Mapas de Karnaugh 1. OBJETIVOS
El estudiante: Realizara el correcto manejo de los mapas m apas de karnaugh como una herramienta útil de la simplificación de circuitos que le permite solucionar problemas. Armara los circuitos solo utilizando Compuertas NOR o NAND
2. FUNDAMENTO TEORICO
Manejo de simplificaciones algebraicas algebraicas a través del método de mapas de karnaugh Aplicación en el diseño digital de la condición no importa (X) Implementación de circuitos con la Universalidad de Compuertas Lógicas NAND y NOR
3. MATERIALES, REACTIVOS Y EQUIPOS.
Circuito integrado 7400 NAND (según necesite para la práctica) Circuito integrado 7402 NOR (según necesite para la práctica) 2 Resistencia de 220 Ω.
1 Multímetro 1 Proto board 2 LED 4. PROCEDIMIENTO, DATOS Y CALCULOS Parte 4.1
Armar el circuito para la tabla de verdad, simplificando por mapas de karnaugh, kar naugh, Utilice solo Compuertas NAND para su implementación. A
B
C
F
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
0 1 1 0 0 0 1 1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
2
1 2
12
13
1 1
1
2
3 2
2
12
13
1 1
2
3 2
Parte 4.2
Arme del circuito del problema solo usando compuertas NOR. Las cuatro líneas que entran al circuito lógico combinacional que se ilustra en las figuras siguientes, llevan un dígito decimal codificado en binario. Es decir, los equivalentes binarios de los dígitos decimales 0-9 pueden aparecer en las líneas A B C D. El bit más Significativo es A. A
B
C
D
F
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
1 1 1 0 1 0 0 0 1 0
1
1
X
1
1
0
X
0
0
0
X
X
1
0
X
X
[ ] [ ]
[ ]
1 2
12
13
1 2
1 12
13
2
2 12
13
1 3
2 1 3
Las combinaciones de valores correspondientes a los equivalentes binarios de los números Decimales 10-15 nunca aparecerán en las líneas. La única salida Z del circuito debe ser 1 si y Sólo si las entradas representan un número que sea cero o una potencia de dos. 5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Conclusiones
El mapa de karnaugh de dos variables es el mas simple de manejar por lo tanto debe servir de base para el manejo de los mapas de karnaugh de mayor numero de variables. Los mapas de karnaugh de 3 y 4 variables son los mas comunes y usados para la proposicion de ejercicios de simplificacion y la practica para llegar a las formas canonicas. Los mapas de karnaugh en los sistemas digitales se utilizan en la logica de los displays de 7 segmentos los cuales son empleados desde instrumentos para automoviles hasta los medidores de impedancia.
Recomendaciones n
Un mapar de karnaugh que presente “ n ” variables de entrada tendran 2
cuadrados, que son las combinaciones posibles a ejecutarse por el algebra de boole. Un bloque esta asociado a un producto que contiene las n variables, pudiendo estas estar o no complementadas, es decir A’*A ó A+1.
Los mapas de karnaugh son recomendables aplicarlos para menos de 6 variables, ya que a mas variables resulta dificil manejarlos y existen otros metodos mas exactos para su desarrollo.
6. CUESTIONARIO
1. Explique cómo se tendría que hacer una simplificación mediante mapas karnaugh una expresión de 5 variables? R. Sea f una función de 5 variables: f(A, B, C, D, E), para elaborar el mapa de karnaugh tendremos 25 = 32 combinaciones. Se debe notar que ahora una casilla, además de ser adyacente en forma horizontal o vertical, es adyacente a la casilla que ocupa la misma posición en el cuadrado cercano. 2. Cuando se agrupa se realiza uniones entre unos, estas agrupaciones se las puede realizar de diferente forma ¿darán el mismo resultado? R. Si se las puede agrupar de diferente manera ya sea con el NO IMPORTA , igual debe de dar el mismo resultado. 3. Si no se toma en cuenta las condiciones No Importa (x), el resultado obtenido es más simplificado? R. Si, porque al tomar el NO IMPORTA obtenemos mas variables, pero a la hora de hacer el circuito tiene que salir la misma función.
7. BIBLIOGRAFIA
http://serdis.dis.ulpgc.es/~itis-sd/Transparencias0607/Tema09.pdf http://www.academia.edu/7674575/MAPAS_DE_KARNAUGH_PARA_5_Y_6_VARIABLES http://www.unicrom.com/Dig_mapa-karnaugh.asp http://es.wikipedia.org/wiki/Mapa_de_Karnaugh http://www.dma.fi.upm.es/java/matematicadiscreta/karnaugh/metodokar.htm
8. TRABAJO DE INVESTIGACION
Mapas de Karnaugh Metodología
Vamos a indicar cada uno de los pasos para obtener la expresión MSP (mínima suma de productos). Para ello vamos a ilustrarlo con el ejemplo:
F(x, y, z) = x’ y’ z’ + x’ y’ z + x’ y z’+ x y’ z’+ x y z’
Los pasos a seguir para conseguir reducir esta expresión son: 1. Convertir la expresión a una suma de productos si es necesario. Esto se puede realizar de
varias maneras: § Algebraicamente. § Construyendo una tabla de verdad, trasladando los valores al mapa de Karnaugh. Esta es la forma que vamos a utilizar.
X
Y
Z
Resultado
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
2. Cubrir todos los unos del mapa mediante rectángulos de 2 elementos, donde N = 0 ... número de variables. Ninguno de esos rectángulos debe N
contener ningún cero (tal y como indicábamos en el apartado anterior). § Para minimizar el número de términos resultantes se hará el mínimo número posible de rectángulos que cubran todos los unos. § Para minimizar el número de variables se hará cada rectángulo tan grande como sea posible.
Véase que en este caso se ha unido la columna izquierda con la derecha para formar un único rectángulo. 3. Encontrar la MSP (suma de productos minimal). Ojo porque podemos encontrarnos con que
puede haber más de una MSP. § Cada rectángulo pertenece a un término producto. § Cada término se define encontrando las variables que hay en común en tal rectángulo. En nuestro ejemplo tenemos F(X, Y, Z) = Z’ + X’Y’ nótese que las variables resultado son las que tienen un valor común en cada rectángulo.
Rectángulos y productos.
Cada rectángulo representa un término. El tamaño del rectángulo y el del término resultante son inversamente, es decir que, cuanto más largo sea el rectángulo menor será el tamaño del término final. En general, si tenemos una función con n variables : § Un rectángulo que ocupa una celda equivale a un término con n variables. § Un rectángulo que ocupa dos celdas equivale a un término con n-1 variables. § Un rectángulo que ocupa 2n celdas equivale al término de valor 1. Por lo tanto, para encontrar el MSP se debe: § Minimizar el número de rectángulos que se hacen en el mapa de Karnaugh, para minimizar el número de términos resultantes. § Maximizar el tamaño de cada rectángulo, para minimizar el número de variables de cada término resultante.
Agrupación de rectángulos.
Cuando tenemos distintas posibilidades de agrupar rectángulos hay que seguir ciertos criterios: 1. Localiza todos los rectángulos más grandes posibles, agrupando todos los unos. Estos se llamarán implicantes primos. 2. Si alguno de los rectángulos anteriores contiene algún uno que no aparece en ningún otro rectángulo entonces es un implicante primo esencial. Éstos han de aparecer en el resultado final de manera obligatoria. El resto de implicantes primos se podrán combinar para obtener distintas soluciones.
Véase este ejemplo que ilustra lo que les planteamos. Aquí los implicantes primos son cada uno de los diferentes rectángulos obtenidos. Los primos implicantes esenciales son el rectángulo rojo y el verde, por contener unos que no son cubiertos por otros rectángulos. Así todas las posibles soluciones han de contener estos dos implicantes. Solución: F( X, Y, Z, T ) = X’Y’ + XYT’ + XZT
