Makalah Statistika Non Parametrik
“Pengujian Hipotesis Komperatif 2 sampel Independen” ( UJI Mann-Whitney )
Oleh :
Kelompok 10 ELSA RESA SARI ( H121 15 309 ) PUJI PUSPA SARI ( H121 15 701 ) SARINA ( H121 15 311 )
PROGRAM STUDI STATISTIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HASANUDDIN
MAKASSAR 2017
KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmatNYA sehingga makalah ini dapat tersusun hingga selesai . Tidak lupa kami juga mengucapkan banyak terimakasih atas bantuan dari pihak yang telah berkontribusi dengan memberikan sumbangan baik materi maupun pikirannya. Penulis sangat bersyukur karena telah menyelesaikan makalah yang menjadi tugas Statistika Non-Parametrik dengan judul "Uji Mann Whitney (UTest) " . Disamping itu, kami mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu kami selama pembuatan makalah ini berlangsung sehingga terealisasikanlah makalah ini. Karena keterbatasan pengetahuan maupun pengalaman kami, Kami yakin masih banyak kekurangan dalam makalah ini, Oleh karena itu kami sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca demi kesempurnaan makalah ini.
Makassar, 03 Maret 2017
Penyusun
1
DAFTAR ISI Halaman judul Kata Pengantar…………………………………………………………….............i Daftar Isi……………………………………………………………………..........ii BAB I
PENDAHULUAN.....................................................................................6
I.1
Latar Belakang..........................................................................................6
I.2
Rumusan Masalah.....................................................................................6
I.3
Tujuan........................................................................................................6
BAB II PEMBAHASAN.......................................................................................7 II.1
Pengertian uji Mann-Whitney...................................................................7
II.2
Pengujian Mann-Whitney..........................................................................7
II.3
Prosedur Uji...............................................................................................8
II.4
Contoh Kasus..........................................................................................10
BAB III PENUTUP...............................................................................................20 III.1 Kesimpulan..............................................................................................20 III.2 Saran........................................................................................................20 Daftar
Pustaka
………………………………………………………………........21
2
BAB I PENDAHULUAN I.1
Latar Belakang Salah satu tujuan digunakannya suatu analisis statistika adalah membuat
kesimpulan tentang satu atau beberapa karakteristik tertentu dari satu atau beberapa populasi, baik dengan cara penaksiran ataupun pengujian hipotesis mengenai karakteristik tersebut. Salah satu analisis statistika tersebut adalah pengujian kesamaan dua rata-rata dari dua populasi yang saling bebas, yang sering disebut sebagai masalah dua sampel saling bebas. Dalam pengujian untuk masalah dua sampel saling bebas tersebut, masing-masing sampel harus diambil secara acak dari populasinya dan setiap pengamatan harus saling bebas satu sama lain (Setiawan Danang dan Mutaqin, 2008:119). Hogg
dan
Craig
(Setiawan
Danang
dan
Mutaqin,
2008:119)
mengemukakan suatu metode untuk masalah dua sampel saling bebas jika datanya tidak berdistribusi normal. Metode tersebut dikenal sebagai uji Mann-Whitney. Kelemahan uji Mann-Whitney adalah analisisnya tidak berdasarkan pada nilai datanya langsung tetapi pada peringkat dari datanya. Jika analisisnya didasarkan pada peringkat dari datanya bukan dari nilai datanya langsung, maka ada informasi yang dikandung oleh data yang tidak dilibatkan dalam analisis.
I.2
Rumusan Masalah
1.
Apa yang dimaksud dengan uji Mann-Whitney?
2.
Bagaimana cara menganalisis data dengan uji Mann-Whitney ?
I.3
Tujuan
1. Mengetahui pengertian uji Mann-Whitney 2. Mengetahui cara analisis data uji Mann-Whitney
1
BAB II PEMBAHASAN II.1 Pengertian uji Mann-Whitney Uji rank Mann-Whitney adalah salah satu bentuk pengujian dalam analisis statistika non parametrik (Sofia Teti, 2007: 55). Metode Statistik nonparametrik dipakai apabila peneliti tidak mengetahui karakteristik kelompok item yang menjadi sumber sampelnya. Metode ini dapat diterapkan terhadap data yang diukur dengan skala ordinal dan dalam kasus tertentu, dengan skala nominal. Pengujian non parametrik bermanfaat untuk digunakan apabila sampelnya kecil dan lebih mudah dihitung dari pada metode parametrik. Metode nonparametrik juga digunakan secara luas guna mengenalisis data di bidang ilmu sosial (Supranto dalam Sriwidadi Teguh, 2011: 752). Dalam kelompok uji dua sampel independen, uji Mann-Whitney adalah uji terkuat yang digunakan sebagai alternatif uji parametrik T test. Uji test MannWhitney ini digunakan untuk menguji hipotesis komparatif dua sampel independen bila datanya berbentuk ordinal. Bila dalam suatu pengamatan data berbentuk interval dapat menggunakan t-test untuk pengujiannya, tetapi bila asumsi t-test tidak dipenuhi (misalnya data harus normal), maka test ini dapat digunakan (Purnamasari Fiky dkk., 2013: 20).
II.2 Pengujian Mann-Whitney Sriwidadi Teguh (2011: 758) dalam
pengujian hipotesis nol yang
menyatakan bahwa tidak ada perbedaan yang sesungguhnya antara kedua kelompok data dan dimana data tersebut diambil dari sampel yang tidak saling terkait, kita dapat melakukan pengujian Mann-Whitney. Pengujian ini disebut juga pengujian U, karena untuk menguji hipotesis nol, kasus dihitung menggunakan angka statistik yang disebut U.
2
Terdapat dua rumus yang digunakan untuk pengujian. Kedua rumus tersebut digunakan dalam perhitungan, karena akan digunakan untuk mengetahui harga U mana yang lebih kecil. Harga U yang lebih kecil tersebut digunakan untuk pengujian dan membandingkan dengan U tabel. Adapun kedua rumus tersebut yaitu :
U1 = n1.n2 +
n1( n1+1) 2
– R1
Atau
U2 = n1.n2 +
n2(n 2+1) 2
– R2
Dimana : n1 : jumlah sampel 1 n2 : jumlah sampel 2 U1 : jumlah peringkat 1 U2 : jumlah peringkat 2 R1 : jumlah rangking pada sampel n1 R2 : jumlah rangking pada sampel n2
II.3 Prosedur Uji Adapun langkah-langkah yang digunakan dalam melakukan pengujian menggunakan uji Mann Whitney adalah 1. Penetapan Hipotesa Hipotesis merupakan langkah pertama yang harus ditentukan. Hipotesis nol
untuk uji tanda biasanya menyatakan bahwa tidak ada
perbedaan, sedang hipotesis alternatif menyatakan adanya perbedaan a. H0: μ1 = μ2,
H1: μ1 ≠ μ2
3
b. H0: μ1 = μ2,
H1: μ1 < μ2,
c. H0: μ1 = μ2,
H1: μ1 > μ2,
2. Tetapkan level signifikansi (Taraf Nyata) : α Taraf nyata ini merupakan tingkat toleransi terhadap kesalahan kita terhadap sampel. Pada umumnya dapat digunakan taraf nyata 1 %, 5% atau 10% tergantung pada kepentingan dan bidang ilmu. 3. Uji Statistik : a. Ukuran sampel 1 : n1 b. Ukuran sampel 2 : n2 c. Gabungkan kedua sampel dan beri peringkat atau ranking dari data terkecil sampai terbesar. d. Jika ada peringkat/ranking yang sama, peringkatnya diambil rata-rata. e. Hitung jumlah peringkat sampel 1 dan sampel 2, notasikan dengan R1 dan R2 U1 = n1.n2 +
n1( n1+1) 2
– R1
atau U2 = n1.n2 +
n2(n 2+1) 2
– R2
f. Untuk n1 ; n2 < 20 : U berdistribusi Un 1 ; n2 ; α ( dapat dilihat pada tabel uji Mann Whitney) g. Untuk n1 ≥ 20 atau n2 ≥ 20 : berdistribusi normal dengan
rata-rata
:
standar deviasi :
sehingga
:
4. Kemudian tentukan daerah kritisnya :
4
Untuk n1 ; n2 < 20 H0 diterima bila U hitung ≥ U tabel ( α ; n1,n2 ) H0 ditolak bila U hitung ≤ U tabel ( α ; n1,n2 ) Untuk n1 ; n ≥ 20 H0 diterima bila harga Z hitung ≤ Z tabel H0 ditolak bila harga Z hitung ≥ Ztabel 5. Ujilah n1 dan n2 pada tabel uji mann whitney
II.4 Contoh Kasus a. Contoh perhitungan untuk sampel kecil (n1,n2<20) Menganalisa kinerja wiraniaga PT Merapi Utama Pharma dengan visi dan misi perusahaan menggunakan uji Mann-Whitney Tabel 1. Wiraniaga Kelompok 1 (tanpa pelatihan)
5
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Jumlah Penjualan (Paket) 30 24 26 27 29 20 23 25 18 14
Tabel 2. Wiraniaga kelompok 2 ( dengan pelatihan ) No 1 2 3 4 5 6 7
Jumlah Penjualan (Paket) 16 30 32 35 27 25 29
Kasus di atas terdiri atas dua sampel yang bebas satu dengan yang lain, yaitu Wiraniaga yang tidak mendapat pelatihan dan Wiraniaga yang menjalani pelatihan. Di sini data hanya sedikit dan dianggap tidak diketahui distribusi datanya (berdistribusi bebas). Maka digunakan uji nonparametrik dengan dua sampel yang independen. Masing-masing volume penjualan wiraniaga diberi peringkat dari yang terkecil sampai yang terbesar. Penyelesaian: 1. Hipothesis H0 : Tidak Terdapat Perbedaan produktivitas wiraniaga yang menjalani pelatihan dan tidak menjalani pelatihan H1 : Terdapat Perbedaan produktivitas wiraniaga yang menjalani pelatihan dan tidak menjalani pelatihan 2. Kriteria pengambilan keputusan Terima H0 : Bila U hit ≥ Utabel (α)
6
Tolak H0 : Bila Uhit ≤ Utabel (α) 3. Uji : Kedua sampel (n1 dan n2) diatas digabungan untuk dibuat rangking, seperti di bawah ini:
Tabel 1. Peringkat Wiraniaga kelompok 1 ( tanpa pelatihan ) Wiraniaga 1
Penjualan 30
Peringkat 14.5
2 3 4 5
24 26 27 29
6 9 10.5 12.5
6 7 8 9
20 23 25 18
4 5 7.5 3
10
14
1
n1 =10
R1 = 73
Tabel 2. Peringkat Wiraniaga kelompok 2 ( dengan Pelatihan ) Wiraniaga
Penjualan
Peringkat
1
16
2
2
30
14.5
3
32
16
4
35
17
5
27
10.5
6
25
7.5
7
29
12.5
n2 =7
R2 = 80
Dalam buku Statistik Teori dan Aplikasi oleh Supranto (2002): U1 = n1n2+ [n1(n1 + 1)/2] – R1
7
= (10)(7) + [10(10+1)/2] – 73 = 70 + 55 – 73 = 52 dan U2 = n1n2+ [ n2(n2 + 1 )/2] – R2 = (10)(7) + [7(7+1)/2] – 80 = 70 + 28 – 80 = 18 Karena Nilai U2 lebih kecil dari U1, maka yang digunakan untuk membandingkan dengan U tabel adalah U2 yang nilainya terkecil. Berdasarkan tabel harga kritis Mann-Whitney: n 1 = 10; n2 = 7; α= 0,05 diperoleh harga U tabel adalah 17. Karena Statistik hitung U =18 lebih besar dari 17 maka Ho diterima dan H1 ditolak. Dapat disimpulkan bahwa tidak ada perbedaan penjualan antara wiraniaga yang mendapat pelatihan dan tidak mendapat pelatihan dengan α= 0,05 b. Contoh kasus (untuk n1 atau n2 atau kedua-duanya sama atau lebih besar dari 20 Ujian matematika diberikan kepada sebanyak 20 orang mahasiswa Universitas Terbuka yang dipilih secara random untuk wilayah DKI dan ujian yang sama pula diberikan kepada 15 orang mahasiswa Universitas Terbuka yang dipilih secara random di wilayah Ujungpandang (Sulsel). Dari hasil ujian yang diperoleh di dua tempat (daerah) diatas DKI dan sulsel menunjukkan nilai ujian tiap mahasiswanya sebagai berikut : No 1 2 3 4
DKI (grup A) 70 63 78 71
Sulsel (grup B) 72 67 56 69 8
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
82 93 96 61 72 63 56 82 66 76 67 61 74 86 64 93 97
71 59 55 88 79 49 76 53 66 73 80
Pengujian tersebut dilakukan untuk mengetahui apakah ada perbedaan penampilan (tingkat kepandaian) mahasiswa Universitas Terbuka pada kedua wilayah diatas. (tingkat= 5% (pengujian dengan dua arah)). Penyelesaian: 1.
Judul penelitiannya dapat dirumuskan sebagai berikut : Perbandingan penampilan (tingkat kepandaian) mahasiswa Universitas Terbuka di wilayah DKI dan ujungpandang (Sulsel).
2.
Variabel penelitiannya adalah : Hasil ujian variabel independen Tingkat kepandaian mahasiswa variabel dependen
3.
Rumusan masalah : Adakah perbedaan tingkat kepandaian yang signifikan antara Universitas
4.
Terbuka di wilayah DKI dan sulsel. Sampel Terdiri dari 21 orang mahasiswa universitas terbuka untuk wilayah DKI dan 15 orang mahasiswa universitas terbuka untuk wilayah ujungpandang
5.
(Sulsel). Hipotesis
H0: Tidak ada perbedaan tingkat kepandaian yang signifikan antara 9
mahasiswa universitas terbuka di wilayah DKI dan mahasiswa universitas terbuka di wilayah Sulsel. H1: Ada perbedaan tingkat kepandaian yang signifikan antara mahasiswa universitas terbuka di wilayah DKI dan mahasiswa universitas tebuka di wilayah Sulsel. 6.
Penyajian data : Tabel nilai hasil ujian beserta rangkingnya No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Grup A 70 63 78 71 82 93 96 61 72 63 56 82 66 76 67 61 74 86 64 93 97
Rangking 17 9,5 26 18,5 29,5 33,5 35 7,5 20,5 9,5 4,5 29,5 12,5 24,5 14,5 7,5 23 31 11 33,5 36
Grup B 72 67 56 69 71 59 55 88 79 49 76 53 66 73 80
Rangking 20,5 14,5 4,5 16 18,5 6 3 32 27 1 24,5 2 12,5 22 28
R2 = 232 7. Perhitungan : Dari tabel di atas diperoleh R1 = 434 dan R1 = 232. Nilai U diperoleh dengan perhitungan: U1 = n1n2+ [n1(n1 + 1)/2] – R1
10
21(21+1) 2
= (21) (15) +
– 434
= 315 +231-434 = 112 U2 = n1n2+ [n2(n2 + 1)/2] – R2 = (21) (15) +
15 (15+1) 2
– 232
= 315 +120-232 = 203
Dari dua nilai U tersebut, ternyata nilai U1 lebih kecil dari nilaiU2, dengan demikian nilai U yang digunakan dalam perhitungan selanjutnya adalah U1. n1 n 2 2
E(U) =
( 21 ) (15) 2
=
= 157,5
φ
=
=
√
U=
√ √
n 1 n 2(n 1+n 2+1) 12
( 21 ) (15)(21+15+1) 21 (315)( 37) 12
= 31, 165
11
Z =
U – E(U ) φU
=
112−157,5 31,165
= -1,45977
8. Kesimpulan Ada perbedaan tingkat kepandaian yang signifikan antara mahasiswa universitas terbuka di wilayah DKI dan mahasiswa universitas terbuka di wilayah Sulsel. 9. Saran Universitas terbuka tersebut perlu meningkatkan kualitas manajemennya. Karena dalam data di atas terdapat observasi yang berangka sama (nilai yang sama) , maka kita coba lakukan koreksi untuk angka sama. Untuk data itu, diperoleh :
12
Kita lihat kelompok-kelompok yang berangka sama sebagai berikut : 2 nilai 56 2 nilai 61 2 nilai 63 2 nilai 66 2 nilai 67 2 nilai 71 2 nilai 72 2 nilai 76 2 nilai 82 2 nilai 93 Jadi kita punya harga t sebesar 2.
Nilai Z dengan koreksi untuk angka sama adalah sedikit lebih besar daripada yang ditemukan sebelummya jika koreksi tidak dijalankan. Dari contoh kasus tersebut, akibat angka sama hanya kecil saja.
13
BAB III PENUTUP III.1 Kesimpulan Uji Mann Whitney ( U- Test) Uji ini merupakan uji yang digunakan untuk menguji dua sampel independen ( Two Independent Sample Tests ) dengan bentuk data Ordinal.Tehnik ini dipakai untuk mengetest signifikansi perbedaan antara dua populasi, dengan menggunakan sampel random yang ditarik dari populasi yang sama. Ada dua macam tehnik U-test ini, yaitu U-test untuk sampel-sampel kecil dimana n<20 dan U-test sampel besar bila n=/>20. Oleh karena pada sampel besar bila n=/>20, maka distribusi sampling U-nya mendekati distribusi normal, maka test signifikansi untuk uji hipotesis nihilnya disarankan menggunakan harga kritik Z pada tabel probabilitas normal. Sedangkan test signifikansi untuk sampel kecil digunakan harga kritis U .
III.2 Saran Menyadari bahwa penulis masih jauh dari kata sempurna, kedepannya penulis akan lebih fokus dan details dalam menjelaskan tentang makalah di atas dengan sumber - sumber yang dapat di pertanggung jawabkan
14
DAFTAR PUSTAKA Supranto, J. ( 2002 ). Statistik teori dan aplikasi. Jakarta: Erlangga. Sugiyono. (2015). Statistik Nonparametris Untuk Penelitian.Bandung : Alfabeta. Tentua, M. N. (2009). Statistik nonparametric. Diunduh dari http://meilanynonsi.upy.ac.id/files/statprak/nonparametrik.pdf
15
