30
MAKALAH METODE NUMERIK
Makalah ini Diajukan untuk Memenuhi Tugas
Mata Kuliah Metode Numerik
Dosen Pengampu: Nendra Mursetya Somasih Dwipa, M.Sc
Disusun oleh:
Elly Budiarti (14144100048)
Dian Pangesti (14144100063)
Cellyna Steviani Nurlitasari (14144100065)
Kelas 7A2
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA
2017
KATA PENGANTAR
Puji syukur saya panjatkan kehadirat Allah SWT, yang atas rahmat dan karunia-Nya sehingga penyusun dapat menyelesaikan makalah metode numerik dengan harapan dapat bermanfaat dalam menambah ilmu dan wawasan kita.
Makalah ini dibuat dalam rangka memenuhi tugas mata kuliah metode numerik. Dalam membuat makalah ini, dengan keterbatasan ilmu pengetahuan yang penyusun miliki, penyusun berusaha mencari sumber data dari berbagai sumber informasi, terutama dari media internet dan media cetak. Penyusun juga ingin mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak yang telah ikut serta membantu dalam pembuatan makalah ini dan beberapa sumber yang kami pakai sebagai data dan acuan.
Dalam penulisan makalah ini penyusun merasa masih banyak kekurangan-kekurangan baik pada teknis penulisan maupun materi, mengingat akan keterbatasan kemampuan yang penyusun miliki. Tidak semua bahasan dapat dideskripsikan dengan sempurna dalam makalah ini. Untuk itu kritik dan saran dari semua pihak sangat penyusun harapkan demi penyempurnaan pembuatan makalah ini. Akhirnya kami selaku penyusun berharap semoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi seluruh pembaca.
Yogyakarta, 5 Desember 2017
Penyusun
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL i
KATA PENGANTAR ii
DAFTAR ISI iii
BAB I 1
PENDAHULUAN 1
A. Latar Belakang 1
B. Rumusan Masalah 1
C. Tujuan 1
BAB II 3
KAJIAN PUSTAKA 3
A. Angka Signifikan/Bena 3
1. Pengertian Angka Bena 3
2. Aturan-aturan tentang Angka Bena 3
3. Aturan Pembulatan 5
4. Aturan-aturan pada Operasi Aritmetika Angka Bena 6
5. Contoh Soal 7
B. Deret Taylor 8
1. Pengertian Deret Taylor 8
2. Contoh Soal Deret Taylor 9
C. Deret Mc. Laurin 10
1. Pengertian Deret Mc. Laurin 10
2. Contoh Soal Deret Mc. Laurin 11
D. Error/Galat 12
1. Pengertian Error/Galat 12
2. Nilai Galat 12
3. Macam-macam Error/Galat 14
E. Metode Biseksi 15
1. Pengertian Metode Biseksi 15
2. Langkah menggunakan metode biseksi 16
3. Algoritma Metode Biseksi 17
F. Metode Regula Falsi 17
1. Pengertian Metode Regula Falsi 17
2. Algoritma Metode Regula Falsi 19
G. Metode Newton Rapshon 20
1. Pengertian Metode Newton Raphson 20
2. Algoritma Newton Raphson 20
BAB III 21
PEMBAHASAN 21
A. Pengertian Metode Secant 21
B. Algoritma Metode Secant 23
C. Contoh Soal dan Penyelesaian Metode Secant 23
BAB IV 28
STUDI KASUS 28
BAB V 29
KESIMPULAN 29
DAFTAR PUSTAKA 30
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Metode numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk memformulasikan masalah matematis agar dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan. Salah satu materi yang dibahas dalam metode numerik adalah pencarian akar persamaan mnggunakan beberapa metode. Pencarian akar persamaan dalam metode numerik memerlukan iterasi untuk mencari estimasi akar yang mendekati akar sesungguhnya.
Metode Secant merupakan salah satu metode numerik untuk mencari suatu akar persamaan. Penyelesaian numerik suatu akar persamaan dilakukan dengan perkiraan berurutan (iterasi) sehingga setiap keluarannya diperoleh hasil yang lebih teliti dan didapat hasil yang mendekati eksak (hasil yang benar) dengan toleransi kesalahan yang diinginkan. Sebelum mempelari Metode Secant, kita sudah terlebih dahulu mempelajari Metode Newton Raphson. Pada Metode Newton Rapshon, kekurangannya adalah terletak pada perhitungan fungsi turunan. karena tidak semua f(x) mudah dicari turunannya. Untuk mengatasi hal tersebut maka diperkenalkan Metode Secant. Maka dari itu, makalah ini akan membahas tentang penggunaan Metode Secant untuk memperoleh akar dari persamaan.
Rumusan Masalah
Apa pengertian metode secant?
Bagaimanakah algoritma dari metode secant?
Bagaimanakah contoh dan penyelesaian dengan menggunakan metode secant?
Bagaimanakah aplikasi metode secant dalam kehidupan sehari-hari?
Tujuan
Tujuan yang ingin dicapai dalam penyusunan makalah ini adalah:
Memahami apa yang dimaksud dengan metode secant.
Memahami algoritma dari metode secant
Memahami bagaimana cara menyelesaikan persoalan non linier menggunakan metode secant
Memahami dan mengetahui aplikasi metode secant dalam kehidupan sehari-hari.
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
Angka Signifikan/Bena
Pengertian Angka Bena
Angka bena (significant figure) atau angka berararti telah dikembangkan secara formal untuk menandakan keandalan suatu nilai numerik. Angka bena merupakan jumlah angka yang digunakan sebagai batas minimal tingkat keyakinan. Angka bena terdiri dari angka pasti dan angka taksiran. Letak angka taksiran berada di akhir angka bena.
Contoh:
Bilangan 45.389; angka 9 adalah angka taksiran
Bilangan 4, 785; angka 5 adalah angka taksiran
Aturan-aturan tentang Angka Bena
Angka bena adalah setiap angka yang bukan nol pada suatu bilangan
Contoh:
Bilangan 4678; terdiri dari 4 angka bena
Bilangan 987, 654; terdiri dari 6 angka bena
Bilangan 4550679; terdiri dari 7 angka bena
Angka bena adalah setiap angka nol yang terletak di antara angka-angka bukan nol.
Contoh:
Bilangan 2001; terdiri dari 4 angka bena
Bilangan 201003 terdiri dari 6 angka bena
Bilangan 2001, 400009 terdiri dari 10 angka bena
Angka bena adalah angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang terakhir dan dibelakang tanda desimal.
Contoh:
Bilangan 23, 3000; terdiri dari 6 angka bena
Bilangan 3, 10000000 terdiri dari 9 angka bena
Bilangan 345, 60000000 terdiri dari 11 angka bena
Dari aturan b dan c dapat diberikan contoh angka bena adalah sebagai berikut:
Bilangan 34, 060000; terdiri dari 8 angka bena
Bilangan 0, 00000000000000566; terdiri dari 3 angka bena
Bilangan 0, 600; terdiri dari 3 angka bena
Bilangan 0, 060000; terdiri dari 5 angka bena
Bilangan 0, 000000000000005660; terdiri dari 4 angka bena
Angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol terakhir dan tanpa tanda desimal bukan merupakan angka bena.
Contoh:
Bilangan 34000; terdiri dari 2 angka bena
Bilangan 1230000; terdiri dari 3 angka bena
Angka nol yang terletak di depan angka bukan nol yang pertama bukan merupakan angka bena.
Contoh:
Bilangan 0, 0000023; terdiri dari 2 angka bena
Bilangan 0, 000000000002424; terdiri dari 4 angka bena
Bilangan 0, 12456; terdiri dari 5 angka bena
Semua angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang terakhir, dan terletak di depan tanda deimal merupakan angka bena.
Contoh:
Bilangan 340, 67; terdiri dari 5 angka bena
Bilangan 123000, 6; terdiri dari 7 angka bena
Untuk menunjukkan jumlah angka bena, kita dapat memberi tanda pada angka yang merupakan batas angka bena dengan garis bawah, garis atas, atau cetak tebal
Contoh:
56778 adalah bilangan yang memiliki 5 angka signifikan
adalah bilangan yang memiliki 5 angka signifikan
56778 adalah bilangan yang memiliki 5 angka signifikan
Penulisan angka bena dalam notasi ilmiah mengikuti aturan bentuk umum notasi ilmiah yaitu dengan adalah bilangan riil yang memenuhi dan n adalah bilangan bulat.
Contoh:
Bilangan 29000 jika ditulis dalam notasi ilmiah menjadi
Bilangan 2977000 jika ditulis dalam notasi ilmiah menjadi
Bilangan 14, 98 jika ditulis dalam notasi ilmiah menjadi
Bilangan 0, 006 jika ditulis dalam notasi ilmiah menjadi
Bilangan -0, 00029 jika ditulis dalam notasi ilmiah menjadi
Aturan Pembulatan
Pembulatan suatu bilangan berarti menyimpan angka bena dan membuang bukan angka bena dengan mengikuti aturan-aturan berikut:
Jika digit pertama dari bukan angka bena lebih besar dari 5, maka digit terakhir dari angka bena ditambah 1. Selanjutnya buang bukan angka bena.
Contoh:
Jika bilangan 567864 akan dibulatkan menjadi 4 angka bena, maka ditulis menjadi 5679
Jika bilangan 145,89 akan dibulatkan menjadi 4 angka bena, maka ditulis menjadi 145,9
Jika bilangan 123,76 akan dibulatkan menjadi 3 angka bena, maka ditulis menjadi 124
Jika digit pertama dari bukan angka bena lebih kecil dari 5, maka buang bukan angka bena
Contoh:
Jika bilangan 123,74 akan dibulatkan menjadi 4 angka bena, maka ditulis menjadi 123,7
Jika bilangan 13416 akan dibulatkan menjadi 3 angka bena, maka ditulis menjadi 134
Jika digit pertama dari bilangan bukan angka bena sama dengan 5, maka:
Jika digit terakhir dari angka signifikan ganjil, maka digit terakhir angka signifikan ditambah 1. Selanjutnya buang angka tidak signifikan
Contoh:
Jika bilangan 13,356 akan dibulatkan menjadi 3 angka bena, maka ditulis menjadi 13,4
Jika digit terakhir dari angka signifikan genap, maka buang angka tidak signifikan
Contoh:
Jika bilangan 13,456 akan dibulatkan menjadi 3 angka bena, maka ditulis menjadi 13,4
Aturan-aturan pada Operasi Aritmetika Angka Bena
Hasil penjumlahan atau pengurangan hanya boleh mempunyai angka dibelakang koma sebanyak angka di belakang koma yang paling sedikit pada bilanganbilangan yang dilakukan operasi penjumlahan atau pengurangan.
Contoh
0,4567 + 4,677 = 5,1337 (dibulatkan menjadi 5, 134)
345,31 + 3,5= 348,81 (dibulatkan menjadi 348, 8)
Hasil perkalian atau pembagian hanya boleh mempunyai angka bena sebanyak bilangan dengan angka bena paling sedikit.
Contoh:
6, 78 x 8, 9123 = 60, 425394 ditulis menjadi 60, 4
420 : 2, 1 = 200 ditulis menjadi 2, 0 x 102
46, 5 x 1,4 = 65, 1 ditulis menjadi 6, 5 x 101
Contoh Soal
[(4,84 : 0, 40) x 2, 32] – [9, 12 x (4, 05 x 0, 212)]
[(3, 12 x 4, 87) + (0, 49 : 0, 7)]
0, 00000121 : 1, 1
Hasil pengukuran panjang tali yang diperoleh oleh siswa A adalah 0, 50300 m. Maka banyak angka penting hasil pengukuran tersebut adalah …
Penyelesaian
[(4,84 : 0, 40) x 2, 32] – [9, 12 x (4, 05 x 0, 212)]
= [12, 1 x 2, 32] – [9, 12 x 0, 8586]
Pembulatan sesuai aturan angka bena pada perkalian dan pembagian
= [12 x 2, 32] – [9, 12 x 0, 859]
= 27, 84 – 7, 83408
Pembulatan sesuai aturan angka bena pada perkalian
= 28 – 7, 83
= 20, 17
Pembulatan sesuai aturan angka bena pada pengurangan
= 20
[(3, 12 x 4, 87) + (0, 49 : 0, 7)]
= [15, 1944 + 0, 7]
Pembulatan sesuai aturan angka bena pada perkalian dan pembagian
= [15, 2 + 0, 7]
= 15, 9
0, 00000121 : 1, 1
= 1, 1 x 10-6
Banyak angka penting dari bilangan 0, 50300 adalah 5 angka penting
Deret Taylor
Pengertian Deret Taylor
Deret Taylor merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah dalam metode numerik, terutama penyelesaian persamaan diferensial.
Teorema Taylor: Hanya ada satu deret pangkat dalam x-c memenuhi untuk f(x) sehingga:
=
Berlaku untuk semua dalam beberapa interval di sekitar c dengan
Deret: disebut deret Taylor
Teorema tersebut dijelaskan sebagai berikut:
Jika kontinu dalam selang (c-h, c+h) dengan 0 h dan andaikan f didefinisikan sebagai:
(1)
Untuk semua x dalam selang (c-h, c+h), maka:
Jika pada fungsi-fungsi turunan tersebut ditetapkan x = c maka diperoleh:
Jika harga-harga dimasukkan ke (1) maka diperoleh:
Contoh Soal Deret Taylor
Tentukan deret taylor dari di sekitar z = i!
Penyelesaian:
Jadi deret taylor dari di sekitar z = i adalah
Tentukan deret taylor dari di sekitar x = h!
Penyelesaian:
Jadi deret taylor dari di sekitar x = h adalah
Deret Mc. Laurin
Pengertian Deret Mc. Laurin
Bila deret taylor diterapkan c = 0, maka terjadi deret Mac. Laurin yaitu:
Catatan:
Sering dikatakan deret taylor daalam bentuk x – c dari suatu f (x) adalah uraian Taylor tentang f di sekitar titik c, sedangkan deret Mac. Laurin uraian Maclaurin tentang f di sekitar titik asal (c = 0).
Contoh Soal Deret Mc. Laurin
Deretkan di sekitar c = 0
Penyelesaian:
Deretkan di sekitar 0!
Penyelesaian:
Deretkan dalam deret Mac. Laurin
Penyelesaian:
Error/Galat
Pengertian Error/Galat
Error/Galat/kesalahan berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi sejatinya. Semakin kecil galatnya maka semakin teliti solusi numerik yang didapatkan.
Galat = "Nilai sejati ( nilai sebenarnya ) – Nilai hampiran (aproksimasi)"
Ukuran galat kurang bermakna karena tidak menceritakan seberapa besar galat itu dibandingkan dengan nilai sejatinya. Untuk mengatasi interpretasi nilai galat tersebut , maka galat harus dinormalkan terhadap nilai sejatinya. Gagasan ini melahirkan apa yang dinamakan galat relatif.
dengan
= error relatif sebenarnya
= nilai sebenarnya
Contoh:
Misalkan nilai sejati = 20/ 6 dan nilai hampiran = 3, 3333. Hitunglah galat, galat mutlak, galat relatif, dan galat relatif hampiran
Penyelesaian
Galat =
Galat mutlak = "0, 000333 …" = 0, 000333…
Galat relatif =
Galat relatif hampiran =
Nilai Galat
Besarnya kesalahan atas suatu nilai taksiran dapat dinyatakan secara kuantitatif dan kualitatif. Besarnya kesalahan yang dinyatakan secara kuantitatif disebut kesalahan absolut. Besarnya kesalahan yang dinyatakan secara kualitatif disebut dengan kesalahan relatif.
Nilai eksak dapat diformulasikan sebagai hubungan antara nilai perkiraan dan nilai kesalahan sebagai berikut:
Dimana:
v = nilai eksak
v' = nilai perkiraan
= nilai kesalahan/galat
Berikut adalah penjelasan dari kesalahan absolut dan kesalahan relatif.
Kesalahan Absolut
Kesalahan absolut menunjukkan besarnya perbedaan antara nilai eksak dengan nilai perkiraan:
Kesalahan absolut tidak menunjukkan besarnya tingkat kesalahan, tetapi hanya sekedar menunjukkan selisih perbedaan antara nilai eksak dengan nilai perkiraan.
Kesalahan Relatif
Kesalahan relatif menunjukkan besarnya tingkat kesalahan antara nilai perkiraan dengan nilai eksaknya yang dihitung dengan membandingkan kesalahan absolut terhadap nilai eksaknya (biasanya dinyatakan dalam %)
dengan:
v = nilai eksak
= kesalahan relatif
= kesalahan absolut
Semakin kecil kesalahan relatifnya, maka nilai perkiraan yang diperoleh akan semakin baik.
Contoh:
Pengukuran kabel listrik 40 meter dari sebuah toko alat-alat elektronika. Setelah diukur ulang oleh pembeli A, kabel tersebut memiliki panjang 39, 96 meter. Berapa kesalahan absolut dan kesalahan relatif hasil pengukuran yang dilakukan oleh si pembeli?
Penyelesaian
Diketahui: v = 40 meter
v'= 39, 96 meter
Ditanya: Berapa besar kesalahan absolut dan kesalahan relatif?
Jawab:
Kesalahan absolut: meter
Kesalahan relatif: meter
Macam-macam Error/Galat
Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematis hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai sebenarnya. Berikut adalah tiga macam kesalahan dasar:
Galat Bawaan (Inhern)
Galat bawaan biasanya merujuk pada galat dalam nilai data yang terjadi akibat kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala atau kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hokum-hukum fisik dari data yang diukur.
Contoh: Pengukuran selang waktu 3, 1 detik: terdapat beberapa galat karena hanya dengan suatu kebetulan selang waktu akan diukur tepat 3, 1 detik.
Beberapa batas yang mungkin pada galat inheren diketahui: 2,3± 0,1 detik. Berhubungan dengan galat pada data yg dioperasikan oleh suatu komputer dengan beberapa prosedur numerik.
Galat Pemotongan
Pengertian galat pemotongan biasanya merujuk pada galat yang disebabkan oleh penggantian ekspresi matematika yang rumit dengan rumus yang lebih sederhana. Istilah ini berawal dari kebiasaan mengganti suatu fungsi rumit dengan deret Taylor terpotong (hanya diambil berhingga suku).
Contoh :
Deret Taylor tak berhingga :
Sin x
Dapat dipakai menghitung sinus sebarang sudut x dalam radian. Jelas kita tidak dapat memakai semua suku dalam deret untuk perhitungan, karena deretnya tak berhingga; kita berhenti sesudah sampai pada sejumlah suku yang berhingga, misalnya x7 atau x9.
Suku-suku yang dihilangkan (jumlahnya tak berhingga) menghasilkan suatu galat dalam hasil perhitungan. Galat ini disebut galat pemotongan atau pemenggalan, yaitu yang disebabkan oleh pemotongan suatu proses matematika yang tak berhingga. Kebanyakan prosedur yang dipakai dalam perhitungan numerik adalah tak berhingga, sehingga galat jenis ini penting untuk dipelajari.
Galat Pembulatan
Akibat pembulatan angka Terjadi pada komputer yg disediakan beberapa angka tertentu misal; 5 angka:
Penjumlahan 9,26536 + 7,1625 = 16,42786
Ini terdiri 7 angka sehingga tidak dapat disimpan dalam komputer kita dan akan dibulatkan menjadi 16,428
Metode Biseksi
Pengertian Metode Biseksi
Ide awal metode ini adalah metode tabel, di mana area dibagi menjadi N bagian. Hanya saja metode biseksi ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung akar dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.
Dinamakan metode biseksi (Bi Section) didasarkan atas teknis metode ini adalah "belah dua". Metode Biseksi diformulasikan berdasarkan Teorema 1.1 yang menyatakan bahwa bila fungsi (x) kontinu dalam selang/interval (a,b), dan ( ) dan (b) berlawanan tanda, maka ( ) = 0 untuk suatu bilangan α sedemikian hingga < α < b .
Dengan metode Biseksi, nilai α pertama kali diaproksimasi dengan memilih x0 yang didefinisikan dengan x0 = a+b2. Bila (x0) = 0 atau (x0) "dekat" kepada nilai 0 untuk suatu nilai toleransi yang diberikan maka x0 adalah nilai akar dari (x0) = 0. Sebaliknya bila (x0) 0 atau (x0) "dekat" kepada nilai 0 tetapi tidak memenuhi suatu nilai toleransi yang diberikan, maka berdasarkan Teorema 1.1 ada dua kemungkinan yakni nilai akar berada di antara dan xo atau nilai akar berada di antara xo dan b. Dari salah satu kemungkinan ini, metode Biseksi kembali akan digunakan. Secara geometris, metode Biseksi yang dikemukan di atas diilustrasikan melalui gambar grafik berikut ini.
Gambar 2. Grafik Metode Biseksi
Langkah menggunakan metode biseksi
Untuk menggunakan metode biseksi, terlebih dahulu ditentukan batas bawah (a) dan batas atas (b). Kemudian dihitung nilai tengah : x = a+b2
Dari nilai x ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar. Secara matematik, suatu range terdapat akar persamaan bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau dituliskan : f(a) . f(b) < 0
Setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka batas bawah dan batas atas di perbaharui sesuai dengan range dari bagian yang mempunyai akar.
Algoritma Metode Biseksi
Definisikan fungsi f(x) yang akan dicari akarnya
Tentukan nilai a dan b
Tentukan torelansi e dan iterasi maksimum N
Hitung f(a) dan. f(b)
Jika f(a) . f(b) > 0 maka proses dihentikan karena tidak ada akar, bila tidak dilanjutkan
Hitung x = a+b2
Hitung f(x)
Bila f(x) . f(a) < 0 maka b = x dan f(b) = f(x), bila tidak a = x dan f(a) = f(x)
Jika "b-a" < e atau iterasi > iterasi maksimum maka proses dihentikan dan didapatkan akar = x, dan bila tidak, ulangi langkah 6.
Metode Regula Falsi
Pengertian Metode Regula Falsi
Metode regula falsi disebut juga metode Interpolasi Linear atau metode Posisi Salah adalah metode yang digunakan untuk mecari akar-akar persamaan nonlinear melalui proses iterasi. Metode regula falsi merupakan metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selilih tinggi dari dua titik batas range. Solusi akar (atau akar-akar) dengan menggunakan metode Regula Falsi merupakan modifikasi dari Metode Bisection dengan cara memperhitungkan 'kesebangunan' yang dilihat pada kurva berikut:
Gambar 3. Representasi grafis metode Regula-Falsi
Metode Regula Falsi menetapkan hampiran akar sebagai perpotongan antara garis yang melalui titik [a, f(a)] dan titik [b, f(b)] dengan sumbu-x. Jika titik potong tersebut adalah tersebut adalah c, maka akar terletak antara (a,c) atau (c, b).
Perhatikan kesebangunan antara dan pada Gambar 1, sehingga didapatkan persamaan berikut dapat digunakan:
Diketahui :
Tabel 1. Koordinat titik-titik pada Gambar 1
Koordinat
Titik koordinat
A
(a, 0)
B
(b, 0)
C
(c, 0)
P
(b, f(b))
Q
(a, f(a))
R
(c, f(c))
Dari persamaan di atas diperoleh:
Sehingga
Persamaan di atas disebut sebagai persamaan rekursif dari metode Regula Falsi. Nilai c merupakan nilai akar x yang dicari. Sehingga jika dituliskan dalam bentuk yang lain, nilai akar x adalah sebagai berikut:
Dengan kata lain titik pendekatan x adalah nilai rata- rata range berdasarkan F(x).
Pada kondisi yang paling ekstrim "b – ar " tidak pernah lebih kecil dari , sebab salah satu titik ujung selang, dalam hal ini b, selalu tetap untuk iterasi r = 1,2,3,..... Titik ujung selang yang tidak berubah itu dinamakan titik mandek (stagnan point). Pada titik mandek,
"br – ar " = "b – ar " , dimana r = 1,2,3,...
Yang dapat mengakibatkan program mengalami looping. Untyk mengatasi hal ini, kondisi berhenti pada algoritma Regula-Falsi harus ditambah dengan memeriksa apakah nilai f(x) sudah sangat kecil hingga mendekati nol.
Algoritma Metode Regula Falsi
Algoritma Metode Regula Falsi secara singkat dapat dijelaskan sebagai berikut:
Definisikan fungsi f(x)
Tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b)
Tentukan toleransi error () dan iterasi maksimum (n)
Tentukan nilai fungsi f(a) dan f(b)
Untuk iterasi I = 1 s/d n
Hitung nilai f(x)
Hitung error = " f(x)"
Jika maka a = c jika tidak b = c
Jika " f(x)" , hentikan Iterasi
Akar persamaan adalah x
Metode Newton Rapshon
Pengertian Metode Newton Raphson
Metode newton raphson termasuk metode terbuka seperti halnya metode iterasi titik tetap. Rumus yang digunakan pada metode Newton-Raphson dapat diturunkan secara grafis maupun perluasan deret Taylor.
Algoritma Newton Raphson
Algoritma pada metode newton raphson adalah sebagai berikut:
Tentukan harga fungsi
Tentukan Harga Awal
Tentukan Interval = [a;b] dengan jumlah pembagi
Tentukan toleransi kesalahan dan iterasi maksimum n (jika belum ditentukan)
Hitung nilai fungsi dan turunannya
Hitung nilai menggunakan rumus:
Hitung kesalahan dan bandingkan dengan toleransi kesalahan yang diizinkan
Jika , maka ulangi langkah ke-2
Jika , maka iterasi selesai dan sebagai akar persamaan
Akar persamaan adalah terakhir yang diperoleh.
BAB III
PEMBAHASAN
Pengertian Metode Secant
Metode secant merupakan salah satu metode terbuka untuk menentukan solusi akar dari persamaan non linear. Metode secant melakukan pendekatan terhadap kurva f(x) dengan garis secant yang ditentukan oleh dua titik. Kemudian nilai akar selanjutnya adalah titik potong antara garis secant dengan sumbu x. Berikut metode secant ditunjukan secara grafis.
f(xi-1)f(xi-1)f(xi)xi-1Xi+1 xif(xi-1)f(xi-1)f(xi)xi-1Xi+1 xi
f(xi-1)
f(xi-1)
f(xi)
xi-1
Xi+1 xi
f(xi-1)
f(xi-1)
f(xi)
xi-1
Xi+1 xi
Gambar 1. Iterasi Metode Secant Secara Grafik
Ditentukan titik C(xi,f(xi)) dan B(xi-1,f(xi-1)) sehingga diperoleh garis secant yang memotong kurva dan memotong sumbu x di xi+1 . Titik potong garis secant dengan sumbu x ini merupakan nilai akar selanjutnya. Kemudian kita akan mencari nilai akar tersebut dengan menggunakan perbandingan segitiga yang sebangun.
Perhatikan segitiga BAE dan segitiga CDE pada gambar 1. Kedua segitiga tersebut adalah sebangun, sehingga dapat kita tuliskan perbandingannya yaitu:
Diketahui bahwa koordinat dari masing-masing titik tersebut yaitu:
Tabel 1. Koordinat dari titik pada gambar 1
Titik
Koordinat
A
( xi-1 ,0 )
B
( xi-1 , f(xi-1) )
C
( xi , f(xi) )
D
( xi , 0 )
E
( xi+1, 0 )
Kemudian dari persamaan diatas diperoleh:
Sehingga diperoleh rumus umum metode secant yaitu:
Algoritma Metode Secant
Algortima pada metode Secant yaitu:
Definisikan fungsi f(x)
Definisikan toleransi eror (εs)
Taksir batas atas xi dan batas bawah xi-1.
Tentukan f(xi) dan f(xi-1). Jika f(xi) = f(xi-1) maka iterasi tidak dilanjutkan, tetapi jika f(xi) = f(xi-1) maka iterasi dilanjutkan.
Lakukan iterasi dengan menghitung nilai taksiran akar selanjutnya dengan:
Iterasi berhenti jika εrh εs, dengan:
Contoh Soal dan Penyelesaian Metode Secant
Tentukan solusi hampiran akar dari fungsi menggunakan metode secant. Gunakan tebakan awal dan serta.
Penyelesaian:
dan
Karena maka iterasi dilanjutkan.
Mencari nilai x baru
Menghitung
Karena maka iterasi dilanjutkan.
Tabel hasil iterasi sebagai berikut:
i
Ket
0
1.6
2
-0.4
3.5536
13
-1.42144
-9.4464
0.150474255
1.449525745
-
Iterasi Lanjut
1
1.449525745
1.6
-0.150474
1.414726
3.5536
-0.212879808
-2.138874216
0.099528905
1.34999684
0.103809
Iterasi Lanjut
2
1.34999684
1.449525745
-0.099529
0.321475
1.414726
-0.03199607
-1.093250633
0.029266912
1.320729928
0.073725
Iterasi Lanjut
3
1.320729928
1.34999684
-0.029267
0.042679
0.321475
-0.00124907
-0.278796575
0.004480221
1.316249707
0.02216
Iterasi Lanjut
4
1.316249707
1.320729928
-0.00448
0.001602
0.042679
-7.17868E-06
-0.041076272
0.000174765
1.316074942
0.003404
Iterasi Lanjut
5
1.316074942
1.316249707
-0.000175
8.47E-06
0.001602
-1.48045E-09
-0.001593833
9.28861E-07
1.316074013
0.000133
Iterasi Berhenti
Karena pada iterasi ke 6 nilai memenuhi syarat maka iterasi berhenti. Jadi akar dari adalah 1.31607494
Tentukan solusi hampiran akar dari fungsi menggunakan metode secant. Gunakan tebakan awal dan serta.
Penyelesaian:
dan
Karena maka iterasi dilanjutkan.
Mencari nilai x baru
Menghitung
Karena maka iterasi dilanjutkan.
Tabel hasil iterasi sebagai berikut:
i
Ket
0
2.5
3.5
-1
-0.275
1.975
0.275
-2.25
-0.122222222
2.622222222
1
2.622222222
2.5
0.122222
16.00593
14.25
1.956279831
1.755925923
1.114101572
1.50812065
0.04661
Iterasi Lanjut
2
1.50812065
2.622222222
-1.1141
3.315163
16.00593
-3.693428349
-12.69076289
0.291032807
1.217087843
0.738735
Iterasi Lanjut
3
1.217087843
1.50812065
-0.29103
1.226821
3.315163
-0.357045046
-2.088342425
0.170970547
1.046117296
0.239122
Iterasi Lanjut
4
1.046117296
1.217087843
-0.17097
0.236967
1.226821
-0.04051436
-0.989853715
0.040929643
1.005187653
0.163433
Iterasi Lanjut
5
1.005187653
1.046117296
-0.04093
0.026019
0.236967
-0.001064948
-0.210947895
0.005048395
1.000139258
0.040718
Iterasi Lanjut
6
1.000139258
1.005187653
-0.00505
0.000696
0.026019
-3.51544E-06
-0.025322652
0.000138826
1.000000432
0.005048
Iterasi Lanjut
7
1.000000432
1.000139258
-0.00014
2.16E-06
0.000696
-2.99864E-10
-0.000694188
4.31964E-07
1
0.000139
Iterasi Berhentu
Karena pada iterasi ke 8 nilai memenuhi syarat maka iterasi berhenti. Jadi akar dari adalah 1.000000432
BAB IV
STUDI KASUS
Metode Secant dapat diaplikasikan dalam berbagai bidang kehidupan nyata salah satunya di bidang fisika. Metode ini dimanfaatkan dalam bidang fisika untuk megukur batas kecepatan dari suatu benda yang diberi pelakuan.
Misalkan sebuah batu bermassa 2 gram dilemparkan vertikal ke udara dan bergerak turun setelah mencapai batas kecepatan tertentu. Rumus digunakan untuk menghitung batas kecepatan suatu benda, dengan g adalah pecepatan gravitasi sebesar 9, 81.
adalah gesekan tarik sedangkan adalah tekanan tarik dengan v merupakan kecepatan batas (m./s). Bila nilai dengan galat 0.000001 maka kita dapat menentukan batas kecepatan batu menggunakan metode secant.
Sebelumnya sudah diketahui bahwa
i
Ket
0
37.7
40
-2.3
0.02
1942
548
34.1
-0.05
047
-548
34.1
9.2E-07
37.69999908
1
37.699
99908
37.7
-9.2E-07
422
4.17
422
4.17
-0.00
389
-0.00
021
18.75741
18.94258409
2.44E-08
Iterasi Berhenti
Jadi batas kecepatan batu adalah v = 37.69999908 m/s atau v = 37.7 m/s.
BAB V
KESIMPULAN
Metode numerik merupakan teknik untuk menyelesaikan masalah matematika dengan pengoperasian aritmatika (hitungan), metode penyelesaian model matematika dengan rumus – rumus aljabar yang sudah baku atau lazim. Metode numerik juga merupakan alat bantu pemecahan masalah matematika yang sangat ampuh. Metode numerik mampu menangani sistem persamaan besar, ketidaklinearan, dan geometri yang rumit yang dalam praktek rekayasa seringkali tidak mungkin dipecahkan secara analitik. Metode numerik menyediakan sarana untuk memperkuat kembali pemahaman matematika, karena metode numerik ditemukan dengan cara menyederhanakan matematika yang lebih tinggi menjadi operasi matematika yang mendasar.
Pada metode numerik terdapat beberapa metode untuk menyelesaikan masalah matematika. Salah satu metode tersebut adalah metode secant. Metode Secant merupakan metode yang dihasilkan dari modifikasi dari metode Newton-Raphson dengan cara mengganti f'(x) dengan bentuk yang mendekati. Metode secant muncul karena terdapat kelemahan pada metode Newton-Raphson yaitu tidak semua f(x) mudah dicari turunannya. Metode secant merupakan salah satu metode terbuka untuk menentukan solusi akar dari persamaan nonlinear, dengan prinsip melakukan pendekatan terhadap kurva f(x) dengan garis secant yang ditentukan oleh dua titik terakhir. Nilai akar selanjutnya adalah titik potong antara garis secant dengan sumbu x.
DAFTAR PUSTAKA
BDA dan RYN. 2013. "Deret Taylor". www.riniftpub.lecture.ub.ac.id (diakses pada tanggal 3 November 2017 pukul 16. 50).
Imam Fachruddin. Metode Numerik. Departemen Fisika Universitas Indonesia. http://staff.fisika.ui.ac.id/imamf/ di akses pada 3 Desember 2017
Luknanto Djoko. (2001). Metoda Numerik. Yogyakarta: UGM
Purwanto. Metode Secant Solusi Persamaan Non Linear. www.kuliah-fkip.umm.ac.id diakses pada 3 Desember 2017
Sudiadi, dkk. 2015. Metode Numerik. Palembang: STMIK
Wikaria G, Soedadyatmodjo. 2007." KALKULUS". Yogyakarta: Graha Ilmu.
Noname. "Tugas-Metnum-Kel-2-Persamaan-Non-Linear". www.scribd.com di akses pada 5 Desember 2017