Makalah Metode Secant

MAKALAH

METODE SECANT disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Metode Numerik Dosen Pengampu: Dr !o"hmat# MSi

Oleh Kelompok $:

1.

Rian Triastuti

(4101410020)

2.

Gias Atikasari

(41014100)

3.

Mardiyani

(41014100)

4.

Agil Dwijayanti

(4101410074)

5.

Dia A!rilia

#.

$ur %asana

(41014100"0) (41014100"3)

!om%el &

'(!(SAN MATEMA MATEMAT)KA T)KA *AK(LTAS MATEMAT)KA DAN )LM( PEN+ETAH(AN ALAM (N),E!S)TAS NE+E!) SEMA!AN+ -.&-

0

BAB I PENDAHULUAN A. Latar belakang Prosedur iterasi metode Newton-Raphson memerlukan perhitungan turunan

fungsi ( f ’ ( x ) ). Namun, tidak semua fungsi mudah dicari turunannya, terutama fungsi yang bentuknya rumit. Turunan fungsi dapat dihilangkan dengan cara menggantinya dengan bentuk lain yang ekuivalen. Modifikasi metode Newton Raphson ini dinamakan Metode Secant . B. Rumusan Masalah Rumusan masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah bagaimana

prosedur iterasi dalam menentukan akar persamaan nonlinear menggunakan Metode Secant ! C. Tujuan Makalah ini memiliki tu"uan, yaitu untuk mengetahui prosedur iterasi dalam

menentukan akar persamaan nonlinear menggunakan Metode Secant .

D. Manfaat Pembuatan makalah ini diharapkan dapat memberikan manfaat, yaitu

memberikan informasi mengenai prosedur iterasi dalam menentukan akar persamaan nonlinear menggunakan Metode Secant.

1

BAB II PEMBAHAAN

Metode

Secant merupakan

salah

satu

metode

t&r'uka

&n&ntukan slusi akar dari !&rsaaan nnlin&ar

untuk

yang sulit

di*ari turunannya. Prinsipprinsip utama metode ini adalah sebagai berikut. 1. M&td& ini &lakukan !&nd&katan t&rada! kur+a

f ( x )

d&ngan garis s&*ant yang dit&ntukan l& 2 titik t&'akan awal. 2. $ilai taksiran akar s&lanjutnya adala titik !tng antara garis s&*ant d&ngan su'u, X . -&ratikan ga'ar di 'awa ini.

&rdasarkan ga'ar di atas/ kita da!at &ngitung gradi&nnya. '

f ( x n )=

∆ y AB f ( x n )− f ( x n−1) = = ∆ x AC x n− x n−1

u'titusikan !&rsaaan di atas k& dala ruus NewtonRaphson

2

x n+1= x n−

f ( x n) '

f ( x n )

s&ingga di!&rl& f ( xn )

x (¿ ¿ n− x n−1)

f ( xn ) −f ( x n−1 ) xn +1= x n−¿

yang &ru!akan !rs&dur it&rasi &td& secant . &!intas &td& s&*ant iri! d&ngan &td& r&gula,alsi/ naun s&sunggunya !rinsi! dasar k&duanya '&r'&da/ s&!&rti !ada ta'&l '&rikut ini.

Y

y = f(x) a

x n−1 dan x n

b

f ( a ) . f ( b ) < 0.

xn1

xn+1

y f ( x) =

x

f ( x n−1 . f ( x n < 0.

X

y f ( x) =

n

x n− x n+

y f ( x) =

y f ( x) =

x

n +#

x

Algrita

&n&ntukan

a!iran

n −#

akar

x

n

suatu

f ( x )

&nggunakan M&td& Secant adala s&'agai '&rikut.

3

1. T&ntukan

f ( x ) .

2. Masukkan nilai t&'akan awal akar,akar dan

xn

/

x n−1

Mulai ε / s&rta it&rasi aksiu yaitu

nilai tl&ransi yaitu i maks

f ( x ) yaitu

.

(

)

f ( x nD&nisikan ) ( x n− x n−1) = − x x . n+ 1 n 3. itung f ( x n )− f ( x n− 1)

ika

| x n+ − x n|< ε , 1

aka tulis asil akar

a*a

6ni '&rarti a!iran akar ika

| x n+ − x n|≥ ε , 1

x n+ 1= x n−

( (

f ( x ) yaitu x n+1 .

f ( x ) dit&ukan.

aka lakukan !&ngitungan

f ( x n ) ( x n− x n−1)

)

itung dan k&'ali (lakukan it&rasi)

f x n )− f ( x n−1)

lw*art untuk M&td& Secant adala s&'agai '&rikut. a*a

Tidak r

a Tulis

a itung lagi Tidak x n+1= x n

t!

4

C!nt!h "#

1. T&ntukan akar i maks =20

−5

x e − 4 x =0 d&ngan x n= 0, x n+1=1, ε =10 , dan

&nggunakan &td& secant .

-&ny&l&saian8 M&nggunakan Ms. 9:*&l/ di!&rl& ta'&l s&'agai '&rikut. xn

n 0

x n+ 1

x n+1− x n

1

f ( xn + 1)

f ( xn )

, 1/2;17 2 , 0/2030 5

0

1

1

1

0/43;2## 22

,0/5#17

2

0/43;2# #22

0/33252# 2"

,0/1057

0/0#43 ;

3

0/33252 #2"

0/357";2 3#

0/0255

, 0/0014 "

4

0/357"; 23#

0/35740# "1

,0/000#

,1/029, 05

5

0/35740 #"1

0/35740# "1

0

1/#49, 0"

1 , 1/2;17 2 , 0/2030 5 0/0#43 ; , 0/0014 " ,1/029, 05

f ( xn +1)− f ( x n )

,2/2;171;

1/07;#71

0/2#742"

,0/0#5;70

0/00147" 1/029,05

%ar&na !ada it&rasi k&,5 di!&rl&8

| x n+ − x n|=|0,35740291−0,35740291|=0 < ε =10−

5

1

/

aka it&rasi '&r&nti dan nilai a!iran akarnya adala 0/357402"1. Menggunakan program Turbo Pascal yaitu sebagai berikut.

%&t&rangan !&nulisan8 :n<1 '&rarti

x n−1

(t&'akan akar

!&rtaa) :n '&rarti

5 x n

(t&'akan akar

Tampilannya $

Contoh -: f ( x )= x − 5 x + 6 menggunakan 2

%.

Tentukanlah salah satu akar dari fungsi Metode Secant dengan nilai tebakan a&al −5

ε =10

, serta iterasi maksimum

x n=0 dan x n+ 1=2,5

, nilai toleransi

i maks =20.

Penyelesaian$ Menggunakan Ms. 'cel diperoleh tabel sebagai berikut. n

xn

x n+ 1

x n+1− x n

f ( xn +1)

f ( xn )

 # %

, %,* %,

%,* %, ,

%,* ,# %,

,%* ,% +,

+, ,%* ,%

f ( X n+ 1)− f ( x +,%* ,# +,%

#

 * + /  0 #

, %,%,%#,/* %,* %,# #,000 %,#

%,%,%#,/* %,* %,# #,000 %,# %,#

%,-# , , ,- , ,#% ,#% ,

,%# ,# ,-# ,* ,# ,/ , ,

+, ,%# ,# ,-# ,* ,00 ,# ,

+,%# ,,0 ,-+ , ,0% ,# ,

1arena pada iterasi ke# diperoleh$ | x n+1− x n|=|2,001−2,001|=0 < ε=10−5 , maka iterasi berhenti dan nilai hampiran akarnya adalah %,#. Menggunakan program Turbo Pascal yaitu sebagai berikut.

%&t&rangan !&nulisan8 :n<1 '&rarti

x n−1

(t&'akan akar

!&rtaa) :n '&rarti

x n

(t&'akan akar

Tampilannya$

7

Perba$kan Met!%e Secant

-ada kasus s&'&lunya/ kita '&lu &!&ratikan kasus 0

!&'agian d&ngan

x n+1= x n−

( (

f ( x n ) ( x n− x n−1) f x n )− f ( x n−1)

)

atau

≈0

!ada saat !&ngitungan

.&lain

itu/

da!at

juga

it&rasinya

di+&rg&n (it&rasi untuk &n*ari a!iran akar l&'i '&sar dari it&rasi aksial yang dit&ntukan). &ingga !rgra arus didikasi untuk &nangani kasus,kasus t&rs&'ut.

Algoritma

per%aikan

Metode

Secant

adalah

se%agai

%erikut

1. T&ntukan

f ( x ) . f ( x ) yaitu


xn −7

ε 1= 10

/

nilai

tl&ransi

− dan ε 2 =10

3. itung

|f ( x ) −f ( x − )| n

n

1

ε1

8

(&nd&kati

i maks

aksiu yaitu

yaitu

dan 0

ε2

x n−1

(isalnya8

))/ s&rta it&rasi

. .

;

ika

|f ( x ) −f ( x − )|< ε n

n 1

2

/ aka !rgra '&r&nti kar&na akan

&ngaki'atkan !&ngitungan d&ngan !&'agi 0 atau ≈0 .

ika

|f ( x ) −f ( x − )|≥ ε n

n 1

2

/ aka !rgra da!at dilanjutkan.

(

)

f ( x n ) ( x n− x n− 1) x . + 1= x n− n 4. itung f ( x n )− f ( x n− 1)

ika

| x n+ − x n|< ε 1

1

,



| x n+ − x n|≥ ε 1

x n+ 1= x n−

i ≤ imaks

5. ika

1

,

f ( x ) yaitu

x n+1

.



( (

f ( x n ) ( x n− x n−1) f x n )− f ( x n−1)

)

k&'ali (lakukan it&rasi) ingga

.

i > imaks

/ aka !rgra '&r&nti. 6ni '&rarti

f ( x )

it&rasinya di+&rg&n.

"

Mulai

*LO0CHA!T PE!1A)KAN METODE

D&nisikan ungsi

SECANT

a*a

itung dan

/a

Tidak

Tidak /a Tidak

Tulis =-&'agian d&ngan 0>

/a Tulis ?6t&rasi di+&rg&n@

Tulis

&l&sai 10

Contoh 2: Tentukanlah salah satu akar nonlinear

f ( x ) = x − 4 x + 7 menggunakan

Metode 2ecant dengan nilai tebakan a&al

x 0=1 danx 1= 4

2

−4

ε 1= 10

−5

,

ε 2 =10

serta iterasi maksimum

, nilai toleransi

i maks =20.

Penyelesaian$

R

xn

x n+ 1

0 1 2 3 4 5 # 7 ; " 10

1 4 0 D6BC 0 D6BC 0 D6BC 0 D6BC 0 D6BC 0 D6BC 0 D6BC 0 D6BC 0

4 0 D6BC 0 D6BC 0 D6BC 0 D6BC 0 D6BC 0 D6BC 0 D6BC 0 D6BC 0 D6BC 0

x n+1− x n

3 ,4 D6BC 0 D6BC 0 D6BC 0 D6BC 0 D6BC 0 D6BC 0 D6BC 0 D6BC 0 D6BC 0

f ( xn +1)


f ( xn )

f ( xn +1)− f (


4 7 7 D6BC 0 D6BC 0 D6BC 0 D6BC 0 D6BC 0 D6BC 0 D6BC 0 D6BC 0

3erdasarkan tabel di atas, dapat dilihat bah&a ter"adi pembagian dengan bilangan yang mendekati nol pada iterasi ke%.

M&nggunakan Tur' -as*al8

11

Ta!ilannya

%&t&rangan !&nulisan8 x n−1 :n<1 '&rarti (t&'akan akar !&rtaa) :n '&rarti

x n

(t&'akan akar

12

BAB III PENUTUP

A Simpulan Dari !&'aasan yang ada/ da!at disi!ulkan 'awa

!rs&dur it&rasi dala &n&ntukan akar !&rsaaan nn,lin&ar &nggunakan M&td& &*ant adala s&'agai '&rikut. Algrita M&td& &*ant (s&'&lu !&r'aikan). 1. T&ntukan

f ( x ) .


xn

x n−1

/ ε / s&rta it&rasi aksiu yaitu

nilai tl&ransi yaitu i maks

f ( x ) yaitu

.

(

)

f ( x n ) ( x n− x n− 1) = − x x . n+ 1 n 3. itung f ( x n )− f ( x n− 1)

ika

| x n+ − x n|< ε , 1


| x n+ − x n|≥ ε , 1

x n+ 1= x n−

i ≤ imaks

( (

f ( x ) yaitu x n+1 .




f ( x n ) ( x n− x n−1) f x n )− f ( x n−1)

)


.

Alg!r$tma &erba$kan Met!%e e'ant.

1. T&ntukan

f ( x ) .


xn

/

nilai

tl&ransi

yaitu

ε1

f ( x ) yaitu

dan

ε2

x n−1

(isalnya8

13

−7

−8

ε 1= 10

dan ε 2 =10

i maks

aksiu yaitu

ika

n

n

n

n 1

2

))/ s&rta it&rasi

.

1

|f ( x ) −f ( x − )|< ε

0

.

|f ( x ) −f ( x − )|

3. itung

(&nd&kati

/ aka !rgra '&r&nti kar&na akan

&ngaki'atkan !&ngitungan d&ngan !&'agi 0 atau ≈0 .

ika

|f ( x ) −f ( x − )|≥ ε n

n 1

2

/ aka !rgra da!at dilanjutkan.

(

)

f ( x n ) ( x n− x n− 1) = − x x . n+ 1 n 4. itung f ( x n )− f ( x n− 1)

ika

| x n+ − x n|< ε 1

1

,



| x n+ − x n|≥ ε 1

x n+ 1= x n−

i ≤ imaks

5. ika

( (

1

,

f ( x ) yaitu

x n+1

.



f ( x n ) ( x n− x n−1) f x n )− f ( x n−1)

)


.

i > imaks

/ aka !rgra '&r&nti. 6ni '&rarti

f ( x )

di+&rg&n.

1 Saran aran untuk aasiswa k&tika &n&ntukan akar !&rsaaan

nn,lin&ar &nggunakan &td& s&*ant ini adala aasiswa diara!kan l&'i t&liti dala &ngitung dan &'ulatkan asil !&ritungannya.

14

DA*TA! P(STAKA

Munir/ Rinaldi. 200#. Metode Numerik . andung8 6nratika. Nasution, 4. %#. Metode Numerik dalam Rekayasa Ilmu Sipil . 3andung$ 5T3.

15

Makalah Metode Secant

Recommend Documents