BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Pengujian Mann-Whitney dipakai apabila karakteristik kelompok item yang menjadi sumber sampelnya tidak diketahui. Metode ini diterapkan terhadap data yang diukur dengan skala ordinal dan dalam kasus tertentu, dengan skala nominal. Pengujian nonparametrik bermanfaat untuk digunakan apabila sampelnya kecil dan lebih mudah dihitung dari pada metode parametrik. Dengan prosedur uji tanda dan prosedur uji peringkat bertanda Wilcoxon, pasangan data yang diambil dari satu sampel atau dua sampel yang saling terkait dapat dianalisis guna melihat perbedaan yang signifikan. Namun, jika kita ingin menguji hipotesis nol yang menyatakan bahwa tidak ada perbedaan yang sesungguhnya antara kedua kelompok data dan data diambil dari dua sampel yang bersifat independen atau tidak saling terkait, kita dapat melakukan pengujian Mann-Whitney. 1.2 Rumusan Masalah a. Apakah pengertian dari uji statistis non parametric Mann Whitney? b. Apa syarat suatu data uji dengan Uji Mann Whitney? c. Bagaimana prosedur pengujian manual menggunakan Uji Mann Whitney?
1.3 Tujuan a. Untuk mengetahui pengertian dari uji statistis non parametrik Mann Whitney. b. Untuk mengetahui syarat suatu data si uji dengan Uji Mann Whitney. c. Untuk mengetahui prosedur pengujian manual menggunakan Uji Mann Whitney.
BAB II PEMBAHASAN
UJI MANN WHITNEY 2. 1. Pengertian Uji Mann Whitney Uji Mann-Whitney atau lebih dikenal dengan u-test (juga disebut Mann– Whitney–Wilcoxon (MWW), Wilcoxon rank-sum test, or Wilcoxon–Mann– Whitney test). Uji ini dikembangkan oleh H.B Mann dan D.R. Whitney dalam tahun 1947. Uji Mann-Whitney ini digunakan sebagai alternatif lain dari uji T parametrik bila anggapan yang diperlukan bagi uji T tidak dijumpai. Tehnik ini dipakai untuk mengetest signifikansi perbedaan antara dua populasi, dengan menggunakan sampel random yang ditarik dari populasi yang sama. Test ini berfungsi
sebagai
alternatif
penggunaan
uji-t
bilamana
persyaratan-
persyaratan parametriknya tidk terpenuhi, dan bila datanya berskala ordinal. uji ini berbeda dengan uji wilocoxon karena uji wilcoxon untuk dua sampel yang berpasangan. sedangkan mann whitney khusus untuk dua sampel yang independent. 2.2. Persyaratan 1. 2. 3. 4.
Data berskala ordinal, interval atau rasio. Terdiri dari 2 kelompok yang independent atau saling bebas. Data kelompok I dan kelompok II tidak harus sama banyaknya Data tidak harus berdistribusi normal, sehingga tidak perlu uji normalitas
2.3. Prosedur pengujian dapat dilakukan sebagai berikut : 1. Susun kedua hasil Pengamatan menjadi satu kelompok sampel 2. Hitung jenjang/ rangking untuk tiap – tiap nilai dalam sampel gabungan 3. Jenjang atau rangking diberikan mulai dari nilai terkecil sampai terbesar 4. Nilai beda sama diberi jenjang rata –rata 5. Selanjutnya jumlahkan nilai jenjang untuk masing-masing sampel. 6. Hitung Nilai statistik uji U. Ada dua macam tehnik U-test ini, yaitu U-test untuk sampel-sampel kecil dimana n ≤ 20 dan U-test sampel besar bila n > 20. Oleh karena pada sampel besar bila n > 20, maka distribusi sampling U-nya mendekati distribusi normal,
maka test signifikansi untuk uji hipotesis nihilnya disarankan menggunakan harga kritik Z pada tabel probabilitas normal. Sedangkan test signifikansi untuk sampel kecil digunakan harga kritik U . Adapun formula rumus Mann-Whitney Test. Berikut statistik uji yang digunakan dalam uji mann whitney: Untuk sampel kecil (n1 atau n2 ≤ 20) Untuk sampel kecil dimana n1 atau n2 ≤ 20. maka digunakan rumus umum dari uji mann whitney. berikut statistik uji yang digunakan untuk sampel kecil. U1
=
n1
.
n2
-
U2
U2
=
n1
.
n2
-
U1
Bisa menggunakan salah satu dari rumus di atas. Untuk mencari nilai U2
U1
dan
seperti berikut. U1
U2
=
n1
=
n1
.
n2
.
n2
+
n2 (n2 +1) 2
-
∑ R2
+
n1 (n1 +1) 2
-
∑ R1
Keterangan: U1
= Statistik uji
U1
U2
= Statistik uji
U2
R1 = jumlah rank sampel 1 R2 = jumlah rank sampel 2 n1 = banyaknya anggota sampel 1 n2 = banyaknya anggota sampel 2
Setelah mendapatkan nilai statistik uji
U1
dan
U2
. kemudian mengambil
nilai terkecil dari kedua nilai tersebut. Nilai terkecil yang diperoleh kemudian dibandingkan dengan tabel mann whitney. Dengan kriteria Pengambilan keputusan : H0 diterima bila U hitung ≥ U tabel H0 ditolak bila U hitung Utabel Untuk sampel besar (n1 atau n2 >20) Berbeda dengan kasus jumlah sampel kecil, jumlah sampel besar menggunakan statistik uji z karena jumlah sampel yang besar yaitu > 20 setiap sampel. Cara ini tidak membutuhkan tabel mann whitney tapi menggunakan tabel z yang mungkin lebih populer. Caranya hampir sama untuk sampel kecil yaitu mencari U1 dan U2. kemudian ada langkah tambahan untuk menentukan statistik uji z. Nantinya akan digunakan untuk membandingkan dengan tabel z. Berikut rumus yang digunakan. n1 . n2 2 n1 .n 2 .(n 1+ n2+ 1) 12 U−
Z=
√
Rumus diatas digunakan apabila ada rangking yang berbeda. Sedangkan untuk ada rangking yang sama menggunakan rumus seperti berikut.
U− Z=
√(
n1 . n2 2
3 n1 . n2 t 3i −t i ( n1+ n2 ) −( n1+ n2 ) −∑ 12 12 ( n1+ n2 ) .(n1 +n2 −1)
)(
Kriteria penerimaan Ho sebagai berikut : Jika ZH ≤ Zα, maka Ho diterima Jika ZH > Zα, maka Ho ditolak
)
BAB IV CONTOH KASUS DAN PEMBAHASAN
4. 1. Contoh Kasus Untuk Sampel Kecil (n ≤ 20) Misalnya Tim Statistik Ceria penasaran ingin mengetahui apakah denyut nadi pria lebih banyak dibandingkan denyut nadi wanita. kemudian dilakukan penarikan sampel untuk pria dan wanita dengan melihat denyut nadi masingmasing dengan tingkat signifikansi 5%. Berikut hasil perhitungan masing-masing denyut nadi. Denyut Nadi Pria Denyut Nadi Wanita 90 79 89 82 82 85 89 88 91 85 86 80 85 80 86 84 Pembahasan Untuk Sampel Kecil (n ≤ 20) i.
Pemilihan Metode Dari kasus di atas yang pertama kita lihat yaitu tujuannya. Dari tujuannya yaitu ada perbedaan antara denyut nadi pria dan wanita. dari tujuan itu ada tiga hal yang ditangkap yaitu analisis yang digunakan yaitu uji perbandingan dan sampel yang digunakan ada dua kelompok serta antar kelompok tersebut merupakan kelompk yang saling bebas atau independent. Bisa disimpulkan menggunakan uji beda dua rata-rata independent. Sampai Tahap diatas masih berupa jenis metode yang digunakan yang tentunya masih umum. Sekarang kita menentukan metode yang digunakan.
langkah selanjutnya melihat skala data yang digunakan. Skala data ada 4 yaitu nominal, ordinal, interval dan rasio. Untuk uji Mann Whitney minimal ordinal. artinya ordinal, interval dan rasio bisa digunakan untuk uji mann whitney. jika menggunakan data ordinal langsung pakai Mann Whitney. Sedangkan apabila menggukan data interval dan rasio harus diuji dulu apakah normal atau tidak. Jika setelah diuji datanya normal menggunakan metode uji t beda dua rata-rata independent (parametrik). Sedangkan apabila tidak normal menggunakan Mann Whitney (non parametrik). Kembali ke contoh kasus. Dari tujuannya kita menggunakan analisis pebandingan dua rata-rata independent. kemudian dari data yang digunakan yaitu interval. sehingga perlu uji normalitas terlebih dahulu untuk menentukan apakah menggunakan mann whitney atau uji t beda dua ratarata independent. Dalam contoh ini kita anggap saja datanya tidak berdistribusi normal. Sehingga disini kita menggunakan uji Mann-Whitney. ii.
Hipotesis: H 0 : Denyut nadi pria lebih sedikit atau sama dengan denyut nadi wanita H 1 : Denyut nadi pria lebih banyak dibandingkan dengan denyut nadi wanita
iii. iv.
Taraf Signifikansi α = 5% = 0,05 Susun kedua hasil Pengamatan menjadi satu kelompok sampel dan buat peringkat seperti berikut Denyut Nadi 79 80 80 82 82 84 85 85 85 86 86 88 89
Rangking 1 2,5 2,5 4,5 4,5 6 8 8 8 10,5 10,5 12 13,5
Jenis Kelamin Wanita Wanita Wanita Pria Wanita Pria Pria Wanita Wanita Pria Pria Wanita Pria
89 90 91
13,5 15 16
Pria Pria Pria
Selanjutnya jumlahkan nilai jenjang untuk masing-masing sampel Denyut Nadi Pria 90 89 82 89 91 86 85 86 84 Jumlah Rangking v.
Rangking 15 13,5 4,5 13,5 16 10,5 8 10,5 6 97,5
Hitung Nilai statistik uji U Setelah melalu langkah-langkah
Denyut Nadi Wanita 79 82 85 88 85 80 80
Rangking 1 4,5 8 12 8 2,5 2,5 38,5
diatas.
Sekarang
saatnya
menghitung statistik uji U. Pertama yaitu dengan menghitung
untuk U1
.
Berikut perhitungannya. U1
U1
=
n1
=
9 . 7 +
.
n2
Sedangkan untuk menghitung U2
=
n1
.
n2
-
n2 (n2 +1) 2
+
7 (7+1) 2 U2
-
∑ R2
- 38,5 = 52,5
. Bisa dengan menggunakan rumus.
U1
U 2 = 9.7 - 52,5 U 2 = 10,5 Kemudian dari kedua nilai tersebut diambil nilai terkecil yaitu 10,5 yang digunakan untuk membandingkan dengan tabel Mann Whitney. Cara membaca tabel mann whitney:
Pertama tentukan jumlah setiap sampel. Misalnya dalam contoh n1
diatas yaitu
=9 dan
n2
= 7. Kemudian tentukan nilai titik kritis (α).
dalam contoh ini menggunakan 0,05. Kemudian dihubungkan kolom dan baris
n2
n1
. dan lihat titik kritis (α) yang digunakan yaitu 0,05. Hasilny
yaitu 12. vi. vii.
Kriteria Keputusan H0 diterima bila U hitung ≥ U tabel H0 ditolak bila U hitung Utabel Kesimpulan Oleh karena nilai U statistik uji lebih kecil dari nilai U tabel Mann Whitney yaitu 10,5 < 12. Sehingga Keputusan
H0
diterima. Sehingga bisa disimpulkan denyut nadi pria
ditolak,
H1
lebih banyak
dibandingkan dengan denyut nadi wanita. 4.2. Contoh Kasus untuk Sampel Besar (n > 20) Tim Statistik Ceria sedang mendapatkan kasus dalam penelitian mengenai kepadatan hunian rumah antara di daerah nelayan dengan daerah pertanian, Tim menggunakan α = 0,05. Tim penasaran apakah ada perbedaan kepadatan hunian rumah antara daerah nelayan dengan daerah pertanian. didapatkan data seperti pada tabel di bawah. Disini sudah diranking caranya sama dengan contoh di atas. Keadatan Rumah Nelayan 4,25 3,1 3,25 3,05 2,41 2,15 2,25 3,52 2,03 1,85 4,19 2,86 4,02
Rank 37 21 25 19 10 6 7 31 5 2 36 15 34
Keadatan Rumah Pertanian 1,75 2,35 3,22 3,4 2,67 4,01 1,9 2,48 3,33 3,26 2,89 3,35 2,87
Rank 1 8 23 29 13 33 3 11 27 26 17 28 16
3,83 1,92
32 4
Jumlah Rank
284
2,55 3,46 3,02 3,23 4,05 3,21 3,09 2,83 2,36
12 30 18 24 35 2 20 14 9 419
Pembahasan Untuk Sampel Besar (n > 20) i.
Pemilihan Metode Dari kasus di atas yang pertama kita lihat yaitu tujuannya. Dari tujuannya yaitu ada perbedaan antara kepadatan rumah nelayan dengan petani. dari tujuan itu ada tiga hal yang ditangkap yaitu analisis yang digunakan yaitu uji perbandingan dan sampel yang digunakan ada dua kelompok serta antar kelompok tersebut merupakan kelompk yang saling bebas atau independent. Bisa disimpulkan menggunakan uji beda dua rata-rata independent. pemikirannya sama dengan cara di atas. Sampai Tahap diatas masih berupa jenis metode yang digunakan yang tentunya masih umum. Sekarang kita menentukan metode yang digunakan. langkah selanjutnya melihat skala data yang digunakan. Skala data ada 4 yaitu nominal, ordinal, interval dan rasio. Untuk uji mann whitney minimal ordinal. Artinya ordinal, interval dan rasio bisa digunakan untuk uji mann whitney. Jika menggunakan data ordinal langsung pakai mann whitney. Sedangkan apabila menggukan data interval dan rasio harus diuji dulu apakah normal atau tidak. Jika setelah diuji datanya normal menggunakan metode uji t beda dua rata-rata independent (parametrik). sedangkan apabila tidak normal menggunakan mann whitney (non parametrik). Kembali ke contoh kasus. Dari tujuannya kita menggunakan analisis pebandingan dua rata-rata independent. kemudian dari data yang digunakan yaitu interval. sehingga perlu uji normalitas terlebih dahulu untuk menentukan apakah menggunakan mann whitney atau uji t beda dua ratarata independent. Dalam contoh ini kita anggap saja datanya tidak
ii.
berdistribusi normal. Sehingga disini kita menggunakan uji Mann-Whitney. Hipotesis:
H 0 : Kepadatan rumah nelayan dan rumah petani sama H 1 : Terdapat perbedaan kepadatan rumah nelayan dengan rumah petani iii.
Taraf Signifikansi 5 α = 2 = 2,5% = 0,025
iv.
Hitung Nilai statistik uji U Sebelum melakukan perhitungan staistik uji. lakukan tahap seperti pada contoh sebelumnya yaitu mengurutkan data kemduian buat rank lalu dijumlahkan sehingga hasilnya seperti pada tabel di atas. Kemudian langsung ke perhitungannya saja. Pertama mencari =
n1
U1
=
15 . 22 +
.
n2
n2 (n2 +1) 2
U1
+
Kedua untuk menghitung U2
=
n1
.
n2
-
22(22+1) 2 U2
-
U1
.
∑ R2 - 419
= 164
. Bisa dengan menggunakan rumus.
U1
U 2 = 15.22 - 164 U 2 = 166 Berbeda dengan sampel kecil. untuk sampel besar menggunakan tabel Z sehingga perlu mencari nilai z dari nilai U yang telah diperoleh. n1 . n2 2 n1 .n 2 .(n 1+ n2+ 1) 12 U−
Z=
√
15.22 2 15.22.(15+ 22+ 1) 12 164−
Z=
√
= -0, 0309
Sedangkan apabila kita memasukkan nilai kebalikan dari nilai
U1
U2
maka hasilnya yaitu
yaitu +0,0309. Jadi tidak perlu dihitunga lagi.
Kemudian yang diambil yaitu yang positif sehingga yang dibandingkan nanti yaitu 0,0309. Setelah memperoleh nilai Z maka langkah terakhir yaitu mencari nilai tabel Z. Nilai tabel pada tabel Z, Uji dua arah dengan α = 2,5%, yaitu 1, 96. v. vi.
Kriteria Keputusan Jika ZH < Zα, maka Ho diterima Jika ZH > Zα, maka Ho ditolak Kesimpulan Oleh karena nilai statistik uji z lebih kecil dari nilai tabel Z yaitu 0,0309 < 1,96. Sehingga Keputusan H0 diterima, H1 ditolak. Sehingga bisa disimpulkan tidak ada perbedaan kepadatan rumah nelayan dan petani.
SOAL LATIHAN 1. Untuk memeningkatkan produktivitas sekelompok petani diberi bantuan subsidi oleh pemerintah. Sesudah beberapa tahun ingin diketahui apakah produktivitas pada petani yang diberi bantuan lebih baik dari petani yang tidak mendapat batuan pemerintah dengan taraf signifikansi α = 5%. Berikut ini diberikan data nilai produktivitas yang diperoleh dari dua kelompok petani tersebut : Tabel Produktivitas Petani Yang mendapat Bantuan Dari Pemerintah dan yang tidak mendapat bantuan Petani Yang tidak mendapat
Petani Yang Mendapat
bantuan
bantuan
No. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Nilai Produktivitas 60 70 70 50 60 60 70 70
No . 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Nilai produktivitas 70 70 80 60 80 90 70 60
Penyelesaian: Hipotesis: H 0 : Produktivitas pada petani yang diberi bantuan kurang baik atau sama dengan petani yang tidak mendapat batuan pemerintah H 1 : Produktivitas pada petani yang diberi bantuan lebih baik dari petani yang tidak mendapat batuan pemerintah Taraf Signifikansi α = 5% = 0,05.
Uji Statistik Petani yang tidak
Petani yang mendapat
mendapat bantuan No. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
bantuan
Ranking
Nilai
No
Nilai
Produktivitas 60 70 70 50 60 60 70 70
. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
produktivitas 70 70 80 60 80 90 70 60
U1
=
n1
U1
=
8 .8+
.
n2
4 10 10 1 4 4 10 10 53
+
n2 (n2 +1) 2
8(8+1) 2
-
Ranking
10 10 14,5 4 14,5 16 10 4 83
∑ R2
- 83 = 17
Sedangkan untuk menghitung
U2
. Bisa dengan menggunakan
rumus. U2
=
n1
.
n2
-
U1
U 2 = 8.8 - 17 U 2 = 47 Kemudian dari kedua nilai tersebut diambil nilai terkecil yaitu 17 yang digunakan untuk membandingkan dengan tabel Mann Whitney. Cara membaca tabel mann whitney: Pertama tentukan jumlah setiap sampel. Misalnya dalam contoh diatas yaitu
n1
=8 dan
n2
= 8. Kemudian tentukan nilai titik kritis
(α). dalam contoh ini menggunakan 0,05. Kemudian dihubungkan kolom
n1
dan baris
n2
. dan lihat titik kritis (α) yang digunakan
yaitu 0,05. Hasilny yaitu 13. Kriteria Keputusan H0 diterima bila U hitung ≥ U tabel H0 ditolak bila U hitung Utabel Kesimpulan Oleh karena nilai U statistik uji lebih besar dari nilai U tabel Mann Whitney yaitu 17 > 13. Sehingga Keputusan
H0
diterima,
H1
ditolak. Sehingga bisa disimpulkan produktivitas pada petani yang diberi bantuan kurang baik atau sama dengan petani yang tidak mendapat batuan pemerintah. 2. Dilakukan penelitian untuk mengetahui apakah kualitas manajemen antara bank yang dianggap favorit oleh masyarakat lebih baik dibandingkan bank yang tidak favorit. Penelitian menggunakan sampel 12 Bank yang dianggap tidak favorit dan 15 Bank yang dianggap favorit. Selanjutnya kedua kelompok Bank tersebut diukur kualitas manajemennya dengan mengunakan sebuah instrument, yang terdiri beberapa buti pertanyaan. Skor penilaian tertinggi 40 dan terendah 0. Peneliti menggunakan α = 0,05. Bank Favorit 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Nilai kualitas 17 18 21 19 26 24 27 24 24 17 26 16
Bank Tidak Favorit 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Nilai kualitas 19 26 27 28 21 23 21 24 25 29 26 26 29 19
15
25
Penyelesaian: Hipotesis: H 0 : Produktivitas pada petani yang diberi bantuan kurang baik atau sama dengan petani yang tidak mendapat batuan pemerintah H 1 : Produktivitas pada petani yang diberi bantuan lebih baik dari petani yang tidak mendapat batuan pemerintah Taraf Signifikansi α = 5% = 0,05. Uji Statistik Bank
Nilai
Favorit 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
kualitas 17 18 21 19 26 24 27 24 24 17 26 16
Jumlah
Bank Tidak Favorit 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2,5 4 7 6 20 13,5 23,5 13,5 13,5 2,5 20 1
127
Pertama mencari =
n1
n2
U1
=
12 . 15 +
+
n2 (n2 +1) 2 15 (15+1) 2
-
Nilai
kualitas 19 26 27 28 21 23 21 24 25 29 26 26 29 19 25 Jumlah
U1
U1
.
Ranking
∑ R2 - 245 = 55
Ranking 6 20 23,5 25 7 11 7 13,5 16,5 26,5 20 20 26,5 6 16,5 245
Kedua untuk menghitung U2
=
n1
.
n2
-
U2
. Bisa dengan menggunakan rumus.
U1
U 2 = 12.15 - 55 U 2 = 125 Berbeda dengan sampel kecil. untuk sampel besar menggunakan tabel Z sehingga perlu mencari nilai z dari nilai U yang telah diperoleh. n1 . n2 2 n1 .n 2 .(n 1+ n2+ 1) 12 U−
Z=
√
√
12. 15 2 12. 15.(12+15+1) 12
= - 1, 71
√
12. 15 2 12. 15.(12+15+1) 12
= 1, 71
55−
Z1 =
125−
Z2 =
Kemudian yang diambil yaitu yang positif sehingga yang dibandingkan nanti yaitu 1,71. Setelah memperoleh nilai Z maka langkah terakhir yaitu mencari nilai tabel Z. Nilai tabel pada tabel Z, Uji satu arah dengan α = 5%, yaitu 1,65. Kriteria Keputusan Jika ZH < Zα, maka Ho diterima Jika ZH > Zα, maka Ho ditolak Kesimpulan Oleh karena nilai statistik uji z lebih kecil dari nilai tabel Z yaitu 1,71 < 1,96. Sehingga Keputusan H0 diterima, H1 ditolak. Sehingga bisa disimpulkan produktivitas pada petani yang diberi bantuan kurang baik atau sama dengan petani yang tidak mendapat batuan pemerintah.
BAB V SIMPULAN 5.1. SIMPULAN Uji Mann Whitney dipakai untuk mengetest signifikansi perbedaan antara dua populasi, dengan menggunakan sampel random yang ditarik dari populasi yang sama. Test ini berfungsi sebagai alternatif penggunaan uji-t bilamana persyaratan-persyaratan berskala ordinal.
parametriknya
tidk
terpenuhi,
dan
bila datanya
DAFTAR PUSTAKA Setiawan, Nasrul. 2014. Uji Mann Whitney. Diakses pada tanggal 20 Februari 2016
dari
http://statistikceria.blogspot.co.id/2014/06/uji-mann-
whitney.html. Arini. 2011. Uji Mann Whitney. Diakses pada tanggal 20 Februari 2016 dari http://arini2992.blogspot.co.id/2011/11/uji-mann-whitney-kasus-duasampel.html.
