Bilangan Kompleks " 1
BAB I
PENDAHULUAN
A.Latar Belakang
Bilangan kompleks merupakan salah satu terobosan penting dalam dunia Matematika. Bagi yang telah mengikuti perkuliahan Aljabar Linear, himpunan bilangan bulat telah dikenal sebagai suatu himpunan yang sederhana yang memiliki struktur grup, dan lebih jauh lagi gelanggang. Struktur grup dari bilangan bulat membuat setiap persamaan linear monik memiliki solusi. Tetapi persamaan linear umum:
ax + b = c
dengan a; b; c di suatu himpunan F menuntut struktur yang lebih canggih bagi F, yaitu lapangan.
Tetapi lapangan ini tidak memiliki sifat berikut ini: setiap subset terbatas darinya memiliki batas atas terkecil dan batas bawah terbesar. Sifat ini yang kemudian berakibat setiap barisan Cauchy konvergen. Sifat ini disebut "lengkap". Kebutuhan untuk mengkonstruksi sebuah lapangan yang lengkap yang kemudian memberikan himpunan bilangan real. Tetapi, meskipun himpunan bilangan real memiliki sifat kelengkapan, lapangan tersebut tidak tertutup secara aljabar: setiap polinom berderajat n memiliki n buah pembuat nol.
Salah satu contoh klasik mengenai fakta ini adalah persamaan x2 +1 = 0 yang sama sekali tidak memiliki akar di bilangan real. Jika akar dari persamaan ini disebut i, maka kita dapat membentuk lapangan bilangan kompleks yang tertutup secara aljabar. Masalah yang serius dalam hal ini adalah persamaan: x2 +1 = 0 memiliki dua akar. Akar yang manakah yang akan kita pilih sebagai i? Ini sebabnya pendekatan yang lebih formal dan rigid dibutuhkan untuk mendefinisikan himpunan bilangan kompleks.
B.Rumusan Masalah
Apa itu Bilangan kompleks?
Bagaimana cara melakukan operasi hitung pada Bilangan kompleks?
C.Tujuan Penulisan
Mampu menjelaskan pengertian Bilangan kompleks.
Agar bisa melakukan operasi hitung pada Bilangan kompleks.
BAB II
PEMBAHASAN
A.Defenisi Bilangan KompleksBilangan Kompleks
Bilangan Kompleks
Bilangan ImajinerBilangan bulat negatifBilangan PrimaBilangan aslinolBilangan BulatBilangan PecahanBilangan IrrasionalBilangan RasionalBilangan Real
Bilangan Imajiner
Bilangan bulat negatif
Bilangan Prima
Bilangan asli
nol
Bilangan Bulat
Bilangan Pecahan
Bilangan Irrasional
Bilangan Rasional
Bilangan Real
Menurut struktur bilangan diatas , gabungan bilangan Real dengan Bilangan Imajiner adalah sebuah Bilangan Kompleks , yang didefenisikan sebagai berikut :
Bilangan kompleks yang merupakan penggabungan dari bilangan real dan imajiner dapat kita notasikan sebagai hubungan penjumlahan seperti berikut ini. z=x+yi
Notasi diatas x dan y merupakan bilangan riil sedangkan i merupakan imajiner murni. Notasi bilangan kompleks bukan hanya ditulis dalam bentuk penjumlahan melainkan juga dalam bentuk polar. Perhatikan penjelasan berikut ini. Dengan menganggap bahwa :
r = a2+b2
serta
θ=arctan (ba)
maka
a+bi=r(cosθ+isinθ )
atau sering ditulis juga a+bi = r cis teta.
Selain bentuk penjumlahan dan bentuk polar, notasi bilangan kompleks dapat dituliskan juga dalam Eksponen dan dalam bidang kompleks, yaitu :
reθ=r (cosθ+isinθ )
B.Macam-Macam Bilangan Kompleks
Bilangan Bulat
Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri atas bilangan positif, bilangan nol, dan bilangan negatif.
Contoh:...,-2,-1,0,1,2,...
Bilangan Asli
Bilangan asli adalah bilang bulat positif yang diawali dari angka 1(satu)
Sampai tak terhingga.
Contoh:...,1,2,3,4,5,...
Bilangan Cacah
Bilangan cacah adalah bilangan bulat positif yang diawali ddari angka 0 (nol) sampai tak terhingga.
Contoh:..,0,1,2,3,4,5,...
Bilangan Prima
Bilangan Prima adalah bilangan yang tepat mempunyai dua faktor bilangan 1(satu) dan bilangan itu sendiri.
Contoh:2,3,5,7,11,...
Bilangan Komposit
Bilangan komposit adalah bilangan yang bukan 0, bukan 1, dan bukan bilangan prima.
Contoh:4,6,8,10,12,...
Bilangan Rasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai suatu pembagian antara dua bilangan bulat.
Contoh: 1 2, , 23, ,34
Bilangan Irrasional
Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam pembagian bilangan bulat.
Contoh: π , 2, log3
Bilangan Rill (Bilangan Nyata)
Bilangan rill adalah merupakan bilangan pengabungan datri bilangan rasional dan bilangan irrasional.
Contoh : 12 2 , 1 33 , 14π….
Bilangan Imajiner
Bilangan imajiner adalah bilangan yang ditandai dengan i, Bilangan imajiner didefenisikan sebagai - 1 . Jadi , i =- 1 dan i2 = - 1
Contoh : - 4=4 ×(-1) = 4×- 1 = 2 i
Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks adalah bilangan yang merupakan pengabungan dari bilangan rill dan bilangan imajiner
Contoh: π-1 =πi
log i = log -1
C. Operasi Bilangan Cacah
Sifat-sifat operasi bilangan cacah, yaitu :
Penjumlahan
Tertutup
Sifat ini berlaku jika jenis bilangan hasil operasi sama dengan jenis bilangan-bilangan yang beroperasi.
Contoh:
Penjumlahan bilangan-bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat.
Sifat Komutatif
a + b = b + a
Sifat Asosiatif
(a + b) + c = a + (b + c)
Identitas
a + 0 = 0 + a = a
Pengurungan
Pengurangan adalah operasi lawan dari penjumlahan.
Jika a - b = c maka a = c + b
Perkalian
Sifat Komutatif
a x b = b x a
Sifat Asosiatif
A x (b x c) = (a x b) x c
Identitas
a x 1 = 1 x a = a
Distributif terhadap penjumlaha dan pengurangan
(a + b) x c = (a x b) + (b x c)
(a – b) x c = (a x c) – (b x c)
Pembagian
Pembagian adalah operasi kebalikan dari perkalian.
Jika a : b = c maka a = c x b
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Cara menentukan KPK
Tulis bilangan-bilangan itu kedalam bentuk perkalian faktor prima.
Ambil semua faktor yang sama atau tidak sama dari bilangan- bilangan itu.
Jika faktor yang sama itu pangkatnya berbeda, ambil faktor yang pangkatnya terbesar.
Cara Menentukan FPB
Tulis bilangan-bilangan itu kedalam bentuk perkalian faktor prima.
Ambil faktor yang sama dari bilangan itu.
Jika faktor yang sama itu pangkatnya berbeda, ambil faktor yang pangkat terkecil.
Contoh:
Tentukan KPK dan FPB dari 24,36,dan 40.
Faktor prima
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3
36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 22 x 33
40 = 2 x 2 x 2 x 5 = 22 x 5
KPK = 22 x 33 x 5
= 8 x 9 x 5
= 360
FPB = 22 = 4
Jadi, KPK dan FPB dari 24, 36, dan 40 adalah 360 dan 4.
D. Operasi pada Bilangan Bulat
Penjumlahan
Pada penjumlahan bilangan bulat, suku yang sejenis dapat digabungkan
Contoh: 3a + 4a = 7a
5a + 2a + 4b + 6b = 7a + 10b
Pengurangan
BilanganPertama
Operasi
Bilangan Kedua
Hasil
A
-
B
a – b
A
-
-b
a + b
-a
-
B
-a – b
-a
-
-b
-a + b
Contoh:
2 – (-5) = 2 + 5 = 7
-2 – 5 = -7
-2 – (-5) = -2 + 5 = 3
Perkalian
Rumus :
(+) x (+) = + contoh: 2 x 3 = 6
(+) x (-) = - contoh: 2 x (-3) = -6
(-) x (+) = - contoh: (-2) x 3 = -6
(-) x (-) = + contoh: (-2) x (-3) = 6
Pembagian
Rumus:
(+) : (+) = + contoh: 12 : 3 = 4
(+) : (-) = - contoh: 12 : (-3) = -4
(-) : (+) = - contoh: (-12) : 3 = -4
(-) : (-) = + contoh: (-12) : (-3) = 4
E.Diagram Bilangan Kompleks
2+i2
2+i
1
0 1 2 3
Bilangan kompleks dapat disajikan dalam beberapa cara yaitu:
Bilangan kompleks dapat disajikan dalam bentuk pasangan berurutan (x,y). Jika bilangan kompleks disajikan dalam bentuk pasangan berurutan (x,y), maka untuk sumbu x adalah sumbu real dan sumbu y adalah sumbu imajiner dan bidangnya disebut bidang kompleks atau bidang Argand
Contoh :
Bilangan kompleks Pasangan berurutan
3 + 2i (3,2)
4 – 2i (4, -2)
Bilangan kompleks dapat disajikan dalam bentuk vector yang berpangkal di titik O (0,0) pada bidang Argand dan berujung di titik (x,y). Jika bilangan kompleks dalam bentuk vektor kita dapat mencari nilai mutlak bilangan kompleks dengan menggunakan rumus berikut.
=
F.Penjumlahan Bilangan Kompleks
Dua bilangan kompleks adalah sama jiak bagian reaknya dan bagian imajinernya sama.
Contoh :
x + yi = 3 – 4i
maka x = 3 dan y = -4
Penjumlahan dua bilangan kompleks seperti penjumlahan pada suku banyak .
z1 + z2 = ( a + bi ) + ( c + di )
= ( a + c ) + ( b + d )i
Sedangkan pengurangan bilangan kompleks sama dengan iners negatifnya.
z1 + z2 = z1 + (-z2 )
= ( a + bi ) + ( -c –di )
= ( a – c ) + ( b – d )i = 2 + 2i
Sifat – sifat penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks adalah :
Tertutup
Elemen identitas ( 0 + 0i ) = 0
Invers aditif ( z + (-z ) ) = 0
G.Perkalian Bilangan Kompleks
Perkalian dua bilangan kompleks dapat dikerjakan sebagai perkalian polinom dengan mengingat bahwa i2 = -1
( a + bi ) ( c + di ) = a(c + di) + bi(c + di)
= ac + adi + bci + bdi2
= ( ac + bd ) + ( ad + bc )i
Perkalian dua bilangan kompleks mempunyai sifat-sifat berikut :
Tertutup
Komutatif z1 x z2 = z2 x z1
Elemen identitas
Asosiatif ( z1 x z2 ) x z3 = z1 x ( z2 x z3 )
Distributive terhadap penjumlahan z1 x ( z2 + z3 ) = z1 . z2 + z1 . z3
H.Bilangan Kompleks Sekawan
Dua bilangan kompleks disebut sekawan apabila kedua bilangan kompleks tersebut yang berbeda adalah tanda pada bagian imajinernya saja.
Contoh :
6 + 4i sekawan dengan 6 – 4i
-2 + 3i sekawan dengan -2 -3i
Jika z = x + yi, bilangan sekawannya adalah z = x – yi
bilangan sekawan dapat digunakan symbol huruf z
Dua buah bilangan sekawan apabila dijumlahkan akan menghasilkan sebuah bilangan riil.
I.Pembagian Bilangan Kompleks
Di dalam pengerjaan pembagian bilangan kompleks harus dengan merealkan penyebutnya.
Contoh :
x
=
=
=
= - i
J.Membuat Persamaan Kuadrat dari Dua Buah Bilangan Kompleks Yang Sekawan
Apabila sebuah persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai nilai diskriminan negatif (D<0), maka akar-akarnya akan berupa dua buah bilangan kompleks yang sekawan. Jika b = 0, maka akar-akarnya akan berbentuk bilangan imajiner sekawan.
Misalkan a = 1, maka bentuk persamaan kuadrat menjadi x2 + bx + c = 0 sehingga x1 + x2 = - b dan x1. x2 = c.
Jadi persamaan kuadrat tersebut dapat ditulis x2 – (x1 + x2)x + (x1. x2) = 0
Contoh:
Buatlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya (2+3i) dan (2–3i) !
Jawab :
x1 + x2 = (2+3i) + (2–3i) = 4
x1. x2 = (2+3i) (2–3i) = 4– (-3) = 7
Jadi, persamaan yang terbentuk adalah x2 – 4x + 7 = 0
Bilangan kompleks merupakan bilangan yang terdiri dari dua bagian, bilangan riil dan bilangan imajiner. Format standar dari bilangan kompleks adalah a + bi, dimana bilangan riil dinyatakan di depan dan bilangan imajiner di belakang. Karena kedua bagian bilangan dapat bernilai 0, bilangan imajiner sering dianggap juga sebagai bilangan kompleks. Jenis bilangan ini disebut kompleks karena menggabungkan dua jenis bilangan sehingga membentuk sebuah kompleks.
Bilangan kompleks merupakan binomial, atau ekspresi numerik dari dua variabel, sehingga cara perhitungan aritmatik yang dilakukan berlaku sama seperti binomial lainnya. Perhitungan dilakukan untuk setiap bilangan dan sisanya berlaku sama seperti cara perhitungan matematika biasa.
Misalnya:
(2 – 5i) + (3 + 6i) ..(i)
(2 – 5i) – (3 + 6i) ..(ii)
Perhitungan (i) dan (ii) dapat diselesaikan dengan menyederhanakan sesuai masing-masing bilangan. Penyelesaian persamaan (i) akan menjadi 2 + 3 = 5 dan -5i + 6i = i. Maka hasil perhitungan (i) akan menjadi:
5 + i ..(i)
Penyelesaian persamaan (ii) akan menjadi 2 – 3 = -1 dan -5i – 6i = -11i. Maka hasil perhitungan (ii) akan menjadi:
-1 – 11i ..(ii)
Perkalian untuk bilangan kompleks dilakukan sebagaimana polinomial lainnya. Lakukan perkalian untuk setiap bilangan, lalu jumlahkan. Misalnya:
(3 + 9i)(6 – 8i) = ....
= (3)(6) + (3)(-8i) + (9i)(6) + (9i)(-8i)
= (18) + (-24i) + (54i) – (72i²)
= (18 + 72) + (-24 + 54)i
= 90 + 30i
Pembagian bilangan kompleks diselesaikan dengan menggunakan konjugat. Konjugat dari bilangan kompleks merupakan pasangan dari bilangan
kompleks yang berbeda notasi, seperti (a + bi) dan (a – bi). Hasil perkalian dari
bilangan kompleks dan konjugat akan menghasilkan a² + b².
Berikut contoh pembagian untuk bilangan kompleks:
(3 + 9i) ÷ (6 – 8i) = ....
= (3 + 9i)(6 + 8i) ÷ (6 – 8i)(6 + 8i)
= (3)(6) + (3)(8i) + (9i)(6) + (9i)(8i) ÷ (6² + 8²)
= (18) + (24i) + (54i) – (72) ÷ (36 + 64)
= (18-72) + (24 + 54) i ÷ (100)
= (-54 + 78 i)/100
= -0,54 + 0,78i
BAB III
PENUTUP
A.Kesimpulan
Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk:
a + bi atau a + ib dapat ditulis (a,b). a dan b bilangan real dan i2 = –1.
Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan real.
Sebuah bilangan kompleks dapat digambarkan pada bidang kompleks dengan sumbu X sebagai sumbu real dan sumbu Y sebagai sumbu khayal.
B.Daftar Pustaka
