BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
Persamaan diferensial adalah persamaan matematika untuk fungsi satu variabel atau lebih, yang menghubungkan nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dalam berbagai orde. Persamaan diferensial memegang peranan penting dalam rekayasa, fisika, ilmu ekonomi dan berbagai macam disiplin ilmu. Persamaan diferensial muncul dalam berbagai bidang sains dan teknologi, bilamana hubungan deterministik det erministik yang melibatkan mel ibatkan besaran yang berubah secara kontinu dimodelkan oleh fungsi matematika dan laju perubahannya dinyatakan sebagai turunan turunan diketahui atau dipostulatkan. Teori persamaan diferensial sudah cukup berkembang, dan metode yang digunakan bervariasi sesuai jenis persamaam yaitu : Persamaan diferensial biasa (PDB) dan Persamaan diferensial parsial (PDP). Baik persamaan diferensial biasa maupun parsial dapat digolongkan sebagai linier atau nonlinier. Sebuah persamaan diferensial disebut linier apabila fungsi yang tidak diketahui dan turunannya muncul dalam pangkat satu (hasilkali tidak dibolehkan). Bila tidak memenuhi syarat ini, persamaan tersebut adalah nonlinier. 1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah agar penguraian makalah lebih terarah dan terfokus maka rumusan masalahnya adalah :
Pengertian Persamaan diferensial biasa (PDB)
Penerapan (aplikasi) Persamaan diferensial biasa (PDB) dalam kehidupan sehari hari.
Software yang dapat menyelesaikan persoalan Persamaan diferensial biasa (PDB).
1.3 Tujuan
Penulisan makalah ini bertujuan untuk lebih memahami tentang “Persamaan Differensial Biasa” serta aplikasinya dalam kehidupan sehari – hari. hari. Diharapkan dengan makalah ini dapat menambah wawasan para mahasiswa STT MIGAS dalam mengikuti mata kuliah persamaan differensial.
1
BAB II PEMBAHASAN
2.1 Pengertian Diferensial
Persamaan diferensial adalah persamaan matematika untuk fungsi satu variabel atau lebih, yang menghubungkan nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dalam berbagai orde. Teori persamaan diferensial sudah cukup berkembang, dan metode yang digunakan bervariasi sesuai jenis persamaan. Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Dalam bentuk paling sederhana fungsi yang tidak diketahui ini adalah fungsi riil atau fungsi kompleks, namun secara umum bisa juga berupa fungsi vektor maupun matriks. Lebih jauh lagi, persamaan diferensial biasa digolongkan berdasarkan orde tertinggi dari turunan terhadap variabel terikat yang muncul dalam persamaan tersebut. Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari banyak variabel bebas, dan persamaan tersebut juga melibatkan turunan parsial. Orde persamaan didefinisikan seperti pada persamaan diferensial biasa, namun klasifikasi lebih jauh ke dalam persamaan eliptik, hiperbolik, dan parabolik, terutama untuk persamaan diferensial linear orde dua, sangatlah penting. Beberapa pesamaan diferensial parsial tidak dapat digolongkan dalam kategori-kategori tadi, dan dinamakan sebagai jenis campuran. Baik persamaan diferensial biasa maupun parsial dapat digolongkan sebagai linier atau nonlinier. Sebuah persamaan diferensial disebut linier apabila fungsi yang tidak diketahui dan turunannya muncul dalam pangkat satu (hasilkali tidak dibolehkan). Bila tidak memenuhi syarat ini, persamaan tersebut adalah nonlinier.
2
2.2 Persamaan Diferensial Biasa( PDB) Persamaan diferensial biasa (PDB) -Ordinary -Ordinary Differential Equations (ODE).adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel ( variabel terikat ) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal.Peubah bebas biasanya disimbolkan dengan x.Dalam x.Dalam bentuk paling sederhana fungsi yang tidak diketahui ini adalah fungsi adalah fungsi riil atau fungsi atau fungsi kompleks, namun secara umum bisa juga berupa fungsi vektor maupun matriks. Lebih jauh lagi, persamaan diferensial biasa digolongkan berdasarkan orde tertinggi tert inggi dari turunan terhadap variabel terikat yang muncul dalam persamaan tersebut dan turunannya merupakan turunan biasa.
2.3 Menyelesaikan Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dy
PDB orde satu dapat dinyatakan dalam:
dx
f ( x, y )
atau dalam bentuk : M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 1. P enyele nyelesaian saian PD PD B orde satu satu deng denga an inte i nteggr asi seca secarr a langsung Jika PDB dapat disusun dalam bentuk
dy dx
f ( x) , maka persamaan tersebut dapat
diselesaikan dengan integrasi sederhana. Contoh : dy dx
3 x
2
Maka y
6x 5
3 x
2
6 x 5dx x 3 x 5 x c 3
2
Nilai c tidak dapat ditentukan kecuali jika dalam persamaan di atas diberi keterangan syarat (sebuah nilai y untuk x tertentu). Solusi dengan nilai konstanta sembarang atau c disebut solusi umum/primitif, sedangkan solusi disebut khusus jika nilai c dapat dihitung. 2. Penyelesaian PDB orde satu dengan pemisahan variabel Jika persamaan diferensial berbentuk
dy dx
f ( x, y ) , yaitu persamaan yang ruas
kanannya dapat dinyatakan sebagai perkalian atau pembagian fungsi x dan fungsi y,
maka penyelesaian PD dengan cara memisahkan variabelnya sehingga faktor’y’ bisa 3
kita kumpulkan dengan ‘dy’ dan faktor’x’ dengan ‘dx’. Contoh : xyy’ + x2 + 1 = 0 Ubah ke dalam eksplisit xy (dy/dx) + x2 + 1 = 0 Bagi tiap-tiap ruas y dy = -(x2 + 1/x) dx Integralkan kedua ruas
∫ y dy = – ∫((x2 + 1)/x) dx ∫ y dy = – ∫( X + 1/x) dx y2/2 = – (x2/2 + ln|x|) + C y2 = -x2/2 – ln|x + c
; c = -C
Maka, solusi umumnya adalah y2 = -x2 /2 – ln|x + c
3. Persamaan Homogen Homogen substitusi y = vx tinjau persamaan diferensial berikut: dy dx
x 3 y 2 x
persamaan di atas tidak dapat diselesaikan dengan cara memisahkan variabelnya. Dalam hal ini kita lakukan substitusi y = vx, dengan v adalah fungsi x. Sehingga penyelesaiannya: dari y = v x dideferensialkan menjadi dy dx
v x
dv dx
Sehingga 2 3 y 2 x
1 3v 2
Persamaan sekarang menjadi:
4
v x
x
dv dx
dv dx 2
2
1 3v
2
dv
1 v
1 3v
1
v
1 v 2
dx
x
kedua ruas diintegrasikan menjadi: 2
1 v
dv
2 ln 1 v
1
dx
x
ln x c
1 v c..x 2
substitusi v = y/x didapatkan 2
y 2 3 1 c. x atau x y c x x
4. Persamaan Linier dalam bentuk bentuk Untuk PD yang berbentuk
dy dx
dy dx
Py
Py
Q dengan P dan Q fungsi x atau konstanta maka
Q
penyelesaian PD dengan mengalikan kedua kedua ruas dengan faktor integrasi
e
Pdx
Contoh :
selesaikan PD berikut: dy dx
y
x
Penyelesaian : dari persamaan diperoleh P = -1 dan Q = x faktor integrasinya e
Pdx
e x
jika kedua ruas persamaan dikalikan dengan
e
x
maka
dy y e x x dx
e x e x
dy
d
e . y e . x d e
dx
dx x
e x . y e x . x x
pdx
pdx pdx . y e . x e .Q
sehingga penyelesaiannya
5
d e y e x
x
. xdx
e x y e x x e x dx e x x e x c y x 1 c / e x dari contoh di atas jika faktor integrasi
e
Pdx , maka PD linier orde satu
bisa dinyatakan dalam bentuk d dx
y ,
Q .
Dengan bbentuk diatas, penyelesaianya menjadi
. y .Qdx c atau y.e
Pdx
e
Pdx
.Qdx c
dy 5. Persamaan Bernoulli berbentuk Py Qy n dx
PD yang berbentuk
dy dx
Py Qy n dengan P dan Q fungsi x atau konstanta
diselesaikan dengan cara : y
n
dy
dx
Py 1
n
Q
Kedua, misalkanlah Z = y1- nsehingga dz
d y 1
dx
n
dx
dz
dx
1 n y
supaya suku pertama didapat
1 n y dz dx
n
dy dx
n
dy dx
dz dx
maka persamaan pertama dikalikan (1-n) didapat:
1 n py 1 n 1 nQ
P 1 . Z Q1 ( PD Linear )
dengan P1 dan Q 1 fungsi x atau konstanta. Persamaan terakhir dapat diselesaikan dengan faktor integrasi. Setelah diperoleh penyelesaian untuk z, dengn substitusi z = y1- n kita dapatkan y. Contoh :
selesaikan PD berikut: dy dx
y x
x. y 2
Penyelesaian 6
Kedua ruas dibagi y2 menjadi y
dy
2
dx
y
1
x
x
Misalkan z = y1-n, n = 2 sehingga z = y -1 dan Supaya suku pertama didapat
y
2
dy
dx dz z
dx
y
dz dx
dz dx
y
2
dy dx
maka penyelesaian dikali – 1, 1, diperoleh:
1
x
x
x PD Linear
x
Faktor integral
e
Pdx dimana P
1
Pdx e x dx e ln x e ln x e 1
1
x
maka
1
x
Bentuk umum penyelesaian PD Linear didapat :
. y e
Pdx
.Qdx c
Sehingga 1
x
. z
z
1
x .1 xdx c x x c
Z cx x
2
Karena Z = y-1 = cx – x x2 ⟶ y = (cx – x x2)- 1
6. Persamaan Diferensial Eksak PDB dalam bentuk : M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
Dikatakan eksak jika terdapat fungsi Q(x,y), sedemikian sehingga Q y
Q
y
M x y dan ,
M x y , dengan mengingat diferensial total dari fungsi Q(x,y), maka ,
disimpulkan bahwa persamaan M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 eksak jika hanya jika : M y
N x
Langkah – langkah langkah untuk menyelesaikan PD Eksak adalah sebagai berikut: Langkah 1. Tuliskan PD dalam bentuk diferensial : 7
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 Langkah 2. Uji ke-eksak-an PD: M y
N
x
Langkah 3. Jika eksak, integralkan M terhadap x atau N terhadap y. misalkan dipilih
M, maka: N x y M x y dx g y ,
,
Langkah 4. turunkan Q terhadap y dan semakan hasilnya dengan N(x,y)
N x, y
y
M x, ydx g ' y
Langkah 5. Integralkan g’(y) untuk memperoleh g(y) Langkah 6. Tuliskan penyelesaikan umum dalam bentuk implisit: Q(x,y) = c Langkah 7. Tentukan C jika diberikan kondisi awal tertentu. Contoh :
Selesaikan PDB
dy
dx
x 2 y y 2
2 x
. y
o 3
Selesaikan : Langkah 1. Bentuk diferensial PD adalah : (x – 2y)dx 2y)dx + (y2 – 2x) 2x) dy = 0 Langkah 2. Uji ke-esak-an PD ini :
M y
2;
N x
2
Langkah 3. Misalkan dipilih M untuk diitegralkan, maka :
x 2 y dx g y
Q x, y M x, y dx g y
1
x 2 xy g y 2
Langkah 4. Menyamakan turunan Q(x,y) terhadap y dengan N(x,y):
1 x 2 xy g y y 2 x y 2 0 2 x g ' y y 2 x
2
2
y
g ' y
2
Langkah 5. Integralkan g’(y), diperoleh : g(x) = 1/3y 3 Langkah 6. Penyelesaian umum dalam bentuk implisit 1 2
1
x 2 xy y 3 C
Q(x,y) = C
3
8
Langkah 7. Dengan kondisi awal y (0) = 3, diperoleh C = 9, sehingga penyelesaian khususnya adalah :
1 2
x
2 xy
1
3
y
3
9
7. Persamaan Diferensial Tak-Eksak Jika suatu PD orde satu berbentuk : M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
Mempunyai sifat : M y
N x
Maka PD tersebut disebut PD tak-eksak, suatu PD tak-eksak dapat diubah ke PD Eksak dengan mengalikan persamaan dengan suatu faktor yang tepat, yang disebut faktor pengintegralan (integrating (integrating factor).Pada factor).Pada bagian sebelumnya, kita mengenal faktor integral:
e
x
p x dx
untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear
order satu dalam bentuk: dy dx
P ( x) y
Q x
Faktor integral berbentuk
dy dx
e
x
P ( x) y
p x dx
akan membawa persamaan diferensial linier order satu
Q x menjadi PD eksak. Secara umum suatu faktor integral
adalah faktor μ( x x, y) dapat mengubah persamaan diferensial tidak eksak menjadi persamaan diferensial eksak. Contoh :
Tunjukkan bahwa x dy + (2 y
− xex )dx dx = 0 tidak eksak, tetapi dengan
mengalikan dengan faktor μ = x PD tersebut menjadi eksak. Kemudian selesaikan! Penyelesaian : Uji ke-eksak-an,
x
2 y
xe
x
2
x
x
1
Jadi PD adalah tidak eksak. Dengan mengalikan faktor integral x integral x diperoleh:
9
x 2 dy 2 xy x 2 e x dx 0 PD Eksak Ek sak M
2 xy x 2 e x
y
y
2 x;
N x
x 2 x
2 x
dari langkah-langkah penyelesaian PD eksak, maka: Q(x,y) = x 2y – x x2ex + 2xex – 2e 2ex + g(y) jika diketahui: y
Q x y N x y
,
,
Maka x2 + g’(y) = x2 →g’(y) = 0 →g(y) = 0 jadi solusi PD adalah: Q(x,y) = c → x2y – x x2ex + 2xe2 – 2e 2ex = c
8. Menentukan Faktor Itegrasi Jika M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 PD tak-eksak dan µ(x,y) faktor integrasi, maka µ(x,y)M(x,y)dx + µ(x,y)N(x,y)dy = 0 adalah PD Eksak, sehingga M y
N
x
atau
M N M N y y x x
M N N M x y y x M N x y M N y x Ada beberapa kasus, yaitu: (1) Faktor integrasi hanya fungsi x saja atau µ(x,y) µ(x, y) = µ(x) maka; N 0 x M N x y
M y
N x
N x
M N y x 1 dx
N
M N y x dx ln N
e
M N y x dx N
10
M N y x menghasilkan fungsi x saja maka µ(x,y) = µ(x). Jadi jika N
(2) Faktor integrasi hanya fungsi y saja atau µ(x,y) µ(x, y) = µ(y) maka:
e
M N y x dy M
Jadi Jika M
(3) Jika
M
x
yN xM
x
N M M
x
yN xM
y
menghasilkan fungsi (x + y) y) maka µ = µ(x + y) y)
N
y
M
(6) Jika
menghasilkan fungsi xy, maka µ = µ(y)
N
y
(4) Jika
fungsi y saja, maka µ = µ(y) dy menghasilkan fungsi
N
y
M
(5) Jika
M N y x
menghasilkan fungsi fungsi (x - y) maka µ = µ(x - y)
N x
2 xN 2 yM
menghasilkan fungsi (x2 + y2), maka µ =µ(X2 + y2)
Kesimpulan : faktor integral ditentukan dengan menghitung
M y
N x
kemudian
membaginya sehingga diperoleh fungsi yang mandiri. Contoh :
Tunjukan faktor integral dari PD x dy + (2y – xe xex)dx = 0 sehingga menjadi PD eksak Penyelesaian : M(x,y) = (2y – xe xex) dan N(x,y) = x = 1
11
M
y
y
2 y xe 2 x
N
dan
x
x
x 1
Sehingga diperoleh M M y
N x
1
dan
y
N y
1
N
x
fungsi dari x saja
Maka faktor integralnya adalah
e
x
M N y x dx N
1
e
x dx
e
ln
x
x
Dari sini seperti contoh sebelumnya dapat ditunjukan dengan mengalikan x pada persamaan dihasilkan PD Eksak.
2.4 Aplikasi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) 1. Apli Apli kasi kasi Persa Persam maan D ife if er ensial nsial Pad Pada H ukum Pend Pendingi ingi nan nan New Newton Andaikan t adalah waktu t setelah benda mulai mendingin. Jika T(t) adalah suhu benda pada saat t , Tm suhu medium yang mengelilinginya, dT/dt laju l aju perubahan suhu pada saat t , dan k faktor pendingin pendingin maka: dT/dt = k(T-Tm) dT/(T-Tm)=kdt int [dT/(T-Tm)]= Int k dt 1n (T-Tm)=kt + C1 T-Tm=e^(kt-C1)=(e^kt)(e^C1)=C jadi penyelesaian persamaan diferensial dari hukum pendinginan Newton adalah: T=Tm+Ce^kt
12
Contoh:
jika suatu benda berada di udara bersuhu 36* dan benda mendingin dari 100* dalam waktu 10 menit manjadi 68*, berapakah suhu benda setelah 30 menit? Jawab: andaikan t adalah waktu dalam menit setelah suhu benda mulai turun. maka suhu benda setelah 30 menit adalah: T=Tm-Ce^kt diketahui: Tm=36* t=0----------->T(0)=100* C=64, sehingga: T=36+64e^kt karena pada saat t=10----------- >T(10)=68* maka: 68=36+64e^10k e^10k=0,5 k=0,1(1n(0,5))=(-0,0693 k=0,1(1n(0,5))=(-0,0693)) jadi, T=36+64e^(-0,0693t) t=30 => T=36+64(0,125) T=44
2. Apli Apli kasi kasi Persa Persam maan D ife if er ensial nsial B iasa iasa pada I lmu lmu B iolo iologi unt untuk Menghit Menghitun ungg Jumla Jumlah h Bakteri Jika y fungsi bernilai positif dalam t, dan k suatu konstanta persamaan
differensial dy/dt=ky ….(1) menyatakan bahwa laju perubahan y sebanding dengan besarnya y pada sebarang waktu t. Persamaan (1) adalah persamaan differensial terpisahkan dan dapat ditulis :
∫dy/y= ∫k dt Ln y = kt + c y=e^(kt+c) y= e^kt e^c atau y= 〖Ae〗^kt ..…(2) Dimana A=e^c konstanta sebarang. Nilai konstanta k dalam persamaan (2) tergantung pada sifat masalah. Jika k bernilai positif maka persamaan (2) disebut hikum
13
pertumbuhan eksponensial. Jika k bernilai negative ne gative maka persamaan (2) disebut hukum peluruhan eksponensial. Soal :
a. Jumlah bakteri dalam suatu kultur adalah 10.000, setelah dua jam menjadi 40.000. di bawah persyaratan perkembangan yang ideal, menjadi berapa jumlah bakteri setelah lima jam? Jawab: Di bawah persyaratan yang menguntungkan laju perkembangan bakteri dalam suatu kultur sebanding dengan jumlah bakteri pada saat itu. Jika y banyaknya bakteri dalam
kultur pada waktu t maka laju perkembangannya adalah: dy/dt=ky ………………(1) Dengan k factor pembanding, dengan mengintegralkan persamaan (1) dy/y=k dt
∫1/y dy= ∫k dt ln y = kt + C ………………………………(2) pada saat awal t = 0 jumlah bakteri 10.000 (y = 10.000) sehingga dengan memasukkan nilai tersebut ke persamaan (2); ln 10.000 = k(0) + C memasukkan C ke persamaan (2) menjadi: ln y = kt + ln 10.000 untuk t = 2 jam y = 40.000 ln y 40.000 = 2k + ln 10.000 k = 1/2 [ln 40.000 – ln ln 10.000] = 1/2 [ ln 40.000/ln 10.000 ] = 1/2 ln 4 = ln 4^(1/2)
= ln √4 = ln 2 Memasukkan k ke persamaan (2) menjadi: ln y = t ln 2 + ln 10.000
untuk t = 5 jam y = ….? 14
ln y = 5 ln 2 + ln 10.000 ln y = ln 25 (10.000) y = 320.000 jadi setelah lima jam jumlah bakteri menjadi 320.000
2.5 Software yang dapat menyelesaikan Persamaan Diferensial 1. Mapel 2. wxMaxima, 3. Autograph 4. Geogrebra 5. MATLAB Persamaan differensial sulit untuk diselesaikan. Namun, matlab merupakan suatu alat canggih untuk menyelesaikaan persamaan differensial. Alat tersebut adalah suatu fungsi yang benama dsolve, sintaks yang digunakan oleh dsolve harus dalam bentuk string. Untuk lebih jelasnya misalkan diberikan suatu persamaan differensial orde pertama sebagai berikut: Contoh 1:
Kepada anda diberikan sebuah persamaan diferensial berikut : dy/dt=-ay. dy/dt=-ay. Maka solusinya dapat dicari dengan menggunakan matlab sbb:
>> y = dsolve('Dy = -a*y')
15
Contoh 2: Dari persamaan diatas dy/dt=-a*y, dengan menggunakan parameter 1)0(= y
Solusi khususnya dapat dicari dengan matlab sbb:
>> y = dsolve('Dy = -a*y','y(0) = 1')
Contoh 3:
Diberikan persamaan berikut: d 2 y/dt 2 - 2dy/dt - 3y = 0 solusi umumnya dapat diperoleh dengan menggunakan matlab sebagai berikut:
>> y=dsolve(‘D2y-2*Dy-3*y=0’) 16
dengan menerapkan kondisi awal y(0)=0 dan y(1)=1 menghasilkan:
>> y=dsolve(‘D2y-2*Dy-3*y=0’, ’y(0)=0’, ‘y(1)=1’ )
17
BAB III PENUTUP
1. Kesimpulan Persamaan differensial memegang peranan penting dalam rekayasa, fisika, ilmu ekonomi dan berbagai macam disiplin ilmu. Teori persamaan differensial sudah cukup berkembang, dan metode yang digunakan bervariasi sesuai jenis persamaan. Persamaan differensial terbagi menjadi dua yaitu persamaan differensial biasa dan persamaan differensial parsial. Persamaan differensial biasa (PDB) adalah persamaan differensial di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Persamaan differensial parsial (PDP) adalah persamaan differensial di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari banyak variabel bebas, dan persamaan tersebut juga melibatkan turunan parsial. Didalam persamaan differensial biasa, dipelajari tentang konsep persamaan differensial linear dan Persamaan differensial linear orde satu. Persamaan differensial linear adalah persamaan yang mengandung turunan tingkat satu yaitu turunan dengan satu peubah bebas. Sedangkan Persamaan Persama an differensial dif ferensial linear orde satu adalah persamaan yang mengandung turunan tingkat satu dimana turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan tersebut adalah satu.
2. Saran Sebaiknya kita harus harus memahami dan mengerti tentang persamaan diferensial baik dari bentuk umumnya sampai pada penyelesaiannya. Karena dengan menguasai persamaan differensial, kita akan lebih mudah menyelesaikan permasalahan dalam persamaan differensial biasa. Selain itu, kita juga harus paham tentang teknik – teknik turunan maupun teknik pengintegralan yang pernah dipelajari pada mata kuliah kalkulus sebelumnya. Hal ini agar dapat mempermudah dalam menyelesaikan soal
– soal
persamaan differensial biasa, karena dalam persamaan differensial sangat berkaitan dengan turunan dan integral.
18
Daftar pustaka PD
http://id.wikipedia.org/wiki/Persama http://id.wikipedia.org/wik i/Persamaan_diferensia an_diferensial_biasa l_biasa http://informatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.m http://informatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Buku/Metode unir/Buku/Metode%20Numerik/BA %20Numerik/BAbb%2008%20Solusi%20Persam %2008%20Solusi%20P ersamaan%20Diferen aan%20Diferensial%20Biasa.pd sial%20Biasa.pdff http://zakylubismy.blogspot.com/2011/11/aplikasi-persamaan-diferensial-pada.html, http://share.its.ac.id/mod/page/view.php?id=1738 http://abrari.wordpress.com/2009/12/17/wxmaxima-software-matematika-handal/ http://sriendang90.wordpress.com/2012/12/25/aplikasi-maple-pada-matematika/ http://matic-ducati.blogspot.com/2012/03/software-matematika-precalculus.html
Benni A. Pribadi, Ph.D. 2009. Model 2009. Model Desain Sistem Sistem Pembelajaran. Pembelajaran. Jakarta: Jakarta: Dian Rakyat Gagne, R.M dkk. (2005). Principles (2005). Principles of of Instructional Design. Design. Newyork: Wadsworth Wadsworth Publishing Co. Sahid, MSc. 2003. Penggunaan Penggunaan MAPLE untuk pembelajaran pembelajaran Aljabar. Universitas Negeri Yogyakarta Journal “Lab Komputer Komputer Jurdik Matematika FMIPA UNY UNY : Journal http://heriantisamsu.blogspot.com/2011 http://heriantisamsu.blogspot.com/2011/10/kegunaan-m /10/kegunaan-maple.html aple.html 08.00 / 03-10-2012 http://blog.student.uny.ac.id/intandz/2011/02/23/matlab/ 08.00 / 02-10-2012 http://id.scribd.com/doc/96716054/Tugas-Aplikasi-Sistem-Persamaan-Linear-dengan-Matlab / 09.00 /02 -10-2012 http://syahwilalwi.blogspot.com/2011/04/solus http://syahwilalwi.blogs pot.com/2011/04/solusi-persama i-persamaan-linear-denga an-linear-dengan-linprog.html n-linprog.html 07.30 – 03-10 03-102012 http://leoriset.blogspot.com/2009/01/ma http://leoriset.blogspot.c om/2009/01/matematika-dala tematika-dalam-kehidupanm-kehidupan-nyata.html nyata.html http://www.dewinuryanti.com/arsip/fu http://www.dewinuryanti.com/arsip/fungsi-software-m ngsi-software-maple-dalamaple-dalam-pembelajara pembelajarannmatematika.htmlhttp://norrizal96.blogspot.com matematika.htm lhttp://norrizal96.blogspot.com/2010/10/fungsi-ma /2010/10/fungsi-matematika-padatematika-pada-kehidupankehidupansehari.html
19
