MATEMATICA 8

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El material didáctico Guía para el Profesor, Matemática 8, Proyecto Bicentenario, para Octavo año de Educación Básica, es una obra colectiva, creada y diseñada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección de MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA Coordinación Científico-Matemá Científico-Matemática: tica: Edición:

Colaboradora: Autora: Corrección de estilo:

Documentación:

Gabriel Moreno Rioseco Ángela Baeza Peña Marcia Villena Ramírez Valeria Sáez Gómez María Antonieta Santis Ávalos Isabel Spoerer Varela Astrid Fernández Bravo Paulina Novoa Venturino

La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de VERÓNICA ROJAS LUNA Con el siguiente equipo de especialistas: Coordinación Gráfica:

Carlota Godoy Bustos

Diseño y diagramación diagramación::

Mariela Pineda Gálvez

Cubierta: Producción:

La Práctica S.P.A. Germán Urrutia Garín

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

© 2009, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones. Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile). PRINTED IN CHILE. Impreso en Chile por Quebecor World S.A. ISBN: 978 - 956 - 15 - 1523 - 9 Inscripción N° 177.572 177.5722.535. 2.535. www.santillana.cl [email protected] C.D. SANTILLANA® SANTILLANA ® es una marca registrada de Grupo Santillana de Ediciones, S.L. Todos los derechos reser vados.

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El material didáctico Guía para el Profesor, Matemática 8, Proyecto Bicentenario, para Octavo año de Educación Básica, es una obra colectiva, creada y diseñada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección de MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA Coordinación Científico-Matemá Científico-Matemática: tica: Edición:

Colaboradora: Autora: Corrección de estilo:

Documentación:

Gabriel Moreno Rioseco Ángela Baeza Peña Marcia Villena Ramírez Valeria Sáez Gómez María Antonieta Santis Ávalos Isabel Spoerer Varela Astrid Fernández Bravo Paulina Novoa Venturino

La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de VERÓNICA ROJAS LUNA Con el siguiente equipo de especialistas: Coordinación Gráfica:

Carlota Godoy Bustos

Diseño y diagramación diagramación::

Mariela Pineda Gálvez

Cubierta: Producción:

La Práctica S.P.A. Germán Urrutia Garín

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

© 2009, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones. Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile). PRINTED IN CHILE. Impreso en Chile por Quebecor World S.A. ISBN: 978 - 956 - 15 - 1523 - 9 Inscripción N° 177.572 177.5722.535. 2.535. www.santillana.cl [email protected] C.D. SANTILLANA® SANTILLANA ® es una marca registrada de Grupo Santillana de Ediciones, S.L. Todos los derechos reser vados.

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Índice Presentación

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Ejes del proyecto Bicentenario

Cuadro comparativo entre OFV y CMO

6

Organización del texto del alumno

10

Organización de la guía para el profesor

12

Planificación de las unidades

14

d a d i n U

1

Números enteros

14

d a d i n U

2

Potencias

32

d a d i n U

3

Transformaciones geométricas

50

d a d i n U

4

Funciones y proporcionalidad

70

d a d i n U

5

Circunferencia, círculo y cuerpos geométricos

90

d a d i n U

6

Estadística

106

d a d i n U

7

Probabilidad

124

Recursos

142 Solucionario de evaluaciones complementarias

142

Bibliografía

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PRESENTACIÓN DEL PROYECTO

El proyecto Bicentenario de Santillana, presenta una propuesta destinada a cubrir todos los requerimientos del Ministerio de Educación. Bicentenario, representa una enriquecedora instancia para evocar nuestro pasado y recoger

las experiencias vividas por la nación en doscientos años de vida republicana. A su vez, constituye un espacio abierto de debate y reflexión para crear, innovar y proyectar con liderazgo el futuro que hoy se construye en nuestras aulas. El material didáctico que constituye esta serie, busca fomentar en los y las estudiantes la comprensión de la realidad, facilitando la selección de estrategias para resolver problemas y contribuir al desarrollo del pensamiento crítico y autónomo. Ademas, el currículum de este sector tiene por objetivo aportar al desarrollo de las capacidades de comunicación, razonamiento y abstracción de los alumnos y alumnas, impulsando el desarrollo del pensamiento intuitivo y la reflexión permanente. La propuesta Editorial contempla el Texto del alumno, un Taller de ejercicios , un Anexo con solucionario, la Guía para el profesor y los Recursos digitales.

Para el alumno(a): Texto del Estudiante

Taller de ejercicios Anexo con solucionario

Para el profesor(a): Guía del Profesor

Recursos digitales

Ejes proyecto Bicentenario 1. Incorporación de los ajustes curriculares

La serie Bicentenario ha sido creada acorde a los nuevos ajustes curriculares publicados en julio de 2008, abordando los nuevos requerimientos relacionados con los Objetivos Fundamentales Verticales y Contenidos Mínimos Obligatorios. El propósito de esta nueva propuesta para el sector de Matemática es introducir a los y las estudiantes en la comprensión del mundo que los rodea por medio de relaciones entre los diversos aspectos de la realidad, basada en el conocimiento proporcionado por esta área del conocimiento.

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Se pretende que todos los alumnos y alumnas logren, en su formación general, una educación matemática básica. Esta perspectiva se expresa en los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios orientados hacia un aprendizaje contextualizado del conocimiento matemático. Así el sector de Matemática se ha reestructurado entorno a cuatro ejes temáticos fundamentales, estos son: 1º Números. 2º Álgebra. 3º Geometría. 4º Datos y azar. 2. Evaluación permanente y explícita

En los textos del proyecto Bicentenario, la evaluación se ha ido desarrollando en diversos momentos a lo largo de cada una de las unidades con el propósito de obtener información sobre los aprendizajes logrados. En este sentido se entregan evaluaciones diagnósticas, de proceso y finales. Cada evaluación cuenta con su correspondiente pauta de corrección con indicadores, criterios y actividades remediales y de profundización, que permiten atender a la diversidad de aprendizaje de los y las estudiantes. Los tipos de evaluaciones que encontrará en el texto, se detallan a continuación: • Evaluación diagnóstica. Se presenta al inicio de cada unidad para identificar los conocimientos previos con los cuales los estudiantes se enfrentarán a los nuevos aprendizajes y permite detectar falencias que pudieran entorpecer el logro de aprendizajes más complejos. Este momento evaluativo, es de carácter formativo. • Evaluación de proceso. Se desarrolla durante la unidad y, dado su carácter formativo, permitirá al estudiante retroalimentar su desempeño y, al docente, realizar a tiempo las modificaciones necesarias para mejorar el logro de los aprendizajes. • Evaluación final. Su carácter es sumativo, pues entrega información a cerca del nivel de logro alcanzado respecto de los aprendizajes esperados al término de la unidad, dando la posibilidad de reforzar los aprendizajes más débiles. 3. Innovación en el diseño

La propuesta gráfica pone énfasis en los recursos visuales, como infografías, ilustraciones, fotografías, esquemas, entre otros; con el propósito de apoyar la labor docente, al favorecer la construcción de aprendizajes, a partir de la comprensión visual. 4. Incorporación de las TIC

Con el objetivo de responder a la amplia gama de recursos tecnológicos y para atender la cobertura de alfabetización digital, se han introducido nuevos métodos de enseñanza-aprendizaje que contemplan el uso de las TIC como instrumento cognitivo y para la realización de actividades interdisciplinarias y colaborativas. Los recursos digitales que contempla el proyecto son 3 discos compactos que contienen: el libro del alumno digital, tutoriales que muestran al docente cómo utilizar herramientas digitales y la guía didáctica en formato PDF. |

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s o s o o n o n t t s s s s r a o a r o o r y a r y a o a a d s s d t o d o l l t a d a r r c o e r t c o e r t a d a d r n r n i i r r a e l a l e a a v v n n d i t u e d i t u e z l z l i i u u l u l u d s d s n n n n e e a d a d e c e c m a m a z o e z o e n n s r a s r a i i o o l l a s l c i d e y e . a s l c i d e y e . t n r t n r a n y e a n y e a p n d i a p n d i n n y u t n n y u t r i r i s ó s ó o l s n e i o l s n e i o i o ó ó i i i c a a s s c t c g a t c g a o o i i l a l a c a e n d e d c c a e n d e d c a a u u á á s s r o r o e u t l e u t a m a m l i i t l t l m n m n , i , i l a a r l a a r c t c t o i a s o i a s s s d d a a u u a a m m c o l l a c o l l a n r f n r f e n c n s e n c n s e e u f o i u f o i o y e n d o y e n d R e l r f a R e l r f a • •

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c E • r a s l s o y a o t o o d n n d t r l n e a a a o a a s d t n s t e t o n r l d o r n i o e p u s r a e c d e z a a m e e i l l e n l t a d r u c a d y a y u d n s a s l s n a n e u e a e f ó y n n r i d m r y c r i r s . o a i o a i a o s o f t g i i c d l n m c c a e s á ó e u r n n s a r i l o t l , u a r f n a c o i z n l a c s a l e m i i u i c v e n t e i t i o o a d R e l c u d l s •

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s o a s n r l o ó a a e s s e e e m i r m r o t v d i d o c s o e t a r s e d o c i e t u v x n c o t e o e l n q e f n t s e d i n n i n p r e s s u a e s t e l e . o o n e n i d a . n n a i s l o n e s d m e l u s e i c n e a c a a e n a s e a t o n o e l i o n i r l j e i a m n b e c n c í t e c a n a o y t e e l a p n c a r e i ó a a r r i c i l i a d e i , e a u i l r e l a u c t c o b p r c n v s a d p c l i r d v a i e d v i e c n , e e s t r m o . o a o d l n e l á r p i l r b u p n e n a a o e ó e t o r a q n e e r m o d i p t s i d l a e e n i r c ; u p e e o s d i s i n e c e l a a s n e t t a e s e c d q e t n l a v l n d r n s ó a b o i m o s o i n n v b e e r c t a n c i a o ó o o d m l n i t i o i ó c p i i i u c t n l p r r e e o a d l r d c n r x ó o u o s a a u c n l c o o i r i e n e l m e v v e f e i e t s r t c d á p r i s p o t ó o s n l a o c n e t n s p i o i r p s n c e e g e o r o n o o l e R p e i D d e y e r d f s d n R c e r m a • • •

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Organización de la guía La guía para el profesor del Texto Matemática 8º, Proyecto Bicentenario, es un material creado por editorial Santillana como apoyo al proceso de enseñanza-aprendizaje para el subsector de Matemática. Esta propuesta de guía incorpora material concreto de apoyo a la labor docente, a través de diversos elementos que se desarrollan en el interior de las páginas. A continuación se describen los tipos de página que encontrará en cada unidad:

Contenidos de la unidad

1. Páginas de inicio

Listado de los contenidos desarrollados en el texto del estudiante.

Título de la unidad

CMO OFV

Introducción de la unidad

Describe el propósito de la unidad.

OFT Tiempo estimado

2. Esquema de la unidad

Organizador gráfico que muestra los principales conceptos tratados en el desarrollo de la unidad.

3. Sugerencias metodológicas Información para el docente

Esta sección está destinada a entregar información anexa al docente, de manera de profundizar y complementar la información dada en el texto del alumno.

Tarea

En esta sección se proponen diversas actividades de profundización para que los estudiantes desarrollen los temas trabajados.

Actividades complementarias

Proporciona al docente actividades que pueden ser realizadas antes, durante o después del tratamiento de contenidos y que permiten profundizar o reforzar los conceptos principales abordados en las páginas del texto del estudiante.


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Sugerencias de evaluación

Para las evaluaciones de cada unidad del texto del alumno, se presenta una tabla que organiza para cada ítem los indicadores, las preguntas que responden a cada indicador, los criterios de logro, remediales y actividades de profundización. Errores frecuentes o posibles dificultades

Esta sección presenta dos instancias de trabajo, una de ellas es la relacionada con los errores más comunes en que suelen incurrir los alumnos y alumnas, proponiendo estrategias para evitar y subsanar estos errores. Y la otra, se relaciona con las posibles dificultades que los y las estudiantes pueden presentar, donde para superarlas se presentan remediales e indicaciones útiles.

4. Evaluaciones complementarias

Cada unidad presenta dos páginas destinadas a evaluar los contenidos de la unidad mediante preguntas de selección múltiple.

5. Solucionario

Entrega las respuestas de las evaluaciones complementarias de la guía para el profesor.

6. Bibliografía

Entrega una serie de recursos bibliográficos que le permitirán ampliar el contenido de los temas tratados en cada unidad del texto.

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a l s s s o a o o a r r l o t s r a e n a e r e o r m l p e i a ú d d e v m . o n o i p n e ú i n d n m s l a t u r i n d o c o n n l r l e b e u u ó n c e á d ó i o o t c i c m i l c s á c c r n á r a n o e l a c p i r p e d z o o e e t s s c e l l a p n o o n d a r o s r t r e h e o i s u e o e n c , n m i a e r o t m i e n l t a e i d ú t ó n n g d o m i n e o o e e n i s m i c d e d e i v r i e o . m e m o i r n d c s d c n o d m o p ó , ó r e s o i n e ú c r i c e s ó c p e d o i n o t n r m o c v e a n ú n e a n t r n i c i t e l p u t u ó n n i c x i a i p l d e i c g e e e a e t p d n s , i d r a e d r s l t o n l c e u o n e o u p l l o i p r m s o a e e ó p l i r m l i o e a e t r s r e p l p u i a m l t r t a v l ú e m u n o a l m i E m e c n a E d a n d

•

o c i t p ó n i s o r d a u C

Santillana Bicentenario

n u . r n o s ó s p i o c o r r o u e l v e i t o t m i s . n ú s s e e n r o o s r p s . e e o s o t o d r l o n r e r s n e e e o m t e t m e ú n s n d ú n e e e i s n n n s m o n o ó o i i . i r s c d c u . d i e a c e o e s e l a e c v d m t e r d i r o t t ú n r s n a n n y é p u ó r i g i s ó s e c e c . d a e o n y s a a t . c c o n p d i p s n i s l o v ó e i r l e o ó s p p i t i i i c r i s d l t e i t a i c l e i l n t á o m g v o n d u ú u e i s n C e A M n M n D U A

•

s s s e n r s o o i o a e d d s c d s a a i i t f c t l i o l a r d e e r u u . e i s d d e s e l v i e e d r o m r y b o ú , r l a m s a n s e s s u n h ó o d o m i c . o l n r i o m s e á c s h t r e z a e c d n c , í u e e i c l s m i v d d s e s i o o ó l i i e p s l d n c n a e d a e e n n e s o a f e y r s v d i o u o i o a o n a s i t e z t t i i l s n i v s o e d x r l e p n a e d s s l e i o i a p t f e p o a s u n r n l m y s n m e i a o a m o i e t d s r s c o e i c v l n c e e i o v c r n e e e a a s c n d , e p u n e s y m l o o t r r i l i o n a a o e s p c i v s d a e s o n t c d a i t n r i c s r i a s s m a d a l o l u e e i c i f e i p r e o a l n l f e a m c b i e d p i p t l t n t r u s g b a a r á o r i m u n o o E m e M p b p s o p y

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. a i c a . c i f e t e n y a v d e l a e d i r r a n l ó c i c n a o c m r , s o f a i n . i p e o a j l r a z p r i a d s n n e o n e i r c o i c p c e a c l i o e v s t u . n y a a o c c i o e t y t d n s . í r e e s c s i o o t o t m d i a j a u n c i e d a i o c b a r y i m n a t o p a t c a y i c n e l c s t e s a í r s , c e r l a r s a e a a z y e i t d l i d t d a o i , u a e d s , d i t t e d i v n n a i e n o d t r e i s i f l a n e i a r l l a e p e r c u y o a d a l s l , i v o a i c l r s i e a d n d r c m i ó a c o l e d t i n b e n a o o d m u c r i l e p i y m o d r b a o c s i v d e v n x y a l o e r d l a i o p s s f c s e e a e e p r r r r a e y o p t x c d a n e a d í l e e a m i y d m d o i s c n a d é a o s r p t n a e a u e d i t i p l c a n b i l a l a e a l l e r r r h r l a l a l a a l l e l l v o o o r a o r r r r r r t i m a s a s a s c r o e r e e e j P D D D E

s e l a s r e v s n a r t s e l a t n e m a d n u f s o v i t e j b O • • • • •

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. s a n a m e s 5 a 4

o d a m i t s e o p m e i T

s e n o i c a v r e s b O |

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Esquema de la unidad NÚMEROS ENTEROS

Orden

Valor absoluto

Adición

Operatoria

Sustracción

Multiplicación

Uso de paréntesis

División

Aplicación en la resolución de problemas

Sugerencias metodológicas Páginas de inicio (Páginas 8 y 9)

Información para el docente • Los alumnos y alumnas estudiaron números enteros en el curso anterior, sin embargo, se recomienda recordar ejemplos de la vida cotidiana donde es necesario utilizar números negativos, algunos conceptos básicos de orden, el valor absoluto, etc. • El proyecto presentado en las páginas de inicio promueve el ahorro de energía a través de información acerca de las alternativas que existen para la obtención de energía en otras fuentes de recursos naturales y presenta aquí la energía geotérmica. Una de las preguntas del proyecto grupal tiene relación con las ventajas de este tipo de energía, para información del docente una de ellas es que existe menos probabilidades de agotar el yacimiento térmico, puesto que el agua que sale de los pozos se devuelven a otro conservando una importante cantidad de energía térmica. Puesto que la cantidad de agua total se mantiene entre los pozos, tampoco se agota el agua del yacimiento. Los residuos contaminantes producidos por este proceso son mínimos y ocasionan mucho menos impacto al medio ambiente comparado con otras fuentes energéticas como el carbón y el petróleo. Por último esta fuente de energía nos permitiría dejar la dependencia de fuentes energéticas del exterior.


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UNIDAD 1 | Números enteros

Información para el docente • Para repasar se puede pedir a los y las estudiantes que realicen las siguientes actividades:

Representa con números y signos las siguientes cantidades involucradas. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Debo una cuota de $ 13.500 a una casa comercial. En el banco tengo un saldo a favor de $ 1.200. Una tortuga marina puede sumergirse 1.200 metros, aproximadamente, bajo el nivel del mar. Mi hermanito tienen 39º de fiebre. Estacioné mi auto en el tercer subterráneo. A lo lejos se ve un velero en el horizonte.

Encuentra el antecesor y sucesor de los siguientes números enteros. Número

Antecesor

Sucesor

0 –13 24 –35 –201 –1.025

Ubica los siguientes números en la recta numérica. –4

6

–9

1

10

0

Da un ejemplo de la vida cotidiana donde sea posible utilizar las siguientes cantidades. 1. –$ 13.500 2. –3 ºC 3. –1.200 km 4. Piso –2 5. –20%

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¿Qué recuerdo? (Páginas 10 y 11)

Información para el docente • Antes de comenzar la unidad los alumnos y alumnas deben repasar los siguientes contenidos: – Uso de números negativos en la vida diaria. – Orden en números positivos y negativos. – Adición y sustracción de números positivos y negativos.

Indicador Caracterizar y utilizar los números enteros distinguiendo que con ellos se solucionan problemas que no eran posibles de resolver usando números naturales.

Representar números enteros en la recta numérica y determinar relaciones de orden entre ellos.

Nº de pregunta 1

B

2

A

3

Alternativa correcta: C Alternativa D: 436 – 435

4

A

5

B


Logrado con

2/3

3/4 6 9

Interpretar y calcular adiciones y sustracciones de números enteros y resolver problemas que involucran estas operaciones.

Respuesta

Remediales/ sugerencias de profundización • Realizar ejercicios en donde los alumnos y alumnas a través de situaciones de la vida cotidiana identifiquen números enteros y los representen adecuadamente a través del signo positivo y negativo. • Realizar ejercicios en donde los alumnos y alumnas logren identificar propiedades que se cumplen gracias a los números enteros y que no existen en los números naturales.

• Realizar ejercicios donde los y las estudiantes deban ubicar números enteros en la recta numérica y ordenarlos de menor a mayor y viceversa. • Realizar ejercicios donde los alumnos y alumnas determinen los opuestos de números enteros y su valor absoluto.

D –9 < –7 < –4 < 0 <5 < 8

7

B

8

B 3/4

10

322 a. C

11

Platón

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• Realizar ejercicios donde los y las estudiantes resuelvan adiciones y sustracciones utilizando diferentes combinaciones de signos. • Realizar ejercicios donde los alumnos y alumnas deban resolver problemas de la vida real a través del cálculo de adiciones y sustracciones de números enteros.


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Conceptos y relaciones en los números enteros (Páginas 12 y 13)

Información para el docente • En este primer contenido también hay que mencionar que en el conjunto de números enteros existe el neutro aditivo que no se tenía en los números naturales, y que para este valor tanto su inverso como su valor absoluto es el mismo número.

• Es importante señalar a los y las estudiantes que las distancias son siempre positivas sin importar su dirección, por lo que, para indicar su sentido es necesario el uso del signo negativo o positivo, por ejemplo, para indicar distancias bajo el nivel del mar. Así como estas distancias, las distancias en la recta numérica también son siempre positivas.

• El docente puede hacer uso tanto de una recta horizontal como una recta vertical para representar cantidades negativas y positivas, el segundo caso es útil cuando utilizamos modelos como el de temperatura bajo y sobre cero, distancias, altura y profundidad, etc.

• Conjeturar con los alumnos y alumnas que el valor absoluto de un número negativo corresponde a su opuesto, mientras que el valor absoluto de un número positivo es el mismo. Analizar con los y las estudiantes el inverso aditivo del 0, como este valor no tiene signo no podemos usar la definición de la página 12, pero si podemos usar que la suma de un número con su inverso es 0, para determinar finalmente que el inverso aditivo de 0 es el mismo.

• La definición formal y algebraica del valor absoluto está dada por: x =x x =–x

si x  0 si x < 0

Comentar esta notación con los alumnos y las alumnas porque les sirve para utilizar el lenguaje algebraico.

Actividades complementarias Decide si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifica. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

El inverso aditivo de un número entero es igual a su valor absoluto. El inverso aditivo del inverso aditivo de un número entero es el mismo número. El inverso aditivo del valor absoluto de un número entero es siempre un número negativo ó 0. Al comparar dos números negativos, el menor de ellos será el que posea mayor valor absoluto. El inverso aditivo de un número siempre es menor que el número. El inverso aditivo de un número es el mismo número pero con signo contrario. El 0 siempre es mayor que cualquier número negativo y menor que cualquier positivo.

Completa con los signos =, < ó >, según corresponda. 1. – –a

2. –a

– a

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a

3. – –a

–a


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Errores frecuentes y posibles dificultades • Es muy posible que los y las estudiantes al verse enfrentados a afirmaciones y conclusiones acerca de los números enteros, verifiquen las propiedades en números negativos y positivos, pero no recuerden verificarlas para 0, lo que provocará que lleguen a conclusiones erróneas, por ejemplo, pueden concluir que el inverso aditivo de un número es el mismo número pero con el signo contrario, lo que no se cumple para el cero ya que no posee signo. Se le recomienda al docente que para cualquier conclusión o pregunta que se realice a cerca de los números enteros, siempre verifique y comente el caso del 0.

Adición y sustracción de enteros (Páginas 14 y 15)

Información para el docente • En la adición de números enteros de distinto signo pueden surgir ciertas dificultades o confusiones en ciertos casos. El utilizar la recta numérica para representar la adición es una buena decisión porque gráficamente aclara la regla de los signos, pero hay que tener cuidado en fundamentarlas correctamente; la operación adición en la recta implica siempre un avance, pero si se está sumando un número negativo, se cambia de dirección lo que se traduce en un retroceso. Utilizando esto se puede lograr que los propios alumnos y alumnas deduzcan la regla de los signos en el caso de la adición de enteros y como la sustracción se traduce a una adición con el inverso aditivo, es posible abarcar todos los casos. • Para introducir la sustracción de números enteros es útil presentar ejemplos en que se deba calcular la “diferencia” entre dos números, por ejemplo, la oscilación térmica, distancias entre altura y profundidad, saldos, etc. Al realizar este tipo de ejercicios los y las estudiantes llegarán sin dificultad al resultado de la sustracción por lo que será más fácil justificar el procedimiento a seguir, incluso ellos mismos(as) guiados por el o la docente podrán deducir el algoritmo. • El docente debe hacer énfasis en que al traducir un problema que contenga operaciones matemáticas, los(as) alumnos(as) identifiquen correctamente las sustracciones y las adiciones y, luego se realicen las transformaciones correspondientes para encontrar el resultado.

Errores frecuentes o posibles dificultades • Para que los alumnos y alumnas logren realizar sustracciones de números enteros, es necesario que manejen el concepto de inverso aditivo. Se le sugiere al docente repasar y profundizar este concepto antes de realizar sustracciones. • En esta unidad se introduce un elemento que no se utilizaba antes en las operaciones, que corresponde al paréntesis, el docente debe previamente explicar la función del paréntesis en el caso de adición y sustracción de números negativos.


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• En el caso de la adición de números de distinto signo, los(as) alumnos(as) recuerdan restar ambos números pero se equivocan frecuentemente en el signo del resultado. El docente debe remediar estos errores realizando diferentes actividades para que logren practicar el algoritmo, como por ejemplo, utilizar la recta numérica, o bien, algún contexto como el de deuda y haber que sirve para que los(as) alumnos(as), aunque no manejen la regla de signos, logren identificar el signo del resultado de una adición.

Actividades complementarias En la recta numérica representa las siguientes operaciones, guíate por el ejemplo, en el caso de las sustracciones transfórmalas primero a adición y luego represéntala. 5 + (–3) 0

5

– Paso 1: ubica el primer sumando en la recta. – Paso 2: avanza la cantidad de veces que indica el valor absoluto del segundo sumando, hacia la derecha, si es positivo, o hacia la izquierda si es negativo.

1. –5 + (–2) 2. 8 + (–9) 3. –6 – (–4) 4. –7 + 2 5. –6 – 7 6. 9 – (–3) 7. 10 – 11

0

2

5

Se retroceden 3 lugares

Resuelve los siguientes problemas, expresando con los signos correspondientes las cantidades e identificando si la operación a realizar es una adición o una sustracción. 1. Karen debe pagar una cuota de $ 17.000, pero solo tiene $ 15.500. ¿Cuánto le falta? 2. La temperatura más alta de la semana fue 5 ºC y la más baja 3 ºC bajo cero, ¿cuál fue la oscilación térmica de esta semana? 3. En un campeonato de fútbol los equipos jugadores al ganar un partido suben un punto, al empatar quedan igual y al perder bajan un punto. Si el equipo Los toros, ganó 6 partidos empató 3 y perdió 7, ¿cuál es su puntaje final? 4. Un buzo logró descender 8 metros bajo el nivel del mar, luego ascendió 3 metros y nuevamente bajó 5 metros, ¿a qué altura o profundidad quedó el buzo?

Da ejemplos numéricos de adiciones y sustracciones de números de distinto signo que entreguen los siguientes resultados. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Suma positiva. Suma negativa. Suma cero. Resta positiva. Resta negativa. Resta cero. |

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Tareas En la siguiente lista de números, de mantenerse el patrón, encuentra el número que sigue. 1. … –15, –12, –9, –6, ____ 2. 12, 6, 0, –6, ___ 3. –10, –7, –4, –1, 2, ____ 4. –1, 1, –1, 1, –1, ____ Actividades complementarias Encuentra el valor que falta en las siguientes expresiones: 1. 12 – x = –1 2. –8 + z = –2 3. –4 – y = 8 4. –4 + x = –7

Multiplicación de un número positivo por un número negativo (Páginas 16 y 17)

Información para el docente • Es bastante simple justificar la regla de los signos cuando la multiplicación se trata de un número positivo por otro negativo, ya que es posible llevarlo a la vida cotidiana. El docente podría introducir este contenido con situaciones reales, por ejemplo, si no pagamos una cuota mensual durante 5 meses, el resultado final sigue siendo una deuda, o si bajamos constantemente cierta profundidad, al final estaremos bajo el mar, si durante el mes la temperatura baja constantemente a partir de 0 ºC por ejemplo, al final de una semana la temperatura será bajo cero. Luego de este tipo de ejemplos, el alumno(a) podrá deducir que siempre el resultado de una multiplicación de un número positivo por otro negativo es negativo, y más general posible, las multiplicaciones con números de distinto signo dan como resultado un número negativo.

Actividades complementarias Resuelve los siguientes problemas traduciendo la operación que se debe realizar y expresando con signos las cantidades involucradas. 1. En Puerto Montt la temperatura mínima de hoy fue –1 ºC, se espera que en los siguientes 7 días suba 2 ºC cada día, ¿cuánto subirá en total? ¿a cuánto llegará la temperatura? 2. En la Antártica, en los próximos 5 días la temperatura descenderá 1 ºC y llegará a los 4 ºC, ¿cuál es la temperatura de hoy? 3. El 8º A no ha pagado al centro de alumnos la cuota de $ 3.000 en 5 meses. Con la kermesse del sábado anterior juntaron $ 8.000, ¿cuál será el saldo a favor del 8ºA? 4. En la prueba de lenguaje, el profesor descontó 1 punto por cada 10 faltas de ortografía. Gloria se había sacado un 6,8, ¿cuál fue su nota final si tuvo 20 faltas de ortografía? Santillana Bicentenario

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Multiplicación de dos números enteros negativos (Páginas 18 y 19)

Actividades complementarias Completa según el patrón. 1.

•

–6

–5

–4

–3

–2

–1

–4

2.

•

–6

–5

–4

–3

–2

–9

–1

0

1

2

0

–4

–8

0

1

2

0

3

4

5

6

3

4

5

6

–9 –18

En parejas, analicen la siguiente secuencia, luego contesten las preguntas. (–1) · (–1) · (–1) · (–1) = 1 (–1) · (–1) · (–1) = –1 (–1) · (–1) · (–1) · (–1) · (–1) · (–1) =1 (–1) · (–1) · (–1) · (–1) · (–1) = –1

1. ¿Pueden encontrar algún patrón entre la cantidad de –1 que se multiplicaron y el signo del resultado? 2. ¿Sucederá para cualquier número distinto de uno? 3. Representen sus conclusiones utilizando lenguaje algebraico.

Errores frecuentes o posibles dificultades • La regla de los signos para la multiplicación de números negativos es difícil de comprender para los y las estudiantes, por que ningún modelo de la vida cotidiana sirve para representar esta multiplicación y menos para justificar la regla para el signo del resultado. Por otra parte, los alumnos y alumnas están acostumbrados a relacionar que el producto de dos factores es mayor que cada uno de los factores, no así en el caso de los números enteros (no considerando el valor absoluto). Para superar esta idea, el docente puede recurrir a ejemplos de productos de números decimales o fracciones en que esto tampoco se cumple y hacer énfasis en que comprendan el concepto de valor absoluto.

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¿Cómo voy? (Páginas 20 y 21)

Indicador Identificar, comparar y analizar números enteros utilizando conceptos como el valor absoluto, inverso aditivo y relación de orden. Sumar y restar números enteros.

Multiplicar números enteros y resolver problemas que involucran la multiplicación de números enteros.


Nº de pregunta

Respuesta

1

B

2

D

3

B

4

A

5

B

6

A

7

B

8

C

9

–24 y 5.040, respectivamente. El patrón utilizado es multiplicar el primer número por (–1), el segundo por (–2), y así sucesivamente.

10

–84 m

Logrado con

Remediales/ sugerencias de profundización

2/3

• Realizar ejercicios donde los y las estudiantes deban ordenar números enteros, ubicarlos en la recta numérica, identificar su valor absoluto y su inverso aditivo. • Realizar ejercicios donde los alumnos y las alumnas deban analizar y decidir si las conclusiones con respecto al orden y las propiedades de los números enteros son verdaderas o falsas.

2/3

• Realizar ejercicios en los que los y las estudiantes deban calcular adiciones y sustracciones de números enteros repasando la regla de los signos. • Realizar ejercicios en los que los alumnos y alumnas deban resolver problemas de la vida cotidiana donde la solución sea a partir del cálculo de adiciones o sustracciones de números enteros. • Realizar ejercicios en los que los(as) alumnos(as) deban completar patrones aditivos donde los términos involucrados sean números enteros. • Realizar ejercicios en los que los alumnos y alumnas deban completar cuadrados mágicos con números enteros.

3/4

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24 |

• Realizar ejercicios en los cuales los(as) alumnos(as) deban calcular multiplicaciones de números enteros repasando la regla de los signos. Realizar ejercicios en los que los(as) alumnos(as) deban resolver problemas de la vida cotidiana donde la solución sea a partir del cálculo de multiplicaciones de números enteros. • Realizar ejercicios en los cuales los alumnos y alumnas deban completar patrones multiplicativos, donde los términos involucrados sean números enteros.


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División de números enteros (Páginas 22 y 23)

Información para el docente • Es importante justificar a los(as) alumnos(as) que la división de números enteros tiene la misma regla de los signos que la multiplicación, ya que una es la operación inversa de la otra. El docente debe mostrar a los y las estudiantes que una multiplicación tiene asociada dos divisiones exactas. • Un buen ejemplo de la vida cotidiana para realizar ejercicios de división de números enteros es calcular el promedio, ya sea de temperaturas bajo cero, la velocidad con que se llega a cierta profundidad, etc.

Actividades complementarias La temperaturas registradas en el sur de Chile fueron las siguientes: Ciudad

Tº Mínima

Tº Máxima

Puerto Montt

–2 ºC

12 ºC

Chiloé

–1 ºC

15 ºC

Coyhaique

–3 ºC

21 ºC

Puerto Natales

–2 ºC

11 ºC

Puerto Montt

–11 ºC

–4 ºC

1. ¿Cuál es la media de la temperatura mínima registrada? 2. ¿Cuál es el promedio de la temperatura máxima registrada? 3. ¿Cuál fue la oscilación térmica media? Un buzo baja constantemente 6 metros de profundidad, este descenso lo realizó 5 veces y se demoró 45 minutos. 1. ¿A cuántos metros de profundidad llegó? 2. ¿Cuál fue su velocidad media? En la tabla se muestran las ganancias y pérdidas de una empresa desde el año 2000 al 2008. Año Ganancias o pérdidas

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

$ 12.000.000 $ 32.000.000 –$ 8.000.000 –$ 11.000.000 $ 53.000.000 –$ 24.000.000 $ 101.000.000 –$ 67.000.000

1. ¿El saldo de la empresa para el año 2009 es positivo o negativo? 2. ¿Cuál fue la ganancia promedio durante estos años?

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2008 $ 12.000.000


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Uso de paréntesis (Páginas 24 y 25)

Información para el docente • Antes de comenzar con este contenido realizar ejercicios combinados y recordar con los alumnos y las alumnas el orden de las prioridades de las operaciones en los números naturales. • El buen uso de la eliminación de paréntesis es imprescindible para posteriormente la resolución de ecuaciones y la reducción de términos semejantes. • La utilización de la calculadora básica es un claro ejemplo de la importancia del orden de las operaciones, incluso una calculadora científica necesita el uso de paréntesis para poder llegar a un correcto resultado.

Errores frecuentes o posibles dificultades • Existen diferentes dificultades con respecto a la eliminación de paréntesis, por ejemplo, algunos alumnos y alumnas solo cambian el signo del primer valor dentro del paréntesis. Una manera de evitar esto, es indicarle a los alumnos y las alumnas que el signo menos de un paréntesis significa que el paréntesis está siendo multiplicado por –1. Otra posible dificultad es que los(as) alumnos(as), al traducir un problema al lenguaje matemático, no logren identificar cuál operación debe llevar paréntesis como una manera de priorizar las operaciones.

Actividades complementarias Con una calculadora resuelve los siguientes ejercicios sin olvidar el orden de las operaciones . 1. 13 – 14 · 2 + 8 : 4 – (4 – 2) = 2. 4 + (–12) · 2 + 5 – 8 : 2 = 3. 13 · 6 – 14 : 2 + (–8) = 4. –3 + 8 – (–2) = 5. 12 + (– 8– 6) + –7 – (–9) = 6. 11 – (–2) – 5 – (4 – 3) = Resuelve el siguiente ejercicio. {[(3 + 2) – 4 · 8] – [5 – (3 · 6) – 1] : 7}

Determina en cuál(es) de los siguientes casos no es necesario el uso de paréntesis. 1. (3 · 8) +5 – 4 2. 3 · (8 + 5) – 4 3. 3 · 8 + (5 – 4)


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Análisis de procedimientos de resolución (Páginas 26 y 27)

Información para el docente • Muchas veces los y las estudiantes no desean aprender más de un método de resolución porque afirman que les confunde o que se les olvidará el que aprendieron bien. Es tarea del profesor mostrarles que los diferentes procedimientos de resolución muchas veces responden a diferentes tipos de ejercicios o problemas, algunos procedimientos de resolución son más adecuados que otros, y por ello, deberá conocer y manejar todos los posibles para que en un determinado momento pueda decidir cuál de ellos le conviene, y así lograr con éxito el resultado. En el caso de los ejemplos del libro, ¿qué hubiese sucedido si en vez de números tenemos letras? El procedimiento de Diego sería el más adecuado, de hecho el que siguió Diego es más recomendable cuando tenemos que reducir expresiones algebraicas y el de Anita para ejercicios numéricos combinados. También existen diferentes criterios para decidir cuál procedimiento es mejor, por ejemplo, cuál es más simple, cuál es más rápido, cuál asegura mayormente un resultado correcto, en fin.

Ejercicios resueltos (Páginas 28 y 29)

Información para el docente • Es necesario incluir problemas donde los y las estudiantes deban plantear y resolver ecuaciones usando números enteros, ya que en la resolución de problemas por medio de ecuaciones los números enteros y sus operaciones juegan un rol importantísimo y proveen de herramientas que permiten resolver problemas que anteriormente no era posible.

Estrategias para resolver problemas (Páginas 30 y 31)

Información para el docente • Para el primer ejercicio del “Ahora tú” recomendar a los alumnos y alumnas utilizar la estrategia “empieza por el final”, esta estrategia se puede utilizar en aquellos problemas donde se proporciona el resultado de una serie de pasos y se debe buscar el valor original o intermedio. Para resolver este tipo de problemas se empieza retrocediendo en las operaciones hasta llegar al valor que se busca.

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Síntesis (Página 33)

Información para el docente • Revisar con los y las estudiantes el proyecto presentado a principio de la unidad. Comentar y reflexionar con ellos acerca de la importancia de los números negativos en nuestra vida cotidiana, realizarlo con las preguntas que aparecen en estas páginas. También instar a los(as) alumnos(as) que realicen la sección “Trabajo con la información” ya que es una excelente oportunidad para que relacionen los contenidos vistos en clases con temas de actualidad y de medios de comunicación.

Preguntas tipo SIMCE (Páginas 34 y 35)

Tarea Lee el siguiente pronóstico del tiempo. (www.simce.cl)

De acuerdo a esta información, ¿qué día se registrará la temperatura más alta?

A. Jueves. B. Viernes.


C. Sábado D. Domingo

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¿Qué aprendí? (Páginas 36 a 39)

Indicador Caracterizar números enteros y utilizar conceptos como el valor absoluto, inverso aditivo, y relaciones de orden.

Aplicar las operaciones de adición y sustracción de números enteros, relacionándolas con situaciones en las que se utilizan. Calcular y utilizar multiplicaciones y divisiones de números enteros, analizando sus procedimientos de resolución. Comprender y aplicar las prioridades de las operaciones y usar los paréntesis para resolver problemas que requieren de operaciones combinadas de números enteros.

Nº de pregunta

Respuesta

1

A

2

A

3

C

4

B

5

C

13

Logrado con


2/3

• Realizar ejercicios en los cuales los y las estudiantes deban representar diversos contextos con números enteros. Realizar ejercicios en lo que los alumnos y alumnas deban ordenar números enteros y determinar el inverso aditivo y el valor absoluto de un número entero. • Realizar ejercicios en los que los(as) alumnos(as) deban contestar preguntas acerca de las propiedades de orden, propiedad del inverso aditivo y del valor absoluto de números enteros.

2/3

158 ºC

• Realizar ejercicios en lo cuales los alumnos y las alumnas deban calcular adiciones y sustracciones de números enteros. • Realizar ejercicios en los que los y las estudiantes deban resolver un problema de la vida cotidiana a través de adiciones y sustracciones de números enteros.

y 2.342 ºC

6

B

7

B 3/4

8

C

14

10 min

9

A

10

D 3/4

11

–4

12

–71

|

29 |

• Realizar ejercicios en los que los alumnos y las alumnas deban calcular multiplicaciones y divisiones de números enteros en contextos numéricos como de la vida cotidiana. • Realizar ejercicios en los cuales los y las estudiantes deban encontrar el término que falta en una multiplicación y división de números enteros. • Realizar ejercicios en los que los alumnos y alumnas deban resolver operaciones combinadas de números enteros aplicando la prioridad de las operaciones. • Realizar ejercicios en los cuales el alumno y alumna deban resolver operaciones combinadas incluyendo paréntesis, donde sea necesario eliminar paréntesis y aplicar la prioridad de las operaciones.


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Evaluación de la unidad

Material fotocopiable

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Marca la alternativa correcta en las siguientes preguntas. 1. ¿Cómo se expresa segundo subterráneo?

6. El valor de –8 + 6 es:

A. 1 B. 2 C. –2 D. 0

A. –2 B. 2 C. –14 D. 14

2. ¿Cuál es el sucesor de –8?

7. De mantenerse el patrón numérico, ¿cuál es el número que sigue en la siguiente secuencia?

A. –9 B. –7 C. 9 D. 8

15

–3

___

A. 12 B. –12 C. 6 D. –6

3. ¿Cuál es el inverso aditivo de | –47 |? A. –47 B. 47 C. | 47 | D. No tiene.

8. Una cuenta de ahorro tiene un saldo en contra de $ 12.500. ¿Cuánto se debe depositar para que el monto quede en la situación opuesta?

A. –$ 12.500 B. $ 12.500 C. $ 25.000 D. –$ 25.000

4. ¿Qué grupo está ordenado de mayor a menor? A. –27, –28, –30, –31, –29 B. –31, –30, –17, –14, –11 C. –11, –14, –17, 30, –36 D. –27, –30, –31, –35, –36

9. Pedro se encuentra en el séptimo piso y debe ir al estacionamiento que se encuentra en el tercer subterráneo. ¿Cuántos pisos recorrerá Pedro?

5. ¿A cuál alternativa no equivale la operación –4 – (–5)?

A. 4 pisos B. 10 pisos C. –4 pisos D. –10 pisos

A. –4 + 5 B. 4 – 5 C. 4 + (–5) D. –4 – 5


6

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30 |


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Página 31

10. ¿Cuál es el inverso aditivo del producto de –13 y –7?

15. La regla de los signos de la multiplicación y división es la misma porque:

A. –91 B. 91 C. | 91 | D. | –91 |

A. solo se pueden realizar divisiones exactas. B. la división es la operación inversa a la multiplicación. C. la división no tiene inverso. D. no es la misma regla para ambas operaciones.

11. ¿Cuál es el valor que falta en la siguiente división? 56 : ____ = –7

A. –7 B. 7 C. –8 D. 8 12. ¿Cuál es el resultado de 3 · 4 – 6 : 3 + (–5)?

16. La expresión 8 – [–10 – (5 – 6 – 4)+1] equivale a: A. –7 B. 6 C. 8 D. 12 17. Si a = –5, b = 3 y c = –1 la expresión a · b – a · c + b · c equivale a:

A. 5 B. –5 C. 3 D. –3

A. –20 B. 12 C. –23 D. –17

13. La temperatura en un día ha bajado constantemente 2 ºC cada hora. Si después de 7 horas la temperatura es –5 ºC, ¿cuál fue la temperatura inicial?

18. El valor de las acciones de una empresa disminuye $ 125 cada día. Si hoy valen $ 6.750, ¿cuánto valdrán dentro de 7 días? Encierra la expresión que representa el enunciado?

A. –9 ºC B. 9 ºC C. –3 ºC D. 3 ºC

A. 125 · 7 – 6.750 B. –125 · 7 + 6.750 C. –125 · 7 – 6.750 D. 125 · –7 – 6.750

14. Un buzo llegó a una profundidad de 21 metros y se demoró 7 minutos, ¿cuántos metros bajó cada minuto si su velocidad fue constante?

A. –3 m B. 3 m C. 28 m D. –28 m

31


s a i c n e t o P

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Página 32

s s n o n a ó r i a e d a c l a m j a n r n c a á a r l c ú b u n i c z a e l e n o a r p o d r t v s i s y t t n s l n o o s o o i r u l o e n c t e á e d t m d e r m e n a u r n e d e e e i q e d o e s s s s i m o s s i c p e y e i n l u c o e r o q o i r d a e m r e a é r r , c u p i c l e e l a t m d m a u s c p ú i e a n n s e s n p n l e o . e s l e o e t s o t e s o e o d o t o r i e l b n d m u t p n n p e a e q i o s m ó a n d r , e d l a á i n a s o i m n l c r t e i a u p l a e a t a a c r d r d i e x t a e s c d e u , o r d e r g i n c p t a e a e e v r ó j i i e n n d r i o i a t d e e c c i c c n n s a a c a d e i n t a e i i i e l t t s o s o l n a o c a t s c o r n a e t e s p o c i n e n a c j r y t m a o i e n e e d o e d c i a e e a p r t t p a v m t l i n n n d a o c o a s e d e l p s e e i á n s r n i r a o o r o e n a c e a b r n h d i d d p u f e s a x A s o e e e . e c d o t n d d t d a n o r l n e n a a e c p i i o p ó e r a d f i u s i , í z c o l , t c v g s e z a l n i i i r n a t i n t b o á á u e c e u t i a a c t , a d m c i i l s r l s e s s e e e s a a d n e a v y a l i ó d o n s c i A c n n . c s a e e b n i f d l l a o e é u á á t a t a a c v r d u o n o a e r a g g e r d l p o n t z i v i r i i l e r e i c a d t e l a a u , n c d c d a r s , i c o u a f s o n e e o n i c s a o ó o a i s o m e i r L n t s a l i s b t p . c r l o í n m i v i o e p s ú e e e i t e t t d x s n o c d m r e m a y o d e p r s o c p o a n o a n a t i e d o d L ó c s y i n c i . e p , n x e l n n s i s c o u e n l e e a a i c t i o i m e ó a l i a i c c d t s n i p o s y i p c o a n v i o t r e e c e e l i i t n c m s d c u l n a o p o e l E b y a r m c a p d e


C

• • •

O M C

|

32 |

o c i t p ó V F n i O s o r d a u C

•

n ó e i y t c n n a ó e c i n i l c o a y p c p a i a l r y i p x e t e t n l n i u y e ó c m a r a e e a t s i n l a a n b m r s e e e a e d t v s a e t i s d a , l a b i c l e n n a r r e e u s n t t e e i o a d t p n a e e e d e u d t q n i p n l . e o l n o ó a u o r i r s c p i t u l v a á p x e i C e d d n

•

2 Santillana Bicentenario

. l l l a a r a u u u . t i g g i a a c n e i e f í d e d t t . n s s s n i a a e a i i e c i c c n n n . n c o e n e o e p t t r ó i t x o o e c o e p t p . a l t p a y e e . n i o s e . l a d a a c a d i l n e n c t . r n y e i e n c e n a t i n ó ó n n e i i d c n s 0 t e s o i n e i n 1 s e o n v v e i i o e e o p p t e x d d s d e o s a p a p a y a x x y p b n e b i d e o t u r n n e e e e l a o n ó ó d d . e d i i e d u t e i c c d t o s a s g n a n a s t e m a a a e i i c c i i i i e i p i l l c c c r m c e c n e p p i s n n n n i . i c e t r t e t e t e a l o n t l e c r c t e p s t u u o o r e a x o o o C P M b M e P P P O C D

s a l , i c a n r e t u t o a p n r t a e l u n c e l a n c o p y x o e d y a a c r . i f i t e s e n n d g e a i s l e d e e s a i p r b o e d n r n e p r e r n e a c p i i t l m e p o u a C q y

•

• • • • • •


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. a i c n e i c . i f e e t n y a v d e a l d e i r r a l n c ó i c n a o c m , r s o a f i n p i . e o j a r l a p z r i a s d n e n n o e i r o c i p c c a e c l i o v e t s n u . o a a y c c e i o y t t d í , n . s s r c e s o e o i t o d t i a u m j a n e d a c i b i a c y o r m n a t o t i p a c c y n a i e c t í l e s a s s r , c e s r r a l a a e i a z y d e . l t d s t a i i a d o i , a d u e s , t e p d i i o t d r v n i a e n t n p e o d r i a s i f s l l i n l e a a r l a p c e e r u e o y a l a d i s d l , o v a i s i c r d l s a a d e n r t n i a m ó c i c t e t o l s d i n i e n a b o d u d m o c i l m s r y a p e i b o i c c r o d a s v e i y n e v x d l a n r e o e d o r a l i p s f s c s e c e e a e r r p r r y s e o a y p x a c d t e n a í a e d d i e i a e l m y o d s d i m a s n d l c a é a s a r o r n p e e t d a i r a p t u l i c a o n l b i l a a a e l l a l v h e r r r r a y a l a a l l l l l l e r r a o o v o a t r r r r o r r t e i a a a c s s m s r p e e o e e s e r j D D P D E R

s e l a s r e v s n a r t s e l a t n e m a d n u f s o v i t e j b O • • • • • •

12:02

Página 33

. s a n a m e s 9 a 7



33 |


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Página 34

Esquema de la unidad POTENCIAS

De base un número entero y exponente un número natural

De base un número entero y exponente un número entero

Propiedades

Multiplicación y división de potencias de igual base

Multiplicación y división de potencias de igual exponente

Potencia de una potencia

Aplicaciones

Notación científica

Crecimiento y decrecimiento exponencial


Información para el docente • En esta unidad se profundizará en las potencias de base racional y exponente entero, con previa transición de base natural a base racional y de exponente natural a exponente entero. Se trabajarán las mismas propiedades vistas en 7º Básico, útiles a la hora de calcular expresiones que involucran potencias. Por úl timo, las aplicaciones y la resolución de problemas no se pueden dejar de lado a la hora de trabajar con potencias.


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Página 35

UNIDAD 2 | Potencias

• En las páginas iniciales se introduce el tema con fractales y el conocido copo de nieve. Para complementar este inicio de unidad el docente puede llevar a los alumnos y las alumnas a los laboratorios de computación y utilizar un software geométrico para que los estudiantes realicen, a través de las funciones que posea esta herramienta, una secuencia de pasos que tenga como objetivo reproducir el copo de nieve. Se invita a que el docente pueda aprovechar este tipo de herramientas para facilitar la experiencia de la construcci ón por parte del alumno o alumna, pues es un tanto complicada lograrla solo utilizando papel, lápiz, regla y compás.

Actividades complementarias • Para complementar el proyecto grupal, se puede presentar a los alumnos y alumnas la regularidad que se da con la medida del lado del triángulo que se va formado en cada etapa. Como esta medida es un número racional, puede servir de introducción para el tratamiento de potencias con base racional.

Completen la siguiente tabla. 1a

2a

3a

4a

5a

1

1 cm 3

1 cm 9

1 cm 27

1 cm 81

1 cm 30

1 cm 31

Etapa Medida del lado del triángulo. Medida del lado del triángulo en potencia.


Información para el docente • Si bien en 7º Básico los alumnos y las alumnas revisaron el concepto de potencia y las propiedades más importantes, se recomienda que el docente realice un repaso de aquellas propiedades que no siempre se utilizan y, que por lo mismo, son fáciles de olvidar, por ejemplo:

a0 = 1 a1 = a 0n = 0 1n = 1 (an)m = an · m

Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo:

(3)0 = 1 (2,4)1 = 2,4 (0)5 = 0 (1) –6 = 1 (23)2 = 2 3 · 2 = 26 = 64

Errores frecuentes o posibles dificultades • Es posible que los alumnos y las alumnas confundan las propiedades de multiplicación y división de potencias de igual base con las propiedades de multiplicación y división de potencias de igual exponente, para que el docente lo tenga presente y las ejercite de manera adecuada.

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Indicador Expresar el desarrollo de una potencia y calcular su valor.

Identificar y utilizar propiedades de las potencias.

Utilizar potencias de base 10 para expresar grandes o pequeñas cantidades.

Aplicar el concepto de potencia de exponente 2 al cálculo de área.


12:02

Página 36

Nº de pregunta

Respuesta

1

5 · 5 · 5 = 125

2

0,1 · 0,1 = 0,01

3

5 · 5 · 5 · 5 = 625

4

0,1 · 0,1 · 0,1 = 0,001

5

45, Mult. de P = base

6


7


8

155, Div. de P = base

9

33, Div. de P = base

10

7,78 · 108

11

1,2 · 10 –7

12

25 · 109

13

91 · 10 –8

14

42 = 16 cm2

15

32 · 2 = 18 cm 2

16

42 + 22 = 20 cm2

Logrado con


3/4

• Realizar ejercicios en donde los alumnos y las alumnas deban expresar el desarrollo de una potencia y calcular su valor. Realizar ejercicios en donde a partir del resultado deban expresarlo en potencia. • Realizar ejercicios en donde los alumnos y las alumnas a partir de una potencia, expresen el desarrollo de esta y busquen potencias equivalentes, por ejemplo, 24 = 4 2 y luego calculen su valor.

3/5

• Realizar ejercicios en donde los alumnos y las alumnas deban aplicar las propiedades de las potencias para facilitar el cálculo de estas. Primero realizar ejercicios para la multiplicación de potencias de igual base y luego ejercicios para la división de potencias de igual base. • Realizar ejercicios en donde los alumnos y las alumnas deban aplicar las propiedades de las potencias para facilitar el cálculo de estas en ejercicios en que se combinen la multiplicación y la división de potencias de igual base.

3/4

• Realizar ejercicios en donde los alumnos y las alumnas deban expresar cantidades grandes y pequeñas de una manera abreviada utilizando potencias de 10. Pedirles que lo realicen dejando un cantidad entera y luego la potencia de 10 y que equivalentemente lo hagan dejando una cantidad decimal multiplicada por una potencia de 10. • Realizar ejercicios en donde los alumnos y las alumnas busquen contextos en donde se utilicen cantidades muy grandes y muy pequeñas y que sea necesario abreviar utilizando potencias de 10.

2/3

• Realizar ejercicios en donde los alumnos y las alumnas deban calcular áreas de cuadrados expresándolas como potencias de 2. • Realizar ejercicios en donde los alumnos y las alumnas deban calcular áreas de cuadrados expresándolas como potencias de 2 y deban transformar las unidades de medida.

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36 |


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Aplicar potencias de exponente 3 para el cálculo de volumen.

17

3

2 = 8 cm

2

1/2 18

33 = 27 cm2

• Realizar ejercicios en donde los alumnos y las alumnas deban calcular volúmenes de cubos expresándolas como potencias de 3. • Realizar ejercicios en donde los alumnos y las alumnas deban calcular volúmenes de cubos expresándolas como potencias de 3 y deban transformar las unidades de medida.

Concepto de potencia (Páginas 46 y 47)

Información para el docente • Es habitual que para contextualizar el concepto de potencia se muestren ejemplos donde la base es 2 ó 3, lo que podría producir un sesgo del concepto y no un enriquecimiento de él. Es un tanto complicado obtener situaciones contextualizadas que sean modeladas por potencias, y por bases distintas a 2 ó 3.

• Como el concepto de potencia ya es conocido por alumnos y alumnas, una manera de profundizar en este tema, es utilizar expresiones algebraicas, para que así repasen el concepto y ejerciten la operatoria con álgebra.

• Es importante mencionar la importancia del paréntesis al escribir potencias, por ejemplo: los 2

()

1 alumnos y alumnas deben comprender que no es lo mismo; 2 1 1 1·1 1 1 · es y esto da resultados diferentes, .   2 2 2 4 2



12 , porque su desarrollo 2

• Lo mismo ocurre en el caso de: (2a) 2  2a2 ya que su desarrollo sería 2a · 2a

 2 · a · a, con un resultado de 4a 2 y, el otro 2a 2, respectivamente. Es importante que los y las estudiantes comprendan y ejerciten este tipo de ejercicios, para que cuando trabajen con potencias de base negativa o con expresiones algebraicas, este tipo de actividad no sea un problema.

Actividades complementarias Expresa como potencia los siguientes productos. 1. m · m · m = 2. e · e · e · e = 3. d2 · d2 · d2 · d2 = 4. 2n · 2n · 2n · 2n · 2n · 2n = 5. a · b · b · b · a · a · c · c · b · a · c = 6. 3 · d 3 · d3 =

|

37 |


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Página 38

Expresa como producto. 1. a2 · b2 = 2. a3 · b5 · c2 = 3. 5a4 = 4. (3b)4 =

• Se plantean las siguientes actividades para profundizar con los alumnos y alumnas más aventajados.

Expresa como potencia los siguientes productos. 1. (a + b) · (a + b) · (a + b) = 2. ab · ab · ab · ab = Expresa como producto. 1. (a + b)5 = 2. b + c 3 =

Potencias de base entera y exponente natural (Páginas 48 y 49)

Información para el docente • Respecto al signo del resultado de la potencia según la paridad del exponente (el exponente puede ser par o impar), trabajar con los alumnos y alumnas el siguiente tipo de desarrollo, que en ocasiones puede facilitar determinados cálculos, por ejemplo: –a3 = (–a)3 = –(a)3, ya que ya que –a 3 = –(a · a · a) = –(a) 3 y (–a)3 = –a · –a · –a = –a 3 Es importante trabajar con los y las estudiantes, pidiéndoles que remplacen la letra “a” por números, para que comprueben las igualdades recién revisadas, y saquen sus propias conclusiones. Ayudar a los alumnos y alumnas a generalizar para cualquier exponente impar.


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38 |


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Página 39


Actividades complementarias Obtén el valor de las siguientes potencias. 2 2 1. – = 3

( ) –2 2. ( ) = 3 2

3.

–2 2 = 3

Multiplicación y división de potencias de igual base (Páginas 50 y 51)

Información para el docente • Por ahora los alumnos tienen base racional y exponente natural, potencias de exponente entero se verán en unas páginas más adelante, por lo que se le recomienda al docente volver a ver las propiedades cuando ya se hayan visto potencias de exponente entero para así ejercitar la aplicación de propiedades cuando se tienen exponentes negativos. Por lo tanto, en las Actividades complementarias se agregarán ejercicios de este tipo para que el docente los utilice cuando haya visto potencias de exponente entero.

• Es importante realizar ejercicios donde se apliquen las propiedades de la multiplicación y división de potencias de igual base en expresiones algebraicas y que los alumnos y las alumnas ejerciten la simplificación de estas expresiones aplicando las propiedades.

Errores frecuentes o posibles dificultades • Es muy común que los alumnos apliquen la propiedad de multiplicación o división de potencias de igual base cuando se enfrentan a adiciones o sustracciones, para evitar este error mostrar a los alumnos y las alumnas ejemplos donde se constaten las diferencias.

Actividades complementarias Simplifica las siguientes expresiones. 1.

–44 · 45 = 48

2.

28 · 34 · –25 · 33 = –26 · 32 · 25 · 34

3. 4.

a7 = a4 24a7b5 = –23a2b4 |

39 |


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Página 40

Expresa como una sola potencia cada una de las siguientes expresiones. 1. 7 –5 · 73 = 2.

8 –2 = –83

3.

–34 · 3 –4 · 33 = 32

4. a –2 · a3 = 5.

c2 · c –5 = c –3

• La siguiente actividad se propone trabajarla con aquellos y aquellas estudiantes que no presenten mayores complicaciones con ejercicios que contengan expresiones algebraicas.

Simplifica las siguientes expresiones utilizando las propiedades de las potencias. 1. 3a5b7 · 2a2b3 = 2.

3a3· 7a4 = –7a5

3.

(2a)6 · (2a)3 · (2a)2 = (2a)4 · (2a)

4.

c –2 · –3c4· 2c6 = 5c6 · c –2

Multiplicación y división de potencias de igual exponente (Páginas 52 y 53)

Información para el docente • Se insiste a profesores y profesoras, que el trabajo con las propiedades de las potencias debe hacerse tanto con números como con letras para ejercitar la simplificación de expresiones algebraicas e ir puliendo el camino para las habilidades que se necesitan en contenidos algebraicos que revisarán desde Primer Año Medio.


40


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Página 41


Actividades complementarias Resuelve los siguientes ejercicios utilizando las propiedades de las potencias. 1. (0,8)6 · (2,5)6 = 8

8

( ) ( )= 3 2 3. ( – ) : ( ) = 4 3 2 1 4. ( ) : ( – ) = 9 6 1 8 5. (2 ) : (2 ) = 6 9 2. 3

1 2

: 5

5

1 3

5

4

4

–7

–7

• Los siguientes ejercicios se proponen para trabajar con aquellos alumnos y alumnas que presenten menores dificultades en este contenido.

Simplifica las siguientes expresiones utilizando las propiedades de las potencias. 1.

a

a

10 a · – = 9

() () ( ) 3 4

·

4 5

2. –4a + b : 2a + b=

Potencia de una potencia (Páginas 54 y 55)

Errores frecuentes o posibles dificultades • Los alumnos y las alumnas tienden a sumar los exponentes y no a multiplicarlos, como indica esta propiedad. Por lo que se propone que el docente realice ejercicios en los cuales los y las estudiantes fundamenten esta propiedad con el desarrollo del ejercicio. Y, luego sigan aplicándola sin dificultades.

• Los siguientes ejercicios se proponen para los y las estudiantes que presentan dificultades con esta propiedad.

|

41 |


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Página 42

Aplica la propiedad “potencia de una potencia” para resolver los siguientes ejercicios. 1. (a2)5 · (a3)4 = 2. (3a5b)4 : (–3a3b2)2 = 3. (an + m)2 = –4n2 4. 2m2

3

( )=


Información para el docente • Como en el curso anterior los y las estudiantes trabajaron el concepto de potencias y las propiedades, se le recomienda al docente enfatizar en esta evaluación de proceso, en las potencias de base racional y en parti cular, bases negativas, que es uno de los contenidos nuevos de esta unidad.

Indicador Comprender el concepto de potencia.

Aplicar las propiedades de la multiplicación y división de potencias de igual base.

Nº de pregunta

Respuesta

1

A

2

C

9

3.125 y 46.656

3

4


Logrado con


2/3

• Realizar ejercicios en los cuales alumnos y alumnas trabajen con potencias de base r acional, los desarrollen y calculen su valor. • Realizar ejercicios en los que alumnos y alumnas resuelvan problemas de planteamiento de potencias de base racional y exponente natural, para que posteriormente las desarrollen y calculen su valor.

1/2

• Realizar ejercicios en los que los y las estudiantes deban aplicar las propiedades de la multiplicación y división de potencias con igual base racional. Plantear ejercicios combinando ambas operaciones. • Realizar ejercicios en los cuales alumnos y alumnas deban obtener el valor de los exponentes, en los que se han aplicado las propiedades de multiplicación y división de potencias de igual base.

B

D

|

42 |


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12:02

Página 43


Utilizar las propiedades de la multiplicación y división de potencias de igual exponente.

5

1/2

• Realizar ejercicios en los que alumnos y alumnas apliquen la propiedad de la potencia de una potencia, ya sea para encontrar su valor, o para encontrar la expresión a partir del resultado. • Realizar ejercicios en los que alumnos y alumnas apliquen la propiedad de la potencia de una potencia para el cálculo de áreas y volúmenes.

C

6

Calcular la potencia de una potencia.

1/2

• Realizar ejercicios en los que los(as) alumnos(as) deban aplicar las propiedades de la multiplicación y división de potencias con base racional e igual exponente. Plantear ejercicios combinando ambas operaciones. • Realizar ejercicios en los que alumnos y alumnas deban obtener el valor de la base, cuociente o producto, donde se ha aplicado las propiedades de multiplicación y división de potencias de igual exponente.

D

7

C

221cm3

8

Potencias de exponente entero (Páginas 58 y 59)

Información para el docente • Para los alumnos y las alumnas es difícil comprender la regularidad del concepto de un a potencia con exponente negativo. Por este motivo se propone al docente plantear, en un inicio, la siguiente notación cada vez que se plantean expresiones con este tipo de exponente. Encontrar el valor de una potencia a –n,

n

( ) =a 1 a

–n

.

Actividades complementarias Sigue el siguiente ejemplo, para resolver los ejercicios utilizando potencias de exponente negativo. 4

( ) ·7 =7 1 1. ( ) · 3 = 3 1 2. ( ) : 4 = 4 1 3. (( ) ) = 5 1 7

5

–4

· 75 = 7 –4 + 5 = 7 1 = 7

6

8

2

4

2 –2

4. 7 –9 · 79=

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Errores frecuentes o posibles dificultades • Los alumnos y las alumnas cometen un error muy frecuente, este es “trasladar” el signo del 1 exponente a la base, es decir, si se pide calcular 3 –2, el resultado erróneo es – , o –9. 9 Una forma de evitar este error es ejercitar este cálculo incluyendo siempre todos los casos es decir: 22 , 2 –2 , –22 , –2 –2 , (–2)2 , (–2) –2 También se puede incluir lo siguiente: –2

–2

–2

() ( ) () 1 2

,

1 – 2

, –

1 2

• Cuando alumnos y alumnas aplican las propiedades de multiplicación y división de potencias de igual base y se enfrentan a exponentes negativos en variadas actividades, muchas veces tienen 7 –2 al restar los exponentes calculan 7 –3 – 2 – 3 y no transforman la resta en suma, es decir, – 2 – (–3)= –2 + 3 dificultades en la operatoria, por ejemplo, en el ejercicio

• Lo mismo ocurre cuando se multiplican potencias de igual base, los alumnos y alumnas saben que deben sumar los exponentes, pero si uno es negativo esta suma se resuelve restando las cantidades, lo que a veces dificulta. Para evitar estos posibles errores, se recomienda que alumnos y alumnas repasen la operatoria con números enteros.

Potencias de base 10 y notación científica (Páginas 60 y 61)

Información para el docente • Resaltar a los alumnos y alumnas que multiplicar por una potencia de 10 con exponente negativo es equivalente a dividir por esa misma potencia de 10 y exponente positivo. Esto último, lo han ejercitado en años anteriores y por tanto, les facilitará la comprensión. Ejemplos Multiplicar por una potencia de 10 y exponente negativo Dividir por una potencia de 10 y exponente positivo

5 · 10 –2 = 5 · 5 : 102 =

1 2 1 =5· = 0,05 10 100

( )

1 5 = = 0,05 2 10 100

Errores frecuentes o posibles dificultades • Los alumnos y las alumnas tienen dificultades en expresar una cantidad en notación científica, muchas veces determinan el exponente solo fijándose en la cantidad de ceros que tiene el número, lo que es muy mal procedimiento a la hora de representar cantidades pequeñas en notación científica. Una manera de prevenir este tipo de error es ejercitar con los y las estudiantes la división y la multiplicación por potencias de 10.

• En el caso de la división por potencias de 10, hacer la equivalencia con la multiplicación correspondiente y su potencia de 10 con exponente negativo. Santillana Bicentenario

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Actividades complementarias Expresa en notación científica y luego resuelve. 1. 75.000.000.000 · 0,0000005 = 2. 0,00000025 : 0,00000000005 = El volumen del Sol es de 1.400.000.000.000.000.000.000.000.000 m3. 1. Exprese esta cantidad en notación científica. 2. Exprese esta cantidad en notación científica y en cm 3. 3. Exprese esta cantidad en notación científica y en km 3. Un neutrón tiene un diámetro de 0,000000000000001 m. 1. Exprese esta cantidad en notación científica. 2. Exprese esta cantidad en notación científica y en cm. 3. Exprese esta cantidad en notación científica y en km. Otras regularidades de las potencias (Páginas 62 y 63)

Información para el docente • Uno de los objetivos de este contenido es trabajar con los alumnos y alumnas el estudio de los números encontrando regularidades de ellos para generalizar. En estas páginas, lo importante a desarrollar es la capacidad de observación de los distintos términos y el patrón de formación de la regularidad, para así construir los términos de esta regularidad numérica.

Crecimiento exponencial (Páginas 64 y 65)

Información para el docente • El crecimiento exponencial es una de las funciones con la que se pueden modelar varias situaciones de la vida diaria, por lo que es de gran importancia que los alumnos y las alumnas logren apropiarse de este concepto. • Por el tipo de trabajo en las actividades es necesario que el docente formalice la ecuación exponencial, y así plantear de mejor manera la resolución de los ejercicios presentados, entregando otras herramientas para la resolución de problemas. • Es importante realizar ejercicios en donde los y las estudiantes puedan relacionar el gráfico con el tipo de crecimiento que posee una variable y comparar con el crecimiento exponencial. • Comentar con los alumnos y alumnas, que la constante mencionada en la definición del texto corresponde a la base de la potencia involucrada en la expresión que define el crecimiento exponencial.

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Decrecimiento exponencial (Páginas 66 y 67)

Información para el docente • Es importante realizar ejercicios en los cuales alumnos y alumnas relacionen el gráfico con el tipo de decrecimiento que posee una variable y comparar con el decrecimiento exponencial. • Comentar con los y las estudiantes, que la constante mencionada en la definición del texto corresponde a la base de la potencia involucrada en la expresión que define el decrecimiento exponencial.


Información para el docente • Comentar con los(as) alumnos(as) que en algunas regularidades numéricas, la posición del término puede corresponder al exponente, pero que en otras, el exponente corresponde al antecesor de la posición del término, como lo muestran los ejercicios resueltos en estas páginas.


Información para el docente • En el ejercicio 2, aclarar a los alumnos y alumnas que el factor buscado corresponde a la multiplicación de los números primos que se multiplican para formar el cuadrado perfecto.

Juegos y Síntesis (Páginas 72 y 73)

Información para el docente • Estas páginas se presentan para que alumnos y alumnas realicen un resumen de lo revisado en la unidad y despejen las dudas que hayan quedado en el trabajo con los contenidos.


Información para el docente • La pregunta 1 corresponde a una ecuación exponencial preguntada en la prueba SIMCE, por lo que se le recomienda al docente introducir este concepto previamente (sugerencia planteada en la página 65).


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Indicador Comprender y calcular potencias de base racional y exponente entero.

Aplicar y analizar las propiedades de las potencias.

Expresar números con potencias de 10 y/o notación científica.

Comprender y utilizar el crecimiento (decrecimiento) exponencial en la resolución de problemas.

Nº de pregunta

Respuesta

1

D

2

D

6

D

3

A

5

C

8

C

4

B

7

C

9

C

10

330

11

12

1 1 1 1 ; ; y , 2 4 8 16 respectivamente.

Logrado con


2/3

• Realizar ejercicios en los cuales alumnos y alumnas deban expresar multiplicaciones como potencias de base racional y exponente entero, para desarrollarlas y calcular su valor. • Realizar ejercicios en los que alumnos(as) deban expresar cantidades como potencias con base racional y exponente entero.

2/3

• Realizar ejercicios en los cuales alumnas y alumnos deban aplicar las propiedades de las potencias para resolverlas y obtener su valor. • Realizar ejercicios en los que los y las estudiantes deban simplificar expresiones y resolver ejercicios combinados con las operaciones básicas, utilizando las propiedades de las potencias.

2/3

• Realizar ejercicios en los que los alumnos y las alumnas deban expresar cantidades en multiplicaciones con potencias de base 10 y exponente entero. • Realizar ejercicios en los que alumnos y alumnas deban utilizar la notación científica para expresar cantidades muy grandes y muy pequeñas, y resolver problemas que involucren estas cantidades.

2/3

V

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47 |

• Realizar ejercicios en los cuales alumnos y alumnas identifiquen situaciones de crecimiento y decrecimiento exponencial indicando el factor de crecimiento o decrecimiento según corresponda. • Realizar ejercicios en los que los y las estudiantes resuelvan problemas que involucren crecimiento o decrecimiento exponencial, determinando el factor y modelando el crecimiento (o decrecimiento).

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NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Marca la alternativa correcta en las siguientes preguntas. 1. ¿Cuál es el valor de la siguiente potencia?

5. “La tierra tiene un volumen de 1.070.000.000.000.000.000.000 m3”, esta cantidad expresada en notación científica corresponde a:

(–2)2 4

A. 1 B. –1 C. 2 D. -–2

A. 1,7 · 1021 B. 1,07 · 1020 C. 1,07 · 1021 D. 1,07 · 10 –20

2. ¿Cuál de las siguientes relaciones corresponde a una equivalencia? A. (0,1) –2 = –2

B. 10

1 100

6. “El peso de un átomo de hidrógeno es de 0,00000000000000000000166 gramos”, esta cantidad escrita en notación científica es: A. 1,66 B. 1,66 C. 1,66 D. 1,66

1 = – 100

C. 10 –2 =

1 100

D. (0,1) –2 = –

3. La expresión

1 100

A. 31.536.000 segundos. B. 315.360.000 segundos. C. 315.360 segundos. D. 0,0031536 segundos.

A. 1 B. 3 C. 9 D. –3

8. Si el área de un cuadrado es 9 4 m2, ¿cuál de las siguientes medidas no puede ser la medida del lado?

( )

–42 ? 23

A. 34 m B. 243 m C. 81 m D. 92 m

A. 8 B. 2 C. –8 D. –2


1023 1021 10 –23 10 –21

7. “Un año tiene 3,1536 · 107 segundos “. Esta cantidad es equivalente a:

–32 · 37 es equivalente a: –38

4. ¿Cuánto resulta

· · · ·

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9. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es equivalente a 5 –2?

13. Si (–125.800)1,45x es un número positivo, los posibles dígitos para x son:

A. 25

A. 1 ó 0 B. 1, 3, 5, 7, 9 C. 0, 2, 4, 6, 8 D. No se puede determinar.

B. 25 –1 C.

1 25

D.

1 52

10. El gráfico que representa un crecimiento exponencial es: I

II

Se desea guardar una alfombra cuadrada de lado 8 m en un cajón cuadrado de lado 2 m. Para guardar la alfombra en el cajón se dobla por la mitad sucesivamente. Responde las preguntas 14, 15 y 16.

III

14. Utilizando potencias, ¿cuál es la expresión de la superficie de la alfombra? A. 25 B. 26 C. 27 D. 28

A. I y III B. II C. III D. I

11. Si ax decrece exponencialmente, entonces a debe ser:

15. ¿Cómo se expresa como potencia el área de la alfombra doblada solo una vez por la mitad? A. 29 B. 27 C. 27 D. 26

A. un número negativo. B. un número menor que 1. C. 0 D. un número positivo.

12. Si 2 t define el crecimiento exponencial de una variable, ¿para qué valor de t se obtiene 256?

m2 m2 m2 m2

· 2 –1 m2 · 21 m2 · 2 –1 m2 · 2 –1 m2

16. ¿Cuántos dobleces se necesita hacer para que la alfombra tenga como medida del lado la medida del lado del cajón? A. 4 B. 5 C. 7 D. 8

A. 7 B. 6 C. 8 D. 9

49

dobleces. dobleces. dobleces. dobleces.


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s e n o i c s a a c m i r r n t ó o i f c é s c u n m d o a o r r e t n T g I

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s e e a d d a c o i s o s l r n t e v e y e m é n i e d t u m o e a t e s l i a o l c j d r o l e p a b i a e o e e g y m p l d e r l s o , a e e o o E d f . r i d n p a s s z n n n a o l n a o i r e r e l u d a p c a r u a , a l r t t i g c o u o m e n f n t s c r i r i r o a e e i r f , o r c c c n a t i b l í s é u e l a d n u r a g c e o m a l r e r o n o r o e t e y y e d m n g s r c a n r g o e e l s o c t e i e a l r e d , c l i a a d a . r p s s l o s w i e m o t d t l f s o t i e e c a n x d r o e a b l a s d r o m a i s u u t l n n a a n d o c m a o i z e p g l u i e s c i s o r t c r e p s i o o s e e U d o n s l t t r . a e n s s p n m m i c e e é s e u r u l r s q e r n v a a t a l e e é s i i f y o t r r i s m e f c d s d a e o l o d a a i c s r s n a a f l s a l m e i d i u u o i e r o r e n g o d q n n s f i v e e o s a y u n n n y c r e a s a o t , t o á r n s a s i t r l l a d s e e c a r a o a j e t n n u s u a c g a u n i o e t i t b q s i f s s e a a c s i o s r e l r t a e n a t o o o t e o e l r n u d d r e á s d t n q a a i s o e l e s o c f i i e s e t l t u o i p i m c p n s e r n i e n l t o a n p e a i n o s i a ú n d i n o m g i e a a m r c á c d e h t , a o a s a p l e P n r d d t i e e ó s s a s . i r i v n l a t e c t e a d t i a o d s a t n l s e o c d a c n a i e e s l a i m e s o e b m t a m d d d o l a i r , i c c s r o e o , e f o a d o i d d d s r p r i s e a e u n t d a t o n i c a l n t e r a r c t a p t n e s t u a á n é t r s e i n o m a s i a c a u g d c d t n t q s n á l o s r i a e s c e a p t v o E i c


C

• • • • • • • •

O M C

n s s e e n á o . s a i a p , s c c e i y s m o a r l o i e n c t s a s o é e c n r . s s e l i e e c m t n a y t é e p a u o a m q r o i l s e a x s a g o s m r i d l e e u s c r e e o l i f e n g g t f r e e s t n n n ó r é r r a n o r o i , c i o i a i s c r r c d a t c m e m u a s o a r e n e e s v s t n m o a i t r s s i g n e c s i o c s s f o n o o a a e s o m a l r l c s r c c a u u p e r a n y o a r i c g t r z r t n d i t n s f s u l e e n n a e i ó e r d d o o ó i e r d c l c l a a n s c d n a n c a i u ó e e a n g i ó f i c n d l e i n i t e c r a i o a m n s p r r a e z i c o l c é e i e a v m t l d a t i t a e e n e o r e p a n a R r t y d g A l t

•

3



. s l e e r a o l u d g n e a r s . r i u s . a s m s c a i e e r c s i . n t r . o y i é t o s n é e c m r s r e m t o o r c o u s t . o i a d l e n l c a s e u e e e . n g l g r v l s o n e e a r y n . t r i o c e l i . n s s n r o a a c i n t i o o e e e a . c x e s n n r c n n . a c o o m c d a o i a n í r ó ó a í a í a u t r i i c c o i r t a c c ó i í u r r r f i a l a a c t t t t s l p e l p a e e e s e n s l s t n m s a m i m i m o m r a r a r o i e m o o s T A T T T R S S S C c I

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50 |

V F O

, o n s a s l o s a p h s l e r c e e s e v i n n e i d d o i e d e c a s d a s d o s a e t m c i x e r i r p e n t o t o f s é o r n i n m p o c a a c r o s c l t e u n i r g s e p a s e s a u a d e a t c r u s n n . e i o e s g a i f e f n c d e a n n u y e l g t u o i o r d a i c a s r s p s z a e r e a i c c a r m r i r o i e t c r r t f o f c é n i c o t a n e s r m o e u n a o c a r s e C i r d i q t

•

•

• • •


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. a i c a . c i f e t e n y a v d e l a e d i r r a n l ó c i c n a o c m r , s o f a i n . i p e o a j l r a z p r i a d s n n e o n e i r c o i c p c e a c l i o e v s t u n y a o c o e t y d n s . s e e s o i o t m d i a j a n c i e d i o c b a r i m n a t t o p c a y n l c s e e s a s , e s r l a r a a a z y e i t l i i t d a d , u a e s , d t e d i v n a i e n o d t r i i f l a n i a e r l a p e r c u o a d a l s l , i v l a i r s e a d n r c m i a c o l e d i n b n a o o d u c r i l e p i m o d r b a s c d e v n y a l o r d a i o p s s c s e a e e p r r r a e y p x c d a e a d í l e a m d y d o i s c n d é o a r a t d e p i a u l t c a i n b i a l a a l l e r r h a r l a l a l e l l r v o o a o r r r r t i m a s a s c r o e r e e j P D D E

s e l a s r e v s n a r t s e l a t n e m a d n u f s o v i t e j b O • • • •

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. s a n a m e s 5 a 4



51 |


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Esquema de la unidad TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

Isometrías

Traslación

Ampliación y reducción

Rotación

Simetría

Simetría rotacional

Simetría axial Simetría central

Regular Teselación Semirregular


Información para el docente • Maurits Cornelis Escher (M. C. Escher), artista holandés, fue conocido por sus grabados en madera, xilografías y litografías que tratan sobre figuras imposibles, teselaciones y mundos. Este personaje dedicó muchas de sus obras a teselaciones mediante figuras irregulares, sumando a la creatividad un concepto intuitivo de la simetría. Sus obras son de interés para muchos matemáticos debido a la riqueza en transformaciones geométricas que poseen. M. C. Escher trabaja básicamente con figuras geométricas que rellenan el plano: cuadrado y triángulo equilátero, y con figuras obtenidas a partir de ellas que también rellenan el plano: cuadrados, triángulos equiláteros, paralelogramos y hexágonos. Además, trabaja con las redes formadas por estas figuras y sus derivadas. Pero sólo utiliza estas figuras geométricas como punto inicial de sus diseños, va modificando cada una de ellas a su antojo creando una figura patrón que al repetirla encaja con las demás rellenando el plano sin dejar espacios libres. Para más información visite: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0224-02/ed99-0224-02.html


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UNIDAD 3 | Transformaciones geométricas

• Para trabajar este tema nos favorece el hecho de que está muy ligado a la expresión artística, por lo que debemos usar esto para motivar a aquellos estudiantes que no les gusta mucho la matemática pero sí las artes manuales.

Actividades complementarias • Los alumnos están familiarizados con los ejes de simetría de figuras, por lo tanto para iniciar esta unidad se recomienda al docente comenzar con actividades que refuercen este concepto, por ejemplo, la que se muestra a continuación:

Pinta el cuadriculado para formar una figura simétrica. • Realizar un diseño de un estampado de ropa (o un mosaico) usando figuras geométricas, de modo que no quede ningún espacio vacío, como en las obras de Escher. (Este podría ser un mini proyecto de cada alumno, que lo puede ir mejorando a medida que transcurra la unidad y de acuerdo a los conceptos que vaya adquiriendo, y al final el docente podría realizar una exposición o elegir a los tres mejores y premiarlos).


Indicador Clasificar triángulos y cuadriláteros.

Nº de pregunta

Respuesta

1

Triángulo rectángulo escaleno

2

Triángulo obtusángulo escaleno

3

Triángulo acutángulo equilátero

4

Romboide

5

Rectángulo

6

Trapecio rectángulo

Logrado con

4/6

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Remediales/ sugerencias de profundización • Realizar ejercicios en los cuales los alumnos y alumnas deban clasificar triángulos según la medida de sus lados. Realizar ejercicios en los que los(as) alumnos(as) deban clasificar triángulos según sus ángulos. Realizar ejercicios en los cuales los alumnos y las alumnas deban identificar distintos tipos de cuadriláteros. • Realizar ejercicios en los cuales los y las estudiantes deban reconocer triángulos dados sus ángulos o la medida de sus lados, o bien que el dato que falta para clasificarlo haya que deducirlo o calcularlo. Realizar ejercicios en los que los alumnos y las alumnas deban reconocer distintos cuadriláteros pero haciendo sutiles las diferencias entre ellos, por ejemplo colocar un cuadrado no en la posición convencional para que logren determinar, con los otros datos dados, si es un cuadrado o un rombo.


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Calcular medidas de ángulos en polígonos.

Reflejar una figura con respecto a una recta.

Realizar construcciones geométricas a partir de condiciones dadas.

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7

139º

8

35º

9

86º

10

60º

11

108º

12

120º

13

–

14

–

15

–

16

–

17

–

18

–

4/6

• Realizar ejercicios en los cuales los alumnos y las alumnas deban determinar ángulos incógnitos en triángulos, cuadriláteros y polígonos de más lados, pero regulares. • Realizar ejercicios en los cuales los y las estudiantes deban determinar varios ángulos incógnitos en triángulos, cuadriláteros y polígonos de más lados, pero regulares, dando datos numéricos o características de los polígonos.

2/3

• Realizar ejercicios en los que los alumnos y las alumnas deban reflejar polígonos convexos con respecto a una recta, empezando con los polígonos más usados y luego complicar la figura. • Realizar ejercicios en los cuales los y las estudiantes deban reflejar polígonos no convexos y figuras compuestas con respecto a una recta.

2/3

• Realizar ejercicios en los cuales los(as) alumnos(as) deban construir con regla y compás una recta paralela a otra que pasa por un punto, una recta perpendicular a otra que pasa por un punto y cuadriláteros cualesquiera. • Realizar ejercicios en los que los alumnos y las alumnas deban construir con regla y compás triángulos según los lados o ángulos, cuadriláteros de distinto tipo como paralelogramos, cuadrados, rectángulos, etc.

Transformaciones isométricas (Páginas 86 y 87)

Información para el docente • La palabra isometría proviene del griego iso (misma), y metría (distancia). Es muy importante hacer hincapié que las transformaciones isométricas producen figuras congruentes, importante concepto que se desarrollará más adelante pero que de alguna manera los alumnos intuyen y comprenden.


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Actividades complementarias Escribe el mismo número a las parejas de figuras congruentes (una de ellas es el resultado de una isometría aplicada a la original).

• Para la siguiente actividad se necesitan tijeras y que el docente le entregue a cada alumno el puzzle y el triángulo modelo. La actividad consiste en armar el puzzle colocando el triángulo modelo en las posiciones convenientes. (En este ejercicio el alumno estará aplicando isometrías en cada triángulo para formar el puzzle, el triángulo modelo debe calzar con el puzzle, puede obtenerlo de la cola o cara del pajarillo, dependiendo del tamaño en que copiará el puzzle).

En tu cuaderno, pega el puzzle y en una hoja de papel dibuja el triángulo modelo 16 veces y recórtalos. Puzzle

Triángulo modelo

Errores frecuentes o posibles dificultades • De todas las transformaciones isométricas, posiblemente a los alumnos les cueste reconocer isometrías cuando las figuras están rotadas, sobre todo cuando son polígonos convexos. Como no siempre los alumnos podrán manipular las figuras, ya sea recortándolas o girándolas hasta que calcen, un buen ejercicio es enseñarles que ubiquen un punto o un segmento en la figura original y luego busquen ese punto (o segmento) en la figura transformada, esto les desarrolla también la abstracción y el sentido de orientación espacial.

Traslación (Páginas 88 y 89)

Información para el docente • Para iniciar este contenido se recomienda recordar a los alumnos cómo ubicar puntos en una cuadrícula, de modo que logren describir desplazamientos en ella. • Es importante que los alumnos nombren los vértices de los polígonos que trasladarán, tanto el original como el trasladado, detenerse a explicar esta notación.

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• Es necesario hacer hincapié en que para trasladar una figura basta con trasladar sus vértices en una distancia dada. • Analizar con los alumnos cuáles son los vértices y lados homólogos correspondientes a la figura original y su imagen. Verificar paralelismo entre los lados e igual distancia entre los vértices. Preguntarles ¿qué pasa con el desplazamiento de la imagen si la distancia es mayor?, ¿y si es menor? • Un ingenioso invento para realizar traslaciones es el traslatore di Kempe; que es un mecanismo de varillas articuladas que forman dos paralelogramos unidos:

A´

A

Al mover el punto A para formar una figura, esta queda trasladada en el vértice A’.

Traslación con vectores (Páginas 90 y 91)

Información para el docente • La traslación con vectores estudiada aquí es una introducción de lo que se trabajará en 1º Medio, donde se podrán utilizar las coordenadas cartesianas para la identificación de los vectores. En estas páginas nos limitaremos a describir los vectores identificando su magnitud, sentido y dirección o bien dibujándolos a partir de uno dado; por lo tanto, en este caso, se les debe indicar a los alumnos cómo trasladar la figura, para esto es importante que siempre trabajen sobre una cuadrícula, para que puedan reproducir el vector, y colocar el origen de este en el punto que quieran trasladar.

Errores frecuentes o posibles dificultades • Es muy frecuente que los alumnos confundan el con cepto de sentido y dirección, ya que muchas veces la palabra dirección es empleada erróneamente para referirse al sentido, por ejemplo, muchas veces se habla de dirección izquierda o derecha y en realidad eso se refiere al sentido. Para evitar este error en los alumnos, repasar la orientación espacial, por ejemplo, describiendo desplazamientos a partir de un punto: – – – –

Paso 1: Sitúese en el punto A. Paso 2: Avance tres lugares h acia el norte. Paso 3: Diríjase al oeste dos lugares más. Paso 4: En dirección diagonal avance en sentido sur cuatro lugares.

Pueden unir los puntos de llegada en cada paso por segmentos para así dibujar la trayectoria.


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Actividades complementarias El punto A se trasladó hasta B y, luego, hasta C, ¿Cuál es el vector de traslación “directo” desde A hasta C? Dibújalo. C

B

A

Traslada la figura a partir del vector AB; la imagen obtenida píntala de color azul. Ahora, la figura azul trasládala respecto del vector BC; la imagen obtenida píntala de amarillo. ¿Es posible obtener la figura amarilla a partir de una sola traslación de la figura roja? Si la respuesta es afirmativa, ¿cuál es el vector de traslación? C

A

B

Rotación (Páginas 92 y 93)

Información para el docente • Es importante mencionar que las rotaciones pueden realizarse en el sentido contrario a las agujas del reloj, en este caso se considera una r otación positiva, o en el sentido de las agujas del reloj, en cuyo caso se considera negativa. • Es necesario trabajar de manera especial las r otaciones en 90º, 180º y 360º. La primera, porque los lados de la figura quedan perpendiculares y es algo que los alumnos deberán reconocer al momento en que se les pida identificar el ángulo de rotación, o tendrán que comprobar cu ando se les pida rotar una figura en 90º. La segunda, porque también se denomina simetría central (no es necesario mencionar el nombre técnico, ya que aún no se ha tratado este contenido, porque los alumnos se darán cuenta de que es una reflexión) y por lo tanto existe una equivalencia entre ambas transformaciones. Y, por último, el caso de rotar en 360º es equivalente a la rotación en 0º porque no produce variación en la figura.

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Actividades complementarias Encuentra el ángulo de rotación de las siguientes figuras, con centro de rotación O. A

A

A´ A´

Errores frecuentes o posibles dificultades • Mientras más lados tenga la figura, más complejo se hace el procedimiento de transformación, por eso es importante que los alumnos sean ordenados y no se olviden de colocar letras al rotar cada vértice.


Indicador Identificar isometrías y elementos correspondientes en ellas.

Nº de pregunta

1

2


Respuesta

Logrado con


1/2

• Realizar ejercicios en los cuales a partir de una teselación los alumnos y alumnas reconozcan figuras que han sufrido o no isometrías. Realizar ejercicios en los que los y las estudiantes, a partir de parejas de figuras, reconozcan aquellas que corresponden a la misma figura pero que una de ellas ha sufrido una isometría. • Realizar ejercicios en los cuales a partir de una teselación los alumnos y alu mnas reconozcan las figuras que han sufrido isometrías y de qué tipo (si se giraron o solo se trasladaron). Realizar ejercicios en lo que los(as) alumnos(as), a partir de parejas de figuras, reconozcan aquellas que corresponden a la misma figura pero que una de ellas ha sufrido una isometría (que las diferencias entre las figuras sean muy sutiles).

C

A

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Identificar traslaciones y caracterizar mediante vectores.

Identificar rotaciones y caracterizar mediante su centro y su ángulo de rotación.

3

C

4

D

5

B

6

1/2

• Realizar ejercicios en los que alumnos y alumnas deban realizar traslaciones de figuras simples a partir de un vector dado. • Realizar ejercicios en los que alumnos y alumnas a partir de una figura y su trasladada deban encontrar el vector que produjo la traslación.

1/2

• Realizar ejercicios en los cuales alumnos y alumnas deban realizar rotaciones de figuras simples a partir de un centro y un ángulo dado; comenzar con ángulos simples como 90º y 180º. • Realizar ejercicios en los cuales los y las estudiantes, a partir de una figura y su rotada, deban encontrar el centro y el ángulo que produjo la rotación.

A

7

A

Simetría axial (Páginas 96 y 97)

Información para el docente • Los alumnos tienen menos dificultades para reflejar una figura cuando el eje de simetría es paralelo a los bordes de la hoja donde se encuentra el dibujo; empezar con estos ejercicios. Luego seguir con ejercicios en donde los alumnos deban reflejar figuras en las que el eje de simetría ya no es paralelo a los bordes de la hoja, este tipo de simetrías permite destacar con mayor precisión (ya que no es inmediato como en el caso anterior) los conceptos de perpendicularidad y equidistancia como propiedades que definen la simetría. Por último, realizar ejercicios donde el eje de simetría esté sobre la figura a reflejar, esto permitirá analizar por ejemplo que los puntos que están sobre el eje de simetría quedan fijos y por lo tanto son imágenes de sí mismos bajo la reflexión.

Actividades complementarias • Las siguientes actividades se sugieren para profundizar el contenido trabajado en estas páginas.

Resuelve. 1. Corta una hoja de papel en forma de un cuadrado, dóblala por la mitad, ya sea en forma vertical, horizontal o diagonal. En una de las mitades, dibuja un motivo cualquiera y recorta ambas mitades guiándote por tu bosquejo. Al desdoblar el recorte ¿la figura que quedó es simétrica? Si la respuesta es afirmativa: ¿cuál es su eje de simetría?, ¿es posible encontrar otros ejes de simetría?, ¿de qué dependerá esto último?

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2. Construye en tu cuaderno las reflexiones de las siguientes figuras con respecto a los ejes de simetría que están indicados en color rojo. A

B

B

C

A

C

E E

D

D

Simetría central y simetría rotacional (Páginas 98 y 99)

Información para el docente • Mencionar a los alumnos que una simetría central equivale a una rotación en 180º grados donde el centro de rotación corresponde al centro de simetría. • Una manera de diferenciar la simetría axial y la simetría central, es que en la primera, el eje de simetría hace el papel de un espejo, por lo que la imagen es un reflejo; en cambio, en la segunda, la imagen queda invertida. • Los polígonos regulares poseen simetría rotacional, por ejemplo el cuadrado, cada 90º, ocupa la misma posición en el plano. En el caso del hexágono regular, cada 60º de rotación.

Actividades complementarias Construye en tu cuaderno las simetrías centrales de las siguientes figuras con respecto a los centros de simetría que están indicados en rojo. 1.

2.

3.

Realiza lo siguiente. 1. Corta una hoja de papel de forma cuadrada, dóblala por la mitad en dirección horizontal y luego en dirección vertical, te quedará un cuadrado más pequeño. Ahora; dobla el cuadrado por la diagonal, te quedará un triángulo y en este dibuja un motivo sin tocar los vértices del triángulo. Luego, recorta la figura y ábrela, si rotas la figura en ciertos ángulos ¿qué sucede?, ¿qué tipo de simetría tiene la figura?, ¿en qué ángulo?


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Construcciones geométricas usando el computador (Páginas 100 y 101)

Información para el docente • Es muy importante que el docente incluya dentro de su práctica pedagógica el uso de la tecnología. Si decide llevar a los alumnos al laboratorio de computación, se recomienda que los alumnos lleven consigo el texto y sigan los pasos descritos en estas páginas. El docente no debe pretender que todo el grupo curso vaya al mismo ritmo y al mismo tiempo, porque la diversidad de los alumnos no lo permitirá y solo hará que el docente se desgaste innecesariamente. Al contrario, el profesor debe dar espacio a los alumnos para que exploren la herramienta geométrica, para lo cual puede solicitar ayuda a los alumnos más aventajados (que probablemente, realizarán la actividad en menos tiempo del programado), pídales que monitoreen y respondan consultas de sus compañeros.

Actividades complementarias • Solicitar a los alumnos que visiten la página http://www.eduteka.org/MI/master/interactivate/activities/Transform/Index.html, donde podrán reforzar los tipos de isometrías trabajados en estas páginas.

Isometrías en el entorno (Páginas 102 y 103)

Información para el docente • Es muy importante que los alumnos logren diseñar composiciones simples a partir de diferentes transformaciones isométricas en el plano. Deben ser capaces de describir y analizar isometrías presentes en la naturaleza, en el arte, en la arquitectura y en la tecnología. La misma sala de clases permite ejemplificar cómo se puede cubrir el plano a través del uso de isometrías de una figura, por ejemplo, el embaldosado. Un claro ejemplo en la naturaleza es el panal de abejas, donde el plano se cubre a través de un hexágono regular. Pida a los alumnos y alumnas que investiguen las razones de por qué las abejas utilizan esa figura para hacer su trabajo y no un pentágono u otro polígono. Indicarles que traten de cubrir la hoja de cuaderno con un pentágono para verificar si es posible y que traten de identificar otra figura, a parte del cuadrado del piso y el hexágono del panal, que sirva para cubrir una superficie sin dejar espacios en el plano.

Actividades complementarias Identifica qué tipos de isometrías se utilizaron en las siguientes teselaciones.

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Teselaciones regulares y semirregulares (Páginas 104 y 105)

Información para el docente • Comentar con los alumnos el hecho de que las teselaciones son producidas por sucesivas isometrías aplicadas a una figura, y cómo estas están presentes tanto en la naturaleza como en el arte y la arquitectura. • En el caso de las teselaciones regulares, las producidas por cuadrados se alinean perfectamente unas con otras. En cambio, cuando se trata del triángulo equilátero o del hexágono, estos deben ensamblarse no alineados, es decir, hay que aplicar alguna isometría para ensamblarlos. • El cuadrado, el triángulo equilátero y el hexágono regular son los únicos polígonos que pueden formar una teselación regular, porque sus ángulos interiores son divisores de 360º, por lo tanto, siempre cumplirán la condición de que la suma de los ángulos que concurran a un mismo vértice sea este valor. En el caso de las teselaciones semirregulares existen ocho combinaciones que permiten cubrir el plano, ya que la suma de los ángulos que concurren en un vértice es 360º, y pueden ser formadas por triángulos equiláteros, cuadrados, hexágonos regulares, octágonos regulares y dodecágonos regulares. Existen otras combinaciones también pero que solo permiten cubrir el entorno del punto, es decir, no se pueden extender al resto del plano. Ejemplo:

Actividades complementarias En grupos de 2 ó 3 integrantes realicen lo siguiente. 1. Dibujen un cuadrado en una hoja de papel y realicen los siguientes pasos: – Paso 1: dividan un cuadrado en cuatro column as y cuatro filas, luego tracen las diagonales de los cuatro cuadrados del centro como muestra la figura:


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– Paso 2: marquen las lín eas que se muestran en la figura, e identifiquen las c uatro figuras que se formaron

– Paso 3: recorten las cuatro figuras formadas y péguenlas en la posición que se muestra a continuación

2. ¿Será posible cubrir el plano con esta figura? Si la respuesta es afirmativa, inténtenlo en sus cuadernos. – Esta figura es llamada “el hueso” en el mosaico de la Alhambra de Granada, investiguen más acerca de la residencia real de la dinastía Nazarí, de sus mosaicos, y la presencia de isometría en ellos.

Ampliaciones y reducciones (Páginas 106 y 107)

Información para el docente • Hacer hincapié en que ampliar o reducir figuras no corresponde a una transformación isométrica ya que las longitudes varían. Señalar que el ampliar o B reducir produce figuras semejantes. C • Deducir junto a los alumnos que si la razón de semejanza k es mayor que 1 la figura se amplia, de lo A contrario, la figura se reduce. Plantearles preguntas como O ¿qué sucede si k = 1?, ¿a qué transformación isométrica corresponde? • También existen homotecias de razón negativa, que, por supuesto, no serán estudiadas en estás páginas, pero para información del docente, son aquellas en que el centro de homotecia queda situado entre la figura original y su imagen, y la imagen queda invertida, como se muestra en la figura:

A´

C´

B´

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Actividades complementarias Identifica la razón de semejanza (k) que se aplicó a la figura roja para obtener la figura azul, respecto al centro O. 1.

2.

• Para profundizar en este contenido, puede sugerir a los estudiantes que visiten la siguiente página, donde podrán manipular las figuras y ver cómo varía la razón de semejanza. http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Semejanza_y_homotecia/Homote1.htm


Información para el docente • En el caso de rotar figuras o segmentos, como lo muestra el ejercicio 2, es muy útil dibujar ambas circunferencias como primer paso y luego las rectas indicadas. Las circunferencias a dibujar son concéntricas y su centro es el centro de rotación. El radio de cada circunferencia corresponderá a la distancia entre el centro y los extremos del segmento. En el caso de una figura, cada radio será la distancia entre el centro y dos vértices cualesquiera pertenecientes a la figura. Hacer notar a los alumnos que los extremos del segmento rotado pertenecen a cada circunferencia, lo mismo ocurrirá cuando se rote una figura.


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Información para el docente • Otra estrategia para ampliar o reducir figuras dada la razón de semejanza y el centro es la siguiente: 5 c m

Se unen todos los vértices con el centro O por medio de segmentos. Se mide aquel que une O y el vértice A, supongamos que mide 5 cm, entonces se multiplica esta distancia por la razón k, dando como resultado 2,5 y se mide desde O, en el mismo segmento, esta distancia. Se repite lo mismo para cada vértice.

A

m 2, 5 c A´

O B´ C´

B C

Síntesis (Página 113)

Información para el docente • Evaluar el proyecto presentado al inicio de estas páginas y comentar con los alumnos, a través de las preguntas planteadas en el libro, los aprendizajes logrados en esta unidad. Si se realizaron otros proyectos relacionados con este tema, este es el momento para evaluarlos. Se recomienda al docente evaluar tanto los conocimientos geométricos aplicados en el proyecto como el trabajo en grupo y la responsabilidad mostrada al realizarlo.


Actividades complementarias Resuelve. 1. Una persona quiere hacer un mosaico en su terraza rectangular, usando baldosas con forma de triángulo rectángulo. Las medidas de cada baldosa y de la terraza se muestran en el dibujo que aparece a continuación. ¿Cuántas baldosas se necesitan para cubrir la superficie total de la terraza? (www.simce.cl)

Terraza

A. 4 B. 6 C. 8 D. 12

Baldosa 40 cm

120 cm 60 cm

80 cm

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2. ¿Cuáles de los rectángulos del siguiente dibujo son semejantes entre sí y los lados de cada figura están en la razón 2 : 3? (www.simce.cl)

A. Nº 1 y Nº 3 B. Nº 3 y Nº 4 C. Nº 1 y Nº 2 D. Todos

2

1

3

4


Indicador Identificar y caracterizar traslaciones a partir del vector que las define.

Identificar y caracterizar rotaciones a partir del centro de rotación y el ángulo de rotación.

Identificar y caracterizar simetrías a partir del eje o centro de simetría.


Nº de pregunta

Respuesta

1

B

2

C

11

–

13

–

3

D

5

B

14

D

16

–

4

D

6

C

7

C

12

D

15

–

Logrado con


3/4

• Realizar ejercicios en los cuales los(as) alumnos(as) deban realizar traslaciones sucesivas de polígonos regulares para formar teselaciones en el plano o construir un dibujo estructural, reconociendo los vectores que permiten estas transformaciones. • Realizar ejercicios en los que los y las estudiantes a partir de una traslación de polígonos deban identificar los vectores de traslación que la produjeron.

3/4

• Realizar ejercicios en los que alumnos y alumnas deban rotar polígonos a partir del centro de rotación en uno de los vértices del polígono y en ángulos usuales. • Realizar ejercicios en los cuales alumnos y alumnas deban rotar polígonos para formar otras figuras y deban determinar el centro y el ángulo de rotación que lo permitan.

3/5

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• Realizar ejercicios en los cuales alumnos y alumnas deban realizar simetrías de polígonos regulares con respecto a una recta o a un punto. • Realizar ejercicios en los que los y las estudiantes deban determinar el eje de simetría o el centro de simetría a partir de una reflexión dada.


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Identificar y realizar ampliaciones o reducciones. 9

10

1/2

• Realizar ejercicios en los que los alumnos y alumnas deban ampliar o reducir polígonos regulares a partir de una razón dada. Realizar ejercicios donde los y las estudiantes deban componer ampliaciones o reducciones y determinen la razón equivalente que se debe aplicar para realizar las ampliaciones o reducciones de una sola vez. • Realizar ejercicios en los cuales los alumnos y alumnas deban ampliar o reducir polígonos irregulares que cumplan ciertas condiciones, como, por ejemplo, que su superficie tenga cierta área. Realizar ejercicios en los que dada una composición de ampliaciones o reducciones, los alumnos deban determinar las razones de semejanza.

1/1

• Realizar ejercicios en los que alumnos y alumnas deban construir una teselación a partir de traslaciones de polígonos regulares. • Realizar ejercicios en los cuales alumnos y alumnas deban determinar las transformaciones isométricas equivalentes a las traslaciones que se hicieron para producir una teselación.

–

–

Identificar y realizar teselaciones. 8

B

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NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Marca la alternativa correcta en las siguientes preguntas. 1. Una transformación geométrica que preserva la forma

4. Para superponer ambas figura se necesita:

y las medidas de una figura se conoce como:

A. una simetría. B. una rotación

A. teselación. B. simetría. C. isometría. D. Ninguna de las anteriores.

en 180º. C. una simetría rotacional. D. una traslación.

2. A la estrella gris se le aplicó una traslación, ¿cuál de 5. Si el punto A se rota 180º con respecto al centro O.

las alternativas describe esta transformación?

¿Cuál de las siguientes alternativas no es equivalente a esta transformación?

A. Una simetría central con centro O. A B. Una traslación de O 4 lugares hacia el oeste y 4 lugares hacia el sur. C. Una simetría axial cuyo eje de simetría es la recta que pasa por OA. D. Una traslación de 4 lugares hacia el sur y 4 lugares hacia el oeste.

A. 4 lugares hacia el este y 3 hacia el sur. B. 4 lugares hacia el oeste y 3 hacia el sur. C. 3 lugares hacia el oeste y 3 hacia el sur. D. 3 lugares hacia el este y 3 hacia el sur. 3. ¿Cuál de los siguientes vectores produjo la traslación

6. ¿Cuántos grados debe medir el ángulo interior del rombo para formar una flor de seis pétalos sin dejar ningún espacio vacío? ¿Cuál transformación se debe aplicar?

de la figura gris?

A. 60º y se debe reflejar con respecto a cada lado

A.

C.

B.

D.


del rombo. B. 60º y se debe reflejar con respecto a cada vértice inferior del rombo. C. 60º y se debe trasladar una unidad hacia la derecha y una unidad hacia abajo seis veces. D. 60º y se debe rotar 60º con respecto al vértice inferior, luego en 120º con respecto al mismo vértice, 180º, 240º, 300º y 360º.

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7. Dibuja la figura simétrica con respecto a la recta.

10. Encuentra el centro O que permitió esta transformación e indica qué tipo de transformación se realizó. B´ D´

A´

C´

E

E´ A

C D B

8. Dibuja el eje de simetría de esta reflexión:

11. Reduce la figura en razón 1 con respecto al centro O. 3

O

9. Realiza una simetría central con respecto al centro O.

12. Amplía la figura en razón 2 con respecto al centro O.

O

O

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. a i c a . c i f e t e n y a v d e l a e d i r r a n l ó c i c n a o c m r , s o f a i n . i p e o a j l r a z p r i a d s n n e o e n i r c o i c p c e a c l i o e v s t u . n y a a o c c o e i t d t y n s í r e e c s i o o t t m d i a u n c i d a e o c y i m n a i o p a t c a i c n e l c t e s í r s , c r l a s a e a z y e i d l i i t d o d , u a d s , i i d t e d i v n n a e o d t i s i l a n e i a r l e p e r c y o a a l s l , o l c a r s e a i r c m d a ó c o l t i e n b e n o o m u c r e p y m d r o o c v y i d e v a l x r e a d l i o f s c s e e a e p r r r a e o p c d t x e a d n l e e i a y i d m d s c a d s a é r a p n d e i a t c e i p l n b i l a e a l l e r r h a r l a l a l e l l r v o o a o r t r r r i m a s a s c r o e r e e j P D D E

s e l a s r e v s n a r t s e l a t n e m a d n u f s o v i t e j b O • • • •

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. s a n a m e s 9 a 7



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Esquema de la unidad PROPORCIONALIDAD Funciones

Independientes Variables

No proporcionales

Dependientes

Proporcionales Reparto proporcional

Directa

Gráfico

Inversa

Álgebra y ecuaciones

PORCENTAJE


Información para el docente • Los y las estudiantes, en el curso anterior, se familiarizaron con el concepto de variación proporcional, trabajando con proporcionalidad directa e inversa, y el porcentaje como una aplicación. El objetivo de esta unidad es profundizar en estos conceptos, pero ahora trabajando desde el álgebra. Ya no se hablará de cantidades proporcionales sino de variables proporcionales, lo que es un paso bastante grande en la abstracción de este contenido. • El proyecto presentado en las páginas ini ciales tiene como objetivo situar a los y las estudiantes en un contexto muy cotidiano y trabajar conjuntamente, con conceptos ligados al tema de esta unidad. La idea es que a través de las ofertas presentadas en la ilustración, los y las estudiantes logren abstraer estos conceptos y traducirlos matemáticamente para poder responder las preguntas planteadas.


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UNIDAD 4 | Funciones y proporcionalidad

Actividades complementarias Para complementar el proyecto grupal, el docente podría agregar preguntas como las si guientes. 1. En la oferta “Lleve 2 al precio de 1”, ¿a qué porcentaje corresponde el descuento? 2. En la oferta “Lleve 5 detergentes y pague 4”, ¿a qué porcentaje corresponde lo pagado?


Información para el docente • Antes de comenzar esta unidad el docente deberá repasar, con los y las estudiantes, los contenidos necesarios para un buen trabajo de esta unidad. Por ejemplo: planteando y resolviendo ecuaciones, obteniendo el valor desconocido en una proporción, identificando si dos variables son proporcionales, calculando porcentajes correspondientes a una cantidad y la cantidad correspondiente a un porcentaje.

Indicador Plantear y resolver problemas utilizando ecuaciones.

Nº de pregunta

Respuesta

1

40.000 + A

2

5·L

3

$ 25.000

4

Ahorró $ 1.667 aprox. la primera semana.

5

12 11

6

5 8

7

1 33

8

x = 500.000

9

x = 42

10

NP

11

P

Logrado con

3/4

Calcular razones, proporciones y aplicar la propiedad fundamental de las proporciones.

Relacionar magnitudes para establecer una variación de proporcionalidad.

12

NP

13

P

Remediales/ sugerencias de profundización • Realizar ejercicios en los cuales los y las estudiantes resuelvan ecuaciones aditivas y multiplicativas y en los que las soluciones correspondan al ámbito numérico de los números racionales. • Realizar ejercicios en los que alumnos y alumnas planteen ecuaciones, las resuelvan y deban estudiar la pertinencia de las soluciones.

3/5

• Realizar ejercicios en los cuales los y las estudiantes deban calcular el valor de una razón y el término desconocido en una proporción utilizando la propiedad fundamental. • Realizar ejercicios en los que alumnos y alumnas deban resolver problemas de variabilidad y buscar un valor, planteando una proporción.

3/4

• Realizar ejercicios en los cuales los y las estudiantes deban identificar si dos variables se relacionan proporcionalmente y cuándo no. • Realizar ejercicios en los que alumnos y alumnas deban identificar si dos variables se relacionan proporcionalmente y qué tipo de proporcionalidad es (directa o inversa).

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Resolver problemas e interpretar porcentajes.

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14

50%

15

50%

16

$ 12.500

17

Sí

3/4

• Realizar ejercicios en los que los alumnos y alumnas deban resolver problemas calculando la cantidad correspondiente a un porcentaje. • Realizar ejercicios en los cuales alumnos y alumnas deban resolver problemas calculando el porcentaje correspondiente a una cantidad.

Funciones (Páginas 130 a 133)

Información para el docente • El concepto de variabilidad y de dependencia son conceptos complejos y exigen un proceso de abstracción para comprenderlos. Una manera de ayudar a esta comprensión podría ser ejemplificar con situaciones en las c uales las cantidades correspondan a variables conocidas por ellos, y sepan cómo pueden variar en sus valores, por ejemplo, situaciones que involucren tiempo, distancias, dinero, etc., (si es situación de dinero, saben que si un artículo cuesta $ x y compran más artículos tendrán que pagar más dinero). En cuanto a la dependencia de dos variables, es necesario que los y las estudiantes comprendan claramente este concepto, para que más adelante, cuando se enfrenten al concepto de función, les sea familiar y facilite la comprensión de este contenido.

• Al hablar de dependencia, utilizar ejemplos que sean conocidos y utilizados por los alumnos y alumnas; por ejemplo, cantidad de canciones para guardar en un mp3 y el tamaño del archivo, las notas y el promedio. A la hora de decidir cuál de las dos variables depende o no de la otra es necesario que verifiquen la relación que hay entre ellas y comprueben con ejemplos numéricos. También es importante mencionar ejemplos en los cuales dos variables se relacionen, pero que no exista dependencia.

• Otro punto importante a trabajar es la expresión algebraica o fórmula (en el texto se menciona como modelo matemático) que define la relación de dependencia de las variables, para esto es necesario que el docente repase con las alumnas y alumnos expresiones algebraicas y su valorización.

Errores frecuentes o posibles dificultades • Los y las estudiantes presentan dificultades a la hora de identificar qué variables son independientes y cuáles dependientes. Un buen ejercicio es que ellos den ejemplos de variables que tengan alguna relación de dependencia. Otro buen ejercicio es que el docente les indique cuáles son las preguntas clave que deben plantear las alumnas y los alumnos acerca de la relación entre las variables, por ejemplo, en las variables “notas y el promedio”: ¿las notas dependen del promedio o el promedio depende de las notas?


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• En el caso de expresar el “modelo matemático” que define la relación de dependencia, los alumnos y las alumnas podrían presentan dificultades, por eso el docente debe indicarles estrategias para llegar al modelo matemático correcto. Una de estas estrategias puede ser que los y las estudiantes: – primero, identifiquen cuál es la variable dependiente y cuál es la independiente; luego, – escriban con palabras qué operación ari tmética (sumar, restar, multi plicar, dividir) debe aplicarse a la variable independiente para obtener la variable dependiente, y finalmente, – traducir esta situación a lenguaje matemático.

• Por otra parte, también les ayuda a los alu mnos y las alumnas identificar variables independientes y dependientes a partir del modelo matemático, reconociendo la variable independiente (x) como aquella que se encuentra en la expresión algebraica y la variable dependiente (y) como aquella a la que se iguala la expresión algebraica. Esto puede llegar a ser mecánico, por lo que el docente debe recomendar que se utilice solo como un recurso secundario.

Actividades complementarias De las siguientes relaciones de variables, identifica la variable independiente (V.I.) y la variable dependiente (V.D.). 1. 2. 3. 4.

El tiempo dedicado a practicar deporte y la cantidad de calorías eliminadas. La longitud de la sombra que proyecta una persona y la estatura de esa persona. El número de azulejos que se necesitan para embaldosar una superficie y la medida de la superficie. Los kW/h consumidos en un mes y el costo de luz a final de mes.

Determina mediante una función que relaciones las variables correspondientes. 1. Un automóvil rinde 10 km por litro de bencina. Si L corresponde a los litros de bencina y D la 2. 3.

distancia recorrida por el automóvil, ¿cuál es la expresión algebraica para el consumo de combustible? El costo de un metro cúbico de agua potable corresponde a $ 311. Si A corresponde a los metros cúbicos de agua potable utilizados en un mes y C corresponde al total a pagar a fin de mes, ¿cuál es la expresión algebraica para el consumo de agua potable de un mes cualquiera? El costo de un pórtico en una au topista es de $ 135 en horario normal y $ 211 en hor ario punta. Si N es el número de pórticos utilizados por un automóvil en horario normal y P el número de pórticos utilizados por el automóvil en horario punta y C el costo total de la autopista, ¿cuál es la expresión algebraica para el costo de la utilización de la autopista?

Completa la tabla según corresponda. 1. P = 3,5V 2. R =

T 2

V

5

6

7

5,2

6,4

7,4

10

20

100

P T R

|

75 |

10,2 20,4 100,5

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Proporcionalidad directa: constante y gráfico (Páginas 134 y 135)

Información para el docente • Las estrategias de resolución de problemas relacionados con el reparto proporcional se pueden generalizar con el método de encontrar la constante “k” para cuando se tienen más de dos variables involucradas. Para este contenido, particularmente, se utilizan las propiedades de las proporciones relacionadas con la composición y descomposición de ellas (que no son mencionadas en los textos actuales) como una forma de simplificar el contenido. a c = donde a b d siguientes propiedades: Dada la proporción,

∈

,

b

∈

,

c

∈

,

d

∈

,

b= / 0yd= / 0, se cumplen las

a. Proporciones equivalentes a c d c b d = y = y = b d b a a c

b. Composición de una proporción a+b c+d a+b c+d = o = a c b d

c. Descomposición de una proporción a–b c–d a–b c–d = o = a c b d

d. Composición y descomposición de una proporción a+b c+d = a–b c–d

Ejemplo La diferencia entre dos números es 90 y están en la razón 5 : 2. ¿Cuáles son los números? Sean p y q los números. Por enunciado se tiene que p – q = 90 y

p 5 = . q 2

Aplicando propiedades de las proporciones:


|

76 |

p–q 5–2 90 3 = ; lo que es equivalente a = . q 2 q 2

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Resolviendo esta ecuación se igualan los productos cruzados: 90 · 2 = q · 3. Entonces, q = 60. Luego, remplazando el valor de q en la expresión p – q = 90, se tiene que p = 150. Los números son 150 y 60. Para comprobar que sean los números pedidos, – remplazamos en p – q = 150 – 60 = 90. 5 150 – corroboramos que los números pedidos cu mplan con la razón dada: = 2 60

• Es importante que los alumnos y las alumnas comprendan que la “variación ” que se produce en las variables es proporcional, es decir, si una variable aumenta “x veces” la otra vari able aumenta también “x veces” o si una variable disminuye “x veces”, la otra también disminuye en “x veces”.

• El docente podría aprovechar esta oportunidad para introducir la función lineal, apoyándose de la gráfica de la proporcionalidad directa, y pincelar conceptos tales como la pendiente de una recta.

Actividades complementarias Resuelve los siguientes problemas. 1. Pedro y Juan están ahorrando para las vacaciones, si el dinero que han juntado está en la razón 12 : 7 y Pedro tiene $ 850 más que Juan, ¿cuánto dinero tiene cada uno?

2. Felipe debe cortar dos trozos de tabla de manera. Si las longitudes de los trozos deben estar en razón 3 : 4 y, uno de ellos debe tener 2 cm más que el otro, ¿cuáles son las medidas que debe tener cada trozo de madera?

3. María tiene dos años menos que Pilar y sus edades están en la razón 7 : 5. ¿Cuáles son las edades de Pilar y María?

Si A y B son variables directamente proporcionales, obtén los valores que faltan.

m·

x=

,y=

,z=

|

77 |

A

B

3,5

5,6

7

x

y

16,8

17,5

z ,m=

·3

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Errores frecuentes o posibles dificultades • Es bastante común que los y las estudiantes crean que si u na variable aumenta y la otra también, estas se relacionan de forma directamente proporcional, y se olvidan de verificar si el cociente entre las magnitudes es constante. Para evitar este típico error, trabajar con variados ejemplos en que las variables aumentan o disminuyen pero no proporcionalmente. Hacer lo mismo con gráficos que correspondan a líneas rectas, pero que no comiencen en el origen, para que no sean directamente proporcionales. Gráfico que representa una proporcionalidad directa Y

Gráfico que representa una proporcionalidad no directa Y

X

X

Proporcionalidad directa: modelo matemático (Páginas 136 y 137)

Información para el docente • Es importante mencionar que la estrategia utilizada en este contenido para resolver la proporción directa es usando el modelo matemático del cociente constante y no la “regla de tres” (formar la proporción), como usualmente se realiza. A continuación se presenta una manera de trabajar la regla de tres. La llamada “regla de tres”, es un procedimiento que proviene de una proporción y su producto cruzado, para luego ser resuelta por una ecuación. Utilizando la misma situación de estas páginas, se tiene lo siguiente.

Distancia recorrida (km)

Tiempo utilizado (h)

90

1

x

1,5

La incógnita x representa la distancia, en kilómetros, que lleva recorrida en el transcurso de 1,5 horas. Para resolver, formamos la proporción correspondiente a la proporcionalidad directa. 90 1 = , como es una proporción directa, multiplicamos cruzado. x 1,5 90 · 1,5 = x · 1 135 = x Luego, en 1,5 horas recorre 135 kilómetros.


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Actividades complementarias El área (A) de un rectángulo de ancho a cm y largo b cm, se calcula como A = a · b. 1. Si la medida del largo b es constante, ¿de qué manera se relacionan A y a? 2. Si la medida del ancho a es constante, ¿de qué manera se relacionan A y b? La rapidez V de un móvil se calcula como el cociente entre la distancia d y el tiempo t. 1. ¿Qué debería suceder para que la distancia d y el tiempo t fueran variables directamente 2.

proporcionales? Si el tiempo t es constante, ¿de qué manera se relacionan V y d?

Responde. 1. El perímetro P de un cuadrado de lado a cm se calcula como P = 4a cm, ¿cómo se relacionan 2.

P y a? El rendimiento de un automóvil es de 10 km por litro de bencina:

a. ¿cómo se relacionan los kilómetros recorridos y los litros de bencina? b. ¿cuál es la constante de proporcionalidad?

Proporcionalidad inversa (Páginas 138 y 139)

Errores frecuentes o posibles dificultades • Un error frecuente es que alumnos y alumnas asuman que una situación se modela con una proporción inversa solo corroborando que una variable aumenta y la otra disminuye, y no corroborando que esta variación sea proporcional y comprobando que el producto entre las magnitudes sea constante. Para evitar este típico error, trabajar con variadas situaciones en las cuales una variable aumente y la otra disminuya, o viceversa, pero no proporcionalmente.

Actividades complementarias Si A y B son variables inversamente proporcionales, encuentra los valores que faltan.

m·

x=

,y=

|

79 |

A

B

2,4

5,4

4,8

x

y

1,8

12

z

,z=

:3

,m=

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Proporcionalidad inversa: modelo matemático (Páginas 140 y 141)

Información para el docente • Es importante mencionar que la estrategia utilizada, en estas páginas, para resolver problemas de proporcionalidad inversa es el modelo matemático del producto c onstante entre magnitudes y no la “regla de tres” (formar la proporción) como usualmente se realiza. A continuación se presenta una manera de trabajar la regla de tres. La llamada “regla de tres para la proporción inversa”es un procedimiento que proviene de una proporción, para luego ser resuelta por una ecuación. Utilizando el ejercicio 4 de página 141, resolveremos. En un viaje de estudio se ha arrendado un bus para el transporte. Si van 30 alu mnos y cada uno debe pagar $ 1.800, ¿cuánto debería pagar cada uno, si solo asisten 25 alumnos?

Cantidad de alumnos

Precio por persona ($)

30

1.800

25

x

La incógnita x representa el dinero que tendrá que pagar cada alumno por el viaje. Para resolver, formamos la proporción correspondiente a la proporcionalidad inversa. 30 x = , la razón se invierte ya que es es una proporción inversa y su producto debe ser 25 1.800 constante. 30 · 1.800 = 25 · x 54.000 = 25x x = 2.160 Luego, de asistir 25 alumnos cada uno deberá cancelar $ 2.160.

Actividades complementarias Responde. 1. La rapidez V de un móvil se calcula como el cociente entre la distancia d y el tiempo t. ¿Qué debería suceder para que la distancia V y el tiempo t fueran variables inversamente proporcionales?

2. Si N es el número de cuotas en que se pagará una deuda D y C el monto de cada cuota, ¿qué debería suceder para que N y C fueran variables inversamente proporcionales?


|

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Indicador Plantear ecuaciones y expresiones algebraicas para relacionar variables y resolver problemas. Aplicar proporcionalidad directa para relacionar variables, analizando gráficos y constantes de proporcionalidad. Aplicar proporcionalidad inversa para relacionar variables, analizando gráficos y constantes de proporcionalidad.

Nº de pregunta 1

Respuesta

C

3

B

4

A

5

6


1/2

• Realizar ejercicios en donde las alumnas y los alumnos deban expresar la relación de dos variables con un modelo matemático e identificar la variable dependiente y la independiente. • Realizar ejercicios en donde las alumnas y los alumnos deban resolver problemas en los cuales las variables tienen una relación de dependencia proporci onal.

2/3

• Realizar ejercicios en los que las alumnas y los alumnos deban identificar cuándo dos variables se relacionan directamente proporcional y determinar la constante de proporcionalidad. • Realizar ejercicios en donde las alumnas y los alumnos deban identificar el modelo matemático de variables que se relacionan directamente proporcional y deban construir su correspondiente gráfico.

1/2

• Realizar ejercicios en donde las alumnas y los alumnos deban identificar cuándo dos variables se relacionan en una proporcionalidad inversa y determinar la constante de proporcionalidad. • Realizar ejercicios en donde las alumnas y los alumnos deban identificar el modelo matemático de variables que se relacionan inversamente proporcional y deban construir su correspondiente gráfico.

B

2

7

Logrado con

Construirá

5a 2 m 2

de una muralla.

A

B

Variaciones proporcionales y no proporcionales (Páginas 144 a 147)

Errores frecuentes o posibles dificultades • Posiblemente, al verificar la proporcionalidad de dos variables los alumnos y alumnas, solo cuestionen si aumentan (o disminuyan), o si una aumenta la otra disminuye (o viceversa), y no verifiquen el modelo matemático asociado a las situaciones. Para superar esta dificultad se propone al docente pedirles que corroboren siempre, según el tipo de proporción, que el cociente o producto sea constante, de no ser así, la variación que existe no es proporcional. Lo mismo con los gráficos, si es una recta no es correcto asumir que corresponde a una proporción directa, y si es una curva hipérbola, tampoco es correcto asumir que el gráfico corresponde a una proporción inversa. Por esto es necesario que el docente muestre a los alumnos y alumnas variables que aumenten (o disminuyan) y que su gráfico sea una recta, pero que las cantidades no sean directamente proporcionales. Lo mismo con variables inversamente proporcionales, que al aumentar una, la otra variable disminuya, y su gráfico corresponda a una curva parecida a la rama positiva de una hipérbola. |

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Actividades complementarias De los siguientes gráficos indique si las variables involucradas se relacionan en forma no proporcional (NP) o proporcional (P), en el caso de que sea esta última indica qué tipo de proporcionalidad es y la constante respectiva.

18

35

16

30

14 25

12 10

20

8

15

6

10

4

5

2 0

5

10

15

20

25

30

35

NP Tipo

P

Constante:

15

20

10

15

20

Tipo

Constante:

9

9

8

8

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1 5

0

10

15

NP

20

5

0

NP Tipo

P

Constante:


10

NP

P

P

5

0

Tipo

Constante:

|

82 |

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18 16 14 12 10 8 6 4 2 5

0

10

15

20

25

NP P

Tipo

Constante:

Porcentaje y proporcionalidad (Páginas 148 y 149)

Información para el docente • Es muy importante que los alumnos y las alumnas comprendan que el porcentaje es un caso particular de una proporción directa, por lo mismo, las mismas estrategias de resolución de problemas, enseñadas para resolver situaciones de proporcionalidad directa, nos pueden ayudar a resolver problemas de porcentaje. • Se le propone al docente repasar, con los alumnos y alumnas, las distintas formas que se tienen para el cálculo de un porcentaje: – una cantidad correspondiente a un porcentaje; – un porcentaje correspondiente a un a cantidad; y, – la cantidad correspondiente al 100%.

Actividades complementarias Recordemos que al vender un objeto, el precio de venta corresponde al precio de costo más la ganancia que se quiere obtener. Según esta información, responde. 1. Para el paseo de curso, Angela y sus amigas decidieron vender completos a la hora del recreo. a. Si el costo de cada completo es de $ 150, ¿cuál es el precio de venta si se quiere una b.

ganancia del 50%? El 8º Básico A está vendiendo los completos a $ 450. Considerando el precio de costo dicho anteriormente, ¿cuál es el porcentaje de ganancia en este caso?

|

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• Las siguientes actividades se proponen para ser trabajadas a modo de profundizar en estos contenidos.

Responde. 1. La fórmula para el interés simple es I = C · i · t donde, C es el capital invertido, i es la tasa que corresponde a un porcentaje expresado como decimal y t el tiempo en años. Con esta información contesta las siguientes preguntas:

a. Gustavo ahorra en un banco $ 25.000 mensualmente con un interés simple del 1,2% anual. b.

¿Cuál es el interés mensual obtenido? A causa de la crisis, el interés disminuyó al 0,8% anual, por lo que Felipe aumenta su ahorro a $ 28.000, ¿Seguirá obteniendo el mismo interés anterior?

Porcentaje y álgebra (Páginas 150 y 151)

Errores frecuentes o posibles dificultades • Es posible que los alumnos y alumnas puedan confundirse cuando el porcentaje sea entregado en forma de decimal, y no sepan remplazarlo en la proporción o en la expresión algebraica que utilizarán para resolver el problema. Se sugiere al docente repasar con ellos las maneras que existen de expresar un porcentaje (fracción o decimal) antes de comenzar con los ejercicios. Ejemplos

1. 50%

1 = 0,5 2

2. 25%

1 = 0,25 4

3. 75%

3 = 0,75 4

• Otro error frecuente es que los y las estudiantes creen que al aumentar una cantidad en un porcentaje dado y luego disminuirla en el mismo porcentaje, esta vuelve a la cantidad original. Ejemplo Cantidad dada 40 Porcentaje 25% La cantidad inicial la aumentamos en el porcentaje dado. 40 + 40 · 25% = 40 + 40 · 0,25 = 40 + 10 = 50 La cantidad inicial aumentada en un porcentaje, la disminuimos en el mismo porcentaje. 50 – 50 · 25% = 50 – 50 · 0,25 = 50 – 12,5 = 37,5 Como observamos en el ejemplo anterior, no es lo mismo.


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Actividades complementarias Resuelve. 1. 2. 3. 4.

¿A cuánto corresponde el 20% del 20% de 100?, ¿es equivalente al 40% de 100? ¿A cuánto corresponde el 20% del 10% de 100?, ¿es equivalente al 30% de 100? ¿A cuánto corresponde el 10% del 5% de 100?, ¿es equivalente al 50% de 100? Si una cantidad aumenta el 10% y luego diminuye el 10%, ¿vuelvo a la cantidad original? Justifica.

Responde. 1. 2. 3. 4.

El 200% de 50 es equivalente a multiplicar 50 por El 150% de 10 es equivalente a El 50% de 200 es equivalente a El 400% de 100 es equivalente a

Expresa algebraicamente lo pedido. 1. 2. 3. 4. 5.

¿Qué cantidad corresponde al p% de C? ¿A qué porcentaje corresponde n si el 100% es C? ¿A qué cantidad corresponde el 100% si el p% es n? ¿A qué cantidad corresponde un aumento del x%? ¿A qué cantidad corresponde una disminución del x%?


Información para el docente • Se propone que el docente pueda utilizar el ejercicio 4, de estas páginas, para que los alumnos y alumnas lo resuelvan usando la estrategia de formar una proporción directa para calcular los porcentajes pedidos.

Trabajo con la información y Síntesis (Páginas 156 y 157)

Información para el docente • Para complementar la síntesis que se realiza en el texto, el docente puede utilizar el esquema entregado y pedir a los alumnos y alumnas que busquen otras relaciones no especificadas en el esquema, para que lleguen a un resumen más acabado de la unidad. Por ejemplo, el porcentaje se relaciona con proporcionalidad directa; álgebra y ecuaciones se relacionan con las variables, etc.

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Información para el docente • El ejercicio número 2 es un ejercicio típic o en el cual los alumnos y alumnas no logran contestar correctamente. A pesar de que no está relacionado directamente con los contenidos, este ejercicio resume si el alumno o alumna comprende el concepto de reparto equitativo y lo diferencia del reparto proporcional.


Información para el docente • Recordar a alumnos y alumnas el significado de la palabra magnitud, para evitar confusiones en algunos de los enunciados en donde se menciona

Indicador Interpretar, plantear y resolver ecuaciones que representan la relación existente entre dos variables.

Reconocer relaciones de proporcionalidad directa entre dos variables, establecer comparaciones con aquellas que no lo son y utilizar el modelo matemático asociado para resolver problemas y su representación gráfica.


Nº de pregunta

Respuesta

1

A

2

D

3

B

4

A

5

B

10

2005

Logrado con


2/3

• Realizar ejercicios en los cuales las alumnas y alumnos deban traducir del lenguaje natural a lenguaje matemático a través de una expresión algebraica que represente la relación entre dos variables. • Realizar ejercicios en los que alumnas y alumnos deban plantear y resolver problemas donde las variables se relacionan proporcionalmente. • Realizar ejercicios en los que alumnas y alumnos deban resolver problemas en los cuales el modelo de planteamiento sea proporcionalidad directa. • Realizar ejercicios en los que alumnas y alumnos deban analizar cómo varían las variables que se relacionan directamente proporcional.

3/4

11

Con el paso de los años una moneda del país B equivale a más monedas del país A.

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86 |

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Reconocer relaciones de proporcionalidad inversa entre dos variables, establecer comparaciones con aquellas que no lo son y utilizar el modelo matemático asociado para resolver problemas y su representación gráfica. Resolver problemas de cálculo de porcentajes como relación de proporcionalidad directa.

6

A

7

B

12

Proporcionalidad inversa k = 120

13

No

8

A

9

A

14

x·p p+ 100

15

V

• Realizar ejercicios en los cuales los y las estudiantes deban encontrar la constante de proporcionalidad a partir de los valores de las variables implicadas. • Realizar ejercicios en los que alumnos y alumnas deban resolver problemas donde las variables se relacionan en forma inversamente proporcional. 3/4

3/4

|

87 |

• Realizar ejercicios en los cuales alumnos y alumnas determinen el porcentaje que corresponde a una cantidad, dado el 100%. • Realizar ejercicios en los cuales alumnos y alumnas deban determinar la cantidad correspondiente a un porcentaje de aumento o disminución y sean capaces de formalizar estas expresiones.

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NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Marca la alternativa correcta en las siguientes preguntas. 1. El tiempo de preparación de una prueba y el resultado

5. El modelo matemático que determina la relación

de esta son variables que se relacionan. La variable independiente corresponde a:

entre el costo C por alumno del arriendo de un bus, con respecto al número N de alumnos que pagará, 60.000 está dado por: C = , donde las variables C N

A. el tiempo de preparación. B. el resultado de la prueba. C. Ninguna de las dos. D. Ambas son variables independientes.

y N son:

A. directamente proporcionales. B. inversamente proporcionales. C. no son proporcionales. D. Ninguna de las anteriores.

2. Un automóvil rinde 10 kilómetros por litro, ¿cuál es la expresión que representa el rendimiento del automóvil con respecto a los kilómetros recorridos K y los litros L consumidos?

A. 10 · L = K B.

10 = K L

10 =L C. K

D.

6. Con respecto a la pregunta anterior, si asisten 24 alumnos, es decir, N = 24, ¿cuál sería el costo por cada alumno del arriendo del bus?

L = K 10

A. $ 2.600 B. $ 2.400 C. $ 2.500 D. $ 3.000

3. El perímetro de un triángulo mide 56 cm. Si sus lados están en la razón 2 : 5 : 7, ¿cuál es la medida de cada lado, respectivamente?

7. El modelo matemático que determina la relación entre

A. 9 cm, 21 cm, 26 cm B. 10 cm, 20 cm, 26 cm C. 8 cm, 20 cm, 28 cm D. 7 cm, 22 cm, 27 cm

el costo C por el kilogramo de maní M está dado por: M · 300 = C, donde las variables C y M son:

A. directamente proporcionales. B. inversamente proporcionales. C. no son proporcionales. D. Ninguna de las anteriores.

4. Gonzalo quiere saber el costo de una chaqueta que tiene precio P y que está rebajada en un t%. ¿Qué operación debe hacer Gonzalo para calcular el costo de la chaqueta?

A. P –

Pt 100

B. 100 (P – Pt)


t

C. P – 100 D.

P–t 100

|

88 |

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8. A y B son variables inversamente proporcionales,

12. Los siguientes gráficos muestran la relación de las

¿cuál es el modelo matemático que determina la relación de A y B según los valores de la tabla?

variables H (n° de hombres) y M (n° de mujeres) que viajaron en metro durante los años 2005, 2006, 2007 y 2008. ¿Cuál de las proposiciones es falsa?

A B

5,6

8

14

7

5

3,5

2

4

A

M

M

2005

2006

28

A. B = 26

C. A = B

B. A · B = 26

26 D. A = B

H

H M

M

2007

2008

9. El porcentaje de asistencia de Jorge disminuyó en un 15% debido a que faltó por estar enfermo. Si asistió 78,2 días en el semestre, ¿cuántos días corresponden a la asistencia completa?

H

H

A. En el 2006, por cada hombre, viajó más de una mujer en metro. B. En el 2008, por cada mujer, viajó más de un hombre en metro. C. En el 2005, igual cantidad de hombres que de mujeres viajaron en metro. D. En el 2007, por cada hombre, viajó más de una mujer en metro.

A. 92 días B. 91 días C. 93 días D. 94 días 10. El 50% de un número es p, entonces el 10% de ese número es: p

A. 5p

C. 5

p

B. 6

13. Si p es inversamente proporcional al doble de m, la expresión algebraica que representa esta relación es:

D. 2p

A. 2pm = q, q es constante B.

11. Si A y B son variables directamente proporcionales, ¿cuál es el modelo matemático que determina la relación de A y B según los valores de la tabla?

A B A. A · B = 2,5 2,5

B. A = B

5 2

40 16

6 2,4

C.

p = q, q es constante 2m

C. pm = 2 D. pm = q, q es constante

7,5 3

A = 10 B

D. A = 2,5 B

89


28/1/09

12:10

o s l u o c c i r r í c t , é a i m c o e n g e r s e o ó n f i n p r c u e c u d c u o r r i c t n C y I

Página 90

n l s e l , l o e o e e i u s d d u o u c l c ) a s m l c n á s o d e a l i a i t á c ( r l l c v u , s e e l f c i t s ú o l i r c e o á d n l d o n . c a o P s ) l s d s é m n a n . e u a l a v l ó e u ( i a s , á t q s a i r a d n n l c o t ) u d a i o e p l n A s a a d o i t c ( m m m . s n n l a a i s u n l v e e o i u e i e r l t a a , r t a r a z z c u , l i o ) q s r o e e s s s e p e a v n s a n t e ( e o e s c e a d a c r m s o r r a d l a l , l e i a e d i t e e l o b g e c i m v e u t u s r i t r a y g o r a q l o p c n r p o p a t e s r s a r á t n s d á o a d d c a n e v e l n i l o m p i r l s , v n a u c i v e g l t e o o e r u l e e u t o e s e j u s e q e u l g r b r n o a n s o m a l s n z n m á o á i i l t e r l e n i e i E o t t l d t l n l n e u u . c o , a r o m s e l s e i c e y t o y d r o a u u s d s l n c o t a e í r e s n l e e i e d d s c m c o u a l í o n r n d g s n d i n e o u e o s a r i l r á t v i e r c f s t e e e y e e , c u n t d o r u s a i q u s p l q o a o f c r e s n e i r p e t i t r e c a á u o e o n n c e e d a r o c a l e e m v y m i n i o p l a e u π y d c t e s i j o e i o s c o d a r i b t d c n o n l o n i u d o r n n e i c i o l n í r u e e i g o í y c a c t l i m r m t i e ú f o u n n g c e n n n c p e o d o l u n e s s s u l e e c e e a d r o d d r d e i l c c p a n n d r e a e r a i i ó o e r l n l i v e s c t m c i n a a t v u e t l d n c ú n a e r e l o e a r n v d f e a d e o e t i n n n n a o n l a a y u u i r a e t e s r n t c t m c a r i e n a o i t n a e s c o c l r m e c x í e a l o , r r c z p á e n n e p e e E u d a p e s v e s d


C

• • • • • • •

O M C

5 |

e i . r l , a c a i e i e a a y d f c l r p i n e n c a i e o e l s , o n l a r s d p i c r e o e u e u c e d n n f a t e n r e s y t e n m e n f r r m u t a u m l ó a n i n ó e e a c i c u f f u e r j e l r i c m c e n a l c n e s a u o c n o d r l e e , p l v c a o r i r l c e i a r e c l a e s d o e e f d c l r u n a e d s á n u r e u n a d n l c l u s e u y u r s o e c i e í i e ó o n l r e c c t i d p d c ó u , i c d o a d l i r c o c l c c e o l i n á d a c s l u d n a l ó r r d c u c l u p i e i i i a t c t f e i l a a , s i r e á m g y g e d c a o e r c n e c ú n r i t r o f o á n o o l a v n i e t o ; l l o l l t y n t c u a e n e l a n l e n m d i e á n s e y d g o . e i a i r y d ó . n s i d c o m i d ) n i r m o ó c i a c e , e i o i o l a n y d r c l t ó c o n u t o c o i e c a n u o r l i e l o r n n l i d i l o e i n b o u t c c á g m m g f m t í r a i a c i l c c n n l n e á r e l e í i s l t s o o l i e c e a R c ( t D d e e e p F r c d

•

o c i t p ó V F n i O s o r d a u C


. s o . t s n a e . t s a m i e e c u l p e n e r s e m u o s f . c n i y u a s c c a a r n r . i i c c e u n r g n a e . i f e n e l f r m e n e e e u m f d u . d l c o n o u r l o u s i u r v l c o c c t o r t r e y v i n l c e a í c m a y e í e a l r r a d n , m u e á e e r l o e d e p : á l o u u s t d y r : c o r o i a a d í n n r g i n e e c t l i o r r l o E O L Á Á C C

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s e a d a m n n l e u e b o e r d m u p l o o r v e t e y d n m l í ó i r o c e u u c p í r l e c o s d l r . e e s s d o a o t l t a p e n x e e r e t c á n , o n a n o o i c c o c c s s n o o e r y s l r e e r f o r v a z n d i i u d l i n c i t i r l i e U c c d

•

•

•


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. a i c a . i c f e t e n y a v d e a l e i r d r a n l ó i c c n a o m r c , o s f a i n p i . e j a o l r a z r p i a d n s n o e n e i r c i o p c c a e i l c o e t v s u . n a a y o c e i o c t t y d í r . n s c s e s i e o o o m t d t j n a u a i e d a b c i o i c y a r m n a i t o t p a n c y c a t l e c i í s e s a s r , e r s a c r l a a e a i z y d e t l d t i d o a i , a d e u s , d i i t t d e v n i a n t n e o d r i i a e s f l n e i l a r l p e c e a r u o a y d l a i l s , o v a i s i c d r l a d e r n c m ó i o a c i e t d l n b e a n o d o c u i l r m p y i e m b d o c r o a v s e i y d n v l x o a r e d o l p i a s f s c s e e r e r e r a p r e o y a p c x d t n í a a e d i l e e a m y d d o i m s d c a n é a s o r a t p n i a e u e d l c p a t n i b i l a e l a l a l e r r r r h a a l a l a l l l l e l r v o o o a r t r r r r r o i a c s a s a s m r e e e o e r j D D D P E


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Página 91

. s a n a m e s 7 a 6



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Esquema de la unidad CIRCUNFERENCIA Cuerpos redondos

Cilindro

Círculo Elementos principales

Cono

Perímetro

Área

Radio Área

Número π Cuerda

Volumen Tangente

Secante

Resolución de problemas


Información para el docente • Las páginas iniciales tienen como objetivo identificar formas similares a cuerpos redondos en objetos que están presentes en situaciones cotidianas, en los cuales se pueden identificar circunferencias y círculos. Por otra parte, es esencial que, como primera aproximación a las definiciones de estos conceptos, los(as) alumnos(as) reconozcan las diferencias entre ellos.

Tareas • Pedir a los(as) alumnos(as) que averigüen acerca de la invención de la rueda, como hito histórico trascendental para la humanidad.


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UNIDAD 5 | Circunferencia, círculo y cuerpos geométricos ¿Qué recuerdo? (Páginas 168 y 169)

Información para el docente • Para enfrentar con éxito los contenidos de esta unidad es necesario que los alumnos y alumnas dominen bien el cálculo de áreas y perímetros de polígonos y figuras compuestas por polígonos, así como el cálculo del volumen de cuerpos poliedros. Conviene, por tanto, repasar estas materias.

Errores frecuentes o posibles dificultades • Recordar a los(as) estudiantes que el concepto de perímetro se define como la medida del contorno de una figura, de este modo, al realizar el cálculo del perímetro de una circunferencia no apliquen la definición: “la suma de la medida de los lados”, ya que esta solo es factible para los polígonos.

Indicador Reconocer rectas paralelas y perpendiculares, clasificar y calcular medida de ángulos.

Calcular el perímetro de figuras planas.

Nº de pregunta

Respuesta

1

A

2

A

3

B

4

B

5

16 cm

6

14 cm

7

15 cm

Logrado con


3/4

• Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) deban identificar rectas paralelas y perpendiculares. Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) deban clasificar ángulos según sus medidas. • Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) deban calcular ángulos entre rectas paralelas cortadas por una secante. Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) deban calcular ángulos interiores y exteriores en polígonos.

2/3

• Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) deban calcular perímetros de polígonos regulares y rectángulos. Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) deban calcular perímetros en polígonos cóncavos. • Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) deban calcular el perímetro a partir de figuras compuestas por polígonos conocidos. Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) deban calcular perímetros de sectores achurados de figuras planas.

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Calcular el área de figuras planas.

Reconocer y clasificar prismas y pirámides.

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8

12 cm2

9

2 cm2

10

5,5 cm2

11

136 cubitos

12

24 cubitos

13

Pirámide cuadrangular

14

Pirámide triángular

2/3

3/4

• Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) deban calcular áreas de figuras cuadriculadas conociendo la medida del cuadrado unitario. Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) deban calcular áreas de polígonos conocidos y de polígonos regulares de más de 4 lados. • Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) deban calcular áreas de figuras compuestas por polígonos y áreas de sectores achurados de figuras planas. • Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) deban identificar cuerpos geométricos como prismas y pirámides. • Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) deban reconocer construcciones de cubos según su vista frontal o lateral.

El círculo, la circunferencia y sus elementos (Páginas 170 y 171)

Información para el docente • Como se mencionó al principio de esta unidad, es importante que los(as) alumnos(as) logren comprender la diferencia entre la circunferencia y el círculo.

• A pesar de que se habla del centro de la circunferencia, este pertenece al círculo, por lo que sería más adecuado hablar del centro del círculo o del punto que equidista a la circunferencia.

• Mencionar a los(as) alumnos(as) que el diámetro es la cuerda mayor que se puede trazar en una circunferencia.

Otros elementos de la circunferencia (Páginas 172 y 173)

Información para el docente • El objetivo principal de este contenido es que los(as) alumnos(as) logren identificar los elementos de una circunferencia y puedan diferenciarlos y caracterizarlos. Se sugiere realizar actividades, en las que a partir de una circunferencia con estos elementos trazados, reconozcan cada uno de ellos, y los escriban con su respectiva notación.

• Es interesante que los estudiantes logren comprender, por ejemplo, que una cuerda está contenida en una recta secante, o que una recta tangente es perpendicular al radio que pasa por el punto de la tangente. En el caso de los sectores circulares, preguntar a los alumnos cuál es el ángulo del sector circular que se forma trazando el diámetro.

• Otro elemento importante de la circunferencia es la corona circular formada por dos circunferencias concéntricas, se recomienda mencionarlo de manera complementaria. SantillanaBicentenario

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UNIDAD 5 | Circunferencia, círculo y cuerpos geométricos

Actividades complementarias Resuelve los siguientes problemas. 1. Júpiter tiene el 71% de la masa total de los planetas del sistema solar, Saturno tiene u n 21% y el resto de los planetas, incluida la Tierra, un 8%. Sigue los siguientes pasos para construir el gráfico circular:

Paso 1: Dibuja una circunferencia de un radio el que estimes conveniente y marca su centro. Paso 2: Multiplica cada porcentaje, expresado en decimal, por 360º. Paso 3: Con el transportador, dibuja los sectores circulares correspondientes a los ángulos que Paso 4:

obtuviste en el paso 2. Pinta de diferentes colores los sectores circulares y coloca las etiquetas correspondientes según la información entregada en el enunciado.

Tareas • Verifica que al trazar dos circunferencias cualesquiera a partir de una circunferencia inicial, al trazar una recta por los puntos de intersección, esta pasa por el centro de la circunferencia original. Utilizando regla y compás, sigue los pasos para demostrarlo:

Paso 1: Con el compás, dibuja una circunferencia cualquiera y marca su centro. Paso 2: Con el compás, dibuja una circunferencia con centro en la circunferencia anterior y Paso 3: Paso 4:

radio cualquiera. Con el compás, dibuja otra circunferencia con centro en la circunferencia anterior y radio igual al anterior de manera que las circunferencias del paso 2 y 3 se intersecten en dos puntos. Con la regla, traza una recta que pase por los puntos de intersección de las circunferencias del paso 2 y 3. ¿Esta recta pasa por el centro de la circunferencia original? ¿La recta contiene al diámetro de la circunferencia original? Si dibujas otras circunferencias siguiendo los mismos pasos anteriores pero con otro radio, ¿ocurrirá lo mismo? Compruébalo.

Longitud de la circunferencia (Páginas 174 y 175)

Información para el docente • Se recomienda al docente que sitúe al número

dentro de los números irracionales aclarando que, aunque es un número con infini tas cifras decimales, no corresponde a un decimal periódico ni semiperiódico y, por lo tanto, no es posible expresarlo como una fracción.

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π


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• Como actividad de introducción y de deducción del cálculo del perímetro de una circunferencia, crear el siguiente material didáctico: cortar diferentes circunferencias de distintos diámetros en cartón corrugado. Distribuir entre los(as) alumnos(as) estas circunferencias y que con un ovillo de lana rodeen la circunferencia y corten el trozo de lana que utilizaron para hacerlo. Pedir que midan con una huincha los trozos de lanas cortados y registren las medidas en una tabla. Por último, que calculen el cociente entre la longitud de cada circunferencia y su diámetro para que deduzcan el valor del número π.

Errores frecuentes o posibles dificultades • Al calcular el perímetro de una circunferencia dado su diámetro, los alumnos(as) frecuentemente calculan primero el radio y lu ego aplican la fórmula del perímetro. Aunque está correcto, pierden tiempo al hacer cálculos innecesarios e incrementan la probabilidad de errores. Es recomendable plantear ejercicios donde deban calcular el perímetro de una circunferencia, conociendo el radio, o bien el diámetro, para que se acostumbren a utilizar la fórmula con ambos datos.

Actividades complementarias Realiza lo siguiente. 1. En la proposición “mientras más grande es una circunferencia, mayor es la razón entre su perímetro y el diámetro”, determina si es o no correcta y justifica a través de ejemplos.

2. Una pista de carrera tienen la siguiente forma:

Esta formada por una semicircunferencia en cada extremo. Calcula la longitud de la pista si el largo del rectángulo mide 150 metros y el ancho 50 metros.

3. Como seguramente sabes, una de las especificaciones de una bicicleta es el aro de sus ruedas. Lo más probable es que tú hayas andado en bicicletas aro 26 ó 24. El aro indica la medida en pulgadas del diámetro de la rueda de la bicicleta. Supongamos que viajas en una bicicleta aro 26, ¿cuántas vueltas debe dar la rueda para recorrer una cuadra? Para contestar la pregunta considera que una pulgada equivale a 2,5 cm, una cuadra mide 100 metros de largo y π es aproximadamente 3.


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UNIDAD 5 | Circunferencia, círculo y cuerpos geométricos Área de un círculo (Páginas 176 y 177)

Información para el docente • Un concepto que puede ayudar a los alumnos a entender la aproximación del área, a través de un polígono, es considerar que el círculo es un polígono de infinitos lados.

• Para que los(as) estudiantes deduzcan la fórmula del área de un círculo, puede realizar la siguiente actividad utilizando material concreto: pídales que dibujen una circunferencia en una cartulina, que luego la dividan en ocho sectores circulares, los recorten y los peguen como se muestra en la página 176 del texto. Por último, que calculen el área del paralelogramo formado y lo comparen con el cálculo del área del círculo utilizando la fórmula.

Actividades complementarias Completa la siguiente tabla y luego responde las preguntas. Área de un círculo (A)

Radio del círculo (r)

28,3

3

50,3

4

78,5

5

A r2

1. ¿A qué valor se aproxima el cociente encontrado?, ¿por qué? 2. Si el radio de un círculo aumenta al doble, ¿qué sucede con el área? El cociente entre el área y el radio al cuadrado ¿también aumenta al doble?

Tarea Resuelve. 1. Un tablero de dardos tiene un radio de 20 cm y está dividido en 20 sectores circulares, 10 negros y 10 blancos. ¿Cuál es la probabilidad de que al tirar un dardo este caiga en un sector negro? Ayuda: para calcular la probabilidad, divide el área total de los sectores circulares negros con el área total del tablero.

Errores frecuentes o posibles dificultades Muchas veces los(as) alumnos(as) se refieren indistintamente a círculo y circunferencia y cometen el error de decir: calcular el área de una circunferencia o el perímetro de un círculo. Es importante que enfatice en el lenguaje y exija el buen uso de los conceptos. Se recomienda realizar ejercicios donde se pida, por ejemplo, determinar el perímetro de una semicircunferencia o el área de un semicírculo.

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Área y perímetro de figuras compuestas (Páginas 178 y 179)

Información para el docente • Una estrategia para calcular áreas y perímetros de figuras compuestas y sectores sombreados, es que relacionen que al calcular el área de un sector sombreado, se debe calcular la diferencia entre el área total y el área de lo no-sombreado. En cambio, cuando se debe calcular el perímetro de un sector sombreado se debe sumar el perímetro de la figura total con el perímetro de lo no-sombreado. Mencionar que no consideren esto como una regla o algoritmo y que cada vez que se enfrenten a este tipo de ejercicios analicen el procedimiento más adecuado a cada situación.

Errores frecuentes o posibles dificultades • Al enfrentarse a problemas en los cuales deben calcular el perímetro o área de una figura compuesta o un sector sombreado, deciden encontrar los lados de esta figura y la fórmula correspondiente al cálculo de área y perímetro de ella, y no optan por la diferencia de áreas o la suma de contornos, que es el procedimiento más adecuado que deben seguir. Se recomienda trabajar la abstracción e imaginación para que logren vislumbrar la descomposición de figuras que deben realizar para calcular lo pedido.


Indicador Reconocer y distinguir elementos del círculo y la circunferencia.


Nº de pregunta

Respuesta

1

F

2

F

3

V

4

V

Logrado con


3/4

• Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) deban caracterizar los elementos de la circunferencia, ya sea completando oraciones, determinando la veracidad de proposiciones, y justificando las falsas. • Realizar ejercicios donde se les plantee a los(as) alumnos(as) situaciones que deban analizar si son posibles o no con respecto a las propiedades de los elementos del círculo y la circunferencia. Por ejemplo: ¿es posible que el diámetro sea un cuerda?, ¿la recta tangente corta al círcu lo o a la circunferencia? o ¿qué ángulo se forma entre el radio y la recta tangente?

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Calcular áreas y perímetros de figuras compuestas por círculos y polígonos.

5

C

6

C

7

B

8

D

9

3 cm

4/5

• Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) calculen perímetros de circunferencias y áreas de círculos. Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) deban calcular perímetros de figuras compuestas por circunferencias y polígonos y áreas de figuras compuestas por círculos y polígonos. • Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) deban calcular perímetros de figuras compuestas por circunferencias incompletas (la mitad, un cuarto, tres cuartos) haciendo énfasis en que deben agregar los radios que completan la figura además del contorno curvo. Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) deban calcular áreas de figuras compuestas por círculos incompletos.

Cilindro (Páginas 182 a 185)

Información para el docente • Como introducción a este concepto, se puede comentar que la forma de un cilindro está presente en muchos objetos usados en la vida cotidiana; puede solicitar a los(as) alumnos(as) que recuerden elementos de sus casas que tengan esta forma, para ayudarlos mencione algunos ejemplos: vasos, frascos de vidrio, floreros, tarros, etc. Con estos ejemplos, crear la necesidad de conocer el cálculo de área y de volumen de este cuerpo, preguntándoles, por ejemplo: ¿cómo podrían calcular la capacidad de un vaso para saber para cuántos alcanza un bebida de litro?, o ¿cómo calcular el papel necesario para envolver un florero?

• En cuanto a la abstracción de este concepto, así como una circunferencia se puede aproximar a un polígono de infinitos lados, un cilindro podría aproximarse a un prisma de infinitas caras.

• El cálculo del volumen de un cilindro puede relacionarse con el cálculo de cualquier prisma recto. Como ya sabemos, el volumen corresponde a la altura multiplicada por el área de la base que, en el caso del cilindro, es una circunferencia. Esto puede ser de utilidad como una especie de regla nemotécnica.

Errores frecuentes o posibles dificultades • La fórmula para el cálculo del área de un cilindro es bastante compleja, por lo que se recomienda promover el procedimiento de la descomposición del cilindro en un rectángulo y dos circunferencias, para esto puede plantear situaciones en las cuales se entreguen como datos algunas de estas áreas. Así el(la) alumno(a) tendrá una alternativa al uso de la fórmula y podrá deducir el área del cilindro.

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Actividades complementarias 1. Matías debe vaciar la caja de detergente a un recipiente cilíndrico, pero antes de hacerlo quiere saber si cabrá todo el contenido en este. La caja posee 1.000 cc de detergente y el recipiente cilíndrico tiene una altura de 10 cm y un diámetro de 10 cm. ¿Cabrá el contenido de la caja en el recipiente cilíndrico?

Cono (Páginas 186 a 189)

Información para el docente • Una manera de facilitar la integración del cálculo del volumen de un cono es que los(as) alumnos(as) lo relacionen con el del cilindro, para esto puede realizar preguntas, como por ejemplo: ¿en que razón están el volumen de un cono y el volumen del cilindro? O bien, plantear ejercicios, en los cuales a partir del volumen del cilindro deban calcular el volumen del cono y viceversa.

• En cuanto a la abstracción de este concepto, un cono podría aproximarse a una pirámide de infinitas caras.

Errores frecuentes o posibles dificultades • Puede que los(as) estudiantes apliquen el razonamiento para la deducción del volumen de un cono, tal cual se hizo con el cilindro (como la multiplicación entre la altura y el área de la base), y no dividan este resultado por 3, ya que el cono corresponde a la tercera parte del cilindro. Recordarles la similitud entre los prismas y las pirámides, de igual polígono de base, para que de la misma forma relacionen el cilindro con el cono cuya base sea un círculo de iguales medidas y determinen con éxito el cálculo del volumen.


Información para el docente • Las medidas de la figura correspondiente al ejercicio resuelto se muestran en las ilustraciones utilizadas en el desarrollo. • Comentar a los(as) alumnos(as) que el primer paso para resolver el ejercicio es identificar los distintos cuerpos que están involucrados en la estructura del hotel e identificar si estos son independientes unos de otros o si comparten alguna medida. • Mencionar que, en este caso, solo es necesario considerar el área del manto de cada cuerpo y no considerar las bases tanto de los cilindros como del cono.


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UNIDAD 5 | Circunferencia, círculo y cuerpos geométricos Estrategias para resolver problemas (Páginas 192 y 193)

Información para el docente • Se recomienda realizar ejercicios de variación de medidas en circunferencias, cilindros y conos, y que los(as) alumnos(as) analicen la variación que se produce en perímetros, áreas y volúmenes, respectivamente. Pedir que utilicen por lo menos dos estrategias diferentes para resolver estos problemas, y recomendarles la utilización del álgebra para realizar los cálculos.

Síntesis (Páginas 194 y 195)

Información para el docente • Pedir a los(as) alumnos(as) que incluyan dentro del esquema conceptual al número π. Además, se recomienda incluir preguntas en la sínt esis acerca del número π, por ejemplo: ¿cuál es la razón entre la longitud del contorno de una circunferencia y su diámetro?


Información para el docente • Las preguntas tipo Simce están enfocadas al cálcu lo de áreas y perímetros de figuras compuestas por cuadriláteros y circunferencias, y sectores de ellos sombreados. Con respecto al contenido de cuerpos geométricos, las preguntas tipo Simce están enfocadas a que determinen los cuerpos de revolución generados al rotar una figura plana.

¿Qué aprendí? (Páginas 198 y 199)

Información para el docente • La evaluación final debe estar enfocada principalmente al cálculo de perímetros y áreas de figuras compuestas por polígonos y circunferencias, circunferencias inscritas en cuadriláteros, semicircunferencias inscritas en cuadriláteros, así como también, figuras compuestas por porciones de circunferencias (un cuarto, tres cuartos, etc.) y cuadriláteros. Para evaluar los contenidos respectivos a cuerpos redondos, se recomienda al docente enfocar la evaluación en la resolución de problemas contextualizados que involucren el cálculo de áreas de recipientes u objetos con forma de cilindros y conos, así como el cálculo de volúmenes para determinar la capacidad de recipientes cilíndricos y cónicos.

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Página 102

• En el texto del alumno, en la página 200, la información entregada debiera ser la siguiente:

Indicador Calcular el área y el perímetro de un círculo y figuras compuestas por polígonos y círculos. Reconocer los elementos de un cilindro y calcular el área de su superficie y volumen. Reconocer los elementos de un cono, calcular el área de su superficie y su volumen. Calcular el volumen y el área de la superficie de cuerpos compuestos por cilindros y conos.

Preguntas

Respuestas correctas

1, 2, 5, 10, 11 y 12

/6

3, 7 y 8

4, 6 y 9

13, 14 y 15

¿Qué debo hacer? • Si obtuviste menos de 6 puntos, realiza las actividades 1 a 11 de la página 202 para reforzar este contenido. • Si obtuviste los 6 puntos, realiza las actividades 12 a 14 de la página 202 para profundizar tus conocimientos.

/3

• Si obtuviste menos de 3 puntos, realiza las actividades 15 a 19 de la página 202 para reforzar este contenido. • Si obtuviste los 3 puntos, realiza las actividades 20 y 21 de la página 202 para profundizar tus conocimientos.

/3

• Si obtuviste menos de 3 puntos, realiza las actividades 22 a 26 de la página 203 para reforzar este contenido. • Si obtuviste los 3 puntos, realiza las actividades 27 a 29 de la página 203 para profundizar tus conocimientos.

/3

• Si obtuviste menos de 3 puntos, realiza las actividades 30 y 31 de la página 203 para reforzar este contenido. • Si obtuviste los 3 puntos, realiza las actividades 32 y 33 de la página 203 para profundizar tus conocimientos.

Total: Cuenta las respuestas correctas que obtuviste en la evaluación anterior y clasifica tu resultado de acuerdo a los criterios que se muestran a continuación: • Rendimiento bajo: entre 0 y 9 respuestas correctas. • Rendimiento medio: entre 10 y 12 respuestas correctas. • Rendimiento alto: entre 13 y 15 respuestas correctas. Obtuve

respuestas correctas lo que implica que mi rendimiento en la evaluación fue .

Ahora, dirígete a la página 268 y sigue las instrucciones que ahí aparecen.


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Indicador Calcular el área y el perímetro de un círculo y figuras compuestas por polígonos y círculos.

Nº de pregunta

Respuesta

1

B

2

B

5

C A=

10

(252

π –

P=5

)

P=

12

Reconocer los elementos de un cilindro y calcular el área de su superficie y volumen.

Reconocer los elementos de un cono, calcular el área de su superficie y su volumen.

Calcular el volumen y el área de la superficie de cuerpos compuestos por cilindros y conos.

π

) )

3 π 4 1 π 6+ 2

2

cm

cm

2

A = 21

π

cm

P = 14

π

cm

C

7

B

8

D

4

C

6

B

9

B Acono = 90

3/5

cm

( (

3

13

2

25 cm

A = 6 –

11

Logrado con

π

Vcono = 100 Acilindro = 170

π

3/4

1/2

• Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) deban calcular áreas y volúmenes de conos dados el radio y la generatriz. Hacer la variante de entregar el área y la generatriz o el radio y pedir a los(as) alumnos(as) que calculen el volumen, y viceversa. • Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) deban resolver problemas contextualizados que involucren conos y el cálculo del área y del volumen de este.

2 3

cm

2

cm

2

Vcilindro = 300 π cm

14

15

A = (10 +

2 10) π cm

V=6

π

cm

A = 30

π

cm

V = 24

π

cm

• Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) calculen perímetros de circunferencias y áreas de círculos dados el radio o diámetro de ellas. Realizar ejercicios en donde los(as) alumnos(as) calculen perímetros y áreas de figuras compuestas por círculos inscritos en polígonos. • Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) deban calcular el radio o diámetro de una circunferencia o círculo a partir del perímetro o área, respectivamente. También realizar ejercicios en que a partir del área de un círculo los(as) alumnos(as) deban determinar el perímetro de la circunferencia respectiva, y viceversa. En el caso de los ejercicios que involucren figuras compuestas por circunferencias y polígonos, complejizarlas inscribiendo círculos incompletos (medio, un cuarto, tres cuartos de círculos) en cuadriláteros o triángulos. • Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) deban calcular áreas y volúmenes de cilindros dado el radio y la generatriz. Hacer la variante de entregar el área y la generatriz o el radio y pedir a los(as) alumnos(as) que calculen el volumen, y viceversa. • Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) deban resolver problemas contextualizados que involucren cilindros y el cálculo del área y del volumen de este.

cm

π


2/3

2

3

|

103 |

• Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) deban calcular el área y el volumen de cuerpos compuestos por conos y cilindros. • Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) deban resolver problemas contextualizados que involucren calcular el área y el volumen de cuerpos compuestos por conos y cilindros.


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12:11

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NOMBRE:

CURSO:

Marca la alternativa correcta en las siguientes preguntas. ( π 1. El perímetro de una circunferencia cuyo diámetro



FECHA:

3,14)

5. Si una circunferencia tiene perímetro 3,14 cm, ¿cuánto

mide 10 cm es:

mide su diámetro, aproximadamente?

A. 5π cm B. 10π cm C. 20π cm D. 10 cm

A. 1 cm B. 3,14 cm C. 6,28 D. π

2. El diámetro de un círculo cuya área es 36 π cm2 es:

Dada la siguiente figura:

A. 6π cm B. 6 cm C. 12 cm D. 12π cm

C

D

10 cm

3. El número π corresponde a la razón entre: A. el diámetro de una circunferencia y la longitud del contorno. B. el diámetro de una circunferencia y su radio. C. la longitud del contorno de una circunferencia y el radio de ella. D. la longitud del contorno de una circunferencia y el diámetro de ella.

A


B

A. (13π + 30) cm B. (8π + 20) cm C. (13π + 10) cm D. (13π + 20) cm 7. ¿Cuál es el área de la parte sombreada? A. (80 + 33π) cm2 B. (100 + 25π) cm2 C. (80 + 25π) cm2 D. (100 + 33π) cm2

|

E

6. ¿Cuál es el perímetro de la parte sombreada?

4. El área de un círculo cuyo perímetro es 16π cm es: A. 64π cm2 B. 64 cm2 C. 256π cm2 D. 256 cm2

8 cm

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8. ¿Cuál de las siguientes redes no corresponde a un

11. ¿Cuál de las siguientes redes corresponde a un

cilindro?

cono?

A.

A.

B.

B.

C.

C.

D.

D.

9. Si la altura de un tarro de leche condensada es 10 cm, ¿cuál es el área de la etiqueta del tarro de leche si el volumen del tarro es 160π cm3?

12. Si la altura de un cono de helado es 4 cm, ¿cuál es el área de la etiqueta del cono, si su volumen es 36π cm3?

A. 16π cm2 B. 70π cm2 C. 40π cm2 D. 80π cm2

A. 15π cm2 B. 24π cm2 C. 30π cm2 D. 48π cm2

10. Calcula el volumen del espacio que sobrará al colocar un sombrero en forma de cono en una caja cilíndrica cuyo diámetro es igual al del cono y corresponde a 20 cm y cuya altura es igual a la del cono que corresponde a 24 cm.

13. Cuántas latas de bebida de 350 cc caben en una caja de largo 70 cm, ancho, 30 cm y alto 50 cm?

A. 250 latas. B. 300 latas. C. 350 latas. D. No se puede calcular.

A. 1.200π cm3 B. 1.600π cm3 C. 3.200π cm3 D. 2.400π cm3

105

UNIDAD 6 (106-123) 6.0

9/9/09

a c i t n ó s í i c d c u a d t o r s t n E I

11:25

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o d s e l n e p n a d n s a ó m a n e o i d c u s s s c e u , i e o o d l v a c d i o a t r s t a t c m e a n . e é u d d m t o e a r i p v t q o v a f u n , i l r n n s t t s n o e a o i e e l a c i l n a r e a o s m b a m o l o p i s a a s i t , a d l d n l o p p o e a L n e r t n t a e o a . i c u s z u e d r p e t q o i r n o n e p e b t a a r p s r r ó o a a g i d c , e h d r a p e c i n t t a n t n l a e o p s s i ó i ó s i í a m d c i e e r c d e a c c a e c d o e t u s e d f a d s d t a n e i o n l d e i d n i u o o t v d r d a i a e o t e c j r n c t i e d e r a i a n p e c d r l f f u i i c a t r n a b a e n u ó l t r e g d n d i a n a c a l d a a t l a s a o s i ó r g s n t a o a l d o c t a a b e e s r d d a n a s a o o d e p t m u t r n r n n m e p i e e m a n r o r t a n f a e d l u , o r l n i n i n c y i u u s o a o r s a i p r , e e s s g o l a e l p n t e l a s o u r a b r d m m n i L a a u t a a z m o l o . t i t d c i r s , c ú c n n , v a a e i o s r r a l l a c i t c g o o a e t p l r a c r z l s a e í o m n P a . l d s n n c e m a a o e j e o a t a u i c n l e d e s t s r c d E m a r a a é a r z d a e l u r o s i o t m t e p l a s a d d d i n m n i r l s a o e r e u a u n a o m m u f u f o n l q i a m o r a a i o e a o c o d r p t s n c u n , i v e a e e u a q u s t m n a o d i N e i o o c j o a c n a v d i f b l c m o i í i e t n c o o c t i e n o t e i l e e u j e t r e c o d e i b c p , t n p S s s o o s m a s o n o n e o l . o I e s s s o s c u m c n l e c l o d d e e m n a ó e a a c e o r d c c e a c d p y t , i n y n i a d n d e n u s i e s n e e u r e t s n a u n t g t o i l r f e a c a a s e a a n t m i s s e o t e n j a v r r e e t o u b t c m e s e n r o a e n a n o u e r t n d E d e c q p c t i


C

• • •

O M C

6 o c i t p ó n i s o r d a u C


n . . o s . s c o n o i a d ó c i d a c a n p a p e u u r r u m c g r g a a e o r f s f s n i o e o t t a a d a l d s e d l a a d n b r a s o a i c t p s s i . l . s a r a e á l c a o i n b d d t z a a n a é a y t i ó p m l e t a u i a d c c r c r s i g a u t r r a a t s a r t í a s s i s u d t n o d e a c t t s e o a e u E L C d M M

|

n s l y . s a e ó e i n l n n t a o r c s a o n d s b . e a r g , t a a e c e a t r n s s o r i t u n t p n a f s s o o . i e u t s n e m e r s c s i r c o i r a i a g u r a a t e c d a e r n s t e e s s a m i a r m f e e c l a s u e e s a e r n d d n l i e c i r d . r u v o e a a c e s e c t e r d n a h y o m r n a e f e r d ó t n a d e s s e n i u e o e d t p c s o a e q s d t t c n t e o a e n s s s o a x s e o i c u e n s s e o d i f i m d a o o c i ó i e l d t r l t t l d a a n s i o p a s c e a n i a b a t a c o e c a u t m e n m c a m n c d m n n e u i e a e j r o m a l s y i s r t r u l o e t a e e d o , e c a s a r e f o i , d l o s t s n r d p s e i r u p m o e o r n e o o n a l f t v a e p a x n t m i l a o e n i e o n d m d e s a v e i r e m d e a i n d a e t e y l i m c a m a a d n t n s m ó a e r l a n a l a s i b e i c d e u a l i t r i b m r i o r , c r d t p t b c n a a s e o p o r e é o x t f a e o t e c o r m s m e p c t e m n p i p r o e s d m x a s d e a t o r n p e o f e d o n , , a s n s o t ó n a d s s a c n i d i e ó u c a l c p a i l o a i r g i n r a t c a i e o u c d n l t c t a s r c ó c a d í t i g e ó g l e u v r s s n r ó c e i a r e l m s n t e i o e u r o t l s s p o a u e c i c s t r m n r s o r a l o e n i n l c á e u s e t s r r a c i v g o n n i e t a e z a e d D a c A d r n d o C e t R i a

•

V F O

106

•

•

e n o d e s n s e , u l , ó d s e n l i t a c o y ó r r i n i t e a t t c a s t i e r d a t e n o n n a e l m p s a e n c s e s r o v a v o e i a t a y r r o o d i f a . e c r n e n d s n u t p p i o c e n ó i , i r s r m e e l a i c i d c , d v n e t o a a r u s n c e d e e o a . d o m t n t s s s r e o n o d s r e a i r o o e c p r t p e f u d i c d a n v l t n i i e a z n a e e y d s r p e i r f a n r t u a s u s a f o s a d d t o e r t o i g e g s e t e d n d r d a r r a r a x a e o s i s n a p p l p e r l a á i r t z a r m p u e e l e r n i t b t v t o e m r t a i a s n t n c d a g I e u p d I a

•

|

• •

•

•

UNIDAD 6 (106-123) :Layout 1

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. a i c a . c i f e t e n y a v d e l a e d i r r a n l ó c i c n a o c m r , s o f a i n i p . e o a l r j a z p i r a s d n e n o n e i r c o i c c p e c a l i o e v t s u . n y a o a c c e o i t y d t n í r s s . c e i o e s o t o m t n d i a j u a c a i e i d b o y c m a a r n i o a t p t c i c n a y e c s l t e í r s a , s c r a e s a e a l r a z d e y t i l i d d a t o i , a u d s e , i e d i t d t v n n i a n e o t d e r a f i s i l l n e l a e i r p c a e r y o u a d a i s l l o l , a i s v c r i e d r a d n c ó a m i c e o t i d n e n l a o m u b d o c i l r m e y p i b d o o c r a v y e s d i v n a x r l e a o o d l i f s p s c e s e a r e r e r r p p a o x e y c t e d a í a n l e e d i a y m d d m o s a d i n s a c é a o r n d t p e e l i a u t p i n l b c a i a l a l a l e h e r r r a l r l a l a l a e l r l l v o o a r o r o r r t r i r a a m s c s a s r o e e e e r j P D E D D


12:13

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. s a n a m e s 5 a 4



107 |

UNIDAD 6 (106-123) 6.0

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Esquema de la unidad ESTADÍSTICA

Encuestas

Datos agrupados

Intervalos

Muestras al azar

Media aritmética

Tablas de frecuencia

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Frecuencia acumulada


Información para el docente • Antes de trabajar la unidad, se sugiere repasar los siguientes contenidos: – – – –


Frecuencia absoluta y absoluta acumulada. Frecuencia relativa y relativa acumulada. Gráficos de diferentes tipos. Medidas de tendencia central para una lista de datos.

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UNIDAD 6 | Estadística

Actividades complementarias En parejas realicen las siguientes actividades. La siguiente tabla muestra la masa de 35 alumnos de un curso: 57 kg

60 kg

58 kg

59 kg

57 kg

59 kg

60 kg

61 kg

61 kg

60 kg

61 kg

60 kg

61 kg

60 kg

61 kg

57 kg

61 kg

58 kg

57 kg

61 kg

61 kg

60 kg

60 kg

61 kg

60 kg

61 kg

58 kg

60 kg

58 kg

59 kg

57 kg

61 kg

61 kg

60 kg

57 kg

1. Completen la siguiente tabla: Peso de los alumnos

Frec Fr ecue uenc ncia ia abs absol olut utaa

Frec Fr ecue uenc ncia ia abs absol olut utaa acum acumul ulad adaa

57 kg 58 kg 59 kg 60 kg 61 kg

2. Completen la siguiente tabla: Peso de los alumnos

Frecuencia relativa

57 kg 58 kg 59 kg 60 kg 61 kg

3. A partir de las tablas anteriores contesten las siguientes preguntas: a. b. c. d. e.

¿Cuántos alumnos pesan menos de 60 kg? ¿Qué porcentaje de los alumnos pesa 60 o menos kilogramos? ¿Cuál es el peso de la mayoría de los alumnos? ¿La mitad del curso está sobre o bajo los 60 kg? ¿Cuál es el peso promedio de los alumnos del curso?

4. Representen los datos de las tablas mediante un gráfico de barras.

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Indicador Comprender los conceptos de frecuencias absoluta y relativa.

Calcular medidas de tendencia central: media, moda y mediana.


Nº de pregunta

Respuesta

1

D

2

C

3

B

4

Se identifica el o los valores que presente (en) mayor frecuencia.

5

Se suman todos los valores y el resultado se divide por el número total de valores.

6

Se ordenan todos los valores y se selecciona el valor central, en caso que la cantidad de datos sea impar, de lo contrario se promedian los dos datos centrales.

7

Media: 7,2 años Moda: 6 años Mediana: 6 años

Logrado con


2/3

• Realizar ejercicios donde los alumnos deban construir tablas de frecuencias a partir de la lista de datos. Realizar ejercicios donde los alumnos deban construir la tabla de frecuencias a partir de gráficos de barras y circulares. • Realizar ejercicios donde los alumnos deban inferir acerca de los datos reales a partir de tablas de frecuencias. Realizar ejercicios donde los alumnos deban completar tablas de frecuencias incompletas a partir de los datos totales y los entregados en la tabla. • Realizar ejercicios donde los alumnos deban calcular la media, la moda y la mediana a partir de una lista de datos. Incluir en estos ejercicios casos en donde la moda no sea única, y que la lista de datos sea un número impar o par. • Realizar ejercicios donde los alumnos deban calcular la media, moda y mediana a partir de una tabla de frecuencias.

4/6

|

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Leo y obtengo información presente en tablas de frecuencias.

8

Media: 1,75 litros Moda: no hay. Mediana: 1,75

9

Media: 74,375 kg Moda: 67 kg y 74 kg Mediana: 74 kg

10

Educación básica incompleta.

11

1.848.589 personas

12

Sí

2/3

• Realizar ejercicios donde los alumnos deban analizar la información entregada en una tabla de frecuencias y deban sacar conclusiones al respecto. • Realizar ejercicios donde los alumnos deban inferir a partir de la tabla de frecuencias, comportamientos de la población.

Estadística y análisis de la información (Páginas 208 y 209)

Información para el docente • Es importante mencionar que además de que los alumnos construyan tablas de frecuencias, gráficos y calculen medidas de tendencia central, el objetivo más importante de este eje curricular es que desarrollen la capacidad de interpretar correctamente datos estadísticos. En los medios de comunicación diariamente se muestran noticias con grandes titulares donde se malinterpretan resultados estadísticos para favorecer el sensacionalismo de la noticia, nuestros estudiantes deben ser capaces de tener una actitud crítica frente a estas conclusiones y, por supuesto, que logren encontrar aquellos errores o interpretaciones distorsionados.

• Para la sección Practica de este contenido, es necesario definir lo que es una población y una muestra, y cuándo una muestra es representativa de la población. A partir de los ejemplos que den los alumnos, comentar acerca de cuáles muestras serían representativas y cuáles no, y cuál debiera ser su tamaño. También es recomendable hacer una distinción entre los distintos tipos de variables que existen para realizar un estudio (cuantitativas y cualitativas) y ejemplificar cada una procurando que los alumnos logren identificarlas.

• Para complementar la Síntesis, se puede mencionar que los estudios estadísticos nos permiten inferir, a partir de una muestra, acerca de la población. Un buen estudio estadístico nos permite estudiar a un grupo pequeño y obtener conclusiones extensibles al resto de la población, sin necesidad de tener que entrevistar a todos los individuos. Muchas veces, por ejemplo, en el área de la salud, existen muy pocos casos que poseen alguna enfermedad en estudio o están repartidos por todo el mundo y no es posible localizarlos. El desarrollo de esta área de la matemática nos entrega herramientas donde podemos inferir y predecir el comportamiento de variables que nos permiten tener conocimiento de nuestra naturaleza y, muchas veces, tener una mejor calidad de vida.

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Actividades complementarias • Como complemento a este contenido inicial comentar con los alumnos las diferencias entre censo y encuestas, aclarando que el censo se realiza sobre el total de la población, mientras que una encuesta sobre una muestra. Comentar también las dificultades de trabajar sobre el total de la población y, por lo mismo, lo necesario que la muestra sea representativa de ella.

En grupos de tres integrantes realicen lo siguiente. Si quisieran realizar un estudio acerca de la obesidad infantil de niños de su edad,

1. ¿cuál sería la población objetivo? 2. Si no es posible entrevistar a toda la población, ¿cuál creen que sería una muestra representativa de ella? 3. ¿Qué datos necesarios para determinar la obesidad recolectarían? 4. ¿Cómo redactarían las preguntas de una encuesta para realizar este estudio?

Errores frecuentes o posibles dificultades • A los alumnos les dificulta leer tablas y gráficos y mucho más sacar información de estas. A pesar de que es un contenido que está incluido desde los primeros niveles de la educación básica, muchos de los alumnos con dificultades en matemática, llegan a Cuarto año Medio sin ser capaces de interpretar una tabla de doble entrada. Una manera de corregir esta dificultad es que se acostumbren a leer y a poner los títulos en tablas y gráficos. Para el trabajo con tablas de datos es importante que realicen ejercicios donde trabajen en ellas como si fuera u na matriz e intersecten filas y columnas buscando información. En el caso de los gráficos, es importante que ejerciten el asignar nombres a los ejes y, si es pertinente, la unidad de medida correspondiente, también un buen ejercicio es que decidan qué tipo de escala es la más adecuada en ciertos gráficos según las variables involucradas.

Actividades complementarias Responde las siguientes preguntas. 1. En un censo poblacional ¿qué gráfico es el más adecuado para representar los datos? 2. Si en una encuesta se quiere saber cuántos alumnos menores de 15 años fuman, ¿qué frecuencia corresponde interpretar?, ¿qué gráfico utilizarías para presentar la información? 3. Si en una encuesta se quiere saber el deporte favorito de los alumnos de 8º Básico, ¿qué indicador necesitas buscar?


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Lectura de tablas con datos agrupados (Páginas 210 y 211)

Información para el docente • La organización de los datos en intervalos es relevante a la hora de realizar un estudio estadístico. A pesar de que los intervalos son construidos a partir de los datos, al definir los intervalos debemos olvidarnos de los datos originales, porque muchas veces literalmente se pierden o porque son una gran cantidad de datos que es muy engorroso manipularlos, incluso con un software estadístico. Es conveniente comentar con los alumnos que una de las ventajas de agrupar los datos en intervalos, se relaciona con facilitar el cálculo y la representación gráfica de estos, pero una gran desventaja es que disminuye la precisión de las estimaciones, porque y a no estamos trabajando sobre los datos originales sino sobre intervalos que representan el conjunto de datos.

Actividades complementarias Realiza las siguientes actividades. En la siguiente tabla se muestra la distribución de sueldos de 45 personas de la empresa ART.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Tramo

Nº de personas

Sueldo ($)

A

3

1.100.000 – 1.200.000

B

2

900.000 – 1.000.000

C

5

700.000 – 800.000

D

15

500.000 – 600.000

E

13

300.000 – 400.000

F

7

150.000 – 250.000

¿Cuántas personas reciben un sueldo inferior a $ 300.000? ¿Cuántas personas reciben entre $ 150.000 y $ 600.000? ¿Cuáles tramos reciben más de $ 600.000? ¿En cuáles de los tramos se encuentra el 50% de los empleados? ¿Entre qué montos se encuentra la mayoría de los empleados? ¿Cuánto es lo mínimo que puede ganar un trabajador en esta empresa?, ¿y lo máximo?

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Tareas En la siguiente tabla se muestra los intervalos de estatura y peso ideal por sexo. Con esta información realiza las siguientes actividades. Peso ideal según estatura por sexo Estatura

Peso hombres

Peso mujeres

1,48 m a 1,51 m

48 kg a 51 kg

46 kg a 47 kg

1,52 m a 1,55 m

52 kg a 55 kg

48 kg a 50 kg

1,56 m a 1,59 m

56 kg a 59 kg

51 kg a 52 kg

1,60 m a 1,63 m

60 kg a 63 kg

53 kg a 54 kg

1,64 m a 1,67 m

64 kg a 67 kg

55 kg a 56 kg

1. Entrevista a 10 de tus compañeros y pregúntales acerca de su estatura y peso, identificando si es hombre o mujer. 2. De acuerdo a los datos entregados por tus compañeros, construye una tabla de frecuencias absolutas de acuerdo a los intervalos de estatura. 3. Construye una tabla de frecuencias absolutas, pero ahora contabilizando aquellos alumnos que según su estatura poseen el peso “ideal”. 4. Compara ambas tablas, ¿existe mucha diferencia entre ellas? Si es así, calcula la diferencia para cada intervalo. Si las diferencias son muy grandes, ¿qué significa esto?

Actividades complementarias Analiza el siguiente gráfico que muestra la cantidad de latas de bebida que consume una persona al mes y contesta las preguntas dadas a continuación. 10 s a n o s r e p e d º N

8 6 4 2 0 0–5

6 – 10

11 – 15

16 – 20

Nº de latas de bebida

1. ¿A cuántas personas en total se entrevistaron en el estudio? 2. ¿Cuál es el rango de bebidas que consume la mayoría de las personas entrevistadas? 3. ¿En cuál de estos intervalos te ubicarías tú?


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Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados (Páginas 212 y 213)

Información para el docente • La cantidad de intervalos adecuados para cierta cantidad de datos es muy difícil de determinar. En la literatura se sugiere utilizar de 3 a 5 intervalos, lo cual dependerá del tipo de variable que se está usando y de la cantidad de datos. Se puede tener como criterio que la cantidad de intervalos a usar debe permitir que no queden i ntervalos sin elementos. Otro criterio podría ser que el valor de la amplitud sea un número acorde a los datos; por ejemplo, si los datos son enteros correspondientes a una variable discreta, la amplitud debería ser un número entero, por lo tanto, la cantidad de intervalos para dividir el rango tendría que ir de acuerdo a eso, etc.

Errores frecuentes o posibles dificultades • Las posibles dificultades que se pueden presentar al agrupar datos, tiene relación con datos cuyos valores son decimales, primero porque el cálculo del rango y de la amplitud se complejizan y no es inmediato fijar los límites de cada intervalo. Por ejemplo, si el primer intervalo es de 0 a 1,95, el siguiente intervalo ¿dónde empieza en el 1,96 ó en el 2? En este tipo de situaciones, recomendar a los alumnos que observen los datos o el tipo de variable en estudio y elijan el que sea acorde a ellos, porque la idea es que los intervalos a utilizar representen y conserven las características de los datos originales.

Actividades complementarias Realiza las siguientes actividades. 1. Completa los intervalos, sabiendo que el rango de los datos es 59,4. Intervalos

Frecuencia absoluta

60 a

23

70 a

5

a

21

a

12

a

17

a

82

2. En un estudio acerca de la masa de 200 bebés al nacer, se sabe que el recién nacido que ha pesado menos logró una masa corporal de 2 kg 300 g y el bebé que logró la mayor masa fue de 4 kg 100 g. Determina el rango de los datos y construye tres intervalos, determinando la amplitud de cada uno de ellos. (Expresa la masa mediante número decimales).

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115 |


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12:13

Página 116

En la tabla se muestra una lista con la cantidad de abdominales realizados, en un minuto, por los alumnos de un curso.

1. 2. 3. 4.

48

58

51

49

51

3,9

55

55

48

60

50

55

49

50

47

55

49

60

38

39

45

51

58

58

35

48

40

45

55

47

60

51

46

51

50

Organiza los datos, utilizando 5 intervalos. Construye una tabla con la frecuencia absoluta y relativa de acuerdo a los intervalos que construiste. ¿Qué intervalo de abdominales puede realizar la mayoría del curso? ¿Cuál es la cantidad máxima de abdominales que puede realizar el 50% del curso?

Representa los datos de las siguientes tablas con un gráfico de barras. 1. Se realizó un estudio para saber cuánto tiempo una persona se dedica a navegar por Internet. Se entrevistó a 100 personas de manera aleatoria y se obtuvieron los siguientes datos: Tiempo en internet

Nº de personas

0 a 30 min

27

31 a 60 min

32

61 a 90 min

12

91 a 120 min

11

121 a 150 min

18

2. Se realizó un estudio acerca de cuántos libros al año lee una persona según su edad. Se entrevistó a 150 personas de manera aleatoria y se obtuvieron los siguientes resultados:

Edades Libros


6 a 12 años (niño)

13 a 19 años (joven)

20 a 26 años (adulto joven)

1a5

22

21

44

6 a 10

28

12

2

11 a 15

3

16

2

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Indicador Leer e interpretar información presente en tablas con datos agrupados.

Nº de pregunta

Respuesta

1

A

2

C

3

D

4

B

5

D

6

Construir tablas de frecuencias con datos agrupados.

Logrado con

4/6

• Realizar ejercicios donde los alumnos deban analizar una tabla de datos agrupados y deban identificar si los datos de una variable pertenecen a una columna, una fila o el cruce de ellas. • Realizar ejercicios donde los alumnos interpreten la información entregada en una tabla de datos agrupados y saquen sus propias conclusiones, sin preguntas previamente entregadas.

2/3

• Realizar ejercicios donde a partir de una lista de datos los agrupen en intervalos y determinen la frecuencia absoluta y relativa. • Realizar ejercicios donde deban proponer una variable en estudio y una característica a analizar, que recopilen los datos necesarios y luego construyan una tabla con datos agrupados y concluyan acerca de la característica en estudio.

C Alternativa D: el porcentaje de niños entre 5 y 14 años que trabaja entre 1 y 48 horas es mayor que el de los niños entre 15 a 17 años.

7

8


9

Media aritmética para datos agrupados (Páginas 216 y 217)

Información para el docente • Como ya se ha dicho anteriormente, el trabajo con datos agrupados provoca perdida de información ya que no se usan los datos originales, sino, representantes de estos, por esto, es muy importante que la marca de clase utilizada sea realmente representativa de los datos. Muchas veces al promediar los extremos de los intervalos nos resultan valores con muchos decimales y que “no se parecen” a los datos originales. Esto obviamente tiene relación con la elección de los intervalos; en esos casos, es posible aproximar la marca de clase para así obtener un valor realmente representativo de los datos.

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Errores frecuentes o posibles dificultades • Muchas veces ocurre que se realizan ejercicios donde los alumnos, a partir de los datos construyen intervalos y calculan la marca de clase, y este valor no pertenece a los datos originales. El alumno podría (o debería) preguntarse por qué se usa ese valor para calcular la media si ni siquiera es parecido a los datos originales, o por qué se usan los intervalos si están los datos originales. Una sencilla manera de evitar estas contradicciones es usar solo tablas con datos agrupados y no presentar los datos originales, y también volver a recordar que el uso de intervalos es para manipular gran cantidad de datos, lo que no es posible incluir en los ejemplos planteados. • En la literatura muchas veces se habla de la marca de clase como el punto medio del intervalo y es muy común que los alumnos tiendan a restar los extremos, en vez de sumarlos. Por esto es muy acertado que se hable de promedio, porque es más sugerente y de ese modo realizarán la operación correcta.

Actividades complementarias Realiza lo siguiente. 1. Se realizó un estudio para saber cuánto tiempo dedica una persona a navegar por Internet. Se entrevistó a 100 personas de manera aleatoria y se obtuvieron los siguientes datos. Calcula la marca de clase para cada intervalo y el promedio de tiempo que las personas de dedican a navegar por Internet. Tiempo en internet

Marca de clase

Nº de personas

0 a 30 min

27

31 a 60 min

32

61 a 90 min

12

91 a 120 min

11

121 a 150 min

18

M. de clase • frecuencia

2. Se realizó un estudio acerca de cuántos libros al año lee una persona según su edad. Se entrevistó a 150 personas de manera aleatoria y se obtuvieron los siguientes resultados. Calcula la marca de clase para cada intervalo de libros y el promedio de libros que lee un niño, un joven y un adulto joven, representando a cada uno con una edad promedio. Edades Libros


6 a 12 años (niño)

13 a 19 años (joven)

20 a 26 años (adulto joven)

1a5

21

21

44

6 a 10

27

12

2

11 a 15

1

16

2

16 a 20

1

1

2

Marca de clase

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UNIDAD 6 (106-123) 6.0

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• Las siguientes actividades pueden ser utilizadas para profundizar los contenidos trabajados en estas páginas. Usando las marcas de clase de los estudios presentados anteriormente, indica: 1. El mínimo. 2. El máximo. 3. El rango. 4. La moda. 5. En el caso del tiempo dedicado a Internet, ¿cuál sería la mediana?

Información al docente • Comentar a los alumnos que existen fórmulas más precisas para calcular la mediana y la moda en datos agrupados, pero que por el momento el procedimiento utilizado en estas páginas es una manera para identificar, aproximadamente, estos indicadores cuando se tienen datos agrupados.

Muestras ala azar (Páginas 218 y 219)

Información para el docente • Entre las razones para realizar un muestreo están: el ahorro económico del estudio, la rapidez de la recolección de datos y la escasez de recursos físicos, económicos y humanos. Sin embargo, algunos inconvenientes pueden ser: que la muestra no sea suficientemente representativa de la población, llevando a obtener conclusiones erróneas; en ocasiones la población es muy pequeña, y en consecuencia, cualquier falla de la muestra escogida puede provocar errores significativos en la interpretación y análisis de los datos. • En ocasiones, la población se encuentra dividida de manera natural, por ejemplo, en grupos étnicos, familias, comunas, etc. En este caso, una muestra debe contemplar toda la variedad de la población, lo cual se denomina “muestreo por conglomerado”.

Tarea Resuelve. 1. Se desea determinar la población total de aves que hay en una l ocalidad. Para realizar el estudio, se capturó a 50 aves y se les marcó con un chip en sus alas, dejándolas en libertad. A los pocos días se capturó a otro grupo de 25 aves, de las cuales 10 tenían el chip. ¿Cuál es la población aproximada de aves de la localidad?

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119 |


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Información para el docente • El ejercicio relacionado con las medallas obtenidas por los países en los juegos olímpicos es un claro ejemplo de la pérdida de información que se produce cuando se agrupan los datos, ya que en la tabla pedida en el ejercicio 6, no habrá registro del tipo de medalla obtenida por los países. Comentar esto con los alumnos.

Actividades complementarias Utilizar la tabla de las medallas presentada en la página 221 y realizar los siguientes ejercicios. 1. Construye una tabla de frecuencias para el total de medallas de oro con los intervalos que estimes conveniente. 2. Construye una tabla de frecuencias para el total de medallas de plata con los intervalos que estimes conveniente. 3. Construye una tabla de frecuencias para el total de medallas de bronce con los intervalos que estimes conveniente.


Información para el docente • Las estrategias para resolver problemas relacionados con el manejo de la información, requiere de habilidades enfocadas a la reflexión y análisis de los datos obtenidos, además se deben interpretar y organizar los resultados de manera simple y comprensible para cualquier persona que acceda a esa información. Si comparamos con la resolución de problemas en otros ámbitos, en la estadística no basta con obtener una solución y comprobar si es correcta, aquí se requiere de inferencia y obtención de conclusiones que es posible proyectar a toda una población en estudio.


Información para el docente • Se recomienda hacer un breve repaso a partir de las preguntas presentadas en la Síntesis y pedir a los alumnos que realicen la sección Trabajo con la información, y a cont inuación presenten los resultados obtenidos.


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120 |


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Indicador Leer e interpretar información presente en tablas con datos agrupados.

Construir tablas de frecuencias con datos agrupados.

Calcular e interpretar la media aritmética para datos agrupados y promedio ponderado.

Nº de pregunta

Respuesta

1

B

2

D

7

–

8

–

9

–

10

–

11

–

12

–

13

–

14

–

15

–

3

C

4

B

Logrado con


1/2

• Realizar ejercicios donde los alumnos deban interpretar información entregada en una tabla con datos agrupados. • Realizar ejercicios donde los alumnos deban calcular a partir de la tabla con datos agrupados, frecuencias absolutas o relativas de algún intervalo.

5/9

3/4 5

B

6

C

• Realizar ejercicios en donde los alumnos a partir de una lista de datos construyan intervalos de manera adecuada a la variable en estudio. • Realizar ejercicios en donde los alumnos además de construir los intervalos deban completar la tabla de frecuencias absolutas y relativas.

• Realizar ejercicios donde los alumnos, a partir de los intervalos, calculen la marca de clase y determinen la media aritmética. • Realizar ejercicios donde los alumnos deban calcular un promedio ponderado a partir de las ponderaciones y los datos involucrados.

Ejercicios de refuerzo y profundización (Páginas 232 y 233)

Información para el docente • Se recomienda realizar ejercicios para que los alumnos repasen la aproximación de decimales.

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121 |


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NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Marca la alternativa correcta en las siguientes preguntas. A partir de la información presentada en la siguiente tabla, responde las preguntas l a 9.

4. ¿Qué porcentaje de las personas que asisten al club son mayores de 15 años?

La siguiente tabla muestra las edades de los niños y jóvenes que hacen deporte en un club los sábados. Edad

Frecuencia absoluta

1 a 5 años

1

6 a 10 años

5

11 a 15 años

10

16 a 20 años

18

21 a 25 años

6

A. 60% B. 85% C. 40% D. 15%

5. ¿Qué porcentaje de las personas que asisten al club son menores o tienen 15 años? A. 60% B. 85% C. 40% D. 15%

1. ¿Cuántos niños y jóvenes realizan deporte en el club los sábados? A. 36 B. 42 C. 40 D. 41

niños niños niños niños

y y y y

jóvenes. jóvenes. jóvenes. jóvenes.

6. ¿Cuál es la marca de clase del tercer intervalo? A. 12 años. B. 13 años. C. 11 años. D. 12, 5 años.

2. ¿Cuántos niños que realizan deporte tienen entre 1 y 10 años? A. 1 B. 5 C. 6 D. 7

niño. niños. niños. niños.

7. ¿Entre qué edades se encuentra la mayoría de los jóvenes que van al club? A. 11 a 15 años. B. 6 a 10 años. C. 16 a 20 años. D. 21 a 25 años.

3. ¿Cuál es la frecuencia relativa de los jóvenes entre 16 y 25 años? 18 40 24 B. 40

A.


6 40 36 D. 40

C.

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12:13

Página 123

8. Si la marca de clase del último intervalo es 23 años, esto quiere decir: A. que todos los jóvenes de ese intervalo tienen alrededor de 23 años. B. que la mayoría de los jóvenes que pertenecen a ese intervalo tienen 23 años. C. que si elegimos al azar a un integrante de ese intervalo tendrá 23 años D. que representamos ese intervalo con este valor para calcular la media aritmética.

A partir de la siguiente información responde las preguntas 12 a 14. Andrés visitó a los alumnos de un 8º Básico. Luego, registró el número de hermanos que tenía cada alumno para realizar un estudio:

9. ¿Cuál es el promedio de edad de los niños y jóvenes que van al club los sábados? A. 17 años aprox. B. 14 años aprox. C. 15 años aprox. D. 16 años aprox.

0

1

2

3

1

4

1

4

7

2

3

8

7

2

4

8

2

1

3

3

3

4

0

4

5

2

5

0

5

5

4

6

0

1

5

2

1

2

6

1

12. ¿Cuál es el rango de los datos? A. 8 B. 7 C. 6 D. 9

10. El promedio final de María si sus notas son, es: Ponderación

20%

45%

35%

Notas

6,1

4,2

5,7

13. Si tuvieras que organizar la información en datos agrupados ¿cuál de los siguientes intervalos elegirías? A. 1 B. 0 C. 0 D. 1

A. 5,1 aprox. B. 5,0 aprox. C. 5,2 aprox. D. 5,3 aprox. 11. Si las ponderaciones de una asignatura son 15% los controles, 30% la prueba final y un 55% el examen podemos concluir que:

a a a a

2; 2; 2; 3;

2 3 2 4

a a a a

3; 5; 4; 6;

3 6 4 7

a a a a

4; 4 a 5; 5 a 6; 6 a 7 8 6; 6 a 8 9.

14. ¿Cuál es el intervalo de cantidad de hermanos más frecuente en los alumnos del 8º? A. 0 a 2 B. 1 a 3 C. 1 a 2 D. 3 a 5

A. todas las notas tienen la misma ponderación. B. las notas que tienen mayor importancia son los controles. C. la nota que tiene mayor importancia es la del examen. D. La nota que tiene mayor importancia es la nota final.

123

UNIDAD 7 (124-141) 6.0

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d a d i l i b a b o r P

11:29


Page 124

; a s l s s a g l o o l o t s e r y m r s y o t a s o a e s n l a c r u a e e n s g p l o o b l m r d e a i l a p t r o m a r u t e s l s a a , p u a n e P i x l s s o . c a t e e l n n s i e e e e a b i o i c r i r d t r a m o e n n s i a p á t p a g s i i r l d s s a e x e o l á e a r o s a n s r o a m a s s l o , d e l s l v o a i y e e e v d n i d l s e t u r b i a o a m o q t ; r b m a ó g s d n e a o u o r f p r y i e j d p e s i s f a i o n u e e y l e r s d q t n a e a n o n t b d e g c o i s s ó l i o e i e i b t r c u l a s j a e a n o e b e t r d e n m i a r o d s t m r i o s e l f p r s i u t e n s i n s n i l e e p a o r á i e r d x i a n d s n e c a u o a t e t ó e u r l s l i i p e e e c d t r o y s r e e n , n t n s o b l o a e n o a v i p s l i s e r t n a n o u a a a e l l d d r l p q n . e a o r s e e i o a r e t a r i a b u s n x d a e l e a s c n p n i e f t e n á e é n n d e t u i e e r b u a s q v l s c e y n m p e e e r s d a o s n d f c e T o a a d o . s t ó d l e i a i c e j v t c i a n e d , b i t e u e , s o t u d i v j i o n d s s a s t c b t é o ó a l o l s v a l i a e a s e c t e n n r a n e t n l n e l a e ú d a L g . o t u e , e c t r p i p e o s s , v o c s i a s n o n t i l n a e r o e v e j , i o p a n d t m i c b t l L e e a m l j o a u e u l l e l a b u n E a d a s o q a


C

• • • • •

O M C

d o a a t s , s d n o e s i o l e d d l i e a b i n e m t a a l o d r l i u b e n s g c o a o e e r p x r r u d p t a e i , e l s s a n d l o o s i u a r . e o d s t n d n i o s r t n a e a l e a e i s f v c u i l e b i o , d a a r t o ó n r s b e e n s o t e v e l e o r m b a p a e ú s t i b o n e u m n l u n o r q p m r o e n i e f p m r d u i n e u e j p o n i n a e x s e c o q e e e s n n c , y e d e o ó i r o s . c r i s d d r l i e e a a u s r l t o b c i c n a l i t i g o a s l á t u i n r s e l e o p a s a e A p r A d a p L

•

7 Santillana Bicentenario

. . i s r e o i . l r d b e a t a b s d i o l o i p r b p a a e b t y o i r n r o p e . . i r l m a l a e p l a r c a a u t l a g s e p n i a d a ó i s u L d c o m l e i c d i u a i o d b l c a a d t l b u o g o r s a p t e e r s n R E R I P

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124 |


V F O

•

a s s l o o a t d a s n t l e e d i m y u s a r d e s e i l p o r i i n b x t a e i n o b n f c r o r e s a o t , d p s s a a e t o t r t l t n n u n e e s o e . m v r c , s a e e c e n s l i e r d o l a ó a c b t e i s a n t c o b e r n i m r o r i a e o i p r n r e r t g a u p i s u e q x c l A o a e e

•

UNIDAD 7 (124-141) 6.0

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. a i c a . c i f e t e n y a v d e l a e d i r r a n l ó c i c n a o c m r , s o f a i n i . p e o j a l r a z p r i a s d n e n o n e i r c o i p c c a e l c i o e t v s u . n a y a o c c e i o t y t d í n . r s s c s e i e o o t o t d j m i a a u n c e d b a i i o c a y m r n i a t t o p y a n c c a l t c s i í e s e s a r , c s r a e l r e a a a z y . e i s t d l i d t i a d a o i , u p a s d e , o d i t t e d r i v n n i a t e n o d p r e i s i f l s a n e a r l l i a l a e p e r e c u y o a d a d l s l , i v o a i s c l r s a i e t a d r d n c i n m i ó a c o t t i e d s l n i a e n o d b d m u c s o l r i m a e i p i y o d c r b c a o v y e s i d n n e v a e l o x r e a d o p l i r s s f c c s a y e e r r e r e r p s a a e y o p t x c e d a n e a i d d í i l e e a m d y s d m o i a s l c n a d é a o s a r r t n d e a i r p a u e l t i p c a o n l b i a l a l l a l e a e v r r r h r y l a l a l a a l l e r l l v t a o o o r a o e r r r r r r t i a a a c m p s s s r s o e r e e e e j P R D D D E

s e l a s r e v s n a r t s e l a t n e m a d n u f s o v i t e j b O • • • • • •

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. s a n a m e s 5 a 4



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Esquema de la unidad NTRO RODU DUCC CCIÓ IÓN N A LA PR PROB OBAB ABIL ILID IDAD AD INT

Probabilidad como frecuencia relativa

Resultados equiprobables Regla de Laplace

Probabilidad

Espacio muestral

Probabilidad a priori

a posteriori


Información para el docente

• Georges Louis Leclerc (1707-1788), conocido mayormente por conde de Buffón, fue un gran naturalista y autor de la Historia Natural, obra compuesta por treinta y seis volúmenes. No obstante de su afición a las ciencias naturales, fue electo en la Academia de Ciencias de París gracias a su discurso sobre el cálculo de probabilidades, tema en el que él se sentía fuerte. Es conocido en matemáticas por el problema clásico de la aguja de Buffon; se trata de lanzar una aguja sobre un papel en el que se han trazado rectas paralelas distanciadas entre sí de manera uniforme. Se puede demostrar que si la distancia entre las rectas es igual a la longitud de la aguja, la probabilidad de que la aguja cruce alguna de las líneas es 2/pi. • Kart Pearson (1857-1936) es considerado el fundador de la ciencia estadística, desarrolló la fórmula de cálculo de la correlación. Su contribución más famosa a la estadística es la prueba x2 aplicable en muestras de gran tamaño. Fundó la revista especializada en estadística Biométrika, y contribuyó de manera notable a elevar el prestigio de la estadística como un instrumento de gran valor para el método científico.


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UNIDAD 7 | Probabilidad

• John Kerrich Kerri ch fue un matemático matemát ico que luego de ser recluido reclu ido en un campo de Jutland durante la la II Guerra Mundial se dedicó a experimentar experimentar la teoría de de la probabilidad, lanzando 10.000 veces una moneda. Los resultados obtenidos son los siguientes: Nº de lanzamientos

Nº de caras

Diferencia

Nº de de la lanzamientos

Nº de caras

Diferencia

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200 300 400 500

4 10 17 21 25 29 32 35 40 44 98 146 199 255

–1 0 2 1 0 –1 –3 –5 –5 –6 –2 –4 –1 5

600

312 368 413 458 502 1.013 1.510 2.029 2.533 3.009 3.516 4.034 4.538 5.067

12 18 13 8 2 13 10 29 33 9 16 34 38 67

700 800 900 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000 9.000 10.000

Kerrich llegó a la conclusión de que cuando se realiza un gran número de lanzamientos el tamaño de la diferencia entre el número real de caras car as y el número esperado (la mitad tiende a ser muy grande en términos absolutos, pero comparado con el número de lanzamientos, es bastante pequeña. Esta se conoce como la ley de los promedios. Kerrich indicó la ecuación para el número de caras que es igual a la mitad del número de lanzamientos más un error aleatorio, a medida que se aumenta el número de lanzamientos, el error aleatorio se hace mayor, pero comparado con el número de lanzamientos se hace cada vez más pequeño. • Pierre Simon Laplace (1749-1827) destaca por sus investigaciones sobre el cálculo de probabilidades, en 1812 publicó su “Teoría analítica de las probabilidades”, obra que supone la introducción de los recursos del análisis en el estudio de los fenómenos aleatorios, como, por ejemplo, el cálculo de probabilidades a través del cociente entre los casos favorables y los casos totales. También dedujo el método de los mínimos cuadrados y a él le corresponde el mérito de haber descubierto y demostrado el papel desempeñado por la distribución normal en la teoría matemática de de la probabilidad. probabilidad. Sus aportaciones en este campo campo pueden resumirse resumirse en dos: por un lado la creación de un método para lograr aproximaciones de una integral normal; por otro su descubrimiento y demostración de lo que ahora se llama el teorema central del límite. Destacó en gran medida en el denominado cálculo integral y diferencial aportando con la denominada transformada de Laplace, transformación que hace corresponder a una función de variable real f(t), definida en todo el campo de los números reales, una nueva función L(f), llamada transformad transf ormadaa de Laplac Laplace. e. Esta Esta transfor transformada mada tiene aplic aplicacione acioness muy intere interesante santes,s, como como la resolución ución de ciertas ecuaciones diferenciales, y el estudio de problemas con condiciones de contorno. |

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• Antes de comenzar esta unidad se recomienda hacer un breve repaso de los conceptos estudiados anteriormente, tales como, tablas de frecuencia absoluta y relativa, probabilidad asociada a la frecuencia relativa, y medición de la probabilidad como un número entre 0 y 1, haciendo hincapié en sus diferentes maneras de representarla, ya sea como fracción, decimal o porcentaje.

• Una buena manera de comenzar la unidad es preguntar a los alumnos qué entienden por experimento probabilístico o mejor dicho, cuándo un experimento es al azar. Darles ejemplos de diferentes experimentos y que ellos identifiquen aquellos que son al azar. En aquellos que ciertamente son al azar preguntar cuáles son los posibles resultados a obtener, y en los que no lo son, preguntar cuál es el resultado determinado por el experimento. Actividades complementarias Los siguientes datos son las preferencias en cuanto al uso de tiempo libre de 30 jóvenes entre 13 años y 15 años. Observa y luego responde.

Ver TV

Internet

Cine

Internet

Cine

Internet

Internet

Deportes

Ver TV

Internet

Ver TV

Internet

Deportes

Cine

Deportes

Ver TV

Cine

Internet

Ver TV

Ver TV

Cine

Internet

Internet

Ver TV

Internet

Internet

Internet

Internet

Internet

Internet

1. Organiza la información en una tabla de frecuencias absolutas y relativas. 2. Expresa en la misma tabla las frecuencias relativas en fracción, decimal y porcentaje. 3. Si le preguntáramos a un joven entre 13 y 15 años en qué prefiere para usar su tiempo libre ¿qué es más probable que nos conteste?, ¿cuál sería la probabilidad aproximadamente? Errores frecuentes o posibles dificultades

• Es posible que los alumnos confundan un experimento aleatorio y un suceso, para evitar esto, recuérdeles la definición de cada uno, dando ejemplos y enfatizando en las diferencias.

• Es muy usual que se utilice “posible” como sinónimo de “probable”; mencionar a los alumnos que cuando preguntamos si algo es posible la respuesta es “sí” o “no”, cuando preguntamos si algo es probable, la respuesta solo tiene sentido si es un valor, es decir, la probabilidad es la medida de “cuánto” es posible o no un suceso.


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Indicador

Realizar y analizar experimentos probabilísticos para obtener datos empíricos de sus resultados. Determinar la frecuencia relativa con que ocurre un suceso y usarla para asignar probabilidades. Expresar e interpretar probabilidades como un número entre 0 y 1, como fracción o porcentaje.

Nº de pregunta

Respuesta

2

40%

3

3 5

6

D

1

5

4

7

2 y 3 5 5

Logrado con


2/3

• Realizar ejercicios donde los alumnos identifiquen experimentos probabilísticos de otros que no lo son y que analicen los posibles resultados a través de los datos obtenidos del experimento. • Realizar ejercicios donde los alumnos estimen probabilidades a partir de experimentos probabilísticos.

1/2

• Realizar ejercicios donde los alumnos a partir de los resultados de un suceso determinen la frecuencia relativa y la traduzcan a probabilidad de ocurrencia. • Realizar ejercicios donde los alumnos dada la frecuencia de un suceso respondan preguntas de análisis en donde deban calcular diferentes probabilidades a partir de la frecuencia relativa.

1/2

• Realizar ejercicios donde dada la frecuencia absoluta de ciertos sucesos puedan determinar el total, encontrar la frecuencia relativa y expresarla en fracción, decimal y porcentaje. • Realizar ejercicios donde los alumnos, dada la frecuencia relativa (expresada como fracción, decimal o porcentaje), respondan preguntas de análisis donde deban interpretar qué significa esta frecuencia en términos probabilísticos.

A

0,25

C

Introducción a la probabilidad (Páginas 238 y 239)


• Los alumnos intuyen y comprenden el concepto de probabilidad en el sentido práctico, pero a la hora de definir la probabilidad de un evento se confunden. Es recomendable comenzar comentando acerca de los experimentos o fenómenos aleatorios, referirse a conceptos como el azar o la suerte, dando paso al origen de este concepto, cómo surge, cuáles son las motivaciones para desarrollar una teoría que incluso tiene distintas corrientes de estudio.

• Como introducción a la probabilidad, se recomienda definir lo que es un experimento probabilístico y luego plantear el concepto de suceso, como un evento particular de este experimento, por ejemplo, si el experimento aleatorio consiste en sacar una bolita de una urna, un suceso sería sacar una bolita de cierto color. En el caso de los resultados posibles, que muchas veces se confunde con sucesos, serían todos los tipos de bolitas que tiene la urna.

• En el caso de los sucesos seguros e imposibles, un muy buen ejercicio es que los alumnos den ejemplos de ellos, porque muchas veces confunden el concepto de suceso seguro con experimentos determinísticos y no aleatorios. |

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• Analizar con los alumnos que el hecho de que las probabilidades sean expresadas de diferente manera, ya sea como decimal, razón o porcentaje, no tiene que ver con un “capricho” matemático, sino que se relaciona con que la información entregada debe ser lo más clara y entendible. Por ejemplo, si queremos expresar probabilidades muy pequeñas, lo más conveniente es usar decimales, si hablamos de resultados estadísticos donde se ha determinado la probabilidad de que ocurra un suceso, lo más adecuado es que esa probabilidad se exprese en porcentaje y, en el caso de censos o encuestas, es mejor expresarla en razón.

• Es muy importante que los alumnos entiendan que el concepto de probabilidad como frecuencia relativa no significa que la probabilidad sea una razón, es decir, si la probabilidad de que una persona que fuma desarrolle cáncer pulmonar es ?, esto no significa que de cada dos personas que fuman una de ellas desarrolló cáncer, es decir, si se entrevista a muchas personas que fuman, aproximadamente la mitad de ellas desarrolló cáncer pulmonar. En conclusión, los alumnos deben tomar el peso de que es necesario la realización de muchos experimentos para poder determinar la probabilidad de un suceso a través de la frecuencia relativa. Un buen ejercicio para dejar claro este concepto es que los alumnos saben que la probabilidad de lanzar un dado y obtener determinado número es un sexto, entonces pedirles que lancen seis veces un dado y que anoten cuántas veces les apareció cada número, luego se darán cuenta de que no salió una vez cada número por lo que no se cumple que la probabilidad sea un sexto. Decirles que aumenten la cantidad de lanzamientos hasta que lleguen aproximadamente a esta probabilidad, esto también les generará un conocimiento relativo de cuál es el número de lanzamientos mínimo para obtener una frecuencia relativa estable y poder determinar la probabilidad. Actividades complementarias De los siguientes experimentos, determina cuáles son aleatorios y cuáles no. 1. Al jugar un partido de fútbol, que haya jugadores lesionados. 2. Al jugar un partido de fútbol, se cuente el número de goles. 3. Al jugar un partido de fútbol, se determine el número de jugadores en la cancha al iniciar el partido. 4. Al jugar un partido de fútbol, se determine el número de jugadores expulsados. 5. Al jugar un partido de fútbol, se cuente el número de arqueros en la cancha. 6. La duración total de un partido de fútbol. Da tres ejemplos de sucesos en los siguientes experimentos aleatorios. 1. Se estudia el flujo vehicular en la intersección de las calles Departamental con Vicuña Mackena. 2. Se estudia el flujo de personas en un cajero automático. 3. Se estudia la cantidad de correos “cadena” que recibe una persona a diario. Analiza los siguientes sucesos y calcula aproximadamente la posibilidad de que ocurra usando tu intuición para ubicarlos en la recta. 0 Suceso imposible


1 Suceso seguro

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1. 2. 3. 4. 5. 6.

Obtener un número del 1 al 6 al lanzar un dado. Obtener una cara al lanzar una moneda. Que mañana llueva. Obtener 0 al tirar un dado. Que mañana converses con un extraterrestre. Obtener un número impar al lanzar un dado.

La siguiente actividad se propone para profundizar el contenido trabajado en estas páginas. Indica para cada caso, cuál es la expresión más apropiada para representar la probabilidad del suceso (decimal, fracción o porcentaje). 1. 2. 3. 4. 5. 6.

La probabilidad de contagiarse de rotavirus. La probabilidad de obtener un número par al lanzar un dado. La probabilidad de que no llueva mañana. La probabilidad de que en un accidente de tránsito el conductor haya bebido. La probabilidad de que dos aviones choquen en vuelo. La probabilidad de que un rayo caiga sobre una persona.

Actividades complementarias Determina la probabilidad de los siguientes sucesos a través de la frecuencia relativa. 1. En una elección presidencial alrededor de 8.200.000 de las 9.432.000 personas en edad de votar acudieron a las urnas. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona en edad de votar acudiera a las urnas? 2. Los voluntarios de bomberos tienen un alto riesgo de sufrir heridas, un estudio realizado a lo largo de un año registró que en cada siniestro, por cada bombero que resultaba herido, cuatro de ellos resultaba ileso. ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que un bombero salga herido? Exprésala como porcentaje. 3. En el experimento de lanzar un dado ¿cuántos lanzamientos crees tú se debieran realizar para obtener a través de las frecuencias relativas la probabilidad de real?, ¿6 veces?, ¿60 veces? ¿600 veces? 4. Encontrar la probabilidad de obtener cara o sello al lanzar una moneda es relativamente fácil, lo mismo sucede al lanzar un dado, pero para otros experimentos, encontrar la probabilidad no es tan fácil ¿porqué crees tú que es necesario realizar una gran cantidad de veces un experimento?, ¿en qué experimentos crees tú que no es posible calcular la probabilidad inmediatamente y es necesario realizar el experimento muchas veces? Da ejemplos. 5. Si realizáramos un experimento muchísimas veces y de antemano conociéramos la probabilidad de un suceso ¿qué pesarías si los resultados de los experimentos fueran muy diferentes a la probabilidad real? 6. Si tuviéramos que estimar la probabilidad de un suceso a través de su frecuencia relativa, ¿qué sería más conveniente, que el total de resultados fueran 10 ó 1.000?

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Dada las siguientes ruletas identifica cuál de ellas se ocupó para realizar el experimento que obtuvo los siguientes resultados:

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Se gana al sacar rojo y se jugó 100 veces y se ganó 25 de ellas. Se gana al sacar rojo, se jugó 100 veces y se ganó 58 de ellas. Se gana al sacar rojo, se jugo 100 veces y se ganó 36 de ellas. Se gana al sacar azul, se jugó 100 veces y se ganó 95 de ellas. Se gana al sacar azul, se ganó el 89% de las veces. Se gana al sacar rojo, se ganó el 61% de las veces.

Resultados igualmente probables (Páginas 240 y 241)


• Hasta el momento, los alumnos han intuido sucesos seguros e imposibles y han estimado probabilidades a través de la frecuencia relativa. En esta parte de la unidad darán el primer paso para calcular probabilidades describiendo el espacio muestral de un experimento, en particular de experimentos equiprobables. Cuando se habla de experimentos equiprobables en la literatura también se menciona esto como juego justo. Al describir el espacio muestral de un experimento los alumnos tienden a confundir con los resultados posibles de un suceso, recordar que esto último es solo un subconjunto del espacio muestral. También dejar en claro a los alumnos que si bien describir el espacio muestral es muy útil y nos ayuda a aclarar el problema, muchas veces este es demasiado extenso para describirlo; en realidad, para calcular la probabilidad necesitamos saber cuántos elementos posee este espacio muestral.

• Al describir el espacio muestral de sucesos compuestos, como el lanzar dos dados o dos monedas, entra en juego la habilidad de contar, para este nivel no se trabajará con sucesos compuestos más allá de lanzar dos monedas, pero si es algo que el docente debe tener en cuenta. Los diagramas de árbol son muy útiles también y es una forma de expresar los resultados posibles.

• Cuando hay que determinar si un experimento es equiprobable o no, es de mucha utilidad usar ejemplos geométricos, porque se traduce a comparar áreas equivalentes, algo que los alumnos manejan muy bien. Ejemplos geométricos pueden ser ruletas, tableros, figuras, etc. Errores frecuentes o posibles dificultades

• En el caso de analizar en ruletas o tableros, si los resultados son equiprobables o no, puede que los alumnos tiendan a determinar que si no existe la misma cantidad de sectores para cada color y piensen que el experimento no es equiprobable. Lo mismo ocurre con el mazo de cartas, es un experimento equiprobable porque existe la misma posibilidad de sacar cualquier carta, pero Santillana Bicentenario

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puede que los alumnos concluyan que como no existe la misma cantidad de cartas de cada tipo (por ejemplo, entre reyes y corazones), no es un experimento equiprobable. Se recomienda aclarar esto, ya que puede ser posible que los alumnos confundan lo que es un experimento aleatorio (sacar una carta del mazo) de lo que es un suceso (obtener rey o corazón al sacar una carta del mazo). Actividades complementarias En las siguientes ruletas determina cuáles de ellas tienen resultados equiprobables.

Determina cuál de los siguientes sucesos es más probable. 1. Al sacar una carta de un mazo, obtener as o trébol. 2. Al lanzar un dado, obtener 6 o número par. 3. Al lanzar una moneda sacar cara o sello. De las siguientes alternativas, identifica cuáles son los resultados posibles de los siguientes experimentos: 1. Lanzar tres monedas. A. C – C – C S–S–S C–S–C

B. C – C – C S–S–S C–S–C S–C–S

|

133 |

C. C – C – C S–S–S C–S–C S–C–S S–S–C C–C–S C–S–S S–C–C

D. Ninguna de las anteriores.

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2. Lanzar una moneda y luego un dado. A.

B.

1

C

1 2

C.

1

3

2

2

3

3

4

4

4

5

5

5

6

6

6

S

C

1 2 S

3 4 5 6

Espacio muestral (Página 242)


• A cada uno de los resultados posibles de un espacio muestral se le conoce como suceso o evento elemental, los cuales se pueden clasificar en: evento seguro (formado por todos los eventos posibles del espacio muestral); evento imposible (no es probable que ocurra) y eventos mutuamente excluyentes (no pueden ocurrir simultáneamente).

• Un espacio muestral también se simboliza como

.

Principio multiplicativo (Página 243)


• El principio multiplicativo puede ser generalizado a más de dos eventos. Un eficaz método para resolver situaciones que involucran principio multiplicativo es la utilización de diagramas de árbol. Tarea Resuelve. 1. Determina cuántos números pares de 3 cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 4.


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Indicador

Interpretar probabilidades y expresarlas como un número entre 0 y 1, como porcentaje o fracción.

Comprender y asignar probabilidades a través de la frecuencia relativa de un experimento aleatorio. Determinar y analizar si determinados sucesos son equiprobables.

Nº de pregunta

1

Respuesta

Logrado con

1/2

• Realizar ejercicios donde los alumnos expresen la probabilidad como un número entre 0 y 1, entregando información acerca de la probabilidad de un suceso ya sea en porcentaje o fracción. • Realizar ejercicios donde los alumnos, dada la probabilidad de un suceso en porcentaje o fracción, determinen la probabilidad de que no ocurra el suceso y lo expresen como un número entre 0 y 1. Realizar ejercicios donde los alumnos identifiquen cuándo es más apropiado expresar la probabilidad como un decimal, fracción o porcentaje.

3/4

• Realizar ejercicios donde los alumnos calculen la probabilidad de ocurrencia de un suceso a través de los resultados de un experimento calculando la frecuencia relativa. • Para profundizar este contenido, realizar preguntas de análisis para que los alumnos tomen conciencia y puedan determinar la cantidad necesaria de experimentos a realizar para poder estimar una probabilidad.

2/3

• Realizar ejercicios donde los alumnos determinen si un experimento es equiprobable o no. • Realizar ejercicios donde los alumnos identifiquen los cambios necesarios a realizar en un experimento para que sea equiprobable.

C

2

D

3

A

4

B

5

D

8

0,6

6

C

7

D

9

NO


Regla de Laplace (Páginas 246 y 247)


• Es muy importante que los alumnos identifiquen que el número de casos posibles corresponde a los resultados posibles del experimento y que el número de casos favorables corresponde al número de resultados posibles del suceso, que es un subconjunto del total de resultados posibles. • Aclarar a los alumnos que si la probabilidad de un suceso es 1 esto no quiere decir necesariamente 2 que el total de los casos son dos y los casos favorables es uno, sino que la fracción pudo ser simplificada. |

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• Es importante enfatizar en que la regla de Laplace solo es posible aplicar en experimentos equiprobables. Actividades complementarias Calcula lo que se pide en cada caso. 1. La probabilidad de sacar una bola roja de una urna es un 25% y en la urna existen además de las rojas 15 bolas azules. ¿Cuántas bolas hay en total? 2. En una urna existen existen bolas bolas rojas, azules azules y amarillas, llas, la probabilidad probabilidad de sacar una bola bola roja es 1 , la de 3 1 1 sacar bola azul es y la probabilidad de sacar bola amarilla es . ¿Cuántas bolas hay en total? 6 5 3. En una urna existen bolas rojas y azules, la cantidad de bolas rojas es la mitad de la cantidad de bolas azules y la probabilidad probabilidad de no sacar roja es 2 . ¿Cuántas bolas hay en total? 7 4. En una urna existen bolas rojas, amarillas y azules. Si la probabilidad de sacar roja es 0,32, la probabilidad de sacar azul es 0,51 y la de sacar amarilla es 0,17. ¿Cuántas bolas hay de cada tipo si en total son 500? Para cada caso indica cuáles son los casos favorables, los casos totales y la probabilidad de que ocurra el suceso. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

La probabilidad de sacar as en un mazo de cartas (52 cartas en total). La probabilidad de sacar mono. La probabilidad de no sacar picas. La probabilidad de sacar diamante. La probabilidad de sacar mono o as. La probabilidad de sacar un 7 de corazón. La probabilidad de sacar un 7 y que no sea de corazón.

Errores frecuentes o posibles dificultades

• Las posibles dificultades de este contenido es que los alumnos no logren encontrar el total de resultados posibles, como en este curso se verán sucesos simples solamente, es posible que los alumnos lo logren sin mayores dificultades, pero cuando se trata de sucesos complejos en donde para encontrar el total de resultados se necesita usar métodos de conteo, se complica la resolución. Un buen método para llegar al total de casos posibles es utilizar un diagrama de árbol, es recomendable trabajarlo con alumnos, pero este diagrama sirve solo para una cantidad limitada de resultados, por lo que es recomendable usar métodos de conteo para generalizar.


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Probabilidad a priori y priori y a posteriori (Páginas posteriori (Páginas 248 y 249)


• Es muy importante hacer notar que la probabilidad a priori es posible de calcular en experimentos equiprobables y en donde se puede determinar el total de resultados posibles y favorables. Para el resto de los experimentos, ya sea aquellos no equiprobables o donde no es posible calcular los resultados totales y favorables, podemos aplicar la probabilidad a posteriori a través de la frecuencia relativa. En la vida cotidiana esto tiene importancia, porque los sucesos a estudiar muy frecuentemente pertenecen a experimentos no equiprobables, o donde no es posible determinar el total de casos o incluso la cantidad de casos favorables. Actividades complementarias Alicia quiere tener tres hijos y desea que no sean del mismo sexo. Realiza lo siguiente: 1. Pinta los casilleros con las combinaciones de hijos que cumplirían el deseo de Alicia. 2. Cuenta los casos favorables y el total de casos posibles. 3. Calcula la probabilidad del deseo de Alicia.

H H M

H M M

H M H M H M H M

En una urna tenemos los números del 1 al 100. Calcular las siguientes probabilidades. 1. Que al sacar una bolita sea múltiplo de 3. 2. Que al sacar una bolita sea múltiplo de 5. 3. Que al sacar una bolita sea múltiplo de 6. En la urna tenemos números del 1 al 20. Sigue los pasos para calcular la probabilidad de que al sacar una bolita se obtenga un número que sea múltiplo de 2 y de 5. 1. 2. 3. 4.

Pinta los múltiplos de 2. Pinta los múltiplos de 5. ¿Cuáles se pintaron de ambos colores? Cuéntalos. Ahora calcula la probabilidad dividiendo los casos favorables por el total de bolitas.

|

137 |

1

2

4

20 3 5 11 14 9 18 6 19 13 10 17 7 15 12 16 8

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• En los ejercicios 1 y 3 es importante resaltar que es posible aplicar la regla de Laplace, porque previamente se verificó que todos los resultados del experimento son equiprobables. • En los casos 2 y 4 hacer hincapié en que no es posible calcular la probabilidad a priori porque no tenemos certeza de que los resultados posibles sean equiprobables, por lo tanto debemos usar la probabilidad a posteriori. Estrategias para resolver problemas (Páginas 252 y 253)


• De las principales estrategias de resolución de problemas, las más adecuadas para problemas de probabilidad son: organizar la información en una lista, hacer una tabla y hacer un diagrama.



• Es recomendable utilizar las preguntas de la síntesis, para resumir los contenidos trabajados en la unidad y hacer un repaso previo a la evaluación.


Actividades complementarias Responde. 1. La madre de Roberto lo deja coger un caramelo de una bolsa. Él no puede ver los caramelos. El número de caramelos de cada color que hay en la bolsa se muestra en el siguiente gráfico. ¿Cuál es la probabilidad de que Roberto coja un caramelo rojo? (PISA 2003) 8

A. 10% B. 20% C. 25% D. 50%

6 4 2 0


|

o j o R

138 |

a j n a r a N

o l l i r a m A

e d r e V

l u z A

o d a s o R

a t e l o i V

é f a C

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2. En este juego se utiliza una ruleta y una bolsa de canicas. Si la ruleta se para en un número par, entonces el jugador puede sacar una canica de una bolsa. Cuando se saca una canica negra se gana un premio. Daniela juega una vez. ¿Cuán probable es que Daniela gane un premio? A. Es imposible. B. No es muy probable. C. Tiene aproximadamente el 50% de probabilidad. D. Es muy probable. E. Es seguro.

1

4 10

2 6

8


Indicador

Expresar e interpretar probabilidades y sus elementos, a través de la frecuencia relativa, como un número entre 0 y 1, como fracción o porcentaje. Analizar diferentes situaciones aleatorias en las que los posibles resultados pueden ser considerados equiprobables. Reconocer y calcular la asignación de probabilidades mediante la regla de Laplace.

Nº de pregunta

Respuesta

1

B

2

D

6

B

4

C

5

D

7

C

Logrado con

2/3

3/4 12 3

A

8

E = {3, 2, p}

9

2 3 1 3

10 11

4/5

Ambas tienen probabilidad 0,16

|

139 |


• Realizar ejercicios donde los alumnos calculen probabilidades a través de la frecuencia relativa y la expresen como fracción, decimal y porcentaje. • Realizar ejercicios donde los alumnos den ejemplos de sucesos con probabilidad 1, 0 y valores entre. Realizar ejercicios donde los alumnos a través de la frecuencia relativa interpreten probabilidades y calculen casos totales o casos favorables.

• Realizar ejercicios donde los alumnos deban analizar si los experimentos son equiprobables o no e indiquen, en los casos que no, qué debiera suceder para que lo fueran. • Realizar ejercicios donde los alumnos deban dar ejemplos de experimentos equiprobables y no equiprobables. • Realizar ejercicios donde dados los resultados posibles deban calcular la probabilidad de ciertos sucesos, incluyendo sucesos compuestos. • Realizar ejercicios donde los alumnos deban decidir qué sucesos tienen mayor probabilidad que otros, siguiendo la regla de Laplace.

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NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Marca la alternativa correcta en las siguientes preguntas. 1. En el diario matutino apareció un reportaje acerca de un estudio sobre los terremotos, donde se concluía que cada 20 años, la probabilidad de que ocurra un terremoto es: 4 A. 3 : 2 C. 3 2 B. 1,5 D. 3 2. La siguiente tabla muestra la frecuencia de los distintos tipos de personas que entran en una farmacia en un día, según sexo y edad: Joven

Adulto

Anciano

Total

Hombre

13

36

4

53

Mujer

15

29

3

47

Total

28

65

7

100

3 100 15 B. 100

13 53 53 B. 100


C.

29 47

D. Ninguna de las anteriores.

5. En un estudio se concluyó que el 87% de las personas que dejaron el cigarrillo no murieron de cáncer de pulmón. Si del total de personas estudiadas murieron 4.225 de cáncer de pulmón, ¿cuál fue la cantidad total de personas encuestadas?

6. Determina cuál de los siguientes experimentos no es equiprobable:

28 100 15 D. 28

A. Lanzar una moneda y observar si sale cara o sello. B. Lanzar un dado y obtener un número par. C. Apostar a un jugador de lucha libre y ganar. D. Sacar una carta de un mazo y que sea de un corazón.

C.

3. De la tabla anterior, ¿cuál es la probabilidad de que una persona que entra a la farmacia sea hombre? A.

29 65 29 B. 100 A.

A. Falta información adicional. B. 3.675,75 personas. C. 4.225 personas. D. 32.500 personas.

¿Cuál es la probabilidad de que una persona que entra a la farmacia sea joven? A.

4. De la tabla del ejercicio 2, ¿cuál es la probabilidad de que una persona que entra a la farmacia sea una mujer adulta?

36 53 4 D. 53

7. Si saco una carta de un mazo, cuál de los siguientes sucesos son equiprobables:

C.

A. sacar un as o un corazón. B. sacar un rey o una picas. C. sacar un 7 o un as. D. sacar un mono o un as.

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8. En una urna existen bolitas de color rojo, azul y amarillo. Si la probabilidad de sacar rojo es 0,3, la probabilidad de sacar azul 0,4 y la probabilidad de sacar amarillo es 0,3, ¿cuántas bolitas azules hay en la urna si en total son 50 bolitas?

12. Al jugar en una ruleta dividida en 12, con los números del 1 al 12, se gana si el número obtenido es múltiplo de 4, ¿cuáles son los casos favorables? A. 4 B. 4, 8, 12 C. 1, 2, 4 D. Es un suceso imposible.

A. 20 B. 40 C. 15 D. 30 9. En una ruleta todos los resultados son equiprobables con probabilidad de ocurrencia 1 ¿Cuántos 21 . resultados posibles tiene la ruleta?

13. En el juego Scrabble, hay que sacar una letra de una bolsa, donde en total hay 100 letras de las cuales 42 son vocales. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una letra sea una consonante? A. 42% B. 50% C. 58% D. 68%

A. 100 B. 22 C. 21 D. No se puede determinar.

10. Se quiere realizar el siguiente experimento: tomar al azar a una persona y preguntarle si es casada o no, ¿cuáles son los posibles resultados del experimento? (H: hombre, M: mujer, C: casado, S: soltero)

14. Al jugar en una ruleta que está dividida en 20 partes iguales, donde la mitad de ellas son rojas, la cuarta parte son negras y el resto blancas, ¿a qué color le jugarías? A. A cualquiera todos son equiprobables. B. A negro. C. A rojo. D. A blanco.

A. H – M – C – S B. HC – HS – MC – MS C. HC – MS D. HS – MC

11. El nº de posibles resultados al lanzar dos monedas es:

15. En la misma ruleta anterior cada sector está enumerado del 1 al 20, empezando por el sector rojo, luego el negro y por último el blanco. ¿Cuál de las siguientes alternativas elegirías para apostar?

A. 4 B. 8 C. 12 D. 16

A. múltiplo de 2 negro. B. múltiplo de 5 rojo. C. múltiplo de 6 rojo. D. múltiplo de 2 blanco.

141

FINALES (142-144)6.0

14/9/09

11:50

Page 142

Solucionario Unidad 1: Números enteros 1.

C

10. A

2.

B

11. C

3.

A

12. A

4.

D

13. B

5.

D

14. A

6.

A

15. B

7.

B

16. D

8.

C

17. C

9.

B

18. B

Unidad 2: Potencias 1.

A

9. A

2.

C

10. D

3.

B

11. B

4.

A

12. C

5.

C

13. C

6.

D

14. B

7.

A

15. D

8.

B

16. A

Unidad 3: Transformaciones geométricas 1.

C

4.

D

2.

D

5.

C

3.

C

6.

D

Unidad 4: Proporcionalidad y porcentajes 1.

A

8. C

2.

A

9. A

3.

C

10. C

4.

A

11. D

5.

B

12. D

6.

C

13. A

7.

A


|

142

|

FINALES (142-144):Layout 1

28/1/09

12:25

Página 143

Unidad 5: Circunferencia, círculo y cuerpos geométricos 1.

B

8. C

2.

C

9. D

3.

D

10. B

4.

A

11. A

5.

A

12. A

6.

D

13. B

7.

C

Unidad 6: Estadística 1.

C

8. D

2.

C

9. D

3.

B

10. A

4.

A

11. C

5.

C

12. A

6.

B

13. B

7.

C

14. A

Unidad 7: Probabilidad 1.

D

9. C

2.

C

10. B

3.

B

11. A

4.

B

12. B

5.

D

13. C

6.

C

14. C

7.

C

15. D

8.

A

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143

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MATEMATICA 8

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