantidad de libros vendidos durante el primer semestre del año. El empleado realiza el gráfico en el computador y lo imprime, obteniendo:

Libros vendidos 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0

d. Con respecto al mes anterior, ¿qué mes presentó la menor baja de ventas? R: 2. En el colegio Emprendedores se realiza un torneo de fútbol, en el que participan siete equipos. Pedro anotó diez goles, Marcelo anotó cinco goles más que Pedro, Ignacio la mitad de goles que Javier y Javier marcó tres más que Marcelo.

a. ¿Quién fue el goleador del torneo? R: Enero Febrero Marzo

Abril

Mayo

b. ¿Quién anotó menos goles?

Junio

R:

a. ¿Cuántos libros se vendieron en mayo?

c. ¿Quiénes hicieron más de diez goles?

R:

R:

b. ¿En qué mes se vendieron alrededor de 4000 libros?

d. ¿Quiénes marcaron menos goles que Marcelo?

R:

R:

c. ¿En qué mes se vendió la mayor cantidad de libros?

e. ¿Quiénes hicieron menos de diez goles?

R:

3

R:

En cada caso crea un problema a partir del gráfico dado.

1.

42 % 10 % 25 % 23 %

2.

Comedia

Infantil

Terror

Acción

15 %

Población indígena 85 %

Problema:

Problema:

Chilenos

Revisando mis procesos Responde las siguientes preguntas sobre analizar la información dada en un problema. 1. Averigua qué significa tener la información necesaria y suficiente para resolver un problema.

2. ¿Es posible resolver un problema sin analizar la información dada? Si es así, explica cómo.

3. Explica paso a paso cómo organizaste la información del problema 2. b.


129

Lección

45

Propósito Comprender el concepto de percentil.

¿Qué es un percentil? Un percentil es una medida de posición que corresponde al valor de la variable que acumula determinado porcentaje de la población, es decir, bajo el valor que se encuentra una determinada parte de esta. Los percentiles son 99 valores (percentil 1 es el que acumula el 1% de la población, percentil 2 es el que acumula el 2% de la población, etc.) que dividen a la población en 100 partes iguales.


1. Explica cada uno de los conceptos.

P40: Divide los datos ordenados en 100 partes iguales y representa el 40 %.

a. P10: c. P80: d. P55: 2. Analiza cada afirmación con respecto a la tabla.

Luego, escribe V o F según corresponda y justifica las falsas. Tiempo de duración de ampolletas Tiempo (h) f F 150 10 10 200 25 35 250 21 56 300 19 75 350 20 95 400 45 140 V El 50% de las ampolletas duran encendidas menos de 300 horas.

130

P30 equivale a 250 horas.

b.

El 25 % de las ampolletas dura más de 350 horas.

c.

El 10 % de las ampolletas dura menos de 150 horas.

d.

Las ampolletas que duran menos de 186 horas pertenecen al P50.

e.

Las ampolletas que se encuentran entre los percentiles 25 y 75 duran encendidas entre 200 y 361 horas.

f.

3. Para cada una de las muestras, calcula el P10, P30, P60

y P80.

a. Edades de un grupo de asistentes a un concierto. 15 17 18 19 19 20 20 21 23 24 28 28 29 30 31 33 34 34 35 35 35 36 36 37 37 38 41 41 42 43 45 45 46 49 54 56

b. P25:

a.

Aplica

El P50 coincide con la mediana.


P10 =

P30 =

P60 =

P80 =

b. Coeficientes intelectuales de un grupo de estudiantes. 88 101 108 115 124

91 101 109 117 125

91 98 98 104 105 105 109 111 111 118 118 119 125 126 128

99 104 112 120 129

P10 =

P30 =

P60 =

P80 =

100 105 113 120

100 106 113 120

100 106 113 120

101 106 114 121

101 108 114 122

c. Altura, en metros, de los árboles de una parcela. 12222222222222 33333333333333 34444444444455 55 55 55 55 55 55 55 66666666666667 77777888888888 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 10 P 10 =

P30 =

P20 =

P50 =

P60 =

P80 =

d. En el contexto anterior, ¿qué significa el número que calculaste para P60? R:

Sección 10

4. Un estudio de salud bucal aplicado a 250 estudiantes

preguntas. Monto ($) 2500 3000 3500 4000 4500 5000

de un colegio arrojó los siguientes resultados. 012345 25

32

4

6. Analiza la información de la tabla. Luego, responde las


N.° de caries Porcentaje de estudiantes

11 12

22

16

3

2

a. Calcula e interpreta P79. R: b. Calcula e interpreta P25.

f

F 7 18 32 45 24 4

7 25 57 102 126 130

a. Calcula e interpreta el P30. R:

R: c. ¿Cuántas caries tienen los estudiantes que están por sobre P95? R: d. ¿Qué porcentaje de los estudiantes tiene 3 o más caries?

b. Calcula e interpreta el P50. R: c. ¿Cuántos jóvenes reciben mesada sobre el percentil 90? R: 7. Un pediatra realizó la siguiente tabla sobre la edad en

R: e. ¿Qué porcentaje de estudiantes tiene menos de 3 caries?

meses que tenían 50 niños que asistieron a su consulta al momento de caminar por primera vez. Meses Niños

R: 5. El gráfico muestra el puntaje obtenido en una prueba

por los estudiantes de un curso. Puntajes de la prueba 35

9 1

10 4

11 9

12 13 161 1

14 8

15 1

a. Calcula e interpreta P60. R: b. ¿Cuántos niños están bajo el P28? R: c. Un 50 % de los niños de la muestra del pediatra comenzó a caminar después de los 12 meses. ¿Es cierta esta afirmación? Justifica.

15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

a. Determina el percentil 10 e interprétalo. R: b. Determina el percentil 50. R: c. ¿Con qué valor se relaciona el P50? R: d. Si la nota 7,0 se puso en el percentil 90, ¿en qué puntaje se puso? R: e. Si la nota 4,0 se puso en 8 puntos, ¿a qué percentil corresponde? R:

R: d. ¿Cuántos niños comienzan a caminar después de los 13 meses? R: e. ¿Qué porcentaje de los niños caminan a los 10 meses? R: Desafío

Con los datos del problema 4 se determinó que el 5 % de los niños con más caries recibirán un tratamiento de fluor. ¿Cuántos niños recibirán el tratamiento? R:


131

Lección

46

¿Qué es un cuartil?

Propósito Comprender el concepto de cuartil.

Los cuartiles son medidas de posición que dividen la variable en estudio en 4 partes iguales. El cuartil 1 es el que acumula el 25 % de la población, el cuartil 2 acumula el 50 % de la población, y el cuartil 3 acumula el 75 % de la población.


Aplica

1. Explica cada uno de los siguientes conceptos.

Mediana: divide los datos ordenados en dos grupos de igual número de datos.

a. Percentil:

b. Cuartil:

c. Quintil:

4. Analiza la información de la tabla. Luego, responde las

preguntas. Tiempo de espera de clientes para ser atendidos I Tiempo (min) f F 1 5 150 150 2 10 220 370 3 15 100 470 4 20 60 530 5 25 20 550 a. ¿Cuáles son los quintiles de la distribución? R:

d. Decil:

b. Calcula D8 e interpreta su significado. R:

2. Escribe = o ≠, según corresponda. = D P 1

10

a. P75

Q3

b. Q c. Me

2

D4 D5

d. D3

P30

e. P80

D4

f. Q3

D4

g. P40

Q4

h. C2

D5

i. Me

P50

c. Calcula la mayor cantidad de tiempo que debe esperar el 35 % de los clientes que esperan menos. R: d. En general, ¿los clientes esperan mucho tiempo para ser atendidos? Explica. R: 5. Calcula los cuartiles para cada una de las muestras

que se presentan. a. Estatura (cm) de bebes nacidos en octubre en el hospital A. 42 55 47 50 48 44 52 47 44 50 52 52 48 46 53 50 48 46

3. Completa con las palabras “sobre” o “debajo”, según

corresponda. El 30 % de los datos queda por debajo de P30.

a. El 75 % de los datos queda por ________ de C . 1

Q1 =

b. El 80 % de los datos queda por ________ de D . 8

132


Q3 =

37 20 49 35 28 34 19 23 45 46 41 31 34 19 20 32 25 39

c. El 60 % de los datos queda por ________ de Q . 3 6 . d. El 40 % de los datos queda por ________ de D

Q2 =

b. Estatura (cm) de bebes nacidos en noviembre en el hospital B.

Q1 =

Q2 =

Q3 =

Sección 10

6. Con los datos dados en el gráfico, ¿cuál es la diferen-

cia entre el primer y el tercer cuartil? Cantidad de días dedicados a ir al gimnasio en una semana

grupo de estudiantes debe rendir una prueba. Según los resultados obtenidos, solo el 25 % de mayor rendimiento obtendrán este beneficio. Si los puntajes obtenidos fueron: 100 56 99 59 117 144

25 s 20 15 10 5

125 61 74 93 125 134

143 145 67 85 99 146

89 150 112 81 100 99

98 149 102 56 77 96

112 88 87 145 55 109

a. ¿Qué operación debes realizar para saber cuál fue el puntaje de corte?

0 0

1 Cantidad 2 3 de 4 días 5 6

7

R:

R: b. ¿Cuál es el puntaje de corte?

7. Una empresa realiza una encuesta para decidir en qué

programas pagar por publicidad. Los resultados de la encuesta se presentan a continuación. Si pagarán publicidad solo en los programas que estén en el cuarto cuartil, ¿en qué programas presentarán sus anuncios? Preferencia de TV Programas Frecuencia Dibujosanimados 1000 Teleseries 800 Musicales 600 Concursos 400 Noticiarios 200

R: c. ¿Cuántos estudiantes obtuvieron el beneficio de la beca de subvención escolar? R: d. Si se realiza un segundo llamado para los que no obtuvieron la beca pero estaban sobre el 50 % de los mejores puntajes, ¿cuántos estudiantes participarán del segundo llamado? R: 10. Analiza el gráfico. Luego, responde. s e t n a i d u t s

R:

25 20 e 15 e d10 d a 5 id t n 0 a

8. Las notas obtenidas por 30 estudiantes en una prueba

son las siguientes. 4,0 2,8 6,3 5,5 5,9

3,5 5,5 4,7 4,3 5,7

4,1 7,0 5,1 3,5 6,7

5,0 3,8 5,2 6,4 4,3

6,0 5,4 6,6 3,9 4,8

4,6 3,3 5,9 4,1 3,6

a. Si el 25 % de las mejores notas recibirán una bonificación especial, ¿cuántos estudiantes reciben esta bonificación? R: b. Si la calificación pertenece al primer cuartil, el estudiante deberá rendir una prueba recuperativa. ¿Cuántos estudiantes deben rendir dicha prueba? R:

4

9. Para obtener una beca de subvención escolar, un

Resuelve los siguientes problemas

a n o s r e p e d d a id t n a C

11 12

C

Edad de estudiantes taller de teatro

13 15 17 19 21 23 Edad

a. Determina Q1 e interpreta su valor. R: b. Determina Q2 e interpreta su valor. R: c. Determina Q3 e interpreta su valor. R: Desafío

Con información ¿cuál es lalaedad máxima del queproblema tiene un anterior, estudiante que pertenece al segundo cuartil?

R:


133

Lección

47

¿Cómo representar gráficamente los cuartiles?

Propósito Representar gráficamente cuartiles.

Para representar gráficamente los datos se puede utilizar un diagrama de caja con bigotes donde se muestra los valores mínimo y máximo, los cuartiles y la mediana o segundo cuartil. Recuerda que siempre debes trabajar con los datos ordenados de menor a mayor.

mediana Q3

Q1

Dato menor 1

2

Dato mayor 3

4

5

6

7

8

9


Aplica

1. En la tabla están los registros de la altura, en centíme-

tros, de los postulantes a un equipo de fútbol. Analiza los datos y responde. 164 167 178 188 176 179 169 175

160 178 155 167 182 175 172 171

178 190 192 177 178 158 178 165

185 181 178 168 169 168 170 165

172 170 169 185 169 168 173 177

159 175 163 169 175 178 169 175

2. Las edades de los integrantes de un grupo de scouts

son: 12 9 15 10 12

15 10 10 15 13

13 11 9 14 12

11 14 15 10 11

9 11 13 14 12

14 12 11 13 10

a. Representa en un diagrama de cajón los datos.

¿Cuál es el valor mínimo de la muestra? El valor mínimo de la muestra es 155 cm.

a. ¿Cuál es el valor máximo de la muestra? R: b. ¿Cuáles son los tres cuartiles de la muestra? Q1 = Q2 o mediana = Q3 =

c. Dibuja la caja y los bigotes

d. Si los postulantes aceptados están entre el primer y tercer cuartil, ¿cuántos no fueron aceptados? R:

134


b. Si el 50% mayor del grupo son troperos que pasarán a la ruta, ¿cuántos troperos serán promocionados? R: 3. La tabla muestra el número de llamadas realizas en un

día, por un grupo de personas. 5 9 7 12 3 4 111 5 18976 102 8 4

2 5 3

Sección 10

4. Identifica la información en cada diagrama de cajón.

a.

11 12

4

Resuelve los siguientes problemas. 6. Se decide que para poder participar en las olimpiadas

de matemática, se debe estar en el 25 % más alto en las notas de la asignatura. 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Mín. =

Las 30 notas del 8.° A se distribuyeron de la siguiente manera:

Máx. =

Q1 =

Q2 =

Q3 =

b. 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4 6.6 6.8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Mín. =

R:

Máx. =

Q1 =

a. ¿Cuál es la nota mínima para participar del equipo?

Q2 =

Q3 =

b. ¿Cuántos alumnos de este curso participarán? R:

c.

Las notas del 8° B son: 1

2

3

4

5

Mín. =

6

7

8

9

6,4 6,6 5,9 6,5 4,9

10 11 12

Máx. =

Q1 =

Q2 =

Q3 =

5. Evalúa si las proposiciones son verdaderas o falsas a

partir del diagrama. A

5,9 6,4 6,3 6,4 6,1

6,6 7,0 6,1 6,4 5,9

6,7 7,0 5,6 6,1 7,0

4,9 4,9 4,7 6,6 6,8

6,5 5,5 6,7 6,4 5,8

c. ¿Cuál es la nota mínima para participar del equipo? R: d. ¿Cuántos alumnos de este curso participarán?

B

a.

La muestra A y la muestra B tienen el mismo valor mínimo.

b.

La muestra A y la muestra B tienen el mismo valor para Q3.

c.

La mediana de la muestra A coincide con Q1 de la muestra B.

d.

Los dos grupos tienen la misma cantidad de datos.

e.

Ambos grupos tienen el mismo máximo.

f.

El rango intercuartil del grupo A es mayor que el rango intercuartil del grupo B.

g.

El grupo A tiene el doble de datos que el grupo B.

h.

El 25% de los datos que hay entre Q2 y Q3 en A es igual al 50% central del B.

R: e. ¿Cuántos estudiantes de ambos cursos irán a las olimpiadas? R: Desafío

Se encuesta a 24 personas en situación de calle para saber cuántos años llevan viviendo de esa forma. Los resultados se muestran en la tabla. 258634 745367 326453 687245 Construyendo un diagrama de cajón, se determinó que el 25 % que lleva más tiempo en situación de calle se llevarán a un hogar, y el 25 % que lleva menos tiempo se incluirán en un programa de empleo. ¿Cuántas personas se incluirán en cada programa de ayuda?

R:


135

Lección

48

¿Cómo construir diagramas de cajón usando un software?

Propósito Representar medidas de posición usando software.

Para representar datos utilizando un diagrama de caja con bigotes usaremos el software GeoGebra siguiendo los pasos que aparecen a continuación: Paso 1: Colocar la opción Hoja de cálculo en Vista. Paso 2: Escribir los datos en la planilla, escribiendo los decimales con punto. Paso 3: Seleccionar los datos, presiona el botón y elige la opción Análisis de una variable. Paso 4: Seleccionar Diagrama de caja en la pestaña que muestra la imagen.


Aplica

1. Representa los datos en un diagrama de cajón utili-

2. Representa los datos en un diagrama de cajón utili-

zando GeoGebra. Luego, escribe 3 conclusiones.

zando GeoGebra. Luego, escribe 3 conclusiones.

a. La estatura en centímetros de 25 individuos que participan de una evaluación nutricional.

a. Cantidad aproximada de horas al mes que realizan actividad física un grupo de personas.

164 168 171 155 159

156 150 163 168 172

167 159 164 177 157

164 174 180 175 176

179 166 167 180 178

Conclusión 1: El 50 % de los individuos tiene una estatura menor a 167 cm.

5 8 16 24

6 12 8 12

Conclusión 2:

Conclusión 3:

Conclusión 3:

5 7 15 8 11

15 6 4 13 9

20 19 20 18 6

12 5 18 16 13

3 8 10 7 10

15 11 9 17 15

12 6 4 10 19

13 18 15 8 14

0 4 2

3 51 2

4 20 6

Conclusión 1:

Conclusión 2:

Conclusión 2:

Conclusión 3:


8 24 8 8

40 26 12 16

20 35 16 18

24 38 24 16

36 22 32 16

b. Número de veces que asisten al dentista los hombres adultos en un año.

Conclusión 1:

Conclusión 3:

9 16 4 2

Conclusión 1:

Conclusión 2:

b. Cantidad de artículos por compra realizada en una caja rápida de un supermercado durante una hora de atención.

136

1 4 10 20

21 91

22 5 20

6

3 4 2

0 3 1

Sección 10

Resuelve los siguientes problemas. 3. En GeoGebra construye un diagrama de caja con

bigotes para los datos que aparecen a continuación. Luego, redacta conclusiones. Grupo 1:

4 personas tienen un nivel de glicemia basal que marcó valores desde 0 a 50. 11 personas tienen un nivel de glicemia basal que marcó valores desde 50 a 100. 30 personas tienen un nivel de glicemia basal que marcó valores desde 100 a 150.

11 12

4. En GeoGebra construye un diagrama de caja con

bigotes para los datos que aparecen a continuación. Luego, redacta conclusiones. Grupo 1:

12 personas envían o reciben diariamente entre 0 y 5 correos electrónicos. 18 personas envían o reciben diariamente entre 5 y 10 correos electrónicos. 15 personas envían o reciben diariamente entre 10 y 15 correos electrónicos. 15 personas envían o reciben diariamente entre 15 y 20 correos electrónicos.

5 personas tienen un nivel glicemia basal que marcó valores desde 150 ade 200.

Grupo 2:

Grupo 2:

25 personas envían o reciben diariamente entre 0 y 5 correos electrónicos.

1 persona tiene un nivel de glicemia basal que marcó valores desde 0 a 50. 17 personas tienen un nivel de glicemia basal que marcó valores desde 50 a 100. 13 personas tienen un nivel de glicemia basal que marcó valores desde 100 a 150. 9 personas tienen un nivel de glicemia basal que marcó valores desde 150 a 200. Grupo 3:

2 personas tienen un nivel de glicemia basal que marcó valores desde 0 a 50. 8 personas tienen un nivel de glicemia basal que marcó valores desde 50 a 100. 25 personas tienen un nivel de glicemia basal que marcó valores desde 100 a 150.

50 personas envían o reciben diariamente entre 5 y 10 correos electrónicos. 15 personas envían o reciben diariamente entre 10 y 15 correos electrónicos. 10 personas envían o reciben diariamente entre 15 y 20 correos electrónicos. Grupo 3:

4 personas envían o reciben diariamente entre 0 y 5 correos electrónicos. 16 personas envían o reciben diariamente entre 5 y 10 correos electrónicos. 12 personas envían o reciben diariamente entre 10 y 15 correos electrónicos. 4 personas envían o reciben diariamente entre

5 personas tienen un nivel de glicemia basal que marcó valores desde 150 a 200.

15 y 20 correos electrónicos. Grupo 4::

Grupo 4:

3 personas envían o reciben diariamente entre 0 y 5 correos electrónicos.

5 personas tienen un nivel de glicemia basal que marcó valores desde 0 a 50. 15 personas tienen un nivel de glicemia basal que marcó valores desde 50 a 100. 10 personas tienen un nivel de glicemia basal que marcó valores desde 100 a 150. 2 personas tienen un nivel de glicemia basal que marcó valores desde 150 a 200.

4

25 personas envían o reciben diariamente entre 5 y 10 correos electrónicos. 16 personas envían o reciben diariamente entre 10 y 15 correos electrónicos. 4 personas envían o reciben diariamente entre 15 y 20 correos electrónicos. Conclusión 1:

Conclusión 1: Conclusión 2: Conclusión 2: Conclusión 3: Conclusión 3:


137

49

Lección

¿Cómo comparar muestras usando medidas de posición?

Propósito Comparar poblaciones y muestras usando medidas de posición.

Para comparar muestras a través de un diagrama de caja, puedes comparar las medidas de posición representadas en cada uno y obtener conclusiones. Puedes guiarte por los siguientes pasos: Paso 1: Identificar valores mínimos y máximos y compararlos. Paso 2: Identificar los cuartiles Q1, Q2 y Q3 y compararlos.


1. Analiza el diagrama de caja con bigotes. Luego,

responde.

a. Identifica los valores mínimos y máximos y compáralos.

A

R: b. Identifica los cuartiles y compáralos.

B

R: 0

2

4

6

8

10 12 14 16 18 20

a. Identifica los valores mínimos y máximos y compáralos. Mínimo Máximo Rango

A 0 10 10

B 0 20 20

Aplica


responde. A

B 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32

b. Identifica los cuartiles y compáralos. A

B

Q1 Q2 Q3 R:


responde.

a. Identifica los valores mínimos y máximos y compáralos. R:

b. Identifica los cuartiles y compáralos. R:

c. ¿Puedes determinar el número de alumnos de cada curso?

A

d. Si los diagramas correspondieran a las distribuciones de las notas de dos cursos, ¿qué podrías

B

concluir? 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

138


R:

Sección 10

4. El siguiente diagrama representa la duración, en

minutos, de las atenciones en un centro de asistencia telefónica de un banco en tres sucursales diferentes.

en centímetros, de niños y jóvenes a los 10, 15 y 20 años de edad. Analiza la tabla. Luego, responde. Edad

10

15

20

P10

110

125

145

P20

115

130

150

P25

125

135

155

P40

130

145

160

P60

135

160

170

P75

140

165

180

P90 Promedio

145 133

175 150

185 165

A c u S

B C

0

5

10

15

20 25 30 Tiempo (min)

35

40

45

50

a. Identifica los valores mínimos y máximos y compáralos. A

4

5. La tabla muestra los datos que comparan la estatura,


l a s r u

11 12

B

C

a. ¿En qué edad se muestra una mayor variación entre la estatura mínima y máxima?

Q1

R:

Q2

b. ¿Qué podrías decir sobre las variaciones de las estaturas entre los 10 y 15 años?

Q3 b. Identifica los cuartiles y compáralos. A

B

R: C

Q1

c. ¿Qué podrías decir sobre las variaciones de las estaturas entre los 15 y 20 años?

Q2 Q3 c. Completa la tabla con comparaciones. Comparación entre las sucursales A B C

R: d. ¿Qué conclusiones puedes obtener? R: e. Utiliza GeoGebra para realizar un diagrama de caja y bigotes de los datos de la tabla. 6. El dueño de una marca quiere realizar un análisis en

d. Completa la tabla con diferencias. Diferencias entre las sucursales A B C

las tres sucursales que posee su marca en el país. Él desea saber cuántos productos llevan los clientes que compran en su tienda. A

B

e. ¿Cuál es el tiempo promedio de atención de la sucursal A?

C

R: f. ¿Cuál fue la duración de la llamada más larga de la sucursal B? R: ¿Cuál fue la duración de la llamada más corta de la g. sucursal C?

R:

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

6

a. ¿En qué sucursal compran más productos? R: b. ¿Cuál es el promedio de artículos comprados en cada tienda? R:


139

¿Cómo voy? Lee los recuadros de la izquierda y luego resuelve los ejercicios y problemas propuestos. Recuerda los percentiles son 99 valores que dividen a la población en 100 partes iguales. Al hablar del percentil 60 también podemos concluir que el 40 % (100 % – 60 %) de la muestra obtuvo la conclusión contraria.

Lecciones 45 y 46

La tabla muestra los rangos de edad en la que un grupo de mujeres compraron su primer vehículo.

Edad de las mujeres que compran su primer vehículo Edades Frecuencia [17, 22[ 6 [22, 27[ 16 [27, 32[ 11 [32, 37[ [37, 42[ [42, 47[ 1

El diagrama de caja divide la muestra en cuatro sectores (dos bigotes y dos partes que forman la caja), correspondiendo cada uno al 25 % de los datos. Recuerda que el valor mínimo y máximo corresponde al menor y mayor valor que toma la variable en la muestra, respectivamente.

8 5 4

Calcula: a. Me =

d. P10 =

g. Q1 =

b. Q2 =

e. Q3 =

h. P30 =

c. P90 =

f. P60 =

i. P80 =

Lecciones 47 y 48 2

Identifica el valor mínimo y el máximo. R:

3

4

Realiza un diagrama de caja y bigotes para los datos del problema anterior.

Escribe 2 conclusiones: a. b.

Recuerda que para obtener conclusiones, debes identificar las informaciones correspondientes en cada una de las muestras y luego compararlas.

Lecciones 49 5

Analiza los diagramas. Luego, escribe 3 conclusiones. A B C 0

a. b. c.

140


1

2

3

4

5

6

7

8

Sección 10

11 12

4

Desafíos de integración Resuelve los siguientes problemas que involucran medidas de posición. 1. Analiza la siguiente tabla. Luego, responde.

La tabla indica la cantidad de viajes que ha realizado un bus en una semana.

Viajes semanales Día Cantidaddeviajes Lunes 10 Martes 15 Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

12 13 16 17 17

2. Analiza la información de la tabla. Luego, responde.

Deporte favorito de alumnos del 8.° básico Deporte Cantidad de estudiantes Fútbol 44 Voleibol 28 Tenis 15 Basquetbol 18 Natación 21 a. Determina los siguientes valores Q1 = Q2 = Q3 = b. Dibuja la caja y los bigotes, según corresponda.

a. ¿Cuál es el promedio de los viajes hechos esa semana?

R: b. ¿Cuál es la moda de los datos entregados en la tabla? ¿Qué representa ese valor?

R: c. ¿Cuál es la mediana? ¿Qué representa?

R:

R: 3. Analiza la información. Luego, responde.

d. ¿Cuál es el valor mínimo? ¿Qué representa?

R: e. ¿Cuál es el valor máximo? ¿Qué representa?

Se encuestó a 45 jefes de hogar por el gasto mensual en gas y se obtuvieron las siguientes cifras (en miles de pesos): 35; 24; 15; 28; 37; 42; 29; 43; 17; 20; 21;

R: f. Calcula los cuartiles y escribe sus valores. Q1 =

c. Escribe 2 conclusiones:

Q2 =

Q3 =

g. Construye un gráfico de caja y bigotes para los datos.

35; 36; 18; 41; 45; 30; 33; 56; 38; 36; 54; 37; 20; 49; 35; 28; 34; 19; 23; 45; 46; 41; 31; 34; 19; 20; 32; 25; 39; 27; 43; 53; 19; 23.

a. Construye una tabla de frecuencias usando intervalos de amplitud 5 para agrupar los datos. b. Determina los siguientes valores Q1 =

Q2 =

Q3 =

c. Dibuja la caja y los bigotes, según corresponda. h. Escribe 3 conclusiones a partir del gráfico.

R:


141

Resolución de problemas Para resolver un problema puedes usar una o más de una de las estrategias usadas anteriormente:

Estrategia: Elegir una estrategia específica. En cada sección del texto se ha presentado una estrategia cuya lista se muestra en el recuadro. Elige la que consideres más conveniente para la resolución de cada problema.

1

•

Hacer un diagrama

•

Encontrar un patrón

•

Ensayo y error sistemático

•

Plantear una ecuación o inecuación

•

Usar modelos matemáticos

•

Identificar sub metas

•

Discriminar la información dada

•

Aplicar procesos reversibles

Resuelve los problemas usando alguna de las estrategias listadas anteriormente. Indica cuál estrategia elegiste.

1. Calcula los percentiles pedidos para las edades de un

equipo de fútbol. 15 20 16 24

14 21 18 19

13 15 16 23

18 16 14 15

27 28 17 16

22 21 20 21

P10 =

P30 =

P60 =

P80 =

19 25 19 21

23 20 15 22

14 23 18 19

¿Qué estrategia utilizaste para resolver el problema?

R:

3. Se necesita seleccionar al 25 % más bajos de los

promedios finales de dos cursos de 28 alumnos para realizar sesiones de reforzamiento. Los promedios finales del 8.° A son: 4,8 6,8 5,7 6,1 6,3 6,4 6,2 6,0 6,9 5,6 5,7 6,8 6,4 5,6 6,3 5,7 4,9 6,4 6,0 5,9 5,1 6,3 6,1 6,0 6,2 6,5 5,8 5,5 a. ¿Cuál es la nota máxima del grupo de reforzamiento?

R:

2. Analiza el gráfico. Luego, responde. Cantidad de juguetes por niño 25 20 15 10 5 0

s o iñ n e d d a id t n a C

b. ¿Cuántos alumnos de este curso van a reforzamiento? R: La distribución de las notas del 8.° B es:

x 1

2 3 4 5 Cantidad de juguetes

a. Determina Q1 e interpreta su valor. 4.5

R: b. Determina Q2 e interpreta su valor. R: c. ¿Cuál es la cantidad máxima de juguetes que tiene un niño que pertenece al primer cuartil?

5

5.5

6

6.5

7

7.5

c. ¿Cuál es la nota máxima del grupo de reforzamiento? R: d. ¿Cuántos alumnos de este curso van a reforzamiento?

R: d. ¿Qué estrategia utilizaste para resolver el problema? R:

142


R: e. ¿Qué estrategia utilizaste para resolver el problema? R:

Sección 10

2

11 12

4

Resuelve los siguientes problemas. Si resuelves alguno utilizando una estrategia diferente a las indicadas al comienzo, indica su nombre.

1. Representa en un diagrama de cajón las edades de las

3. Analiza los siguientes diagramas de cajón. Luego, escri-

primeras 30 personas que entran a una tienda: 11 19 25 18 15

18 19 20 21 17

16 14 11 17 18

11 18 16 15 25

9 17 15 16 14

be 3 conclusiones.

14 12 11 13 10

Grupo A

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Grupo B

2. Representa en un diagrama de cajón el número veces que

un grupo de personas han ocupado su seguro complementario de salud. 0 3 53074 21345 02143

4

8

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Al comparar los grupos A y B se puede concluir que: Conclusión 1:

Conclusión 2:

Conclusión 3:

3

Para cada situación, plantea una pregunta y la estrategia que consideras adecuada para resolverla.

1. Valor mínimo = 5, valor máximo = 85

2. Valor mínimo = 5, valor máximo = 85

Q1 = 30, Q 2 = 50 y Q 3 = 75.

Q1 = 30, Q 2 = 50 y Q 3 = 75.

Pregunta:

Pregunta:

Estrategia:

Estrategia:


Responde las siguientes preguntas sobre analizar la información dada en un problema. 1. ¿Crees que es conveniente conocer diferentes estrategias para resolver problemas? ¿Por qué?

2. ¿Es posible resolver un problema sin pensar una estrategia para resolverlo?

3. Explica paso a paso cómo resolviste el problema 1.3


143

50

Lección

Propósito Comprender y explicar el principio multiplicativo.

¿Qué es el principio multiplicativo? El principio multiplicativo es una técnica de conteo para determinar la cantidad de maneras en que puede realizarse una actividad. Si la actividad se realiza en varios pasos, el primer paso se puede realizar , por ejemplo, de “n” maneras diferentes, el segundo de “m” maneras diferentes y así sucesivamente. Es así como la actividad completa se puede realizar de n • m •… maneras distintas.

El diagrama de árbol nos permite visualizar gráficamente el principio multiplicativo.


1. Determina si las siguientes afirmaciones con respecto

al experimento, son verdaderas o falsas. Escribe V o F, según corresponda. El experimento consiste en extraer una carta de un naipe inglés y anotar su color, luego extraer una carta de un naipe español y anotar su pinta, y finalmente lanzar una moneda y anotar si se obtiene cara o sello. (Recuerda que el naipe inglés tiene 52 cartas y el español tiene 40) El experimento tiene 3 resultados posibles.

F a.

La probabilidad de que la primera carta sea roja es 0,5.

b.

5 de los resultados del experimento contienen una carta con espadas.

c.

Se puede utilizar un árbol de tres niveles para representar los resultados del experimento.

d.

Aplica

3. Un experimento consiste en extraer una bolita de

cada una de tres urnas distintas. La primera contiene una bolita roja, una café y una azul; la segunda, una blanca y una verde; y la tercera, una naranja, una negra y una morada. a. ¿Cuántos resultados posibles tiene este experimento? R: b. Representa el experimento en un diagrama de árbol y compara la cantidad de ramas finales con el resultado del ejercicio anterior.

Hay 8 resultados donde una de las cartas es roja.

e.

Hay ocho resultados donde la moneda sale cara.

f.

Hay 2 resultados posibles para anotar el color al sacar una carta de un naipe inglés.

g.

Existen 4 resultados favorables si la primera carta es negra.

h.

En total hay 52 • 40 • 2 resultados posibles.

c. ¿Cuántos resultados del experimento contienen una bolita roja? R: d. ¿Cuántos resultados del experimento contienen una bolita verde? R:

2. Se tienen los dígitos 1, 2, 3 y 4.

¿Cuántos números de 3 dígitos sin repetir se pueden formar? 4 • 3 • 2 = 24 a. ¿Y cuántos se podrían formar si los dígitos se pueden repetir? R:

144


e. ¿Cuántos resultados del experimento contienen una bolita café? R:

Sección 10


a. En una sala de cine, una fila tiene ocho asientos. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden distribuir ocho personas sentadas en la fila? R: b. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar las letras de la palabra AMOR?

11

12

4

Los siguientes problemas resuélvelos utilizando un diagrama de árbol. i. Margarita quiere comprar una tenida de invierno compuesta de un abrigo, un par de botas y un gorro. Si está en una tienda que le ofrece cinco tipos de abrigos, seis tipos de botas y ocho tipos de gorros, ¿entre cuántas tenidasdiferentes deberá elegir?

R: c. En un café se ofrecen cinco tipos de sándwiches, tres tipos de bebestibles y seis tipos de pasteles. ¿Cuántos pedidos diferentes que contengan los tres productos se pueden hacer? R: d. Se tienen siete colores disponibles de telas para hacer un banderín. Si el banderín será de tres franjas de colores distintos, ¿cuántos banderines diferentes se pueden hacer? R: e. Para definir al ganador de un partido de fútbol, cada equipo debe escoger a tres jugadores para patear los penales. Uno de los entrenadores dividió a su equipo en tres grupos, de cinco, tres y seis jugadores, y de cada grupo escogerá a un jugador. ¿Cuántos tríos diferentes puede formar con integrantes de los tres grupos?

R: j. Para un tratamiento de belleza Luisa debe escoger una crema de rostro entre seis marcas; unacrema de cuerpo entre tres marcas; una crema de manos entre siete marcas; y una crema de pies entre tres marcas. ¿De cuántas maneras diferentes puede escoger una crema de cada tipo?

R: f. En las elecciones de directiva de un club, hay tres cargos por elegir: parapresidente hay 4 candidatos, para secretario hay 3 y para tesorero se han postulado 5 miembros del club. ¿Cuántas directivas diferentes podrían ser electas? R: g. Para ir de la ciudad A a la B, se puede viajar en avión, bus o tren; y para ir de la ciudad B a la C, se puede viajar en barco o avión. ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de la A a la ciudad C pasando por la B? R:

R: k. Una clave debe hacerse con tres letras y tres números, de modo que sea número – número – número – letra – letra - letra. Si se pueden utilizar las 27 letras del alfabeto y los 10 dígitos, ¿cuántas claves diferentes se pueden construir si no se pueden repetir letras ni números?

h. Se tienen los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Si no se pueden repetir los dígitos, ¿cuántos números pares de tres dígitos se pueden formar? R: Si se pueden repetir losdígitos, ¿cuántos números pares de tres dígitos se pueden formar? R: R:


145

Lección

51

¿Cuál es la cardinalidad de un espacio muestral?

Propósito Utilizar el principio multiplicativo para calcular la cardinalidad de un espacio muestral.

Para determinar la cardinalidad del espacio muestral de un experimento aleatorio, podemos utilizar el principio multiplicativo y representarlo a través de un diagrama de árbol. Un experimento aleatorio se dice secuencial cuando involucra dos o más experimentos aleatorios, por ejemplo, lanzar una moneda y luego un dado, o lanzar dos veces una moneda. Este tipo de experimento se puede representar por medio de un diagrama de árbol o una tabla, donde los resultados del espacio muestral corresponden a pares ordenados (en el caso de que sean dos experimentos los que se secuencien).


Aplica

1. Determina la cardinalidad del espacio muestral de los

2. Completa la tabla con los posibles resultados de los

experimentos, construyendo un diagrama de árbol.

experimentos. Luego, responde.

El experimento consiste en lanzar una moneda y ver si se obtiene cara o sello, luego extraer una carta de un naipe inglés y ver su pinta.

Lanzar dos dados de seis caras.

C

S

La cardinalidad del espacio muestral es 8 elementos. a. El experimento consiste en lanza un dado de seis caras, no cargado, y luego lanzar un dado de 4 caras, no cargado.

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (2,1)

2 (1,2)

3

4

5

6

a. ¿Cuál es la cardinalidad del espacio muestral? R: b. ¿Qué multiplicación permite calcular esta cardinalidad con el principio multiplicativo? R: c. ¿Qué relación existe con las potencias? R: b. El experimento consiste en extraer una bolita de una urna cerrada, que contiene una bolita azul, una roja, una amarilla y una verde. Luego, lanzar una moneda obteniendo cara o sello.

R: 3. Completa la tabla con los posibles resultados del

experimento “lanzar dos dados de cuatro caras y sumar sus puntos”.

1 2 3 4 R:

146


1 2 3

2 3

3

4

Sección 10

11

12

4

Resuelve los siguientes problemas 4. Marta prepara su bolso para ir a la playa. Ella lleva 3

pantalones (negro, azul y blanco), 5 poleras (blanca, roja, negra, celeste y rosada), 2 chalecos (negro y morado), un par de zapatillas y un par de sandalias. a. ¿Qué método utilizarías para determinar la cardinalidad del espacio muestral? R: b. ¿De cuántas formas posibles puede vestir Marta utilizando toda la ropa de su bolso?

d. Si Pedro quiere que la contraseña comience con la letra a y termine con la letra u, ¿cuántas opciones posibles tiene para elegir? R: e. Si Pedro quiere que la contraseña comience con la letra e y termine con la letra i, y contenga solo números impares, ¿cuántas opcionesdiferentes puede obtener? R:

R: c. Construye el diagrama de árbolcorrespondiente.

6. En un concurso de azar una persona debe lanzar una

ruleta para saber de qué urna debe sacar una bolita que indicará el premio que ganará. En cada urna hay 3 bolitas con las letras no obtenidas al lanzar la ruleta. Si al sacar una bolita al azar, se obtiene una bolita A la persona gana una tablet. Si se obtiene una bolita B, gana un celular. Si obtiene una bolita C gana $ 30 000 pesos y si obtiene una D pierde. C B A

d. Si Marta decide utilizar pantalón negro y zapatillas, ¿cuántas tenidas cumplen con estas opciones?

D

D

A B C

C

D

A

B

R: e. Si Marta quiere usar pantalón azul y polera blanca, ¿cuántas opciones tiene paraescoger? R: 5. Pedro quiere saber cuántas contraseñas alfanuméricas

distintas de cinco caracteres puede formar utilizando los dígitos (0 al 9) y las vocales. La única condición es que la contraseña debe comenzar y terminar con una vocal diferente y los caracteres restantes son números distintos. a. ¿Qué multiplicación permite calcular esta cardinalidad con el principio multiplicativo? R: b. ¿Cuántas contraseñas diferentes, que cumplan las condiciones, se pueden formar? R: c. Si Pedro quiere que su contraseña tenga solo números pares, ¿cuántas contraseñas distintas puede formar?

a. ¿Cuántas combinaciones posibles existen? R: b. ¿Cuántas opciones favorables existen para que una persona gane un tablet? R: c. ¿Cuáles son? R: d. ¿Cuántas opciones favorables existen para que una persona gane un celular? R: e. ¿Cuáles son? R: f. ¿Cuáles son las opciones para que pierda? R: g. ¿Cuáles son las opciones para que gane algo? R:

R:


147

Lección

52

¿Cómo calcular probabilidades usando el principio multiplicativo?

Propósito Utilizar el principio multiplicativo para calcular probabilidades.

Para calcular la probabilidad utilizando el principio multiplicativo, calculamos la probabilidad de que ocurra un suceso A y un suceso B1 multiplicando las 1 probabilidades de cada rama que forma el camino que nos permite llegar al suceso del que se desea averiguar la probabilidad: P(A ) • P(B1). Si existen más 1 caminos con la probabilidad pedida, estos se van sumando.


Aplica

1. En una urna hay 3 bolitas azules, 4 bolitas rojas,

2. Se lanza un dado de seis caras enumerado del 1 al 6. y

2 bolitas blancas, 5 bolitas negras y 2 bolitas verdes. Se extraen dos bolitas de la urna al azar, una primero y luego la otra, sin devolver la bolita extraída. Construye un diagrama de árbol para representar la situación anterior. AV

AVRB

R

NAVRB

Luego un dado de 4 caras enumeradas del 1 al 4. a. Representa en un diagrama de árbol todas las combinaciones posibles.

BN

NA VR BNA VR BN AVRB

N

a. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita azul y luego una bolita verde? R: b. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos bolitas blancas consecutivas? R: c. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolita negra y luego una roja? R: d. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolita roja y luego una verde? R: e. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolita blanca y luego una azul? R: f. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolita blanca y luego una roja? R:

148


b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener en ambos lanzamientos números pares? R: c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener en ambos lanzamientos números primos? R: d. ¿Cuál es la probabilidad de que al sumar los números obtenidos en ambos lanzamientos sea una cifra mayor que 5? R: e. ¿Cuál es la probabilidad de que al sumar los números obtenidos en ambos lanzamientos sea una cifra menor que cuatro? R: f. ¿Cuál es la probabilidad de que al sumar los números obtenidos en ambos lanzamientos sea una cifra mayor que cuatro? R:

Sección 10

Resuelve los siguientes problemas Analiza cada uno de los experimentos aleatorios y calcula la probabilidad pedida en cada caso. 3. Al comprar un helado, Margarita debe elegir si lo

quiere en cono o en vaso; si lo desea de frutilla, vainilla o mixto, y si lo quiere bañado en chocolate, con una galleta o con chispas. ¿Cuál es la probabilidad de que Margarita tome un helado en cono, de frutilla y bañado en chocolate? R:

11

12

4

c. ¿Cuál es la probabilidad que ocurra el suceso B, luego el suceso C? R: d. ¿Cuál es la probabilidad que ocurra el suceso C, luego el suceso A y por último el suceso B? R: e. ¿Cuál es la probabilidad de que no ocurra el suceso A? R:

4. La probabilidad de que una ampolleta de cierta caja

falle es de 0,5. Si cada caja contiene 15 ampolletas ¿cuál es la probabilidad de que una de ellas fallen? R:

10. En un casino, venden un menú completo que incluye

una ensalada, un acompañamiento, una proteína y un jugo. Las opciones son:

5. Se lanza una moneda, luego un dado de 4 caras y

finalmente se extrae una carta de un naipe inglés. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda muestre sello, el número del dado sea 3 y la carta sea roja?

Ensalada Acompañamiento Proteína

Jugo

Lechuga Tomate Apio

Piña Melón

R: 6. Una repisa contiene siete libros de historia y siete

de matemática. Si se extraen seis libros al azar y se registra el tipo, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente cinco de ellos sean de matemática? R: 7. ¿Cuál es la probabilidad de formar con las vocales la

combinación aeoiu, seleccionándolas al azar? R: 8. ¿Cuál sería la probabilidad de formar la misma

combinación si las vocales se pueden repetir? R: 9. Se saca al azar una carta de un mazo de 52 cartas

(13 corazones, 13 picas, 13 diamantes y 13 tréboles). Si se tiene el suceso A: sacar una carta de trébol, el suceso B: sacar una carta roja, y el suceso C: sacar una A. Si al sacar una carta esta no se devuelve al mazo. a. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el suceso A y luego el suceso B? R: b. ¿Cuál es la probabilidad que ocurra el suceso A, luego el suceso C? R:

Arroz Puré Fideos Papasfritas

Vacuno Pollo Atún Huevos

a. ¿Cuál es la cardinalidad del espacio muestral de todas las combinaciones del menú posibles? R: b. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona escoja al azar un menú que contenga arroz como acompañamiento? R: c. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona escoja al azar un almuerzo que contenga fideos, pollo, lechuga y jugo de piña? R: d. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona escoja al azar un almuerzo que no contenga vacuno ni tampoco ensalada de tomate? R: e. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona escoja al azar jugo de melón, ensalada de apio, puré y vacuno? R: f. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona escoja al azar un menú que contenga atún? R:


149

¿Cómo voy? Lee los recuadros de la izquierda y luego resuelve los ejercicios y problemas propuestos. Recuerda que el diagrama de árbol es una técnica que permite obtener una visión del conjunto de los casos posibles en un experimento.

Lección 50 1

En una pastelería se ofrecen cuatro tipos de tortas (selva negra, tres leches, panqueque naranja y durazno-crema), tres tipos de jugos naturales (melón, piña y frutilla) y 2 tipos de sándwich (pollo-queso o napolitano). ¿Cuántos pedidos diferentes que contengan los tres productos se pueden hacer? a.

Resuelve el problema construyendo un diagrama de árbol o una tabla.

Lección 51 Recuerda que el espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento. Por ejemplo, al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Un suceso es un subconjunto del espacio muestral, por ejemplo, que salga un número impar.

b. Escribe todas las combinaciones posibles de pedidos que contengan los tres productos.

c. ¿Cuál es la cardinalidad del espacio muestral?

R: d. ¿Cuál es la multiplicación que permite encontrar la cantidad de pedidos posibles? R:

__

Recuerda que la Regla de Laplace es: P(A) =

Casos favorables Casos posibles

Lección 52

e. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona al comprar tres productos estos sean torta de selva negra, juego de melón y un sándwich de pollo-queso?

R: f. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona escoja jugo de piña, sándwich napolitano y torta de tres leches?

R: g. Si una persona es alérgica a la piña, ¿cuál es la probabilidad de que al escoger un menú al azar este no tenga jugo de piña?

R: h. Si una persona pide al garzón que escoja las 3 opciones al azar, ¿cuál es la probabilidad que le toque torta de panqueque naranja? R:

150


Sección 10

11

12

4

Desafíos de integración Resuelve los siguientes problemas que involucran el principio multiplicativo. 1.

b. ¿Cuál es la cardinalidad del espacio muestral?

R:

Analiza el dibujo Luego, realiza las actividades.

c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara – cara – cara?

Si se extrae una de estas bolitas al azar: 5

R:

3

1 4 8

d. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos 2 sellos?

6

R: 7

2

e. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara – sello – cara, en ese orden?

a. ¿Cuál es el espacio muestral del experimento?

R:

R:

f. ¿Cuál es la probabilidad de obtener a lo más dos caras?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bola esta tenga registrado un número múltiplo de 2?

R: 3.

R: c. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bola y que esta sea de color más oscuro?

R:

El experimento consiste en extraer una carta de un naipe inglés y anotar su pinta, luego lanzar un dado enumerado del 1 al 6 y anotar su número. a. Construye un diagrama de árbol para representar la situación.

d. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolita y tenga registrado un número primo?

R: e. Si se extraen dos bolitas al azar, con reposición, ¿cuál es la probabilidad de que la primera par y la segunda sea un número primo?

R: f. Si se extraen dos bolitas al azar, con reposición, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea un número menor que 5 y la segunda sea menor de 3?

R: 2.

Si una persona lanza una moneda tres veces. a. ¿Cuál es el espacio muestral del experimento?

b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un diamante y un número mayor que 3?

R: c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una carta de una pinta negra y un número par?

R: d. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un corazón y luego un número 6?

R: e. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una carta de color rojo y un número primo?

R: f. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un trébol y un cinco?

R:


151


Estrategia: Usar un problema más simple Una manera de resolver un problema es primero resolver un problema más simple para identificar el procedimiento y luego, aplicarlo a problemas de dificultad más elevada.

1

•

•


•


•


Resuelve el problema tratando de simplificarlo primero.

1. Si se lanza 4 monedas al azar. ¿Cuál es la cardinalidad

d. Resuelve el problema

del espacio muestral? a. ¿Has resuelto un problema similar a este?

R: b. ¿Comprendes la forma de resolución del problema?

R: c. ¿Qué método utilizaras?

3. Calcula la probabilidad

para llegar a cada uno de los destinos del mapa.

A B C

R: D

d. Resuelve el problema.

E a. ¿Has resuelto un problema similar a este?

R: b. ¿Comprendes la forma de resolución del problema? R: c. ¿Qué método utilizarás? 2. Si se lanzan dos dados de seis caras, ¿cuál es la

probabilidad de que la suma de sus puntos sea un número mayor que 3?

R: d. Resuelve el problema

a. ¿Has resuelto un problema más simple similar a este?

R: b. ¿Comprendes la forma de resolución del problema?

R: c. ¿Qué método utilizaras?

R:

e. ¿Cuál de los trayectos tiene la menor probabilidad de tránsito?

R: f. ¿Qué camino escogerías tú?

R:

152


12

4


153

Sección 10

2

11

Resuelve los siguientes problemas utilizando el método de simplificar el problema u otra estrategia que te resulte adecuada. a. Construye un diagrama de árbol para el lanzamiento de un dado de cuatro caras y una moneda.

d. Se quiere crear una contraseña numérica de seis cifras, con los dígitos del 0 al 9. ¿De cuántas maneras posibles se pueden distribuir los dígitos para crear el máximo de contraseñas?

R: e. Se lanza dos veces un dado de seis caras, ¿cuál es la probabilidad de que la diferencia entre los números de sus caras sea mayor que cero?

R: f. Se lanza dos veces un dado de seis caras, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los números de sus caras sea un par o un número primo?

b. Al lanzar una moneda, luego un dado de seis caras enumeradas del 1 al 6 y por último un dado de 4 caras, ¿cuál es la multiplicación que permite determinar la cardinalidad del espacio muestral?

R:

R:

g. Se lanza dos veces un dado de seis caras, ¿cuál es la probabilidad de que se obtenga un número primo y luego un número impar?

c. Al lanzar una moneda 5 veces, ¿cuál es la cardinalidad del espacio muestral?

R:

R:

3

Con el contexto entregado, inventa un problema que se pueda convertir primero en otro más fácil. Luego, compártelo con tus compañeros y compañeras.

a. Contexto: Lanzar una moneda y sacar una carta y

b. Contexto: Extraer de una urna con bolas

anotar su pinta. Inventa un problema:

enumeradas del 1 al 10 y lanzar un dado de seis caras. Inventa un problema:

Inventa un problema más simple: Inventa un problema más simple:

Revisando mis procesos Responde las siguientes preguntas sobre la estrategia de dibujar un diagrama. 1. ¿Utilizaste la misma estrategia en todos los problemas? Si no fue así, ¿por qué?



¿Qué aprendí? I. Resuelve los siguientes ejercicios. 1. El gráfico las edades de un grupo de 200 personas.

a. ¿En qué intervalo se encuentran los quintiles de la distribución? R:

Preguntas correctas de 52 estudiantes de octavo básico en un ensayo SIMCE

b. ¿En qué intervalo se encuentra el D8? R:

60 - 74 8 % 0 - 14 14 % 45 - 59 17 % 15 - 29 23 %

0 - 14 15 - 29

c. Calcula la mayor cantidad de tiempo que debe esperar el 35 % de los clientes que esperan menos. R:

30 - 44 45 - 59

30 - 44 38 %

d. En general, ¿los clientes esperan mucho tiempo

para ser atendidos? Explica. R:

60 - 74

a. ¿Cuántos personas son mayores de 14 años? R: b. ¿Cuál es el promedio de la edad del grupo de personas? R:

4. Hay 8 botellas de jugo que no tienen etiqueta pero se sabe que 3 son de naranja y el resto de papaya. Jaime prefiere el jugo de papaya, si se escoge una botella al azar, ¿cuál es la probabilidad que elija una de jugo de papaya?

R:

c. ¿En qué intervalo de edad se encuentra la moda? R: 2. Construye un diagrama de caja con la información de la tabla.

5. En una caja hay 5 fichas de dominó que tienen los siguientes números de puntos: 3 – 4, 6 – 1, 5 – 5, 2 – 5 y 1– 5. Si se elige 1 de ellas, ¿cuál es la probabilidad que sume 7 puntos?

R: Estatura (cm) de bebés nacidos en octubre en el hospital A 42 - 55 - 47 - 50 - 48 - 44 - 52 - 47 - 44 - 50 - 52 52 - 48 - 46 - 53 - 50 - 48 - 4 6 - 52 - 48 - 50

6. La figura representa un dado de cuatro caras

numeradas del 1 al 4.

2 1

4

a. Si el experimento es lanzar dos veces el dado, ¿cuál es el espacio muestral de él? R: 3. Analiza la información de la tabla. Luego, responde las preguntas. Tiempo de espera de clientes para ser atendidos i

1 2 3 4 5

154

Tiempo (min)

]0,5] ]5,10] ]10,15] ]15,20] ]20,25]

f

F

150 220 100 60 20


150 370 470 530 550

b. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan dos números iguales? R:

4 Tiempo de conexión a internet

II. Resuelve los siguientes problemas 1. El experimento es sacar una bolita al azar de una caja.

1

2

4,0 3,5 3,0 ) h ( 2,5 o p 2,0 m e i T 1,5 1,0 0,5 0,0

Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

Sábado Domingo

Día

2. ¿Qué valor NO corresponde a la mediana?

A. P50

3

4

a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bola blanca en cada caso? R: b. ¿Cuál caja elegirías para tener mayor opción de obtener una bolita negra? Justifica R: c. De la caja 4 puedes sacar o poner bolitas blancas o negras. Si quieres tener la misma probabilidad de sacar una bolita negra que en la caja 3, ¿cuántas debes poner o sacar y de qué color? R: 2. Se tienen 3 cajas con bolitas, en cada una de ellas hay una bolita roja y el resto son negras. El número de bolitas son las siguientes: Caja A: 10, Caja B: 100 y Caja C: 1000 ¿De cuál caja es mayor la probabilidad de escoger una bolita roja?

R: 3. En una bolsa hay 3 fichas rojas, 2 verdes y 5 fichas azules. El experimento es sacar dos fichas, dibuja el diagrama de árbol correspondiente. III. En las siguientes preguntas marca la opción correcta. 1. ¿Qué día Pablo estuvo más tiempo conectado a internet?

A. Lunes. B. Martes. C. Sábado. D. Domingo.

B. D5 C. C3 D. Q2 3. El rango de los datos 6, 4, 8, 10, 3, 2, 4, 5, 6, 4 es:

A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 4. ¿Cuál es el espacio muestral al lanzar un dado de seis caras?

A. E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} B. E = {1, 3, 5} C. E = {2, 4, 6} D. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 5. ¿Qué significa P65?

A. Significa que el 65 % de la muestra se ubica bajo su valor. B. Significa que el 35 % de la muestra se ubica bajo su valor. C. Significa el porcentaje de la muestra que se ubica bajo el valor 65. D. Significa el porcentaje de la muestra que su ubica sobre el valor 65 6. Una urna contiene 3 bolitas azules, 2 rojas, 2 verdes y 1 amarilla. Si la probabilidad de extraer una bolita de cierto color es 0,125, ¿a qué color corresponde la bolita extraída?

A. Azul. B. Roja. C. Verde. D. Amarilla.


155

Solucionario g. 130 • 290 = 37 700 ladrillos aproximadamente. Son

UNIDAD 1

exactamente 37 859 ladrillos.

Sección 1

h. $ 866 250 i. 852 m

Lección 1 (páginas 6 y 7)

j. 27 °C

1.

a. –4000

k. 3 horas 40 min

b. –468

l. 306 cm, 2448 cm, –918

c. –72

Desafío.

Se hacen 13750 bombones en 1 semana. Se perdió

d. 63

$ 63 750.

e. –99 000 f. 0


g. 0

1.

h. 40 401

a. –6

i. 23456

b. 0

j. –1 000 000

c. 6

k. – 30

d. –3 e. –2

2.

a. 8

f. –11

b. 12

g. 26

c. –1378

h. 5

d. –1378

i. 1

e. –8

j. –1

f. –40

k. –29

g. –12

l. 1

h. 101

2.

i. –1

a. –10

j. 7

b. –63

k. –10

c. –195 d. 12

3.

a. –34

b. 29

c. –43

e. –13

d. 6

f. –100

4.

a. |–170| • 10 = 170 • 10 = 1700

g. 0

b. (18 + (–20)) • 10 = (–2) • 10 = –20

h. –2

c. 0 • (–45) = 0

i. 221 j. 1

5.

a. –15

c. 154

e. –8

b. 120

d. 0

f. 72

l. –144 3.

6.

a. – $ 42 500

a. –625

b. –12°

b. –729

c. –12 m

c. –16

d. 2,5 horas y 4,5 horas respectivamente e. María vende más caro. Los ingresos de Julio fueron $ 105 000 y los de María, $ 96 000. f. Rodrigo

156

k. 179

Solucionario

d. –64 4.

a. –1 b. –15

c. 364

3.

d. –16

a. –0,875

c. –1,25

e. 6,5

e. –56

b. 1,2

d. –1,6

f.

f. –12

4.

g. –4

a.

h. 26

b. 9 10

_

i. –3

e. –4 5 f.

5.

j. 9

3 –2_ 5

a. m = –4,2; M = 3,5

k. –21

_

5 b. m = –8; M = _ 3 6

5.

a. –42

_ _

c. m = –6,4; M = 19 5

b. –25

_

c. –64

d. m = –3; M = 7 4 10

d. 1 e. –12

6.

a. –4; 2; –1; 0,5

6.

a. 16

b. –14

c. 80

b. $ 26 438

d. –56

c. En la semana 3

7.

a. 325 metros por hora

Lección 4 (página 11)

b. –3 °C

1.

c. piso –6

a. 7,468 – 2,147 = 5,321

d. 825 litros

b. 4,327 + 3,694 = 8,021

e. 4 °C por hora

c. 9,354 – 6,528 = 2,826

f. –125 gramos promedio

d. 6,127 – 2,359 = 3,768

g. 128

e. 2,940 + 6,216 = 9,156

h. –9

2.

i. –4

_

a. –57 40 b. –9 70 c. 23 15 d. –8 5

j. 4

_ _ _

k. –77 metros l.

–14

m. – $ 56 000 n. 26 °C Desafío.

3.

–8; –6

a. 2,01

Lección 3 (página 10) 1.

c. –1 3 10 d. 1 1 10

5

–9,5

_

_ _

2 –3_

b. 35,76

_

c. 126,452

a. –2 = –0,4 5 3 = 1,5 b. _ 2 c. 8 = 0,32 25

d. 0,03 e. 254,137

_

f. 0,001 g. 0,7

d. –3 = –1,5 2

_

4.

–0,6

2.

–1 –0,8

–0,4

0,5

–0,2 0

0,6

0,8

a. Luciana 4,35 km y Marta 2,8 km

1

b. Faltan 0,7 kg de harina


157

Solucionario 6.

Desafío.

c. 200 m2 para sembrar, 300 m2 para una casa y 100 m2 para juegos.

a. 35 m2 b. 1032 varones c. 3 10 d. 200 metros

_

Lección 5 (páginas 12 y 13) 1.

a. –3,6672

e. 35,6 cm

b. 2,675

f. 140,75 dólares

c. 1016,301

g. La masa de la caja es 221,34 kg. La masa de todas las cajas es 27 446,16 kg

d. –144,033

h. 7,56 cm2

e. –43,896

i. 5,16 UF j. 20,5 °C la máxima y 12,2 °C la mínima

f. –1 3 g. _ 2 h. –6 5 i. 2 81

k. 1500 km, 5400 km

_ _

l. –12 °C m. 96,25 cm2 Desafío.

Asistieron 36 hombres, 60 mujeres y 176 niñas.

j. –5


k. 1

1.

_

2.

a. 0,72

a. –147 20 b. –3283 300 c. 3 40 d. –77

_

b. –198,02

_

d. –6,4

c. 45,678

_

e. 2,5

_

g. 30,656 h. 0,405

f. 19,93

10 e. 19 14 3.

a.

_8

b.

35 _

i. 1,127 2.

_ _

a. 16 9 b. 87 4

3

24

c.

_1

_

e. 87 22

10

_

d. 4

f. 120 23

c. 1 3.

9 d. _ 5 1 e. _ 2

b. c.

_

f. 32 27

d.

4.

5 12 210 504 31,9 76,56 6,38 21,345 106,725 256,14 20,25 48,6 4,05 •

a.

42

3,8 159,6 24,244 81,11 15,39

14,76 619,92 94,169 315,052 59,778

4.

a. 1,851; 4,443

a. 18,72 m2

d. 1,5 m

b. 3,68; –1,84; 0,552 c. 4,48; –0,448; –0,493

b. 6,93 cm c. 8,123 cm2

e. 51,99 cm f. 3,4 cm

2

5.

a. –6

158

Solucionario

b. 3

c. 2; –3

d. –3

5.

a. =

d. <

b. >

e. >


c. > 6.

a. 75 km

h. 48

b. 347 décadas

i. 1 hora 30 minutos

3 de litro a. Se ocupan 3 vasos. Sobra _ 5 b. $ 3237

c. 49

j. 8 visitas

d. 24 años

k. 1850 m

c. 10 lazos

e. 38,9 °C

d. 0,05 litros de limpiador por cada litro de agua

f. 13 horas 44 minutos

l. – $ 9200

e. No, se obtienen 7 trozos

g. – $ 35 900

m. $ 1 076 800

f. 27 vasos g. 98,3 kg

Resolución de problemas (páginas 18 y 19) 1.

h. 854 envases

a. 2700 m

i. 120 km/hr

b. 38

j. 1 hora 53 min

c. 1,2 m

k. 1759,62 yardas

d. –20 m

l. 0,073 °C, 3,18 minutos

e. 17,6 m

m. 99,06 cm

f. 13 horas 20 minutos _

Desafío.

g. 106,6 litros

1 hora 52 min

h. 666 km i. $ 5720

¿Cómo voy? (páginas 16 y 17) 2. 1.

a. 8 a. –16

b. 364

c. 52

d. 5

_

b. 16,6 m3

2.

c. 60° al Este a. 28

c. 1

e. 48

b. –2

d. –572

f. –14

d. –6 y –18 e. –1817,6 m f. 187,5 gramos

3.

a. –2

b. 7

c. –24

g. – $ 5950

d. 14

h. 45 minutos

4.

a, d y e

Sección 2

5.

a. 0,25

c. –8,9

b. –2,1

d. –3,31

6.

a.

_


–3 _

_

5 b. –15 2 c. –0,672

_

d. 128 125 7.

a. –12

a. 72

f. 95

b. 113

g. 27

c. 84

h. 125

d. 44

i. 38

e. 16

j. 106

2.

6 b. _ 5

a. 8 • 8 • 8 = 512 b. 7 • 7 • 7 • 7 = 2401 c. 6 • 6 • 6 • 6 • 6 = 7776 d. 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 = 15 625


159

Solucionario e. 4 • 4 • 4 • 4 = 256

b. No, para multiplicar potencias de igual exponente,

f. 54 • 54 = 2916

se mantiene el exponente y se multiplican las bases. c. No, para multiplicar potencias de igual base, se mantiene la base y se suman los exponentes.

g. 45 • 45 • 45 = 91 125 h. 21 • 21 • 21 = 9261 i. 15 • 15 • 15 • 15 • 15 = 759 375

7.

j. 66 • 66 • 66 • 66 = 18 974 736

a. 5184

3.

a. =

c. =

e. ≠

b. ≠

d. ≠

f. =

c. 400

a. 28 • 1026 b. 64 • 1015

4.

a. 8

b. 64

c. 36

c. 65 • 1014

d. 64

d. 2 • 1012

5. 9.

a. 64 tomos

a. P = 26 • 24 • 23 • 22 = 215; Q = 27 • 22 • 23 • 23 = 215 Son iguales

b. 65 537 personas

b. $ 104


c. 25 maneras

1.

d. 64 formas

a. 51 + 3 = 54

e. $ 28 • 53

b. (3 • 5 • 2)4 = 304 c. (5 • 3 • 2) = 30

f. 127 m3

d. 72 + 2 + 2 = 76

g. 96 y 192; 3 • 224

2

2

h. 103 mm2

2.

a. 53 • 52 • 5 = 56

i. 210 cm2

b. 25 • 23 • 26 = 214

j. 729 claves distintas

c. 6 • 63 • 64 = 68

k. 274 • 102 l. 66 maneras distintas

d. 102 • 103 • 104 = 109

m. 729

3.

n. 9

a. 2 • 22 b. 53 • 55

Desafío.

c. 122 • 123 d. 2123 • 2120 4.

32 cm de lado


a. 43 • 23

a. 417 – 7 = 410

b. 3 • 4 8

8

b. (8 : 2)5 = 45

c. 65 • 35

c. 124 – 3 = 12

d. 912 • 512

d. (24 : 8)3 = 33

e. 34 • 74

e. (720 : 9)12 = 8012

5.

f. (32 : 4)5 = 85 a. 4

2.

b. 8

a. 24 : 2 = 2 3

c. 7

b. 54 : 52 = 52

d. 10 6.

c. 74 : 72 = 72 d. 64 : 63 = 6

a. Sí, para multiplicar potencias de igual exponente,

se mantiene el exponente y se multiplican las bases.

160

b. 5184

8.

Solucionario

e. 35 : 34 = 3

3.

2.

a. 35 : 33

a. 27

c. 33

e. 5 • 28

b. 710 : 72

b. 1

d. 1

f. 2

a. 3

c. 8

e. 3

b. 3

d. 4

c. 98 : 94

3.

d. 1115 : 115 4. 4.

a. (8 : 4)3 = 83 : 43

a. Potencia de base distinta cero y de exponente cero equivale a 1.

b. (15 : 3)4 = 154 : 34 c. (14 : 2)6 = 146 : 26

b. Al multiplicar potencias de igual exponente, se

d. (9 : 3)15 = 915 : 315

mantiene el exponente y multiplican las bases.

5.

a. 55 • 23

c. Al dividir potencias de igual exponente, se mantiene el exponente y se dividen las bases.

b. 58 • 24

d. Al dividir potencias de igual base, se mantiene la

c. 25 • 39

base y se restan los exponentes.

d. 3 • 2

5.

5

e. 35 : 25

6.

1

f. 103

7.

2

18

g. 65

a. F

c. V

e. V

h. 23

b. F

d. F

f. V

6.

g. V

8.

a. 9

c. 4

b. 8

d. 2

e. 9

a. No, toda potencia de base distinta de 0 y de

exponente 0 equivale a 1 b. No

7.

a. 27

c. 64

b. 4

d. 2401

c. Multiplicación de potencias, simplificación y

e. 625

adición d. Se debe intentar igualar las bases para trabajar con

8.

potencias de igual base, de lo contrario resolver las potencias y realizar la multiplicación de los productos obtenidos

a. 2048 metros b. 35 • 27 mm c. 105 estanques d. 27 metros e. 22 días f. 52 g. 27 cm h. 18 cm i. 20 cajas j. 20 cm de arista; 400 cm2 k. 113 cm3 l. 11 378 m. 1728

e. n : 0


9; 16; 25; 49; 64; 81; 144

2.

3.

a. 2

c. 5

b. 4

d. 11

x _ √x

9 3

49 7

36 6

e. 8 f. 12

144 12

196 14

4.

a. 3 y 4 b. 2 y 3

Desafío.

c. 4 y 5

Día 7

d. 9 y 10 e. 9 y 10


a. 1

c. 1

e. 2

b. 1

d. 1

f. 33

f. 10 y 11


161

Solucionario 5.

2.

a. 30

c. 55

e. 110

b. 12

d. 33

f. 240

a. 5125

6.

a. 12 cm b. 9 cm y 100 cm, 36 cm y 25 cm

c. 269

d. 28

a. 355

c. 82

b. 66

d. 14 • 52

4.

c. 3 cm y 6 cm Desafío.

a. p18

c. xy

b. a2 – r

d. qa + b – c

5.

Porque todas las aristas miden 4 cm

100; 169; 225; 289


6.

1.

a. 2,5

b. 288

3.

b. 3,2

c. 3,7

d. 4,5

a. –3

b. 75

c. –20

_

b. 5 y 6

2.

a. 6 y 7

a. 1,96

_

√26

b. 46,24 c. 27,04

8.

d. 50,41

d. –3

7.

4

5

√40

6

7

3.

a. 2,6

b. 2,8

c. 3,4

_

_

4.

_d.

√12

√8

Desafíos de integración

4,7

√23

1.

a. 18 mm

0

1

2

_

3

4

b. 4000 metros de alambre

5

c. 8

√7

5.

d. 23 • 3 • 5

a. 3,2

e. 13 y 14

b. 4,6

14

c. 8,1

f. 10 células g. 7 horas

d. 10,4

h. 291 bacterias

6.

7.

i. 7776 bebidas a. F

c. F

b. F

d. V

e. V

j. 3 cm k. 2

Calcular la raíz cuadrada de un número natural es encontrar un factor que elevado al cuadrado sea igual al número dado

_

8.

Resolución de problemas (páginas 30 y 31)

b. √10

a. 4,2 cm

c. 4 cm2

El exponente es par el último dígito es 6 El exponente es impar el último dígito es 4

1.

Potencia 56

Base 5

1.

a. 6; 4

¿Cómo voy? (páginas 28 y 29)

a.

l. 54 asientos m. 162 conejos

Exponente Valor 6 5625 1

b. 7; 7 + 9

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17

4

b. c. d. e.

162

35 2 43 53

Solucionario

3 2 4 5

4 5 3 3

81 32 64 125

18 122 = 144 c. 14

d.

7.

n1234567 n2 1 2

a. $ 45 000

4 6

9 12

16 20

25 30

36 42

b. $ 6750

49 56

c. 161,5 cm d. $ 119

156

e. 30,68 kg

e. 15 y 21

f. 33 %

2.

a. 44400 metros

g. 136 887 887

b.

h. $ 59 986 i. $ 6 791 500

n1234567

j. 128,6 %

n

3

Ambos en 7

3

9

27

81

243

729 2187

k. 132 cm2 l. $ 2500

c. 37,44,51

m. 24,8 %

d. 7n – 5

n. Gana $ 82 por kg de maní

e. 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1

ñ. $ 935

1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1

Desafío.

f. la figura 10

Disminuye en 2,25 % Sección 3



a. 834

1.

b. 649

a. Hubo una disminución de la altura en 30 %

c. 1260

b. Hubo un aumento del número de miembros de un

d. 659

10 %

e. 965

2.

a. 5750 b. 875

c. 14 283,5 d. 80153,5

a. 579 600

c. 142 303

b. 11 219

d. 1653,26

2.

f. 394 a. 1303

3.

b. 2405 c. 3252 d. 1139

4.

a. F

b. V

c. V

d. F

e. 875

e. F

f. 847

5. 3.

a. 125 b. 187,5

a. 288

c. 295,65

b. 800 c. 94

d. 400

d. 1925

6.

A a. b. c. d. e. f.

D X

X X X X X

% 10 20 20 75 30 30

4.

a. 624 b. 192 c. 76 d. 1056


163

Solucionario 5.


a. $ 1 060 900 b. $ 655 398

1.

c. $ 1 061 208 6.

a. 13 %

j. $ 525

b. 12 %

k. 13 %

a. 9 kg

c. 22 350

b. 6,4 metros

d. 4600

l. 3 %

c. 1370 alumnos

e. 3080

m. 98 rosas y 147 claveles

d. $ 555 555

f. 1088 asientos

n. 3,9 % de alza

e. 7,95 %

g. 104 160

ñ. 2125 personas

f. 38 884,3 millones de euros

h. $ 1385

o. 25 %

g. $ 500 000 h. 36 %

i. 20 %

p. 30 625 000

i. $ 6307 j. 66,6 %


k. 18 %

a. 2450 cc

l. $ 8000

b. 12 250 asistentes

m. Disminuye un 20 %

c. $ 25 920

n. 240 cc

d. $ 12 400

ñ. 75 %

e. $ 427 000 f. 4050 sillas

o. $ 21 200

g. 6 % Desafío.

h. $ 240 000

No porque cambia el total en cada caso.

i. 26,9 %


j. 360 mujeres k. 140 panes

1.

a. 5 % b. 63

2.

a. 7,7 % b. $ 265 302

c. 415 d. 44 %

c. Carla 16 %, Ana 36,7 % y Luis 47,3 %

e. 4947

d. $ 168 000

f. 2,45 g. 17 325

e. 20 % f. 33,3 %

h. 400

g. $ 432 000

2.

¿Qué aprendí? (páginas 40 y 41)

a. 120 b. 48,38

1.

c. 33,8 %

a. –215

c. 15

d. 2,4 %

b. –17

d. 34

e. 1340 a. 27 % b. 319 550 c. 9,5 d. 119 064 e. 2 %

164

Solucionario

–3 _ 4

3.

–0,375

_2

0,125

3

2.

–1

–0,5

0 –3 _ 5

0,5 _15

1

3.

a. V

b. V

c. F

d. F

c. La cuarta parte, del doble de un número disminuido en 3.

4.

a. 4,7 km b. 1000, 200, 100; 160; 53,5 l

3.

a. Sí

c. 24,64 m; 1760 5. 6. 7. 8. 9.

b. No

D A D C

c. Sí 4.

a. –8x + 3

C

10.

a. –11 550

5.

b. 707 c. 25

a. 10 + 9x, 100 – 9x b. 4n; 140 cuadrados

d. 14

c. 6x + 1; 505 hexágonos

11.

6.

a. 5,5 cm

a. f – m – x

b. 9,2 cm

b. 8m + 16n

_

c. h − m h d. 3x + 12

c. 11,8 cm d. 14,8 cm 12.

e. 3k + 8 cm

$ 20 242 13. $ 38 647

f. 4y – x g. 14m + 42

14. Los precios bajaron 0,2 %, precio del pan $ 948

h. 2ab + 2ac + 2bc

15. 383 %

i. 3z(y + 2x)

16.

a. 38,5 %

j. 12x + 23

b. –18,18 %

k. 138,6 km

c. 846 especies

l. 21,22 m. 7,6 cm

17.

b. 25 % 18. Porque en cada caso

cambia la cantidad total.

Desafío.

x > 3, ya que con x = 3 uno de los lados es 0.

UNIDAD 2 Sección 4


a. 36b4


b. –40z3

x–3 a. _ 5

_

x+5 b. _ 2 c.

_

n. 1,19 • 1,3 x 12 ñ. $ 860(x + 8)

a. 2 472 000

1.

b. –1,18d – 22 y c. x + __ 2

x − (x + 1) 5

2.

_

c. 72a5b3 8 15a4b3

d.

a. ab4 + 12a4b4 + a2b3

a. El triple de un número, aumentado en dos unidades.

b. –72z2 – 9z3 – 45z4 3 3 c. –a b + ab 3 3

b. Un número aumentado en cuatro unidades.

d. 50b5c3 + 5b6c3

2.

_ _


165

Solucionario 3.

_

x2 − 5x + 3 a. _ 2 2 b. m3 – 2m2 + 4m – 3

c. Factor común 7z2w;

Factorización 7z2w(2zw – 10w4 + 3z2 – 21w3) d. Factor común 4x3y2z2;

c. 1 – a2 – 2ab – b 2

Factorización 4x3y2z2(2x2yz2 – 4x4y2 + 8z3 – xy2z)

d. 4a6 - 16c4 2.

4.

a. a2 + 2ab2 + b4 b. x2 – 3x - 18

c. y + 14 d. m – 4

3.

c. 4y2 + 4y – 24 d. 9x2 – 16 5.

a. z + 12 b. b + 7 a. 4 y 1

c. –3 y –4

b. –4 y – 2

d. 8 y 4

4.

a. 25x2 + 30xy + 9y2

__

b. 35x5y5 – 14x 6y4 4 2 3 3 c. 2a b − 3a b 2

a. (v + 3)(v + 2)

c. (y + 5)(y + 5)

b. (p + 9)(p + 2)

d. (m + 5)(m + 3)

5.

d. 54x4 – 36x2 + 6 6.

a. p + 6

c. (y + x)(y – x)

b. b + 9

d. (3m + 2)(3m – 2)

6.

a. 4m2 – 20m + 24

a. (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz

b. 4x2 +32x + 63

b. 4y + 12

c. 4n2 – 9

c. x + 5

d. x + 4x + 4

d. (2x + 3) y (2x + 1)

e. x3 + 3x2 + 2x

e. –3 y 6

2

f. 19

f. (2x + 1) y (3x + 2)

g. a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 = a2x2 + b2y2+ a2y2 + b2x2

g. (x + y – 5)(x + y + 3); (y + 9)(y – 1)

2

2

h. –27, –12, –3, 3, 12, 27

2

h. (60 – 7) ; 60 – 2 • 60 • 7 + 7 ; 2809 i. (30 + 3)(30 – 3) = 302 – 32 = 891

i. Si m es 8, el perímetro es 12 j. 2, debido a la cantidad de productos distintos que

j. Suma por diferencia;

es posible encontrar

(100 + 5)(100 – 5) = 100 2 – 52 = 9975

k. 152 = 225; 252 = 625; 352 = 1225; 452 = 2025; 552 =

k. (80 + 6)(80 + 9) = 802 + (6 + 9)80 + 6 • 9 = 7654

3025; 652 = 4225; 752 = 5625; 852 = 7225;

l. 2x2 + 12x + 60 Desafío.

m. x2 + 10x + 21

Cuadrado B de lado 1,4 y el cuadrado A de lado 6,4.

n. Perímetro: 6x + 40; Área: x 2 + 14x + 72


Desafío.

t = 2(n + 4)(n + 1) o t = 2n + 10n + 8

1.

2


_

x b. 2x − _ 3 5

_

1.

a. Factor común 25a2b2c;

Factorización 25a2b2c (ab2 – 4bc 3 + 6ac3) 8p3q3 ; 5 8p3q3 2q 4pq2 p2 Factorización + − 5 5 15 3

_( _ _

b. Factor común

166

Solucionario

x a. 2x + _ 3

_)

c. x + 6 − 3x 4 d. 2x +3(x – 3) e. 4(x + 5) + 7(x – 4)

x−5 f. 3x − _ 2

_

x g. x − 9 − _ 4 2

f. 1806 g. 32 y 23; 41 y 14

2.

h. (7x – 5)(2x – 1)

a. 126ab b. 480x y

2 2

2.

a. Tomás tiene un gato y Nicolás tiene un conejo

c. 20a2 – 44ab + 12a

b. (2x + 3y) y (2x – 3y) centímetros

2

d. m – 4m – 77

_

c. 20 lechugas

e. 36p2 + 72q2 – 297pq + 204p – 51q

d. (x – 12)(x + 4)

2 2 f. 9a b c 4 g. 60a2 + 24b2 + 12c2 - 77ab – 63ac + 44bc

e. 27 f. (550 + 450)(550 – 450) = 1000 • 100 = 100 000 g. (98 + 10)(98 + 2) = (108)(100) = 10 800 m 2

3.

a. 2(6a + 7b)

h. 12,8 metros

b. 5(x + 3y – 14z + 5)

Sección 5

c. 3ab(a – 7b + 1) d. (m + 2)(m + 10) e. (s + 4)(s + 8)


f. Buscando un factor común o dos factores.

a.

=

Desafíos de integración b.

1.

=

a. (28m + 16) centímetros b. (10 800x – 2250) metros c. (385x + 100) centímetros

c.

=

d. (270x + 44) centímetros e. (48x + 108) centímetros f. (378x2 +1533x + 1470) m2 g. 15 625(27x3 + 27x2 + 9x + 1) cm3 4 (35x2 + 66x + 27 ) cm2 h. _ 5 i. 121(9x2 + 6x + 1)cm2 100 j. (20x2 + 22x + 5,6) m2

d. = e.

_

= 2.

u

k. (x + 6) y (x + 8) metros l. verde: a cm, celeste: c cm por b cm

u

a.

3

m. (4t + 8) centímetros n. 2a + 3b

a:6 b.

ñ. (x + 6) centímetros

2

x

Resolución de problemas (páginas 50 y 51) c.

1.

13

a. –8 y –3 b. (3x + 1)(x + 2) c. 2 aceites y 1 azúcar d. 32

6

x x x x x x –1 –1 –1 d.

9x

e. 7 cerdos


167

Solucionario

x

e.

x

x

x

x

x

x

x

2.

6x 4 m

6

3.

a. x – 8500 = 12 300; $ 20 800 b. 2x + 5 = 10 – 3x; 1 c. x + y = 61; x – y = 5; 28 años

a. – 12

333

b. • 8

512

c. : 4

9

d. : 2

88

e. – 76

47

a. 21

e. x + y =35; x – y = 3; 20 años

b. 2 c. 4 d. –7

x − 2 = 17; 38 alumnos g. x − _ 2 h. 1,19x = 42 500; $ 35 714

_

e. 4 6.

_

x + 2x = 8; 72 i. _ 5 3 9 j. $ 48 000 000

a. 8b = 40; 5 cm b. 3x + 120° = 180°; 20° c. 4x + 7 = 31; 6 cm

k. 12(1 – p) = 84; – 6

7.

4.

a. El tiempo no considera valores negativos.

a. 4x + 19 = 50

b. La cantidad de hermanos debe ser un entero.

b. 3x + 72 = 5x

c. El área no puede ser negativa y se mide en

c. x + 14 = 4x

centímetros cuadrados.

5.

a. El doble de la edad de Juan aumentada en 8 es

igual a 50 años. ¿Cuál es la edad de Juan? b. Setenta veces un número disminuido en 16 resulta

125, ¿cuál es el número? c. Si al doble de las muñecas de Andrea le agregan

una más entonces tendría 7 muñecas. ¿Cuántas tiene? 6.

a. x – 5

d. x + 4

b. x + 6

e. x + 4

c. x + 5

f. x + 3

Desafío.

x = 5a + 30 Lección 19 (páginas 54 y 55) 1.

8.

a. 1056 b. 9 cm c. 51 d. 262 e. 198 f. 4 g. 16 h. $ 825 000 i. 21 cm j. 9 muñecas k. 25 sauces l. $ 455 m. 12900 km n. 3 años

a. restar 10

ñ. $ 8800

b. dividir por 5 c. sumar 87

o. 21 años p. 118 años

d. dividir por 10

q. 6 horas

e. restar 1

r. 700 entradas

Solucionario

e. sí

4.

d. xy = 6; x – y = 1; 2 metros f. 4x = 144; 36 centímetros

168

c. sí d. no

3.

m

f.

m

a. no b. sí


Desafío.

21, 63 y 43

1.

a.


a.

5

3•p b.

6

c.

–2

–3

b. 2k + 1

3 d.

c.

e.

a:2

2

3

3 f.

d.

–4

2.

8 4v

a. x ≥ –1

d. x ≤ 0

b. x < –1

e. x ≤ 4

c. x > –2 3.

a. x > 4,6

2.

u

u b.

a.

–3,2

3 c.

a : 12

a : 12

d. x ≥ __2 5

b.

–1 _ 3

4.

2

a. Los números mayores o iguales a –2.

x

b. Los números menores que 3. c. Los números menores o iguales a 3.

c.

13

d. Los números mayores que –1,4.

6

5.

3.

a. Los números mayores o iguales a –1. a. ≤

c. >

e. ≤

b. Los números mayores o iguales a 3.

b. ≤

d. <

f. ≥

c. Los números menores o iguales a –1.

4.


x > 9 horas

1. 5.

a. F

c. V

e. F

b. V

d. F

f. F

a. sumar 10 b. dividir por 6 c. sumar 35


169

Solucionario d. multiplicar por 4

Desafío.

Entre $ 800 y $ 1100

e. dividir por 100 f. restar 0,2


g. sumar s h. dividir por –2 e invertir la desigualdad

1.

2.

a. x > 57

2.

a.

c. t < 11

b. sí

e. d < 25

3.

f. x ≥ 9 g. q ≥ 19 3

d.

_5 19

7

_5 c. No, y = 3

a. 3k + 1 = 2

_

b. 4k + 1 = 2k + 3 4.

a. x > 12

c. x > 3

b. x < 10

d. x > 1

e. x < 19

a.

4.

–1 _ 2

b. x + 2x ≤ 450; x ≤ 150; 100

x > 50; x > 100; 101 c. _ 2 d. 0,4x > 4000; x > 10 000; $ 10 001

c.

1

5.

7 a. x ≤ ___ 10

5.

a. 99 cm

3

b.

a. x + x + 1 > 100; x > 49,5; 50

_

b. 6 m

b. x > −16 11 5 c. x < ___ 13

a. Un número aumentado en 2 es mayor a 2. b. El doble de un número es a lo más –6.

d. x ≥ 49 2

c. $ 7501

6.

_

c. El triple de un número es mayor que 15. d.


Un número aumentado en 8 es a lo menos 12.

7.

1.

a. 75 metros

a. 40 y 10 años

b. Un número menor que 4

b. 4 metros más

c. Deben medir más de 14 cm

c. 5 monedas de $ 500 y 20 monedas de $ 100

d. 15

d.

e. Mínimo 59 litros

e. 70 de naranja, 140 de menta y 213 de uva

∡CAB = 18°, ∡BCA

= 54°, ∡ABC = 108°

f. Máximo 27 kg

f. A lo más 61,8 mm

g. Tiene un costo menor que $ 3587

g. Máximo 480 kg

h. Hasta los 37 años del padre

h. Números mayores que 8

i. 720 kilómetros

i. Una medida mayor a 12,5 cm

j. Menos de 101 cartas

j. 1 pera

k. Luego de 80 horas

k.

l. 18 litros

170

c. 1

No, f = _2

b. b > 729 d. r > 11

3.

_

a. 22 9 b. 0

i. dividir por –14 e invertir la desigualdad

l. 11 Losaños números mayores que 20

m. 28, 14 y 43 estudiantes respectivamente

m. 68° < F < 86°

n. A lo más 16 años

n. 22 o 23 alumnos

Solucionario

c. y = 3250x


d. y = 6x

1.

a. x + 3 ≥ 60, a lo menos 57 años


b. 2x + 2x + 2 = 2x + 4, 2 y 4

1.

Y

c. x – y =24000; x + y = 38000, $ 31000

4

d. 2x + 3x + 5x = 180°, 36°

3

e. 4x – 5 < 13, 4

2

f. x – y =20; x + y < 86, 52 años g. 2z – 17 < 35 ; __z + 3 > 15,z = 25 2 h. 3x + y > 51; 2x – y = 24, 21 páginas mínimo

1

h(x) g(x) j(x)

X –4 –3 –2 –1 0 1 –1

i. x + 2x +17000 = 620000, $ 201000

–2

j. x + 3x + 4x – 5 = 11, el mayor es 6

–3

x < 6; _x < 6; Mínimo 9 kg k. 4 < _ 2 2 l. 5x – 875 ≥ 415, mínimo deben pesar 258 kg.

c. y = 0,1x d. y = 8x

b. Mínimo 10 cuadernos

3.

c. Le quedaron 5s

a. f(x) = –3x

2

d. 243 cm

b. g(x) = 2x

e. No, puede obtener a lo más un 5,9 4.

f. 1000 km

5.


a. f(x); el precio en c debe ser 545 < x < 837

1. ✓

c.

✓

d.

b. Equivale al precio de un k ilogramo de naranjas;

✓

La relación de kilogramos por cada peso

2.

c. P(x) = 773,5x; P(C) = 1,19C

a. No

d. C(x) = 7500x; $ 3 375 000; 400 álbumes

b. No

e. y = 90x; 1,35 metros

c. Sí, k = 2

f. k = 40; Se realizan 40 copias por minuto;

d. Sí, k = 1,5

1200 copias; 5 minutos; No, se termina a las 15:05

3.


a. Lineal

c. 0,26 g de grasa

b. Afín

d. 60 resmas

c. Lineal d. Afín

a. y = 7500x

e. Lineal

4.

x d. i(x) = _ 3

b. c(l) = 830l c. y = 1,5x

Sección 6

9 b. B = __6 5

_

c. h(x) = 2x 3

a. y = 50x

g. 5 triángulos

55 a. M = ___

4

a. y = 5x

a. Los números mayores que 50

b.

3

b. y = 6x

2.

✓

2

2.

m. 16x – 12 + 4x + 16 = 24, mide 2 cm

a.

i(x)

b. y = 48x


171

Solucionario 2.

_

2.

a. k = −7 8 b. k = 1 c. k = 2

a. –3

c. 12

e. 2

b. 6

d. 11

f. –5

3.

d. k = 3

a. Creciente

e. k = 2,5

b. Creciente

a. g(x) = –x + 2 b. h(x) = 4x − 10 3 3 c. j(x) = –x –2 x − _7 d. kx = _ 4 4

d. Decreciente

c. Decreciente

3.

_ _

e. Decreciente 4.

a. El con mayor incremento en su posición, por lo

tanto, el bus con movimiento f(x).

4.

a. –12

b. En la empresa B en el cual el valor de las acciones es creciente.

b. –11 c. 8

c. 0 °C

d. –2

d. La compañía B tiene que cobrar menos de $ 350

por kilómetro recorrido.

5.

a. y = 620x + 325; k = 620 b. y = –x +15; k = –1 c. y = 400x + 3200; k = 400

Lección 27 (páginas 70 y 71) 6 Y

1.

p(x)

d. y = 6x + 12; k = 6

t(x)

s(x)

e. y = 4500 – 25x; k = –25

3 2 1

f. y = 250x + 2000; k = 250 g. y = 80 000 – 12 000x; k = –12 000 6.

a.

5x + 4 g de grasa _ 130

e.

−4t + 16; 16 cc; 8,8 cc; 20 m =_ 5

r(x)

a. Decreciente b. Creciente

_

c. Creciente d. Creciente

Desafío

e. Decreciente

N(t) = 2000 – 72t; 27 días; 56 hormigas

f. Decreciente 3.

1.

a. 1 b. 0

172

a. A

c. C

b. E

d. D

4.

c. –7

a. y = –x + 6

d. –4

3x 11 b. y = 4 + 4 c. y = − 4x + 23 5 5 7 d. y = − 2x − _ 5 5

e. 1 f. 1

Solucionario

–2 –3

2.

f. L(k) = 30 − k ; 360 km 12


X

q(x)

_

V(t)

u(x)

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 –1

b. P(h) = 5h; 35 mm; 15:00 h c. H(t) = 2t + 2; 15 semanas; 10 cm 5 d. C(x) = 120x + 500; $ 14 900; 240 km

5 4

_ _ _ _ _

e. B

5.

c. $ 155 es el valor promedio de venta de sus productos y $ 10 800 corresponde a los gastos fijos

_ _

a. y = 8x + 14 9 9 x+4 b. y = _ 2 y = _5 2 c. y = –x + 10

que tiene su trabajo; Vender aproximadamente 70 artesanías d. Cl(a) = 0,5a e. F = 7C + 32; C = 5 − 32 5 7F f. 3500 meses

_

d. Las gráficas presentarían distintas pendientes

_

_

debido a los distintos cobros por minuto hablado.

13T g. M(T) = 35 h. $ = 1,05X

e. Sí, pero el sueldo dependerá del número de

muebles realizados. Determinar la capacidad promedio mensual de

i. G(k) = 25 − k/10; 250 kilómetro j. A = 7000(n + 1) + 18 000 = 7000n + 25 000

muebles terminados por los trabajadores. f. Determinar que bus recorre una mayor distancia en la misma cantidad de tiempo.

B = 10 000(n + 1) = 10 000n + 10 000 La opción A

Desafío

y = 0,15x +30 000; $ 780 000; Grafica en 10 000 4,5 C 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,8 9


Desafío 220 000 200 000 180 000 160 000 140 000 120 000 100 000 80 000 60 000 40 000 20 000 A –20

_1 a. N = 8 P + 1 7 6 5 4 3 2 1 0 –1 0

0

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200220 240 260 280 300 320 340360 380

Para 20 km es más barato el transportista B Por un recorrido de 4,5 km


Y

1. 4

8

12

16

20

24

28

32

36

q

40

3 2

b. Los buses tienen una rapidez media de 72 km/h y 90 km/h 400 350 300 250 200 150 100 50 0 –05 –50 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6

1 X –3 h

–2

–1

0

1

2

–1 p

–2 f

2.

b.

✓

d.

✓


173

Solucionario 3.

2.

a. –3

a. 10 p.m.

b. −1 6

b. D(t) = 3t + 612

_

_

c. E(t) = 30t + 350

c. −10 3 3 d. _ 5

d. y = 1000x e. Dejar 2 litros al llenar la jarra de 5 litros y vaciar el contenido en la de 3 litros. f. 8 m

4.

a. f(x) = –3x + 2


b. g(x) = 2x + 1

x–1 c. h(x) = _ 2

5.

1.

a.

I(G) = 6G – 4 (millones de pesos) 2.

g

_

= _5

2

b. 2xy : (z – 9)

a. 2p + 22q


g − 15

b. 25pq – 2p2 – 12q2 3.

a. 50 km

a. 7x2 + 21x + 28

b. $ 10 800

b. 4x2 + 24x + 36

c. 210 litros d. P(t) = 4t 3 e. $ 3 500 000; 15 artículos

c. 5x2 + 17x + 6

_

4.

a. (w + 5)2 b. 4pq(6p + 4q – 3)

f. C(x) = 2000x

c. 6t4b4c4(5tb4c3 – 10t3c2 – 8t5b – 3b2c3)

g. C(x) = 750X + 5000; $ 11 750

5.

a. 43

h. m = 1 y n = 3 i.

5L L = 3,8G; G = _

b. 213,3 km

19

j. $ 5700

c. 109, 110 y 111 6.

k. 5 automóviles diarios en promedio

__

l. P(n) = 8 000 000 – 250 000n m. P(k) = 350k + 2000 11 11

c. x = –1,1

a. x < 7

b. x > 9

c. x < 13,5

a. 0,8

_

$ a. € = 678 b. a = 2c

b.

− x + 15 y=_

–7

2 x+3 e. y = _ 2

d. 9.

f. G(x) = 11 250x – 1 500 000; 223 pantalones g. V(x) = 450000 • 0,8x; A los más en 3 años h. La rapidez del sonido es mayor en los sólidos y menor en los gases.

174

Solucionario

–2

c.

c. 215 gr d.

b. x = 2,1

8.


a. x = 2 7.

a. 292,5 + x ≤ 300 b. 0 < x ≤ 15 c. 350 calorías máximo

1

10.

4.

a.

Corvina 0,750

A 2288 305 10675

0,1 3,5

B 2249 300 10497

C 2340 312 10920

a. x = 3 mm 5.

a. x = 5 cm 6.

a. 7,8 mm3 b. 48,3 cm3

b.

c. 4 cm, 8 cm y 12 cm.

4

d. La suma de las alturas de los dos primeros es igual a la altura del tercero.

3 2

e. 1200 m2

1

f. 19 136 cm3 g. radio = 4 cm; altura = 8 cm

0 0

1

2

h. 168 π cm3 = 567,8 cm3 11.

12. 13.

i. 15300 litros

b. P(n) = 22n + 320

a. $ 3620

j. el radio debe aumentar en 1,41 aproximadamente

A D

k. 12 veces l. disminuye a la cuarta parte m. 772 π mm3 = 2425,3 mm3

UNIDAD 3

n. 192 π cm3 = 603,2 cm3

Sección 7

ñ. 140,3 cm3 o. 7863,2 cm3


Desafío.

1.

6 cm, 7 cm y 8 cm

a. 50 cubos aproximadamente b. El volumen de cada pesa es 345 cm3

aproximadamente; Daniel hace ejercicio con 2.


0,690 kg.

a. 2 rectángulos (bases); 4 rectángulos (caras laterales)

a. 1440 cm aproximadamente 3

b. 2 triángulos (bases); 3 rectángulos (caras laterales)

b. La unidad no corresponde a la de volumen.

c. 2 pentágonos (bases); 5 rectángulos (caras laterales)

c. 3375 cm aproximadamente 3

d. 2 círculos (bases); 1 rectángulo (cara lateral)


1.

a. triángulo

a. 14 cuadrados

b. pentágono

b. 10 cuadrados c. 49 cuadrados

c. pentágono

d. 18,5 cuadrados

2. 3.

a. Volumen = 1280 mm3 3.

a. 500 π cm = 1570,8 cm 3

3

b. 512 π cm3 = 1608,5 cm3

a. 184 cm2

c. 136 cm2

b. 96 cm2

d. 192 cm2


c. 432 π cm3 = 1357,2 cm3 d. 225 π cm3 = 706,9 cm3 e. 128 π cm3 = 402,1 cm3

1.

a. 47,1 cm2

c. 160 cm2

b. 85,8 cm2

d. 116,8 cm2

f. 90 π cm3 = 282,7 cm3


175

Solucionario e. 4,5 m3 aproximadamente

2.

a. 120 cm2

c. 40,4 cm2

b. 270 cm2

d. 818,4 cm2

f. 502,7 cm3 de extrac to y 201,1 cm3 de pétalos

aproximadamente g. 353 cubos

3.

a. 78 π cm2 = 245 cm2

h. 38,7 cm de largo; $ 5089 cada tarro

b. 320 π cm2 = 1005,3 cm2

i. 11,82 metros de altura

c. 230 π cm2 = 722,6 cm2

j. 96 π cm3 = 301,6 cm3 de agua

d. 11,7 π cm2 = 36,8 cm2

k. V = 2 π x3

a. 187,8 cm2

m. el diámetro basal

l. A = 10 π y2

4.

b. 5 cm

n. Se reduce a la cuarta parte

c. 2 cm, 4 cm y 6 cm d. Se duplica

Desafío.

5:1

e. se reduce a la cuarta parte f. deben ser iguales g.

π


cm2 = 3,1 cm2

1.

h. Con la propuesta de Matilde i. 4700 cm2 j. 4,578 litros

c. 6 cm d. 8,832 cm3

2.

k. 15 300 litros

a. 600 cm3

c. 480 cm3

l. 3,4 m2

b. 1764 cm3

d. 47,25 cm3

m. entre 6 cm y 7 cm

3.

n. 1032 cm2

a. 1280π cm3

ñ. 134,8 m2

b. 0,00128 π m3

o. 132 480 cm2

c. 1 280 000π mm3 4.

Desafío.

1:4:9

a. 110π cm2 = 345,6 cm2 b. 277,2π cm2 = 870,8 cm2


c. 46,4π cm2 = 145,8 cm2

1.

d. 208,8π cm2 = 655,9 cm2

a. 72 cm3 b. 3,63 cm de ancho, 7,26 cm de alto y 43,6 cm de largo c. 1 800 000 cm = 1,8 m 3

3

5.

a. 52,3 cm2 a. 6,53 cm b. aumenta 4 veces

2

e. 228 cm

f. 115,2 litros g. 48 π m3 ≈ 150,8 m3 ≈ 150 800 litros h. 507,2 cm3 Desafío.

Disminuye un 22 % 2.

b. 46,38 u2

6.

d. 185 cm3


a. $ 79 644 b. 2 362 500 cm3 = 2,3625 m3 c. 49,087 kilogramos d. (a + 2)3 : a3

a. 850 cm2 b. 180 π cm3 = 565,5 cm3 c. 8,5 cm aproximadamente d. con las raíces 4869,5 cm3

176

a. 100 cm2 b. 840 m3

Solucionario

e. 112,25 cm3 f. 96 000 π cm3 = 301592,9 cm3 g. 817,625 π cm3 = 2568,6 cm3

h. 216 cm3 i. El volumen aumenta 8 veces

5.

a. x2 – 4x – 12 = 0 b. x2 – 4x – 5 = 0

j. 64 cajas 6.

k. 24 cm3


a. 704π cm3 = 2211,7 cm3 = 2,211 litros

a. V

d. F

g. F

b. F

e. V

h. F

c. V

f. V

i. F

7.

_

b. 54 cm2

a. 8√2 cm

c. la propuesta de Claudia

b. 3,25 m

d. deben ser iguales

c. 2222 m

e. 270 cm3 f. 1080 cm2

d. 40 m e. Perímetro = 24 cm 2 Área _ = 24 cm

g. aumentar al doble

f. 6√5 = 13,4 cuadras

2.

a. 10 cm y 12 cm

Desafío.

_

b. (x3 + 3x2 + 2x) m3

_

(5√2 )2 + (5√2 )2 = 100

c. 15 m

102 = 100

d. 98 cm2


e. 96 paquetes

1.

f. 5,75 m

a. $ 220 000

g. 45 cubetas

b. 80 m

h. 461,8 cm3

c. Si, porque cumple con el recíproco del teorema de Pitágoras.

i. 300 bombones

d. 180 cm2

Sección 8

e. 2,34 m


f. 12√3 _ = 20,8 cm2

1.

g. 82,9 m

_

_ √209 = 14,5

a. 6√2 = 8,5

h. 30,8 km

b.

i. 12,93 m

_

c. 12

j. 50 km

_

d. 12

k. √61 = 7,81 m

e. √68 = 8,2

l. x = √3

_

m. 15,81 m2

2.

a. rectángulo

n. 288 π cm3 = 904,7 cm3

b. rectángulo

ñ. tiene similitud con un trapecio

c. rectángulo

o. √13 = 3,6 cm

d. acutángulo

p. 2,68 m

e. rectángulo

q. 21 unidades cuadradas

_

3.

4.

_

r. 7,32 m a. 6 cm

b. 10 cm

c. 14 cm

_ a. √2

c. √4

b. √3

d. √5

_

_ _

d. 4 cm

_

e. √6

s. √272 = 16,5 cm Desafío.

196,7 cm2


177

Solucionario 2.


_

1.

a. 13

b. 3

c. 12

b. 7

d. √10

_

c. 12,5 cm2

2.

d. 13 + √89 = 22,4 cm a. obtusángulo

3. 4.

_

a. 11√2 = 15,55 cm

e. 100π cm3 = 314,1 cm3

b. rectángulo

f. 137,1 cm2

c. rectángulo

g. 19,9 m

d. rectángulo

h. 9,74 m

8 6

Sección 9

5.

a. 40 pulgadas


b. 1,32 cm

1.

c. 3,04 cm2

a. (–10, 5) b. igual


c. igual d. (5, 5)

1.

a. 40 cm2

2.

b. 14 cm

a. (–3, 5)

c. 16 cm

b. (–7, 28)

d. 1,53 m

c. (11, –9)

e. 10 m

d. (0, 8)

f. mínimo 15,84 cm

3.

g. 30 cm y 40 cm

a. V

h. √7 = 2,65 cm

b. F

_

_

i. 32√2 = 45,3 cm

c. V

j. Sí, porque 132 + 142 > 152

d. F

k. 120 cm2

e. V

l. 4 m

f. V

m. 26 m

g. V

n. 6√5 = 13,41 m

h. F

ñ. no, es obtusángulo

i. F

_

j. V Resolución de problemas (páginas 98 y 99)

1. 2.

1.

a. 914,1 cm3

a. 21,48 = 21,48 u

b. 43 años

b. 26,5 = 26,5 u2

_

c. 16√3 = 27,7 cm2

c. 63,43° = 63,43°

d. 10 años

d. la figura resultante de una traslación es congruente con la srcinal

e. 36π cm3 = 113,1 cm 3

_

f. 4√2 m

3.

A’(–4, –5); B’(2, –5) y C’(–1, –2)

4.

g. 336 cm h. –98

3

i. 9 cm j. 32

178

A(–3, –5); B(1, –3) y C(–1, 4)

Solucionario

(3, 11) A = 24 cm2; P = 20 cm 6. E’(10, 21); F’(12, 11) 7. (1, 2) 5.

8.

3.

a. Eje Y 4

b. Eje X C

3

D

B

2

E

a 0

e A b c

0

–1 –1

d. y = –x

I

w 1

c. Eje X

u

v

1

2

F

e. y = x 4.

d 3

H

a. A’(–2, 3); B’(2, 1); C’(0, –6)

4

b. A’(0, 0); B’(2, 0); C’(2, –2); D’(0, –2) c. A’(4, –10); B’(–2, –10); C’(–2, 5); D’(3, 0);

G 5.

H(3, 0) y d(2, –1) I(3, 2) y e(2, 1)

D

8

5

E

G

1

F

F”

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1–10 1 2 3 4 5 6 7 8

E(–1, 0) y a(–2, –1)

X

–2

F(0, –1) y b(–1, –2)

–3

G(2, –1) y c(1, –2)

–5

y = 3x + 5

–7

G”

–4

E”

–6

D”

–8

10. con vector traslación v(–2, –5) 6.

A’(–1, 2); B’(–7, 2); C’(–4, 5)

7.

12. (4, 6)

a. eje Y

Desafío.

b. E’(–7, 10); F’(–9, 0)

p = –16 q = –7

E´

2

D(–1, 2) y w(–2, 1)

4 y = –7

G´

4 3

C(0, 3) y v(–1, 2)

11. x =

D´

6

B(2, 3) y u(1, 2)

9.

Y

7

8.

a. queda en la misma posición b. 24 u2


c. 20 u 9.

a. DCB b. A c. 6 10.

a. 2 Y

–2 2.

D

1

–1

0 E 0

A

a. F b. V c. V

b. y = 0 x=0

d. V

y=x

e. V

y = –x

–1

C

12 X B


179

Solucionario 11. Triángulo isósceles

10. rotaciones de 60° con centro en uno

12. Circunferencia

11. rotaciones de 72° con centro en O.

13. No tiene.

12. Rotación de punto B con centro en A

14.

13. Una rotación con centro en A y

_

c. P = 3 + √3 = 4,73 cm 15. (3, –9)

14. 90°

Lección 39 (páginas 106 a 108) 2.

a. A’’(5, 4); B’’(5, 6); C’’(3, 6)

Desafío.

(5, 2)

3.

a. 120°; Probar con ángulos mayores a 90° y menores

(y, x)

a 180°; Medir ángulo BAB’ al trasladar segmento A’B’ al vértice A


b. –240°

1.

a. Antihorario; Y; 180°

4.

a.

b. igual

A´(3, 2)

A´´(5, 2)

A´´´(7, 2)

c. igual

B´(2, 5)

B´´(6, 5)

B´´´(6, 5)

d. 90°

C´(2, 2)

C´´(6, 2)

C´´´(6, 2)

e. reflexiones

b. En x = 4, ya que los puntos reflejados quedan a igual distancia

2.

a. 180°

5.

b. 270° c. 360°

a. P(4, 2) 6.

d. 180°

a. A’(8,06, 1,24); B’(6,71, 0,82); C’(5,88, 3,53); D’(6,76, 3,06)

e. 270° f. 90°

7.

a. (–1,5, –3,54)

3.

a. A’(3, –2); B’(1, 2); C’(–6, 0)

b. C´(0,81, 0,41) c. con las herramientas de polígono regular, traslación y segmento

b. A’(0, 0); B’(–2, 0); C’(–2, –2); D’(0, –2) c. A’(–10, 4); B’(–10, –2); C’(5, –2); D’(0, 3) 4.

8.

a. 153,43°

a. V b. F c. V

b. 198,43° 9.

a. A

A’

B

B’

C

C’

D

D’

x

2

1

2

3

1

0

–2–

0

y

1

2

3

2

0

1

–1–

2

d. F e. V 5.

a. 90° b. E(–10, 7); F(0, 9) 6. 7. 8.

b. Rx = y(x, y) = (y, x) 10. a.

A’(2, –1); B’(2, –7); C’(5, –4) Centro en A y ángulo de 180° por el sentido de rotación, horario o antihorario (90° o –90°)

9.

A

A’

B

B’

C

C’

D

D’

x

1

2

–1

–2

1

0

–2

1

y

–2

–1

2

1

0

–1

–1

2

b. R y = –x(x, y) = (–y, –x) a. punto B

11. a.

b. punto A

12. a.

c. punto A

180

y ángulo de 60°

rotación 90°< ángulo < 180°

a. 120° b. 2,2 cm2

de sus vértices

Solucionario

A’(4, 1); B’(5, 3); C’(4, 3); D’(2, 1) A’(–1, 4); B’(–2, 3); C’(–3, 4); D’(–2, 6)

Desafío.

11.

a. A’(1, 1); B’(2, 3); C’(3, 1); D’(2, 0)

a. rotación en 180° o –180° b. siempre y cuando sea el mismo centro

Lección 40 (páginas 109 a 111) 12.

1.

a. F

b. V

c. F

2.

3.

a. (8, –1)

c. misma

b. 285°

d. (5, –3)

a. Reflexión sobre el eje Y luego una reflexión sobre y=1

d. V 13.

a. punto F b. punto B

rotaciones en 180°

c. Rp,45° y luego Rp,45° del punto F

4.

a. v(2, 1); w(2, –1)


b. (4, 0)

1.

c. (–4,0)

a. V

e. F

d. si

b. F

f. V

j. V

c. V

g. F

k. F

d. F

h. F

5.

a. primero una reflexión del ABC respecto de la recta H, a la imagen resultante A’B’C’ se le hace una reflexión con respecto a la recta J b. una traslación con vector (4, 0) 6.

i. F

2.

a. Sí, b. No, c. No, d, No 3. a. Semiregular, b. Regular, c. Semiregular, d. Regular, e. Semiregular

a. una reflexión sobre y = x + 2, luego una reflexión sobre x = –0,5 b. no, realizando más trasformaciones es posible establecer el polígono

4.

a. Traslaciones b. Reflexiones 5.

c. Rotación y luego traslación.

a.

b.

7.

a. 2 rotaciones b. rotación del segmento AB con centro en A y un ángulo de 60° c. rotación del segmento AB con centro en B y un ángulo de –60° 8.

8. a. (–3, 1) b. (3, –1) c. no

¿Cómo voy? (páginas 114 y 115) 1.

a.

J

M

d. no, la suma de vectores es conmutativa

K’

9.

a. Combinación de reflexiones respecto de x=4ey=2 b. Combinación de rotación de triángulo ABC con centro B y ángulo 180° y reflexión respecto de x=4

K

M’

L J’

b. P’

10.

Q

a. punto H

Q’

b. punto E c. punto F

M

P

M’

d. reflexión sobre a y luego sobre c


181

Solucionario 2.

C”

2.

a.

B”

B’

C’

3

C

2

D” A”

1

H

A

A’

B

0

3. -4

a. sí, ya que un hexágono regular está formado por 6 triángulos equiláteros

-3

-2

-1

0

A”

b. traslaciones y reflexiones

1

2

3

4

-1

-2

B” - 3

C”


b. A’(–1, 1) B’(–1, 3) C’(–2, 3); c. A(1, 1); B(3, 1); C(3, 2) 3.

A’(1, 1); B’(1, 3); C’(3, 3); D’(3, 1) 4

B’

3

2.

a. reflexiones respecto de sus lados b. reflexiones respecto la hipotenusa y de sus catetos

A

1

B D’

A’ 0

Una reflexión sobre el eje Y, luego una rotación con centro en el srcen y ángulo –90° 4.

0

1

2

3

4

2.

a. triángulo equilátero

a. A’(–3, 1) B’(–3, –1) C’(0, –1)

b. triángulo isósceles 1 eje de simetría

b. Dos traslaciones o dos rotaciones.

c. triángulo escaleno

c. C(2, –1); D(4, –1); E(4, –2)

45° ¿Qué aprendí? (páginas 118 y 119)

6.

a.

5 4

J

Parte I

G

1.

F

3

2.

E 2

C” J” - 5

-4

C

-3

-2

F’

0

E”

-1

F”

-2

3.

104 cm2 0,03 cm3 24π ≈ 75,4 m2

4.

E’

0 -1

G’

D

1

D”

G”

1

D’

a. B(5, 3)

J’

b. C(2,8)

2345

c. D

C’

d. 0 e. (1, 4)

b. C’= (x, y) C” = (–x, –y), una relación de rotación respecto del srcen con un ángulo de 180° →

f. (0, 2) 5.


6. 7.

1.

15 cm _ 10√2 ≈ 14,1 cm 2,5√119 ≈ 27,3 cm2

_

8.

a. A(–5, 4); B(–3, 5); C(–3, 4) b. A(1, 3); B(2, 1); C(1, 1) c. A(–3, –1); B(–1, –2); C(–1, –1) d. A(3, –1); B(1, –2); C(1, –1)

182

C

2

3.

5.

C’

D

Solucionario

9.

48 cm 12 cm

10.

3.

Estado de los días del mes de Abril 3

10 %

2

Nublado 1

40 %

50 %

Lluvioso

0 0

1

2

Despejado

3

Parte II 1.

a. 50 %

500π ≈ 1571 cm3

b. 1 día

2.

Sí, porque:

_

c. 10%

_

4.

AF = √20 ; EF = √5 ; AE = 5

a. La preferencia de sabor de helado de un grupo de personas

AF2 + EF2 = AE2 3.

b. La preferencia de sabor de helado de lúcuma a. Cuadrilátero.

c. 10 %

b. Reflexiones y rotaciones.

d. Vainilla

Parte III 1. 2. 3. 4. 5. 6.

e. Frutilla

D A B D A B

f. 54 personas g. 45 personas h. 50 personas 5.

a. 80 boldos b. 58 pinos c. 307 árboles

UNIDAD 4

d. Bellotos Sección 10

6.

a. Ahorro: $ 166 000


Educación: $ 83 000

1.

a. Tipo de empanada vendida entre pino (120, 130), queso (78, 90), napolitana (150, 125) y vegetariana (100, 110)

Salud: $ 124 000 Diversión: $ 41 500 b. Ahorro: $ 190 000

b. Tipo de empanada

Vestuario: $ 95 000

c. Cantidad de empanadas

Servicios: $ 380 000

d. Cantidad de empanadas vendidas por local “la Lupe” e. Cantidad de empanadas vendidas por local “la Pepa”

Salud: $ 142 500


f. Empanada de queso

Paso 1

g. Local “la Pepa”

a. n° de veces que obtuvieron una posición determinada los atletas en las competencias de un

h. Local “la Lupe” i. Local “la Pepa” 2.

a. F

d. F

b. V

e. F

c. V

f. F

año b. 4 categorías


183

Solucionario Paso 2

5.

a. iguales

a. Camila

b. enteros mayores de 0.

b. Belén

Paso 3

c. Lunes, miércoles, viernes y domingo

1: Nadia tiene dos primeros lugares más que Valeria

d. Martes y jueves

2: Valeria tiene tres segundos lugares más que Nadia


3: Nadia y Valeria tiene igual cantidad de terceros lugares

1.

a. De barras y de puntos b. Variable cuantitativa y gráfico de barras

2.

Paso 1 a. Estatura en cm de jugadores de vóleibol y básquetbol

c. Gráfico de barras 2.

d. No

b. Cantidad de jugadores que miden una determinada estatura

a. La variable es del tipo cualitativa, ya que registra el estado meteorológico de los días de abril

c. 5 categorías

b. Gráfico circular, gráfico de barra, gráfico de puntos discreto y pictograma

Paso 2

c. Gráfico circular o pictograma

d. iguales e. enteros mayores de 0.

3.

a. La variable es del tipo cuantitativa, ya que registra la mesada que reciben niños de 8° básico

Paso 3

1: Hay más jugadores de basquetbol de 161 cm que de voleibol de 161 cm 2: Hay más jugadores de voleibol de 162 cm que de basquetbol de 162 cm 3: Hay igual cantidad de jugadores de 159 cm en ambas disciplinas

b. Gráfico de barras c. Gráfico de barras 4.

a. Y 30

3.

a. Grupo A b. Grupo AB c. Porcentaje de la población chilena d. Tipo de sangre e. El Rh y el tipo de sangre

Mínima

25 C º ra u t a r e p

Máxima

20 15

m e 10 T

5

f. Los grupos A y O son los más comunes en la población chilena y el grupo AB el más escaso g. El Rh+ está presente en mayor cantidad en todos los tipos de sangre que el Rh-

Temperaturas en una ciudad del norte del país

X

0

L

i

J

V

S

D

Días

b.

4.

Cantidad de teléfonos celulares en el hogar

a. A las tres amigas b. la frecuencia en que utilizan distintas tarifas de una autopista

Y 6 o más 5

c. Andrea

4

d. María e. Andrea utiliza con menor frecuencia la TBFP que

3

la TBP Paula utiliza con igual frecuencia la TBP que la TBFP María utiliza con menor frecuencia la TBP que la TBFP

184

MM

Solucionario

2 1 0

X 10

20

30

40

c.

¿Cómo voy? (páginas 126 y 127) Masa de un equipo de fútbol

1.

Y 18 16 ºC ra u t a r e p m e T

14 12 10 8 6

Tabla comparativa entre los octavos de un colegio N° de alumnos con 8.°A 8.°B promedios insuficientes 0 16 3 1 9 18 2 4 3 3 1 6

2.

4 2

a. curso 8° A b. 30 estudiantes

X

0 [45

[50

[55 [60 Masa (kg)

c. 9 estudiantes

[65 3.

a. Para el 8.° B en el gráfico circular se desconoce el número de alumnos. Para el 8.° A la escala de un gráfico de barras puede dificultar la lectura de datos

d. Preferencia de sabores de helados

b. Para el 8.° B en el gráfico circular nos entrega información respecto del total del curso. Para el 8.° A un gráfico de barra puede identificar y comparar los valores más destacados

Chocolate

18 % 39% 17 %

Frutilla Menta

26 %

Cereza

c. Respecto de los títulos, quien presenta mejor la información es el gráfico de barras Desafíos de integración

5.

a. De líneas porque se pueden representar cada variable por separado.

1.

a. 70 recorridos b. 50 recorridos

b. De barra, porque se pueden representar cada categoría.

c. 42,9 %

6.

Valor promedio mensual del precio del dólar 650 630 2013 610 2014 590 s 2015 e r570 a l ó550 D 530 510 490 470 Marzo Abril Mayo

d. 35,7 % 2.

a. valor mensual de la cuenta de agua b. En febrero, por un aumento en el consumo en época de verano c. En enero- febrero y abril-mayo hubo un aumento de $ 500 d. Marzo e. $ 3200

a. En el año 2015 b. El precio del dólar en el tiempo tiene una tendencia al alza c. Aumenta al pasar el tiempo.


185

Solucionario 3.

Sección 11

a. Sábado b. Jueves c. 11 grados


d. En general en la segunda semana la temperatura aumentó en al menos 3 grados respecto de la semana anterior.

a. Divide los datos ordenados en 100 partes iguales y representa el 10 % b. Divide los datos ordenados en 100 partes iguales y representa el 25 %

4.

a. 25,8%

c. Divide los datos ordenados en 100 partes iguales y representa el 80 %

b. 258 cuadernos; 205 lápices; 172 calculadoras; 145 otros; 112 agendas; 108 bolígrafos. Resolución de problemas (páginas 128 y 129)

d. Divide los datos ordenados en 100 partes iguales y 2.

1.

a. nivel de estudios de hombres y mujeres de la ciudad de Antofagasta

a. V

c. F

e. F

b. F

d. F

f. V

3.

b. datos cualitativos

a. P10 = 19; P30 =28; P60 = 35; P80 = 42

c. no, si se cuentan los posgrados las mujeres son 91 y los hombres 90

b. P10 = 98; P30 = 105; P60 = 113; P80 = 120 c. P10 = 2; P20 = 3; P30 = 3; P50 = 4; P60 = 5; P80 = 8

d. no, el porcentaje de hombres corresponde a 8 % mientras que las mujeres es 6,1% e. en el grupo de las mujeres, hay una diferencia de 69 mujeres mientras que los hombres son 60

representa el 55 %

d. Significa que el 60% de los árboles mide 5,1 m o menos, o el 40% de los árboles mide 5,1 m o más. 4.

a. El 79 % de los estudiantes tiene a lo más 3 caries

f. 185 hombres y 197 mujeres

b. El 25 % de los estudiantes tiene 0 caries

g. Los datos de nivel de estudios, la variable sexo. Los datos del nombre de la universidad, que se haya hecho en Antofagasta.

c. A lo menos 4 caries d. 21 % e. 79 %

2.

a. 400 pasajes b. sábado

5.

a. 7 b. 10

c. miércoles d. 800 pasajes

c. Mediana

e. martes y jueves

d. 12 puntos e. P23

f. 600 pasajes g. 6800 pasajes

6.

Parte 2

a. El 30% recibe un monto de a los más $ 3219

1.

b. El 50% recibe un monto de a los más $ 3589 c. 13 jóvenes

a. 5000 libros b. Abril, Junio c. Febrero d. Abril 2.

a. Javier

7.

a. 12; el 60 % de los niños caminan a los 12 meses o antes. b. 14 niños c. No, fue el 40 %. d. 9

b. Ignacio c. Marcelo y Javier d. Ignacio y Pedro e. Ignacio

186

Solucionario

e. 8 % Desafío.

Aproximadamente 13 niños.


2.

a.

1.

a. divide los datos en 100 partes iguales b. dividen la variable en estudio en 4 partes iguales

8

c. dividen la variable en estudio en 5 partes iguales d. dividen la variable en estudio en 10 partes iguales

10

12

14

16

b. 12 troperos 3.

2.

a. =

d. =

g. ≠

b. ≠

e. ≠

h. ≠

c. =

f. ≠

i. =

0

5

10

15

4.

3.

a. sobre b. debajo

c. debajo d. sobre

a. Mín. = 12; Máx. = 19; Q1 = 14; Q2 = 15; Q3 = 17 b. Mín. = 9; Máx. = 20; Q1 = 14; Q2 = 15; Q3 = 17 c. Mín. = 2; Máx. = 8; Q 1 = 3; Q2 = 4; Q3 = 6

4. 5.

a. C1 = 3,6 min; C2 = 6,6 min; C3 = 9,1 min; C4 = 15 min b. El 80 % de los clientes espero a lo sumo 13,5 min c. 10 minutos

a. F

c. V

e. F

g. V

b. V

d. V

f. V

h. V

6.

d. no, en general más de la media de los clientes debe esperar a lo sumo 10 min

a. 6,7

c. 6,6

b. 7

d. 9

e. 16

5.

a. Q1 = 46 cm; Q2 = 48 cm; Q3 = 52 cm

Desafío.

7 personas al programa de empleo y 8 personas al hogar

b. Q1 = 23 cm; Q2 = 33 cm; Q3 = 39 cm 6. 7.


2 días dibujos animados y teleseries

1.

8.

a. 6 estudiantes

b. 24 estudiantes

a. Conclusión 2: el 25 % de los individuos tiene una estatura menor a 161 cm

a. determinar Q3

c. 10 estudiantes

Conclusión 3: el 75 % de los individuos tiene una estatura menor a 175,5 cm

b. 125 puntos

d. 7 estudiantes

9.

b. Conclusión 1: el 25 % de las personas compró menos de 7,5 productos

10.

Conclusión 2: el 50 % de las personas compró menos de 11,5 productos

a. El 25 % de los estudiantes tiene a lo sumo 15 años b. El 50 % de los estudiantes tiene a lo sumo 16 años

Conclusión 3: el 75 % de las personas compró menos de 15 productos

c. El 75 % de los estudiantes tiene a lo sumo 19 años Desafío

2.

17 años


a. Conclusión 1: el 25 % de las personas realiza menos de 8 horas al mes de actividad física

Conclusión 2: el 50 % de las personas realiza menos de 16 horas al mes de actividad física

1.

a. 192 cm b. Q1 = 168 cm; Q2 = 172,5 cm; Q 3 = 178 cm c.

Conclusión 3: el 75 % de las personas realiza menos de 40 horas al mes de actividad física b. Conclusión 1: el 25 % de las personas asiste menos

150

160

170

d. 24 postulantes

180

190

de 2 veces al año al dentista Conclusión 2: el 50 % de las personas asiste menos de 3 veces al año al dentista Conclusión 3: el 75 % de las personas asiste menos de 5,5 veces al año al dentista


187

Solucionario 4.


a.

1.

a. Los A y B comparten el mismo mínimo

El máximo de B es el doble de A El rango de B es mayor que A b.

A Q1

B

2 5

7

Q3

6,5

10

A y B tienen el mismo rango b.

El rango intercuartil de B es mayor que el de A

A 28

B 18

B

Q1 Q2

37

27

14

Q3

47

37

17

2.

a. A tiene un máximo mayor que B; B tiene un mínimo menor que A; A tiene un rango mayor que B. A 1 30 29

B 0 20 20

B 2,5

Q2

6

10

Q3

15

13

Q1

8

C tiene el menor Q 1, A tiene el mayor Q1 A tiene el mayor Q3, C tiene el menor Q 3 A y B tienen aproximadamente el mismo rango intercuartil

b. Q1 de A es mayor que el de B; Q2 de B es mayor que el de A; El rango intercuartil de A es mayor que el de B. A 3

B 5 20 15

A tiene el máximo más grande, C tiene el máximo más pequeño

Los cuartiles de B son mayores que los de A

Mínimo Máximo Rango

B 10 40 30

C tiene el mínimo más pequeño, A tiene el mínimo mas grande

3

Q2

A 20 50 30


c. Comparación entre las sucursales A B C Es el más lento. Es el más Es el más heterogéneo. rápido. d.

3.

Diferencias entre las sucursales A B C Los clientes se Al 50 % se Se atiende demoran entre demora entre en menos de 20 y 50 m. 20 y 35 m. 20 m

a. A tiene un máximo mayor que B; A tiene un mínimo menor que B; A tiene un rango mayor que B. A 2 30 28


B 10 20 10

b. Q1 de A es mayor que el de B; Q2 de B es mayor que el de A; El rango intercuartil de A es mayor que el de B

188

A

B

Q1

13

12,5

Q2

14,5

15

Q3

25

18

e. 37 min f. 40 min g. 5 min 5.

a. 15 años b. En general para el 40 % existe un aumento de 15 cm en la estatura ente los 10 y 15 años

c. No

Es posible notar el aumento de la estatura de los niños ya que el 90 % pasa de medir a los más 145 cm a medir a lo más 175 cm.

d. En A hubo mejores y peores notas que en B; el curso A es más heterogéneo que en B.

En promedio hay un aumento de 17 cm en la estatura entre los 10 y 15 años.

Solucionario

c. En general para el 25 % existe un aumento de 20 cm en la estatura ente los 15 y 20 años.

e. 17 viajes, corresponde al mayor valor que toma la variable de la muestra

Es posible notar la disminución en el aumento de la estatura ya que en general el 75% aumenta 10 cm.

f. Q1 = 12 viajes

Q2 = 15 viajes Q3 = 17 viajes

d. En promedio hay un aumento de 15 cm en la estatura entre los 15 y 20 años.

g.

El periodo en que más aumenta la estatura en los niños es entre los 10 y 15 años, luego la variación de la estatura disminuye entre los 15 y 20 años.

10

12

14

16

18

6.

h. El máximo coincide con el Q3

a. sucursal A

El 25 % corresponde a 12 viajes diarios El 50 % corresponde entre 12 y 17 viajes diarios

b. Sucursal A: 4 artículos

Sucursal B: 3 artículos 2.

Sucursal C: 2,5 artículos

a. Q1 = 17 estudiantes

Q2 = 21 estudiantes


Q3 = 36 estudiantes

1.

2.

a. [27, 32[

d. [17, 22[

g. [22, 27[

b. [27, 32[

e. [32, 37[

h. [22, 27[

c. [37, 42[

f. [27, 32[

i. [32, 37[

b.

10

Mínimo: 17 años

15

20

25

30

35

40

45

50

c. Los valores mínimos y máximos son 15 y 44 estudiantes respectivamente, con un rango de 29

Máximo: 47 años 3.

d. La mediana de los alumnos por deporte es 21 estudiantes 3.

15

20

25

30

35

40

45

a. la mediana de las mujeres compra su primer vehículo entre los 27 a 32 años b. el 25 % de las mujeres compra su primer vehículo entre los 22 a 37 años 4.

a. todos los grupos tienen el mismo rango intercuartil b. A y C comparten el mismo mínimo, A tiene el máximo más grande y el mayor rango c. B tiene el menor rango Desafíos de integración

a. f 6 7 5 6 9 5 4 2 1

[15-20[ [20-25[ [25-30[ [30-35[ [35-40[ [40-45[ [45-50[ [50-55[ [55-60[

F 6 13 18 24 33 38 42 44 45

fr _ 0,13 _ 0,28 0,4 _ 0,53 _ 0,73 _ 0,84 _ 0,93 _ 0,97 1

b. Q1= 23 mil pesos

Q2 = 34 mil pesos

1.

Q3 = 41 mil pesos

a. 15 viajes b. 17 viajes, son la cantidad de viajes que más se repite

c.

c. 15 viajes, corresponde 50 % de la cantidad de viajes diarios d. 10 viajes, corresponde al menor valor que toma la variable de la muestra

10

20

30

40

50

60


189

Solucionario 4.


a. 40 320 b. 24 c. 90 d. 210

1.

P10 = 14 años

P60 = 20 años

P30 = 16 años

P80 = 22 años

2.

e. 90 f. 60 g. 6 h. 60 si no se pueden repetir los dígitos, 108 si se pueden repetir i. 240

a. Q1 = 2 juguetes b. Q2 = 2juguetes c. 3 juguetes 3.

a. 5,7 b. 9 alumnos c. 5,8

G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 R1 R1 R1 R1 R1 R1 R1

R1

A1 A2 A3 A4 G5

d. no se puede determinar

R2

Parte 2.

R2

R2

R2

R2

B1 B2 B3 B4 B5 B6

4.

j. 378 R1 R2 R3 R4 R5 R6 R1

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

R1

R1

R1

R1

R1

M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 R2

5.

R2

R2

R2

R2

R2

R2

C1 C2 C3 R3

–2

0

2

4

6

8

10

R3

R3

P1 P2 P3

12

k. 12 636 000

3.


El grupo A tiene un mayor rango

1.

El grupo A tiene un máximo y un mínimo mayores que B El rango intercuartil de A es mayor que el de B

a. 24 elementos 1 2 3

4

5

6

R1

R1

R1

R1

Sección 12

1234

1.

a. V

c. V

e. F

g. F

b. F

d. F

f. V

h. V

R1

C

4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4)

5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5)

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6)

6 (6,1) (6,2) a. 36 elementos

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)

a. 18

190

Solucionario

R1

3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)

1 2 3 4 5

b.

e. 6

R1

2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2)

a. 64

d. 9

R1

S

2.

3.

c. 6

R1

b. 8 elementos


2.

R1

b.

1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1)

6•6

3. 6 • 6 = 62 = 36

4.

3. 4.

1234

5.

12345 23456 34567 45678

6. 7. 8. 9.

5.

a. 0,125

a. principio multiplicativo

b. 0,019

b. 60

.

c.

c. 0,038

Po Po Po Po Po R1

R1

R1

R1

d. 0,00961

R1

Pa Pa Pa R2

R2

10.

R2

R3

e. 0,75 a. 96 elementos

d. 0,5

b. 0,083

e. 0,0104

c. 0,0104

f. 0,25

_

Ch Ch R3

Z1 Z2 S d. 10


e. 4

1.

6.

a.

0,06 0 0,0625 0,0081 0,008 0,00032

a.

d. 720

10 • 9 • 8 • 5 • 4

b. 14 400

SN 3L PN DC R1

e. 60

M

c. 480

R2

7.

R1

P

F

R2

R2

R1

R1

PQ N

a. 12

b.

b. 3

(SN,M,PQ), (SN,M,N), (SN,P,PQ), (SN,P,N), (SN,F,PQ), (SN,F,N), (3L,M,PQ), (3L,M,N), (3L,P,PQ), (3L,P,N),

c. Que en la ruleta saque B, C o D y luego una bolita

con A. d. 3

(3L,F,PQ), (3L,F,N), (PN,M,PQ), (PN,M,N), (PN,P,PQ), (PN,P,N), (PN,F,PQ), (PN,F,N), (DC,M,PQ), (DC,M,N), (DC,P,PQ), (DC,P,N), (DC,F,PQ), (DC,F,N)

e. Que en la ruleta saque A, C o D y luego una bolita con B.

c. 24 elementos

f. Que en la ruleta saque A, B o C y luego una bolita con D.

d.

g. Obtener una bolita A o B o C de cada urna

f. 0,042


g. 0,625 h. 0,25

_

a. 0,025

c. 0,083

e. 0,025

b. 0,0083

d. 0,03

f. 0,03

_

4•3•2

e. 0,042

_

_

2.


a.

1 R1

2

3

4

5

6

a. Ω: {1,2,3,4,5,6,7,8}

R1

R1

R1

R1

R1

b. 0,5 c. 0,5

1234 b. 0,25

d. 0,58

c. 0,25

e. 0,125

f. 0,875

d. 0,25 e. 0,375 f. 0,3125


191

Solucionario b.

2.

2•6•4

a. Ω: {CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS }

c. 32 elementos

b. 0,5 c. 0,125

d. 1000000 de contraseñas con repetición de los dígitos

d. 0,625

e. 0,83

_

_

e. 0,25

f. 0,8

f. 0,125

g. 0,25

3.


a. R1

R1

R1

Parte I

R1

1.

123456 b. 0,125

6 d. 0,041_

c. 0,25

e. e. 0,25

a. 172

6 f. 0,041_

b. 34

c. 30 – 44

2.


d.

2•2•2•2=2

4

42

= 16 elementos

46

48

50

52

54

56

3.

2.

a. ]0,5]; ]5,10]; ]5,10]; ]10,15]

d.

_

b. ]10,15]

+123456 1234567 2345678 3456789 4 5 5 6 6 7

c. 10 m d. No, porque solo 80 personas esperan más de 15 minutos.

6 7 8

7 8 9

8 9 10

9 10 11

10 11 12

4. 5.

a. {(1, 1)(1, 2)(1, 3)(1, 4)(2, 1)(2, 2)(2, 3)(2, 4)(3, 1)(3, 2)

(3, 3)(3, 4)(4, 1)(4, 2)(4, 3)(4, 4)}P b. 0,25

3.

d.

_1

Parte II

_1

2

_1 _1 _1

_1

2

2 3 3 3 A B C D E

1.

_1 2

2.

a. 1 2 3 4 C

R1

S

Solucionario

R1

R1

_

2: _ 1; _ 2; 7 a. _ 3 2 3 10 b. Caja 2

c. Sacar una bolita blanca.

_

1•_ 1=_ 1 = 0,16 A=_ 2 3 6 _ 1 1 1 B = _ • _ = _ = 0,16 2 3 6 1•_ 1=_ 1 = 0,1_ C=_ 6 2 3 6 1•_ 1=_ 1 = 0,25 D=_ 2 2 4 1•_ 1=_ 1 = 0,25 E=_ 2 2 4 e. Los trayectos con destino D y E

R1

0,625 0,4

6.

_

33 36 = 0,916

192

44

2.

Caja A.

3.

A A

V V

Parte III

4.

D C C D

5. 6.

A D

1. 2. 3.

R

A

V

R R

A

V

R

EDICIÓN ESPECIAL PARA EL MINISTERIO DE EDUCACIÓN PROHIBIDA SU COMERCIALIZACIÓN

texto cuadernillo 8 matematica

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