2014
Kompetensi Dasar
Mengidentifikasi pola, barisan dan deret bilangan Tujuan Pembelajaran Pembelajaran
Siswa dapat mengidentifikasikan pola bilangan, barisan, dan deret berdasarkan ciri-cirinya.
Siswa dapat nenggunakan notasi sigma untuk menyederhanakan suatu deret
A. POLA BILANGAN
Perhatikan deretan bilangan-bilangan bilangan-bilangan berikut: a. 1
2
3
...
b. 4
9
16
...
c. 31
40
21
30
16
...
Deretan bilangan di atas mempunyai pola tertentu. Dapatkah anda menentukan bilangan yang belum diketahui sesuai dengan aturan yang dipunyai?
DHUROTUL KHAMIDAH
Page 1
2014 Pada a, bilangan ke 4 adalah ada lah 4, sebab deretan bilangan nomor 1, mempunyai aturan: bilangan ke 2 = 1 + 1 = 2, bilangan ke 3 = bilangan bilangan ke 2 + 1 = 2 +1 = 3. Jadi bilangan ke 4 = bilangan ke 3 + 1 = 3 + 1 = 4. Pada b, bilangan ke 4 adalah 25, sebab deretan bilangan nomor 2, mempunyai aturan: bilangan ke 1 = (1 + 1)2 = 22 = 4, bilangan ke 2 = (2 +1)2 = 32 = 9, bilangan ke 3 = (3 + 1)2 = 42 = 16. Jadi bilangan bilanga n ke 4 = (4 +1)2 = 52 = 25. Pada c, bilangan ke 6 adalah 25, sebab deretan bilangan nomor 3, mempunyai aturan: bilangan ke ke 3 = bilangan bilangan pertama - 10 = 31 - 10 = 21, bilangan ke 4 = bilangan bilangan ke 2 - 10 = 40 - 10 = 30, bilangan ke 5 = bilangan bilangan ke 3 5 = 21 - 5 = 16,. Jadi bilangan ke 6 = bilangan ke 4 - 5 = 30 - 5 = 25. Aturan yang dimiliki oleh deretan bilangan di atas disebut pola bilangan pada deretan itu. Pola sebuah deretan bilangan tidak tunggal. Sebagai contoh, pada deretan bilangan bilangan nomor nomor 2, bilangan bilangan ke n = (n + 1)2 dengan n= 1, 2, 3, 4.
B. BARISAN BILANGAN
fungsi dengan dengan domain himpunan himpunan semua semua Barisan bilangan real adalah suatu fungsi bilangan asli dan kodomain himpunan semua bilangan real. Jika U merupakan fungsi dari bilangan asli ke bilangan real , maka barisannya sering ditulis dengan U1,U2, U3, ..., Un, .... Pada barisan U1, U2, U3, ..., Un, ... , Un disebut unsur ke n atau elemen ke n dari barisan itu.
Contoh
1. 2.
1, 2, 3,... merupakan barisan dengan dengan unsur ke n dari barisan itu adalah Un= n. 1, -1, 1, -1,.... -1,.... adalah barisan dengan dengan unsur unsur ke n dari barisan itu adalah Un = (-1)n.
DHUROTUL KHAMIDAH
Page 2
2014
C. DERET BILANGAN
Jika U1, U2, U3,..., Un,... merupakan barisan bilangan real, maka U1 + U2 + U3,... + Un +... disebut deret, dan Un disebut suku ke n barisan itu.
Contoh
1.
1 + 2 + 3 +..., maka suku ke n barisan itu adalah U n = n.
2.
1 + (-1) + 1+ (-1) + ....,
maka suku ke n dari deret itu
n adalah U n =(-1) . 3.
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + ..., maka ke 7 dari barisan itu adalah 13.
DISKUSI KELOMPOK
Dari materi pola bilangan, barisan bilangan, dan deret bilangan, dapatkah kalian menjelaskan mengenai perbedaan dari kettiganya?
DHUROTUL KHAMIDAH
Page 3
2014
D. NOTASI SIGMA
Perhatikan jumlahan bilangan-bilangan berikut. 1.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7.
2.
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12.
3. 4.
1 3
1 9
1 27
1 + 3 + 5 + 7 + 9. Jumlahan bilangan-bilangan dari deretan
dapat dituliskan dengan notasi
bilangan yang mempunyai pola
(dibaca: sigma ), Sehingga jumlahan bilangan
diatas dapat ditulis kembali : 7
1.
1 2 3 4 5 6 7 n n 1 6
2.
2 4 6 8 10 12 2n n 1
3.
1 3
1 9
1 27
3
n 1
1
3n 5
4.
1 3 5 7 9 (2n 1) n 1
DHUROTUL KHAMIDAH
Page 4
2014
NOTICE Sifat notasi sigma
Jika m dan n adalah bilangan asli, dengan m ≤ n dan c
,
maka berlaku :
1.
2.
3.
4.
5.
DISKUSI KELOMPOK Buktikan dengan contoh sifat dari notasi sigma
DHUROTUL KHAMIDAH
Page 5
2014
E. EVALUASI
Kerjakan secara individu soal berikut ini
1. Tentukan suku yang dicantumkan di akhir barisan dan juga suku ken dari setiap barisan berikut: a. 13, 9, 5, ...., b. 25, 21, 17, 13, ..., c. -10, -8, -6, -4, ...,
2. Tentukan bentuk notasi sigma dari setiap deret berikut : a. 2 + 5 + 8 + ... + 119 b. 100 + 90 + 80 + ... + 0 c. 4 + 1 +
+ ...
3. Hitunglah deret-deret berikut : a.
b.
c.
DHUROTUL KHAMIDAH
Page 6
2014
Kompetensi Dasar
Menerapkan konsep barisan dan deret aritmatika Tujuan Pembelajaran
Siswa dapat menentukan nilai suku ke-n suatu barisan aritmatika dengan menggunakan rumus barisan aritmatika
Siswa dapat menentukan jumlah n suku suatu deret aritmatika dengan menggunakan rumus jumlah barisan aritmatika
A. BARISAN ARITMATIKA
Terkadang, suatu barisan mempunyai pola khusus. Pada barisan 1, 2, 3, 4, …, selisih antara unsur yang berurutan, yaitu: ke 1 dengan ke 2, ke 2 dengan ke 3, ke n dengan ke n + 1, dan seterusnya adalah tetap, yaitu sama dengan 1. Barisan semacam ini disebut barisan aritmatika. Barisan U1, U2, U3,..., Un,... disebut barisan aritmatika jika Un - Un-1 = konstan ,
DHUROTUL KHAMIDAH
Page 7
2014 dengan n = 2, 3, 4,....
Konstanta pada barisan aritmatika di atas
disebut beda dari barisan itu dan sering dinotasikan dengan b , dan U1 sering dinotasikan dengan a .
Contoh
1. 1, 2, 3,... merupakan barisan aritmatika dengan beda, b = 1. 2. 1, 3, 5, … merupakan barisan aritmatika dengan beda, b = 2. 3. 1, -1, 1, -1,.... bukan barisan aritmatika sebab U 2 – U 1 = -1 – 1 = -2 2 = 1 – (-1) = U 3 – U 2
Jika diperhatikan U1 = a, U2, U3,..., Un,... merupakan barisan aritmatika, maka unsur ke n dari barisan itu dapat diturunkan dengan cara berikut. U1 = a U2 = a + b U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b Un = a + (n -1) Jadi unsur ke-n dari barisan aritmatika dapat dirumuskan
Un = a + (n-1) b
DHUROTUL KHAMIDAH
Page 8
2014
Contoh
Diketahui barisan aritmatika dengan unsur ke 2 adalah 10 dan beda = 2. Tentukan unsur ke 7 barisan itu.
Penyelesaian
Diketahui U 2 = 10, b = 2. Dengan menggunakan rumus U n = a + (n -1) b, diperoleh U 2 = a + (2-1)b U 2 = a + b a = U 2 - b = 10 – 2 = 8 U 7 = a + (7-1) b = a + 6 b = 8 + 6 (2) = 8 + 12 = 20. Jadi unsur ke 7 dari barisan adalah 20.
DISKUSI KELOMPOK Mbak Suci, seorang pengerajin batik di Gunung Kidul, ia dapat menyelesaikan 6 helai kain batik berukuran 2,4 m × 1,5 m selama 1 bulan. Permintaan kain batik terus bertambah sehingga Mba Suci harus menyediakan 9 helai kain batik pada bulan kedua, dan 12 helai pada bulan ketiga. Dia menduga, jumlah kain batik untuk bulan berikutnya akan 3 lebih banyak dari bulan sebelumnya. Dengan pola kerja tersebut, pada bulan berapakah Mbak Suci menyelesaikan 63 helai kain batik?
DHUROTUL KHAMIDAH
Page 9
2014
B. DERET ARITMATIKA
Jika U1, U2, U3, ..., Un, .... merupakan barisan aritmatka, maka U1 + U2 + U3 + ... + Un disebut deret aritmatika. Un disebut suku ke n dari deret itu. Jika Sn menyatakan jumlah n suku pertama deret aritmatika U1 + U2 + U3 + ... + Un, ...., maka Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un dapat diturunkan dengan cara sebagai berikut. Sn = Un + (Un - b) + (Un - 2b) + ... + a Sn = a + (a - b) + (a + 2b) +..... + Un
+
2Sn = (a + Un) + (a + Un) + (a + Un) +... + (a + Un), sebanyak n suku. 2 Sn = n. (a + Un) Sn =
1 2
n(a U n )
Jadi untuk mencari jumlah n suku pertama dari deret aritmatika dapat menggunakan rumus
S n
=
atau
S n
=
DHUROTUL KHAMIDAH
Page 10
2014
Dengan a = suku pertama dan b = beda
Contoh
Carilah jumlah bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 9!
Penyelesaian
Bilangan bulat yang habis dibagi 9 diantara 1 dan 100 adalah 9, 18, 27, …, 99 Bilangan-bilangan tersebut membentuk barisan aritmetika dengan a = 9, b = 9, dan Un = 99. Selanjutnya akan ditentukan nilai n sebagai berikut: Un = 99 ⇔ a + (n – 1)b = 99
⇔ 9 + (n – 1)9 = 99 ⇔ 9 + 9n – 9 = 99 ⇔ 9n = 99 ⇔ n = 10 Jadi, banyak bilangan yang habis dibagi 9 diantara 1 dan 100 adalah 10. Dengan menggunakan rumus jumlah n suku pertama deret ar itmetika diperoleh:
10
1 =
2
109 + 99 = 540
Dengan demikian, 9 + 18 + 27 + 36 + 45 + … + 99 = 540.
DISKUSI KELOMPOK Diketahui deret aritmetika tingkat satu dengan sn adalah jumlah n suku pertama. Jika = 3 − 12 − 2 + 2 + − 3 + ⋯ maka tentukanlah jumlah suku ke – 10 pada barisan tersebut
DHUROTUL KHAMIDAH
Page 11
2014
C. EVALUASI
Kerjakan secara individu soal berikut ini 1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika dibawah ini : a. 3, 6, 9, 12, ... b. 1, 6, 11, 16, ... c. -15, -8, -1, 6, ... 2. Carilah suku yang diminta dalam setiap barisan aritmatika berikut : a. 1, 4, 7, 10, ..., suku ke-50 b. 25, 21, 17, 13, ..., suku ke-20 c. -10, -8, -1, 6, ..., suku ke-50 3. Tentukan nilai dari: a.
2 + 7 + 12 +.... + 297
b.
30 + 26 + 22 + ... + 2.
4. Tentukan x jika: a. 100 + 96 + 92 + … + x = 0. b. 1 + 4 + 7 + … + x = 835. 5. Pola A B B C C C D D D D A B BC C C D D D D A B B C C C D D D D ... berulang sampai tak hingga. Huruf apakah yang menempati urutan 26.32?
DHUROTUL KHAMIDAH
Page 12
2014
Kompetensi Dasar
Menerapkan konsep barisan dan deret geometri Tujuan Pembelajaran
Siswa dapat menentukan nilai suku ke-n suatu barisan geometri menggunakan rumus
Siswa dapat menentukan jumlah n suku suatu deret geometri dengan menggunakan rumus
Siswa dapat menentukan jumlah suku tak hingga suatu deret geometri dengan menggunakan rumus
A. BARISAN GEOMETRI
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang nilai pembanding (ras io) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Rasio, dinotasikan r merupakan nilai perbandingan dua suku berurutan. Nilai r dinyatakan
=
2 1
=
4 3
=
6 5
=
⋯ =
−1
DHUROTUL KHAMIDAH
Page 13
2014 Rumus unsur ke n barisan geometri U 1, U2, U3, U4,..., Un dengan U1= a dan rasio r dapat diturunkan dengan cara berikut. U1 = a U2 = a r U3 = U2 r = (a r)r = ar 2 2
3
U4 = U3 r = (a r )r = ar n-1
Un = Un-1 r = ar
Jadi rumus unsur ke n barisan geometri U1, U2, U3, U4,..., Un,.... dengan U1 = a dan rasio r adalah:
Un = a.rn-1
Contoh
Diketahui barisan 27, 9, 3, 1, .... Tentukanlah rumus suku ke-n
Penyelesaian
Rasio pada barisan tersebut adalah tetap yaitu r =
sehingga barisan
tersebut adalah barisan geometri. Rumus suku ke-n barisan geometri tersebut adalah
= 33.(3-1)n-1 = 33.3-n + 1 = 34 – n
DHUROTUL KHAMIDAH
Page 14
2014
B. DERET GEOMETRI
Jika U1, U2, U3, ..., Un.
merupakan
barisan
geometri dengan unsur
pertama adalah a = U1 dan rasio r, maka U1 + U2 + U3 + ... + Un disebut deret n-1
geometri dengan Un = ar
Rumus jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r , dapat diturunkan dengan cara sebagai berikut. Misalkan S n = U 1 + U 2 + U 3 + ... + U n, maka 2 3 n-1 S n = a + ar + ar + ..... + ar 3 4 n-1 n r S n = ar + ar + ar + ..... + ar + ar n S n - r S n = a – ar n (1 - r ) S n = (1 -r )a Jadi rumus jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah n
S n
a(1 r ) 1 r
n
untuk r < 1 atau S n
a(r 1) r 1
untuk r > 1
Contoh
Suatu deret geometri mempunyai suku ke-5 sama dengan 64 dan suku ke-2 sama dengan 8. Tentukanlah jumlah 10 suku pert ama dan jumlah n suku pertama deret geometri tersebut.
DHUROTUL KHAMIDAH
Page 15
2014
Penyelesaian
U2 = 8, berarti ar = 8 U3 = 64, berarti ar 4 = 64 ar.r 3 = 64 8r 3 = 64 r 3 = 8 didapat r = 2 dengan mensubstitusikan r = 2 ke persamaan ar = 8, akan didapatkan a.2 = 8 sehingga a= 4.
Jumlah n suku pertama deret ini adalah S n
4(1 2 n ) 1 2
=
4 4.2
n
1 n
= 4.2 – 4 2
n
= 2 .2 – 4 = 22 + n – 4 Jumlah 10 suku pertama deret ini adalah S 10 = 22+10 – 4 = 212 – 4 = 4096 – 4 = 4092
DHUROTUL KHAMIDAH
Page 16
2014
DISKUSI KELOMPOK Buktikan rumus jumlah n suku pertama deret geometri diatas!
C. DERET GEOMETRI TAK HINGGA
Deret geometri tak hingga adalah deret geometri dengan | r | < 1. Jumlah deret geomatri tak hingga adalah : S lim S n n
a 1 r
Rumus pada deret geometri berlaku juga untuk n tak terhingga. Adapun untuk n tak terhingga ada dua kasus : a. Jika -1 < r < 1, maka r n menuju 0 akibatnya S
a(1 0) 1 r
a 1 r
Deret geometri dengan -1 < r < 1 ini disebut deret geometri konvergen (memusat) n b. Jika r < -1 atau r > 1, maka untuk n nilai r makin besar akibatnya
S
a(1 ) 1 r
Deret geometri dengan r < -1 atau r > 1 disebut deret geometri divergen (memencar)
DHUROTUL KHAMIDAH
Page 17
2014
DISKUSI KELOMPOK Diskusikan dengan kelompkmu tentang pola barisan bilangan berikut! a) 1, 3, 7, 9, … b) 1, 4, 9, 16, … c) 3, 1, 4, 2, 5, … Apakah barisan tersebut termasuk barisan aritmetika atau barisan geometri? Tentukanlah suku ke 10 dari ola barisan di atas!
TUGAS PROYEK Himpunlah minimal tiga buah masalah penerapan barisan dan deret geometri serta deret aritmatikadalam bidang fisika, teknologi informasi dan masalah nyata di sekitarmu. Ujilah berbagai konsep dan aturan barisan dan deret geometri di dalam
pemecahan masalah
tersebut. Buatlah laporan hasil kerjamu dan sajikan di depan kelas.
DHUROTUL KHAMIDAH
Page 18
2014
D. EVALUASI
Kerjakan secara individu soal berikut ini 1. Tentukan suku yang diminta dari barisan geometri pada setiap soal berikut : a. 2, 4, 8, 16, ..., U 12 b. 3, -9, 27, -81, ..., U 10 c.
U5
2. Tulislah rumus suku ke-n dari barisan berikut : a. 1, 2, 4, ... b. c. 3. Diketahui deret geometri :
Tentukan :
a. Rasio b. Suku ke-10 c. Jumlah 10 suku pertama 4. Diketahui deret geometri suku ke-3 adalah 16 dan suku ke-5 sa ma dengan 64. Tentukan : a. rasio b. rumus jumlah n suku pertama 5. Jika jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 72 dan jumlah semua sukunya yang berindeks ganjil adalah 48, tentukan suku ke-3 deret tersebut!
DHUROTUL KHAMIDAH
Page 19
2014 DAFTAR PUSTAKA
MGMP Matematika Kota Semarang. 2006. Matematika SMA/MA Kelas XII Program Ilmu Pengetahuan Sosial . Semarang : PT Mascom Graphy, Semarang. Soedyarto, Nugroho & Maryanto.2008. Matematika Jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI Program IPA. Jakarta: Kemendikbud
DHUROTUL KHAMIDAH
Page 20
